VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Fakulta informačních technologií DIPLOMOVÁ PRÁCE

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Fakulta informačních technologií DIPLOMOVÁ PRÁCE"

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Faulta informačních technologií DIPLOMOVÁ PRÁCE Brno 2002 Igor Potúče

2 PROHLÁŠENÍ: Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně pod vedením Ing. Martina Fědora. Uvedl jsem všechny literární prameny a publiace, ze terých jsem čerpal. V Brně dne podpis

3 PODĚKOVÁNÍ: Děuji vedoucímu diplomové práce Ing. Martinu Fědorovi za velmi užitečnou metodicou pomoc a cenné rady při zpracování diplomové práce.

4 ABSTRAKT V této práci se zabývám sledováním pohybu objetů se stejným vzhledem v sevenci snímů. V úvodu je proveden rozbor metod pro sledování pohybu v obraze a identifiaci trajetorie pohybujícího se objetu. Je zde popsán algoritmus pro sledování trajetorií pohybujících se bodů, přičemž tyto objety mohou mizet, objevovat se na jiných místech, nebo může docházet jejich přerývání. Určování orespondencí mezi jednotlivými body je prováděno na záladě zpětného vyhodnocování vznilých hypotéz. Pro sledování trajetorií využívá algoritmus predice příští polohy objetu. Jao nástroj pro predici je zvolen Kalmanův filtr, terý je výhodný z hledisa své reurzivní strutury. Dále je zde popsán algoritmus pro spojování orespondujících trajetorií pomocí extrapolace hodnot. Na závěr je uvedeno zhodnocení popsaných algoritmů testovaných na vybraných sevencích. KLÍČOVÁ SLOVA Identifiace trajetorie, Kalmanův filtr, predice pohybu, určování orespondence objetů, prediční strom, zpětné vyhodnocování, extrapolace trajetorie, spojitost, segmentace obrazu.

5 ABSTRACT This paper describes the way to determine trajectory of moving simple objects - toens in a picture sequence. Modified Kalman filter is used to predict and identify their trajectory. Presented approach resolves trajectory ambiguities, a case when the number of toens is large and their speeds and accelerations vary. Correspondence problem is determined between two or more consecutive frames based on toens similarity. Traced objects may vanish, appear at a new position and/or mutually occlude each other. Bactracing is used to solve these problems. KEY WORDS Trajectory identification, target tracing, Kalman filter, movement prediction, motion correspondence problem, prediction trees, bactracing, continuity, picture segmentation.

6 OBSAH 1. ÚVOD PŘEHLED POUŽÍVANÝCH METOD SLEDOVÁNÍ VĚTŠÍHO MNOŽSTVÍ POHYBUJÍCÍCH SE OBJEKTŮ EXTRAKCE OBJEKTŮ Z OBRAZU PROBLÉMY PŘI EXTRAKCI OBJEKTŮ URČENÍ KORESPONDENCE PROBLÉMY KORESPONDENCE OBJEKTŮ KALMANŮV FILTR PRO PREDIKCI POLOHY APLIKACE KALMANOVA FILTRU NA POHYB OBJEKTŮ INICIALIZACE KALMANOVA FILTRU Kovarianční matice a matice chyb VÝPOČET ZLEPŠENÍ MAXIMÁLNÍ ODCHYLKA OD PREDIKOVANÉ HODNOTY VÝPOČET ZISKU A AKTUALIZACE STAVOVÉHO VEKTORU VÝPOČET KOVARIANČNÍ MATICE MANÉVROVACÍ MATICE POSTUP VÝPOČTU IDENTIFIKACE TRAJEKTORIE OHODNOCENÍ TRAJEKTORIÍ PŘIŘAZENÍ OBJEKTŮ HYPOTÉZÁM IMPLEMENTACE PREDIKCE PREDIKČNÍ STROM PROŘEZÁVÁNÍ STROMU ROZBOR PROBLÉMŮ MIZENÍ A OBJEVOVÁNÍ Objevení objetu Mizení objetu PROBLÉMY PŘI SLEDOVÁNÍ TRAJEKTORIÍ SPOJOVÁNÍ TRAJEKTORIÍ SPOJITOST IMPLEMENTACE SPOJENÍ TRAJEKTORIÍ PROBLÉMY PŘI EXTRAPOLACI ROZBOR A VYHODNOCENÍ CHOVÁNÍ ALGORITMŮ VLASTNOSTI PARAMETRŮ KALMANOVA FILTRU ODCHYLKY OD PREDIKOVANÉ HODNOTY VELIKOST PREDIKOVANÉ OBLASTI EXTRAPOLACE HODNOT...60

7 7.5. SEKVENCE POHYBU ČLOVĚKA ZÁVĚR SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY SEZNAM PŘÍLOH...69

8 1. Úvod 1. Úvod V oblasti počítačového vidění se v posledních letech zaměřil výzum na vývoj efetivních postupů a algoritmů pro sledování pohybu objetů. Využití je v široé oblasti od systémů pro sledování dopravy, v letecém průmyslu při sledování pohybu letadel, v armádním průmyslu pro navádění střel, navádění satelitů nebo sledování miroorganismů pod mirosopem. Tyto systémy se snaží přebírat větší část zpracování a vyhodnocování dat. Z tohoto důvodu je laden velý důraz na vývoj efetivních algoritmů pro sledování pohybu. Existuje velé množství způsobů sledování pohybu, teré se navzájem od sebe liší vlastnostmi sledovaných obrazů, způsobem snímání obrazů, cílem sledování pohybu a dalšími aspety. Tyto techniy využívají apriorních znalostí při řešení onrétních úloh. Taové informace (např. předpoládaný tvar, veliost a prostorové uspořádání objetů, přípustný stupeň řivosti jejich hranic, znalosti o způsobu chování objetů apod.) slouží při zpracování obrazu jao omezující podmíny, případně jao vazby v optimalizaci. Jiným onceptem je rozsáhlé uplatňování heuristicých, intuitivně navržených postupů využívajících zušenost, v ombinaci s formalizovanými metodami. V této práci jsem se zaměřil na sledování pohybu objetů se stejným vzhledem. Cílem je identifiovat trajetorie znače připevněných na lidsém těle. Sledovanou sevencí je nasnímaný pohyb člověa jednou amerou. Značy jsou zobrazeny v sledované sevenci jao bílé pohybující se body. Hlavním a nejompliovanějším problémem je zde určování orespondencí mezi objety. Nicméně většina prací poládala problém určování orespondence za jednoduchý a využívala strategie nejbližšího následnía. V mnoha případech je vša tato strategie nedostačující, jeliož mohou vzniat mnohoznačná přiřazení. Při sledování objetů s odlišným vzhledem lze tento problém částečně řešit využitím techni zjištění vlastností pozorovaných objetů a jejich porovnáním. V případě, dy mají všechny pozorované objety stejný vzhled, musíme použít jiný postup. Při sledování a analýze pohybu objetů v obraze využívám pozorování v závislosti na něolia po sobě jdoucích snímcích. Tento způsob se používá většinou při sledování pohybu objetů ve 3D scéně snímané jednou amerou, ja je tomu i v našem případě. Součástí této metody je predice příští polohy objetu realizovaná pomocí Kalmanova filtru. Při pohybu objetů vša může dojít následujícím problémům, teré je nutné vyřešit. Objety se mohou - 9 -

9 1. Úvod při pohybu přerývat nebo mizet a objevovat se na jiných místech. Vlivem těchto problémů se zvyšuje náročnost a složitost algoritmů na určování vzájemných orespondencí. V této práci je proveden rozbor problémů, teré se vysytují při sledování trajetorií a popis jejich řešení. V úvodu jsou popsány techniy, využívané při sledování objetů. Další část práce je oncipována chronologicy v pořadí řešení problému sledování objetů. Na onci aždé apitoly jsou uvedeny problémy a jejich možná řešení, teré se vysytují u dané problematiy. Na závěr je provedeno vyhodnocení chování implementovaných metod a zhodnoceny výhody a nevýhody jejich použití. Tato práce navazuje jen na semestrální projet, ve terém byly rozebrány metody a postupy obecného sledování pohybu objetů a provedena apliace Kalmanova filtru na predici pohybu Přehled používaných metod Techniy detece pohybu můžeme rozdělit podle způsobu snímání obrazu na : Zpracování sterea tato metoda pracuje na principu stereovize. Zpracovává dvě sevence obrazů, snímané jao oddělené obrazy (levý a pravý) jedné snímané scény. Využívá pa drobné odlišnosti v obou obrazech. Tímto způsobem snímání zísáme třídimensionální obraz snímané scény. V současné době se používá sledování scény více než dvěma amerami. Zpracování jedné sevence snímů metoda zpracovává dva a více snímů zísané jednou amerou. Většinou snímy představují snímanou 3D scénu transformovanou na 2D obraz. Metody se mohou od sebe lišit způsobem práce s obrazem. Např. metody pracující s celým obrazem, jao je metoda detece ativity, terá je záladním elementem detece pohybu. Představuje jednoduše porovnání dvou snímů. Druhým typem jsou metody, teré vyhledají v obrazech jednotlivé objety, se terými dále pracují. U těchto techni je důležité vybrat vhodné parametry, podle terých se deteují objety v obraze. Objetové techniy jsou obecně méně citlivé na fotometricé změny v obrazech a jsou rychlejší při hledání orespondencí [17]. Jejich nevýhodou je nědy obtížné a časově náročné vyhledávání jednotlivých objetů. U objetových techni se využívá při hledání orespondencí různých vlastností : Podobnost objety sledované z různých míst mají podobné charateristiy

10 1. Úvod Jednoznačnost - jeden objet v jednom snímu má maximálně jeden obraz ve druhém snímu. Spojitost posunutí objetu mezi dvěma snímy se nemění soově, ale spojitě, tzn. objet (amera) se pohybuje po hladé řivce. Při hledání orespondencí využíváme různé techniy pro nalezení nejlepšího andidáta. U příznaových metod jsou obrazy předmětů reprezentovány n-rozměrnými vetory číselných příznaů. Každý vetor jednoznačně určuje bod v n-rozměrném obrazovém prostoru. Metody lasifiace pa vycházejí z předpoladu, že body obrazů předmětů jednotlivých tříd leží v obrazovém prostoru blízo sebe, neboli že v obrazovém prostoru vytvářejí shluy. Korelační techniy využívají porovnání obrazových funcí všech možných andidátů s obrazovou funcí původního objetu. Jao nejlepšího andidáta vybereme toho, jehož obrazová funce se shoduje nebo se nejvíce blíží obrazové funci původního objetu. Relaxační techniy procházejí všechny objety Ke aždé dvojici určí míru pravděpodobnosti, že objet p i z prvního obrazu a p j z druhého obrazu. p i oresponduje s objetem Následovně provádíme opravy těchto hodnot na záladě vlastností sousedních bodů. Metody dynamicého programování využívají rozdělení obrazů pomocí mřížy. Tu tvoříme proládáním příme v prvním obraze, teré odpovídají přímám v druhém obraze. Úolem je nalezení spojnice průsečíů, s minimálním ohodnocením na záladě podobnosti oolí. Dalším ritériem při sledování pohybu objetů je změna tvaru (vzhledu) v čase. Podle toho dělíme techniy na dvě záladní supiny : Sledování pevných objetů. Sledování proměnlivých objetů. U první supiny si objety zachovávají svůj tvar v čase během celé sevence snímů. U druhé supiny dochází při sledování pohybu e změně tvaru obrazu objetu. Nebere se vša v úvahu změna, terá je způsobena různou polohou objetu vůči ameře. Příladem první supiny je sledování objetů vybavení anceláře stůl, židle, počítač a jiné. Naopa příladem proměnlivých objetů mohou být obrysy pohybujícího se člověa nebo ontura pohybujících se rtů. p j

11 1. Úvod 1.2. Sledování většího množství pohybujících se objetů Problém sledování velého množství objetů je dán prostorovou blízostí pohybujících se objetů, přičemž musíme určit, teré objety náleží pozorovaným trajetoriím. Použití vybraných metod sledování pohybu objetů závisí na následujících schopnostech : Schopnost rozlišit mezi zísanými hodnotami sutečných objetů a chybami vznilými při extraci objetů. Schopnost určit správné orespondence mezi objety a spojit je do výsledných trajetorií. Rozlišujeme dva typy metod při zpracování trajetorií podle způsobu, jaým provádí zpracování zísaných dat : Hromadné zpracování : všechny pozorované objety zpracováváme společně, poud se nevysytuje mizení objetů, je tato technia ideální. Reurzivní zpracování : data zísaná při posledním zpracování budou použita atualizaci předchozích výsledů. Při sledování pohybu objetů se výzum zaměřil na nejdůležitější problém a to určování orespondencí. Jeliož při vyhodnocování orespondencí je zpracováváno velé množství andidátů, byly vyvinuty apliace algoritmů využívající statisticé zpracování dat. Apriorní znalosti použité ve statisticých modelech se neliší mezi různými objety. Tyto metody jsou citlivé na nastavení jednotlivých parametrů, např. u predice Kalmanovým filtrem. Výhodou těchto metod je využití sledování pohybu objetů v závislosti na něolia snímcích, což je důležité při sledování objetů se stejným vzhledem a při výsytu velého množství objetů v pozorované sevenci. Z tohoto důvodu vša vzniá početní závislost, terá s přibývajícími objety exponenciálně roste. Koncem 90. let byla zaměřena pozornost na dva algoritmy : Multiple hypothesis tracing (MHT) od D.B.Reida [9] a Joint probabilistic data-association filter (JPDAF) od Bar-Shaloma [5]. Ačoliv jsou tyto dva algoritmy odlišné zcela svou myšlenou, mají společné dvě části. První z nich je testování měření v pořadí vývoje asociační cenové matice. Nenulový vstup d, indiuje, že naměřená hodnota z i odpovídá i j cílovému objetu y i, de hodnota d, představuje cenu přiřazení z i objetu i j y i. Druhou částí je, že oba algoritmy potřebují výpočet všech legálních přiřazení. Každé přiřazení

12 1. Úvod nazýváme hypotézou, terá obsahuje cenu přiřazení. Tato cena je vypočtena z pravděpodobnostní hodnoty zísané v předchozích výpočtech. Algoritmus JPDAF provádí atualizaci filtru pro aždou dráhu založenou na spojené pravděpodobnosti asociace mezi poslední množinou měření a aždou trajetorií. Je vhodný pro sledování změti pohybujících se objetů. Dobrých výsledů se vša dá dosáhnout zanedbáním hypotéz s nízou pravděpodobností a výběrem množiny -nejlepších. Danchic a Newman [8] připustili, že nalezení nejlepších hypotéz lze formulovat jao lasicý problém lineárního přiřazení. Chang a Aggarwal [7] apliovali JPDA filtr na problém 3D reonstruci strutury v pohybové sevenci. Nicméně tento algoritmus je vhodný jen pro pevný počet objetů, terý zůstává zachován po celou dobu sevence. Zhang a Faugeras [1] použili Trac splitting filter od Smithe a Beuchlera, terý je podobný algoritmu MHT a terý využívá stromy a zpožděné vyhodnocení. Nicméně tato metoda dovoluje sdílení objetů v jednotlivých snímcích různými trajetoriemi, což bývá v mnoha případech nerealisticé. Racionálnější ta připadá přiřazení objetu vždy jen jedné trajetorii. Určování orespondencí se ta stává rozdělením jednotlivých objetů ve snímcích do disjuntních množin. Další možností, ja řešit problém určení orespondence, je využít heuristicé metody. Deterministicé algoritmy jsou mnohem jednodušší a obsahují méně parametrů. Místo funce hustoty pravděpodobnosti jsou použity valitativní heuristiy pohybu, teré jsou využívány odstranění možných trajetorií a identifiaci optimálních množin trajetorií. Využívají přitom valitativní popis jao vyhlazenost a tuhost pohybu nebo vzdálenost od optimální dráhy. Nejpoužívanějším známým algoritmem je greedy exchange algorithm, terý iterativně optimalizuje ritérium loálního vyhlazeného pohybu zprůměrňovaného přes všechny objety v sevenci. Výhodou tohoto algoritmu je jednoduché začlenění omezení jao je maximální rychlost nebo maximální odchyla od vyhlazeného pohybu, teré zvyšují valitu vyhodnocení. Chetveriov [10] provedl ve své práci shrnutí 5 algoritmů, teré využívají heuristicých metod pro určení trajetorií. Tyto algoritmy využívají vyhlazený pohyb jao předpolad pro ohodnocení cenové funce definované pro tři body ve třech po sobě jdoucích snímcích. Liší se od sebe svými schopnostmi řešit problémy mizení, objevování a přerývání objetů při pohybu, což je shrnuto v tabulce (Tab. 1.1 : Souhrn vlastností)

13 1. Úvod Algoritmus Schopnosti Samo inicializující Přerušení Zmizení Objevení Sethi & Jain SJ87 Salari & Sethi SS90 Rang. & Shah RS91 Hwang HW89 IPAN Tracer IP97 Tab. 1.1 : Souhrn vlastností Jednotlivé vlastnosti jsou ohodnoceny následovně : + vyjadřuje výsyt, - vyjadřuje absenci, ± omezená schopnost. Podrobnější porovnání těchto algoritmů naleznete v literatuře [10]. Obecný popis sledování pohybu objetů za použití predice je obsažen v literatuře od Faugerase [1]

14 2. Extrace objetů z obrazu 2. Extrace objetů z obrazu Prvním roem při sledování objetů v sevenci je extrace objetů z jednotlivých snímů. Cílem je deteovat všechny objety ve snímu a určit jejich polohu, popřípadě i další vlastnosti jao je obsah, řivost, textura apod. Jednou z nejpoužívanějších metod při rozdělení obrazu na objety je prahování viz. literatura [13], [14]. Prahování je účinný způsob segmentace pro scény obsahující předměty na onstantním pozadí. Výpočetně je nenáročné a vždy zachovává spojitost oblastí v uzavřených spojitých hranicích. Tato metoda odděluje objet od pozadí přidělením dvou hodnot jasů. Jedním jasem je interpretováno pozadí a druhým jasem objety v obraze. Pro rozdělení obrazu na dvě hodnoty je nutné znát prahovou hodnotu. V histogramu můžeme nalézt i dvě prahové hodnoty, podle terých rozdělíme obraz na dvě supiny objetů a pozadí. Najít pravidlo pro určení, zda je histogram bimodální, není jednoduché, protože neumíme vždy jednoznačně rozhodnout o významu loálních maxim a minim. Záladní postup při vyhledávání prahové hodnoty je následující : 1. Určíme minimální vzdálenost d pro jasové úrovně. 2. Najdeme dvě největší loální maxima v histogramu, teré jsou od sebe vzdálené nejméně d. 3. Mezi těmito maximy najdeme minimum, teré označíme jao práh. Jamile známe hodnotu prahu, můžeme převést obraz na dvouúrovňový sníme. Úrovním větším než práh přidělíme hodnotu L a úrovním menším než práh přidělíme hodnotu H. Nyní nám body označené jednou hodnotou představují extrahované objety a zbylé body představují pozadí, čímž jsme docílili oddělení objetů od pozadí. Prahování je účinné, mají-li sledované objety stejnou vnitřní úroveň barvy, terá se vša odlišuje od úrovně barvy pozadí. Liší-li se objety od pozadí jinou vlastností než úrovní barvy, např. texturou, je obvyle výhodné vhodnou operací převést tuto vlastnost na úroveň barvy. V dalším rou provádíme extraci objetů z obrazu. Existuje více způsobů ja zjistit polohu objetů a jejich vlastnosti, teré využijeme při určení orespondence objetů. Jedním z nich je procházet obraz po řádcích. Narazíme-li na bod o úrovni, terá nám představuje objet, spustíme z tohoto bodu semínový algoritmus testování. Tento algoritmus testuje oolní body zadaného bodu, zda patří objetu. Podle počtu testovaných bodů dělíme

15 2. Extrace objetů z obrazu algoritmy na testování 4-oolí nebo 8-oolí viz. obráze (Obr. 2.1 : Oolí bodu). Druhý algoritmus má výhodu v prohledávání i rohových bodů. 4-oolí 8-oolí Obr. 2.1 : Oolí bodu Výstupem semínového algoritmu je množina všech bodů patřící danému objetu, představovaného plochou bodů o dané úrovni. Z této množiny pa určíme souřadnice těžiště objetu zprůměrňováním souřadnic bodů objetu : x 1 = n T x i n i= 1 a y 1 = n T y i n i= 1, (2.1) de x i a y i jsou souřadnice bodů, teré připadly objetu a n představuje celový počet bodů objetu. Z těchto bodů pa můžeme dále zjistit obvod, obsah, tvar a jiné vlastnosti objetu, teré můžeme dále využít jao pomocný nástroj při určování orespondencí Problémy při extraci objetů Nasnímaný pohyb člověa je pořízen v temné místnosti, přičemž značy jsou nasvíceny ultrafialovým světlem z důvodu potlačení vlivu oolí a vyninutí znače. Značy po nasnímání amerou vša obsahují různé stupně odstínů bílé barvy a při nízém prahu se rozpadají, tzn. jejich orajové body vytvářejí samostatné objety. Při nastavení vysoého prahu vša v obraze přibývají chybné objety. Vliv na vzhled objetů mají i omprimované AVI sevence. Při omprimaci tvoří vyšší stupně odstínu barvy objetu rušivé oolí. Proto je výhodné práh nastavit ručně pro onrétní sevenci. Další problém při snímání pohybu vzniá nedoonalostí snímacího zařízení, dy rychle pohybující značy vytvářejí ve snímu protažený objet. Tento problém vzniá příliš dlouhou expozicí v jednotlivých snímcích viz. obráze (Obr. 2.2 : Rozmazání objetu rychlým pohybem)

16 2. Extrace objetů z obrazu Obr. 2.2 : Rozmazání objetu rychlým pohybem Nedošlo-li při rozmazání přerytí s jinými objety, je objet deteován jao jeden, i dyž má větší objem. Jeho těžiště vša může být vlivem rozmazání a zvětšení objemu posunuté. Dojde-li vša vlivem rozmazání e spojení objetů, nedoážeme rozlišit u olia objetů došlo e splynutí a jaým podílem působí rozmazaný objet. V apitole 5.7 je popsán problém při přerývání objetů, jehož řešením je detece splynutí pomocí objemu objetu. V tomto případě je vša metoda neúčinná a nedoážeme rozlišit na záladě objemu zda došlo rozmazání objetu či přerytí

17 3. Určení orespondence 3. Určení orespondence Při sledování pohybu objetů potřebujeme určit trajetorie, po terých se objety pohybují. Tyto trajetorie se sládají z poloh jednotlivých objetů v jednotlivých snímcích. V našem případě je problém určování orespondence zaměřen na případ, dy mají všechny sledované objety stejný vzhled. Z tohoto důvodu nemůžeme při určování orespondencí Sníme 1 Sníme 2 Sníme 3 Obr. 3.1 : Korespondence objetů využít vlastností objetů. Kdybychom předpoládali, že všech M objetů se bude vysytovat v n snímcích, byl by počet všech možných trajetorií roven ( M!) n 1. Mezi těmito trajetoriemi se nachází uniátní trajetorie, teré popisují sutečný pohyb objetů. Abychom mohli tyto trajetorie identifiovat, potřebujeme mít znalosti o pohybu objetů. Tyto znalosti zísáme z dosavadního chování objetu. Z poloh v jednotlivých snímcích jsme schopni vypočítat rychlost a zrychlení sledovaného objetu. Při sledování pohybu vycházíme většinou z předpoladu vyhlazeného pohybu objetů. Tímto předpoladem můžeme vyloučit trajetorie, teré z fyziálního hledisa nemají význam. Cílem je pa aždému objetu ve snímu t přiřadit jeho orespondující objet v následujícím snímu t+1 viz. obráze (Obr. 3.1 : Korespondence objetů). Pro pozorované objety vytvoříme stavový vetor pohybu a vybereme vhodný inematicý model, terý nejlépe popisuje jeho změny v čase viz.apitola 4.1. S pomocí zvolených modelů předpovíme polohu v následujícím snímu t+1 a vypočteme pravděpodobnost této předpovědi. Pravděpodobnost pa slouží určení oblasti olem předpověděné pozice X ) t+ 1 viz obráze (Obr. 3.2 : Prediovaná oblast). Oblast bývá většinou

18 3. Určení orespondence ruh o poloměru r. V této oblasti se mohou nacházet andidátní objety Y t+ 1. Z této množiny andidátů pa vybereme jednoho nejlepšího, terý bude reprezentovat orespondující objet X t+1. X t X ) t+1 r Y X t+ 1 t+ 1 Y t+1 Y t+1 Obr. 3.2 : Prediovaná oblast 3.1. Problémy orespondence objetů Během pohybu objetů v sevenci mohou nastat následující případy : Objety se mohou při pohybu vzájemně přerývat. Objety mohou v sevenci mizet a objevovat se na jiných místech. V sledované sevenci snímů se může pohybovat větší množství objetů, čímž vzniá problém víceznačného přiřazení. Chyby při snímání obrazu amerou objety mohou při rychlejším pohybu zanechávat stopu svého obrazu a tím vzniají ve snímcích lamně nové objety. Chyby při extraci objetů z obrazu. Pozorujeme-li projeci objetů z 3D scény ve 2D obraze mohou nastat případy, dy dojde přerytí sledovaných objetů jinými objety ve scéně. Situace mizení a objevování objetů je znázorněna na obrázu (Obr. 3.3 : Přerývání). Pozorovaným objetem je rotující rychle. Bod A je viditelný na všech třech snímcích na rozdíl od bodu B, terý je viditelný jen

19 3. Určení orespondence v prvním snímu, v druhém a třetím snímu je neviditelný. Bod C, terý není vidět na prvním a druhém snímu, se objeví až na třetím snímu. Sníme 1 Sníme 2 Sníme 3 B C A A A Obr. 3.3 : Přerývání Dalším typem přerytí, teré může nastat a není zobrazeno na obrázu je přerytí v případě, dy oba objety leží na stejné přímce procházející středem promítání. Na obrázu (Obr. 3.4 : Nejednoznačnost přiřazení objetů) jsou dva snímy, teré obsahují stejné objety. U těchto objetů nejsme schopni určit na záladě dvou snímů jejich orespondence a dochází tu problému nejednoznačnosti přiřazení. Tento problém můžeme vyřešit, máme-li dispozici větší počet snímů, de je pa orespondenci z ontextu možné vyvodit. Sníme 1 Sníme 2 Obr. 3.4 : Nejednoznačnost přiřazení objetů

20 3. Určení orespondence Vysytuje-li se v obraze příliš velé množství objetů, může dojít problému přeplnění. Existuje zde totiž velá pravděpodobnost výběru nesprávného andidáta, jeliož mohou být v tomto případě andidáti blízo u sebe. Řešením je vhodné nastavení parametrů použité pro predici a ta minimalizovat oolí prediované pozice objetu. Toto řešení vša nemusí být dostačující, a proto se využívá navíc zpožděného vyhodnocení, teré je popsáno v apitole 5. Další problémy se mohou vysytnout, jestliže je pohyb objetu nerovnoměrný, nebo se pohybuje ta rychle, že změna polohy mezi snímy je příliš velá. To způsobuje problémy při predici nové polohy objetu. Proto něteré metody požadují pro správnou predici polohy objetu vyhlazený pohyb s dostatečně malými rozdíly změny polohy při pohybu

21 4. Kalmanův filtr pro predici polohy 4. Kalmanův filtr pro predici polohy Kalmanův filtr je adaptivní filtr používaný modelování stavů disrétního dynamicého systému. Tato technia byla vyvinuta v 60tých letech filtraci šumu v eletricých signálech, ale později našla uplatnění i v sledování objetů v apliacích počítačového vidění. Výhodou tohoto filtru je jeho reurzivní strutura, přičemž jeho oeficienty se v aždém rou upravují na záladě dostupné informace ta, aby posytly optimální odhad budoucího stavu. Nový filtr v aždém rou vzniá opravou filtru z rou předcházejícího na záladě nově přišlé informace, aniž by bylo třeba pamatovat všechny předchozí hodnoty vstupních parametrů. U Kalmanova filtru můžeme využít stavové reprezentace, terá umožňuje vytvářet systémy vyšších řádů jao simultánně pracující soustavu vzájemně vázaných systémů prvního řádu Apliace Kalmanova filtru na pohyb objetů Pohyb objetu můžeme specifiovat polohou x(t), rychlostí v(t) a zrychlením a(t), což popíšeme následujícími diferenciálními rovnicemi : dx( t) v( t) = x& ( t) =, (4.1) dt dv( t) a( t) = v& ( t) =. (4.2) dt Pozice objetu a rychlost jsou uloženy ve stavovém vetoru. Tento vetor obvyle obsahuje první derivace jeho omponent. Abychom popsali pohyb objetu doonale i pro případ změny zrychlení, bude obsahovat stavový vetor polohu x, rychlost v a zrychlení a. x x = v x&. (4.3) a && x Vzhledem zvolenému stavovému vetoru použijeme následující rovnice, teré popisují pohyb objetu : x(t+t) = x(t) + v(t) * T + 1 at 2, (4.4) 2 v(t +T) = v(t) + a(t) * T. (4.5)

22 4. Kalmanův filtr pro predici polohy Pro naši soustavu přepíšeme rovnice pohybu následovně a dostaneme stavovou rovnici: ) ( ) ( ) ( ) ( t t T T t w x x + = Φ +, (4.6) + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * ) ( ) ( ) ( t w t w t w t x t x t x T T T T t x T t x T t x && & && &. (4.7) de T představuje ro vzorování, nebo-li časový úse mezi naměřenými hodnotami polohy objetu. Pro danou stavovou rovnici (4.6) a stavový vetor se třemi hodnotami (4.3) má rozšiřující matice tvar : = Φ ) ( 2 T T T T. (4.8) Naměřené hodnoty obvyle obsahují méně informace než stavový vetor. Při sledování pohybu objetu budeme mít dispozici jen informaci o jeho poloze x(t). Stavový vetor naměřených hodnot má vša stejný tvar jao stavový vetor využívající Kalmanův filtr. Z tohoto důvodu musíme provést transformaci vstupní polohy pro stavový vetor obsahující polohu, rychlost a zrychlení : ) ( ) ( ) ( t v t Hx t y + =. (4.9) Pro transformaci využijeme matici H, terá má pro náš případ tvar : 0) 0 = (1 H. (4.10) Po dosazení do rovnice (4.9) dostaneme : ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( * ) ( t v t x t x t x t y + = && &, (4.11) přičemž měření je zresleno hodnotou v(t).

23 4. Kalmanův filtr pro predici polohy Předpoládáme-li, že v(t) a w(t) se chovají jao náhodný proces s charaterem bílého šumu s nulovou střední hodnotou, bude mít ovarianční matice tvar : T w( t) w( t) Q 0 ε =. (4.12) v( t) v( t) 0 R Matice Q představuje manévrovací šum : Matice R představuje šum měření : T [ ( ) w( t ] Q ( t) = E w t ). (4.13) T [ ( t) v( t ] R ( t) = E v ). (4.14) V další části budeme vyjadřovat hodnoty prvů v čase t pomocí indexů Inicializace Kalmanova filtru Na počátu sledování objetu (čas t = 0) máme dispozici hodnotu polohy objetu a tedy jeho stavový vetor. Nemáme žádné poznaty o chování objetu v předchozím čase, a proto musíme nastavit počáteční hodnoty matic šumů a Kalmanova zisu s ohledem na tuto sutečnost. V dalších rocích Kalmanova filtru se hodnoty postupně upraví. Při pozorování počátečního snímu máme dispozici informace jen o poloze objetu x(0), stavový vetor bude tedy vypadat následovně : x(0) 0 0. (4.15) Kovarianční matice a matice chyb Odhady chyb (nejistoty) udržujeme v ovarianční matici označené jao P. Matice tedy obsahuje ovariance naměřených a odhadnutých hodnot. Při inicializaci nastavíme hodnoty λ i na diagonále matice na velmi velá čísla, jeliož neznáme dosavadní chování sledovaného objetu. Velé hodnoty prvů ovarianční matice představují nedůvěru v naměřené hodnoty a filtr se ta bude přilánět značnou mírou prediovaným hodnotám

24 4. Kalmanův filtr pro predici polohy Nastavením dostatečně velých hodnot zajistíme předpolad, že změna polohy v příštím snímu bude malá. Počáteční ovarianční matice má pa následující tvar : r P = 0 λ1 0. (4.16) 0 0 λ 2 Diagonály představují disperze omponent stavového vetoru. Hodnota r 11 je chyba měření, tedy nepřesnost měřené polohy objetu. Každé měření může mít nějaou náhodnou chybu. Matice chyb měření je čtvercová matice, jejíž veliost je rovna počtu měřených hodnot. Tato matice obsahuje odhady chyb měřícího systému pro aždou měřenou hodnotu na rozdíl od ovarianční matice, terá obsahuje odhady chyb filtru. Pro naměřenou hodnotu polohy y určíme záladní chybu měření u. Tato chyba bude pro náš případ v jednotách určení polohy objetu. Matice měřeného šumu R bude mít pa hodnotu : 4.3. Výpočet zlepšení 2 [ r 11 ] [ u ] R = =. (4.17) Při výpočtu nové prediované hodnoty polohy a zjištění polohy objetu je potřeba vypočítat zlepšení, tedy rozdíl hodnot mezi prediovanou polohou a naměřenou polohou. Jestliže nemáme dispozici všechny naměřené hodnoty, teré obsahuje stavový vetor, musíme provést transformaci stavového vetoru pomocí matice H. Obecný vztah pro výpočet zlepšení má tvar : ~ Z = Y X. (4.18) de Y je stavový vetor měření a X ~ je prediovaný stavový vetor. V našem případě vypočteme zlepšení z naměřené polohy y a prediované polohy objetu x. z = x 1 x& tedy z = y x. (4.19) && x [ y ] [ 0 0] Zlepšení se mimo jiné využívá při určování poloměru prediované oblasti, či určení spouštění přidávání manévrovacího šumu e ovarianční matici

25 4. Kalmanův filtr pro predici polohy 4.4. Maximální odchyla od prediované hodnoty Při výpočtu prediované polohy ontrolujeme, zda je naměřená hodnota dostatečně blízo prediované hodnotě. Nědy totiž může dojít tomu, že naměřená hodnota má příliš velou odchylu od prediované, v taovém případě můžeme hodnotu extrapolovat a poračovat dál s extrapolovanou hodnotou nebo ji prohlásit za chybnou. Hodnotu prahu odchyly můžeme pevně zvolit pro všechny roy Kalmanova filtru, nebo ji adaptivně přizpůsobovat. Při adaptivním výpočtu využíváme nejistot obsažených v ovarianční matici. Jednou z možností ja vypočítat tuto odchylu je výpočet pomocí Mahalanobovy vzdálenosti [1] : d = ( y ~ Hx ~ ) P 1 ( y H~ x ). (4.20) Naměřené hodnoty, teré mají menší vzdálenost od prediované hodnoty než je vypočtená odchyla, spadají do množiny potencionálních výsledů viz.apitola Výpočet zisu a atualizace stavového vetoru V této fázi již máme vypočítané zlepšení a nyní je potřeba vypočítat Kalmanův zis, terý indiuje ja velou mírou ovlivňuje zlepšení odhad. Kalmanův zis je uložen v matici K se stejným počtem elementů jao stavový vetor. Hodnoty zisu jsou obvyle v rozmezí 0 až 1. V systému, de nemáme dispozici poaždé naměřenou hodnotu, jsou hodnoty zisu orespondující s nenaměřenými hodnotami během něolia prvních cylů větší než jedna. Tato vlastnost je závislá na počátečních hodnotách stavového vetoru [11]. Kalmanův zis vypočítáme podle následujícího vztahu : ~ T [ H P H + R ] 1 ~ T = P H K. (4.21) Pro zjednodušení výpočtu, si zjednodušíme vztah výpočtem inverzní matice pro náš daný případ. 1 p11 p12 p13 1 ~ [ ] 2 K = P + [ ] p 21 p 22 p 23 0 r11. (4.22) 0 p 31 p 32 p

7. TRANSFORMÁTORY. 7.1 Štítkové údaje. 7.2 Měření odporů vinutí. 7.3 Měření naprázdno

7. TRANSFORMÁTORY. 7.1 Štítkové údaje. 7.2 Měření odporů vinutí. 7.3 Měření naprázdno 7. TRANSFORMÁTORY Pro zjednodušení budeme měření provádět na jednofázovém transformátoru. Na trojfázovém transformátoru provedeme pouze ontrolu jeho zapojení měřením hodinových úhlů. 7.1 Štítové údaje

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme. Vrátíme se obecné rovnici přímy:

Více

Úvod do Kalmanova filtru

Úvod do Kalmanova filtru Kalmanův filtr = odhadovač stavu systému Úvod do Kalmanova filtru KF dává dohromady model systému a měření. Model systému použije tomu, aby odhadl, ja bude stav vypadat a poté stav porovná se sutečným

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní

Více

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE

MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáša 5 PŘEDNÁŠKA 5 MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáša 5 Multiriteriální rozhodování

Více

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného)

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) 1 Obecný popis metody Particle Image Velocimetry, nebo-li zkráceně PIV, je měřící

Více

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem "restart". To oceníme při opakovaném použití dokumentu.

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem restart. To oceníme při opakovaném použití dokumentu. Úloha 1 - Koupě nového televizoru SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR Chceme si oupit nový televizor v hodnotě 000,-Kč. Bana nám půjčí, přičemž její úroová sazba činí 11%. Předpoládejme, že si půjčujeme na jeden ro a

Více

Reciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra.

Reciprokou funkci znáte ze základní školy pod označením nepřímá úměra. @091 7. Reciproá funce Reciproou funci znáte ze záladní šoly pod označením nepřímá úměra. Definice: Reciproá funce je dána předpisem ( 0 je reálné číslo) f : y R \ {0} A) Definiční obor funce: Je třeba

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

zpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční

zpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční Digitální zpracování signálů - Fourierova transformace, FF Frevenční analýza 3. přednáša Jean Baptiste Joseph Fourier (768-830) Zálady experimentální mechaniy Frevenční analýza Proč se frevenční analýza

Více

MOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb:

MOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: MOMENT SETRVAČNOST Obecná část Pomocí Newtonova pohybového záona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: dω M = = ε, (1) d t de M je moment vnější síly působící na těleso, ω úhlová rychlost,

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Návrh vysokofrekvenčních linkových transformátorů

Návrh vysokofrekvenčních linkových transformátorů inové transformátory inové transformátory Při požadavu na transformaci impedancí v široém frevenčním pásmu, dy nelze obsáhnout požadovanou oblast mitočtů ani široopásmovými obvody, je třeba použít široopásmových

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm)

( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm) 3.5.9 Přílady na otočení Předpolady: 3508 Př. 1: Je dána ružnice ( ;5cm), na teré leží body, '. Vně ružnice leží bod L, uvnitř ružnice bod M. Naresli obrazy bodů L, M v zobrazení řeš bez úhloměru. R (

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

3. Mocninné a Taylorovy řady

3. Mocninné a Taylorovy řady 3. Mocninné a Taylorovy řady A. Záladní pojmy. Obor onvergence Mocninné řady jsou nejjednodušším speciálním případem funčních řad. Jsou to funční řady, jejichž členy jsou mocninné funce. V této apitole

Více

Úvod do analýzy rozptylu

Úvod do analýzy rozptylu Úvod do analýzy rozptylu Párovým t-testem se podařilo prokázat, že úprava režimu stravování a fyzické aktivity ve vybrané škole měla vliv na zlepšené hodnoty HDLcholesterolu u školáků. Pro otestování jsme

Více

České vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství

České vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství České vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství Úloha KA03/č. 5: Měření kinematiky a dynamiky pohybu osoby v prostoru pomocí ultrazvukového radaru Ing. Patrik Kutílek, Ph.., Ing.

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Měření indukčností cívek

Měření indukčností cívek 7..00 Ṫeorie eletromagneticého pole Měření indučností cíve.......... Petr Česá, studijní supina 05 Letní semestr 000/00 . Měření indučností cíve Měření vlastní a vzájemné indučnosti válcových cíve ZAÁNÍ

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých

Více

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Matematické modelování dopravního proudu

Matematické modelování dopravního proudu Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení

Více

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND. Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,

Více

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Vytyčení polohy bodu polární metodou

Vytyčení polohy bodu polární metodou Obsah Vytyčení polohy bodu polární metodou... 2 1 Vliv měření na přesnost souřadnic... 3 2 Vliv měření na polohovou a souřadnicovou směrodatnou odchylku... 4 3 Vliv podkladu na přesnost souřadnic... 5

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

1.5.7 Prvočísla a složená čísla

1.5.7 Prvočísla a složená čísla 17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí:

Více

Výběr báze. u n. a 1 u 1

Výběr báze. u n. a 1 u 1 Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky

Více

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 2. úkol MI-PAA Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 Specifikaci úlohy Problém batohu je jedním z nejjednodušších NP-těžkých problémů. V literatuře najdeme množství jeho variant, které mají obecně různé nároky

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyku

6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyku 6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyu Úol : Určete Youngův modul pružnosti drátu metodou přímou (z protažení drátu). Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Zálady fyziálních měření..

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě

Více

Stanovení měrného tepla pevných látek

Stanovení měrného tepla pevných látek 61 Kapitola 10 Stanovení měrného tepla pevných látek 10.1 Úvod O teple se dá říci, že souvisí s energií neuspořádaného pohybu molekul. Úhrnná pohybová energie neuspořádaného pohybu molekul, pohybu postupného,

Více

GENETICKÉ UČENÍ NEURONOVÝCH SÍTÍ GENETIC LEARNING OF NEURAL NETWORKS. Roman Biskup, Anna Čermáková

GENETICKÉ UČENÍ NEURONOVÝCH SÍTÍ GENETIC LEARNING OF NEURAL NETWORKS. Roman Biskup, Anna Čermáková GENETICKÉ UČENÍ NEURONOVÝCH SÍTÍ GENETIC LEARNING OF NEURAL NETWORKS Roman Bisup, Anna Čermáová Anotace: Příspěve se zabývá prezentací principů učení jednoho onrétního typu neuronových sítí. Cílem práce

Více

Závislost indexů C p,c pk na způsobu výpočtu směrodatné odchylky

Závislost indexů C p,c pk na způsobu výpočtu směrodatné odchylky Závislost indexů C,C na zůsobu výočtu směrodatné odchyly Ing. Renata Przeczová atedra ontroly a řízení jaosti, VŠB-TU Ostrava, FMMI Podni, terý chce usět v dnešní onurenci, musí neustále reagovat na měnící

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

Funkční měniče. A. Na předloženém aproximačním funkčním měniči s operačním zesilovačem realizujícím funkci danou tabulkou:

Funkční měniče. A. Na předloženém aproximačním funkčním měniči s operačním zesilovačem realizujícím funkci danou tabulkou: Funční měniče. Zadání: A. Na předloženém aproximačním funčním měniči s operačním zesilovačem realizujícím funci danou tabulou: proveďte: U / V / V a) pomocí oscilosopu měnič nastavte b) změřte na něm jeho

Více

Úloha - rozpoznávání číslic

Úloha - rozpoznávání číslic Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Modelování a simulace regulátorů a čidel

Modelování a simulace regulátorů a čidel Modeloání a simulace regulátorů a čidel. Modeloání a simulace PI regulátoru Přenos PI regulátoru je yjádřen následujícím ztahem F( p) = ( + p ) p V Simulinu je tento blo obsažen nihoně prů. Bohužel použití

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Při řešení mnoha praticých problémů se setáváme s úlohami, ve terých utváříme supiny z prvů nějaé onečné množiny Napřílad máme sestavit rozvrh hodin z daných předmětů, potřebujeme

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

AVDAT Nelineární regresní model

AVDAT Nelineární regresní model AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných

Více

Diskrétní řešení vzpěru prutu

Diskrétní řešení vzpěru prutu 1 z 5 Diskrétní řešení vzpěru prutu Discrete solution of beam buckling Petr Frantík Abstract Here is described discrete method for solution of beam buckling. The beam is divided into a number of tough

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

13 Barvy a úpravy rastrového

13 Barvy a úpravy rastrového 13 Barvy a úpravy rastrového Studijní cíl Tento blok je věnován základním metodám pro úpravu rastrového obrazu, jako je např. otočení, horizontální a vertikální překlopení. Dále budo vysvětleny různé metody

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Reprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005

Reprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005 Reprezentace přirozených čísel ve ibonacciho soustavě rantiše Maňá, JI ČVUT, 2005 Úvod Ja víme, přirozená čísla lze vyádřit různými způsoby Nečastěi zápisu čísel používáme soustavu desítovou, ale umíme

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

20 - Číslicové a diskrétní řízení

20 - Číslicové a diskrétní řízení 20 - Číslicové a disrétní řízení Michael Šebe Automaticé řízení 2013 22-4-14 Analogové a číslicové řízení Proč číslicově? Snadno se přeprogramuje (srovnej s výměnou rezistorů/apacitorů v analogové řídicím

Více

Dijkstrův algoritmus

Dijkstrův algoritmus Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ

THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ Jan CHOCHOLÁČ 1 THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ BIO NOTE Jan CHOCHOLÁČ Asistent na Katedře dopravního managementu, maretingu

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Časová náročnost této hodiny je podobná hodině předchozí. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou definici. Definice

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Soustavy se spínanými kapacitory - SC. 1. Základní princip:

Soustavy se spínanými kapacitory - SC. 1. Základní princip: Obvody S - popis 1 Soustavy se spínanými kapacitory - S 1. Základní princip: Simulace rezistoru přepínaným kapacitorem viz známý obrázek! (a rovnice) Modifikace základního spínaného obvodu: Obr. 2.1: Zapojení

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

a) formulujte Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence b) pomocí tohoto kritéria ukažte, že funkční řada konverguje stejnoměrně na celé R

a) formulujte Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence b) pomocí tohoto kritéria ukažte, že funkční řada konverguje stejnoměrně na celé R ) ČÍSELNÉ A FUNKČNÍ ŘADY (5b) a) formulujte Leibnitzovo ritérium včetně absolutní onvergence b) apliujte toto ritérium na řadu a) formulujte podílové ritérium b) posuďte onvergenci řad c) oli členů této

Více

Měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem

Měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem 43 Kapitola 7 Měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem 7.1 Úvod Tíhové zrychlení je zrychlení volného pádu ve vakuu. Závisí na zeměpisné šířce a nadmořské výšce. Jako normální tíhové zrychlení g n

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Souřadnicové prostory

Souřadnicové prostory Prostor objektu Tr. objektu Tr. modelu Prostor scény Souřadnicové prostory V V x, y z x, y z z -z x, y Tr. objektu V =V T 1 T n M Tr. modelu Tr. scény x, y Tr. pohledu Tr. scény Tr. pohledu Prostor pozorovatele

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

9 Skonto, porovnání různých forem financování

9 Skonto, porovnání různých forem financování 9 Sonto, porovnání různých forem financování Sonto je sráža (sleva) z ceny, terou posytuje prodávající upujícímu v případě, že upující zaplatí oamžitě (resp. během dohodnuté ráté lhůty). Výše sonta je

Více

ZPRÁVA Z PRŮMYSLOVÉ PRAXE

ZPRÁVA Z PRŮMYSLOVÉ PRAXE ZPRÁVA Z PRŮMYSLOVÉ PRAXE Číslo projektu Název projektu Jméno a adresa firmy Jméno a příjmení, tituly studenta: Modul projektu CZ.1.07/2.4.00/31.0170 Vytváření nových sítí a posílení vzájemné spolupráce

Více

ATMOSFÉRICKÝ TLAK A NADMOŘSKÁ VÝŠKA

ATMOSFÉRICKÝ TLAK A NADMOŘSKÁ VÝŠKA ATMOSFÉRICKÝ TLAK A NADMOŘSKÁ VÝŠKA Vzdělávací předmět: Fyzika Tematický celek dle RVP: Mechanické vlastnosti tekutin Tematická oblast: Mechanické vlastnosti plynů Cílová skupina: Žák 7. ročníku základní

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

12. Elektrotechnika 1 Stejnosměrné obvody Kirchhoffovy zákony

12. Elektrotechnika 1 Stejnosměrné obvody Kirchhoffovy zákony . Elektrotechnika Stejnosměrné obvody Kirchhoffovy zákony . Elektrotechnika Kirchhoffovy zákony Při řešení elektrických obvodů, tedy různě propojených sítí tvořených zdroji, odpory (kapacitami a indukčnostmi)

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistia Přílady a otázy Petr Hebá a Hana Salsá GAUDEAMUS 2011 Autoři: prof. Ing. Petr Hebá, CSc. Autoři: prof. RNDr. Hana Salsá, CSc. Recenzenti: doc. RNDr. Tatiana Gavalcová, CSc.

Více

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem ČVUT FEL X36PAA - Problémy a algoritmy 3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem Jméno: Marek Handl Datum: 1. 1. 2009 Cvičení: Pondělí 9:00 Zadání Naprogramujte

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Tato hodina zabere opět minimálně 70 minut. Asi ji čeá rozšíření na dvě hodiny. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou

Více

6 Algebra blokových schémat

6 Algebra blokových schémat 6 Algebra blokových schémat Operátorovým přenosem jsme doposud popisovali chování jednotlivých dynamických členů. Nic nám však nebrání, abychom přenosem popsali dynamické vlastnosti složitějších obvodů,

Více

Analýza a zpracování signálů. 5. Z-transformace

Analýza a zpracování signálů. 5. Z-transformace nalýa a pracování signálů 5. Z-transformace Z-tranformace je mocný nástroj použitelný pro analýu lineárních discretetime systémů Oboustranná Z-transformace X j F j x, je omplexní číslo r e r e Oboustranná

Více

kamerou. Dle optických parametrů objektivu mohou v získaném obraze nastat geometrická

kamerou. Dle optických parametrů objektivu mohou v získaném obraze nastat geometrická Odstranění geometrických zkreslení obrazu Vstupní obraz pro naše úlohy získáváme pomocí optické soustavy tvořené objektivem a kamerou. Dle optických parametrů objektivu mohou v získaném obraze nastat geometrická

Více