Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista"

Transkript

1 Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého matematického manipulačního programovacího jazyka. Jednotlivé příkazy se ukončují středníkem nebo dvojtečkou a po stisku klávesy ENTER jsou hned vykonány. Je-li příkaz ukončen dvojtečkou, vykonaná operace se nezobrazí na monitoru, je-li příkaz ukončen středníkem, operace se zobrazí. Je důležité, aby byla dodržena přesná syntax příkazů (zápis čárek, dvojteček, středníků a závorek). Bez přesného zápisu příkazu program požadovaný příkaz neprovede, protože ho neidentifikuje jako příkaz. V případě, že se program začne chovat podivně, restartujeme ho příkazem restart. Tento manuál je určen pro studenty Zemědělské fakulty Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích. Je rozdělen do 8 tematických celků pokrývající probíranou látku kurzů matematiky. Každá z kapitol obsahuje několik řešených příkladů, na kterých je ukázáno použití jednotlivých příkazů (jsou uvedeny červeně) a za nimi následuje ukázka provedeného příkazu (uvedeno modře). Software MAPLE je nainstalovaný na Bobíku i na výpočetním středisku a je k nalezení rozkliknutím nabídky Start/Programy/Maple V/Maple V Release. 1 MATEMATICKÉ OPERACE Protože je MAPLE kanadský produkt, má některá svá specifika spojená s angloamerickým prostředím. Prvním patrným specifikem je používání desetinné tečky místo desetinné čárky nebo že goniometrická funkce tg(x) je reprezentována příkazem tan(x). Pro práci s programem MAPLE je vhodné používat anglickou klávesnici, neboť se v příkazech vyskytují speciální znaky anglické klávesnice. 1

2 1.1 Řešené příklady Příklad Zjistěte hodnoty daného výrazu: 13, Pro operaci násobení používáme znak *, pro dělení znak /. Nezapomínáme na užití desetinné tečky místo desetinné čárky. Výraz vyčíslíme příkazem: Příklad ( *3987)/37; Zjistěte hodnoty daného výrazu: e 4 3π na 50 platných míst. Mocniny zadáváme pomocí znaku ˆ. Odmocniny přepisujeme jako exponent ve tvaru zlomku. Eulerovo číslo e zapisujeme ve tvaru exp(), kde v závorce uvádíme exponent. Pro číslo π používáme příkaz Pi. Daný výraz najdeme pomocí příkazu: 13ˆ(5/7) + exp(4) - 3*Pi; 13 ( 5 7 ) + e 4 3π Abychom zjistili hodnotu daného výrazu, použijeme evaluační příkaz: evalf(%,50); Znak % zastupuje poslední vypočítanou hodnotu (v tomto případě 13 ( 5 7 ) +e 4 3π), za čárkou je uveden počet míst, kolik jich chceme uvést (např. 50). Počet míst není povinný, bez zadání vyčílí MAPLE výraz na 10 platných míst. Také je možné získat danou hodnotu rovnou kombinací výše uvedených příkazů: evalf(13ˆ(5/7) + exp(4) - 3*Pi,50);

3 1.1.3 Příklad Zjistěte hodnotu výrazu s goniometrickými funkcemi: (cos(3, 5)) 3 + sin(2, 7) tan(5) na 25 platných míst. Pro výpočet hodnot goniometrických funkcí používáme příkazy sin(), cos() a tan(). V závorkách uvádíme argument. Daný výraz vyčíslíme příkazem: Příklad evalf((cos(3.5))ˆ3 + sin(2.7) - tan(5),25); Jakému úhlu v radiánech a ve stupních odpovídá hodnota sin(x) = 0, 6438? Pro výpočet úhlu goniometrických funkcí používáme cyklometrické funkce arcsin(x), arccos(x), a arctan(x). V tomto případě použijeme funkci arcsin(x) reprezentovanou příkazem arcsin(), kde v závorce uvádíme argument: evalf(arcsin(0.6438)); Získaná hodnota je v radiánech. Pro převod radiánů na stupně použijeme příkaz: convert( ,degrees); degrees π Abychom dostali hledanou hodnotu, musíme ještě použít evaluační příkaz: Příklad evalf(%); degrees Zjistěte hodnotu výrazu s absolutní hodnotou Pro výpočet hodnot s absolutní hodnotou používáme příkazy abs(), kde v závorkách uvádíme výraz v absolutní hodnotě. Daný výraz vyčíslíme příkazem: abs(7-abs(6-15)-32); 34 3

4 1.1.6 Příklad Zjednodušte daný výraz x 2 y 2 x 2 +4x+4 : x y x+2. Pro zjednodušování výrazů použijeme příkaz: Příklad simplify(((xˆ2-yˆ2)/(xˆ2+4*x+4))/((x-y)/(x+2))); x+y x+2 Zjednodušte daný výraz s komplexními čísly (3 8i)3 3 5i. Pro zápis imaginární jednotky i použijeme znak I a výraz zjednodušíme opět příkazem: 1.2 Neřešené příklady simplify(((3-8*i)ˆ3)/(3-5*i)); I Vyčíslete: ( ) [8072, ] (sin(5)) 7 + e 2,5 [ ] ( ) , π α ve stupních, je-li cos(α) = 0, 7236 [ 2804, ] [43, ] Upravte: x2 (x + y) x y x(x + y + 1) + y i5 + (5 i) 2 2 i [x 1] [ 57+6i 5 ] 4

5 2 LINEÁRNÍ ALGEBRA Před začátkem práce s vektory a maticemi je nutné aktivovat knihovnu lineární algebry. Tím si program MAPLE aktivizuje příkazy,které my pak můžeme používat. Knihovna lineární algebry se aktivizuje příkazem with(linalg); Po zadání příkazu se modře vypíše seznam příkazů, které můžeme pro zpracování úloh z lineární algebry používat. MAPLE umí pracovat jak s vektory tak s maticemi. Vždy je dobré si zadávané vektory a matice pojmenovat pomocí přiřazovacího příkazu :=, aby bylo možné s nimi dále pracovat. Některá velká písmena nedovolí MAPLE pro pojmenování použít, neboť manjí svůj specifický význam (např. E je rezervovaný název pro jednotkovou matici). 2.1 Řešené příklady Příklad Jsou dány vektory a = (3, 5, 5) a b = (2, 3, 7). Určete skalární součin a b, vektorový součin a b, normu vektoru a a odchylku vektorů a a b. Vektory a a b zadáme pomocí příkazu: a:=vector(3,[3,-5,5]); a:=[3, -5, 5] b:=vector(3,[2,3,-7]); b:=[2, 3,-7] První cifra označuje počet složek vektoru, v hranatých závorkách pak uvedeme postupně všechny složky vektoru, které oddělíme čárkami. Skalární a vektorový součet vektorů provedeme příkazy: dotprod(a,b); 44 crossprod(a,b); [20, 31, 19] 5

6 Normu vektoru a nalezneme pomocí příkazu: norm(a,2); 59 Cifra 2 v argumentu je součástí příkazu a je povinná. Odchylku vektorů získáme příkazem: evalf(angle(a,b)); Získaná hodnota odpovídá radiánům. Pro převod na stupně použijeme příkaz: evalf(convert(%,degrees)); degrees Příklad Je dány matice A = ( ), matice B = Určete matici C, její hodnost a determinant Nejprve je potřeba vytvořit matice A a B pomocí příkazu: a matice C = A B. A:=matrix(2,3,[3,5,4,-6,3,7]); [ ] A := B:=matrix(3,2,[7,9,-5,3,7,1]); 7 9 B := První dvě cifry před hranatou závorkou určují typ matice, v hranatých závorkách pak uvedeme postupně všechny prvky matice, které oddělíme čárkami. 6

7 Nyní můžeme s maticemi pracovat. Nejprve matice vynásobíme, abychom získali matici C: C:=evalm(A&*B); nebo C:=multiply(A,B); [ ] C := 8 38 Hodnost matice a determinant matice C zjistíme zadáním příkazu: rank(c); 2 det(c); Příklad Najděte matici V, pro kterou platí, že V = 3 A B. Pro násobení matic číslem a matic navzájem použijeme příkaz: V:=evalm(3*A&*B); [ ] V := Pro násobení se v příkazu rozlišuje násobení matice číslem (*) a matic navzájem (&*) Příklad Jsou dány matice A = ( Určete matici H. ), B = , matice G = ( ), a matice H = A B 5G. 7

8 Máme-li z předchozího příkladu zadané matice A i B, zadáme ještě matici G: Nyní určíme matici H: G:=matrix(2,2,[3,7,9,-5]); [ ] 3 7 G := Příklad H:=evalm(A&*B-5*G); [ ] 9 11 H := Pro matici K platí, že K = B A. Určete matici transponovanou a adjungovanou k matici K. Nejprve vynásobíme matice B a A, abychom získali matici K: K:=multiply(B,A); K := Nyní můžeme přistoupit k výpočtu matice transponované (nazveme transk) a adjungované (nazveme adjk): transk:=transpose(k); transk := adjk:=adj(k); transk :=

9 2.1.6 Příklad Je dána matice S := matici k ní inverzní Určete její determinant a pokud je regulární, najděte Nejprve zadáme matici S: Vypočteme determinant: S:=matrix(3,3,[5,7,13,-3,6,11,2,8,5]); S := Matice je regulární, zjistíme matici inverzní: det(s); -499 inverse(s); Příklad Upravte matici S do Gaussova tvaru. Pro úpravu matic do Gaussova tvaru používáme příkaz: gausselim(s);

10 2.2 Neřešené příklady Určete: závislost souboru S = {(1, 3, 2, 6, 3); (3, 5, 2, 0, 5); (8, 3, 5, 2, 8); ( 3, 2, 7, 4, 6), (7, 3, 12, 0, 22)} [h(s) = 4, závislý] normu vektoru v = (2, 3; 5, 3; 3; 7; 4; 9, 1; 3) odchylku vektorů m = (3, 7, 3, 5, 6) a n = ( 1, 3, 5, 7, 11) determinant matice X = hodnost matice R = [2 53 = ] [34, ] [ 2744] [2] 10

11 3 ROVNICE 3.1 Řešené příklady Příklad Řešte kvadratickou rovnici x 2 7x + 10 = 0; Rovnici budeme řešit jednoduchým příkazem: Příklad solve(xˆ2-7*x+10=0,x); Najděte hodnoty neznámých x, y a z v soustavě: 5x + 7y 13z = 5 3x 5y + 6z = 3 2x 8y = 1 5, 2 Soustavy rovnic můžeme řešit několika způsoby. Máme-li aktivní knihovnu lineární algebry (linalg), můžeme soustavu zadat a nazveme ji R: R:={5*x+7*y-13*z-5,3*x-5*y+6*z-3,2*x-8*y+1}; R := {5x + 7y 13z 5, 3x 5y + 6z 3, 2x 8y + 1}; Rovnice soustavy jsme položili rovny 0, oddělili čárkami a zadali je do složených závorek. Nyní můžeme soustavu vyřešit příkazem: leastsqrs(r,{x,y,z}); {x = 25 22, y = 9 22, z = 3 11 } Dalším způsobem, jak vyřešit tuto soustavu, je použití matic. Nejprve vytvoříme matici soustavy A: A:=matrix(3,3,[5,7,-13,3,-5,6,2,-8,0]); A :=

12 Dále zadáme vektor pravých stran: v:=vector(3,[5,3,-1]); v := [5, 3, 1] A nyní soustavu vyřešíme příkazem a po řadě dostaneme hodnoty neznámých x, y a z: linsolve(a,v); [ 25 22, 9 22, 3 11 ] Příklad Řešte rovnici 3x 2 + 2x 7 = 8. Rovnici vyřešíme příkazem: solve(3*xˆ2+2*x-7=8,x); , Neřešené příklady Řešte: rovnici 3x 2 5x + 8 = 13 [ , ] rovnici 2x 11 x+5 + 4x = 17 5x [ , ] soustavu rovnic 7u + 5v 8x 9y = 6 3u 2v 3y = 5 u + 2v 13x 3y = 3 5u x 4y = 2 [v = 97 91, u = , x = 6 65, y = ] 12

13 4 POSLOUPNOSTI A ŘADY 4.1 Řešené příklady Příklad Určete limitu dané posloupnosti: lim n 3n 3 + 5n + 1 7n Limity posloupností hledáme pomocí příkazu: limit((3*nˆ3+5*n+1)/(7*nˆ2+8),n=infinity); V první části uvedeme samotnou posloupnost, ve druhé pak pro jaké n. V tomto případě se jednalo o limitu jdoucí do nekonečna - infinity Příklad Určete limitu dané posloupnosti: lim n n n. Limitu posloupnosti získáme pomocí příkazu: limit(nˆ(1/n),n=infinity); Příklad ( Určete limitu dané posloupnosti: lim n. n n) Limity posloupností zadáme pomocí příkazu: limit((1+(1/n))ˆn,n=infinity); Limita dané posloupnosti je rovna Eulerovu číslu e, které má přibližnou hodnotu 2,178. e 13

14 4.1.4 Příklad Určete součet řady 70 k=1 5 2k. Součet řady najdeme zadáním příkazu: sum(5/(2*k),k=1..70); Příklad Určete součty harmonické řady 1000 k= k, k=1 Součty harmonické řady najdeme zadáním příkazu 1 k a k=1 1 k. sum(1/k,k= ); sum(1/k,k= ); sum(1/k,k=1..infinity); Float( ) Z výsledku plyne, že harmonická řada má dané součty pro uvedené konkrétní n, ale v případě sečtení členů až do nekonečna daná řada součet nemá - diverguje. 4.2 Neřešené příklady Určete: sin(x) limitu posloupnosti lim x 0 x [1] ( limitu posloupnosti lim ) 7n n n [e 7 = 1096, ] součet řady součet řady 57 k=1 n=1 7 2k 3 [4, ] 1 n 2 [ 1 6 π2 = 1, ] 14

15 5 FUNKCE 5.1 Řešené příklady Příklad Najděte funkční hodnotu funkce y = 9x 7 3 cos x v bodě x = 1, 73. Funkci nazveme f a zadáme ji příkazem f:=x->9*xˆ7-3*cos(x); f := x 9x 7 3 cos(x) Nyní zjistíme hodnotu v bodě x = 1, 73: f(1.73); Příklad Najděte funkční hodnotu funkce 2 proměnných z = x 3 3y 2 + sin(xy) v bodě [3, 5; 2, 4]. Funkci nazveme z a zadáme ji příkazem: z:=(x,y)->xˆ3-3*yˆ2+ sin(x*y); f := (x, y) x 3 3y 2 + sin(xy) Nyní zjistíme hodnotu v bodě [3, 5; 2, 4]: z(3.5,2.4);

16 maximum funkce y = 7cos(sin(x 5 )) 5 na intervalu π 2 2π [2] Příklad Najděte minimum a maximum funkce y = 5x 3 3x na intervalu 3, 5. Minimum a maximum funkce y v daném intervalu 3, 5 najdeme pomocí příkazů: minimize(5*xˆ3-3*xˆ2+8,x=-3..5); 154 maximize(5*xˆ3-3*xˆ2+8,x=-3..5); Neřešené příklady Určete: funkční hodnotu funkce y = 5x 7 3e 5x 4 cos(x) v bodě x = 6, 22 [ 9, ] funkční hodnotu funkce 3 proměnných w = 5(xy) 3 +4zy 2 +cos(xyz) v bodě [ 2, 5; 1, 8; 3] [ ] minimum funkce y = 3e 2x 5 3x 3 17 na intervalu 5, 9 [ ] 16

17 6 GRAFIKA MAPLE umí vykreslit dvoudimenzionální grafy jedné proměnné i trojdimenzionální grafy dvou proměnných. Dokáže navíc vykreslit několik grafů do jednoho obrázku. Vždy je nutné uvést interval, na kterém se daný graf či grafy vykreslí. 6.1 Řešené příklady Příklad Vykreslete graf funkce y = 3x 4 + 5x 3 1 na intervalu 2, 1. Graf vykreslíme následujícím příkazem, kde doplníme interval pro proměnnou x (ta je povinná) a pro proměnnou y (je nepovinná, ale graf je přehlednější): plot(3*xˆ4+5*xˆ3-1,x=-2..1,y=-4..3); Příklad Vykreslete grafy funkcí y = x 2 2x 8 a y = 5x 8 na intervalu 3, 5 a najděte jejich průsečík. Grafy vykreslíme následujícím příkazem, kde do složených závorek zadáme obě funkce oddělené čárkou: plot({xˆ2-2*x-8,5*x-8},x=-3..5); Z grafů je patrné, že obě křivky se protínají v bodě [0,-8]. 17

18 6.1.3 Příklad Vykreslete trojdimenzionální graf funkce dvou proměnných z = x e x2 y 2 x 2, 2 a y 2, 2. na intervalu Pro vykreslení trojdimenzionálních grafů použijeme příkaz: plot3d(x*exp(-xˆ2-yˆ2),x=-2..2,y=-2..2); 18

19 7 DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 7.1 Řešené příklady Příklad Najděte první derivaci funkce y = x 7 5 x 3 + e 2x. Derivaci si nazveme d a vytvoříme ji příkazem: diff(xˆ7- (x)ˆ(3/5)+ exp(2*x),x); 7x 6 3 5x ( 2 5 ) + 2e(2x) V argumentu příkazu je nutné uvést proměnnou, podle které derivujeme (v tomto případě podle x) Příklad Najděte 3.derivaci funkce y = sin(x) + x 3 + e 2x. Třetí derivaci funkce vytvoříme příkazem: diff(sin(x) + xˆ3 + exp(2*x),x$3); cos(x) e 2x V argumentu příkazu je nutné uvést proměnnou, podle které derivujeme, a stupeň derivace (v tomto případě podle x a stupeň 3.) Příklad Najděte parciální derivaci podle y funkce dvou proměnných z = sin(xy) + 3x 3 + x y. Parciální derivaci snadno vytvoříme příkazem: diff(sin(x*y) + 3*xˆ3 + (x/y),y); cos(xy)x x y 2 19

20 7.1.4 Příklad Najděte druhou derivaci funkce 4x 7 5 x a její hodnotu v bodě x = 3, 78. Jestliže chceme s derivacemi ještě dále pracovat, je nezbytné nejprve vytvořit funkci a tu pak derivovat. Označíme si funkci a a zadáme již známým příkazem: Funkci a zderivujeme a derivaci nazveme b: a:=x->4*xˆ7-(x)ˆ(1/5); a := x 4x 7 x ( 1 5 ) b := x 168x x ( 9 5 ) Nyní již můžeme zjistit hodnotu druhé derivace v bodě x = 3, 78: b(3.78); Příklad Řešte neurčitý integrál ln(x) dx. Neurčitý integrál získáme pomocí příkazu: int(ln(x),x); x ln(x) x Opět je nutné v argumentu příkazu uvést, podle které proměnné integrujeme (v tomto případě podle x). 20

21 7.1.6 Příklad Určete hodnotu určitého integrálu 7 3 x 5 dx. Neurčitý integrál získáme pomocí příkazu: int((xˆ5),x=3..7); Opět je nutné v argumentu příkazu uvést, podle které proměnné integrujeme (v tomto případě podle x) a meze určitého intervalu. 7.2 Neřešené příklady Určete: 1.derivaci funkce y = xex x 2 x 8 hodnotu y (2) funkce funkce y = x7 +x 2 cos(x) x 8 [ ex +xe x 2x x 8 xex x 2 (x 8) 2 ] [ ] parciální derivaci podle x funkce dvou proměnných z = cos(xy) + e3x y y 3 [ sin(xy)y + 3e(3x) y 3 ] 3x 2 x 4 dx [ 3 2 x2 + 12x + 48 ln(x 4)] 7 2e 5x x dx 5 [ 2 5 e( 25) e35 12 = 0, ] 21

22 8 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 8.1 Řešené příklady Funkci y zadáváme do programu pomocí příkazu y(x), její první derivaci pomocí diff(y(x),x), pro druhou derivace pak diff(y(x),x$2). Pro derivace vyšších řádů používáme stejný příkaz, kde jen měníme stupeň derivace Příklad Je dána diferenciální rovnice y (x) 2y(x) = e x. Řešte ji obecně a pak s počáteční podmínkou y(8) = 5. Nejprve si danou diferenciální rovnici vložíme a nazveme ji dr: Nyní nalezneme obecné řešení: dr:=diff(y(x),x) - 2*y(x) = exp(x); dr := ( d dx y(x)) 2y(x) = e x dsolve(dr,y(x)); y(x) = e x + e (2x) C1 Obecné řešení obsahuje C1, což označuje integrační konstantu C 1. Rovnou však můžeme najít partikulární řešení, když vložíme do argumentu příkazu danou počáteční podmínku: Příklad dsolve({dr,y(8)=5},y(x)); y(x) = e x e(2x) ( 5 e 8 ) e 16 Je dána diferenciální rovnice y (x) 2y (x) 8y(x) = x 3 5. Najděte obecné řešení. Nejprve si danou diferenciální rovnici vložíme a nazveme ji a: a := diff(y(x), x$2) 2 diff(y(x), x) 8 y(x) = x 3 5; ( ) a := d 2 y(x) 2 ( d dx 2 dx y(x)) 8y(x) = x

23 Nyní nalezneme obecné řešení: dsolve(a,y(x)); y(x) = e (4x) C2 + e ( 2x) C x x2 32 x Neřešené příklady Řešte: diferenciální rovnici 5y (x) y(x) = 3x 5. Řešte ji obecně a pak s počáteční podmínkou y(1) = 2. [y(x) = 10 3x + C 1 e ( x 5 ), y(x) = 10 3x + 15e( x 5 ) e ( 1 5 ) ] diferenciální rovnici y (x) 7y (x) + 10y(x) = 5e x + x 2 3. Řešte ji obecně a pak s počátečními podmínkami y(8) = 5 a y(0) = 9. [y(x) = C 2 e (5x) + C 1 e (2x) ex + x x ] 23

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

1.1.3 Práce s kalkulátorem

1.1.3 Práce s kalkulátorem .. Práce s kalkulátorem Výrazy zadáváme do kalkulačky pokud možno vcelku, pozor na závorky a čísla ve jmenovateli u zlomků. Př. : Spočti na kalkulačce s maximální možnou přesností a bez zapisování mezivýsledků:

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Základy algoritmizace a programování

Základy algoritmizace a programování Základy algoritmizace a programování Přednáška 1 Olga Majlingová Katedra matematiky, ČVUT v Praze 19. září 2011 Obsah Úvodní informace 1 Úvodní informace 2 3 4 Doporučená literatura web: http://marian.fsik.cvut.cz/zapg

Více

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK > A2:=augment(submatrix(A,1..3,[1]),b,submatrix(A,1..3,[3])); Potom vypočítáme hodnotu x 2 : > x2:=det(a2)/det(a); Zadání matice. Matici M typu (2, 3) zadáme

Více

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Internetová adresa osobní stránky: http://www.mat.fme.vutbr.cz/home/klaska E-mail: klaska@um.fme.vutbr.cz

Internetová adresa osobní stránky: http://www.mat.fme.vutbr.cz/home/klaska E-mail: klaska@um.fme.vutbr.cz 3 MAPLEOVSKÁ CVIČENÍ PRO ZÁKLADNÍ KURZ MATEMATIKY RNDr. Jiří Klaška, Dr. Internetová adresa osobní stránky: http://www.mat.fme.vutbr.cz/home/klaska E-mail: klaska@um.fme.vutbr.cz Úvod Maple je program,

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

PROGRAM MAXIMA. KORDEK, David, (CZ) PROGRAM MAXIMA

PROGRAM MAXIMA. KORDEK, David, (CZ) PROGRAM MAXIMA PROGRAM MAXIMA KORDEK, David, (CZ) Abstrakt. Co je to Open Source Software? Příklady některých nejpoužívanějších software tohoto typu. Výhody a nevýhody Open Source Software. Jak získat program Maxima.

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Matematika I. dvouletý volitelný předmět

Matematika I. dvouletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Matematika I O7A, C3A, O8A, C4A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem usnadnit absolventům gymnázia přechod na vysoké školy

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12 Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory

Více

předmětu MATEMATIKA B 1

předmětu MATEMATIKA B 1 Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Vektorový prostor Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to vektory

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

KALKULÁTORY EXP LOCAL SIN

KALKULÁTORY EXP LOCAL SIN + = KALKULÁTORY 2014 201 C π EXP LOCAL SIN MU GT ŠKOLNÍ A VĚDECKÉ KALKULÁTORY 104 103 102 Hmotnost: 100 g 401 279 244 EXPONENT EXPONENT EXPONENT 142 mm 170 mm 1 mm 7 mm 0 mm 4 mm Výpočty zlomků Variace,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 72/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Technické lyceum (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Algoritmizace a programování

Algoritmizace a programování Algoritmizace a programování Výrazy Operátory Výrazy Verze pro akademický rok 2012/2013 1 Operace, operátory Unární jeden operand, operátor se zapisuje ve většině případů před operand, v některých případech

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM CÍLE KAPITOLY Využívat pokročilé možnosti formátování, jako je podmíněné formátování, používat vlastní formát čísel a umět pracovat s listy. Používat

Více

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu:

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu: Čtvrtek 8 prosince Pascal - opakování základů Struktura programu: 1 hlavička obsahuje název programu, použité programové jednotky (knihovny), definice konstant, deklarace proměnných, všechny použité procedury

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 3 Metoda nejmenších čtverců 3 Metoda nejmenších čtverců Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 73-80. Jedná se o třetí možnou metodu aproximace,

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A2. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A2. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vsoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A2 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2004 Obsah 1. Cvičení č.1 2 2. Cvičení č.2

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Základy algoritmizace a programování

Základy algoritmizace a programování Základy algoritmizace a programování Přednáška 1 Olga Majlingová Katedra matematiky, ČVUT v Praze 21. září 2009 Obsah Úvodní informace 1 Úvodní informace 2 3 4 Organizace předmětu Přednášky 1. 5. Základní

Více

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole)

Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole) Téma 2.4 Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole) Pomocí dotazu lze také vytvářet nová pole, která mají vazbu na již existující pole v databázi. Vznikne tedy nový sloupec, který se počítá podle vzorce.

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

INOVACE MATEMATIKY PRO EKONOMY NA VŠE. Anketavroce2008

INOVACE MATEMATIKY PRO EKONOMY NA VŠE. Anketavroce2008 INOVACE MATEMATIKY PRO EKONOMY NA VŠE Anketavroce2008 Dne 11.12.2008 se obrátil člen katedry matematiky doc. RNDr. Jiří Henzler, CSc. na všechny učitele Vysoké školy ekonomické v Praze s následující výzvou:

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

ZÁPOČTOVÁ PRÁCE z UIR

ZÁPOČTOVÁ PRÁCE z UIR ZÁPOČTOVÁ PRÁCE z UIR Jméno a příjmení: Jan Tichava Osobní číslo: Studijní skupina: pondělí, 4 5 Obor: INIB INF E-mail: jtichava@students.zcu.cz Datum odevzdání: 1.5.2006 Zadání Označení zadání: 2004KT01

Více

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ DIPLOMOVÁ PRÁCE Diplomant: Vedoucí diplomové práce: Zdeněk ŽELEZNÝ RNDr. Libuše Samková,

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

Smart Counter 2 Systém počítačové algebry

Smart Counter 2 Systém počítačové algebry SOČ 2005 2006 Středoškolská odborná činnost Matematika a matematická informatika Softwarové zpracování úloh matematiky a matematické informatiky Smart Counter 2 Systém počítačové algebry Štěpán Kozák 3.

Více

3.4.1. Tabulace učebního plánu

3.4.1. Tabulace učebního plánu 3.4.1. Tabulace učebního plánu Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět: MATEMATIKA Ročník: Kvinta, 1. ročník Tématická Číselné obory Druhy čísel (N, Z, Q, R, I) - prezentuje přehled číselných oborů Mocniny

Více

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE Obsah JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE...2 Co je to funkce?...2 Existuje snadnější definice funkce?...2 Dobře, pořád se mi to zdá trochu moc komplikonavané. Můžeme se na základní pojmy

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA ILUSTRAČNÍ TEST MAIZD4C0T0 Pokyny k hodnocení MATEMATIKA Pokyny k hodnocení úlohy Vyznačte na číselné ose obraz čísla 0,6. 0,6 3 apod. NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ Chybně vyznačený obraz, resp. není zřejmé, kde

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVD11C0T02 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový

Více

Úvod do programu wxmaxima

Úvod do programu wxmaxima Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Bakalářská práce Úvod do programu wxmaxima Vypracoval: Lukáš Filip Vedoucí práce: Mgr. Roman Hašek, Ph.D České Budějovice

Více

Praktické využití Mathematica CalcCenter. Ing. Petr Kubín, Ph.D. xkubin@fel.cvut.cz www.powerwiki.cz Katedra elektroenergetiky, ČVUT v Praze, FEL

Praktické využití Mathematica CalcCenter. Ing. Petr Kubín, Ph.D. xkubin@fel.cvut.cz www.powerwiki.cz Katedra elektroenergetiky, ČVUT v Praze, FEL Praktické využití Mathematica CalcCenter Ing. Petr Kubín, Ph.D. xkubin@fel.cvut.cz www.powerwiki.cz Katedra elektroenergetiky, ČVUT v Praze, FEL Obsah Popis Pojetí Vlastnosti Obecná charakteristika Ovladače

Více