5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b)"

Transkript

1 TEST 3 1. U pacienta je podozření na jednu ze čtyř, navzájem se vylučujících nemocí. Pravděpodobnost výskytu těchto nemocí je 0,1, 0,2, 0,4 a 0,3. Laboratorní zkouška je v případě první nemoci pozitivní v 50 % případů, u druhé nemoci v 75 % případů, u třetí u 15 % případů a u čtvrté v 20 % případů. Výsledek zkoušky byl pozitiví. Vypočítejte jaká je pravděpodkobnost, že pacient trpí třetí nemocí. (3b) 2. Hodíme naráz dvěma kostkami. Náhodná veičina X udává součet ok padnutých na obou kostkách. Napište pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X, nakreslete graf distribuční funkce. (3b) 3. Doplňte znaménko nerovnosti x 1 x 2, F (x 1 )..... F (x 2 ). (1b) 4. Ve třídě je 20 žáků. Mezi nimi je jeden Oldřich a Božena. Jména žáků napíšeme na lístky a vylosujeme dvě skupiny v jedné skupine je 8 žáků, ve durhé skupině je 5 žáků. Jaká je pravděpodobnost, že Oldřich a Božena nebudou vylosováni? (2b) 5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b) 6. Podíl žárovek ve skladu od určitého výrobce je 40 %. Z těchto žárovek je 90 % první jakosti. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná žárovka je od tothto výrobce a zároven i první jakosti? (2b) 7. Vyberte ta tvrzení, která pro distribuční funkci platí vždy: (2b) F (x) 1, F (x) 1, F (x) > 0, F (x) = 1

2 TEST 5 1. Veličina X má Poissonovo rozdělení s parametrem λ. Co udává pravděpodobnost 1 e λ? (1b) 2. Házíme jednou mincí. Náhodná veličina X představuje počet hodů, při kterých padne líc až do hodu, při kterém líc nepadne. Pravděpodobnost padnutí líce je 0,6. Určete pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X, jestliže házíme čtyřikrát. Vykreslete její graf. (3b) 3. Co můžete říci o jevech, pro které platí: P (A 1 A 2 ) P (A 1 ) + P (A 2 ) (1b) 4. Jaké podmínky musí splňovat funkce, aby mohla být distribuční funkcí nějaké náhodné veličiny? (2b) 5. Z karetní hry o 32 kartách vytáhneme dvakrát po sobě jednu kartu, přičemž první kartu vrátíme zpět. Jaká je pravděpodobnost, že obě karty jsou stejné barvy? (2b) 6. Máme tři stejné urny. První urna obsahuje 1 bílou, 2 černé a 3 červené koule. Druhá urna obsahuje 2 bílé, 1 černou a 1 červenou kouli. Třetí urna obsahuje 4 bílé, 5 černých a 3 červené koule. Náhodně zvolíme urnu a z té náhodně vybereme (bez vracení) dvě koule. Ukázalo se, že jedna je bílá a jedna je červená. Je pravděpodobnější, že koule byly vybrány z 1. urny nebo ze 3. urny? O kolik? 7. Anketa obsahovala dvě otázky: Ano Ne Vypočítejte pravděpododbnost, že člověk, který na Ano otázku odpověděl ano, odpověděl na druou otázku Ne ne. (2b).

3 TEST 7 1. Náhodná veličina udává počet ok při hodu kostkou, která obsahuje čísla 2 7. Vypočítejte její rozptyl. (2b) D 2 (X) = 2,92 2. V dílně pracují dva stroje, z nichž první vyprodukoval 300 výrobků a durhý 500 výrobků. Každá stroj vyprodukoval několik zmetků první 10 a druhý 15. Určete, že náhodně vybraný výrobek bude zmetek a byl vyroben na prvním stroji. (2b) 3. Test obsahuje 100 otázek. Předpokládejme, že zkoušený zná 20 správných odpovědí. Pokud zkoušený nezná odpověď, zatrhne náhodně kteroukoli ze čtyř možností. Jaká je pravděpodobnost, že při správné odpovědi zkušený jenom hádal? (3b) 4. Náhodná veličina udáva počet strojů bez poruchy mezi 4 stroji. Pravděpodobnost bezporuchového provozu je pro 1 stroj 0,6. Zapište distribuční funkci a nakreslete graf. (3b) 5. Napište jaký je vztah mezi podmíněnou pravděodobností P (A H) a nepodmíněnou pravděpodobností P (A) pro závislé a nezávislé jevy. (1b) 6. Které charakteristiky se skrývají pod zápisy E[X E(X)], E[X E(X)] 2, E 2 [X E(X)], E(X 2 ) E 2 (X), D 2 (X) + E 2 (X)? (2b) 7. Doplňte rovnici tak, aby platila: (1b) P (B) = P (B A) P (A) P (A) P (B A)

4 TEST 9 1. V první nádobě je 15 lístků, ze kterých je deset bílých. V druhé nádobě je 25 lístků, ze kterých je 5 býlých. Z nádoby jsme vytáhli dva bílé lístky. Jaká je pravděpdobnost, že byly vytaženy z první nádoby? (3b) 2. K osevu byly vybrány dvě odrůdy pšenice, a to 20 % první odrůdy a 80 % druhé odrůdy. Pravděpodobnost, že ze zrna vyroste klas, je pro první odrůdu 0,95 a pro druhou odrůdu 0,98. (a) Jaká je pravděpodobnost, že z náhodně vybraného zrna vyroste klas? (b) Jaká je pravděpodobnost, že je to zrno z první pšenice. 3. V provozvně se za den vyrobí 50 výrobků. Pravděpodobnost vyrobení vadného výrobku je 0,01. Po kolika dnech bude pravděpodobnost, že byl vyroben alejspoň jeden vadný výrobek rovna minimálně 0,9. (2b) 4. Náhodný pokus spočívá v současném hodu 10 kostkami. Náhodná veličina X udává kolikrát spadlo sudé číslo. Najděte její distribuční funkci a nakreslete graf. (3b) 5. Jevy A, B, C jsou vzájemně nezávislé. Všechny mají stejnou pravděpodobnost 0,8. Vypočítejte pravděpodobnost, že při jednom náhodném pokusu nastanou všechny tři jevy a sučasně pravděpodobnost, že nenastane ani jeden jev. (2b) 6. Platí Y = a + bx. Veličina X má charakteristiky E(X), D 2 (X). Napište E(Y ), D(Y ). (1b) 7. Může platit P (A B) = P (A B)? Pokud ano, napište kdy. (1b)

5 TEST Dělostřelec má 8 nábojů. Střílí na cíl tak dlouho dokud netrefí a nebo dokud mu nedojdou náboje. Najděte střední hodnotu a směrodatnou odchylku počtu vystřílených nábojů pokud pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je 0,6. (3b) 2. Dlouhodobým pozorováním se zjistilo, že pravděpodobnost slunečného počasí prvního července je v jistém rekreačním středisku 15. Jaký je 17 nejpravděpodobnější počet slunečných prvních červenců v tomto středisku v nejbližších padesáti letech? (1b) 3. Určitý den jsou ke zkoušce přihlášeni 4 posluchači. Každý z nich si náhodně vytáhne jednu z 20 otázek, mezi nimiž je 8 obtížných a 12 poměrně lehkých. Jaká je pravděpodobnost, že obtížnou otázku si vybere pouze první ze 4 posluchačů (vybraná otázka se vždy odkládá). (3b) 4. V krabici je 100 různobarevných kuliček, z toho 20 červených, 10 bílých a 70 zelených. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná kulička nebude zelená? (2b) ) 5. Čemu je roven součet ( n x p x x x (1 p) n x (2b) ničemu co by dávalo smysl 1 np D 2 (X) 6. Tvrdím, že D 2 (X) + E 2 (X) je smysluplná charakteristika. Je to pravda? Pokud ano, napište, co je to za charakteristiku. (1b) Ano je to vyjádření rozptylu E(X 2 ) = D 2 (X) + E 2 (X) (?) 7. Semena rostlin určitého durhu jsou znečištěna malým množstvím plevele. Je známo, že na jedné jednotce plochy vyrostou v průměru 4 rostliny plevele. Vypočítejte pravděpodobnost, že na jedné jednotce plochy vyroste aspoň 5, ale nejvýše 7 rostlin plevele. (2b)

6 TEST Nábytkářská firma vyrobila 50 křesel, z toho je 8 křesel druhé jakosti a 2 křesla třetí jakosti. Náhodně vybereme 5 křesel, jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude jedno křeslo třetí jakosti a jedno křeslo druhé jakosti? (2b) 0, Studenti medicíny určují nesprávnou diagnózu u 20 % případů, z toho 8 % v důsledku nedostatečných znalostí. Jaká je pravděpododobnost, že náhodně vybraný student určí nesprávnou diagnózu, ale ne z neznalosti? (3b) P (A B) = 0, Předpokládejme, že počasí libovolného dne je nezávislé na počasí předcházejících dní a že pravděpodobnost, že určitého dne bude pršet, je pro všechny dny rovna 0,6. Napište jak vypadá pravděpodobnostní funkce. Jaká je pravděpodobnost, že během týden bude alejspoň jdenou pršet? (3b) ( ) 7 0, 6 x x 0 = 0, Určitou prodejnu navštíví v průměru 20 zákazníků za hodinu. Jaká je pravděpodobnost, že během 6 minut navštíví prodejnu alejspoň jeden zákazník? (2b) λ = 2 P (X 1) = 0, Doplněk k distribuční funkci 1 F (x) se nazývá funkce rizika. Vyjádřete tuto fukci jako pravděpodobnost. (1b) P (X x) 6. Jsou dány tyto pravděpodobnosti: P (A B) = 0, 25 P (A B) = 0, 22 P (A B) = 0, 38 a P (A B) = 0, 15. Vypočtěte P (A B). (2b) 0, Označte co platí: (1b) F (x) F (x) 0 1 F (x) 1 nic není správně nic není správně

7 TEST Máme 16 láhví s minerálkou. Víme, že v 10 lahvích je Hanácká a v 6 je Ondrášovka. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 4 náhodně vybranými lahvemi jsou dvě od každé značky? (2b) 0,371 (?) 2. Do určitého průzkumu mají být zahrnuti pouze pracovníci s vysokoškolským vzděláním nebo pracovníci s více než desetiletou praxí v oboru. Máme informaci, že v podniku, kde má být průzkum prováděn, pracuje celkem 5 % pracovníků s vysokoškolským vzděláním a 14 % pracovníků s více než desetiletou praxí a 3 %pracovníků, kteří splňují obě kritéria. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný pracovník bude zahrnut do průzkumu? (3b) 0,16 (?) 3. Pravděpodobnost, že spotřeba elektrické energie ve všední den určitého období přesáhne stanovenou normu je 0,3. V kolika dnech z týdne bude nejpravděpodobněji překročena spotřeba? (1b) ˆx=2 4. Pravděpodobnost, že žárovka vydrží svítit hodin je 0,8. Na chodbě je 5 žárovek. Jaká je pravděpodobnost, že po hodinách svítí aspoň jedna žárovka? (2b) 0, Pro jevy A, B platí P (A B) = P (B). O jevech můžeme říci: (1b) nic zvláštního tento případ nastat nemůže jevy jsou nezávislé něco jiného Čerpací stanice obslouží v průměru 72 automobilů za hodinu. Jaká je pravděpodobnost, že se během příštích 5 minut obslouží alejspoň 7 automobilů? (2b) 7. Ve výrobě pracuje 6 strojů. Náhodná veličina udává počet fungujících strojů. Pravděpodobnost, že u daného stroje dojde k poruše je 0,75. Napište distribučí funkci a nakreslete grafy. (3b)

8 PŘÍKLADY 1. Náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti f(x) = ln x, x (1, e). Čemu se rovná střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny X? 2. Vypočtěte 35% kvantil pro náhodnou veličinu s hustotou f(x) = 4x x (0, 1 2 ). 3. Najděte konstantu { c tak, aby funkce cx f(x) = 2 (1 x) pro 0 x 1 byla hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Najděte její distribuční funkci, určete E(X), 0 jinak D(X) a vypočítejte pravděpodobnost, že veličina x se bude realizovat v intervalu 0, 2; 0, Hustota { pravděpodobnosit náhodné veličiny X je x a pro x 1; 2 f(x) = 0 jinak Určete konstantu a, E(X), D(X), P (X 2, 1), P (0, 5 X 1, 5) a nakreslete grafy hustoty a distribuční funkce. 5. Náhodné veličiny X, Y jsou chyby, které vznikají na vstupním zařízení. Jejich střední hodnoty a rozptyly jsou E(X) = 2, E(Y ) = 4, D 2 (X) = 4, D 2 (Y ) = 9. Koeficient korelace těchto chyb je R(X, Y ) = 0, 5. Chyba na výstupu zařízení souvisí s chybami na vstupu funkční závislostí Z = 3X 2 2XY + Z 2 3. Najděte střední hodnotu chyby na výstupu. 6. Při kontrole odběru plynu se zjišťuje na ukazateli plynoměru pouze celé m 3 a desetinná místa se neuvažují. K určitému dni je stav plynoměru m 3 a po šesti měsících stav m 3. Skutečná spotřeba plynu za šest měsíců s přihlédnutím na desetinná místa je veličina mající rovnoměrné rozdělení v intervalu (601;603). Jaká je pravděpodobnost, že skutečná spotřeba plynu je o více než... spotřeba odečtená? L A TEX 2ε

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 3 Pravděpodobnost jevů Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka Vysoká škola báňská Technická

Více

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická

Více

(bridžové karty : 52 karet celkem, z toho 4 esa) [= 0, 0194] = 7, = 4, = 1, = 9, = 1, 77 10

(bridžové karty : 52 karet celkem, z toho 4 esa) [= 0, 0194] = 7, = 4, = 1, = 9, = 1, 77 10 2. cvičení - STATISTIKA Náhodný jev, Pravděpodobnost jevu, Podmíněná pravděpodbnost, Úplná pravděpodobnost, Bayesova věta 1. V cele předběžného zadržení sedí vedle sebe 10 podezřelých, z toho 3 ženy. Jaká

Více

22. Pravděpodobnost a statistika

22. Pravděpodobnost a statistika 22. Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost náhodných jevů. Klasická pravděpodobnost. Statistický soubor, statistické jednotky, statistické znaky. Četnosti, jejich rozdělení a grafické znázornění.

Více

(motto: Jestliže má jednotlivec rád čísla, pokládá se to za neurózu. Celá společnost se ale sklání před statistickými čísly. Alfred Paul Schmidt)

(motto: Jestliže má jednotlivec rád čísla, pokládá se to za neurózu. Celá společnost se ale sklání před statistickými čísly. Alfred Paul Schmidt) Popisná státistiká (motto: Jestliže má jednotlivec rád čísla, pokládá se to za neurózu. Celá společnost se ale sklání před statistickými čísly. Alfred Paul Schmidt) 1. Příklad V pobočce banky za celý den

Více

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve Příklady k procvičení k průběžnému testu: 1) Při zpracování studie o průměrné výši měsíčních příjmů v České republice jsme získali data celkem od 8 tazatelů. Každý z těchto pěti souborů dat obsahoval odlišný

Více

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz). 1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

náhodný jev je podmnožinou

náhodný jev je podmnožinou Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového

Více

S1P Příklady 01. Náhodné jevy

S1P Příklady 01. Náhodné jevy S1P Příklady 01 Náhodné jevy Pravděpodobnost, že jedinec z jisté populace se dožije šedesáti let, je 0,8; pravděpodobnost, že se dožije sedmdesáti let, je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec zemře

Více

Podmíněná pravděpodobnost

Podmíněná pravděpodobnost odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

Příklad 1: Házíme dvěma kostkami. Stanovte pravděpodobnost jevu, že na kostkách padne součet menší než 5.

Příklad 1: Házíme dvěma kostkami. Stanovte pravděpodobnost jevu, že na kostkách padne součet menší než 5. Příklad 1: Házíme dvěma kostkami. Stanovte pravděpodobnost jevu, že na kostkách padne součet menší než 5. Řešení: Výsledky pokusu jsou uspořádané dvojice. První člen dvojice odpovídá hodu 1. kostkou a

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není

Více

TEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka?

TEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? TEST (40 bodů) Jméno:. Pin karty se skládá ze čtyř náhodně vybraných číslic až 9, z nichž se žádné neopakuje. Jaká je pravděpodobnost, že všechny čtyři číslice budou liché? podíl všech možností,jak vybrat

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd. ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

4. cvičení 4ST201 - řešení

4. cvičení 4ST201 - řešení cvičící 4. cvičení 4ST201 - řešení Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý

Více

5) Ve třídě 1.A se vyučuje 11 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů?

5) Ve třídě 1.A se vyučuje 11 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů? 0. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Kombinatorika ) V restauraci mají na jídelním lístku 3 druhy polévek, 7 možností výběru hlavního jídla, druhy moučníku. K pití si lze objednat kávu, limonádu

Více

S1P Příklady 02. Náhodná proměnná (veličina) Mějme krabičku o rozměrech 1 x 2 x 3 cm. Na stranách jsou obrázky: :

S1P Příklady 02. Náhodná proměnná (veličina) Mějme krabičku o rozměrech 1 x 2 x 3 cm. Na stranách jsou obrázky: : S1P Příklady 02 Náhodná proměnná (veličina) Mějme krabičku o rozměrech 1 2 3 cm Na stranách jsou obrázky: : Ω ={strom, houba, kytka, slunce, dům, ryba} Pravděpodobnost jednotlivých elementárních jevů odpovídá

Více

Diskrétní pravděpodobnost

Diskrétní pravděpodobnost Diskrétní pravděpodobnost Jiří Koula Definice. Konečným pravděpodobnostním prostorem nazveme dvojici(ω, P), kde Ω jekonečnámnožina {ω 1,..., ω n}apfunkcepřiřazujícíkaždépodmnožiněωčíslo zintervalu 0,1,splňujícíP(

Více

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost

Více

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. 3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

1. Klasická pravděpodobnost

1. Klasická pravděpodobnost Příklady 1. Klasická pravděpodobnost 1. Házíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? 2. Základy teorie pravděpodobnosti vznikly v korespondenci mezi dvěma slavnými francouzskými

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 6 Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 013 Mgr. Petr Otipka

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna

Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna Téma: Náhodná veličina, distribuční funkce a její graf, pravděpodobnostní funkce a její graf, funkce hustoty pravděpodobnosti a její graf, výpočet střední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny 1 Náhodná

Více

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Název NV X Popis Pravděpodobnostní funkce E(X) D(X) Binomická - Bi(n, ) počet úspěchů v n Bernoulliho pokusech P(X = k) = ( n k ) k (1 ) k n n(1 ) Hypergeometrická

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Řešené příklady z pravděpodobnosti:

Řešené příklady z pravděpodobnosti: Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.

Více

1. Klasická pravděpodobnost

1. Klasická pravděpodobnost Příklady 1. Klasická pravděpodobnost 1. Házíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? 2. Základy teorie pravděpodobnosti vznikly v korespondenci mezi dvěma slavnými francouzskými

Více

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.

Více

Úvod do teorie pravděpodobnosti

Úvod do teorie pravděpodobnosti Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

Klasická pravděpodobnost a geometrická pravděpodobnost

Klasická pravděpodobnost a geometrická pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost a geometrická pravděpodobnost 1. Házíme čtyřmi šestistěnnými hracími kostkami. Určete, jaká je pravděpodobnost, že (a) součet čísel na kostkách bude sudé číslo a zároveň součin

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n

Více

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení

Více

a) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika

a) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin

Více

Statistika (KMI/PSTAT)

Statistika (KMI/PSTAT) Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura

Více

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 5

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 5 Příklad a) Uvažujme jevy A, B, C. Výsledkem náhodného pokusu může být pouze nastoupení právě jednoho z uvedených jevů, nebo nastoupení všech tří těchto jevů současně. Zjistěte, zda jsou dané jevy vzájemně

Více

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST

Více

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným

Více

pravděpodobnosti a Bayesova věta

pravděpodobnosti a Bayesova věta NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodná veličina (dále NV)? Číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu. Jaké

Více

SBÍRKA ÚLOH Z PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

SBÍRKA ÚLOH Z PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY MASARYKOVA UNIVERZITA PRÍRODOVEDECKÁ FAKULTA JAROSLAV MICHÁLEK ZUZANA HRDLIČKOVÁ DAVID HAMPEL SBÍRKA ÚLOH Z PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY PRO DISTANČNÍ STUDIUM BRNO 2004 preprint Obsah 1 Kombinatorika

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 207 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy

5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Tématické celky { kontrolní otázky.

Tématické celky { kontrolní otázky. Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

Motivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma

Motivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.

Více

5. cvičení 4ST201. Obsah: Informace o 1. průběžném testu Pravděpodobnostní rozdělení 1.část Binomické Hypergeometrické Poissonovo. 1.

5. cvičení 4ST201. Obsah: Informace o 1. průběžném testu Pravděpodobnostní rozdělení 1.část Binomické Hypergeometrické Poissonovo. 1. cvičící 5. cvičení 4ST201 Obsah: Informace o 1. průběžném testu Pravděpodobnostní rozdělení 1.část Binomické Hypergeometrické Poissonovo Vysoká škola ekonomická 1 1. Průběžný test Termín: pátek 26.3. v

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.

Více

4.5.9 Pravděpodobnost II

4.5.9 Pravděpodobnost II .5.9 Pravděpodobnost II Předpoklady: 00508 Př. 1: Který z výsledků hodu mincí čtyřikrát po sobě je pravděpodobnější. a) r, l, r, l b) r, r, r, r Oba výsledky jsou stejně pravděpodobné (pravděpodobnost

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

1. A c B c, 2. (A C) B, 3. A B C.

1. A c B c, 2. (A C) B, 3. A B C. Příklad 1: V urně jsou kuličky tří barev. Nechť jevy A, B, C, postupně znamenají, že náhodně vybraná kulička je černá, červená, bílá. Určete význam následujících jevů: 1. A c B c, 2. (A C) B, 3. A B C.

Více

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST 2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Alternativní rozdělení Příklad Střelec vystřelí do terče, pravděpodobnost zásahu je 0,8. Náhodná veličina X udává, jestli trefil: položíme X = 1, jestliže ano, a X = 0, jestliže ne. Alternativní rozdělení

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava

Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více