KOMBINATORIKA. Způsob řešení b)

Transkript

1 / 7 KOMBINATORIKA Příld Určete počet všech přirozeých dvojciferých čísel, v jejichž dedicém zápisu se ždá číslice vysytuje ejvýše jedou. Způso řešeí ) Komitoricé prvidlo součiu: Počet všech uspořádých -tic, jejichž prví čle lze vyrt způsoy, druhý čle po výěru prvího čleu způsoy td. ž -tý čle po výěru všech předcházejících čleů způsoy, je rove Způso řešeí ). Komitoricé prvidlo součtu: Jsou-li A, A,, A oečé možiy, teré mjí po řdě p, p,, p prvů, jsou-li ždé dvě disjutí, p počet prvů možiy A A A je rove p p p. Příld Určete počet všech čtyřciferých čísel, v jejichž dedicém zápisu eí ul ze zývjících devíti cifer se v ěm ždá vysytuje ejvýše jedou. ) Koli z těchto čísel je větších ež 9? ) Koli z těchto čísel je meších ež? Příld Z Adělsého údolí do Bílísého les vedou čtyři cesty. Z Bílísého les vedou tři růzé cesty dál do Ciásé role. Koli růzými způsoy lze dojít z Adělsého les do Ciásé role zpět, poud ) eldeme žádé poždvy? ) právě jed cest je použit dvrát? c) žádá cest eí použit dvrát? A B d) právě dvě cesty jsou použity dvrát? e) lespoň jed cest je použit dvrát? C. ROČNÍK

2 Komitori / 7 Příld V městsé ihově v odděleí zoologie jsou všechy svzy ih očíslováy čtyřciferými čísly tvořeými cifrmi,,, 5 (tyto cifry se mohou v čísle opovt). Určete počet ih, teré mjí svoje registrčí číslo dělitelé ) pěti. ) dvěm. c) čtyřmi. Pomocí omitoricých prvidel vyřešte ásledující úlohy: ) J má 5 růzě revých triče estejé suě. Koli způsoy si může vzít tričo sui, y poždé vpdl ji? ) Do tečích přišlo chlpců díve. Koli růzých tečích párů mohou vytvořit? ) V resturci mjí jídelí lísu druhy poléve, 7 možostí výěru hlvího jídl, druhy moučíů. K pití si lze ojedt ávu, limoádu eo džus. Koli způsoy si host může vyrt oěd, z předpoldu, že ude jíst ) je polévu hlví jídlo. ) polévu, hlví jídlo dále si ojedá ápoj. c) polévu, hlví jídlo, moučí ápoj. ) Ve třídě chodí žáů frcouzštiu žáů ěmčiu. Kždý žá vštěvuje právě jede z uvedeých předmětů. Koli způsoy lze vyrt dvojici týdeí služu t, y měl služu jede žá z odděleí ěmčiy jede žá z odděleí frcouzštiy? Koli let y žáci museli chodit do šoly, y se všechy tyto dvojice vystřídly? Počítejte, že šolí ro má vyučovcích týdů. Řešeí: ) 5 ) 88 ) ) ) 6 c) 5 ) 8 rát; 5,5 let Příld 5 Při vyopávách se šl ohivzdorá sříň. Nšel se i líč, le otevřeí ylo potře zát heslo, teré ylo potře stvit pět otoučů s čísly ž 9. Heslo se tedy sládlo z pěti číslic, vš ido evěděl z terých. Nezylo ic jiého, ež vyzoušet všechy možosti. Koli jich ylo? K-čleá vrice s opováím z prvů (popř. Vrice -té třídy z s opováím) je uspořádá -tice sestveá z těchto prvů t, že ždý se v í vysytuje ejvýše -rát. K-čleou vrici s opováím z prvů ozčujeme V (,) (popř. V ()) její počet je.. ROČNÍK

3 Komitori / 7 Příld 6 O telefoím čísle svého spolužá si Vše zpmtovl pouze to, že má předvolu 67 v dlší šestici se žádá cifr eopuje. Určete, oli telefoích čísel připdá v úvhu. 67 K-čleá vrice ez opováí z prvů (popř. Vrice -té třídy z ) je uspořádá - tice sestveá z těchto prvů t, že ždý se v í vysytuje ejvýše jedou. K-čleou vrici ez opováí z prvů ozčujeme V(, ) (popř. V ()) její počet je. ( ) ( ) ( ) Příld 7 Npište všechy dvoučleé vrice s opováím i ez opováí z prvů,, c. Zotrolujte počet vypsých vricí výpočtem. V(; ) V (; ) Příld 8 Určete počet: V (,5) V ( 5,) V (, ) V (,8) V (,5) V ( 5,) ( ) V (,8) V, V ( 5,) V (,5) V (,) V ( 8, ) Příld 9 Koli způsoy můžeme mezi 8 sportovců rozdělit zltou, střírou rozovou medili? Příld Státí pozávcí zč yl tvru uspořádé sedmice zů. Prví tři zy tvořil písme dlší čtyři zy číslice. Koli pozávcích zče ylo teoreticy dispozici, mohlo-li ýt použito 6 písme číslic? Příld K sestveí vljy, terá má ýt slože ze tří růzorevých vodorových pruhů, jsou dispozici láty rvy ílé, červeé, modré, zeleé žluté. ) Koli růzých vlje lze z těchto láte sestrojit? ) Koli z ich má modrý pruh? c) Koli jich má modrý pruh uprostřed? d) Koli jich emá uprostřed červeý pruh?. ROČNÍK

4 Komitori / 7 Příld Zástupce ředitele šoly sestvuje rozvrh hodi. ) Koli způsoy lze sestvit rozvrh hodi jede de pro třídu, v íž se vyučuje dváct růzých předmětů (ždý ejvýše jedu hodiu deě) teto de se vyučuje šest hodi? ) Koli způsoy lze sestvit rozvrh hodi, poud prví hodiu je vyučová mtemti? c) Koli způsoy lze sestvit rozvrh hodi, poud se určitě vyučuje fyzi? Příld Určete počet prvů, z ichž lze utvořit ) dvoučleých vricí ez opováí ) 56 dvoučleých vricí s opováím. Příld Změí-li se počet prvů o, zvětší se počet tříčleých vricí ) desetrát. Určete počet prvů. ) o 5. Určete počet prvů.. ROČNÍK

5 Komitori 5 / 7 Vyřešte ásledující úlohy:. Koli způsoy lze rozdělit růzě velých áů mezi 8 opic, jestliže žádá opice eodrží více ež jede z rozdělových plodů?. Dvojčt Le Luc mjí ve sříi dohromdy 6 suí, hlee 8 druhů orálů. Koli způsoy se mohou připrvit do divdl, předpoládáme-li, že ždý si oleče hleu, sui vezme jedy orále?. Koli růzých telefoích stic lze zpojit, jsou-li všech telefoí čísl 6ti ciferá epřipouštíme-li umístěí prvím místě.. Mějme zy. Lze zódovt česou ecedu sestveím těchto zů do supi o jedom ž čtyřech prvcích? 5. Máme přirozeá čísl Určete, zd je více těch čísel, terá mjí ve svém zápisu eo těch, terá v číselém zápisu emjí. 6. Koli způsoy můžeme vytvořit ve vší třídě supiu žáů t, y ve supiě yli chlpci dívy, přičemž chlpec ude mít fuci zástupce této supiy dív ude mluvčí supiy? 7. Ve studetsém pooji žijí studeti. Mjí šály, 5 tlířů 6 čjových lžiče (všechy šály, tlířy lžičy se vzájem odlišují). Koli způsoy mohou prostřít stůl pití čje; ždý dostává šále, tlíře lžiču. 8. Koli růzých ódů dély šest můžeme vytvořit z číslic,,,,, jestliže ód esmí zčít čtyřou posledím místě může ýt z uvedeých číslic pouze číslice lichá? 9. Koli lichých čísel existuje mezi (včetě), přičemž všechy cifry v čísle jsou vzájem růzé? Koli z ich je dělitelých pěti?. Koli sudých čísel existuje mezi (včetě), přičemž všechy cifry v čísle se mohou opovt? Koli z ich je dělitelých deseti?. Koli čleů ylo registrováo v luu cylistů, dyž víme, že předsed použil registrci všechy ciferé ódy eoshující žádou osmiču?. Koli zových ódů můžeme vytvořit ze zů & * ^ $ %, jestliže z * je vždy použit, le smí stát jeom zčátu eo oci, z $ se epoužije i jedou zy se mohou opovt? Řešeí: ) ) 5 ) 9. 5 ) e pro ecedu s háčm o ez háčů čáre 5) emá 5 ; 6) V(, )V(, m) 7) 7 8 8) 5 má ), 8 ) 5, 9 ) 79 ) 75. ROČNÍK

6 Komitori 6 / 7 Příld 5 V osudí je deset očíslových oulí. ) Koli růzých thů může stt, poud jsou tžey tři oule záleží jejich pořdí? ) Koli růzých thů může stt, poud je vytžeo všech deset oulí? Po thu se oule do osudí evrcí. Permutce z prvů je uspořádá -tice sestveá z těchto prvů t, že ždý se v í vysytuje právě jedou. Zčíme P(). Permutce z prvů je ždá -čleá vrice z těchto prvů. Počet permutcí z prvů je P ( ) ( ) ( ), de zveme ftoriál. Pro úplost ještě dodefiujeme. Příld 6 Vypočítej P() P() P() P() P(-) P(-) Příld 7 Zpiš Pomocí ) ) 9 Příld 8 Dožte, že pltí: V (, ) ( ) Příld 9 Učitel dějepisu se rozhodl, že des vyzouší studety: Adm, Blžeu, Cyril Du. Koli možých způsoů, v jém pořdí žáy vyvolá, vyučující má?. ROČNÍK

7 Komitori 7 / 7 Příld Zjedodušte: 7 ) ) 9 c) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) 9 6 ( ) ( ) ( ) Příld Koli způsoy se mohou tři děvčt tři chlpci rozsdit do lvice se šesti místy, poud ) Petr chce sedět svém olíeém místě u dveří? ) Pvlí chce sedět rji? c) Hoz chce sedět hed vlevo od Ley? d) Luáš potřeuje opisovt od Ley, musí sedět tedy vedle í?. ROČNÍK

8 Komitori 8 / 7 Příld Určete počet všech šestimístých ) ódů, ) přirozeých čísel, teré oshují všechy cifry,,, 6, 8, 9. Příld V ádrží hle před poldmi se sešlo sedm člee pěvecého roužu tři chlpci z roové pely. Zjistěte, oli způsoy se mohou postvit do froty, mjí-li ) chlpci stát z seou? ) dívy i chlpci stát z seou? Příld Řeš rovice s ezámou 5 ) ( ) ( ) N ) ( ) ( ) ( ) Příld 5 Zástupce ředitele šoly připrvuje rozvrh třídy, terá má mít v určitý de tyto předměty: česý jzy, glicý jzy, mtemtiu, semiář z mtemtiy, fyziu tělesou výchovu. Určete počet všech možých rozvrhů třídy pro teto de, teré se liší pořdím uvedeých předmětů, jestliže ždý předmět se vyučuje právě jedu hodiu přitom ) pořdí předmětů může ýt liovolé. ) tělesá výchov je šestou vyučovcí hodiu. c) semiář z mtemtiy esmí ýt před mtemtiou.. ROČNÍK

9 Komitori 9 / 7 d) semiář z mtemtiy musí ýt ihed po mtemtice. e) mezi mtemtiou semiářem z mtemtiy esmí ýt žádý předmět. f) mtemti musí ýt ejpozději čtvrtou vyučovcí hodiu. Vyřešte ásledující úlohy: ) Koli způsoy lze přemístit písme slov PERMUTACI. ) Koli způsoy lze přemístit písme slov FAKTORIAL, t y ěterá supi po soě jdoucích písme utvořil ) slovo FAKTA? ) slov FAKTA LORI v liovolém pořdí? c) slov LIRA KAT v liovolém pořdí? ) V možiě přirozeých čísel řeš rovice: ) ( ) c) ( 6) ( ) ( ) ( 5) 5 8 ) 7 ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) ( ) 5. ROČNÍK

10 Komplexí čísl / 7 Mtemticý semiář -. ROČNÍK Řešeí: Příld 6 Koli způsoy si může vyrt tříd tři vyučující ze čtyř možých šolí exurzi? K-čleá omice z prvů (popř. Komice -té třídy z ) je euspořádá -tice sestveá z těchto prvů t, že ždý se v í vyytuje ejvýš jedou. ( ) ) ( ), ( C K, Z ; Příld Příld 8 Koli způsoy mohou tři osoy osdit seddl v pětimístém utomoilu, poud záleží pouze tom, teré místo je oszeo, ezáleží ám, ým je oszeo. ) 6 88 ) ) ) c) 6 ) ) 5 ) c) 5 d)

11 Komitori / 7 Příld 9 Koli způsoy lze vyrt ze 7 chlpců díve 6-ti čleé družstvo t, y ) v ěm yly právě dívy? ) v ěm yly lespoň dívy? Příld Koli způsoy je možé z vší třídy vyrt oso, poždujeme-li, y mezi vyrými c) eyl oso A? d) eyly zároveň osoy A B? e) yl lespoň jed z oso A B? Příld Určete, oli způsoy může m chlpců díve vytvořit jede tečí pár. Příld Koli způsoy můžeme z hráčů vytvořit volejlová družstv? Příld Supi vědců je slože z pěti psychologů tří sociologů. ) Koli existuje růzých výorů složeých z pěti vědců? ) Koli existuje růzých výorů složeých z pěti vědců, z ichž tři jsou psychologové zyte sociologové? Příld V hrdecé městsé doprvě se používjí jízdey s devíti očíslovými poli. Při ždé jízdě má cestující z poviost ve zehodocovcím stroju si ozčit svoji jízdeu. Teto stroje vždy proije tři eo čtyři pole jízdece. Vychytrlý chlpec ZŠ si řel, že poud ždý de zísá jedu ozčeou jízdeu, musí přeci z ějou dou zíst všechy možé jízdey. Nejdříve z j dlouho ude moci říct, že už emůže zíst žádou ji ozčeou jízdeu? Příld 5 Určete, z oli prvů lze utvořit 6 dvoučleých omicí.. ROČNÍK

12 Komitori / 7 Příld 6 Mt se zeptl svého sy, jé je vlstě zstoupeí díve chlpců v mtemticém roužu, terý její sy vštěvuje. Dostl ásledující odpověď: Chodí tm 6 žáů z ší šoly dohromdy můžeme vytvořit 6 dvoučleých omicí. Koli chlpců oli díve vštěvuje mtemticý rouže? Příld 7 Zmeší-li se počet čísel o, zmeší se počet dvoučleých omicí vytvořeých z těchto prvů o. Určete původí počet prvů. Příld 8 Určete počet prvů, z ichž lze vytvořit 6x více čtyřčleých omicí ež dvoučleých.. ROČNÍK

13 Komitori / 7 V možiě přirozeých čísel řeš rovice: Řešeí: ) ) -- - ) 5) ) 6) ) emá řešeí Řešte ásledující úlohy: ) Při sportovím di je tře ze třídy, ve teré je 9 chlpců 6 díve, vyrt žáy. Koli způsoy to lze provést, jestliže to mjí ýt ) spoň chlpci. ) ejvýše dívy. ) V edě je usů výroů, z ichž mjí výroí vdu. Koli způsoy lze z edy vyrt součstě 5 výroů t, že mezi imi ) udou všechy výroy ez vdy. ) ude ejvýše výroe vdý. c) udou ejvýše výroy vdé. d) udou lespoň výroy ez zu. ) V lvici může sedět 5 žáu A, B, C, D, E. Koli způsoy si mohou sedout, jestliže ) A má sedět určeém rji. ) A má sedět jedom eo druhém rji. c) žáci A C mjí sedět vedle see. d) žá A má sedět rji žáci B, C vedle see. ) Koli způsoy lze uytovt 5 hostů (záleží v terém pooji, e do leží v jé posteli) ) do pětilůžového pooje. ) do čtyřlůžového jedolůžového pooje. c) do dvoulůžového třílůžového pooje. d) do jedolůžových poojů třílůžového pooje. e) do 5 jedolůžových poojů. 5) Po letech se sešli doré přítelyě. Povily se, poesedovly rozloučeou se políily - ždá s ždou. Koli ylo poliů, jestliže ) yly.. ROČNÍK

14 Komitori / 7 ) ylo jich. c) ylo jich. 6) Zvětší-li se počet prvů o, zvětší se počet permutcí 56rát. Určete počet prvů. 7) Zvětší-li se počet prvů o, zvětší se počet vricí. třídy ez opováí o 8. Určete původí počet prvů. 8) Koli způsoy lze seřdit do řdy omorí sor ti zpěváů t, že dí zpěváci ejsou vedle see. 9) Fotlový treér má dispozici ráře, 5 oráců, záložíy útočíů. Koli růzých fotlových mužstev z ich může sestvit, tvoří-li jedo mužstvo rář, oráci, záložíci 5 útočíů? ) Ve třídě se vyučuje předmětů. Koli způsoy lze sestvit rozvrh hodi de, vyučuje-li se teto de 6 růzých předmětů? ) Koli způsoy můžeme seřdit do řdy Agličy, 5 Frcouzů Tury, poud osoy téže árodosti stojí vedle see. ) Koli můžeme utvořit ciferých čísel z cifer,,,,, 5, poud se cifry emohou opovt. Koli z ich je sudých ) Určete počet sudých čísel vytvořeých z cifer,,, 5, 6, poud ) cifry se emohou opovt. ) cifry se mohou opovt. Řešeí: ) ) K(,9)6K(,9) K(,6) K(,9) ) K(,9)6K(,9) K(,6) K(,9) ) ) ) 5 c) d) e) ) ) K(5,7) ) K(5,7)K(,7) c) K(5,7)K(,7) K(,)K(,7) d) K(5,7)K(,7) 5) ) ) 5 c).(-)/ ) ) ) 8 c) 8 d) 6) 6 7) 9 8) ) ) 6 ) 68 ),56 ) ) ). ROČNÍK

15 Komitori 5 / 7. ROČNÍK Psclův trojúhelí: 6 Příld 9 Zjedodušte:

16 Komitori 6 / 7. ROČNÍK Biomicá vět: 6 ( ) ( ) tý čle iomicého rozvoje: ) ( A Příld Užitím iomicé věty vypočtěte: ( ) 5 (- m) 7 ( - 5) 6 7 ) ( ( ) ( ) ( ) ( )

17 Komitori 7 / 7 Příld Njděte v rozvoji 7 ( u u) prostředí čle. Příld Njděte v rozvoji ( x) šestý čle. Příld Njděte v rozvoji ( m ) čtvrtý čle. Příld Pro teré x je v rozvoji výrzu ( ) x pátý čle rove 5? Příld 5 Určete solutí čle v rozvoji výrzu ( x. x ) Příld 6 Njděte v rozvoji výrzu ( x ) čle oshující x.. ROČNÍK