DUTÉ VLÁKNO S PORÉZNÍ STĚNOU: STUDIUM HYDRODYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ A KOLÁČOVÉ FILTRACE

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "DUTÉ VLÁKNO S PORÉZNÍ STĚNOU: STUDIUM HYDRODYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ A KOLÁČOVÉ FILTRACE"

Transkript

1 UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ KATEDRA CHEMICKÉHO INŽENÝRSTVÍ DUTÉ VLÁKNO S PORÉZNÍ STĚNOU: STUDIUM HYDRODYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ A KOLÁČOVÉ FILTRACE DIPLOMOVÁ PRÁCE AUTOR PRÁCE: Lenka Škrobánková VEDOUCÍ PRÁCE: Ing. Petr Doleček, CSc. 006

2 UNIVERSITY OF PARDUBICE FACULTY OF CHEMICAL TECHNOLOGY DEPARTMENT OF CHEMICAL ENGINEERING HOLLOW FIBRE WITH POROUS WALLS: STUDY OF HYDRODYNAMIC PERFORMANCE AND DEAD-END FILTRATION THESIS AUTHOR: Lenka Škrobánková SUPERVISOR: Ing. Petr Doleček, CSc. 006

3

4 Prohlašuj: Tuto prác jsem vypracovala samostatně. Veškeré lterární prameny a nformace, které jsem v prác využla, jsou uvedeny v seznamu použté lteratury. Byla jsem seznámena s tím, že se na moj prác vztahují práva a povnnost vyplývající ze zákona č. 11/000 Sb., autorský zákon, zejména se skutečností, že Unverzta Pardubce má právo na uzavření lcenční smlouvy o užtí této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona, a s tím, že pokud dojde k užtí této práce mnou nebo bude poskytnuta lcence o užtí jnému subjektu, je Unverzta Pardubce oprávněna ode mne požadovat přměřený příspěvek na úhradu nákladů, které na vytvoření díla vynaložla, a to podle okolností až do jejch skutečné výše. Souhlasím s prezenčním zpřístupněním své práce v Unverztní knhovně Unverzty Pardubce. V Pardubcích dne Lenka Škrobánková

5 Abstrakt Tato práce popsuje matematcký model mkrofltrace v dead-end režmu membránou z dutého vlákna s homogenní porézní stěnou. Model může být použt pro suspenz v newtonské kapalně. Další část práce se zabývá návrhem expermentálního zařízení k ověření matematckého modelu ustáleného lamnárního toku čsté newtonské kapalny dutým vláknem za sotermních podmínek a provedením expermentálních měření. Byla provedena lterární rešerše možností využtí dutých vláken př mkrofltracích a ultrafltracích vodných roztoků. Také byla provedena rešerše matematckého modelování mkrofltrace dutým vláknem v dead-end režmu. Byl vytvořen kompletní matematcký model dead-end mkrofltrace. Model sestává z blance růstu koláče, proudění kapalny koláčem, proudění kapalny porézní stěnou vlákna a toku kapalny dutým vntřkem vlákna. Matematcký model byl řešen numerckou metodou sítí. Tato numercká metoda byla mplementována v prostředí Mcrosoft Excel. Numerckým expermenty byly sledovány vlvy parametrů modelu na usazování a odpor koláče, tlakovou ztrátu uvntř vlákna, lokální průtok permeátu př fltrac. Expermentální měření byla provedena na navrženém expermentálním zařízení. Naměřená expermentální data vyhovovala matematckému modelu ustáleného lamnárního toku čsté newtonské kapalny uvntř vlákna. Výtok z vlákna vzrůstal jen do určté lmtní délky, po překročení této délky zůstával konstantní.

6 Abstract Ths work descrbes mathematcal model of dead-end mcrofltraton through hollow fbre membrane wth unformly porous walls. Model can be used for suspenson n Newtonan flud. Next part of ths work descrbes module desgn for expermental verfcaton of mathematcal model of sothermal lamnar steady-state pure Newtonan flud flow through hollow fbre wth unformly porous walls and the results of experments. Lterature search has been done for possbltes of usage of hollow fbre n mcrofltraton and ultrafltraton processes. The second part of lterature search has been engaged n ways of mathematcal modelng of dead-end mcrofltraton and ultrafltraton for hollow fbre membrane. Complete mathematcal model of dead-end mcrofltraton have been created. Mathematcal model has been created from balance of sold phase equaton, Darcy s law for flow n a flter cake, Darcy s law for flow n porous walls of membrane and flow of flud nsde hollow fbre membrane. Mathematcal model has been solved numercally by fnte dfference method. Ths numercal procedure has been mplemented n Mcrosoft Excel. The nfluence of model parameters on cake deposton and resstance, pressure drop nsde hollow fbre membrane and the rate of local flow of fltrate durng fltraton has been observed. Expermental measurements have been executed on desgned apparatus. Results of expermental measurements correspond to mathematcal model of sothermal lamnar steady-state pure Newtonan flud flow through hollow fbre. The permeate dscharge from the fbre grows to certan hollow fbre length and then s nearly constant.

7 Na tomto místě bych chtěla poděkovat Ing. Petru Dolečkov, CSc za odborné vedení, cenné rady a pomoc př zpracování této dplomové práce. Také bych chtěla poděkovat své rodně za podporu př studu.

8 Obsah 1 Úvod... 9 Lterární rešerše Obecné vlastnost dutých vláken Druhy membránových tlakových operací Matematcké modelování dead-end mkrofltrace Matematcký model koláčové dead-end fltrace Předpoklady Geometre vlákna Růst koláče Proudění kapalny koláčem (odpor vrstvy koláče) Proudění kapalny porézní stěnou vlákna (odpor stěny vlákna) Tok kapalny dutým vntřkem vlákna Výsledný matematcký model v rozměrném tvaru Postup řešení matematckého modelu Matematcký model v bezrozměrném tvaru pro fltrac za konst. tlak. rozdílu Matematcký model v bezrozměrném tvaru pro fltrac za konst. rychlost Numercké řešení matematckého modelu Numercké expermenty Zjednodušený model proudění čsté kapalny dutým vláknem s porézním stěnam [] Stanovení parametrů modelu z expermentů Expermentální část Návrh expermentálního zařízení Použté chemkále Nákres součástí zařízení a expermentálního zařízení Pops funkce zařízení a problémy vznklé př jeho chodu Naměřená data a grafcké znázornění naměřených dat Vyhodnocení parametrů modelu z expermentů Dskuse a doporučení Závěr Dodatek Lteratura Seznam obrázků Seznam tabulek Seznam symbolů

9 Úvod 1 Úvod V relatvně krátkém čase bylo cvlzací žvotní prostředí do značné míry zdevastováno a s tím zhoršena kvalta vody v přírodě. Znečštění vod je značné a starší konvenční metody jž nestačí k lkvdac tohoto povětšnu organckého znečštění. Proto nastupují nové a účnnější technologe. Bezesporu jednou z těchto technologí je mkrofltrace. Mkrofltrace je membránová separační technologe jež používá polopropustnou membránu k selektvnímu zadržení částc o průměru od 0,05 do 10 μm. Tento membránový proces je dobře přzpůsoben náročným požadavkům na odstranění rozptýlených částc, mkroorgansmů a patogenů, jako je např. Garda a Cryptospordum, z vody a je to bezpečný a ekonomcky efektvní proces, který odstraňuje obtíže starších metod, avšak přnáší problémy nové. Jedním z problémů je zanášení povrchu membrány v průběhu procesu. To způsobuje zvýšení trans-membránového tlaku s rostoucím množstvím usazených částc na povrchu membrány během mkrofltrace. Je proto důležté tento jev zkoumat a naučt se předvídat tyto změny transmembránového tlaku. Pak je možné také předvídat potencálně možné úspory a zefektvnění daného procesu. Mkrofltrační membrány mají různé geometrcké tvary. Jsou to především membrány ploché, trubkové, sprálně vnuté, dutá vlákna a keramcké vícekanálové membrány. Uvedeme s podrobněj pouze dutá vlákna. Mkrofltrační systém může být provozován ve dvou konfguracích, a to buď jako dead-end nebo cross-flow. U Cross-flow fltrace fltrovaná kapalna proudí tangencálně k povrchu vlákna, což může přspívat k lepšímu odmývání fltračního koláče. V případu deadend fltrace fltrovaná kapalna protéká přes porézní stěnu a vytéká ústím vláken. Pokud by se fltrovala suspenze v opačném směru, fltrační koláč by se vytvořl na vntřní stěně vlákna a vlákno by se po čase ucpalo. Čštění zpětným obrácením toku by bylo obtížné. Dead-end fltrac lze provádět dvěma způsoby. Buď je jeden konec vlákna zaslepený a fltrát je odsáván druhým otevřeným koncem, nebo je fltrát odsáván z obou konců vláken. V prvním případu je nulový tok fltrátu u zaslepeného konce v axálním směru, ve druhém případu je nulový tok fltrátu ve středu vlákna. Hnací slou procesu je rozdíl tlaku vně a uvntř vlákna. Fltrac lze provádět dvěma způsoby, za konstantní rychlost fltrace a za konstantního tlakového rozdílu. Př fltrac za konstantní rychlost toku fltrátu vláknem vzrůstá hnací síla (rozdíl tlaků) během 9

10 Úvod fltrace s časem. U fltrace za konstantního tlakového rozdílu klesá průtok fltrátu uvntř vlákna s vzrůstající dobou fltrace. V prvních fázích fltrace př relatvně velké hydrodynamcké propustnost membrány je průtok fltrátu vláknem velký. Dochází tak k poměrně velké tlakové ztrátě samotným tokem kapalny uvntř vlákna. Lokální hnací síla je pak velm rozdílná po délce vlákna. Největší je v blízkost otevřeného konce vlákna, kde je průtok fltrátu také největší. S rostoucím koláčem na povrchu vlákna se zvyšuje odpor prot toku nástřku koláčem a následně stěnou dutého vlákna, dojde k poklesu toku permeátu ve vláknu. Tato práce se bude zabývat pouze uspořádáním dead-end. Cílem této práce je vytvořt matematcký model mkrofltrace suspenze v newtonské kapalně př dead-end uspořádání a na základě numerckých expermentů ověřt platnost výše uvedených kvaltatvních úvah. Dalším cílem je sestavení expermentálního zařízení k ověření matematckého modelu ustáleného lamnárního proudění newtonské nestlačtelné tekutny dutým vláknem s porézní stěnou. Dále na daném zařízení provést expermentální měření. Matematcký model dead-end mkrofltrace dutým vláknem má sloužt k předpověd transmembránových změn tlaku během fltrace a k optmalzac provozních parametrů. 10

11 Lterární rešerše Lterární rešerše.1. Obecné vlastnost dutých vláken Tato forma membrán našla šroké uplatnění v mkrofltrac a reverzní osmóze př desalnac mořské vody. Dutá vlákna jsou polymerní membrány vyráběné například z polysulfonu, acetátu celulózy, polyamdu, polypropylenu, polytetrafluorethylénu, tracetátu celulosy a dalších. Jako ostatní polymerní membrány, dutá vlákna nalezneme ve standardních provedeních, a to jako symetrcké, asymetrcké a kompoztní. Dutá vlákna můžeme charakterzovat jako válcové trubce, v nchž je vysoký poměr délky vlákna ku jeho průměru. Tento poměr nabízí vysokou povrchovou plochu na jednotku objemu, velkou mechanckou pevnost a schopnost vydržet zpětný proplach v malých modulech. Díky tomuto vysokému měrnému povrchu, je možné dutá vlákna využívat v procesech, kde se malá hnací síla nahrazuje velkou stykovou plochou. V dutých vláknech nedochází k zadržování kapalny. Ale př toku permeátu nebo nástřku vntřkem vlákna, dochází k velké tlakové ztrátě. Charakter toku dutým vláknem je obvykle lamnární. Dutá vlákna se vyrábí s vntřním průměry v rozmezí od 0, až 1 mm. Důležtou vlastností dutých vláken je pórovtost jejch stěn [1]. Rozsah pokrytí membránového povrchu póry by měl být nejméně okolo 0% z celkové plochy. V průměru bývá okolo 70%. Díky svému malému vntřnímu průměru vykazují dutá vlákna vysoké hodnoty střhového napětí v kapalně tekoucí uvntř vlákna. U vntřní stěny vlákna jsou v rozmezí 4000 s -1 až s -1. Proto není vhodné fltrovat dutým vlákny žvé buňky, protože by mohlo dojít k jejch usmrcení (mechanckému poškození). Nejčastěj mají membránové moduly s dutým vlákny konfgurac ponořených svazků vláken do nádrže s nástřkem nebo konfgurac utěsněných svazků vláken ve válcovtém modulu. Utěsněné membránové moduly s dutým vlákny jsou nejčastěj realzovány v deadend modu za konstantního transmembránového tlakového rozdílu, zatímco volně ponořené membrány jsou používány obvykle v modu konstantního toku permeátu vytvořeném sacím čerpadlem. Nástřk je možné fltrovat skrz dutá vlákna dvěma způsoby. V prvním případě je tok nástřku veden do středu vlákna a permeát prochází pod tlakem z vlákna ven. Fltrační koláč se ukládá na vntřní straně vlákna. Ve druhém případě je nástřk veden z vnější strany do vntřku dutého vlákna a koláč se vytváří na vnější stěně vlákna. Permeát pak odchází středem 11

12 Lterární rešerše vlákna k jeho konc. První případ nese sebou nežádoucí jev, kterým je akumulace látek na vntřním povrchu membrány, což vede nakonec k jeho ucpání. Také následné čštění vntřního povrchu u tohoto uspořádání je pracné. Jednou z častých technk používaných k čštění dutých vláken od koláče akumulovaného na vnějším povrchu vláken, je metoda perodckého obrácení toku, tzv. zpětný proplach. Zpětný tok permeátu skrz membránu zvedá koláč a tím dochází k obnovování povrchu membrány. Účnnost čštění zpětným proplachem však postupně klesá a čas od času musíme vlákna vyčstt chemcky. Mechancké čštění není možné, kvůl velm malému průřezu... Druhy membránových tlakových operací Membránové tlakové procesy rozdělujeme na mkrofltrac, ultrafltrac, nanofltrac a reverzní osmózu...1. Mkrofltrace Mkrofltrace je tlakový membránový proces, kterým je možné odstrant z roztoku částce o velkost 0 nm až 10 μm. U mkrofltrace je zanedbatelný osmotcký tlak, tok membránou je přímoúměrný použtému tlaku. Praktcké výkony membrán (flux) př běžných provozních tlacích 0,-0,6 MPa bývá v stovkách l/(h.m ). V případě mkrofltrace lze použít membrány symetrcké asymetrcké, polymerní, keramcké Aplkace dutých vláken k stablzac a čštění nebezpečných průmyslových odpadních vod ve spojení s boreaktorem, [8,10,11,19]: Mnoho podnků zpracovávajících průmyslové odpadní vody dosud používá proces aktvovaného kalu k stablzac odpadních vod s vysokým podílem organckých látek. V klasckém bologckém čštění odpadních vod se uplatňují bochemcké procesy, podmíněné čnností aerobních mkroorgansmů, které rozkládají organcké látky obsažené ve vodě oxdačním procesy za přítomnost molekulárního kyslíku. Produkty rozkladu jsou CO, H O, často NH 3 a další látky. Přebytek nerozložené hmoty vytváří vyvločkovanou suspenzní hmotu, aktvovaný kal, jež je dále separován. Mnoho organckých průmyslových vod včetně z potravnářských, petrochemckých, farmaceutckých procesů, je nutné tímto procesem zpracovávat. Vznkají značná množství kalu, který je třeba odvodnt. Dále je nutné určté procento aktvovaného kalu recrkulovat zpět k udržení jednotné populace mkroorgansmů v aerační nádrž. Nejlépe by bylo mnmalzovat množství odpadního kalu, k čemuž se s výhodou používá boreaktorů s membránam z dutých vláken. 1

13 Lterární rešerše Tyto reaktory, tzv. HFMR, dovolují pružně kontrolovat poměr přívodu nástřku k danému množství mkroorgansmů, a tím je praktcky elmnován přebytek tuhých částc a nevznká téměř žádný odpadní kal. Kvalta permeátu výrazně převyšuje požadavky na kvaltu vypouštěných odpadních vod, avšak cena je výrazně vyšší než u klasckých technologí. Výhody jsou v kompaktní nstalac, v úplném odstranění pevných látek z odtoku, v desnfekc odtoku, v odstranění CHSK, možnost vysokého zatížení, nízké až téměř nulové produkc kalu, bytnění kalu není problémem Využtí dutých vláken př úpravě ptné vody [3,5,1] Protože samočstící schopnost řek a jných vodních zdrojů je v dnešní době značně omezená, je potřeba vodu upravovat před vpuštěním do domácností. Hlavním důvodem proč se začala používat dutá vlákna k úpravě ptné vody je exstence odolných paraztckých prvoků a jejch cyst (např.garda) vůč chemckým desnfekčním prostředkům. Na dutém vláknu dochází téměř k 100% zachycení kvasnek a kolformních bakterí. K velce dobrému odstranění z těchto vod dochází u manganu, dále u železa, částečně hlníku. Hořčík, křemík a vápník membrány propouští v značném množství. Voda se nejprve vede na předřazené čstící fltry, kde se odloučí písek a jné mechancké částce. Poté je voda vedena k vyčštění do membránového modulu s dutým vlákny. Nakonec je voda ještě dále upravována chemckým čndly, např. chlórem Zpracování odpadní vody z potravnářského průmyslu spojením MF modulu s dutým vlákny a boreaktoru [4] Jsou to vody z pvovarnctví, mlékárenství, cukrovarů, z výroby bramborového škrobu a další. Do těchto odpadních vod zahrnujeme vody z mytí csteren, z konví, z mytí nádrží, odstředvek, pasterů atd. a chladící vody. Opět je zde využíváno spojení reaktoru s bomasou v suspenz se separací mkrofltrací nebo ultrafltrací. Membrána separuje odpadní vodu do dvou proudů, vyčštěný proud, který může být vypouštěn a koncentrovaný, který obsahuje většnu znečštění. Odpadní voda z potravnářského průmyslu je velm zakalená a bohatá na žvny, proto po přvedení suspenze do boreaktoru mají mkroorgansmy uvntř dostatek žvn. Ponořené membrány jsou využívány ve dvou konfguracích. Jako externí membrány mmo boreaktor nebo jsou přímo v boreaktoru. V externí konfgurac moduly jsou ponořeny v separační nádrž a čerpadlo je využto k dodávce aktvovaného kalu, který má být fltrován. Aerační reaktory využívají membrány z dutých vláken, které mohou dopravovat plyn, nejčastěj kyslík. Takto dodáváme kyslík přímo mkroorgansmům a vytváříme tak výhodné 13

14 Lterární rešerše podmínky pro jejch žvot. Na vnější straně membrány se vytvoří boflm, kterému ze strany membrány dodáváme kyslík a z druhé strany žvny z odpadní vody. Plyn prostupuje membránou bez tvorby bubln. Separační modul Aerační modul boreaktor s aktvovaným kalem separační membrána recykl permeát boreaktor odtok odtok membrána z dutého vlákna boflm přestup kyslíku přítok přítok přítok kyslík Obrázek 1: Separační a aerační modul Čštění nemocnční odpadní vody [1]. U této odpadní vody jde především o odstranění sloučenn dusíku, NH + 4 ontů, zákalu a organckých látek a baktérí. Opět je využto spojení boreaktoru s membránovým modulem obsahujícím dutá vlákna. Účnnost odstranění zákalu se pohybuje okolo 83-93%.Vyčštěná voda je bez zápachu a barvy. Membránový modul s dutým vlákny je ponořen přímo do boreaktoru, ze spodu nádrže je přváděn kyslík a bomasa uvntř nádrže je recrkulována přes membrány. K oddělení bomasy dojde přímo v boreaktoru, tudíž bomasa se nkam neodvádí a nedochází proto k zvýšené produkc kalu. Snžují se také náklady na energ, jež by byla spjata s případnou recrkulací roztoku do externího membránového modulu a zpět bomasy do boreaktoru. Nemocnční odpadní voda je čerpána z napájecí nádrže do boreaktoru. Vyčštěná voda odchází pomocí sacího čerpadla ven. Vyčštěná voda má vynkající kvaltu. 14

15 Lterární rešerše Použtí mkrofltračních membrán k předzpracování mořské vody před reverzní osmózou [9] Protože v některých oblastech světa není dostatek zásob sladké vody, nastala nutnost tuto potřebu doplňovat z vody mořské. Jelkož př konzumac mořské vody dochází k dehydratac organsmu, musí být mořská voda zbavena většny solí. Protože póry mkrofltračních membrán jsou relatvně velké, není možné mořskou vodu pomocí nch odsolt. Naopak, kdybychom chtěl mořskou vodu přímo odsolovat na reverzně osmotckých membránách, došlo by k jejch okamžtému zanešení. Proto se nejprve mořská voda vede k předčštění na mkrofltrační zařízení s dutým vlákny. Duté vlákno může být například z polyvnyl-fluordu (PVDF). Fltrace se provádí z vnějšího prostoru do vntřku vláken. PVDF vlákno je dobře přzpůsobeno k tomu, aby vydrželo velm častý zpětný proplach a občasné chemcké čštění. Toto vlákno je také odolné prot oxdac. Mořská voda je touto mkrofltrační jednotkou dostatečně předčštěna.... Ultrafltrace Dokáže zadržet částce o velkost od 5 do 100 nm. U ultrafltrace je rovněž zanedbatelný osmotcký tlak [17], tok membránou je přímoúměrný použtému tlaku, praktcké výkony membrán [3] př běžných provozních tlacích 0,-0,6 MPa bývají v desítkách až stovkách l/(h.m ). Pro ultrafltrac se používají hlavně membrány asymetrcké, polymerní a keramcké. Využívá se např. v potravnářském průmyslu k získávání škrobu, zahušťování ovocných šťáv, čštění odpadních vod vznkajících př zpracování ryb, př čštění povrchových vod, vod z domácností [0, ] a vod ze zvířecích farem [4]...3. Nanofltrace Je další tlakem řízený membránový separační proces, jenž umí zachytt částce o velkost od 1nm po 10 nm. Nanofltrační membrány jsou polymerní, asymetrcké, kompoztní. V poslední době se objevla membrána s keramckým nosčem s nanofltrační funkcí. Ta je zajštěna polymerní separační vrstvou Nafon [17]. Domnantním mechansmem zachycování př nanofltrac není sítový efekt, založený na velkost molekul a otvorů v membráně, ale většnou jné síly adsorpční aktvta rozpuštěné látky vůč membráně, elektrcký náboj membrány a molekul rozpuštěné látky. Nanofltrační membrány mohou oddělovat organcké látky od nízkomolekulárních anorganckých látek, jako jsou barvva od solí, dvojmocné sol od NaCl apod., sol od kyseln (např. CuSO 4 od H SO 4 ). Nanofltrační membrány se používají př výrobě čsté vody pro chemcký, farmaceutcký a potravnářský průmysl a př zpracování odpadních vod. 15

16 Lterární rešerše..4. Reverzní osmóza U reverzní osmózy působí prot procesu osmotcký tlak [17]. Tok membránou je přímoúměrný rozdílu vyvozeného a osmotckého tlaku, praktcké výkony membrán př běžných provozních tlacích -3 MPa bývají v desítkách až jednotkách l/(h.m ). Membrány se používají asymetrcké a kompoztní [18]. V současné době RO membrány se dostávají pod tlaky 10 bar, a to př zachování vysoké rejekce na roztok NaCl 99%. Jsou to tzv. nízkotlaké RO membrány. Změnla se struktura koncové separační vrstvy, jež je v rozmezí své tloušťky kolem 0,4 μm hluboce zvlněná a podobá se částečně protuberancím slunečnímu povrchu. Tím se dosáhlo zdvojení separační plochy a zvýšení výkonu, nebo-l př stejném výkonu je umožněno snížt pracovní tlak. Tento drsný povrch nevykazuje vyšší sklony k zanášení, protože prostůrky v povrchu membrány jsou dostatečně malé vzhledem k částcím zanášejícím membránu..3. Matematcké modelování dead-end mkrofltrace Př dead-end mkrofltrac se ukládají čátce na povrchu membrány a tím brání další fltrac. Tento jev je nutné matematcky popsat, aby bylo možné předpovědět tlakovou ztrátu a zanášení membrány v průběhu fltrace. Model Hwang-Mook Lee, Chung-Hak Lee, Kun Yong Chung a Sangho Lee [13] se zabývá modelováním usazování částc na stěně vlákna. Z jejch modelu lze určt změny transmembránového tlaku způsobené postupným zanášením vlákna. Modelové vlákno charakterzuje vntřním a vnějším průměrem, délkou vlákna a délkou neporézní část vlákna. Jeden konec vlákna je pevně uzavřen pryskyřcí, druhý konec je utěsněn jen z vnější strany, vz obrázek. 16

17 Lterární rešerše zapečetěný konec vlákna u ρ o duté vlákno utěsněný konec D o D v p v+dv p+dp p f p p x = 0 x dx L L p Obrázek : Modelová představa fltrace dutým vláknem podle Hwang-Mook Leeho Permeát je odváděn z otevřeného konce vlákna. Př modelování rychlost toku fltrátu dutým vláknem vychází z energetcké blance a z Hagen-Poseulle rovnce ρ v ρ ( v + dv) 3μ v p + = ( p + dp) + + dx, (.1) D kde p je tlak, D je vntřní průměr dutého vlákna, g je gravtační zrychlení, ρ je hustota kapalny, μ je vskozta kapalny a x je vzdálenost od uzavřeného konce vlákna. V této rovnc člen [ρ.(dv) /] je zanedbatelný. Dělením rovnce (.1) dx získávají gradent tlaku ve směru x dp dx dv 3μ v = ρ v. (.) dx D Snížení rychlost toku kapalny ve směru x po projtí stěnou membrány získávají z blance hmoty toku kapalny stěnou vlákna a jeho úpravou kde J je tok permeátu a D o je vnější průměr vlákna. π π D.( v + dv) D. v = π. Do. J. dx, (.3) 4 4 dv 4Do. J = = a1. J, (.4) dx D Spojením rovnc (.) a (.4) a po zanedbání členu (ρ.d o.j/8μ) je získána dferencální rovnce pro výpočet tlakové ztráty v dutém vláknu dp dx 3μ. v ρ. Do. J 3μ. v = 1 = & = a. v (.5) D 8μ D 17

18 Lterární rešerše Tok permeátu stěnou membrány vyjadřují Darcyho zákonem J = k ( p p), (.6) o kde k je hydrodynamcká propustnost membrány a p o je atmosfércký tlak. Model uvažuje snžování objemu pórů s postupným usazováním částeček do stěny pórů. Blance usazených částc v pórech je vyjadřena dferencálním snížením poloměru póru s dferencálním zaplněním póru částcem. N *.(-π.r.dr).l = C.dV F, (.7) kde r je poloměr zmenšujícího se póru, N * je celkový počet pórů stejné velkost, l je délka póru, C je objemová koncentrace částeček na jednotku objemu fltrátu a V F je objem fltrátu. Po ntegrac N *.π.(r o -r ).l = C.V F. (.8) Hagen-Poseulleovu rovnc použl k vyjádření průtoku permeátu póry Q o 4 π. ro p = N *. (.9) 8. μ. l Pro proměnný průtok (a flux) poté platí Q Q o = r r o 4 K sb. VF J 1 =, (.10) = J o kde Q je průtok, Q o je počáteční průtok, J je ntenzta toku permeátu, J o je počáteční ntenzta toku permeátu, r o je počáteční poloměr póru a K sb = C/π.l.N *.r o je standardní konstanta blokování pórů. Rovnce (.10) je hlavní modelová rovnce. Dalším zajímavým modelem mkrofltrace je model Carrolla [6,7]. Carrollův model fltrace vychází z modelu sérově řazených odporů ve spojení s rovncí Hagen-Poseulleovou. Dále uvažuje, že vytvořený koláč může být jak stlačtelný, tak nestlačtelný. Pomocí svého modelu zkoumá jaký vlv má délka vlákna, průměr vlákna a propustnost membrány na snžování ntenzty toku v průběhu fltrace. Vlv těchto parametrů vlákna na fltrac odvodl z rychlost zanášení vláken během mkrofltrace. Pokud je fltrována čstá voda, lze průtok permeátu vyřešt analytcky. 18

19 Lterární rešerše p s (x), q s (x) d p (x), q (x) x = 0 x = 1 Obrázek 3: Model fltrace ½ dutého vlákna bez zanášení, Carroll L p s (x), q s (s) d p (x), q (x) p = p z x = 0 x = 1 L per nepropustná oblast L Obrázek 4: Model fltrace ½ dutého vlákna se zanášením, Carroll Kombnováním příspěvku odporu koláče a tlaku řídícího fltrac vytvořl model snžování toku pro dutá vlákna. Př modelování symetrcky od středu k oběma otevřeným koncům uvažoval pouze ½ vlákna. Model sérově řazených odporů bere za základ k výpočtu ntenzty toku nástřku koláčem a membránou q s 1 π. d dqs ( x, t) dx = p r b m p ( x, t), (.11) + r ( x, t) d kde r m je hydraulcký odpor membrány a r d je hydraulcký odpor usazených částc, p b vnější tlak. Průtok permeátu uvntř vlákna aproxmuje Hagen-Poseulle rovncí: dp ( x, t) 18η = q ( x, t) 4, (.1) dx π d kde η je vskozta kapalny. V modelu vychází z předpokladu, že dferencální změna průtoku permeátu uvntř dutého vlákna je rovna dferencální změně průtoku nástřku membránou dq ( x, t) dqs ( x, t) =. (.13) dx dx 19

20 Lterární rešerše Dosazením rovnce (.1) a (.13) do rovnce (.11) získal obyčejnou dferencální rovnc druhého řádu: d p ( x, t) 18η p = 3 dx d r b m p ( x, t), (.14) + r ( x, t) d za okrajových podmínek p (L, t) = 0, a dp (0, t)/dx = 0. Profl hmotnost koláče získává ntegrací průtoku nástřku v časovém rozmezí od 0 až do t z rovnce (.11) dms ( x, t) = c dx t b 0 dqs ( x, τ ) dτ, (.15) dx kde c b je více koncentrovaná fáze částc. Profl tlaku uvntř vlákna daný rovncí (.14) se převede pomocí bezrozměrných vztahů X = x/l, T = t/t f (bezrozměrná doba fltrace), P(X,T) = 1 p (x,t)/p b a R(X,T) = r d (x,t)/r m na bezrozměrný výraz d P( X, T ) dx 1 P( X, T ) =. (.16) N 1 R( X, T ) m + Okrajovým podmínkam jsou P(1, T) = 1 a dp(0, T)/dX = 0; N m = (r m.d 3 ) / (18ηL ) je bezrozměrné číslo, které je určtou charakterstkou membrán z dutých vláken. Odvozuje bezrozměrný tok permeátu, bezrozměrný přírůstek hmoty koláče. 1 1 P( X, T ) Q ( T ) =. dx = + Q( X, T ). dx (.17) 1 R( X, T ) 0 1 T Q( X, ) dτ dx = 1 0 M ( T ) = τ M ( X, T ). dx. (.18) 0 0 Hydraulcký odpor stlačeného koláče je vyjádřen jako množství usazeného koláče násobené specfckým odporem α(x,t): 0 α( x, t) dms ( x, t) rd ( x, t) = π. d dx. (.19) Stlačtelnost koláče včleňuje do specfckého odporu pomocí koefcentu stlačtelnost β, který korguje tlakovou ztrátu, a ndexu stlačtelnost kde p s je tlak nástřku. o { 1+ [ p p ( x, t ]} α ( x, t) = α β ), (.0) b s 0

21 Lterární rešerše Po úpravách získává konečný vztah pro tlakovou ztrátu P( X, T ) N = N m d m d P( X, T ) N dx P( X, T ) = dx T d P( X, τ ) d P( X d N m dτ 1 + β. pb P( X, T ) N m 0 dx dx, T ) (.1) s podmínkou P(1,T) = 1, a dp(0,t)/dx = 0. Kde N d = (c b.t f.α o.p b )/r m je bezrozměrné číslo udávající charakterstcký odpor koláče. Integrovaný tok permeátu a hmoty koláče jsou dány rovncem (.17) a (.18). Model řešl numercky metodou konečných dferencí. Tok permeátu a množství koláče jsou pak vypočteny z časového průběhu proflu tlakové ztráty. Pro fltrac čsté vody exstuje analytcké řešení a profl toku permeátu je dán rovncí { 18η / π ( k. L. x / d )} { 18η / π ( k. L / d )} π snh q ( x) = k. ps. d. (.) 18. η cosh Průtok permeátu je závslý na členu 18η / π ( k. L / d ). Tedy tok ve vláknu závsí na propustnost membrány, délce vlákna, jeho průměru a vskoztě fltrované kapalny. Carroll uvažoval, že př fltrac za konstantní rychlost je nutné k udržení stálého průtoku zvyšovat tlak, a ten může koláč na membráně stlačovat. Proto do svého modelu zahrnuje stlačtelnost koláče. U mírně stlačtelného koláče tok je nejvyšší zpočátku u otevřeného konce vlákna. Po delším čase se vnější povrch dutého vlákna u otevřeného konce zanese a hlavní ntensta toku se posunuje směrem ke středu vlákna, přčemž ntensta toku pozvolna stále klesá. U velm stlačtelného koláče je profl toku obdobný jako u mírně stlačtelného koláče. Pouze pokles toku je pomalejší se vzrůstající stlačtelností koláče. Modelováním dead-end ultrafltrace a optmalzací uspořádání modulu s dutým vlákny se zabýval Chrstophe Serra, M. Clnton, P. Mouln [16]. Rozvíjí několk modelů zaměřených na předpověď rychlost toku permeátu za účelem maxmalzace procesu. Ve svých studích prokázal, že rychlost toku je lmtována tlakovou ztrátou, jež se vyvíjí uvntř vlákna a ta posléze snžuje hnací sílu. V modelu uvažují nejen podélnou ztrátu tlaku uvntř vláken, ale také podél svazku vláken. Model má analytcké řešení, je-l fltrována čstá voda. V případě fltrace suspenze, model uvažuje zanášení membrány ukládáním částc na jejím povrchu. Tok z vnější strany do vntřní poskytuje větší fltrační povrch a větší povrch k 1

22 Lterární rešerše ukládání částc, koláč vznká tenčí a představuje nžší odpor. Tlaková ztráta se vyvíjí pozvolněj. Dále předpokládají, že rychlost nástřku a rychlost toku permeátu jsou stejné (Q s = Q p = Q f ). Výstup permeátu a vstup nástřku jsou v opačných koncích modulu. Vlákna jsou zaslepena ve vstupním konc pryskyřčnou ucpávkou délky l 1 a na výstupním konc jsou otevřená, ale pryskyřcí jsou zapečetěny mezery mez vlákny. Tato pryskyřčná zátka má délku l. Prostředek vlákna mez zátkou 1 a je délky L a je plně využíván k fltrac. Axální osa z začíná v uzavřeném levém konc vlákna a pokračuje až k otevřenému druhému konc. Tlak u prvního zapečetěného konce vlákna je p o a tlak uvntř vlákna na druhém konc je p L. Tlak přtékajícího nástřku je p s a tlak vytékajícího permeátu je p p. Protože ve svazku nedochází k radálnímu toku kapalny, neuvažují radální tlakovou ztrátu. Předpokládají, že vlákna jsou všechna stejného průměru, neohebná, nedeformovatelná, rovnoměrně rozmístěná a pracují za zotermních podmínek. zaslepené konce vláken duté vlákno utěsněné konce vláken nástřk p o p L permeát Q s p s p p Q p = Q s l 1 l 0 L Obrázek 5: Schéma modulu Chrstophe Serry Axální ztrátu tlaku ve svazku vypočítávají ze sem-analytckého modelu Sparrowa a Loefflera, který byl vytvořen k výpočtu tlakové ztráty lamnárního toku neohebným, rovnoměrně rozmístěným válečky. Tto autoř uvažují, buď uspořádání dutých vláken ve svazku do trojúhelníku, nebo do čtverce. p 8. η. g( ) = z π.. d. d. d Q m h e, (.3)

23 Lterární rešerše kde parametr g je funkcí, což je porozta svazku vláken (zlomek objemu modulu přístupný pro tok nástřku) a charakterzuje geometrcké uspořádání, p je tlak působící na svazek zvnějšku, η je vskozta vody, d e je vnější průměr vlákna, d m je vntřní průměr obalu, d h je hydraulcký průměr mezer ve svazku, který je dán vztahem:. d e d h =. (.4) d / d + (1 ) e m Z blance hmoty toku stěnou vláken Q = n. π. d e. J, (.5) z kde J je objemový průtok permeátu skrz vlákno vztažený na jednotku vnějšího povrchu, n je celkový počet vláken ve svazku. Tlakovou ztrátu uvntř dutého vlákna aproxmoval Hagen-Poseulle rovncí: p 18η = z π. d Q 4, (.6) kde p je tlak ve vlákně, d je vntřní průměr vlákna a Q rychlost toku uvntř vlákna. Z celkové blance toku vody Q = Q = Q + nq = Q. (.7) s p f V pozc z = 0 je tlak nad vlákny p (0) = p o a jakmle jsou vlákna zanešená, průtok uvntř vlákna je nulový: Q = 0. V pozc z = L je tlak uvntř vlákna je p (L) = p L. Je-l vytvořený koláč na povrchu vláken jž velký, rychlost toku po povrchu vláken je nulová, Q = 0. Opět vyšl z představy modelu sérově řazených odporů př výpočtu objemového průtoku permeátu stěnou membrány a koláčem. Objemový průtok fltrátu v jakékol pozc je dán vztahem 3

24 Lterární rešerše J p p =, (.8) η.( R m + Rd ) kde R m je hydraulcký odpor čsté membrány, R d je hydraulcký odpor vytvořeného fltračního koláče. Odpor koláče R d = α.m, kde α je specfcký odpor (m/kg). Hydraulcký odpor membrány dávají do souvslost s hydraulckým koefcentem propustnost L p následujícím vztahem R m = (η.l p ) -1. Zatímco R m je hodnota známá, téměř konstantní, L p je hodnota teplotně závslá. Opět je zde uvažována stlačtelnost koláče stejným způsobem jako v prác Carrolla. Pro nestlačtelný koláč, specfcký odpor je konstantní, zatímco pro stlačtelný koláč α vykazuje lneární vzrůst s tlakovou ztrátou v koláč podle vztahu o α = α 1 + β δ p ), (.9) ( d kde β je stlačtelnost koláče (Pa -1 ). Tlaková ztráta v koláč je defnována R d δ pd = ( p p ). (.30) Rm + Rd Fnální vztah pro usazování koláče na vláknech je dán touto rovncí m φd = cs. J cs. J, (.31) t φ φ d s kde c s je koncentrace tuhých částc v nástřku, φ d je objem frakce tuhých částc v nánosu a φ s je objem frakce tuhých částc v nastřkované suspenz. Pro zředěný suspenzní nástřk uvažují přblžný výraz na pravé straně rovnce. Model byl řešen numercky. Matematckým modelováním dead-end mkrofltrace za konstantního toku se zabýval Chang, Fane a Wate [15]. Matematcký model vytvořl pro fltrac za konstantního toku dutým vláknem kombnováním Hagen-Poseulle rovnce, standardní rovnce fltrace a teore sérově řazených odporů k výpočtu toku fltrátu koláčem a stěnou membrány. Odpor koláče dávají do souvslost s jeho strukturou. Strukturu koláče určují aplkováním blance rovnováhy sl působících na částečky ve vrstvách koláče v kombnac s předpokladem, že stablní vrstva vznká tehdy, má-l pravdelnou, geometrcky souměrnou podobu s co nejnžší 4

25 Lterární rešerše energí. V modelu předpokládají částečky o stejné velkost. Hlavní rozdíl mez tímto modelem a modelem Carrolla a Serry je ten, že přímá korelace mez odporem koláče a kolodním vlastnostm usazených částc je začleněna do modelu závslost nterakcí částcečástce. h d z Q o = π.d.l.j m d o /d L Δz v (z, t) z x Obrázek 6: Schéma jednoho ponořeného dutého vlákna, Chang Modelové vlákno je uloženo vertkálně do zásobní nádrže a je ponořeno do hloubky h d. Vlákno charakterzuje vntřní/vnější průměr d /d o a jeho délka L. Rychlost konstantního průtoku permeátu je Q o = π.d.l.j m, kde J m je průměrná ntenzta toku permeátu, z je délková souřadnce měřená od zaslepeného konce vlákna a v (z, t) představuje radální rychlost v ose vlákna uvntř rozhraní povrch-kapalna závslou na souřadnc z a čase. Tlak uvntř vlákna v ose z je funkcí času a může být vyjádřen jako součet hydrostatckého tlaku a tlakové ztráty P ( z, t) = p ( z, t) + ρ. g( h + L z), (.3) d kde p je tlaková ztráta rozvnutého toku kapalny. Tok permeátu uvntř opět popsují Hagen-Poseulle rovncí: p ( z, t) z 18μ = Q( z, t), (.33) 4 π. d 5

26 Lterární rešerše kde μ je vskozta kapalny a Q(z,t) je rychlost toku permeátu skrz vlákno v ose z a v čase t. V modelu nesmí chybět blance hmoty, z níž vypočítávají průtok permeátu vláknem z = Q( z, t) v ( z, t). π. d. dz. (.34) 0 Pro z = L, rovnce udává průměrný tok permeátu Q o = L v z, t).. d. dz = 0 ( π J. π. d. L (.35) m K fltrac je využívána střední hodnota povrchu vlákna, jež je vypočtena z vntřní povrchové plochy dutého vlákna vyjádřené vztahem A = π.r.l a vnější povrchové plochy dané vztahem A o (z,t) = π(r o + L c (z,t))dz, kde L c je tloušťka koláče A mf L ( t) = π ( r + ro + Lc ( z, t)) dz. (.36) 0 Průměrný flux v místě z a v čase t vyjadřují modelem sérově řazených odporů J mf ( z, t) = ΔP( z, t) μ( R + R ( z, t)) mf c p ( z, t) =, (.37) μ( R + R ( z, t)) mf c kde R mf je odpor membrány a R c (z,t) je odpor koláče. Neobvykle je v této prác uvažována radální rychlost permeátu dutým vláknem, která je defnována vztahem v ( z, t) = J mf r + r o + L ( z, t) r c = J mf p ( z, t) β zt. β zt =. (.38) μ( R + R ( z, t)) mf c Základní rovncí modelu je rovnce (.33). Model byl řešen numerckou metodou konečných dferencí. Zajímavou prací, která spojuje model cross-flow fltrace a dead-end fltrace je práce Renb Bae, H.F. Leowa [14]. Tato stude zkoumá mkrofltrac polydsperzní suspenze cylndrckou membránou a následně membránou z dutých vláken. Tok permeátu vyjadřují upraveným modelem sérově řazených odporů. Částce v toku permeátu rozdělují na ty, které 6

27 Lterární rešerše nemohou prostoupt skrz stěnu membrány a na ty, které mohou. Zlomek částc, které mohou prostoupt skrz stěnu, dále rozdělují na ty, které zůstanou na povrchu dutých vláken a na ty, které prostoupí skrz dutá vlákna a nachází se v toku permeátu. Na závěr získávají rovnce pro velkost částc, které se usadí na stěně membrán č nkolv Shrnutí Matematcké modelování mkrofltrace vychází u všech autorů z vyjádření toku kapalny uvntř dutého vlákna pomocí Hagen-Poseulle rovnce. K vyjádření proudění kapalny koláčem a stěnou membrány využívají Darcyho zákon (model sérově řazených odporů) a k vyjádření hmoty usazených částc na stěně membrány blanc hmoty v dferencálním tvaru. Mírně odlšnou prací je práce Hwang-Mook Leeho. Ve své prác uvažuje usazování částc v přímo v pórech. Analytcké řešení je možné pouze tehdy, uvažuje-l se deální případ, kdy nedochází k zanášení dutých vláken. V modelu není uvažována blance hmoty usazeného koláče. Pokud však je fltrována suspenze, není jž možné analytcké řešení a používají se numercké metody. Používána je numercká metoda konečných dferencí k řešení rovnce pro ztrátu tlaku v dutém vláknu a pro rovnce vyjadřující průtok permeátu ve vláknu. K vyřešení časové závslost usazeného koláče na membráně Serra použl Runge-Kuttovu metodu. 7

28 Matematcký model koláčové dead-end fltrace 3 Matematcký model koláčové dead-end fltrace 3.1. Předpoklady modelování osamoceného homogenního vlákna po celé délce (modelování svazku vláken by bylo složtější vlvem vzájemného ovlvňování samotných vláken) suspenze v newtonské kapalně nestlačtelný koláč Model se skládá ze tří částí: a. proudění fltrátu koláčem a s tím spojený růst koláče b. proudění fltrátu porézní stěnou vlákna c. proudění fltrátu dutým vntřkem vlákna Proudění suspenze vně koláče je pomalé, a proto jsou tlakové gradenty zanedbatelné a suspenz lze považovat za nepohyblvou. 3.. Geometre vlákna Vlákno má vntřní poloměr r a vnější poloměr r o. Kapalna vtéká zvenčí dovntř vlákna a poté odtéká k blžšímu konc vlákna. V modelu stačí tedy uvažovat jednu polovnu vlákna (symetre). Délka polovny vlákna je L, axální vzdálenost je měřena od středu vlákna. c f r z r r o L Obrázek 7: Schéma toku tekutny dutým vláknem symetrcky od středu k oběma otevřeným koncům 8

29 Matematcký model koláčové dead-end fltrace 3.3. Růst koláče Koncentrace suspenze (nástřku) je c f a je vyjádřena v klogramech tuhé fáze na jednotku objemu fltrátu. Porozta koláče je ε, hustota tuhé fáze ρ s. Blancován byl přírůstek hmotnost tuhé fáze v koláč na délce dz vlákna za dobu dτ. Za tuto dobu se poloměr vnějšího povrchu koláče r c zvýší o dr c. da. dz.(1 ε ). ρ = J. dz. dτ. c, (3.1) c kde J l je lokální (na souřadnc z závslá) hodnota průtoku fltrátu na jednotku délky vlákna (m 3.s -1.m -1 ). Z blance (3.1) je získána parcální dervace, protože A c závsí na čase τ, ale na vzdálenost z od středu vlákna, s l s f A J c c 1. f =. (3.) τ (1 ε ) ρ 3.4. Proudění kapalny koláčem (odpor vrstvy koláče) Proudění porézní vrstvou koláče je popsáno Darcyho zákonem: u r J l = π r kc p =, (3.3) μ r kde u r je mmovrstvová rychlost kapalny v daném místě koláče (r,z), k c je permeablta p koláče a je konstantní, μ je dynamcká vskozta kapalny (fltrátu). je gradent tlaku r v daném místě koláče. Separací proměnných bylo získáno J l dr r π kc = dp. (3.4) μ Integrací od vnějšího povrchu vlákna (r o ) až po vnější povrch koláče (r c ) bylo získáno J l r ln r c o = π k μ c ( p c p ). (3.5) o Po zavedení celkového odporu koláče rc Ac ln r ln o A o R c = =. (3.6) π k 4π k c c 9

30 Matematcký model koláčové dead-end fltrace Poté průtok fltrátu na jednotku délky vlákna J p p c o l =. (3.7) μ Rc 3.5. Proudění kapalny porézní stěnou vlákna (odpor stěny vlákna) Pro průtok fltrátu J l porézní stěnou vlákna lze psát vztah analogcký vztahu (3.7) J p p o l =, (3.8) μ. Rm kde p je tlak uvntř dutého vlákna (závslý na čase τ a souřadnc z, ale nezávsí na r). R m je celkový odpor porézní stěny vlákna a je po celé délce vlákna neproměnný. Kombnací vztahů (3.7) a (3.8) dostaneme pro průtok permeátu na jednotku délky J l pc p =. (3.9) μ.( Rm + Rc ) Přtom p c je tlak na vnějším povrchu koláče (na nástřkové straně), který je po délce konstantní (u vodorovného vlákna) Tok kapalny dutým vntřkem vlákna Přírůstek objemového průtoku fltrátu na délce dz je vyjádřen následovně Q J l. dz = dq, J l =. (3.10) z Protože fltrát protéká z vnější strany dovntř a v dutně vlákna teče v kladném směru z, tlakovou ztrátu uvntř vlákna vyjádříme zjednodušeně podle Hagen-Poseulleova zákona pro tok trubkou kruhového průřezu 4 π d p Q =, (3.11) 18μ z p závsí na z a na čase τ, proto je ve vztahu (3.11) parcální dervace. Kombnací (3.10) a (3.11) je získán vztah pro výpočet lokálního průtoku fltrátu na jednotku délky vlákna, kde d =.r je vntřní průměr vlákna. J l 4 π d p = 18μ z, (3.1) 30

31 Matematcký model koláčové dead-end fltrace 3.7. Výsledný matematcký model v rozměrném tvaru Rovnce tvořící matematcký model byly získány z rovnc (3.6), (3.9), (3.1) a (3.): - pro odpor koláče (rovnce totožná s rovncí (3.6)) R c Ac ln A o = (3.13) 4π k c - pro tlak (kombnací rovnc (3.9) a (3.1)) z p 18 = π. d 4 p c ( R + R ) m p c (3.14) - pro průtok fltrátu na jednotku délky (rovnce totožná s rovncí (3.9)) J p p c l = (3.15) μ ( Rm + Rc ) - pro poloměr vnějšího povrchu koláče (rovnce totožná s rovncí (3.)) A J c l. c f = τ ε ( 1 ) ρ s (3.16) Matematcký model daný rovncem (3.13) až (3.16) je doplněn počátečním a okrajovým podmínkam. Na počátku (τ = 0) je tloušťka koláče nulová (A c = A o ) a tedy odpor koláče je nulový (R c = 0) a průtok J l závsí jen na odporu stěny vlákna. Rovnce (3.14) vyžaduje dvě okrajové podmínky. První z nch vychází ze symetre toku vzhledem ke středu vlákna (z = 0). Kapalna v každé polovně teče k blžšímu konc a tedy ve středu vlákna Q (z = 0) = 0 a z rovnce (3.11) pak plyne p ( z = 0) = 0 (3.17) z Druhá okrajová podmínka pro rovnc (3.14) závsí na způsobu provádění fltrace: za konstantní rychlost fltrace nebo za konstantního tlakového rozdílu. 31

32 Matematcký model koláčové dead-end fltrace Fltrace za konstantní rychlost fltrace Př tomto způsobu provádění fltrace je zadaný a s časem neproměnný výtok fltrátu na konc vlákna Q(z = L) = Q L. S rostoucí tloušťkou koláče přtom roste hnací síla procesu, rozdíl tlaků p c p L. Tento způsob fltrace lze realzovat tak, že buďto odsáváme objemovým čerpadlem fltrát na straně výtoku. Přtom jsme omezen mnmální možnou hodnotou podtlaku na sání čerpadla, která je teoretcky dána tenzí par fltrátu a praktcky též konstrukcí (těsností čerpadla). Nebo v druhém případě vtlačujeme suspenz objemovým čerpadlem do uzavřeného prostoru, ve kterém je vlákno umístěno. Tady by bylo možné dosáhnout větší hnací síly (není tu omezení dané tenzí par, ale omezení dané konstrukcí čerpadla zůstává). Fltrace za konstantního tlakového rozdílu Př tomto způsobu provádění fltrace je zadaný a konstantní tlak p L = p (z = L) a tlak p c. S časem roste tloušťka koláče jeho odpor a tedy klesá výtok fltrátu Q L z vlákna Postup řešení matematckého modelu Zadávaným parametry modelu jsou c f, μ, ε, ρ s, k c, d, A o, R m. K tomu ještě přstupují v závslost na způsobu fltrace: - za konstantního tlakového rozdílu: p c, p L - za konstantní rychlost fltrace: Q L, p c nebo Q L, p L Rovnce matematckého modelu vzhledem k jejch nelneartě nebude možné řešt analytcky, ale bude nutné použít vhodnou numerckou metodu (např. metodu sítí). Soustava parcálních dferencálních rovnc je v podstatě parabolcká, tzn. že bude hledáno řešení postupně od jedné časové vrstvy k následující. Hledané velčny jsou p, J l, R c, A c. Všechny jsou funkcí z a τ Stratege řešení př fltrac za konstantního tlakového rozdílu Známé jsou hodnoty průřezu A c v nějakém čase τ pro všechny hodnoty z (axální profl A c ) a chceme vypočítat profly ostatních velčn v tomto čase a profl A c v čase τ + dτ. Z rovnce (3.13) budou vypočteny hodnoty odporu koláče R c. Z rovnce (3.14) s okrajovým podmínkam p / z(z = 0) = 0 a p (z = L) = p L je získán profl tlaku. Z rovnce (3.15) dostaneme J l. 3

33 Matematcký model koláčové dead-end fltrace Z rovnce (3.16) dostaneme nový profl A c. Takto popsaný postup je vlastně explctní schéma výpočtu. Pro zvýšení stablty výpočtu se může ukázat potřebné použít schéma mplctního nebo Crank-Ncholsonova typu Stratege řešení př fltrac za konstantní rychlost fltrace Pro tento způsob provádění fltrace není známá jedna z hodnot p L a p c, ale je známá hodnota Q L. Může být použt postup výpočtu jako v případě fltrace za konstantního tlakového rozdílu s tím, že pro každou časovou vrstvu je hledána taková hodnota p L př známém p c (nebo hodnota p c př známém p L ), aby vypočtený výtok z vlákna L Q( z = L) = J l. dz (3.18) byl roven zadané hodnotě Q L. Podrobnost jsou uvedeny u modelu v bezrozměrném tvaru Matematcký model v bezrozměrném tvaru pro fltrac za konst. tlak. rozdílu 0 Matematcký model může být výhodné převést do bezrozměrného tvaru. Tím se obvykle sníží počet parametrů určujících chování modelu. Zavedeny byly bezrozměrné velčny z B = z / L (3.19) τ B c f = μ. R m.( pc pl ).( 1 ε ). ρ. s A o τ (3.0) p B p p c = (3.1) pc pl A = A / A (3.) cb c o R = R / R (3.3) cb c m J lb = μ. Rm p p c L J l (3.4) Vyjádří-l se ze vztahů (3.19) až (3.4) rozměrové velčny pomocí bezrozměrných a dosadí-l se do modelu (3.13) až (3.16) jsou získány rovnce R ln A cb cb = = α. ln AcB (3.5) 4πkc Rm 33

34 Matematcký model koláčové dead-end fltrace p B B z 18L = πd R 4 J m p B 1+ R p cb pb = β 1+ R cb (3.6) B lb = (3.7) 1 + RcB A cb = J lb (3.8) τ B S počáteční podmínkou r cb (τ B = 0) a okrajovým podmínkam p B (z B = 1) = 1, p B z ( z = 0 ) = 0. B (3.9) Model v bezrozměrném tvaru obsahuje pouze dva parametry 1 18L α =, β = (3.30a,b) 4πk R πd R c m Matematcký model v bezrozměrném tvaru pro fltrac za konst. rychlost Bezrozměrné velčny z B, p B, A cb a R cb byly zavedeny vztahy (3.19), (3.1)-(3.3) jako v předchozí část. Bezrozměrné velčny τ B a J lb byly zavedeny odlšným způsobem τ B 4 c f QL = τ LA.(1 ε ) ρ o L s m (3.31) L J lb = J l (3.3) Q Bezrozměrný tvar modelu pak zahrnuje rovnce R ln A cb cb = = α ln AcB (3.33) 4πk c Rm p B B z 18L = πd R 4 m p B 1+ R cb pb = β 1+ R cb (3.34) J lb = L ( p p ) c μr m Q L L p B 1+ R cb pb = γ 1+ R cb (3.35) A cb = τ B J lb (3.36) 34

35 Matematcký model koláčové dead-end fltrace p z B B S počáteční podmínkou r cb (τ B = 0) = 1 a okrajovým podmínkam p B (z B = 1) = 1, ( z = 0) = 0. B Od předchozí část se lší pouze rovnce (3.35), která obsahuje bezrozměrnou velčnu γ L( p p c L =. (3.37) μr m Q L Hodnota γ v každém okamžku je určována z podmínky J. dz = a v bezrozměrném tvaru Z toho, po dosazení z (3.35), dostaneme 1 ) L 0 l Q L J. dz B = 1. (3.38) lb 0 1 γ = 1. (3.39) pb dz B + R 0 1 V každé časové vrstvě na základě známého proflu A cb je spočteno R cb z rovnce (3.33), potom p B z rovnce (3.34) s okrajovým podmínkam (3.9), γ z rovnce (3.39), J lb z rovnce (3.35) a nakonec nový profl A cb z rovnce (3.36). Model v bezrozměrném tvaru opět obsahuje pouze dva parametry α, β (3.30a,b) (velčna γ není parametr, počítá se a je funkcí času). cb Numercké řešení matematckého modelu Řešení lze provést v Excelu nebo Pascalu (Delph). Vstupním parametry jsou α, β. K výpočtům je nutné zvolt přírůstky h z, h τ (kroky) proměnných z B, τ B. Krok h z = 1/N z je určen tak, aby bezrozměrná délka vlákna byla rozdělena na celý počet (N z ) stejných dílků. V dalším textu určují ndexy (, j) v závorce polohu uzlu v dvojrozměrné sít. Index () patří k délkové souřadnc, ndex (j) k časové souřadnc. Index () se mění od 0 do N z, v čase τ B = 0 je (j) = 0. Dskretzací parcální dferencální rovnce parabolckého typu (3.6) (resp. (3.34)) je získána rovnce p ( 1, j) B p (, j) B z h + p ( + 1, j) B (, j) B (, j) RcB p B B z pb = β 1+ R p = β (3.40) 1+ cb 35

36 Matematcký model koláčové dead-end fltrace K dskretzac byla použta náhrada druhé dervace centrální formulí. p B z B p ( 1, j) B p (, j) B z h + p ( + 1, j) B (3.41) Rovnce (3.40) byla upravena na tvar vhodný pro terační způsob řešení: p (, j) B = p ( 1, j) ( + 1, j) ( p + p ) (0, j) B B B βhz + (, ) 1+ R j cb = p + 1+ (1, j) B βhz (0, j) RcB Dskretzací rovnce (3.8) (resp.(3.36)) dostaneme A (, j+ 1) cb = A což je náhrada Crank-Ncholsonova typu. (, j) cb h + τ ( = 1,, N z -1) (3.4) ( = 0) (3.43) (, j) (, j+ 1) [ J + J ] lb lb, (3.44) Postup výpočtu Je předpokládáno, že na základě předchozího řešení jsou známy hodnoty v časové vrstvě určené ndexem (j) a jsou dále dopočítávány velčny, hodnoty A ve vrstvě následující s ndexem (j+1). (, j+ 1) cb R, (, j) cb p, J (, j) B A (, j) lb (, j) cb, a 1. známe A (, j) cb. R (, j) cb = α ln A ( = 0,, N z ) (, j) cb ( N, j) p je řešeno teračně pomocí vztahů (3.4), (3.43) a p = 1 (, j) B 1 γ = 1 v případě provádění fltrace za konstantní rychlost pb dz B + R 0 1 cb B z γ = 1 v případě provádění fltrace za konstantního tlakového rozdílu pozn.: Integrál se vypočte např. Smpsonovým pravdlem (N z potom musí být sudé) p h 1 N z (, j) B z B dz B c (, j) 1+ RcB 3 0 = 0 1+ RcB p, 36

37 Matematcký model koláčové dead-end fltrace kde c = 1 pro = 0 a = N z, c = 4 pro = 1, 3,, N z -1, c = pro =, 4,, N z -. (, j) (, j) pb 5. J lb = γ ( = 0,, N (, j) z ) 1+ R cb (, j+ 1) (, j) hτ (, j) (, j+ 1) 6. A = A + [ J + J ] cb přtom cb (, j+ 1) lb lb lb ( = 0,, N z ), J se počítá ze vztahů. až 4. pro ndex (j+1) Další počítané velčny Pokles objemové fltrační rychlost Q L s časem př fltrac za konstantního tlakového rozdílu: Q L = 1 ( p p ). L ( p p ). L 1 c L c L B J l. dz = J lb. dz B = dz B μ. R m μ R 0 m R 0 cb L p (3.45) Q Q L Lo = 1 pb dz 1+ R 0 cb 1 pb. dzb 0 B τ = 0 τ (3.46) Růst hnací síly p c -p L s časem př fltrac za konstantní rychlost fltrace: ( pc pl ) ( p p ) c τ L τ = 0 = γ = γ o 1 pb. dz B 0 1 pb dz 1+ R 0 cb τ = 0 B τ (3.47) Výpočet celkového objemu fltrátu Celkový objem fltrátu v čase τ dostaneme ntegrací výtoku z vlákna τ τ L V = QL. dτ = J l. dz. dτ. (3.48) 0 V případě konstantní rychlost fltrace nezávsí Q L na čase. Rozměrový čas můžeme dále vyjádřt pomocí bezrozměrného s použtím vztahu (3.31) V = Q L. A.(1 ε ). ρ 0 0 V. c o s f L. τ = QL τ B, VB = = τ B c f. QL L. Ao.(1 ε ). ρ s. (3.49) 37

MODELOVÁNÍ A SIMULACE

MODELOVÁNÍ A SIMULACE MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký

Více

Numerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První

Numerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá

Více

3 Základní modely reaktorů

3 Základní modely reaktorů 3 Základní modely reaktorů Rovnce popsující chování reakční směs v reaktoru (v čase a prostoru) vycházejí z blančních rovnc pro hmotu, energ a hybnost. Blanc lze formulovat pro extenzvní velčnu B v obecném

Více

Kinetika spalovacích reakcí

Kinetika spalovacích reakcí Knetka spalovacích reakcí Základy knetky spalování - nauka o průběhu spalovacích reakcí a závslost rychlost reakcí na různých faktorech Hlavní faktory: - koncentrace reagujících látek - teplota - tlak

Více

Tlakové membránové procesy

Tlakové membránové procesy Membránová operace Tlakové membránové technologie Retentát (Koncentrát) Vstupní roztok Permeát Tlakové membránové procesy Mikrofiltrace Ultrafiltrace Nanofiltrace Reverzní osmóza -hnací silou rozdíl tlaků

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

katedra technických zařízení budov, fakulta stavební ČVUT TZ 31: Vzduchotechnika, cvičení č.1: Větrání stájových objektů vypracoval: Adamovský Daniel

katedra technických zařízení budov, fakulta stavební ČVUT TZ 31: Vzduchotechnika, cvičení č.1: Větrání stájových objektů vypracoval: Adamovský Daniel Základy větrání stájových objektů Stájové objekty: objekty otevřené skot, ovce, kozy apod. - přístřešky chránící ustájená zvířata pouze před přímým náporem větru, před dešťovým a sněhovým srážkam, v létě

Více

u (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo

u (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo Metoda sítí základní schémata h... krok sítě ve směru x, tj. h = x x q... krok sítě ve směru y, tj. q = y j y j τ... krok ve směru t, tj. τ = j... hodnota přblžného řešení v uzlu (x,y j ) (Possonova rovnce)

Více

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN.

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. Mroslav VARNER, Vktor KANICKÝ, Vlastslav SALAJKA ČKD Blansko Strojírny, a. s. Anotace Uvádí se výsledky teoretckých

Více

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie Zkouškový test z fyzkální a kolodní cheme VZOR/1 jméno test zápočet průměr známka Čas 9 mnut. Povoleny jsou kalkulačky. Nejsou povoleny žádné písemné pomůcky. Uotázeksvýběrema,b,c...odpověd b kroužkujte.platí:

Více

ZÁKLADNÍ MODELY TOKU PORÉZNÍ MEMBRÁNOU

ZÁKLADNÍ MODELY TOKU PORÉZNÍ MEMBRÁNOU ZÁKLADNÍ MODELY TOKU PORÉZNÍ MEMBRÁNOU Znázornění odporů způsobujících snižování průtoku permeátu nástřik porézní membrána Druhy odporů R p blokování pórů R p R a R m R a R m R g R cp adsorbce membrána

Více

Fyzika biopolymerů. Elektrostatické interakce makromolekul ve vodných roztocích. Vodné roztoky. Elektrostatická Poissonova rovnice.

Fyzika biopolymerů. Elektrostatické interakce makromolekul ve vodných roztocích. Vodné roztoky. Elektrostatická Poissonova rovnice. Fyzka bopolymerů Elektrostatcké nterakce makromolekul ve vodných roztocích Robert Vácha Kamence 5, A4 2.13 robert.vacha@mal.mun.cz Vodné roztoky ldské tělo se skládá z 55-75 % z vody (roztoků) většna roztoků

Více

1.3. Transport iontů v elektrickém poli

1.3. Transport iontů v elektrickém poli .3. Transport ontů v elektrckém pol Ionty se v roztoku vystaveném působení elektrckého pole pohybují katonty směrem ke katodě, anonty k anodě. Tento pohyb ontů se označuje jako mgrace. VODIVOST Vodvost

Více

Sdílení tepla. Úvod - Přehled. Sdílení tepla mezi termodynamickou soustavou a okolím je podmíněno rozdílností teplot soustavy T.

Sdílení tepla. Úvod - Přehled. Sdílení tepla mezi termodynamickou soustavou a okolím je podmíněno rozdílností teplot soustavy T. 7.4.0 Úvod - Přehled Sdílení tepla Sdílení tepla mez termodynamckou soustavou a okolím je podmíněno rozdílností teplot soustavy T s a okolí T o. Teplo mez soustavou a okolím se sdílí třem základním způsoby:

Více

Teorie elektrických ochran

Teorie elektrických ochran Teore elektrckých ochran Elektrcká ochrana zařízení kontrolující chod část energetckého systému (G, T, V) = chráněného objektu, zajstt normální provoz Chráněný objekt fyzkální zařízení pro přenos el. energe,

Více

SIMULACE A ŘÍZENÍ PNEUMATICKÉHO SERVOPOHONU POMOCÍ PROGRAMU MATLAB SIMULINK. Petr NOSKIEVIČ Petr JÁNIŠ

SIMULACE A ŘÍZENÍ PNEUMATICKÉHO SERVOPOHONU POMOCÍ PROGRAMU MATLAB SIMULINK. Petr NOSKIEVIČ Petr JÁNIŠ bstrakt SIMULCE ŘÍZENÍ PNEUMTICKÉHO SERVOPOHONU POMOCÍ PROGRMU MTL SIMULINK Petr NOSKIEVIČ Petr JÁNIŠ Katedra automatzační technky a řízení Fakulta stroní VŠ-TU Ostrava Příspěvek popsue sestavení matematckého

Více

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA STROJNÍ Semestrální práce z předmětu MM Stanovení deformace soustav ocelových prutů Václav Plánčka 6..006 OBSAH ZADÁNÍ... 3 TEORETICKÁ ČÁST... 4 PRAKTICKÁ ČÁST...

Více

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ ELEKTRICKÝ POTENCIÁL Elektrcká potencální energe Newtonův zákon pro gravtační sílu mm F = G r 1 2 2 Coulombův zákon pro elektrostatckou sílu QQ F = k r 1 2

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ VĚTRACÍ SYSTÉMY OBYTNÝCH DOMŮ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ VĚTRACÍ SYSTÉMY OBYTNÝCH DOMŮ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ENERGY INSTITUTE VĚTRACÍ SYSTÉMY OBYTNÝCH DOMŮ VENTILATION

Více

í I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI

í I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI - 13 - í Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materálu Prof. ng. J. Šeda, DrSc. KDAZ - PJP Na našem pracovšt byl vypracován program umožňující modelovat průchod záření gama metodou Monte Carlo, homogenním

Více

FYZIKA I. Pohybová rovnice. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.

FYZIKA I. Pohybová rovnice. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Pohybová rovnce Prof. RNDr. Vlém Mádr, CSc. Prof. Ing. Lbor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová

Více

Membránové procesy a jejich využití

Membránové procesy a jejich využití Membránové procesy a jejich využití Vedoucí projektu: Vypracovali: Sponzor: Ing. Petr Dřevikovský Tomáš Fuka, Lukáš Fuka W.P.E. a.s. Prezentace je majetkem firmy W.P.E. Všechny práva vyhrazena Cíle projektu

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Osově namáhaný prut základní veličiny

Osově namáhaný prut základní veličiny Pružnost a pevnost BD0 Osově namáhaný prut základní velčny ormálová síla půsoící v průřezu osově namáhaného prutu se získá ntegrací normálového napětí po ploše průřezu. da A Vzhledem k rovnoměrnému rozložení

Více

Tepelná kapacita = T. Ē = 1 2 hν + hν. 1 = 1 e x. ln dx. Einsteinův výpočet (1907): Soustava N nezávislých oscilátorů se stejnou vlastní frekvencí má

Tepelná kapacita = T. Ē = 1 2 hν + hν. 1 = 1 e x. ln dx. Einsteinův výpočet (1907): Soustava N nezávislých oscilátorů se stejnou vlastní frekvencí má Tepelná kapacta C x = C V = ( ) dq ( ) du Dulong-Pettovo pravdlo: U = 3kT N C V = 3kN x V = T ( ) ds x Tepelná kapacta mřížky Osclátor s kvantovanou energí E n = ( n + 2) hν má střední hodnotu energe (po

Více

11 Tachogram jízdy kolejových vozidel

11 Tachogram jízdy kolejových vozidel Tachogram jízdy kolejových vozdel Tachogram představuje znázornění závslost rychlost vozdel na nezávslém parametru. Tímto nezávslým parametrem může být ujetá dráha, pak V = f() dráhový tachogram, nebo

Více

CHEMIE A CHEMICKÉ TECHNOLOGIE (N150013) 3.r.

CHEMIE A CHEMICKÉ TECHNOLOGIE (N150013) 3.r. L A B O R A T O Ř O B O R U CHEMIE A CHEMICKÉ TECHNOLOGIE (N150013) 3.r. Ústav organcké technologe (111) Ing. J. Trejbal, Ph.D. budova A, místnost č. S25b Název práce : Vedoucí práce: Umístění práce: Rektfkace

Více

ANALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V INVESTIČNÍM PROCESU

ANALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V INVESTIČNÍM PROCESU AALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V IVESTIČÍM PROCESU Jří Marek ) ABSTRAKT Príspevek nformuje o uplatnene manažmentu rzka v nvestčnom procese. Uvádza príklad kalkulace rzka a analýzu jeho ctlvost. Kľúčové

Více

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 SIMULACE numercké řešení dferencálních rovnc smulační program dentfkace modelu Numercké řešení obyčejných dferencálních rovnc krokové metody pro řešení lneárních dferencálních rovnc 1.řádu s počátečním

Více

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory Mechatroncké systémy s elektroncky komutovaným motory 1. EC motor Uvedený motor je zvláštním typem synchronního motoru nazývaný též bezkartáčovým stejnosměrným motorem (anglcky Brushless Drect Current

Více

TLAKOVÉ MEMBRÁNOVÉ PROCESY A JEJICH VYUŽITÍ V OBLASTI LIKVIDACE ODPADNÍCH VOD

TLAKOVÉ MEMBRÁNOVÉ PROCESY A JEJICH VYUŽITÍ V OBLASTI LIKVIDACE ODPADNÍCH VOD TLAKOVÉ MEMBRÁNOVÉ PROCESY A JEJICH VYUŽITÍ V OBLASTI LIKVIDACE ODPADNÍCH VOD Petr Mikulášek Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Ústav environmentálního a chemického inženýrství petr.mikulasek@upce.cz

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete

Více

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší

Více

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese cvčící 9. cvčení 4ST01 Obsah: Jednoduchá lneární regrese Vícenásobná lneární regrese Korelační analýza Vysoká škola ekonomcká 1 Jednoduchá lneární regrese Regresní analýza je statstcká metoda pro modelování

Více

Membránové ČOV. Radek Vojtěchovský

Membránové ČOV. Radek Vojtěchovský Membránové ČOV Radek Vojtěchovský Daniel Vilím Obsah Membránová filtrace v čištění odpadních vod Membránové bioreaktory Terciární membránová filtrace Opětovné využití vyčištěné odpadní vody 2 Membránová

Více

Vícefázové reaktory. Probublávaný reaktor plyn kapalina katalyzátor. Zuzana Tomešová

Vícefázové reaktory. Probublávaný reaktor plyn kapalina katalyzátor. Zuzana Tomešová Vícefázové reaktory Probublávaný reaktor plyn kapalina katalyzátor Zuzana Tomešová 2008 Probublávaný reaktor plyn - kapalina - katalyzátor Hydrogenace méně těkavých látek za vyššího tlaku Kolony naplněné

Více

Osmosis PRO - průmyslové systémy reverzní osmózy

Osmosis PRO - průmyslové systémy reverzní osmózy Osmosis PRO - průmyslové systémy reverzní osmózy Robustní membránové systémy pro komerční a průmyslové provozy. Základní informace: Ocelový rám, práškové lakování Nerezový rám Na přání Stabilizované odstranění

Více

4 Parametry jízdy kolejových vozidel

4 Parametry jízdy kolejových vozidel 4 Parametry jízdy kolejových vozdel Př zkoumání jízdy železnčních vozdel zjšťujeme většnou tř základní charakterstcké parametry jejch pohybu. Těmto charakterstkam jsou: a) průběh rychlost vozdel - tachogram,

Více

3. FILTRACE. Obecný princip filtrace. Náčrt. vstup. suspenze. filtrační koláč. výstup

3. FILTRACE. Obecný princip filtrace. Náčrt. vstup. suspenze. filtrační koláč. výstup 3. FILTRACE Filtrace je jednou ze základních technologických operací, je to jedna ze základních jednotkových operací. Touto operací se oddělují pevné částice od tekutiny ( směs tekutiny a pevných částic

Více

Jednosložkové soustavy

Jednosložkové soustavy Jednosložkové soustavy Fázové rovnováhy Prezentace je určena pro výuku. roč. studjního oboru Nanotechnologí a není dovoleno její šíření bez vědomí garanta předmětu. K jejímu vytvoření bylo použto materálů

Více

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Určete hmotnostní průtok vody (pokud otvor budeme považovat za malý), která vytéká z válcové nádoby s průměrem

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

Interference na tenké vrstvě

Interference na tenké vrstvě Úloha č. 8 Interference na tenké vrstvě Úkoly měření: 1. Pomocí metody nterference na tenké klínové vrstvě stanovte tloušťku vybraného vlákna nebo vašeho vlasu. 2. Pomocí metody, vz bod 1, stanovte ndex

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

- 1 - Obvodová síla působící na element lopatky větrné turbíny

- 1 - Obvodová síla působící na element lopatky větrné turbíny - - Tato Příloha 898 je sočástí článk č.. Větrné trbíny a ventlátory, http://www.transformacntechnologe.cz/vetrne-trbny-a-ventlatory.html. Odvození základních rovnc aerodynamckého výpočt větrné trbíny

Více

RMC RMD RME

RMC RMD RME Olejem mazané šroubové kompresory s pevnou nebo proměnnou rychlostí MSC 30-45 MSD 55-75 s pohonem přes klínové řemeny RMC 30-45 RMD 55-75 RME 75-110 s pohonem pomocí spojky MSC/MSD Pohon klínovým řemeny

Více

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ Abstrakt Martn Cupal 1 Prncp tvorby tržní ceny nemovtost je sce založen na tržní nabídce a poptávce, avšak tento trh je značně nedokonalý. Nejvíce ovlvňuje

Více

7. ZÁKLADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ

7. ZÁKLADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ 7. ZÁKADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ 7.. SPOJITÉ SYSTÉMY Téměř všechny fyzálně realzovatelné spojté lneární systémy (romě systémů s dopravním zpožděním lze vytvořt z prvů tří typů: proporconálních členů

Více

VÝPOČET VELIKOSTNÍCH PARAMETRŮ KOMPOSTÁREN NA ZPEVNĚNÝCH PLOCHÁCH THE SIZE PARAMETER CALCULATION OF COMPOST PLANTS LOCALIZED ON COMPACTED AREAS

VÝPOČET VELIKOSTNÍCH PARAMETRŮ KOMPOSTÁREN NA ZPEVNĚNÝCH PLOCHÁCH THE SIZE PARAMETER CALCULATION OF COMPOST PLANTS LOCALIZED ON COMPACTED AREAS VÝPOČET VELIKOSTNÍCH PARAMETRŮ KOMPOSTÁREN NA ZPEVNĚNÝCH PLOCHÁCH THE SIZE PARAMETER CALCULATION OF COMPOST PLANTS LOCALIZED ON COMPACTED AREAS ALTMANN VLASTIMIL ), PLÍVA PETR 2) ) Česká zemědělská unverzta

Více

Modelování rizikových stavů v rodinných domech

Modelování rizikových stavů v rodinných domech 26. 28. června 2012, Mkulov Modelování rzkových stavů v rodnných domech Mlada Kozubková 1, Marán Bojko 2, Jaroslav Krutl 3 1 2 3 Vysoká škola báňská techncká unverzta Ostrava, Fakulta strojní, Katedra

Více

Účinnost spalovacích zařízení

Účinnost spalovacích zařízení Účnnost spalovacích zařízení Účnnost je ukazatelem míry dokonalost transformace energe v zařízení. Jedná se o techncko-ekonomcký parametr. Vyjadřuje poměr mez energí využtou a energí přvedenou do zařízení,

Více

V xv x V V E x. V nv n V nv x. S x S x S R x x x x S E x. ln ln

V xv x V V E x. V nv n V nv x. S x S x S R x x x x S E x. ln ln Souhrn 6. přednášky: 1) Terodynaka sěsí a) Ideální sěs: adtvta objeů a entalpí, Aagatův zákon b) Reálná sěs: pops poocí dodatkových velčn E Def. Y Y Y, d Aplkace: - př. obje reálné dvousložkové sěs V xv

Více

Otto DVOŘÁK 1 NEJISTOTA STANOVENÍ TEPLOTY VZNÍCENÍ HOŘLAVÝCH PLYNŮ A PAR PARABOLICKOU METODOU PODLE ČSN EN 14522

Otto DVOŘÁK 1 NEJISTOTA STANOVENÍ TEPLOTY VZNÍCENÍ HOŘLAVÝCH PLYNŮ A PAR PARABOLICKOU METODOU PODLE ČSN EN 14522 Otto DVOŘÁK 1 NEJISTOTA STANOVENÍ TEPLOTY VZNÍCENÍ HOŘLAVÝCH PLYNŮ A PAR PARABOLICKOU METODOU PODLE ČSN EN 145 UNCERTAINTY OF DETEMINATION OF THE AUTO-IGNITION TEMPERATURE OF FLAMMABLE GASES OR VAPOURS

Více

Transport hmoty a tepla v mikrofluidních systémech

Transport hmoty a tepla v mikrofluidních systémech Transport hmoty a tepla v mkrofludních systémech Konvektvní transport v zařízeních s malým charakterstckým rozměrem Konvektvní tok vznká působením plošných, objemových, nercálních a třecích sl v objemu

Více

Pracovní list č. 6: Stabilita svahu. Stabilita svahu. Návrh či posouzení svahu zemního tělesa. FS s

Pracovní list č. 6: Stabilita svahu. Stabilita svahu. Návrh či posouzení svahu zemního tělesa. FS s Pracovní lst č. 6: Stablta svahu Stablta svahu 1 - máme-l násyp nebo výkop, uvntř svahu vznká smykové napětí - aktvuje se smykový odpor zemny - porušení - na celé smykové ploše se postupně dosáhne maxma

Více

Autokláv reaktor pro promíchávané vícefázové reakce

Autokláv reaktor pro promíchávané vícefázové reakce Vysoká škola chemicko technologická v Praze Ústav organické technologie (111) Autokláv reaktor pro promíchávané vícefázové reakce Vypracoval : Bc. Tomáš Sommer Předmět: Vícefázové reaktory (prof. Ing.

Více

Šroubové kompresory. Řada MSL 2,2-15 kw. Jednoduché a kompletní řešení pro Vaší potřebu stlačeného vzduchu

Šroubové kompresory. Řada MSL 2,2-15 kw. Jednoduché a kompletní řešení pro Vaší potřebu stlačeného vzduchu Šroubové kompresory Řada MSL 2,2-15 kw Jednoduché a kompletní řešení pro Vaší potřebu stlačeného vzduchu CHYTRÉ TECHNICKÉ ŘEŠENÍ Nžší náklady na údržbu a prodloužené servsní ntervaly Velce jednoduchá konstrukce

Více

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka 1.Úvod teoretcký pops Konverze kmtočtu Štěpán Matějka Směšovač měnč kmtočtu je obvod, který přeměňuje vstupní sgnál s kmtočtem na výstupní sgnál o kmtočtu IF. Někdy bývá tento proces označován také jako

Více

DUM č. 16 v sadě. 11. Fy-2 Učební materiály do fyziky pro 3. ročník gymnázia

DUM č. 16 v sadě. 11. Fy-2 Učební materiály do fyziky pro 3. ročník gymnázia projekt GML Brno Docens DUM č. 16 v sadě 11. Fy-2 Učební materály do fyzky pro 3. ročník gymnáza Autor: Vojtěch Beneš Datum: 3.3.214 Ročník: 2A, 2C Anotace DUMu: Nestaconární magnetcké pole Materály jsou

Více

Implementace bioplynové stanice do tepelné sítě

Implementace bioplynové stanice do tepelné sítě Energe z bomasy XVII, 13. 15. 9. 2015 Lednce, Česká republka Implementace boplynové stance do tepelné sítě Pavel MILČÁK 1, Jaroslav KONVIČKA 1, Markéta JASENSKÁ 1 1 VÍTKOVICE ÚAM a.s., Ruská 2887/101,

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární

Více

Filtrace stlačeného vduchu Nová generace

Filtrace stlačeného vduchu Nová generace Fltrace stlačeného vduchu Nová generace Fltrace stlačeného vduchu - nová generace Frma Hankson je jedním z předních výrobců zařízení sloužících k sušení a fltrac stlačeného vzduchu. Výrobky Hankson jsou

Více

Výzkum vlivu přenosových jevů na chování reaktoru se zkrápěným ložem katalyzátoru. Petr Svačina

Výzkum vlivu přenosových jevů na chování reaktoru se zkrápěným ložem katalyzátoru. Petr Svačina Výzkum vlivu přenosových jevů na chování reaktoru se zkrápěným ložem katalyzátoru Petr Svačina I. Vliv difuze vodíku tekoucím filmem kapaliny na průběh katalytické hydrogenace ve zkrápěných reaktorech

Více

Filtrace 18.9.2008 1

Filtrace 18.9.2008 1 Výpočtový ý seminář z Procesního inženýrství podzim 2008 Filtrace 18.9.2008 1 Tématické okruhy principy a instrumentace bilance filtru kalolis filtrace za konstantní rychlosti filtrace za konstantního

Více

9.12.2009. Metody analýzy rizika. Předběžné hodnocení rizika. Kontrolní seznam procesních rizik. Bezpečnostní posudek

9.12.2009. Metody analýzy rizika. Předběžné hodnocení rizika. Kontrolní seznam procesních rizik. Bezpečnostní posudek 9.2.29 Bezpečnost chemckých výrob N Petr Zámostný místnost: A-72a tel.: 4222 e-mal: petr.zamostny@vscht.cz Analýza rzka Vymezení pojmu rzko Metody analýzy rzka Prncp analýzy rzka Struktura rzka spojeného

Více

Proč funguje Clemův motor

Proč funguje Clemův motor - 1 - Proč funguje Clemův motor Princip - výpočet - konstrukce (c) Ing. Ladislav Kopecký, 2004 Tento článek si klade za cíl odhalit podstatu funkce Clemova motoru, provést základní výpočty a navrhnout

Více

RECYKLACE VOD OVĚŘOVÁNÍ A KONKRÉTNÍ REALIZACE. Ondřej Beneš (Veolia ČR) Petra Vachová, Tomáš Kutal (VWS Memsep)

RECYKLACE VOD OVĚŘOVÁNÍ A KONKRÉTNÍ REALIZACE. Ondřej Beneš (Veolia ČR) Petra Vachová, Tomáš Kutal (VWS Memsep) RECYKLACE VOD OVĚŘOVÁNÍ A KONKRÉTNÍ REALIZACE Ondřej Beneš (Veolia ČR) Petra Vachová, Tomáš Kutal (VWS Memsep) ÚVOD RECYKLACE VOD POTENCIÁL MEMBRÁNOVÝCH TECHNOLOGIÍ POLOPROVOZNÍ TESTOVÁNÍ PILOTNÍ JEDNOTKY

Více

Spojité regulátory - 1 -

Spojité regulátory - 1 - Spojté regulátory - 1 - SPOJIÉ EGULÁOY Nespojté regulátory mají většnou jednoduchou konstrukc a jsou levné, ale jsou nevhodné tím, že neudržují regulovanou velčnu přesně na žádané hodnotě, neboť regulovaná

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

7 Gaussova věta 7 GAUSSOVA VĚTA. Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro

7 Gaussova věta 7 GAUSSOVA VĚTA. Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro 7 Gaussova věta Zadání Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro následující nabitá tělesa:. rovnoměrně nabitou kouli s objemovou hustotou nábojeρ,

Více

Transformace dat a počítačově intenzivní metody

Transformace dat a počítačově intenzivní metody Transformace dat a počítačově ntenzvní metody Jří Mltký Katedra textlních materálů, Textlní fakulta, Techncká unversta v Lberc, Lberec, e- mal jr.mltky@vslb.cz Mlan Meloun, Katedra analytcké cheme, Unversta

Více

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky 3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -

Více

MECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

MECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník MECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Mechanika kapalin a plynů Hydrostatika - studuje podmínky rovnováhy kapalin. Aerostatika - studuje podmínky rovnováhy

Více

POLYMERNÍ BETONY Jiří Minster Ústav teoretické a aplikované mechaniky AV ČR, v. v. i.

POLYMERNÍ BETONY Jiří Minster Ústav teoretické a aplikované mechaniky AV ČR, v. v. i. Odborná skupna Mechanka kompoztních materálů a konstrukcí České společnost pro mechanku s podporou frmy Letov letecká výroba, s. r. o. a Ústavu teoretcké a aplkované mechanky AV ČR v. v.. Semnář KOMPOZITY

Více

Agregace vzájemné spojování destabilizovaných částic ve větší celky, případně jejich adheze na povrchu jiných materiálů

Agregace vzájemné spojování destabilizovaných částic ve větší celky, případně jejich adheze na povrchu jiných materiálů Agregace - úvod 1 Agregace vzáemné spoování destablzovaných částc ve větší cely, případně ech adheze na povrchu ných materálů Částce mohou agregovat, poud vyazuí adhezní schopnost a poud e umožněno ech

Více

Pružnost a plasticita II

Pružnost a plasticita II Pružnost a plastcta II 3 ročník bakalářského studa doc Ing Martn Kresa PhD Katedra stavební mechank Řešení pravoúhlých nosných stěn metodou sítí Statcké schéma nosné stěn q G υ (μ) h l d 3 wwwfastvsbcz

Více

TECHNICKÉ INFORMACE. Tolerance zdvihu pneumatických válců. Všeobecné podmínky pro provoz pneumatických obvodů

TECHNICKÉ INFORMACE. Tolerance zdvihu pneumatických válců. Všeobecné podmínky pro provoz pneumatických obvodů Všeobecné podmínky pro provoz pneumatckých obvodů př nasazování výrobků do provozu je zapotřebí dodržovat příslušná bezpečnostní pravdla, návody, doporučení a předepsané techncké parametry (teplota, tlak

Více

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně 9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky

Více

MONETÁRNÍ A FISKÁLNÍ POLITIKA V OTEVŘENÉ EKONOMICE

MONETÁRNÍ A FISKÁLNÍ POLITIKA V OTEVŘENÉ EKONOMICE MONETÁRNÍ A FISKÁLNÍ POLITIKA V OTEVŘENÉ EKONOMICE MONETÁRNÍ A FISKÁLNÍ POLITIKA V OTEVŘENÉ EKONOMICE Stále krátké období NEMĚNÍ SE P!! Dopady fskální/monetární poltky na a S tím spojené další proměnné:

Více

Iterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2

Iterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2 Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS Iterační výpočty projekt č.. lstopadu 1 Autor: Mlan Setler, setl1@stud.ft.vutbr.cz Fakulta Informačních Technologí Vysoké Učení Techncké v Brně Obsah 1 Úvod...

Více

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Optmalzační přístup př plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Ladslav Tuhovčák*, Pavel Dvořák**, Jaroslav Raclavský*, Pavel Vščor*, Pavel Valkovč* * Ústav vodního hospodářství obcí, Fakulta stavební VUT

Více

Agregace v reálných systémech

Agregace v reálných systémech Agregace v reálných systémech 1 Zednodušuící předpoklady př popsu knetky agregace: o koefcent účnnost srážek (kolzní koefcent) α = 1, o pohyb částc e zapříčněn lamnárním prouděním kapalny, o všechny částce

Více

1141 HYA (Hydraulika)

1141 HYA (Hydraulika) ČVUT v Praze, fakulta stavební katedra hydrauliky a hydrologie (K4) Přednáškové slidy předmětu 4 HYA (Hydraulika) verze: 09/008 K4 Fv ČVUT Tato webová stránka nabízí k nahlédnutí/stažení řadu pdf souborů

Více

Stanovení požární odolnosti. Přestup tepla do konstrukce v ČSN EN

Stanovení požární odolnosti. Přestup tepla do konstrukce v ČSN EN Stanovení požární odolnosti NAVRHOVÁNÍ OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ NA ÚČINKY POŽÁRU ČSN EN 1993-1-2 Ing. Jiří Jirků Ing. Zdeněk Sokol, Ph.D. Prof. Ing. František Wald, CSc. 1 2 Přestup tepla do konstrukce v ČSN

Více

Sypaná hráz výpočet ustáleného proudění

Sypaná hráz výpočet ustáleného proudění Inženýrský manuál č. 32 Aktualizace: 3/2016 Sypaná hráz výpočet ustáleného proudění Program: MKP Proudění Soubor: Demo_manual_32.gmk Úvod Tento příklad ilustruje použití modulu GEO5 MKP Proudění při analýze

Více

VÝVOJ SOFTWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSTI PROSTOROVÝCH SÍTÍ PRECISPLANNER 3D. Martin Štroner 1

VÝVOJ SOFTWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSTI PROSTOROVÝCH SÍTÍ PRECISPLANNER 3D. Martin Štroner 1 VÝVOJ SOFWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSI PROSOROVÝCH SÍÍ PRECISPLANNER 3D DEVELOPMEN OF HE MEASUREMEN ACCURACY PLANNING OF HE 3D GEODEIC NES PRECISPLANNER 3D Martn Štroner 1 Abstract A software for modellng

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky Západočeská unverzta v Plzn Fakulta aplkovaných věd Katedra matematky Bakalářská práce Zpracování výsledků vstupních testů z matematky Plzeň, 13 Tereza Pazderníková Prohlášení Prohlašuj, že jsem bakalářskou

Více

Výměna tepla může probíhat vedením (kondukcí), prouděním (konvekcí) nebo sáláním (zářením).

Výměna tepla může probíhat vedením (kondukcí), prouděním (konvekcí) nebo sáláním (zářením). 10. VÝMĚNÍKY TEPLA Výměníky tepla jsou zařízení, ve kterých se jeden proud ohřívá a druhý ochlazuje sdílením tepla. Nezáleží přitom na konečném cíli operace, tj. zda chceme proud ochladit nebo ohřát, ani

Více

ANALÝZA RIZIKA A CITLIVOSTI JAKO SOUČÁST STUDIE PROVEDITELNOSTI 1. ČÁST

ANALÝZA RIZIKA A CITLIVOSTI JAKO SOUČÁST STUDIE PROVEDITELNOSTI 1. ČÁST Abstrakt ANALÝZA ZKA A CTLOST JAKO SOUČÁST STUDE POVEDTELNOST 1. ČÁST Jří Marek Úspěšnost nvestce závsí na tom, jaké nejstoty ovlvní její předpokládaný žvotní cyklus. Pomocí managementu rzka a analýzy

Více

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku Využtí logstcké regrese pro hodnocení omaku Vladmír Bazík Úvod Jedním z prmárních proevů textlí e omak. Jedná se o poct který vyvolá textle př kontaktu s pokožkou. Je to ntegrální psychofyzkální vlastnost

Více

Ing. Zuzana Honzajková. VŠCHT Praha, ÚCHOP, Technická 5, 166 28 Praha 6, zuzana.honzajkova@vscht.cz

Ing. Zuzana Honzajková. VŠCHT Praha, ÚCHOP, Technická 5, 166 28 Praha 6, zuzana.honzajkova@vscht.cz Membránov nové separační procesy Ing. Zuzana Honzajková VŠCHT Praha, ÚCHOP, Technická 5, 166 28 Praha 6, zuzana.honzajkova@vscht.cz ÚCHOP Historie MSP 1748 První studie popisující základy membránových

Více

Teorie transportu plynů a par polymerními membránami. Doc. Ing. Milan Šípek, CSc. Ústav fyzikální chemie VŠCHT Praha

Teorie transportu plynů a par polymerními membránami. Doc. Ing. Milan Šípek, CSc. Ústav fyzikální chemie VŠCHT Praha Teorie transportu plynů a par polymerními membránami Doc. Ing. Milan Šípek, CSc. Ústav fyzikální chemie VŠCHT Praha Úvod Teorie transportu Difuze v polymerních membránách Propustnost polymerních membrán

Více

ALGORITMUS SILOVÉ METODY

ALGORITMUS SILOVÉ METODY ALGORITMUS SILOVÉ METODY CONSISTENT DEFORMATION METHOD ALGORITHM Petr Frantík 1, Mchal Štafa, Tomáš Pal 3 Abstrakt Příspěvek se věnuje popsu algortmzace slové metody sloužící pro výpočet statcky neurčtých

Více

KOAGULAČNÍ PROCESY PŘI ÚPRAVĚ POVRCHOVÉ VODY

KOAGULAČNÍ PROCESY PŘI ÚPRAVĚ POVRCHOVÉ VODY UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ KATEDRA CHEMICKÉHO INŽENÝRSTVÍ KOAGULAČNÍ PROCESY PŘI ÚPRAVĚ POVRCHOVÉ VODY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE AUTOR PRÁCE: VEDOUCÍ PRÁCE: Jiří Vašíř Ing. Hana Jiránková,

Více

( x ) 2 ( ) 10.2.15 Úlohy na hledání extrémů. Předpoklady: 10211

( x ) 2 ( ) 10.2.15 Úlohy na hledání extrémů. Předpoklady: 10211 10..15 Úlohy na hledání etrémů Předpoklady: 1011 Pedagogcká poznámka: Kromě příkladů a není pro studenty problém vypočítat dervace funkcí. Problémem je hlavně nalezení těchto funkčních závslostí, tam postupujeme

Více

VÝPOČET PŘETVOŘENÍ PŘÍHRADOVÝCH KONSTRUKCÍ SILOVOU METODOU řešený příklad pro BO004

VÝPOČET PŘETVOŘENÍ PŘÍHRADOVÝCH KONSTRUKCÍ SILOVOU METODOU řešený příklad pro BO004 VÝPOČET PŘETVOŘENÍ PŘÍHRADOVÝCH KONSTRUKCÍ SILOVOU METODOU řešený příklad pro BO00 Slová metoda využívá prncp vrtuální práce. Zavádí se nový zatěžovací stav vrtuální zatížení. V tomto zatěžovacím stavu

Více

Úloha 2: Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku

Úloha 2: Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku Úloha 2: Měření modulu pružnost v tahu a modulu pružnost ve smyku FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 19.10.2009 Jméno: Frantšek Batysta Pracovní skupna: 11 Ročník a kroužek: 2. ročník,

Více

Tepelná technika. Teorie tepelného zpracování Doc. Ing. Karel Daďourek, CSc Technická univerzita v Liberci 2007

Tepelná technika. Teorie tepelného zpracování Doc. Ing. Karel Daďourek, CSc Technická univerzita v Liberci 2007 Tepelná technika Teorie tepelného zpracování Doc. Ing. Karel Daďourek, CSc Technická univerzita v Liberci 2007 Tepelné konstanty technických látek Základní vztahy Pro proces sdílení tepla platí základní

Více

Mechanika tekutin. Tekutiny = plyny a kapaliny

Mechanika tekutin. Tekutiny = plyny a kapaliny Mechanika tekutin Tekutiny = plyny a kapaliny Vlastnosti kapalin Kapaliny mění tvar, ale zachovávají objem jsou velmi málo stlačitelné Ideální kapalina: bez vnitřního tření je zcela nestlačitelná Viskozita

Více

Mechanické vlastnosti materiálů.

Mechanické vlastnosti materiálů. Mechancké vastnost materáů. Obsah přednášky : tahová zkouška, zákadní mechancké vastnost materáu, prodoužení př tahu nebo taku, potencání energe, řešení statcky neurčtých úoh Doba studa : as hodna Cí přednášky

Více