Vysoká škola ekonomická v Praze. Fakulta informatiky a statistiky DISERTANÍ PRÁCE Petr Soukal - 1 -

Transkript

1 Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky DISERTANÍ PRÁCE 003 Petr Soukal - -

2 VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Fakulta informatiky a statistiky Studijní program: Kvantitativní metody v ekonomice DISERTANÍ PRÁCE EMPIRICKÉ OVENÍ BLACK-SCHOLESOVA MODELU OCEOVÁNÍ OPCÍ NA AKCIE GENERAL ELECTRIC A IBM Doktorand: Školitel: Petr Soukal Doc.Ing. Jií Trešl, CSc. Praha,

3 PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že disertaní práci na uvedené téma jsem vypracoval samostatn. Použitou literaturu a podkladové materiály uvádím v piloženém seznamu literatury. Podpis V Praze, dne 8. srpna

4 OBSAH: Kapitola strana. Cíl a úvod práce 6. Co je to opce 7.. Zajímavosti z historie opcí od starovku ke dnešku 7.. Podstata opce 8.3. Terminologie základní typy opcí podle podkladového instrumentu 9.4. Oceování opcí Oceování kupních opcí v dob tsn ped splatností Cena kupní opce s nulovou uplatovací cenou a nekonenou dobou do splatnosti.4.3. Zisk a ztráta opce v dob tsn ped splatností.4.4. Vztahy mezi cenami kupních opcí s r znými uplatovacími cenami.4.5. Vztahy mezi cenami kupních opcí s r znými dobami do splatnosti Cena kupní opce a úrokové míry Ceny kupních opcí a rizikovost akcií Kupní opce jako pojištní Modely oceování opcí 7 3. Opce na akcie na finanních trzích Eurex London International Financial Futures and Options Exchange (LIFFE) Chicago Board Options Exchange (CBOE) 4. Black-Scholes v model oceování opcí Základní myšlenka B-S modelu Pedpoklady Black-Scholesova modelu Jádro Black-Scholesova modelu D kaz pro Black-Scholes v vzorec Stochastický poet Binomický model GARCH Options Pricing model Simulace Monte Carlo Volatilita v Black-Scholesov modelu Nekonstantní volatilita Píiny nekonstantní volatility a zp soby jejího modelování Úprava Black-Scholesova modelu o nekonstantní volatilitu Periodické deterministické zmny volatility Náhodné zmny volatility Volatilita je funkcí ceny podkladového aktiva Volatilita se náhodn mní Ostatní parametry Black-Scholesova modelu a problémy s jejich urením Dividendy Spojitý dividendový výnos Diskrétní dividendový výnos Nenormální charakter rozdlení výnos Parita kupní-prodejní opce (call-put parity) Evropská prodejní (put) opce Americká opce Oceování opcí na zahraniní mnu Evropská opce na cizí mnu Evropská opce na drahý kov Citlivost hodnot opcí Empirické ovení B-S modelu na datech - popis experimentu Vstupní informace Odhad volatility Modely použité k odhadu ceny opce Srovnání model použitých k odhadu ceny opce Závr 8 9. Literatura

5 0. Pílohy Píloha I.: trochu ísel k General Electric Píloha II.: trochu ísel k IBM Píloha III.: výsledky experimentu pro GE, kupní opce Píloha IV.: výsledky experimentu pro GE, prodejní opce Píloha V.: výsledky experimentu pro IBM, kupní opce Píloha VI.: výsledky experimentu pro IBM, prodejní opce

6 . Cíl a úvod práce Prvním cílem práce je strun pedstavit opní obchody, základní lenní opcí, jejich historii a možnosti jejich oceování. Pedstavit hlavní veliiny ovlivující cenu opce a vliv psobení tchto veliin na správnost urení ceny opce. Naznait fungování hlavních opních burz, seznámit s jejich pravidly a specifickými charakteristikami jednotlivých burz v Evrop a USA. Druhým cílem je seznámit s jedním z model oceování opcí tzv. Black-Scholesovým (B-S) modelem. Naznait princip jeho funknosti a interpretaci. Jelikož jako jeden z mnoha dalších teoretických aparát B-S model vychází z pedpoklad umle vytvoených, které slouží k zjednodušení relativn komplikovaného prostedí finanních trh, je nezbytné upozornit na vzniklé diference mezi teoretickými a praktickými výstupy a poukázat na jejich možnou píinu. I pes nereálnost níže uvedených teoretických pedpoklad, z kterých vychází mimo jiné i další metody, se považuje B-S model za základní stavební kámen oceování opních kontrakt. Tato metoda je použitelná i pro mnohem více finanních instrument, než jen pro opce. B-S metoda ohodnocení derivát byla zformulována pány Fisherem Blackem, Myronem Scholesem a Robertem Mertonem. Ani jeden z nich nebyl pvodním zamením ekonom, což svdí o stále užším spojování matematiky a ekonomie. Za jejich hodnotnou práci jim byla udlena Nobelova cena pro rok 997 (F. Black zemel roku 995). První exaktní vzorce pro oceování byly publikovány již v roce 973, od té doby došlo k obrovskému rozkvtu opních obchod jak na termínových burzách tak i tzv. OTC obchod po celém svt. I pes nedostatky B-S modelu, které budou zmínny, se stal tento teoretický aparát základním prostedkem stanovení ceny náklad na uzavení opního kontraktu. I pestože B-S model není jediný model užívaný ke stanovení ceny opce, dává velmi uspokojivé empirické výsledky a proto je tak rozšíený. Tetím a hlavním cílem a zárove jádrem práce je empirické ovení oceování kupních a prodejních opních kontrakt evropského typu na reálných datech spoleností General Electric a IBM pomocí model založených pevážn na B-S vzorci a možností simulace Monte Carlo. V rámci ovení použijeme rzné metody odhadu volatility podkladového aktiva a ukážeme si jaký vliv mají rozdílné metody odhadu volatility (a tím samozejm i rzné hodnoty odhadu volatility) na odchylku mezi teoretickou (tržní, skutenou) a empirickou (modelovou, vypoítanou) cenou evropské opce. Významnost tchto odchylek statisticky otestujeme, vyhodnotíme a pro každé podkladové aktivum v závru doporuíme nejvhodnjší model. V rámci celé práce budeme výstupy analýz prezentovat formou tabulek a graf. Po provedení logického celku experiment shrneme hlavní závry v podob komentáe

7 . Co je to opce.. Zajímavosti z historie opcí od starovku ke dnešku Ohledn opcí panuje jeden velmi rozšíený pedsudek. Má se za to, že jde o moderní vynález, který se objevil teprve v sedmdesátých letech. V sedmdesátých letech se však objevily první teoretické modely umožující solidní oceování opcí souasn s výkonnou a dostupnou výpoetní technikou, která je umožnila v praxi skuten používat. Opní obchody se objevují již ve starém ecku. Ve stedovku a poátkem novovku se opní kontrakty vyskytují v Benátské republice a ve Florencii. Nebývají však samostatn obchodovány, jsou typicky souástí jiných cenných papír jako tzv. embedded options. Konkrétn šlo o podmínky svolatelnosti dlouhodobých obligací. Totéž použití našly opce pozdji, v 6. a 7. století ve Spojených nizozemských provinciích a ješt o nco pozdji v Anglii. Obligace nizozemských mst, které sloužily mimo jiné i k financování osvobození zem od nadvlády španlských Habsburk, byly emitovány s nekonenou platností, jako tzv. perpetuity. Obsahovaly však obvykle opci ve form podmínek svolatelnosti ve prospch emitenta. Tyto opce byly také pozdji skuten použity. Proto se dnes nizozemských perpetuit již mnoho nevyskytuje a pokud ano, jde o málo likvidní cenné papíry. Anglie vydala v 7. století rovnž sérii státních perpetuit. Z nich však byly svolatelné pouze nkteré emise. Tyto obligace se dosud obchodují na burzách a budou se pravdpodobn obchodovat do té doby, dokud bude existovat Anglie. Krom nich se však stále obchodují nkteré svolatelné emise. Tato opní práva nemají zatím velkou cenu. Britské vlád by se jejich svolání vyplatilo pouze v pípad, kdyby úrokové sazby klesly na úrove obvyklou v minulých stoletích v ée prakticky nulové inflace: dv až ti procenta. Ale co není, mže být. Ve Spojených státech amerických se klasické opce na akcie objevily záhy po vzniku newyorské burzy v 90. letech 8. století. Pes znanou popularitu však opce nedokázal nikdo korektn oceovat. To bylo píinou ady zklamání mezi investory, kteí hodnotu opcí asto zanedbávali. Uplatnní opce ze strany emitenta (anglické vlády) na snížení kupónu z 8.7 % na 3 % (tato hodnota platila od 50. let 8. století do 90. let 9. století, kdy byla opce na snížení kupónu naposledy; od této doby až dosud je vyplácen kupón ve výši.5 %) mohlo být pro tehdejšího investora skuten trpké. V Nizozemí po snížení kupón z 8.33 % na 4 % v roce 654 dokonce propukly obanské nepokoje. Investoi si neumli spoítat, že existence opcí výrazn snižuje reálnou hodnotu dluhopis, které vlastnili. Do objevení Blackova-Scholesova modelu zbývala ješt více než ti staletí Pes teoretickou nemožnost správného oceování opcí se však v historii objevovaly vskutku pozoruhodné cenné papíry. Jedním z nich je dluhopis Konfederovaných stát Ameriky z roku 863. Dluhopis obsahuje adu opcí, které v tomto pípad pracovaly ve prospch investora. Vlastník dluhopisu ml na výbr, jakým zpsobem bude provádna výplata úrok a jistiny: investor ml na výbr mezi britskými librami, francouzskými franky. Krom toho byl dluhopis kdykoli konvertibilní do dodávek jižanské bavlny. Svdí o tom, jak zoufale se Konfederace snažila získat peníze na kapitálovém trhu. ást opcí spojených s tímto dluhopisem byla uplatnna ve form konverze na bavlnu. Po porážce amerického Jihu však byly konfederaní dluhopisy bezcenné

8 .. Podstata opce Jak název napovídá, opce (option) pedstavuje právo koupit nebo prodat po uritou omezenou dobu (americká opce) nebo k uritému datu (evropská opce) urité aktivum za uritou cenu. Taková opce má uritou cenu. Do roku 973 se s rznými druhy opcí obchodovalo pouze na trhu OTC. Teprve v roce 973 zaala Chicago Board Options Exchange (CBOE) obchodovat s opcemi na individuální akcie. Od té doby trh s opcemi zmohutnl, vznikly nové opní burzy a mnoho rzných druh opních kontrakt. Opní trh je velice rozmanitý a používá svoji vlastní terminologii. Kolik bude stát odpovídající kupní nebo prodejní opce? To je otázka, na kterou musí mít budoucí investor do opcí odpov. Opce jsou rovnž velmi dležité pro zajiš ování (hedging). Použití opcí k ízení rizika je dležitou oblastí pro porozumní trhu s opcemi. Napíklad portfolio manažei uvítali nové opní kontrakty na akciové indexy, nebo získali úinný nástroj pro ízení rizika portfolia. Opce jsou ideální pro investory, kteí jsou chytí, opatrní a velice nerozhodní..3. Terminologie Existují dv hlaví kategorie opcí, kupní opce (call option) a prodejní opce (put option). Vlastnictví kupní opce dává vlastníkovi právo koupit urité aktivum za uritou cenu s tím, že toto právo trvá po uritou dobu. Vlastnictví prodejní opce dává vlastníkovi právo prodat urité aktivum za uritou cenu s tím, že toto právo trvá po uritou dobu. U každé opce existuje kupující a prodávající. Kupující vždy platí prodávajícímu cenu opce (prémie, premium). Každá opce je splatná pouze po uritou dobu, po této dob (expiration date, maturity) nemá opce žádnou hodnotu. Prodávající opce se také nazývá vystavitel (writer) opce a akt prodeje se nazývá vystavení opce (writing an option). Jak již bylo uvedeno, kupující opce oekává urité chování vystavitele opce. V pípad kupní opce má vlastník právo nakoupit dané aktivum za uritých okolností. Jestliže vlastník kupní opce využije práva, vykonal opci (exercise the option). Vlastník vykoná kupní opci tím, že koupí aktivum za podmínek opního kontraktu. Každý opní kontrakt obsahuje cenu, za kterou má vlastník opce právo dané aktivum nakoupit. Tato cena se nazývá uplatovací cena (exercise price, strike price). S opcemi se obchoduje na trhu OTC (over the counter) i na burzách. Opní burzy jsou organizovány podobn jako teba burzy na futures. Na obou trzích existuje pro každý kontrakt kupující a prodávající. Mezi tmito dvma trhy je uritý rozdíl. Na rozdíl od trh OTC se na burzách obchoduje pouze s uritými standardními opcemi, pokud jde o podléhající aktivum, datum splatnosti nebo uplatovací cenu. Naopak opce na trzích OTC vycházejí z požadavk smluvních stran. Dsledkem toho je skutenost, že nákup a prodej téže opce na burzách dává nulovou výslednou pozici. Naopak nákup a prodej téže opce na trzích OTC obecn neznamená nulovou výslednou pozici, ale zaujmutí dvou opních pozic, a tudíž urité vystavení se riziku, když jeden partner nedostojí svým závazkm z opní smlouvy. K nákupu burzovní opce obchodník potebuje mít úet u makléské firmy, jejíž maklé je lenem burzy. Obchod se uskutení stejn snadno, jako je nákup nebo prodej akcie. Kupující opce zaplatí za opci v okamžiku obchodu, takže se nemusí obávat o cashflow v dsledku takového prodeje. Pro prodávajícího je situace trochu komplikovanjší. Tím, že prodávající prodal opci, souhlasil dodat napíklad danou akcii za danou cenu, jestliže se kupující rozhodne pro uplatnní opce. Clearingové centrum provádí vypoádání obchod a napomáhá hladkému prbhu obchodování. Kupující a prodávající opcí nemají pímé závazky vi urité osob nebo firm, ale závazky vi clearingovému centru. Jestliže je opce vykonána, clearingové centrum spáruje prodávající a kupující a ídí celý proces vypoádání

9 .3.. Základní typy opcí podle podkladového aktiva Akciové opce Na svtových burzách je obchodováno velké množství akciových opcí. Jsou jak evropského tak amerického typu. Podkladovým aktivem je kurz akcie. Mnové opce Opce na zahraniní mnu bývají jak amerického tak evropského typu. Atraktivní jsou všechny hlavní svtové mny. Tzn. americký dolar (mimo USA), euro, britská libra, švýcarský frank, ale rovnž kanadský a australský dolar. Uplatovací cenou je dohodnutý mnový kurz. Indexové opce Nejpopulárnjší opce jsou na S&P 500 a S&P 00. Opce na S&P 00 je evropského typu, opce na S&P 500 je amerického typu. Pi uplatnní opce je vyrovnání provedeno v hotovosti, nikoliv doruením. Dalšími indexovými opcemi jsou nap. NYSE Composite Index (všechny akcie na Americké akciové burze), DJIA index (obchoduje se teprve krátkou dobu, jeho popularita však roste). Rovnž lze nalézt opce na specializované indexy jako Gold/Silver, Computer Technology, Semiconductor, Pharmaceutical, atd. Opce na futures Opce na futures v souasné dob existují na vtšinu futures kontrakt. Kupní opce futures dává držiteli právo vstoupit do futures kontraktu v dlouhé pozici. Je uplatnna tehdy, je-li uplatovací cena nižší než souasná cena futures. Podobn prodejní opce dává právo vstoupit do futures kontraktu v krátké pozici a je tedy uplatnna, jestliže je futures cena nižší než uplatovací cena. Pokud držitel opce chce okamžit po uplatnní zrušit získanou pozici ve futures, obdrží rozdíl uplatovací a futures ceny. as expirace opcí je vtšinou krátce ped expirací futures. Nejpopulárnjšími podkladovými futures jsou Treasury bond futures. Dalšími jsou nap. futures na kovy (zlato, stíbro, m), zahraniní mny, zemdlské produkty (pšenice, sojové boby, pomeranový džus, káva, kakao a další), ropné produkty (surová ropa, topný olej, zemní plyn, atd.) a akciové indexy. Úrokové opce Úrokovými opcemi se nazývají opce na vládní dluhopisy (bondy). Taková opce dává právo koupit (prodat) dluhopis v dohodnutém ase za dohodnutou cenu. Ve svém dsledku to vede k zajištní úrokové míry. Úrokové opce jsou však mnohem likvidnjší, než opce na úrokové futures. Na CBOE se v souasné dob zaínají obchodovat i opce na úrokovou míru. Jejich likvidita je však prozatím malá

10 .4. Oceování opcí Souasné oceování opcí je výsledkem výzkumu moderních financí. Oceovací modely vyvinuté pro opce se chovají velice dobe a jejich studium je pro obchodníky dležité. Obchodníci na opních burzách mají okamžitý pístup k informacím z opních oceovacích model prostednictvím poíta na parketu burz. Standardn se pracuje s pti hlavními faktory, které ovlivují cenu opce na akcii bez výplaty dividend (nejjednodušší pípad): C, P cena opce S souasná ceny podléhající akcie B uplatovací cena opce τ as do splatnosti opce volatilita podléhající akcie (pomr standardní odchylky ceny akcie a stední hodnoty akcie) r bezriziková úroková míra T doba splatnosti t aktuální doba. Dalšími faktory mohou být napíklad likvidita trhu, absolutní výše ceny podléhající instrumentu a oekávání tržních subjekt. Nejprve se zamíme na vliv prvních tí faktor. Poté budeme uvažovat komplikovanjší situace, které berou v úvahu prostedí s rznými úrokovými mírami a rznými úrovnmi rizik. Uvažovat budeme pouze americkou opci. Cenu kupní opce C jako funkci ceny akcie, uplatovací ceny a asu do splatnosti vyjádíme jako C(S, B, τ). Oznaení C(300CZK, 80CZK, ¼ roku) = 5CZK íká, že kupní opce na akcii má pi souasné cen akcie 300CZK, uplatovací cen opce 80CZK a dob splatnosti ¼ roku hodnotu 5CZK..4.. Oceování kupních opcí v dob tsn ped splatností Jestliže opce není v tomto okamžiku vykonána, potom vzáptí vyprší a nebude mít žádnou hodnotu. Hodnota opce v dob splatnosti je dležitou hodnotou, protože pi stanovení této hodnoty zmizí mnoho faktor, které komplikují stanovení ceny opce. V dob splatnosti, tj. τ = 0, mohou vzniknout pouze dv možnosti. Bu je S B nebo S > B. Jestliže cena akcie je nižší nebo rovna uplatovací cen tj. platí S B, potom kupní opce nemá žádnou hodnotu. Protože opce je tsn ped splatností, má vlastník kupní opce dv možnosti. Mže opci vykonat nebo ji nechat vypršet. Pokud se rozhodne pro vykonání, musí zaplatit uplatovací cenu B a obdrží akcii, jejíž hodnota na trhu je pouze S. Za tchto okolností se nevyplatí opci vykonat, vlastník ji nechá vypršet a nakoupí akcii pímo na trhu. Opce nemá hodnotu tj. jestliže S B, potom C(S, B, τ) = 0CZK. Pi druhé možnosti cena akcie pevyšuje uplatovací cenu. Potom se cena opce rovná rozdílu souasné ceny akcie a uplatovací ceny, tj. jestliže S > B, potom C(S, B, τ) = S B. Jestliže by cena opce byla nižší než S B potom by existovala možnost arbitráže. Arbitrážník by mohl uinit koupi kupní opce a následn prodat akcii. Jaká by nastala situace, že by cena kupní opce byla vyšší než S B. Potom arbitrážník prodá kupní opci za tuto cenu. Vlastník má dv možnosti. Za prvé mže opci nechat vypršet, v tom pípad arbitrážník realizuje zisk ve výši ceny prodané kupní opce. Za druhé vlastník opci vykoná. V tom pípad koupí arbitrážník na trhu akcii za S a dodá ji za B vlastníkovi opce. Vlastník opce zejm z dvodu minimalizace ztráty opci realizuje. V situaci, kdy kupní cena opce je vyšší než S B je dležité, že arbitrážník realizoval zisk bez ohledu na to, co udlá vlastník opce. Protože na trzích prakticky neexistují arbitrážní možnosti a protože vlastník opce minimalizuje ztrátu, musí platit, že v dob tsn ped splatností opce se cena kupní opce - 0 -

11 rovná rozdílu ceny akcie a uplatovací ceny. Pokud by tomu tak nebylo vždy, potom existují možnosti arbitráže. Pro každou situaci tedy platí C(S, B, 0) = Max(0, S B) (..). pravidlo pro hodnotu kupní opce V dob tsn ped splatností musí mít kupní opce hodnotu (tzv. vnitní hodnotu), která je rovna nule nebo rozdílu mezi cenou akcie a uplatovací cenou, podle toho, která hodnota je vyšší. Podobn lze odvodit, že pro cenu prodejní opce P platí P(S, B, 0) = Max(0, B S). (..) V dob tsn ped splatností musí mít prodejní opce hodnotu, která je rovna nule nebo rozdílu mezi uplatovací cenou a cenou akcie, podle toho, která je vyšší..4.. Cena kupní opce s nulovou uplatovací cenou a nekonenou dobou do splatnosti Kupní opce s nulovou uplatovací cenou a nekonenou dobou do splatnosti se mže jevit jako bezvýznamná, protože takové opce se na opním trhu nevyskytují. Tato opce však pedstavuje extrémní pípad a jako taková se mže použít k stanovení omezení pro možnou cenu opce. Takovou opci je možné bez jakýchkoliv náklad kdykoliv zamnit za samotnou akcii. Opce musí tedy mít hodnotu (cenu) shodnou s cenou akcie, tj. platí C(S, 0, ) = S (.3.). pravidlo pro kupní cenu opce kupní opce s nulovou uplatovací cenou a nekonenou dobou do splatnosti se musí prodávat za cenu shodnou s cenou akcie. Ob pravidla urují spodní a horní limit pro cenu kupní opce jakožto funkci ceny akcie, uplatovací ceny a doby do splatnosti. Jestliže kupní opce má nulovou uplatovací cenu a nekonenou dobu do splatnosti, cena opce se rovná cen akcie, tj. je znázornna pímkou jdoucí z poátku pod úhlem 45. Jedná se o horní limit pro cenu opce. Naopak jestliže opce je tsn ped splatností, cena opce sleduje druhý limit, který vychází z poátku, až do uplatovací ceny má nulovou hodnotu a potom se zvedá pod úhlem 45. Jestliže cena akcie je vyšší než uplatovací cena, s opcí se obchoduje za cenu rovnou rozdílu cen akcie a uplatovací ceny. Všechny ostatní opce s uritou dobou do splatnosti se musí nacházet v oblasti mezi tmito dvma extrémy. Abychom porozumli oceování opcí, musíme vzít v úvahu ješt další faktory. Obr...: první a druhé pravidlo pro oceování opce. pravidlo. pravidlo B Cena akcie, CZK - -

12 .4.3. Zisk a ztráta opce v dob tsn ped splatností V pedchozí ásti jsme ešili pípad hodnoty opce tsn ped splatností opce. Zde se budeme zabývat pípadem, jaký je zisk nebo ztráta opce v dob tsn ped splatností opce s tím, že opci jsme prodali nebo koupili nkdy v minulosti. Pedpokládejme kupní opci s uplatovací cenou B. Kupní opci jsme zakoupili v minulosti za cenu C. Z tchto údaj mžeme spoítat zisk nebo ztrátu v dob tsn ped splatností pro prodávajícího nebo kupujícího opce. Podívejme se nejdíve na kupujícího kupní opce (long call). Pro jakoukoliv cenu akcie nižší nebo rovnu B opce vyprší bez užitku a kupující kupní opce ztratí vše co za ni zaplatil. Jestliže cena akcie pevýší uplatovací cenu, vlastník kupní opci vykoná. Tím za uplatovací cenu obdrží akcie, jejíž cena je vyšší. I když vlastník opce tímto realizuje uritý zisk ten nemusí pokrýt náklady spojené se zakoupením opce. Teprve tehdy, když skutená cena akcie S pevýší souet uplatovací ceny B a ceny kupní opce C, tak má vlastník opce istý zisk. Platí tedy, že vlastník opce kupní opci vykoná vždy, jestliže cena akcie pevýší uplatovací cenu. I v pípad vykonání opce mže vlastník opce realizovat ztrátu. Pro prodávajícího kupní opce (short call) je situace pesn opaná než u kupujícího. Nejlepší situace pro prodávajícího je v pípad, že cena akcie v dob tsn ped splatností iní mén než je uplatovací cena. V tom pípad prodávajícímu zstává celá opní prémie C a kupní opce nebude vykonána. Jestliže je tržní cena akcie vyšší než uplatovací cena, potom opce bude vykonána a prodávající musí dodat akcii, realizuje ztrátu ve výši rozdílu tržní a uplatovací ceny. istou ztrátu bude realizovat ovšem až v okamžiku kdy se tržní cena pehoupne pes souet uplatovací ceny a ceny opce. Zisk nebo ztráta prodávajícího opce má pesn zrcadlový prbh zisku nebo ztráty kupujícího opce. To je zejmé i z toho, že souet zisk a ztrát kupujícího a prodávajícího téže opce musí být vždy nulový. Opní trh je trhem s nulovým soutem (zero sum game). To znamená, že jestliže kupující má zisk, potom prodávající má ztrátu a naopak. Jestliže na opním trhu seteme všechny zisky a ztráty a vylouíme transakní náklady, potom celkový souet bude nulový Vztahy mezi cenami kupních opcí s r znými uplatovacími cenami Jak již bylo uvedeno výše, existuje mnoho uplatovacích cen a dob splatností opcí na tutéž akcii. Nepekvapuje, že mezi tmito rznými druhy opcí existují urité závislosti, nemá-li mezi nimi existovat arbitrážní možnost. Pro ceny kupních opcí s rznými uplatovacími cenami B a B platí vztah B < B C(S, B, τ) C(S, B, τ) (.4.) 3. pravidlo pro hodnotu kupní opce Jestliže se dv opce liší pouze uplatovacími cenami, potom kupní opce s nižší uplatovací cenou musí mít cenu, která je rovna nebo vtší než cena kupní opce s vyšší uplatovací cenou. Dv kupní opce s rznými uplatovacími cenami umožují vlastníkovi opce získat stejnou akcii ve stejném asovém období. Opce s nižší uplatovací cenou však umožuje vlastníkovi získat akcii za nižší cenu. Tudíž opce s nižší uplatovací cenou musí mít vtší hodnotu. Abychom se o tom pesvdili, pedstavme si dv opce, které se liší pouze uplatovací cenou a u kterých neplatí výše popsaný vztah. Opce s uplatovací cenou B se prodává za C a opce s uplatovací cenou B se prodává za C, platilo by tedy B < B a C < C. Opce s uplatovací cenou B je vhodná pro nákup a opce s uplatovací cenou B je vhodná na prodej. Bez ohledu na, jaká bude cena akcie v dob splatnosti, je opce s uplatovací cenou B pro nákup vhodnjší. Jedná se o nereálnou cenovou situaci, která pedstavuje tržní nerovnováhu. Úastníci trhu budou nakupovat opce s uplatovací cenou B a prodávat opce - -

13 s uplatovací cenou B. Cena opce s uplatovací cenou B bude tudíž rst a cena opce s uplatovací cenou B bude klesat. Výsledkem je rovnovážný stav, kdy úastníci trhu si budou obou opcí stejn vážit. Tento nákup a prodej opcí vytváí kombinovanou pozici tzv. spread. Jedná se o nereáln výhodné transakce, nebo a je cena akcie jakákoliv, vždy budeme realizovat zisk. Jedná se o pípad arbitráže. Mají-li být ceny opcí rozumné, potom nemohou umožovat arbitráž. K zabránní arbitráže musí být cena opce s uplatovací cenou B pinejmenším stejná jako cena opce s uplatovací cenou B. jestliže by byly ceny takových opcí stejné, potom obchodník mže koupit opci s nižší uplatovací cenou a prodat opci s vyšší uplatovací cenou. Tato strategie negarantuje zisk, ale obchodník nemže ztratit. Mohou nastat situace, kdy se to vyplatí. Z tohoto dvodu se opce s nižší uplatovací cenou prodávají tém vždy za vyšší cenu Vztahy mezi cenami kupních opcí s r znými dobami do splatnosti Pro ceny opcí s rznými dobami do splatnosti τ a τ platí vztah τ > τ C(S, B, τ ) C(S, B, τ ) (.5.) 4. pravidlo pro hodnotu kupní opce Jestliže se dv opce liší pouze dobami do splatnosti, potom kupní opce s delší dobou do splatnosti musí mít cenu, která je rovna nebo vtší než cena kupní opce s nižší dobou do splatnosti. Opce s delší dobou do splatnosti dává investorovi vtší výhody, než opce s kratší dobou do splatnosti. Opce s delší dobou do splatnosti dává investorovi možnost ekat déle ped vykonáním opce nebo ped splatností opce. Dodatený as do splatnosti zvyšuje cenu opce. Tento argument pesn platí pro americké opce. Americká opce umožuje vykonání opce kdykoliv ped dobou splatnosti. Naopak evropská opce umožuje vykonání opce pouze v dob splatnosti. Americká opce tudíž poskytuje všechny výhody evropské opce a navíc umožuje možnost dívjšího vykonání. Z tohoto dvodu za jinak stejných podmínek hodnota americké opce musí mít vždy hodnotu pinejmenším jako evropská opce. Kdyby se naopak opce s delší dobou do splatnosti prodávaly za mén než opce s kratší dobou do splatnosti, potom by existovaly arbitrážní možnosti. Abychom ozejmili takovou arbitráž, pedpokládejme, že se obchoduje se dvma opcemi na stejné akcie s uplatovací cenou B. S opcí s τ msíci do splatnosti se obchoduje za C a s opcí s τ msíci do splatnosti se obchoduje za C, platí že C >C. za tchto okolností arbitrážník koupí opci s τ msíci do splatnosti za C a prodá opci s τ msíci do splatnosti za C. transakce vynesou okamžitý istý zisk C -C. Mže se zdát, že investor podstupuje urité riziko spoívající v tom, že opce, která byla prodána, mže být vykonána. Pozice investora je ale jistá, nebo v pípad vykonání prodané opce s τ msíci do splatnosti, mže arbitrážník jednoduše vykonat τ msíní opci, kterou koupil a získanou akcii použije k dodání na základ vykonané τ msíní opce. To umožní zachovat si zisk C -C bez ohledu na to, co se stane s cenou akcií. Protože tento zisk je jistý a bylo ho dosaženo investováním, jedná se o arbitrážní zisk. Pedpokladem ovšem je, že τ msíní opce je americká, takže je možné ji uplatnit podle poteby ped datem splatnosti. Opce s delší dobou do splatnosti nemže mít nižší hodnotu než opce s kratší dobou do splatnosti. Jinak existuje možnost arbitráže. Obecn je tedy opce s delší dobou do splatnosti hodnotnjší než opce s kratší dobou do splatnosti. Jak jsme si již ukázali, jakákoliv kupní opce musí mít kdykoliv ped splatností hodnotu alespo S B. Jestliže cena podléhajícího aktiva je vtší než uplatovací cena S > B, potom o kupní opci íkáme, že je v penzích (in the money). Jestliže naopak cena podléhajícího aktiva je nižší než uplatovací - 3 -

14 cena S<B, potom o kupní opci íkáme, že je mimo peníze (out of the money). Jestliže platí, že cena podléhajícího aktiva je rovna uplatovací cen S = B, potom o kupní opci íkáme, že je na penzích (at the money). Rozdíl S - B u kupní opce, která je v penzích je vnitní hodnota (intrinsic value). Nkdy se provádí ješt detailnjší rozdlení, které uvádí tab... Hodnota kupní opce je o asovou hodnotu (time value) vtší než vnitní hodnota. asová hodnota oznauje skutenost, že možnost ekání na vykonání opce má uritou hodnotu. V okamžiku tsn ped splatností opce je asová hodnota nulová a hodnota opce se rovná vnitní hodnot opce. Jestliže se vlastník opce rozhodne pro vykonání opce ped datem splatnosti, dostane pouze ástku S B. Prodejem opce na trhu vlastník obdrží tržní cenu, která je normáln vtší než S B. normáln se tedy nevyplatí opci vykonat ped datem splatnosti. V pípad, že akcie vynáší dividendy a u evropských opcí tomu tak vždy být nemusí. Tab...: kdy je opce v penzích, mimo peníze a na penzích Call Put Deep in the money B/S < 0,.95 B/S >,05 In the money 0,95 B/S < 0,99,0 B/S <,05 At the money 0,99 B/S <,0 0,99 B/S <,0 Out of the money,0 B/S <,05 0,95 B/S < 0,99 Deep out of the money B/S >,05 B/S < 0, Cena kupní opce a úrokové míry Úrokové míry stanovují tsnjší omezení na cenu kupní opce. Pro jasnjší pochopení použijeme názornou ukázku na píklad. Pedpokládejme, že se akcie nyní prodává za 000CZK a že její cena se bhem roku mže zmnit o 0% nahoru i dol. Za rok hodnota akcie mže být 900 až 00CZK. Pedpokládejme, že bezriziková úroková míra je 8% a že na tuto akcii existuje kupní opce s uplatovací cenou 000CZK a dobou splatnosti ode dneška za rok. Potom mžeme zkonstruovat dv portfolia A a B: Portfolio A - akcie se souasnou hodnotou 000CZK Portfolio B - diskontovaný dluhopis s dobou splatnosti rok se souasnou hodnotou 96 CZK, což odpovídá úrokové míe 8% - kupní opce na akcii s uplatovací cenou 000CZK a dobou splatnosti rok. Které portfolio je hodnotnjší a co to znamená pro cenu opce C? V tab... hodnotíme ob portfolia pro dva mezní pípady, tj. snížení a zvýšení ceny akcie o 0%. V portfoliu A bude za rok cena akcie 00CZK nebo 900CZK. V portfoliu B bude mít dluhopis za všech okolností cenu 00CZK. Cena akcie má podstatný vliv na cenu kupní opce. Jestliže se cena akcie sníží o 0%, potom opce bez užitku vyprší. Jestliže se cena akcie zvýší o 0%, potom bude mít opce pesn hodnotu 00CZK, tj. rozdíl mezi cenou akcie a uplatovací cenou S B. Tab...: hodnota portfolií A a B dnes a za rok ( r = 8%) Doba Cena akcie hodnota portfolia A hodnota portfolia B Dnes - 000CZK Dluhopis 96CZK Opce C CZK Dluhopis 000CZK snížení 900CZK Opce 0CZK za rok Celkem 000CZK Dluhopis 000CZK zvýšení 00CZK Opce 00CZK Celkem 00CZK To zcela platí pro americké opce. Pro evropské opce to platit nemusí, nebo jejich cena mže být nižší než vnitní hodnota

15 Tedy jestliže se cena akcie sníží, portfolio B bude mít hodnotu 000CZK a jestliže se cena akcie zvýší, portfolio B bude mít hodnotu 00CZK. Je zejmé, že portfolio B je výnosnjší. Jestliže se cena akcie sníží, portfolio B bude mít o 00CZK vyšší hodnotu než portfolio A. Jestliže se cena akcie zvýší, ob portfolia budou mít stejnou hodnotu. Investor tím, že bude držet portfolio B, nemže nikdy ztratit a existuje uritá pravdpodobnost, že na tom bude lépe. Hodnota portfolia B musí být tedy pinejmenším rovna hodnot portfolia A. Jak to ovlivní cenu akcie? Protože portfolio B je pinejmenším stejn tak výnosné jako portfolio A, jeho cena musí být také pinejmenším rovna cen portfolia A. Protože cena portfolia A je 000CZK, hodnota portfolia B musí být alespo 000CZK. Hodnota dluhopisu v portfoliu B je 96CZK, proto hodnota opce musí být alespo 74CZK. To znamená, že hodnota kupní opce musí být pinejmenším rovna cen akcie minus souasná hodnota uplatovací ceny: C S PV (B) (.6.) 5. pravidlo pro hodnotu kupní opce Cena kupní opce musí být vtší nebo rovna cen akcie minus souasná hodnota uplatovací ceny. Pokud by tento vztah neplatil, potom by investoi dávali pednost portfoliu B oproti portfoliu A a existovala by také možnost arbitráže. Arbitrážní transakce by zahrnovala nákup portfolia B a krátký prodej portfolia A. Dosud jsme byli schopni cenu kupní opce omezit podmínkou, že cena opce tsn ped splatností je nulová nebo S B. Podle vztahu C S PV (B) platí, že cena kupní opce musí být vtší nebo rovna cen akcie minus souasná hodnota uplatovací ceny. Toto omezení podstatn zužuje hranice pro cenu kupní opce. Dále musí platit za jinak stejných podmínek, že ím vyšší je úroková míra, tím vyšší musí být cena opce. V pedchozím názorném píkladu inila bezriziková úroková sazba 8%, pokud bude za jinak stejných podmínek vyšší, nap. %, potom hodnoty portfolií uvádí tab..3.. Tab..3..: hodnota portfolií A a B dnes a za rok ( r = %) Doba cena akcie hodnota portfolia A Hodnota portfolia B Dnes - 000CZK Dluhopis 893CZK Opce C CZK Dluhopis 000CZK snížení 900CZK Opce 0CZK za rok Celkem 000CZK Dluhopis 000CZK Zvýšení 00CZK Opce 00CZK Celkem 00CZK Pro cenu kupní opce platí tedy C S PV (B) C 07CZK. Pro ceny kupních opcí platí tedy: r > r C(S, B, τ, r ) C(S, B, τ, r ) (.7.) 6. pravidlo pro hodnotu kupní opce Za jinak stejných podmínek musí být cena kupních opcí pi vyšší bezrizikové úrokové míe vyšší

16 .4.7. Ceny kupních opcí a rizikovost akcií Možná pekvapí, že ím je akcie rizikovjší, tím vtší je cena kupní opce na tuto akcii. Ilustrujme tuto zásadu opt na píkladu. Pedpokládejme, že cena akcie o souasné hodnot 000CZK se mže za rok snížit nebo zvýšit o 0%. Jak jsme vidli v pedchozím píkladu, cena kupní opce na takovou akcii s uplatovací cenou 000CZK a bezrizikovou úrokovou mírou 8% iní alespo 74CZK. Pedstavme si nyní jinou akcii se souasnou hodnotou 000CZK, jejíž hodnota se mže za rok snížit nebo zvýšit o 0%. V portfoliu A zamníme pvodní akcii s možnou odchylkou ± 0% touto akcií s odchylkou ± 0%. Jaká je tedy souasná cena opce na takovou akcii za jinak stejných podmínek? Tab..4.: hodnota portfolií A a B dnes a za rok ( r = 8%) Doba Cena akcie hodnota portfolia A Hodnota portfolia B Dnes - 000CZK Dluhopis 96CZK Opce C CZK Dluhopis 000CZK snížení 800CZK Opce 0CZK za rok Celkem 000CZK Dluhopis 000CZK Zvýšení 00CZK Opce 00CZK Celkem 00CZK Je zejmé, že cena takové opce musí být opt pinejmenším 74CZK. Jestliže cena akcie klesne, cena opce bude nulová. Jestliže cena akcie vzroste, cena opce bude 00CZK, což je rozdíl mezi cenou akcie a uplatovací cenou. Investor bude preferovat opci na akcii s možnou odchylkou 0%, protože tato opce na akcie se nemže chovat he než opce na akcii s odchylkou 0%. Proto opce na akcii s odchylkou 0% bude mít pinejmenším stejn tak velkou hodnotu jako opce na akcii s odchylkou 0%. Pravdpodobn, ale bude mít vtší hodnotu. Oekávaný výnos u obou akcií je stejný a jediným rozdílem v obou pípadech je míra rizikovosti akcie. Akcie s možnou odchylkou 0% je rizikovjší. Z toho vyplývá: > C(S, B, τ, r, ) C(S, B, τ, r, ) (.8.) 7. pravidlo pro hodnotu kupní opce za jinak stejných podmínek musí mít opce na rizikovjší aktivum cenu pinejmenším stejn velkou jako opce na mén rizikové aktivum Kupní opce jako pojištní Z tab..3. vyplývá, že kupní opce, jejíž hodnota je dnes pinejmenším 07CZK, bude mít za rok hodnotu 00CZK nebo nulu. Na první pohled se zdá být nerozumné investovat 07CZK do neho, co vynese za rok nulu nebo 00CZK. Avšak opce nabízí více než jednoduchou možnost investování, protože obsahuje pojištní. Charakter pojištní opcí je patrný z porovnání výnos (payoff) portfolia A a portfolia B. Jestliže se cena akcie sníží o 0%, potom portfolio A bude mít hodnotu 900CZK a portfolio B hodnotu 000CZK. Jestliže se cena akcie zvýší o 0%, potom ob portfolia budou mít hodnotu 00CZK. Vlastnictví opce zajiš uje, že nejhorší výsledek investování mže být 000CZK. Je to podstatn jistjší než držení samotné akcie. Za tchto okolností má platba 07CZK za opci s maximálním výnosem 00CZK své opodstatnní, protože ásteným užitkem z držení opce je pojištní, které zajiš uje, že celkový výnos z portfolia bude alespo 000CZK. To také potvrzuje, pro hodnota opce na rizikovjší akcii je vyšší. ím rizikovjší je akcie, tím hodnotnjší je - 6 -

17 pojištní proti nežádoucímu výsledku. Již jsme konstatovali, že cena opce musí být pinejmenším rovna cen akcie minus souasná hodnota uplatovací ceny. Tato formulace však zanedbává hodnotu pojištní, které je s opcí spojeno. Vezmeme-li to v úvahu, potom mžeme íci, že hodnota opce musí být rovna cen akcie minus souasná hodnota uplatovací ceny plus hodnota pojištní náležejícího k opci. Oznaíme-li hodnotu pojištní I, potom pro hodnotu opce platí: C S PV (B) + I. (.9.) 8. pravidlo pro hodnotu kupní opce hodnota opce musí být rovna cen akcie minus souasná hodnota uplatovací ceny plus hodnota pojištní náležejícího k opci. Dosud jsme však neuvedli žádný zpsob, jak hodnotu pojištní I stanovit. Budeme-li umt ocenit opci, potom budeme schopni ze vztahu C S PV (B) + I urit hodnotu pojištní. K tomuto úelu je zapotebí se seznámit s modely oceování opcí Modely oceování opcí Pro pedstavu si ukažme kolik existuje model na oceování opních kontrakt a uveme pro jaký typ opce a podkladové aktivum se používá. Black-Scholes Binomický/Cox-Rubinstein Binomický/Cox-Rubinstein Garman-Kolhagen (mnový) Binomial/Cox-Rubinstein (mnový) GARCH Options Pricing Model Evropská i na hotovostní instrumenty Americká i na hotovostní instrumenty Americká na futures Evropská na cash FX Americká na cash FX Evropská K oceování opcí se dosud nejvíce používá Black-Scholesv model a Binomický model. Black-Scholesv model a další teoretické možnosti se pokusíme nastínit v následujících kapitolách. Nejdíve trochu piblížíme fungování opních burz

18 3. Opce na akcie na finanních trzích Opce na akcie byly v moderní podob poprvé obchodovány v roce 973 a od té doby došlo k jejich prudkému rozmachu. Dnes sice nejsou dominantním typem opcí obchodovaných na derivátových burzách, meno objemem otevených pozic, protože došlo k výraznému rozvoji obchodování s úrokovými a mnovými opcemi, kde jsou objemy kontrakt ádov vyšší. Avšak akciové opce mají stále nezastupitelnou úlohu na svtových trzích, a to také historickou, protože oceovací modely, které jsou dnes ve svých modifikovaných podobách používány pro ocenní opcí na nejrznjší podkladová aktiva, byly v ad pípad pvodn odvozeny jako oceovací modely pro opce na akcie. Nejvýznamnjší roli mezi burzami obchodujícími opce na akcie hrají evropské a americké derivátové burzy. V Evrop je to zejména Eurex a LIFFE (London International Financial Futures and Options Exchange), v USA potom CBOE (Chicago Board Options Exchange) a AMEX (American Stock Exchange). 3.. Eurex Eurex byl založen v prosinci 996 z iniciativy Deutche Borse AG a Swiss Exchange. Vznikl spojením dvou derivátových burz, DTB (Deutche Terminborse) a SOFFEX (Swiss Options and Financial Futures Exchange). Obchodování bylo spuštno a je pln elektronické. Od roku 999 má Eurex podepsánu alianní dohodu s CBOT (Chicago Board of Trade). V roce 000 bylo obchodováno 454 milionu kontrakt, z ehož bylo tém 90 milion opních kontrakt na akcie. Krom opcí na akcie nabízí Eurex také opce a futures na akciové indexy, mimo jiné DAX, SMI nebo DJ Euro-STOXX 50, dále úrokové futures a opce na úrokové futures a opce na úvrové instrumenty (Euro SCHATZ, Euro BUND atd.). Opce na akcie pokrývají 37 nmeckých, 5 švýcarských, 6 finských, 8 nizozemských a 3 italské akcie a dále opce s nízkou vypoádací cenou (LEPOs). Tab.3..: Obchodování s opcemi na akcie na Eurex v roce 000 (zdroj: Podkladový instrument Objem obchod obchodované Zmna 000/999 (mil. EUR) kontrakty 3 Zmna 000/999 Celkem ,79% ,70% Akcie obsažené v DAX ,35% ,95% Akcie obsažené v SMI ,43% ,77% Akcie Neuer Markt ,3% ,% Severské akcie ,98% ,53% Velikost opního kontraktu je obvykle 00 podkladových akcií. Výjimku tvoí opce na švýcarské akcie, u kterých je velikost kontraktu pouze 0 akcií, a nkteré další jednotlivé opce s velikostí kontraktu jinou než 00 akcií, napíklad Allianz nebo Munchener Ruckversicherung. Nejmenší krok ceny opce je obvykle 0,0EUR, u opcí na švýcarské akcie je krok odstupován podle ceny opce od 0,0CHF až po,00chf. Krok vypoádací ceny je LEPOs (Low Exercise Price Options) byly poprvé pedstaveny ve Švýcarsku a Finsku. Cílem bylo vyhnout se nkterým poplatkm za obchody s akciemi, vytvoit ekvivalent pro krátké obchody a umožnit existenci voln obchodovatelných finanních instrument zastupujících akcie, které nejsou voln penositelné, což investorm pináší nové možnosti zajištní rizika. LEPO má velmi nízkou uplatovací cenu (nap. EUR), takže se jeho cena chová velmi podobn jako cena podkladové akcie. Držitel pouze nemá hlasovací práva spojená s podkladovou akcií a právo na výplatu dividend. 3 Kupní i prodejní opce. Velikost kontraktu je 00akcií, s výjimkou opcí na švýcarské akcie, kde je velikost kontraktu 0 akcií a nkterých dalších vyjímek

19 opt odstupován do nkolika pásem. Situaci pro opce na akcie ze zemí EU znázoruje tab.3.., pro opce na švýcarské akcie jsou pásma a kroky stanoveny odlišn. Tab.3..: Obchodování s opcemi na akcie na Eurex v beznu 00,podle sektor (zdroj: Podkladový instrument Objem obchod obchodované Zmna 000/999 (mil. EUR) kontrakty Zmna 000/999 Celkem ,78% ,54% Akcie obsažené v DAX ,33% ,% Deutche Telecom ,85% ,0% Daimler Chrysler ,36% ,4% Deutche Bank ,03% ,98% Bayer ,7% ,79% Siemens ,8% ,8% Akcie obsažené v SMI ,87% ,08% Credit Suisse Group ,85% ,86% UBS ,% ,03% Roché ,08% ,83% Novartis ,98% ,63% Nestlé ,6% ,65% Akcie DJ Euro_STOXX ,98% ,4% Philips ,6% ,9% Royal Dutch ,98% ,89% ING 58 +3,8% ,50% Akcie Neuer Markt 64-77,6% ,76% T-Online Intershop 4 +40,7% ,44% Severské akcie ,64% ,0% Nokia ,60% ,6% Posledním obchodním dnem je tetí pátek v msíci, nebo nejbližší pedchozí obchodní den, pokud tento pátek není obchodním dnem. Obchodovány jsou vždy opce se splatností v nejbližších tech msících a dále ve dvou až tech následujících msících beznového cyklu. Na nkteré akcie jsou také obchodovány opce s dobou splatnosti -4 msíc, a to vždy s msícem splatnosti erven nebo prosinec. Nizozemské akcie nejsou obchodovány v beznovém, ale lednovém cyklu. Opce jsou amerického typu, mohou být uplatnny v libovolný obchodní den ped dnem splatnosti, u opcí na nmecké akcie s výjimkou dn, kdy je oznamována dividenda podkladové akcie. Pi uplatnní opce dojde k fyzickému dodání podkladové akcie v objemu odpovídajícímu kontraktu. Doba dodání se liší, pohybuje se od T+ do T+4 od okamžiku uplatnní opce. U všech opcí existuje povinný market-making. Tab.3.3.: Krok uplatovací ceny opce na akcie ze zemí EU Pásmo uplatovací ceny (EUR) Krok (EUR) 0-5 0,0 5,5-0 0,50-0,00-50, ,00 >00 0,00-9 -

20 3.. London International Financial Futures and Options Exchange (LIFFE) LIFFE byla založena v roce 98. pvodn byla založena na metod veejného kiku, avšak dnes již je provozována elektronicky na platform LIFFE Connect. Na LIFFE jsou obchodovány deriváty na krátkodobou úrokovou míru, dlouhodobé dluhové instrumenty, akcie a nefinanní instrumenty. Jasn pevažují opce a futures na úrokovou míru, které tvoí více než polovinu trhu, meno potem obchodovaných kontrakt. Tab.3.4.: Obchody s deriváty na LIFFE, prmrné denní objemy obchod za období (zdroj: Instrument a podkladové aktivum Nejastjší velikost kontraktu Obchodované kontrakty denn Celkem LIFFE Futures na krátkodobou úrokovou míru EUR , GBP , CHF M Euribor EUR Opce na futures na krátkodobou úrokovou míru futures kontrakt M Euribor futures kontrakt = EUR Futures na dluhové instrumenty GBP , EUR Futures na akciový index GBP 0 za jeden bod indexu Index FTSE 00 GBP 0 za jeden bod indexu Opce na akciový index GBP 0 za jeden bod indexu Index FTSE 00 (evropská opce) GBP 0 za jeden bod indexu Opce na akcie 000 akcií Vodafone 000 akcií BP 000 akcií 9 Reuters Group 000 akcií 393 Futures na akcie 000 akcií u futures na britské akcie, 00 akcií u ostatních Furures na komodity 0 tun kakao, 5 tun káva, 50 tun cukr 668 Opce na komodity futures kontrakt 78 Opce na akcie a akciový index tvoí zhruba 0% obchod na LIFFE. U opcí na akciový index jasn dominují evropské opce na index FTSE 00, ostatní opce mají jen malý význam. Objem obchod s opcemi na akcie je sice solidní, tvoí zhruba 5% celkového trhu. Celkov jsou obchodovány opce na zhruba 00 akciových titul, bohužel dostaten likvidní je pouze trh s opcemi na nkolik akcií, krom Vodafone, BP a Reuters Group jsou to nap. Abbey National, British Airways, GlaxoSmithKline, Sainsbury, Marconi nebo Shell Transport&Trading u ostatních se nedá hovoit o dostatené likvidit. Opce se obchodují v lednovém, únorovém i beznovém cyklu, v závislosti na podkladovém aktivu. Jsou obchodovány vždy opce splatné v nejbližších tech msících daného cyklu. Posledním obchodním dnem pro opce s dobou splatnosti v daném msíci je tetí steda. Vypoádání je provádno v ase T+4 od uplatnní opce nebo od posledního obchodního dne. Opce jsou amerického typu, mohou být uplatnny kterýkoliv den do doby splatnosti. Nejmenší krok ceny opce je 0,5 pence, kotování je provádno v celých pencích. Opce s novými vypoádacími cenami se zaínají obchodovat v okamžiku, kdy cena podkladového aktiva pekroí druhou nejvyšší, nebo klesne pod druhou nejnižší obchodovanou uplatovací cenou. Nejmenší krok uplatovací ceny je stanoven v závislosti na výši vypoádací ceny. Vypoádání obchod probíhá prostednictvím London Clearing House