- PDF Stažení zdarma

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download ""

Martina Slavíková
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 OBSAH Gödelova nezapomenutelná práce 15 0 ÚVOD Základní pojmy Formální systémy Jazyk a metajazyk Bezesporné aneb konzistentní teorie Neúplné teorie Nerozhodnutelná tvrzení Souvislosti mezi Gödelovými vìtami Hlavní Gödelova myšlenka první èást èlánku 27 Gödel nahodil motor a má (zatím) zaøazený neutrál 27 1 GÖDELÙV ÚVOD Velké formální systémy Formální systémy Gödelovy a také naší doby Gödelovo varování Naznaèení Gödelova dùkazu Myšlenka aritmetizace Konstrukce propozice nerozhodnutelné v PM Demonstrace nerozhodnutelnosti propozice [R(q) ; q] Pozorování a jedna zásadní metamatematická úvaha Epistemologické antinomie (též noetické paradoxy) Paradox lháøe Russellùv paradox Richardùv paradox Podstata epistemologických antinomií Gödelova geniální myšlenka Charakterizace modelového formálního systému P Zlatý grál nerozhodnutelnosti

.. 25 1 první èást èlánku 27 Gödel nahodil motor a má (zatím) zaøazený neutrál 27 1 GÖDELÙV ÚVOD 27 1.1 Velké formální systémy... 27 1.1.1 Formální systémy Gödelovy a také naší doby... 28 1.1.2 Gödelovo varování.

2 2 druhá èást èlánku 41 2 POPIS FORMÁLNÍHO SYSTÉMU P Primitivní znaky systému P Konstanty Promìnné rùzných typù Gödelova poznámka o relacích a funkcích Metadefinice znakù a formulí Volné a vázané promìnné Další podstatné (meta)definice Základní logické symboly Gödel zaøadil první rychlostní stupeò Axiomy systému P I. skupina Peanovy axiomy II. skupina výrokové logické axiomy III. skupina predikátové logické axiomy IV. skupina axiom redukovatelnosti V. skupina axiom extenzionality Bezprostøední dùsledek Tøída dokazatelných formulí Gödel zaøadil druhý rychlostní stupeò 59 3ARITMETIZACE SYSTÉMU P Aritmetizace primitivních znakù systému P Aritmetizace konstant Aritmetizace promìnných Základní vìta aritmetiky Gödelovo èíslování Gödelova èísla Aritmetizace formulí Aritmetizace posloupností formulí Dvì poznámky, které nepatøí zcela na okraj Princip aritmetizace metateorie formálního systému Závìreèné pøipomenutí

skupina Peanovy axiomy... 50 2.2.2 II. skupina výrokové logické axiomy... 51 2.2.3 III. skupina predikátové logické axiomy... 52 2.2.4 IV. skupina axiom redukovatelnosti... 54 2.2.5 V.

3 Gödel zaøadil tøetí rychlostní stupeò 68 4 REKURZIVNÍ FUNKCE A RELACE Fundamentální definice Pøíklady užiteèných jednoduchých rekurzivních funkcí a relací Rekurzívnost základních aritmetických operací GÖDELOVY TEORÉMY O REKURZIVNÍCH FUNKCÍCH A RELACÍCH Teorémy I III Teorém I Teorém II Teorém III Teorém IV nejdùležitìjší technická vìta Gödel zaøadil ètvrtý rychlostní stupeò 83 6 GÖDELOVY DEFINICE A JEJICH PØÍKLADY Definice 1 dìlitelnost Definice 2 prvoèísla Definice 3 prvoèíslo rozkladu Definice 4 faktoriál Definice 5 posloupnost všech prvoèísel Definice 6 termy, výrazy Definice 7 délka posloupnosti Definice 8 zøetìzení posloupností Definice 9 jednoèlenná posloupnost Definice 10 uzávorkování Definice 11 promìnná urèitého typu Definice 12 promìnná Definice 13 negace Definice 14 disjunkce Definice 15 generalizace Definice 16 vkládání znakù následníka Definice 17 numerály Definice 18 znaky typu

.. 77 5.2 Teorém IV nejdùležitìjší technická vìta... 78 Gödel zaøadil ètvrtý rychlostní stupeò 83 6 GÖDELOVY DEFINICE A JEJICH PØÍKLADY 83 6.1 Definice 1 dìlitelnost... 84 6.2 Definice 2 prvoèísla.

4 6.19 Definice 19 znaky libovolného typu Definice 20 elementární formule Definice 21 pomocná operace Definice 22 speciální posloupnost formulí Definice 23 formule Definice 24 vázaná promìnná Definice 25 volná promìnná Definice 26 volné promìnné Definice 27 mechanická substituce Definice 28 pomocná funkce Definice 29 technický pojem Definice 30 pomocný pojem Definice 31 pøípustná substituce Definice 32 ostatní logické pojmy Definice 33 elevace typù Definice 34 Peanùv axiom Definice 35 výrokové logické axiomy Definice 36 výrokový axiom Definice 37 dùležitá technická relace Definice 38 první predikátový axiom Definice 39 druhý predikátový axiom Definice 40 axiom redukovatelnosti Definice 41 axiom extenzionality Definice 42 axiom systému P Definice 43 bezprostøední dùsledek Definice 44 dùkazová figura Definice 45 dùkaz v systému P Definice 46 dokazatelná formule Závìr kapitoly FORMALIZACE REKURZÍVNOSTI V RÁMCI SAMOTNÉHO SYSTÉMU P Teorém V Nìkolik závìreèných úvah o Teorému V

28 Definice 28 pomocná funkce... 105 6.29 Definice 29 technický pojem... 106 6.30 Definice 30 pomocný pojem... 107 6.31 Definice 31 pøípustná substituce... 108 6.32 Definice 32 ostatní logické pojmy.

5 Gödel zaøadil poslední rychlostní stupeò CÍL DISKUZE PODLE AUTORA Konzistence a w-konzistence Množina dùsledkù tøídy FORMULÍ Dva druhy konzistence tøídy FORMULÍ Vztah mezi konzistencí a ω-konzistencí Rekurzivní tøída FORMULÍ Teorém VI nejdùležitìjší vìta Gödelova èlánku Formulace Teorému VI Dùkaz Teorému VI Gödelova intuicionistická vsuvka o konstruktivnosti Teorému VI Definitivní zobecnìní teorému J. B. Rosserem ROZHODNUTELNOST A JEJÍ DÙSLEDKY Rozhodnutelné relace a zvláštì pak tøídy Zobecnìní Teorému VI pro rozhodnutelné tøídy FORMULÍ GÖDELOVY DALŠÍ NÁMÌTY A POZNÁMKY Konzistence versus protipøíklady Dùsledky rozšíøení tøídy axiomù systému P Gödelovy úvahy o základních problémech teorie množin (TM) Jedna speciální tøída FORMULÍ Vsuvka o axiomu výbìru, (zobecnìné) hypotéze kontinua a jejich dùsledcích pro nerozhodnutelnost Poznámka o nerekurzívnosti vztahu dokazatelnosti Gödelovo neformální metatvrzení tøetí èást èlánku NÌKTERÉ DÙSLEDKY TEORÉMU VI Aritmetické relace Definice aritmetických relací a tøíd Èínská vìta o zbytcích a její dùsledek Teorém VII Dùkaz Teorému VII Teorém VIII Omezený funkèní kalkul (poèet) o.f.k Vymezení základních pojmù o.f.k

.. 140 8.3 Gödelova intuicionistická vsuvka o konstruktivnosti Teorému VI... 145 8.4Definitivní zobecnìní teorému J. B. Rosserem... 147 9 ROZHODNUTELNOST A JEJÍ DÙSLEDKY 149 9.

6 Pravdivost a splnitelnost formulí Teorémy IX a X DVA ZÁSADNÍ PROBLÉMY TEORIE ÈÍSEL Goldbachova hypotéza Velká Fermatova vìta ètvrtá èást èlánku NEDOKAZATELNOST BEZESPORNOSTI Teorém XI druhá nejdùležitìjší vìta Gödelova èlánku Teorém XI a jeho demonstrace Nìkolik komentáøù k demonstraci Teorému XI Závìreèné znepokojivé pozorování Gödelovy poznámky k Teorému XI Co je aritmetizací Zlatého grálu v teorii nerozhodnutelnosti? GÖDELOVY ZÁVÌREÈNÉ POZNÁMKY Poznámka doplnìná 28. srpna Poznámka pod èarou NÁŠ ZÁVÌR K I. ODDÍLU 195 ODDÍL 2 Nìkteré pozoruhodné souvislosti s Gödelovými výsledky ÚVOD KE II. ODDÍLU PROBLÉMY POÈÍTAÈOVÝCH DÙKAZÙ Bremermannova mez a Shannonova míra informace Poèítaèové dùkazy a jejich souvislost s Bremermannovou mezí Problém ètyø barev Slabá Goldbachova hypotéza A jaké jsou závìry? Vyhlídky Goldbachovy hypotézy Ukázka bìžné velikosti Gödelových èísel

.. 185 13.1.3 Závìreèné znepokojivé pozorování... 188 13.2 Gödelovy poznámky k Teorému XI... 189 13.3 Co je aritmetizací Zlatého grálu v teorii nerozhodnutelnosti?

7 17 TURINGOVY STROJE A GÖDELOVA ÈÍSLA Turingùv stroj, Gödel a Entscheidungsproblem Turingovy stroje a Gödel v prostøedí MATHEMATICA Fyzikální analogie Teorému XI KURT FRIEDRICH GÖDEL, JEHO ŽIVOT A DÍLO HEGELOVSKO-GÖDELOVSKÁ PARALELA EUKLEIDOVY ZÁKLADY NÌKOLIK SOUVISLOSTÍ S AXIOMEM VÝBÌRU PÁR SLOV O DALŠÍCH VLASTNOSTECH FORMÁLNÍCH TEORIÍ 250 Pravdivost a dokazatelnost Abstraktní vìta o neúplnosti pro korektní systémy Bohaté a chudé systémy Dvì vìty nerozhodnutelné v Peanovì aritmetice POHLED JEDNOHO Z RECENZENTÙ NA NÌKTERÁ PØÍBUZNÁ TÉMATA 259 Pøipomínky pana Aleše Gottvalda Nerozhodnuto navìky? ZÁVÌR 261 SEZNAM DOPORUÈENÉ A POUŽITÉ LITERATURY SEZNAM POUŽITÝCH ZNAKÙ, SYMBOLÙ A ZKRATEK REJSTØÍK 274 Kontakty na prodejny technické literatury Pár slov o nakladatelství

FORMÁLNÍCH TEORIÍ 250 Pravdivost a dokazatelnost... 250 Abstraktní vìta o neúplnosti pro korektní systémy... 251 Bohaté a chudé systémy... 254 Dvì vìty nerozhodnutelné v Peanovì aritmetice.

Podobné dokumenty

Gödelovy věty o neúplnosti

Gödelovy věty o neúplnosti Miloš Jakubíček PB016 Úvod do umělé inteligence Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 23. listopadu 2007 1 Gödel & historie Kurt Gödel Historický kontext 2 Jazyk a metajazyk