GEOMETRIE I. Pavel Burda

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "GEOMETRIE I. Pavel Burda"

Transkript

1 GEOMETRIE I Pavel Burda

2 Obsah Úvod Vektorové prostory Vektorové prostory se skalárím ásobeím Afií prostory Afií přímka ( A 1 ) Afií rovia (A ) Afií prostor (A ) Eukleidovské prostory Eukleidovská rovia (E ) Eukleidovský prostor (E ) Literatura... 75

3 Úvod Teto učebí text je urče pro distačí studium učitelů primárího vzděláváí a pro studety prezečího studia předmětu Geometrie I. Obsahuje základí pozatky z aalytické geometrie uté pro učitele základích škol. V prví části jsou stručě shruty pojmy z předmětu Lieárí algebra, viz [Li]. V dalších kapitolách jsou rozšířey zalosti z lieárí algebry a je studováa geometrie v afiích a eukleidovských prostorech, a přímce, v roviě a v prostoru. Důležité pojmy jsou uvedey v defiicích. Další ové pojmy jsou často uvedey v pozámkách. Důležité vlastosti jsou dokázáy a formulováy ve větách. Ostatí vlastosti, které ejsou dokázáy ebo jsou důkazy pouze azačey, jsou formulováy ve tvrzeích. Jejich platost může být ověřea a kozultacích, případě v předáškách a cvičeích. Text obsahuje řadu řešeých a dostatek eřešeých příkladů. Při sestavováí učebího textu byla použita literatura uvedeá a str

4 1. Vektorové prostory Klíčová slova: vektorový prostor, vektor, lieárí závislost a ezávislost vektorů. Cílem kapitoly je zopakováí základích pojmů o vektorových prostorech z předmětu lieárí algebra. Než přistoupíme ke studiu předmětu Geometrie, uvedeme pojmy z předmětu Lieárí algebra, které je třeba zopakovat. Základím pojmem pro studium geometrie je pojem vektorového prostoru V. Je uté zát jeho defiici a základí vlastosti platé pro operace s vektory. Neje pro geometrii jsou velmi důležité pojmy lieárí kombiace vektorů a lieárí závislosti a ezávislosti vektorů. Neméě důležité jsou pojmy podprostoru vektorového prostoru, báze a dimeze vektorového prostoru. Všechy výše uvedeé pojmy jste v lieárí algebře studovali v tzv. aritmetickém vektorovém prostoru V, který tvoří uspořádaé -tice prvků z tělesa T (, ) s jejich sčítáím (( a1,, a) + ( b1,, b) = ( a1+ b1, a + b )) a ásobeím prvkem z T ( α( a,, a ) = ( αa,, αa )). V defiicích jste užívali obecé ozačeí vektoru, 1 1 apříklad a. Je tedy zřejmé, že všechy defiice a tvrzeí platí pro libovolou eprázdou možiu V, jejíž prvky azýváme vektory, je-li pro ě defiováo sčítáí a ásobeí prvkem z T, splňující ásledující vlastosti pro všechy u, v, w V a všecha rs, T : (V1) u+v =v+u, (V5) rs ( u) = ( rs) u, (V) ( u+ v) + w=u+ ( v+ w), (V6) ( r+ s) u= ru+ su, (V) o+ u= u+ o= u, (V7) r( u+ v) = ru+rv, (V4) u+ ( u ) = o, (V8) 1 u= u. Možiu V azýváme vektorovým prostorem, její prvek o ulovým vektorem a prvek u vektorem opačým k vektoru u. Číslo 1 je eutrálím prvkem vzhledem k ásobeí v T. V geometrii budeme užívat aritmetické vektorové prostory a vektorové prostory, jejichž prvky jsou orietovaé úsečky tak, jak jste byli zvyklí v geometrii a ve fyzice a základí a 5

5 středí škole. Nyí uveďme alespoň dva příklady, kde vektory ejsou prvky z výše uvedeých prostorů. Příklad 1.1. Nechť V je možia všech matic typu ( m, ), jejichž prvky patří do, spolu se sčítáím těchto matic a jejich ásobeím reálým číslem. Pak možia V je vektorový prostor. Ověřte apříklad, že pro matice typu (,) jsou splěy podmíky (V1) - (V8). Příklad 1.. Nechť V je možia všech polyomů stupě tvaru a0 + a1x+ a x + + ax, Defiujme sčítáí ve V vztahem kde ai a a ( a0 + a1x+ + ax ) + ( b0 + b1x+ + bx )= ( a0 + b0) + ( a1+ b1) x+ + ( a + b) x a ásobeí prvkem r vztahem r( a0 + a1x + + ax ) = ra0 + ra1x + + rax. Možia V je spolu s výše uvedeým sčítáím a ásobeím vektorovým prostorem. Ověřte apříklad, že pro polyomy. stupě jsou splěy podmíky (V1) (V8). Pro příště budeme vektorové prostory ozačovat obvykle symbolem V. Bude-li záležet a jejich dimezi, použijeme ozačeí V pro prostory dimeze. Aritmetické vektorové prostory ozačíme resp. z., resp., budou-li jejich prvky uspořádaé -tice čísel z, Pojmy k zapamatováí: - defiice vektorového prostoru, - defiice lieárí závislosti a ezávislosti vektorů, - pojem lieárí kombiace vektorů. Kotrolí otázky: 1. Ověřte platost axiomů (V1) (V8) v aritmetickém vektorovém prostoru.. Ověřte platost axiomů (V1) (V8) ve vektorovém prostoru, který tvoří orietovaé úsečky v roviě spolu s jejich obvyklým sčítáím (viz středoškolská geometrie a fyzika). 6

6 Cvičeí 1 1. Určete aritmetický vektor u patřící do, resp. 4, pro který platí: a) u=a+ ( b c) ( c 5 a ), je-li a = (,0,1), b= (,,1) a c = (0, 0,1), b) 1 1 a u+ ( b+u) ( a b) = o, kde a = (1,1, 1) a b = (,0,), 4 c) u= a+ 4b 6c+ d, je-li a= (1,1, 1, 1), b= (0,0,0,0), 1 c = (,0,1,4) a d = ( 1, 1,1,1), d) 5a 4u b+ u+ c= a+ u, kde a = (1, 1,1,1), b= (0,,,) a c = (,,, ).. Najděte všechy hodoty t, pro které je možé vektor u vyjádřit jako lieárí kombiaci vektorů ab, a c : a) u= (5,, t), a= (1,0, ), b= (0,1,1), c= (4,1,9), b) u= (4,, t), a = (1,,), b= (, 1,1), c= (1,7,8), c) u = ( t,6,7), a = (1, 4,5), b= (,8,10), c = (0, 4, 5), d) u= (1,,5), a= (1,,4), b= (,8, ), c= (,11, t), e) u= (7,, t), a = (,,5), b= (1, 6,1), c= (,7,8). 4. Zjistěte, zda jsou daé vektory patřící do, resp., lieárě závislé a v kladém případě vyjádřete jede z ich jako lieárí kombiaci ostatích: a) a = (1,,), b= (,6,7), b) a = (4,,6), b= (6,,9), c) a = (5,4,), b= (,,), c= (8,1,), d) a= (0,1,0,), b= (,0,1,0), c= (0,,0,1). 4. Určete t tak, aby vektory uvw,, patřící do byly lieárě závislé: a) u= (,1,), v = (1,, 5), w= (,0, t), b) u= (1,,), v = (, t,), w = (,5,4), c) u= ( 1, t, ), v = (1,1, ), w= (, 0, t), d) u= (4,5,), v = (, tt, ), w = (,10 6 t,4 t), e) u= (1,,1), v = (,1,4), w= ( t,4,11). 7

7 5. Ověřeím vlastostí vektorového podprostoru (i) uv, W u+ v W, (ii) u W, r T ru W, zjistěte, zda íže uvedeé možiy W, kde xyzt,,,, jsou podprostory aritmetického vektorového prostoru 4 : a) W = { x = y z = t} (x,y,z,t):,, b) W = { x+ y+ z+ t = } (x,y,z,t): 0, c) W = { x = } (x,y,z,t): 1, d) W = { xt = yz} (x,y,z,t):. 6. Ukažte, že íže uvedeé možiy vektorů tvoří bázi daého vektorového prostoru: a) { } (1,0), (0,1),, (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1),, b) { } c) { x x x } Výsledky 1. a) 1,,,,, vektorový prostor polyomů stupě u= (8,4,9), b) u= (,,1), c) u= ( 6,,, 1), d) u= (,,, ) a) t t { } = 1, b) = 7, c) pro žádé t, d) t \, e) t = 7.. a) ezávislé, b) závislé, b = a, c) závislé, c=7a 9 b, d) ezávislé. 4. a) t = 11, b) eexistuje, c) t =, t =, d) t, e) t = a) ao, b) ao, c) e, eobsahuje vektor ( 0,0,0,0), d) e, apř. (1, 1,1, 1),(0,0,0,1) W, ale jejich součet (1, 1,1, 0) W. 6) V a), b), c) ověřte lieárí ezávislost vektorů báze a ukažte, že každý vektor lze vyjádřit jedozačě jako jejich lieárí kombiaci. 8

8 . Vektorové prostory se skalárím ásobeím Klíčová slova: skalárí souči vektorů, vektorový souči vektorů, smíšeý souči vektorů. Cílem kapitoly je rozšířeí pozatků o vektorových prostorech, které jsou uté pro studium geometrie. Abychom v geometrii mohli měřit vzdáleosti a úhly, je třeba ve vektorových prostorech zavést ásobeí vektorů, které budeme azývat skalárí. V dalších úvahách se omezíme je a vektorové prostory, kde T =. Defiice.1. Nechť V je vektorový prostor a uv, V. Souči uv., pro který platí (V9) uv. = vu,. (V11) ( ru). v = r( uv. ), (V10) ( u+ v). w= uw. + vw,. (V1) u o uu. > 0, pro všechy uvw,, V a r azýváme skalárím součiem vektorů uv., Tvrzeí.. a) u.( rv) = r( uv. ), b) uo. = Pozámky.. Pro každé dva vektory uv, V a r platí 1. Platost tvrzeí. plye z defiice vektorového prostoru a defiice.1.. Podobě jako u ásobeí reálých čísel lze, pokud edojde k edorozuměí, zaméko ásobeí vyechat. Defiice.4. Reálé číslo u defiovaé pro každý vektor u V vztahem u = u u azýváme velikostí vektoru u. Pozámky Vektor e, pro který je e = 1, azveme jedotkovým vektorem.. Z tvrzeí. a defiice.1 plyou přímo tyto vlastosti: a) u 0, přičemž u = 0 u= o, b) r u = r u, pro všechy u V a r. 9

9 Příklad.6. Ukažte, že v aritmetickém vektorovém prostoru je skalárí ásobeí dáo vztahem ( x, x,, x ) ( y, y,, y ) = x y + x y + + x y pro všechy vektory ( x1, x,, x),( y1, y,, y). Řešeí: Ověříme, že ásobeí splňuje axiomy (V9) (V1) z defiice.1: x1y1+ xy+ + xy = y1x1+ yx + + yx, ásobeí reálých čísel je komutativí, ( x + y, x + y,, x + y ) ( z, z,, z ) = ( x + y ) z + ( x + y ) z + + ( x + y ) z = xz + x z + + x z + yz + y z + + y z = ( x, x,, x ) ( z, z,, z ) ( y, y,, y ) ( z, z,, z ), (( rx, x,, x))( y, y,, y) = ( rx, rx,, rx)( y, y, y) = ( rx ) y + ( rx ) y + + ( rx ) y = r( x y + x y + + x y ) = = r(( x, x,, x ) ( y, y,, y )), , platí x + x + + x > jestliže alespoň jedo z čísel x1, x,, x je růzé od uly. = Defiice.7. Jestliže pro každé dva eulové vektory uv, V ozačíme uv cos ϕ =, 0 ϕ π, uv pak číslo ϕ azveme úhlem eulových vektorů uv,. Pozámky.8. π 1. uv= 0 ϕ =. Říkáme, že vektory uv, jsou ortogoálí ebo a sebe kolmé, ozačíme u v.. Z komutativity skalárího ásobeí plye u v v u.. Pro ulový vektor o V můžeme dodefiovat 4. Možiu { } o u pro všechy u V. u1, u,, u azýváme ortogoálí, jestliže ui u j = 0 pro všecha { } i, j 1,,,, kde i 5. Jestliže pro ortogoálí možiu { } j. u1, u,, u platí u i = 1 pro všecha i { 1,,, }, pak tuto možiu azýváme ortoormálí. = 10

10 Věta.9. Neulové vektory ortogoálí možiy { } u1, u,, u jsou lieárě ezávislé. Důkaz: Položíme r11 u + ru + + r u = o, kde r. Pro všecha i { 1,,, } i vyásobíme skalárě obě stray rovice vektorem u i a dostaeme: ( r11 u + ru+ + r u ) u i = o u i, ( r ( u u ) + r ( u u ) + + r( u u ) + + r ( u u ) = o, 1 1 i i i i i i r ( u u ) = o. Pro eulový vektor i i i u je tato rovost splěa je pro r = To platí pro všecha i i { 1,,, }. Z toho vyplývá, že vektory možiy { } jsou lieárě ezávislé. Pozámky.1 i u1, u,, u ortogoálích vektorů 1. Každá ortogoálí možia vektorů, která je geerátorem, vektorového prostoru V, viz [Li], tvoří bázi vektorového prostoru V.. Ortoormálí báze vektorového prostoru azýváme báze kartézské.. V aritmetických vektorových prostorech užíváme obvykle ortoormálí bázi vektorů e = (1,0,,0), e = (0,1,0,,0),, e = (0,0,,0,1) Jsou-li vektory { } u1, u,, u vektory báze, pak bázi budeme začit < u1, u,, u >. Následující defiice a vlastosti lze formulovat obecě pro. Pro aše potřeby bude stačit defiovat ásledující pojmy pro =, tj. v prostoru používat pro =, je jejich zavedeí aalogické jako pro =. V. Budeme-li ěkteré z ich Defiice.11. Nechť < uvw,, > a < u, v, w > jsou dvě báze vektorového prostoru V a echť platí pak matici u = a u+ a v+ a w , v = a u+ a v+ a w 1, w = a u+ a v+ a w 1, 11

11 a11 a1 a1 A= a1 a a a 1 a a azveme maticí přechodu od báze <uvw>,, k bázi < u, v, w >. Dále říkáme, že jsou tyto báze souhlasě, resp. esouhlasě orietovaé, jestliže det A> 0, resp. det A< 0, ( det A 0, viz [Bu1], str. 19-0). Příklad.1. Rozhoděte, zda báze < (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) > a < (1,0,0),(0,0,1),(0,1,0) > z prostoru jsou souhlasě či esouhlasě orietovaé. Řešeí: prví báze: Podle defiice.11 vyjádříme vektory druhé báze jako lieárí kombiace vektorů (1,0,0) = a (1,0,0) + a (0,1,0) + a (0,0,1), (0, 0,1) = a (1, 0, 0) + a (0,1, 0) + a (0, 0,1), 1 (0,1, 0) = a (1, 0, 0) + a (0,1, 0) + a (0, 0,1). 1 Z defiice rovosti a sčítáí vektorů plye (1,0,0) = ( a11, a1, a1), (0,0,1) = ( a1, a, a) a (0,1,0) = ( a, a, a ). 1 Matice přechodu od prví báze k druhé je A = 0 0 1, její determiat je det A = 1 < Z toho vyplývá, že báze jsou esouhlasě orietovaé. Tvrzeí.1. Relace souhlasé orietace je relací ekvivalece a možiě všech bází prostoru V. Pozámky Tvrzeí.1 je možo sado ověřit přímým výpočtem pro vlastosti relace ekvivalece.. Z defiice.11 a tvrzeí.1 vyplývá, že všechy báze ve V se dělí a dvě třídy bází, kde báze téže třídy jsou souhlasě orietovaé a báze růzých tříd jsou esouhlasě orietovaé.. Řekeme, že prostor V je orietová, jestliže zvolíme jedu z jeho bází za kladou. 1

12 4. Každý prostor V lze orietovat dvěma růzými způsoby. 5. Předchozí pozámky platí aalogicky pro prostor Defiice.15. Jestliže vektor x V. V, vyjádříme ve tvaru x = xu+ yv+ zw, kde xyz,, a < uvw>,, je báze vektorového prostoru V, pak čísla x, yz, azýváme souřadicemi vektoru x vzhledem k bázi < uvw,, >. Pozámka.16. Aalogicky můžeme defiovat souřadice xy, vektoru vzhledem k bázi <uv>, vektorového prostoru V Příklad.17. Určete souřadice vektoru x = (1,1, 0) vzhledem k bázi < (1, 1,0),(1,0,1),( 1,0,0) >. vektorového prostoru. x V Řešeí: Napíšeme vektor x jako lieárí kombiaci vektorů báze: (1,1, 0) = x(1, 1, 0) + y(1, 0,1) + z( 1, 0, 0). Dostaeme (1,1, 0) = ( x + y z, x, y). Z toho vyplývá x= 1, y= 0 a z =. Souřadice vektoru x vzhledem k daé bázi jsou 1, 0,, píšeme x = ( 1,0, ). Pozámka.18. Všiměte si, že budeme-li mít v prostoru, resp., bázi < (1,0,0,),(0,1,0),(0,0,1) >, resp. < (1, 0), (0,1) >, pak vektor (,, ), x = xyz resp. x = ( xy, ) má souřadice x, yz,, resp. xy,. Defiice.19. Vektorovým součiem vektorů uv, V (v tomto pořadí) azveme vektor w = u v V, pro který platí 1. w uu uv = v u v v 1,. w u w v,. jsou-li u,v lieárě ezávislé, pak bázi < uvw,, > ozačíme za kladou bázi ve V. 1

13 Věta. u v = o u, v jsou lieárě závislé. Důkaz: 1. Předpokládejme, že u v = o, tj. u v = Podle pozámky.5.4 je u v = u v si ϕ. Odtud plye, že vektory uv, jsou lieárě ezávislé, tj. alespoň jede z vektorů uv, je ulovým vektorem, ebo ϕ =. Předpokládejme, že uv, jsou lieárě závislé, tj. v = ku, k /{ 0}. Odtud uu u ku dostaeme u v = u ku = = k ( uu ) k ( uu ) = Odtud plye, že kuu k uu vektor u v= o. Pozámka.1. Dva eulové vektory uv,, které jsou lieárě závislé, azveme kolieárí. Platí { } u= kv, kde k \ 0. Tvrzeí.. Nechť < i, j, k > je zvoleá kladá ortoormálí báze prostoru V a ( u1, v1, w1), resp. ( u, v, w ) jsou souřadice vektorů u, resp. v v této bázi. Pak vektor u v má vzhledem ke zvoleé bázi souřadice v w, u w, u v. v w u w u v Pozámky.. 1. Lze dokázat, že vektor u v, daý výše uvedeými souřadicemi splňuje vlastosti 1 z defiice.19.. Vektor v1 w1 u1 w1 u1 v1 u v = i j+ k v w u w u v i j k můžeme považovat za rozvoj determiatu u v = u1 v1 w1 podle prvků 1. řádku. u v w. Ortoormálí báze < i, j, k > má ve vektorovém prostoru vždy souřadice i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), i = (1,0), j = (0,1). podobě v je báze < i, j > vždy Příklad.4. Určete vektorový souči vektorů u= (1,,1), v = (,1, 0) V. 14

14 Řešeí: i j k u v= 1 1 = (0i+ j+k) ( i+ 0 j 4 k) = i+ j+ 5 k = ( 1,,5). 1 0 Pozámky Platí ru sv = ( rs)( u v ) (čísla rs, vytkeme z řádků determiatu z pozámky..).. Platí u v = ( v u) (vyplývá ze záměy řádků determiatu v pozámce..).. Z defiice.19, tvrzeí., pozámek. také vyplývají vlastosti ( u+ v) w = u w+ v w a u ( v+ w) = u v+ u w. 4. Pro velikost vektorového součiu platí uu uv u v = = ( u v ( u v) ) = ( u v u v cos ϕ) = v u v v 1 = ( u v (1 cos ϕ)) = u v si ϕ. Defiice.6. Nechť ( uvw,, ) je uspořádaá trojice vektorů z prostoru V. Souči ( u v) w azveme smíšeým součiem vektorů uvw,, (v tomto pořadí). Tvrzeí.7. Nechť < e, e, e > je kladá ortoormálí báze ve V a echť 1 ( u1, v1, w1), resp. ( u, v, w), resp. ( u, v, w), jsou souřadice vektorů u, resp. v, resp. w, vzhledem k této bázi. Pak platí u1 v1 w1 ( u v) w = u v w. u v w Pozámky Důkaz tvrzeí.7 lze provést rozvojem uvedeého determiatu podle prvků. řádku.. Následující vlastosti vyplývají z vlastostí determiatů a předchozích defiic a tvrzeí pro všechy,,, a,,. uvw x V rst 15

15 . ( ru sv) ( tw) = ( rst)(( u v) w). 4. (( u+ v) w) x= ( u w) x+ ( v w) x, ( u ( v+ w)) x= ( u v) x+ ( u w) x. 5. Smíšeý souči měí zaméko v souladu s počtem výmě řádků uvedeého determiatu. 6. Vektory u, v, w jsou lieárě závislé je uvedeý determiat rove 7. Tři lieárě závislé vektory uvw,, budeme azývat komplaárí. 8. Jsou-li u, v,w lieárě ezávislé, pak báze < uvw,, > je kladá, resp. záporá ( u v) w > 0, resp. ( u v) w< 9. Smíšeý souči měí zaméko spolu se změou orietace prostoru. Příklad.9. Zjistěte, zda vektory u= (1,,1), v = (0,4,1), w = (,0,) V jsou komplaárí. Řešeí: Platí 1 1 ( u v) w = = 1 4 8= 0 Z toho vyplývá, že uvw,, jsou komplaárí (lieárě závislé). Pojmy k zapamatováí: - velikost vektoru, jedotkový vektor, - úhel dvou vektorů, ortogoálí vektory, - báze vektorového prostoru, kartézská báze, - souřadice vektoru vzhledem k bázi, - kolieárí a komplaárí vektory. Kotrolí otázky: 1. Je ulový vektor o V kolmý ke všem vektorům V?. Které kartézské báze budeme obvykle užívat v prostorech ozačovat? a V V a jak je budeme. Vyjádřete pomocí pojmů lieárí závislost a ezávislost a pojmu lieárí kombiace vektorů skutečost, že dva vektory jsou kolieárí a tři vektory jsou komplaárí. 16

16 Cvičeí 1. Najděte matici přechodu od báze < (0,1, 1), (0,0,1), (1,1,0) > k bázi < (1,1,1), (0,0,1), (1,0,0) > v prostoru.. Vypočtěte skalárí souči a úhel vektorů u,v V, jestliže a) u= (1,1, 4), v = (1,, ), b) u= (,, 1), v = (1, 6,8). π. Pro vektory u,v V platí u = 5, v = 4 a pro jejich úhel platí ϕ =. Určete a) uv, b) u, v, c) ( u v ). 4. Najděte v1, w1, u, w tak, aby vektory (, v, w ), ( u, 4, w ), (6,, ) byly lieárě závislé Vypočtěte uv, jestliže u= 6i+ 4 j kv, = 5i j + k, kde < i, j, k > je ortoormálí báze prostoru. 6. Pro které hodoty rs, jsou vektory u= 5i+ j + sk, v = ri 6j + 8 k, kde < i, j, k > je ortoormálí báze, kolieárí? 7. Určete vektor x, který je kolieárí s vektorem u = (,1, ), jestliže platí x u= Vektor x je kolmý k vektorům (6,,0),(1,7,) R. Určete vektor x, jestliže platí x (4, 4, ) = 6, kde (4, 4, ). 9. Jsou dáy vektory (, 1,1), (1,,), (,, 1). Určete x, jestliže platí x (, 1,1) = 1, x (1,, ) = 1, x (,, 1) =. 1 Najděte souřadice vektoru u vzhledem k daé bázi: a) u b) u c) u = ( 10,7, 4), < (,1,), (,1, ), (5,, 4) >, = (15, 6,7), < (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) >, = ( 5,17, 11), < (1,,1), (,,7), (11,,) >. 11. Určete u v a u v, jestliže u= (1,,), v = (,,1). 17

17 1. Úhel vektorů uv, V π je ϕ = a u =, v = 4. Určete u v. 1. Jsou dáy vektory u= i+ k, v = i+ 4j. Určete vektor w = u v. 14. Jsou dáy vektory uvw,, a ortoormálí báze < i, j, k >, i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1). Určete smíšeý souči ( u v) w, jestliže a) u= (,,0), v = ( 1,0,1), w = (,1,1), b) u= 4i+ j kv, = i+ kw, = 4i j. 15. Zjistěte, zda jsou vektory uv,, w komplaárí: a) u= (,4,0), v = (5,4, ), w= (4,8,), b) u= (0,, ), v = (6,4, ), w= (,1,), c) u= 4i+ j + 5 kv, = i kw, = 8i+ 6j + 10k, kde < i, j, k > je ortoormálí báze jako v předchozím příkladu. 16. V prostoru V vypočtěte: π a) u v, jestliže úhel u, v je ϕ =, u = 6, v = 5, 6 b) u v, jestliže u v = 1, u = 10, v =, c) uv, jestliže u v= 7, u=, v= Vzhledem k ortoormálí bázi ve V je u= (, 1, ), v = (1,, 1). Určete a) u v, b) ( u+ v) v, c) ( u v) ( u+ v ). 18. V prostoru V π je úhel uv, rove, w uw, v. Vypočtěte ( u v) w, je-li 6 u = 6, v =, w =. Výsledky π π. a) 9, ϕ =, b) 0, ϕ =.. a) 10, b) 5, 16. c) u u v+ v = v 1 = 1, w 1 =, u = 1, w = r = 10, s= x = (9,, 6). 8. x = ( 6,1, 9). 9. x = (1, 4, 7). 1 a) u = (,, 1), b) u = (15, 6, 7), c) vektory etvoří bázi, jsou lieárě závislé. 11. u v = ( 4,8, 4), u v = u v = 6. 18

18 1. w = ( 4, 1,1). 14. a) 7, b) a) ao, b) e, c) ao. 16. a) 15, b) 16, c) ± 17. a) (5,1,7), b) (10,,14), c) (0,4,8). 18. ± 7.. Afií prostory Klíčová slova: umístěí vektoru, bod afiího prostoru, afií přímka, rovia, prostor, aritmetický afií prostor, afií repér, souřadice bodu vzhledem k repéru, dělící poměr bodů. Cílem kapitoly je uvést základí pojmy pro studium aalytické geometrie a přímce, v roviě a v prostoru. Defiice.1. Nechť A je eprázdá možia, V vektorový prostor a echť zobrazeí : A A V přiřazuje každé uspořádaé dvojici ( XY A A, ) vektor u = Y X V. Pak uspořádaou dvojici ( XY, ) azveme umístěím vektoru u = Y X V. Defiice.. Možiu A spolu s vektorovým prostorem V a zobrazeím azveme afiím prostorem, jestliže platí: (A1) X A u V! Y A : u = Y X V, (A) XYZ,, A : ( Y X) + ( Z Y) = Z X. Pozámky.. 1. Prvky z A budeme azývat body.. Často budeme umístěí u = Y X azývat vektorem Y X.. Jestliže vektorový prostor z defiice. je dimeze, pak příslušý afií prostor A ozačíme A. 4. A 1 azýváme afií přímkou. 5. A azýváme afií roviou. 6. A azýváme afiím prostorem. 19

19 7. Příslušý vektorový prostor V azýváme zaměřeím afiího prostoru A. 8. Každý vektor ze zaměřeí A 1, tj. přímky, azveme směrovým vektorem přímky. 9. Zobrazeí idukuje zobrazeí + : A V A takové, že uspořádaé dvojici ( X, u) A V přiřazuje bod Y A právě když Y X = u. Budeme psát X + u = Y. 1 Body P0, P1, P budeme azývat lieárě ezávislé, resp. lieárě závislé, jestliže vektory P1 P0, P P0,, P P0 jsou lieárě ezávislé, resp. lieárě závislé. Příklad.4. Ukažte, že A a, možia bodů, možia = kde možia a = {[ x1, x,, x ]: xi } ( x, x,, x ): x } = { 1 operace :[ y1, y,, y] [ x1, x,, x] = ( y1 x1, y x,, y x) tvoří afií prostor. Řešeí: Skutečě pro každý bod [ x1, x,, x] a a každý vektor ( u1, u,, u ) existuje právě jede bod [ 1 1, i x + u x + u,, x + u ] tak, je je aritmetický vektorový prostor a že platí [ x + u, x + u,, x + u ] [ x, x,, x ] = ( u, u,, u ). Z toho vyplývá, že axiom (A1) je splě. Pro každé tři body [ x1, x,, x], [ y1, y,, y] a [ z1, z,, z] a platí: ([ y, y,, y ] [ x, x,, x ]) + ([ z, z,, z ] [ y, y,, y ]) = = ( y x, y x,, y x ) + ( z y, z y,, z y ) = ( z x, z x,, z x Z toho vyplývá, že axiom (A) je splě. Aritmetický vektorový prostor je zaměřeím afiího prostoru. Prostor budeme a a ). azývat aritmetickým afiím prostorem dimeze. Věta.5. V afiím prostoru A existuje alespoň jeda možia lieárě ezávislých bodů. Každá možia +1 bodů je lieárě závislá. Důkaz: Zvolíme P A a libovolou bázi 0 { } < u1,, u > ze zaměřeí V. Body Pi = P0 + u i, i 1,,, jsou zřejmě lieárě ezávislé. Druhá část tvrzeí vyplývá z lieárí závislosti + 1 vektorů ve V. 0

20 Podobě jako pojem vektorového podprostoru je důležitý pojem afií podprostor afiího prostoru. Mějme yí afií prostor A se zaměřeím V. Zvolíme bod P A, k W vektorový podprostor prostoru V, kde 1 k. Vytvoříme možiu k k L = { X A : X = P+ uu, W } A. Pro libovolé dva body X = P+ u, Y k k k = P+ v L, kde uv, W, pak platí X Y = ( P+ u) ( P+ v) = u v W. Navíc pro k k k každý bod X L a každý vektor u W existuje právě jede bod Y = X + u L. Operace k k k k je zúžeím a možiu L L. Možia L je eprázdá, eboť platí P L. Z této úvahy vyplývá přímo ásledující tvrzeí. Tvrzeí.6. Možia L k spolu s vektorovým prostorem W k a zúžeím zobrazeí je afiím prostorem dimeze k. Defiice.7. Možia L k spolu se zaměřeím W k a zobrazeím se azývá afiím, také lieárím podprostorem prostoru A. Pozámky.8. k 1. Zřejmě platí, že pro daý bod P a daé zaměřeí W prostoru A existuje právě jede afií podprostor L k.. Afií prostor A má lieárí podprostory L 1 (afií přímku), L (afií roviu) a L (afií prostor).. Afií rovia A má lieárí podprostory L 1 (afií přímku) a L (afií roviu). 4. Přirozeým způsobem lze rozšířit pojem dimeze vektorového prostoru pro = Příslušý afií prostor 0 A je pak jedoprvková možia, tedy bod Bod můžeme považovat za lieárí podprostor L přímky, roviy a prostoru. Příklad.9. Ukažte, že možia L = {[ xy,,0]: xy, } W = {( uv,,0): uv, } Řešeí: Pro každý bod [,,0] se zaměřeím je afiím podprostorem aritmetického afiího prostoru. a x y L k a vektor ( uv,,0) W platí [ xy,,0] + ( uv,,0) = [ x+ uy, + v,0], tj. existuje právě jede bod [ x+ u, y+ v,0] L k tak, že platí [ ] [ ] x+ u, y+ v,0 x, y,0 = ( u, v,0) W. Pro [,,0],[,,0] a [,,0] x y x y x y L platí: 1 1 1

21 ([ ] [ ]) ([ ] [ ]) x, y,0 x, y,0 + x, y,0 x, y,0 = ( x x, y y,0) + ( x x, y y,0) = = ( x x, y y,0) W. 1 1 Defiice.1 Budiž A afií prostor se zaměřeím V. Afiím repérem v prostoru A azveme každou uspořádaou dvojici ( O, < u1, u,, u > ), kde O A a < u1, u,, u > je báze vektorového prostoru V. Bod O azveme počátkem afiího repéru. Pozámka.11. Každých + 1 lieárě ezávislých bodů OP, 1, P,, P z A tvoří afií repér O < P O P O P O> (, 1,,, v A. Z předchozích úvah a vlastostí báze vektorového prostoru vyplývá ásledující tvrzeí. Tvrzeí.1. Pro každý bod X A a repér ( O, < u1, u,, u > ) existují jedozačě x1, x,, x tak, že platí X = O+ x + x + + x 11 u u u. (.1) Defiice.1. Nechť platí (.1), kde ( O, < u1,, u > ) je repér afiího prostoru. Pak čísla x1, x,, x azveme souřadicemi bodu X A vzhledem k repéru. Pozámky Skutečost, že bod X má souřadice x1, x,, x zapíšeme ve tvaru [ ] X = x 1, x,, x.. Je zřejmé, že bod O A má vzhledem k repéru ( O, < u1, u,, u > ) vždy souřadice 0,0,,0, tj. O = [ 0,0,, 0 ].. Body jsou yí reprezetováy uspořádaými -ticemi [ x1, x,, x a a vektory ze zaměřeí uspořádaými -ticemi ( u1,, u ), proto platí: [ ] [ ] Y X = y, y,, y x, x,, x = ( y x, y x,, y x ) [ ] [ ] X + u = x, x,, x + ( u, u,, u ) = x + u, x + u,, x + u a, pro všechy u = ( u1, u,, u ). 4. Platí X O = ( x 0, x 0,, x 0) = ( x, x,, x ) 1 1 vektor X O azýváme polohovým vektorem bodu X = [ x x x ] ; ] 1,,,.,

22 5. Z předchozí vlastosti souřadic bodu X a souřadic jeho polohového vektoru X O vyplývá, že pro počítáí s bodem s vektory. X můžeme využít vlastostí (V1) (V8) pro počítáí [ ] Příklad.15. Určete souřadice bodu X = 1, 0,1 a vzhledem k repéru ( O, < uvw,, > ), kde u= (1,1,1), v= ( 1,1,1), w= (0,0,1). Řešeí: Ze vztahu (.1) tvrzeí.1 vyplývá [1,0,1] = [0,0,0] + x(1,1,1) + y( 1,1,1) + z(0,0,1). Dostaeme soustavu lieárích rovic x y= 1, x+ y= 0, x+ y+ z= 1. Odtud vyřešíme x=, y =, z = 1, tj. X = [,,1]. Budeme yí defiovat pojem dělícího poměru, který je pro afií geometrii velmi důležitý, jak později uvidíme. Defiice.16. Nechť A je afií prostor a AB, jeho dva od sebe růzé body. Jestliže X A, X B, pak dělícím poměrem bodu X vzhledem k bodům azveme číslo λ daé vztahem AB, (v tomto pořadí) které ozačíme λ = ( ABX ). X A= λ( X B), Pozámka.17. Z defiice.16 vyplývá, že ( ABX ) 1pro všechy X A a ( ABX ) = 0 X = A. V dalším studiu se budeme zabývat postupě vlastostmi afií přímky A 1, roviy A a prostoru A. Zaměříme se a vzájemou polohu lieárích podprostorů v roviě a v prostoru. Pojmy k zapamatováí: - afií prostor, - zaměřeí afiího prostoru, - směrový vektor přímky, - body lieárě závislé a ezávislé, - afií podprostor afiího prostoru,

23 - polohový vektor bodu. Kotrolí otázky: 1. Dovedete vysvětlit rozdíl mezi vektorem a jeho umístěím? 1. Kolik a jaké vektory určují zaměřeí prostorů A, A a A? 1. Zkuste vyjmeovat afií podprostory prostorů A, A a A. 4. Jaké umístěí vektoru azýváme polohovým vektorem bodu? Cvičeí Ve cvičeích 1 7 rozhoděte, zda daá možia bodů A spolu se zaměřeím V ad T a zobrazeím 1. A = a, V, T, : tvoří afií prostor. Ověřte platost axiomů (A1) a (A). = = je defiováo tak, že [ η, η,, η ] [ ξ, ξ,, ξ ] = ( η ξ, η ξ,, η ξ ), kde η, ξ A = a, V = 4 =, T, : a a je defiováo tak, že [ x, y, z ] [ x, y, z ] = ( x x, y y, z z, y y ) [, ] :, V =, T =, : A A je defiováo tak, že. A = { x y y = x } [ x, y ] [ x, y ] = ( x x ) [, ] :, V =, T =, : A A je defiováo tak, že 4. A = { x y y = x } [ x, y ] [ x, y ] = ( y y ) [, ] : 1, V =, T =, : A A je defiováo tak, že 5. A = { xy x + y = } [ x, y ] [ x, y ] = ( x x ) [, ] : 1, 0, V =, T =, : A A je defiováo tak, 6. A = { xy x y = x< } že [ x, y ] [ x, y ] = ( y y ) A = a, V =, T =, : a a je defiováo tak, že [ x1, y1] [ x, y] ( x1 x, x1 x ), y1 y y1 y = + + pro y1 0, y 8. Určete souřadice bodů X = [1,1,1], O = [1, 0, 1] a vzhledem k repéru ( O, < uvw,, > ), kde u= (1,0,0), v = (0,0,1), w = (1, 1,1). i i 4

24 9. Určete souřadice bodů X = [,0,1 i + i], Y = [0,1, i] a vzhledem k repéru ( O, < uvw,, > ), kde O = [1,0,0],u=( i,0,0), v= (0, i,0), w = (0,0, i). a 1 Určete souřadice bodů X = [ + i, i], Y = [ i, i], Z = [1,1] a vzhledem k repéru ( O, < uv, > ), a kde O = [,1 i i],u=(1, i), v= (0,1 + i). 11. Určete souřadice bodů X = [0,0], Y = [ i, i] a vzhledem k repéru ( O, < uv, > ), kde a,u v O = [1 + i,1 i] = ( i,1 + i), = ( i,1 i). 1. Určete souřadice bodů X = [ 1,1,0], Y = [ i, i,] a vzhledem k repéru ( O, <i, j, k > ), kde O = [0,0,0],i=(1,0,0), j= (0,1,0), k = (0,0,1). Výsledky a 1. ao.. e.. ao. 4. e. 5. e. 6. ao. 7. ao. 8. X = [1,, 1], O = [0,0,0]. 9. X = [1 + i,0,1 i], Y = [ i, i, 1] i + i X = [, ], Y = [ i, + 7 i], Z = [1 i, ] i 1+ i 1+ 4i 1+ i X = [, ], Y = [, ]. 1. X = [ 1,1,0], Y = [ i, i,]. 4. Afií přímka (A 1 ) Klíčová slova: afií repér přímky. Cílem kapitoly je sezámit se se souřadicemi a přímce. Pro zaměřeí 1 V afií přímky zřejmě platí ásledující tvrzeí. Tvrzeí 4.1. Jestliže u V 1, pak pro všechy vektory v V 1 platí, že existuje právě jedo k tak, že v = ku. Pozámky Afií podprostory přímky A 1 0 jsou její body A ebo sama přímka A. Afií repér přímky je uspořádaá dvojice ( O, < u > ), kde O A 1 a u V 1.. Každý bod přímky A 1 lze při zvoleém repéru ( O, < u > ) zapsat jedozačě ve tvaru 1. X = O+ xu, kde x je souřadice bodu X vzhledem k daému repéru, což zapíšeme ve 5

25 tvaru X = [ x]. Věta 4.. Nechť body ABX,,, kde A B, leží a přímce A se zaměřeím V a echť je 1 dá repér ( O, < u > ) v A. Jestliže je A= [ x1], B= [ x], X = [ x] vzhledem k daému repéru, pak platí x x ( ABX ) = 1. x x Důkaz: Z defiic.1 a.1 vyplývá u= ( x x1), v = ( x x ). x x Z defiice.16 pak dostaeme u= λv, tj. x x 1 1 = λ( x x) λ =. x x Věta 4.4. Jsou-li A= [ x1], B= [ x] A 1 dva od sebe růzé body a λ \1, { } pak 1 1 existuje a přímce 1 A právě jede bod X [ x] = takový, že ( ABX ) = λ a platí x = x λx 1 λ 1. x x Důkaz: Jsou-li splěy předpoklady této věty, platí λ = 1. Tato rovice má pro λ 1 x x x x právě jedo řešeí, tj. existuje právě jede bod X = [ x]. Vyřešeím rovice λ = 1 x x x dostaeme 1 λx x =. 1 λ Příklad 4.5. Určete souřadice středu úsečky AB, kde A= [ x1], B= [ x]. Řešeí: Pro střed S = [ x ] úsečky AB platí: S A= ( S B), tj. ( ABS) = 1. Dosadíme do vzorce z věty 4.4 a dostaeme x1 ( 1) x x1+ x 1 x = =, tj. S = [ ( x1+ x)]. 1 ( 1) 5. Afií rovia (A ) Klíčová slova: parametrické rovice přímky v obecá rovice přímky v A, svazek přímek. A, Cílem kapitoly je sezámit se se základími polohovými úlohami mezi podprostory roviy. 6

26 V této kapitole předpokládáme, že body patří do afií roviy A. Afií podprostory 1 L prostoru A (viz defiice.7) azýváme přímkami a začíme je malými písmey abecedy. Budeme používat pojem směrový vektor, viz pozámka..8. Bude-li bod a přímce p, zapíšeme to vztahem X p. X ležet Věta 5.1. Bod X = [ x, y] leží a přímce, která je určeá bodem A= [ x, y ] a p 0 0 eulovým směrovým vektorem u = ( uv, ), právě když pro jeho souřadice x, y platí x= x + ut, y= y + vt, t. 0 0 Důkaz: Bod X p X A= ut A+ ( X A) = A+ ut X = A+ ut ( x= x + ut y= y + vt, t ). 0 0 Defiice 5.. Jestliže je přímka p dáa bodem A= [ x0, y0] a eulovým směrovým vektorem u = ( uv, ), pak rovice x= x + ut, y= y + vt, t, (5.1) 0 0 azýváme parametrickými rovicemi přímky Pozámky 5.. p v roviě. 1. Reálé číslo t z rovice (5.1) budeme azývat parametrem.. Parametr t je afií souřadicí bodu X = [ x, y] a přímce p vzhledem k repéru ( A, < u >).. Nechť je přímka p dáa dvěma od sebe růzými body A= [ x1, y1], B= [ x, y], pak rovice x = x1+ ( x x1) t, y= y1+ ( y y1) t jsou pro t parametrickými rovicemi přímky p, pro t 0 parametrickými rovicemi polopřímky daé bodem A obsahující bod B, pro t 0 eobsahující bod B a pro t < 0,1 > rovicemi úsečky AB. 4. Přímku p daou bodem A a směrovým vektorem u ozačíme p= ( A, u ). 5. Tvrzeí věty 4.4 lze aalogicky rozšířit pro roviu A, tj. jsou-li A= [ x1, y1], B= [ x, y] A dva od sebe růzé body a λ \1, { } pak v A existuje právě jede bod X = [ x, y] takový, že ( ABX ) = λ a platí x 1 λ x, y 1 λ y x= y=. 1 λ 1 λ 7

27 Defiice 5.4. Nechť je dá afií repér ( O, < uv, > ) v afií roviě, pak bod O a přímky ( O, u) a ( O, v) ( O, < uv, > ). azveme afií soustavou souřadic v roviě vzhledem k repéru Příklad 5.5. Ukažte, že střed úsečky S = [ x, y] s krajími body A= [ x1, y1], B= [ x, y] má souřadice 1 1 ( 1 ), ( 1 ). x = x + x y = y + y Řešeí je aalogické řešeí příkladu 4.5. Příklad 5.6. Dokažte, že těžiště T = [ x, y] trojúhelíka ABC, kde 1 A= [ x1, y1], B= [ x, y], C = [ x, y], má souřadice x = ( x1+ x+ x), 1 ( 1 ). y = y + y + y Řešeí: Střed S stray AB má souřadice x = 1 ( x 1 1+ x), y = ( y1+ y). Dělící poměr 1 1 x ( CST ) =. Z toho vyplývá 1+ x T C = ( )( T S) T = ( C+ S) ( x= ( x + ) y + y y = y + x= x + x + x y= y + y + y ( )) ( ( 1 ) ( 1 )). Příklad 5.7. V trojúhelíku ABC jsou dáy směrové vektory u= (1, 7), v = ( 5,1) stra procházejících vrcholem souřadice vrcholů BC,. A = [, ] a střed P = [ 1,1] protější stray k vrcholu A. Určete Řešeí: Ozačme B= [ xb, yb], C = [ xc, yc], pak existují t1, t tak, že platí x = + t, x = 5t B 1 C y = 7 t, x = +t. B 1 C Dostaeme B= [ + t1, 7 t1], C = [ 5 t, + t]. Pro bod P je, P= ( B+ C) a z toho plye 1 = (+ t1+ 5 t) a 1 = ( 7t1 + t ). Odtud je t 5t = 6, 7t + t = 8. Vyřešeím této soustavy rovic dostaeme t 1 = 1, 1 1 t = 1. Pro hledaé souřadice platí B= [1,4], C = [, ]. 8

28 Věta 5.8. Body X = [ x, y], kde x, y, jsou body právě jedé přímky p v afií roviě při zvoleém afiím repéru, právě když platí ax + by + c = 0, kde abc,, a a + b Důkaz: 1. Uvažujme přímku p= ( A, u), kde A= [ x0, y0] a u = ( u, v). Bod X = [ x, y] leží a přímce p, právě když je vektor X A= ( x x0, y y0 ) kolieárí s vektorem u = ( uv, ), tj. x x y y u 0 0 v = 0 vx uy ( vx uy ) = 0 0 Vektor u o a tedy alespoň jedo z čísel uv, je růzé od uly. Položíme v= a, u= b, ( vx0 uy0) = c a dostaeme rovici ax + by + c =. Předpokládejme, že platí ax + by + c = 0, kde a Odtud dostaeme c b x = y. a a Položíme y= at, t a dostaeme rovici c x = bt, y = at, což jsou a c parametrické rovice přímky daé bodem A =,0 a a směrovým vektorem Podobě pro b Předpokládejme, že budou existovat dvě růzé přímky p a q, které mají rovici ax + by + c = Pak existuje bod P = [ x, y ] takový, že P p P q, 1 1 u = ( ba, ). tj. ax + by + c = 0 ax + by + c 0, což je spor s předpokladem. Defiice 5.9. Rovici ax + by + c = 0, kde a + b 0 azýváme obecou rovicí přímky v afií roviě. Pozámky Bod X [ ] = x0, y0 p : ax + by + c = 0 ax0 + by0 + c =. Má-li přímka p rovici ax + by + c = 0, pak každá rovice ka ( x+ by+ c) = 0, kde k \{ 0} je také rovicí přímky p.. Rovici ( x x ) v ( y y ) u= 0 získaou z prví části důkazu věty 5.8 lze pro u 0 upravit a tvar 0 0 v y y0 = k( x x0), kde k = ; k azýváme směricí přímky a uvedeý u tvar rovice azýváme směricovým tvarem. 9

29 4. Je-li přímka dáa dvěma od sebe růzými body A [ x, y ], B [ x, y ], = = pak její rovici 1 1 lze zapsat ve tvaru x x1 y y1 x x1 y y1 = 0, protože vektory X A, B A jsou kolieárí. y 5. Pro x x 1 0 lze tuto rovici upravit a směricový tvar y y y 1 1 = ( x x 1), tj. x x y směrice y k = 1. x x 1 1 Věta Vektor u = ( uv, ) je směrovým vektorem přímky p: ax+ by+ c= 0, právě když au + bv = Důkaz: 1. Zvolíme umístěí vektoru u = B A= ( x x1, y y 1), kde dostaeme a ( x x ) + b( y y ) = 0, tj. au + bv = A= [ x, y ], B= [ x, y] p, A B. Z toho vyplývá ax1+ by1+ c = 0 ax+ by+ c = Odtud Nechť platí au + bv = Umístíme vektor u = B A, kde A p, A B. Pak můžeme zapsat rovici au + bv = 0 ve tvaru ax ( x1) + by ( y1) = Odtud je ax+ by+ c ax1 by1 c = Bod A p a tedy ax1+ by1+ c = 0, tj. ax+ by+ c = To zameá, že bod B p a tedy vektor B A je směrovým vektorem přímky p. Pozámka 5.1. Každý vektor rb (, a), ax + by + c = kde { } r \ 0, je směrovým vektorem přímky Příklad 5.1. Je dáa přímka p parametrickými rovicemi x = x0+ ut, y= y0+ vt. Určete její obecou rovici. Řešeí: Z prví části důkazu věty 5.8 vyplývá, že obecá rovice přímky je x x y y u 0 0 v = 0 vx uy ( vx uy ) = 0 0 Příklad Je dáa přímka p obecou rovicí ax + by + c = Určete její parametrické rovice. 0

30 c b Řešeí: Tak, jako ve druhé části důkazu věty 5.8 předpokládejme a 0, pak x = y. a a Položíme c y = at a parametrické rovice přímky jsou x = bt, y = at. Je-li a = 0, zvolíme a podobý postup pro b Nyí se budeme zabývat vzájemou polohou afiích podprostorů afií roviy. V ásledujícím budeme uvažovat obecou rovici přímky. Bude-li přímka dáa parametrickými rovicemi, lze postupem z příkladu 5.1 převést tyto rovice a rovici obecou. Níže uvedeá tvrzeí vyplývají přímo z předchozích defiic a vět. 1. Vzájemá poloha bodu X [ x, y ] = a přímky p: ax+ by+ c= Tvrzeí X p ax0+ by0+ c = Tvrzeí X p ax0+ by0+ c. Vzájemá poloha přímek p: a1x+ b1y+ c1= 0, q: ax+ by+ c = 0 Tvrzeí Přímky pq, mají společý právě jede bod, resp. všechy body společé, resp. emají společý žádý bod, právě když soustava lieárích rovic ax+ by+ c = 0, a x+ b y+ c = má právě jedo řešeí, resp. ekoečě moho řešeí, resp. emá řešeí. Defiice Přímky pq,, které mají právě jede společý bod, resp. všechy body společé, resp. emají společý bod, budeme azývat růzoběžé, resp. totožé, resp. rovoběžé. Pozámky Přímky pq, jsou růzoběžé. Přímky pq, jsou rovoběžé. Přímky pq, jsou totožé a1 b1 a b a1 b1 a1 b1 c1 = 0 h =. a b a b c a1 b1 c1 h = 1. a b c 1

31 Příklad 5. Rozhoděte o vzájemé poloze přímek p :x y+ 1= 0, q: x= t, y=. t Řešeí: Obecá rovice přímky q je x y = 0, tj. x y = 0. 1 a) Podle tvrzeí 5.17 budeme řešit soustavu rovic x y+ 1= 0 x y= 0 1= To je výrok epravdivý a tedy soustava emá řešeí, přímky jsou rovoběžé. b) Podle pozámek h = = přímky jsou rovoběžé. Defiice 5.1. Možia všech přímek v roviě A procházejících bodem S A se azývá svazek přímek 1. druhu, bod rovoběžých přímek roviy Pozámky 5.. S A i = i + i + i pro i N. se azývá středem svazku. Možia všech vzájemě se azývá svazek přímek. druhu ebo osova přímek. 1. Svazek přímek je jedozačě urče dvěma od sebe růzými přímkami.. Ozačíme L( X) ax by c Věta 5.. Nechť p1: L1( X) = 0 a p: L( X) = 0 jsou přímky určující svazek přímek 1. druhu. Přímka p patří daému svazku 1. druhu, právě když má rovici kde λ11 L ( X) + λl( X) = 0, (5.) 1,, 1 + λ λ λ λ Důkaz: 1. Nechť p patří svazku daému přímkami p1, p, pak platí ásledující tvrzeí. a) Jestliže p= p 1, pak λ 1 L 1 ( X) = 0, kde λ 1 0, λ = b) Jestliže p= p, pak λ L ( X) = 0, kde λ 1 = 0, λ c) Jestliže p p 1 a zároveň p p, pak zvolíme bod P p, kde P S. Odtud dostaeme L1( P ) 0 a L( P) Položíme λ1= L( P), λ = L1( P). Budeme uvažovat přímku L( P) L1( X) L1( P) L( X) = Tato přímka patří daému svazku a ze vztahu L( P) L1( P) L1( P) L( P) = 0 vyplývá, že prochází bodem P. Přímka p má tedy rovici tvaru (5.).. Dokážeme, že přímka p: λ L ( X) + λ L ( X) = 0, kde λ + λ 0, prochází

32 průsečíkem S = p 1 p. Její rovici upravíme a tvar ( λ a + λ a ) x+ ( λb + λ b ) y+ λc + λ c = (5.) Z defiice 5.9 vyplývá ( λ11 a + λa) + ( λ11 b + λ b ) Rovice (5.) je tedy rovicí přímky. Platí L1( S) = 0 a L( S) = 0, z toho vyplývá λ11 L ( S) + λl( S) = 0 a tedy S leží a přímce Pozámky 5.4. p: λ L ( X) + λ L ( X) = Rovici (5.) budeme azývat rovicí svazku přímek 1. druhu se základími přímkami p1, p.. Dvojic parametrů λ1, λ pro přímku patřící svazku je ekoečě moho. Jedozačě je urče jejich poměr. Věta 5.5. Nechť p1: L1( X) = 0 a p: L( X) = 0 jsou přímky určující svazek přímek. druhu. Přímka p patří daému svazku. druhu, právě když má rovici λ 11 L ( X) + λl( X) = 0, (5.4) kde čísla λ1, λ ejsou řešeím soustavy rovic 11 a + a= 0, 11 b + b = (5.5) λ λ λ λ Důkaz: 1. Nechť p patří svazku daému přímkami p1, p, pak platí ásledující tvrzeí. a) Jestliže p= p1, pak λ1l1( X) = 0, kde λ1 0, λ = 0 a tedy λ1, λ ejsou řešeím soustavy (5.5). b) Jestliže p= p, pak λl( X) = 0, kde λ1= 0, λ 0 a tedy λ1, λ ejsou řešeím soustavy (5.5). c) Jestliže p p 1 a zároveň p, p pak zvolíme bod. Dostaeme L ( P) 0 a L ( P) 1 Položíme λ1= L( P), λ = L1( P) a dokážeme sporem, že evyhovují soustavě (5.5). Předpokládejme, že platí a L P a L P b L P b L P 1 ( ) 1( ) = 0 a zároveň 1 ( ) 1( ) = (5.6) Z rovoběžosti přímek 1, p p vyplývá a ra b rb r { } 1, 1, kde \ 0. = = Z rovice (5.6) dostaeme a ( L ( P) rl ( P)) = 0 a zároveň b ( L ( P) rl ( P)) = a odtud je

33 L P rl P ( ) = 1( ). Pro bod P= [ x0, y0] bude mít tato rovice tvar ax 0+ by 0+ c= rax ( 1 0+ by 1 0+ c1 ). Z toho vyplývá, že p 1= p, což je spor s předpoklady věty.. Dokážeme, že přímka p : λ1l 1(X) + λl (X) = 0, kde λ1, λ ejsou řešeím soustavy (5.5) je rovicí přímky. Upravíme rovici přímky ( λ a + λ a )x + ( λ b + λ b )y+ λc + λ c = p a tvar Platí ( λ a λ a ) ( λ b λ b ) Upraveá rovice je tedy rovicí přímky. Platí: a b a b a a = λ1 + λ 11 a + a 11 b + b a1 b1 b1 b λ λ λ λ = Odtud plye, že přímky p,p 1 jsou rovoběžé. Podobě platí, že přímky p,p jsou rovoběžé. Pozámka 5.6. Pro svazky. druhu platí pozámky 5.4. Příklad 5.7. Průsečíkem přímek p:x 5y 1= 0, q: x+ 4y 7= 0veďte přímku, která dělí úsečku s krajími body A= [4, ], B= [ 1,] v poměru :. Řešeí: Přímka, patřící svazku, který je urče přímkami pq, bude mít rovici 1(x 5y 1) + λ( x+ 4y 7) = 0 a bude procházet bodem P= [ x0, y0], pro který platí λ ( ABP ) =. Podle věty 4.4 a pozámky 5..5 lze určit x 1 λ x 1 0 a y λ y x = y0 =, 1 λ 1 λ x0 = a y0 = 1, tj. P = [, 1]. Dosadíme do rovice hledaé přímky a dostaeme 8λ 9λ = Položíme λ = 8. Pak je λ 1 = 9. Dostáváme rovici přímky 1 9(x 5y 1) + 8( x+ 4y 7) = 0, tj. x y 5= Věta 5.8. Tři růzé přímky p : a x b y c 0, i { }. druhu, právě když + + = 1,,, patří témuž svazku 1. ebo i i i i tj. 4

34 a1 b1 c1 a b c a b c = Důkaz: 1. Nechť p i patří témuž svazku, tj. L( X) = λ1l1( X) + λl( X). Odtud vyplývá, 1 λ že a = λ1a1+ λa, b = λ1b1+ λb, c = λ1c1+ λc, kde λ + Třetí řádek determiatu je lieárí kombiací prvího a druhého řádku. Z toho vyplývá, že determiat je rove. Naopak, determiat je rove ule, jestliže je jede řádek lieárí kombiací ostatích, apř. dostaeme a = λ1a1+ λa, b = λ1b1+ λb, c = λ1c1+ λc, λ1 + λ L X L X L X ( ) = λ1 1( ) + λ ( ) a tedy p1, p, p patří témuž svazku. Odtud Příklad 5.9. Určete rovici přímky, která prochází průsečíkem přímek p1:5x+ y = 0, p:x y 4= 0 a průsečíkem přímek q 1 : x y+ 1= 0, q : x y = Řešeí: Hledaá přímka p má rovici 1(5x+ y ) + λ(x y 4) = 0, tj. (5λ 1 + λ x λ 1 λ y λ 1 λ λ s přímkami q1, q patří témuž svazku, tj. 5λ1+ λ λ1 λ λ1 4λ = 1 ) + ( ) + ( 4 ) = Spolu Dostaeme 5λ1+ λ = Zvolíme λ 1 = 1 a dostaeme λ = 5. Po dosazeí do rovice přímky p a po úpravě je její rovice 5x y 7= Pojmy k zapamatováí: - parametrické rovice přímky, parametr, - afií soustavy souřadic v roviě, - obecá rovice přímky, - směricový tvar přímky, směrice, - svazek přímek 1. a. druhu 5

35 Kotrolí otázky: 1. Rozhoděte, které části přímky x = 1 + t, y= 1+ t jsou určey pro t < 1,1 >, t <, ), t (, > a t < 1,1 > (,).. Jaká podmíka pro koeficiety abc,, musí být splěa, aby ax + by + c = 0 byla rovice přímky?. Rozmyslete, proč mohou v roviě existovat pouze přímky růzoběžé, totožé a rovoběžé. 4. Jak pozáte, že je dá svazek přímek 1. druhu ebo. druhu, je-li dá dvěma od sebe růzými přímkami? Cvičeí 5 1. Určete souřadice vrcholů trojúhelíka, jsou-li dáy středy P = [, ], R = [ 4,] jeho stra. Q = [1, 6],. Určete souřadice vrcholu C trojúhelíka, jsou-li dáy jeho vrcholy B = [,] a těžiště T = [1,1]. A = [4, ],. Staovte souřadice vrcholů BC, trojúhelíka, je-li dá jeho vrchol A = [1, 4], střed P = [,] stray AB a těžiště T = [,1]. 4. Určete obecou rovici přímky, která protíá souřadicové osy ve dvou bodech, jejichž afií střed je bod P = [, 1]. 5. Určete parametrické rovice přímky určeé a) bodem A = [,5] a směrovým vektorem u = (5,4), b) body A= [, ], B= [5,1]. 6. Rozhoděte, který z bodů A= [5,], B= [,5] leží a přímce p : x= 1+ t, y= 5 t. 7. Určete číslo m tak, aby přímka p : x= + mt, y= 1+ t procházela bodem A = [ 4,1]. 8. Určete obecou rovici přímky a) x = 1 t, y= 4 7 t, b) x = 4, t y=, t c) x = 6, y= t. 9. Napište obecou rovici přímky, která je dáa a) bodem A = [,5] a směrovým vektorem u = (5,4), b) body A= [, ], B= [5,1]. 1 Určete (ěkteré) parametrické rovice přímky, jejíž obecá rovice je a) 4x 5 y+ 17= 0, b) x+ 4 y= 0, c) x + 5= 11. V afií roviě A určete obecé rovice souřadicových os x= ( O, i), y= ( O, j ), určeých afiím repérem ( O, < i, j > ), O= [0,0], i = (1,0), j = (0,1). 1. Rozhoděte o vzájemé poloze přímek a) p : x= 5+ 4 t, y= t, q: x= 1 t, y= 7 + t, 6

36 b) p : x= + t, y= t, q: x=, t y=. t 1. Určete souřadice průsečíku P úhlopříček čtyřúhelíka A= [,1], B= [,9], C = [7,6], D= [, 6]. 14. Napište parametrické rovice přímek, které procházejí vrcholy trojúhelíka A= [ 1,], B= [, 1], C = [0,4] rovoběžě s protější straou. 15. Rozhoděte o vzájemé poloze přímek a) p: x+ y = 0, q:x+ y 8= 0, b) p: x y+ 5 = 0, q: x y+ = 0, c) p :x 5y 7= 0, q: x= + t, y= 9 t, d) p :6x y+ 5= 0, q: x= 5 + t, y= + t. 16. Stray trojúhelíka leží a přímkách o rovicích 5x y+ 6= 0, 4x y+ = 0, x+ y 7= Napište obecé rovice přímek, které procházejí vrcholy trojúhelíka rovoběžě s protější straou. 17. Zjistěte, zda se přímky o daých rovicích protíají v jedom bodě: a) x+ y 1 = 0, 4x 5y+ 5 = 0, x y+ = 0, b) x y+ = 0,5x+ y 7= 0, x y 4= 18. Ve svazku přímek se základími přímkami o rovicích x+ y 5= 0,x y+ 1= 0 určete přímku, která a) prochází bodem P = [, 1], b) prochází počátkem O = [0,0], c) je rovoběžá s přímkou 4x+ y 5= 19. Určete číslo m tak, aby přímka o rovici 4x y+ m= 0 procházela průsečíkem přímek o rovicích x+ y 9= 0,x+ 5y+ 5= Výsledky 1. [, 6], [8,],[ 6,10].. C = [1,].. B = [ 5,0], C = [, 1]. 4. x y 4 = 5.a) x = + 5 t, y= 5+ 4 t,b) x= + t, y= +. t 6. A ao, B e. 7. m=.8. a) 7x y+ 5 = 0, b) x+ 4y= 0, c) x+ 6 = 9. a) 4x 5y + 17= 0, b)x y 1= 1 Např. a) x = + 5, t y= 5+ 4,b) t x= 4, t y=,c) t x= 5, y= t. 11. y= 0, x= 1. a) rovoběžé, b) růzoběžé, průsečík P= [15, 10],1. P= [1,]. 14. Např. x = 4, t y= 4 ; t 1 x =, t y = 5; t x = t, y= 7+ t. 15. a) růzoběžé, průsečík P = [1, ], b) rovoběžé, c) růzoběžé, průsečík P = [ 4, ], d) rovoběžé. 16. x+ y 9 = 0, 68x 17y+ 57 = 0, 65x 6y+ 7 = 17. a) ao, b) e. 18. a) x+ y 7= 0,b)x y= 0, c) 4x+ y 10 = 19. m = 9. 7

37 6. Afií prostor (A ) Klíčová slova: parametrické rovice přímky v parametrické rovice roviy v A, A, obecá rovice roviy v obecé rovice přímky v A, A, svazek rovi, trs rovi. Cílem kapitoly je sezámit se základími polohovými úlohami mezi podprostory prostoru A. L V této části předpokládáme, že body patří afiímu prostoru A. 1 Afií prostory L, resp., (viz defiice.7) budeme azývat přímkami, resp. roviami. Budeme používat pojmy směrový vektor (viz pozámka..8), resp. zaměřeí prostoru (viz pozámka..7). Věta 6.1. Bod X = [ x, y, z] leží a přímce, která je určea bodem A= [ x, y, z ] a p eulovým směrovým vektorem u = ( uvw,, ), právě když pro jeho souřadice x, yz, platí x= x + ut, y= y + vt, z= z + wt, t Důkaz lze provést obdobě jako důkaz věty 5.1. Defiice 6.. Jestliže je přímka p dáa bodem A= [ x0, y0, z0] a eulovým směrovým vektorem u = ( uvw,, ), pak rovice x= x + ut, y= y + vt, z= z + wt, t budeme azývat parametrickými rovicemi přímky p v prostoru. Pozámka 6.. Pozámky 5. lze aalogicky vyslovit pro body a přímky v prostoru. 8

38 Příklad 6.4. Ukažte, že střed S = [ x, y, z] úsečky s krajími body A= [ x1, y1, z1], B= [ x, y, z] má souřadice x = ( x1+ x), y = ( y1+ y), z = ( z1+ z). Řešeí je aalogické řešeí příkladu 4.5. Příklad 6.5. Dokažte, že těžiště T = [ x, y, z] trojúhelíka s vrcholy 1 A= [ x1, y1, z1], B= [ x, y, z], C = [ x, y, z] má souřadice x = ( x1+ x+ x), 1 1 y = ( y1+ y + y), z = ( z1+ z+ z). Řešeí je aalogické řešeí příkladu 5.6. Věta 6.6. Bod X = [ x, y, z] leží v roviě ρ, která je určea bodem dvěma eulovými lieárě ezávislými vektory zaměřeí roviy ρ, právě když pro jeho souřadice platí A= [ x0, y0, z0] a u= ( u1, v1, w1), v = ( u, v, w), patřícími do x= x + u r+ u s, y= y + v r+ v s, z = z + wr+ w s, r, s. Důkaz: X ρ X A= ur+ vs X = A+ ur+ v s ( x= x + u r+ u s y= y + v r+ v s z= z + wr+ w s, r, s ) Defiice 6.7. Nechť je dáa rovia ρ bodem A= [ x0, y0, z0] a dvěma eulovými lieárě ezávislými vektory Pak rovice u= ( u, v, w ), v = ( u, v, w ), patřícími do jejího zaměřeí. x= x + u r+ u s, y= y + v r+ v s, z= z + wr+ w s, r, s azýváme parametrickými rovicemi roviy ρ v prostoru. Pozámky Reálá čísla r, sazveme parametry.. Roviu ρ, která je dáa bodem A a vektory uv, ozačíme ρ = ( A, uv, ).. Parametry r, s jsou afiími souřadicemi bodu X = [ x, y, z] vzhledem k repéru ( A, < uv, > ). 4. Platí aalogická pozámka k pozámce

39 Věta 6.9. Body X = [ x, y, z], kde xyz,,, jsou body jedié roviy ρ v afiím prostoru při zvoleém afiím repéru, právě když platí ax + by + cz + d = 0, kde abcd,,, a a + b + c Důkaz: 1. Uvažujme roviu ( A,, ), ρ = uv kde [ ] A = x0, y0, z0, u = ( u1, v1, w1), v = ( u, v, w). Bod X = [ x, y, z] leží v roviě ρ, právě když jsou vektory X A= ( x x, y y, z z ), uv, závislosti vektorů a vlastostí determiatů plye Odtud dostaeme x x0 y y0 z z0 u1 v1 w1 u v w komplaárí (viz pozámka.8.7). Z defiice lieárí = (6.1) v1 w1 u1 w1 u1 v1 v1 w1 u1 w1 u1 v1 x y+ z x0 + y0 z0 v w u w u v v w u w u v = Ozačíme v w u w u v v w u w u v a= b= c= d = x + y 0 v w u w u v v w u w u v z ,,, 0 0 u1 v1 w1 Vzhledem k tomu, že vektory uv, ejsou kolieárí, je h = a tedy aspoň u v w jedo z čísel abc,, je růzé od uly. Rovia ρ má rovici ax + by + cz + d =. Předpokládejme, že platí ax + by + cz + d = 0, kde a 0, pak x = d + br + cs, a d y = ar, z = as jsou parametrické rovice roviy daé bodem A = [,0,0] a vektory a u= ( b, a,0), v = ( c,0, a), které jsou lieárě ezávislé. Předpokládejme, že budou existovat dvě růzé roviy ρ, σ, které mají rovici ax + by + cz + d = Pak existuje bod P= [ x1, y1, z1] takový, že P ρ P σ, tj. ax1+ by1+ cz1+ d = 0 ax1+ by1+ cz1+ d 0, což je spor s předpokladem. 40

40 Defiice 6.1 Rovici ax + by + cz + d = 0, kde a + b + c 0, azýváme obecou rovicí roviy v afiím prostoru. Pozámky Má-li rovia ρ rovici ax + by + cz + d = 0, pak každá rovice rax ( + by+ cz+ d) = 0, kde r \{ 0} je rovicí téže roviy.. [ ] X = x0, y0, z0 ρ : ax + by + cz + d = 0 ax0 + by0 + cz0 + d =. Vztah (6.1) z 1. části důkazu věty 6.9 lze sado použít k určeí obecé rovice roviy, která je dáa bodem A a vektory uv,, resp. body AB, a vektorem u, resp. třemi body ABC,,, kde uv,, resp. B A, u, resp. A, B, C jsou lieárě ezávislé. Věta 6.1. Vektor u = ( uvw,, ) patří do zaměřeí roviy ax + by + cz + d = 0, právě když au + bv + cw = Důkaz lze provést aalogicky jako důkaz věty Věta 6.1. Přímka p v prostoru je jedozačě dáa roviami ax 1 + by 1 + cz 1 + d1= 0, ax + by + cz + d = 0, kde a b c h a b c = Důkaz: 1. Předpokládejme, že přímka p je dáa parametrickými rovicemi x x ut y y vt z z wt = 0+, = 0+, = 0+. Její směrový vektor u= ( uvw,, ) o. Nechť apříklad x x u Dostaeme t = 0 a po dosazeí do zbývajících rovic je u v v w w x y x0 + y0 = 0, x z x0+ z0 = 0, kde u u u u získat pro v 0 a w. Předpokládejme, že jsou dáy rovice. v 1 0 u h =. Podobě lze rovice w 0 1 u a1 b1 c1 ax 1 + by 1 + cz 1 + d1= 0, ax+ by+ cz+ d = 0, kde h =. a b c Uvedeé rovice jsou rovicemi dvou rovi. Vektor u = ( uvw,, ) patří do zaměřeí obou rovi, právě když au 1 + bv 1 + cw 1 = 0 a zároveň au + bv + cw = 0, viz věta 6.1. Z lieárí algebry je zámo, že předchozí soustava homogeích rovic má řešeí patřící do 1 V a tedy vektor u = ( uvw,, ) 41

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

7.2.4 Násobení vektoru číslem

7.2.4 Násobení vektoru číslem 7..4 Násobeí vektor číslem Předpoklady: 703 Tetokrát začeme hed defiicí. Násobek lového vektor číslem k je lový vektor. Násobek elového vektor = B Ačíslem k je vektor C A, přičemž C je bod, pro který platí:

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti -rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici

Více

definované pro jednotlivé řády takto: ) řádu n nazýváme číslo A = det( A) a a a11 a12

definované pro jednotlivé řády takto: ) řádu n nazýváme číslo A = det( A) a a a11 a12 Předáška 3: Determiaty Pojem determiatu se prosadil původě v souvislosti s potřebou řešit soustavy lieárích rovic v 8 století (C Maclauri, G Cramer) Teprve později se pojem osamostatil, zjedodušilo se

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie 7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Užitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:

Užitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové: Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE V této kaptole se dozvíte: jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů; co rozumíme ortogoálí a ortoormálí ází; co jsou to tzv relace ortoormalty a Croeckerovo delta;

Více

Důkazy Ackermannova vzorce

Důkazy Ackermannova vzorce Důkazy Akermaova vzore Rady studetům: Důkaz je trohu zdlouhavý, ale přirozeý. Tak byste při odvozeí postupovali, kdybyste vzore předem ezali. Důkaz je krátký, ale je založe a triku, a který byste předem

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

5 Křivkové a plošné integrály

5 Křivkové a plošné integrály - 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie MATEMATICKÝ ÚSTAV Slezská uverzta Na Rybíčku, 746 0 Opava DENNÍ STUDIUM Aalytcká geometre Téma 3.: Aí zobrazeí Dece 3.. Zobrazeí aího prostoru A do aího prostoru A se azývá aí zobrazeí, estlže má ásleduící

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A ); 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1

Více

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f

Více

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více

ANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU

ANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU ANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU A.Mikš, J.Novák, P. Novák katedra fyziky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze Abstrakt Práce se zabývá aalýzou vlivu velikosti umerické

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

Lineární programování

Lineární programování Lieárí programováí Adjugovaý problém lieárího programováí V případě řešeí problému lieárího programováí LP ma{ c T : A b 0} získáváme výchozí přípustou jedotkovou bázi u doplňkových proměých a za předpokladu

Více