Formální jazyky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 7. března / 46

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Formální jazyky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 7. března / 46"

Transkript

1 Formální jzyky Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

2 Teorie formálních jzyků motivce Příkldy typů prolémů, při jejichž řešení se využívá pozntků z teorie formálních jzyků: Tvor překldčů: lexikální nlýz syntktická nlýz Vyhledávání v textu: hledání zdného vzorku hledání textu zdného regulárním výrzem Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

3 Zákldní pojmy Oecně se teorie formálních jzyků zývá prolémy, kde: Prcujeme se sekvencemi znků(říkáme též symolů). Znky ptří do nějké konečné ecedy. Musíme rozpoznávt ty sekvence znků, které nějkou vlstnost mjí tycojinemjí. V teorii formálních jzyků se sekvencím znků říká slov. Množině slov z nějké ecedy se říká jzyk. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

4 Aeced slovo Definice Aeced je liovolná neprázdná konečná množin symolů(znků). Poznámk: Aeced se čsto oznčuje řeckým písmenem Σ(velké sigm). Definice Slovo v dné ecedě je liovolná konečná posloupnost symolů z této ecedy. Příkld 1: Σ = {A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z} Slov v ecedě Σ: AHOJ ABRACADABRA ERROR Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

5 Aeced slovo Příkld 2: Σ 2 = {A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z, } Slovovecedě Σ 2 : HELLO WORLD Příkld 3: Σ 3 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Slovvecedě Σ 3 : 0, ,65536 Příkld 4: Slovvecedě Σ 4 = {0,1}: ,111, Příkld 5: Slovvecedě Σ 5 = {,}:,, Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

6 Aeced slovo Příkld 6: Aeced Σ 6 jemnožinvšechasciiznků. Příkld slov: clss HelloWorld { pulic sttic void min(string[] rgs) { System.out.println("Hello, world!"); } } clss HelloWorld { pulic sttic void min(str Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

7 Práce s formálními jzyky Když chceme nějký jzyk popst, máme několik možností: Můžeme vyjmenovt všechn jeho slov(což je le použitelné jen pro mlé konečné jzyky). Příkld: L = {,, } Můžeme specifikovt nějkou vlstnost, kterou mjí právě t slov, která do tohoto jzyk ptří: Příkld: Jzyk nd ecedou {0, 1}, oshující všechn slov, ve kterých je počet výskytů symolu 1 sudý. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

8 Práce s formálními jzyky V teorii formálních jzyků se používjí především následující dv přístupy: Popst(idelizovný) stroj, zřízení, lgoritmus, který rozpozná slov ptřící do dného jzyk vede k použití tzv. utomtů. Popst nějký mechnismus umožňující generovt všechn možná slovptřícídodnéhojzyk vedektzv.grmtikám regulárním výrzům. (udeme se jim věnovt později) Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

9 Některé zákldní pojmy Délkslovjepočetznkůveslově. Npříkld délk slov je 5. Délkuslovwoznčujeme w. Pokudtedynpř.w =,pk w =5. Početvýskytůznkuveslověwoznčujeme w. Proslovow =tedypltí w =2 w =3. Prázdné slovo je slovo délky 0, tj. neoshující žádné znky. Prázdné slovo se oznčuje řeckým písmenem ε(epsilon). (Pozn.: V litertuře se pro oznčení prázdného slov někdy používá místo symolu ε řecké písmeno λ(lmd).) ε =0 Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

10 Zřetězení slov Se slovy je možné provádět operci zřetězení: Npříkld zřetězením slov OST RAVA vznikne slovo OSTRAVA. Operce zřetězení se oznčuje symolem (podoně jko násoení). Tento symol je možné vypouštět. OST RAVA =OSTRAVA Zřetězeníjesocitivní,tj.proliovolnátřislovu,vwpltí (u v) w =u (v w) což znmená, že při zápisu více zřetězení můžeme vypouštět závorky psátnpříkldw 1 w 2 w 3 w 4 w 5 místo (w 1 (w 2 w 3 )) (w 4 w 5 ). Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

11 Zřetězení slov Zřetězení není komuttivní, tj. oecně pro dvojici slov u v nepltí rovnost u v =v u Příkld: OST RAVA RAVA OST Zjevněproliovolnáslovvwpltí: v w = v + w Pro liovolné slovo w tké pltí: ε w =w ε =w Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

12 Prefixy, sufixy podslov Definice Slovoxjeprefixemslovy,jestližeexistujeslovovtkové,žey =xv. Slovoxjesufixemslovy,jestližeexistujeslovoutkové,žey =ux. Slovoxjepodslovemslovy,jestližeexistujíslovuvtková,že y =uxv. Příkld: Prefixyslovjsou ε,,,,,. Sufixyslovjsou ε,,,,,. Podslovslovjsou ε,,,,,,,,,,. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

13 Jzyk Množinuvšechslovtvořenýchsymolyzecedy Σoznčujeme Σ. Definice (Formální) jzyk L v ecedě Σ je nějká liovolná podmnožin množiny Σ,tj.L Σ. Příkld1:Množin {00,01001,1101}jejzykvecedě {0,1}. Příkld 2: Množin všech syntkticky správných progrmů v jzyce Jv je jzyk v ecedě tvořené množinou všech Unicode znků. Příkld 3: Množin všech textů oshujících sekvenci znků ABRACADABRA je jzyk v ecedě tvořené množinou všech ASCII znků. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

14 Množinové operce n jzycích Vzhledem k tomu, že jzyky jsou množiny, můžeme s nimi provádět množinové operce: Sjednocení L 1 L 2 jejzyktvořenýslovy,kteráptříuďdojzykl 1 neodojzykl 2 (neodooou). Průnik L 1 L 2 jejzyktvořenýslovy,kteráptřísoučsnědojzyk L 1 idojzykl 2. Doplněk L 1 jejzyktvořenýtěmislovyze Σ,kteráneptřídoL 1. Rozdíl L 1 L 2 jejzyktvořenýslovy,kteráptřídol 1,leneptří dol 2. Poznámk: Při opercích nd jzyky předpokládáme, že jzyky, se kterými operci provádíme, používjí tutéž ecedu Σ. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

15 Množinové operce n jzycích Formálně: Sjednocení:L 1 L 2 = {w Σ w L 1 w L 2 } Průnik:L 1 L 2 = {w Σ w L 1 w L 2 } Doplněk:L 1 = {w Σ w L 1 } Rozdíl:L 1 L 2 = {w Σ w L 1 w L 2 } Poznámk:Předpokládáme,žeL 1,L 2 Σ pronějkoudnouecedu Σ. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

16 Množinové operce n jzycích Příkld: Uvžujmejzykyndecedou {A,B,...,Z}. Pk L 1 množinvšechslovoshujícíchpodlovofoo L 2 množinvšechslovoshujícíchpodlovobar L 1 L 2 množinvšechslovoshujícíchpodslovofooneobar, L 1 L 2 množinvšechslovoshujícíchpodslovfooibar, L 1 množinvšechslov,kteráneoshujípodslovofoo, L 1 L 2 množinvšechslov,vekterýchsevyskytujepodslovofoo, le nevyskytuje podslovo BAR. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

17 Zřetězení jzyků Definice ZřetězeníjzykůL 1 L 2 jejzyk L = {uv u L 1,v L 2 } tj.jzykvšechslov,kterázčínjíslovemzl 1 pokrčujíslovemzl 2. ZřetězeníjzykůL 1 L 2 oznčujemel 1 L 2. Příkld: L 1 = {,} L 2 = {,,} JzykL 1 L 2 oshujeslov: Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

18 Iterce jzyk Definice ItercejzykL,oznčovnázápisemL,jejzyktvořenýslovyvzniklými zřetězením liovolného počtu slov z jzyk L. Tj.w L právětehdy,když n N : w 1,w 2,...,w n L:w =w 1 w 2 w n Příkld:L = {,} L = {ε,,,,,,,,,,,...} Poznámk: Počet slov, která zřetězujeme, může ýt i 0, což znmená, že vždypltí ε L (ezohledunto,zd ε Lneone). Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

19 Iterce jzyk lterntivní definice Poznámk: Jeden pojem může mít více různých definic. Tyto definice mohou vypdt n první pohled rozdílně, přitom jsou le vzájemně ekvivlentní ve smyslu, že popisují jednu tutéž věc. Jko příkld si ukážeme dlší dvě lterntivní definice pojmu iterce jzyk, přičemž oě jsou ekvivlentní s dříve uvedenou definicí. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

20 Iterce jzyk lterntivní definice NejprvedefinujemeprojzykLčíslok NjzykL k : L 0 = {ε}, L k =L k 1 L prok 1 To znmená L 0 = {ε} L 1 = L L 2 = L L L 3 = L L L L 4 = L L L L L 5 = L L L L L... Příkld:ProL = {,}jzykl 3 oshujenásledujícíslov: Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

21 Iterce jzyk lterntivní definice Alterntivní definice 1 Iterce jzyk L je jzyk L = k 0 L k Poznámk: L k =L 0 L 1 L 2 L 3 k 0 Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

22 Iterce jzyk dlší lterntivní definice Alterntivní definice 2 ItercejzykLjenejmenší(vzhledemk )jzykl tkový,že ε L prokždéu L v Lpltí,žeuv L Poznámk:To,žejzykL jenejmenšívzhledemk znmená,žepro jkýkolivjzykl splňujícívýšeuvedenépodmínkypltíl L. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

23 Iterce jzyk Poznámk:PoužívásetkézápisL + jkozkrtkz L L,tj. L + = k 1 L k Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

24 Zrcdlový orz Zrcdlovýorzslovwjeslovowzpsné pozpátku. Zrcdlovýorzslovwznčímew R. Příkld: w =AHOJ w R =JOHA Formálněmůžemedefinovt,žeprow = 1 2 n (kde i Σ)je w R = n n 1 1. Alterntivněmůžemedefinovtw R jkorev(w),kderev : Σ Σ je funkce definovná induktivně tkto: rev(ε) = ε pro Σw Σ jerev(w) =rev(w) Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

25 Zrcdlový orz Zrcdlový orz jzyk L je jzyk tvořený zrcdlovými orzy všech slov zjzykl. ZrcdlovýorzjzykLznčímeL R. L R = {w R w L} Příkld: L = {,,} L R = {,,} Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

26 Uspořádání n slovech Předpokládejme určité(lineární) uspořádání < symolů ecedy Σ, tj.pokud Σ = { 1, 2,..., n },tkpltí 1 < 2 <... < n. Příkld: Σ = {,,c},přičemž < <c. Nmnožině Σ můžemedefinovtnásledující(lineární)uspořádání < L : x < L yprávětehdy,když: x < y,neo x = y existujíslovu,v,w Σ symoly, Σtkové,že pltí x =uv y =uw < Neformálněmůžemeříctvuspořádání < L řdímeslovpodledélky v rámci stejné délky lexikogrficky(podle ecedy). Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

27 Uspořádání n slovech Všechnslovndecedou Σmůžemepomocíuspořádání < L seřditdo posloupnosti w 0,w 1,w 2,... vekterésekždéslovow Σ vyskytujeprávějednoukdeproliovolná i,j Npltí,žew i < L w j právětehdy,kdyži <j. Příkld:Proecedu Σ = {,,c}(kde < <c)udezčátek posloupnosti vypdt následovně: ε,,,c,,,c,,,c,c,c,cc,,,c,,,c,... PokududememluvitnpříkldoprvníchdesetislovechjzykL Σ, mámetímnmyslidesetslov,kteráptřídojzykljsoumezivšemi slovyzjzyklnejmenšívzhledemkuspořádání < L. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

28 Konečné utomty Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

29 Rozpoznávání jzyk Příkld: Uvžujme slov nd ecedou {0, 1}. Chtěli ychom rozpoznávt jzyk L, který je tvořen slovy, ve kterých se vyskytuje sudý počet symolů 1. Chceme nvrhnout zřízení, které přečte slovo, sdělí nám, zd toto slovo ptřídojzyklčine Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

30 Rozpoznávání jzyk Příkld: Uvžujme slov nd ecedou {0, 1}. Chtěli ychom rozpoznávt jzyk L, který je tvořen slovy, ve kterých se vyskytuje sudý počet symolů 1. Chceme nvrhnout zřízení, které přečte slovo, sdělí nám, zd toto slovo ptřídojzyklčine Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

31 Rozpoznávání jzyk Příkld: Uvžujme slov nd ecedou {0, 1}. Chtěli ychom rozpoznávt jzyk L, který je tvořen slovy, ve kterých se vyskytuje sudý počet symolů 1. Chceme nvrhnout zřízení, které přečte slovo, sdělí nám, zd toto slovo ptřídojzyklčine Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

32 Rozpoznávání jzyk Příkld: Uvžujme slov nd ecedou {0, 1}. Chtěli ychom rozpoznávt jzyk L, který je tvořen slovy, ve kterých se vyskytuje sudý počet symolů 1. Chceme nvrhnout zřízení, které přečte slovo, sdělí nám, zd toto slovo ptřídojzyklčine Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

33 Rozpoznávání jzyk Příkld: Uvžujme slov nd ecedou {0, 1}. Chtěli ychom rozpoznávt jzyk L, který je tvořen slovy, ve kterých se vyskytuje sudý počet symolů 1. Chceme nvrhnout zřízení, které přečte slovo, sdělí nám, zd toto slovo ptřídojzyklčine Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

34 Rozpoznávání jzyk Příkld: Uvžujme slov nd ecedou {0, 1}. Chtěli ychom rozpoznávt jzyk L, který je tvořen slovy, ve kterých se vyskytuje sudý počet symolů 1. Chceme nvrhnout zřízení, které přečte slovo, sdělí nám, zd toto slovo ptřídojzyklčine Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

35 Rozpoznávání jzyk Příkld: Uvžujme slov nd ecedou {0, 1}. Chtěli ychom rozpoznávt jzyk L, který je tvořen slovy, ve kterých se vyskytuje sudý počet symolů 1. Chceme nvrhnout zřízení, které přečte slovo, sdělí nám, zd toto slovo ptřídojzyklčine Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

36 Rozpoznávání jzyk Příkld: Uvžujme slov nd ecedou {0, 1}. Chtěli ychom rozpoznávt jzyk L, který je tvořen slovy, ve kterých se vyskytuje sudý počet symolů 1. Chceme nvrhnout zřízení, které přečte slovo, sdělí nám, zd toto slovo ptřídojzyklčine Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

37 Rozpoznávání jzyk Příkld: Uvžujme slov nd ecedou {0, 1}. Chtěli ychom rozpoznávt jzyk L, který je tvořen slovy, ve kterých se vyskytuje sudý počet symolů 1. Chceme nvrhnout zřízení, které přečte slovo, sdělí nám, zd toto slovo ptřídojzyklčine Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

38 Rozpoznávání jzyk Příkld: Uvžujme slov nd ecedou {0, 1}. Chtěli ychom rozpoznávt jzyk L, který je tvořen slovy, ve kterých se vyskytuje sudý počet symolů 1. Chceme nvrhnout zřízení, které přečte slovo, sdělí nám, zd toto slovo ptřídojzyklčine Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

39 Rozpoznávání jzyk Příkld: Uvžujme slov nd ecedou {0, 1}. Chtěli ychom rozpoznávt jzyk L, který je tvořen slovy, ve kterých se vyskytuje sudý počet symolů 1. Chceme nvrhnout zřízení, které přečte slovo, sdělí nám, zd toto slovo ptřídojzyklčine Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

40 Rozpoznávání jzyk Příkld: Uvžujme slov nd ecedou {0, 1}. Chtěli ychom rozpoznávt jzyk L, který je tvořen slovy, ve kterých se vyskytuje sudý počet symolů 1. Chceme nvrhnout zřízení, které přečte slovo, sdělí nám, zd toto slovo ptřídojzyklčine ANO Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

41 Rozpoznávání jzyk První nápd: Počítt počet výskytů symolů Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

42 Rozpoznávání jzyk První nápd: Počítt počet výskytů symolů Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

43 Rozpoznávání jzyk První nápd: Počítt počet výskytů symolů Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

44 Rozpoznávání jzyk První nápd: Počítt počet výskytů symolů Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

45 Rozpoznávání jzyk První nápd: Počítt počet výskytů symolů Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

46 Rozpoznávání jzyk První nápd: Počítt počet výskytů symolů Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

47 Rozpoznávání jzyk První nápd: Počítt počet výskytů symolů Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

48 Rozpoznávání jzyk První nápd: Počítt počet výskytů symolů Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

49 Rozpoznávání jzyk První nápd: Počítt počet výskytů symolů Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

50 Rozpoznávání jzyk První nápd: Počítt počet výskytů symolů Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

51 Rozpoznávání jzyk První nápd: Počítt počet výskytů symolů Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

52 Rozpoznávání jzyk První nápd: Počítt počet výskytů symolů ANO 6jesudéčíslo Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

53 Rozpoznávání jzyk Druhý nápd: Ve skutečnosti nás zjímá pouze, zd počet dosud přečtených symolů 1 je sudý neo lichý(tj. místo čísl si stčí pmtovt jen jeho poslední it) S Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

54 Rozpoznávání jzyk Druhý nápd: Ve skutečnosti nás zjímá pouze, zd počet dosud přečtených symolů 1 je sudý neo lichý(tj. místo čísl si stčí pmtovt jen jeho poslední it) S Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

55 Rozpoznávání jzyk Druhý nápd: Ve skutečnosti nás zjímá pouze, zd počet dosud přečtených symolů 1 je sudý neo lichý(tj. místo čísl si stčí pmtovt jen jeho poslední it) L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

56 Rozpoznávání jzyk Druhý nápd: Ve skutečnosti nás zjímá pouze, zd počet dosud přečtených symolů 1 je sudý neo lichý(tj. místo čísl si stčí pmtovt jen jeho poslední it) L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

57 Rozpoznávání jzyk Druhý nápd: Ve skutečnosti nás zjímá pouze, zd počet dosud přečtených symolů 1 je sudý neo lichý(tj. místo čísl si stčí pmtovt jen jeho poslední it) S Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

58 Rozpoznávání jzyk Druhý nápd: Ve skutečnosti nás zjímá pouze, zd počet dosud přečtených symolů 1 je sudý neo lichý(tj. místo čísl si stčí pmtovt jen jeho poslední it) L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

59 Rozpoznávání jzyk Druhý nápd: Ve skutečnosti nás zjímá pouze, zd počet dosud přečtených symolů 1 je sudý neo lichý(tj. místo čísl si stčí pmtovt jen jeho poslední it) S Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

60 Rozpoznávání jzyk Druhý nápd: Ve skutečnosti nás zjímá pouze, zd počet dosud přečtených symolů 1 je sudý neo lichý(tj. místo čísl si stčí pmtovt jen jeho poslední it) S Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

61 Rozpoznávání jzyk Druhý nápd: Ve skutečnosti nás zjímá pouze, zd počet dosud přečtených symolů 1 je sudý neo lichý(tj. místo čísl si stčí pmtovt jen jeho poslední it) L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

62 Rozpoznávání jzyk Druhý nápd: Ve skutečnosti nás zjímá pouze, zd počet dosud přečtených symolů 1 je sudý neo lichý(tj. místo čísl si stčí pmtovt jen jeho poslední it) L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

63 Rozpoznávání jzyk Druhý nápd: Ve skutečnosti nás zjímá pouze, zd počet dosud přečtených symolů 1 je sudý neo lichý(tj. místo čísl si stčí pmtovt jen jeho poslední it) L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

64 Rozpoznávání jzyk Druhý nápd: Ve skutečnosti nás zjímá pouze, zd počet dosud přečtených symolů 1 je sudý neo lichý(tj. místo čísl si stčí pmtovt jen jeho poslední it) S ANO Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

65 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: S L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

66 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

67 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S 1 L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

68 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S 1 0 L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

69 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

70 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

71 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

72 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S L S Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

73 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S L S Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

74 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S L L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

75 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S L L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

76 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S L S Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

77 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S L L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

78 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S L S Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

79 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S L S Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

80 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S L L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

81 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S L L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

82 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S L L Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

83 Rozpoznávání jzyk Chovní tohoto zřízení můžeme popst grfem: 0 S L S Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

84 Deterministický konečný utomt Deterministický konečný utomt se skládá ze stvů přechodů. Jedenzestvůjeoznčenjkopočátečnístvněkterézestvůjsou oznčeny jko přijímjící. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

85 Deterministický konečný utomt Formálně je deterministický konečný utomt definován jko pětice (Q,Σ,δ,q 0,F) kde: Q je neprázdná konečná množin stvů Σ je eced(neprázdná konečná množin symolů) δ :Q Σ Qjepřechodováfunkce q 0 Qjepočátečnístv F Qjemnožinpřijímjícíchstvů Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

86 Deterministický konečný utomt Q = {1,2,3,4,5} Σ = {,} q 0 =1 F = {1,4,5} δ(1,) =2 δ(1,) =1 δ(2,) =4 δ(2,) =5 δ(3,) =1 δ(3,) =4 δ(4,) =1 δ(4,) =3 δ(5,) =4 δ(5,) =5 Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

87 Deterministický konečný utomt Místo zápisu δ(1,) =2 δ(1,) =1 δ(2,) =4 δ(2,) =5 δ(3,) =1 δ(3,) =4 δ(4,) =1 δ(4,) =3 δ(5,) =4 δ(5,) =5 udeme rději používt stručnější tulku neo grfické znázornění: δ Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

88 Deterministický konečný utomt Místo zápisu δ(1,) =2 δ(1,) =1 δ(2,) =4 δ(2,) =5 δ(3,) =1 δ(3,) =4 δ(4,) =1 δ(4,) =3 δ(5,) =4 δ(5,) =5 udeme rději používt stručnější tulku neo grfické znázornění: δ Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

89 Deterministický konečný utomt Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

90 Deterministický konečný utomt Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

91 Deterministický konečný utomt Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

92 Deterministický konečný utomt Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

93 Deterministický konečný utomt Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

94 Deterministický konečný utomt Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

95 Deterministický konečný utomt Konfigurce konečného utomtu A je dán stvem jeho řídící jednotky dosud nepřečteným oshem pásky. MnožinvšechkonfigurcíConf jeq Σ. Příkld: (2, ) Conf Pro dný utomt A můžeme n množině všech konfigurcí definovt inární relci Conf Conf s následujícím význmem: C 1 C 2 znmená,žeutomtamůžepřejítjednímkrokem zkonfigurcec 1 dokonfigurcec 2. Příkld: (2,) (5,) Formálněpltí,že (q,w) (q,w )právětehdy,kdyžw =w q = δ(q,)pronějké Σ. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

96 Deterministický konečný utomt Konfigurce (q,w)senzývápočátečníkonfigurce,jestližeq=q 0. Příkld: (1, ) je počáteční konfigurce. Konfigurce (q,w)senzývákoncovákonfigurce,jestližew = ε. Příkld: (4, ε) je koncová konfigurce. Definice Výpočet utomtu je posloupnost konfigurcí C 0,C 1,C 2,,C k kdec i jsoukonfigurce,c 0 jepočátečníkonfigurce,c k jekoncová konfigurceprovšechni {1,2,...,k}pltí,žeC i 1 C i. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

97 Deterministický konečný utomt (1, ) 1 Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

98 Deterministický konečný utomt (1,) (2,) 2 Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

99 Deterministický konečný utomt (1,) (2,) (5, ) 5 Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

100 Deterministický konečný utomt (1,) (2,) (5,) (4,) 4 Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

101 Deterministický konečný utomt (1,) (2,) (5,) (4,) (3,) Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

102 Deterministický konečný utomt (1,) (2,) (5,) (4,) (3,) (4,ε) Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

103 Deterministický konečný utomt Dále můžeme definovt pro dný utomt A relci Conf Conf, tkovou,žec C pltíprávětehdy,kdyžutomtmůžepřejítnějkým liovolným(inulovým)počtemkrokůzkonfigurcecdokonfigurcec. Přesnějiřečeno,C C pltíprávětehdy,kdyžexistujeposloupnost konfigurcí C 0,C 1,C 2,...,C k kdec 0 =C,C k =C provšechni {1,2,...,k}pltí,žeC i 1 C i. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

104 Deterministický konečný utomt Alterntivněmůžemerelci definovtjkonejmenšírelcisplňující následující podmínky: ProkždéC Conf pltíc C. ProkždéC,C Conf pltí,žepokudc C,pkC C. ProkždéC,C,C Conf pltí,žepokudc C C C,pk C C. Poznámk:Relce jereflexivnímtrzitivnímuzávěremrelce, tj. je to nejmenší reflexivní trzitivní relce oshující relci. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

105 Deterministický konečný utomt Definice Koncovákonfigurce (q,ε)jepřijímjící,jestližeq F. Definice AutomtA = (Q,Σ,δ,q 0,F)přijímáslovow Σ právětehdy,když (q 0,w) (q,ε)pronějkéq F. Tj.utomtApřijímáslovowprávětehdy,kdyžvýpočetutomtuA zčínjícívpočátečníkonfigurci (q 0,w)skončívpřijímjícíkoncové konfigurci. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

106 Deterministický konečný utomt Definice Jzyk rozpoznávný(přijímný) dným deterministickým konečným utomtema = (Q,Σ,δ,q 0,F),oznčovnýL(A),jemnožinvšechslov přijímných tímto utomtem, tj. L(A) = {w Σ (q 0,w) (q,ε),q F} Definice Jzyk L je regulární právě tehdy, když existuje nějký konečný utomt, který jej přijímá. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

107 Deterministický konečný utomt Definice MějmeDKAA = (Q,Σ,δ,q 0,F). Zápisemq w q,kdeq,q Qw Σ,udemeoznčovtto,že pokudjeutomtvestvuq,tkpřečtenímslovwpřejdedostvuq. Poznámk: Q Σ Qjeternárnírelce. Místo (q,w,q ) píšemeq q w. Tuto relci můžeme formálně definovt následující induktivní definicí: q ε qproliovolnéq Q Prow Σ Σ: q q w právětehdy,kdyžexistujeq Qtkové,žeq q w δ(q,) =q. Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

108 Deterministický konečný utomt JzykrozpoznávnýdnýmDKAA = (Q,Σ,δ,q 0,F)pkmůžeme definovt(lterntivně) tkto: L(A) = {w Σ q F :q 0 w q} Z. Sw (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informtiky 7. řezn / 46

Formální jazyky. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 6. března / 48

Formální jazyky. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 6. března / 48 Formální jzyky M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 6. březn 2007 1/ 48 Motivce 1: Vyhledávání v textu Potřebujeme řešit následující problém: Máme řdu různých textů(npř. soubory n

Více

Deterministický konečný automat

Deterministický konečný automat Deterministický konečný utomt Formálně je deterministický konečný utomt definován jko pětice (Q,Σ,δ,q 0,F) kde: Q je konečná množin stvů Σ je konečná eced δ:q Σ Qjepřechodováfunkce q 0 Qjepočátečnístv

Více

Formální jazyky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 21. března / 50

Formální jazyky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 21. března / 50 Formální jazyky Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 21. března 2013 1/ 50 Abeceda a slovo Definice Abeceda je libovolná neprázdná konečná množina symbolů(znaků). Poznámka: Abeceda se často

Více

Formální jazyky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32

Formální jazyky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32 Formální jazyky Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března 2017 1/ 32 Abeceda a slovo Definice Abeceda je libovolná neprázdná konečná množina symbolů(znaků). Poznámka: Abeceda se často

Více

Definice. Necht M = (Q, T, δ, q 0, F ) je konečný automat. Dvojici (q, w) Q T nazveme konfigurací konečného automatu M.

Definice. Necht M = (Q, T, δ, q 0, F ) je konečný automat. Dvojici (q, w) Q T nazveme konfigurací konečného automatu M. BI-AAG (20/202) J. Holu: 2. Deterministické nedeterministické konečné utomty p. 2/3 Konfigurce konečného utomtu BI-AAG (20/202) J. Holu: 2. Deterministické nedeterministické konečné utomty p. 4/3 Automty

Více

Minimalizace automatů. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 28. března / 31

Minimalizace automatů. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 28. března / 31 Minimlizce utomtů M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 1/ 31 Ekvivlence utomtů 1 2 3 1 2 3 1 2 Všechny 3 utomty přijímjí jzyk všech slov se sudým počtem -ček Nejvýhodnějšíjepronásposledníznich-mánejméněstvů

Více

Automaty a gramatiky(bi-aag)

Automaty a gramatiky(bi-aag) BI-AAG (2011/2012) J. Holu: 3. Operce s konečnými utomty p. 2/33 Převod NKA ndka BI-AAG (2011/2012) J. Holu: 3. Operce s konečnými utomty p. 4/33 Automty grmtiky(bi-aag) 3. Operce s konečnými utomty Jn

Více

Je regulární? Pokud ne, na regulární ji upravte. V původní a nové gramatice odvod te řetěz 1111.

Je regulární? Pokud ne, na regulární ji upravte. V původní a nové gramatice odvod te řetěz 1111. Grmtiky. Vytvořte grmtiku generující množinu řetězů { n m } pro n, m N {} tková, že n m. Pomocí této grmtiky derivujte řetezy,. 2. Grmtik je dán prvidly S ɛ S A A S B B A B. Je regulární? Pokud ne, n regulární

Více

Převody Regulárních Výrazů. Minimalizace Konečných. Regulární jazyky 2 p.1/35

Převody Regulárních Výrazů. Minimalizace Konečných. Regulární jazyky 2 p.1/35 Převody Regulárních Výrzů Minimlizce Konečných Automtů Regulární jzyky 2 p.1/35 Kleeneho lger Definice 2.1 Kleeneho lger sestává z neprázdné množiny se dvěm význčnými konstntmi 0 1, dvěm inárními opercemi

Více

Automaty a gramatiky

Automaty a gramatiky 5 Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Co ylo minule Množinové operce s jzyky sjednocení, pr nik, rozdíl, dopln k uzv enost opercí (lgoritmus p evodu) et

Více

Automaty a gramatiky

Automaty a gramatiky Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Úvod do formálních grmtik Grmtiky, všichni je známe, le co to je? Popis jzyk pomocí prvidel, podle kterých se vytvářejí

Více

Automaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku?

Automaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku? Orgnizční záležitosti Atomty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cni.cz http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk Přednášk: n we (http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk/tomty) Proč chodit n přednášk? dozvíte se více než

Více

Automaty a gramatiky. Úvod do formáln. lních gramatik. Roman Barták, KTIML. Příklady gramatik

Automaty a gramatiky. Úvod do formáln. lních gramatik. Roman Barták, KTIML. Příklady gramatik Úvod do formáln lních grmtik Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Grmtiky, všichni je známe, le co to je? Popis jzyk pomocí prvidel, podle kterých se vytvářejí

Více

MULTIDIMENSIONÁLNÍ JAZYKY A JEJICH AUTOMATY MULTI-DIMENSIONAL LANGUAGES AND THEIR AUTOMATA

MULTIDIMENSIONÁLNÍ JAZYKY A JEJICH AUTOMATY MULTI-DIMENSIONAL LANGUAGES AND THEIR AUTOMATA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV INFORMAČNÍCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INFORMATION SYSTEMS MULTIDIMENSIONÁLNÍ

Více

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá

Více

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v

Více

2.5.4 Věta. Každý jazyk reprezentovaný regulárním výrazem je regulárním jazykem.

2.5.4 Věta. Každý jazyk reprezentovaný regulárním výrazem je regulárním jazykem. 2.5. Regulární výrzy [181012-1111 ] 21 2.5 Regulární výrzy 2.5.1 Regulární jzyky jsme definovli jko ty jzyky, které jsou přijímány konečnými utomty; ukázli, že je jedno, zd jsou deterministické neo nedeterministické.

Více

Úvod 1. 3 Regulární jazyky Konečné jazyky Pumping Lemma pro regulární jazyky a nekonečné jazyky Sjednocení...

Úvod 1. 3 Regulární jazyky Konečné jazyky Pumping Lemma pro regulární jazyky a nekonečné jazyky Sjednocení... Osh Úvod 1 1 Teoretická informtik 2 1.1 Vznik vývoj teoretické informtiky................... 2 1.1.1 Mtemtik............................. 2 1.1.2 Jzykověd............................. 5 1.1.3 Biologie...............................

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním

Více

doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci a reverzi. Ukážeme ještě další operace s jazyky, na které je

doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci a reverzi. Ukážeme ještě další operace s jazyky, na které je 28 [181105-1236 ] 2.7 Další uzávěrové vlastnosti třídy regulárních jazyků Z předchozích přednášek víme, že třída regulárních jazyků je uzavřena na sjednocení, průnik, doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci

Více

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI)

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI) Úvod do Teoretické Informtiky (456-511 UTI) Doc. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. petr.hlineny@vs.cz 25. ledn 2006 Verze 1.02. Copyright c 2004 2006 Petr Hliněný. (S využitím části mteriálů c Petr Jnčr.) Osh

Více

Teorie jazyků a automatů I

Teorie jazyků a automatů I Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů I Sírk úloh pro cvičení Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv, poslední ktulizce 5. květn 205 Anotce: Tto skript jsou určen

Více

Lineární nerovnice a jejich soustavy

Lineární nerovnice a jejich soustavy teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice

Více

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. esk@fit.vutr.z Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. vojnr@fit.vutr.z Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze 06.04.2010)

Více

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o isomorfismu reduktů. Věta o isomorfismu reduktů. Pro připomenutí

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o isomorfismu reduktů. Věta o isomorfismu reduktů. Pro připomenutí 3 Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktimlmffcunicz http://ktimlmffcunicz/~rtk Pro připomenutí 2 Njít ekvivlentní stvy w X* δ*(p,w) F δ*(q,w) F Vyřdit nedosžitelné stvy 3 Sestrojit podílový utomt Automty

Více

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje. 4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost

Více

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Sírk příkldů pro cvičení II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv 24. listopdu 2016 Anotce:

Více

6. Zobrazení δ: (a) δ(q 0, x) obsahuje x i, x i Z. (b) δ(x i, y) obsahuje y j, x i y j P 7. Množina F je množinou koncových stavů.

6. Zobrazení δ: (a) δ(q 0, x) obsahuje x i, x i Z. (b) δ(x i, y) obsahuje y j, x i y j P 7. Množina F je množinou koncových stavů. Vzth mezi reg. výrzy kon. utomty Automty grmtiky(bi-aag) 7. Převody mezi reg. grm., reg. výrzy kon. utomty Jn Holu Algoritmus (okrčování): 6. Zorzení δ: () δ(, x) oshuje x i, x i Z. () δ(x i, y) oshuje

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Regulární výrazy. Definice Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto:

Regulární výrazy. Definice Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto: IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 6. 10. 2014 1/29 Regulární výrazy Definice 2.58. Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto: 1 ε, a a pro každé a

Více

2.8.5 Lineární nerovnice s parametrem

2.8.5 Lineární nerovnice s parametrem 2.8.5 Lineární nerovnice s prmetrem Předpokldy: 2208, 2802 Pedgogická poznámk: Pokud v tom necháte studenty vykoupt (což je, zdá se, jediné rozumné řešení) zere tto látk tk jednu půl vyučovcí hodiny (první

Více

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.

Více

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, [161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p

Více

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích Kpitol 1 Formální jzyky Cíle kpitoly: Po prostudování kpitoly máte plně rozumět pojmům jko(formální) beced, slovo, jzyk, operce n slovech jzycích; máte zvládt práci s těmito pojmy n prktických příkldech.

Více

Automaty a gramatiky. Trochu motivace. Roman Barták, KTIML. rní jazyky. Regulárn. Kleeneova věta. L = { w w=babau w=uabbv w=ubaa, u,v {a,b}* }

Automaty a gramatiky. Trochu motivace. Roman Barták, KTIML. rní jazyky. Regulárn. Kleeneova věta. L = { w w=babau w=uabbv w=ubaa, u,v {a,b}* } ochu motivce L = { w w=u w=uv w=u, u,v {,}* } Automty gmtiky Romn Bták, KIML tk@ktiml.mff.cuni.cz htt://ktiml.mff.cuni.cz/~tk L = L L L, kde L = { w w=u, u {,}* }, L = { w w=uv, u,v {,}* } L = { w w=u,

Více

Automaty a gramatiky. Pro připomenutí. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o dvousměrných automatech (1)

Automaty a gramatiky. Pro připomenutí. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o dvousměrných automatech (1) 4 Automty gmtiky omn Bták, KTIML tk@ktiml.mff.cuni.cz htt://ktiml.mff.cuni.cz/~tk Po řiomenutí Automt může tké ovládt čtecí hlvu dvousměný (dvoucestný) utomt řechodová funkce: Q X Q {-,,+} Slovo w je řijto

Více

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

( a) Okolí bodu

( a) Okolí bodu 0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné,

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

10. Suffixové stromy 1 2014-01-23

10. Suffixové stromy 1 2014-01-23 10. Suffixové stromy V této kpitole popíšeme jednu pozoruhodnou dtovou strukturu, pomocí níž dokážeme prolémy týkjící se řetězců převádět n grfové prolémy řešit je tk v lineárním čse. Řetězce, trie suffixové

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Přednáška 9: Limita a spojitost

Přednáška 9: Limita a spojitost 4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty

Více

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu. Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

Regulární výrazy. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 14. března / 20

Regulární výrazy. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 14. března / 20 Regulární výrazy M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 14. března 2007 1/ 20 Regulární výrazy Jako například v aritmetice můžeme pomocí operátorů + a vytvářet výrazy jako (5+3)

Více

písemná a ústní část porozumění látce + schopnost formalizace

písemná a ústní část porozumění látce + schopnost formalizace Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Orgnizční záležitosti Přednášk: n weu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk/utomty) Proč chodit n přednášku? Cvičení: dozvíte

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306 7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu

Více

Výfučtení: Geometrické útvary a zobrazení

Výfučtení: Geometrické útvary a zobrazení Výfučtení: Geometrické útvry zorzení V geometrii očs nrzíme n to, že některé geometrické orzce vykzují jistou symetrii. Popřípdě můžeme slyšet, že nějké dv útvry jsou si podoné. V tomto Výfučtení udeme

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady: 4.4. Sinová vět II Předpokldy 44 Kde se stl hy? Námi nlezené řešení je správné, le nenšli jsme druhé hy ve hvíli, kdy jsme z hodnoty sin β určovli úhel β. β je úhel z intervlu ( ;π ). Jk je vidět z jednotkové

Více

AUTOMATY A GRAMATIKY

AUTOMATY A GRAMATIKY AUTOMATY A 1 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Stručný přehled přednášky Automaty Formální jazyky, operace

Více

Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 5. listopadu / 43

Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 5. listopadu / 43 Zásobníkové automaty Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 5. listopadu 2018 1/ 43 Zásobníkový automat Chtěli bychom rozpoznávat jazyk L = {a i b i i 1} Snažíme se navrhnout zařízení (podobné konečným

Více

Formální jazyky a automaty Petr Šimeček

Formální jazyky a automaty Petr Šimeček Formální jazyky a automaty Petr Šimeček Úvod Formální jazyky a automaty jsou základním kamenem teoretické informatiky. Na počátku se zmíníme o Chomského klasifikaci gramatik, nástroje, který lze aplikovat

Více

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem

Více

Větu o spojitosti a jejich užití

Větu o spojitosti a jejich užití 0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

Logické obvody - kombinační Booleova algebra, formy popisu Příklady návrhu

Logické obvody - kombinační Booleova algebra, formy popisu Příklady návrhu MIKROPROCESORY PRO VÝKONOVÉ SYSTÉMY MIKROPROCESORY PRO VÝKONOVÉ SYSTÉMY Logické ovody - kominční Booleov lger, ormy popisu Příkldy návrhu České vysoké učení technické Fkult elektrotechnická ABMIS Mikroprocesory

Více

7.5.8 Středová rovnice elipsy

7.5.8 Středová rovnice elipsy 758 Středová rovnice elips Předpokld: 7501, 7507 Př 1: Vrchol elips leží v odech A[ 1;1], [ 3;1], [ 1;5], [ 1; 3] elips souřdnice jejích ohnisek Urči prmetr Zdné souřdnice už n první pohled vpdjí podezřele,

Více

UC485S. PŘEVODNÍK LINKY RS232 na RS485 nebo RS422 S GALVANICKÝM ODDĚLENÍM. Převodník UC485S RS232 RS485 RS422 K1. přepínače +8-12V GND GND TXD RXD DIR

UC485S. PŘEVODNÍK LINKY RS232 na RS485 nebo RS422 S GALVANICKÝM ODDĚLENÍM. Převodník UC485S RS232 RS485 RS422 K1. přepínače +8-12V GND GND TXD RXD DIR PŘEVODNÍK LINKY RS232 n RS485 neo RS422 S GALVANICKÝM ODDĚLENÍM 15 kv ESD Protected IEC-1000-4-2 Převodník přepínče RS232 RS485 RS422 K1 ' K2 +8-12V GND GND TXD RXD DIR PAPOUCH 1 + gnd Ppouch s.r.o. POPIS

Více

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce 1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší

Více

Zásobníkový automat. SlovoaaaabbbbpatřídojazykaL={a i b i i 1} a a a a b b b b

Zásobníkový automat. SlovoaaaabbbbpatřídojazykaL={a i b i i 1} a a a a b b b b ChtělibychomrozpoznávatjazykL={a i b i i 1} Snažíme se navrhnout zařízení(podobné konečným automatům), které přečte slovo, a sdělí nám, zda toto slovo patřídojazykalčine. Při čtení a-ček si musíme pamatovat

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

Půjdu do kina Bude pršet Zajímavý film. Jedině poslední řádek tabulky vyhovuje splnění podmínky úvodního tvrzení.

Půjdu do kina Bude pršet Zajímavý film. Jedině poslední řádek tabulky vyhovuje splnění podmínky úvodního tvrzení. 4. Booleov lger Booleov lger yl nvržen v polovině 9. století mtemtikem Georgem Boolem, tehdy nikoliv k návrhu digitálníh ovodů, nýrž jko mtemtikou disiplínu k formuli logikého myšlení. Jko příkld použijeme

Více

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících. 4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi

Více

Pumping lemma - podstata problému. Automaty a gramatiky(bi-aag) Pumping lemma - problem resolution. Pumping lemma - podstata problému

Pumping lemma - podstata problému. Automaty a gramatiky(bi-aag) Pumping lemma - problem resolution. Pumping lemma - podstata problému BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 2/22 Pumping lemma - podstata problému BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 4/22 Automaty a gramatiky(bi-aag)

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

Turingovy stroje. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Turingovy stroje. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Turingovy stroje Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Jaké znáte algebraické struktury s jednou operací? Co je to okruh,

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,

Více

AUTOMATY A GRAMATIKY. Pavel Surynek. Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně spočetné jazyky Kódování, enumerace

AUTOMATY A GRAMATIKY. Pavel Surynek. Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně spočetné jazyky Kódování, enumerace AUTOMATY A 11 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická

Více

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu 10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí

Více

2.7.7 Obsah rovnoběžníku

2.7.7 Obsah rovnoběžníku 77 Osh rovnoěžníku Předpokldy: 00707 Osh (znčk S): kolik míst útvr zujímá, počet čtverečků 1 x 1, které se do něj vejdou, kolik koerce udeme muset koupit, ychom pokryli podlhu, Př 1: Urči osh čtverce o

Více

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81 skript MZB.doc 8.9. /8 skript MZB.doc 8.9. /8 Osh Osh... Zlomk... Dělitelnost v množině přirozených čísel... Trojčlenk... 9 Výrz s mocninmi s celočíselným eponentem ()... Výrz s mocninmi s rcionálním eponentem...

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/ ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Mcochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 Název vzdělávcího mteriálu: Anotce: Vzdělávcí olst: VY_32_INOVACE_ARITMETIKA+ALGEBRA20 Nerovnosti, intervly,

Více

PRINCIP ZÁPISU AKORDU POMOCÍ AKORDOVÝCH ZNAČEK

PRINCIP ZÁPISU AKORDU POMOCÍ AKORDOVÝCH ZNAČEK Střed 15 Prosinec 2004 04:00 PRINIP ZÁPISU KORU POMOÍ KOROVÝH ZNČK Určitě už se vám stlo že jste nkoukli do zpěvníku chtěli zhrát nějkou olíenou píseň hned ve druhém tktu vás odrdil zápis typu 5 + /mj7/9

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2002 SEDLÁK MARIAN - 1 - OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA INFORMATIKY A POČÍTAČŮ Vizualizace principů výpočtu konečného

Více

Technická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika)

Technická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika) Technická univerzit v Liberci Pedgogická fkult Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky Mtemtik I (Obor: Informtik logistik) Václv Finěk Kpitol Zákldní pojmy Cílem této kpitoly je vysvětlit význm zákldních pojmů

Více

MATA Př 2. Složené výroky: Jsou dány výroky: a: Číslo 5 je prvočíslo. b: Číslo 5 je sudé. c: Číslo 5 je liché. d: Číslo 5 je záporné.

MATA Př 2. Složené výroky: Jsou dány výroky: a: Číslo 5 je prvočíslo. b: Číslo 5 je sudé. c: Číslo 5 je liché. d: Číslo 5 je záporné. MATA Př 2 Složené výroky: Jsou dány výroky: : Číslo 5 je prvočíslo. : Číslo 5 je sudé. c: Číslo 5 je liché. d: Číslo 5 je záporné. Konjunkce disjunkce Konjunkce liovolných výroků, je výrok, který vznikne

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace) Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více