B1. Výpočetní geometrie a počítačová grafika 9. Promítání., světlo.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "B1. Výpočetní geometrie a počítačová grafika 9. Promítání., světlo."

Transkript

1 B. Výpočetní geometie a počítačová gafika 9. Pomítání., světlo. Pomítání Převedení 3D objektu do 2D podoby je ealizováno pomítáním, při kteém dochází ke ztátě infomace. Pomítání (nebo též pojekce) je tedy tansfomací z n-ozměného do m-ozměného postou po m < n. V počítačové gafice vystačíme s omezenou množinou pomítacích metod ovnoběžným a středovým pomítáním na jednu půmětnu, jak ukazuje obázek 9.. Základní pojmy: - pomítací papsek je přímka vedená pomítaným (postoovým) bodem, jejíž smě závisí na zvolené pomítací metodě, - půmětna je plocha v postou, na kteou dopadají pomítací papsky a v místě dopadu vytvářejí půmět (obaz v ovině). Ob. 9.: Objekt a jeho půmět vzniklý pomítáním ovnoběžným (vlevo) a středovým (vpavo). Při zobazování postoových objektů následuje po pomítání další zpacování dat nalezení zakytých a viditelných částí objektů, vyhodnocení jejich bavy, nanesení textuy. (Je zvykem používat jako půmětnu ovinu xy.) Rovnoběžné pomítání Při tomto způsobu pomítání jsou všechny pomítací papsky ovnoběžné. Podle toho, jaký svíají úhel s půmětnou, dělíme ovnoběžné pomítání na pavoúhlé P xy = (9.) (po úhel 90 ) a kosoúhlé (po ostatní úhly) V počítačové gafice se téměř výhadně používá pomítání pavoúhlé. Rovnoběžné pomítání je typické po technické aplikace, neboť zachovává ovnoběžnost (viz ob. 9. vlevo). Vzdálenost půmětny od pomítaných objektů neovlivňuje velikost půmětů. Rovnoběžné pomítání do oviny xy kolmými papsky popsanými vektoem ( 0,0, ) představuje jednoduše zanedbání souřadnic z pomítaných bodů. Takovou tansfomaci popíšeme maticí Takto získaný půmět představuje půdoys. Po získání pohledů z jiných směů nejpve nalezneme tansfomaci, kteá objekty posune a otočí do vhodné pomítací polohy nad půmětnu xy. Odpovídající tansfomační matici složíme s maticí ovnoběžného pomítání P xy a výslednou tansfomaci použijeme na všechny postoové objekty. Středové pomítání Při tomto způsobu pomítání vycházejí všechny pomítací papsky z jednoho bodu, kteý nazýváme střed pomítání (viz ob. 9.2). Ve výsledném obazu se sice postoové úsečky zobazí opět do úseček v ovině, obecně však není zachována ovnoběžnost. Vzdálenost objektů od středu B-9 / 8

2 B. Výpočetní geometie a počítačová gafika pomítání ovlivňuje velikost jejich půmětů, a poto mají vzdálenější objekty menší půměty (viz ob. 9. vpavo). Středové neboli pespektivní pomítání vytváří obazy podobné těm, kteé vidí lidské oko v eálném světě (vzdálenější objekty jsou menší). Vztah po výpočet matice středového pomítání se středem na ose z a půmětnou v ovině xy (viz ob. 9.2). Střed pomítání [ x c, yc, zc ] leží v takovém případě nad půmětnou ve vzdálenosti d = z c a jeho souřadnice zapíšeme zjednodušeně jako [ 0,0, d]. Po daný postoový bod P o Ob. 9.2: Středové pomítání úsečky. souřadnicích [ x, y, z] hledáme souřadnice jeho půmětny P = [ x, y, z ]. Pomítací papsek učený středem pomítání a x = x tx bodem P lze zapsat v paametickém tvau (viz 9.2). y = y ty (9.2) Bod P v půmětně má souřadnici z = 0, takže po paamet t půsečíku pomítacího papsku s půmětnou z = z t( z d ) platí t = z ( z d ). Po dosazení do ovnic (9.2) učíme zbylé dvě souřadnice půmětu d d [ x y, ] = x, y = x, y. (9.3) d z d z z d z d Tuto tansfomaci je možné zapsat v maticovém vyjádření pomocí homogenních souřadnic bodů jako [ ] = [ ] x y z w x y z (9.4) d z Váha w bodu P v půmětně není tentokát ovna jedné, ale nabývá hodnoty w =. d Chaakteistickým ysem středového pomítání je to, že nezachovává ovnoběžnost úseček. Půměty úseček, ovnoběžných v 3D postou, jsou obecně mimoběžné. Výjimkou jsou postoové úsečky, ležící v ovině ovnoběžné s půmětnou. Ačkoliv může mít půmětna libovolnou polohu, z paktického hlediska se ozlišují tři případy, odpovídající oientaci půmětny vůči osám souřadnicového systému:. jednoduchá pespektiva vzniká, když půmětna potíná jednu souřadnicovou osu. To je případ na ob Všechny úsečky kolmé na půmětnu míří do jediného bodu, kteý se nazývá hlavní úběžník. 2. dvoubodová pespektiva vznikne, pokud půmětna potíná dvě ze souřadnicových os. Hany osobě oientovaných kvádů směřují do dvou hlavních úběžníků, jak ukazuje ob. 9.3 upostřed. 3. tojbodová pespektiva je nejobecnější případ, kteý vzniká, pokud půmětna pomítá všechny tři souřadnicové osy (ob. 9.3 vpavo). Potažením han osově oientovaných kvádů můžeme vysledovat tři hlavní úběžníky. Ob. 9.3: Středové pomítání jednobodové, dvoubodové a tojbodové. B-9 2 / 8

3 B. Výpočetní geometie a počítačová gafika Pohledový objem Pohledový objem je oblast postou, ohaničující ty objekty, kteá mají být podobeny pomítání. Veškeé ostatní objekty musí být před dalším zpacováním odstaněny, esp. ořezány. Ořezání pohledovým objemem je znázoněno na ob U středového pomítání je objemem komolý jehlan, u ovnoběžného kvád. Úhly při vcholu jehlanu by měly odpovídat šíři záběu lidského oka. Dvě významné stěny pohledového objemu se nazývají přední a zadní omezující ovina. Při ořezání pohledovým objemem zajišťují tyto oviny odstanění příliš blízkých objektů bánicích ve výhledu a příliš vzdálených objektů, kteé jsou z hlediska pozoovatele nezajímavé a jejichž zpacování zpomaluje poces zobazování. Na obázku 9.4 je poloha přední ořezávací oviny shodná s polohou půmětny. Ob. 9.4: Ořezání podle pohledového objemu při pomítání ovnoběžném (vlevo) a středovém (vpavo). Pohledové tansfomace Postup zobazování objektů má několik fází:. tansfomace objektu z obecné polohy do pomítací polohy podle zadaných paametů pomítací metody, 2. ořezání pohledovým objemem, 3. pomítnutí do oviny a případná změna měřítka podle velikosti zobazovacího okna. Výše uvedené koky společně nazýváme pohledové tansfomace. V pvním koku je potřeba zvolit způsob pomítání a umístění půmětny. Z hlediska uživatele je zadávání polohy půmětny např. pomocí souřadnic tří bodů v půmětně obtížné. Vhodnější je zadat tzv. stanoviště pozoovatele a vekto kolmý na půmětnu (smě pohledu). Stanoviště pozoovatele V = x, y, z. Tento bod je při nazveme [ ] v v středovém pomítání totožný se středem pomítání. Abychom učili vekto kolmý k půmět-ně, použijeme příměu s fotoapaátem. Umístění fotoapaátu je dáno bodem V. Půmětna je ovnoběžná s exponovaným filmovým políčkem. Vekto kolmý na půmětnu lze zadat buď přímo vektoem nebo pomocí dvojice úhlů nazývaných azimut a zenit (jak naznačuje ob. 9.5). Azimut učuje odchylku směu pomítání od osy y měřenou v ovině xy, zenit učuje úhel od záponé poloosy z. Azimut se udává v ozsahu 0-360, zenit nabývá hodnot od 0 po pohled dolů, přes 90 po vodoovný pohled až po 80 po pohled vzhůu. B-9 3 / 8 v Ob. 9.5: Zadání stanoviště pozoovatele V a polohy půmětny pomocí azimutu a zenitu. Světlo Teoie světla Viditelným světlem nazýváme úzké fekvenční pásmo elektomagnetického spekta v oblasti 0 4 Hz. Každá fekvence uvnitř viditelného pásma odpovídá učité bavě. Na spodní hanici je čevená a přes oanžovou, žlutou, zelenou, modou až po fialovou na honí hanici. Světelný zdoj (slunce nebo žáovka) vysílá papsky všech fekvencí v daném pásmu, kteé se tak skládají ve výsledné bílé světlo. Toto světlo se nazývá achomatické.

4 B. Výpočetní geometie a počítačová gafika idské oko eaguje nejen na bavu, ale i na další podněty: jas, případně svítivost, odpovídá intenzitě světla; čím vyšší je intenzita světla, tím se jeví zdoj jasnější sytost udává čistotu bavy světla; je tím vyšší, čím užší je fekvenční spektum světla světlost učuje velikost achomatické složky ve světle s učitou dominantní fekvencí Osvětlovací model Dopadne-li světelný papsek do bodu na povchu tělesa, po odazu se ozptýlí obecně do všech směů. Matematická funkce vyjadřující intenzitu papsku ozptýleného světla v závislosti na jeho směu a na směu, intenzitě a vlnové délce dopadajícího papsku se nazývá odazová funkce a je základem osvětlovacího modelu. Pomocí osvětlovacího Ob. 0.:Odaz papsku na povchu tělesa. modelu můžeme postihnout vlastnosti jako bava, lesklost, apod. Uvažujme situaci na ob. 0.. Světelný papsek ze zdoje dopadá do bodu P a po odazu je část ozptýleného světla zachycena pozoovatelem. Směové jednotkové vektoy, V, N leží na přímkách dopadajícího papsku, směu pohledu a nomály povchu. Baevné složení dopadajícího světla, epezentované tojsložkovým vektoem (např. v postou RGB), označíme I (light), složení odaženého světla I V (viewe). Nomálou N budeme dále nazývat jednotkový vekto kolmý v daném bodě k povchu. Povch tělesa není nikdy dokonale hladký a při velkém zvětšení je vidět, že je tvořen dobnými ploškami, jejichž velikost a tva jsou dány složením konkétního mateiálu. Individuální papsek může po dopadu opustit povch dvěma způsoby. Buď se okamžitě zcadlově odazí od někteé z plošek nebo je podoben vícenásobnému odazu a lomu. Intenzita odaženého světla odpovídá vztahu I V = I S + I D, kde I V je intenzita odaženého světla, I S je zcadlová intenzita (základní chaakteistikou je směovost) a I D je difúzní intenzita (nezáleží na směu pohledu; po vícenásobném odazu bude smě papsku náhodný; závisí na úhlu dopadu). Pouze zcadlový odaz mají čistá zcadla, pouze difúzní odaz nastává u ideálně matných mateiálů, jakými jsou např. umělé hmoty. Fyzikálně založené osvětlovací modely Modely vycházejí z dvousměné distibuční funkce, kteá popisuje odaz světla od povchu těles. Funkce je definována pomocí fyzikální veličiny nazývané zářivost označované jako ( x,ω ). Zářivost je světelná enegie opouštějící bod X ve směu ω vztažená na jednotkovou plochu a jednotkový postoový úhel. Její hodnota je vždy kladná. x,ω x,ω a vlastní zářivost Dalšími veličinami jsou ozáření i ( ), odažená zářivost ( ) ( x,ω e ). Ozáření (někdy též vstupní zářivost) i je definováno jako zářivost dopadající ze směu ω do daného bodu x. Část vstupní zářivosti je odažena a vyzářena jako odažená zářivost Pokud je těleso zářičem (zdojem světla), je dále chaakteizováno nenulovou vlastní zářivostí (Dále se předpokládá odaz světla na objektech bez vlastní zářivosti =. Dvousměná distibuční funkce je definována jako i ( ) ( x, ωi ) f x, ωi, ω = (0.) ( x, ω ) cosθ idω i Jinak řečeno, dvousměná distibuční funkce je definována jako pomě zářivosti odažené od povchu tělesa v bodě x ve směu ω a difeenciálního ozáření ze směu ω i, jež tuto odezvu vyvolalo... e B-9 4 / 8

5 B. Výpočetní geometie a počítačová gafika Důležitou vlastností dvousměové distibuční funkce je to, že její hodnota se nezmění, zaměníme-li směy dopadajícího a odaženého záření. Platí poto f ( x, ω i, ω ) = f ( x, ω, ωi ). Tento vztah se nazývá Helmholzův pincip ecipocity. Empiické osvětlovací modely Nejčastěji používané empiické vztahy po výpočet odaženého světla navhl Phong, původně pouze po monochomatické světlo. Jeho vzoce se dají stejně dobře použít po světlo baevné. Zcadlová složka je vyjádřena jako I I V R, (0.2) S = S ( ) h kde I epezentuje baevné složení dopadajícího papsku, V je jednotkový vekto pohledu (ob. 0.). Vekto R je symetický k vektou podle nomály lze jej vypočítat ze vztahu R = 2 ( N ) N. Koeficient zcadlového odazu S učuje míu zastoupení zcadlové složky v celkově odaženém světle. Tento koeficient je tojsložkovým baevným vektoem. Koeficient h je skalání a vyjadřuje ostost zcadlového odazu. Udává se v ozmezí,. Pokud je V R < 0, je pozoovatel vzhledem k zcadlu ve stejné části postou jako zdoj světla, takže nemůže odaz vidět. Tehdy přiřadíme koeficientu I S nulový vekto vyjadřující čenou bavu. Množství zcadlově odaženého světla nabývá maxima tehdy, když smě dopadu a smě pohledu svíají s povchem totožné úhly. (dokonalé zcadlo má h =. Vztah po difúzní složku má tva I = ( N D I D ), (0.3) Kde D je koeficient difúzního odazu, tojsložkový baevný vekto. Vztah má smysl pouze po N > 0, neboť v opačném případě je povch odvácen od světla a koeficient I D je nulový. Celkově odažené množství světla se z paktických důvodů obohacuje ještě o třetí složku, kteá představuje odaz blíže nespecifikovaného, ze všech směů přicházející okolního světla. Tato složka se nazývá ambientní a značí se I A. Odaz ambientního světla vyjádříme vztahem I A = I a. A, kde I a vyjadřuje množství okolního světla. Tato veličina bývá v empiických osvětlovacích modelech konstantní po celou scénu, podílí se tedy stejným způsobem na osvětlení všech povchových bodů. Baevný koeficient A vyjadřuje schopnost povchu odážet okolní světlo a bývá pakticky totožný s koeficientem D z ovnice (0.3). Sečtením složky zcadlové, difúzní a ambientní získáme vztah po celkové světlo vnímané pozoovatelem na povchu objektu I V = I S + I D + I A. (0.4) Je-li dán bod na povchu, jehož osvětlení vyšetřujeme, přičteme po něj složku I A pouze jednou na ozdíl od I S, I D, kteé se přičtou po každý světlený zdoj. Dopadají-li tedy do bodu P papsky z M světelných zdojů, bude platit M h I = I + I V R + N (0.5) V a A k = k [ S ( k ) D ( k )] Tato ovnice se nazývá Phongův osvětlovací model. Jedná se o empiicky nalezený výaz, kteý nemá přímý vztah k fyzikální podstatě šíření a odážení světla. om světla V počítačové gafice je třeba umět zobazit i tělesa, kteými světlo pochází. Ta jsou buď zcela půhledná nebo polopůhledná, půsvitná. Při půchodu světla půhledným objektem, např. sklem, dochází k lomu světla, při půchodu polopůhledným postředím je světlo ozptylováno. Dopadne-li papsek na ozhaní dvou postředí, ozdělí se na odažený a lomený. Na ob. 0.2 je, esp. T, jednotkový vekto směu dopadajícího, esp. lomeného papsku, N je nomála a esp. Θ T je úhel dopadu, esp. lomu. Θ, B-9 5 / 8

6 B. Výpočetní geometie a počítačová gafika Papsky leží spolu s nomálou povchu v jedné ovině a splňují Snellův zákon lomu sin Θ nt =, (0.6) sin Θ n T kde n, esp. n T je absolutní index lomu postředí, ve kteém se šíří dopadající, esp. lomený papsek. Šíří-li se papsek z hustšího postředí do řidšího ( n > nt ) nabývá vztah (0.6) hodnoty menší než. K totálnímu odazu (situace, kdy žádné světlo ozhaním nepojde a všechno se odazí) dochází při kitickém úhlu dopadu, po něhož platí sin Θ = n n. T Ob. 0.2:Odaz papsku na povchu tělesa. Světelné zdoje Světelný zdoj je chaakteizován tím, že pouze emituje světelné záření. Další důležitou vlastností světelných zdojů je to, že v počítačové gafice jim nepřísluší žádný geometický tva jsou tedy nehmotné a samy o sobě nezobazitelné. U někteých světelných zdojů uvažujeme apoximaci útlumu intenzity světla pocházejícího homogenním postředím. Intenzita světla I klesá se vzdáleností od zdoje světla podle vztahu I =, 2 (0.7) k + k + k 2 k2, 3 kde k, k3 jsou koeficienty po konstantní, lineání a kvadatickou závislost útlumu na vzdálenosti.. Bodový zdoj Světlo se z něj šíří ovnoměně a se stejnou intenzitou do všech směů. Toto světlo podukuje pouze osté hanice stínů a nachází své uplatnění zejména v metodě sledování papsku a ve Phongově osvětlovacím modelu. Bodový světelný zdoj je jednoznačně učen svou intenzitou a polohou. Ob. 0.3:Zleva bodový zdoj světla, zdoj ovnoběžného světla a plošný zdoj světla. 2. Zdoj ovnoběžného světla Po tento zdoj světla je chaakteistické, že papsky z něj emitované jsou ovnoběžné. Je učen světelnou hustotou na povchu plochy, esp. intenzitou světelného zdoje v nekonečnu a směem. Intenzita tohoto zdoje obyčejně neklesá se vzdáleností, ale zůstává v celém postou konstantní. Příkladem ovnoběžného světla je sluneční záření dopadající na Zemi. Vzhledem ke vzdálenosti Země od Slunce můžeme dopadající papsky považovat za ovnoběžné. B-9 6 / 8

7 B. Výpočetní geometie a počítačová gafika 3. Plošný zdoj Tento typ světelného zdoje se nejvíce podobá eálným zdojům, jakými je např. zářivka či okno, kteým poudí světlo do místnosti. Je definován jako oientovaný polygon chaakteizovaný vlastní zářivostí e. Plošné zdoje se používají především v metodě adiozity a jejich zpacování je spojeno s vysokými výpočetními náoky. 4. Reflekto Reflekto je směově závislý zdoj světla, kteý je učen polohou a oientací, tj. směem, kteým září. Jeho světelná intenzita je maximální ve směu, kteým září, a kolmo k tomuto směu klesá exponenciálně. Geometicky lze chápat takovýto světelný zdoj jako kužel, v jehož vcholu je směový bodový světelný zdoj. Ob. 0.4:Jednoduchý eflekto (vlevo) a eflekto s jasným středovým svazkem (vpavo). Reflekto se středovým svazkem jsou v podstatě dva kužely se stejným vcholem. Vnitřní kužel o menším poloměu představuje svazek jasného světla, jehož intenzita klesá pouze se vzdáleností od vcholu, nikoliv se vzdáleností od osy kuželu. Vnější kužel učuje hanici, za kteou světlo z eflektou vůbec nedopadá. V oblasti mezi vnitřním a vnějším kuželem je světlo tlumeno s ohledem na vzdálenost od osy. 5. Tabulka Tímto způsobem lze definovat směový bodový zdoj. Zápis pomocí tabulky učuje množství světla v závislosti na úhlu a vzdálenosti od světelného zdoje. Světelný zdoj je tedy zadán polohou a oientací. 6. Obloha Nejkomplikovanější světelný zdoj používaný v počítačové gafice. Obloha je popsána jako zdoj ovnoběžného světla ve tvau polokoule s nekonečným poloměem. ibovolný bod oblohy září tedy jako zdoj ovnoběžného světla. Zářivost bodu P na zcela pokyté obloze (funkce zataženo ) se vypočítá podle vztahu + 2cos Θ ( Θ) = z, (0.8) 3 kde z je zářivost nejvyššího bodu oblohy (zenitu) a Θ je úhel mezi Ob. 0.5:geometie používaná při výpočtu zářivosti bodu na obloze. B-9 7 / 8

8 B. Výpočetní geometie a počítačová gafika hoizontem a bodem P. Je vidět, že intenzita je stejná na všech místech se stejnou úhlovou souřadnicí Θ, je tedy konstantní v kuzích ovnoběžných s obzoem. Bod P o souřadnicích [ Θ,γ ] na čisté obloze se sluncem (funkce jasno ) se vypočítá podle složitého vztahu 3γ 2 0,32sec Θ ( ) ( 0,9 + 0e + 0,45cos γ )( e ) Θ, γ = z, 3α 2 (0.9) 0,274( 0,9 + 0e + 0,45cos z0 ) V tomto vztahu je z zářivost zenitu, γ je úhel mezi sluncem a vyšetřovaným bodem P, Θ je úhel mezi zenitem a bodem P, z 0 je úhel mezi zenitem a sluncem a α je úhel γ pomítnutý do oviny hoizontu. Úhel γ může být vypočítán ze z 0, Θ a α podle γ = accos( cos z 0 cos Θ + sin z0 sin Θsinα ). (0.0) Stínování Pomocí stínování lze odlišit případné křivosti a zaoblení ploch, a docílit tak přiozeného vzhledu postoových objektů přesto. Někteé duhy stínování dokonce umožňují opticky vyhladit povchy, kteé jsou modelovány sítí ovinných plošek, takže přestanou být znatelné dobné haniční zlomy. Konstantní stínování Tato metoda je velmi ychlá a jednoduchá. Používá se po zobazování ovinných ploch nebo obecných ploch apoximovaných ovinnými záplatami. Předpokládá, že každá plocha má jen jedinou nomálu. Není-li nomála implicitně obsažena v datech postoového modelu, lze ji u konvexních ovinných plošek učit jako výsledek znomovaného vektoového součinu dvou sousedních han (oientovaných poti smyslu pohybu hodinových učiček). Podle nomály je vypočítán jeden baevný odstín, kteý je po asteizaci plochy přiřazen všem jejím pixelům. Konstantní stínování je používáno tam, kde je třeba docílit vysoké ychlosti zobazení. Z tohoto důvodu se často při vyhodnocení osvětlovacího modelu vynechává složka zcadlového odazu. Po kesby mnohostěnu je tento způsob stínování postačující a úspěšně znázoňuje umístění a natočení těles v postou. U obecnějších těles je konstantní odstín plošek negativním jevem, potože místo zkvalitnění obázku zdůazňuje, že oblý povch je ve skutečnosti jen apoximován skupinou plošek. Gouaudovo stínování Je vhodná po stínování těles, jejichž povch je tvořen množinou ovinných plošek. Po činnost algoitmu je důležitá znalost bavy všech vcholů zpacovávané plochy. K ozhodnutí, kteé nomály ploch zařadíme do výpočtu, nám pomůže znalost typů han obsažená v modelu tělesa. Haniční epezentace by měla u každé hany udžovat infomaci o tom, zda je hana ostá (tedy skutečná) nebo pouze pomocná (tedy spojující dvě záplaty). Při výpočtu nomály pomocí součtu vektoů budeme zpacovávat jen ty plochy, kteé jsou spolu spojeny pomocnými hanami. Bavu v podobě tojsložkového vektou (, g, b) můžeme intepolovat po jednotlivých složkách. Phongovo stínování Tato metoda je učena k plynulému stínování těles, jejichž povch je tvořen množinou ovinných ploch. Metoda vychází ze znalosti nomálových vektoů ve vcholech stínované plochy. Z nich však nejsou pouze vypočítány baevné odstíny ve vcholech, ale jsou použity k učení nomálových vektoů ve vnitřních bodech plochy bilineání intepolací. Phongovo stínování je tedy založeno na intepolaci nomálových vektoů. Metoda má velké časové náoky neboť osvětlovací model je vyhodnocován v každém bodě plochy. B-9 8 / 8

5.3.4 Využití interference na tenkých vrstvách v praxi

5.3.4 Využití interference na tenkých vrstvách v praxi 5.3.4 Využití intefeence na tenkých vstvách v paxi Předpoklady: 5303 1. kontola vyboušení bousíme čočku, potřebujeme vyzkoušet zda je spávně vyboušená (má spávný tva) máme vyobený velice přesný odlitek

Více

Hlavní body. Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon. Konzervativní pole. Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby

Hlavní body. Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon. Konzervativní pole. Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby Úvod do gavitace Hlavní body Kepleovy zákony Newtonův gavitační zákon Gavitační pole v blízkosti Země Planetání pohyby Konzevativní pole Potenciál a potenciální enegie Vztah intenzity a potenciálu Úvod

Více

ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE

ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE 1 ELEKTRICKÝ NÁBOJ Elektický náboj základní vlastnost někteých elementáních částic (pvní elektické jevy pozoovány již ve staověku janta (řecky

Více

Planimetrie. Přímka a její části

Planimetrie. Přímka a její části Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma

Více

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce Gavitační pole Newtonův gavitační zákon Gavitační a tíhové zychlení při povchu Země Pohyby těles Gavitační pole Slunce Úvod V okolí Země existuje gavitační pole. Země působí na každé těleso ve svém okolí

Více

Přímková a rovinná soustava sil

Přímková a rovinná soustava sil STAVEBNÍ STATIKA Ing. Lenka Lausová LH 47/1 tel. 59 73 136 římková a ovinná soustava sil lenka.lausova@vsb.c http://fast1.vsb.c/lausova Základní pojmy: Jednotková kužnice 1) Souřadný systém 1 sin potilehlá

Více

Seminární práce z fyziky

Seminární práce z fyziky Seminání páce z fyziky školní ok 005/006 Jakub Dundálek 3.A Jiáskovo gymnázium v Náchodě Přeměny mechanické enegie Přeměna mechanické enegie na ovnoamenné houpačce Název: Přeměna mechanické enegie na ovnoamenné

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS LKTŘINA A MAGNTIZMUS II. Coulombův zákon Obsah COULOMBŮV ZÁKON.1 LKTRICKÝ NÁBOJ. COULOMBŮV ZÁKON.3 PRINCIP SUPRPOZIC 4.4 LKTRICKÉ POL 5.5 SILOKŘIVKY LKTRICKÉHO POL 6.6 SÍLA PŮSOBÍCÍ NA NABITOU ČÁSTICI

Více

Analýza a klasifikace dat

Analýza a klasifikace dat Analýza a klasifikace dat Jiří Holčík Březen 0 Přípava a vydání této publikace byly podpoovány pojektem ESF č. CZ..07/..00/07.038 Víceoboová inovace studia Matematické biologie a státním ozpočtem České

Více

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát Michal Veselý, 00 Základní části fotografického aparátu tedy jsou: tělo přístroje objektiv Pochopení funkce běžných objektivů usnadní zjednodušená představa, že objektiv jako celek se chová stejně jako

Více

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Může kulová nádoba naplněná vodou sloužit jako optická čočka? Exponát demonstruje zaostření světla procházejícího skrz vodní kulovou čočku. Pohyblivý světelný

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

5.3.1 Disperze světla, barvy

5.3.1 Disperze světla, barvy 5.3.1 Disperze světla, barvy Předpoklady: 5103 Svítíme paprskem bílého světla ze žárovky na skleněný hranol. Světlo se láme podle zákona lomu na zdi vznikne osvětlená stopa Stopa vznikla, ale není bílá,

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS IX. Zdoje magnetických polí Obsah 9 ZDROJE MAGNETICKÝCH POLÍ 9.1 IOTŮV-SAVARTŮV ZÁKON 9.1.1 MAGNETICKÉ POLE POHYUJÍCÍHO SE ODOVÉHO NÁOJE 8 9. SÍLY MEZI DVĚMA PARALELNÍMI VODIČI

Více

Světlo, které vnímáme, představuje viditelnou část elektromagnetického spektra. V

Světlo, které vnímáme, představuje viditelnou část elektromagnetického spektra. V Kapitola 2 Barvy, barvy, barvičky 2.1 Vnímání barev Světlo, které vnímáme, představuje viditelnou část elektromagnetického spektra. V něm se vyskytují všechny známé druhy záření, např. gama záření či infračervené

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu Otázky z optiky Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu ) o je světlo z fyzikálního hlediska? Jaké vlnové délky přísluší viditelnému záření? - elektromagnetické záření (viditelné záření) o vlnové délce

Více

Rozklad přírodních surovin minerálními kyselinami

Rozklad přírodních surovin minerálními kyselinami Laboatoř anoganické technologie Rozklad příodních suovin mineálními kyselinami Rozpouštění příodních mateiálů v důsledku pobíhající chemické eakce patří mezi základní technologické opeace řady půmyslových

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Název: Odraz a lom světla

Název: Odraz a lom světla Název: Odraz a lom světla Autor: Mgr. Petr Majer Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Fyzika (Matematika, Informatika) Tematický celek: Optika Ročník:

Více

Maxima Open Source Software ve výuce matematiky a fyziky - 2

Maxima Open Source Software ve výuce matematiky a fyziky - 2 Uvedené pogamy kolegy velmi zaujaly. Všichni by je ádi ve výuce alespoň občas používali, ale poblém pávem viděli ve finanční náočnosti licencování uvedeného softwae jak po školu, tak po žáky (pokud by

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

EU PENÍZE ŠKOLÁM NÁZEV PROJEKTU : MÁME RÁDI TECHNIKU REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU :CZ.1.07/1.4.00/21.0663

EU PENÍZE ŠKOLÁM NÁZEV PROJEKTU : MÁME RÁDI TECHNIKU REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU :CZ.1.07/1.4.00/21.0663 EU PENÍZE ŠKOLÁM NÁZEV PROJEKTU : MÁME RÁDI TECHNIKU REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU :CZ.1.07/1.4.00/21.0663 Speciální základní škola a Praktická škola Trmice Fűgnerova 22 400 04 1 Identifikátor materiálu:

Více

VOLBA BAREVNÝCH SEPARACÍ

VOLBA BAREVNÝCH SEPARACÍ VOLBA BAREVNÝCH SEPARACÍ SOURAL Ivo Fakulta chemická, Ústav fyzikální a spotřební chemie Vysoké učení technické v Brně, Purkyňova 118, 612 00 Brno E-mail : Pavouk.P@centrum.cz K tomu aby byly pochopitelné

Více

Značení krystalografických rovin a směrů

Značení krystalografických rovin a směrů Značení krystalografických rovin a směrů (studijní text k předmětu SLO/ZNM1) Připravila: Hana Šebestová 1 Potřeba označování krystalografických rovin a směrů vyplývá z anizotropie (směrové závislosti)

Více

VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH

VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH J. Tesař, P. Batoš Jihočesá univezita, Pedagogicá faulta, Kateda fyziy, Jeonýmova 0, 37 5 Česé Budějovice Abstat V příspěvu

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ELEKTROMAGNETISMUS. učební text. Lubomír Ivánek

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ELEKTROMAGNETISMUS. učební text. Lubomír Ivánek Vysoká škola báňská Technická univezita Ostava ELEKTOMAGNETISMUS učební text Lubomí Ivánek Ostava 7 ecenze: Ing. Pet Oság,CSc. Název: Elektomagnetismus učební text Auto: Lubomí Ivánek Vydání: pvní, 7 Počet

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

M I K R O S K O P I E

M I K R O S K O P I E Inovace předmětu KBB/MIK SVĚTELNÁ A ELEKTRONOVÁ M I K R O S K O P I E Rozvoj a internacionalizace chemických a biologických studijních programů na Univerzitě Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0066

Více

Stacionární magnetické pole

Stacionární magnetické pole Stacionání magnetické poe Vzájemné siové působení vodičů s poudem a pemanentních magnetů Magnetické jevy - známy od středověku, přesnější poznatky 19. stoetí. Stacionání magnetické poe: zdojem je nepohybující

Více

Petr Beremlijski, Marie Sadowská

Petr Beremlijski, Marie Sadowská Počítačová cvičení Pet Beemlijski, Maie Sadowská Kateda aplikované matematik Fakulta elektotechnik a infomatik VŠB - Technická univezita Ostava Cvičení 1 - Matlab - nástoj po matematické modelování Abchom

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Petr Kulhánek, Milan Červenka

Petr Kulhánek, Milan Červenka A S T R O F Y Z I K A V P Ř Í K L A D E C H Pet Kulhánek, Milan Čevenka Paha 01 FEL ČVUT OBSAH I. ZÁKLADNÍ VZTAHY 3 1. Pasek 3. Poxima Centaui 4 3. Magnituda 4 4. Pogsonova ovnice 5 5. Absolutní magnituda

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

13 Barvy a úpravy rastrového

13 Barvy a úpravy rastrového 13 Barvy a úpravy rastrového Studijní cíl Tento blok je věnován základním metodám pro úpravu rastrového obrazu, jako je např. otočení, horizontální a vertikální překlopení. Dále budo vysvětleny různé metody

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

ZAKLADNÍ VLASTNOSTI SVĚTLA aneb O základních principech. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk

ZAKLADNÍ VLASTNOSTI SVĚTLA aneb O základních principech. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk ZAKLADNÍ VLASTNOSTI SVĚTLA aneb O základních principech PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk Elektromagnetické vlnění s vlnovými délkami λ = (380 nm - 780 nm) - způsobuje v oku fyziologický vjem, jenž

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS kontrolní otázky a odpovědi

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS kontrolní otázky a odpovědi ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS kontrolní otázky a odpovědi Peter Dourmashkin MIT 006, překlad: Vladimír Scholtz (007) Obsah KONTOLNÍ OTÁZKY A ODPOVĚDI OTÁZKA 1: VEKTOOVÉ POLE OTÁZKA : OPAČNÉ NÁBOJE OTÁZKA 3:

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Podle mateiálu ESO přeložil Rostislav Halaš Úkol: Změřit vzdálenost Země Slunce (tzv. astronomickou jednotku AU) pozorováním přechodu

Více

Gravitace. Kapitola 8. 8.1 Gravitační zákon. 8.1.1 Isaac Newton a objev gravitačního zákona

Gravitace. Kapitola 8. 8.1 Gravitační zákon. 8.1.1 Isaac Newton a objev gravitačního zákona Kapitola 8 Gavitace 8.1 Gavitační zákon 8.1.1 Isaac Newton a objev gavitačního zákona Keple objevil své evoluční zákony o pohybu planet v oce 1609 a 1619. Dlouho však byly jeho výsledky přijímány s nedůvěou.

Více

Úvod do počítačové grafiky

Úvod do počítačové grafiky Úvod do počítačové grafiky elmag. záření s určitou vlnovou délkou dopadající na sítnici našeho oka vnímáme jako barvu v rámci viditelné části spektra je člověk schopen rozlišit přibližně 10 milionů barev

Více

1.1 Oslunění vnitřního prostoru

1.1 Oslunění vnitřního prostoru 1.1 Oslunění vnitřního prostoru Úloha 1.1.1 Zadání V rodném městě X slavného fyzika Y má být zřízeno muzeum, připomínající jeho dílo. Na určeném místě v galerii bude umístěna deska s jeho obrazem. V den

Více

VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ

VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ P. Novák, J. Novák Katedra fyziky, Fakulta stavební, České vysoké učení technické v Praze Abstrakt V práci je popsán výukový software pro

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Geodetická astronomie 3/6 Aplikace keplerovského pohybu

Více

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech.

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech. 3 Grafické zpracování dat Grafické znázorňování je velmi účinný způsob, jak prezentovat statistické údaje. Grafy nejsou tak přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

ZOBRAZOVÁNÍ ROVINNÝM ZRCADLEM

ZOBRAZOVÁNÍ ROVINNÝM ZRCADLEM ZOBRAZOVÁNÍ ROVINNÝM ZRCADLEM Pozorně se podívejte na obrázky. Kterou rukou si nevěsta maluje rty? Na které straně cesty je automobil ve zpětném zrcátku? Zrcadla jsou vyleštěné, zpravidla kovové plochy

Více

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Shrnutí: Náboj a síla = Coulombova síla: - Síla jíž na sebe náboje Q působí je stejná - Pozn.: hledám-li velikost, tak jen dosadím,

Více

Tomáš Hanzák, Marek Mikoška MFF UK obor Pravděpodobnost, matematická statistika a ekonometrie. Optimalizace II s aplikací ve financích (EKN004)

Tomáš Hanzák, Marek Mikoška MFF UK obor Pravděpodobnost, matematická statistika a ekonometrie. Optimalizace II s aplikací ve financích (EKN004) omáš Hanzák, Maek Mikoška MFF UK obo Pavděpodobnost, matematická statistika a ekonometie Optimalizace II s aplikací ve financích (EKN4) LS 5 / 6 Zápočtová úloha Makowitzův model Obsah Zadání úlohy Makowitzův

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Výkonový poměr. Obsah. Faktor kvality FV systému

Výkonový poměr. Obsah. Faktor kvality FV systému Výkonový poměr Faktor kvality FV systému Obsah Výkonový poměr (Performance Ratio) je jedna z nejdůležitějších veličin pro hodnocení účinnosti FV systému. Konkrétně výkonový poměr představuje poměr skutečného

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

Základní jednotky v astronomii

Základní jednotky v astronomii v01.00 Základní jednotky v astronomii Ing. Neliba Vlastimil AK Kladno 2005 Délka - l Slouží pro určení vzdáleností ve vesmíru Základní jednotkou je metr metr je definován jako délka, jež urazí světlo ve

Více

6A Paralelní rezonanční obvod

6A Paralelní rezonanční obvod 6A Paalelní ezonanční obvod Cíl úlohy Paktickým měřením ověřit základní paamety eálného paalelního ezonančního obvodu (PRO) - činitel jakosti Q, ezonanční kmitočet f a šířku pásma B. Vyšetřit selektivní

Více

A5M13VSO MĚŘENÍ INTENZITY A SPEKTRA SLUNEČNÍHO ZÁŘENÍ

A5M13VSO MĚŘENÍ INTENZITY A SPEKTRA SLUNEČNÍHO ZÁŘENÍ MĚŘENÍ INTENZITY A SPEKTRA SLUNEČNÍHO ZÁŘENÍ Zadání: 1) Pomocí pyranometru SG420, Light metru LX-1102 a měřiče intenzity záření Mini-KLA změřte intenzitu záření a homogenitu rozložení záření na povrchu

Více

Jednoduchý elektrický obvod

Jednoduchý elektrický obvod 21 25. 05. 22 01. 06. 23 22. 06. 24 04. 06. 25 28. 02. 26 02. 03. 27 13. 03. 28 16. 03. VI. A Jednoduchý elektrický obvod Jednoduchý elektrický obvod Prezentace zaměřená na jednoduchý elektrický obvod

Více

Optika pro studijní obory

Optika pro studijní obory Variace 1 Optika pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Světlo a jeho šíření Optika

Více

Fyzika aplikovaná v geodézii

Fyzika aplikovaná v geodézii Průmyslová střední škola Letohrad Vladimír Stránský Fyzika aplikovaná v geodézii 1 2014 Tento projekt je realizovaný v rámci OP VK a je financovaný ze Strukturálních fondů EU (ESF) a ze státního rozpočtu

Více

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptlkách PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk Optická soustava - je soustava optických prostředí a jejich rozhraní, která mění směr chodu světelných

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Barvy v počítačové grafice

Barvy v počítačové grafice arvy v počítačové grafice 2. přednáška předmětu Zpracování obrazů Martina Mudrová 2004 arvy v počítačové grafice Co je barva? světlo = elmg. vlnění v rozsahu 4,3.10 14-7,5.10 14 Hz rentgenové zář ení zář

Více

Paprsková optika. Zobrazení zrcadly a čočkami. Rovinné zrcadlo. periskop 13.11.2014. zobrazování optickými soustavami.

Paprsková optika. Zobrazení zrcadly a čočkami. Rovinné zrcadlo. periskop 13.11.2014. zobrazování optickými soustavami. Paprsková optika Zobrazení zrcadl a čočkami zobrazování optickými soustavami tvořené zrcadl a čočkami obecné označení: objekt, který zobrazujeme, nazýváme předmět cílem je nalézt jeho obraz vzdálenost

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více