4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost

Transkript

1 4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost Michael Šebek Automatické řízení

2 Stabilita obecně Automatické řízení - Kybernetika a robotika Stabilita obecně schopnost zotavit se z perturbací (nenulové pp. nebo krátká porucha) Nelineární systém: stabilita řešení (ekvilibria), které může být stabilní, nestabilní, neutrální Lineární systém: jen jedno ekvilibrium, proto stabilita systému Definice: Říkáme, že LTI systém je (vnitřně) stabilní právě když každý jeho počáteční stav odezní do nuly. Pokud některý počáteční stav do nuly neodezní (stav zůstane nenulový, osciluje nebo diverguje), pak systém vnitřně stabilní není U spojitého LTI stavy odeznívají asymptoticky (exponenciálně), proto se tato stabilita nazývá asymptotická Vnitřní stabilita je vlastnost systému ne přenosu Věta: Spojitý LTI systém je (vnitřně) stabilní právě když má jeho charakteristický polynom všechny kořeny v levé polorovině. Rozlišuj mezi definicí a větou (testem) 2

3 Odezva na počáteční podmínky / stav Po rozkladu na parciální zlomky každému reálnému kořenu si = ai násobnosti k odpovídají módy at i at i k at i e, te,, t e a každé komplexní dvojici kořenů si = ai ± jbi násobnosti l odpovídají at i at i e sin bt i, e cos bt i, at i at i te sin bit, te cos bit, at i t e sin bt, t e cosbt l at i l i Všechny tyto průběhy (a každý zvlášť) odezní do nuly Re s = a < { } i Proč zrovna v levé polorovině? i n ( n ) ( as n + + a ) y( ) + + an y ( ) y() s = a( s) x( s) = adj ( si A) x( ) a( s) mez stability patří do nestabilní oblasti Im stabilní nestabilní Polynom s kořeny jen vlevo se nazývá stabilní v Hurwitzově smyslu i 3 Re

4 Jiný pojem je stabilita typu BIBO (Bounded Input Bounded Output) Definice: Přenos je BIBO stabilní právě když odezva na každý omezený vstupní signál je také omezená Pokud nějaký omezený vstupní signál vyvolá na výstupu neomezenou odezvu, pak přenos BIBO stabilní není BIBO stabilita je vlastnost přenosu (ze vstupu na výstup), ne systému Interně stabilní syst. má všechny přenosy BIBO stabilní, opačně to neplatí Opačně to platí jen když jsou všechny módy systému vidět v přenosu Příklady systémy BIBO stabilní, ale vnitřně nestabilní BIBO Stabilita s nestabilní část není zvenku pozorovatelná Přenos je BIBO stabilní, ale některé počáteční podmínky nevymizí s nestabilní část není řiditelná vstupní signál se do ní nedostane 4

5 Jak se odhadne stabilita polynomu Nutná podmínka stability polynomu (A. Stodola): n Stabilní polynom ps () = s + + a má všechny koeficienty kladné Pro druhý stupeň je to nejen podmínka nutná, ale i postačující: 2 Polynom p() s s as a je stabilní, právě když a, a > Vysvětlení (pro stupně a 2 platí oběma směry): p () s = s+ a Pro vyšší stupně je to jen nutné: Násobením členů. a 2. řádu s kladnými koeficienty už nekladné koeficienty nevzniknou Ale není to postačující, p3() s = ( s + )( s+ ) = s + s + s+ viz protipříklad: s,2 = ± j 5 = p2,real( s) = ( s + a)( s + b) = s + ( a + b) + ab, ( a + b) > & ab > a, b > ,complex ( ) = ( + + )( + ) = ( + ) + = p s s c jd s c jd s c d s cs c d 2c> &( c + d ) > c>

6 Jak se testuje stabilita polynomu Výpočet kořenů, případně rovnou jejich zobrazení v minulosti se neumělo (Maxwell), dnes je to nečastější moderní SW a numerická matematiky to rychle vypočtou Dost přesné vyjma případu vícenásobných kořenů, což ale pro test stability většinou nevadí Matlab: roots, v toolboxech často předefinováno, dále Symbolic Math Tbx: solve (pozor na Abela) Control Systems Tbx: pzplot Polynomial Tbx: zpplot Speciální metody Hurwitzova metoda (hlavní minory Hurwitzovy matice > ) Routh-Hurwitzův test stability - mechanická rutina Dnes se užívá pro jiné účely, k testování stability zřídka Naučte se ji sami z učebnic (např. Franklin 5/e s 32-33) 6

7 n n Pro polynom p() s = s + an s + + as + a je Hurwitzova matice čtvercová n n matice tvaru H( p) an an 3 an 5 an 2 an 4 a a a n n 3 n 5 = an 2 an 4 Hurwitzova matice Hurwitzův test stability: ps () je stabilní, právě když H( p) má všechny hlavní minory kladné Jasné, ale nepraktické: naučte se variantu Routh-Hurwitzovu viz Čtení Orlandovo lemma: H( p ) singulární, právě když má ps () dva kořeny symetrické podle imaginární osy 7 a

8 Proč je stabilizace obtížná Hurwitzův test stability je založen na Hurwitzově matici: Polynom je stabilní právě když jsou všechny hlavní minory kladné 3 2 Pro polynom třetího stupně p() s = s + as + as+ a to je 2 a2 a a2 > H( p) a aa 2 > a a2, a, a > = aaa 2 2 a> aa 2 > a a2 a Podmínky stability jsou v koeficientech nelineární, proto oblast stability v koeficientech není tak jednoduchá jako v kořenech a nestabilní a stabilní a 2 a [X Y]=meshgrid(.:.:.,.:.5:3); Z=Y./X; surf(x,y,z) stabilní a a a 2 2 Při návrhu regulátorů bohužel častěji pracujeme s koeficienty, proto je vyjma trivialit většina úloh složitá, nekonvexní, nelineární,. 8 a stabilní nestabilní a

9 Pozor na nestabilní soustavy Automatické řízení - Kybernetika a robotika Odstrašující příklad at e Jaký mód/pól odpovídá průběhu výkonu? a =? 9

10 Vliv nestabilní nuly - Převrácená odezva Když k systému ys () = gsus ()() přidáme nestabilní nulu v s =, jeho odezva se změní na ys () = s gsus ()() = ( s) y( s) = ys ( ) sys ( ) ( ) tedy se od původní odezvy odečte její derivace (ta má typicky stejné znaménko jako odezva, a tak jde odečtení proti původnímu průběhu) Např. ze skokové odezvy ys () = s 2 ( s+ 2) + 9 odečtením derivace sy() s dostaneme ys () = ( sys ) () = s 2 ( s + 2) + 9 Systém zpočátku reaguje opačně a později to napraví nejde tedy o změnu polarity! Souvisí to s pojmem neminimální fáze, proto se v literatuře místo nestabilní nula někdy říká nula neminimálně fázová ys () = ( sys ) () sy() s odezva na skok je zpočátku převrácená ys ()

11 Minimální fáze = systém i jeho inverze jsou ryzí a stabilní /pro spojité LTI as (), bs () deg as ( ) = deg bs ( ) Tedy stabilní a Pak jsou ve frekvenční oblasti amplituda a fáze vázány Hilbertovou transformací { ω } arg f( jω) = H ln f( j ) ln f( jω) = ln f( j ) + arg ( ) Systém s minimální fází bs () as () f() s =, finv () s, f() s finv () s as () = bs () = def g( ω) H { g( ω)} = dτ. π ω τ H( jω) = e αω ( ) + jφω ( ) H { f jω } φω ( ) = H { αω ( )} αω ( ) = α( ) + H { φω ( )} Obecně mezi nimi žádný vztah není Systém s minimální fází má mezi systémy se stejnou amplitudovou charakteristikou minimální přírůstek fáze při přechodu ω : Systém s maximální fází = všechny kořeny čitatele nestabilní, maximální přírůstek fáze při ω : Mezi tím: smíšená neboli neminimální fáze

12 Co můžeme vybudit a co se projeví na výstupu Automatické řízení - Kybernetika a robotika Řiditelnost (controllability) vstupním signálem můžeme ovlivnit jen tu část systému, která se dá řídit (nějak vybudit vstupním signálem) = řiditelná část systémů pokud můžeme vstupem vybudit všechny části (módy) systému, říkáme že systém je (plně) řiditelný Pozorovatelnost (observability) zkoumáme-li výstup systému, vidíme z něj jen to, co se na výstupu může pozorovat (co se tam nějak projeví) = pozorovatelná část systému pokud se na výstupu mohou projevit všechny části (módy) systému, říkáme že systém je (plně) pozorovatelný Z toho plyne, že odezvu na počáteční podmínky a/nebo na vstupní signál ovlivňuje jen pozorovatelná část (módy) systémů odezvu na vstupní signál ovlivňuje jen ta část (módy) systémů, která je současně pozorovatelná a řiditelná 2

13 Možnost dělat se systémem co chci: Řiditelnost Automatické řízení - Kybernetika a robotika Definice: matice řiditelnosti C = n B AB A B Následující tvrzení jsou ekvivalentní systému je úplně řiditelný systém nemá neřiditelnou (divnou) část všechny módy systému můžeme vybudit akčním zásahem každý stav systému lze řídit (třeba do nuly) stavový popis lze převést do normální formy řiditelnosti matice řiditelnosti má plnou hodnost (u SISO je nesingulární) [ ] řiditelnost není vlastností přenosu, ale stavové realizace platí rank s I AB, = n s C adj( si AB ) při výpočtu přenosu se nic nekrátí mezi ( si A) B= det( si A) stavovou ZV můžeme libovolně posouvat póly systému 3

14 když předchozí tvrzení neplatí, tak máme problém Neřiditelný systém Důvody špatný model (např. stavový popis zbytečně vysokého řádu) systém opravdu nejde dobře řídit a musíme ho předělat (přemístit nebo přidat aktuátor apod.) sami jsme neřiditelnost způsobili nevhodným spojením podsystémů Neřiditelnost nemusíme poznat z přenosu (někdo už ho mohl vykrátit) nemusí být ještě úplný průšvih, pokud je neřiditelná část systému stabilní - pak je systém alespoň stabilizovatelný Mezi tím je špatná řiditelnost matice řiditelnosti je skoro singulární, přenosy skoro soudělné špatně se řídí, špatná dynamika, velká spotřeba energie 4

15 Možnost vidět, co se v systému děje: Pozorovatelnost Automatické řízení - Kybernetika a robotika Definice: matice pozorovatelnosti je C Následující tvrzení jsou ekvivalentní CA O = systému je úplně pozorovatelný n- každý stav systému lze zpětně pozorovat (vypočítat) CA všechny módy systému můžeme v principu pozorovat na výstupu systém nemá nepozorovatelnou (divnou) část stavový popis lze převést do normální formy pozorovatelnosti matice pozorovatelnosti je nesingulární T T pro každé komplexní s platí rank T ( s ) I A C = n při výpočtu přenosu se nic nekrátí mezi pozorovatelnost Cadj( si A) C( si A) = není vlastností det( si A) přenosu, ale stavové realizace můžeme libovolně navrhnout tzv. pozorovatele 5