1 4( 1) Co je řešením rovnice 2y 1 = 3? Co je řešením, pokud přidáme rovnici x + y = 3? Napište

Transkript

1 Řešená cvičení lineární algebr I Karel Král 10. října 2017 Tento tet není určen k šíření. Všechn chb v tomto tetu jsou samořejmě áměrné. Reportujte je prosím na adresu kralka@iuuk.mff.cuni... Obsah 1 Cviceni 1 2 1

2 1 Cvičení 1. Spočítejte ( 1 3) 4 ( ) ( ( 1 1 a + 2. Nadále budeme psát (a, b) 3 0) T místo. b) Řešení: Vektor sčítáme po jednotlivých prvcích. Výsledek: ( ) ( ) 1 4( 1) = Co je řešením rovnice 2 1 = 3? Co je řešením, pokud přidáme rovnici + = 3? Napište maticový ápis (druhou rovnici napište na první řádek), nakreslete jako průsečík přímek a jako součet vektorů. Řešení: První rovnici upravíme na = 2 (k oběma stranám přičteme jedna a pak obě stran vdělíme dvěma). Dostaneme soustavu: + = 3 = 2 Jejím řešením je očividně bod (1, 2) T (ten ískáme takvanou pětnou substitucí). Řádkový pohled dává průnik nadrovin, které jsou ve dvou roměrech přímk. Neformální intuice je, že v jedné rovnici si můžeme volit všechn proměnné až na jednu, kterou dopočítáme, dimene množin bodů, které danou rovnici splňují ted bude o jedna menší než dimene celého prostoru. (1, 2) T = 2 (0, 0) T + = 3 Sloupcový pohled: chceme najít řešení vjádřené jako součet sloupců matice ( ( ( ( ( ) = + = 2) 0) 1) 0 1) Sloupcové vektor matice nakreslíme do rovin a stejně tak vektor pravých stran. 2

3 (3, 2) T (1, 1) T (0, 0) T (1, 0)T 3. Popište průnik nadrovin 2w = 5, 2w + 3 = 3 a 2w = 1 (vše ve čtřech roměrech, ted v R 4 ). Co je to geometrick (přímka, bod nebo prádná množina)? Jaký je průnik, pokud přidáme 2w = 1? Najděte čtvrtou rovnici tak ab průnikem bla prádná množina. Řešení: Tohle nenakreslím, ale můžeme řešit jako rovnice s řešením = 2/7, = 2w 1, = 0 1 2/3, které můžeme apsat jako: 2/7 1 + w 0 2, což je přímka (honosně řečeno afinní 2/3 0 prostor). Přidáním rovnice 2w = 1 dostaneme jediný bod (dosadíme w = 1/2 do vjádření přímk). Pokud bchom chtěli přidat rovnici, tak ab neeistovalo řešení, můžeme přidat jakoukoliv rovnici, která neobsahuje přímku prvního odstavce. Nejjednodušší je 2w = Pro každou polohu tří rovin v prostoru (všechn rovnoběžné, průnik jeden bod, průnik přímka,... ) napište soustavu, která má takový tvar. Co namená rovnoběžnost rovin pro soustavu rovnic? (Hint: počet řešení a dva řádk vjadřující dvě rovnoběžné rovin.) Řešení: Rovnice = 6 určuje rovinu s normálovým vektorem (1, 2, 3) T (ten je na ni kolmý). Tato rovina procháí například bod (6, 0, 0) T, (0, 3, 0) T a (0, 0, 2) T, stačilo a dvě souřadnice cokoliv dosadit a dopočítat třetí souřadnici. 3

4 (1, 2, 3) T (0, 0, 2) T (0, 3, 0) T (6, 0, 0) T Obráek 1: Rovina se svým normálovým vektorem. Obráek 2: Tři rovin = 1 (červeně), = 1 (eleně), = 1 (modře). Všechn se protínají v jednom bodě. Obráek 3: Tři rovin = 1 (modře), = 2 (eleně), = 3 (červeně). Všechn rovnoběžné, ted nemají společný průnik. Obráek 4: Tři rovin = 1 (modře), = 2 (eleně), = 1 (červeně). Dvě rovnoběžné, ted nemají společný průnik. 4

5 Obráek 5: Tři rovin = 1 (modře), = 1 (červeně), + = 1 (eleně). Žádné rovnoběžné, ale nemají společný průnik. (1, 1, ) T Obráek 6: Tři rovin = 1 (modře), = 1 (červeně), + = 2 (eleně). společný průnik je přímka. Žádné rovnoběžné, 5. Určete středovou rovnici kružnice procháející bod (3, 3) T, (1, 5) T, (5, 5) T Pro připomenutí kružnice se středem S = (s 1, s 2 ) T a poloměrem r [0, ) má rovnici ( s 1 ) 2 +( s 2 ) 2 = r 2. Řešení: Napišme si soustavu rovnic: Po ronásobení: (3 s 1 ) 2 + (3 s 2 ) 2 = r 2 (1 s 1 ) 2 + (5 s 2 ) 2 = r 2 (5 s 1 ) 2 + (5 s 2 ) 2 = r 2 Od první i od druhé rovnice odečteme třetí rovnici: Výsledkem ted je: ( 3) 2 + ( 5) 2 = 2 2. s 2 1 6s s 2 2 6s = r 2 (1) s 2 1 2s s s = r 2 (2) s s s s = r 2 (3) 4s s 2 16 = 0 8s 1 24 = 0 5

6 Obráek 7: Kružnice se středem v (3, 5) T a poloměrem dva. 6. Pod jakou podmínkou jsou bod (0, 1 ) T, (1, 2 ) T, (2, 3 ) T na jedné přímce? Pod jakou podmínkou jsou bod (0, 0) T, ( 1, 2 ) T, ( 3, 4 ) T na jedné přímce? Řešení: Napišme si parametrickou rovnici přímk procháející bod (0, 1 ) T, (1, 2 ) T, ta je (0, 1 ) T + t(1, 2 1 ) T pro t R. Ab třetí bod (2, 3 ) T ležel na této přímce, musí t = 2 a ted 3 = 2( 2 1 ). Obdobně řešíme i druhý případ, parametrická rovnice je t( 1, 2 ) T a třetí bod ted splňuje 3 = t 1 a ároveň 4 = t 2 (pro tu samou hodnotu t). Tento příklad je řešitelný obdobně i pomocí obecné rovnice. 7. (a) Napište parametrické vjádření S = { u + t v t R} přímk jdoucí bod (1, 2) T, (4, 3) T. Řešení: Parametrické vjádření se skládá e startovního vektoru u a směrového vektoru v, podél kterého se můžeme pohbovat e startu. Startovní vektor můžeme volit například vektor (1, 2) T a směrový ískáme jako druhý vektor { minus tento první (4, 3) T (1, 2) T = (3, 1) T. Parametrické vjádření ted je (1, 2) T + t(3, 1) T t R }. Platí, že místo ted vpočteného směrového vektoru můžeme vít jeho jakýkoliv nenulový násobek, což mění jen hodnotu parametru t. Všimněte si, že volně aměňuji bod prostoru R 2 a vektor. Pokud volíme soustavu souřadnic, pak se na bod můžeme dívat jako na vektor jeho souřadnic. Naproti tomu vás čeká mnohem obecnější definice vektorů. Vektorem bude mimo jiné i funkce f : R R. (4, 3) T (1, 2) T (3, 1) T Obráek 8: Přímka, vnačený směrový vektor. (b) Napište obecnou rovnici a + b + c = 0 přímk jdoucí bod (0, 3) T, (1, 4) T. Nakreslete vektor (a, b) T, nepřijde vám kolmý na tu přímku? 6

7 Řešení: Zde řešíme soustavu rovnic, případně určíme směrový vektor a k němu kolmý vektor vaný normálový (pro vektor (a, b) T je kolmým vektorem vektor ( b, a) T i vektor (b, a) T, to že jsou opravdu kolmé bude předmětem některého příštího cvičení). Směrový vektor je (1, 1) T, normálový ted bude (1, 1) T. Normálový vektor udává koeficient a, b v rovnici a + b = c. Dosaením dopočteme koeficient c. Výsledek je = 3. Opět můžeme celou rovnici násobit nenulovým číslem a přímka ůstane neměněna. (1, 4) T (0, 3) T (1, 1) T (1, 1) T Obráek 9: Přímka, vnačený normálový vektor. (c) Převed te obecnou rovnici = 0 na parametrické vjádření. Řešení: Můžeme spočítat dva bod ležící na této přímce a postupovat jako v předešlém případě. Druhá možnost je spočítat směrový vektor (2, 3) T (kolmý na normálový vektor (3, 2) T ) a dopočítat startovní bod například dosaením nul a a ískáním (0, 1/2) T. (d) Převed te parametrické vjádření S = { (1, 2) T + t( 1, 2) T t R } na obecnou rovnici. Řešení: Můžeme spočítat dva bod ležící na této přímce a postupovat jako v předešlém případě. Druhá možnost je spočítat normálový vektor (2, 1) T (kolmý na směrový vektor ( 1, 2) T ) a dopočítat c = 4 pro počáteční bod ( c = 0). Jsou daná vjádření jednonačná? Řešení: Nejsou. Směrový vektor můžeme vnásobit libovolnou nenulovou konstantou. Navíc jako počáteční bod můžeme volit libovolný bod na dané přímce. Obdobně celou obecnou rovnici můžeme vnásobit libovolnou nenulovou konstantou. Najděte obě vjádření rovin procháející bod (1, 2, 0) T, ( 1, 0, 1) T, (0, 3, 1) T, pokuste se je na sebe navájem převést. Co b se stalo, kdb všechn tři bod bl na jedné přímce? Řešení: TODO 7