Matematika 1. RNDr. Petr Fuchs, Ph.D. RNDr. Vlasta Krupková, CSc. ÚSTAV MATEMATIKY

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematika 1. RNDr. Petr Fuchs, Ph.D. RNDr. Vlasta Krupková, CSc. ÚSTAV MATEMATIKY"

Transkript

1 Matematika RNDr. Petr Fuchs, Ph.D. RNDr. Vlasta Krupková, CSc. ÚSTAV MATEMATIKY

2

3 Matematika Obsah Úvod 0. Elementy matematické logiky Výroky Výrokové funkce predikáty Kvantifikátory Shrnutí Cvičení Výsledky Množiny Číselné množiny Suprémum, infimum, maximum, minimum, ohraničené (omezené) množiny 4 Shrnutí Cvičení Výsledky Funkce, zobrazení Pojem a základní vlastnosti funkce Složená funkce Funkce prosté a funkce inverzní Algebraické operace mezi funkcemi Monotonní funkce Funkce sudé a liché, funkce periodické Funkce ohraničené Elementární funkce Polynomy, kořeny polynomu Hornerovo schéma Racionální lomené funkce, rozklad na parciální zlomky Mocninná funkce Exponenciální a logaritmická funkce Goniometrické funkce Cyklometrické funkce Hyperbolické funkce Posloupnosti Shrnutí Otázky a úlohy Cvičení Výsledky Lineární algebra 63. Aritmetické vektory Základní pojmy, aritmetické operace Vektory ve fyzice, geometrická reprezentace Lineární závislost, báze, souřadnice vektoru Podprostory

4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Hodnost systému vektorů Shrnutí Otázky a úlohy Cvičení Výsledky Matice Základní pojmy Transponovaná matice Aritmetické operace Násobení matic, inverzní matice Hodnost matice, ekvivalence matic Výpočet inverzní matice Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Determinanty Motivace Permutace Definice determinantu Základní vlastnosti determinantů, výpočet determinantů Výpočet inverzní matice Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Soustavy lineárních rovnic Maticový zápis soustavy lineárních rovnic, rozšířená matice soustavy Řešitelnost soustavy, Frobeniova věta Homogenní soustavy Nehomogenní soustavy Cramerovo pravidlo Zaokrouhlovací chyby, špatně podmíněné soustavy Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Diferenciální počet I Úvodní poznámky motivace Limita Definice limity Limita parciální funkce (relativní limita) Limita posloupnosti

5 Matematika 3 Hromadná hodnota posloupnosti, horní a dolní limita Věty o limitách Věty o nevlastních limitách Limita složené funkce Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Spojitost Klasifikace nespojitostí Funkce spojité na intervalu Vlastnosti funkcí spojitých na uzavřeném intervalu Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Derivace Motivace Derivace v bodě Derivace na intervalu Základní pravidla pro derivování Diferenciál funkce Neurčité výrazy, L Hospitalovo pravidlo Věty o přírůstku funkce Shrnutí Slovník a gramatika pro derivace Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Derivace vyšších řádů, Taylorův polynom Derivace a diferenciály vyšších řádů Linearizace Aproximace funkce Taylorovým polynomem Shrnutí Taylorovy formule pro některé funkce Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Extrémy, průběh funkce Lokální extrémy Absolutní (globální) extrémy Konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body Asymptoty grafu funkce Vyšetření průběhu funkce

6 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Integrální počet I Neurčitý integrál Primitivní funkce Neurčitý integrál Integrační metody Integrace per partes Metoda substituce Integrace racionálních lomených funkcí Integrace některých iracionálních funkcí Integrace trigonometrických funkcí Shrnutí Vzorce pro výpočet neurčitých integrálů Důležité integrály Některé typy integrálů řešitelné metodou per partes Některé doporučené substituce Otázky a úlohy Cvičení Výsledky Určitý integrál Dělení intervalu Integrální součet Určitý (Riemannův) integrál Vlastnosti určitého integrálu Odhad určitého integrálu, věta o střední hodnotě Fundamentální věta Newton-Leibnizova věta Metoda per partes pro určité integrály Metoda substituce pro určité integrály Aplikace určitého integrálu Obsah rovinné oblasti Objem tělesa Objem rotačního tělesa Délka rovinné křivky Shrnutí Otázky a úlohy Cvičení Výsledky Nevlastní integrály Nevlastní integrál na neohraničeném intervalu

7 Matematika 5 Integrály z neohraničených funkcí Obecná definice nevlastního integrálu Shrnutí Cvičení Výsledky Nekonečné řady Číselné řady Základní pojmy Vlastnosti číselných řad Kriteria konvergence Absolutní konvergence Přerovnání řad, násobení řad Numerická sumace Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Mocninné řady Základní pojmy Poloměr konvergence Derivace a integrace mocninných řad Taylorovy řady Shrnutí Taylorovy (Maclaurinovy) řady některých elementárních funkcí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Diferenciální počet II Funkce více proměnných Pojem funkce dvou a více proměnných, definiční obory, graf Složená funkce Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Limita, spojitost Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Derivace Parciální derivace

8 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Geometrický význam parciálních derivací Směrová derivace Gradient Geometrický význam gradientu Diferenciál funkce více proměnných Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Derivace a diferenciály vyšších řádů, Taylorova věta Diferenciál k-tého řádu Aproximace funkce Taylorovým polynomem Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Extrémy funkcí více proměnných Lokální extrémy Nutná podmínka pro extrém Postačující podmínka pro extrém Vázané a absolutní extrémy Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky

9 Matematika 7 Seznam obrázků. y = sgn(x) y = [x] Složená funkce y = x, y = x y = e x, y = ln x y = sin x, y =arcsin x y = cos x, y =arccos x y =tg x, y =arctg x y =cotg x, y =arccotg x arcsin sin x f(x)=5 x, f (x)=(x 5) Sudá funkce Lichá funkce Periodické funkce Grafy mocninných funkcí y = x a Exponenciální funkce f(x) = a x Logaritmické funkce f(x) = log a x sin x cos x tg x Grafy goniometrických funkcí y = sin x y = cos x Grafy goniometrických funkcí y =tg x y =cotg x arcsin x, arccos x arctg x, arccotg x sinh x,cosh x tgh x,cotgh x Grafy a) b) c) d) e) a), b) Obvod k příkladu RL obvod i(t) = U ( R e (R/L)t ) y = x x 3.38 y = 3 x y = x x K příkladu f(x) = sin x f(x) = x sin x

10 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 3.43 Geometrická představa o limitě Funkce f z příkladu f(x) = cos x, f(x) = x f(x) = cos x x Geometrický význam derivace Polotečny ke grafu funkce Svislá tečna a polotečna Graf funkce f Graf derivace f Geometrický význam diferenciálu Rolleova věta Lagrangeova věta Funkce z příkladu Linearizace Taylorovy polynomy funkce + x Taylorovy polynomy funkce e x Stacionární body a extrémy f(x) = x 3 + 3x 9x f(x) = 6 x6 + x f(x) = 3 x3 x 3x na 3, Konvexní a konkávní funkce f konvexní f roste f(x) = 3(x ) 3 + x f(x) = e x + x f(x) = x + x Znaménko derivace funkce f(x) = x3 4 x Znaménko druhé derivace funkce f(x) = x3 4 x Graf funkce f(x) = x x 3.7 Znaménko funkce f(x) = 3 x x Znaménko derivace funkce f(x) = 3 x x Graf funkce f(x) = 3 x x Znaménko derivace funkce f(x) = xe x Znaménko druhé derivace funkce f(x) = xe x Graf funkce f(x) = xe x Dělení intervalu 0, Integrální součet funkce f(x) = x Integrální součet funkce (x + ) sin x Integrální součty funkce f(x) = x 4 ln x pro n = [9, 6, 5, 36, 49, 64] Integrální střední hodnota f(x) = x x na intervalu 0, Fundamentální věta Primitivní funkce jako funkce horní meze

11 Matematika Grafy funkcí sin x x a x 0 sin t t dt Objem tělesa K př Cykloida Integrální kriterium Integrální kriterium f(x, y) = e x y f(x, y) = y x, z f(x, y) = y x, z Vrstevnice z = e x y Vrstevnice z = y x lim x = x (x,y) (x 0,y 0 ) x 3 y xy x +y (x + y ) sin xy xy 6.99 x +y x 6.00 y x 8 +y x 6.0 +y vrstevnice x y x 6.0 +y x y 6.03 Parciální derivace podle x Směrová derivace f(x, y) = x y Vrstevnice a gradient funkce f Geometrický význam diferenciálu Plochy a tečné roviny z příkladu Funkce a Taylorův polynom f(x, y) = x 3 + y 3 3xy x + y x + y (x y) z = xy, x + y = x y + 4xy 6x

12 0 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Úvod Tento učební text k předmětu Matematika je určen především studentům prvního semestru kombinovaného studia. Tento typ studia je kombinací prezenční a distanční formy, přičemž těžiště studia je v samostatné práci, pro kterou je nezbytné mít k dispozici dosti podrobný a srozumitelný studijní materiál. Snažili jsme se proto zavádět pouze skutečně nezbytné pojmy a postupy potřebné v dalším studiu na FEKT, v mnoha případech uvedené motivací. Přitom ale nebylo možné slevit z přesnosti výkladu proto, i když je to nepopulární, postupujeme cestou definice věta důkaz. Tato cesta přes veškerou kritiku nematematiků, jíž se jí v současné době dostává, zůstává nejpřehlednější a v podstatě jedinou možnou formou matematického výkladu. Aby byl usnadněn přechod od teoretického pochopení výkladu k schopnosti získané vědomosti a dovednosti aplikovat, uvádíme mnoho ilustrujících řešených příkladů a v závěru každé kapitoly cvičení pro samostudium. Jak již bylo zmíněno, tento text je určen především pro studenty v kombinovaném studiu, ale vzhledem k tomu, že osnovy kombinovaného a prezenčního studia jsou stejné, věříme, že tento text bude plně použitelný i pro studenty studia prezenčního.

13 Matematika V našem kurzu Matematika nebudeme postupovat systematicky od úplného začátku, ale budeme navazovat na látku ze střední školy. Úvodní kapitola je věnována přehlednému opakování, popřípadě doplnění nejdůležitějších pojmů, které budeme užívat. Sledujeme i cíl upřesnit a sjednotit některé názvy a označení.. Elementy matematické logiky Výroky Připomeňme, že výrok chápeme jako jazykové vyjádření myšlenek, jimiž přisuzujeme předmětům jisté vlastnosti nebo jimiž stanovíme vztahy mezi předměty; je to (jazykový) výraz, o němž má smysl říci, že je pravdivý nebo nepravdivý. Například číslo 3 je sudé je nepravdivý výrok, naproti tomu sdělení přijď brzy domů, číslo Brno je modré, sin x > 0 výroky nejsou (druhé sdělení je nesmyslná snůška slov, třetí sdělení je tzv. výroková funkce s proměnnou x). Výrokům přiřazujeme tzv. pravdivostní hodnoty: je-li výrok pravdivý, má pravdivostní hodnotu, nepravdivý výrok má pravdivostní hodnotu 0. Složené výroky sestavujeme pomocí výrokotvorných částic spojek; jsou-li p, q výroky, definujeme: negace výroku p p, p, p opačný výrok konjunkce výroků p a q p q a, současně disjunkce výroků p a q p q nebo (nevylučovací!) implikace výroků p a q p q z p plyne q * ekvivalence výroků p a q p q p je ekvivalentní s q ** * p implikuje q, jestliže p pak q, q je nutná podmínka pro p, p je postačující podmínka pro q, ** p právě když q, p tehdy a jen tehdy když q, p když a jen když q, p je nutná a postačující podmínka pro q. Jednotlivé výrokové spojky mají specifické vlastnosti: například negací pravdivého výroku získáme výrok nepravdivý a naopak, konjunkce dvou výroků je pravdivá pouze v případě, jsou-li oba výroky pravdivé atd. Přehledněji vlastnosti jednotlivých výrokových spojek popíšeme pomocí pravdivostních hodnot: p p q p q p q p q p q Stejně tak pomocí tabulky pravdivostních hodnot nejsnáze zjistíme, při jaké kombinaci elementárních výroků je pravdivý nebo nepravdivý komplikovanější výrok.

14 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad.: Vyšetříme výrok (p q) (p q). Řešení: p q q p q p q (p q) (p q) (p q) Daný výrok je tedy pravdivý bez ohledu na to, jsou-li výroky p, q pravdivé nebo nepravdivé. Složitější výroky jsou někdy nepřehledné vzhledem k vysokému počtu závorek, které udávají pořadí, ve kterém se mají jednotlivé spojky aplikovat; proto užíváme konvenci o pořadí, jak silně spojky vážou elementární výroky. Pořadí je následující: negace, konjunkce a disjunkce, implikace a ekvivalence. Tedy např. místo a místo (p (q r)) ((p q) (p r)) píšeme p (q r) (p q) (p r), (( p) q) (p ( q)) píšeme p q p q. V příkladu. jsme viděli, že složený výrok může mít takový tvar, že je vždy pravdivý bez ohledu na to, jsou-li jednotlivé elementární výroky, ze kterých je tento složený výrok sestaven, pravdivé nebo nepravdivé (tedy má pravdivostní hodnotu při libovolném vyhodnocení); takové výroky se nazývají tautologie; výrok, který je vždy nepravdivý (pro libovolné ohodnocení elementárních výroků má pravdivostní hodnotu 0), se nazývá kontradikce. Uvedeme si některé další tautologie (jako cvičení prověřte, že se o tautologie skutečně jedná): (p q) (p q) (q p) (p q) ( q p) (p q) ( p q) negace implikace (p q) (p q)

15 Matematika 3 De Morganova pravidla (p q) ( p q) (p q) ( p q) distributivita p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) dvojí negace p ( p) zákon vyloučeného třetího p p Až na poslední vztah mají všechny uvedené tautologie tvar ekvivalence; výroky napravo jsou pravdivé právě tehdy, když jsou pravdivé výroky nalevo. Pravdivostní hodnota složeného výroku se tedy nezmění, nahradíme-li dílčí výrok v něm vystupující výrokem s ním ekvivalentním (provedeme ekvivalentní úpravu). To nám umožňuje složité výroky postupně zjednodušovat. Příklad.: Pomocí výše uvedených ekvivalentních úprav zjednodušíme výrok [(p q q) (p q)]: [(p q q) (p q)] (De Morganův vzorec) (p q q) (p q) (negace implikace) [(p q) q] (p q) (dvojí negace) (p q q) (p q) (p q) (p q) (distributivita) p (q q) p Výrokové funkce predikáty Představme si, že pro x R zkoumáme výraz x > 3. Tento výraz není výrok; stane se jím, až za x dosadíme některé konkrétní reálné číslo, a v závislosti na tom, které číslo zvolíme, bude pravdivý nebo nepravdivý. Takový výraz se nazývá výroková funkce (forma), také predikát. Výroková funkce obsahuje proměnné; proměnná se dá chápat jako prázdné místo, kam lze dosazovat libovolné prvky z určité množiny, např R (C), která se nazývá přípustný obor dané proměnné. Po dosazení za všechny proměnné se predikát stane výrokem buď pravdivým nebo nepravdivým. Prvky množiny, pro něž je výrok pravdivý, tvoří obor pravdivosti výrokové formy. Příklad.3: x N je predikát s přípustným oborem (například) R; dosadíme-li za x například π, 8, 3, dostaneme výroky π N, 4 N, 3 4 N,

16 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně z nichž druhý je pravdivý a první a třetí nepravdivý. Obor pravdivosti tvoří všechna kladná sudá čísla. Kvantifikátory Je-li V predikát obsahující proměnnou x (event. i další), pak výraz x (V ) nebo x : V x (V ) nebo x : V chápeme jako tvrzení existuje x tak, že platí V pro každé x platí V Přitom se nazývá existenční kvantifikátor, se nazývá všeobecný kvantifikátor. Poznamenejme, že ve výrazech s kvantifikátory často uvádíme přímo přípustný obor pro proměnnou; píšeme x M : V (x), x M : V (x). Jestliže predikát V obsahuje jedinou proměnnou x, je x (V ) resp. x (V ) výrok; říkáme, že proměnná x je vázaná kvantifikátorem. V opačném případě jde zase o predikát s tzv. volnou proměnnou a můžeme utvořit nové výrazy (predikáty, výroky) y x (V ), y x (V ) a podobně. Příklad.4: pravdivý výrok: Máme zjistit, který z následujících predikátů s proměnnou x R je a) x b) x (x ) c) x (x ) d) x (x (, x ) Řešení: a) není výrok (proměnná x je volná); b) je nepravdivý výrok; lze najít číslo a R (např. a = 3) tak, že výrok a je nepravdivý; c) je pravdivý výrok; stačí najít jedno konkrétní číslo a R (např. a = 0) tak, že výrok a je pravdivý; d) jedná se o pravdivý výrok, kterým definujeme interval. Kvantifikátory tedy můžeme řadit za sebou, přičemž na jejich pořadí záleží. Např. x R y R (x = y) je jiný výrok než y R x R (x = y) (první je pravdivý, druhý nepravdivý).

17 Matematika 5 Příklad.5: Máme vyšetřit pravdivost následujících výroků pro reálné proměnné x a y: a) x y (x < y) b) y x (x < y) Řešení: a) Výrok je pravdivý; stačí pro libovolné pevně zvolené x položit y = x + výrok x < x + je pravdivý pro každé reálné x. b) Výrok je nepravdivý; jeho pravdivost by znamenala, že existuje největší reálné číslo. ( není reálné číslo!) Při vyšetřování reálných čísel se osvědčilo zavést symbol R = R {, }. Použijeme-li toto označení, můžeme formulovat pravdivý výrok y R x R (x < y). Často potřebujeme utvořit negaci výroku s kvantifikátory. Užíváme přitom tyto ekvivalence: ( x M : V (x)) x M : V (x), ( x M : V (x)) x M : V (x). Příklad.6: [ x M : (P (x) Q(x))] x M : [P (x) Q(x)] x M : (P (x) Q(x)). Shrnutí V tomto odstavci jsme připomněli následující pojmy: výrok: jazykové spojení, o kterém lze říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé, výrokové spojky, pomocí nichž sestavujeme složitější výroky:,,,, ; ohodnocení výroků pomocí pravdivostních hodnot, tautologie a kontradikce: výrok vždy pravdivý resp. vždy nepravdivý, výroková funkce (predikát): tvrzení, které obsahuje proměnnou a které se stane výrokem, jestliže za tuto proměnnou dosadíme prvek z přípustné množiny, kvantifikátory: všeobecný a existenční.

18 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Cvičení. Formulujte, co rozumíme výrokem a uveďte příklady.. Nechť p znamená je chladno a q prší. Vyjádřete slovně následující složené výroky: a) p b) p q c) p q d) q p 3. Nechť p znamená je vysoká a q je hezká. Zapište symbolicky následující výroky: a) Je vysoká a hezká. b) Je vysoká, ale není hezká. c) Není pravda, že je nevysoká a hezká. d) Není ani vysoká, ani hezká. e) Je vysoká, nebo je nevysoká a hezká. f) Není pravda, že je nevysoká nebo nehezká. 4. Najděte pravdivostní hodnoty následujících složených výroků: a) Paříž je ve Francii a zároveň + = 4. b) Paříž je v Anglii a zároveň + = 4. c) Paříž je ve Francii a zároveň + = 5. d) Paříž je v Anglii a zároveň + = Najděte pravdivostní hodnoty následujících složených výroků ( nebo je zde ve smyslu nevylučovacím): a) + = 5 nebo + = 4 b) + 5 = 9 nebo = 8 c) + = 5 nebo = 4 d) + 5 = 9 nebo + 7 = 8 6. Najděte pravdivostní hodnoty následujících složených výroků: a) Kodaň je v Dánsku, a + = 5 nebo + = 4. b) Paříž je v Anglii, nebo + = a = 7. c) Kodaň je v Dánsku, nebo + 5 = 8 a = 6. d) Paříž je v Anglii, a = 7 nebo + 6 = Pomocí tabulky pradivostních hodnot ohodnoťte výroky: a) p (q r) b) (p q) (p r) 8. Definujte tautologii a kontradikci a uveďte příklady.

19 Matematika 7 9. Ověřte, že: a) p (p q) je tautologie, b) (p q) (p q) je kontradikce, c) (p q) (p q) je tautologie, d) p (q r) (p q) (p r) je tautologie. 0. Sestavte tabulku pravdivostních hodnot pro logickou spojku vylučovací nebo : p q znamená platí p nebo q, ale ne současně.. Ověřte ekvivalenci p q (p q) (p q).. Nechť p(x) je výraz x + > 5. Rozhodněte, zda je to výroková funkce; v kladném případě zjistěte, zda následující množiny jsou její přípustné obory: a) N, b) M = {,, 3,... }, c) C. 3. Určete pravdivostní hodnoty následujících výroků: (Přípustná množina je R) a) x : x = x, b) x : x = x, c) x : x + > x, d) x : x + = x. 4. Utvořte negace výroků z cv. 3 a vzniklé výroky co nejvíce zjednodušte. 5. Nechť A = {,, 3, 4, 5}. Určete pravdivostní hodnoty následujících výroků. Utvořte a co nejvíce zjednodušte jejich negace: a) ( x A)(x + 3 = 0), b) ( x A)(x + 3 < 0), c) ( x A)(x + 3 < 5), d) ( x A)(x + 3 7). 6. Utvořte negace výroků: a) x p(x) y q(y), b) x p(x) y q(y). 7. Určete pravdivostní hodnoty následujících výroků s přípustnou množinou {,, 3}: a) x y : x < y +, b) x y : x + y <, c) x y : x + y <, d) x y z : x + y < z, e) x y z : x + y < z. 8. Nechť A = {,,..., 9, 0} je přípustná množina pro následující predikáty. Jdeli o výroky, určete pravdivostní hodnotu. Jde-li o výrokové funkce, najděte obor pravdivosti: a) x y : x + y < 4, b) x y : x + y < 4, c) y : x + y < 4, d) y : x + y < Utvořte negace následujících výroků:

20 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Výsledky a) x y : p(x, y), b) x y : p(x, y), c) y x z : p(x, y, z), d) x y : (p(x) q(y)), e) x y : (p(x, y) q(x, y)), f) y x : (p(x) q(y)).. a) není chladno, b) je chladno a prší, c) je chladno nebo prší (nebo je chladno a prší), d) prší a není chladno; 3. a) p q, b) p q, c) ( p q) p q, d) p q, e) p ( p q) p q, f) ( p q) p q; 4. a), b) 0, c) 0, d) 0; 5. a), b) 0, c) 0, d) ; 6. a), b) 0, c) 0, d) 0; 0. p q p q a),b) ano, c) ne; 3. a) 0, b), c), d) 0; 4. a) x > x = x, b) x : x x, c) x : x + x, d) x : x + x; 5. a) 0; ( x A)(x + 3 0), b) ; ( x A)(x + 3 0), c) ; ( x A)(x + 3 5), d) 0; ( x A)(x + 3 > 7); 6. a) ( x : p(x)) ( y : q(y)), b) ( x : p(x)) ( y : q(y)); 7. a), b), c) 0, d), e) 0; 8. a), b) 0, c) {,, 3}, d) A; 9. a) x y ( p(x, y)), b) x y ( p(x, y)), c) y x z ( p(x, y, z)), d) x y ( p(x, y) q(x, y)), e) x y ( p(x, y) q(x, y)), f) x y ( p(x, y) q(x, y).. Množiny Ze střední školy resp. z Matematického semináře je vám známo, že v matematice nazýváme jakýkoliv soubor či systém objektů množinou. Množiny vymezujeme výčtem prvků nebo predikátem charakterizací: Je-li V (x) predikát, potom symbol {x V (x)} označuje množinu všech prvků a, pro které je V (a) pravdivý výrok; někdy uvádíme obor přípustný pro proměnnou x a píšeme např.: {x R V (x)}. Příklad.7: {x R x } = (,. Značí-li A množinu jistých objektů a x je jeden z těchto předmětů, říkáme, že x je prvkem množiny A (x patří do A) a píšeme x A. Není-li y prvkem množiny A, píšeme y A. Jestliže S je množina, jejíž prvky jsou opět množiny, nazýváme ji zpravidla systémem množin.

21 Matematika 9 Dvě množiny mají stejné prvky (tedy jsou si rovny), jestliže jsou charakterizovány ekvivalentními výroky: {x U(x)} = {x V (x)} x (U(x) V (x)). Operace s množinami Nechť A, B jsou množiny. Potom definujeme vztahy mezi množinami a operace s množinami pomocí následujících výroků: rovnost množin A = B x(x A x B) podmnožina A B x(x A x B) průnik množin x(x A B x A x B) sjednocení množin x(x A B x A x B) rozdíl množin x(x A \ B x A x B) Je-li A B, označujeme množinu B \ A symbolem A a nazýváme ji doplňkem (komplementem) množiny A v množině B. Tuto symboliku používáme především tehdy, zkoumáme-li komplementy více množin k jedné pevné množině. Příklad.8: Nechť A = {,, 3, 4}, B = {, 4, 6}, C = {,, 4, 8} a X = {,,..., 0}. Máme popsat výčtem prvků množiny (doplňky se rozumí vzhledem k X): A B, B C, A \ B, B \ A, A (B C), (A B) C, A B, A B. Řešení: A B = {x x A x B} = {,, 3, 4, 6} B C = {x x B x C} = {, 4} A \ B = {x x A x B} = {, 3} B \ A = {x x B x A} = {6} A (B C) = {x x A x B C} = {,, 3, 4} (A B) C = {x x A B x C} = {,, 4, } A B = {x x X x A B} = {5, 7, 8, 9, 0} A = {x x X x A} = {5, 6, 7, 8, 9, 0}, B = {x x X x B} = {, 3, 5, 7, 8, 9, 0} A B = {x x A x B} = {, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 0}

22 0 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Množina neobsahující žádné prvky se nazývá prázdná množina. Tuto množinu značíme symbolem, výrok x (x ) je tedy nepravdivý. Prázdnou množinu můžeme definovat libovolnou kontradikcí, například = {x x A x A}. Prázdná množina má mnoho překvapivých vlastností, se kterými se setkáme později; některé jsou ověřeny v následujícím příkladu: Příklad.9:. Ukažme, že pro libovolnou množinu A platí A.. Prověřme pravdivost následujících výroků: a) b) c) { } d) { } Řešení:. Použijeme výrok definující podmnožinu: A x(x x A) x je nepravda, tedy implikace ve zkoumaném výroku je vždy pravdivá (nepravda cokoliv).. a) Prázdná množina nemá žádné prvky, tedy ani samu sebe. b) viz. pro A =. c) { } je množina zadaná výčtem prvků, jediný její prvek je ; tedy { }. d) viz. pro A = { }. Množinu všech podmnožin dané množiny A nazýváme potenční množinou a označujeme P(A). Tedy P(A) = {X X A}. Příklad.0: P({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. Ukážeme,že je-li A konečná množina o n prvcích, má její potenční množina n prvků: Podmnožinu o k prvcích (v množině A) můžeme utvořit ( n k) různými způsoby (je to počet kombinací k-té třídy z n prvků). Máme tedy ( n 0) podmnožin o 0 prvcích (což je ) ( n ) jednoprvkových podmnožin ( n ) dvouprvkových podmnožin ( n k). ( n n) k-prvkových podmnožin n-prvkových podmnožin Celkem (n ) + 0 ( ) n + + ( ) n + + k ( ) n = ( + ) n = n. n Proto se také někdy množina všech podmnožin dané množiny A označuje symbolem A.

23 Matematika Příklad.: Pro množiny z příkladu.8 máme určit Řešení: P(A C), P(B), P(A C) P(B) a P(A B C). A C = {,, 4} P(A C) = {, {}, {}, {4}, {, }, {, 4}, {, 4}, {,, 4}}, P(B) = {, {}, {4}, {6}, {, 4}, {, 6}, {4, 6}, {, 4, 6}}, P(A C) P(B) = {, {}, {4}, {, 4}}; A B C = {, 4}, P(A B C) = {, {}, {4}, {, 4}}. Kartézským součinem A B množin A, B (v tomto pořadí) nazýváme množinu A B = {(a, b) a A b B}. Přitom (a, b) znamená uspořádanou dvojici prvků a, b. Je-li speciálně A = B, pak A A značíme A. Například R bude značit množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel. Jsou-li A, B, A B neprázdné množiny, pak A B B A: Příklad.: Nechť A = {, }, B = {3}. Potom A B = {(, 3), (, 3)}, a B A = {(3, ), (3, )}. Číselné množiny Číselné obory se obvykle konstruují postupně tak, že se vychází od oboru přirozených čísel N = {,, 3, 4,... }. Součet a součin přirozených čísel je přirozené číslo. N se rozšíří na obor celých čísel Z celým číslem nazýváme každé číslo, které lze vyjádřit jako rozdíl přirozených čísel. Součet, součin a rozdíl celých čísel je celé číslo. Každé číslo, které můžeme vyjádřit jako podíl celého čísla a celého čísla různého od nuly, nazýváme racionálním číslem. Obor racionálních čísel značíme písmenem Q. Součet, rozdíl, součin a podíl dvou racionálních čísel (kromě dělení nulou) je racionální číslo. Všechna racionální čísla můžeme vyjádřit ve tvaru konečných nebo nekonečných periodických desetinných zlomků. Číslo, které lze vyjádřit ve tvaru nekonečného neperiodického desetinného zlomku, nazýváme iracionálním číslem. Takovými čísly jsou např. čísla, 3, 3, π atd. Množina všech racionálních a iracionálních čísel se nazývá obor reálných čísel R. Množina reálných čísel není uzavřená k opperaci tvoření odmocnin sudé odmocniny ze záporných čísel nejsou reálná čísla; např. rovnice ( x + = 0, x + x + = 0 tj. (x + ) + = 0 )

24 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně nejsou v R řešitelné. Při hledání kořenů algebraických rovnic je však vhodné se sudými odmocninami ze záporných čísel (především s druhou odmocninou z ) počítat: Cardanův vzorec pro rovnici x 3 = ax + b má tvar ( ) b b ( a ) 3 ( ) x = b b ( a ) a má smysl pouze pro ( ) b ( a ) 3 c = 0. 3 Ale například rovnice x 3 = 5x + 4 má řešení x = 4, přičemž C = 5 =. Podívejme se, co dostaneme, jestliže formálně dosadíme do Cardanova vzorce: x = = = ( ) = + + = 4, přičemž rovnost označenou ( ) získáme následujícím způsobem: ( ± ) 3 = 3 ± 3 ( ) + 3 ( ) ± ( ) 3 = = 8 ± 6 ± ( ) = ±. Tedy při formálně správném výpočtu s použitím imaginární odmocniny z dostaneme správný (a přitom reálný) výsledek x = 4. Podobné úvahy vedly k zavedení oboru komplexních čísel C. Komplexním číslem rozumíme číslo z tvaru z = x + j y, kde x, y R a j je tzv. imaginární jednotka, pro kterou platí j =. Reálná čísla Množinu M, jejíž všechny prvky jsou čísla, nazýváme číselnou množinou. Pokud neřekneme výslovně nic jiného, budeme v dalším hovořit o číselných množinách reálných čísel. Nejčastěji užívanými množinami reálných čísel jsou intervaly; připomeňme jejich definici:

25 Matematika 3 Definice.3: Nechť platí a, b R, a < b. Množina. (a, b) = {x a < x < b} se nazývá otevřený interval,. a, b = {x a x b} se nazývá uzavřený interval, 3. a, b) = {x a x < b} se nazývá zleva uzavřený a zprava otevřený interval, 4. (a, b = {x a < x b} se nazývá zleva otevřený a zprava uzavřený interval. Vzhledem k uspořádání reálných čísel je vhodné zavést symboly a předpisem x R : ( < x) (x < ). Body a se nazývají nevlastní body reálné osy. Zavedeme označení: R {, } = R. Dále definujeme následující intervaly:. (a, ) = {x a < x},. a, ) = {x a x}, 3. (, b) = {x x < b}, 4. (, b = {x x b}. Podobně píšeme R = (, ). Speciálním případem intervalů jsou tzv. okolí bodu: Definice.4: Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a číslo ε poloměr okolí. Množinu U (a, ε) = U(a, ε) \ {a} = (a ε, a) (a, a + ε) = {x R 0 < x a < ε} budeme nazývat redukovaným (ryzím) okolím bodu a R. (Pro naše potřeby obvykle předpokládáme, že ε je libovolně malé.) Není-li poloměr okolí ε podstatný, píšeme místo U(a, ε) a U (a, ε) pouze U(a) a U (a). Okolím U( ) bodu budeme rozumět každý interval (K, ) a okolím U( ) bodu budeme rozumět každý interval (, K). Pomocí okolí můžeme definovat pojem tzv. hromadného bodu množiny, který budeme potřebovat při zavádění pojmu limity:

26 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Definice.5: Bod a R je hromadný bod množiny M R, jestliže v každém jeho redukovaném okolí leží alespoň jeden bod x M. Příklad.6: a) Každý bod intervalu (0, je hromadný. Navíc bod 0, který do intervalu nepatří, je jeho hromadným bodem. b) Množina N má v R jediný hromadný bod. c) Bod množiny M = (0, ) {} (3, ) není jejím hromadným bodem, neboť jeho okolí U() = (, + ) nemá s M jiný společný bod než. Takový bod se nazývá izolovaný bod množiny M. Suprémum, infimum, maximum, minimum, ohraničené (omezené) množiny Je-li M R, a R, zavedeme označení: M a (resp. a M) x M : x a (resp. x M : a x). Definice.7: a) Platí-li M a, a R, řekneme, že a je horní mez (závora, ohraničení) množiny M a že množina M je shora ohraničená, b) platí-li a M, a R, řekneme, že a je dolní mez (závora, ohraničení) množiny M a že množina M je zdola ohraničená, c) řekneme, že a R je největší prvek množiny M a píšeme a = max M, jestliže platí M a a M, d) řekneme, že a R je nejmenší prvek množiny M a píšeme a = min M, jestliže platí a M a M. Příklad.8: min (, 3 neex., max (, 3 = 3; max N neex., min N =. Definice.9: Nechť M R. a) Nejmenší horní mez množiny M nazýváme suprémum množiny M. Není-li množina M shora ohraničená, považujeme za její suprémum. Píšeme sup M = min {x x R M x}. b) Největší dolní mez množiny M nazýváme infimum množiny M. Není-li množina M zdola ohraničená, považujeme za její infimum. Píšeme inf M = max {x x R x M}. Příklad.0: inf (, 3 = max {x R x (, 3 } = max {x R x } =, sup (, 3 = min {x R x (, 3 } = min {x R x 3} = 3.

27 Matematika 5 Příklad.: sup N = min {x R N x} = min { } =. Bez důkazu uvedeme velmi důležitou větu: Věta.: Každá podmnožina R má právě jedno suprémum a právě jedno infimum. Při axiomatické výstavbě oboru reálných čísel se uvádí následující Archimedův axiom: a (0, ) n N : a n. Platnost tohoto axiomu využijeme v následujícím příkladu: Příklad.3: Ukážeme, že platí tvrzení: ε > 0 n N : n < ε. Řešení: ε : ε > 0 ε > 0 Archimedův axiom n N : ε < n a poslední výrok je ekvivalentní s dokazovaným tvrzením. Shrnutí V tomto odstavci jsme zopakovali základní pojmy, které se týkají množin: dva hlavní způsoby zadání množiny: výčtem prvků resp. výrokovou funkcí, operace s množinami: rovnost, průnik, sjednocení a rozdíl množin, pojem podmnožiny a doplňku vzhledem k dané množině, prázdná množina, potenční množina a kartézský součin množin, množina reálných čísel R a její podmnožiny: Dále jsme zavedli nové pojmy pro obor reálných čísel: rozšíření R o nevlastní body, : R, N, Z, Q, intervaly. okolí bodu x R: interval (x ε, x + ε), redukované (ryzí) kolí bodu x R: množina (x ε, x + ε) \ {x}, hromadný bod množiny: jeden bod dané množiny, bod, v jehož libovolném redukovaném okolí leží alespoň horní (resp. dolní) mez (závora) množiny: nebo roven každému prvku této množiny, bod z R, který je větší (resp. menší) suprémum (resp. infimum) množiny: mezí množiny. nejmenší z horních (resp. největší z dolních)

28 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Cvičení. Nechť A = {0,,, 3}. Najděte množiny A A, A A, A \ A. Dají se výsledky zobecnit?. Nechť A je množina všech celých čísel dělitelných dvěma, B množina všech celých čísel dělitelných třemi, C množina všech celých čísel dělitelných šesti. Zjistěte, které z následujících vztahů jsou správné: a) A B, b) A C, c) B C, d) B A, e) C A, f) C B, g) A B = C, h) A \ B = C, i) A B = C. 3. Nechť M je množina všech přirozených čísel menších než 6, M je její podmnožina, která obsahuje všechna sudá čísla, M podmnožina, která obsahuje všechna čísla dělitelné třemi a M 3 podmnožina, která obsahuje všechna čísla dělitelná pěti. Najděte množiny: a) M M, b) M M M 3, c) M M 3, d) M M M 3, e) (M M ) M 3, f) (M M 3 ) (M M 3 ), g) M \ M, h) M \ M, i) (M \ M ) (M \ M ), j) (M M ) \ (M M ), k) (M M ) M 3, l) (M M ) (M M 3 ). 4. Znázorněte množiny a) l) z předchozího příkladu, jestliže pod M, M, M 3 rozumíme čtverce se stranou stejné délky, přičemž středy čtverců S, S, S 3 leží na přímce procházející protilehlými vrcholy uvedených čtverců a S 3 je střed úsečky S S. 5. Nechť A, B, C jsou soustředné kruhy s poloměry r, r, r 3, kde 0 < r < r < r 3. a) Znázorněte množiny A B C, A B C, A \ B, B \ A, B \ C, C \ B. b) Znázorněte doplňky A, B, C vzhledem k C. 6. Najděte suprémum a infimum množiny a) M = { x x = n+ n N }, n } b) M = {x x = +( )n n N, n c) M 3 = {x R 3x < x < 3x + }. 7. M = {0,5; 0,55; 0,555;... }. Dokažte, že sup M = Dokažte: Je-li N M, potom inf M inf N, sup N sup M.

29 Matematika 7 9. Nechť A, B jsou neprázdné omezené množiny v R. Označme Dokažte: Výsledky. A, A, ;. e), f), i); A + B = {x + y x A y B}. a) sup (A + B) = sup A + sup B inf (A + B) = inf A + inf B, b) sup (A B) = max{sup A, sup B}, sup (A B) min {sup A, sup B}. Ukažte na příkladě, že zde nemusí platit rovnost. Co platí pro infima množin A B, A B? 3. a) M \ {, 5, 7,, 3}, b) M \ {, 7,, 3}, c) {5}, d), e)f) {0, 5}, g) {3, 9, 5}; 6. a) sup M = 3, inf M =, b) sup M = 3, inf M = 0..3 Funkce, zobrazení V této kapitole se budeme věnovat základnímu pojmu, se kterým pracuje matematická analýza pojmu funkce. Opět připomeneme pojmy známé ze střední školy a sjednotíme a upřesníme terminologii. Definice.4: Zobrazení f množiny D do množiny M je předpis, který každému prvku x D přiřadí právě jeden prvek y M. Prvek y se nazývá hodnota zobrazení f v x, nebo také obraz x a značí se f(x). Skutečnost, že f je zobrazení množiny D do množiny M zapisujeme vztahem f : D M, x f(x). Množina D se nazývá definiční obor zobrazení f, množina f(d) = {f(x) x D} se nazývá obor hodnot zobrazení f a značí se symbolem H f. Jestliže budeme současně mluvit o více funkcích, budeme pro jejich definiční obory užívat symboly D f, D g,... Dvě zobrazení f, g jsou si rovna (f = g), jestliže mají tentýž definiční obor D a platí x D : f(x) = g(x).

30 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Jsou-li A, B množiny, definujeme: a) Zúžení f na A (nebo též parciální zobrazení) je zobrazení f/ A s definičním oborem A D, dané předpisem f/ A : f/ A (x) = f(x), x A D. b) Obraz množiny A při zobrazení f: f(a) = {f(x) x A D}. c) Vzor množiny B při zobrazení f: f (B) = {x D f(x) B}. Poznamenejme, že a) a b) se nejčastěji používají v případech, že A D, ale není to podmínkou. V tomto učebním textu nás budou zajímat převážně zobrazení mezi číselnými množinami. V těchto případech se pro zobrazení vžil termín funkce. Definice.5: Funkcí obvykle rozumíme takové zobrazení, jehož obor hodnot je číselná množina, tedy podmnožina množiny reálných (nebo komplexních) čísel. Pojem a základní vlastnosti funkce Definice.6: Zobrazení f, jehož definiční obor, stejně jako obor hodnot, jsou podmnožiny množiny R, se nazývá reálná funkce jedné reálné proměnné, dále krátce funkce. Příklad.7: Důležité funkce: a) [x] celá část x : [x] x < [x] +, [x] Z { 0 x M b) χ M (x) = charakteristická funkce množiny M x M { 0 x Q speciálně χ(x) = charakt. funkce množiny racionálních čísel Q x Q x > 0 c) sgn(x) = 0 x = 0 x < 0 Je-li funkce f zadána formulí, např. f(x) = a x, budeme často mluvit prostě o funkci a x. V tomto případě musí být zadán definiční obor. Dohodneme se však, že v případě, kdy definiční obor nebude výslovně uveden, budeme za něj považovat množinu všech těch čísel x, pro která má daná formule smysl. Tuto množinu pak nazýváme přirozeným definičním oborem funkce.

31 Matematika 9 V rovině R můžeme funkci f znázornit pomocí jejího grafu: Definice.8: Grafem funkce f je množina všech bodů [x, y] R takových, že x D, y = f(x). Rovnice y = f(x) se nazývá rovnice grafu funkce f. Grafy funkcí z příkladu.7 jsou v následujících obrázcích: Obr..: y = sgn(x) Obr..: y = [x] Složená funkce Definice.9: Jsou-li f, g funkce, můžeme vytvořit novou funkci f g (čti f po g) předpisem (f g)(x) = f(g(x)). Funkce f g se nazývá složená funkce, funkce f vnější složka a funkce g vnitřní složka složené funkce f g. Definičním oborem složené funkce je množina D f g = g (D f ) = {x D g g(x) D f }. Vznik složené funkce ilustruje následující obrázek: Obr..3: Složená funkce

32 30 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad.30: složky: Utvoříme složené funkce f g resp. f g h, jestliže jsou zadány jednotlivé a) f : f(y) = + y; y, + ) Určíme D f g : g : g(x) = sin x; x π, π f g : f(g(x)) = + sin x; D f g = {x (x π, π ) ( + sin x 0) } Vyřešíme příslušnou nerovnost druhý výrok vystupující v konjunkci zjednodušíme: + sin x 0 sin x π 6 + kπ x 7π 6 + kπ, k Z; konjunkce charakterizující definiční obor složené funkce má tedy tvar (x π, π ) ( π 6 + kπ x 7π 6 + kπ, k Z) x π, π π 6, 7π 6 x π 6, π (položili jsme k = 0). Tedy D f g = π 6, π. b) f : f(u) = a u ; u R, (a 0) g : g(y) = cos y; y R h : h(x) = x +x ; x R f g h : f(g(h(x))) = a x cos +x ; x R c) f : f(x) = { 0 x < 0 x x 0 a g : g(x) = sgn x f g : f(g(x)) = sgn x = x < 0 0 x = 0 x > 0 { 0 sgn x < 0 sgn(x) sgn x 0 ; tedy sgn x { < 0 x < 0 0 x 0 Odtud 0 x < 0 f(g(x)) = 0 x = 0 x > 0 neboli f(g(x)) = { 0 x 0 x = 0

33 Matematika 3 Dále připomeneme pojmy, které jsou vám jistě dobře známé ze střední školy: Funkce prosté a funkce inverzní Definice.3: Funkce f se nazývá prostá, jestliže platí: x, x D : x x f(x ) f(x ). Příklad.3: Funkce f : f(x) = x; x R f : f(x) = x ; x 0, ) f : f(x) = sin x; x π, π f : f(x) = cos x; x 0, π f : f(x) = a x ; x R, (a > 0, a ) jsou prosté, avšak funkce f : f (x) = x ; x R f : f (x) = sin x; x R f 3 : f 3 (x) = cos x; nejsou prosté: Zřejmě je analogicky x R f () = = f ( ) = ( ) =, dokonce platí x R : f (x) = f ( x), f (x) = sin x = f (x + π) = sin (x + π). Definice.33: Je-li f prostá funkce, potom inverzní funkcí k funkci f rozumíme funkci f, jejímž definičním oborem je obor hodnot funkce f a pro každou dvojici (x, y), x D f, y H f, platí y = f(x) právě když x = f (y). Jestliže tedy bod [a, b] leží na grafu funkce f, takže b = f(a), je f (b) = a, tedy bod [b, a] leží na grafu funkce f ; přitom body [a, b], [b, a] jsou symetrické podle přímky y = x. Platí tedy (jak se můžeme přesvědčit v obrázcích k příkladu.35): Věta.34: Grafy inverzních funkcí f, f jsou symetrické podle přímky y = x. Příklad.35: f : f(x) = x, x 0, ); f : f (y) = y, y 0, ) f : f(y) = a y, y R; f : f (x) = log a x, x (0, )

34 3 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obr..4: y = x, y = x Obr..5: y = e x, y = ln x f : f(x) = sin x, x π, π ; f : f (x) = arcsin x, x, f : f(x) = cos x, x 0, π ; f : f (x) = arccos x, x, Obr..6: y = sin x, y =arcsin x Obr..7: y = cos x, y =arccos x f : f(x) = tg x, x ( π, π ); f : f (x) = arctg x, x R f : f(x) = cotgx, x (0, π); f : f (x) = arccotg x, x R

35 Matematika 33 Obr..8: y =tg x, y =arctg x Obr..9: y =cotg x, y =arccotg x Povšimněme si, co se stane, vytvoříme-li kompozici dvou navzájem inverzních funkcí: Zřejmě platí: f [f(x)] = x, x D f a f[f (y)] = y, y D f. Pozor: je podstatné, že vnitřní složku uvažujeme pouze na té části definičního oboru, kde je tato vnitřní složka prostou funkcí, tedy tam, kde k ní sestrojujeme funkci inverzní, která je vnější složkou. Na obr..0 můžeme na příkladu funkce arcsin sin x vidět co se stane, když vnitřní složku uvažujeme na větší množině. Obr..0: arcsin sin x Algebraické operace mezi funkcemi Definice.36: Jsou-li f, g funkce a c konstanta, (kterou můžeme ostatně chápat jako konstantní funkci, tj. funkci, která každému reálnému číslu přiřadí tutéž hodnotu c), můžeme definovat nové funkce f + g, f g, fg,, cf následujícími předpisy: f + g : (f + g)(x) = f(x) + g(x); f g : (f g)(x) = f(x) g(x); f g D f+g = D f D g D f g = D f D g fg : (fg)(x) = f(x)g(x); D fg = D f D g f : f g g (x) = f(x) g(x) ; D f g cf : (cf)(x) = cf(x); D cf = D f = {x D f D g g(x) 0} Tyto nové funkce budeme nazývat součet, rozdíl, součin, podíl funkcí f, g a c- násobek funkce f. Vzhledem k výše uvedené poznámce o konstantě, c-násobek funkce f je speciálním případem součinu funkcí.

Matematika 1. RNDr. Vlasta Krupková, CSc. RNDr. Petr Fuchs, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

Matematika 1. RNDr. Vlasta Krupková, CSc. RNDr. Petr Fuchs, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika RNDr. Vlasta Krupková, CSc. RNDr. Petr Fuchs, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika Obsah Úvod 9. Elementy matematické logiky......................... 0 Výroky......................................

Více

MATEMATIKA 1. RNDr. Vlasta Krupková, CSc., RNDr. Petr Fuchs, PhD.

MATEMATIKA 1. RNDr. Vlasta Krupková, CSc., RNDr. Petr Fuchs, PhD. MATEMATIKA RNDr. Vlasta Krupková, CSc., RNDr. Petr Fuchs, PhD. Tento text byl vytvořen v rámci realizace projektu CZ..07/..00/5.056, Inovace výuky matematických předmětů v rámci studijních programů FEKT

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Matematická analýza. RNDr. Vlasta Krupková, CSc. ÚSTAV MATEMATIKY

Matematická analýza. RNDr. Vlasta Krupková, CSc. ÚSTAV MATEMATIKY Matematická analýza pro předmět IMA na FIT RNDr. Vlasta Krupková, CSc. ÚSTAV MATEMATIKY Matematická analýza Obsah Úvod. Číselné množiny................................. Suprémum, infimum, maximum, minimum,

Více

Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 80 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18

MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19 Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA pro FIT. RNDr. Vlasta Krupková, CSc., RNDr. Petr Fuchs, PhD.

MATEMATICKÁ ANALÝZA pro FIT. RNDr. Vlasta Krupková, CSc., RNDr. Petr Fuchs, PhD. MATEMATICKÁ ANALÝZA pro FIT RNDr. Vlasta Krupková, CSc., RNDr. Petr Fuchs, PhD. Tento text byl vytvořen v rámci realizace projektu CZ..07/..00/5.056, Inovace výuky matematických předmětů v rámci studijních

Více

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

0.1 Funkce a její vlastnosti

0.1 Funkce a její vlastnosti 0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová MATEMATIKA I Marcela Rabasová Obsah: 1. Úvod 1.1. Osnovy předmětu 1.2. Literatura 1.3. Podmínky absolvování předmětu 1.4. Použité označení a symbolika 2. Funkce jedné reálné proměnné 2.1. Definice 2.2.

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška: Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

Doporučená literatura 1. Jako doplněk k přednáškám: V. Hájková, M. Johanis, O. John, O.F.K. Kalenda a M. Zelený: Matematika (kapitoly I IV)

Doporučená literatura 1. Jako doplněk k přednáškám: V. Hájková, M. Johanis, O. John, O.F.K. Kalenda a M. Zelený: Matematika (kapitoly I IV) Přednáška Matematika I v prvním semestru 2013-2014 Spojení na přednášejícího a konzultace Petr Holický, Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematické analýzy Sokolovská 83, 2. patro e-mail: holicky@karlin.mff.cuni.cz

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α 1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Funkce, elementární funkce.

Funkce, elementární funkce. Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.

Více

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Limita a spojitost LDF MENDELU

Limita a spojitost LDF MENDELU Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Matematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě

Matematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě Řeší s porozumněním rovnice s parametrem Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řovnice, nerovnice a jejich soustavy Třetí, 24 hodin Zvolí vhodnou metodu řešení rovnice nebo nerovnice Vysvětlí zvolený způsob

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více