Řídicí technika. Obsah. Stabilita. Stabilita spojitých lineárních systémů

Transkript

1 3..7 Akdemický rok 7/8 Připrvil: Rdim Frn Řídicí technik Stbilit systémů Obsh Stbilit spojitých lineárních systémů Hurwitzovo kritérium stbility Michjlovovo kritérium stbility Nyquistovo kritérium stbility Stbilit diskrétních lineárních systémů Stbilit nelineárních systémů strn 3 Stbilit Stbilit (lineárního) regulčního obvodu je definován jko jeho schopnost ustálit všechny veličiny n konečných hodnotách, pokud se vstupní veličiny ustálí n konečných hodnotách. Vstupními veličinmi u regulčního obvodu jsou žádná veličin w(t) všechny poruchové veličiny, nejčstěji gregovné do jediné poruchové veličiny v(t). Je zřejmé, že následující definice je ekvivlentní. gulční obvod je stbilní, když omezeným vstupům odpovídjí omezené výstupy. Z obou definic vyplývá, že stbilit je chrkteristická vlstnost dného regulčního obvodu, která nezávisí n konkrétních vstupech ni n konkrétních výstupech.

2 3..7 strn 4 Stbilit Vzhledem k tomu, že regulční obvod plně popisuje rovnice Y Gwy W Gvy V nebo E Gwe( s) W Gve V je zřejmé, že stbilit musí být dán výrzem, který vystupuje ve všech zákldních přenosech, tj. přenosu řízení G wy (s) přenosu poruchy G vy (s) nebo odchylkovém přenosu řízení G we (s) odchylkovém přenosu poruchy G ve (s). Ze vzthů pro zákldní přenosy vyplývá, že tímto výrzem je jejich jmenovtel M o No M o N( s) GR GS Go No No No kde je G o (s) přenos otevřeného (rozpojeného) regulčního obvodu (obecně je dán součinem všech přenosů ve smyčce), N o (s) chrkteristický mnohočlen otevřeného regulčního obvodu (mnohočlen ve jmenovteli přenosu otevřeného regulčního obvodu), M o (s) mnohočlen v čitteli přenosu otevřeného regulčního obvodu. strn 5 Stbilit Mnohočlen N No M o se nzývá chrkteristický mnohočlen regulčního obvodu po jeho přirovnání nule se obdrží chrkteristická rovnice regulčního obvodu N nutnou postčující podmínkou stbility řešení lineární diferenciální rovnice je, by kořeny s, s,..., s n jejího chrkteristického mnohočlenu (příp. její chrkteristické rovnice) měly zápornou reálnou část, tj. n N ns s n ( s s)( s s ) ( s sn ), pro i,, n si, Je tedy zřejmé, že podmínk zápornosti reálných částí kořenů chrkteristického mnohočlenu regulčního obvodu nebo ekvivlentně kořenů chrkteristické rovnice regulčního obvodu je nutnou postčující podmínkou (symptotické) stbility dného regulčního obvodu. strn 6 Stbilit Dále je třeb si uvědomit, že kořeny s, s,..., s n jsou součsně póly všech zákldních přenosů (tj. přenosu řízení poruchy odchylkových přenosů řízení poruchy, tedy jsou to póly celého regulčního obvodu. Toto nepltí pro nuly zákldních přenosů. Póly regulčního obvodu jsou pro dynmické vlstnosti regulčního obvodu zásdní. s

3 3..7 strn 7 Hurwitzovo kritérium stbility Hurwitzovo kritérium stbility je lgebrické kritérium, proto není vhodné pro regulční obvody s doprvním zpožděním (exponenciální funkce není lgebrická). Může všk být použito pro přibližné ověření stbility v přípdě, že doprvní zpoždění se zstoupí jeho proximcí ve tvru rcionální lomené funkce. Hurwitzovo kritérium stbility může být formulováno ve tvru: Lineární regulční obvod s chrkteristickým mnohočlenem Adolf Hurwitz * Hildesheim, Germny Zürich, Switzerlnd N n ns s bude (symptoticky) stbilní tehdy jen tehdy, když: ) všechny koeficienty,,..., n existují jsou kldné (je to nutná podmínk stbility zformulován slovenským technikem A. Stodolou), Aurel Stodol * Liptovský Mikuláš, Slovki Zürich, Switzerlnd strn 8 Hurwitzovo kritérium stbility b) hlvní rohové minory (subdeterminnty) Hurwitzovy mtice n n H n3 n n n5 n4 n3, n n3 H n, H,, H n H n n jsou kldné. strn 9 Hurwitzovo kritérium stbility Protože pltí H = n, H n = H n, stčí kontrolovt kldnost pouze H, H 3,..., H n. Nulovost některého z Hurwitzových subdeterminntů oznčuje mez stbility. Tk npř. bude-li =, pk jeden pól je nulový (počátek souřdnic v komplexní rovině s). Tento přípd chrkterizuje nekmitvou mez stbility. Když H n =, pk dv póly jsou ryze imginární (póly leží n imginární ose souměrně podle počátku souřdnic v komplexní rovině s). V tomto přípdě jde o kmitvou mez stbility. 3

4 3..7 strn Michjlovovo kritérium stbility A.V. Mikhilov * Russi published in 938 Michjlovovo kritérium stbility je kmitočtové kritérium s velmi širokou oblstí využití. Zde bude ukázán jednoduchá formulce vhodná pro regulční obvody bez doprvního zpoždění. Michjlovovo kritérium stbility vychází z chrkteristického mnohočlenu regulčního obvodu N(s), ze kterého se po doszení s = jω dostne Michjlovov funkce kde N(j) N( s) N P( ) jn Q( ) j s 4 N P( ) N (j) 4 je reálná část 3 5 N Q( ) N(j) 3 5 je imginární část Michjlovovy funkce. Její grfické vyjádření je Michjlovov chrkteristik (křivk, hodogrf). strn Michjlovovo kritérium stbility Nyní již může být formulováno Michjlovovo kritérium ve tvru: Lineární regulční obvod je (symptoticky) stbilní tehdy jen tehdy, když jeho Michjlovov chrkteristik N(jω) pro ω zčíná n kldné reálné poloose postupně v kldném směru (proti pohybu hodinových ručiček) prochází n kvdrnty. ) Stbilní regulční obvody N (j) ω n = ω n = b) Nestbilní regulční obvody N (j ω ) ω n = ω n = 3 ω = ω n = 4 ω = ω ω n = 3 n = 4 ω n = strn Nyquistovo kritérium stbility Nyquistovo kritérium stbility je kmitočtové, n rozdíl od Hurwitzov Michjlovov kritéri vychází z vlstností otevřeného regulčního obvodu je vhodné i pro regulční obvody s doprvním zpožděním. Může být dokonce rozšířeno i n některé nelineární regulční obvody. Hrry Theodor Nyquist * , Stor Kil, Sweden Hrligen, Texs, USA Ws () et () Es () t GR G S () s Vs () Ys () yt () t G (j ) o G o k gulční obvod n kmitvé mezi stbility 4

5 3..7 strn 3 Nyquistovo kritérium stbility Obrázek vyjdřuje tu skutečnost, že je-li lineární regulční obvod n kmitvé mezi stbility, pk mplitudofázová kmitočtová chrkteristik stbilního otevřeného regulčního obvodu prochází bodem n záporné reálné poloose. Bod n záporné reálné poloose se nzývá kritický bod. kritický bod Go(jω) q = ω = ω = stbilní n mezi stbility nestbilní - strn 4 Nyquistovo kritérium stbility Nyní lze již zformulovt Nyquistovo kritérium stbility: Lineární regulční obvod je (symptoticky) stbilní tehdy jen tehdy, když mplitudofázová kmitočtová chrkteristik stbilního otevřeného regulčního obvodu G o (jω) pro ω neobklopuje kritický bod n záporné reálné poloose. Integrční členy vystupující v hlvní zpětnovzební větvi, tj. ve smyčce, se z hledisk Nyquistov kritéri stbility nepovžují z nestbilní (jsou to v podsttě neutrální členy). Jejich počet se oznčuje písmenem q nzývá se stupeň sttismu regulčního obvodu (typ regulčního obvodu). V tomto přípdě pro rozhodnutí o tom, zd mplitudofázová kmitočtová chrkteristik otevřeného regulčního obvodu G o (jω) obklopuje či neobklopuje kritický bod, je třeb tuto chrkteristiku spojit s kldnou reálnou poloosou kružnicí o nekonečně velikém poloměru (ukázáno čárkovně), strn 5 Nyquistovo kritérium stbility Go(jω) q = ω - Stbilní regulční obvody ω = r r r q = ω Pokud mplitudofázová kmitočtová chrkteristik otevřeného regulčního obvodu G o (jω) má průběh ukázný pro q =, pk jde o podmíněnou stbilitu, kdy jk pokles, tk i vzrůst hodnoty A o (ω) pro fázi π může způsobit nestbilitu regulčního obvodu. 5

6 3..7 Stbilit diskrétních systémů W(z) E(z) G R (z) U(z) V(z) Y(z) G S (z) - Přenos řízení regulčního obvodu. G WY Y GR GS W G G - Přenos poruchy regulčního obvodu. Y GVY GWY V G G R R S S Stbilit diskrétních systémů Stbilit regulčních obvodů je nejdůležitější chrkteristikou jejich vlstností Proto musí být informce o ní obsžen ve všech přenosech, obdobně jko u spojitých systémů, tedy GWY, G i G, G VY Vidíme, že opět ve všech zákldních přenosech vystupuje stejný jmenovtel: G O Právě z něj můžeme získt chrkteristický mnohočlen M(z) WE VE Stbilit diskrétních systémů Otevřený regulční obvod LO GO GR GS M LO GO M O O - Přenos (diskrétního) otevřeného regulčního obvodu. - Jmenovtel všech zákldních přenosů (diskrétního) regulčního obvodu LO LO M O M O Chrkteristická rovnice. - Chrkteristická rovnice (uzvřeného diskrétního) regulčního obvodu. 6

7 3..7 Stbilit diskrétních systémů M L M O z M ( z z )...( z z ) n O n n n z n n Chrkteristický mnohočlen regulčního obvodu. z, z,...,... z z n - Kořeny mnohočlenu resp. chrkteristické rovnice = = póly (uzvřeného diskrétního) regulčního obvodu. Stbilit diskrétních systémů Nutné postčující podmínky stbility (symptotické) z i, i,,..., n Oblst stbility z Nestbilní oblst - (symptotické) Hrnice stbility - Jednotková kružnice Stbilit diskrétních systémů Bilineární trnsformce. w z w Nám dává možnost použít známá kritéri stbility z oblsti spojitých systémů: - Hurwitzovo kritérium - Michjovovo kritérium. 7

8 3..7 Oblst stbility (symptotické) Stbilit diskrétních systémů z w z w w Oblst stbility (symptotické) - Hrnice stbility - Hrnice stbility Bilineární trnsformce trnsformuje vnitřek jednotkové kružnice n levou polorovinu komplexní proměnné w. Stbilit diskrétních systémů Chrkteristický mnohočlen (uzvřeného diskrétního) regulčního obvodu: w M z z z - Bilineární w trnsformce w w M w) w w ( M ( w) ( w ) w w w w w w M ( w) Trnsformovný chrkteristický mnohočlen (uzvřeného diskrétního) regulčního obvodu. Stbilit diskrétních systémů Stodolov podmínk, která je pro obvod druhého řádu nutnou postčující podmínkou stbility (symptotické) Oblst symptotické stbility

9 3..7 Stbilit podle Ljpunov Ljpunov ruský mtemtik, kterému se podřilo poprvé formulovt obecnou definici stbility, protože definic stbility je velmi mnoho. Máme určitý počáteční stv x určitý singulární bod x u, máme určitou oblst počátečních podmínek. Aleksndr Mikhilovich Lypunov Born: 6 June 857 in Yroslvl, Russi Died: 3 Nov 98 in Odess, Russi Vybereme oblst, která obshuje počáteční podmínky. Jestliže trjektorie v čse t = přejde do rovnovážného bodu, tehdy mluvíme o symptotické stbilitě. Jestliže se trjektorie vzdluje od rovnovážného bodu, tehdy mluvíme o nestbilitě. Stbilit podle Ljpunov Oblst počátečních podmínek. Systém symptoticky stbilní. x u x Systém stbilní. Systém nestbilní. Stbilit podle Ljpunov V lineálních systémech je kždá lokální vlstnost součsně vlstností globální. Protože víme, že lineární obvod má jen jeden rovnovážný stv, jmenovitě počátek souřdného systému, pk je stbilní což znmená globálně stbilní (symptoticky). Nproti tomu nelineární systémy mohou obshovt nekonečně mnoho rovnovážných stvů, tzn. musíme hovořit o stbilitě kždého z nich. Jedině tehdy, pokud nelineární obvod má pouze jeden rovnovážný stv, ten je stbilní, můžeme hovořit o stbilitě celého obvodu. V opčném přípdě to nemůžeme zobecnit. 9

10 3..7 Stbilit podle Ljpunov V rovnovážném bodě může trjektorie protínt osu x pod jkýmkoliv úhlem. Asymptotická stbilit všechny kořeny mjí reálnou část zápornou. Jestliže bude jeden kořen n hrnici stbility, pk je obvod stbilní. Jestliže budou dv kořeny n hrnici stbility npř. umístěné v počátku souřdného systému, pk podle teorie stbility lineárních systémů je obvod n hrnici stbility, podle definice Ljpunov je obvod nestbilní. V přípdě ryze komplexních hodnot tomuto bodu z pohledu teorie stbility lineárních systémů odpovídá hrnice stbility z pohledu stbility podle Ljpunov je obvod stbilní (npř. generátor hrmonických kmitů). Mezní cyklus jev periodický, vyskytuje se speciálně u nelineárních systémů, bez ohledu n počáteční podmínky se trjektorie ustálí n stejném periodickém pohybu. 9 Mezní cykly Rozlišujeme mezní cykly:. Stbilní cyklus. Nestbilní cyklus 3. Polostbilní cyklus 4. Polonestbilní cyklus U nelineárních systémů mohou vystupovt v podsttě všechny typy mezních cyklů. U žehličky vystupuje stbilní mezní cyklus. Mezní cyklus je uzvřená křivk, která nezáleží n počátečních podmínkách, vystupuje pro jkékoliv počáteční podmínky dělí plochu n dvě části vnitřní vnější. 3 Stbilní cyklus Trjektorie se nvíjejí n uzvřenou křivku zvenku i zevnitř x x x Šrfovná oblst je stbilní.

11 Nestbilní cyklus Trjektorie se odvíjejí z tohoto cyklu x x x 3 Polostbilní cyklus Zvenčí se trjektorie nvíjejí n uzvřenou křivku zevnitř se odvíjejí x x x 33 Polonestbilní cyklus Vně se trjektorie odvíjejí z uzvřené křivky zevnitř se nvíjejí x x x

12 B - -B Mezní cykly - interpretce - stbilní - polostbilní - nestbilní - polonestbilní Dvoupolohový regulátor v w e B u k y y T s - e s -B Soustv je integrční člen s doprvním zpožděním. Nšim cílem je provedení nlýzy pomocí fázového prostoru. T doprvní zpoždění integrční soustvy. Po dobu čsu T se nic neděle, později hodnot výstupu lineárně nrůstá, v důsledku doprvního zpoždění dojde k vypnutí se zpožděním T. Dvoupolohový regulátor Závislost regulovné veličiny n čse y(t) T y T T w y T T T Závislost kční veličiny n čse u(t) B t -B t

13 3..7 Dvoupolohový regulátor Hodnot výstupní veličiny se mění (kmitá) kolem žádné hodnoty. Tto změn oznčená Δy ukzuje svojí hodnotou přesnost regulce, je vidět že není velká. T y period kmitání. gulce bude tím přesnější, čím menší bude hystereze, nebo čím menší bude doprvní zpoždění doprvní zpoždění je největším nepřítelem regulce. Dvoupolohový regulátor y k BT Rovnice soustvy y ku 4 Ty 4T kb kbt t k B Četnost zpnutí vypnutí f y T y u B Dvoupolohový regulátor Četnost spínání můžeme snížit zvýšením doprvního zpoždění, le hlvně zvýšením hystereze. Velmi čsto se setkáváme s dvoupolohovou regulcí teploty, tzv. termostt. Nstvujeme žádnou teplotu n i by spínání nebylo mnoho, pokud je termostt elektronický, zvede se uměle zpoždění, což je v podsttě ekvivlentní k větší hysterezi. To nám snižuje frekvenci zpnutí termosttu zvyšuje jeho životnost, především pokud tyto kontkty spínjí velké výkony (npř. žehličk). Zvýšením hystereze snížíme kvlitu regulce. V přípdě, že zpoždění je velmi velké, pk řízení obecně nebude možné použít, protože regulční obvod bude nestbilní. 3

14 u B - e 3..7 Dvoupolohový regulátor Stbilní mezní cyklus: x x y k BT k BT k B x = y - w -k B Dvoupolohová regulce žehličky v w e u B u k y y T s zpnutí e vypnutí T s - e Bimetl měří reguluje teplotu. Jkmile dosáhne žádnou hodnotu pk se bimetl ohne rozpojí kontkt. Jkmile se teplot sníží, bimetl spojí kontkt. Žehličk obshuje nesymetrickou chrkteristiku. vypnutí Dvoupolohová regulce žehličky Závislost regulovné veličiny n čse y(t) T T y T T w y zpnutí T T T Závislost kční veličiny n čse u(t) B t -B ohřev t 4

15 3..7 Dvoupolohová regulce žehličky Čím menší je hystereze, tím větší je přesnost regulce. Nelineární regulce je robustní. Mezní cyklus předstvuje periodický průběh. x x y kb T T kb T přibližně T kb T k B x = y -k B - w y Dvoupolohová regulce žehličky V přípdě žehličky je hystereze určen s ohledem n životnost regulátoru. Dvoupolohová regulce má velmi široké upltnění zejmén protože je velmi levná, robustní není citlivá n změny vlstností regulovné soustvy. 5