Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve
|
|
- David Brož
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Faktorizace čísel pomocí řetězových zlomků Tento text se zabývá algoritmem CFRAC (continued fractions algorithm) pro rozkládání velkých čísel (typicky součinů dvou velkých prvočísel). Nebudeme se zde zabývat základy teorie řetězových zlomků, při důkazech se bude předpokládat, že je s ní již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve většině textů hrubě zanedbávána a autoři si obvykle vystačí s větou: Předpokládejme, že máme posloupnost řetězových zlomků... Algoritmus CFRAC je historicky prvním algoritmem, který využívá tzv. Newtonův faktorizační algoritmus. Při něm se rozkládá velké číslo N tím, že se hledají dvojice čísel x i, y i splňující x i y 2 i (mod N). Až se nalezne dostatečné množství takovýchto dvojic, vybere pouze podmnožina I indexů taková, aby součin vybraných x i byl čtverec (neboli i I x i = x 2 pro nějaké x). Označíme-li y= i I y i, dostaneme vztah a z tohoto vztahu vyplývá x 2 y 2 (mod N) (x y)(x+y) 0 (mod N). Pokud byly hodnoty x i a y i a množina I vybrány opravdu náhodně, máme pravděpodobnost asi 50 %, že x y a N mají společného vlastního dělitele. Tímto se nalezne jeden dělitel čísla N, což obvykle stačí, nebot v praxi se nejčastěji potřebuje rozkládat součin dvou prvočísel. Řetězové zlomky V algoritmem CFRAC se dvojice kongruentních čísel konstruují tak, že se počítá rozvoj čísla N do řetězového zlomku, neboli do tvaru 1 N= a a a 2 + a 3 + Číslo N pochopitelně nesmí být perfekní čtverec, ale v takovém případě bychom už měli rozklad N přímo. Označme p n q n = [a 0, a 1,..., a n ] a N= [a 0,...,a n 1,α n ]. Koeficienty a n lze určitě spočítat pomocíα n = (α n 1 a n 1 ) 1 a a n = [α n ], ale tento postup vyžaduje použití reálných čísel, čemuž bychom se chtěli vyhnout. Proto je lepším postupem použití následujících posloupností: 1
2 Tvrzení: Bud te P n a Q n posloupnosti celých čísel definované induktivně: P 0 = 0, Q 0 = 1 a Pak platí P n+1 = a n Q n P n, Q n+1 = N P2 n+1 Q n. α n = P n+ N a a n = P n+ [ N]. Q n Q n DŮKAZ: Výše uvedené vztahy platí pro n=0, předpokládejme nyní, že platí až do nějakého n 0. Máme Q n+1 P n+1 + N = Q n+1( N Pn+1 ) N an Q n + P n = N P 2 Q n+1 n N+ Pn = a nq n =α n a n = 1 Q n Q n α n 1 Ještě potřebujeme, že čísla P n a Q n jsou celá. Platí N P 2 n+1 = N (a nq n P n ) 2 = = N P 2 n a2 n Q2 n + 2a nq n P n = Q n (Q n 1 a 2 n Q n+ 2a n P n ) a celočíselnost se snadno dokáže indukcí. Vzorec pro a n plyne z a n = [α n ] a faktu, že P n a Q n jsou celá čísla. Čísla Q n ve dvojici s p n 1 tvoří hledané dvojice pro Newtonovu faktorizaci: Tvrzení: Pro každé n platí p 2 n 1 Nq2 n 1 = ( 1)n Q n. DŮKAZ: Číslo N se dá, pro každé n, rozepsat jako N= α n p n 1 + p n 2 α n q n 1 + q n 2. Po dosazení zaα n dostaneme N ( (Pn + N)q n 1 + Q n q n 2 ) = (Pn + N)p n 1 + Q n p n 2, což po úpravě dává Nq n 1 + (P n q n 1 + Q n q n 2 ) N= P n p n 1 + Q n p n 2 + p n 1 N. Tato rovnost je vq( N) splněna právě když platí p n 1 = P n q n 1 + Q n q n 2 a Nq n 1 = P n p n 1 + Q n p n 2. Po vynásobení prvního řádku p n 1 a druhého q n 1 a jejich odečtení dostaneme p 2 n 1 Nq2 n 1 = P np n 1 q n 1 + Q n p n 1 q n 2 P n p n 1 q n 1 Q n p n 2 q n 2 = (p n 1 q n 2 p n 2 q n 1 )Q n = ( 1) n Q n, což se mělo dokázat. 2
3 Počítání posloupností Pro faktorizaci algoritmem CFRAC využijeme vztah ( 1) n Q n p 2 n 1 (mod N). Čísla p n rostou poměrně rychle, nicméně my nepotřebujeme znát jejich přesnou hodnotu, nám ji stačí znát modulo N. Takže můžeme počítat p n+1 a n+1 p n + p n 1 (mod N). Dále potřebujeme spočítat čísla P n, Q n a a n. Vzorce, které jsme uvedli vyžadují provést dvojí dělení, a to při výpočtu a n+1 a při výpočtu Q n+1. Nicméně v obou případech se dělí číslem Q n, čehož se dá při výpočtu využít. Označíme g=[ N] a přepíšeme vzorec pro výpočet a n ve formě dělení se zbytkem Pomocí r n se dá P n vyjádřit jednodušeji: A zjednoduší se i výpočet Q n : P n + g=a n Q n + r n, 0 r n < Q n. P n+1 = a n Q n P n = a n Q n (a n Q n + r n g)=g r n. Lemma: Pro všechna n>1 platí Q n+1 = Q n 1 + a n (r n r n 1 ). DŮKAZ: Máme N P 2 n+1 = N (a nq n P n ) 2 = N P 2 n a2 n Q2 n + 2a nq n P n z čehož už plyne tvrzení věty. = Q n (Q n 1 a 2 nq n + 2a n P n ) = Q n (Q n 1 + a n (P n + P n a n Q n ))= Q n (Q n 1 + a n (P n P n+1 )) = Q n (Q n 1 + a n (g r n 1 g+r n )=Q n (Q n 1 + a n (r n r n 1 )) Nyní shrneme celý výpočet posloupností do stručného algoritmu. V praxi se často číslo N násobí malým koeficientem k, aby mělo výhodnější vlastnosti (viz níže). Proto se do řetězového zlomku rozvádí kn místo N. Potřebujeme spočítat následující posloupnosti: p n, Q n, P n, a n a r n. Avšak místo P n je vhodnější pamatovat si číslo P n + g. Algoritmus: (i) Určíme malý koeficient k. (ii) Položíme Q 0 1, p 1 1, r 0 0 a g [ kn]. (iii) Položíme Q 1 kn g 2, (P 0 + g) g, a 0 g, p 0 g a (P 1 + g) 2g. (iv) Položíme n 1 (v) Dělením se zbytkem spočteme a n a r n jako (P n + g)=a n Q n + r n. (vi) Spočteme p n (a n p n 1 + p n 2 ) mod N. (vii) Spočteme (P n+1 + g) 2g r n. (viii) Spočteme Q n+1 Q n 1 + a n (r n r n 1 ). (ix) Zvýšíme n o jednu a vrátíme se k bodu (v). 3
4 Pro výpočty je důležité vědět, jak velkých hodnot dosahují jednotlivé proměnné. Je jasné, že p k je menší než N (je počítáno modulo N). Pro ostatní proměnné platí Lemma: Všechny hodnoty P n + g, Q n, a n a r n jsou nezáporné a menší než 2 kn. DŮKAZ: Číslo r n je podle definice nezáporné, takže z bodu (vii) je vidět P n + g 2g. Dále pokračujeme indukcí. Předpokládejme, že všechny vztahy platí pro P n +g a Q n 1. Protože a n je kladné, je i Q n kladné číslo. Dále z bodu (v) vyplývá a n 2g a Q n 2g. Z definice máme r n < Q n. Takže okamžitě dostaneme P n+1 + g>0. Ve skutečnosti platí dokonce P n 0, ale důkaz tohoto faktu by byl složitější. V algoritmu se provádí dvojí dělení v krocích (v) a (vi). V mnoha případech se ale nevyplatí dělit, protože číslo a k je v drtivé většině hodně malé, velice často je dokonce rovno 1. Pak lze dělení nahradit odčítáním. Příklad: Spočtěme posloupnosti pro N = 187 a k = 3. n P n + g Q n a n r n p n 1 Q n rozloženo Skombinováním 1. a 3. řádku dostaneme (mod 187) a číslo =121 má netriviálního společného dělitele se 187, a to 11. Hledání závislostí Hledáme takové součiny čísel ( 1) n Q n, které dají čtverec. To znamená, že mocniny v prvočíselném rozkladu ( 1 považujeme také za prvočíslo) takovéhoto čísla jsou všechny sudé. Když provedeme rozklad každého z čísel ( 1) n Q n na prvočinitele a exponenty zapíšeme modulo 2 do matice, jejíž řádky odpovídají n a sloupce prvočíslům, úloha se převede na úlohu najít mezi řádky matice netriviální kombinaci modulo 2. V praxi nerozkládáme všechna čísla Q n, dáváme si mez, jaká maximální prvočísla povolíme v rozkladu čísel Q n. Prvočíslům menším než tato mez se říká faktorizační báze. Vyplatí se začínat s menší faktorizační bází a případně tuto bázi rozšiřovat, pokud se nepodaří N rozložit pomocí malé faktorizační báze. Když nasbíráme přibližně tolik rozložených čísel, jaká je délka faktorizační báze, můžeme hledat závislosti. Sepíšeme vedle sebe matici exponentů a jednotkovou matici 4
5 a provedeme Gaussovu eliminaci na řádky v našem příkladě bychom měli což se Gaussovou eliminací převede na přičemž řádky označené se vynulovaly a matice napravo ukazuje, kombinací jakých řádků tu nulu dostaneme. Čtvrtý řádek odpovídá již zmíněné kongruenci (mod 187), další řádky kongruencím (mod 187), (mod 187) a 4 2 ( 4) 2 (mod 187). Matice, které dostaneme mají velice malou hodnost, protože čísla, která se dostanou jako Q n se často opakují. Takže pokud nenalezneme vhodnou závislost při dvojnásobném počtu řádků oproti sloupcům, obvykle se vyplatí spíše rozšířit faktorizační bázi, než pokračovat s tou stávající. Někdy se stane, že pro sudé n je Q n čtverec. Pak máme vztah Q n 2 A n 1 (mod N) a můžeme rovnou vyzkoušet rozklad. V našem příkladě toto nastane pro n= 4, 6, 8. Čtvrtý a osmý řádek nám nic nedají, ale v šestém dostaneme (mod 187) a rozdíl 77 má se 187 netriviálního společného dělitele. Ještě je vhodné poznamenat, že je rychlejší provádět Gaussovu eliminaci zprava doleva, protože sloupce odpovídající vyšším prvočíslům jsou méně zaplněny jedničkami. Malý koeficient Chtěli bychom volit faktorizační bázi tak, aby se co nejvíce čísel Q n rozložilo. Bohužel některá prvočísla nemohou v žádném případě Q n dělit. Je dobré je předem odhalit a bud to zařídit, aby Q n mohla být těmito prvočísly dělena, anebo tato prvočísla vyřadit z faktorizační báze. 5
6 Tvrzení: Pokud nějaké liché prvočíslo p dělí nějaké číslo Q n, pak je Legendrův symbol (kn/p) roven 0 nebo 1. DŮKAZ: Předpokládejme, že p dělí Q n pro nějaké n 1. Pak platí p 2 n 1 knq2 n 1 0 (mod p). Čísla p 2 n 1 a q2 n 1 jsou nesoudělná, takže p nemůže dělit q2 n 1. Takže máme (p n 1 /q n 1 ) 2 kn (mod p) a kn je kvadratické reziduum modulo p. Tvrzení: Necht 2 nedělí kn. Pokud je nějaké Q n dělitelné 4, respektive 8, pak je kn 1 (mod 4) respektive (mod 8). DŮKAZ: Necht j=4 nebo j=8. Pak j dělí Q n se dá zapsat jako p 2 n 1 knq n 1 0 (mod j). Čísla p n 1 a q n 1 jsou nesoudělná, takže žádné z nich nemůže být dělitelné 2. Tím dostaneme p 2 n 1 q2 n 1 1 (mod j) a nutně kn 1 (mod j). Při faktorizaci relativně menšího N můžeme položit k=n mod 4 popřípadě k= N mod 8, čímž zajistíme, že čísla Q n budou moci být dělitelná 4 popřípadě 8, což je výhodné, nebot na počítači se dvojkou dělí velice snadno. Při faktorizaci větších čísel můžeme vyzkoušet vícero multiplikátorůk spočítat Legendrovy symboly pro kn a nakonec si vybrat to k, pro které do faktorizační báze padne co nejvíce nejmenších prvočísel. Musíme mít ale na paměti, že čím je větší k, tím je větší i kn i kn a tím bude výpočet složitější. Když určíme hodnotu k, vybíráme faktorizační bázi; do této báze vybíráme pouze ta prvočísla, která mají správný Legendrův symbol. Nesmíme zapomenout na dělitele čísla k už jsme viděli, že se vyskytují v rozkladu Q n. Velikost faktorizační báze se obvykle volí takto: Číslic v N FB 20 log 2 (N) 21, 22, , , 27, , , , , , , Literatura [1] H. COHEN: A Course in Computational Algebraic Number Theory, Springer, (1993) [2] A. DRÁPAL: Teorie čísel, text k přednášce [3] M. A. MORRISON, J. BRILLHART: A Method of Fatoring and the Factorization of F 7, Math. Comp., vol. 29, no. 129, (1975),
Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dělitelnost Rozklad na součin prvočísel. Dušan Astaloš
METODICKÝ LIST DA10 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost Rozklad na součin prvočísel Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti:
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz:
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
VíceDiskrétní matematika 1. týden
Diskrétní matematika 1. týden Elementární teorie čísel dělitelnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Problémy teorie čísel 2 Dělitelnost 3 Společní dělitelé
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
VíceMoravské gymnázium Brno s.r.o.
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 2
Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceKritéria dělitelnosti Divisibility Criterions
VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky Kritéria dělitelnosti Divisibility Criterions 2014 Veronika Balcárková Ráda bych na tomto místě poděkovala
VíceCyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)
C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VícePrvočísla a čísla složená
Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Nejmenším a jediným sudým je prvočíslo 2. Další prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
VíceJak funguje asymetrické šifrování?
Jak funguje asymetrické šifrování? Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Petr Vodstrčil
VíceKód trezoru 1 je liché číslo.
1 Kód trezoru 1 je liché číslo. Kód trezoru 1 není prvočíslo. Každá číslice kódu trezoru 1 je prvočíslo. Ciferný součet kódu trezoru 1 je 12. Druhá cifra kódu trezoru 1 je sudá, ostatní jsou liché. Jeden
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
VíceBCH kódy. Alena Gollová, TIK BCH kódy 1/27
7. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK 1/27 Obsah 1 Binární Alena Gollová, TIK 2/27 Binární jsou cyklické kódy zadané svými generujícími kořeny. Díky šikovné volbě kořenů opravuje kód
VíceZáklady elementární teorie čísel
Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: A7B01MCS 3. října 2011: Základy elementární teorie čísel 1/15 Dělení se zbytkem v oboru celých čísel Ať a, b jsou libovolná celá čísla, b 0. Pak existují
Více[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Argumentace a ověřování Gradovaný řetězec úloh Autor: Stanislav Trávníček Úloha 1 (úroveň 1)
VícePolynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 1
Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
VíceZáklady elementární teorie čísel
Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: X01DML 29. října 2010: Základy elementární teorie čísel 1/14 Definice Řekneme, že přirozené číslo a dělí přirozené číslo b (značíme a b), pokud existuje přirozené
VíceHistorie matematiky a informatiky 2 7. přednáška
Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 5. října 2013 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitoly z teorie
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceVZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceÚlohy k procvičování textu o univerzální algebře
Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky
VíceSvobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly
METODICKÝ LIST DA6 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost dělitel a násobek, sudá a lichá čísla, prvočísla a čísla složená Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky:
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
VíceGenerující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
VíceMPI - 7. přednáška. Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n.
MPI - 7. přednáška vytvořeno: 31. října 2016, 10:18 Co bude v dnešní přednášce Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n. Rovnice a b
Více4 Počítání modulo polynom
8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li
Více11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.
Vícef(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0
KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že
Vícez nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další).
0. Tři věty o prvočíslech Martin Mareš Úvodem Při analýze algoritmů se často využívají různá tvrzení o prvočíslech. Většina z nich byla poprvé dokázána v 9. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
VíceHL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27
Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata 2012 13.2. 18.2.2012 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky 13.2. 18.2.2012 1 / 27 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Euklidův algoritmus
Více{ 4} 2.2.7 Krácení a rozšiřování zlomků. Předpoklady: 010217. Zlomky 1 2 ; 2 4 ; 3 6 ; 4 8 ; 5. představují stejné číslo.
..7 Krácení a rozšiřování zlomků Předpoklady: 007 Zlomky ; ; ; 8 ; 0 ; 7 ; zlomky ; ; ; 8 ; zlomky ; ; ; 8 ; 0 ; představují stejné číslo. Říkáme: 0 ; 7 ; mají stejnou hodnotu, 7 ; se rovnají. Proč je
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Vícepro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceSvobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. čísla soudělná a nesoudělná
METODICKÝ LIST DA9 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost Nejmenší společný násobek a největší společný dělitel Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky:
Více13. cvičení z PSI ledna 2017
cvičení z PSI - 7 ledna 07 Asymptotické pravděpodobnosti stavů Najděte asymptotické pravděpodobnosti stavů Markovova řetězce s maticí přechodu / / / 0 P / / 0 / 0 0 0 0 0 0 jestliže počáteční stav je Řešení:
VíceA0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly
Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková
VíceZpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceObsah. Euler-Fermatova věta. Reziduální aritmetika. 3. a 4. přednáška z kryptografie
Obsah Počítání modulo n a jeho časová složitost 3. a 4. přednáška z kryptografie 1 Počítání modulo n - dokončení Umocňování v Zn 2 Časová složitost výpočtů modulo n Asymptotická notace Základní aritmetické
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceKongruence na množině celých čísel
121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
VíceKlauzurní část školního kola kategorie A se koná
56. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1. rčete všechna reálná čísla s, pro něž má rovnice 4x 4 20x 3 + sx 2 + 22x 2 = 0 čtyři různé reálné kořeny, přičemž součin
VíceMatematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl
Prvočísla, dělitelnost Matematické algoritmy (11MAG) Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 2. přednáška 11MAG ponděĺı 7. října 2013 verze: 2013-10-22 14:28 Obsah přednášky Prvočísla
Více)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,
VíceLenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012
Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z
Více4a) Racionální čísla a početní operace s nimi
Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na
VíceMatematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl. verze: :29
Prvočísla, dělitelnost Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl 2. přednáška 11MAG pondělí 7. října 2013 verze: 2013-10-22 14:29 Obsah 1 Prvočísla 1 1.1 Vlastnosti prvočísel...................................
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
VíceCo víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 2. Dělení se zbytkem a dělení beze zbytku In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 9 15. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403438
Více8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy
24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF
VíceŘešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1
Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceRiemannova hypotéza Martin Havlík 2. A
Riemannova hypotéza Martin Havlík 2. A Motivace: Motivace mého projektu je jednoduchá, pochopit matematiky označovaný nejtěžší a nejdůležitější problém současné matematiky. Cíle: Dokázání téhle hypotézy
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceVýroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).
Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
VíceKongruence. 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti
Kongruence 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 3 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403653 Terms
VíceJihomoravske centrum mezina rodnı mobility. T-exkurze. Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı
Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility T-exkurze Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı Brno 2013 Petr Pupı k Obsah Obsah 2 Šifrovací algoritmy RSA a ElGamal 12 2.1 Algoritmus RSA.................................
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceVariace. Mocniny a odmocniny
Variace 1 Mocniny a odmocniny Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Mocniny a odmocniny Obor přirozených
VíceZbytky a nezbytky Vazební věznice Orličky Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22
Zbytky a nezbytky aneb stručný úvod do kongruencí Zbyněk Konečný Vazební věznice Orličky 2009 23. 27.2.2009 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky 23. 27.2.2009 1 / 22 O čem to dnes bude? 1 Úvod 2 Lineární
VíceZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára
9... ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Pojem zlomku Zlomek zápis části celku a b a je část, b je celek, zlomková čára Každé číslo zapsané zlomkem lze vyjádřit jako číslo desetinné 7 Zlomková čára je dělící čára
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
Více[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
VícePrvočísla, dělitelnost
Prvočísla, dělitelnost Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 3. přednáška 11MAG pondělí 3. listopadu 2013 verze: 2014-11-03 11:28 Obsah přednášky
VíceM - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceDělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel
Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 11 Nejmenší společný násobek Největší společný dělitel O čem budeme hovořit: Nejmenší společný násobek a jeho vlastnosti Největší
VíceCVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
VíceZápadočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY
Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY VYBRANÉ KAPITOLY Z ELEMENTÁRNÍ ALGEBRY DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Jiří KRYČ Učitelství pro 2. stupeň ZŠ, obor
VíceY36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz
Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování
VíceÚlohy II. kola kategorie A
5. ročník matematické olympiády Úlohy II. kola kategorie A 1. Najděte základy z všech číselných soustav, ve kterých je čtyřmístné číslo (1001) z dělitelné dvojmístným číslem (41) z.. Uvnitř strany AB daného
VíceJednoduchá exponenciální rovnice
Jednoduchá exponenciální rovnice Z běžné rovnice se exponenciální stává, pokud obsahuje proměnnou v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: a f(x) = b g(x), kde a, b > 0. Typickým
VíceDMA Přednáška Rekurentní rovnice. takovou, že po dosazení odpovídajících členů do dané rovnice dostáváme pro všechna n n 0 + m pravdivý výrok.
DMA Přednáška Rekurentní rovnice Rekurentní rovnice či rekurzivní rovnice pro posloupnost {a n } je vztah a n+1 = G(a n, a n 1,..., a n m ), n n 0 + m, kde G je nějaká funkce m + 1 proměnných. Jejím řešením
Více