KOMBINATORIKA. Způsob řešení b)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "KOMBINATORIKA. Způsob řešení b)"

Transkript

1 / KOMBINATORIKA Příld Určete počet všech přirozeých dvojciferých čísel, v jejichž dedicém zápisu se ždá číslice vysytuje ejvýše jedou. Způsob řešeí ) Kombitoricé prvidlo součiu: Počet všech uspořádých -tic, jejichž prví čle lze vybrt způsoby, druhý čle po výběru prvího čleu způsoby td. ž -tý čle po výběru všech předcházejících čleů způsoby, je rove Způsob řešeí b). Kombitoricé prvidlo součtu: Jsou-li A, A,, A oečé možiy, teré mjí po řdě p, p,, p prvů, jsou-li ždé dvě disjutí, p počet prvů možiy A A A je rove p + p + + p. Příld Určete počet všech čtyřciferých čísel, v jejichž dedicém zápisu eí ul ze zbývjících devíti cifer se v ěm ždá vysytuje ejvýše jedou. ) Koli z těchto čísel je větších ež 9? b) Koli z těchto čísel je meších ež? Příld Z Adělsého údolí do Bílísého les vedou čtyři cesty. Z Bílísého les vedou tři růzé cesty dál do Ciásé role. Koli růzými způsoby lze dojít z Adělsého les do Ciásé role zpět, poud ) eldeme žádé poždvy? b) právě jed cest je použit dvrát? c) žádá cest eí použit dvrát? A B d) právě dvě cesty jsou použity dvrát? C

2 Kombitori / e) lespoň jed cest je použit dvrát? Příld V městsé ihově v odděleí zoologie jsou všechy svzy ih očíslováy čtyřciferými čísly tvořeými cifrmi,,, 5 (tyto cifry se mohou v čísle opovt). Určete počet ih, teré mjí svoje registrčí číslo dělitelé ) pěti. b) dvěm. c) čtyřmi. Pomocí ombitoricých prvidel vyřešte ásledující úlohy: ) J má 5 růzě brevých triče estejé suě. Koli způsoby si může vzít tričo sui, by poždé vpdl ji? ) Do tečích přišlo chlpců díve. Koli růzých tečích párů mohou vytvořit? ) V resturci mjí jídelí lísu druhy poléve, 7 možostí výběru hlvího jídl, druhy moučíů. K pití si lze objedt ávu, limoádu ebo džus. Koli způsoby si host může vybrt oběd, z předpoldu, že bude jíst ) je polévu hlví jídlo. b) polévu, hlví jídlo dále si objedá ápoj. c) polévu, hlví jídlo, moučí ápoj. ) Ve třídě chodí žáů frcouzštiu žáů ěmčiu. Kždý žá vštěvuje právě jede z uvedeých předmětů. Koli způsoby lze vybrt dvojici týdeí službu t, by měl službu jede žá z odděleí ěmčiy jede žá z odděleí frcouzštiy? Koli let by žáci museli chodit do šoly, by se všechy tyto dvojice vystřídly? Počítejte, že šolí ro má vyučovcích týdů. Řešeí: ) 5 ) 88 ) ) b) 6 c) 5 ) 8 rát; 5,5 let Příld 5 Při vyopávách se šl ohivzdorá sříň. Nšel se i líč, le otevřeí bylo potřeb zát heslo, teré bylo potřeb stvit pět otoučů s čísly ž 9. Heslo se tedy sládlo z pěti číslic, vš ido evěděl z terých. Nezbylo ic jiého, ež vyzoušet všechy možosti. Koli jich bylo?

3 Kombitori / K-čleá vrice s opováím z prvů (popř. Vrice -té třídy z s opováím) je uspořádá -tice sestveá z těchto prvů t, že ždý se v í vysytuje ejvýše -rát. K-čleou vrici s opováím z prvů ozčujeme V (,) (popř. V ()) její počet je. Příld 6 O telefoím čísle svého spolužá si Vše zpmtovl pouze to, že má předvolbu 67 v dlší šestici se žádá cifr eopuje. Určete, oli telefoích čísel připdá v úvhu. 67 K-čleá vrice bez opováí z prvů (popř. Vrice -té třídy z ) je uspořádá - tice sestveá z těchto prvů t, že ždý se v í vysytuje ejvýše jedou. K-čleou vrici bez opováí z prvů ozčujeme V(, ), (popř. V ()) její počet je. Příld 7 Npište všechy dvoučleé vrice s opováím i bez opováí z prvů, b, c. Zotrolujte počet vypsých vricí výpočtem. V(; ) = V (; ) = Příld 8 Určete počet: V,5 = V 5, = V, = V,8 = V,5 = V 5, = V, = V,8 = V 5, = V,5 = V, = V 8, = Příld 9 Koli způsoby můžeme mezi 8 sportovců rozdělit zltou, stříbrou brozovou medili? Příld Státí pozávcí zč byl tvru uspořádé sedmice zů. Prví tři zy tvořil písme dlší čtyři zy číslice. Koli pozávcích zče bylo teoreticy dispozici, mohlo-li být použito 6 písme číslic? Příld K sestveí vljy, terá má být slože ze tří růzobrevých vodorových pruhů, jsou dispozici láty brvy bílé, červeé, modré, zeleé žluté. ) Koli růzých vlje lze z těchto láte sestrojit?

4 Kombitori / b) Koli z ich má modrý pruh? c) Koli jich má modrý pruh uprostřed? d) Koli jich emá uprostřed červeý pruh? Příld Zástupce ředitele šoly sestvuje rozvrh hodi. ) Koli způsoby lze sestvit rozvrh hodi jede de pro třídu, v íž se vyučuje dváct růzých předmětů (ždý ejvýše jedu hodiu deě) teto de se vyučuje šest hodi? b) Koli způsoby lze sestvit rozvrh hodi, poud prví hodiu je vyučová mtemti? c) Koli způsoby lze sestvit rozvrh hodi, poud se určitě vyučuje fyzi? Příld Určete počet prvů, z ichž lze utvořit ) dvoučleých vricí bez opováí b) 56 dvoučleých vricí s opováím. Příld Změí-li se počet prvů o, zvětší se počet tříčleých vricí ) desetrát. Určete počet prvů. b) o 5. Určete počet prvů.

5 Kombitori 5 / Vyřešte ásledující úlohy:. Koli způsoby lze rozdělit růzě velých báů mezi 8 opic, jestliže žádá opice eobdrží více ež jede z rozdělových plodů?. Dvojčt Le Luc mjí ve sříi dohromdy 6 suí, hlee 8 druhů orálů. Koli způsoby se mohou připrvit do divdl, předpoládáme-li, že ždý si obleče hleu, sui vezme jedy orále?. Koli růzých telefoích stic lze zpojit, jsou-li všech telefoí čísl 6ti ciferá epřipouštíme-li umístěí prvím místě.. Mějme zy. Lze zódovt česou becedu sestveím těchto zů do supi o jedom ž čtyřech prvcích? 5. Máme přirozeá čísl Určete, zd je více těch čísel, terá mjí ve svém zápisu ebo těch, terá v číselém zápisu emjí. 6. Koli způsoby můžeme vytvořit ve vší třídě supiu žáů t, by ve supiě byli chlpci dívy, přičemž chlpec bude mít fuci zástupce této supiy dív bude mluvčí supiy? 7. Ve studetsém pooji žijí studeti. Mjí šály, 5 tlířů 6 čjových lžiče (všechy šály, tlířy lžičy se vzájem odlišují). Koli způsoby mohou prostřít stůl pití čje; ždý dostává šále, tlíře lžiču. 8. Koli růzých ódů dély šest můžeme vytvořit z číslic,,,,, jestliže ód esmí zčít čtyřou posledím místě může být z uvedeých číslic pouze číslice lichá? 9. Koli lichých čísel existuje mezi (včetě), přičemž všechy cifry v čísle jsou vzájem růzé? Koli z ich je dělitelých pěti?. Koli sudých čísel existuje mezi (včetě), přičemž všechy cifry v čísle se mohou opovt? Koli z ich je dělitelých deseti?. Koli čleů bylo registrováo v lubu cylistů, dyž víme, že předsed použil registrci všechy ciferé ódy eobshující žádou osmiču?. Koli zových ódů můžeme vytvořit ze zů & * ^ $ %, jestliže z * je vždy použit, le smí stát jeom zčátu ebo oci, z $ se epoužije i jedou zy se mohou opovt? Řešeí: ) ) 5 ) 9. 5 ) e pro becedu s háčm o bez háčů čáre 5) emá 6) V(, )V(, 7) 7 8 8) 5 5 ; má m) 9), 8 ) 5, 9 ) 79 ) 75

6 Kombitori 6 / Příld 5 V osudí je deset očíslových oulí. ) Koli růzých thů může stt, poud jsou tžey tři oule záleží jejich pořdí? b) Koli růzých thů může stt, poud je vytžeo všech deset oulí? Po thu se oule do osudí evrcí. Permutce z prvů je uspořádá -tice sestveá z těchto prvů t, že ždý se v í vysytuje právě jedou. Zčíme P(). Permutce z prvů je ždá -čleá vrice z těchto prvů. Počet permutcí z prvů je! P( ), de! zveme ftoriál. Pro úplost ještě dodefiujeme! =. Příld 6 Vypočítej P()= P()= P()= P(+)= P(-)= P(-)= Příld 7 Zpiš! Pomocí )! b) 9! Příld 8! V (, ) Dožte, že pltí:! Příld 9 Učitel dějepisu se rozhodl, že des vyzouší studety: Adm, Blžeu, Cyril Du. Koli možých způsobů, v jém pořdí žáy vyvolá, vyučující má?

7 Kombitori 7 / Příld Zjedodušte: ) 7!! b)!! 9! c)!! d)!! e)!!! f) 9 6!!! Příld Koli způsoby se mohou tři děvčt tři chlpci rozsdit do lvice se šesti místy, poud ) Petr chce sedět svém oblíbeém místě u dveří? b) Pvlí chce sedět rji? c) Hoz chce sedět hed vlevo od Ley? d) Luáš potřebuje opisovt od Ley, musí sedět tedy vedle í?

8 Kombitori 8 / Příld Určete počet všech šestimístých ) ódů, b) přirozeých čísel, teré obshují všechy cifry,,, 6, 8, 9. Příld V ádrží hle před poldmi se sešlo sedm člee pěvecého roužu tři chlpci z roové pely. Zjistěte, oli způsoby se mohou postvit do froty, mjí-li ) chlpci stát z sebou? b) dívy i chlpci stát z sebou? Příld Řeš rovice s ezámou 5! )! N b)!!!! Příld 5 Zástupce ředitele šoly připrvuje rozvrh třídy, terá má mít v určitý de tyto předměty: česý jzy, glicý jzy, mtemtiu, semiář z mtemtiy, fyziu tělesou výchovu. Určete počet všech možých rozvrhů třídy pro teto de, teré se liší pořdím uvedeých předmětů, jestliže ždý předmět se vyučuje právě jedu hodiu přitom ) pořdí předmětů může být libovolé. b) tělesá výchov je šestou vyučovcí hodiu. c) semiář z mtemtiy esmí být před mtemtiou.

9 Kombitori 9 / d) semiář z mtemtiy musí být ihed po mtemtice. e) mezi mtemtiou semiářem z mtemtiy esmí být žádý předmět. f) mtemti musí být ejpozději čtvrtou vyučovcí hodiu. Vyřešte ásledující úlohy: ) Koli způsoby lze přemístit písme slov PERMUTACI. ) Koli způsoby lze přemístit písme slov FAKTORIAL, t by ěterá supi po sobě jdoucích písme utvořil ) slovo FAKTA? b) slov FAKTA LORI v libovolém pořdí? c) slov LIRA KAT v libovolém pořdí? ) V možiě přirozeých čísel řeš rovice:!! ) 6 c)!!! 5 8 5! b) 7!! d)!!!!! 5!

10 Komplexí čísl / Mtemticý semiář -. ROČNÍK Řešeí: Příld 6 Koli způsoby si může vybrt tříd tři vyučující ze čtyř možých šolí exurzi? K-čleá ombice z prvů (popř. Kombice -té třídy z ) je euspořádá -tice sestveá z těchto prvů t, že ždý se v í vyytuje ejvýš jedou.!!! ) ( ), ( C K =, Z + ; Příld Příld 8 Koli způsoby mohou tři osoby obsdit seddl v pětimístém utomobilu, poud záleží pouze tom, teré místo je obszeo, ezáleží ám, ým je obszeo. ) 6 88 ) ) b) c) 6 ) ) 5 b) c) 5 d)

11 Kombitori / Příld 9 Koli způsoby lze vybrt ze 7 chlpců díve 6-ti čleé družstvo t, by ) v ěm byly právě dívy? b) v ěm byly lespoň dívy? Příld Koli způsoby je možé z vší třídy vybrt osob, poždujeme-li, by mezi vybrými c) ebyl osob A? d) ebyly zároveň osoby A B? e) byl lespoň jed z osob A B? Příld Určete, oli způsoby může m chlpců díve vytvořit jede tečí pár. Příld Koli způsoby můžeme z hráčů vytvořit volejblová družstv? Příld Supi vědců je slože z pěti psychologů tří sociologů. ) Koli existuje růzých výborů složeých z pěti vědců? b) Koli existuje růzých výborů složeých z pěti vědců, z ichž tři jsou psychologové zbyte sociologové? Příld V hrdecé městsé doprvě se používjí jízdey s devíti očíslovými poli. Při ždé jízdě má cestující z poviost ve zehodocovcím stroju si ozčit svoji jízdeu. Teto stroje vždy probije tři ebo čtyři pole jízdece. Vychytrlý chlpec ZŠ si řel, že poud ždý de zísá jedu ozčeou jízdeu, musí přeci z ějou dobu zíst všechy možé jízdey. Nejdříve z j dlouho bude moci říct, že už emůže zíst žádou ji ozčeou jízdeu? Příld 5 Určete, z oli prvů lze utvořit 6 dvoučleých ombicí.

12 Kombitori / Příld 6 Mt se zeptl svého sy, jé je vlstě zstoupeí díve chlpců v mtemticém roužu, terý její sy vštěvuje. Dostl ásledující odpověď: Chodí tm 6 žáů z ší šoly dohromdy můžeme vytvořit 6 dvoučleých ombicí. Koli chlpců oli díve vštěvuje mtemticý rouže? Příld 7 Zmeší-li se počet čísel o, zmeší se počet dvoučleých ombicí vytvořeých z těchto prvů o. Určete původí počet prvů. Příld 8 Určete počet prvů, z ichž lze vytvořit 6x více čtyřčleých ombicí ež dvoučleých.

13 Kombitori / V možiě přirozeých čísel řeš rovice: Řešeí: ) -- = = ) - = = 7) emá řešeí ) 5) = -8+5 = = 5 ) 6) --5 = = 5-8+ = = 6 Řešte ásledující úlohy: ) Při sportovím di je třeb ze třídy, ve teré je 9 chlpců 6 díve, vybrt žáy. Koli způsoby to lze provést, jestliže to mjí být ) spoň chlpci. b) ejvýše dívy. ) V bedě je usů výrobů, z ichž mjí výrobí vdu. Koli způsoby lze z bedy vybrt součstě 5 výrobů t, že mezi imi ) budou všechy výroby bez vdy. b) bude ejvýše výrobe vdý. c) budou ejvýše výroby vdé. d) budou lespoň výroby bez zu. ) V lvici může sedět 5 žáu A, B, C, D, E. Koli způsoby si mohou sedout, jestliže ) A má sedět určeém rji. b) A má sedět jedom ebo druhém rji. c) žáci A C mjí sedět vedle sebe. d) žá A má sedět rji žáci B, C vedle sebe. ) Koli způsoby lze ubytovt 5 hostů (záleží v terém pooji, e do leží v jé posteli) ) do pětilůžového pooje. b) do čtyřlůžového jedolůžového pooje. c) do dvoulůžového třílůžového pooje. d) do jedolůžových poojů třílůžového pooje. e) do 5 jedolůžových poojů. 5) Po letech se sešli dobré přítelyě. Pobvily se, pobesedovly rozloučeou se políbily - ždá s ždou. Koli bylo polibů, jestliže ) byly. b) bylo jich.

14 Kombitori / c) bylo jich. 6) Zvětší-li se počet prvů o, zvětší se počet permutcí 56rát. Určete počet prvů. 7) Zvětší-li se počet prvů o, zvětší se počet vricí. třídy bez opováí o 8. Určete původí počet prvů. 8) Koli způsoby lze seřdit do řdy omorí sbor ti zpěváů t, že dí zpěváci ejsou vedle sebe. 9) Fotblový treér má dispozici bráře, 5 obráců, záložíy útočíů. Koli růzých fotblových mužstev z ich může sestvit, tvoří-li jedo mužstvo brář, obráci, záložíci 5 útočíů? ) Ve třídě se vyučuje předmětů. Koli způsoby lze sestvit rozvrh hodi de, vyučuje-li se teto de 6 růzých předmětů? ) Koli způsoby můžeme seřdit do řdy Agličy, 5 Frcouzů Tury, poud osoby téže árodosti stojí vedle sebe. ) Koli můžeme utvořit ciferých čísel z cifer,,,,, 5, poud se cifry emohou opovt. Koli z ich je sudých ) Určete počet sudých čísel vytvořeých z cifer,,, 5, 6, poud ) cifry se emohou opovt. b) cifry se mohou opovt. Řešeí: ) ) K(,9)+6K(,9)+ K(,6) K(,9) b) K(,9)+6K(,9)+ K(,6) K(,9) ) ) b) 5 c) d) e) ) ) K(5,7) b) K(5,7)+K(,7) c) K(5,7)+K(,7)+ K(,)K(,7) d) K(5,7)+K(,7) 5) ) b) 5 c).(-)/ ) ) b) 8 c) 8 d) 6) 6 7) 9 8) ) ) 6 ) 68 ),56 ) ) b)

15 Kombitori 5 / Psclův trojúhelí: 6 Příld 9 Zjedodušte:

16 Kombitori 6 / Biomicá vět: 6 b b b b b b b b tý čle biomicého rozvoje: ) ( b A Příld Užitím biomicé věty vypočtěte: ( + b) 5 = (- m) 7 = ( - 5) = 6 b 7 ) ( ( b) ( b) ( b) ( b)

17 Kombitori 7 / Příld Njděte v rozvoji 7 ( u u) prostředí čle. Příld Njděte v rozvoji ( x) šestý čle. Příld Njděte v rozvoji ( m ) čtvrtý čle. Příld Pro teré x je v rozvoji výrzu ( ) x pátý čle rove 5? Příld 5 Určete bsolutí čle v rozvoji výrzu ( x. x ) Příld 6 Njděte v rozvoji výrzu ( x ) čle obshující x.

18 Kombitori 8 / Permutce s opováím z prvů je uspořádá -tice sestveá z těchto prvů t, že ždý se v í vysytuje spoň jedou. Počet permutcí s opováím z prvů, v ichž se jedotlivé prvy opují,,, rát: P (,,..., )...!!!...! Př. Určete počet všech způsobů, jimiž lze přemístit písme slov ABRAKADABRA. Určete, v oli z ich ) žádá dvojice sousedích písme eí tvoře dvěm písmey A; b) žádá pětice sousedích písme eí tvoře pěti písmey A. Výsledy:! 7 6!! 7! P ( 5,,,,) ; ) 78; b) 89. 5!!! 5!! 5!!!!! Př. Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel dělitelých devíti, v jejichž dedicém zápisu jsou pouze číslice,,, 5, 7. ( =5)

19 Kombitori 9 / Příld 7 Určete, oli způsoby je možé srovt do řdy šedé, modré čeré osty. Příld 8 Určete počet uspořádáí těchto šesti prvů:,,, b, b, c. Příld 9 Určete oli způsoby lze přemístit písme slov Mississippi. Koli z ich ezčíá písmeem M? P'(,,, ) = 65; P'(,,, ) P'(,, ) = 65 5 = 5 Příld 5 Určete počet všech pěticiferých přirozeých čísel, jež lze sestvit z číslic 5 7, má-li v ždém z ich být číslice 5 ) právě třirát; b) ejvýše třirát; c) spoň třirát.

20 Kombitori / Příld 5 Určete počet všech deseticiferých přirozeých čísel, jejichž ciferý součet je rove třem. Koli z ich je sudých? P'(, 7) + P'(, 8) + = 55 P'(, 6) + P'(, 8) + P'(, 7) + = = 6 Příld 5 Ze sedmi uliče, z ichž čtyři jsou modré (vzájem erozlišitelé), jed bílá, jed červeá jed zeleá, máme vybrt položit do řdy pět uliče. Koli způsoby to lze provést? Příld 5 Určete počet způsobů, jimiž lze šchovici 8 8 rozmístit všechy figury šchové hry (bílý rál, bílá dám, bílí střelci, bílí jezdci, bílé věže, 8 bílých pěšců + totéž čeré brvy). P'(,,,,, 8,,,,,, 8, )

21 Kombitori / Kombice s opováím -čleá ombice s opováím z prvů je euspořádá -tice sestveá z těchto prvů t, že ždý se v í vysytuje ejvýše -rát. Počet K'(, ) všech -čleých ombicí s opováím z prvů je K'(, ) = ( + ). Příld 5 Určete, oli způsoby je možé rozmístit sedm stejých uliče do tří rbiče. Řešeí Sedmrát vybíráme jedu ze tří rbiče, do teré umístíme uliču; jde tedy o sedmičleé ombice s opováím ze tří prvů ( = 7, = ). K'(7, ) = ( ) = ( 9 7 ) = 6 Příld 55 Koli způsoby lze rozdělit 5 bobóů mezi dětí? Řešeí Ptáctrát vybíráme jedo z deseti dětí, terému dáme bobó; jde tedy o ptáctičleé ombice s opováím z deseti prvů( = 5, = ). K'(5, ) = ( ) = ( 5 ) = 7 5 Příld 56 Určete počet všech trojúhelíů, z ichž žádé dv ejsou shodé jejichž ždá str má veliost vyjádřeou jedím z čísel, 5, 6, 7. Řešeí Tři čísl, b, c mohou být veliosti str trojúhelíu, poud pltí + b > c, + c > b,b + c >. Tuto podmíu splňuje ždá trojice sestveá z čísel, 5, 6, 7: vezmeme dvě ejmeší možá čísl (tj. ) porováme jejich součet s ejvětším možým číslem (tj. 7). Protože + > 7, trojúhelíová erovost pltí pro rjí přípd proto pltí i pro všechy osttí přípdy.

22 Kombitori / Příld se t zjedodušil hledáí počtu euspořádých trojic sestveých z čísel, 5, 6, 7, tedy určeí počtu tříčleých ombicí s opováím ze čtyř prvů( =, = ). K'(, ) = ( + ) = ( 6 ) = Příld 57 V obchodě mjí tři druhy sirupu: jhodový, mliový pomerčový. Určete počet všech možostí áupu pěti lhví sirupu v tomto obchodě. K'(5, ) = ( ) = ( 7 5 ) = = Příld 58 Určete, oli způsoby si mohou tři osoby rozdělit osm (stejých) jble. (K'(8, ) = 5) Příld 59 Ze všech bílých šchových figure bez rále dámy (tj. z osmi pěšců, dvou věží, dvou jezdců dvou střelců)vybereme ) dvojici, b) trojici. Jý je počet možostí pro jejich složeí? ( ) K'(, ) = b) K'(, ) = 7) Příld 6 V železičím depu je dvcet osobích, sedm lůžových pět poštovích vozů. Koli růzých souprv s pěti vozy je možo v tomto depu sestvit, jestliže ezáleží pořdí vozů v souprvě? (K'(5, ) = )

23 Kombitori / Příld 6 Kleotí vybírá do prsteu tři drhomy; dispozici má tři rubíy, dv smrgdy pět sfírů. Koli způsoby může teto výběr provést, povžujeme-li mey téhož druhu z stejé? (K'(, ) = 9) Příld 6 Určete, oli růzými způsoby lze rozdělit 5 oruových micí mezi dětí, jestliže ) eldeme žádá omezeí; b) ždé dítě doste lespoň jedu mici; c) ejstrší dítě doste lespoň dvě mice. ) K'(5, ) = 7 5; b) K'(5, ) = ; c) K'(, ) = 97

KOMBINATORIKA. Způsob řešení b)

KOMBINATORIKA. Způsob řešení b) / 7 KOMBINATORIKA Příld Určete počet všech přirozeých dvojciferých čísel, v jejichž dedicém zápisu se ždá číslice vysytuje ejvýše jedou. Způso řešeí ) Komitoricé prvidlo součiu: Počet všech uspořádých

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby.

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby. V kapitole Ituitiví kobiatorika jse řešili příklady více éě stejý způsobe a stejých pricipech. Nyí si je zobecíe a adefiujee obvyklou teriologii. pravidlo součtu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

8.2.2 Vzorce pro aritmetickou posloupnost Předpoklady: Př. 1: Př. 2: Př. 3:

8.2.2 Vzorce pro aritmetickou posloupnost Předpoklady: Př. 1: Př. 2: Př. 3: 8 Vzoce po itmeticou poloupot Předpoldy: 80 Př : Po itmeticou poloupot pltí 5 ; d Uči čle iž by učovl Mohli bychom pomocí vzoce po -tý čle učit čle p pomocí tejého vzoce učit i Teto potup zzuje zdáí příldu

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý se zabývá uspořádáním daných prvů podle určitých pravidel do určitých supin Záladním pojmem v ombinatorice je pojem (-prvová) supina, nebo taé

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: PERMUTACE a VARIACE 2.1 Permutace P() = * ( - 1) * ( - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: ( )! P = Jedá se o vzorec pro počet permutací z prvků bez opakováí. 2.2 Variace bez

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál.

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál. Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin

Více

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování Předpoklady: 9109 Pedagogická poznámka: Tato hodina slouží jednak ke zopakování probraného, ale zejména k praktickému nácviku kombinatoriky v situaci, ve které

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. Variace 1 Kombinatorika Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kombinatorika, faktoriály, kombinační

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

2 Základní poznatky o číselných oborech

2 Základní poznatky o číselných oborech Zákldí poztky o číselých oorech Mozí lidé jsou evědoí je proto, že vycházejí z pojů, které jsou podle tetických ěřítek epřesé (Sokrtes). Přirozeá čísl Přirozeá čísl ozčují počet prvků koečých oži. Kždé

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

1.5.7 Prvočísla a složená čísla

1.5.7 Prvočísla a složená čísla 17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí:

Více

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254 Evropský socálí fod Prh & EU: Ivestuee do vší udoucost eto terál vkl díky Operčíu progru Prh dptlt CZ..7/3..00/3354 Mžerské kvtttví etody II - předášk č. - eore her eore her 96 vo Neu, Morgester kldtelé

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Kombinatorika. 1. Variace. 2. Permutace. 3. Kombinace. Název: I 1 9:11 (1 z 24)

Kombinatorika. 1. Variace. 2. Permutace. 3. Kombinace. Název: I 1 9:11 (1 z 24) Kombinatorika 1. Variace 2. Permutace 3. Kombinace Název: I 1 9:11 (1 z 24) Název: I 1 10:02 (2 z 24) Variace Jsou to skupiny prvků, ve kterých: záleží na pořadí prvků značíme je Název: I 1 10:02 (3 z

Více

Prvočísla a čísla složená

Prvočísla a čísla složená Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Nejmenším a jediným sudým je prvočíslo 2. Další prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku Stveí sttik.ročík klářského studi osá stveí kostruke osé stveí kostruke ýpočet rekí ýpočet vitříh sil přímého osíku osá stveí kostruke slouží k přeosu ztížeí ojektu do horiového msívu ěmž je ojekt zlože.

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt

Více

Teorie. Kombinatorika

Teorie. Kombinatorika Teorie Kombinatorika Kombinatorika Jak obecně vybrat k prvkové množiny z n prvkové množiny? Dvě možnosti: prvky se v množině neopakují bez opakování. prvky se v množině opakují s opakováním. prvky jsou

Více

ě ý é Ú í í ě ý á ž ď á ě á ě ě í á í á ě ý á ď ž í í á í ďá á ž á í ů é ž í é ý á í á š á š ý á ú é ž í é é ú ě é é í í á á é í ě í ě ý á á í í ě ý ě á á á í š ý ů á á í ů ů á í Č ě á á á í ý á í Ý á

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení

Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení V úvodí èásti [] volého cylu èláù yl uvede struèý pøehled proletiy ejistot v ìøeí, pøilíže historicý vývoj v této olsti zèey dùvody výhody používáí souèsé odifice v širších souvislostech eziárodí etrologie

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Č É É Č ď Č ž ž Ž ď ě š ě š ě ě š ě ď ž ď šť ť ďš Č ď Č Č ě ž ž Í ě Č ě š ě š š Ž ě ě ť ě ž ě Č ě ž š Í Í ě ě ď ě ě ě ě Í ě ť ě ě ď ě ť ě ď ž ě ě š ě ť Č ě Ž Ž ě ž š š Ž ě Č Ž ě ě ě ě ě ě ě Ž ž ě ť É šš

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České

Více

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819 .8.0 Důkzy Pythgorovy věty Předpokldy: 00819 Pedgogická poznámk: V řešení kždého příkldu jsou uvedeny rdy, které dávám postupně žákům, bych jim pomohl. Pedgogická poznámk: Diskuse o následujícím příkldu

Více

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1 ) Urči záladí veliost úhlu v radiáech, víš-li, že platí: a) si cos 0. b) cos, Opravá zouša z matematiy 3SD (druhé pololetí) c) cotg 3 5b) ) Na možiě R řeš rovici cos cos 0. 4b) 3) Vzdáleost bodů AB elze

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

11a. Základní principy

11a. Základní principy Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 11 Kombiatoria (Počítáí Kombiatoria je aua o uspořádáí věcí, její důležitou součástí je schopost věci spočítat Deší podobu lze vystopovat do 17 století a vzhledem

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Opakovací test. Kombinatorika A, B

Opakovací test. Kombinatorika A, B VY_32_INOVACE_MAT_193 Opakovací test Kombinatorika A, B Mgr. Radka Mlázovská Období vytvoření: listopad 2012 Ročník: čtvrtý Tematická oblast: matematické vzdělávání Klíčová slova: maturita, přijímací zkoušky,

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Kombinatorika a grafy I

Kombinatorika a grafy I Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Kombiatoria a grafy I láta z II semestru iformatiy MFF UK podle předáše Odřeje

Více

DĚTSKÝ A DOPLŇKOVÝ SOR T

DĚTSKÝ A DOPLŇKOVÝ SOR T DĚTSKÝ DOPLŇKOVÝ SOR T 2014 IMET UTÍČK OVIK OVOCE CZ - BO396 CZ - BO398 POHÁDKY OVIK 1 OVIK CZ - BO399 CZ - BO397 ČÍSLICE OVIK CZ - BO401 MEDVÍDCI OVIK OVIK CZ - BO402 CZ - BO400 ZELEI ČÍM BUDU IK IK OVIK

Více

Sbírka úloh z matematiky pro 9.ročník Lomené výrazy ZŠ Třešť

Sbírka úloh z matematiky pro 9.ročník Lomené výrazy ZŠ Třešť Sík úloh z tetik po 9.očík I. Loeé výz ZŠ Třešť . Loeý výz je zloek. Jeovtel zloku e eí ovt ule. U loeých výzů učujee vžd podík, po kteé á loeý výz l. Řešeý příkld Uči podík, po kteé jí výz l, řeš dlší

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

9.1.6 Permutace I. Předpoklady: 9101, 9102, 9104

9.1.6 Permutace I. Předpoklady: 9101, 9102, 9104 9.1.6 Permutace I Předpoklady: 9101, 9102, 9104 Pedagogická poznámka: První tři příklady jsou opakování, je možné je přeskočit, nebo použít na zkoušení. Př. 1: Vyřeš slovní úlohy. a) Na plese se losuje

Více

1.3.5 Řešení slovních úloh pomocí Vennových diagramů II

1.3.5 Řešení slovních úloh pomocí Vennových diagramů II 1.3.5 Řešení slovníh úloh pomoí Vennovýh igrmů II Přepokly: 1304 Pegogiká poznámk: Ieální je poku tto hoin vyje n vičení. Postup stuentů je totiž velmi iniviuální ěljí velké množství hy, oěht elou tříu

Více