Cvičení KMA-MAF1 Neurčitý a určitý integrál. Jiří Fišer 9. prosince 2011
|
|
- Vladimíra Němečková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Cvičení KMA-MAF Neurčitý určitý integrál Jiří Fišer 9. prosince
2 Obsh Úlohy n přímou integrci 3 Úlohy n jednoduché substituce 3. Lineárnísubstituce ux+b Dlšíjednoduchésubstituce Integrce metodou per prtes 4 3. Výpočet I c I s Rekurentnívzorecprointegrál I n Integrce rcionálních funkcí 7 4. Typyprciálníchzlomkůjejichintegrce Postup při integrci rcionálních funkcí P(x)/Q(x), kde P(x), Q(x) jsoupolynomy: Příkldynintegrcircionálníchfunkcí Integrce některých ircionálních funkcí 5. Eulerovysubstituce Určitý integrál 7 7 Dlší integrční metody (pro určitý i neurčitý integrál) 8 7. Integrcegoniometrickýchfunkcí Integrcesoučinugoniometrickýchfunkcí Goniometrickéhyperbolickésubstituce UžitíEulerovýchvzorcůprovýpočetněkterýchintegrálů Vlstnosti určitého integrálu závislé n integrovné funkci Vlstnosti určitého integrálu závislé n intervlu integrování Určitýintegrál metodperprtes Určitýintegrál metodsubstituční Vět o střední hodnotě integrálního počtu 9 9 Aplikce určitého integrálu v geometrii 3 9. Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů vrovině Vzorceproobshdélku Plochrovinnýchobrzců Délkoblouku(křivky) Těžištěoblouku Těžištěplochy
3 Úlohy n přímou integrci Úloh.. I Řešení. I 5 x 3 5x 3 x 5x ( 3 5x 3 ) x x x 5 x x x cos x 5 Úloh.. I cos x 3 x cos x 5 Řešení. I cos x 5 x +Cx 5 +6x +C. 3 x 5 cos x. Úlohy n jednoduché substituce. Lineárnísubstituce ux+b ( ) Úloh.. I cos(x 3)+sin(x+5). (cos(x 3)+sin(x+5) ) Řešení. I ux 3 v x+5 du dv du cos(u)du + cos(x 3) + sin(v)dv sin(u) cos(v)+c sin(x 3) cos(x+5)+c. sin(x+5).. Dlší jednoduché substituce Úloh.. I e x. Řešení. I e x ue x due x duu du u du u u u(u ) du u+u ( u)+(u ) u(u ) du u(u ) du du u(u ) 3
4 ( u u(u ) + u u(u ) u du ) ( du ) u + du u u duln u ln u +C ln e x ln e x +Cln e x lne x +Cln e x x+c. x Úloh.3. I x. Řešení. I x x ux dux du x u +C u+c x +C. du u u du 3 Integrce metodou per prtes (u v) u v+uv uv (u v) u v uv (u v) u vuv u v. Úloh3.. I sin x. ] usinx v Řešení. I sin x sinx u sinxcosx+ cos x cosx v cosx sinxcosx+ ( sin x) sinxcosx+ sin x sinxcosx+ x sin x. Máme tedy rovnost: sin x sinxcosx+x sin x. Odtud: sin x x sinxcosx +C. 4
5 Úloh3.. I x cosx. ux Řešení. x v cosx cosx u x v sinx x sinx x x sinx sinx ux v sinx u v cosx ] xsinx ] x sinx+x cosx cosx x sinx+ x cosx sinx+cx sinx+ x cosx 4 sinx+c. Úloh3.3. I tg x. Řešení. I tg x sin x cos x usin x v cos x u sinxcosx vtgx sinx cosx sin 3 x cosx sin x ] sin x sinx cosx sin x x sinxcosx +C (Úloh 3.) sin 3 x cosx x sinxcosx +C sin3 x cosx x+sinxcosx+c. sinxcosx sinx cosx 3. Výpočet I c I s Úloh 3.4. Vypočtěte I c e x cosbx, I s e x sinbx (budeme počítt primitivní funkce pro C ). Řešení.Vintegrálu I c sepoužijedvěmzpůsobymetodperprtes:)pro u cosbxv e x,b)pro ue x, v cosbx: ] ) I c e x ucosbx v cosbx e x u bsinbx v ex ex cosbx+ b e x sinbx ex cosbx+ b I s. 5
6 b) I c e x cosbx b ex sinbx b I s. Tím dostneme soustvu ue x v cosbx u e x v b sinbx ] b ex sinbx b e x sinbx tedy odtud I c ex cosbx+ b I s, I c b ex sinbx b I s, ex cosbx+ b I s b ex sinbx b I s, b I s+ b I s b ex sinbx ex cosbx b, I s sinbx bcosbx +b e x. (b + )I s e x sinbx be x cosbx, I c ex cosbx+ b I s ex cosbx+ b ( +b )cosbx+bsinbx b cosbx ( +b ) sinbx bcosbx +b e x e x bsinbx+cosbx +b e x 3. Rekurentnívzorecprointegrál I n Úloh3.5.Nlezněterekurentnívzorecprointegrál I n ( +x ) n, n. Řešení.Vintegrálu I m,kde m,položíme u ( +x ) n, v dostneme x I m ( +x ) m +mi m m I m+,odkudvyjádříme I m+.položíme-lipk mn,dostneme I n (n ) x ( +x ) n + n 3 (n ) I n. 6
7 Úloh3.6.Vypočtěte I ( +x ) 3. Řešení.Využijemerekurentnívzorecpro I 3 : x 3 3 I I 3 (3 ) ( +x ) 3 + (3 ) I 3 x 6 ( +x ) ( +x ) ( ) x 6 ( +x ) + 3 x n 3 6 ( ) ( +x ) + ( ) I ( x 6 ( +x ) + 3 ) x 6 8 +x + 8 +x ( ( x 6 ( +x ) + 3 )) x 6 8 +x ( ) x ( x 6 ( +x ) + 3 ( x 6 8 +x + 8 rctg x ) ) +C 6 ( x ( +x ) +3 8 x +x rctg x ) +C. 4 Integrce rcionálních funkcí 4. Typy prciálních zlomků jejich integrce.. 3. A x Aln x +C. A A (x ) k k (x ) k +C. Ax+b x +px+q A x+ b A x +px+q A A x+q x +px+q + A q+ b A x +px+q A ln x +px+q + A ( q+ b ) A x+q q+ b A x +px+q x +px+q. 7
8 4. Ax+b (x +px+q) k A A x+q (x +px+q) k+ A A A k (x +px+q) k + x+ b A (x +px+q) k A q+ b A (x +px+q) k ( q+ b ) A x+q q+ b A (x +px+q) k (x +px+q) k. Typy mjí ve svých jmenovtelích nerozložitelné polynomy(nemjí reálné kořeny). Úloh 4.(Příkld dopočtu 3. typu). x +x+3 (x +x+)+ (x+) + ( ) x+ + x+ rctg +C rctg x+ +C. Úloh 4.(Příkld dopočtu 4. typu). (x +x+3) ] (x +x+)+] ux+ (x+) +] du du (u +) u du 4+u + 4 u + u du 4+u + ( ) 4 + ( ) u u 4+u + 8 rctg +C x+ u 4+(x+) + ( x+ 8 rctg )+C. 4. Postup při integrci rcionálních funkcí P(x)/Q(x), kde P(x), Q(x) jsou polynomy: Při jejich integrování převádíme rcionální funkci n uvedené zákldní typy, přičemž využíváme pozntků z lgebry. Algoritmus: () Je-li stupeň čittele menší než stupeň jmenovtele, přejdeme n krok(). Jink užitím dělení uprvíme funkci n tvr P(x) Q(x) A(x)+ R(x) Q(x), kde A(x) je polynom, který již dovedeme integrovt R(x)(zbytek dělení) je polynom stupně nižšího než Q(x); tedy: snížíme stupeň čittele pod stupeň jmenovtele. 8
9 () Je-li jmenovtel rozložen n lineární kořenové činitele nerozložitelné kvdrtické polynomy, přejdeme n bod(3), jink tento rozkld jmenovtele provedeme. (3) Je-li ve jmenovteli jen jeden kořenový činitel nebo jeho mocnin nebo jen jeden nerozložitelný kvdrtický polynom nebo jeho mocnin, přejdeme n bod(4); jink provedeme rozkld zlomku R(x)/Q(x) n prciální zlomky. (4) Integrujeme všechny komponenty rozkldu funkce y P(x)/Q(x). 4.3 Příkldy n integrci rcionálních funkcí Úloh 4.3. Njděte primitivní funkci Řešení. Rozkldem n prciální zlomky odkud Doszením x (x+)(x+)(x 3). x (x+)(x+)(x 3) A x+ + B x+ + C x 3, xa(x+)(x 3)+B(x+)(x 3)+C(x+)(x+). x : 4A A 4 x : 5B B 5 x 3: 3 C C 3 x (x+)(x+)(x 3) 4 x+ 5 x+ + 3 x 3 4 ln x+ 5 ln x+ + 3 ln x 3 +c. Úloh 4.4. Njděte primitivní funkci x 4 +5x x 3 x. Řešení. Vydělením rozkldem jmenovtele dostneme x 4 +5x x 3 x x+6x +x x 3 x x+ 6x +x (x )(x +x+) Rozkldem n prciální zlomky 6x +x (x )(x +x+) A x + Bx+C x +x+ 9
10 odkud 6x +x A(x +x+)+(bx+c)(x ). Doszením x : 5 5A A porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x x : 6 A+B B 4 x : A C C 3. Je tedy x 4 +5x x 3 x x+ x + 4x+3 x +x+. Zlomek 4x+3 x +x+ jeprciálnízlomek.druhu,přijehointegrcipostupujeme následovně 4x+3 x +x+ 4x+ x +x+ + x +x+, prvníintegrálvprvořešímesubstitucí tx +x+,pkdt(4x+) po doszení 4x+ dt x +x+ ln t ln(x +x+), t ve druhém integrálu uprvíme nejprve jmenovtele x +x+x +x]+(x+ ) 4 ]+(x+ ) + 4(x+ ) +] (x+) +] dálesubstitucí tx+,pkdtpodoszení x +x+ (x+) + dt t + rctgtrctg(x+). Výsledkem je tedy x 4 +5x x 3 x x +ln x +ln(x +x+)+rctg(x+)+c.
11 Úloh 4.5. Njděte primitivní funkci x 4 + x 5 +x 4 x 3 x. Řešení. Úprvou jmenovtele x 5 +x 4 x 3 x x (x 3 +x x )x (x+)(x )x (x+) (x ) rozkldem n prciální zlomky dostneme Máme odkud doszením x 4 + A x 5 +x 4 x 3 x x + B C x + x+ + D E (x+) + x. x 4 + Ax(x+) (x )+B(x+) (x )+ +Cx (x )+Dx (x )+Ex (x+), x : B B x : D D x : 4E E porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x x 4 : A+C+E x : A B dostneme A, B, C, D, E. Je tedy x 4 + x 5 +x 4 x 3 x x x x+ (x+) + x ln x + x ln x+ + x+ + ln x +c.
12 5 Integrce některých ircionálních funkcí Úloh5..Vypočtěte I Řešení. I 6 x 3 x+ 4x 6 t 6 3 t 6 + dt6 4t 66t5 t 4 3 +t dt3 6 x 3 x+ 4x. NSN{,3,6}6 xt 6 6t 5 dt t 6 t +t 3dt6 ( t 3 t +t + ( ) t t3 3 + t t+ln t+ +C 3 ( x x ) dt t+ xt x x 6 +ln x 6 + )+C t 4 +t dt t 6 xx 6 ] 3 3 x x+ 3 3 x 3 6 x+3ln 6 x+ +C. 4 Úloh5..Vypočtěte I (x ) (x ). Řešení. I (x ) 3 x x (x ) (x ) 3 3 3(x ) (x ) (x ) (x ) x x t3, x (x )t 3, x xt 3 t 3, x( t 3 ) t 3, x t3 t 3, 3t ( t 3 ) ( t 3 )( 3t ) ( t 3 ) dt, 6t +3t 5 +3t 3t 5 ( t 3 ) dt, 3t ( t 3 ) dt 3(x ) 3(x ) (x ) 3t ( t 3 ) ( dt ) t 3 t 3 t 3 3 3t ( t 3 ) dt t 3 +t 3 t 3 t 3t ( t 3 ) dt t t 3
13 3t t 3 dt ( t 3 ) t 3t t 3dt 3t (t 3 )(t ) A t 3 + Bt+C t Eulerovy substituce Používjí se pro výpočet integrálů typu. 3t (t 3 )(t ) dt. ( R x, ) x +bx+c,kde R je rcionální funkce dvou proměnných. Účelem substituce je převést integrování ircionální funkce n integrování funkce rcionální. Eulerovy substituce jsou tři: () x +bx+c x+tpro >];hlvnímyšlenk:poumocněnísen oboustrnáchrovnostirušíčleny x. () x +bx+cxt+ cpro c >];hlvnímyšlenk:poumocněnísen oboustrnáchrovnostirušíčleny crovnostlzedělit x. (3) x +bx+c t(x λ)kde λjereálnýkořen];hlvnímyšlenk:po umocnění lze rovnost dělit kořenovým činitelem(x λ). Po nlezení integrálu z příslušné rcionální funkce se vrcíme k původní proměnné, tj. dosdíme při.substituci t x +bx+c x, x +bx+c c při.substitucitoje t, x x +bx+c při3.dosdíme t. x λ Úloh 5.3. Ověřte, že při výpočtu x 4x +5x+lzepoužítvšechnytři substituce. Ve všech přípdech převeďte integrál n integrál z funkce rcionální. Řešení. 4>, c>,uvedenýtrojčlenmáreálnékořeny,tkžejsou splněny předpokldy pro všechny tři Eulerovy substituce: 3
14 .ES:Připoužití.substitucemáme 4x +5x+x+t,tedy 4x +5x+ 4x +4xt+t, 5x+ 4xt+t, 5x 4xt t, x(5 4t) t, x t 5 4t, t(5 4t) (t )( 4) (5 4t) t 8t +4t 4 (5 4t) t 4t 4 dt, (5 4t) 4x +5x+ x+t, 4x +5x+ t 5 4t +t, 4x +5x+ t +5t 4t, 5 4t 4x +5x+ t +5t. 5 4t Vrátíme se k integrálu dosdíme: x t 4x +5x+ 5 4t t +5t t 4t 4 dt 5 4t (5 4t) 96 t t 56 48( 5+4t) ( 5+4t) + 48( 5+4t) 45 5 ln( 5+4t)+C z tdosdíme ] 4x +5x+ x ( ) 3 7 4x +5x+ x 4x +5x x ( 5+4 4x +5x+ 8x ) 3 ( 5+4 4x +5x+ 8x ) + ( 5+4 4x +5x+ 8x ) 4 dt, dt,
15 45 ( 5 ln 5+4 ) 4x +5x+ 8x +C..ES:Připoužití.substitucemáme 4x +5x+xt+,tedy: 4x +5x+ xt+, 4x +5x+ x t +xt+, 4x +5x x t +xt, 4x+5 xt +t, 4x xt t 5, x t 5 4 t, (4 t ) (t 5)( ) (4 t ) t +4t (4 t ) dt, 4x +5x+ t 5 4 t t+ 4x +5x+ t t t 3 4 t. dt, Vrátíme se k integrálu dosdíme: x t 5 4x +5x+ t t t 3 t +4t dt 4 t 4 t (4 t ) ( 64(t ) (t ) 3+ 5(t ) + 56(t ) (t+) (t ) (t+) z t dosdíme (t+) (t ) 3 5 (t+) x +5x+ ] x (t+) 7 56 (t+) (t ) ln(t ) ) dt (t+) 7 56 ln(t+)+c 9 ( ) 3 4x +5x+ + 3 x 56 ( 4x +5x+ ) x 5
16 ( ) ( ) 3 4x +5x x 56 ln 4x +5x+ x ( ) 3 ( 43 4x +5x x +5x+ +) 64 x 56 x ( ) ( ) 89 4x +5x x 56 ln 4x +5x+ + + x C. 3.ES: Při použití 3. substituce máme tedy 4x +5x+ (x+)(4x+) (x+)(4x+) t(x+), (x+)(4x+) t (x+), (4x+) t (x+), 4x xt t, x t 4 t, 4(x+)(x+ 4 )t(x+), t(4 t ) (t )( t) (4 t ) 6t (4 t ) dt. dt, Vrátíme se k integrálu dosdíme: x ( ) t t 4x +5x+ 4 t t 6t 4 t + (4 t ) dt ( ) t 3t 4 t 6t (t )t 4 t (4 t ) dt8 (4 t ) 4dt 8 3 t3 36 t +4t x +5x+ ] z t dosdíme x+ t t 5 536t 3 +C 8 3 ( 4x +5x+ (x+) ) 3 36 ( ) 4x +5x+ + (x+) 6
17 ( ) 9 4x +5x (x+) 7 ( ) 7 4x +5x+ + (x+) ( ) 5 ( ) 3 4x +5x+ 4x +5x C. (x+) (x+) 6 Určitý integrál Newtonův vzorec Vět6.(Newtonůvvzorec).Nechťfunkce fjeintegrovtelnán,b mátu (zobecněnou) primitivní funkci F. Pk pltí b f(x) F(x) ] b x F(b) F(). 7
18 7 Dlší integrční metody (pro určitý i neurčitý integrál) 7. Integrce goniometrických funkcí Přehled substitucí pro dvou proměnných: R(cosx,sinx), kde R je rcionální funkce ()sinxt,pokud R( cosx,sinx) R(cosx,sinx), ()cosxt,pokud R(cosx, sinx) R(cosx,sinx), (3)tgxt,pokud R( cosx, sinx)r(cosx,sinx), (4)tg x dt t t(univerzálnísubstituce).xrctgt, +t,sinx +t, cosx t t +t,tgx t. Převeďte n integrál z rcionální funkce: Úloh7.. I sinx+cosx. ttg x dt +t Řešení. I dt +t sinx t t +t + t +t +t cosx t +t dt t+ t. Úloh7.. I Řešení. I 4 ( ) 4. π/ sinxt cosxdt sin 3 xcosx. ] t 3 dt ] 4 t4 sin 4 x ] π/ 4 x Úloh7.3. I Řešení. I π/4 cos 5 xsinx. cosxt sinxdt sinx dt t 5 dt t 6 ] 8
19 cos 6 x ] x π/4 (cos6 cos 6 ( π/)) ( ). π/4 sin 3 x Úloh 7.4. Vypočtěte I cosx tkto:čtyřmirůznýmisubstitucemi sin 3 x převeďte příslušný neurčitý integrál cosx nintegrálzrcionálnífunkce, z těchto čtyř výsledků vyberte ten nejjednodušší příkld dopočítejte jen tímto jedním způsobem. Řešení. tsinx: tcosx: sin 3 x cosx tsinx dtcosx sin 3 x cos x cosx sin 3 x cosx tcosx dt sinx dtsinx ] sin 3 xcosx cosx cosx sin 3 x sin x cosx t 3 t dt sin x cosx sinx cos x t t sinx ( dt) dt cosx t t ( t ) dt t ttgx: sin 3 x ttgx cosx dt cos x sin 3 x cos 3 x cos4 x cos x cos x sin x+cos x cos x tg x+ cos x tg x+ t + cos 4 x (+t ) ] sin 3 xcosx cos x tg 3 xcos 4 x cos x t 3 (+t ) dt 9
20 ttg x : sin 3 x cosx ttg x dt +t sinx t +t cosx t +t 6t 3 (+t ) 3 ( t ) dt Dopočítáme nejjednodušší tvr(v rámečku): ( t ) dt t x t ln t +Ccos Určitý integrál: I π/4 cos π 4 ( ) ] sin 3 x cos π/4 cosx x ln cosx ln cos π 4 ( cos ln x ( t +t ) 3 +t dt t +t ln cosx +C. ) ln cos ( ) ln 4 ln ( ) 4 ln 4 ( )ln 4 +ln. 7. Integrce součinu goniometrických funkcí sinnxsinmx sinnxcosmx cosnxcosmx sin x cosx, cos x +cosx. ] cos(n m)x cos(n+m)x, ] sin(n m)x+sin(n+m)x, ] cos(n m)x+cos(n+m)x,
21 Úloh7.5.Vypočtěte I sin3xsin4x. Řešení. Integrnd uprvíme pomocí vzorce v rámečku: ] I cos(3 4)x cos(3+4)x ] cos( x) cos7x ( ) cos(x) cos7x ( sin(x) sin7x ) +C Goniometrické hyperbolické substituce Přehled substitucí: () R (x, ) x,substituce xsint(nebo xtht), () (3) R (x, ) +x,substituce xtgt(nebo xsht), R (x, ) x,substituce x cost Úloh7.6.Vypočtěte I x x. (nebo xcht). Řešení.Zřejmějdeopřípd(),kde.Použijemesubstituci xsint. xsint I x costdt x x sin tcos t x t x tπ/ π/?? sint cos tcostdt z dz π/ cos tsintdt ]? 3 z3 z? ] π/ 3 cos3 t + x 3 3. zcost dz sintdt dzsintdt Připřechoduod xktjsmemezetrnsformovli,vedruhémpřípděne,stčilo, žejsmesenkonecvrátilikproměnné t.
22 Úloh7.7.Vypočtěte I (x +4x+7) 3. Řešení. Nejprve je potřeb převést integrnd n potřebný tvr(pomocí doplnění n čtverec substituce: ] z x+ I (x +4x+7) 3 (x+) +3] 3 dz 3 dz z +3] 3 3 cos t 3 cos t cos 3 t cos t dt 3 subst.č.(),kde 3 z 3tgt dz z +3 3 dz 3 cos dt t z +33tg t+3 3(tg t+)3 cos t 3 3 cos t dt 3 cos 3 t 3 3 dt cos t ( ) 3 3 dt cost 3 sin ( rctg x+ 3 )+C. x Úloh7.8.Vypočtěte I. x Řešení. I ( x x costdt 3 sint+c 3 sin ( rctg z 3 )+C ) tgt cost dt cost) ( cost subst.č.(3),kde x cost sint cos t dttgt cost dt cos t cost cos t sin t sint cos t costtgtdt cost costtgtdt tgtdt cos t cos t cost sinttgtdt. tgtdt
23 7.4 Užití Eulerových vzorců pro výpočet některých integrálů cosx ( e ix +e ix), sinx ( e ix e ix). i e ix cosx+isinx, e ix cosx isinx. Úloh7.9.Vypočtěte I e x cosx. Řešení. I cosx ( e ix +e ix)] e x ( e ix +e ix) x ( ) e x+ix + e x ix ( e (+i)x + ( +i e(+i)x + ) i e( i)x +C ( i +i i e(+i)x + ) +i i+i e( i)x +C ( i e (+i)x + +i e )+C ( i)x 5 5 ) e ( i)x ( ( i)e (+i)x +(+i)e ( i)x) +C ex( ( i)e ix +(+i)e ix) +C ex (( i)(cosx+isinx)+(+i)(cosx isinx))+c (cosx+sinx icosx+isinx+ ex ) +cosx+sinx+icosx isinx +C ex (4cosx+sinx+i( cosx+sinx+cosx sinx))+c 5 ex (cosx+sinx)+c. 7.5 Vlstnosti určitého integrálu závislé n integrovné funkci Vět 7.(lineární vlstnosti). 3
24 ()Je-li f R(,b ), k R,pk kf R(,b )pltí b kf(x)k b f(x). ()Je-li f,g R(,b ),pk(f+g) R(,b )pltí b ] b f(x)+g(x) f(x)+ b g(x). Vět 7.(vlstnosti vyjádřené nerovnostmi). Nechť f, g R(, b ). (3)Je-li f(x) n,b,pk b (4)Je-li f(x) g(x)n,b,pk (5) f(x) R(,b )pltí b f(x). b f(x) b g(x). b f(x) f(x). Úloh 7.. S využitím nerovnosti(4) z předchozí věty dokžte, že x 3 sin 4 x 4 ln. Řešení. Vyjdeme z nerovnosti pro funkci sin x: ze které přejdeme n sinx x, x R, sin 4 x x 4, x R. Integrovný zlomek tedy můžeme n uvžovném intervlu odhdnout: Podle(4) dostneme: x 3 sin 4 x x 3 sin 4 x x3 x4, zdepro x ;]. x 3 x 4 ] 4 ln( x4 ) x 4 (ln ln) 4 ln. 4
25 7.6 Vlstnosti určitého integrálu závislé n intervlu integrování Vět7.3(ditivitintegrálu).Nechť < c < b.pk f R(,b ),právěkdyž f R(,c ) f R( c,b ).Přitompltí b Úloh 7.4. Vypočtěte I f(x) 3 c f(x)+ b c f(x). x x x+. 5 x Obrázek:Grffunkce y x x x+. Řešení. Pro integrci výrzů s bsolutní hodnotou rozdělíme n intervly: x 3,,, x x x x x+ (x+) x+ x+ x x x+ x+x(x+) x x(x+) x x(x+) poúprvě x +3x+ x 5x+ x 3x I Po rozdělení n tři integrály doszení dostneme: (x +3x+)+ ( x 5x+)+ 3 5 ( x 3x ).
26 I Nyní již provedeme výpočet: 3 (x +3x+)+ ( 3 x3 + 3 x +x ] x 3 + ( 3 ( )3 + 3 ) ( ) +( ) ( ) + ( x 5x+)+ 3 x3 5 x +x ] x + ( 3 ( 3)3 + 3 ( 3) +( 3) ( 3 ( )3 5 ( ) +( ) ( ) ( )] ( 6 + ) 3 +6 ( ( x 3x ) 3 x3 3 x x )] + ( 8+ 7 )] 3 + ( 3 ) 5 + ) ( 3 )] )] + +( ) ] x ( )] Určitý integrál metod per prtes Vět7.5.Jsou-li u, v spojitén,b,pk b Úloh 7.6. Vypočtěte I Řešení. I b u(x)v (x)u(x)v(x)] b x u (x)v(x). π ux u v sinx v cosx xsinx. π ] cosx] πx + cosx π. 6
27 7.8 Určitý integrál metod substituční Máme-li při výpočtu určitého integrálu použít substituci, pk můžeme nejprve vypočíst primitivní funkci pk použít Newtonův vzorec, nebo můžeme provést trnsformci mezí. V závislosti n tom, jkou substituciprovádíme(h(x)tnebo xϕ(z))použijemejednuznásledujících dvou vět. Vět7.7(substituce h(x)z).nechť f(x)mátvr f(x)g h(x) ] h (x),kde h (x)jespojitán,b g(z)jespojitáprovšechn z h(x),pokud x,b. Pk b f(x) Úloh 7.8. Vypočtěte I b π g h(x) ] h (x) sin 3 xcosx. h(b) h() Řešení. Použijeme předchozí větu, neboť zřejmě funkce kde Dále máme ověřit, že cožjistěje, sin 3 xcosx mátvr g h(x) ] h (x), h(x)sinx g(z)z 3. h (x)cosx jespojitán,b g(z)z 3 jespojitáprovšechn z h(,b )sin g(z)dz. (), π, (, π ),, což je jistě tké prvd. Substitucísinxztedybude h(x)sinxz, h()sin I h (x)cosxdz, h(b)sin π ] z 3 dz z 4 4 ] 4. Vět7.9(substituce xϕ(z)).nechť A < b B,nechť f(x)jespojitán A,B, ϕ (z)nechťjespojitán α,β nechťpro z α,β leží ϕ(z)vintervlu A,B, ϕ(α), ϕ(β)b.pk b f(x) β α f ϕ(z) ] ϕ (z)dz. () 7
28 Úloh 7.. Vypočtěte I Řešení. I π cos zdz x. ] xsinz x z coszdz x z π ]π z+sinz π 4. z Zdejsmehledli αβzrovnic sin(α)ϕ(α), π sin zcoszdz sin(β)ϕ(β)b, tk máme(nejjednodušší řešení, le možností je více je lhostejné, kterou z nich vybereme) α β π. Máme ověřit, že derivce substituční funkce je spojitá n zvoleném intervlu, π,cožjejistěprvd,neboťϕ (z)cos(z)jespojitáfunkce.dálenászjímá, kmsubstitučnífunkcezobrzíintervl α,β, π, ( ϕ, π ),. Zdetedykrozšířenípůvodníhointervlu,b, nedochází,tkstčí vyšetřitpřípd A B b,tedyvyšetřitspojitostpůvodní integrovnéfunkce f(x) x nintervlu A,B,,cožzřejmě oprvdu je. Úloh 7.. Vypočtěte Řešení. ln5 ln5 e x }{{} gh(x)] ln5 e x ex. z h(x) e x, z e x, e x z + e x ex dz h (x) ex e x x z e xln5 z e ln5 e x e x } {{ } h (x) ln5 (ex ) ] + } {{ } gh(x)] e x e x } {{ } h (x) (z +) } {{ } g(z) dz ] z (z 3 +)dz 3 +z ( 8 z 3 +) ()]8 3. 8
29 Poznámk 7.(K. Rektorys kol.: Přehled užité mtemtiky). Jk nesmíme provádět integrci substitucí, vyplývá z těchto příkldů: Příkld 7.3. Integrál 4 x nelzeintegrovtsubstitucí xsinz,neboť prožádnýintervl α z βnebude xsinzprobíhtintervl,4.dný integrállzejistěřešitnpříkldsubstitucí x z x.přitombude x 4, z Příkld 7.4. Řešme integrál Substituce: tgxz, π +tg x, k >, k. +ktg x cos x dz, (+tg x)dz; tg(), tg(π). Je tedy π +tg x +ktg x dz +k z. Výsledek je zřejmě nesprávný, neboť integrál z kldné funkce je kldný nemůžemedosttjkovýsledeknulu.chybvzniklásubstitucítgxzjevtom,žetgx jev,π nespojitávbodě x π. 8 Vět o střední hodnotě integrálního počtu Vět8.(ostředníhodnotěintegrálníhopočtu).Nechť f R(,b )pltí m f(x) M.Pkexistuječíslo µ m,m tk,že b f(x)µ(b ). Je-li fspojitá,pkexistuječíslo ξ,b tk,že b f(x)(b )f(ξ). Úloh 8.. Podle věty o střední hodnotě integrálního počtu určete střední hodnotu µ funkce: y xnintervlu,4. 9
30 Řešení. Podle věty o střední hodnotě µ vypočteme následovně: b f(x)µ(b ) µ b f(x) (b ) 4 x (4 ) 4 3. Funkce xjen,4 spojitá,tkžeexistujepříslušné ξ: µf(ξ), 4 3 ξ ξ ( ) ,7. Situci ilustruje následující obrázek: µ 4 3 ξ,7 Úloh 8.3. Podle věty o střední hodnotě integrálního počtu určete střední hodnotu µ funkce: ysinxnintervlu,π. Řešení. Podle věty o střední hodnotě µ vypočteme následovně: b f(x)µ(b ) µ b f(x) (b ) π sinx (π ) π. Funkcesinxjen,π spojitá,tkžeexistujepříslušné ξ(dokoncedvě): µf(ξ), π sinξ ξ rcsin π,69, ξ π ξ,45. Situci ilustruje následující obrázek: 3
31 µ π ξ,69 π ξ,45 π 9 Aplikce určitého integrálu v geometrii 9. Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů vrovině Úloh9..Vypočtěteobshobrzceohrničenéhoprbolou y x osou x. P Řešení. Po nčrtnutí grfu zjistíme, že jde vlstně o úlohu n výpočet určitého integrálu(dotčený grf prboly leží nd osou x), u které le nejprve musíme nlézt integrční meze. Jde o průsečíky prboly s osou x, tedy nulové body: y x, x x, x b. P ( x ) x x3 3 ] x j ]. 3
32 Úloh9..Vypočtěteobshobrzceohrničenéhoprbolou y x +přímkou y3 x. A P Řešení. Z obrázku je zřejmé, že meze pro výpočet njdeme jko x-ové souřdnice průsečíků obou grfů, tedy z rovnice: x +3 x, x +x, x 9, x b. Dálezobrázkuvíme,že ] x A (x 3 +) 3 +x x j ] ] A+P (3 x) 3x x 3 x +6+ j ]. A tedy dohromdy: P(A+P) A 69 j ]. 9. Vzorceproobshdélku Explicitně Prmetricky Polárně β α b Obsh f(x) β y ψ(t)ϕ (t)dt α ϕ ρ (ϕ)dϕ ϕ 3 β α ϕ ϕ b Délk křivky +f (x) ϕ (t)+ψ (t)dt ρ (ϕ)+ρ (ϕ)dϕ
33 9.3 Ploch rovinných obrzců Úloh9.3.Grfyfunkcí f gvymezilyvrovinějistoukonečnouplochu.vypočtěte obsh této plochy, jestliže: f(x)4x 3 +4x 8x, g(x) x 3 x +4x. Řešení. Nejprve musíme zjistit, zd se grfy obou funkcí vůbec protnou, jkým způsobem: Průsečíky: f(x)g(x) x 5, x, x 3 4. Situci si ilustrujeme n následujícím obrázku: A y f(x) B y g(x) Zeznlostivzájemnévelikosti f(x)g(x)nintervlech 5,,4 dostnemeplochyoblstí AB: P P A +P B 5 5 ( ) f(x) g(x) + 4 ( ) g(x) f(x), pokud bychom neznli jejich uspořádání, stčí vzít: ( ) 4 ( ) P P A +P B f(x) g(x) + f(x) g(x), nebo dokonce P 4 5 f(x) g(x). Pro konečný výpočet použijeme prostřední vzth: ( ((4x f(x) g(x)) 3 +4x 8x ) ( x 3 x +4x )) ( 6x 3 +6x x )) 3 x4 +x 3 6x +C. 33
34 P ( ) 4 ( ) f(x) g(x) + f(x) g(x) 5 3 x4 +x 3 6x ] x4 +x 3 6x ] 4 Úloh9.4.Grfyfunkcí f gvymezilyvrovinějistoukonečnouplochu.vypočtěte obsh této plochy, jestliže: f(x)3x 4 +6x 3 89x, g(x) x 4 x 3 +63x. Řešení. Nejprve musíme zjistit, zd se grfy obou funkcí vůbec protnou, jkým způsobem: Průsečíky: f(x)g(x) x 9, x x 3, x 4 7. Situci si ilustrujeme n následujícím obrázku: y f(x) A B y g(x) Nebudeme hledt uspořádání funkcí n intervlech 9,, 7, přímo vezmeme: ( ) 7 ( ) P P A +P B f(x) g(x) + f(x) g(x). ( f(x) g(x)) 9 ((3x 4 +6x 3 89x ) ( x 4 x 3 +63x )) ( 4x 4 +8x 3 5x )) 4 5 x5 +x 4 84x +C. 34
35 P ( ) 7 ( ) f(x) g(x) + f(x) g(x) x5 +x 4 84x ] x5 +x 4 84x ] 4 Úloh 9.5. Určete obsh steroidy x cos 3 t, y sin 3 t, t, π. Řešení.Mámetedy x cos3 tϕ(t), t, π. y sin 3 tψ(t), N následujícím obrázku je znázorněn steroid postup výpočtu(vyjdeme ze symetrie steroidy, tk vypočteme obsh obrzce A jko čtvrtinu obshu celé steroidy): A 35
36 Použijeme vzorec pro výpočet obshu plochy ohrničené grfem funkce zdné prmetricky: β β P A y π ψ(t)ϕ (t)dt ( sin 3 t )( 3cos t( sint) ) dt α π π π α sin 4 tcos tdt ( cost)sin tdt 3 6 sin t cost, sin tcos t sin t 4 π ( cos4t cost+costcos4t ) dt costcos4t cos6t+cost ] π π ( cos4t cost+ cos6t+cost ) ( cost cos4t+cos6t)dt (t 3 )]π 3 sint sin4t+6 sin6t ( cost)( cos4t)dt dt ( ( 3 π ) ( + 6 )) 3 3 π 3 3 π A tedy celková ploch steroidy je P4P A 3 8 π. ] 36
37 9.4 Délk oblouku(křivky) s β α ds β Úloh 9.6. Určete délku oblouku steroidy α x +y dt x cos 3 t, y sin 3 t, t, π. Řešení. x 3cos tsint, x 3cos tsint, x +y 9 (cos 4 tsin t+sin 4 tcos t )9 sin tcos t ( sin t+cos t ) s 9 sin tcos t. π/ 3sintcostdt3 ] π/ sin t 3. (Funkcesinticostjsounintervlu, π nezáporné,tkžepoodmocněnínení třeb psát bsolutní hodnotu.) Délkobloukusteroidyje s 3. (Celkovádélksteroidyjetedy 4s6.) 37
38 Objem těles Pomocí Riemnnov integrálu funkce jedné proměnné lze počítt objemy ve dvou přípdech. )Tělesoležímezirovinmi x, xbznámefunkci P(x),jejížhodnoty znmenjí obsh řezu těles rovinou kolmou k ose x. Element objemu je objemtělesje V P(x) x, tj. dv P(x), V b P(x). b)rotčnítěleso,kdeosourotcejeosxkterévzniknerotcíkřivočrého lichoběžníku ohrničeného grfem funkce f n intervlu, b. Zde je řezem kruhoobshu πf(x)] pltí V π b ] π b f(x) y. 38
39 Úloh 9.7. Vypočtěte objem těles vzniklého rotcí grfu funkce y x kolem osy xnintervlu,. Řešení. Vyjdeme ze vzorce pro objem těles vzniklého rotcí grfu funkce f kolem osy x: b ] ] π x V π f(x) x π x 3 π 3 3 j3 ]. y x Úloh9.8.Vypočtěteobjemtělesvznikléhorotcígrfufunkce ysin x kolem osy xnintervlu,π. Řešení. Obdobně jko u předchozí úlohy: V π π sin x π π cosx π x sinx]π π (π) π j 3 ]. ysin x π 39
40 Povrch rotční plochy Jdeoplochyvzniklérotcíkřivky lkolemosy x.elementpovrchuplochyje Sπy s, tkže diferenciál povrchu plochy je dsπyds. Je-li křivk l dán prmetricky: x ϕ(t), y ψ(t), t α,β, je β ϕ Sπ ψ(t) (t) ] + ψ (t) ] dt, α je-li křivk l dán explicitně: je Sπ y f(x), x,b, b f(x) + f (x) ]. Úloh 9.9. Vypočtěte povrch těles vzniklého rotcí grfu steroidy kolem osy x. Řešení. Ze symetrie steroidy vyplývá, že celkový povrch získáme jk dvojnásobek povrchu těles vzniklého rotcí prvního oblouku steroidy kolem osy x: ( β ) ( ) π P π yds π sin 3 t3sintcostdt α π π sin 4 tcostdt 5 π. 4
41 9.5 Těžiště oblouku ds y x Nhrzení těles hmotným bodem o stejné hmotnosti umístěným v těžišti stejné sttické momenty vůči osám. Hmotnostkřivky mσs, přijednotkovéměrnéhmotnosti: σ ms. Těžiště: Tx T ;y T ]. Těleso: m s M x M y β α β Hmotnýbod: M x my T α xds, yds. y T M x m M y mx T x T M y m β α β α β α β α xds, ds yds. ds 4
42 Úloh 9.. Určete těžiště jednoho oblouku steroidy. Řešení. Z dřívějšk víme, že délk( tedy i hmotnost při jednotkové délkové hustotě) jednoho oblouku steroidy je ms 3. Vzhledem k tomu, že uvžovný oblouk steroidy leží v prvním kvdrntu je symetrický vzhledem k ose prvního třetího kvdrntu(viz obrázek), tk jeho těžištěležíntétoose,tkže y T x T. y T x T M x m π/ s yds π/ sin 3 t3sintcostdt 3 π/ sin sin 4 5 t tcostdt 5 ] π/ Těžištěprvníhoobloukusteroidytedyležívbodě T ( ) 5 5. ] 5 ; 5. 4
43 9.6 Těžiště plochy y y y Nyníuvžujmejedenelementdesky,kterýmášířku x(). Sttický moment tohoto elementu vzhledem k ose x je dm x (y) σ y (hmotnost elementu násobená rmenem síly), podobně x x dm y (y) σ x. Sttický moment celé(homogenní) desky vzhledem k osám je M x b σ y, M y σ b xy. Těžiště Tx T,y T ]rovinnédeskyjebod,kterýmávzhledemksouřdnicovým osám stejný sttický moment jko celá desk, pokud z jeho hmotnost povžujeme hmotnost m celé desky. Proto mx T M y, my T η M x ztoho(pozkrácení σ) x T b b xy, y T y b b y. y Pokudmádesktvroblstinormálnívzhledemkose x,tj.je-li x b, y y y, pk lze podobně odvodit vzorce pro souřdnice těžiště: x T b b x(y y ), y T (y y ) b (y +y ) (y y ). b (y y ) 43
44 Úloh9..Určetetěžiště prvníhokvdrntu steroidy Řešení. Z dřívějšk víme, že ploch( tedy i hmotnost při jednotkové plošné hustotě) prvního kvdrntu steroidy je Aopětzesymetrie x T y T M x m π mp 3 8 π. ψ (t)ϕ (t)dt P 33 π sin7 tcos tdt π π 4 π 4 π costz sintdtdz t z t π z π přehození znménk mezí sin 6 t3cos t( sint)dt 3 8 π π ( cos ) 3 cos tsintdt 4 π ( ( 3z +3z 4 z 6 )z ) dz 4 π z 3 3 3z5 5 +3z7 7 z9 9 ] ( z ) 3 z dz ( z 3z 4 +3z 6 z 8) dz 4 π π π. 44
6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
VíceII. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
Více18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.
I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce
Více12.1 Primitivní funkce
Integrání počet. Primitivní funkce Již jsme definovli pojem derivce funkce, k funkci f(x) jsme hledli její derivci f (x). Nyní chceme ukázt opčný postup, tzn. k funkci f (x) njít funkci f(x). Přesněji,
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceMatematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.
.. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
VícePři výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
VíceIntegrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
VíceMatematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné
Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Vícef(x)dx, kde a < b < c
URČITÝ INTEGRÁL jeho plikce Newton-Leibnizov formule f(x)=f(b) F(), kde F (x)=f(x). Vlstnosti ) ) ) 4) Substituce f(x)+ c f(x)= f(x)= f(x)= b f(g(x))g (x)= f(x)= f(x) c f(x), kde < b < c pro fsudou, =
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VícePřehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceObsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
Více2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme
VíceMATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejz Dohnl, CSc. IV. ákldy integrálního počtu 1 Mtemtik I. I. Lineární lgebr II. ákldy mtemtické nlýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Mtemtik I. IV. Integrální
VícePrimitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce
Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce............ 7 Metody výpočtu primitivních funkcí............. Rcionální funkce................... 7 Ircionální funkce...................
VíceMATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Ostrv Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Vsoká škol áňská Technická univerzit
Více3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90
ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy
VíceVýpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
VíceKřivkový integrál prvního druhu verze 1.0
Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
VíceIII.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E
VíceMasarykova univerzita
Msrykov univerzit Přírodovědecká fkult Diplomová práce Web k témtu: Integrální počet Bc. Ev Schlesingerová Brno 9 Prohlášení Prohlšuji, že jsem tuto diplomovou práci npsl sm s použitím uvedené litertury.
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
VíceUr itý integrál. Úvod. Denice ur itého integrálu
V tomto lánku se budeme v novt ur itému integrálu, který dné funkci p i zuje íslo. My²lenk integrování pochází z geometrických poºdvk - zji² ování povrch, objem délek geometrických útvr. To znmená, ºe
VíceDigitální učební materiál
Digitální učení mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo název šlony klíčové ktivity III/ Inovce zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceNeurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012
Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace
VíceSprávné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010
právné řešení písemné koušky mtemtiky- vrint A Přijímcí říení do NMgr. studi učitelských oborů Příkld. Vyšetřete průběh funkce v jejím mimálním definičním oboru nčrtněte její grf y Určete pritu (sudá/lichá),
Více4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
Více1.1 Numerické integrování
1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
Více2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]
- FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé
VíceHyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná
Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Pro různé situace se hodí různé metody (výpočtu!). Jak již bylo několikrát zdůrazněno,
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
Vícevás seznámí s učivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování měli umět.
POKYNY KE STUDIU Pokyny ke studiu V úvodu si vysvětlíme jednotnou pevnou strukturu kždé kpitoly tetu, která by vám měl pomoci k rychlejší orientci při studiu Pro zvýrznění jednotlivých částí tetu jsou
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
Více5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti
Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
VíceSbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................
Více3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU
APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít
Více( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled
řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
Více( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306
7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
VíceKapitola 1. Taylorův polynom
Kpitol Tylorův polynom Definice. Budeme psát f = o(g) v R, je-li lim x ( f )(x) =, f = O(g) g v R, je-li ( f ) omezená n nějkém U (). g Příkld. lim x (x + x + 3) 5 (x 5 x 3 + 7x 9) = lim x + o(x ) x x
Víceje daná funkce. Množinu všech primitivních funkcí k f na I nazveme neurčitým f(x)dx nebo f.
MATEMATICKÁ ANALÝZA INTEGRÁLNÍ POČET PŘEDNÁŠEJÍCÍ ALEŠ NEKVINDA. Přednášk Oznčme R = R {, } jko v minulém semestru. V tomto semestru se budeme zbývt opčným úkonem k derivování. Primitivní funkce. Definice.
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceÚlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C
52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceIntegrální počet funkcí jedné proměnné
Integrální počet funkcí jedné proměnné Neurčité integrály Určité a nevlastní integrály Geometrické aplikace určitého integrálu. p.1/?? Neurčité integrály Příklad 7.1.1 Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý
Více8. cvičení z Matematiky 2
8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF RNDr. Petr Rádl RNDr. Bohumil Černá RNDr. Ludmil Strá 0 Petr Rádl, 0 ISBN 97-0-77-9- OBSAH Předmluv... Poždvky k přijímcí zkoušce z mtemtiky..
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceHyperbola a přímka
7.5.8 Hperol přímk Předpokld: 75, 75, 755, 756 N orázku je nkreslen hperol = se středem v počátku soustv souřdnic. Jká je vzájemná poloh této hperol přímk, která prochází počátkem soustv souřdnic? E B
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceJEDNODUCHÝ INTEGRÁL příklady. pro vysoké školy
JEDNODUCHÝ INTEGRÁL příkldy pro vysoké školy Bohemicus mthemticus doctor Pvel Novotný 0 Vzor citce: NOVOTNÝ, P. Jednoduchý integrál příkldy : pro vysoké školy. Bučovice : Nkldtelství Mrtin Stříž, 0. 6
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
VíceMatematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce
Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceJsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.
Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.
.4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli
Víceje parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné
1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2
Více2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17
Obsh Derivce Integrály 6. Neurčité integrály.................. 6. Určité integrály....................3 Aplikce v geometrii fyzice............ 6 3 Posloupnosti řdy funkcí 7 3. Posloupnosti funkcí.................
Více10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
Více3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru
Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém
VíceKŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 URČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Dněček, Oldřich Dlouhý,
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
Více