Reálné opce v investičním rozhodování

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Reálné opce v investičním rozhodování"

Transkript

1 ČEKÉ VYOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta Elektrotechnická Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Reálné opce v investičním rozhodování Diplomová práce tudijní program: elektrotechnika a informatika tudijní obor: ekonomika a řízení elektrotechniky a energetiky Vedoucí práce: Prof. Ing.Oldřich tarý, Csc. Jiří Lahoda Praha 200

2 Poděkování Poděkování Prof. Ing. Oldřichu tarému, Csc. Za odborné vedení diplomové práce, zejména za cenné rady praktické aplikaci metod a všem ostatním, kteří svými užitečnými připomínkami přispěli k jejímu vzniku. 2

3 Prohlášení Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci vypracoval samostatně a použil jsem pouze podklady uvedené v přiloženém seznamu literatury. Nemám závažný důvod proti užití tohoto školního díla ve smyslu zákona 60 Zákona č. 2/2000 b., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon). V Praze dne

4 Abstract The dokument is a short introduction into real option evaluation. I tis dividend into free main chapters. First part describes simple financial options and methods for their valuation. econd part describes different types of real options in more detail. Last chapter is about implementation of program for evalutation of simple type sof real options. Abstrakt Tato práce je úvodem do problematiky reálných obcí. Je rozdělena do několika částí. První část se zabývá finančními opcemi a stanovováním jejich hodnot. Druhá část detailně popisuje některé typy reálných opcí spolu s jejich užitím a výpočtem hodnoty. Třetí část je popis implementace programu pro výpočet hodnot jednoduchých opcí. 4

5 Obsah. Úvod Opce Historie opcí Typy opcí a jejich hodnota v čase Kupní opce (CALL) Prodejní opce (PUT) Americká opce Evropská opce Asijské opce Hodnota opcí Black-cholesův model Modely s použitím diskrétního času - Binomické a trinomické stromy Analytické modely pro americké opce s výplatou dividend imulační modely Monte Carlo Metoda čisté současné hodnoty Reálné opce Opce jednoduché Opce na odložení projektu Opce na rozšíření projektu Opce na ukončení Opce na zúžení Opce volby v projektu Opce s hranicí (barierou) Opce složené Opce sekvenční Opce paralelní Rainbow opce Opce s proměnou volatilitou Ostatní opce Implementace a dokumentace O programu Efekt Rozšíření programu o podporu reálný opcí

6 4.3. Ovládání a funkčnost List Reálné opce vstupy List Reálné opce výstupy Implementace Příklady užití programu Efekt Parkoviště s.r.o Parkoviště s.r.o. další vývoj Závěr Citovaná literatura eznam použitých zkratek Přílohy Příloha Zdrojový kód obsluhy formuláře FormOpceUkonceni Příloha Zdrojový kód subrutiny PrepocetOpceNaUkonceni z modulu ModVstupyOpce Příloha Parkoviště s.r.o Příloha Parkoviště s.r.o. další vývoj Obsah CD

7 . Úvod Hlavní cíle diplomové práce se dají shrnout do následujících: Zjistit co jsou to reálné opce o Historie a rozdělení finančních opcí o Výpočet hodnoty opcí matematické modely a simulace Popsat jednotlivé typy reálných opcí a rozdělit je do jednotlivých kategorií o Jednoduché a složené opce o Další typy opcí o U každého typu uvést reálný příklad použití při hodnocení projektu Rozšířit program Efekt o podporu hodnocení projektů pomocí reálných opcí o Naprogramovat další funkce a upravit ovládání programu Efekt pro podporu výpočtů hodnoty projektu pomocí reálných opcí o Využít takto upravený program pro výpočet reálných příkladů Zhodnotit splnění výše zmíněných cílu Tyto cíle jsem rozebíral v jednotlivých kapitolách v podobném pořadí. Kapitola 2 se zabývá úvodem do problematiky finančních opcí, prochází historický vývoj jejich užívání až do současnosti. Popisuje jednotlivé základní typy finančních opcí a uvádí základní techniky výpočtu jejich hodnoty. V závěru potom popisuje metodu NPV jako předchůdce oceňování pomocí reálných opcí. Kapitola 3 se detailněji zabývá rozdělením reálných opcí spolu s popisem jejich podstaty a výpočtu jejich hodnoty. Ke každému typu opce je pak uveden krátký příklad pro ilustraci jejího využití. Kapitola 4 popisuje samotnou úpravu programu Efekt. Úpravy zobrazovacích a ovládacích části stejně jako i samotné programové obsluhy. 7

8 problematiky. Předposlední kapitola 5 rozebírá použití upraveného programu Efekt na reálných příkladech. Závěrečná kapitola 5.2 se pak věnuje zhodnocení dosažených cílů a rozvádí možnosti rozšíření 8

9 2. Opce Následující kapitola rozebírá historický vznik a vývoj obchodu s opcemi. Věnuje se rozdělení jednotlivých typů finančních opcí a na závěr probírá jednotlivé metody výpočtu jejich hodnoty. Na úplném konci nalezneme popis metody NPV pro stanovování hodnoty projektu. 2.. Historie opcí Kontrakty typu opce jsou požívány, už několik století. Jako příklad by se dala použít středověká Anglie. V této době byl vydán zákaz podle, kterého nesměli Křesťané pobírat a ani platit úroky z půjček. Půjčování peněz se tímto zásahem výrazně ztížilo. Jedna z variant jak tuto překážku obejít zahrnovala operaci s pozemky. Často si majitel pozemku potřeboval půjčit peníze a jako zástavu využit jeden z pozemků. Majitel pozemku přesunul vlastnictví pozemku na toho, kdo mu půjčoval peníze. Ten mu výměnou předal předem stanovenou částku a držel pozemek ve svém vlastnictví i s případnými výnosy. Ke konci předem stanovené doby měl původní vlastník právo odkoupit pozemek zpět a to za předem stanovenou cenu. Celý tento postup je podobný půjčce, ale kontrakt je jiný. Pozemek je prodán půjčujícímu, ale původnímu majiteli zůstala možnost (opce) koupit pozemek zpět. Význam opcí stoupal s tím jak se obchod a i samotné opce dařilo standardizovat. První legitimní forma opcí se objevila během tulipánové bubliny v Holandsku začátkem 7. století. Během této doby se používali opce na nákup, nebo prodej tulipánových cibulek. Ty dávaly kupcům právo nakoupit nebo prodat určitý typ cibulky v určitém čase v budoucnosti. Ceny tulipánů a odvozených opcí neudržitelně stoupaly. Po prasknutí této tulipánové bubliny, v lednu roku 637 mnoho obchodníků s opcemi zkrachovalo. Opce se poté staly nepopulárními na mnoho let. Opce se znovu objevili v 90. letech 6 století v Anglii. Docházelo však k častým podvodům a neetickému chování obchodníků. Brzy byl vydán tzv. Barnardův zákon podle Johna Barnarda, který ho (Thomson, 2007) 9

10 uvedl v roce 733 v platnost 2. Ten byl nakonec roku 860 zrušen. Obchod s opcemi se příštích sto let nadále zvyšoval. Na území UA kde je spojen hlavně se vznikem CBOT (Chicago Board of Trade) se jednalo hlavně o opce spojené s komoditami. V Evropě bylo centrum obchodu především na území Anglie. V posledních desetiletích došlo k prudkému rozvoji obchodu. Pravděpodobně ze dvou důvodů. Objev uskutečněný Myronem cholesem a Fisherem Blackem, první ekonomický model, který umožňuje oceňovat opce na základě náhodně se vyvíjející ceny podkladového aktiva. Druhým důvodem bude zřízení dobře organizovaných, automatizovaných a zabezpečených obchodních systémů Typy opcí a jejich hodnota v čase Opce lze dělit podle mnoha kritérií. Je možné je vystavit na ohromné množství podkladových aktiv mezi nejpoužívanější patří: kurz měn, cena komodit (zlato, stříbro, ropa, obilí), cena akcií. Nejčastěji používaným kritériem dělení je typ opce (ve smyslu směru pohybu podkladového aktiva) a doba kdy lze opční právo využít. Podle prvního kritéria můžeme opce dělit na opce typu kupní (CALL) a prodejní (PUT). U obou typů opcí se vypisovatel opce zavazuje splnit předem stanovené podmínky, pokud se jí držitel opce rozhodne uplatnit. Za nákup opce musí kupující zaplatit vypisovateli určitý bonus, který se nazývá opční prémie. V praxi se kupující nachází v dlouhé pozici označované jako Long a vypisovatel v krátké pozici označované hort. Dlouhá pozice umožňuje se rozhodnout, zda opci využije či nikoliv, naproti tomu krátká pozice je vždy závislá na tomto rozhodnutí. Z hlediska času se opce dělí na opce amerického a evropského typu. Podle toho jestli lze opčního práva využít po celou dobu trvání opce, nebo jen v přesně stanoveném termínu. peciálním typem opce je opce asijská. Ta se liší v odvození její ceny, která je odvozená od průměrné hodnoty podkladového aktiva. 2 (Poitras, 2002) 0

11 2.2.. Kupní opce (CALL) Kupující (neboli držitel) kupní opce (CALL) má právo, nikoliv povinnost koupit předem stanovené množství komodity, nebo finančního instrumentu od prodávajícího (nebo také vypisovatel) za předem stanovenou cenu (strike price). Prodávající neboli vypisovatel je povinen kupujícímu toto podkladové aktivum prodat. Kupující si v tomto případě přeje, aby cena podkladového aktiva v budoucnosti stoupala, prodávající naopak doufám, že cena podkladového aktiva bude klesat. V takovém případě by kupující opci nevyužil a prodávající (nebo vypisovatel) by obdržel výše zmíněnou opční prémii (P). V opačném případě pokud by cena podkladového aktiva ( T ) stoupala, kupující by opci využil a koupil by podkladové aktivum za nižší cenu než je jeho tržní hodnota. Jeho zisk by tedy byl rozdíl tržní ( T ) a realizační ceny (E) mínus opční prémie (P), kterou musel zaplatit. Můžeme si všimnout, že výše ztrát není pro prodávajícího nijak ohraničena a může být v konečném důsledku teoreticky neomezená. CALL opce přináší kupujícímu největší přínos, když se cena pokladového aktiva zvyšuje. Jakmile přesáhne předem dohodnutou cenu (realizační), opce se nalézá tzv. v penězích. To znamená, že od této ceny výše má pro kupujícího smysl této opce využít. Zisky kupujícího (Z) z kupní opce pro množství akcií n jsou charakterizovány následující rovnicí 3. Z = P + max 0; T E n (.) Pro přehlednost si uveďme jednoduchý příklad. Mějme na straně kupujícího pana Optimistu a na straně prodávajícího pana Pesimistu. Jako podkladové aktivum určíme akcie společnosti Nahodilost a.s., které se v roce 2008 prodávají za 000 Kč/ks. Pan Optimista se domnívá, že ceny akcií této společnosti porostou a pan Pesimista předpokládá opak. Z tohoto důvodu p. Pesimista prodá opci na nákup deseti akcií této společnosti p. Optimistovi za 00kč v roce Opce je poskytnuta na dobu jednoho roku a 3 (tarý, 2003)

12 Z [Kč] jedná se o opci evropského typu (nelze ji využít dříve než v roce vypršení 2009). Jak je vidět (Obrázek ) 4 zisky i ztráty obou zúčastněných stran se pohybují protichůdně. Pro p. Optimistu je důležité, aby se cena podkladového aktiva dostala přes bod E+P (bod, za kterým bude v zisku, ocpe bude v penězích ). Pro p. Pesimistu bude výhodné, pokud se cena bude držet pod hodnotou E+P. Bod E+P je bod rovnovážný tzn. cena akcie kdy ani jedna ze stran nic nevydělá. V tomto případě bude mít hodnotu 00 Kč. Kdykoliv bude cena akcií firmy Nahodilost a.s. vyšší, bude výhodnější pro p. Optimistu. Když bude cena níže, opce bude výhodnější pro p. Pesimistu. V našem případě bude v roce 2009 hodnota akcií 200 Kč/ks. Panu Optimistovi se naplnilo očekávání a využije jeho kupní opci. Jeho zisk v tomto případě bude činit 900 Kč, vypočteme jako počet akcií krát rozdíl tržní ceny a realizační ceny mínus opční prémie. x = = 900 Kč Kupní opce - pozice zisků a ztrát P džitel opce 0 E E+P T -P vypisovatel opce T [Kč/kus] Obrázek 4 Převzato (tarý, 2003) v tomto případě se o kupujícím mluví jako o držiteli, vypisovatel je prodejce opce. 2

13 Prodejní opce (PUT) Prodejní opce též nazývaná jako PUT, je podobně jako CALL opce kontraktem uzavíraným mezi dvěma stranami. V tomto případě, ale kupující uzavírá krátkou pozici (předpokládá, že hodnota podkladového aktiva půjde dolů). Opce prodejní (PUT) poskytuje právo prodat podkladové aktivum za předem dohodnutou cenu (strike price). Pokud kupující opce využije své právo na prodej podkladového aktiva prodávající opce je povinen toto aktivum koupit. Jako v případě CALL opcí, prodejce opce získává protihodnotou opční prémii. Kupující PUT opce věří, že podkladové aktivum bude s rostoucím časem klesat pod úroveň předem stanovené ceny. Na rozdíl od CALL opce je výše ztrát prodávajícího ohraničena rozdílem ceny podkladového aktiva a opční prémie. Obrázek 2 3

14 peciálním typem PUT opce je tzv. Nahá opce (Naked put). Toto označení se používá v případě, že prodávající PUT opce není v pozici u daného podkladového aktiva 5. Tato možnost je převážně používána investory, kteří jsou ochotni investovat, pouze pokud cena podkladového aktiva klesne pod určitou hodnotu. Vztah zisků a ztrát se u PUT opce liší od CALL opce (viz Obrázek 2). Vidíme, že pro kupujícího je výhodné pokud se cena akcie snižuje pod úroveň předem dohodnuté ceny (E) podkladového aktiva. Vypisovatel doufá, že se cena akcií bude pohybovat nad úrovní dohodnuté ceny, protože získá celou opční prémii (P). Z obrázku je rovněž patrné, že PUT opce je výhodná pro jednu ze zúčastněných stran pouze pokud se cena odchýlí od bodu E-P (realizační cena mínus tržní cena). Zisky nebo ztráty kupujícího (Z) prodejní opce z množství akcií n, lze charakterizovat následující rovnicí 6. Z = P + max 0; E T n (.2) Pro zjednodušení použijeme podobný příklad jako v příkladu CALL opce. Tentokrát p. Optimista (doufá v mírný pokles hodnoty akcií) bude prodávat PUT opci na akcie společnosti Nahodilost a.s. panu Pesimistovi (doufá v drastický pokles hodnoty akcií). V roce 2008 se akcie této společnosti prodávají za 000 Kč/ks a p. Optimista věří, že v roce 2009 budou mít minimálně hodnotu 900 Kč/ks. Vypíše proto PUT opci evropského typu na 0 kusů akcií společnosti Nahodilost a.s. s realizační cenou 900 Kč/ks v roce 2009 v hodnotě 00 Kč. Vlivem světové ekonomické krize se cena akcií drasticky propadla a v roce 2009 v době vypršení PUT opce měla akcie hodnotu pouhých 500 Kč/ks. Pokud by p. Pesimista nakoupil za současnou cenu deset akcií firmy Nahodilost a.s. a využil prodeje pomocí opce, tak po odečtení opční prémie, kterou byl nucen zaplatit si přišel na 3900 Kč. x = = 3900 Kč 5 (Butler) 6 (tarý, 2003) 4

15 Americká opce Americké opce dávají majiteli právo využít opčního práva kdykoliv během jejich platnosti, až do doby vypršení. A právě tato možnost poněkud komplikuje metody ohodnocení toho typu opce. Tento typ opce je možné ohodnotit různými modifikacemi modelu Black-cholese, ale pouze v případech bez výplaty dividend, jinak je nutné použít složitější aproximační modely (viz dále v textu). V současnosti je tento typ opce nejobchodovanějším na trhu Evropská opce Je opakem amerického typu opce. Tato opce poskytuje majiteli právo na nákup/prodej podkladového aktiva pouze ve stanovený termín. Tudíž je mnohem snadnější vypočítat její hodnotu např. za použití Black-cholesova modelu Asijské opce Asijská opce z anglického Asian option, není odvozena od pouhé hodnoty podkladového aktiva, ale je vypočítána z jeho průměru během životnosti opce. Rozlišujeme dva základní typy asijské opce: Asijská opce z ceny (Average price Asian option) odvozená od průměru ceny podkladového aktiva Asijská opce ze předem dohodnuté/dodací ceny (Average strike price Asian option) odvozená od průměru ceny ve vztahu k dodací ceně (strike price) Rozdíl oproti klasické opci spočívá v nižší volatilitě, důsledkem čehož bude i její cena nižší než u podobné klasické opce. Využívat této opce budou především podniky, které si snaží zajistit konstantní/pomalu měnící se velikost provozních nákladů. Podniky, které denně nakupují palivo/suroviny/komodity budou raději využívat tohoto typu opce a platit průměrnou (v mnoha případech nižší) cenu raději než cenu v době splatnosti opce. 5

16 Cenu takovéto opce je možné vypočítat za použití Black-choles modelu, ve kterém použijeme vypočtený průměr místo podkladového aktiva Hodnota opcí V dnešní době je hodnota opcí v zásadě počítána třemi metodami. Jsou to metody založené na různém vnímání času. Pro vypočet hodnoty opcí, v čase vnímaném jako diskrétní veličinu, slouží binomické stromy (trinomické). Pro faktor času vnímaný jako spojitou veličinu a následný výpočet hodnoty opce vznikl Black-cholesův model a z něho dále odvozené modely pro různé typy opcí. Třetí metodou, jsou metody simulační, jako je například metoda Monte Carlo Black-cholesův model Fisher Black a Myron choles jsou ekonomové, kteří v roce 973 publikovali článek s názvem The Pricing of Options & Corporate Liabilities 7. Článek se týkal oceňování různých derivátů, včetně opcí a komodit. Ačkoliv aparát v něm použitý existoval již dříve, tento článek se stal pravděpodobně jedním z nejdůležitějších, co se týče finanční teorie a ohodnocování opcí. malým přispěním práce Jamese Bonesse odvodili analytický model, který dnes známe jako Black-cholesův model. Použitelný k ohodnocení klasické evropské opce a v různých úpravách k ohodnocení různých dalších typů opcí. Model je hlavně zajímavý tím, že k jeho použití není potřebné dosazovat parametry získané na základě pozorování nebo odhadu. Black-cholesův model je založen na sedmi základních předpokladech 8 : Jsou známé krátkodobé úrokové míry, které jsou konstantní. Ceny akcií jsou naprosto náhodné, mění se spojitě v čase s rozptylem výnosů, který je úměrný druhé mocnině ceny. Potom je distribuční funkce očekávaných cen akcie pro každý konečný časový interval lognormální s konstantní hustotou pravděpodobnosti. 7 (Black, a další, 973) 8 (tarý, 2003) str. 4 6

17 Z akcie nejsou vypláceny žádné dividendy ani jiné výnosy. Opce je evropského typu. Transakční náklady jsou nulové. Je možné si vypůjčit jakoukoliv částku pro koupi cenného papíru či jeho zlomku za krátkodobou úrokovou míru. Krátkodobé prodeje nejsou nijak omezeny. Prodávající, který nevlastní příslušný cenný papír, obdrží od kupujícího částku ve výši aktuální ceny cenného papíru a v určeném časovém budoucím okamžiku zaplatí kupujícímu částku rovnou aktuální ceně cenného papíru v tomto budoucím okamžiku. Při splnění těchto předpokladů budeme schopni odvodit vzorec pro hodnotu evropské call opce 9 : V c = N d X e n N d 2 (.3) A pro hodnotu evropské put opce: V c = N d + X e n N d 2 (.4) Kde d = ln /X + r + σ2 /2 t σ t d 2 = d σ t = ln /X + r σ2 /2 t σ t (.5) (.6) A parametr N (x) je dán distribuční funkcí normálního rozdělení, které má obecný tvar: N x = 2π x e t 2 2 dt (.7) A vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou veličina nabude hodnot v intervalu, x. 9 Viz (cholleová, 2005) 7

18 Modely s použitím diskrétního času - Binomické a trinomické stromy Binomické stromy jsou hojně využívány pro ohodnocování amerického typu opcí a jsou relativně přesné. Binomická metoda dovoluje vytvořit strom, v kterém jednotlivé větve reprezentují pohyb podkladového aktiva a hodnotu opce. Nejprve je nutné rozdělit expirační dobu na určitý počet období n. Pro binomické stromy se uvažuje, že cena podkladového aktiva se během této doby může vyvíjet jen dvěma směry, buď bude stoupat u nebo klesat d. U trinomických stromů by to byly tři směry. Cena aktiva se pohne jedním nebo druhým směrem jen s určitou pravděpodobností. Pro vzestup u určeme tuto pravděpodobnost jako p a pro pokles d pak (-p). Pokud budeme výpočet uvažovat jen pro jedno období pak se hodnota pokladového aktiva při poklesu bude rovnat *d a nastane s pravděpodobností (-p). Analogicky pro vzestup hodnoty podkladového aktiva *u, který nastane s pravděpodobností p. Výše zmíněné parametry je možné vypočítat z hodnoty rizika respektive směrodatné odchylky σ (volatilita), která nám určuje volatilitu podkladového aktiva. Přičemž pro T jako expirační dobu opce platí: u = e σ T n d = e σ T n (.8) (.9) d = u (.0) A pravděpodobnost lze dopočítat ze vztahu: p = ( + r)t n d u d (.) Vnitřní hodnota po dosazení do vztahu (.) bude stanovena vztahem 0 : V c = p max u X, 0 + p max (d X, 0) (.2) 0 (cholleová, 2005) 8

19 Tato hodnota je, ale pouze hodnotou budoucí, pokud chceme získat hodnotu na začátku období, musíme vztah (.2) ještě diskontovat. V c = [p max u X, 0 + p max d X, 0 ] + r (.3) Parametr r zde zastupuje bezrizikovou úrokovou míru. Pokud budeme chtít, využít takto upravené rovnice pro více období je nutné uvažovat více možností získaných dělením binomického stromu. Takto dostaneme rovnici pro call opci evropského typu : V c= +r n n! i! n i! n i=0 p i p n i max u i d n i X,0 (.4) V případě výpočtu hodnoty americké call opce není možné použít přímého výpočtu. Je nutné procházet strom rekurentně zpět. Pro určitou hodnotu opce v i-tém uzlu v čase (n-) získáme rovnici: V ci n= = + r [p max ui d n i X, X + p max ( u i d n i+ X, X)] (.5) Pro put opce evropského typu je možné rovnice odvodit analogicky: V c= +r n n! i! n i! n i=0 p i p n i max X u i d n i,0 (.6) Podobně jako v případě odvození rovnice (.5) je pro výpočet rovnice hodnoty americké put opce nutné postupovat odzadu a rekurentně. V takovém případě hodnota i-tého uzlu v čase (n-) rovna: V ci n= = + r [p max X ui d n i, X + p max (X u i d n i+, X )] (.7) Detailněji odvozeno v (Cox, a další, 979) str

20 Analytické modely pro americké opce s výplatou dividend Všechny tyto modely vycházejí z Black-cholesova modelu. Na rozdíl od tohoto modelu při výpočtech předpokládají použití podkladového aktiva (např. akcie) s výplatou dividend. Americké opce jsou pro výpočty složitější než ty evropské. Problém spočívá v možnosti využít opce dříve, než je stanoveno datum vypršení. Dále uváděné vzorce jsou pouze aproximací, jediným případem kdy je možné vzorce použít přesně je případ kupní americké opce s jedinou předem známou dividendou. Tento případ jako první vyřešili Roll, Geske a Whaley. Po nich byl tento model také pojmenován 2. C t it it De N b De M a b, ; T Xe it t M a2, b2; b T it X D e N 2 Kde: a ln it 2 De / X i / 2 T T a 2 a T b ln it 2 De / I i / 2 t t b 2 b t Kde: N(x) je distribuční funkce normálního rozdělení, 2 Podrobně (Whaley, 98) 20

21 M(a,b;T) je distribuční funkce normálního rozdělení, která udává pravděpodobnost, že korelační koeficient mezi těmito náhodnými veličinami, jehodnota akcie po výplatě dividend, která splňuje podmínku: Pc(, X, T-t) = + D - X kde Pc(, X, T-t) je hodnota evropské kupní opce na akcii s cenou, realizační cenou X a s dobou do realizace T-t, D jsou vyplacené dividendy. Z předchozího příkladu vidíme, že použití vzorce není možné obecně. Roku 987 přichází Barone- Adesi a Whaley (BAW) s kvadratickou aproximační metodou na stanovení hodnoty americké kupní opce, která má míru udržovacích nákladů b. Tato metoda je založena na původní metodě výpočtu prezentované roku 986 W. MacMillanem 3. Pokud je tato míra nákladů vyšší než bezrizikový výnos, lze pro stanovení hodnoty této opce použít běžný Black-cholesův vzorec 4. A původní stanovení hodnoty je odvozeno z evropské opce upravené o možnost předčasného ukončení (získání prémie). Americká kupní opce: C, X, T = C GB, X, T + A 2 q2, X, když < když kde c GB (,X,T) je hodnota kupní opce podle Black-cholesova vzorce pro příslušné parametry. Přesněji je zde užito Black-choles-Mertonova vzorce pro výpočet hodnoty evropské opce. Pro další parametry platí: A 2 q 2 e bit Nd 3 (MacMillan, 986) 4 (tarý, 2003) 2

22 22 T T b X d 2 / / ln 2 2 / K M N N q 2 / 2 i M, 2 / 2 b N, it e K Americká prodejní opce: C, X, T = C GB, X, T + A 2 q, když < X, když kde p GB (,X,T) je hodnota prodejní opce podle Black-cholesova vzorce pro příslušné parametry. Pro další parametry platí: d N e q A T i b 2 / 4 2 K M N N q kde ** je hraniční hodnota podkladového aktiva, která splňuje následující rovnici: 2,, q N d e T X c X T i b X LH i i 2,, q d N e T X c RH i i T i b i Tato rovnice může být řešena užitím Newton-Raphsonova algoritmu. Parciální derivace RH podle i je: 2 2 / q T d n e q d N e b RH i T i b i T i b i i

23 23 Pro počáteční hodnotu i je podle tohoto algoritmu nejlepším odhadem i+ : i i i i i b b RH X Iterační proces pokračuje do té doby, pokud absolutní hodnota relativní odchylky není nižší než přijatelná chyba, například: 0000 / 0. X RH LH i i a ** je hraniční hodnota podkladového aktiva, která splňuje následující rovnici:,, q d N e T X p X T i b j j X V,, q d N e T X p H j j T i b j j / q T d n e q d N e b H j T i b j T i b j j Pro použití Newton-Raphsonovy metody potřebujeme dobrý odhad první hodnoty. Barone-Adesi a Whaley doporučují použít: 2 h e X X, X X T bt h 2 2 h e X, X X T bt h 2 kde () je hraniční hodnota podkladového aktiva při nekonečné době realizace. j j j j j b b H X

24 2 2 X N N X N N 2 2 4M 4M (.8) V roce 999 přichází Ju a Zhong s modifikací modelu MacMillana, Barone-Adesiho a Whaleyho. A ve své studii 5 uvádějí, že dosáhli lepších výsledků pro stanovení ceny a to hlavně pro opce s velmi krátkým nebo velmi dlouhým časem maturity. Aproximovali hodnotu americké opce následujícím způsobem: P, T = P E, T + K T A K ( ) λ(k), pro > χ X, pro < Kde K T A K = X P E (, T) a * řeší rovnici: A X = P E, T e δt N d ( ) /λ χ = b log( ) 2 + c log( ) Kde b = K M λ (K) 2(2λ + M 2 ) c = K M 2λ + M 2 P E (, T) + KA(K) K K + λ (K) 2λ + M 2 λ K = M K 2 ( M 2 ) 2 + 4M K 5 (Ju, a další, 999) 24

25 P E (, T) K = e d ( )/2 σe (r δ)t 2r 2πT + δ N d ( ) e r r δ T XN d 2 ( ) Tento model měl dosahovat lepší úsporu výpočetního času než BAW a vracet lepší výsledky pro stanovení hodnoty opce s velmi krátkou nebo velmi dlouhou dobou exspirace. Model demonstrovali pouze na datech získaných simulací. Ve studii 6 byl tento model porovnán s BAW modelem na ohodnocení opcí farmaceutických společností, kde byly ceny opcí získány z reálných dat. Závěr této studie zněl, že BAW model ohodnocuje opce přesněji ve všech případech, kromě případu opce v penězích exspirující dříve než do jednoho roku imulační modely Monte Carlo imulace těží z velkého množství uskutečnitelných scénářů. Každý scénář, který je simulován přispívá k zpřesnění výsledku. Obvykle simulace provádíme v počtu několika tisíc. Každá jedna simulace charakterizuje vývoj hodnoty podkladového aktiva v mezích nejistoty (rizika definovaného na základě volatility podkladového aktiva), které jsme určili a po dobu trvání opce. Pro každou simulaci je nutné definovat vstupní parametry 7 : oučasná hodnota podkladového aktiva ( 0 ) Volatilita podkladového aktiva (σ) trike price (X) Životnost opce (T) Bezriziková úroková míra (r) Časový krok simulace v rámci životnosti opce (ϭt) 6 (Kim, a další, 2008) 7 (Kodukula, a další, 2006) 25

26 V simulaci bude životnost opce rozdělena na menší úseky (kroky) o délce (ϭt) a tisíce simulací jsou navrženy tak, aby identifikovaly hodnotu podkladového aktiva po každém takovémto kroku. V čase rovném nule začínáme každou simulaci s hodnotou podkladového aktiva ( 0 ). V dalším kroku je hodnota podkladového aktiva vypočítána rovnicí 8 : t = t + t (r δt + σε δt Kde t a t je hodnota podkladového aktiva v čase t a t-, podobně je σ volatilita podkladového aktiva a ε je simulovaná hodnota ze standardního normálního rozdělení pro střední hodnotu 0 a směrodatnou odchylku 9. V následujících krocích, až do konce životnosti opce spočítáme hodnotu podkladového aktiva obdobně. amotné vyhodnocení pak probíhá jako porovnání konečné hodnoty podkladového aktiva v posledním kroku a strike price (dohodnutá cena). V reálné aplikaci by to mohla být v případě kupní opce investice do projektu, pro prodejní opci cena odstoupení od projektu. V případě kupní opce pokud je předem dohodnutá cena nižší, než cena na konci simulace, opci na investici (zahájení) projektu využijeme. Hodnota projektu by byla stanovena, jako rozdíl mezi hodnotou získanou simulací a předem dohodnutou cenou. Na druhou stranu, pokud by byla hodnota předem stanovené ceny vyšší, byla by hodnota projektu 0. Protože by opce nebyla využita. Pro prodejní opci by byl postup přesně obrácený. Každá výsledná hodnota projektu je diskontována do současnosti (okamžik od kdy je opce platná) pomocí bezrizikové úrokové míry r. Průměr ze všech hodnot ze všech simulací bude cena opce. Pro evropské opce se cena opce stanovuje relativně snadno, protože předem známe datum využití opce. Dobu životnosti opce rozdělíme na menší části, pro které je proveden výpočet uvedený výše. Čím více bude kroků výpočtu a větší počet simulací tím přesnější bude výsledná cena opce. 8 (Mun, 2002) 9 V Excelu je tato funkce nazvána NORMINV. Blíže praktické využití 5. kapitola (Mun, 2002) 26

27 U americké opce neznáme datum využití opce, a proto bychom měli stanovit jeden den jako krok výpočtu. To by i za použití výpočetní techniky byl velmi zdlouhavý proces. Zvláště pak u složených nebo sekvenčních opcí, protože jakékoliv rozhodnutí vede na úplně jinou opci a pro každou odbočku by bylo nutné provést simulaci. Pokud bychom měli například krok, ve kterém můžeme učinit rozhodnutí, které povede na tři další, bude každý krok znamenat nárůst počtu simulací exponenciálně (po prvním rozhodnutí dostáváme tři větve, v dalším rozhodnutí devět větví atd.). Z toho plyne, že metoda Monte Carlo je velice dobře využitelná pro výpočet hodnot jak amerického tak evropského typu opce, pokud je správně volen krok simulace. Ten by měl být volen jako kompromis mezi snahou o co největší přesnost a výpočetní náročností. Obecně by tento krok neměl být kratší než měsíc čí týden. U projektů trvajících několik let by i větší počet simulací s délkou kroku jeden rok mohl být výpočetně velmi náročný Metoda čisté současné hodnoty Výpočet čisté současné hodnoty neboli NPV (z anglického Net Present Value ) je jedním z nejčastěji používaných způsobů hodnocení investic. Hlavní myšlenka této metody spočívá ve faktu, že peníze mění v čase svou hodnotu. Veličina diskontu je v rúzných úlohách nezbytná k přepočtu ekonomických veličin mezi různými časovými obdobími na ekvivalentní, sčitatelné hodnoty ke společnému datu 20. Diskont vyjadřuje cenu ušlé příležitosti (opportunity costs), jinak rečeno výnos, který by investor mohl získat použitím peněžních prostředků na jiné, alternativní investice. Vyjadřuje tedy výnos, cenu vlastního kapitálu investora. Proto když se snažíme určit budoucí hodnotu objemu peněz (FV future value), určujeme jí na základě současné hodnoty (PV present value), očekávaného výnosu r (diskont) a délky období (n počet let během, kterých je částka investována). 20 Upraveno z nápovědy programu Efekt. 27

28 FV = PV ( + r) n (.9) Z tohoto vztahu můžeme odvodit vztah pro současnou hodnotu peněžního toku (PV). PV = FV (.20) ( + r) n Výraz (+r) n se nazývá odúročitel, nebo také diskontní sazba. Dále můžeme odvodit vzorec pro výpočet NPV jako součet diskontovaných čistých toků hotovosti v průběhu doby investice. NPV = n i= NPV i ( + r) i K (.2) kde NPV je čistá současná hodnota investice, NPV je čistý tok hotovosti v i-tém roce investice (lze psát i jako CF 2 ), r je diskont (diskontní sazba) K je kapitálový výdaj. Pokud je nutné na počátku projektu učinit investici, bude kapitálový výdaj ze vzorce (.2) roven této investici. Z rovnice vidíme, že pokud nám čistá současná hodnota investice nebo projektu vyjde kladná, logika nám říká, že bychom měli projekt nebo investici realizovat. V opačném případě, bychom investici nebo projekt realizovat neměli. Tato metoda je tak hojně využívána z několika důvodů. Prvním z nich je diskontování peněžních toků, čímž bere v úvahu časovou hodnotu peněz. Bere do úvahy pouze očekávané peněžní toky a alternativní náklady kapitálu (čili zisk, který bychom mohli získat, pokud bychom investovali prostředky do jiného projektu se stejným rizikem očekávaný výnos). Výpočet je tím pádem relativně jednoduchý. 2 (Kislingerová, 2004) 28

29 Dalším důvodem je aditivita čisté současné hodnoty v rámci portfolia tzn., že můžeme sčítat čisté současné hodnoty všech investic v portfoliu a jako součet stanovit celkovou hodnotu portfolia 22. Hlavním důvodem budou absolutní čísla, která nám tato metoda udává. Metoda čisté současné hodnoty se vyznačuje i několika chybami. Velká závislost na diskontu (námi očekávaném výnosu), který je obtížné predikovat, ovlivňuje naši schopnost nějakým přesným způsobem stanovit hodnotu projektu. Poslední nevýhodou je předpoklad, že projekt se po celou dobu bude vyvíjet podle naší předpovědi. Jednak metoda NPV nepočítá s možností změn na trhu a za druhé úplně zanedbává úlohu managementu. V jednoduchém případě kdyby management zvažoval investici do ropného pole, by výnosnost této investice nutně závisela na ceně ropy. Cena ropy se prudce mění. Pokud by management uvažoval v roce nula o této investici, musel by počítat s výnosem podle ceny ropy v tomto roce nebo nějakým předpokladem. Naproti tomu pokud by cena ropy klesla, mohla by se investice ukázat jako ztrátová. Tento problém, ale lze řešit lépe a přesněji za pomoci reálných opcí. 22 (Kislingerová, 2004) 29

30 3. Reálné opce Tato kapitola se zabývá reálnými opcemi. naží se nadefinovat základní typy opcí a uvádět příklady jejich použití. Mnoho manažerů a akademiků si v současnosti plně uvědomuje, že hodnocení projektů pomocí NPV a dalších metod založených na diskontování CF je neadekvátní. Hlavní problém spočívá ve flexibilitě managementu (adaptaci a změně rozhodnutí založených na tržních podmínkách), kterou tyto výše zmíněné metody nezahrnují. Tradiční metoda NPV implicitně předpokládá průběh projektu podle předem stanoveného scénáře pro CF a předpokládá pasivní úlohu managementu ve vztahu k plnění jisté strategie. V aktuálním tržním prostředí, které je charakterizováno neustálými změnami a působením konkurence, se peněžní toky projektu budou téměř jistě lišit od předpokladů managementu na začátku projektu. Jakmile jsou známy nové informace o situaci na trhu, nebo dochází k částečným změnám v peněžních tocích projektu, management může v rámci projektu s jistou flexibilitou přesouvat finanční prostředky tak aby těchto nových informací využil, nebo uchránil podnik od dalších ztrát. Takové změny mohou být například zúžit výrobu, rozšířit výrobu, opustit/ukončit výrobu nebo jinak změnit výrobu v průběhu jednotlivých fází projektu. Flexibilita managementu při adaptaci na budoucí tržní podmínky, může mít veliký vliv na zvýšení výnosnosti projektu v případě úspěchu, při zachování velikosti ztrát v opačném případě. Z této asymetrie vychází úprava hodnoty projektu určenou pomocí (statických peněžních toků) NPV o opční (flexibilní) hodnotu budoucích rozhodnutí managementu. Tato opční hodnota se nazývá reálnou opcí. Její vliv na celkovou hodnotu projektu uvádí následující rovnice 23 : Hodnota projektu = tradiční NPV + opční hodnota 23 (cholleová, 2005) 30

31 Ze vzorce odvodíme, že tradiční metoda NPV není zcela nahrazena, ale je použita jako nezbytná součást výpočtu. Jak vidíme (Obrázek 3) hodnota opce nám velice usnadňuje rozhodování o uskutečnění projektu hlavně v případech, kdy je NPV blízko nule a jde o velmi rizikový projekt. Pro NPV velmi vysoké není třeba znát hodnotu opce, protože hodnota NPV jendoznačně převažuje. V opačném případě, kdyby hodnota opce dosahovala kladných hodnot, ale NPV velmi záporných, management by nevěřil v životaschopnost projektu. Reálné opce se dělí na dvě skupiny 24 : Obrázek 3 Opce jednoduché Opce složené 24 (Kodukula, a další, 2006) 3

32 Hlavní rozdíl obou skupin opcí je v původu jejich hodnoty. Hodnotu jednoduchých opcí určujeme z hodnoty podkladového aktiva. Hodnota opcí složených závisí na hodnotě jiné opce, spíše než na hodnotě podkladového aktiva. 3.. Opce jednoduché Jsou používány hlavně pro hodnocení jednodušších projektů. Ve většině literatury jsou jednoduché reálné opce rozděleny do následujících pěti kategorií 25 : Opce na odložení projektu Opce na rozšíření projektu Opce na ukončení projektu Opce na zúžení projektu Opce volby v projektu V některé literatuře 26 je možné najít ještě další typy opcí, např. opce na dočasné přerušení. Tuto opci pomineme, protože vychází z opce na odložení projektu a má podobné parametry. V další literatuře 27 se objevují i jiné typy opcí, které postupem času nedosáhli takové důležitosti, nebo byly zařazeny do složených opcí. My si mezi jednoduché opce zařadíme ještě jeden typ opce: Opce s hranicí Tato opce nabývá na popularitě a dnes, už patří mezi běžně používané Opce na odložení projektu Tento typ se skrytě vyskytuje téměř ve všech projektech. Organizace může investici odložit na základě současné negativní hodnoty NPV, nebo na základě velké nejistoty trhu (cena pozemku, ropy atd.). Jakmile tato nejistota zmizí (objeví se nové informace), NPV projektu je katapultováno do vysokých kladných hodnot. Vysoké hodnoty NPV projektu jsou výsledkem velkých zisků projektu a ty 25 (chwartz, a další, 2004) 26 (cholleová, 2005) 27 (tarý, 2003) nebo (chwartz, a další, 2004) 32

33 musí přesahovat investici do projektu, které jsou v opci zobrazeny jako strike price (předem dohodnutá cena). Pokud zisk projektu, v určitém okamžiku přesáhne strike price, investice do projektu je zrealizována, v opačném případě nikoliv. Na základě výše zmíněných faktů, lze opci na odložení projektu popsat opcí kupní amerického typu. Opce na odložení mají největší cenu pro majitele proprietárních technologii (softwaru), produkty s výhradním majitelem (patentem), nebo kde je bariera pro vstup na trh velice vysoká a majitel tak neztrácí zisky čekáním se vstupem na trh 28. V případech kdy společnost nechce využít zavedení patentovaného výrobku okamžitě z ekonomických nebo jiných důvodů, přichází o zisk, který by takové zavedení mohlo přinést. Při neustále se zkracující době, po kterou patent platí, společnost odepisuje potenciální zisky. Tyto zisky jsou odečítány z celkové hodnoty projektu. Při hodnocení projektu pomocí opcí jsou tyto uniklé zisky, vnímány jako dividendy. V takovýchto případech se jedná o americké kupní opce s výplatou dividend. V konkrétním případě (bez výplaty dividend) by situace vypadala asi takto. Firma s názvem Energie a.s. by si pronajala pozemek (s úmyslem těžby ropy) na 3 roky. Firma bude nucena investovat 00 mil. Eur, aby na tomto pozemku mohla těžbu zahájit. Na základě předpokládaného objemu ropy v úložišti a současné ceny ropy, za pomoci analýzy diskontovaných volných peněžních toku (DCF) vychází NPV záporné. Ovšem ceny ropy jsou velice volatilní a v budoucnu mohou strmě stoupat. Protože hodnota opce je vysoká, rozhodne se společnost Energie k odložení výroby, do doby kdy bude cena ropy dostatečně vysoko. V takové případě by současná hodnota podkladového aktiva (cena pronájmu pozemku) byla, doba životnosti opce (3 roky), by byla doba, dokud může management rozhodnutí oddalovat a volatilita by se dala určit jako volatilita budoucích CF projektu (nebo ceny ropy v našem případě 30 procent). Bezriziková úroková míra pro další roky je stanovena na 5 procent. 28 (Kodukula, a další, 2006) 33

34 Na následujícím obrázku (Obrázek 4) vidíme výpočet hodnoty opce na odložení z výše uvedených hodnot. Výsledek 28 mil. Euro je velmi vysoký v porovnání s investicí (00 mil. euro) a pravděpodobně by přispěl ke kladnému rozhodnutí o investici do projektu. 0u u u 87 0u2d ud d 7 0ud d2 0 Horní hodnoty označují hodnotu podkladového aktiva. podní hodnoty uvádí hodnotu opce na odložení. Nuly označují nevyužití opce na odložení. Obrázek 4 Opce na odložení projektu je možné najít ve velké množství projektů, napříč celým spektrem průmyslu. Nejčastěji se můžeme setkat s využitím v energetickém nebo těžebním průmyslu, zemědělství, nemovitostech, výrobě papíru, softwaru a dalších d Opce na rozšíření projektu Tato opce je velice populární v odvětvích s rychlým růstem, zvlášť v období boomu. Pro některé projekty může být NPV nulové nebo negativní, ale pokud existuje možnost velmi velkého zisku s velkým rizikem (volatilitou), opce na rozšíření může mít velkou přidanou hodnotu. Můžeme předpokládat nízké nebo záporné NPV pro krátké časové období, právě pro velký potenciál v budoucnu. Bez započtení opce na rozšíření mohou být velmi ziskové projekty zamítnuty, právě kvůli krátkodobému výhledu. Investice do rozšíření bude realizační cena (strike price), která bude obdržena při využití opce. 34

35 Z předchozího logicky plyne, že opce bude využita v okamžiku, kdy zisky z investice budou větší než strike price. Jedná se tedy o kupní opci. Pro názornost použijme společnost Vize a.s.. Ta vynalezla novou službu video-on-demand a uvedla ji ve dvou městech na území České Republiky. Reakce na produkt nebyla úplně v souladu s očekáváním, ale trh také nebyl bez reakce. DCF projektu v období jeho trvání bude 200 milionů eur (parametr ). Volatilita peněžních toků bude 30 procent (σ). polečnost věří, že v této službě je veliký potenciál a prozkoumává rozšíření do dalších 7 měst (opce na rozšíření). Toto rozšíření bude mít za následek ztrojnásobení obratu a bude stát 240 milionů eur (X). Tuto službu je možné využít pro příští dva roky (T), než jí bude schopna využít konkurence. V tomto období bude bezriziková úroková míra pět procent (r). 0u u ud d d2 Nuly označují případy nevyužití opce. Horní čísla označují hodnotu podkladového aktiva. Dolní označují hodnotu opce na rozšíření. 0 0 Obrázek 5 Jako první spočteme hodnoty podkladového aktiva (DCF projektu) pro všechny uzly stromu. U konečných uzlů porovnáme hodnotu DCF po rozšíření a odečtení nutné investice. Pokud bude hodnota podkladového aktiva (DCF po úpravě ve směru pohybu) nižší je hodnota rovna nule, jinak dosadíme hodnotu (po rozšíření a odečtení investice). Zpětně dopočteme hodnotu držené opce, až k prvnímu uzlu. Pod prvním uzlem poté dostáváme výslednou hodnotu opce. 35

36 Opce na rozšíření jsou široce využitelné v technologickém průmyslu, výzkumných a vývojových projektech, infrastruktuře, mezinárodní akvizice, farmaceutický průmysl, elektronika atd Opce na ukončení Tato opce je přítomná v téměř všech typech projektů. Tento typ opce má velkou přidanou hodnotu hlavně v případech kdy NPV hraničí s nulou a existuje velký potenciál ke ztrátám. Jakmile jsou nejistoty spojené s rizikem projektu vyjasněny, může management opustit projekt před utržením ještě větších ztrát. Ztráty z projektu je možné omezit prodejem majetku, nejlépe za předem dohodnutou cenu. Hlavním problémem v takové případě je prodej majetku pokud cena podkladového aktiva (budoucí výnosy z projektu) klesne pod předem stanovenou cenu (strike price). Z výše zmíněných charakteristik lze odvodit, že se bude jednat o put opci amerického typu. Za příklad vezměme společnost Viagros.com a.s., která se zabývá vývojem léků. Jeden z nových léků vykazuje potenciál velkého růstu. Celkové náklady na zavedení produktu na trh jsou odhadovány na 90 milionů euro. Na trhu těchto preparátů je velká konkurence a tak viceprezident této společnosti uvažuje o zajišťovací strategii pomocí opcí na ukončení projektu. oučasná hodnota budoucích zisků z prodeje preparátu je odhadována na 00 milionu euro. V následujících dvou letech může společnost buď pokračovat ve vývoji, nebo prodat patent za 00 milionů euro konkurenci. Volatilita budoucích peněžních toků je stanovena na 30 procent a bezriziková úroková míra bude 5 procent. Pro výpočet použijeme metody binomických stromů. Nejdříve spočte parametry u a d (viz kapitola 2.3.2). Pomocí těchto parametrů vypočteme hodnotu podkladového aktiva v jednotlivých uzlech (letech) stromu. Začneme s hodnotou podkladového aktiva (0) a roznásobíme jí pro uzel (0u) parametrem u a pro uzel (0d) parametrem d. Podobně postupujeme z levé strany stromu napravo. Pro náš případ by takto sestavený strom vypadal jako na obrázku (Obrázek 6). 29 (chwartz, a další, 2004) 36

37 Dalším krokem bude zpětný výpočet hodnoty opce z koncových uzlů. V posledních uzlech porovnáme hodnotu podkladového aktiva s předem dohodnutou prodejní hodnotou majetku. Pokud je nižší bude hodnota opce rovna dosadíme dohodnutou hodnotu, naopak pokud bude vyšší, dosadíme hodnotu podkladového aktiva. 0u2 82 0u ud d d Modře vyznačeno je využití opce na zúžení. Obrázek 6 V dalším kroku porovnáme předem dohodnutou hodnotu majetku při ukončení projektu a hodnotu ponechání opce otevřené pro uzly o krok vlevo (0d a 0u). tejně postupuje i u výpočtu pro počáteční uzel. Zde dostáváme hodnotu projektu na úrovni 04 milionů euro. Přístup pomocí reálné opce na ukončení vytvořil dodatečný výnos v hodnotě 4 milióny euro (04 mil mil.). Tato přidaná hodnota může managementu usnadnit rozhodnutí, jestli do projektu investovat či nikoliv Opce na zúžení Opce na zúžení se stává velice užitečnou zvláště v době, kdy jsou společnosti nuceny rychle snižovat stavy zaměstnanců a outsourcingovat aktivity. polečnosti se vytvořením opce na zúžení mohou zabezpečit proti nepříznivému vývoji na trhu. Opce na zúžení má stejné vlastnosti jako prodejní opce, protože hodnota opce stoupá, s tím jak klesá hodnota podkladového aktiva. 37

38 V příkladu použijme společnost Auta a.s., která operuje na Evropském trhu s automobily. V nedávné době zavedla nový model automobilu a nechala postavit dvě montážní linky. V současnosti se ukazuje, že konkurenční korejská firma disponuje podobným modelem automobilu, který je schopná vyrábět s třiceti procentní úsporou nákladů. polečnost Auta a.s. zvažuje možnost zúžení výroby ze dvou montážních linek pouze na jednu, a dosáhnout zvýšení efektivity pomocí konsolidace aktivit a outsourcingu služeb v průběhu dalších dvou let (T). polečnost by zúžením svých aktivit na polovinu získala 40 milionů eur a to i vzhledem k celkovým nákladům na správu. Hodnota volných peněžních toků z obou montážních linek je odhadována na 200 milionů eur (0). Volatilita peněžních toků z těchto montážních linek je na úrovni 35 procent (σ). Bezriziková úroková míra na příštích pět let je odhadována na 5 procent (r). 0u u ud d d Modře vyznačeno je využití opce na zúžení. Obrázek 7 Pro výše zmíněný příklad si musíme uvědomit, že (při použití výpočtu pomocí binomických stromů) v každém uzlu stromu porovnáváme hodnotu otevřené opce a využití opce na zúžení aktivit o 50 procent se ziskem 40 milionů eur. Nejprve si však spočteme parametry u,d a p. Ty požijeme pro výpočet hodnot podkladového aktiva v jednotlivých uzlech (rovnice viz kapitola 2.3.2). Potom použijeme zpětného dopočtu jednotlivých hodnot projektu. Začneme koncovými uzly stromu a postupujeme 38

39 výpočtem dalších hodnot uzlů směrem k počátečnímu. V každém uzlu porovnáváme hodnotu ponechání opce nevyužité a využití opce na zúžení. Například pro uzel (0u) porovnáváme hodnotu podkladového aktiva (284 milionů eur) s hodnotou projekt s opcí (20 milionů eur) a dosadíme maximum z těchto hodnot. Výsledný strom pro všechny uzly s hodnotami DCF (horní hodnoty) a celkovými hodnotami projektu včetně opční (spodní hodnoty) je vidět na následujícím obrázku (Obrázek 7). Pokud hodnotu DCF a celkovou hodnotu projektu odečteme v prvním uzlu (0) dostaneme hodnotu opce v našem případě 40 milionů eur. Tato hodnota, už činí téměř 40 procent budoucí DCF a může mít vliv na rozhodnutí managementu. V příkladu si také můžeme všimnout, že pro uzel 0d2 jsou sice hodnoty uvedeny, ale při využití opce na zúžení v uzlu 0d by k této možnosti vůbec nemohlo dojít Opce volby v projektu Opce volby se skládá z více opcí. Tyto opce jsou opce na opuštění, rozšíření a opce na zúžení projektu. Důvod proč je tato opce nazývána opcí volby, spočívá v možnosti pokračování v držení opce, nebo volbě jedné z možnosti (opce rozšíření, opce opuštění, opce zúžení). Hlavní výhodou této opce je možnost volby. Opce volby je v jistém smyslu unikátní, a to hlavně protože se můžeme na tuto opci dívat jako na kupní opci (opce na rozšíření) nebo také jako na prodejní (opce na zúžení, opce opuštění). polečnost Více možnosti a.s. stojí před složitým rozhodnutím (pokračovat ve stávajícím trendu, rozšířit výrobu, zúžit výrobu, anebo výrobu úplně ukončit). oučasná hodnota budoucích peněžních toků pro tento projekt byla stanovena na 200 milionů eur (0). Volatilita budoucích peněžních toků je odhadována na 25 procent (σ) a bezriziková úroková sazba byla stanovena na 5 procent (r). V jakémkoliv okamžiku během příštích tří let (T) může firma expandovat o 30 procent při investici 50 milionů eur, o čtvrtinu zúžit výrobu a tak ušetřit 40 milionu eur, nebo kompletně ukončit výrobu za zbytkovou cenu 20 milionů eur. 39

40 Pro výpočet hodnoty opce využijeme binomické stromy, je nutné si uvědomit, jak předchozí možnosti ovlivňují výpočet. Nejprve si podle rovnic (viz kapitola 2.3.2) spočteme u, d a p. Parametry u a d využijeme při výpočtu hodnot podkladového aktiva v každém uzlu. Dále pro každý uzel bude hodnota opce právě taková, jako maximum ze všech tří možností a hodnoty držení opce. Například pro uzel ve třetím roce po třech nárůstech hodnot (0u3) by hodnota podkladového aktiva byla rovna 423 milionů eur. Hodnota nevyužité opce by byla 500 milionů eur. Opce pro ukončení má pořád hodnotu 20 milionů eur. Opce pro rozšíření nabývá hodnoty 500 milionů eur a opce na zúžení výroby bude mít hodnotu 357 milionů eur. Na následujícím obrázku (Obrázek 8) vidíme výsledné hodnoty projektu za celé období tří let. Každému uzlu jsou přiřazeny dvě hodnoty. Vrchní hodnota udává hodnotu podkladového aktiva a spodní hodnotu projektu. V poslední kroku jsou hodnoty opce odlišeny barevně, podle toho, kterou opci jsme využili (červeně hodnota opce na opuštění projektu, modře hodnota opce na zúžení projektu, zeleně opce na rozšíření projektu). V prvním uzlu (0) vidíme nejdůležitější hodnoty (NPV projektu 200 a výslednou hodnotu projektu - 222), při jejich odečtení dostáváme hodnotu opce volby v projektu, která v našem případě činí 22 milionů eur. Tato přidaná hodnota opce může přispět ke kladnému ohodnocení projektu managementem. Z výsledného stromu je také dobře vidět, že pravděpodobnost rozšíření projektu v posledním roce činí 50 procent. Není nutné, aby opce volby vždy obsahovala úplně stejnou kombinaci (obsahuje tři možnosti), opce totiž může obsahovat pouze dvě možnosti, ale výpočet bude proveden obdobně. Tohoto typu opce hojně využijeme při hodnocení projektů v těžařském průmyslu, oděvním průmyslu, stavitelství (velké projekty v cyklech). 40

41 0u u u 38 0u2d ud d 24 0ud d2 57 Zeleně označené jsou využití opce na rozšíření. Modře vyznačeno je využití opce na zúžení. Červeně označené je využití opce na opuštění. Obrázek d Opce s hranicí (barierou) Hlavní rozdíl opce tohoto typu a opce kupní nebo prodejní je fakt, že tato opce má předefinovanou hranici. Rozhodnutí (ponechat si opci, nebo jí využít) nejsou nutně učiněna jen na základě strike ceny, ale je určen práh nebo polštář, který je od této ceny vzdálen o libovolnou hodnotu. V reálném světě jsou investoři ochotni investovat do projektu, jen pokud získají určitou prémii (nebo naopak jsou k projektu nějak vázáni), ta bude zobrazena jak rozdíl mezi strike cenou a hodnotou bariéry. Jak z výše uvedeného vyplívá, opce s hranicí může být jak kupní opce tak prodejní. Typicky by pro kupní opci s hranicí byla tato hranice stanovena výše než je strike cena, a obráceně pro prodejní opci bude tato hranice určena níže než strike cena. Tímto mechanizmem posouváme práh, kdy je opce v penězích. Jako investor bychom takovéto kupní opce využili, pokud by cena podkladového aktiva stoupla nad předem stanovenou hranici nebo naopak klesla pod v případě prodejní opce. Tento typ opce lehce pozměňuje klasický problém s opcí na opuštění nebo opci na odložení. Pro přehlednost si uveďme příklad. polečnost na výrobu optických vláken Vlákna a.s. zvažuje expanzi (vstup) na Asijský trh. počítané peněžní toky z projektu pro příští období budou v hodnotě 30 4

42 milionů euro (0). V průběhu příštích dvou let (T) může společnost Vlákna a.s. investovat částku 00 milionů euro pro získání menší konkurenční společnosti na Asijském trhu. Volatilita budoucích peněžních toků je odhadnuta na 35 procent (σ) a bezriziková úroková míra je na úrovni 5 procent (r). Kvůli souvisejícím měnovým rizikům si chtějí být akcionáři více než jistí, že projekt bude ziskový a proto stanovili hodnotu bariery (budoucí ceny podkladového aktiva) na 50 milionů eur (B). 0u u ud d d Modře vyznačeno je využití možnosti investice. Nuly označují nevyužití opce. Obrázek 9 Na obrázku (Obrázek 9) vidíme celý výpočet hodnoty opce. Jednotlivé hodnoty podkladového aktiva (u uzlů vrchní hodnota) jsou dopočteny pomocí parametru u a d (rovnice viz kapitola 2.3.2) roznásobením s počáteční hodnotou podkladového aktiva (investice do projektu). podní hodnota u každého uzlu reprezentuje hodnotu opce s hranicí. Za normálních podmínek (kdyby nebyla hranice stanovena) by byla opce využita, jakmile by cena podkladového aktiva stoupla nad 30 milionů eur. V našem případě k tomu dojde, až když cena stoupne nad hodnotou 50 milionů eur (uzel 0u3). Hodnota opce se počítá porovnání hodnoty držení opce (složené hodnoty opcí následujících období) a její aktuální hodnoty (podkladového aktiva mínus investice do projektu). Nakonec v uzlu 0 nám spodní hodnota reprezentuje hodnotu opce. 42

43 3.2. Opce složené Mnoho projektů (výzkum a vývoj, spuštění nové služby atd.) je rozděleno do více fází, ve kterých může management pokračovat v investicích, nebo je ukončit, rozšířit nebo držet stávající úroveň v závislosti na nových informacích. Například může být projekt rozdělen do čtyř fází. Fáze získání povolení, design, implementace daného řešení a zavedení. V každé fázi se management může rozhodnout, zda bude projekt pokračovat další fází nebo bude ukončen. Tento stav bude popisovat složenou opci. Kdy ukončení jedné fáze (využití opce) bude pokračovat další fází (generovat jinou opci), neboli hodnota jedné opce bude přímo závislá na hodnotě jiné opce. První investicí získáme právo nikoliv povinnost na druhou investici, která nám získá právo na třetí investici atd.. ložené opce mohou být jak sekvenční tak paralelní (nebo kombinace). Pokud musíte využít jedné opce, abyste získali právo na jinou opci, pak se jedná o opci sekvenční. Například nejdřív musíte dokončit fázi designu mostu, než ho můžete začít stavět. U paralelní opce jsou v jednom časovém období k dispozici dvě opce. Ale nezávislá opce má delší nebo stejnou životnost jako opce závislá. Například mobilní operátor chce postavit infrastrukturu pro novou generaci mobilních přístrojů a zároveň získat licenci na pásmo, ve kterém tyto zařízení operují. Ovšem nemůže dokončit testování nové infrastruktury bez získání licence. Získání licence (samostatná opce) podmiňuje získání další opce na dokončení infrastruktury a zahájení provozu nových zařízení. Výpočty pro jednotlivé typy složených opcí se vesměs neliší až na menší detaily, které budou patrné dále v textu Opce sekvenční Ačkoliv je možné jednotlivé opce uvnitř sekvenční složené opce různě kombinovat. My si ukážeme výpočet jen pro jeden nejtypičtější případ. polečnost Nápoje a.s., která zvažuje investovat do nového produktu, který vynalezlo jejich oddělení výzkumu, s názvem Top Nápoj. Podnik se rozhodl tuto příležitost ohodnotit pomocí reálných 43

44 opcí, protože výsledky předběžných prodejů nebyly nijak valné a pořád existují, některé nejistoty ve vývoji trhu. Projekt zavedení výrobku je rozdělen do tří na sebe navazujících fází. První fází je patentování a schválení výrobku, druhá fáze je návrh úpravy současné výrobní linky (fáze designu) a třetí je samotná úprava linky a zavedení produktu na trh (fáze zavedení). Každá z těchto fází musí být dokončena, než započne další fáze. polečnost chce tento produkt představit ne ve více jak čtyřech letech. Fáze zavedení bude trvat jeden rok, firma má na rozhodnutí o investici do zavedení tři roky. Fáze designu bude také trvat jeden rok, a jelikož firma musí nejdříve provést fázi návrhu, rozhodnutí musí být učiněnou dříve jak za dva roky. Poslední fáze patentování a schvalování bude podobně jako u předchozích fází trvat jeden rok. Protože tato fáze předchází všem ostatním a musí být ukončena, než bude možné spustit druhou fázi, management musí učinit rozhodnutí do jednoho roku od zahájení projektu. V jednotlivých fázích bude nutné investovat částky v objemu 35 milionu eur ve fázi patentování, 50 milionu eur ve fázi designu a ve fázi zavedení to už bude 40 milionů eur. Hodnota diskontovaných volných peněžních toků vychází na hodnotě 200 milionu eur, volatilita peněžních toků 30 procent a bezriziková úroková míra je odhadována na 6 procent. Jednotlivé opce budou mít životnost jeden, dva a tři roky. Nejprve z rovnic (viz kapitola 2.3.2) vypočteme parametry u, d a p 30. estrojíme strom pro celou dobu životnosti poslední opce (fáze zahájení) 3, kde v každém uzlu bude hodnota podkladového aktiva. Jednotlivé hodnoty získáme roznásobením hodnoty podkladového aktiva (0) s parametrem u nebo d. Jako vidíme pro jednotlivá období na obrázku (Obrázek 0). Hodnoty opce dostaneme porovnáním a výběrem maxima z hodnoty držení opce a provedení investice (využití opce). 30 V našem případě platí: u =,350; d = 0,74; p = 0,527 3 Tato životnost opce bude v tomto případě celková životnost projektu mínus čas nutný k provedení fáze zavedení. Pro hodnoty požité v příkladu bude rovna třem rokům. 44

45 0u u u 233 0u2d ud d 68 0ud d2 8 0 Horní číslice jsou hodnoty podkladového aktiva. Dolní hodnoty opce. Nuly označují kde bylo využito opce na ukončení. Obrázek 0 Jelikož na sebe jednotlivé fáze navazují (fáze zavedení navazuje na fázi designu a ta na fázi patentování) celý výpočet je proveden v posloupnosti (sekvenci). Z hodnot podkladového aktiva je vypočtena hodnota opce na fázi zahájení a ta se stává podkladovým aktivem pro další opci (fáze designu), která poté slouží jako hodnota podkladového aktiva pro poslední opci (fáze patentování). Hodnoty opce ve fázi zahájení vidíme na obrázku (Obrázek 0). 0 0d u u ud d d2 0 Horní číslice jsou hodnoty podkladového aktiva. 0 Dolní hodnoty opce. Nuly označují kde bylo využito opce na ukončení. Obrázek 45

46 Z nich vytvoříme strom hodnot opce pro fázi designu (Obrázek ) 32. trom jsme sestrojili analogicky jako pro fázi zahájení, jen jako hodnoty podkladového aktiva jsme použily hodnoty opce z fáze zahájení. Pro další fázi projektu (fáze patentování) je výpočet proveden v úplně stejném duchu. polečnost má možnost uplatnit opci v této fázi jen jeden rok, strom hodnot by vypadal jako na obrázku (Obrázek 2). 0u d 34 0 Horní číslice jsou hodnoty podkladového aktiva. Dolní hodnoty opce. Nuly označují kde bylo využito opce na opuštění. Obrázek 2 Takovýmto postupem jsme byli schopni vytvořit strom pro celou dobu života opce s hodnotami (Obrázek 3). Nyní můžeme porovnat hodnotu NPV projektu, která bude rovna odhadovaným ziskům z projektu mínus současná hodnota investic do projektu. NPV = ,5 = 6,5 mil. Jak je vidět NPV projektu vychází záporné. Naproti tomu hodnota opce (ROV) vychází velmi kladná. Pokud by management založil rozhodnutí o investici do projektu pouze na metodě NPV, projekt by z největší pravděpodobností nebyl realizován naproti tomu při započítání opční hodnoty je tato investice velice lákavá a bude mít vliv na rozhodnutí managementu 32 Při výpočtu hodnot opce pro fázi designu došlo ke zkrácení doby o rok, protože tato opce může trvat jen dobu dvou let (celková délka projektu mínus trvání jednotlivých fází). 46

47 . Výše uvedený příklad je jen jedním z možných. Kombinací a použití tohoto přístupu může být mnoho. Naproti tomu je možné tento projekt i převést na jednoduchý příklad pouze s jednou jednoduchou opcí. Pokud bychom předpokládali, že jednotlivé fáze na sebe navzájem okamžitě navazují a nejdou přerušit. Výsledkem takového postupu by byla jednoduchá opce na odložení s dobou vypršení jeden rok. 0u u2 83 0u 0u2d ud d 0ud d2 0 0d3 0 Dolní hodnoty jsou hodnoty opce. Nuly označují kde bylo využito opce na ukončení. Obrázek 3 Rozdělení projektu je výhodné právě tehdy pokud si společnost může dovolit čekat s uvedením, například pokud na trhu existují vstupní bariery pro konkurenty (vysoká cena technologie, nedostatek distribučních kanálu atd.). Toto čekání, může mít nepříznivý vliv ztráty podílu na trhu. Tento přístup je zvláště vhodný při hodnocení etapových projektů Opce paralelní Použijme opět příklad s mobilním operátorem. polečnost Mobilní a.s. by ráda nabídla svým zákazníkům služby třetí generace (3G). Upgrade infrastruktury tak, aby splňovala požadavky použití třetí generace, vyžaduje investici o hodnotě 600 milionů eur. Licence potřebná pro provoz 3G bude stát 00 milionů eur. 47

48 Diskontovaná hodnota budoucích peněžních toků je stanovena na hodnotu 600 milionů eur. Volatilitu těchto peněžních toků odhadujeme na 30 procent. Bezriziková úroková míra je odhadována na 6 procent ročně. V závislosti na konkurenci společnost odhaduje, že do dvou let bude nucena učinit rozhodnutí o investici do projektu. polečnost může začít s upgradem infrastruktury kdykoliv, ale licence na pásmo 3G musí získat předtím, než bude moci tento upgrade testovat a spustit provoz služby. Takto vytvoříme paralelní opci, kterou může využít společnost při hodnocení projektu a získat tak výhodu plynoucí ze započítání rizika investice. Protože jsou obě opce (opce na pořízení licence a opce na upgrade infrastruktury) živé ve stejném období a opce na pořízení licence musí být využita před opcí na upgrade, vzniká složená paralelní opce. Hodnotu této paralelní opce vypočteme podobně jako v případě opce sekvenční. Nejprve z DCF a parametrů u a d (viz kapitola 2.3.2) vytvoříme strom hodnot podkladového aktiva, jako vidíme na obrázku (Obrázek 4). 0u u ud d d2 329 Horní číslice jsou hodnoty podkladového aktiva. 0 Dolní hodnoty opce. Nuly označují kde bylo využito opce na ukončení. Obrázek 4 Vypočteme parametr p. V případě sekvenční opce, se hodnoty jedné opce, staly hodnotami podkladového aktiva pro výpočet hodnot další opce. Tento přístup použijeme i v tomto případě. Nejprve spočteme hodnoty opce závislé (opce na upgrade infrastruktury). Výpočet je jednoduchý, je to pouze 48

49 analogie s opcí na opuštění projektu. Potom z výsledných hodnot opce (opce na upgrade), vytvoříme strom pro výpočet hodnot opce nezávislé (opce na pořízení licence). Hodnoty dopočteme podobným způsobem jako v případě opce na opuštění projektu (hodnoty podkladového aktiva budou hodnoty opce na upgrade). Výsledný strom hodnot opce vidíme dále (Obrázek 5). 0u u ud d d2 0 Horní číslice jsou hodnoty podkladového aktiva. 0 Dolní hodnoty opce. Nuly označují kde bylo využito opce na ukončení. Obrázek 5 Pokud budeme uvažovat pouze hodnotu NPV pro daný projekt. Výsledkem bude nulová hodnota. NPV = = 0 mil. Při započítání hodnoty opce se dostáváme výrazně do kladných čísel (56 mil. eur). Tento kladný výsledek pravděpodobně ovlivní rozhodnutí managementu pro realizaci projektu. Ačkoliv výše uvedený přístup je velice podobný výpočtu sekvenční opce, lze nalézt rozdíl. Nezávislá opce musí být využita, aby bylo možné využít opce závislé (následná). Ale v případě paralelní opce, obě opce (opce na upgrade a opce na pořízení licence) existují po stejné časové období. Takto vytvořená paralelní opce může přispět k lepšímu vyhodnocení investičních příležitostí a umožňuje managementu těžit z rizikovosti investice. 49

50 3.3. Rainbow opce Klíčovým parametrem jakéhokoliv problému řešeného pomocí reálných opcí je volatilita, která reprezentuje nejistotu spojenou s podkladovým aktivem. Většinou se uvádí jako agregovaný faktor sestavený z mnoha rizik, které přispívají k volatilitě podkladového aktiva. Například takto sestavená volatilita pro projekt zahrnující vývoj produktu by zahrnovala cenu jednotky produktu, počet prodaných produktů, variabilní náklady, atd. Pokud by některá z těchto veličin měla velký vliv na volatilitu peněžních toků projektu, nebo jsou rozhodnutí management svázána s některou konkrétní veličinou, je nutné tyto veličiny oddělit. Například pokud bychom měli nájemní smlouvu na půdu pro těžbu uhlí, volatilita by závisela jednak na ceně uhlí a jednak na množství uhlí v nalezišti. Je pravděpodobné, že takto významné vlivy budeme chtít zanést do výpočtu separátně. Pokud zvažujeme více rizik pro zahrnutí ve výpočtu hodnoty opce je tato opce nazývána Rainbow opcí (duhová opce). Postup výpočtu hodnoty opce je analogický s výpočtem hodnoty jednoduché opce s jednou výjimkou. U metody výpočtu pomocí binomických stromů dochází při započtení další veličiny rizika k nárůstu složitosti výpočtu. Pro dvě veličiny bude nutné použít kvadrinomický strom (každý uzel se rozšiřuje na čtyři další). K tomu dochází, protože podkladové aktivum se může vyvíjet z jednoho uzlu čtyřmi směry (do čtyř uzlů). Na následujícím obrázku je takovéto větvení znázorněno (Obrázek 6) pro období dvou let. Jak vidíme, počet uzlů narůstá kvadraticky. Pro příklad použijme společnost Delta a.s., která zvažuje investici do továrny na výrobu odlitků z oceli. Tato továrna bude stát 200 milionů eur (podkladové aktivum), zisky z prodeje plechu v budoucích obdobích jsou odhadovány na 60 milionů eur. Byly identifikovány dva faktory ovlivňující budoucí hodnotu zisků. Jednak cena surového železa, ze kterého jsou tyto plechy vyráběny. Druhým faktorem je poptávka po plechu, která ovlivňuje jeho cenu. Cena železa kolísá o 20 procent ročně (volatilita) a poptávka po plechu kolísá o 25 procent ročně (volatilita). Očekávaná bezriziková úroková míra pro příští období je odhadnut na 6 procent ročně (r). 50

51 0uu2uu uu2ud uu uu2du uu2dd ud2uu ud2ud2 60 0ud ud2du ud2dd uu2uu uu2ud2 45 0du uu2du uu2dd ud2uu ud2ud2 88 0dd ud2du Horní číslice jsou hodnoty podkladového aktiva. Dolní hodnoty opce. Nuly označují kde bylo využito opce na ukončení. Obrázek 6 0 0ud2dd

52 trom hodnot sestrojíme podobně jako v ostatních případech. Jedinou změnou bude, že musíme vypočítat parametry u a d (kapitola 2.3.2) pro obě volatility (rizikové faktory). Takto získáme čtyři koeficienty u, u2, d, d2 jejichž kombinacemi (uu2, ud2, du2, dd2) roznásobíme hodnotu podkladového aktiva (0). ložitější výpočet nás bude čekat jednak při výpočtu hodnot podkladového aktiva a jednak při zpětném výpočtu hodnoty opce. Parametr p je také nutné dopočítat pro oba faktory. Bude nutné upravit výpočet jednotlivých hodnot opce v uzlech. Pro uzel (0uu2) bude hodnota opce stanovena rovnicí: Hodnota opce = p p 2 0u u 2 u u 2 + p ( p 2 ) 0u u 2 u d 2 + ( p )p 2 0u u 2 d u 2 + ( p )( p 2 ) 0u u 2 d d 2 exp ( r) Kvadrinomický strom byl použit z důvodu použití více volatilit (faktorů ovlivňujících hodnotu podkladového aktiva). Už při výpočtu v období dvou let je vidět narůstající složitost výpočtu, která by se razantně projevila s narůstající životností opce. Výpočet se stává značně složitějším v porovnání s užitím binomického stromu, ačkoliv je zachován velmi podobný postup. tandardní metody například Black- cholesův model není použitelný pro výpočet hodnot rainbow opce. Pro zjednodušení výpočtů se obvykle kombinují všechny faktory ovlivňující hodnotu podkladového aktiva do jediné. Například pomocí simulační metody Monte Carlo. Avšak jsou případy, kdy budeme chtít tyto faktory používat odděleně. Zvláště v případech kdy se budou tyto faktory nezávislé, vyvíjet různým způsobem, nebo ovlivňovat hodnotu podkladového aktiva opačným směrem. Toto separátní zachází, nám dovoluje si uvědomit, které faktory mají největší vliv na hodnotu opce Opce s proměnou volatilitou Ve většině případů kdy používáme výpočet hodnoty projektu pomocí reálných opcí, považujeme volatilitu za poměrně konstantní a bude jí reprezentovat jen jediná hodnota. V předchozí kapitole jsme viděli jak je to v případech, kdy volatilitu ovlivňuje více jak jeden faktor. Volatilita se může v průběhu života projektu měnit. Proto je nutné výpočet pomocí binomické metody upravit. Začneme s počáteční 52

53 hodnotou volatility, vypočteme parametry u a d (viz kapitola 2.3.2), a roznásobíme hodnoty podkladového aktiva, až do uzlu kde očekáváme změnu volatility. V tomto uzlu vypočteme nové hodnoty parametrů u a d. Pokračujeme do dalších uzlů jako v předchozím případě. Pro názornost uveďme příklad se společností Energie a.s., tato společnost se rozhodla, že bude investovat do nového produktu, který bude jako službu poskytovat jiným společnostem. Tato služba ušetří velké prostředky klientským společnostem v souvislosti se zavedením nových regulatorních omezení na trhu. Tyto omezení by měla být zavedena v příštím roce. polečnost odhaduje, že současné hodnota příjmů, v období příštích tří let, z poskytování této služby je 60 milionů eur to, ale vyžaduje investici o stejné velikosti. Předpokládaná volatilita těchto budoucích příjmů bude 30 procent do zavedení regulatorních opatření a poté klesne na 20 procent. Analogie tohoto příkladu s použitím opce na odložení projektu je zřejmá. Hlavním rozdílem bude zavedení změny volatility v roce přijetí nových regulačních opatření. Bezriziková úroková míra bude v tomto období 5 procent. Postup výpočtu je obdobný jako u opce na odložení projektu. Nejdříve vypočteme hodnoty parametrů u a d (viz kapitola 2.3.2) pro obě volatility (v období před a po zavedení regulatorních opatření). Následně vytvoříme strom hodnot pro následující tři roky (jeden rok do zavedení a dva roky od zavedení opatření). Při sestavování stromu nesmíme zapomenout, že použijeme jedny parametry u a d po dobu prvního roku a druhé parametry pro další dva roky. Takto vznikne strom hodnot, jako vidíme na dále (Obrázek 7). Opět zpětně dopočítáme hodnoty opce. Na obrázku je také vidět, že pro některé uzly nám vychází hodnota opce, protože se nám nevyplatí opci využít a raději ji necháme nevyužitou. Hodnota opce nám v tomto případě vyjde na úrovni 29 milionů eur. Hodnotu NPV udává následující rovnice: NPV = investice současná hodnota budoucích zisků = = 0 Jak vidíme přístup k ohodnocení projektu pomocí opce, nám přináší další informace, které může management využít, pokud by se měl rozhodnout, jestli uskuteční projekt. 53

54 Obrázek 7 Hodnota opce je závislá na volatilitě v jednotlivých letech. V příkladu používáme volatility 30 a 20 procent. V následující tabulce vidíme jak je hodnota opce závislá na změnách volatilit v jednotlivých obdobích. 0u u u 04 0u2d ud d 8 0ud d Horní číslice jsou hodnoty podkladového aktiva. Dolní hodnoty opce. Nuly označují kde nebylo využito opce na odložení projektu. 0 0d Volatilita rok [%] Volatilita rok 2 [%] Hodnota opce [mil.] Obecně by mělo platit, čím větší volatilita podkladového aktiva tím větší hodnota opce Ostatní opce Kromě výše zmíněných opcí existují ještě další typy opcí. Ty nebudeme rozebírat ve větším detailu, protože nejsou tak často používané jako předchozí typy. Často uváděnou je opce se změnou (switching option) ta se vztahuje k typu provozu. Např. při použití vytápění pomocí dvou druhů paliva (plyn, uhlí) může podnik měnit palivo podle toho, jak se mění 54

55 cena jednoho z nich. Při ocenění bude mít vytápění s volbou mezi dvěma palivy větší hodnotu než vytápění jen s jedním typem paliva, právě kvůli možnosti volby. Existují i komplexnější typy opcí, v předchozích kapitolách jsme zmiňovali opce sekvenční, kdy z jedné opce vznikala další opce (jednoduchá). V některých případech může z opce vznikat více než jedna další opce. Tento případ může vznikat, pokud podnik vytvoří novou IT infrastrukturu a tím získá možnost jednak vytvořit internetový obchod a zároveň vytvořit aukční portál pro nákup od dodavatelů. Tento výčet není konečný, existují různé kombinace opcí, které nelze nijak finálně kategorizovat. Vždy záleží na konkrétním reálném problému a ve většině případů je nutné stávající výpočet upravit tak aby co nejlépe odpovídal skutečnosti. 55

56 4. Implementace a dokumentace V následující kapitole budeme popisovat změny v programu Efekt, tak aby byl použitelný pro výpočet hodnoty reálné opce v projektu. Dozvíme se o změnách v ovládání a také o změnách v programové obsluze, nových funkcích a modulech. 4.. O programu Efekt Program Efekt je aplikace, která slouží jako nástroj pro ekonomické hodnocení investic, jejichž doba realizace (výstavby) nepřesáhne 2 roky. Projekt je hodnocen metodou NPV a výpočtem IRR (vnitřní výnosové procento). Program byl vyvinut ve Visual Basicu for Aplication dodávaného s M Excelem 8.0 na katedře ekonomiky, manažerství a humanitních věd FEL ČVUT v Praze na podzim roku Verze 2.0 byla distribuována od konce roku Rozšíření programu o podporu reálný opcí Rozšíření programu proběhlo na dvou úrovních. V první úrovni (frontend to co vidí a používá uživatel) proběhlo přidání dodatečných listů s ovládacími prvky, přidání formulářů a vyobrazení výpočtu hodnot projektu metodou reálných opcí. V druhé úrovni (backend samotné programové vybavení) byl přidán modul s funkcemi a subrutinami pro podporu výpočtů hodnot Ovládání a funkčnost Do programu byly přidány dva listy Reálné opce - vstupy a Reálné opce - výpočty. První pro zobrazení a zadání vstupních hodnot a výsledků, druhý jako jejich grafická interpretace v průběhu dvou let v podobě binomického stromu. 33 Upraveno z nápovědy k programu Efekt 56

57 4.3.. List Reálné opce vstupy Rozložení komponent a design prvního listu vidíme na obrázku (Obrázek 8). Zvolte typ opce Opce na zúžení Vložit vstupní hodnoty Zadané parametry Hodnota DCF projektu,00 tis. Kč Úspora 30,00 tis. Kč Bezriziková úroková míra 4,00 % Koeficient rozšíření - % Volatilita peněžních toků 25,00 % Investice do rozšíření - tis. Kč Počáteční investice - tis. Kč Hranice vstup/výstup z projektu - tis. Kč Kontrakční koeficient 20,00 % Zisk z ukočení projektu - tis. Kč Opční hodnota 7,80 tis. Kč Obrázek 8 V horní části je umístěna komponenta Comboxu, která dovoluje uživateli zvolit si typ opce, pro který chce provést výpočet hodnoty opce. Uživatel si může vybrat z následujících typů opcí: Opce na odložení projektu Opce na zúžení projektu Opce na ukončení projektu Opce na rozšíření projektu Opce s volbou v projektu Opce s hranicí vstupu do projektu (call) Opce s hranicí opuštění projektu (put) Po zvolení typu opce uživatel stiskne tlačítko Vložit vstupní hodnoty, poté mu je zobrazen formulář pro vložení vstupních hodnot pro výpočet hodnoty opce/projektu. Formulář je upraven podle typu opce. Pro příklad uvádím formulář vstupních hodnot opce s volbou v projektu (Obrázek 9), která pokrývá většinu užívaných vstupních hodnot. 57

58 Obrázek 9 Do formulářů je automatický doplňována hodnota DCF (hodnota volných peněžních toků projektu) načtením z listu Propočty, kde lze nalézt NPV projektu a IRR (vnitřní výnosové procento). Ostatní vstupní hodnoty jsou: Bezriziková úroková míra [procenta] Volatilita budoucích peněžních toků [procenta] Rozšíření (projektu, výroby atd.) [procenta] Investice nutná k rozšíření projektu *tis. Kč+ Zúžení (projektu) *procenta+ Úspora plynoucí ze zúžení projektu *tis. Kč+ Zisk z ukončení projektu *tis. Kč+ Po vyplnění vstupních hodnot uživatel stiskne tlačítko Výpočet, které provede výpočet hodnoty opce, zároveň vyplní hodnoty ve stromu hodnot opce na listu Reálné opce - výpočty. Pokud uživatel zapomene nebo uvede nesmyslnou hodnotu jako vstupní hodnotu bude mu zobrazeno upozornění (podobné jako Obrázek 20). 58

59 Obrázek 20 Po ukončení výpočtu je formulář automaticky uzavřen. Na listu Reálné opce - vstupy jsou vyplněny zadané vstupní hodnoty a hodnota opce (Obrázek 2). Zde může uživatel okamžitě ověřit správnost zadaných hodnot a porovnat, jestli je hodnota opce v projektu (opční hodnota) dostatečná pro učinění závěru ohledně investice do projektu. Hodnota DCF projektu 20,00 tis. Kč Úspora 50,00 tis. Kč Bezriziková úroková míra 5,00 % Koeficient rozšíření 20,00 % Volatilita peněžních toků 30,00 % Investice do rozšíření 40,00 tis. Kč Počáteční investice - tis. Kč Hranice vstup/výstup z projektu - tis. Kč Kontrakční koeficient 30,00 % Zisk z ukočení projektu 90,00 tis. Kč Opční hodnota 4,92 tis. Kč Obrázek 2 Řešení pomocí sedmi různých formulářů jsme volili, protože pokud bychom chtěli umístit všechny vstupní hodnoty na jeden formulář a pak je dynamicky měnit (skrývat, odkrývat apod.) podle volby uživatele, bylo by nutné daleko větší úsilí nehledě na to, že se s zobrazovacími prvky na formulářích špatně pracuje pokud se mají překrývat, měnit popisky atd List Reálné opce výstupy Druhý list zobrazuje strom hodnot projektu a vývoj hodnot podkladového aktiva (DCF) v závislosti na nastavených vstupních hodnotách v průběhu dvou let. Následující obrázek nám zobrazuje strom pro opci s volbou v projektu. Na obrázku vidíme tři sloupce charakterizující roky (automaticky načtené hodnoty z listu Vstupy položka Hodnocení k roku ). 59

Finanční management. Nejefektivnější portfolio (leží na hranici) dle Markowitze: Polemika o významu dividendové politiky

Finanční management. Nejefektivnější portfolio (leží na hranici) dle Markowitze: Polemika o významu dividendové politiky Finanční management Dividendová politika, opce, hranice pro cenu opce, opční techniky Nejefektivnější portfolio (leží na hranici dle Markowitze: existuje jiné s vyšším výnosem a nižší směrodatnou odchylkou

Více

3.1.1. Výpočet vnitřní hodnoty obligace (dluhopisu)

3.1.1. Výpočet vnitřní hodnoty obligace (dluhopisu) Využití poměrových ukazatelů pro fundamentální analýzu cenných papírů Principem této analýzy je stanovení, zda je cenný papír na kapitálovém trhu podhodnocen, správně oceněn, nebo nadhodnocen. Analýza

Více

Vybrané poznámky k řízení rizik v bankách

Vybrané poznámky k řízení rizik v bankách Vybrané poznámky k řízení rizik v bankách Seminář z aktuárských věd Petr Myška 7.11.2008 Obsah přednášky Oceňování nestandartních instrumentů finančních trhů Aplikace analytických vzorců Simulační techniky

Více

DERIVÁTOVÝ TRH. Druhy derivátů

DERIVÁTOVÝ TRH. Druhy derivátů DERIVÁTOVÝ TRH Definice derivátu - nejobecněji jsou deriváty nástrojem řízení rizik (zejména tržních a úvěrových), deriváty tedy nejsou investičními nástroji - definice dle US GAAP: derivát je finančním

Více

Strategie Covered Call

Strategie Covered Call Strategie Covered Call Tato strategie vzniká kombinací pozice na podkladovém aktivu a výpisem call opce na toto aktivum. Řada obchodníků bohužel neví, že s pomocí této strategie mohou zvýšit výnosnost

Více

Příloha k prezentaci BRODIS hodnotový OPFKI QIIS

Příloha k prezentaci BRODIS hodnotový OPFKI QIIS Příloha k prezentaci BRODIS hodnotový OPFKI QIIS V následující prezentaci se seznámíme s investičními principy, kterým věříme a na základě kterých jsme si nechali vytvořit BRODIS hodnotový OPFKI. Tyto

Více

Hodnocení ekonomické efektivnosti projektů Průměrný výnos z investice, doba návratnosti, ČSH, VVP

Hodnocení ekonomické efektivnosti projektů Průměrný výnos z investice, doba návratnosti, ČSH, VVP Hodnocení ekonomické efektivnosti projektů Průměrný výnos z investice, doba návratnosti, ČSH, VVP Investice je charakterizována jako odložená spotřeba. Podnikové investice jsou ty statky, které nejsou

Více

Příručka k měsíčním zprávám ING fondů

Příručka k měsíčním zprávám ING fondů Příručka k měsíčním zprávám ING fondů ING Investment Management vydává každý měsíc aktuální zprávu ke každému fondu, která obsahuje základní informace o fondu, jeho aktuální výkonnosti, složení portfolia

Více

ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D.

ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. Časová hodnota peněz Každou peněžní operaci prováděnou v současnosti a zaměřenou do budoucnosti

Více

KOUPENÉ A PRODANÉ OPCE VERTIKÁLNÍ SPREADY

KOUPENÉ A PRODANÉ OPCE VERTIKÁLNÍ SPREADY KAPITOLA 3 KOUPENÉ A PRODANÉ OPCE VERTIKÁLNÍ SPREADY Vertikální spread je kombinace koupené a prodané put nebo call opce se stejným expiračním měsícem. Výraz spread se používá proto, že riziko je rozložené

Více

Semestrální práce z předmětu MAB

Semestrální práce z předmětu MAB Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Semestrální práce z předmětu MAB Modely investičního rozhodování Helena Wohlmuthová A07148 16. 1. 2009 Obsah 1 Úvod... 3 2 Parametry investičních

Více

Příručka k měsíčním zprávám ING fondů

Příručka k měsíčním zprávám ING fondů Příručka k měsíčním zprávám ING fondů ING Investment Management vydává každý měsíc aktuální zprávu ke každému fondu, která obsahuje základní informace o fondu, jeho aktuální výkonnosti, složení portfolia

Více

Finanční deriváty II.

Finanční deriváty II. Ing. Martin Širůček, Ph.D. Katedra financí a účetnictví sirucek.martin@svse.cz sirucek@gmail.com Finanční deriváty II. strana 2 Obsah přednášky Princip opcí Druhy opcí Cena a spekulační efekt Kurzovní

Více

HODNOCENÍ INVESTIC. Postup hodnocení investic (investičních projektů) obvykle zahrnuje následující etapy:

HODNOCENÍ INVESTIC. Postup hodnocení investic (investičních projektů) obvykle zahrnuje následující etapy: HODNOCENÍ INVESTIC Podstatou hodnocení investic je porovnání vynaloženého kapitálu (nákladů na investici) s výnosy, které investice přinese. Jde o rozpočtování jednorázových (investičních) nákladů a ročních

Více

Výnosové metody oceňování podniku. Tomáš Buus

Výnosové metody oceňování podniku. Tomáš Buus Výnosové metody oceňování podniku Tomáš Buus Jsou schopny zachytit dynamiku vývoje podniku hodnotu nehmotných aktiv (know-how, fungující organizační struktura, schopnosti manažerů, dobré jméno) V současnosti

Více

Časová hodnota peněz (2015-01-18)

Časová hodnota peněz (2015-01-18) Časová hodnota peněz (2015-01-18) Základní pojem moderní teorie financí. Říká nám, že peníze svoji hodnotu v čase mění. Díky časové hodnotě peněz jsme schopni porovnat různé investiční nebo úvěrové nabídky

Více

III) Podle závislosti na celkovém ekonomickém vývoji či na vývoji v jednotlivé firmě a) systematické tržní, b) nesystematické jedinečné.

III) Podle závislosti na celkovém ekonomickém vývoji či na vývoji v jednotlivé firmě a) systematické tržní, b) nesystematické jedinečné. Měření rizika Podnikatelské riziko představuje možnost, že dosažené výsledky podnikání se budou kladně či záporně odchylovat od předpokládaných výsledků. Toto riziko vzniká např. při zavádění nových výrobků

Více

Analýza návratnosti investic/akvizic JAN POJAR ČVUT V PRAZE STAVEBNÍ MANAGEMENT 2014/2015

Analýza návratnosti investic/akvizic JAN POJAR ČVUT V PRAZE STAVEBNÍ MANAGEMENT 2014/2015 Analýza návratnosti investic/akvizic JAN POJAR ČVUT V PRAZE STAVEBNÍ MANAGEMENT 2014/2015 Obsah prezentace: definice Investice akvizice dělení investic rozdělení metod klady a zápory metod definice Investice:

Více

HODNOCENÍ INVESTIC. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 9. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D.

HODNOCENÍ INVESTIC. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 9. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. HODNOCENÍ INVESTIC Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace 9. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. Metody hodnocení efektivnosti investic Při posuzování investice se vychází ze strategických

Více

Tab. č. 1 Druhy investic

Tab. č. 1 Druhy investic Investiční činnost Investice představuje vydání peněz dnes s představou, že v budoucnosti získáme z uvedených prostředků vyšší hodnotu. Vzdáváme se jisté spotřeby dnes, ve prospěch nejistých zisků v budoucnosti.

Více

Opční strategie Vertikální spread

Opční strategie Vertikální spread Opční strategie Vertikální spread Bull Call Spread Tato strategie kombinuje nákup kupní opce (long call) a prodej kupní opce (short call) s odlišnými realizačními cenami, přičemž platí, že strike u nakoupené

Více

N i investiční náklady, U roční úspora ročních provozních nákladů

N i investiční náklady, U roční úspora ročních provozních nákladů Technicko-ekonomická optimalizace cílem je určení nejvýhodnějšího řešení pro zamýšlenou akci Vždy existují nejméně dvě varianty nerealizace projektu nulová varianta realizace projektu Konstrukce variant

Více

CENNÉ PA CENNÉ PÍRY PÍR

CENNÉ PA CENNÉ PÍRY PÍR CENNÉ PAPÍRY ve finančních institucích dr. Malíková 1 Operace s cennými papíry Banky v operacích s cennými papíry (CP) vystupují jako: 1. Investor do CP 2. Emitent CP 3. Obchodník s CP Klasifikace a operace

Více

Makroekonomie I. Co je podstatné z Mikroekonomie - co již známe obecně. Nabídka a poptávka mikroekonomické kategorie

Makroekonomie I. Co je podstatné z Mikroekonomie - co již známe obecně. Nabídka a poptávka mikroekonomické kategorie Model AS - AD Makroekonomie I Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky Osnova: Agregátní poptávka a agregátní nabídka : Agregátní poptávka a její změny Agregátní nabídka krátkodobá a dlouhodobá Rovnováha

Více

Investiční principy, kterým věříme a které využíváme při individuálním hodnotovém investičním poradenství

Investiční principy, kterým věříme a které využíváme při individuálním hodnotovém investičním poradenství Investiční principy, kterým věříme a které využíváme při individuálním hodnotovém investičním poradenství J a ro s l av H l av i c a, č e r ve n e c 2 0 1 4 V následující prezentaci se seznámíte s našimi

Více

Analýza návratnosti investic/akvizic

Analýza návratnosti investic/akvizic Analýza návratnosti investic/akvizic Klady a zápory Hana Rýcová Charakteristika investice: Investice jsou ekonomickou činností, kterou se subjekt (stát, podnik, jednotlivec) vzdává své současné spotřeby

Více

Investiční nástroje a rizika s nimi související

Investiční nástroje a rizika s nimi související Investiční nástroje a rizika s nimi související CENNÉ PAPÍRY Dokumentace: Banka uzavírá s klientem standardní smlouvy dle typu kontraktu (Komisionářská smlouva, repo smlouva, mandátní smlouva). AKCIE je

Více

Návrh a management projektu

Návrh a management projektu Návrh a management projektu Metody ekonomického posouzení projektu ČVUT FAKULTA BIOMEDICÍNSKÉHO INŽENÝRSTVÍ strana 1 Ing. Vladimír Jurka 2013 Ekonomické posouzení Druhy nákladů a výnosů Jednoduché metody

Více

Komoditní zajištěný fond. Odvažte se s minimálním rizikem.

Komoditní zajištěný fond. Odvažte se s minimálním rizikem. Komoditní zajištěný fond Odvažte se s minimálním rizikem. 4 DŮVODY PROČ INVESTOVAT do Komoditního zajištěného fondu 1 Jistota návratnost 105 % vložené investice Podstupujete minimální riziko - fond způsobem

Více

TEORETICKÉ PŘEDPOKLADY Garantovaných produktů

TEORETICKÉ PŘEDPOKLADY Garantovaných produktů TEORETICKÉ PŘEDPOKLADY Garantovaných produktů 1 Výnosově -rizikový profil Knockoutprodukty Warrants Výnosová-šance Garantované produkty Dluhopisy Diskontové produkty Airbag Bonus Indexové produkty Akciové

Více

Majetková a kapitálová struktura firmy

Majetková a kapitálová struktura firmy ČVUT v Praze fakulta elektrotechnická Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Majetková a kapitálová struktura firmy Podnikový management - X16PMA Doc. Ing. Jiří Vašíček, CSc. Podnikový management

Více

Kapitálový trh (finanční trh)

Kapitálový trh (finanční trh) Mikroekonomie bakalářský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 9 Kapitálový trh (finanční trh) Obsah 1. Podstata kapitálového trhu 2. Volba mezi současnou a budoucí

Více

Čistá současná hodnota a vnitřní výnosové procento

Čistá současná hodnota a vnitřní výnosové procento Čistá současná hodnota a vnitřní výnosové procento Co je to čistá současná hodnota? Čistá současná hodnota představuje rozdíl mezi diskontovanými peněžními příjmy z určité činnosti a výdaji na tuto činnost.

Více

Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ

Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ Matematika a byznys Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ Alena Švédová A07146 Investice do akcií společnosti ČEZ ÚVOD Tímto tématem, které jsem si pro tuto práci zvolila, bych chtěla poukázat na to,

Více

Pojem investování a druhy investic

Pojem investování a druhy investic Investiční činnost Pojem investování a druhy investic Rozhodování o investicích Zdroje financování investic Hodnocení efektivnosti investic Metody hodnocení investic Ukazatele hodnocení efektivnosti investic

Více

Bližší informace o investičních službách. Korporátní akce

Bližší informace o investičních službách. Korporátní akce Bližší informace o investičních službách Korporátní akce Úvod V oddílu Bližší informace o investičních službách společnost DEGIRO detailně popisuje podmínky smluv, které s vámi společnost DEGIRO uzavřela

Více

Vyjadřují se v procentech z hodnoty vloženého kapitálu. Někdy se pro jejich označení používá termín cena kapitálu.

Vyjadřují se v procentech z hodnoty vloženého kapitálu. Někdy se pro jejich označení používá termín cena kapitálu. 1. Cena kapitálu Náklady kapitálu představují pro podnik výdaj, který musí zaplatit za získání různých forem kapitálu (tj. za získání např. různých forem dluhů, akciového kapitálu, nerozděleného zisku

Více

Investiční služby, Investiční nástroje a rizika s nimi související

Investiční služby, Investiční nástroje a rizika s nimi související Investiční služby, Investiční nástroje a rizika s nimi související Předmětem tohoto materiálu je popis investičních služeb poskytovaných ATLANTIK finanční trhy, a.s. (dále jen Obchodník ), investičních

Více

Krátkodobé cenné papíry a Skonto obsah přednášky

Krátkodobé cenné papíry a Skonto obsah přednášky Krátkodobé cenné papíry a Skonto obsah přednášky 1) Vybrané krátkodobé cenné papíry 2) Skonto není cenný papír, ale použito obdobných principů jako u krátkodobých cenných papírů Vybrané krátkodobé cenné

Více

Pojem investování. vynakládání zdrojů podniku za účelem získání užitků které jsou očekávány v delším časovém období Investice = odložená spotřeba

Pojem investování. vynakládání zdrojů podniku za účelem získání užitků které jsou očekávány v delším časovém období Investice = odložená spotřeba Investiční činnost Pojem investování vynakládání zdrojů podniku za účelem získání užitků které jsou očekávány v delším časovém období Investice = odložená spotřeba Druhy investic 1. Hmotné investice vytvářejí

Více

Téma 2: Časová hodnota peněz a riziko. 2. Riziko ve finančním rozhodování. 1. Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku

Téma 2: Časová hodnota peněz a riziko. 2. Riziko ve finančním rozhodování. 1. Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku Téma 2: Časová hodnota peněz a riziko ve finančním rozhodování 1. Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku 2. Riziko ve finančním rozhodování - rizika systematická a nesystematická - podnikatelské

Více

Téma 13: Oceňování podniku

Téma 13: Oceňování podniku Téma 13: Oceňování podniku 1. Důvody zjišťování tržní hodnoty podniku 2. Postup při oceňování 3. Metody oceňování podniku: A) Výnosové metody B) Metody tržního srovnání C) Majetkové ocenění (substanční

Více

Investiční činnost v podniku

Investiční činnost v podniku Tento materiál vznikl jako součást projektu, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR. Investiční činnost v podniku Eva Štichhauerová Technická univerzita v Liberci Nauka

Více

PENÍZE, BANKY, FINANČNÍ TRHY

PENÍZE, BANKY, FINANČNÍ TRHY PENÍZE, BANKY, FINANČNÍ TRHY Úročení 2 1. Jednoduché úročení Kapitál, Jistina označení pro peněžní částku Úrok odměna věřitele, u dlužníka je to cena za úvěr = CENA PENĚZ Doba splatnosti doba, po kterou

Více

Oceňování podniku. doc. RNDr. Ing. Hana Scholleová, Ph.D. Katedra podnikové ekonomiky Fakulta podnikohospodářská Vysoká škola ekonomická v Praze

Oceňování podniku. doc. RNDr. Ing. Hana Scholleová, Ph.D. Katedra podnikové ekonomiky Fakulta podnikohospodářská Vysoká škola ekonomická v Praze Oceňování podniku doc. RNDr. Ing. Hana Scholleová, Ph.D. Katedra podnikové ekonomiky Fakulta podnikohospodářská Vysoká škola ekonomická v Praze Obsah přednášky Cena x hodnota Přístupy ke stanovení hodnoty

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Ekonomika podniku Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze Ing. Kučerková Blanka, 2011 Krátkodobé

Více

Energetický audit Doc.Ing.Roman Povýšil,CSc. Tebodin Czech Republic s.r.o.

Energetický audit Doc.Ing.Roman Povýšil,CSc. Tebodin Czech Republic s.r.o. Seminář ENVI A Energetický audit Doc.Ing.Roman Povýšil,CSc. Tebodin Czech Republic s.r.o. CÍL: vysvětlit principy systémového přístupu při zpracování energetického auditu Východiska (legislativní) Zákon

Více

Hodnocení pomocí metody EVA - základ

Hodnocení pomocí metody EVA - základ Hodnocení pomocí metody EVA - základ 13. Metoda EVA Základní koncept, vysvětlení pojmů, zkratky Řízení hodnoty pomocí EVA Úpravy účetních hodnot pro EVA Náklady kapitálu pro EVA jsou WACC Způsob výpočtu

Více

Investiční činnost v podniku. cv. 10

Investiční činnost v podniku. cv. 10 Investiční činnost v podniku cv. 10 Investice Rozhodování o investicích jsou jedněmi z nejdůležitějších a nejobtížnějších rozhodování podnikového managementu. Dobré rozhodnutí vede podnik k rozkvětu, špatné

Více

3. Zajištěný fond. Odvaz s minimálním rizikem.

3. Zajištěný fond. Odvaz s minimálním rizikem. 3. Zajištěný fond Odvaz s minimálním rizikem. 1 4 DŮVODY PROČ INVESTOVAT do 3. Zajištěného fondu 1 Jistota návratnost 106 % vložené investice Podstupujete minimální riziko - fond způsobem svého investování

Více

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/28.0018

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/28.0018 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/28.0018 Lesnická ekonomika Připravil: Ing. Tomáš Badal Lesnická ekonomika Financování podniku Finanční

Více

29. mezní a průměrná produktivita práce MC a AC při 15 hodinách práce? AC = w = 4,5 Kč při 15 hodinách práce MC = w + L pro L = 15

29. mezní a průměrná produktivita práce MC a AC při 15 hodinách práce? AC = w = 4,5 Kč při 15 hodinách práce MC = w + L pro L = 15 29. mezní a průměrná produktivita práce MC a AC při 15 hodinách práce? AC = w = 4,5 Kč při 15 hodinách práce MC = w + L pro L = 15 1 30. Optimum při nájmu výrobního faktoru Nabídka vstupu Z je dána rovnicí

Více

Charakteristika rizika

Charakteristika rizika Charakteristika rizika Riziko je možnost, že se dosažené výsledky podnikání budou příznivě či nepříznivě odchylovat od předpokládaných výsledků. Odchylky od předpokladu jsou: a) příznivé b) nepříznivé

Více

Oceňování nemovitostí

Oceňování nemovitostí Petr Čihák Září 2008 Nejpoužívanější přístupy a metody Oceňovací přístupy Výnosový přístup Přístupy vedoucí k určení tržní hodnoty Přístup tržního porovnání Netržní přístupy Přístup založený na věcné hodnotě

Více

I) Vlastní kapitál 1) Základní jmění /upsaný kapitál/ 2) Kapitálové fondy: - ážio/disážio - dary - vklady společníků 3)Fondy ze zisku: - rezervní

I) Vlastní kapitál 1) Základní jmění /upsaný kapitál/ 2) Kapitálové fondy: - ážio/disážio - dary - vklady společníků 3)Fondy ze zisku: - rezervní Náklady na kapitál I) Vlastní kapitál 1) Základní jmění /upsaný kapitál/ 2) Kapitálové fondy: - ážio/disážio - dary - vklady společníků 3)Fondy ze zisku: - rezervní fond - statutární a ostatní fondy 4)

Více

Produkty finančních trhů a jejich rizika. Ostatní produkty

Produkty finančních trhů a jejich rizika. Ostatní produkty Produkty finančních trhů a jejich rizika Ostatní produkty datum platnosti a účinnosti od 01. 09. 2014 Obsah Úvod 3 Vysvětlivky 4 Popis rizik 4 Obecné 4 Charakteristiky opcí 5 Seznam zkratek 6 Riziko ztráty

Více

RPSN (Roční Procentní Sazba Nákladů) (2015-01-18)

RPSN (Roční Procentní Sazba Nákladů) (2015-01-18) RPSN (Roční Procentní Sazba Nákladů) (2015-01-18) Zkratkou RPSN se označuje takzvaná roční procentní sazba nákladů. Udává, kolik procent z původní dlužné částky musí spotřebitel za jeden rok zaplatit v

Více

Úvod. www.csob.cz. Nástroje sloužící k zajištění rizika pohybu úrokových měr. Finanční trhy. Identifikace rizika. Definice a rozsah rizika

Úvod. www.csob.cz. Nástroje sloužící k zajištění rizika pohybu úrokových měr. Finanční trhy. Identifikace rizika. Definice a rozsah rizika Nástroje sloužící k zajištění rizika pohybu úrokových měr Úvod Každý podnikatelský subjekt čelí nejistotě. Budoucnost je doposud nenapsaná kapitola a můžeme jen s menšími či většími úspěchy odhadovat,

Více

Náhrada těžkého topného oleje uhlím v Teplárně Klatovy

Náhrada těžkého topného oleje uhlím v Teplárně Klatovy Náhrada těžkého topného oleje uhlím v Teplárně Klatovy Janoušek Jan, Uchytil Josef, Kohout Vladimír, Teplárna Klatovy, (Přednáška pro Kotle a energetická zařízení 2009 ) Teplárna Klatovy připravila v roce

Více

INVESTIČNÍ DOTAZNÍK. 2. Investiční cíle zákazníka. 1. Identifikace zákazníka. Jméno, příjmení/obchodní firma/ název: RČ/IČ: Bydliště/sídlo:

INVESTIČNÍ DOTAZNÍK. 2. Investiční cíle zákazníka. 1. Identifikace zákazníka. Jméno, příjmení/obchodní firma/ název: RČ/IČ: Bydliště/sídlo: INVESTIČNÍ DOTAZNÍK Investiční dotazník je předkládán v souladu s ust. 15h a 15i zákona č. 256/2004 Sb., o podnikání na kapitálovém trhu, ve znění pozdějších předpisů zákazníkovi společnosti IMPERIUM FINANCE

Více

Metodický list - Finanční deriváty

Metodický list - Finanční deriváty Metodický list - Finanční deriváty Základní odborná literatura vydaná VŠFS: [0] Záškodný,P., Pavlát,V., Budík,J.: Finanční deriváty a jejich oceňování.všfs,praha 2007 Tato literatura platí v plném rozsahu,

Více

Strukturované investiční instrumenty

Strukturované investiční instrumenty Ing. Martin Širůček, Ph.D. Strukturované investiční instrumenty Katedra financí a účetnictví sirucek.martin@svse.cz sirucek@gmail.com strana 2 Základní charakteristika finanční investiční instrumenty slučující

Více

Investiční instrumenty a portfolio výnos, riziko, likvidita Úvod do finančních aktiv. Ing. Gabriela Oškrdalová e-mail: oskrdalova@mail.muni.

Investiční instrumenty a portfolio výnos, riziko, likvidita Úvod do finančních aktiv. Ing. Gabriela Oškrdalová e-mail: oskrdalova@mail.muni. Finanční trhy Investiční instrumenty a portfolio výnos, riziko, likvidita Úvod do finančních aktiv Ing. Gabriela Oškrdalová e-mail: oskrdalova@mail.muni.cz Tento studijní materiál byl vytvořen jako výstup

Více

Investičníčinnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic

Investičníčinnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic Investičníčinnost Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie Podnikové pojetí investic Klasifikace investic v podniku 1) Hmotné (věcné, fyzické, kapitálové) investice 2) Nehmotné

Více

Investiční rozhodování, přehled metod a jejich využití v praxi

Investiční rozhodování, přehled metod a jejich využití v praxi PE 301 Eva Kislingerová Investiční rozhodování, přehled metod a jejich využití v praxi Eva Kislingerová 4-2 Struktura přednášky Základní pojmy NPV a její konkurenti Metoda doby splacení (The Payback Period)

Více

Základy teorie finančních investic

Základy teorie finančních investic Ing. Martin Širůček, Ph.D. Katedra financí a účetnictví sirucek.martin@svse.cz sirucek@gmail.com Základy teorie finančních investic strana 2 Úvod do teorie investic Pojem investice Rozdělení investic a)

Více

Principy oceňování a value management. Úvod do problematiky

Principy oceňování a value management. Úvod do problematiky Principy oceňování a value management Úvod do problematiky Obsah Principy oceňování společností Principy oceňování DCF Chování klíčových faktorů Finanční trhy a hodnota firmy Value based management Dluh

Více

Deriváty termínové operace

Deriváty termínové operace Deriváty termínové operace Deriváty jsou termínové obchody, které jsou odvozeny od obchodů s jinými, tzv. podkladovými aktivy. Termínové obchody - obchody, které jsou sjednány v okamžiku podpisu kontraktu

Více

Finanční řízení podniku

Finanční řízení podniku Finanční řízení podniku Finanční řízení Základním úkolem je zajištění kapitálu a koordinace peněžních toků podnikání s cílem dosáhnout co nejlepšího zhodnocení kapitálu při zachování platební schopnosti

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Ekonomika podniku Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze Ing. Kučerková Blanka, 2011 Struktura

Více

Tématické okruhy. 4. Investiční nástroje investiční nástroje, cenné papíry, druhy a vlastnosti

Tématické okruhy. 4. Investiční nástroje investiční nástroje, cenné papíry, druhy a vlastnosti Seznam tématických okruhů a skupin tématických okruhů ( 4 odst. 2 vyhlášky o druzích odborných obchodních činností obchodníka s cennými papíry vykonávaných prostřednictvím makléře, o druzích odborné specializace

Více

Analýzy a doporučení

Analýzy a doporučení Fio banka, a.s. Fio Fundamentální analýza společnosti RWE AG Analýzy a doporučení Doporučení: držet Cílová cena: 33,- EUR 22.3.2012 Změna doporučení na DRŽET z KOUPIT K dnešnímu dni měníme naše doporučení

Více

Finanční deriváty ŘÍZENÍ RIZIK I

Finanční deriváty ŘÍZENÍ RIZIK I Finanční deriváty Smlouvy, jimiž se neobchoduje s podkladovými aktivy, ale právy na ně (=> obchody s rizikem ). Hodnota vzniká zprostředkovaně přes hodnotu podkladového aktiva nebo ukazatele. Existence

Více

Opční strategie Straddle, Strangle

Opční strategie Straddle, Strangle Opční strategie Straddle, Strangle Long Straddle Se strategii Straddle spekulujeme na zvýšenou volatilitu podkladového aktiva. Strategie se skládá ze dvou základních pozic - call a put opce. V případě

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

MĚŘENÍ A PŘEDPOVÍDÁNÍ POPTÁVKY TRHU

MĚŘENÍ A PŘEDPOVÍDÁNÍ POPTÁVKY TRHU MĚŘENÍ A PŘEDPOVÍDÁNÍ POPTÁVKY TRHU Co budeme řešit?? 1. Jaké jsou hlavní koncepce měření a předpovídání poptávky? 2. Jak lze odhadnou současnou poptávku? 3. Jak lze předpovědět budoucí poptávku? 1.Hlavní

Více

PATRIA FINANCE, A. S. A DCEŘINÉ SPOLEČNOSTI KONSOLIDOVANÁ ÚČETNÍ ZÁVĚRKA 31. PROSINCE 2003

PATRIA FINANCE, A. S. A DCEŘINÉ SPOLEČNOSTI KONSOLIDOVANÁ ÚČETNÍ ZÁVĚRKA 31. PROSINCE 2003 PATRIA FINANCE, A. S. A DCEŘINÉ SPOLEČNOSTI KONSOLIDOVANÁ ÚČETNÍ ZÁVĚRKA KONSOLIDOVANÝ VÝKAZ ZISKU A ZTRÁTY Poznámka 31. prosince 2003 31. prosince 2002 Úrokové výnosy 4 14 317 24 767 Úrokové náklady 4-8

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

KMA/MAB. Kamila Matoušková (A07142) Plzeň, 2009 EFEKTIVNÍ PORFÓLIO V MARKOWITZOVĚ SMYSLU

KMA/MAB. Kamila Matoušková (A07142) Plzeň, 2009 EFEKTIVNÍ PORFÓLIO V MARKOWITZOVĚ SMYSLU EFEKTIVNÍ PORFÓLIO V MARKOWITZOVĚ SMYSLU KMA/MAB Kamila Matoušková (A07142) Plzeň, 2009 Obsahem práce je vytvoření efektivního portfolia v Markowitzově smyslu.z akcií obchodovaných na SPADu. Dále je uvažována

Více

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/28.0018

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/28.0018 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/28.0018 Investice a investiční činnost Ekonomika lesního hospodářství 4. cvičení Investice Investice

Více

REÁLNÉ OPCE Real Options

REÁLNÉ OPCE Real Options Masarykova univerzita Ekonomicko-správní fakulta Studijní obor: Podnikové hospodářství REÁLNÉ OPCE Real Options Bakalářská práce Vedoucí diplomové práce: Ing. Petr Suchánek, PhD. Autor: Radek VÝTISK Brno,

Více

PE 301 Podniková ekonomika 2. Eva Kislingerová. Hodnota kmenových akcií a. obligací. Téma 2. Eva Kislingerová

PE 301 Podniková ekonomika 2. Eva Kislingerová. Hodnota kmenových akcií a. obligací. Téma 2. Eva Kislingerová PE 301 Podniková ekonomika 2 Eva Kislingerová Téma 2 obligací Hodnota kmenových akcií a Téma 2 2-2 Struktura přednášky Cenné papíry akcie, obligace Tržní míra kapitalizace (market capitalization rate)

Více

Technická Analýza. . c.člá. Fio banka, a.s. Fio banka, a.s. Zdroj: Bloomberg 12/2011

Technická Analýza. . c.člá. Fio banka, a.s. Fio banka, a.s. Zdroj: Bloomberg 12/2011 Technická Analýza. c.člá Fio banka, a.s. Index S&P 500 aktuálně lehce přešlapuje pod klesající trendovou linkou. Pro další růst je rozhodující překonání 1270 bodové hranice. Pokud by se tak nestalo, tak

Více

Finanční trhy. Fundamentální analýza

Finanční trhy. Fundamentální analýza Finanční trhy Fundamentální analýza Charakteristika fundamentální analýzy (I) FA je nejvíce používanou analýzou akcií. Vychází z předpokladu, že na trhu existují cenné papíry podhodnocené a nadhodnocené.

Více

Prosté úročení: Denní sazba krát počet dní, plus 1 = úrokový faktor. Složené úročení: roční úrokový faktor umocněný na počet let

Prosté úročení: Denní sazba krát počet dní, plus 1 = úrokový faktor. Složené úročení: roční úrokový faktor umocněný na počet let Prosté úročení: Denní sazba krát počet dní, plus 1 = úrokový faktor PV (1 + u) u (sazba) r (sazba p.a.) d (dní) (dní) Složené úročení: roční úrokový faktor umocněný na počet let Úroky lze vyplácet nebo

Více

Finanční gramotnost pro SŠ -10. modul Investování a pasivní příjem

Finanční gramotnost pro SŠ -10. modul Investování a pasivní příjem Modul č. 10 Ing. Miroslav Škvára O investicích O investování likvidita výnosnost rizikovost Kam mám investovat? Mnoho začínajících investorů se ptá, kam je nejlepší investovat? Všichni investiční poradci

Více

Fondy obchodované na burze

Fondy obchodované na burze Fondy obchodované na burze Definice Fondy obchodované na burze (ETF) jsou akcie fondu, které se obchodují jako kmenové akcie na akciové burze. ETF obecně tvoří koš cenných papírů (např. koš akcií), který

Více

RELAX BONUS CERTIFIKÁT

RELAX BONUS CERTIFIKÁT RELAX BONUS CERTIFIKÁT NA AKCIE SPOLECNOSTÍ Ž ŽCEZ A.S., ERSTE BANK AG ZENTIVA A.S., KOMERCNÍ Ž BANKA A.S. WKN HV5ACZ VYUZIJTE ŠANCE NA 15 18 %* BONUS! Š CTYRI Ž Ž JEDNÍM TAHEM Přejete si atraktivní výnosový

Více

Krátkodobá rovnováha na trhu peněz

Krátkodobá rovnováha na trhu peněz Makroekonomická analýza přednáška 9 1 Krátkodobá rovnováha na trhu peněz Funkce poptávky po penězích Poptávka po penězích je úměrná cenové hladině (poptávka po penězích je poptávka po reálných penězích).

Více

zisk : srovnávaná veličina (hodnocená,vstupní)

zisk : srovnávaná veličina (hodnocená,vstupní) 4. přednáška Finanční analýza podniku - FucAn Návaznost na minulou přednášku Elementární metody a) analýza absolutních ukazatelů b) analýza rozdílových a tokových ukazatelů c) analýza poměrových ukazatelů

Více

Finanční deriváty. Základní druhy finančních investičních instrumentů. Vymezení termínových obchodů. spotový versus termínový obchod (resp.

Finanční deriváty. Základní druhy finančních investičních instrumentů. Vymezení termínových obchodů. spotový versus termínový obchod (resp. Ing. Martin Širůček, Ph.D. Katedra financí a účetnictví sirucek.martin@svse.cz sirucek@gmail.com Finanční deriváty strana 2 Základní druhy finančních investičních instrumentů strana 3 Vymezení termínových

Více

Ing. Ondřej Audolenský

Ing. Ondřej Audolenský České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Ing. Ondřej Audolenský Vedoucí: Prof. Ing. Oldřich Starý, CSc. Rizika podnikání malých a středních

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Základní problémy. 3. Cenová hladina a měnový kurz v dlouhém období. 3.1 Parita kupní síly

Základní problémy. 3. Cenová hladina a měnový kurz v dlouhém období. 3.1 Parita kupní síly Základní problémy 3. Cenová hladina a měnový kurz v dlouhém období Model chování dlouhodobého směnného kurzu znázorňuje soustavu, v níž útníci trhu aktiv předpovídají budoucí směnný kurz. Předpovědi dlouhodobých

Více

Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy

Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy 1. Firmy působí: a) na trhu výrobních faktorů b) na trhu statků a služeb c) na žádném z těchto trhů d) na obou těchto trzích Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy 2. Firma na trhu statků a služeb

Více

PILOTNÍ ZKOUŠKOVÉ ZADÁNÍ

PILOTNÍ ZKOUŠKOVÉ ZADÁNÍ INSTITUT SVAZU ÚČETNÍCH KOMORA CERTIFIKOVANÝCH ÚČETNÍCH CERTIFIKACE A VZDĚLÁVÁNÍ ÚČETNÍCH V ČR ZKOUŠKA ČÍSLO 11 FINANČNÍ ŘÍZENÍ PILOTNÍ ZKOUŠKOVÉ ZADÁNÍ ÚVODNÍ INFORMACE Struktura zkouškového zadání: 1

Více

PROHLÁŠENÍ O SEZNÁMENÍ SE S INVESTIČNÍMI RIZIKY

PROHLÁŠENÍ O SEZNÁMENÍ SE S INVESTIČNÍMI RIZIKY PROHLÁŠENÍ O SEZNÁMENÍ SE S INVESTIČNÍMI RIZIKY ze dne 14. ledna 2015 I. OBECNÁ USTANOVENÍ 1. Prohlášení o seznámení se s investičními riziky (dále jen Prohlášení ) je nedílnou součástí Pravidel poskytování

Více

Ministerstvo financí České republiky

Ministerstvo financí České republiky Ministerstvo financí České republiky ODBOR ŘÍZENÍ STÁTNÍHO DLUHU A FINANČNÍHO MAJETKU Čtvrtletní informace o řízení dluhového portfolia PROSINEC 2008 Ministerstvo financí předkládá šestnáctou Čtvrtletní

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA. Ing. Oldřich Šoba, Ph.D. Rozvrh. Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo ZS 2009/2010

FINANČNÍ MATEMATIKA. Ing. Oldřich Šoba, Ph.D. Rozvrh. Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo ZS 2009/2010 Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo FINANČNÍ MATEMATIKA ZS 2009/2010 Ing. Oldřich Šoba, Ph.D. Kontakt: e-mail: oldrich.soba@mendelu.cz ICQ: 293-727-477 GSM: +420 732 286 982 http://svse.sweb.cz web

Více

Investiční výdaje (I)

Investiční výdaje (I) Investiční výdaje Investiční výdaje (I) Zkoumáme, co ovlivňuje kolísání I. I = výdaje (firem) na kapitálové statky (stroje, budovy) a změna stavu zásob. Firmy si kupují (pronajímají) kapitálové statky.

Více