Základy matematické analýzy

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Základy matematické analýzy"

Transkript

1 Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze 14. prosince 2014 ZS 2014/2015 Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

2 Hlavní body 1 Definice a kriteria spojitosti 2 Numerické řešení rovnic 3 Spojitost elementárních funkcí Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

3 Hlavní body 1 Definice a kriteria spojitosti 2 Numerické řešení rovnic 3 Spojitost elementárních funkcí Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

4 Spojitost Definice: Nechť f je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod a D f. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a, pokud lim x a f (x) = f (a). Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

5 Spojitost Definice: Nechť f je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod a D f. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a, pokud lim f (x) = f (a). x a f je spojitá v bodě a zprava, pokud lim f (x) = f (a). x a+ Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

6 Spojitost Definice: Nechť f je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod a D f. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a, pokud lim f (x) = f (a). x a f je spojitá v bodě a zprava, pokud lim f (x) = f (a). x a+ f je spojitá v bodě a zleva, pokud lim x a f (x) = f (a). Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

7 Spojitost Definice: Nechť f je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod a D f. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a, pokud lim f (x) = f (a). x a f je spojitá v bodě a zprava, pokud lim f (x) = f (a). x a+ f je spojitá v bodě a zleva, pokud lim x a f (x) = f (a). Poznámka (ε δ formulace spojitosti): Je-li funkce definovaná na okolí bodu a D f, pak a i f (a) R a dostáváme alternativní definici: Funkce f je spojitá v bodě a D f, právě když pro každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro každé x R splňující x a < δ platí f (x) f (a) < ε. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

8 Vlastnosti spojitých funkcí Následující tvrzení jsou bezprostředními důsledky vlastností limity funkce: Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

9 Vlastnosti spojitých funkcí Následující tvrzení jsou bezprostředními důsledky vlastností limity funkce: Věta: Funkce f je spojitá v bodě a D f, právě když je spojitá v bodě a zleva i zprava. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

10 Vlastnosti spojitých funkcí Následující tvrzení jsou bezprostředními důsledky vlastností limity funkce: Věta: Funkce f je spojitá v bodě a D f, právě když je spojitá v bodě a zleva i zprava. Věta: Součet a součin dvou funkcí f a g spojitých v bodě a je funkce spojitá v bodě a. Pokud navíc g(a) 0, pak podíl f g je funkce spojitá v bodě a. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

11 Vlastnosti spojitých funkcí Následující tvrzení jsou bezprostředními důsledky vlastností limity funkce: Věta: Funkce f je spojitá v bodě a D f, právě když je spojitá v bodě a zleva i zprava. Věta: Součet a součin dvou funkcí f a g spojitých v bodě a je funkce spojitá v bodě a. Pokud navíc g(a) 0, pak podíl f g je funkce spojitá v bodě a. Věta: Buďte g funkce spojitá v bodě a a f funkce spojitá v bodě g(a). Potom složená funkce f g je spojitá v bodě a. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

12 Spojitost polynomů Příklad. V předchozí přednášce jsme ukázali, že pro libovolné reálné a a libovolný polynom P(x) platí lim P(x) = P(a). x a Každý polynom je proto spojitou funkcí v každém bodě a R. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

13 Příklad. Zkoumejte spojitost funkce f (x) = x x. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

14 Příklad. Zkoumejte spojitost funkce f (x) = x x. Přirozeným definičním oborem funkce f je D f = R. Funkce f je spojitá v každém bodě a R Z. V bodech a Z je spojitá zprava, ale ne zleva. lim f (x) = f (a) a lim f (x) = f (a) + 1. x a+ x a y x Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

15 Spojitost na intervalu Doposud jsme pojem spojitosti měli zaveden pouze v jednom jediném bodě. Nyní ho rozšíříme na celý interval. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

16 Spojitost na intervalu Doposud jsme pojem spojitosti měli zaveden pouze v jednom jediném bodě. Nyní ho rozšíříme na celý interval. Definice: Funkce f je spojitá na intervalu (a, b), právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b). Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

17 Spojitost na intervalu Doposud jsme pojem spojitosti měli zaveden pouze v jednom jediném bodě. Nyní ho rozšíříme na celý interval. Definice: Funkce f je spojitá na intervalu (a, b), právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b). spojitá na intervalu a, b), právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b) a v bodě a je spojitá zprava. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

18 Spojitost na intervalu Doposud jsme pojem spojitosti měli zaveden pouze v jednom jediném bodě. Nyní ho rozšíříme na celý interval. Definice: Funkce f je spojitá na intervalu (a, b), právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b). spojitá na intervalu a, b), právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b) a v bodě a je spojitá zprava. spojitá na intervalu (a, b, právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b) a v bodě b je spojitá zleva. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

19 Spojitost na intervalu Doposud jsme pojem spojitosti měli zaveden pouze v jednom jediném bodě. Nyní ho rozšíříme na celý interval. Definice: Funkce f je spojitá na intervalu (a, b), právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b). spojitá na intervalu a, b), právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b) a v bodě a je spojitá zprava. spojitá na intervalu (a, b, právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b) a v bodě b je spojitá zleva. spojitá na intervalu a, b, právě když f je spojitá v každém bodě x (a, b), v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

20 Hlavní body 1 Definice a kriteria spojitosti 2 Numerické řešení rovnic 3 Spojitost elementárních funkcí Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

21 Formulace problému Řadu problémů lze formulovat jako hledání řešení rovnice f (x) = 0. V této části ukážeme jednoduchou postačující podmínku pro existenci řešení takovéto rovnice a algoritmus hledající aspoň jedno z možných řešení. Příklad. Vypočíst numerickou hodnotu 2 znamená řešit rovnici f (x) = x 2 2 = 0. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

22 Věta (Metoda půlení intervalu): Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu a, b a nechť f (a) f (b) < 0. Potom existuje bod c (a, b) takový, že f (c) = 0. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

23 Věta (Metoda půlení intervalu): Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu a, b a nechť f (a) f (b) < 0. Potom existuje bod c (a, b) takový, že f (c) = 0. Položme a 1 := a a b 1 := b. Protože znaménka f (a 1 ) a f (b 1 ) jsou různá, nastane právě jedna ze tří možností 1 f ( a 1+b 1 ) 2 = 0, 2 znaménka f (a 1 ) a f ( ) a 1+b 1 2 jsou různá, 3 znaménka f ( ) a 1+b 1 2 a f (b1 ) jsou různá. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

24 Věta (Metoda půlení intervalu): Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu a, b a nechť f (a) f (b) < 0. Potom existuje bod c (a, b) takový, že f (c) = 0. Položme a 1 := a a b 1 := b. Protože znaménka f (a 1 ) a f (b 1 ) jsou různá, nastane právě jedna ze tří možností 1 f ( a 1+b 1 ) 2 = 0, 2 znaménka f (a 1 ) a f ( ) a 1+b 1 2 jsou různá, 3 znaménka f ( ) a 1+b 1 2 a f (b1 ) jsou různá. Dále postupujeme podle toho, která z těchto možností nastala: 1 Hledaným bodem c je a1+b1 2 a věta je dokázána. 2 Položme a 2 := a 1 a b 2 := a1+b Položme a 2 := a1+b1 2 a b 2 = b 1. Pokud nenastala první možnost, proveďme stejnou úvahu s a 2 a b 2 místo a 1 a b 1. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

25 Tímto způsobem postupně konstruujeme další a 3, b 3, atd. Pokud v některém z kroků nastane první možnost (tj. existuje n tak, že f ( a n+b n ) 2 = 0), pak je věta dokázána. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

26 Tímto způsobem postupně konstruujeme další a 3, b 3, atd. Pokud v některém z kroků nastane první možnost (tj. existuje n tak, že f ( a n+b n ) 2 = 0), pak je věta dokázána. V opačném případě jsme zkonstruovali posloupnosti (a n ), (b n ) splňující a n, b n a, b, a a n a n+1 < b n+1 b n b, b n a n = b a 2 n 1, pro každé n N. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

27 Tímto způsobem postupně konstruujeme další a 3, b 3, atd. Pokud v některém z kroků nastane první možnost (tj. existuje n tak, že f ( a n+b n ) 2 = 0), pak je věta dokázána. V opačném případě jsme zkonstruovali posloupnosti (a n ), (b n ) splňující a n, b n a, b, a a n a n+1 < b n+1 b n b, b n a n = b a 2 n 1, pro každé n N. Obě posloupnosti jsou monotónní a omezené, tudíž existují jejich konečné limity, a n α a b n β při n. Navíc β α = lim (b b a n a n ) = lim = 0. n n 2n 1 Obě posloupnosti tedy mají stejnou limitu, označme ji c := α = β a, b. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

28 Tímto způsobem postupně konstruujeme další a 3, b 3, atd. Pokud v některém z kroků nastane první možnost (tj. existuje n tak, že f ( a n+b n ) 2 = 0), pak je věta dokázána. V opačném případě jsme zkonstruovali posloupnosti (a n ), (b n ) splňující a n, b n a, b, a a n a n+1 < b n+1 b n b, b n a n = b a 2 n 1, pro každé n N. Obě posloupnosti jsou monotónní a omezené, tudíž existují jejich konečné limity, a n α a b n β při n. Navíc β α = lim (b b a n a n ) = lim = 0. n n 2n 1 Obě posloupnosti tedy mají stejnou limitu, označme ji c := α = β a, b. Ze spojitosti funkce f v bodě c a Heineho věty nyní plyne lim f (a n) = lim f (b n) = f (c). n n Ale protože všechny f (a n ) mají různé znaménko od f (b n ) mohou poslední rovnosti nastat pouze v případě že f (c) = 0. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

29 Ilustrace metody půlení intervalu y x Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

30 Ilustrace metody půlení intervalu y f (b 1 ) a 1 b 1 x f (a 1 ) Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

31 Ilustrace metody půlení intervalu y f (b 1 ) a 1 a 2 b 1 x b 2 f (a 2 ) f (a 1 ) Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

32 Ilustrace metody půlení intervalu y f (b 1 ) f (b 3 ) a 1 a 3 a 2 b 3 b 1 x b 2 f (a 2 ) f (a 1 ) Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

33 Ilustrace metody půlení intervalu y f (b 1 ) f (b 3 ) f (a 4 ) a 1 a 3 a 2 a 4 b 3 b 4 b 1 b 2 x f (a 2 ) f (a 1 ) Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

34 Poznámka (Komentář k důkazu): Důkaz předcházející věty se nazývá konstruktivní. Tvrzení věty, existenci čísla c, jsme dokázali jeho konstrukcí. Algoritmus použitý v důkazu se nazývá metoda půlení intervalu a lze ho prakticky použít k hledání řešení rovnice f (x) = 0. Algoritmus kontroluje i přesnost výpočtu, v každém kroku iterace platí nerovnosti a n c b n, n = 1, 2, 3... Víme proto kdy výpočetní smyčku ukončit. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

35 Poznámka (Komentář k důkazu): Důkaz předcházející věty se nazývá konstruktivní. Tvrzení věty, existenci čísla c, jsme dokázali jeho konstrukcí. Algoritmus použitý v důkazu se nazývá metoda půlení intervalu a lze ho prakticky použít k hledání řešení rovnice f (x) = 0. Algoritmus kontroluje i přesnost výpočtu, v každém kroku iterace platí nerovnosti a n c b n, n = 1, 2, 3... Víme proto kdy výpočetní smyčku ukončit. Důsledek: Buď f spojitá funkce na intervalu J a nechť platí f (x) 0 pro všechna x J. Potom pro všechna x J platí buď f (x) > 0 nebo f (x) < 0. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

36 Poznámka: Předpoklad spojitosti v předešlé větě je podstatný. Jako příklad uvažme funkci { 1, x 0, 1 f (x) = 2, 1, x ( 1 2, 1 na intervalu a, b = 0, 1. Sice f (0) f (1) = 1 < 0, ale neexistuje bod x (0, 1) splňující f (x) = 0. y x Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

37 Další důsledek Věta: Buď f funkce spojitá na intervalu J. Potom obraz f (J) intervalu J je buď interval, nebo jednoprvková množina. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

38 Další důsledek Věta: Buď f funkce spojitá na intervalu J. Potom obraz f (J) intervalu J je buď interval, nebo jednoprvková množina. Důkaz. f (J) je jednoprvková množina právě tehdy, když funkce f je konstantní. Ve zbytku důkazu předpokládejme, že f není konstantní. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

39 Další důsledek Věta: Buď f funkce spojitá na intervalu J. Potom obraz f (J) intervalu J je buď interval, nebo jednoprvková množina. Důkaz. f (J) je jednoprvková množina právě tehdy, když funkce f je konstantní. Ve zbytku důkazu předpokládejme, že f není konstantní. Ukažme, že f (J) je interval. K tomu je třeba ukázat, že pro libovolné dva prvky α, β f (J), α β, leží všechna γ mezi α a β také v f (J). Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

40 Další důsledek Věta: Buď f funkce spojitá na intervalu J. Potom obraz f (J) intervalu J je buď interval, nebo jednoprvková množina. Důkaz. f (J) je jednoprvková množina právě tehdy, když funkce f je konstantní. Ve zbytku důkazu předpokládejme, že f není konstantní. Ukažme, že f (J) je interval. K tomu je třeba ukázat, že pro libovolné dva prvky α, β f (J), α β, leží všechna γ mezi α a β také v f (J). Jistě existují a, b J, f (a) = α, f (b) = β a BÚNO a < b. Položme g(x) := f (x) γ. Funkce g je spojitá na a, b, g(a) = α γ a g(b) = β γ jsou nenulová s rozdílným znaménkem. Podle věty existuje c (a, b) takové, že g(c) = 0, tj. f (c) = γ. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

41 Hlavní body 1 Definice a kriteria spojitosti 2 Numerické řešení rovnic 3 Spojitost elementárních funkcí Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

42 Příklad. Funkce sin a cos jsou spojité v každém bodě a R. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

43 Příklad. Funkce sin a cos jsou spojité v každém bodě a R. Připomeňme známé, v minulé přednášce vypočtené, limity lim sin x = 0 a lim cos x = 1. x 0 x 0 Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

44 Příklad. Funkce sin a cos jsou spojité v každém bodě a R. Připomeňme známé, v minulé přednášce vypočtené, limity lim sin x = 0 a lim cos x = 1. x 0 x 0 Podle součtového vzorce pro funkci sin platí sin x = sin ( (x a) + a ) = sin(x a) cos(a) + cos(x a) sin(a) Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

45 Příklad. Funkce sin a cos jsou spojité v každém bodě a R. Připomeňme známé, v minulé přednášce vypočtené, limity lim sin x = 0 a lim cos x = 1. x 0 x 0 Podle součtového vzorce pro funkci sin platí sin x = sin ( (x a) + a ) = sin(x a) cos(a) + cos(x a) sin(a) Tudíž podle věty o limitě složené funkce a součinu/součtu limit platí lim sin x = 0 cos(a) + 1 sin a = sin a. x a Což ukazuje spojitost funkce sin. Spojitost funkce cos se ukáže analogicky. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

46 Příklad. Funkce sin a cos jsou spojité v každém bodě a R. Připomeňme známé, v minulé přednášce vypočtené, limity lim sin x = 0 a lim cos x = 1. x 0 x 0 Podle součtového vzorce pro funkci sin platí sin x = sin ( (x a) + a ) = sin(x a) cos(a) + cos(x a) sin(a) Tudíž podle věty o limitě složené funkce a součinu/součtu limit platí lim sin x = 0 cos(a) + 1 sin a = sin a. x a Což ukazuje spojitost funkce sin. Spojitost funkce cos se ukáže analogicky. Důsledek: Z tohoto příkladu a z věty o spojitosti podílu dvou funkcí ihned plyne, že funkce tg a cotg jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

47 Příklad. Funkce e x je spojitá v každém bodě a R Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

48 Příklad. Funkce e x je spojitá v každém bodě a R Použijeme Heineho větu. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

49 Příklad. Funkce e x je spojitá v každém bodě a R Použijeme Heineho větu. V jedné z předchozích přednášek jsme odvodili, že pro každou posloupnost (x n ) splňující x n a R platí lim n exn = e a. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

50 Příklad. Funkce ln je spojitá v každém bodě a R +. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

51 Příklad. Funkce ln je spojitá v každém bodě a R +. Opět použijeme Heineho větu. Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

52 Příklad. Funkce ln je spojitá v každém bodě a R +. Opět použijeme Heineho větu. V jedné z předchozích přednášek jsme odvodili, že pro každou posloupnost (x n ) s kladnými členy splňující x n a R + platí lim ln x n = ln a. n Kalvoda & Vašata (FIT ČVUT) BI-ZMA ZS 2014/ / 20

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva

Více

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010 Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39

Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 014/015. prosince 014 Předmluva iii

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Limita posloupnosti a funkce

Limita posloupnosti a funkce Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti

Více

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0 KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že

Více

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16 Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.

Více

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:

Více

2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE . LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke

Více

Funkce. Limita a spojitost

Funkce. Limita a spojitost Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

Limita a spojitost LDF MENDELU

Limita a spojitost LDF MENDELU Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

(1) Limity. Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Limity 1 / 27

(1) Limity. Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Limity 1 / 27 (1) Limity Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Limity 1 / 27 Proč studovat matematiku Zdroje: http://www.karlin.mff.cuni.cz/ pick/2018-10-02-prvni-prednaska-z-analyzy.pdf https://www.youtube.com/watch?v=6ec3ndnr86s

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

Komplexní analýza. Fourierovy řady. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Fourierovy řady. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Fourierovy řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVU v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 1 / 20 Úvod Často se setkáváme s periodickými

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský

Více

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

2. přednáška 8. října 2007

2. přednáška 8. října 2007 2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce

Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Zápisem f : M R rozumíme, že je dána funkce definovaná na neprázdné množině M R reálných čísel, což je množina dvojic f =

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Základy teorie množin

Základy teorie množin 1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Spojitost funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Spojitost funkce Matematická analýza pro informatiky I. 6. přednáška Spojitost funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné:   s1a64/cd/index.htm. KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy

PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základ matematik pro FEK 7. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 06/07 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 / 5 Jednostranné limit Definice: Vlastní limita ve vlastním

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) pro x, y R;

1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) pro x, y R; 3. Elementární funkce. Věta C. Existují funkce sin(x) a cos(x) z R do R a číslo π (0, ) tak, že platí: 1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y)

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť. Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

Lineární algebra : Lineární (ne)závislost

Lineární algebra : Lineární (ne)závislost Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)

Více

(5) Primitivní funkce

(5) Primitivní funkce (5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

5. Limita a spojitost

5. Limita a spojitost 5. Limita a spojitost 5. Limita posloupnosti 5. Limita a spojitost Verze 16. prosince 2016 Diferenciální počet a integrální počet tvoří klasický základ Matematické analýzy. Diferenciální počet zkoumá lokální

Více

Spojitost a limita funkce

Spojitost a limita funkce Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

V této kapitole si zobecníme dříve probraný pojem limita posloupnosti pro libovolné funkce.

V této kapitole si zobecníme dříve probraný pojem limita posloupnosti pro libovolné funkce. Kapitola 7 Limita funkce V této kapitole budeme studovat pojem ita funkce, který lze zařadit mezi základní pojmy matematiky, speciálně pak matematické analýzy Využití ity funkce je široké Pomocí ity lze

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

Přednáška 3: Limita a spojitost

Přednáška 3: Limita a spojitost 3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice

Více

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin

Více

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou 4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

Matematika 1. Matematika 1

Matematika 1. Matematika 1 5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

Spojitost funkce. Spojitost je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení.

Spojitost funkce. Spojitost je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení. funkce je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení. Je důležité vědět, kdy se malá změna nějakého měření projeví málo na konečném výsledku. Zpřesňuje-li se měření, měl

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

6. přednáška 5. listopadu 2007

6. přednáška 5. listopadu 2007 6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více