2.2 Sémantika predikátové logiky

Transkript

1 14 [ ] 2.2 Sémantika predikátové logiky Nyní se budeme zabývat sémantikou formulí, tj. jejich významem a pravdivostí Interpretace jazyka predikátové logiky. Interpretace predikátové logiky s predikátovými symboly Pred, konstantními symboly Kons a funkčními symboly Func je dvojice U,[[ ]], kde U je neprázdná množina nazývaná universum; [[ ]] je přiřazení, které 1. každému predikátovému symbolu P Pred arity n přiřazuje podmnožinu[[p]]množiny U n,tj. n-árnírelacinamnožině U. 2. každému konstantnímu symbolu a Kons přiřazuje prvek z U, značímejej[[a]], 3. každému funkčnímu symbolu f Func arity n přiřazuje zobrazení množiny U n do U,značímeje[[f]], Množina Useněkdynazývádomainaoznačuje D Kontext proměnných. Je dána interpretace U,[[ ]]. Kontext proměnnýchjezobrazení ρ,kterékaždéproměnné x Varpřiřadíprvek ρ(x) U. Je-li ρkontextproměnných, x Varad U,pak ρ[x:= d] označuje kontext proměnných, který má stejné hodnoty jako ρ, a liší se pouze vproměnné x,kdemáhodnotu d.kontextuproměnných ρ[x:= d]téžříkáme update kontextu ρ o hodnotu d v x Interpretace termů při daném kontextu proměnných. Je dána interpretace U,[[ ]] a kontext proměnných ρ. Pak termy interpretujeme následujícím způsobem. 1. Je-litermkonstatnísymbol a Kons,pakjehohodnotajeprvek[[a]] ρ = =[[a]].je-litermproměnná x,pakjehohodnotaje[[x]] ρ = ρ(x). 2. Je-li f(t 1,...,t n )term.pakjehohodnotaje [[f(d 1,...,d n )]] ρ =[[f]]([[t 1 ]] ρ,...,[[t n ]] ρ ). [Jinýmislovy,hodnotatermu f(t 1,...,t n )jefunkčníhodnotafunkce[[f]] provedenéna n-ticiprvků[[t 1 ]] ρ,...,[[t n ]] ρ z U.] Poznamenejme, že neobsahuje-li term t proměnnou, pak jeho hodnota nezáleží na kontextu proměnných ρ, ale pouze na interpretaci. Tuto formální definici si můžete přiblížit ještě takto. Vezmeme term t a utvoříme jeho derivační strom. Listy stromu ohodnotíme tak, jak nám říká interpretace(pro konstantní symboly) a kontext proměnných(pro proměnné). Pak jdeme v derivačním stromu směrem ke kořeni. Vrchol, který odpovídá n- árnímufunkčnímusymbolu f amánásledníkyohodnocenyprvky d 1, d 2,..., d n (v tomto pořadí zleva doprava), ohodnotíme prvkem [[f]](d 1,...,d n ), tj.

2 2.2. Sémantika predikátové logiky [ ] 15 obrazem n-tice(d 1,...,d n )vzobrazení[[f]].prvek,kterýmjeohodnocenkořen, je hodnota celého termu v dané interpretaci a daném kontextu. Uvědomte si, že se jedná o přesně stejný postup jako např. při vyhodnocování algebraických výrazů Pravdivostní hodnota formule v dané interpretaci a daném kontextu. Nejprve definujeme pravdivost formulí v dané interpretaci U,[[ ]] při daném kontextu proměnných ρ: 1. Nechť ϕjeatomickáformule.tj. ϕ=p(t 1,...,t n ),kde Pjepredikátový symbolarity nat 1,...,t n jsoutermy.pak ϕjepravdivávinterpretaci U,[[ ]] akontextu ρprávětehdy,když ([[t 1 ]] ρ,...,[[t n ]] ρ ) [[P]]. Jinými slovy: ϕ je v naší interpretaci pravdivá právě tehdy, když n-tice hodnottermů([[t 1 ]] ρ,...,[[t n ]] ρ )mávlastnost[[p]]. 2. Jsou-li ϕ a ψ formule, jejichž pravdivost v interpretaci U,[[ ]] a kontextu ρ již známe, pak ϕ je pravdivá právě tehdy, když ϕ není pravdivá. ϕ ψjepravdiváprávětehdy,když ϕiψjsoupravdivé. ϕ ψjenepravdiváprávětehdy,když ϕiψjsounepravdivé. ϕ ψ je nepravdivá právě tehdy, když ϕ je pravdivá a ψ je nepravdivá. ϕ ψjepravdiváprávětehdy,kdyžbuďoběformule ϕaψjsou pravdivé, nebo obě formule ϕ a ψ jsou nepravdivé. 3. Je-li ϕ formule a x proměnná, pak xϕ(x) je pravdivá právě tehdy, když fromule ϕ je pravdivá v každém kontextu ρ[x:= d],kde djeprvek U. x ϕ(x)jepravdiváprávětehdy,kdyžfromule ϕjepravdivávaspoň jednomkontextu ρ[x:= d],kde djeprvek U Pravdivostní hodnota sentence. Sentence ϕ je pravdivá v interpretaci U,[[ ]] právě tehdy, když je pravdivá v každém kontextu proměnných ρ. Poznamenejme, že pro sentence v předchozí definici jsme mohli požadovat pravdivost v alespoň jednom kontextu Model sentence. Interpretace U,[[ ]], ve které je sentence ϕ pravdivá, se nazývá model sentence ϕ Tautologie, kontradikce, splnitelná sentence. Sentence ϕ se nazývá tautologie, jestliže je pravdivá v každé interpretaci. Sentence se nazývá kontradikce, jestliže je nepravdivá v každé interpretaci. Nazývá se splnitelná, jestliže je pravdivá v aspoň jedné interpretaci. Také jsme mohli formulovat předchozí definice pomocí pojmu model. Tautologie je sentence, pro kterou je každá interpretace jejím modelem; sentence je splnitelná, má-li model; sentence je kontradikce, nemá-li model.

3 16 [ ] Následující sentence jsou tautologie.(p je unární predikátový symbol, Q je binární predikátový symbol a a je konstantní symbol.) 1. ( x P(x)) P(a); 2. P(a) ( x P(x)); 3. ( x P(x)) ( x P(x)); 4. ( x P(x)) ( x P(x)); 5. ( x y Q(x,y)) ( y x Q(x,y)); 6. ( x y Q(x,y)) ( y x Q(x,y)) Následující sentence jsou splnitelné formule: 1. x y Q(x,y), 2. x y(x+y= y+ x), kde Qa=jsoubinárnípredikátové symboly, +jebinární funkčnísymbol. (Opětupozorňujeme,žemístozápisu=(t 1,t 2 )a+(x,y)používámečitelnější zápis t 1 = t 2 a x+y.) Zvláštní příklady kontradikcí neuvádíme. Kontradikce jsou přesně ty formule, jejichž negace je tautologie. Tak např. formule( x P(x) ( x P(x)) jekontradikce.jedobrésiuvědomit,žejdeo dosazení formule x P(x)do výrokové kontradikce p p Splnitelné množiny sentencí. Množina sentencí M je splnitelná právě tehdy, když existuje interpretace U,[[ ]], v níž jsou všechny sentence z M pravdivé. Takové interpretaci pak říkáme model množiny sentencí M. Množina sentencí M je nesplnitelná, jestliže ke každé interpretaci U,[[ ]] existujeformulezm,kterájev U,[[ ]] nepravdivá. Z poslední definice vyplývá, že prázdná množina sentencí je splnitelná. (Porovnejte s výrokovou logikou.) ema pema 2.3 Tautologická ekvivalence Tautologická ekvivalence sentencí. Řekneme, že dvě sentence ϕ a ψ jsou tautologicky ekvivalentní právě tehdy, když mají stejné modely, tj. jsou pravdivé ve stejných interpretacích. Jinými slovy, mají stejnou pravdivostní hodnotu ve všech interpretacích. Někdy se říká, že sentence jsou sémanticky ekvivalentní místo, že jsou tautologicky ekvivalentní Poznámka. Dá se jednoduše dokázat, že tautologická ekvivalence je relace ekvivalence na množině všech sentencí daného jazyka L a že má podobné vlastnosti jako tautologická ekvivalence formulí výrokové logiky.

4 2.4. Sémantický důsledek [ ] Tvrzení. Nechť ϕ a ψ jsou sentence. Pak platí: ϕ = ψ právě tehdy, když ϕ ψ je tautologie Poznámka. Z odstavce dostáváme následující tautologické ekvivalence 1. ( x P(x)) = ( x P(x)), 2. ( x P(x)) = ( x P(x)), 3. x y Q(x,y) = y x Q(x,y), 4. x y Q(x,y) = y x Q(x,y) Tvrzení. Platí následující tautologické ekvivalence(p a Q jsou unární predikátové symboly). 1. ( x P(x)) ( x Q(x)) = x(p(x) Q(x)); 2. ( x P(x)) ( x Q(x)) = x(p(x) Q(x)); 3. ( x P(x)) ( y Q(y)) = x y(p(x) Q(y)); 4. ( x P(x)) ( y Q(y)) = x y(p(x) Q(y)). 2.4 Sémantický důsledek Obdobně jako ve výrokové logice definujeme i v predikátové logice pojem sémantický důsledek(též konsekvent, tautologický důsledek); tentokrát však jen pro množiny sentencí Sémantický důsledek. Řekneme, že sentence ϕ je sémantickým důsledkem, též konsekventem množiny sentencí S právě tehdy, když každý model množiny S je také modelem sentence ϕ. Tento fakt značíme S = ϕ. Můžeme též říci, že sentence ϕ není konsekventem množiny sentencí S, jestliže existuje model množiny S, který není modelem sentence ϕ. To znamená, že existuje interpretace U,[[ ]], v níž je pravdivá každá sentence z množiny S anenípravdiváformule ϕ.jednásetedyoobdobnýpojemjakovevýrokové logice, pouze místo o pravdivostním ohodnocení mluvíme o interpretaci Konvence. Jestliže množina sentencí S je jednoprvková, tj. S = {ψ}, pakpíšeme ψ = ϕmísto {ψ} = ϕ.je-limnožina Sprázdná,píšeme = ϕmísto = ϕ.

5 18 [ ] Obdobně jako pro výrokovou logiku, dostáváme řadu jednoduchých prozorování. Pro množiny sentencí M, N a sentenci ϕ platí: 1. Je-li ϕ M,je M = ϕ. 2. Je-li N Ma N = ϕ,jeim = ϕ. 3. Je-li ϕtautologie,pak M = ϕprokaždoumnožinusentencí M. 4. Je-li = ϕ,pak ϕjetautologie. 5. Je-li Mnesplnitelnámnožina,pak M = ϕprokaždousentenci ϕ Tvrzení. Nechť ϕ a ψ jsou sentence. Pak platí: ϕ = ψ právětehdy,když ϕ = ψa ψ = ϕ Tvrzení. Nechť ϕ a ψ jsou sentence. Pak platí: ϕ = ψ právětehdy,když ϕ ψjetautologie Věta. Pro každou množinu sentencí S a každou sentenci ϕ platí: S = ϕ právě tehdy, když S { ϕ} je nesplnitelná množina.