KOMBINATORIKA. Způsob řešení b)

Transkript

1 / KOMBINATORIKA Příld Určete počet všech přirozeých dvojciferých čísel, v jejichž dedicém zápisu se ždá číslice vysytuje ejvýše jedou. Způsob řešeí ) Kombitoricé prvidlo součiu: Počet všech uspořádých -tic, jejichž prví čle lze vybrt způsoby, druhý čle po výběru prvího čleu způsoby td. ž -tý čle po výběru všech předcházejících čleů způsoby, je rove Způsob řešeí b). Kombitoricé prvidlo součtu: Jsou-li A, A,, A oečé možiy, teré mjí po řdě p, p,, p prvů, jsou-li ždé dvě disjutí, p počet prvů možiy A A A je rove p + p + + p. Příld Určete počet všech čtyřciferých čísel, v jejichž dedicém zápisu eí ul ze zbývjících devíti cifer se v ěm ždá vysytuje ejvýše jedou. ) Koli z těchto čísel je větších ež 9? b) Koli z těchto čísel je meších ež? Příld Z Adělsého údolí do Bílísého les vedou čtyři cesty. Z Bílísého les vedou tři růzé cesty dál do Ciásé role. Koli růzými způsoby lze dojít z Adělsého les do Ciásé role zpět, poud ) eldeme žádé poždvy? b) právě jed cest je použit dvrát? c) žádá cest eí použit dvrát? A B d) právě dvě cesty jsou použity dvrát? C

2 Kombitori / e) lespoň jed cest je použit dvrát? Příld V městsé ihově v odděleí zoologie jsou všechy svzy ih očíslováy čtyřciferými čísly tvořeými cifrmi,,, 5 (tyto cifry se mohou v čísle opovt). Určete počet ih, teré mjí svoje registrčí číslo dělitelé ) pěti. b) dvěm. c) čtyřmi. Pomocí ombitoricých prvidel vyřešte ásledující úlohy: ) J má 5 růzě brevých triče estejé suě. Koli způsoby si může vzít tričo sui, by poždé vpdl ji? ) Do tečích přišlo chlpců díve. Koli růzých tečích párů mohou vytvořit? ) V resturci mjí jídelí lísu druhy poléve, 7 možostí výběru hlvího jídl, druhy moučíů. K pití si lze objedt ávu, limoádu ebo džus. Koli způsoby si host může vybrt oběd, z předpoldu, že bude jíst ) je polévu hlví jídlo. b) polévu, hlví jídlo dále si objedá ápoj. c) polévu, hlví jídlo, moučí ápoj. ) Ve třídě chodí žáů frcouzštiu žáů ěmčiu. Kždý žá vštěvuje právě jede z uvedeých předmětů. Koli způsoby lze vybrt dvojici týdeí službu t, by měl službu jede žá z odděleí ěmčiy jede žá z odděleí frcouzštiy? Koli let by žáci museli chodit do šoly, by se všechy tyto dvojice vystřídly? Počítejte, že šolí ro má vyučovcích týdů. Řešeí: ) 5 ) 88 ) ) b) 6 c) 5 ) 8 rát; 5,5 let Příld 5 Při vyopávách se šl ohivzdorá sříň. Nšel se i líč, le otevřeí bylo potřeb zát heslo, teré bylo potřeb stvit pět otoučů s čísly ž 9. Heslo se tedy sládlo z pěti číslic, vš ido evěděl z terých. Nezbylo ic jiého, ež vyzoušet všechy možosti. Koli jich bylo?

3 Kombitori / K-čleá vrice s opováím z prvů (popř. Vrice -té třídy z s opováím) je uspořádá -tice sestveá z těchto prvů t, že ždý se v í vysytuje ejvýše -rát. K-čleou vrici s opováím z prvů ozčujeme V (,) (popř. V ()) její počet je. Příld 6 O telefoím čísle svého spolužá si Vše zpmtovl pouze to, že má předvolbu 67 v dlší šestici se žádá cifr eopuje. Určete, oli telefoích čísel připdá v úvhu. 67 K-čleá vrice bez opováí z prvů (popř. Vrice -té třídy z ) je uspořádá - tice sestveá z těchto prvů t, že ždý se v í vysytuje ejvýše jedou. K-čleou vrici bez opováí z prvů ozčujeme V(, ), (popř. V ()) její počet je. Příld 7 Npište všechy dvoučleé vrice s opováím i bez opováí z prvů, b, c. Zotrolujte počet vypsých vricí výpočtem. V(; ) = V (; ) = Příld 8 Určete počet: V,5 = V 5, = V, = V,8 = V,5 = V 5, = V, = V,8 = V 5, = V,5 = V, = V 8, = Příld 9 Koli způsoby můžeme mezi 8 sportovců rozdělit zltou, stříbrou brozovou medili? Příld Státí pozávcí zč byl tvru uspořádé sedmice zů. Prví tři zy tvořil písme dlší čtyři zy číslice. Koli pozávcích zče bylo teoreticy dispozici, mohlo-li být použito 6 písme číslic? Příld K sestveí vljy, terá má být slože ze tří růzobrevých vodorových pruhů, jsou dispozici láty brvy bílé, červeé, modré, zeleé žluté. ) Koli růzých vlje lze z těchto láte sestrojit?

4 Kombitori / b) Koli z ich má modrý pruh? c) Koli jich má modrý pruh uprostřed? d) Koli jich emá uprostřed červeý pruh? Příld Zástupce ředitele šoly sestvuje rozvrh hodi. ) Koli způsoby lze sestvit rozvrh hodi jede de pro třídu, v íž se vyučuje dváct růzých předmětů (ždý ejvýše jedu hodiu deě) teto de se vyučuje šest hodi? b) Koli způsoby lze sestvit rozvrh hodi, poud prví hodiu je vyučová mtemti? c) Koli způsoby lze sestvit rozvrh hodi, poud se určitě vyučuje fyzi? Příld Určete počet prvů, z ichž lze utvořit ) dvoučleých vricí bez opováí b) 56 dvoučleých vricí s opováím. Příld Změí-li se počet prvů o, zvětší se počet tříčleých vricí ) desetrát. Určete počet prvů. b) o 5. Určete počet prvů.

5 Kombitori 5 / Vyřešte ásledující úlohy:. Koli způsoby lze rozdělit růzě velých báů mezi 8 opic, jestliže žádá opice eobdrží více ež jede z rozdělových plodů?. Dvojčt Le Luc mjí ve sříi dohromdy 6 suí, hlee 8 druhů orálů. Koli způsoby se mohou připrvit do divdl, předpoládáme-li, že ždý si obleče hleu, sui vezme jedy orále?. Koli růzých telefoích stic lze zpojit, jsou-li všech telefoí čísl 6ti ciferá epřipouštíme-li umístěí prvím místě.. Mějme zy. Lze zódovt česou becedu sestveím těchto zů do supi o jedom ž čtyřech prvcích? 5. Máme přirozeá čísl Určete, zd je více těch čísel, terá mjí ve svém zápisu ebo těch, terá v číselém zápisu emjí. 6. Koli způsoby můžeme vytvořit ve vší třídě supiu žáů t, by ve supiě byli chlpci dívy, přičemž chlpec bude mít fuci zástupce této supiy dív bude mluvčí supiy? 7. Ve studetsém pooji žijí studeti. Mjí šály, 5 tlířů 6 čjových lžiče (všechy šály, tlířy lžičy se vzájem odlišují). Koli způsoby mohou prostřít stůl pití čje; ždý dostává šále, tlíře lžiču. 8. Koli růzých ódů dély šest můžeme vytvořit z číslic,,,,, jestliže ód esmí zčít čtyřou posledím místě může být z uvedeých číslic pouze číslice lichá? 9. Koli lichých čísel existuje mezi (včetě), přičemž všechy cifry v čísle jsou vzájem růzé? Koli z ich je dělitelých pěti?. Koli sudých čísel existuje mezi (včetě), přičemž všechy cifry v čísle se mohou opovt? Koli z ich je dělitelých deseti?. Koli čleů bylo registrováo v lubu cylistů, dyž víme, že předsed použil registrci všechy ciferé ódy eobshující žádou osmiču?. Koli zových ódů můžeme vytvořit ze zů & * ^ $ %, jestliže z * je vždy použit, le smí stát jeom zčátu ebo oci, z $ se epoužije i jedou zy se mohou opovt? Řešeí: ) ) 5 ) 9. 5 ) e pro becedu s háčm o bez háčů čáre 5) emá 6) V(, )V(, 7) 7 8 8) 5 5 ; má m) 9), 8 ) 5, 9 ) 79 ) 75

6 Kombitori 6 / Příld 5 V osudí je deset očíslových oulí. ) Koli růzých thů může stt, poud jsou tžey tři oule záleží jejich pořdí? b) Koli růzých thů může stt, poud je vytžeo všech deset oulí? Po thu se oule do osudí evrcí. Permutce z prvů je uspořádá -tice sestveá z těchto prvů t, že ždý se v í vysytuje právě jedou. Zčíme P(). Permutce z prvů je ždá -čleá vrice z těchto prvů. Počet permutcí z prvů je! P( ), de! zveme ftoriál. Pro úplost ještě dodefiujeme! =. Příld 6 Vypočítej P()= P()= P()= P(+)= P(-)= P(-)= Příld 7 Zpiš! Pomocí )! b) 9! Příld 8! V (, ) Dožte, že pltí:! Příld 9 Učitel dějepisu se rozhodl, že des vyzouší studety: Adm, Blžeu, Cyril Du. Koli možých způsobů, v jém pořdí žáy vyvolá, vyučující má?

7 Kombitori 7 / Příld Zjedodušte: ) 7!! b)!! 9! c)!! d)!! e)!!! f) 9 6!!! Příld Koli způsoby se mohou tři děvčt tři chlpci rozsdit do lvice se šesti místy, poud ) Petr chce sedět svém oblíbeém místě u dveří? b) Pvlí chce sedět rji? c) Hoz chce sedět hed vlevo od Ley? d) Luáš potřebuje opisovt od Ley, musí sedět tedy vedle í?

8 Kombitori 8 / Příld Určete počet všech šestimístých ) ódů, b) přirozeých čísel, teré obshují všechy cifry,,, 6, 8, 9. Příld V ádrží hle před poldmi se sešlo sedm člee pěvecého roužu tři chlpci z roové pely. Zjistěte, oli způsoby se mohou postvit do froty, mjí-li ) chlpci stát z sebou? b) dívy i chlpci stát z sebou? Příld Řeš rovice s ezámou 5! )! N b)!!!! Příld 5 Zástupce ředitele šoly připrvuje rozvrh třídy, terá má mít v určitý de tyto předměty: česý jzy, glicý jzy, mtemtiu, semiář z mtemtiy, fyziu tělesou výchovu. Určete počet všech možých rozvrhů třídy pro teto de, teré se liší pořdím uvedeých předmětů, jestliže ždý předmět se vyučuje právě jedu hodiu přitom ) pořdí předmětů může být libovolé. b) tělesá výchov je šestou vyučovcí hodiu. c) semiář z mtemtiy esmí být před mtemtiou.

9 Kombitori 9 / d) semiář z mtemtiy musí být ihed po mtemtice. e) mezi mtemtiou semiářem z mtemtiy esmí být žádý předmět. f) mtemti musí být ejpozději čtvrtou vyučovcí hodiu. Vyřešte ásledující úlohy: ) Koli způsoby lze přemístit písme slov PERMUTACI. ) Koli způsoby lze přemístit písme slov FAKTORIAL, t by ěterá supi po sobě jdoucích písme utvořil ) slovo FAKTA? b) slov FAKTA LORI v libovolém pořdí? c) slov LIRA KAT v libovolém pořdí? ) V možiě přirozeých čísel řeš rovice:!! ) 6 c)!!! 5 8 5! b) 7!! d)!!!!! 5!

10 Komplexí čísl / Mtemticý semiář -. ROČNÍK Řešeí: Příld 6 Koli způsoby si může vybrt tříd tři vyučující ze čtyř možých šolí exurzi? K-čleá ombice z prvů (popř. Kombice -té třídy z ) je euspořádá -tice sestveá z těchto prvů t, že ždý se v í vyytuje ejvýš jedou.!!! ) ( ), ( C K =, Z + ; Příld Příld 8 Koli způsoby mohou tři osoby obsdit seddl v pětimístém utomobilu, poud záleží pouze tom, teré místo je obszeo, ezáleží ám, ým je obszeo. ) 6 88 ) ) b) c) 6 ) ) 5 b) c) 5 d)

11 Kombitori / Příld 9 Koli způsoby lze vybrt ze 7 chlpců díve 6-ti čleé družstvo t, by ) v ěm byly právě dívy? b) v ěm byly lespoň dívy? Příld Koli způsoby je možé z vší třídy vybrt osob, poždujeme-li, by mezi vybrými c) ebyl osob A? d) ebyly zároveň osoby A B? e) byl lespoň jed z osob A B? Příld Určete, oli způsoby může m chlpců díve vytvořit jede tečí pár. Příld Koli způsoby můžeme z hráčů vytvořit volejblová družstv? Příld Supi vědců je slože z pěti psychologů tří sociologů. ) Koli existuje růzých výborů složeých z pěti vědců? b) Koli existuje růzých výborů složeých z pěti vědců, z ichž tři jsou psychologové zbyte sociologové? Příld V hrdecé městsé doprvě se používjí jízdey s devíti očíslovými poli. Při ždé jízdě má cestující z poviost ve zehodocovcím stroju si ozčit svoji jízdeu. Teto stroje vždy probije tři ebo čtyři pole jízdece. Vychytrlý chlpec ZŠ si řel, že poud ždý de zísá jedu ozčeou jízdeu, musí přeci z ějou dobu zíst všechy možé jízdey. Nejdříve z j dlouho bude moci říct, že už emůže zíst žádou ji ozčeou jízdeu? Příld 5 Určete, z oli prvů lze utvořit 6 dvoučleých ombicí.

12 Kombitori / Příld 6 Mt se zeptl svého sy, jé je vlstě zstoupeí díve chlpců v mtemticém roužu, terý její sy vštěvuje. Dostl ásledující odpověď: Chodí tm 6 žáů z ší šoly dohromdy můžeme vytvořit 6 dvoučleých ombicí. Koli chlpců oli díve vštěvuje mtemticý rouže? Příld 7 Zmeší-li se počet čísel o, zmeší se počet dvoučleých ombicí vytvořeých z těchto prvů o. Určete původí počet prvů. Příld 8 Určete počet prvů, z ichž lze vytvořit 6x více čtyřčleých ombicí ež dvoučleých.

13 Kombitori / V možiě přirozeých čísel řeš rovice: Řešeí: ) -- = = ) - = = 7) emá řešeí ) 5) = -8+5 = = 5 ) 6) --5 = = 5-8+ = = 6 Řešte ásledující úlohy: ) Při sportovím di je třeb ze třídy, ve teré je 9 chlpců 6 díve, vybrt žáy. Koli způsoby to lze provést, jestliže to mjí být ) spoň chlpci. b) ejvýše dívy. ) V bedě je usů výrobů, z ichž mjí výrobí vdu. Koli způsoby lze z bedy vybrt součstě 5 výrobů t, že mezi imi ) budou všechy výroby bez vdy. b) bude ejvýše výrobe vdý. c) budou ejvýše výroby vdé. d) budou lespoň výroby bez zu. ) V lvici může sedět 5 žáu A, B, C, D, E. Koli způsoby si mohou sedout, jestliže ) A má sedět určeém rji. b) A má sedět jedom ebo druhém rji. c) žáci A C mjí sedět vedle sebe. d) žá A má sedět rji žáci B, C vedle sebe. ) Koli způsoby lze ubytovt 5 hostů (záleží v terém pooji, e do leží v jé posteli) ) do pětilůžového pooje. b) do čtyřlůžového jedolůžového pooje. c) do dvoulůžového třílůžového pooje. d) do jedolůžových poojů třílůžového pooje. e) do 5 jedolůžových poojů. 5) Po letech se sešli dobré přítelyě. Pobvily se, pobesedovly rozloučeou se políbily - ždá s ždou. Koli bylo polibů, jestliže ) byly. b) bylo jich.

14 Kombitori / c) bylo jich. 6) Zvětší-li se počet prvů o, zvětší se počet permutcí 56rát. Určete počet prvů. 7) Zvětší-li se počet prvů o, zvětší se počet vricí. třídy bez opováí o 8. Určete původí počet prvů. 8) Koli způsoby lze seřdit do řdy omorí sbor ti zpěváů t, že dí zpěváci ejsou vedle sebe. 9) Fotblový treér má dispozici bráře, 5 obráců, záložíy útočíů. Koli růzých fotblových mužstev z ich může sestvit, tvoří-li jedo mužstvo brář, obráci, záložíci 5 útočíů? ) Ve třídě se vyučuje předmětů. Koli způsoby lze sestvit rozvrh hodi de, vyučuje-li se teto de 6 růzých předmětů? ) Koli způsoby můžeme seřdit do řdy Agličy, 5 Frcouzů Tury, poud osoby téže árodosti stojí vedle sebe. ) Koli můžeme utvořit ciferých čísel z cifer,,,,, 5, poud se cifry emohou opovt. Koli z ich je sudých ) Určete počet sudých čísel vytvořeých z cifer,,, 5, 6, poud ) cifry se emohou opovt. b) cifry se mohou opovt. Řešeí: ) ) K(,9)+6K(,9)+ K(,6) K(,9) b) K(,9)+6K(,9)+ K(,6) K(,9) ) ) b) 5 c) d) e) ) ) K(5,7) b) K(5,7)+K(,7) c) K(5,7)+K(,7)+ K(,)K(,7) d) K(5,7)+K(,7) 5) ) b) 5 c).(-)/ ) ) b) 8 c) 8 d) 6) 6 7) 9 8) ) ) 6 ) 68 ),56 ) ) b)

15 Kombitori 5 / Psclův trojúhelí: 6 Příld 9 Zjedodušte:

16 Kombitori 6 / Biomicá vět: 6 b b b b b b b b tý čle biomicého rozvoje: ) ( b A Příld Užitím biomicé věty vypočtěte: ( + b) 5 = (- m) 7 = ( - 5) = 6 b 7 ) ( ( b) ( b) ( b) ( b)

17 Kombitori 7 / Příld Njděte v rozvoji 7 ( u u) prostředí čle. Příld Njděte v rozvoji ( x) šestý čle. Příld Njděte v rozvoji ( m ) čtvrtý čle. Příld Pro teré x je v rozvoji výrzu ( ) x pátý čle rove 5? Příld 5 Určete bsolutí čle v rozvoji výrzu ( x. x ) Příld 6 Njděte v rozvoji výrzu ( x ) čle obshující x.

18 Kombitori 8 / Permutce s opováím z prvů je uspořádá -tice sestveá z těchto prvů t, že ždý se v í vysytuje spoň jedou. Počet permutcí s opováím z prvů, v ichž se jedotlivé prvy opují,,, rát: P (,,..., )...!!!...! Př. Určete počet všech způsobů, jimiž lze přemístit písme slov ABRAKADABRA. Určete, v oli z ich ) žádá dvojice sousedích písme eí tvoře dvěm písmey A; b) žádá pětice sousedích písme eí tvoře pěti písmey A. Výsledy:! 7 6!! 7! P ( 5,,,,) ; ) 78; b) 89. 5!!! 5!! 5!!!!! Př. Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel dělitelých devíti, v jejichž dedicém zápisu jsou pouze číslice,,, 5, 7. ( =5)

19 Kombitori 9 / Příld 7 Určete, oli způsoby je možé srovt do řdy šedé, modré čeré osty. Příld 8 Určete počet uspořádáí těchto šesti prvů:,,, b, b, c. Příld 9 Určete oli způsoby lze přemístit písme slov Mississippi. Koli z ich ezčíá písmeem M? P'(,,, ) = 65; P'(,,, ) P'(,, ) = 65 5 = 5 Příld 5 Určete počet všech pěticiferých přirozeých čísel, jež lze sestvit z číslic 5 7, má-li v ždém z ich být číslice 5 ) právě třirát; b) ejvýše třirát; c) spoň třirát.

20 Kombitori / Příld 5 Určete počet všech deseticiferých přirozeých čísel, jejichž ciferý součet je rove třem. Koli z ich je sudých? P'(, 7) + P'(, 8) + = 55 P'(, 6) + P'(, 8) + P'(, 7) + = = 6 Příld 5 Ze sedmi uliče, z ichž čtyři jsou modré (vzájem erozlišitelé), jed bílá, jed červeá jed zeleá, máme vybrt položit do řdy pět uliče. Koli způsoby to lze provést? Příld 5 Určete počet způsobů, jimiž lze šchovici 8 8 rozmístit všechy figury šchové hry (bílý rál, bílá dám, bílí střelci, bílí jezdci, bílé věže, 8 bílých pěšců + totéž čeré brvy). P'(,,,,, 8,,,,,, 8, )

21 Kombitori / Kombice s opováím -čleá ombice s opováím z prvů je euspořádá -tice sestveá z těchto prvů t, že ždý se v í vysytuje ejvýše -rát. Počet K'(, ) všech -čleých ombicí s opováím z prvů je K'(, ) = ( + ). Příld 5 Určete, oli způsoby je možé rozmístit sedm stejých uliče do tří rbiče. Řešeí Sedmrát vybíráme jedu ze tří rbiče, do teré umístíme uliču; jde tedy o sedmičleé ombice s opováím ze tří prvů ( = 7, = ). K'(7, ) = ( ) = ( 9 7 ) = 6 Příld 55 Koli způsoby lze rozdělit 5 bobóů mezi dětí? Řešeí Ptáctrát vybíráme jedo z deseti dětí, terému dáme bobó; jde tedy o ptáctičleé ombice s opováím z deseti prvů( = 5, = ). K'(5, ) = ( ) = ( 5 ) = 7 5 Příld 56 Určete počet všech trojúhelíů, z ichž žádé dv ejsou shodé jejichž ždá str má veliost vyjádřeou jedím z čísel, 5, 6, 7. Řešeí Tři čísl, b, c mohou být veliosti str trojúhelíu, poud pltí + b > c, + c > b,b + c >. Tuto podmíu splňuje ždá trojice sestveá z čísel, 5, 6, 7: vezmeme dvě ejmeší možá čísl (tj. ) porováme jejich součet s ejvětším možým číslem (tj. 7). Protože + > 7, trojúhelíová erovost pltí pro rjí přípd proto pltí i pro všechy osttí přípdy.

22 Kombitori / Příld se t zjedodušil hledáí počtu euspořádých trojic sestveých z čísel, 5, 6, 7, tedy určeí počtu tříčleých ombicí s opováím ze čtyř prvů( =, = ). K'(, ) = ( + ) = ( 6 ) = Příld 57 V obchodě mjí tři druhy sirupu: jhodový, mliový pomerčový. Určete počet všech možostí áupu pěti lhví sirupu v tomto obchodě. K'(5, ) = ( ) = ( 7 5 ) = = Příld 58 Určete, oli způsoby si mohou tři osoby rozdělit osm (stejých) jble. (K'(8, ) = 5) Příld 59 Ze všech bílých šchových figure bez rále dámy (tj. z osmi pěšců, dvou věží, dvou jezdců dvou střelců)vybereme ) dvojici, b) trojici. Jý je počet možostí pro jejich složeí? ( ) K'(, ) = b) K'(, ) = 7) Příld 6 V železičím depu je dvcet osobích, sedm lůžových pět poštovích vozů. Koli růzých souprv s pěti vozy je možo v tomto depu sestvit, jestliže ezáleží pořdí vozů v souprvě? (K'(5, ) = )

23 Kombitori / Příld 6 Kleotí vybírá do prsteu tři drhomy; dispozici má tři rubíy, dv smrgdy pět sfírů. Koli způsoby může teto výběr provést, povžujeme-li mey téhož druhu z stejé? (K'(, ) = 9) Příld 6 Určete, oli růzými způsoby lze rozdělit 5 oruových micí mezi dětí, jestliže ) eldeme žádá omezeí; b) ždé dítě doste lespoň jedu mici; c) ejstrší dítě doste lespoň dvě mice. ) K'(5, ) = 7 5; b) K'(5, ) = ; c) K'(, ) = 97