ANALÝZA EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD S PŘÍKLADY

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ANALÝZA EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD S PŘÍKLADY"

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Fakula informaiky a saisiky ANALÝZA EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD S PŘÍKLADY Josef Arl Markéa Arlová Eva Rublíková 00

2 Recenzeni: Prof. Ing. Franišek Fabian, CSc. Doc. Ing. Jiří rešl, CSc. Doc. Ing. Josef Arl, CSc., Ing. Markéa Arlová, Ph.D., Doc. RNDr. Eva Rublíková, CSc. - Praha 00

3 OBSAH ÚVOD...5. ZÁKLADNÍ POJMY A GRAFICKÁ ANALÝZA...7. Ekonomické časové řady a jejich druhy...7. Grafická analýza časových řad Spojnicový graf jedné časové řady Spojnicový graf dvou a více časových řad Krabičkový graf Graf sezónních hodno Graf ročních hodno sezónních časových řad....3 Základní charakerisiky časových řad Popisné charakerisiky Míry dynamiky Cvičení...9. MODELOVÁNÍ RENDU A SEZÓNNÍ SLOŽKY...0. Dekompozice časových řad...0. Základní meody modelování rendové složky, konsrukce předpovědí..... Analýza rendu..... Analýza rendu ve SAGRAPHICSu Klouzavé průměry Klouzavé průměry ve SAGRAPHICSu Exponenciální vyrovnávání Exponenciální vyrovnávání ve SAGRAPHICSu Cvičení Základní meody modelování sezónní složky, konsrukce předpovědí Idenifikace sezónnosi Idenifikace sezónnosi ve SAGRAPHICSu Sezónní dekompozice, určení sezónních indexů Sezónní dekompozice, určení sezónních indexů ve SAGRAPHICSu Předpovídání časových řad po sezónní dekompozici Regresní meoda modelování sezónnosi Holovo-Winersovo exponenciální vyrovnávání Holovo-Winersovo exponenciální vyrovnávání ve SAGRAPHICSu Cvičení BOXOVA-JENKINSOVA MEODOLOGIE Sochasický proces, sacionaria a auokorelační srukura Sacionárních procesy Procesy AR Procesy MA Procesy ARMA...9 3

4 3.3 Inegrované procesy Proces náhodné procházky Procesy ARIMA Sezónní procesy Procesy SARIMA Idenifikace a ověřování modelu, konsrukce předpovědí Idenifikace modelu Diagnosická konrola modelu Výpoče předpovědí Boxova-Jenkinsova meodologie ve SAGRAPHICSu Cvičení...30 PŘÍLOHY...3 PŘÍLOHA A Použié časové řady...33 PŘÍLOHA B Kriické hodnoy pro Darbinův-Wasonův es...4 PŘÍLOHA C Příklady použií operáorů ve SAGRAPHICSu...43 LIERAURA

5 ÚVOD Skripa Analýza ekonomických časových řad s příklady jsou určena pro posluchače sudijního programu Saisické a pojisné inženýrsví na VŠE v Praze a posluchačům osaních programů, keří si z volielných kurzů na VŠE vybrali y, jenž úzce souvisí s řešením prakických problémů pomocí analýzy časových řad. Předkládaná učební pomůcka předpokládá znalosi obsahu celoškolsky povinných kurzů Saisika A (SP0), Saisika B (SP0) resp. Saisika A+B (SP03). Obsahově může slouži jako samosaný ex, nebo jako doplněk skrip Úvod do analýzy ekonomických časových řad auorů J. Kozáka, R. Hindlse a J. Arla z roku 994. Předkládaný ex se skládá ze ří kapiol - Základní pojmy (auory jsou J. Arl a M. Arlová), Modelování rendu a sezónní složky (E. Rublíková) a Boxova-Jenkinsova meodologie (J. Arl a M. Arlová). V každé kapiole jsou uvedeny základní pojmy a je vysvělena meodologie. Následuje řešení konkréního problému spjaého s uvedenou meodou ve formě vzorového příkladu. yo příklady obsahují nejen abulkové a grafické znázornění výsledků analýzy a jejich inerpreaci, ale i popis posupu řešení ve saisickém pakeu SAGRAPHICS Plus for Windows. V závěru kapioly jsou vždy uvedeny neřešené příklady. V příkladech jsou využiy reálné časové řady, jejich označení vychází z principu, jakým jsou označena daa uložená pakeem SAGRAPHICS, jméno proměnné se skládá ze dvou čásí oddělených podržíkem (např. HDP_CR), první čás označuje analyzovaný ukazael a druhá čás idenifikuje zemi, jenž je zdrojem da. Seznam použiých časových řad, jejich popis a hodnoy jsou uvedeny v příloze. V elekronické podobě jsou použié časové řady v souboru Daa.sf3 a Daa.xls k dispozici na inerneu na adresách hp://nb.vse.cz/~arlova/hlavni/vyuka/daa/crsbirka0/daa.sf3 (resp..xls) a hp://nb.vse.cz/~arl/hlavni/vyuka/daa/crsbirka0/daa.sf3 (resp..xls). Z důvodu využií saisického pakeu SAGRAPHICS při řešení příkladů, doporučujeme jako vhodný doplněk skripa SAGRAPHICS for Windows (Zadávání úloh) auorů M. Arlové, M. Maušů a J. Kozáka. Auoři 5

6 6

7 . ZÁKLADNÍ POJMY. Ekonomické časové řady a jejich druhy Jedním z důležiých úkolů saisických analýz ekonomických jevů je zkoumání jejich dynamiky. Empirická pozorování v ekonomické oblasi jsou časo uspořádána do časové řady. Ekonomickou časovou řadou se rozumí řada hodno jisého věcně a prosorově vymezeného ukazaele, kerá je uspořádána v čase směrem od minulosi do příomnosi. ako definovanou časovou řadu budeme zapisova jako y, =,...,. Základní členění ekonomických časových řad lze ilusrova následujícími příklady: a) vývoz České republiky v leech 99 až 999, b) poče zaměsnanců jisé firmy k prvnímu dni jednolivých měsíců le 99 až 000, c) produkivia práce v průmyslu České republiky v leech 989 až 998. Časová řada ad a) je řadou inervalového ukazaele (inervalová časová řada). Velikos hodnoy ohoo ukazaele závisí na délce časového inervalu sledování. ypickými inervalovými ukazaeli jsou exenziní ukazaele, jejich příkladem může bý objem výroby, spořeba surovin ad. Časová řada ad b) se nazývá časovou řadou okamžikového ukazaele (okamžiková časová řada). Okamžikovým ukazaelem je ukazael vzahující se k jisému okamžiku. Hodnoa akového ukazaele nezávisí na délce časového inervalu sledování. Příkladem okamžikového ukazaele je poče pracovníků jisé firmy k určiému dau. Časová řada ad c) je řadou odvozené charakerisiky. eno yp časových řad se získá z inervalových nebo okamžikových časových řad, např. časová řada produkiviy práce se odvozuje jako podíl časové řady produkce a časové řady poču pracovníků. Ekonomické časové řady dále dělíme na dlouhodobé a krákodobé. Hodnoy dlouhodobých časových řad jsou sledovány v ročních či delších časových úsecích. Hodnoy krákodobých časových řad jsou sledovány v úsecích kraších než je jeden rok. Příkladem krákodobých časových řad jsou časové řady čvrlení, měsíční, ýdenní ad. Jak uvidíme dále, oo členění je důležié při zkoumání jednolivých složek časových řad.. Grafická analýza časových řad Jedním ze základních prosředků prezenace časových řad je jejich graf. Nejčasěji se graficky znázorňují původní hodnoy časové řady, nebo kumulaivní časové řady, keré vznikají posupným načíáním (kumulováním) jednolivých hodno (u okamžikových časových řad nemají smysl, neboť výše jejich hodno nezávisí na daném časovém inervalu). Časo se ale časové řady zobrazují ak, aby více vynikly jejich charakerisické vlasnosi a rysy. K omu slouží speciální ypy grafů. 7

8 .. Spojnicový graf jedné časové řady Prvoní informace pro analýzu časových řad získáme ze spojnicových grafů. Jejich princip spočívá v zakreslení jednolivých hodno časové řady do souřadných os, na kerých jsou vyznačeny příslušné supnice. Na osu horizonální se vynáší časová proměnná a na osu verikální hodnoy časové řady nebo její funkce. Příkladem může bý obr.. zobrazující měsíční časovou řadu poču nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání v České republice (NezNov_CR) v leech v is. osob Obr..: Spojnicový graf měsíční časové řady poču nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání v ČR v období /993 - /000 (v is. osob) Pro zobrazení spojnicového grafu použijeme ve SAGRAPHICSu proceduru Descripive Mehods Special ime-series Analysis Descripive Mehods kde po vyplnění vsupního panelu (obr..) zvolíme Horizonal ime Sequence Plo z nabídky Graphical Opions, dále už jen. Obr..: Vyplnění vsupního panelu Descripive Mehods 8

9 U grafů časových řad je důležié správné nasavení časové osy, proo v čási Sampling Inerval vsupního panelu označíme v případě éo měsíční časové řady položku Monh(s) a do Saring A vepíšeme.93 (časová řada je měsíční od ledna 993), dále vyplníme políčko Seasonaliy číslem, charakerizujícím poče sezón měsíčních časových řad, j. poče hodno časové řady získaných v kalendářním roce... Spojnicový graf dvou a více časových řad Do spojnicového grafu můžeme zakresli i více časových řad. V případě, že zobrazujeme např. dvě časové řady lišící se měříkem, je možné použí kromě levé i pravou verikální osu. Jako příklad lze zvoli grafické srovnání měsíčních časových řad poču nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání v ČR (NezNov_CR) a SR (NezNov_SR) v leech v is. osob NezNov_CR NezNov_SR Obr..3: Spojnicový graf měsíčních časových řad poču nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání v ČR a ve SR v období /994 - /999 (v is. osob) 0 Pro zobrazení ohoo ypu grafu nejlépe vyhovuje procedura Muliple X-Y Plo Plo Scaerplos Muliple X-Y Plo. Obr..4: Vyplnění vsupního panelu Muliple X-Y Plo 9

10 Vyplnění vsupního panelu je zřejmé z obr..4. Abychom mohli graf zobrazi jako na obr..3, je nuné nejprve zkrái původní časové řady NezNov_CR a NezNov_SR ze souboru Daa.sf3 ak, aby obsahovaly údaje pouze za roky Původní časová řada NezNov_CR je od ledna 993 do prosince 000 a řada NezNov_SR od ledna 994 do července 000. Pomocí operáorů je edy řeba zkrái NezNov_CR o hodno zepředu i zezadu a NezNov_SR o 7 hodno zezadu. Ke zkrácení časové řady zepředu využijeme operáor DROP a pro zkrácení zezadu operáor DROPLAS (viz příklady použií operáorů v příloze). Do řádku X zadáváme časovou proměnnou, jíž je posloupnos hodno od do 7 vyvořená pomocí operáoru COUN, nebo vypíšeme čísla z klávesnice do abulkového edioru SAGRAPHICSu...3 Krabičkový graf V někerých případech je užiečné provés deailnější pohled na časovou řadu. Krabičkový graf na rozdíl od jiných grafů obsahuje souhrnné charakerisiky zkoumané časové řady. eno graf umožní odhali někeré důležié vlasnosi řady, keré z jiných grafů nejsou zřeelné. Jeho základním prvkem je krabička, jejíž dolní a horní hrana je vořena 5% a 75% kvarilem, uvniř je vyznačen medián a symbolem + arimeický průměr. Na koncích svislých čar vycházejících z krabičky leží hodnoy minima a maxima. Proože délka éo svislé čáry může bý maximálně,5x delší než krabička, jsou hodnoy přesahující yo hranice označovány jako odlehlé a jsou zakresleny jako samosané body. Jako příklad uvádíme krabičkový graf měsíční časové řady poču nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání v ČR (NezNov_CR) v leech v is. osob zobrazený na obr..5a podle měsíců a na obr..5b podle roků Obr..5a: Krabičkový graf měsíční časové řady poču nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání v ČR v období /993 - /000 (v is. osob) zobrazený podle měsíců Obr..5b: Krabičkový graf měsíční časové řady poču nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání v ČR v období /993 - /000 (v is. osob) zobrazený podle roků 0

11 K zobrazení ohoo ypu krabičkového grafu použijeme proceduru Muliple Box-and-Whisker Plo Plo Exploraory Plos Muliple Box-and-Whisker Plo. Do vsupního panelu vložíme do řádku Daa časovou řadu NezNov_CR a do Level codes časovou proměnnou. Časová proměnná musí bý v omo případě modifikována ak, abychom dosáhli předem zvoleného zobrazení. Časová řada NezNov_CR je měsíční, můžeme ji edy zobrazi podle měsíců (obr..5a) nebo podle roků (obr..5b). Pro zobrazení podle měsíců bude časová proměnná obsahova 8x se opakující posloupnos hodno - (j. 96 hodno), kerou lze buď vypsa z klávesnice do abulkového edioru SAGRAPHICSu, nebo je možné zapsa příkaz vyvořený pomocí operáorů RESHAPE a COUN přímo do řádku Level codes (obr..6) reshape(coun(;;);96). Obr..6: Vyplnění vsupního panelu Muliple Box-and-Whisker Plo Chceme-li zobrazi časovou řadu podle le, bude časová proměnná obsahova posloupnos hodno , přičemž se každá hodnoa za sebou opakuje x. uo posloupnos lze opě buď vypsa z klávesnice do abulkového edioru SAGRAPHICSu, nebo lze použí příkaz vyvořený pomocí operáorů REP a COUN rep(coun(993;000;);)...4 Graf sezónních hodno eno graf se používá při analýze sezónních časových řad. Zobrazuje hodnoy časové řady uspořádané podle jednolivých sezón. Vodorovné čáry předsavují průměrnou úroveň hodno v jednolivých sezónách za všechny roky časové řady. Svislé čáry znázorňují odchylky skuečných hodno od průměru pro každou sezónu. Příkladem může bý graf měsíční časové řady poču nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání v ČR (NezNov_CR) v leech v is. osob na obr..7.

12 Obr..7: Graf sezónních hodno měsíční časové řady poču nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání v ČR v období /993 - /000 (v is. osob) Graf sezónních hodno zobrazíme v proceduře Seasonal Decomposiion Special ime-series Analysis Seasonal Decomposiion volbou Seasonal Subseries Plo z nabídky...5 Graf ročních hodno sezónních časových řad Graf ročních hodno sezónních časových řad zobrazuje hodnoy časové řady uspořádané podle roků a ak charakerizuje, jak se v jednolivých leech liší úroveň hodno v daných sezónách za celou časovou řadu Obr..8: Graf ročních hodno měsíční časové řady poču nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání v ČR v období /993 - /000 (v is. osob) Graf ročních hodno sezónních časových řad zobrazíme v proceduře Seasonal Decomposiion, kde zvolíme Annual Subseries Plo z nabídky.

13 .3 Základní charakerisiky časových řad.3. Popisné charakerisiky Při práci s časovými řadami je někdy důležié zjisi jejich průměrné hodnoy. Průměrná hodnoa inervalové časové řady se vypočíá pomocí prosého arimeického průměru y y = =. (.) Průměrná hodnoa okamžikové časové řady y, =,..., se počíá pomocí chronologického průměru. Při sejné vzdálenosi mezi jednolivými okamžiky sledování se používá prosý chronologický průměr y + y y + y y + y y + y + y = y = =. (.) Při různé vzdálenosi jednolivých okamžiků sledování se používá vážený chronologický průměr y + y y y y y d + 3 d d y =, (.3) d + d d kde d, =,...,, je délka jednolivých časových inervalů sledování daného okamžikového ukazaele. Příklad. Vypočíeje průměrnou hodnou roční časové řady hrubého domácího produku České republiky (HDP_CR) v mld. Kč (srovnaelné ceny), v leech : ab... HDP ČR v leech Rok HDP ČR , , , , , , ,8 Celkem 9790,9 Časová řada hrubého domácího produku České republiky v leech je inervalovou časovou řadou, proo se její průměrná hodnoa vypočíá pomocí arimeického průměru (.) 9 790,9 y = = 398,7. 7 Průměrná hodnoa časové řady v leech 994 až 000 je 398,7 mld. Kč. 3

14 Příklad. Vypočíeje průměrný poče regisrovaných uchazečů o zaměsnání v České republice (Nezam_CR) v roce 000 v is. osob. ab..: Poče regisrovaných uchazečů o zaměsnání v ČR v roce 000 v is. osob Daum Poče uchazečů Délka inervalu , , , , , , , , , , , , ,4 3 Poče regisrovaných uchazečů o zaměsnání v České republice v jednolivých měsících roku 000 je okamžiková časová řada, proože rozhodným okamžikem sledování je vždy poslední den daného měsíce. Proože vzdálenos mezi jednolivými okamžiky sledování není sejná, použijeme pro výpoče průměrné hodnoy vážený chronologický průměr (.3) 487, ,5 508, , 44, + 457, y = = ,6 366 = 469,868. Průměrný poče regisrovaných uchazečů o zaměsnání v České republice v roce 000 byl 469,9 is. osob..3. Míry dynamiky Jednoduché míry dynamiky časových řad umožňují charakerizova základní rysy "chování" časových řad a formulova jisá kriéria pro jejich modelování. Předpokládejme časovou řadu y, =,...,. Nejjednodušší mírou dynamiky je absoluní přírůsek (první diference), kerý lze zapsa jako y = y - y -, =,...,. (.4) ao charakerisika vyjadřuje změnu hodnoy v čase proi času -. Časo se používá aké průměrný absoluní přírůsek y ( y y) + ( y3 y) ( y y ) = y y = = =. (.5) 4

15 Diferencováním první diference lze získa druhou diferenci, j. y = y - y -, = 3,...,, diferencováním druhé diference dosaneme diferenci řeí, j. 3 y = y - y -, = 4,..., ad. Diferencování má v analýze časových řad velký význam. Používá se při modelování rendu časových řad k výběru vhodné rendové funkce, nezasupielná je jeho role při sochasickém modelování časových řad. Velmi důležiou mírou dynamiky časových řad je koeficien růsu k y = y, =,...,. (.6) Jesliže se eno koeficien vynásobí sem, udává na kolik procen hodnoy v čase - vzrosla hodnoa v čase. Někdy se pro eno koeficien používá název empo růsu. Průměrný koeficien růsu (průměrné empo růsu) se vypočíá jako geomerický průměr *) jednolivých koeficienů růsu y y 3 k = k k3... k =... =. (.7) y y y y Koeficieny růsu se kromě přímého použií pro charakerizování dynamiky časové řady používají jako jedno z kriérií pro nalezení vhodné rendové funkce. Meziroční koeficien růsu je podíl hodno časové řady ve sejných obdobích (sezónách) v po sobě jdoucích leech. V případě čvrlení časové řady má var lze jej vyjádři aké jako součin (čvrleních) koeficienů růsu 4 y y k (4), =, = 5, 6,...,, (.8) y y y 3 k (4), =. y y y 3 y 4 Časová řada čvrých odmocnin meziročních koeficienů růsu je řadou klouzavých geomerických průměrů délky 4 koeficienů růsu původní čvrlení časové řady. Další mírou dynamiky časových řad je relaivní přírůsek y y y y y y δ = = =, (.9) y y y po vynásobení sem nám říká o kolik procen se změnila hodnoa časové řady v čase ve srovnání s časem -. Průměrný relaivní přírůsek se vypočíá jako Příklad.3 δ = k. (.0) Pro roční časovou řadu reálného hrubého domácího produku České republiky v leech v mld. Kč (z příkladu.) vypočíeje základní míry dynamiky. y *) Geomerický průměr se používá proo, že smysl má shrnova koeficieny růsu jejich součinem. 5

16 Obr..9: Časová řada hrubého domácího produku ČR v leech v mld. Kč V ab..3 jsou na základě vzahů (.4) až (.7) vypočíány absoluní přírůsky, koeficieny růsu a relaivní přírůsky časové řady. ab..3. Míry dynamiky časové řady hrubého domácího produku ČR Rok HDP ČR y k δ , , 77,5,059 0, ,7 66,6,048 0, ,8-4,9 0,990-0, ,3-3,5 0,978-0, ,6-0,7 0,99-0, ,8 43,,03 0,03 Průměrný absoluní přírůsek 433,8 303,6 = =,7 mld. Kč, 6 průměrný koeficien růsu 433,8 k = 6 =, ,6 Na obr..0a je zachycen vývoj absoluních přírůsků, na obr..0b vývoj koeficienů růsu Obr..0a: Absoluní přírůsky (I. diference) 6

17 ,09,07,05,03,0 0,99 0, Obr..0b: Koeficieny růsu Výše uvedené výsledky lze získa ve SAGRAPHICSu v panelu Generae daa. Posup je následující: v abulkovém edioru SAGRAPHICSu vybereme prázdný sloupec, klikneme nejprve levým lačíkem myši na jeho hlavičce (celý se označí) a poom pravým lačíkem vybereme z nabídky Generae daa. Výsledky se objeví ve zvoleném sloupci abulkového edioru po vepsání příslušného příkazu do řádku Expression (obr..). Pro výpoče absoluních přírůsků (I. diferencí) lze v řádku Expression použí příkaz vyvořený pomocí operáoru DIFF diff(hdp_cr). Koeficieny růsu časové řady vypočíáme pomocí kombinace operáorů EXP, DIFF a LOG příkazem *) exp(diff(log(hdp_cr))). Pro výpoče průměrného absoluního přírůsku použijeme příkaz avg(diff(hdp_cr)) a průměrný koeficien růsu získáme příkazem geomean(exp(diff(log(hdp_cr)))). Obr..: Vypočíané míry dynamiky ve SAGRAPHICSu * ) Zlogarimujeme-li výraz k = y y, dosaneme ln k = ln y - ln y -. 7

18 Pro grafické zobrazení absoluních přírůsků (obr..0a) a koeficienů růsu (obr..0b) použijeme Horizonal ime Sequence Plo z nabídky v proceduře Descripive Mehods, kde do řádku Daa vepíšeme příslušný příkaz (sejně jako do řádku Expression v panelu Generae Daa). Zobrazené grafy je však řeba upravi ak, že nasavíme časovou osu od roku 995. Příklad.4 Na základě čvrlení časové řady reálného hrubého domácího produku ČR (HDP_c_CR) od I. čvrleí roku 994 do IV. čvrleí roku 000 v mld. Kč vypočíeje koeficieny růsu (čvrlení), meziroční koeficieny růsu a cenrované klouzavé geomerické průměry délky 4 počíané z koeficienů růsu. ab..4. Koeficieny růsu (čvrlení), meziroční koeficieny růsu a cenrované klouzavé geomerické průměry reálného HDP ČR HDP ČR čvrlení Koeficieny růsu (čvrlení) Meziroční koef. růsu Cenrované klouzavé geomerické průměry k = y /y - k (4), = y /y -4 ( 4 4 ) / k k (4), (4), 994 I. 30, II. 3,8,065 III. 345,,073 IV. 334,4 0,969, I. 39,9 0,957,059,06 II. 343,0,07,066,04 III. 367,9,073,066,03 IV. 350,3 0,95,048, I. 339, 0,968,060,0 II. 360,7,064,05,00 III. 386,,07,050,004 IV. 36,7 0,937,033 0, I. 340,4 0,94,004 0,996 II. 357,6,05 0,99 0,996 III. 378,0,057 0,979 0,997 IV. 356,8 0,944 0,986 0, I. 336,8 0,944 0,989 0,995 II. 35,0,04 0,98 0,993 III. 368,6,050 0,975 0,99 IV. 344,9 0,936 0,967 0, I. 34, 0,940 0,963 0,999 II. 348,,074 0,99,00 III. 370,0,063,004,007 IV. 348,3 0,94,00, I. 338, 0,97,043,005 II. 355,5,05,0,008 III. 378,,064,0 IV. 36,9 0,957,039 8

19 Z hlediska symboliky koeficienů růsu je logické, že první hodnoa časové řady meziročních koeficienů růsu je umísěna do. čvrleí druhého roku, j. roku 995. Vzhledem k omu, že po odmocnění čvrou odmocninou lze uo řadu chápa jako řadu klouzavých geomerických průměrů koeficienů růsu, je vhodné umísi její první hodnou mezi řeí a čvré čvrleí roku 994. Cenrováním geomerickým průměrem sousedních dvojic hodno se první hodnoa cenrovaného klouzavého geomerického průměru dosane do čvrého čvrleí roku 994 a poslední hodnoa do druhého čvrleí roku 000.,08,05,0 0,99 0,96 0, Obr..: Koeficieny růsu (čvrlení) a cenrované klouzavé geomerické průměry délky Cvičení. Znázorněe charaker čvrlení časové řady hrubého domácího produku České republiky (HDP_c_CR) vhodnými grafy.. Vypočíeje průměrnou hodnou okamžikové časové řady poču nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání v České republice v roce 999 (NezNov_CR). 3. Vypočíeje míry dynamiky časové řady poču živě narozených děí v České republice (ZivNar_CR) v leech Znázorněe graficky. 4. Porovneje pomocí průměrného koeficienu růsu dynamiku časových řad poču nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání v České a Slovenské republice (NezNov_CR a NezNov_SR) v roce 997 a v roce

20 MODELOVÁNÍ RENDU A SEZÓNNÍ SLOŽKY. Dekompozice časové řady Klasická analýza ekonomických časových řad vychází z předpokladu, že časovou řadu y pro =,,..., je možné rozloži na čyři složky: rendovou, cyklickou, sezónní a nesysemaickou. rendová složka ( ) vyjadřuje dlouhodobou endenci vývoje zkoumaného jevu. Je výsledkem fakorů, keré dlouhodobě působí sejným směrem např. echnologie výroby, demografické podmínky, podmínky na rhu apod. Cyklická složka (C ) vyjadřuje kolísání okolo rendu, ve kerém se sřídají fáze růsu a poklesu. Jednolivé cykly (periody) se vyvářejí za období delší než jeden rok a mají nepravidelný charaker, j. různou délku a ampliudu. Cykly jsou v ekonomických časových řadách způsobeny ekonomickými a neekonomickými fakory. V posledních leech se věnuje pozornos zejména echnologickým, inovačním či demografickým cyklům. Sezónní složka (S ) vyjadřuje pravidelné kolísání okolo rendu v rámci kalendářního roku. Sezónní výkyvy se opakují každoročně ve sejných obdobích (délka periody je jeden rok) a vznikají v důsledku sřídání ročních období nebo vlivem různých insiucionalizovaných zvyků, jako jsou např. sváky, dovolené apod. Poslední složkou časové řady je nesysemaická složka (I nebo a ). ao složka vyjadřuje nahodilé a jiné nesysemaické výkyvy, ale aké chyby měření apod. Označení I se používá při sezónní dekompozici. V regresních modelech a ARIMA modelech budeme nesysemaickou složku označova jako a. rendová a cyklická složka mohou bý příomné v časových řadách ročních údajů, ale aké v krákodobých časových řadách, j. v řadách s inervalem sledování kraším než jeden rok, např. čvrleních, měsíčních, ýdenních, denních apod. Sezónní složka se vyskyuje pouze v krákodobých časových řadách, obvykle v měsíčních a čvrleních. Nesysemaická složka je příomná v každé časové řadě. Dekompozice časové řady může bý: a) adiivní, hodnoy časové řady se dají urči jako souče hodno jednolivých složek, j. y = + C + S + I, (.) b) muliplikaivní, hodnoy časové řady se dají urči jako součin hodno jednolivých složek y =. C. S. I. (.) Po adiivní dekompozici jsou jednolivé složky časové řady ve sejných měrných jednokách jako původní časová řada. Adiivní dekompozice se používá v případě, že variabilia hodno časové řady je přibližně konsanní v čase. Po muliplikaivní dekompozici je rendová složka časové řady ve sejných měrných jednokách jako původní časová řada, ale osaní složky časové řady (cyklická, sezónní a nesysemaická) jsou v relaivním vyjádření. Muliplikaivní dekompozice se používá v případě, že variabilia časové řady rose v čase, nebo se v čase mění. V praxi se dekompozice časových řad časo používá z ěcho důvodů: 0

21 a) analýzou jednolivých složek řady lze odhali určié zákoniosi vývoje zkoumaného jevu, b) časové řady je možné očisi od sezónnosi, j. z časové řady se odsraní sezónní složka, což umožňuje porovnáva rend několika časových řad současně, c) časové řady lze očisi od rendu, j. z řady se odsraní rendová složka, což umožňuje lépe modelova sezónnos, proože charaker sezónnosi je výraznější, d) časo umožňuje přesněji urči předpovědi nejen jednolivých složek časové řady, ale v konečném důsledku aké samoné časové řady, v om smyslu, že předpovědi jednolivých složek se sečou anebo vynásobí podle oho, kerý yp dekompozice jsme použili.. Základní meody modelování rendové složky, konsrukce předpovědí.. Analýza rendu rend v časových řadách je možné popsa pomocí rendových funkcí a klouzavých průměrů nebo klouzavých mediánů. Modelování rendu pomocí rendových funkcí se používá, pokud vývoj časové řady odpovídá určié funkci času např. lineární, kvadraické, exponenciální, S-křivky apod. Modelování rendu pomocí klouzavých průměrů nebo pomocí klouzavých mediánů se používá, je-li vývoj řady v důsledku silného vlivu nesysemaické složky nerovnoměrný, nebo má exrémní hodnoy. Při modelování rendu pomocí rendových funkcí vycházíme z následujících předpokladů. Časová řada y pro =,,..., je řadou uspořádaných hodno v čase, keré získáme měřením určiého ukazaele ve sejně dlouhých časových inervalech (např. ročních, čvrleních, měsíčních apod.). Předpokládejme, že časovou řadu y pro =,,..., je možné zapsa ve varu y = Y + a, (.3) kde Y předsavuje eoreický model sysemaické složky vývoje ekonomického ukazaele Y v čase a a vyjadřuje nesysemaickou složku. V analýze časových řad je model Y funkcí času, j. Y = f(). Pokud se jedná o časovou řadu pouze s rendovou složkou, poom Y vyjadřuje model rendu v čase. Je-li v časové řadě kromě rendové aké sezónní složka, nebo cyklická složka, poom je Y kompozicí modelů ěcho složek. Proože se v éo čási zabýváme rendovou složkou, Y = má model (.3) má za předpokladu adiivní dekompozice var y = Y + a = + a, =,,..., kde. je sysemaická složka a předsavuje deerminisický rend, kerý lze vyjádři maemaickou funkcí časové proměnné,. a je nesysemaická složka s vlasnosmi procesu bílého šumu, což znamená, že v každém čase, plaí E(a ) = 0, D(a ) = σ a, cov(a, a -k ) = 0 a a ~ N(0, σ a ), (.4) j. náhodné veličiny a mají v čase nulovou sřední hodnou, konsanní rozpyl, jsou vzájemně lineárně nezávislé a mají normální rozdělení.

22 rendové funkce Konsanní rend má formu = β 0, =,,...,, (.5) j. hodnoy rendu se vzhledem k časové proměnné nemění, jsou konsanní. Odhad parameru β 0 se získá meodou nejmenších čverců, jako průměr hodno časové řady, j. = = = y y 0 ˆβ. (.6) Odhad rendu v čase je y y = = ˆ ˆ, (.7) odhad rozpylu nesysemaické složky ˆ ) ( ˆ y a y y σ = σ = =. (.8) Lineární rendová funkce (přímka) má var = β 0 + β, =,,...,. (.9) Paramery lineárního rendu β 0, β odhadujeme meodou nejmenších čverců podle vzahů y 0 ˆ ˆ β β = ) ( ˆ y y = = = = β, (.0) kde. + = = = Odhad lineárního rendu je, (.) y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ β β + = = odhad rozpylu nesysemaické složky lineárního rendu = = a y y ) ˆ ( ˆ σ. (.) Kvadraická rendová funkce (parabola) má var = β 0 + β + β =,,...,. (.3) Paramery kvadraického rendu β 0, β a β odhadujeme meodou nejmenších čverců. Odhad kvadraického rendu je, (.4) 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y β β β + + = = a odhad rozpylu nesysemaické složky kvadraického rendu = = a y y ) ˆ ( 3 ˆ σ. (.5)

23 Exponenciální rendová funkce má var = β 0 β, =,,...,. (.6) Paramery exponenciálního rendu β 0, β > 0 odhadujeme meodou nejmenších čverců, po linearizující ransformaci logarimováním, j. Odhad exponenciálního rendu je ln = ln β 0 + ln β, =,,...,. (.7) ˆ = yˆ ˆ0 ˆ = β β, (.8) a odhad rozpylu nesysemaické složky exponenciálního rendu (po linearizaci logarimováním) ˆ σ a = ( y yˆ ). (.9) = S-křivka má var ( β 0 +β ) = e, =,,...,. (.0) S-křivka po logarimické ransformaci má var hyperboly ln = β 0 + β, =,,...,. (.) Paramery modelu (.) odhadujeme meodou nejmenších čverců. Odhad S-křivky je ( ˆ β ˆ 0 +β ) ˆ = yˆ = e, odhad rozpylu nesysemaické složky S-křivky (po linearizaci logarimováním) ˆ σ a = ( y yˆ ). (.) = Modifikovaný exponenciální rend má var = γ + β 0 β, =,,...,, (.3) pro β 0 < 0, 0 < β < a γ > 0. Konsana γ je asympoou (úrovní saurace, hladinou nasycení), ke keré rend časové řady pro konverguje. Přírůsek exponenciálního rendu β je pomalejší, než přírůsek lineárního rendu. Modifikovaný exponenciální rend je populární v markeingu, ve kerém se využívají rendové funkce s horním omezením. Je o nelineární funkce, kerou není možné linearizova žádnou ransformací a proo se její paramery odhadují ieraivními meodami např. Marquarovou nebo Gaussovou-Newonovou ieraivní meodou. yo meody vyžadují výpoče počáečních odhadů paramerů funkce, keré se dají získa např. meodou čásečných součů, meodou vybraných bodů apod. Logisický rend uvádíme ve varu Pearlovy-Reedovy rendové funkce = =,,...,. (.4) γ + β β 0 3

24 jejíž inverzní funkce / = γ + β 0 β má var modifikovaného exponenciálního rendu. Paramery modelu (.4) se po inverzní ransformaci odhadují sejným způsobem, jako pro modifikovaný exponenciální rend. Gomperzův rend má var = γ β 0, =,,...,. (.5) a po logarimické ransformaci má var modifikovaného exponenciálního rendu β ln = ln γ + β ln β 0 resp. * = γ * + β 0 * β. (.6) Křivka má horní asympou γ * = ln γ a vyjadřuje hranici nasycení pro, např. prodeje nebo spořeby určiého výrobku na rhu. Paramery modelu (.5) se po ransformaci (.6) odhadují jako u modifikovaného exponenciálního rendu nebo jednoduchého exponenciálního rendu. Po úpravě (.6) dosaneme * - γ * = α * β. Jesliže označíme ( * - γ * ) = **, poom po další logarimické ransformaci lze odhadnou α * a β meodou nejmenších čverců, jako paramery lineárního rendu. Bodové a inervalové předpovědi exrapolace V období analýzy nebo inerpolace řady =,,..., zjišťujeme, zda řada y má rend a hledáme jeho model. Z hodno časové řady y poom odhadneme paramery modelu. Je-li odhad rendu saisicky významný, využijeme jej jako prognosický model pro výpoče předpovědí - exrapolací. Exrapolacemi nazýváme kvaniaivní odhady budoucích hodno časové řady, keré vznikají prodloužením vývoje z minulosi a příomnosi do budoucnosi s horizonem h za předpokladu, že se eno vývoj nezmění. Exrapolační předpovědi rozdělujeme na bodové a inervalové. Bodová předpověď - exrapolace ex ane se určuje v čase = (začáek předpovídání, práh predikce) do horizonu h, j. do časového bodu = + h a označujeme ji yˆ ( h). Horizonem předpovídání se rozumí poče období h > 0 od bodu = do budoucnosi. ( - α) x 00% inerval předpovědí je inerval, ve kerém se s pravděpodobnosí ( - α) x 00% nachází skuečná hodnoa y +h, j. yˆ ( h) α / ( l ± ) ˆ σ, kde -α/ ( - l - ) je ( - α/) x 00% kvanil Sudenova rozdělení s - (l + ) supni volnosi, kde l + je poče odhadnuých paramerů v polynomiálních funkcích, σˆ je směrodaná chyba předpovědi v horizonu h. Když určujeme exrapolace předpokládáme, že. vybraný model je správný,. skuečné paramery modelu se v čase nemění. V mnoha siuacích jsou yo předpoklady nereálné, proože proces, kerý generuje vývoj časové řady se mění v čase. Očekávaná přesnos předpovědí proo závisí na horizonu předpovědi h. Čím je horizon předpovědí delší, ím je možné očekáva věší chyby předpovědí. p p 4

25 Chyba předpovědi a její rozpyl Při exrapolaci se dopoušíme chyby, kerá je dána vzahem Chybu předpovědi (.7) lze rozloži na dvě složky aˆ ˆ + h = y + h y ( h), h > 0. (.7) aˆ ( ) ( ˆ + h = y + h Y + h + Y + h y ( h)), (.8) kde (y +h - Y +h ) je chyba způsobená volbou modelu (předpokládáme, že model je zvolen správně, j. y +h - Y +h = 0) a ( Y ˆ + h y ( h)) je chyba způsobená odhadem paramerů modelu. Požadujeme, aby bodová předpověď byla. nezkresleným odhadem. vydaným odhadem E{( aˆ E{( aˆ )} {( ˆ + h = E y + h y ( h))} = 0, (.9) ) } = E{( y + yˆ ( h)) } = σ + h h p min. (.30) Rozpyl chyby předpovědi (.30) je možné odvodi pro různé rendové funkce (viz např. Mongomery, D. C. (990), sr. 7-84). Na závěr uvedeme bodové předpovědi a předpovědní inervaly pro vybrané rendové funkce. Mějme časovou řadu y, =,,..., na jejímž základě určíme předpovědi pro horizon h > 0, za předpokladu následujících rendů. Konsanní rend bodová předpověď y = β 0 + a, y ( h) = ˆ β = y, (.3) ˆ 0 ( - α) x 00% předpovědní inerval y ± ˆ σ ( a α / ) +, (.3) kde -α/ je ( - α/) x 00% kvanil Sudenova rozdělení s ( - ) supni volnosi, odhad směrodané odchylky nesysemaické složky (směrodaná odchylka reziduí). σˆ a je Lineární rend y = β 0 + β + a, bodová předpověď yˆ ˆ ( h) = β 0 + β( + h), (.33) ( - α) x 00% předpovědní inerval ( + h ) yˆ ( ) ˆ h ± σ a α / ( ) + +, (.34) ( ) / 5

26 kde -α/ je ( - α/) x 00% kvanil Sudenova rozdělení s ( - ) supni volnosi, σˆ a je odhad směrodané odchylky nesysemaické složky (směrodaná odchylka reziduí) lineárního rendu. Kvadraický rend bodová předpověď ( - α) x 00% předpovědní inerval y = β 0 + β + β + a, yˆ ( h) ˆ ˆ ˆ = β + β + + β + 0 ( h) ( h), (.35) yˆ ( h) ± ˆ σ ( 3) + {,( + h),( + h) }( X X ) {,( + h),( + h) }, (.36) a α / kde -α/ je ( - α/) x 00% kvanil Sudenova rozdělení s ( - 3) supni volnosi, σˆ a je odhad směrodané odchylky nesysemaické složky (sm. odchylka reziduí) paraboly a,, X = M,,, M, 4,. M Ověřování vhodnosi rendové funkce Výběr rendové funkce (nebo jiného modelu rendu časové řady) provádíme na základě: grafu časové řady nebo jejích absoluních či relaivních charakerisik, inerpolačních kriérií (směrodaná odchylka reziduí, koeficien deerminace, koeficien auokorelace reziduí, esy paramerů), exrapolačních kriérií (průměrné charakerisiky chyb předpovědí ex pos, graf předpověď skuečnos). Grafická analýza Na začáku analýzy provádíme předběžný výběr rendové funkce pomocí grafu časové řady nebo pomocí grafické analýzy diferencí a koeficienů růsu daných časových řad. Je známo, že pokud. řada prvních diferencí (y - y - ) pro =, 3,..., kolísá okolo nuly, volíme konsanní rend,. řada prvních diferencí (y - y - ) pro =, 3,..., kolísá okolo nenulové konsany, volíme lineární rend, 3. řada prvních diferencí (y - y - ) pro =, 3,..., má přibližně lineární rend a řada druhých diferencí (y - y - + y - ) pro = 3, 4,..., má přibližně konsanní rend, volíme kvadraický rend (parabolu), 6

27 4. řada koeficienů růsu y /y - pro =, 3,..., nebo řada prvních diferencí (ln y - ln y - ) kolísá okolo nenulové konsany, volíme jednoduchý exponenciální rend, 5. řada ln y pro =,,..., má přibližně hyperbolický průběh, volíme S-křivku, 6. řada podílů sousedních diferencí (y - y - )/(y - - y - ) pro = 3, 4,..., kolísá okolo nenulové konsany, volíme modifikovaný exponenciální rend, 7. řada podílů sousedních diferencí (ln y - ln y - )/(ln y - - ln y - ) pro = 3, 4,..., kolísá okolo nenulové konsany, volíme Gomperzovu křivku. Výběr rendové funkce na základě grafu je subjekivní a v případě složiějších funkcí nebo mají-li časové řady velkou variabiliu, nevede k jednoznačným výsledkům. Druhý způsob výběru rendové funkce je objekivnější, proože se zakládá na maemaicko-saisických kriériích dvojího charakeru:. inerpolační kriéria (průměrné charakerisiky reziduí, Durbinova Wasonova saisika, reziduální auokorelační funkce, saisická významnos paramerů rendu, index deerminace a upravený index deerminace),. exrapolační kriéria (míry přesnosi předpovědí ex pos a heilův koeficien nesouladu). Inerpolační kriéria Po odhadu paramerů modelu rendu z časové řady y, pro =,,...,, např. meodou nejmenších čverců zjišťujeme, jak přesně eno model vysihuje skuečnou časovou řadu, j. zkoumáme charaker rozdílů skuečných hodno y určiého ukazaele a vyrovnaných ŷ, resp. odhadnuých hodno rendu ˆ, ohoo ukazaele v čase =,,...,. Rozdílům y yˆ = y ˆ = aˆ říkáme rezidua a jsou odhadem nesysemaické složky a čase =,,...,. Přesnos vyrovnávání časové řady y, pro =,,..., měříme průměrnými reziduálními charakerisikami, keré lze zobecni pro libovolný model časové řady (nejen pro rendové funkce). Míry přesnosi vyrovnávání nebo průměrné charakerisiky reziduí Průměrná chyba ME = ( y yˆ ) = aˆ = =, (.37) Průměrná čvercová chyba - rozpyl MSE = ( y yˆ ) = aˆ, = = (.38) Průměrná absoluní chyba MAE = y yˆ = aˆ = =, (.39) 7

28 Průměrná absoluní procenuální chyba y yˆ aˆ MAPE =.00 =.00, (.40) = y = y Průměrná procenuální chyba ( y yˆ ) aˆ MPE =.00 =.00. (.4) = y = y Zvolená rendová funkce je ím lepší, čím nižší jsou hodnoy uvedených charakerisik. Durbinův Wasonův es Nekorelovanos v nesysemaické složce (nepříomnos auokorelace nesysemaické složky) esujeme pomocí prvního koeficienu auokorelace H 0 : ρ = 0 auokorelace není, j. cov(a, a - ) = 0, H : ρ 0 auokorelace. Durbinovo-Wasonovo kriérium má var DW a může nabý hodno z inervalu 0, 4. ( aˆ aˆ ) = = aˆ = (.4) Rozhodnuí o nezamínuí nebo zamínuí esované hypoézy na 5% hladině významnosi vyžaduje určení kriických hodno, keré jsou uvedeny v příloze. Výsledky Durbinova Wasonova esu jsou v ab... ab... Výsledky Durbinova-Wasonova esu DW Výsledek 4 d L < DW < 4 H 0 se zamíá - auokorelace 4 d U < DW < 4 d L Neumíme rozhodnou, je řeba zvýši < DW < 4 d U Přijímá se H 0 - auokorelace není d U < DW < Přijímá se H 0 - auokorelace není d L < DW < d U Neumíme rozhodnou, je řeba zvýši 0 < DW < d L H 0 se zamíá - auokorelace 8

29 Reziduální auokorelační funkce Mírou lineární závislosi časově zpožděných veličin a a a -k jsou koeficieny auokorelace reziduí definované vzahem r k aˆ aˆ k = k + ˆρ k = <-, >. (.43) aˆ = = Graf, ve kerém jsou na vodorovné ose časová zpoždění a na svislé ose koeficieny auokorelace reziduí r k se nazývá reziduální auokorelační funkcí (ACF). Pokud žádný auokorelační koeficien r k nepřekračuje meze 95% inervalu spolehlivosi (- /, / ), je možné předpokláda, že nesysemaická složka není auokorelovaná. Index deerminace R a modifikovaný index deerminace R M Index deerminace definujeme vzahem R ( y yˆ ) = <0, >. (.44) ( y y) = = Čím je hodnoa indexu deerminace bližší k jedničce (nebo 00 %), ím lépe model vysihuje rend časové řady a naopak. Nedosakem koeficienu deerminace je, že závisí na poču paramerů modelu (rendové funkce). eno nedosaek odsraňuje modifikovaný index deerminace ve varu R M = R kde k je poče paramerů modelu (rendové funkce). ( R )( k ), (.45) k -es pro paramery modelu (rendové funkce) Pomocí -esu esujeme hypoézy H 0 : β i = 0, H : β i 0, pro i = 0,,..., k. esové kriérium má var ˆ β i = ( k), (.46) s ˆ βi kde je odhad parameru modelu (rendové funkce), je odhad směrodané chyby βˆi odhadu esovaného parameru. esové kriérium je náhodná veličina, kerá má Sudenovo rozdělení s ( k) supni volnosi. s βˆi 9

30 Exrapolační kriéria Exrapolační kriéria se zakládají na principu, že časovou řadu y, pro =,,..., rozdělíme na dvě časi. První čás řady (esovací čás) má pozorovaní a slouží k výběru modelu rendu, odhadu jeho paramerů a ověření vhodnosi pomocí inerpolačních kriérií. Druhá čás řady, má délku ( ) pozorování pro = +, +,..., + = a používá se pro určení předpovědí známé skuečnosi (prognózy "ex pos") a pro ověření jejich přesnosi. Přesnos předpovědí "ex pos" zhodnoíme pomocí průměrné chyby ME, průměrné čvercové chyby MSE, průměrné absoluní procenuální chyby MAPE a průměrné procenuální chyby MPE podle vzahů (.37) (.4) po příslušné úpravě. ak např. průměrná chyba předpovědí ex pos = + ME = aˆ ( ), (.47) = + je mírou zkreslení (vychýlení). Pokud je ME > 0, model sysemaicky podhodnocuje skuečnos, pokud je ME < 0, model skuečnos sysemaicky nadhodnocuje. Jsou-li předpovědi sysemaicky zkreslené, je vhodné zkouma saisickou významnos ohoo zkreslení, pomocí esu ME ( ME) = ( - l - ), (.48) ˆ / kde ME určíme podle (.47), l supeň polynomu rendové funkce a odchylka reziduí v období inerpolace. σ a σˆ a je směrodaná Pokud (ME) > -α/ ( - l - ), zamíáme esovanou hypoézu o nezkreslenosi předpovědí ex pos na α% hladině významnosi. Heeroskedasiciu chyb předpovědí (chyby předpovědí rosou v čase) lze ověři pomocí esového kriéria F = ˆσ = + a = + kerá má F rozdělení s a ( - l - ) supni volnosi. aˆ F(, - l - ), (.49) Je-li F > F -α (, - l - ), zamíáme esovanou hypoézu a vrdíme, že chyby předpovědí jsou sysemaicky zkreslené a model rendu není vhodný pro předpovídání. Kromě výše uvedených měr, je možné kvaliu předpovědí hodnoi pomocí grafu předpověď skuečnos, kde se na vodorovnou osu zobrazují hodnoy předpovědí yˆ ( ) a na svislou osu skuečné hodnoy y. Leží-li skuečné hodnoy a předpovědi na přímce v úhlu 45, jsou předpovědi bezchybné. V opačném případě, věší vzdálenos bodů od přímky charakerizuje věší zkreslení předpovědí. Jsou-li skuečné hodnoy vyšší než předpovídané (body leží nad přímkou bezchybných předpovědí), poom model podhodnocuje skuečnos. Jsou-li skuečné hodnoy nižší než předpovídané (body leží pod přímkou bezchybných předpovědí), poom model skuečnos nadhodnocuje. 30

31 Předpovědi ex ane Jesliže jsme na základě exrapolačních kriérií vybrali vhodný prognosický model, poom eno model aplikujeme na celou časovou řadu y, pro =,,..., a určíme předpovědi ex ane... Analýza rendu ve SAGRAPHICSu Analýzu rendu pomocí rendových funkcí provádíme ve SAGRAPHICSu v proceduře Forecasing Special ime-series Analysis Forecasing. Obr..: Vsupní panel Forecasing Ve vsupním panelu vložíme do řádku Daa název časové řady. V časi Sampling inerval specifikujeme časový inerval, za kerý se zjišťují údaje časové řady. Once Every: znamená, že údaje jsou seřazeny chronologicky za sebou. Do políčka Saring A: zadáme počáek časové řady, do Seasonaliy: poom poče sezón sezónních časových řad (pro čvrlení řady 4, pro měsíční a pod.). Do políčka Number of forecass: zadáme poče předpovědí a do políčka Wihold for Validaion: poče hodno, keré se odrhnou z konce časové řady a využijí se pro analýzu přesnosi předpovědí ex pos. Po specifikaci časové řady a jejích vlasnosí ve vsupním panelu se objeví výsledkové okno Analysis Summary pro zvolený prognosický model. Jako první je pevně 3

32 nasavený model Random Walk (sochasický rend). Doplňkový panel Model Specificaion Opions (obr..) pro výběr jiného prognosického modelu získáme kliknuím pravého lačíka myši na okně s výsledky a výběrem Analysis Opions z doplňkové nabídky. Obr..: Doplňkový panel Model Specificaion Opions V časi ype lze vybíra z následujících rendů None - žádný, Random Walk - sochasický rend, Mean - konsanní rend, Linear rend - lineární rend, Quadraic rend - kvadraický rend, Exponenial rend - exponenciální rend, S-Curve - S-křivka. Pokud pořebujeme časovou řadu ransformova můžeme v čási Mah vybra někerou z následujících ransformací: None - žádná, Naural log - logarimická ransformace se základem e, Base 0 log - logarimická ransformace se základem 0, Square roo - ransformace druhou odmocninou, Reciprocal - ransformace převrácenými hodnoami, Power - ransformace ve formě r-ých mocnin Box-Cox - Boxova-Coxova ransformace. Pro porovnávání vhodnosi různých modelů rendu, kerými popisujeme rend sejné časové řady, využíváme čás Model. V éo čási označíme písmeny jednolivé 3

33 modely v akovém pořadí, v jakém je používáme. Např. lineární rend označíme jako A, kvadraický rend jako B a exponenciální rend jako C. Volbou Graphical opions získáme výběr grafů, keré jsou cennými násroji analýzy. Z nabídky grafů (obr..3a) využijeme v rendové analýze graf časové řady s vyrovnanými hodnoami a předpověďmi (ime Sequence Plo), graf předpovědí (Forecas Plo), graf reziduí (Residual Plo), graf reziduální auokorelační funkce pro esování auokorelace nesysemaické složky (Residual Auocorrelaion Funcion) a periodogram reziduí (Residual Periodogram) využíváme pro zkoumání délky periody v reziduích. Graf časové řady s předpověďmi Graf předpovědí Graf reziduí Graf reziduální auokorelační funkce Graf rezid. parciální auokorelační funkce Graf reziduálního periodogramu Graf rezid. vzájemné korelační funkce Obr..3a: Nabídka grafů Volbou abular opions získáme číselné výsledky analýzy, j. odhady paramerů modelů, výsledky esů, předpovědi, průměrné charakerisiky reziduí nebo chyb předpovědí ex pos, porovnání výsledků odhadů paramerů různých modelů apod. Nabídka výpočeních meod je na obr..3b. Odhad modelu a výsupní abulka Předpovědi Porovnání modelů Reziduální auokorelační funkce Rezid. parciální auokorelační funkce Reziduální periodogram esy reziduí Obr..3b: Nabídka výpočeních meod Z éo nabídky pro analýzu rendu využíváme kromě Analysis Summary, abulku vyrovnaných hodno a předpovědí (Forecas able), výsledky porovnávání modelů (Model 33

34 Comparisons), hodnoy reziduální auokorelační funkce (Residual Auocorrelaions) a esy reziduí (Residual ess for Randomness). Pro kvaliní rendovou analýzu je však obvykle řeba použí i jiná než uvedená inerpolační kriéria (např. Durbinovu-Wasonovu saisiku a index deerminace) nebo jiné modely rendových funkcí, kerá SAGRAPHICS v éo proceduře nenabízí. K omuo účelu poom využíváme proceduru Muliple Regression Relae Muliple Regression. Kde ve vsupním panelu vkládáme do řádku Dependen Variable časovou řadu a do políčka Independen Variables časovou proměnnou. Odhadnuý model rendu a vypočíané hodnoy Durbinovy-Wasonovy saisiky, indexu deerminace a modifikovaného indexu deerminace získáme ve výsledkovém okně. Příklady vyplnění vsupního panelu éo procedury pro odhady paramerů rendových funkcí nyní uvádíme (y značí časovou řadu, časovou proměnnou). Lineární rend (přímka) Dependen Variable: y Independen Variables: Kvadraický rend (parabola) Dependen Variable: y Independen Variables: ^ Exponenciální rend (exponenciála) Dependen Variable: log(y ) Independen Variables: S-křivka Dependen Variable: log(y ) Independen Variables: / Příklad. Jsou dány sezónně očišěné čvrlení údaje o podílu nezaměsnaných leých na celkové nezaměsnanosi Slovenska v leech 994 až 000 v % (SA_PodNez_SR). Cílem analýzy časové řady je vybra model rendu, ověři jeho vhodnos (analyzova rezidua) a urči předpovědi rendu od počáku předpovídání ve čvrém čvrleí roku 000 s horizonem h =,, 3, 4 (j. na rok 00) Q.94 Q.95 Q.96 Q.97 Q.98 Q.99 Q.00 Q.0 Obr..4: Sezónně očišěná čvrlení časová řada podílu nezaměsnaných leých na celkové nezaměsnanosi Slovenska v leech

35 Z obr..4 vidíme klesající lineární rend sezónně očišěné časové řady, jehož odhad získáme ve SAGRAPHICSu. Do vsupního panelu (obr..) vložíme do řádku časovou řadu SA_PodNez_SR, v čási Sampling Inerval označíme Oher a ve Saring A necháme. Do políčka Number of Forecass zapíšeme 4. První model, kerý se objeví ve výsledkovém okně, je Random Walk, abychom mohli model změni, klikneme pravým lačíkem myši na výsledkovém okně a vybereme Analysis Opions, objeví se doplňkový panel Model Specificaion Opions (obr..), kde zvolíme lineární rend. Odhad paramerů lineárního rendu je v ab..a. ab..a. Výsledky odhadu lineárního rendu Daa variable: SA_PodNez_SR Number of observaions = 8 Sar index =,0 Sampling inerval =,0 Forecas model seleced: Linear rend = 5,067 0,68535 rend Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value Consan 5,067 0,00 50,59 0, Slope 0, , ,6909 0, Podle abulky.a lineární rend SA_PodNez_SR = 5,067 0,68535 pro =,,..., 8, kde = značí hodnou z prvního čvrleí roku 994 a = 8 značí hodnou čvrého čvrleí roku 000. Lineární rend má saisicky významné odhady paramerů na 5% hladině významnosi a jeho vyrovnané a exrapolované hodnoy jsou na obr..4a. 5, 4, 3, acual forecas 95,0% limis,, 0, 9, Obr..4a: Vyrovnané a exrapolované hodnoy lineárního rendu Nyní ověříme vhodnos ohoo rendu. Auokorelaci nesysemaické složky zjisíme grafickou analýzou reziduální auokorelační funkce, kerou získáme pomocí (obr..4b). 0,6 0, -0, -0, Obr..4b: Reziduální auokorelační funkce lineárního rendu 35

36 Z obr..4b se zdá, že první koeficien auokorelace reziduí je na 5% hladině saisicky významný. oo ověříme ak, že porovnáme odhady koeficienů auokorelace s inervaly spolehlivosi. Konkréní odhady koeficienů auokorelace, odhady směrodaných chyb a 95% inervaly spolehlivosi získáme z, volbou Residual Auocorrelaions (ab..b). ab..b. Reziduální auokorelační funkce Esimaed Auocorrelaions for residuals Daa variable: SA_PodNez_SR Model: Linear rend = 5,067 0,68535 Lower 95,0% Upper 95,0% Lag Auocorrelaion Snd. Error Prob. Limi Prob. Limi , ,8898-0, , , ,634-0, , ,5905 0,358-0, , ,3505 0,4649-0, , , ,495-0, , ,454 0, ,495 0, , ,534-0, , ,4985 0,5646-0, , ,9999 0,689-0,557 0,557 Z ab..b je zřejmé, že první odhad prvního koeficienu auokorelace r = 0, přesahuje horní mez inervalu spolehlivosi, z čehož vyplývá, že rezidua lineárního rendu vykazují korelační závislos nesysemaické složky a lineární rend je edy nevhodný. Korelační závislos nesysemaické složky lze povrdi i pomocí Durbinovy Wasonovy saisiky, kerou získáme ve v proceduře Muliple Regression (ab..c). ab..c. Výřez z výsledkového okna Muliple Regression R-squared = 96,704 percen R-squared (adjused for d.f.) = 96,5943 percen Mean absolue error = 0,897 Durbin-Wason saisic = 0,8659 Hodnoa Durbinovy-Wasonovy saisiky DW = 0,8659 <, akže se jedná o poziivní auokorelaci. Z uvedeného vyplývá, že je řeba aplikova jiný model rendu. Příklad. Jsou dány čvrlení údaje sezónně očišěné časové řady spořeby elekrické energie firmy Sella v leech (SA_SpEn_SR) v kwh (obr..5). Cílem analýzy je nají model rendu a ověři jeho vhodnos v období inerpolace v leech , oesova auokorelaci nesysemaické složky, urči předpovědi "ex pos" na roky a posoudi zda je vybraný model vhodný na předpovídání Q.95 Q.96 Q.97 Q.98 Q.99 Q.00 Obr..5: Sezónně očišěná čvrlení časová řada spořeby elekrické energie firmy Sella v kwh v leech

37 Z obr..5 se zdá, že vývoj spořeby elekrické energie má kvadraický rend. Období analýzy rozdělíme na dvě čási. Na období inerpolace (prvních údajů) a období verifikace modelu (posledních 8 údajů). Ve SAGRAPHICSu vyplníme vsupní panel procedury Forecasing (obr..) následujícím způsobem, do řádku Daa vložíme časovou řadu SA_SpEn_SR, v čási Sampling Inerval označíme Oher a ve Saring A necháme. Do políčka Number of Forecass zapíšeme 4 a do Wihhold for Validaion vepíšeme 8. Výsledky odhadu kvadr. rendu pro období I/995 až IV/997 jsou v ab..3a. ab..3a. Výsledky odhadu rendu v období I/995 až IV/997 Daa variable: SA_SpEn_SR Number of observaions = 0 Sar index =,0 Sampling inerval =,0 Lengh of seasonaliy = 4 Forecas model seleced: Quadraic rend = 756,94 36,63 + 3,4894 ^ Number of forecass generaed: 4 Number of periods wihheld for validaion: 8 rend Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value Consan 756,94 60,06,5834 0,00000 Slope 36,63,569,79 0,9008 Quadraic 3,49,598,54 0, Z ab..3a je zřejmé, že na 5% hladině významnosi nejsou koeficieny přírůsku a zrychlení saisicky významné. Kvadraický rend proo není vhodně zvolený. O nevhodnosi kvadraického rendu v daném období svědčí i průměrné charakerisiky v období inerpolace a exrapolace "ex pos", keré obsahuje ab..3b. ab..3b. Průměrné charakerisiky reziduí (Esimaion Period) a chyb předpovědí "ex pos" (Validaion Period) Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE 338, ,6 MAE 4,306 8,533 MAPE 5,9063 5,9078 ME,80004E-3 8,533 MPE 0,50 5,9078 Z ab..3b vidíme, že průměrné charakerisiky v čase exrapolace "ex pos" jsou podsaně vyšší než v období inerpolace, což vylučuje použií kvadraického modelu rendu na předpovídání. Podle záporných znamének ME a MPE usuzujeme, že model sysemaicky nadhodnocuje skuečnos, oo je zřejmé i z obr..5a pro posledních osm hodno Obr..5a: Vyrovnané hodnoy (I/95 IV/97) a exrapolace ex pos (I/98-IV/99) 37

38 Podobně z grafu reziduální auokorelační funkce zjišťujeme, že nesysemaická složka kvadraického rendu je korelačně závislá na 5% hladině významnosi, proože první koeficien auokorelace překračuje horní hranici 95% inervalu spolehlivosi. 0,6 0, -0, -0, Obr..5b: Reziduální auokorelační funkce kvadraického rendu. Pokud odhadneme kvadraický rend na celé časové řadě od I/95 do IV/99, dosaneme výsledky v ab..3c. ab..3c. Odhad kvadraického rendu v období I/95 až IV/99 Daa variable: SA_SpEn_SR Number of observaions = 0 Lengh of seasonaliy = 4 Forecas model seleced: Quadraic rend = 69,38 7,737 +,07836 ^ Number of forecass generaed: 4 Number of periods wihheld for validaion: 0 rend Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value Consan 69,38 44,9765 5,3943 0, Slope -7,737 9, ,7547 0, Quadraic, ,45658, ,03078 Z éo abulky je zřejmé, že koeficien přírůsku je na rozdíl od koeficienu zrychlení sále na 5% hladině významnosi saisicky nevýznamný. Upravíme proo kvadraický rend ak, že eno koeficien z modelu vyloučíme. Ve SAGRAPHICSu k omuo účelu využijeme proceduru Muliple Regression, kde ve vsupním panelu vložíme do řádku Dependen Variable časovou řadu SA_SpEn_SR a do políčka Independen Variables časovou proměnnou ve varu coun(;0;)^, proože obsahuje posloupnos hodno,,..., 0. Výsledný odhad modelu je v ab..3d. ab..3d. Upravený odhad kvadraického rendu v období I/95 až IV/99 Dependen variable: SA_SpEn_SR Sandard Parameer Esimae Error Saisic P-Value CONSAN 663,536 0,3358 3,69 0,0000 coun(;0;)^ 0, ,0698 7, , Analysis of Variance Source Sum of Squares Df Mean Square F-Raio P-Value Model 78859, ,0 50,8 0,0000 Residual 6403, , oal (Corr.) 489,0 9 R-squared = 73,6376 percen R-squared (adjused for d.f.) = 7,73 percen Sandard Error of Es. = 59,6433 Mean absolue error = 46,0584 Durbin-Wason saisic =,

39 Analýzou reziduí na základě výběrové auokorelační funkce (obr..5c) se vhodnos kvadraického rendu povrdila, proože všechny koeficieny auokorelace jsou saisicky nevýznamné na 5% hladině významnosi. 0,6 0, -0, -0, Obr..5c: Reziduální auokorelační funkce kvadraického rendu v období I/95- IV/99 Pro výpoče charakerisiky MSE si ve SAGRAPHICSu uložíme rezidua pomocí a volbou položky Residuals. Hodnou MSE si vypočíáme v panelu Generae Daa, kde do řádku Expression vepíšeme příkaz sum(residuals^)/0. V abulkovém edioru SAGRAPHICSu ako získáme MSE = 30,587. Z MSE lze usuzova, že sezónně očišěné hodnoy řady spořeby elekrické energie firmy Sella budou kolísa kolem kvadraického rendu o ± 30, 587 = 56, 58 kwh. Příklad.3 Je dána roční časová řada sředního savu obyvael Slovenska (Obyv_SR) v mil. osob v leech (obr..6). Odhadněe logisický rend a ověře auokorelaci nesysemaické složky modelu, určee očekávaný poče obyvael Slovenska v leech (X 00000) Obr..6: Vývoj sředního savu obyvael na Slovensku v leech

40 Z grafu vidíme, že v posledních sedmi leech se meziroční přírůsek obyvaelsva zpomalil a konverguje k určié konsaně. Volíme logisický rend ve varu Pearlovy Reedovy funkce (.4), kerý se používá na projekce poču obyvael. Vyrovnané hodnoy a předpovědi na období pro sřední sav obyvael Slovenska získáme pomocí procedury nelineární regrese (Marquarovy ierační procedury) aplikované na funkci Obyv68_SR kerou jsme získali inverzní ransformací vzahu (.4). 0 = γ + β β, =,, 3,..., 30, V nelineární regresi je řeba sanovi počáeční odhady paramerů funkce, keré získáme z apriorních informací nebo odhadem např. meodou ří součů. Použijeme-li uo meodu, získáme z údajů /Obyv68_SR počáeční odhady γˆ =,5, ˆβ 0 = 0,46 a ˆβ = 0, Odhad rendu je v ab..4. ab..4: abulka pro odhad modifikovaného exponenciálního rendu sředního savu obyvael SR Dependen variable: /Obyv68_SR Independen variables: Funcion o be esimaed: g+b0*b^ Iniial parameer esimaes: g =,5 b0 = 0,46 b = 0,93566 Esimaion mehod: Marquard Esimaion sopped due o convergence of parameer esimaes. Number of ieraions: 8 Number of funcion calls: 40 Esimaion Resuls Asympoic 95,0% Asympoic Confidence Inerval Parameer Esimae Sandard Error Lower Upper g,7753 0,030604,6647,79034 b0 0, , , ,669 b 0, , , , Analysis of Variance Source Sum of Squares Df Mean Square Model 0, ,867 Residual 0, , oal 0, oal (Corr.) 0, R-Squared = 99,795 percen R-Squared (adjused for d.f.) = 99,87 percen Sandard Error of Es. = 0,0644 Mean absolue error = 0, Durbin-Wason saisic = 0,5749 Residual Analysis Esimaion Validaion n 30 MSE 0, MAE 0, MAPE 0, ME 0, MPE -0,

41 Odhad modelu je v ab..4. Z výsupních charakerisik odhadu modelu dále vybíráme index deerminace R = 99,795 %, což znamená, že model rendu dobře vysihuje hodnoy časové řady, a směrodanou odchylkou reziduí σˆ = 0,0644. Durbinův Wasonův es DW = 0,5749 < signalizuje, že na 5% hladině významnosi jde o silnou kladnou auokorelaci, což znamená, že určiá čás časové řady zůsala modelem nevysvělená a předpovědi proo mohou bý zkreslené. Charaker nevysvělené složky lze analyzova grafem reziduí (obr..6a). a,, 0, -0,9 -,9,8,9,,,3 Obr..6a: Graf reziduí Z obr..6a je zřejmé, že v časové řadě sředního savu obyvaelsva je kromě logisického rendu aké cyklická složka, kerá zůsala modelem nevysvělená. Před konsrukcí předpovědí (hlavně z dlouhodobého hlediska) je proo pořeba, buď model rozšíři, aby byla zachycena aké cyklická složka časové řady, nebo zvoli jiný komplexnější model. Pro odhad modifikovaného exponenciálního rendu ve SAGRAPHICSu vybereme z nabídek posupně Special Advanced Regression Nonlinear Regression. Vsupní panel nelineární regrese vyplníme dle obr..6b, kde časová řada Obyv68_SR obsahuje zkrácenou řadu Obyv_SR od roku 968. Časová proměnná obsahuje posloupnos hodno,,..., 30. 4

42 Obr..6b: Vyplnění vsupního panelu nelineární regrese Obdobně podle obr..6c vyplníme i panel pro zadání počáečních odhadů. Obr..6c: Vyplnění vsupního panelu pro zadání počáečních odhadů nelineární regrese 4

43 ..3 Klouzavé průměry Klasická analýza časových řad předpokládá, že rendová funkce má v čase konsanní paramery. V delším časovém období je eno předpoklad nereálný (viz příklady. a.3), proo je vhodné využíva adapivní echniky, jako jsou meoda klouzavých průměrů a exponenciální vyrovnávání. Meoda klouzavých průměrů Meoda klouzavých průměrů se zakládá na myšlence, že časovou řadu y pro =,,..., rozdělíme na kraší časové úseky o poču hodno m +, na kerých odhadujeme lokální polynomické rendy určiého supně. Pro orienaci, konsanní rend se popisuje polynomem nulého supně, lineární rend polynomem prvního supně apod. Posup je následující - první čás řady má m + hodno, keré označujeme y, y,..., y m+, z nich odhadneme paramery lokálního rendu vhodným polynomem a vypočíáme jeho odhad, sejný polynom odhadneme na druhé skupině hodno řady, ˆ m+ y, y 3,..., y m+ a vypočíáme odhad lokálního rendu m, ímo klouzavým způsobem posupujeme až do konce časové řady. Ve skuečnosi polynom lokálního rendu nemusíme odhadova na každém úseku řady, proože se jedná o vyváření lineárních kombinací hodno původní časové řady s pevnými koeficieny, keré jsou dány zvoleným ypem rendové funkce a délkou klouzavých průměrů. V práci Kendall, M. (976) se uvádějí koeficieny (váhy) pro různé ypy polynomů a délky klouzavých čásí. Někeré z nich uvádíme v abulce.5. Pro ilusraci nyní ukážeme způsob získávání koeficienů pro kvadraický rend. Předpokládejme, že řadu y pro =,,..., budeme vyrovnáva na klouzavých úsecích délky m + = 5 hodno parabolickým rendem s časovou proměnnou τ = -, -, 0,,. Odhady paramerů lokálního kvadraického rendu τ = β 0 + β τ + β τ získáme meodou nejmenších čverců splněním podmínky ( y + τ τ = Řešením jsou normální rovnice paraboly y = 5 ˆ β ˆ + β 0 β τ β τ ) min. + ˆ β + τ 0 τ= τ= τ + ˆ β ˆ ˆ τ y+ τ = β 0 τ + β τ τ= τ = τ= + ˆ β ˆ ˆ 3 τ y+ τ = β 0 τ + β τ τ= τ = τ= τ = τ, + ˆ β τ = 3 τ, τ = 4 τ. (.50) (.5) 43

44 Proože pro liché i plaí τ i = 0, normální rovnice paraboly se zjednoduší do varu τ = y τ = + τ τ y = 5 ˆ β 0 = ˆ β + ˆ β τ, + τ τ= τ= ˆ τ y+ τ = β 0 τ τ= τ= τ, τ = + ˆ β 4 τ. τ = (.5) Odhadem lokálního rendu v bodě = m + = 3 je inerpolovaná hodnoa pro τ = 0, kerá se rovná ˆβ 0. Po získaní součů proměnné τ v sousavě (.5) určíme ˆβ 0 řešením rovnic y + τ τ = τ y τ = = 5 ˆ β + τ 0 = 0 ˆ β + 0 ˆ β, ˆ β, (.53) akže ˆ = ˆ β 0 = (7 y+ τ 5 τ y+ τ ) 35 τ = τ = a po úpravě ˆ ˆ = β 0 = ( 3y + y + 7y + y+ 3y+ ). (.54) 35 Lineární kombinace hodno časové řady (.54) se nazývá klouzavým průměrem délky 5 a řádu. Ze vzahu (.54) vyplívá, že odhad rendu v bodě časové řady se rovná váženému klouzavému průměru pěi hodno s uvedenými koeficieny (váhami). Kromě oho vidíme, že souče vah se rovná jedné a že váhy jsou symerické okolo prosřední hodnoy, akže je lze zapsa ve zkrácené formě /35(-3,, 7,...). Sejným způsobem je možné odvodi váhy pro klouzavé průměry různých délek pro libovolný polynomický rend řádu r. Pokud je řád polynomu r sudé číslo, poom klouzavé průměry řádu r a řádu r + mají pro sejné délky klouzavé čási sejné váhy. V abulce.5 jsou uvedeny váhy klouzavých průměrů. a 3. řádu různých délek (Kendall, M. (976)). ab..5. Váhy klouzavých průměrů. a 3. řádu Délka klouzavé čási Váhy 3 (0,, 0) 5 /35( 3,, 7,...) 7 /(, 3, 6, 7,...) 9 /3(, 4, 39, 54, 59,...) /49( 36, 9, 44, 69, 84, 89,...) 3 /43(, 0, 9, 6,, 4, 5,...) 5 /05( 78, 3, 4, 87,, 47, 6, 67,...) 7 /33(, 6, 7, 8, 7, 34, 39, 4, 43,...) 9 /6( 36, 5, 4, 89, 44, 89, 4, 49, 64, 69,...) /3059( 7, 76, 9, 84, 49, 04, 49, 84, 309, 34, 39,...) 44

45 Kromě vážených klouzavých průměrů se využívají aké jednoduché klouzavé průměry, což znamená, že lokální rendy na klouzavých úsecích m + hodno jsou konsanní nebo lineární a všechny hodnoy klouzavého průměru mají sejnou váhu rovnou. V sezónních časových řadách se rendová složka řady odhaduje pomocí cenrovaných klouzavých průměrů, proože délka klouzavé čási je sudé číslo (4 nebo ). V akovém případě vyrovnaná hodnoa rendu padne mezi dvě prosřední hodnoy dané klouzavé čási časové řady, což má za následek, že nelze ve sejných obdobích porovnáva původní a vyrovnané hodnoy časové řady. eno nedosaek se odsraní ak, že počíáme jednoduché klouzavé průměry délky z řady již vypočíaných klouzavých průměrů. Volba délky klouzavé čási V časových řadách se sezónnosí je délka klouzavé čási určená počem sezón. V osaních časových řadách musíme délku klouzavé čási voli subjekivně, což nemusí bý vždy jednoduché. Plaí pravidlo, že čím hladší vyrovnání časové řady požadujeme, ím delší klouzavou čás volíme. Počáeční a koncové klouzavé průměry Výsledkem použií meody klouzavých průměrů je odhad rendové případně rend-cyklické složky časové řady. Její nevýhodou je, že prvních a posledních m hodno rendové nebo rend-cyklické složky není určeno. Způsob výpoču ěcho počáečních a koncových hodno je uveden např. v pracích Kendall (976), Rublíková (989), Kozák, Hindls, Arl (994). Zráa posledních m klouzavých průměrů je nevýhodou zvlášť ehdy, pokud je chceme využí k prognosickým účelům. Proo byla vypracována adapivní echnika koncových předpovědních průměrů. Předpovědní klouzavé průměry Jednoduché klouzavé průměry je možné využí pro předpovídání časové řady s přibližně konsanním rendem (.5). Odhad parameru β 0 se v čase určuje jako arimeický průměr hodno y pro =,,...,. Předpovědi řady y v čase = +, +,..., + h určujeme dvěma způsoby:. Mají-li všechna pozorování řady sejnou váhu, odhad ˆβ 0 = y = = y slouží jako předpověď pro libovolný horizon h s počákem předpovídání v čase =, j. yˆ ( h) = y h > 0. (.55). Předpokládáme-li, že věší váhu mají pozorování bližší k předpovídané hodnoě, poom předpověď určujeme jako průměr z posledních n hodno y, y -,..., y -n+ se sejnou váhou /n a osaním hodnoám řady y -n, y -n-,..., y přiřadíme nulovou váhu. Odhad parameru modelu β 0 získáme meodou nejmenších čverců, jako průměr z posledních n hodno řady 45

46 n ˆβ 0 = y = MA, n = n+ resp. MA y + y + y y n+ =. (.56) n Předpověď časové řady od období = pro horizon h = je y ˆ ( h) ˆ β =. (.57) = 0 MA Předpovědi ex pos je možné určova od začáku časové řady a ak ověřova jejich kvaliu. Předpověď v čase označujeme symbolem yˆ ( ), zn. že předpověď určujeme v čase - s horizonem h = (edy na čas ). Poznámka: Předpovědi se určují s horizonem h =. Pro vzdálenější horizony předpověď y ˆ ( h) = MA nereaguje na skuečnos, že jsme meziím získali nové pozorování y+, keré vyvoří novou skupinu posledních n hodno (nejsarší pozorování se z řady vyloučí a přidá se nové). Nový klouzavý průměr může bý jiný než y ˆ ( + ) = MA...4 Klouzavé průměry ve SAGRAPHICSu Podle oho, na co klouzavé průměry používáme, zda pro vyrovnávání (odhad rendu) nebo pro předpovídání (předpovědi rendu), můžeme ve SAGRAPHICSu použí dvě procedury: Smoohing a Forecasing. Odhady rendu pomocí klouzavých průměrů různých délek získáme v proceduře Smoohing Special ime-series Analysis Smoohing. Po vyplnění vsupního panelu vybereme z položku Daa able, kde se auomaicky objeví abulka klouzavých průměrů s délkou klouzavé čási 5 hodno a označuje se jako Simple moving averages of 5 erms. Délku klouzavé čási změníme kliknuím pravého lačíka myši a volbou Pane Opions z doplňkové nabídky. Zobrazí se doplňkový panel Smoohing Opions (obr..8). 46

47 Obr..8: Doplňkový panel Smoohing Délku klouzavé čási (Lengh of Moving Average) zadáváme počem m + hodno, z kerých určujeme klouzavý průměr. Grafy vyrovnaných hodno rendu získáme z Plo a Residual Plo., kde vybereme ime Sequence Z obr..8 vidíme, že kromě jednoduchých klouzavých průměrů lze vybíra i různé vážené klouzavé průměry, jako jsou např. Spencerovy či Hendersonovy klouzavé průměry (viz Kendall (976)). Předpovědní klouzavé průměry ve SAGRAPHICSu Jednoduché klouzavé průměry slouží nejen k odhadu rendové složky v období inerpolace, ale využívají se i pro předpovídání časových řad s konsanním rendem. Ve SAGRAPHICSu je najdeme v proceduře Forecasing Special ime-series Analysis Forecasing. V doplňkovém panelu Model Specificaion Opions (obr..) vybereme v čási ype položku Moving Average a současně v čási Parameers and erms položku Order, kam zadáváme délku klouzavé čási rovnou posledním n hodnoám, ze kerých určujeme klouzavý průměr. Pro zobrazení výsledků vybíráme z položku Forecas able. Grafy získáme z volbou ime Sequence Plo. 47

48 Příklad.4 Jsou dány údaje o poču živě narozených děí v České republice v leech (ZivNar_CR). Vyrovneje časovou řadu jednoduchými klouzavými průměry s délkou klouzavé čási 5 le. Graficky zobraze původní údaje a jejich vyrovnané hodnoy (jednoduché klouzavé průměry) pro délky klouzavé čási 5 a 5 le a pozoruje, jak volba délky klouzavé čási ovlivňuje vyrovnání časové řady. Z obr..9 vidíme, že poče živě narozených děí v České republice má ve sledovaném období klesající rend a výraznou cyklickou složku. Výsledky vyrovnávání časové řady klouzavými průměry různých délek lze pozorova na obr..9a a obr..9b. Zkrácené výsledky vyrovnávání řady klouzavými průměry s délkou klouzavé čási 5 le jsou v ab..6. ab..6. Výsledky odhadu rendu klouzavými průměry s délkou 5 le Daa able for ZivNar_CR Firs smooher: simple moving average of 5 erms Second smooher: none Period Daa Smooh Rough (residual) , , ,0 4460,0 4567, , ,0 89, ,0 384,0 3947, ,0 4838,0 76, ,0 838,0 4, ,0 35,0 4503, , ,0 606, ,0 0483,0 767, ,0 068,0 6055, ,0 3986,0 854, , ,0 8, , ,0 975, , ,0 597, ,0 336,0 35, ,0 373,0 494, ,0 3037,0 06, ,0 859,0 034, ,0 60,0 353, ,0 845,0 40, ,0 495,0 6073, ,0 0770,0 59, ,0 0096,0 4863, ,0 9486,8 446, ,0 944, 784, , ,0 6 (X 0000) Obr..9: Vývoj poču živě narozených děí v ČR 48

49 (X 0000) 6 3 daa smooh Obr..9a: Klouzavé průměry délky (X 0000) daa smooh Obr..9b: Klouzavé průměry délky 5 Na obr..9a vidíme, že pokud je délka klouzavé čási malá (5 hodno), vyrovnání je podobné původní časové řadě na obr..9. Při vyrovnávání klouzavými průměry s délkou 5 hodno (obr...9b) je rendová čára hladší. Čím je délka klouzavé čási věší, ím věší je i vyrovnání (vyhlazení) časové řady a naopak. Příklad.5 Jsou dány údaje o podílu pracujících ve savebnicví na Slovensku (PracSav_SR) v leech Analyzuje vývoj podílu pracujících ve savebnicví za uvedené období a pomocí klouzavých průměrů odhadněe eno podíl pro rok ,,, 0, 9, 8, 7, Obr..0: Podíl pracujících ve savebnicví na Slovensku (%) 49

50 Z obr..0 vidíme, že v leech byl podíl pracujících konsanní, v roce 99 se krákodobě zvýšil, v leech klesal a v posledních čyřech leech se usálil na 7,5 % úrovni. Předpověď odvodíme z posledních 4 le za předpokladu, že se eno vývoj nezmění a nedojde ke kvaliaivním změnám. Předpověď na rok 998 určíme jako průměr z posledních 4 hodno časové řady. Výpoče předpovědí je velmi jednoduchý a zdá se, že nepořebujeme počíač. Počíač však pomáhá vyhodnoi nejen předpovědní echniku v době inerpolace, ale i průměrné charakerisiky chyb předpovědí s horizonem h =. Výsledky získané ve SAGRAPHICSu obsahuje ab..7a) a.7b) spolu s 95 % inervalem spolehlivosi pro skuečnou hodnou podílu pracujících ve savebnicví v roce 998. ab..7a. Průměrné charakerisiky chyb předpovědí "ex pos" s h = Daa variable: PracSav_SR Number of observaions = Sar index = 987 Forecas model seleced: Simple moving average of 4 erms Number of forecass generaed: Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE,0965 MAE,649 MAPE 5,580 ME,0000 MPE 3,5 ab..7b. Výsledky předpovědí "ex pos" a "ex ane" s h = Forecas able for PracSav_SR Model: Simple moving average of 4 erms Period Daa Forecas Residual , , 989 0, , 99, 0,75 0, , 0,475 -, , 0,00 -, ,6 9,675 -, , 9,05 -, ,5 8,05-0, ,5 7,65-0,5 Lower 95.0% Upper 95.0% Period Forecas Limi Limi ,45 4,7733 0,67 50

51 ..5 Exponenciální vyrovnávání Mějme časovou řadu y. Jednoduché exponenciální vyrovnávání časové řady je definované rekurenním vzahem ŷ yˆ ŷ = αy + ( - α), (.55) kde je exponenciální průměr v čase, je exponenciální průměr v čase - a α je vyrovnávací konsana, α 0,. yˆ yˆ Na základě rekurennosi lze exponenciální průměr vyjádři následovně = α y + ( α) yˆ = α y + ( α) α y + ( α) yˆ = = α y = α y = α i= 0 + α( α) y + α( α) y i ( α) y i + ( α) + ( α) α y + ( α) yˆ 0 [ ] [ α y ( α) yˆ ] =... = 3 i α( α) y kde ŷ 0 je počáeční podmínka pro výpoče vzahu (.55). var i ( α) yˆ 0 = (.56) Za předpokladu, že ( - α) <, pro plaí ( - α) 0, akže vzah (.56) má yˆ = α i= 0 i ( α) y váženého souču všech hodno časové řady s vahami, keré směrem do minulosi exponenciálně klesají. o je důvod, proč se nazývá exponenciálním průměrem v čase. ŷ i, Brownovo jednoduché exponenciální vyrovnávání Předpokládejme, že časová řada y je generována sacionárním procesem (viz kapiola 3) s modelem ve varu y = β 0 + a, (.57) kde β 0 je sřední hodnoa procesu, a jsou pro každé náhodné veličiny s vlasnosmi procesu bílého šumu (.4). Po aplikaci meody exponenciálního vyrovnávání na řadu (.57) dosaneme yˆ = α i= 0 neboť α = ( α) =. i i ( α) y i = α i= 0 ( α) i ( β + a 0 i ) = β + 0 α Lze dokáza, že pro sřední hodnou a rozpyl vzahu (.58) plaí D ˆ E( ŷ ) = E(y) = β 0, ( y ) σ a = σ y i= 0 i ( α) a i, (.58) α α =. (.59) α α 5

52 Ze vzahů (.59) vyplívá, že pro α 0,, je exponenciální průměr ŷ v čase nezkresleným odhadem parameru β0 (j. plaí ˆ = ˆ β ) a má menší rozpyl než je rozpyl časové řady y. ao vlasnos vysvěluje funkci vyrovnávací konsany α. Pokud je α blízká jedné, poom D( ŷ ) D(y ) = σ y. o znamená, že se z řady nepodařilo vylouči nesysemaickou složku a vyrovnání časové řady je nedosaečné. Naopak, pokud je α blízká nule, je rozpyl exponenciálních průměrů v porovnaní s rozpylem časové řady menší. o znamená, že pro malé α se nesysemaická složka z řady více eliminuje a vyrovnání řady je zřeelnější. Vlivem publikací Brown (959), (96) se exponenciální vyrovnávání začalo využíva jako jednoduchá echnika krákodobého předpovídání s horizonem h = období dopředu. Předpovídání pomocí exponenciálního vyrovnávání předpokládá, že časovou řadu vyjádříme modelem y 0 y = β 0, + a, (.60) kde β 0, je podmíněná sřední hodnoa časové řady, měnící se v závislosi na a a jsou pro každé náhodné veličiny s vlasnosmi (.4). Odhadem parameru β 0, v čase je ŷ, akže plaí ˆ β 0, = ŷ. Bodová předpověď a její chyba Mějme časovou řadu y, y,..., y -, y. Bodovou předpověď v čase +, definujeme jako exponenciální průměr řady v čase a označujeme y () = ˆ β 0, = ˆ, (.6) resp. yˆ ˆ y ˆ ˆ () = β 0, = y. Chybou předpovědi je rozdíl skuečné a předpovídané hodnoy v čase, a y yˆ (). (.6) ˆ = Poznámka: Výraz yˆ () znamená bodovou předpověď určovanou v čase - s horizonem období dopředu, edy na čas. Předpovídání formou korekce chyby předpovědi Upravíme-li vzah (.55) do varu yˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = α y + ( α) y = α y + y α y = α( y y ) + y = αa + y a uplaníme-li vzahy (.6) a (.6) zjisíme, že y () α aˆ + yˆ (), (.63) ˆ = j. předpověď na čas + určíme jako souče předpovědi na čas a α násobku chyby předpovědi na čas., 5

53 eno přísup k určovaní předpovědí je velmi jednoduchý a pokud známe vyrovnávací konsanu a předpověď z předcházejícího období, nepořebujeme zná žádné předcházející údaje časové řady, ale pouze hodnou konkréního ukazaele v čase. Odhad β 0 získáme meodou nejmenších čverců, při splnění podmínky i= 0 ( y i ˆ i β 0 ) ( α) min. (.64) 95% inerval spolehlivosi pro y + Podle Bowermana a O Connella (979) 00x( - α/)% inerval spolehlivosi pro y + určíme vzahem kde yˆ () = α y + ( α) β 0, ˆ yˆ α / () ± u,5mae, (.65) je předpověď určená v čase = s horizonem h =, u je ( - α/)% kvanil normovaného normálního rozdělení N(0,) a MAE y yˆ () = =. Hodnou MAE lze s každou novou hodnoou obnovova, podle vzahu MAE + MAE = + y + + β ˆ 0,. -α/ Brownovo (dvojié) lineární exponenciální vyrovnávání Brownovo dvojié exponenciální vyrovnávání s vyrovnávací konsanou α používáme pro předpovídání časové řady y bez sezónní složky, jejíž vývoj lze rozloži na lokální lineární rendy vyjádřené modelem y = + a = β 0 + β + a. (.66) Odhady paramerů lineárního rendu určil Brown (959) na základě následujících úvah. Uplanil jednoduché exponenciální vyrovnávání ŷ = αy + ( - α) (.67) na časovou řadu s lokálně se měnícím lineárním rendem a zjisil, že řada prvních exponenciálních průměrů ŷ má sysemaickou chybu rovnou β(( - α)/α), j. očekávaná sřední hodnoa exponenciálních průměrů zaosává za očekávanou sřední hodnoou určiého ukazaele, akže předpovědi ohoo ukazaele s horizonem h = jsou sysemaicky podhodnocené. Po opěovné aplikaci jednoduchého exponenciálního vyrovnávání na časovou řadu prvních exponenciálních průměrů ŷ získal řadu exponenciálních průměrů druhého supně yˆ ŷ () () = αy + ( - α) yˆ (.68) 53

54 a zjisil, že se opě dopusil sejné sysemaické chyby. Na základě éo vlasnosi určil vzahy pro výpoče odhadů ˆβ a paramerů modelu (.66) v čase ve varu kde 0,, ˆβ ˆ () β ˆ ˆ 0, = y y, ˆ α (.69) () β ( ˆ ˆ, = y y ), α ˆβ je odhad parameru β 0 v čase a ˆβ odhad parameru β v čase, α 0, je 0,, vyrovnávací konsana, ŷ je jednoduchý exponenciální průměr získaný z řady y, ŷ () je dvojiý exponenciální průměr (.68) získaný z řady exponenciálních průměrů. ŷ Poznámka: Pro uo vlasnos se exponenciální vyrovnávání řad s lineární rendem nazývá dvojié exponenciální vyrovnávání. Sejně jako při jednoduchém exponenciálním vyrovnávání, aké v případě lokálně se měnících lineárních rendů, odhady paramerů modelu (.66) můžeme získa váženou meodou nejmenších čverců s exponenciálně klesajícími vahami ( - α) za podmínky i= 0 ( y ˆ β ˆ β ) ( α) min i 0. Bodová předpověď a její chyba Bodovou předpověď určiého ukazaele pro horizon h > 0 od času definujeme vzahem yˆ ˆ ˆ () α () ( h) = β ˆ ˆ ( ˆ ˆ 0, + hβ, = y y + h y y ). (.70) α Předpověď s horizonem h = od času ( - ) je poom yˆ ˆ ˆ () = β 0, + β,. (.7) Chyba předpovědi s horizonem h = v čase je dána jako rozdíl skuečné hodnoy v čase a předpovědi v čase, j. a y yˆ (). ˆ = Dvojié exponenciální vyrovnávání ve formě korekce chyby předpovědi Pokud známe vyrovnávací konsanu α, předpověď yˆ () v čase, chybu předpovědi aˆ y yˆ () = y ˆ β ˆ β v čase, poom odhady paramerů lokálně = 0,, se měnícího lineárního rendu (.66) je možné získa formou korekce chyb předpovědí â, podle vzahů ˆ [ ] ˆ ˆ β ˆ () ( ) ˆ [ ( ) ] ˆ 0, = y + α a = β 0, + β, + α a, (.7) ˆ ˆ β = β + α aˆ.,, 54

55 95% inerval spolehlivosi pro y +h Podle Bowermana a O Connella (979) 00( - α/)% inerval spolehlivosi pro y +h určíme vzahem kde ˆ yˆ / h ( h) ± u α d MAE, (.73) ( h) = ˆ β + h ˆ β je bodová předpověď určená v čase = na čas = + h, u-α/ je y 0,, ( - α/)% kvanil normovaného normálního rozdělení N(0,) a d h α + (( + 4α + 5α ) + ( α)( + 3α ) h + ( α) h ) 3 ( + α) =,5, α + (( + 4α + 5α ) + ( α)( + 3α ) + ( α) ) 3 ( + α) MAE = = y yˆ () Hodnou MAE je možné s každou novou hodnoou obnovova podle vzahu MAE + MAE = + y + + ˆ β. 0, ˆ β,. Poznámka: Podobným způsobem lze odvodi aké Brownovo rojié exponenciální vyrovnávání, keré předpokládá, že časová řada má kvadraický rend (.3). Holovo lineární exponenciální vyrovnávání Hol (957) vypracoval algorimus exponenciálního vyrovnávání lokálních lineárních rendů (.66) v časové řadě se dvěma vyrovnávacími konsanami α pro adapivní odhad úrovně β 0 v čase a β pro adapivní odhad směrnice lineárního rendu β v čase. Holův algorimus exponenciálního vyrovnávání odhaduje v čase paramery modelu (.66) podle rekurenních vzahů ˆ β ˆ ˆ 0, = α y + ( α)( β 0, + β, ), (.74) ˆ β = β ( ˆ β ˆ β ) + ( β ) ˆ β,, 0, 0, kde ˆβ je odhad úrovně lineárního rendu v čase, je odhad směrnice lineárního 0, rendu v čase, ˆ je odhad úrovně lineárního rendu v čase -, β je odhad směrnice lineárního rendu v čase -, α 0, je vyrovnávací konsana úrovně, β 0, je vyrovnávací konsana směrnice., ˆβ, β ˆ 0,, 55

56 Bodová předpověď a její chyba Bodovou předpověď pro horizon h > 0 konsruovanou v čase, definujeme vzahem ˆ ( h) = ˆ β + h ˆ β. (.75) y 0,, Pro h = v čase - definujeme bodovou předpověď a její chybu vzahy yˆ ˆ ˆ () = β 0, + β,, aˆ ˆ β ˆ β = y 0,,. Holův model ve formě korekce chyby předpovědi ˆ β ˆ β 0,, = ˆ β = ˆ β 0,, + ˆ β, + α β aˆ. + αaˆ, (.76) Modifikace odhadů úrovně a směrnice řady závisí na volbě vyrovnávacích konsan α a β. Malé hodnoy α a β volíme, pokud se vyžadují malé modifikace odhadnué úrovně a směrnice lineárního rendu z předcházejícího období. Sofwarové produky pracující pod operačním sysémem Windows, jako jsou SAS, SPSS nebo SAGRAPHICS Plus, auomaicky vyhledávají nejvhodnější kombinaci vyrovnávacích konsan α a β...6 Exponenciální vyrovnávání ve SAGRAPHICSu Krákodobé předpovědi rendu pomocí exponenciálního vyrovnávání získáme v proceduře Forecasing výběrem někeré z meod exponenciálního vyrovnávání v čási ype v doplňkovém panelu Model Specificaions Opions (obr..): Simple Exp. Smoohing - Brownovo jednoduché exponenciální vyrovnávání, Brown's Linear Exp. Smoohing - Brownovo dvojié exponenciální vyrovnávání, Hol's Linear Exp. Smoohing Quadraic Exp. Smoohing Winer's Exp. Smoohing - Holovo lineární exponenciální vyrovnávání, - Brownovo rojié exponenciální vyrovnávání, - Winersovo exponenciální vyrovnávání (pro sez. č.ř.). V čási Parameers and erms označíme políčko Opimize pokud pořebujeme, aby počíač vybral nejvhodnější vyrovnávací konsanu α ve smyslu minimální hodnoy MSE (sřední čvercové chyby předpovědí s horizonem jednoho období dopředu) u Brownova exp. vyrovnávání, resp. konsany α a β pro případ Holova lineárního exp. vyrovnávání. Pokud chceme sami voli hodnoy ěcho konsan políčko Opimize odškrneme. 56

57 Příklad.6 Uvažuje časovou řadu přírůsků (úbyků) poču živě narozených děí v České republice v leech 9 až 999, jejíž vývoj je zobrazený na obr... ao řada se získá diferencováním původní časové řady. Analyzuje vývoj přírůsků (úbyků) poču živě narozených děí v období le 9 až 999 v České republice. Pro uvedené období navrhněe vhodný model exponenciálního vyrovnávání a inerpreuje míry přesnosi exrapolací "ex pos" s horizonem jednoho období dopředu. Ověře nekorelovanos chyb předpovědí "ex pos" s horizonem jednoho období dopředu pomocí auokorelační funkce. Určee exrapolace na roky 000 až 00. (X 000) Obr..: Řada přírůsků (úbyků) poču živě narozených děí v ČR Z obr.. je zřejmé, že řada přírůsků (úbyků) v období le 9 až 999 má sacionární charaker, akže můžeme zvoli model (.60) ve varu diff(zivnar_cr) = β 0 + a. Ve SAGRAPHICSu necháme volbou Opimize v doplňkovém panelu Model Specificaion Opions nají nejvhodnější vyrovnávací konsanu pro Brownovo jednoduché exponenciální vyrovnávání. Výsledek vyrovnávání nejvhodnější vyrovnávací konsanou α = 0,7799 je na obr..a. (X 000) acual forecas 95,0% limis Obr..a: Původní, vyrovnané a předpovězené hodnoy časové řady 57

58 Průměrné charakerisiky chyb předpovědí "ex pos" s horizonem h = rok dopředu zjisíme z ab..8a. ab..8a. Průměrné charakerisiky chyb předpovědí ex pos s h = Daa variable: diff(zivnar_cr) Number of observaions = 80 missing values were replaced wih esimaes Sar index = 90 Sampling inerval =,0 year(s) Forecas model seleced: Simple exponenial smoohing wih alpha = 0,7799 Number of forecass generaed: 3 Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE 5,9593E7 MAE 5994,46 MAPE ME 465,03 MPE Podle záporné hodnoy ME = 465,03 usuzujeme, že inerpolace (v leech 9 až 999) modelem jednoduchého exponenciálního vyrovnávání sysemaicky nadhodnocuje skuečnos. Volbou vybereme graf reziduální auokorelační funkce (Residual Auocorrelaion Funcion), obr..b. Rezidua jsou v omo případě chybami předpovědí "ex pos" s horizonem jednoho roku dopředu a jsou určena vzahem rezidua diff ZivNar _ CR) ˆ β (). Na základě grafu výběrové reziduální = ( 0, auokorelační funkce konsaujeme, že nesysemaická složka nevykazuje auokorelaci a jednoduché exponenciální vyrovnávání přírůsků (úbyků) živě narozených děí je edy vyhovující. 0,6 0, -0, -0, Obr.. b: Reziduální ACF reziduí Z (ab..8b). vybereme Forecas able a získáme ak předpovědi na jeden rok dopředu V první čási zkrácené abulky jsou uvedeny předpovědi "ex pos" (j. předpovědi určené v období analýzy časové řady). Ve druhé čási jsou předpovědi "ex ane" (j. předpovědi určené na počáku období předpovídání = 999 na roky 000, 00 a 00 (pro horizony h =,, 3). 58

59 ab..8b. Diferencovaná řada, předpovědi s h = a 95% předpovědní inerval Forecas able for diff(zivnar_cr) Model: Simple exponenial smoohing wih alpha = 0,7799 * = esimaed Period Daa Forecas Residual *33779,0 8099, 5679,8 9 63,0 358,9 995, ,0 6996,5 5549, ,0 99,5 4568, ,0 649,5 5843, ,0 337,9 77, ,0, 403, ,0 6,0 8, ,0 386,8 43, ,0 836,4 547, ,0 378, 5386, 99 0,0 0,5 3, ,0 78,6 6930, ,0 63,6 5443, ,0 878, 567, ,0 679,8 97, ,0 0745,6 5094,6 997,0 677,3 6983,3 998,0 36,0 04, ,0 387,0 676, Lower 95,0% Upper 95,0% Period Forecas Limi Limi , ,4 40, , ,4 85, , ,5 469,6 Příklad.7 Časová řada sředního savu obyvael Slovenska (Obyv_SR) v leech je na obr... Vyrovneje časovou řadu Brownovým dvojiým exponenciálním vyrovnáváním a Holovým exponenciálním vyrovnáváním a porovneje jejich vlasnosi pomocí průměrných charakerisik chyb předpovědí. Zvole posledních 6 le na verifikaci modelu. Verifikovaný model využije na určení předpovědí s horizonem h = 3 roky, j. na roky 998 až (X 00000) Obr..: Poče obyvael Slovenska (sřední sav) Lze předpokláda, že časová řada poču obyvael Slovenska má vcelku lineární rend, jehož paramery se na lokálních úsecích mění v čase, a proo využijeme Brownův a Holův model lineárního exponenciálního vyrovnávání. 59

60 Ve vsupním panelu Forecasing vyplníme název časové řady, poče předpovědí (Number of Forecass) a délku období verifikace modelu (Wihold for Validaion). V doplňkovém panelu Model Specificaion Opions zvolíme posupně nejprve Model A = Brown s Linear Exp. Smoohing, poom Model B = Hol s Linear Exp. Smoohing. V čási Parameers and erms zvolíme Opimize. Z vybereme položku Model Comparisons, kerá umožňuje porovnáva současně několik modelů a rozhodnou se pro nejvhodnější z nich. Výsledky obou modelů jsou v ab..9a. Z ab..9a vidíme, že průměrné charakerisiky chyb předpovědí jsou pro období inerpolace (Esimaion period) menší, použijeme-li Brownův model lineárního exponenciálního vyrovnávání s konsanou α = 0,564. Sejně ak v období verifikace modelu (Validaion period) jsou průměrné charakerisiky při použií Brownova modelu lineárního exponenciálního vyrovnávání menší. ab..9a. Průměrné charakerisiky chyb předpovědí Model Comparison Daa variable: Obyv_SR Number of observaions = 74 Sar index = 94 Sampling inerval =.0 year(s) Number of periods wihheld for validaion: 6 Models (A) Brown's linear exp. smoohing wih alpha = 0,564 (B) Hol's linear exp. smoohing wih alpha = 0,9999 and bea = 0,046 Esimaion Period Model MSE MAE MAPE ME MPE RMSE (A),83385E9 3735,7 0, ,84 0, ,5 (B),9093E9 534,0 0, ,0 0, ,5 Validaion Period Model MSE MAE MAPE ME MPE (A) 3,7004E7 535,63 0, ,407 0, (B),836E8 56,9 0, ,9 0,33568 Analýzou reziduí Brownova modelu na obr..a a reziduí Holova modelu na obr..b konsaujeme, že nesysemaická složka není auokorelována. Saisicky významný koeficien auokorelace reziduí Brownova modelu ve zpoždění k = 3, lze považova za nahodilý jev. 0,6 0, -0, -0, Obr..a: Reziduální ACF Brownův model 60

61 0,6 0, -0, -0, Obr..b: ACF reziduí Holův model Vzhledem k výše uvedeným skuečnosem použijeme k předpovídání Brownův model. Před výpočem předpovědí je řeba ve SAGRAPHICSu ve vsupním panelu "vynulova" políčko Wihhold for Validaion, abychom mohli počía předpovědi na základě celé časové řady. Předpovědi poču obyvael Slovenska v leech 998 až 000 spolu s 95% inervaly spolehlivosi jsou v ab..9b. ab..9b: Předpovědi poču obyvael SR, Brownův model Forecas able for Obyv_SR Model: Brown's linear exp. smoohing wih alpha = 0,568 V = wihheld for validaion Lower 95,0% Upper 95,0% Period Forecas Limi Limi ,4063E6 5,36E6 5,48607E ,456E6 5,303E6 5,5479E ,43698E6 5,7057E6 5,60339E6..7 Cvičení. Pomocí klouzavých průměrů různých délek vyrovneje časovou řadu poču obyvael Slovenska (sřední sav) v mil. osob (Obyv_SR) od roku 94 do roku 997 a pozoruje vliv délky klouzavé čási na kvaliu vyrovnání časové řady.. Odhadněe pomocí klouzavých průměrů vhodné délky rend časové řady Obyv_SR v leech 960 až Pomocí koncových klouzavých průměrů určee předpovědi řady Obyv_SR na roky 998, 999 a Určee pomocí Holova exponenciálního vyrovnávání předpovědi řady Obyv_SR. Inerpreuje charakerisiky MSE, MAE, MAPE, MPE a ME. 5. Vyrovneje vhodnou rendovou funkcí časovou řadu Obyv_SR v leech 960 až 997. Odhadněe periodické-nesysemaické výkyvy formou podílu skuečných hodno a vyrovnaných hodno. 6

62 .3 Základní meody modelování sezónní složky, konsrukce předpovědí V krákodobých časových řadách měsíčních a čvrleních údajů se kromě rendové a nesysemaické složky časo vyskyuje aké sezónní složka, obvykle s měsíční nebo čvrlení periodiciou. V časových řadách denních údajů se může vyskyova různá periodicia, např. ýdenní (každých sedm dní), dekádní (každých dese dní) apod. Z grafického zobrazení časové řady není vždy jednoduché urči, zda řada obsahuje sezónnos a jaká je její periodicia. Pro ověření ěcho skuečnosí se využívá periodogram nebo auokorelační funkce. V následující čási uvedeme způsob idenifikace sezónnosi ve sacionárních časových řadách (řady bez rendu) a v nesacionárních časových řadách (v řadách s rendem)..3. Idenifikace sezónnosi Periodogram Analýza časové řady pomocí periodogramu znamená rozklad časové řady na sinusové vlny (cykly - periody) s různými frekvencemi. Hodnoy periodogramu časové řady y pro =,,..., jsou definované vzahem kde a j = = I ( ω j ) = ( a j + b j πj y sinω j, b j = y cosω j a ω j =, j =,,..., /. = Frekvence ω se udává v radiánech za uvažovanou jednoku času, kerou je časový inerval mezi dvěma sousedními pozorováními. Vysoké hodnoy periodogramu v jisé frekvenci ω j indikují příomnos periody (cyklu) určié délky. ), es sezónnosi pomocí auokorelační funkce V čási. jsme věnovali pozornos auokorelační funkci reziduí, přičemž jsme zdůraznili, že se využívá pro ověřování neauokorelovanosi nesysemaické složky modelů rendů. Její prakické použií je však širší a jak dále zjisíme, dá se používa aké pro ověřování sezónnosi v časových řadách. Nechť časová řada y pro =,,..., je sacionární a má sezónnos délky s sezón. Oázkou je, zda je sezónnos idenifikovaelná. Jsou-li časové řady dosaečně dlouhé, určujeme výběrovou auokorelační funkci na základě časově zpožděných řad y a y -k podle vzahu ( y y)( y k y) = k + r = ˆ k ρ k =,. ( y y) = 6

63 Na základě éo funkce zjišťujeme charaker auokorelace sochasického procesu. esovanou a alernaivní hypoézu formulujme ako H 0 : ρ k = 0 H : ρ k 0. esové kriérium U = r k má podle empirického pravidla přibližně normované normální rozdělení, akže na 5% hladině významnosi zamíáme nulovou hypoézu plaí-li, 96 r k > u0, 05 =, j. se spolehlivosí 95 % vrdíme, že v časové řadě exisuje auokorelace se zpožděním k období. Empirické pravidlo je vhodným esem sezónnosi určiého ypu pro délku s sezón za předpokladu, že esujeme koeficien auokorelace veličin y a y -s. Je-li uvedený korelační koeficien r k na 5% hladině významnosi saisicky významně odlišný od nuly vrdíme, že v řadě exisuje saisicky významná sezónnos s počem s sezón. Poznámka: Zjišťujeme-li pomocí auokorelační funkce saisickou významnos sezónnosi v časových řadách s rendem, musíme nejprve yo řady sacionarizova (viz Boxova-Jenkinsova meodologie)..3. Idenifikace sezónnosi ve SAGRAPHICSu Idenifikaci sezónní složky pomocí periodogramu a auokorelační funkce provádíme ve SAGRAPHICSu v proceduře Descripive Mehods Special ime-series Analysis Descripive Mehods. Po vyplnění vsupního panelu nejprve dáváme přednos analýze grafů, akže z nabídky vybereme položky Horizonal ime Sequence Plo, Periodogram a Auocorrelaion Funcion. Pořebujeme-li zná i hodnoy periodogramu nebo hodnoy koeficienů auokorelací, vybíráme z nabídky položky Auocorrelaions a Periodogram able. Příklad.8 Z příkladu.4 víme, že vývoj poču živě narozených děí v České republice (ZivNar_CR) v leech (obr..9) má klesající rend a výraznou cyklickou složku. Předpokládáme edy model y = + C + a. Odhadněe rend řady lineární funkcí a určee řadu očišěnou od lineárního rendu, kerá bude obsahova cyklickonesysemaickou složku. Periodogramem najděe cykly a zjisěe jejich délku. 63

64 Odhad lineárního rendu poču živě narozených děí je na obr..3 a má var: ZivNar_CR = 7684,0-463,69 pro =,,..., 80. (X 0000) Obr..3: Lineární rend poču živě narozených děí v ČR v leech Graf reziduí, j. řada cyklicko-nesysemaických výkyvů je na obr..3a. (X 0000) 5,9 3,9,9-0, -, -4, Obr..3a: Cyklicko-nesysemaické výkyvy kolem lineárního rendu poču živě narozených děí Periodogram časové řady očišěné od lineárního rendu je na obr..3b. (X,E9) , 0, 0,3 0,4 0,5 Obr..3b: Periodogram řady reziduí (řada očišěná od lineárního rendu) V periodogramu vidíme ři vrcholy, je proo možné očekáva ři cykly s různou délkou. Z grafu se frekvence jednolivých vrcholů nedají přesně zjisi, proo použijeme hodnoy periodogramu (ab..0). 64

65 Maximální hodnoa je ve frekvenci 0,0375, což signalizuje příomnos periody délky asi 7 le (viz sloupec Period). V řadě se dále vyskyuje druhý vrchol s frekvencí 0,065, což odpovídá délce cyklu 6 le, frekvence řeího vrcholu je 0,0875 odpovídající délce cyklu až le. ab..0. Hodnoy periodogramu reziduí lineárního rendu živě narozených děí Periodogram for residuals Daa variable: ZivNar_CR Model: Linear rend = 3,0365E6 463,69 Cumulaive Inegraed Frequency Period Ordinae Sum Periodogram ,0,38078E-9,38078E-9 3,7333E-30 0,05 80,0,7694E9,7694E9 0, ,05 40,0 7,738E9 9,494E9 0,5663 0,0375 6,67,566E0,5067E0 0, ,05 0,0,4387E9,65396E0 0,7738 0,065 6,0 3,985E9 3,0464E0 0,8346 0,075 3,333 7,50556E8 3,3E0 0, ,0875,486,4309E9 3,3636E0 0,9090 0, 0,0 9,5049E8 3,45865E0 0, ,5 8, ,56656E8 3,5443E0 0, ,5 8,0,04994E8 3,5648E0 0, ,375 7,773,069E8 3,58689E0 0, ,5 6,66667,39833E7 3,5898E0 0, ,65 6,5385,35965E8 3,6088E0 0, ,75 5,749,0837E8 3,637E0 0, ,875 5, ,8676E7 3,609E0 0, , 5,0,E7 3,63E0 0, ,5 4,70588,4034E8 3,6345E0 0,9843 0,5 4,44444,59387E8 3,65046E0 0, ,375 4,053,9755E7 3,6538E0 0, ,5 4,0,0753E7 3,6544E0 0, ,65 3,8095 7,3596E7 3,6676E0 0, ,75 3, ,04434E7 3,6648E0 0, ,875 3,4786 4,59577E6 3,6657E0 0, ,3 3, ,86E7 3,67039E0 0,997 0,35 3, 5,7675E6 3,67097E0 0,9983 0,35 3,0769 6,5444E7 3,6775E0 0, ,3375,9696,94333E7 3,67946E0 0, ,35,8574,69775E6 3,67973E0 0, ,365,7586 4,5049E6 3,6805E0 0, ,375,66667,36008E7 3,685E0 0, ,3875, ,3736E6 3,685E0 0, ,4,5 6,66383E7 3,6889E0 0, ,45,444 4,74743E7 3,69366E0 0, ,45,3594,60738E6 3,6939E0 0, ,4375,857,0066E7 3,69493E0 0, ,45,,896E6 3,69505E0 0, ,465,66 4,6399E6 3,6955E0 0, ,475,056,576E6 3,69567E0 0, ,4875,058 3,0075E7 3,69868E0 0, ,5,0 8,35437E6 3,6995E0,0.3.3 Sezónní dekompozice, určení sezónních indexů Je-li v časové řadě idenifikována sezónnos, je řeba ji modelova. Nejsarší meodou odhadu sezónních výkyvů je meoda dekompozice. Odhad jednolivých složek se provádí posupně, pro každou složku zvlášť. rend se odhaduje jednoduchými klouzavými průměry, je-li délka sezónnosi liché číslo, např. s = 7 dní, nebo váženými (cenrovanými) klouzavými průměry, je-li délka sezónnosi sudé číslo, např. s = nebo 4. Sezónní složka se odhaduje pomocí sezónních průměrů (adiivní model) nebo pomocí sezónních indexů (muliplikaivní model). Sezónní průměry inerpreujeme ve sejných měrných jednokách 65

66 jako původní časovou řadu, sezónní indexy se inerpreují v procenech. Sezónní dekompozice se využívá především na získání odhadů sezónních výkyvů a sezónně očišěné časové řady..3.4 Sezónní dekompozice ve SAGRAPHICSu Meodu sezónní dekompozice najdeme v proceduře Seasonal Decomposiion Special ime-series Analysis Seasonal Decomposiion. Ve vsupním panelu Seasonal Decomposiion specifikujeme základní vlasnosi časové řady. K idenifikaci jednolivých složek získaných ze sezónní dekompozice slouží nabídky výpočeních meod ( ) a grafů ( ). - rend-cyklická složka (klouz. prům.) - Sezónní indexy (průměry) - Reziduální složka - Sezónně očišěná časová řada - Graf řady uspořádaný podle sezón - Graf řady uspořádaný podle le Obr..4a: Nabídka grafů sezónní dekompozice - Informace o časové řadě - Rozklad časové řady na složky - Sezónní indexy Obr..4b: Nabídka výpočeních meod sezónní dekompozice 66

67 Příklad.9 Je dána měsíční časová řada poču odregisrovaných uchazečů o zaměsnání na Slovensku (NezOdr_SR) od ledna 993 do prosince 999 v is. osob. Vývoj ohoo ukazaele je na obr..5. Sezónní dekompozicí odhadněe jednolivé složky časové řady a určee sezónně očišěnou časovou řadu. (X 000) Obr..5: Poče odregisrovaných uchazečů o zaměsnání na Slovensku /993-/000 Z obr..5 vidíme, že variabilia hodno v časové řadě v čase rose, proo použijeme muliplikaivní model y = C. S. I. rend je díky sezónnosi nejasný, může bý nejprve mírně rosoucí (do roku 996) a poé spíše klesající. Výsledky muliplikaivní sezónní dekompozice jsou v ab..a a vyžadují komenář. Ve sloupci rend Cycle jsou cenrované klouzavé průměry, keré jsou určeny podle vzahu CKP = ( 4 y 6 + y + y y + y y + y y + y y ab..a. Výsledky muliplikaivní sezónní dekompozice + y y + y ) = 7, 8,..., 6. Seasonal decomposiion mehod: Muliplicaive Seasonally Period Daa rend-cycle Seasonaliy Irregular Adjused / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

68 Cenrované klouzavé průměry vyjadřují odhad rendové-cyklické složky a její grafické vyjádření je na obr..5a. (X 0000) 5,3 4,3 3,3,3, Obr..5a: rendová-cyklická složka V ab..a, ve sloupci Seasonaliy, jsou uvedeny odhady sezónní nesysemaické složky v procenech, keré získáme jako podíl hodno časové řady a cenrovaných klouzavých průměrů, j. Např. pro = 0, j. pro říjen roku 993 y S I =. 00 %, = 7, 8,..., 6. CKP (800/560,3).00 % = 09,369 %. Poznámka: Odhad sezónních výkyvů, j. sezónní indexy, určujeme dodaečně a o průměrováním hodno ze sloupce Seasonaliy za sejné sezóny. Průměrné sezónní indexy z výsupu SAGRAPHICSu jsou v ab..b a jejich graf na obr..5b. ab..b. Sezónní indexy ( Sˆ ) Seasonal Indices for NezOdr_SR Seasonal decomposiion mehod: Muliplicaive Season Index

69 Obr..5b: Sezónní indexy ( Ŝ ) Z ab..b a obr..5b vidíme, že každoročně nejvyšší poče odregisrovaných je v dubnu (začáek sezónních prací) a v září (násup sudenů do škol). Nejmenší poče odregisrovaných je v prosinci (důsledek zimního období a úlumu sezónních prací). V ab..a, ve sloupci Irregular, jsou uvedena rezidua, j. odhady nesysemaické složky v procenech, keré získáme jako podíl hodno časové řady a součinu cenrovaných klouzavých průměrů a sezónních indexů, j. Iˆ y CKP Sˆ Např. pro = 0, j. pro říjen roku 993 plaí =. 00 %, = 7, 8,..., 6. (800/(560,3*,696)).00 % = (800/9934,0).00 % = 93,508 %. ao rezidua jsou zachycena na obr..5c Obr..5c: Rezidua ( Î ) Nakonec v ab..a, ve sloupci Seasonally Adjused se nacházejí hodnoy sezónně očišěné časové řady, keré získáme jako podíly hodno časové řady a příslušných sezónních indexů y SAy =. Sˆ ao sezónně očišěná časová řada je zachycena na obr..5d a lze ji chápa jako odhad rendové-nesysemaické složky. 69

70 (X 000) Obr..5d: Sezónně očišěná časová řada.3.5 Předpovídání časových řad po sezónní dekompozici Odhad rendu cenrovanými klouzavými průměry považujeme za předběžný odhad, kerý není vhodný pro předpovídání. Řada klouzavých průměrů je kraší o s/ prvních a s/ posledních hodno, a bylo by řeba ješě předpovída poslední hodnoy časové řady, keré jsou ve skuečnosi známé. rendovou složku původní řady proo předpovídáme ze sezónně očišěné řady. Na jejím základě zvolíme vhodný model rendu (vhodnou funkci času nebo model exponenciálního vyrovnávání) a odhadneme jeho paramery. Jeho prosřednicvím poom určíme předpovědi rendu v horizonech h =,,.... Předpovědi původní časové řady se nakonec vypočíají ak, že se předpovědi rendu vynásobí sezónními indexy (vydělenými sem), nebo se k předpovědím rendu přičou sezónní průměry, podle oho, jaký model jsme v sezónní dekompozici zvolili. Příklad.0 Určee předpovědi poču odregisrovaných uchazečů o zaměsnání na Slovensku na měsíce leden až březen roku 000 za předpokladu, že využijee výsledky sezónní dekompozice z příkladu.9. Hodnoy sezónně očišěné časové řady jsou v příloze (SA_NezOdr_SR). Z obr..5d je zřejmé, že jako model rendu éo sezónně očišěné časové řady lze zvoli nelineární rendovou funkci (polynom vyššího řádu) nebo exponenciální vyrovnávání. Pokud si uvědomíme, že časovou řadu můžeme rozděli na lokální úseky s konsanní úrovní, jejíž hodnoy se mění v čase, nebo na lokální úseky s lineárním rendem, poom vhodné modely vyrovnávání a předpovídání mohou bý jednoduché Brownovo exponenciální vyrovnávání nebo Holův model lineárního rendu. V proceduře Forecasing v doplňkovém panelu Model Specificaion Opions zvolíme jako model A jednoduché exponenciální vyrovnávání (Simple Exp. Smoohing), keré aplikujeme na sezónně očišěnou časovou řadu. Sejně určíme výsledky podle modelu B, kde uplaníme Holův model exponenciálního vyrovnávání (Hol s Linear Exp. Smoohing). Dále vybereme z Model Comparisons a porovnáme kvaliu výsledků vyrovnávání oběma modely na základě průměrných měr přesnosi. 70

71 ab..a. Výsledky exponenciálního vyrovnávání sezónně očišěné řady Model Comparison Daa variable: SA_NezOdr_SR Number of observaions = 84 Sar index = /93 Sampling inerval =.0 monh(s) Models (A) Simple exponenial smoohing wih alpha = (B) Hol's linear exp. smoohing wih alpha = 0.35 and bea = Esimaion Period Model MSE MAE MAPE ME MPE (A),07965E7 455,45 8,549 4,9360-0,840 (B),04E7 5,3 8, ,8947-0,59648 Podle ab..a jsou průměrné charakerisiky chyb předpovědí pro h = měsíc dopředu o něco příznivější pro jednoduché exponenciální vyrovnávání, než pro Holovo lineární exponenciální vyrovnávání. Jako prognosický model proo volíme jednoduché exponenciální vyrovnávání. Podle míry MAPE lze očekáva, že exrapolace určíme asi s 8,5% chybou. Kromě oho, z kladné a vysoké hodnoy ME = 4,936 usuzujeme, že vyrovnané hodnoy rendu modelem A budou podhodnocené, a edy i výsledné předpovědi sezónně očišěné řady budou pravděpodobně podhodnocené. Výsledky předpovědí sezónně očišěné časové řady modelem A spolu se sezónními indexy, předpověďmi, skuečnými hodnoami a chybami předpovědí na leden až březen Ŝ j roku 000 jsou v ab..b. Předpovědi původní časové řady určíme jako součin předpovědí sezónně očišěné řady a sezónních indexů. ab..b. Předpovědi časové řady - Simple Exp. Smoohing Měsíc Předpovědi sez. očišť. č. ř. Sezónní indexy Předpověď pův. č. ř. Původní č. ř. Chyba Leden 8359,4 0, , , Únor 8359,4 0, , , Březen 8359,4 0, , ,8 Podle posledního sloupce ab..b vidíme, že předpovědi jsou skuečně podhodnocené, přibližně s MAPE = 5% chybou..3.6 Regresní meoda modelování sezónnosi V čási.3.4 jsme pro předpovídání sezónní časové řady použili kombinaci dvou echnik: sezónní dekompozice a modelů rendu. Předpověď původní řady jsme poom vypočíali jako součin (nebo souče) předpovědí rendu sezónně očišěné řady a sezónního výkyvu. Pro konsrukci předpovědí sezónní časové řady je možné využí aké regresní model s umělými proměnnými, ve kerém odhadneme paramery rendu a sezónnosi současně. Předpokládejme adiivní model časové řady y = + S + a, ve kerém a jsou náhodné veličiny vořící řadu ypu bílého šumu. 7

72 rendovou složku modelujeme vhodnou funkcí času, např. přímkou, parabolou, hyperbolou. Sezónní složku S vyjadřujeme pomocí umělých (nula jedničkových) proměnných ("dummy variables"), keré přiřazují hodnoě časové řady jedničku, nachází-li se v uvažované sezóně a nulu jinak. Jde-li o dvanáciměsíční sezónnos, lze použí dvanác umělých proměnných D j, pro j =,,...,, keré mají následující hodnoy: D = (, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) pro lednové hodnoy řady, D = (0,, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) pro únorové hodnoy řady, D 3 = (0, 0,, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) pro březnové hodnoy řady,... D =(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ) pro prosincové hodnoy řady. V případě čvrlení sezónnosi lze použí čyři proměnné, D j j =,,..., 4, keré mají následující hodnoy: D = (, 0, 0, 0), D = (0,, 0, 0), D 3 = (0, 0,, 0), D 4 = (0, 0, 0, ). Poznámka:. V případě příomnosi volného parameru (konsany) v modelu rendu je poče umělých proměnných v regresním modelu se sezónnosí délky s sezón maximálně s, aby se zabránilo mulikolineariě.. Ověřování vhodnosi regresního modelu je analogické jako v kerémkoli regresním modelu. Důležié je zejména esování auokorelace a heeroskedasiciy nesysemaické složky. 3. Předpovídání časové řady pomocí regresního modelu vyžaduje zvoli hodnoy časové proměnné v horizonech h > 0 a pro sezónní proměnné dosadi jedničky příslušných sezón v horizonu h. Příklad. Jsou dány měsíční hodnoy poču regisrovaných nezaměsnaných absolvenů gymnázií na Slovensku (NezGym_SR) od ledna 993 do prosince 996. Graficky analyzuje vývoj éo časové řady v leech 993 až 995. Zvole vhodný regresní model a oesuje jeho kvaliu. Určee předpovědi na rok 996 a porovneje je se skuečnosí. Časovou řadu poču regisrovaných nezaměsnaných absolvenů gymnázií na Slovensku od ledna 993 do prosince 995 obsahuje obr Obr..6: Vývoj poču nezaměsnaných absolvenův gymnázií v SR v leech

73 Z grafu je zřejmé, že časová řada má v uvedeném úseku rosoucí, přibližně lineární rend a dvanáciměsíční sezónnos. Navrhovaný regresní model řady má var: y = β 0 + β + β D + β 3 D 3 + β 4 D β D + a. Odhad paramerů modelu je v ab..3a). ab..3a) Odhad regresního modelu pro zkrácenou řadu NezGym_SR Muliple Regression Analysis Dependen variable: ake(nezgym_sr,36) Sandard Parameer Esimae Error Saisic P-Value CONSAN 384,6 86,95 38,043 0,0000,36,3744 8, ,0000 D -,903 3,854 -, ,96 D3-53,47 3,98 -,347 0,9 D4-35,708 4,05-3, ,005 D5-49,944 4,4-4,356 0,0003 D6 66,58 4,445 0, ,5689 D7 660,5 4,75 5, ,0000 D8 956,347 5,033 8,3365 0,0000 D9 93,444 5,399 8,0804 0,0000 D0 769,08 5,83 6,648 0,0000 D 45,639 6,73 3,8848 0,0007 D 69,403 6,78,4506 0,604 -es indikuje, že paramery lineárního rendu a sezónní výkyvy v dubnu, kvěnu, červenci, srpnu, září, říjnu a lisopadu jsou saisicky významné na 5% hladině významnosi. Naopak sezónní výkyvy v únoru, březnu, červnu a prosinci nejsou na 5% hladině významnosi saisicky významné. Poznámka: Nevýhodou regresního modelu s umělými proměnnými je, že přímo nepoznáme konkréní hodnoy sezónních výkyvů (sezónní průměry pro jednolivé měsíce). Lze je dopočía následujícím způsobem.. Určíme souče odhadů všech sezónních regresních paramerů a vydělíme je počem sezón. Je-li poče sezón ˆ β ˆ ˆ... ˆ + β 3 + β β s ˆ =. Záporná hodnoa průměru sezónních regresních paramerů je odhadem průměrného sezónního výkyvu v lednu, j. s ˆ = sˆ. V našem příkladu je ŝ = 40,368, což inerpreujeme ak, že se každoročně v lednu průměrný poče regisrovaných absolvenů gymnázií snižoval oproi rendu o 4 osob.. Průměrné sezónní výkyvy osaních sezón j =, 3,..., určíme vzahem s = ˆ β sˆ, j j. ŝ = -363,7, = -393,840, = -59,076, ŝ = -733,3, 6 j ŝ3 ŝ4 5 ŝ7 ŝ8 ŝ9 ŝ ŝ ŝ = -74,5, = 49,88, = 75,979, = 69,076, ŝ = 58,840, =,7, = -70,

74 3. V omo případě musíme upravi aké konsanní člen modelu a o ak, že k jeho původnímu odhadu připočíáme průměr sezónních regresních koeficienů. Odhad rendu poom má var ˆ ˆ ˆ) ˆ = ( β 0 + s + β = 354,68 +,36. Sejným způsobem posupujeme, pro čvrlení údaje. Pro posouzení kvaliy odhadu regresního modelu využijeme výsup analýzy rozpylu v ab..3b). ab..3b. Analýza rozpylu odhadu lineárního rendu s umělými proměnnými Analysis of Variance Source Sum of Squares Df Mean Square F-Raio P-Value Model,678E ,0 49,8 0,0000 Residual 4470, , oal (Corr.).0648E7 35 R-squared = 96,948 percen R-squared (adjused for d.f.) = 94,367 percen Sandard Error of Es. = 39,4 Mean absolue error = 96,074 Durbin-Wason saisic = 0,53636 Z hodnoy indexu deerminace R-squared = 96,948 % usuzujeme, že model vysvělil variabiliu poču refisrovaných nezaměsnaných z 96,948 %. Proože Durbinova-Wasonova saisika DW = 0,53636 < vrdíme, že DW es prokázal na 5% hladině významnosi hypoézu, že nesysemaická složka modelu je auokorelovaná. O auokorelaci nesysemaické složky se přesvědčíme aké graficky z obr..6a a z auokorelační funkce reziduí na obr..6b.,7,7 0,7-0,3 -,3 -, Obr..6a: Rezidua regresního modelu 40 0,6 0, -0, -0, Obr..6b: ACF reziduí regresního modelu 5 74

75 Z obr..6b je zřejmé, že auokorelační koeficien ve zpoždění měsíc je saisicky významný na 5% hladině významnosi. Z oho vyplývá, že odhadnuý model není kvaliní a musíme jej změni. Regresní modely odhadujeme ve SAGRAPHICSu v proceduře Relae Muliple Regression. Vsupní panel vyplníme při použií daového souboru Daa.sf3 následujícím způsobem. Časová řada NezGym_SR má v období od ledna 993 do prosince hodno. Abychom brali v úvahu jen hodnoy v leech zkráíme původní časovou řadu pomocí příslušného operáoru ak, že do prvního řádku vsupního panelu vícenásobné regresní analýzy (Dependen Variable:) vložíme AKE(NezGym_SR;36) což znamená, že se z původní časové řady vybere pouze prvních 36 hodno. Dále připravíme časovou proměnnou a jednolivé sezónní umělé proměnné D až D (proměnnou D vynecháme), keré obsahují 48 hodno (sejně jako původní časová řada), aby je bylo možné použí pro konsrukci předpovědí na rok 996. Hodnoy ěcho proměnných lze vypsa buď z klávesnice do abulkového edioru SAGRAPHICSu nebo vygenerova pomocí operáorů v panelu Generae Daa, kde do příkazového řádku Expression: zadáváme pro časovou proměnnou, obsahující hodnoy od do 48 COUN(;48;) a pro každou z sezónních umělých proměnných, obsahující v j-é sezóně, v osaních 0 D D 3 D 4... D RESHAPE(AKE(ROWS(;););48) RESHAPE(AKE(ROWS(3;3););48) RESHAPE(AKE(ROWS(4;4););48) RESHAPE(AKE(ROWS(;););48) (seznam použiých operáorů viz Příloha). Všechny ako připravené proměnné vložíme do oblasi Independen Variables: ve vsupním panelu pod sebe (obr..6c). 75

76 Obr..6c: Vyplnění vsupního panelu vícenásobné regresní analýzy Výsledky získáme ihned po vyplnění vsupního panelu. Graf reziduí (obr..6a) zobrazíme pomocí volbou Residuals versus Row Number. Pro graf auokorelační funkce (obr..6b) si nejprve uložíme rezidua do abulkového edioru SAGRAPHICSu výběrem Residuals z nabídky a ao rezidua poom vložíme do vsupního panelu procedury pro popis časových řad Descripive Mehods, kde z vybereme Auocorrelaion Funcion. Příklad. Pokračuje v analýze předchozího příkladu a pokuse se nají nový, vhodnější model. Auokorelaci reziduí se pokusíme odsrani ak, že rend časové řady odsraníme pomocí prvních diferencí. Graf meziměsíčních přírůsků (úbyků) poču regisrovaných nezaměsnaných absolvenů gymnázií je na obr Obr..7: První diference řady NezGym_SR v období

77 Z obr..7 vidíme, že řada prvních diferencí má přibližně konsanní úroveň a sezónnos. Nový regresní model má var y = β 0 + β D + β 3 D 3 + β 4 D β D + a. Výsledky odhadu paramerů modelu jsou v ab..4a. ab..4a. Odhad paramerů modelu pro diferencovanou řadu Muliple Regression Analysis Dependen variable: ake(diff(nezgym_sr);36) Sandard Parameer Esimae Error Saisic P-Value CONSAN 40,0 7,34,9634 0,068 D 38,3333 9,066 0,4637 0,680 D3 30,667 9,066,497 0,69 D4 37,00 9,066 0,4088 0,695 D5 0,00 9,066 0,73 0,899 D6 70,333 9,066 7,8408 0,0000 D7 755,333 9,066 8,044 0,0000 D8 457,333 9,066 4, ,000 D9 37,333 9,066,4968 0,494 D0,00 9,066 0,07 0,989 D 56,33 9,066, ,030 D,0 9,066,347 0,07 ab..4b. Analýza rozpylu modelu pro diferencovanou řadu Analysis of Variance Source Sum of Squares Df Mean Square F-Raio P-Value Model 3,5968E6 8744,0 8,4 0,0000 Residual 33943,0 3 07, oal (Corr.) 3,3936E6 34 R-squared = 93,064 percen R-squared (adjused for d.f.) = 89,8095 percen Sandard Error of Es. = 00,853 Mean absolue error = 63,969 Durbin-Wason saisic =,5688 Koeficien deerminace modelu (R-squared) je 93,064 %. Hodnoa Durbinovy- Wasonovy saisiky (Durbin-Wason saisic),5688 signalizuje, že model nemá auokorelovanou nesysemaickou složku, což povrzuje i auokorelační funkce reziduí (obr..7b). Dále lze z obr..7a lze konsaova, že nesysemaická složka modelu je homoskedasická. 4,6,6 0,6 -,4-3, Obr..7a: Rezidua regresního modelu pro diferencovanou řadu 40 77

78 0,6 0, -0, -0, Obr..7b: ACF reziduí regresního modelu pro diferencovanou řadu Z výše uvedených výsledků vyplývá, že druhý model je možné použí pro výpoče exrapolací meziměsíčních změn poču regisrovaných nezaměsnaných absolvenů gymnázií, jakož i absoluního poču regisrovaných nezaměsnaných absolvenů gymnázií na Slovensku v roce 996. Odhad modelu má var y = 40,0 + 38,3333D + 30,667D 3 37,0D 4 + 0,0D ,333D ,333D ,333D ,333D 9,0D 0 56,333D,0D Exrapolace přírůsků (úbyků) nezaměsnaných absolvenů gymnázií na jednolivé měsíce roku 996 a jejich 95% inervaly spolehlivosi jsou v ab..4c). ab.4c. Exrapolace na rok 996 pro diferencovanou řadu Regression Resuls for ake(diff(nezgym_sr);36) Fied Lower 95.0% CL Upper 95.0% CL Row Value for Forecas for Forecas ,00 395,5 5,5 38 0,667 34,574 39, , ,40 3, ,00 47,907 63, ,00 360,907 0, , ,46 8, , ,46 856, ,333 76,46 558,40 45, ,574 38, ,00 38,907 98, , ,40 55, ,00 50,907 0,099 Exrapolované hodnoy původní časové řady (poču nezaměsnaných absolvenů gymnázií) na první ři měsíce roku 996 získáme jako ˆ37 36 = y = 40 + y = osob, y = 0,667 + yˆ = 0, ,333, ˆ38 37 = y = 9,333 + yˆ = 9, , osob, ad. ˆ39 38 = Porovnáme-li exrapolace na leden až březen roku 996 se skuečnými hodnoami zjisíme, že poče evidovaných absolvenů gymnázií v lednu roku 996 byl 373 osob, v únoru 3590 osob a v březnu 3473 osob. V prvním čvrleí 996 edy model podhodnocoval skuečnos. 78

79 Časovou řadu z předchozího příkladu budeme kromě zkracování ješě diferencova, akže do prvního řádku vsupního panelu (Dependen Variable:) vložíme AKE(DIFF(NezGym_SR);36) což znamená, že se z diferencované časové řady vybere pouze prvních 36 hodno. Hodnoy umělých proměnných se nemění a časovou proměnnou nepoužijeme. Grafy reziduí a reziduální auokorelační funkce zobrazíme sejně jako v minulém příkladu. Pro získání předpovědí vybereme Repors z nabídky..3.7 Holovo - Winersovo exponenciální vyrovnávání Winers v roce 960 rozšířil Holovo exponenciální vyrovnávání s lineárním rendem o adiivní a muliplikaivní sezónnos. Při použií Holova-Winersova exponenciálního vyrovnávání předpokládáme, že v úseku =,,..., lze časovou řadu rozloži na lokální lineární rendy s konsanní nebo muliplikaivní sezónnosí ve varu nebo y = (β 0 + β ) + S + a y = (β 0 + β ). S. a, kde β 0 je paramer úrovně lineárního rendu, β je paramer směrnice lineárního rendu, je časová proměnná, S je sezónní průměr nebo sezónní index v čase, přičemž musí plai s S j j=. pro sezónní průměry = 0,. pro sezónní indexy S s, s j= j = a je nesysemaická složka ypu bílého šumu. Rekurenní vzahy exponenciálního vyrovnávání lineárního rendu a muliplikaivní sezónnosi získáme ak, že k rovnicím (.74) přidáme vzah pro adapivní vyrovnávání sezónních indexů s vyrovnávací konsanou γ <0, >. Holovo Winersovo exponenciální vyrovnávání je dané rekurenními vzahy: Uˆ = α( y / Sˆ ) + ( α)( Uˆ + ˆ ) ˆ = β ( Uˆ Sˆ = γ ( y s Uˆ ) + ( β ) ˆ / Uˆ ) + ( γ ) Sˆ s, (.80) kde Uˆ je odhad úrovně lineárního rendu v čase, ˆ odhad směrnice lineárního rendu v čase, y hodnoa časové řady v čase, Uˆ odhad úrovně lineárního rendu v čase -, ˆ odhad směrnice lineárního rendu v čase -, Sˆ s odhad sezónního výkyvu v čase - s, s poče sezón v roce, α <0, > je vyrovnávací konsana úrovně lineárního rendu, β <0, > je vyrovnávací konsana směrnice lineárního rendu, γ <0, > je vyrovnávací konsana sezónních výkyvů. 79

80 Z první rovnice vzahu (.80) se odhad úrovně lineárního rendu v čase získá jako vážený arimeický průměr sezónně očišěné hodnoy ( y / Sˆ s ) a exrapolované úrovně řady v čase -. Vidíme, že dříve než známe hodnou y, určujeme hodnou lineárního rendu v čase - součem Uˆ + ˆ. Proože nové pozorování y obsahuje sezónnos, odsraníme ji vydělením hodnoy y hodnoou Sˆ s, j. posledním dosupným odhadem sezónního výkyvu. Odhad směrnice lineárního rendu v čase je váženým arimeickým průměrem změny úrovně lineárního rendu v čase oproi času - a odhadu směrnice lineárního rendu v čase -. Odhad sezónního výkyvu v čase určíme jako vážený arimeický průměr nového pozorování y očišěného od odhadu úrovně lineárního rendu v čase a posledního odhadnuého sezónního výkyvu. Bodová předpověď a její chyba Bodovou předpověď určiého ukazaele určíme v čase na období + h pro muliplikaivní model sezónnosi vzahem yˆ ( h) = ( Uˆ + hˆ ) Sˆ. (.8) + h s Exponenciální vyrovnávání používáme obyčejně od začáku časové řady a určujeme bodové předpovědi na jedno období dopředu (h = ), j. v čase - na čas, což zapisujeme pro muliplikaivní model vzahem y () = ( Uˆ ˆ ) Sˆ, (.8) ˆ + a chybu předpovědi s horizonem h = definujeme a = y yˆ () = y ( Uˆ ˆ ) Sˆ s ˆ + s. (.83) Inerval spolehlivosi předpovědí Podle Bowermana a O Connella (979) 00( - α/)% předpovědní inerval spolehlivosi pro y +h určíme vzahem yˆ / h ( h) ± u α d MAE, (.84) kde yˆ ( h) je bodová předpověď určená v čase s horizonem h, u-α/ je ( - α/)% kvanil normovaného normálního rozdělení N(0,), λ + (( + 4ν + 5ν ) + λ( + 3ν ) h + λ h ) 3 ( + ν ) d h =,5, λ = max(α, β, α, β, γ) a ν = - λ, λ + (( + 4ν + 5ν ) + λ( + 3ν ) + λ ) 3 ( + ν ) MAE = = y / Sˆ s ( U + ) ˆ ˆ. 80

81 Hodnou MAE je možné s každou novou informací (novým pozorováním) obnovova podle vzahu MAE Sˆ + Uˆ ˆ MAE + y + / s+ + =. Volba vyrovnávacích konsan Za nejvhodnější kombinaci vyrovnávacích konsan α, β a γ považujeme akovou kombinaci, pro kerou je rozpyl chyb předpovědí a ˆ ˆ = y y () pro =,,..., nejmenší. Saisické sofwarové produky pracující pod Windows (SAGRAPHICS Plus, SPSS, SAS apod.) nabízí nejvhodnější kombinaci konsan auomaicky. Poznámka : Rekurenní vzahy (.80) pro lineární proces s adiivní sezónnosí lze zapsa analogicky jako pro muliplikaivní sezónnos. yo vzahy se změní ak, že sezónně očišěnou hodnou řady určíme rozdílem ( y ˆ S s ), hodnou časové řady očišěnou od rendu určíme rozdílem ( y ˆ ). Podobně ve vzazích (.8) a (.83) se násobení změní na souče a U dělení na rozdíl. Poznámka : V nabídce SAGRAPHICSu Plus lze použí Holovo - Winersovo exponenciální vyrovnávání pouze pro muliplikaivní model..3.8 Winersovo exponenciální vyrovnávání ve SAGRAPHICSu V čási..6 jsme uvedli jak používa exponenciální vyrovnávání ve SAGRAPHICSu a proo se zde o prakické sránce éo meody nebudeme zmiňova. Poznamenáme pouze, že v procedurách SAGRAPHICSu se meoda nachází v proceduře Winer's Exp. Smoohing ("Winersovo exponenciální vyrovnávání"). Příklad.3 Analyzuje měsíční údaje o poču nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání na Slovensku v leech 994 až 999 (NezNov_SR). Pomocí Winersova modelu určee předpovědi s horizonem jeden měsíc od ledna 994 do prosince 999. Vyhodnoťe přesnos meody na základě charakerisik chyb předpovědí MSE, MAE, MAPE, ME a MPE v období analýzy (leden 994 až prosinec 999). Určee předpovědi na prvních sedm měsíců roku 000. Ověře přesnos předpovědí v roce 000 pomocí relaivní míry přesnosi MAPE. 8

82 Z grafu (obr..8) vidíme, že vývoj časové řady má rosoucí přibližně lineární rend a výraznou sezónnos Obr..8: Nově regisrovaní uchazeči o zaměsnání na Slovensku od ledna 994 do července 000 v is. osob Charakerisiky chyb předpovědí Winersova exponenciálního vyrovnávání v období od ledna 994 do prosince 999 jsou v ab..5a. Z MAPE vyplývá, že předpovědi v období leden až prosinec 000 lze urči s chybou asi 7 %. ab..5a: Průměrné charakerisiky chyb předpovědí v čase od ledna 94 do prosince 999 Daa variable: NezNov_SR = 7 Sar index = /94 Sampling inerval =.0 monh(s) Lengh of seasonaliy = Forecas Summary Forecas model seleced: Winer's exp. smoohing wih alpha = 0.069, bea = 0.000, gamma = 0.58 Number of forecass generaed: Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Period: MSE,5935E7 MAE 444,05 MAPE 7,08084 ME -345,486 MPE -,8334 Vhodnos Winersova modelu ověříme pomocí auokorelační funkce chyb předpovědí s horizonem jeden měsíc (obr..8a). 0,6 0, -0, -0, Obr..8a: Auokorelační funkce chyb předpovědí 0 8

83 Z obr..8a plyne, že lze mí pochybnosi o kvaliě reziduí (o kvaliě chyb předpovědí) Winersova modelu, neboť eno model pravděpodobně úplně nevysihl sezónnos (. koeficien auokorelace je saisicky významný). Obr..8b obsahuje hodnoy nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání v období leden 994 až prosinec 999 a předpovědi na období leden 000 až červenec 000 spolu s 95% inervaly spolehlivosi. 7 (X 0000) Obr..8b Poče nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání s předpověďmi V ab.5b jsou uvedeny předpovědi na prvních sedm měsíců roku 000 s 95% inervaly spolehlivosi. abulka dále obsahuje původní hodnoy časové řady a procenuální absoluní chyby předpovědí. Průměrná absoluní procenuální chyba předpovědí MAPE v roce 000 je 5,68 %. Průměrná absoluní procenuální chyba předpovědí v analyzovaném období (v leech 994 až 999) je 7,08 % (viz ab..5a). Chyba předpovědí se v roce 000 se zdvojnásobila. ab..5b. Bodové a inervalové předpovědi "ex ane" Lower 95.0% Upper 95.0% Period Forecas Limi Limi Skuečnos APE (%) / , 4545,8 6399,5 4673,0 8, / ,0 485, , 6337,0 6,34 3/ , 4000, 3699,0 67,0 6,08 4/ ,8 55, ,7 6356,0 5,8 5/ ,0 476, 4557, ,0,0 6/ 0 499,6 3545, ,4 4554,0 9,66 7/ , ,4 656,5 486,0 8, Cvičení. Pomocí auokorelační funkce oesuje sezónnos časové řady poču nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání na Slovensku (NezNov_SR).. Určee sezónní indexy časové řady poču nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání na Slovensku (NezNov_SR). Vypočíeje hodnoy sezónně očišěné časové řady a modeluje její vývoj vhodnou rendovou funkcí. Určee předpovědi éo časové řady na leden až červenec

84 3. Odhadněe paramery regresního modelu s umělými sezónními proměnnými pro časovou řadu poču nově regisrovaných uchazečů o zaměsnání na Slovensku (NezNov_SR). Vypočíeje předpovědi na leden až červenec Pomocí charakerisik MSE, MAE, MAPE, MPE a ME vyhodnoťe přesnos předpovědí z příkladů a Na základě Winersova modelu exponenciálního vyrovnávání určee předpovědi čvrlení časové řady HDP_c_CR zkrácené o jeden rok zezadu. Inerpreuje charakerisiky MSE, MPE, MAE, MAPE, ME v období "Esimaion period" a v období "Validaion period". 84

85 3 BOXOVA-JENKINSOVA MEODOLOGIE 3. Sochasický proces, sacionaria a auokorelační srukura Sochasický proces je v čase uspořádaná řada náhodných veličin {y(s,), s S, }, kde S je výběrový prosor a je indexní řada. Pro každé je y(.,) náhodná veličina definovaná na výběrovém prosoru S. Pro každé s S je y(s,.) realizace sochasického procesu definovaná na indexní řadě, j. uspořádaná řada čísel, z nichž každé odpovídá jedné hodnoě indexní řady. Časovou řadu lze edy chápa jako realizaci sochasického procesu. V dalších čásech budeme předpokláda, že indexní řada je řadou celých čísel, j. = {0, ±, ±, }. Pro zjednodušení budeme sochasické procesy znači jako {y, = 0, ±, ±,...} resp. {y } a časové řady jako y. Sochasický proces je srikně sacionární, jesliže je jeho pravděpodobnosní chování invarianní vůči posunům v čase. Proože srikní sacionariu je v praxi obížné ověřova, byl v analýze časových řad zaveden méně omezující pojem slabá sacionaria sochasických procesů. Uvažujme sacionární proces {y, = 0, ±, ±,...}. Každou náhodnou veličinu lze popsa základními charakerisikami: sřední hodnoou rozpylem µ = E(y ), (3.) σ = D(y ) = E(y - µ ), (3.) lineární vzah mezi dvojicemi náhodných veličin y a y -k, k =..., -, 0,,... charakerizuje kovarianční funkce a korelační funkce γ(, -k) = E(y - µ )(y -k - µ -k ) (3.3) γ (, k) ρ (, k) =. (3.4) σ σ Sochasický proces je slabě sacionární resp. sacionární v kovariancích, plaí-li µ = µ, σ = σ pro všechna a kovarianční a korelační funkce závisí pouze na časové vzdálenosi náhodných veličin, j. γ(, - k) = γ( + k, ) = γ k a ρ(, - k) = ρ( + k, ) = ρ k, k =..., -, 0,,.... Auokorelační funkce (ACF) podává informaci o síle lineární závislosi mezi veličinami y a y -k. Korelace mezi náhodnými veličinami y a y -k však může bý způsobena jejich korelací s veličinami y - y -..., y -k+. Parciální auokorelační funkce (PACF) podává informaci o korelaci veličin y a y -k očišěnou o vliv veličin ležících mezi nimi. Parciální auokorelaci se zpožděním k vyjadřuje parciální regresní koeficien φ kk v auoregresi k-ého řádu k y = φ k y - + φ k y φ kk y -k + e, (3.5) kde veličina e je nekorelovaná s veličinami y -j, j =,,, k. 85

86 Za předpokladu sacionariy je odhadem sřední hodnoy procesu µ výběrový průměr y = y =, (3.6) kde je poče hodno časové řady. Rozpyl procesu γ 0 lze odhadnou pomocí výběrového rozpylu S ( y = = y) Odhad ρ k je dán výběrovou auokorelací se zpožděním k r k = = k + ( y = y)( y ( y k y). (3.7) y), k =,,..., -. (3.8) Výběrová parciální auokorelační funkce f kk se odhaduje pomocí Durbinova rekurzivního vzahu f f kk = r k k j= f k j= k, j f k, j r k j k j = f k, j f kk f k, k j r j, (3.9), j =,,..., k -. (3.0) 3. Sacionární procesy 3.. Procesy AR Proces AR() Auoregresní proces prvního řádu lze zapsa jako y = φ y - + a, (3.) kde {a } je proces bílého šumu (proces s nulovou sřední hodnoou, konsanním rozpylem a nulovou ACF a PACF), nebo ( - φ B)y = a, (3.) kde B je operáor zpěného posunuí, pro kerý plaí B j y = y -j. Jesliže φ <, je eno proces sacionární. Pro auokorelační funkci plaí vzah ρ k = φ ρ k- = φ ρ k- = = φ k, k = 0,,,. (3.3) Paramer φ je možné chápa jako indikáor "paměi" procesu. Čím je v absoluní hodnoě bližší jedné, ím je paměť procesu delší a naopak, čím je bližší nule, ím je paměť kraší. 86

87 Je-li roven nule, auokorelační funkce je nulová, proces nemá žádnou paměť a jedná se o proces bílého šumu. Charakerisické vary auokorelační funkce procesu AR() znázorňují korelogramy na obr. 3.. a) b) Obr. 3.a,b: ACF procesu AR() Parciální auokorelační funkce procesu AR() má formu Její var ukazují korelogramy na obr. 3.. φ k k ρ = φ = =, k. (3.4) 0, k a) b) Obr. 3.a,b: PACF procesu AR() Proces AR() nebo aké jako Auoregresní proces druhého řádu lze zapsa ve formě y = φ y - + φ y - + a (3.5) ( - φ B - φ B )y = a. (3.6) Aby byl proces AR() sacionární, musí kořeny polynomiální rovnice ( - φ B - φ B ) = 0 leže vně jednokového kruhu. 87

88 Poom Pro auokorelační funkci plaí vzah ρ ρ k - φ ρ k - + φ ρ k - = 0, k =,,. (3.7) = φρ 0 + φ ρ = φρ 0 + φ ρ =, (3.8) φ φ ρ = φρ + φ ρ 0 = + φ. (3.9) φ Auokorelace v dalších zpožděních se získají rekurzívně opě na základě vzorce (3.7). Parciální auokorelační funkce nabývá hodno φ φ φ =, φ = φ a φ kk = 0, pro k = 3, 4,. (3.0) φ Charakerisické vary ACF a PACF jsou zachyceny na obr a) b) c) d) e) f) 88

89 g) h) Obr. 3.3a-h: ACF a PACF procesu AR() Proces AR(p) Auoregresní proces p-ého řádu AR(p) je dán vzahem jenž lze zapsa ve zkrácené formě jako y = φ y φ p y -p + a, (3.) φ p (B)y = a, (3.) kde φ p (B) = ( - φ B φ p B p ). Aby byl proces sacionární, musí kořeny polynomiální rovnice φ p (B) = 0 leže vně jednokového kruhu. Poznámka: V případě, že E(y ) = µ 0, má model AR(p) formu y = c + φ y φ p y -p + a, p kde c = (µ - φ µ - - φ p µ) = µ( - φ. j = j ) 3.. Procesy MA resp. Proces MA() Proces klouzavých průměrů prvního řádu má formu y = a - θ a -, (3.3) kde {a } je proces bílého šumu. y = ( - θ B)a, (3.4) eno proces je sacionární, aby byl inveribilní, zn. aby jej bylo možné přepsa do konvergujícího procesu AR( ), musí plai θ <. Auokorelační funkce ohoo procesu je θ ρ =, ρ k = 0, k =, 3, (3.5) + θ a parciální auokorelační funkce má var φ θ ( θ ), k =,, 3,.(3.6) k kk = ( k + ) θ 89

90 Auokorelační a parciální auokorelační funkce procesu MA() jsou znázorněny na obr a) b) c) d) Obr. 3.4a-d: ACF a PACF procesu MA() Proces MA() Proces klouzavých průměrů druhého řádu má podobu lze jej zapsa aké ve formě y = a - θ a - - θ a -, (3.7) y = ( - θ B - θ B )a. (3.8) eno proces je sacionární, aby byl inveribilní, musí kořeny polynomiální rovnice ( - θ B - θ B ) = 0 leže vně jednokového kruhu. Auokorelační funkce má var θ( θ ), k =, + θ + θ θ ρ k =, k =, (3.9) + θ + θ. 0, k >. 90

91 Na obr. 3.5 jsou zachyceny charakerisické vary ACF a PACF procesu MA(). a) b) c) d) e) f) g) h) Obr. 3.5a-h: ACF a PACF procesu MA() 9

92 nebo aké kde Proces MA(q) Proces klouzavých průměrů řádu q značíme MA(q) a lze jej zapsa ve formě y = a - θ a θ q a -q, (3.30) y = θ q (B)a, (3.3) θ q (B) = - θ B θ q B q. (3.3) Proces MA(q) je sacionární. Inveribilní je ehdy, leží-li kořeny polynomu θ q (B) vně jednokového kruhu Procesy ARMA Proces ARMA(,) eno proces lze vyjádři jako y = φ y - + a - θ a - (3.33) nebo aké ( - φ B)y = ( - θ B)a. (3.34) Proces je sacionární, je-li φ < a inveribilní, když θ <. Jesliže φ = 0, proces ARMA(,) se redukuje na proces MA() a jesliže θ = 0, redukuje se na proces AR(). Auokorelační funkce má var ( φ θ)( φθ), φ =, φθ k ρ k = (3.35) φ. ρ, k k Obr. 3.6 znázorňují ACF a PACF procesu ARMA(,) pro různé hodnoy paramerů φ a θ. a) b) 9

93 c) d) e) f) g) h) i) j) 93

94 k) l) Obr. 3.6a-l: ACF a PACF procesu ARMA(,) Proces ARMA(p,q) nebo aké jako Proces ARMA(p,q) lze zapsa jako y = φ y φ p y -p + a - θ a θ q a -q (3.36) φ p (B)y = θ q (B)a, (3.37) kde φ p (B) = - φ B φ p B p a θ q (B) = - θ B θ q B q. Proces ARMA(p,q) je sacionární, leží-li kořeny polynomiální rovnice φ p (B) = 0 vně jednokového kruhu a inveribilní, leží-li kořeny polynomiální rovnice θ q (B) = 0 vně jednokového kruhu. Proces ARMA(p,q) lze přepsa do varu procesu MA( ) y = ψ(b)a, (3.38) kde ψ(b) = φ p - (B) θ q (B) = ( + ψ B + ψ B + ), nebo do varu procesu AR( ) kde π(b) = φ p (B) θ q - (B) = ( + π B + π B + ). π(b)y = a, (3.39) 3.3 Inegrované procesy 3.3. Proces náhodné procházky Proces náhodné procházky ("Random Walk") je možné vyjádři jako y = y - + a, (3.40) lze jej zapsa aké pomocí operáoru zpěného posunuí ( - B)y = a. (3.4) Vzhledem k omu, že ( - B) - = ( + B + B + ), je možné zapsa aké eno model jako y = a + a - + a - + = a. (3.4) i= 0 i 94

95 V praxi je používanější modifikace procesu (3.40) zahrnující konsanu y = c + y - + a. (3.43) Provede-li se subsiuce až do = 0 s počáeční hodnoou y 0, poom y = y + c + a = y... = y 0 + c + a + c + j= a + a Je zřejmé, že proces obsahuje deerminisický lineární rend (y 0 + c), jako sochasický rend. j. j = a j (3.44) se označuje Auokorelační funkce procesu náhodné procházky závisí na čase a s při daném zpoždění k konverguje k jedné. aké první hodnoa parciální auokorelační funkce s konverguje k jedné, osaní hodnoy jsou nulové Procesy ARIMA Vykazuje-li po ransformaci inegrovaného procesu pomocí diference d-ého řádu výsledný proces akové auokorelace a parciální auokorelace, že jej lze vyjádři ve formě sacionárního a inveribilního modelu ARMA(p,q), poom se původní inegrovaný proces vyjádřený ve formě φ p (B)( - B) d y = θ q (B)a (3.45) nazývá auoregresní inegrovaný proces klouzavých průměrů řádu p, d, q a označuje se jako ARIMA(p,d,q). Vlasnosi ohoo ypu procesu jsou obdobné jako vlasnosi náhodné procházky. yo procesy se někdy nazývají pouze inegrovanými procesy řádu d a označují se jako I(d). 3.4 Sezónní procesy 3.4. Procesy SARIMA Myšlenka sezónního procesu je následující: jako v případě procesu ARIMA předpokládáme vzájemnou závislos mezi veličinami... y -3, y -, y -, y, y +, y +, y +3,..., a proože eno proces obsahuje ješě sezónní kolísání, lze očekáva i závislos mezi sobě odpovídajícími veličinami v jednolivých sezónách, j. mezi veličinami... y -s, y -s, y s, y +s, y +s,..., kde s je délka sezónní periody (např. u měsíčních časových řad, u čvrleních 4). Předpokládejme, že proces obsahuje oba ypy závislosí. Závislos uvniř period je zachycena modelem ARIMA φ p (B)( - B) d y = θ q (B)b. (3.46) Proces {b } obsahuje pouze sezónní závislosi a může bý popsán modelem Φ P (B s )( - B s ) D b = Θ Q (B s )a, (3.47) 95

96 kde Φ P (B s ) = - Φ B s Φ P B Ps a Θ Q (B s ) = - Θ B s Θ Q B Qs. Prosřednicvím členu ( - B s ) se konsruují sezónní diference. Jesliže se procesy (3.46) a (3.47) spojí, získá se proces Φ P (B s )φ p (B)( - B) d ( - B s ) D y = θ q (B)Θ Q (B s )a, (3.48) kerý je označován jako SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) s, kde p je řád procesu AR, q řád procesu MA, d řád prosé diference, P řád sezónního procesu AR, Q řád sezónního procesu MA, D řád sezónní diference a s je délka sezónní periody. Podmínky sacionariy a inveribiliy u sezónní čási jsou obdobné jako u čási nesezónní. V případě čvrleních časových řad lze sezónní inegrovaný proces prvního řádu vyjádři ve varu ( - B 4 )y = a. (3.49) Polynomiální rovnice ( - B 4 ) = ( - B)( + B)( + ib)( - ib) = 0 (3.50) má čyři kořeny:, -, i, -i. yo kořeny leží na jednokové kružnici ve frekvencích 0, π, π/ a 3π/. Frekvence π/ a 3π/ jsou ve čvrleních časových řadách nerozlišielné, proo se uvažuje pouze frekvence π/. Frekvence 0 je nesezónní frekvencí a jednokový kořen v éo frekvenci znamená příomnos sochasického rendu, frekvence π znamená, že každý rok obsahuje dva cykly a frekvence π/, že každý rok obsahuje jeden cyklus. Z uvedeného vyplývá, že sezónní diferencování neznamená pouze odsraňování zv. inegrované sezónní složky, ale aké odsraňování sochasického rendu, neboť sezónně inegrovaný proces (3.49) zahrnuje rovněž nesezónní inegrovaný proces ypu náhodné procházky. 3.5 Idenifikace a ověřování modelu, konsrukce předpovědí 3.5. Idenifikace modelu Jednou z nejěžších úloh při výsavbě Boxových-Jenkinsových modelů je jejich idenifikace. ao úloha spočívá v rozhodnuí, jaký yp modelu vybra. Jde o nelehkou činnos, jenž je v mnoha případech závislá na ciu a zkušenosi analyika. Idenifikace je přiom pouze první fází konsrukce modelů, neboť idenifikovaný model je řeba ješě ověři a upravi. Podívejme se nyní na jednolivé kroky idenifikace modelu. Uvažujme model ARIMA(p,d,q) ve formě (3.45). () Nejprve je vhodné prozkouma graf časové řady. V mnoha případech je možné na první pohled rozpozna příomnos rendu. V éo fázi jde především o subjekivní zhodnocení siuace. Nicméně, již na základě ohoo zhodnocení je možné sacionarizova časovou řadu či provés jiné úpravy jako je linearizace časové řady resp. její sabilizace z hlediska rozpylu pomocí logarimické ransformace. eno yp ransformace je však vhodné provádě před vlasním diferencováním časové řady. Důvodem je skuečnos, že diferencováním je možné získa i záporné hodnoy. () Dalším krokem je výpoče odhadů ACF a PACF původní časové řady. Na jejich základě je možné povrdi, že časovou řadu je řeba sacionarizova (v případě, že hodnoy výběrové ACF a PACF v prvním zpoždění jsou velmi blízké jedné a osaní hodnoy výběrové ACF klesají pomalu). 96

97 (3) Po sacionarizaci časové řady se použijí výběrové ACF a PACF pro idenifikaci modelů AR a MA (nalezení hodno p a q). ao idenifikace je založena na principu podobnosi výběrových ACF a PACF s eoreickými ACF a PACF. ab. 3. obsahuje popis varů ACF a PACF pro modely AR, MA a ARMA. ab. 3.: vary ACF a PACF modelů AR, MA a ARMA Model ACF PACF AR(p) exponenciální a / nebo exponenciálně sinusoidní pokles φ kk = 0 pro k > p MA(q) ρ k = 0 pro k > q Omezená exponenciálním a/nebo exponenciálně sinusoidním poklesem ARMA(p,q) Od zpoždění (q p) pro q > p exponenciální nebo exponenciálně sinusoidní pokles Od zpoždění (p - q) pro p > q omezená exponenciálním nebo exponenciálně sinusoidním poklesem Obsahuje-li časová řada aké sezónní složku, je řeba idenifikova model ypu SARIMA varu (3.48). Princip je sejný jako v předchozím případě. () Nejprve je řeba časovou řadu sacionarizova. Pokud je o nuné, linearizuje se řada pomocí logarimické ransformace. Poé se řada diferencuje, je řeba přiom mí na paměi, že sezónní diference zahrnuje rovněž diferenci prosou. Sacionarizaci pomocí sezónní diference indikuje var výběrové ACF a PACF. yo funkce jsou charakerisické vysokými hodnoami v nesezónních a sezónních frekvencích. () V další fázi se vypočíá výběrová ACF a PACF pro sacionarizovanou časovou řadu, s jejich pomocí se poom určí yp sezónních modelů SAR, SMA, či SARMA (v sezónních frekvencích mají yo funkce saisicky významně odlišné hodnoy od nuly, yo hodnoy však nejsou ak vysoké, aby bylo možné časovou řadu považova za nesacionární). Po idenifikaci a určení modelu sezónní složky je řeba vypočía výběrovou ACF a PACF enokrá pro rezidua sezónního modelu a na jejich základě posoudi, zda by bylo vhodné model doplni o složku AR, MA či ARMA Diagnosická konrola modelu esování nesysemaické složky V modelu ARIMA(p,d,q) ypu (3.45) předpokládáme, že {a } je proces bílého šumu. Základní empirická diagnosická konrola spočívá v posouzení reziduí a ˆ - ˆ = [ θ ( B)] ˆ φ ( B) y, (3.5) kde ˆ p φ ( B) = ˆ φ B... ˆ φ B a ˆ q θ ( B) = ˆ θ B... ˆ θ B. p p q q p Auokorelaci nesysemaické složky lze esova pomocí výběrové auokorelační funkce aˆ aˆ k rk =. (3.5) aˆ q 97

98 Není-li nesysemaická složka auokorelovaná, měly by hodnoy éo funkce leže uvniř inervalu ± / (95% inerval spolehlivosi). Další možnosí jak zjisi, zda nesysemaická složka není auokorelovaná, je použií pormaneau esu, kerý navrhli Box a Pierce. esuje se hypoéza H 0 : ρ = ρ =... = ρ K = 0 proi hypoéze H : non H 0, kde ρ k, k =,..., K jsou auokorelace nesysemaické složky modelu pro zpoždění k. Je-li model ARIMA správně zkonsruovaný, poom má saisika Q = K rˆ k k = pro vysoké a K přibližně rozdělení χ s (K - p - q) supni volnosi., (3.53) esování paramerů modelu Nevykazuje-li nesysemaická složka auokorelaci, je vhodné ješě oesova jednolivé paramery v modelu, j. paramery µ, φ i, i =,,, p a θ i, i =,,, q. esování se provádí na základě -esů resp. pomocí saisik ˆ µ ˆ i φ ˆ i θ i µ =, i φ =, i =,,, p a Sˆ i θ = i =,,, q, (3.54) ˆ i Sˆ kde Sˆ µ, Sˆ ARIMA. φi, Sˆ θi µ S φ i jsou odhady směrodaných chyb odhadů jednolivých paramerů modelu θi Výpoče předpovědí Při výpoču předpovědí budeme vycháze ze skuečnosi, že předpověď y (h) je dána podmíněnou sřední hodnoou E(y +h y, y -, y -, ). Předpokládejme model ARMA(p, q) ve formě (3.36), j. Pro = + h dosaneme y = φ y φ p y -p + a - θ a θ q a -q. (3.55) y +h = φ y +h φ p y +h-p + a +h - θ a +h θ q a +h -q. (3.56) Budeme-li uvažova podmíněné sřední hodnoy v čase kde y (h) = φ y (h-) φ p y (h-p) + a (h) - θ a (h-) θ q a (h-q), (3.57) y (j) = E(y +j y, y -, ), j, y (j) = y +j,j 0, a (j) = 0,j, a (j) = y +j - y +j- () = a +j, j 0. 98

99 3.5.4 Boxova-Jenkinsova meodologie ve SAGRAPHICSu Boxova-Jenkinsova meodologie je ve SAGRAPHICSu obsažena v nabídce Special ime-series Analysis Forecasing. Po vyplnění vsupního panelu (obr..) vybereme Boxovy-Jenkinsovy modely ak, že v doplňkovém panelu Model Specificaions Opions (obr. 3.7), kde v čási ype zvolíme ARIMA Model. Obr. 3.7: Doplňkový panel Model Specificaions Opions Volbou éo položky se auomaicky zakivní v čási Parameers and erms a Differencing políčka určená pro specifikaci ypu ARIMA modelu. V Parameers and erms jsou o pro nesezónní časové řady políčka AR (řád auoregresního procesu AR) a MA (řád procesu klouzavých průměrů MA). Modely sezónních časových řad volíme kombinací políček AR, MA s SAR (řád sezónního auoregresního procesu SAR) a SMA (řád sezónního procesu klouzavých průměrů SMA), podmínkou je však specifikace délky sezónnosi v políčku Seasonaliy ve vsupním panelu. V políčku Consan zadáváme požadavek na zahrnuí konsany do modelu. Sacionarizující ransformace časových řad provádíme pomocí položek v čásech Differencing a Mah. V čási Differencing se volí řád nesezónního inegrovaného procesu (Nonseasonal Order) nebo sezónního inegrovaného procesu (Seasonal Order). 99

100 Poznámka: Pro provedení počáeční analýzy je řeba zada do všech zmíněných políček hodnou 0. V Mah lze vybíra z následujících ransformací časové řady None - žádná, Naural log - logarimická ransformace se základem e, Base 0 log - logarimická ransformace se základem 0, Square roo - odmocninová ransformace, Reciprocal - posloupnos převrácených hodno, Power - ransformace ve formě r-ých mocnin Box-Cox - Boxova-Coxova ransformace. K idenifikaci, ověřování ARIMA modelů a ke konsrukci předpovědí slouží ve SAGRAPHICSu nabídky výpočeních meod a grafů. Odhad modelu a výsupní abulka Předpovědi Porovnání modelů Reziduální auokorelační funkce (ACF) Rezid. parciální auokorelační funkce (PACF) Reziduální periodogram es nahodilosi reziduí Obr. 3.8a: Nabídka výpočeních meod Graf časové řady Graf časové řady s předpověďmi Graf reziduí Graf reziduální auokorelační funkce Graf rezid. parciální auokorelační funkce Graf reziduálního periodogramu Graf reziduální vzájemné korelační funkce Obr. 3.8b: Nabídka grafů 00

101 Z nabídky grafů (obr. 3.8b) zvolíme graf časové řady (ime Sequence Plo), graf reziduí (Residual Plos), graf auokorelační funkce (Residual Auocorrelaion Funcion), parciální auokorelační funkce (Residual Parial Auocorrelaion Funcion) a periodogram (Residual Periodogram). Z nabídky výpočeních meod (obr. č. 3.8a) vybereme (kromě Analysis Summary) esy nahodilosi reziduí (Residual ess for Randomness) mezi nimiž je obsažen i Pormaneau es, zde označovaný jako Boxův-Pierceův es. Při výpoču předpovědí zobrazíme graf předpovědí (Forecas Plo) a graf původní časové řady s vyrovnanými hodnoami a předpověďmi (ime Sequence Plo) výběrem z nabídky a abulku hodno předpovědí (Forecas able) z nabídky. V případě nabídek abulek a grafů auokorelační funkce, parciální auokorelační funkce a předpovědí nebo esu nahodilosi reziduí je někdy řeba pomocí doplňkového panelu (např. obr. 3.9) změni nasavený poče zpoždění (Number of Lags) nebo šířku inervalů spolehlivosi (Confidence Level). Obr. 3.9: Doplňkový panel ACF Poče zpoždění pro výpoče abulky a zobrazení grafu auokorelační a parciální auokorelační funkce se volí maximálně /4. Pro Boxův-Pierceův es, obsažený v položce Residual ess for Randomness, se poče zpoždění sanoví podle čísla. Příklad 3. Pomocí Boxovy-Jenkinsovy meodologie najděe model roční časové řady hrubého domácího produku Argeniny (HDP_ARG), kerá je k dispozici ve formě bazických indexů od roku 95 do roku 998 (995 = 00). Na základě zvoleného modelu vypočíeje předpovědi éo časové řady na 4 roky Obr. 3.0: Časová řada hrubého domácího produku Argeniny 0

102 Průběh časové řady zachycuje obr Je zřejmé, že časová řada je nesacionární, což povrzuje aké var ACF a PACF (obr. 3.0a,b) a periodogram (obr. 3.0c). 0,6 0, -0, -0,6-0,6 0, -0, -0, Obr. 3.0a,b: ACF a PACF původní časové řady (X 0000) 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 Obr. 3.0c: Periodogram původní časové řady Hodnoy ACF klesají pomalu a první hodnoa u ACF i PACF je blízká jedné, periodogram má významný vrchol v nulové frekvenci, akže lze předpokláda, že časová řada je ypu I(). Budeme ji edy sacionarizova prvními diferencemi. ab. 3.a. Výsupní abulka modelu ARIMA(0,,0) c Nonseasonal differencing of order: Forecas model seleced: ARIMA(0,,0) wih consan Number of forecass generaed: 4 Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE 6,70 MAE 3,3096 MAPE 5,0899 ME -,579E-5 MPE -0,4836 ARIMA Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value Mean,703 0,586555,909 0, Consan, Esimaed whie noise variance = 6,70 wih 46 degrees of freedom Esimaed whie noise sandard deviaion = 4,0 ess for Randomness of residuals Box-Pierce es es based on firs 5 auocorrelaions Large sample es saisic = 7,07587 P-value = 0,9555 0

103 ab. 3.a obsahuje charakerisiky odhadnuého modelu ARIMA(0,,0) c. eno model má formu ( - B)y =,703 + a, lze jej vyjádři aké jako y =,703 + y - + a. Současně oesujeme, zda je konsana c = µ saisicky významná, j. různá od nuly. Výsledek -esu pro sřední hodnou µ je rovněž uveden v ab. 3.a, porovnáme-li hodnou "P-value" (0,005675) s hladinou významnosi α (0,05) prokážeme, že sřední hodnoa a konsana jsou různé od nuly. Auokorelaci nesysemaické složky esujeme pomocí Boxova-Pierceova esu v dolní čási ab. 3.a. Vysoká hodnoa "P-value" ohoo esu (0,9555) indikuje, že nesysemaická složka je ypu bílého šumu. eno závěr povrzuje i graf reziduí a reziduální periodogram (obr. 3.0d,e), sejně jako reziduální ACF a PACF ohoo modelu (obr. 3.5f,g), jejichž hodnoy leží uvniř olerančních mezí , 0, 0,3 0,4 0,5 Obr. 3.0d,e: Rezidua a reziduální periodogram modelu ARIMA(0,,0) c 0,6 0, -0, -0,6-0,6 0, -0, -0, Obr. 3.0f,g: Reziduální ACF a PACF modelu ARIMA(0,,0) c Idenifikovali jsme model éo časové řady ve varu náhodné procházky. Použijeme-li jej i pro výpoče předpovědí, získáme bodové a inervalové předpovědi na období (ab. 3.b). 03

104 ab. 3.b. Předpovědi modelu ARIMA(0,,0) c Forecas able for HDP_Arg Model: ARIMA(0,,0) wih consan Lower 95,0% Upper 95,0% Period Forecas Limi Limi ,70,608 8, ,404 0,957 33, ,06 0,087 38,6 00 5,809 09,6 4,997 Graf předpovědí a graf původní časové řady s vyrovnanými hodnoami a předpověďmi obsahují obr. 3.0h a 3.0i Obr. 3.0h: Předpovědi modelu ARIMA(0,,0) c Obr. 3.0i: Původní časová řada s předpověďmi ) Ve vsupním panelu (obr..) vložíme do řádku Daa časovou řadu HDP_ARG, v čási Sampling Inerval vybereme Year(s) a v políčku Saring A přepíšeme nabízenou hodnou na 95. Poče předpovědí 4 zadáváme do políčka Number of Forecass. ) V doplňkovém panelu Model Specificaions Opions (obr. 3.7) v čási ype zvolíme ARIMA Model a do všech políček v Parameers and erms a Differencing zadáme hodnou 0. 04

105 3) Z vybereme graf původní časové řady (obr. 3.0), graf auokorelační funkce, parciální auokorelační funkce (obr. 3.0a,b) a periodogram (obr. 3.0c) a z navíc esy nahodilosi reziduí. 4) Podle grafů ACF, PACF a periodogramu původní časové řady zvolíme pro ransformaci časové řady nesezónní diferenci přepsáním nuly na jedničku v políčku Nonseasonal Order v čási Differencing. Odhadnuý model ARIMA(0,,0) c (ab 3.a) se objeví auomaicky ve výsledkovém okně, současně se přepočíá Boxův-Pierceův es a podle vypočíaných reziduí se překreslí všechny grafy (obr. 3.0d-g). Obr. 3.0j: Výřez vyplněného doplňkového panelu Model Specificaions Opions pro model ARIMA(0,,0) c 5) Na základě zvoleného modelu ARIMA(0,,0) c vypočíáme předpovědi (ab. 3.3b). Zobrazíme graf předpovědí (obr. 3.0h) a graf původní časové řady s vyrovnanými hodnoami a předpověďmi (obr. 3.0i). Příklad 3. Pro roční časovou řadu hrubého domácího produku Velké Briánie (HDP_VB), kerá je k dispozici ve formě bazických indexů od roku 960 do roku 997 (995 = 00) najděe vhodný ARIMA model a na jeho základě vypočíeje předpovědi éo časové řady na 3 roky. Průběh časové řady je zachycen na obr. 3.. Z grafu je zřejmé, že ao časová řada je nesacionární Obr. 3.: Časová řada hrubého domácího produku Velké Briánie 05

106 Nesacionariu povrzuje aké var ACF a PACF (obr. 3.a,b) a periodogram (obr. 3.c). 0,6 0,6 0, 0, -0, -0, -0,6-0, Obr. 3.a,b: ACF a PACF původní časové řady 5 (X 000) , 0, 0,3 0,4 0,5 Obr. 3.c: Periodogram původní časové řady Proože hodnoy ACF klesají pomalu, první hodnoa u ACF i PACF je blízká jedné a periodogram má významný vrchol v nulové frekvenci, lze předpokláda, že časová řada je ypu I(), a proo ji budeme sacionarizova prvními diferencemi. ab. 3.3a. Výsupní abulka modelu ARIMA(0,,0) c Nonseasonal differencing of order: Forecas model seleced: ARIMA(0,,0) wih consan Number of forecass generaed: 3 Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE,56757 MAE,863 MAPE,6859 ME 3,076E-5 MPE -0,0687 ARIMA Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value Mean, ,6347 6,5847 0, Consan, Esimaed whie noise variance =,56757 wih 36 degrees of freedom Esimaed whie noise sandard deviaion =,6036 ess for Randomness of residuals Box-Pierce es es based on firs auocorrelaions Large sample es saisic = 8,896 P-value = 0,

107 Rezidua a reziduální periodogram časové řady po I. diferenci zobrazuje obr. 3.d,e, var reziduální ACF a PACF obr. 3.f,g. 4,3 6,3 0,3 8 -,7 4-3, , 0, 0,3 0,4 0,5 Obr. 3.d,e: Rezidua a reziduální periodogram modelu ARIMA(0,,0) c 0,6 0, -0, -0,6-0,6 0, -0, -0, Obr. 3.f,g: Reziduální ACF a PACF modelu ARIMA(0,,0) c Reziduální ACF i PACF mají první hodnoy saisicky významně odlišné od nuly. Nelze proo jednoznačně urči, zda je model řeba rozšíři o čás AR() či MA(). Odhadneme edy nejprve model ARIMA(,,0) c. Výsledky jsou v ab. 3.3b. ab. 3.3b. Výsupní abulka modelu ARIMA(,,0) c Nonseasonal differencing of order: Forecas model seleced: ARIMA(,,0) wih consan Number of forecass generaed: 3 Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE,85 MAE,09575 MAPE,46969 ME 0,06096 MPE -0, ARIMA Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value AR() 0, ,59438, ,0537 Mean, , ,3396 0,00058 Consan 0, Esimaed whie noise variance =,333 wih 35 degrees of freedom Esimaed whie noise sandard deviaion =,48773 ess for Randomness of residuals Box-Pierce es es based on firs auocorrelaions Large sample es saisic = 9,675 P-value = 0,

108 0,6 0, -0, -0,6-0,6 0, -0, -0, Obr. 3.h,i: Reziduální ACF a PACF modelu ARIMA(,,0) c I když reziduální ACF a PACF (obr. 3.h,i) indikují, že nesysemaická složka je ypu bílého šumu a rovněž hodnoa "P-value" Boxova-Pierceova esu je relaivně vysoká (0,59748), provedeme i odhad modelu ARIMA(0,,) c, jeho výsledky obsahuje ab. 3.3c. ab. 3.3c. Výsupní abulka modelu ARIMA(0,,) c Nonseasonal differencing of order: Forecas model seleced: ARIMA(0,,) wih consan Number of forecass generaed: 3 Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE,0536 MAE 0,9854 MAPE,349 ME 0, MPE -0, ARIMA Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value MA() -0, , , , Mean, ,3676 4,6347 0, Consan, Esimaed whie noise variance =,054 wih 35 degrees of freedom Esimaed whie noise sandard deviaion =,4338 Number of ieraions: 3 ess for Randomness of residuals Box-Pierce es es based on firs auocorrelaions Large sample es saisic = 7,069 P-value = 0, ,6 0,6 0, 0, -0, -0, -0,6-0, Obr. 3.j,k: Reziduální ACF a PACF modelu ARIMA(0,,) c 08

109 Reziduální ACF a PACF (obr. 3.j,k) ohoo modelu aké indikují, že nesysemaická složka je ypu bílého šumu, hodnoa "P-value" Boxova-Pierceova esu (0,79406) je dokonce vyšší než u modelu s čásí AR(). Pro úplnos odhadneme ješě model obsahující obě složky, j. AR() a MA(). ab. 3.3d. Výsupní abulka modelu ARIMA(,,) c Nonseasonal differencing of order: Forecas model seleced: ARIMA(,,) wih consan Number of forecass generaed: 3 Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE,0977 MAE 0,98844 MAPE,375 ME 0, MPE -0,0738 ARIMA Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value AR() -0, ,305-0,5878 0, MA() -0,6356 0,4658 -,5795 0,04390 Mean,6766 0,365 4,6443 0, Consan, Backforecasing: yes Esimaed whie noise variance =,099 wih 34 degrees of freedom Esimaed whie noise sandard deviaion =,4556 Number of ieraions: 6 ess for Randomness of residuals Box-Pierce es es based on firs auocorrelaions Large sample es saisic = 7,544 P-value = 0,709 0,6 0,6 0, 0, -0, -0, -0,6-0, Obr. 3.l,m: Reziduální ACF a PACF modelu ARIMA(,,) c I když reziduální ACF a PACF, keré jsou na obr. 3.l,m indikují, že rezidua mají nesysemaický charaker a hodnoa "P-value" Boxova-Pierceova esu je relaivně vysoká (0,709), z -esů paramerů modelu je zřejmé, že čás AR() do modelu nepaří. Nejen eno závěr však svědčí ve prospěch modelu ARIMA(0,,) c. Ve srovnání s modelem ARIMA(,,0) c eno model vede k vyšší hodnoě "P-value" Boxova-Pierceova esu, a k nižším hodnoám MSE, MAE, MAPE, ME a MPE. 09

110 Po porovnání hodno "P-value" paramerů c = µ (0,000048) a θ (0,000480) s hladinou významnosi α (0,05) u provedeného -esu z ab. 3.3c je zřejmé, že oba paramery jsou nenulové a model s odhadnuými paramery má var ( - B)y =, ( - (-0,569874)B)a, lze jej vyjádři aké jako y =, y - + a + 0,569874a -. ab. 3.3e obsahuje bodové a inervalové předpovědi časové řady na roky ab. 3.3e. Předpovědi, model ARIMA(0,,) c Forecas able for HDP_VB Model: ARIMA(0,,) wih consan Lower 95,0% Upper 95,0% Period Forecas Limi Limi ,94 06,03, ,6 05,05 6, ,3 05,5 9,385 Graf předpovědí je uveden na obr. 3.n a graf časové řady s vyrovnanými hodnoami a předpověďmi je zachycen na obr. 3.o Obr. 3.n: Předpovědi Obr. 3.o: Časová řada s předpověďmi 0

111 ) Vsupní panel vyplníme sejně jako v předchozím příkladu s ím rozdílem, že do řádku Daa vložíme časovou řadu HDP_VB, v čási Sampling Inerval zapíšeme do políčka Saring A hodnou 960 a do políčka Number of Forecass zadáme 3 předpovědi. ) V doplňkovém panelu Model Specificaions Opions (obr. 3.7) v čási ype zvolíme ARIMA Model a do všech políček v Parameers and erms a Differencing zadáme hodnou 0. 3) Z vybereme graf časové řady (obr. 3.), graf auokorelační funkce a parciální auokorelační funkce (obr. 3.a,b) a periodogram (obr. 3.c). Z navíc vybereme esy nahodilosi reziduí. 4) Podle grafů ACF, PACF a periodogramu původní časové řady zvolíme pro ransformaci časové řady nesezónní diferenci přepsáním nuly na jedničku v políčku Nonseasonal Order v čási Differencing. Odhadnuý model ARIMA(0,,0) c (ab. 3.3a) se objeví auomaicky ve výsledkovém okně, současně se přepočíá Boxův-Pierceův es a podle vypočíaných reziduí se překreslí všechny grafy (obr. 3.d-g). 5) Z grafů reziduální ACF a PACF modelu ARIMA(0,,0) c je parné, že bude řeba model dále rozšíři, není však zcela zřejmé jesli o čás AR() nebo MA(). a) Přidáme edy do modelu nejprve čás AR(), ak že v doplňkovém panelu Model Specificaions Opions přepíšeme v políčku AR v Parameers and erms nulu na jedničku, a odhadneme model ARIMA(,,0) c (ab. 3.3b) a zkonrolujeme překreslené grafy (obr. 3.h,i). b) V doplňkovém panelu zrušíme nasavení AR() a přidáme do modelu čás MA(), přepsáním nuly na jedničku v políčku MA, odhadneme ak model ARIMA(0,,) c (ab. 3.3c) a zkonrolujeme překreslené grafy (obr. 3.j,k). c) Pro úplnos odhadneme model obsahující současně AR() i MA(), j. model ARIMA(,,) c. V doplňkovém panelu zapíšeme jedničku do políček AR i MA a získáme model z ab. 3.3d. 6) V předchozím kroku jsme na základě hodnoy Boxova-Pierceova esu a hodno MSE, MAE, MAPE, ME a MPE vybrali jako nejlepší model ARIMA(0,,) c. Vypočíáme předpovědi (ab. 3.3e) a zobrazíme graf předpovědí (obr. 3.n) a graf časové řady s vyrovnanými hodnoami a předpověďmi (obr. 3.o). Obr. 3.p: Výřez vyplněného doplňkového panelu Model Specificaions Opions pro model ARIMA(0,,) c

112 Příklad 3.3 Pomocí Boxovy-Jenkinsovy meodologie najděe model čvrlení časové řady hrubého domácího produku Rakouska (HDP_RAK), kerá je k dispozici v mld. AS od I. čvrleí roku 964 do IV. čvrleí roku 998. Na základě zvoleného modelu vypočíeje předpovědi éo časové řady na 4 roky Q.64 Q.70 Q.76 Q.8 Q.88 Q.94 Q.00 Obr. 3.: Časová řada hrubého domácího produku Rakouska Průběh časové řady je zachycen na obr. 3.. Časová řada je nesacionární a obsahuje sezónní složku. Proože ao řada vykazuje mírně exponenciální průběh s proporcionální sezónnosí, je vhodné ji logarimova. ako ransformovaná časová řada je na obr. 3.a. 6,8 6,3 5,8 5,3 4,8 4,3 3,8 Q.64 Q.70 Q.76 Q.8 Q.88 Q.94 Q.00 Obr. 3.a: Logarimovaná časová řada hrubého domácího produku Rakouska 0,6 0, -0, -0,6-0,6 0, -0, -0, Obr. 3.b,c: ACF a PACF logarimované časové řady

113 Logarimovaná časová řada je zjevně nesacionární, což povrzuje i var ACF a PACF, kerý je na obr. 3.b,c. Hodnoy ACF klesají velmi pomalu a první hodnoa, sejně jako u PACF, je blízká jedné. Periodogram, zachycený na obr. 3.d má významný vrchol v nulové (nesezónní) frekvenci , 0, 0,3 0,4 0,5 Obr. 3.d: Periodogram logarimované časové řady I když je z grafu logarimované časové řady a varu PACF zřejmé, že časová řada obsahuje sezónní složku, ACF ani periodogram její příomnos na první pohled nepovrzují. Idenifikační hodnoy sezónnosi u ACF splývají s idenifikačními hodnoami pro sochasický rend a sezónnos se na varu ACF projevuje pouze ím, že klesání jejích hodno není plynulé, ale neparně schodovié. Dominannos sochasického rendu v časové řadě je zřeelná i na varu periodogramu, kde éměř zcela zakrývá idenifikační hodnoy sezónnosi ve frekvencích π a π/. Z uvedeného je zřejné, že časovou řadu budeme sacionarizova I. nesezónní diferencí. Odhad modelu ARIMA(0,,0) c obsahuje ab. 3.4a. ab. 3.4a. Výsupní abulka modelu ARIMA(0,,0) c Mah adjusmen: Naural log Nonseasonal differencing of order: Forecas model seleced: ARIMA(0,,0) wih consan Number of forecass generaed: Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE 67,48 MAE 7,660 MAPE 6,9399 ME -,0455 MPE -0, ARIMA Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value Mean 0, ,0079,6787 0,00889 Consan 0, Esimaed whie noise variance = 0, wih 38 degrees of freedom Esimaed whie noise sandard deviaion = 0, Number of ieraions: ess for Randomness of residuals Box-Pierce es es based on firs 4 auocorrelaions Large sample es saisic = 800,09 P-value = 0,0 3

114 Rezidua a reziduální periodogram časové řady po I. nesezónní diferenci zobrazuje obr. 3.e,f. Z grafu reziduí je parné, že po odsranění rendu v časové řadě zůsala zachována výrazná sezónnos. oéž povrzuje i periodogram, kerý má významné vrcholy v obou sezónních frekvencích π a π/. 0,9 0,5 0,09-0,0-0, 0,4 0,3 0, 0, -0, Q.64 Q.70 Q.76 Q.8 Q.88 Q.94 Q , 0, 0,3 0,4 0,5 Obr. 3.e,f: Rezidua a reziduální periodogram modelu ARIMA(0,,0) c Na obr. 3.g,h je vidě, že ACF má významnou každou čvrou kladnou hodnou. yo hodnoy jsou blízké jedné a pomalu klesají, záporné hodnoy jsou výrazně nižší a klesají ješě pomaleji. PACF má ři významné záporné hodnoy (řeí je blízká -) a dvě kladné. 0,6 0,6 0, 0, -0, -0, -0,6-0, Obr. 3.g,h: Reziduální ACF a PACF modelu ARIMA(0,,0) c Z uvedeného lze předpokláda, že se jedná o sezónní inegrovaný proces SI(). Časovou řadu proo nebudeme sacionarizova nesezónní diferencí, ale použijeme diferenci sezónní (sezónní diference obsahuje aké nesezónní diferenci). Odhad modelu SARIMA(0,0,0)(0,,0) c je v ab. 3.4b. 4

115 ab. 3.4b. Výsupní abulka modelu SARIMA(0,0,0)(0,,0) c Mah adjusmen: Naural log Seasonal differencing of order: Forecas model seleced: ARIMA(0,0,0)x(0,,0)4 wih consan Number of forecass generaed: Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE 00,48 MAE 7,039 MAPE,485 ME -3,77898 MPE -0, ARIMA Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value Mean 0, , ,876 0, Consan 0, Esimaed whie noise variance = 0, wih 35 degrees of freedom Esimaed whie noise sandard deviaion = 0, Number of ieraions: ess for Randomness of residuals Box-Pierce es es based on firs 4 auocorrelaions Large sample es saisic = 669,69 P-value = 0,0 Rezidua a reziduální periodogram časové řady po sezónní diferenci zachycuje obr. 3.i,j. Z grafu reziduí je zřejmé, že časová řada po sezónní diferenci není sacionární, což povrzuje i významný vrchol v nesezónní frekvenci periodogramu. 0,3 0, 0,07 0,04 0,0-0,0 0,08 0,06 0,04 0,0-0,05 0 Q.64 Q.70 Q.76 Q.8 Q.88 Q.94 Q , 0, 0,3 0,4 0,5 Obr. 3.i,j: Rezidua a reziduální periodogram modelu SARIMA(0,0,0)(0,,0) c 0,6 0, -0, -0,6-0,6 0, -0, -0, Obr. 3.k,l: Reziduální ACF a PACF modelu SARIMA(0,0,0)(0,,0) c 5

116 Reziduální ACF a PACF je zachycena na obr. 3.k,l. Proože hodnoy reziduální ACF vykazují na začáku spíše exponenciální pokles a PACF má saisicky významnou první hodnou, dáme při rozšiřování modelu přednos čási AR() před nesezónní diferencí. Budeme ak odhadova model SARIMA(,0,0)(0,,0) c. Výsledky jsou uvedeny v ab. 3.4c. ab. 3.4c. Výsupní abulka modelu SARIMA(,0,0)(0,,0) c Mah adjusmen: Naural log Seasonal differencing of order: Forecas model seleced: ARIMA(,0,0)x(0,,0)4 wih consan Number of forecass generaed: Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE 6,9669 MAE 3,05048 MAPE,749 ME -0, MPE -0,0009 ARIMA Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value AR() 0, , ,855 0, Mean 0,0757 0, ,7463 0, Consan 0, Backforecasing: yes Esimaed whie noise variance = 0, wih 34 degrees of freedom Esimaed whie noise sandard deviaion = 0, Number of ieraions: ess for Randomness of residuals Box-Pierce es es based on firs 4 auocorrelaions Large sample es saisic = 70,395 P-value = 0, Rezidua a reziduální periodogram modelu SARIMA(,0,0)(0,,0) c ukazuje obr. 3.m,n. Oba grafy povrzují, že rezidua jsou sacionární. 0,08 0,06 0,04 0,0 0-0,0 (X 0,00) ,04 Q.64 Q.70 Q.76 Q.8 Q.88 Q.94 Q , 0, 0,3 0,4 0,5 Obr. 3.m,n: Rezidua a reziduální periodogram modelu SARIMA(,0,0)(0,,0) c Grafy reziduálních ACF a PACF, keré jsou na obr. 3.o,p neindikují nesysemaičnos (první hodnoy a někeré další leží vně olerančních mezí). 6

117 0,6 0, -0, -0,6 0,6 0, -0, -0, Obr. 3.o,p: Reziduální ACF a PACF modelu SARIMA(,0,0)(0,,0) c Zkusíme edy doplni model ješě o čás MA(). Odhadnuý model SARIMA(,0,)(0,,0) c ukazuje ab. 3.4d. ab. 3.4d. Výsupní abulka modelu SARIMA(,0,)(0,,0) c Mah adjusmen: Naural log Seasonal differencing of order: Forecas model seleced: ARIMA(,0,)x(0,,0)4 wih consan Number of forecass generaed: Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE 6,0048 MAE,9953 MAPE,599 ME -0, MPE -0,03975 ARIMA Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value AR() 0, , ,554 0, MA() 0,3778 0, ,4657 0,0704 Mean 0, , , , Consan 0, Esimaed whie noise variance = 0, wih 33 degrees of freedom Esimaed whie noise sandard deviaion = 0,07486 ess for Randomness of residuals Box-Pierce es es based on firs 4 auocorrelaions Large sample es saisic = 49,644 P-value = 0, Rezidua a reziduální periodogram modelu SARIMA(,0,)(0,,0) c jsou obdobná jako u modelu SARIMA(,0,0)(0,,0) c. 0,6 0, -0, -0,6-0,6 0, -0, -0, Obr. 3.q,r: Reziduální ACF a PACF modelu SARIMA(,0,)(0,,0) c 7

118 I když se hodnoa Boxova-Pierceova esu zvýšila (0, ), grafy reziduální ACF a PACF na obr. 3.q,r sále povrzují exisenci sysemaické složky. U obou funkcí je parná saisicky významná čvrá hodnoa, pokusíme se proo dále rozšíři model o SAR() a odhadneme ak model SARIMA(,0,)(,,0) c. Výsledky jsou uvedeny v ab. 3.4e. ab. 3.4e. Výsupní abulka modelu SARIMA(,0,)(,,0) c Mah adjusmen: Naural log Seasonal differencing of order: Forecas model seleced: ARIMA(,0,)x(,,0)4 wih consan Number of forecass generaed: Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE 4,75 MAE,80309 MAPE,533 ME -0,46746 MPE -0,003 ARIMA Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value AR() 0, , ,949 0, MA() 0,6589 0,08995,9497 0, SAR() -0,4508 0, ,548 0,00000 Mean 0, , , ,00083 Consan 0, Backforecasing: yes Esimaed whie noise variance = 0, wih 3 degrees of freedom Esimaed whie noise sandard deviaion = 0,05853 Number of ieraions: 6 ess for Randomness of residuals Box-Pierce es es based on firs 4 auocorrelaions Large sample es saisic = 30,499 P-value = 0, Po doplnění modelu o čás SMA() se hodnoy reziduální ACF a PACF, keré jsou na obr. 3.s, snížily ak, že všechny leží uvniř nebo na hranici inervalu spolehlivosi. oo povrzuje i hodnoa Boxova-Pierceova esu, kerá se oproi minulému modelu zvýšila (0,083684). 0,6 0,6 0, 0, -0, -0, -0,6-0, Obr. 3.s,: Reziduální ACF a PACF modelu SARIMA(,0,)(,,0) c 8

119 Nyní se pokusíme model SARIMA(,0,)(0,,0) c rozšíři míso o čás SAR() o čás SMA(). Odhadnuý model SARIMA(,0,)(0,,) c ukazuje ab. 3.4f. ab. 3.4f. Výsupní abulka modelu SARIMA(,0,)(0,,) c Mah adjusmen: Naural log Seasonal differencing of order: Forecas model seleced: ARIMA(,0,)x(0,,)4 wih consan Number of forecass generaed: Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE 4,049 MAE,74708 MAPE,50 ME -0, MPE -0,04363 ARIMA Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value AR() 0,9893 0, ,44 0, MA() 0, , ,836 0,006 SMA() 0, , , , Mean 0, ,05965,435 0,06335 Consan 0, Esimaed whie noise variance = 0, wih 3 degrees of freedom Esimaed whie noise sandard deviaion = 0, ess for Randomness of residuals Box-Pierce es es based on firs 4 auocorrelaions Large sample es saisic = 9,568 P-value = 0,57508 Hodnoy reziduální ACF a PACF se ve srovnání s předchozím modelem ješě snížily a lze předpokláda, že vykazují nesysemaický pohyb. oo povrzuje i hodnoa Boxova-Pierceova esu, kerá se oproi minulému modelu výrazně zvýšila (0,57508). 0,6 0, -0, -0,6-0,6 0, -0, -0, Obr. 3.u,v: Reziduální ACF a PACF modelu SARIMA(,0,)(0,,) c Porovnáním hodno "P-value" paramerů φ (0,000000), θ (0,006), µ (0,06335) a Θ (0,000000) s hladinou významnosi α (0,05) u provedeného -esu v ab. 3.4f, prokážeme hypoézu, že všechny paramery včeně konsany c = µ( - φ -φ ) jsou nenulové a odhadnuý model má formu ( - 0,9893B)( - B 4 )y = 0, ( - 0,58678B 4 )( - 0,77653B)a, lze jej vyjádři aké jako y = 0, ,9893y - + y -4-0,9893y a - 0,77653a - -0,58678a -4 +0,4405a -5. 9

120 ab. 3.4g obsahuje bodové a inervalové předpovědi časové řady na jednolivá čvrleí le ab. 3.4g. Předpovědi Forecas able for HDP_RAK Model: ARIMA(,0,)x(0,,)4 wih consan Mah adjusmen: Naural log Lower 95,0% Upper 95,0% Period Forecas Limi Limi Q.99 68,56 609,5 647,647 Q ,8 65,07 70,569 Q ,74 66,644 7,8 Q4.99 7, , ,038 Q ,795 67, ,806 Q ,74 659,76 753,34 Q3.00 7, ,79 776,34 Q ,58 696,994 86,009 Q.0 683,547 64, ,00 Q.0 735, ,57 8,8 Q , , ,499 Q ,07 704,733 88,67 Graf předpovědí je uveden na obr. 3.w a graf časové řady s vyrovnanými hodnoami a předpověďmi je zachycen na obr. 3.x Q.99 Q.00 Q.0 Q.0 Obr. 3.w: Předpovědi Q.64 Q.77 Q.90 Q.03 Obr. 3.x: Časová řada s předpověďmi 0

121 ) Ve vsupním panelu vložíme do řádku Daa časovou řadu HDP_RAK a v čási Sampling Inerval vybereme Quarer(s). V políčku Saring A přepíšeme nabízenou hodnou na Q.64 a do políčka Seasonaliy zadáme délku sezóny 4. Poče předpovědí zadáme do políčka Number of Forecass. ) Pro provedení logarimické ransformace vybereme v doplňkovém panelu Model Specificaions Opions (obr. 3.7) v čási Mah položku Naural log. 3) Ve sejném panelu, ale v čási ype zvolíme ARIMA Model a do všech políček v Parameers and erms a Differencing zadáme hodnou 0. 4) Z vybereme graf časové řady (obr. 3.a), graf reziduí, graf auokorelační funkce a parciální auokorelační funkce (obr. 3.b,c) a periodogram (obr. 3.d) a z vybereme navíc esy nahodilosi reziduí. 5) Podle grafů ACF, PACF a periodogramu logarimované časové řady zvolíme pro ransformaci nesezónní diferenci přepsáním nuly na jedničku v políčku Nonseasonal Order v čási Differencing. Odhadnuý model ARIMA(0,,0) c (ab. 3.4a) se objeví auomaicky ve výsledkovém okně, současně se přepočíá Boxův-Pierceův es a podle vypočíaných reziduí se překreslí všechny grafy (obr. 3.e-h). 6) Na základě grafů reziduální ACF a PACF a reziduálního periodogramu modelu ARIMA(0,,0) c dáme před nesezónní diferencí přednos diferenci sezónní. Změníme edy hodnou v políčku Nonseasonal Order opě na nulu a na jedničku přepíšeme nulu v políčku Seasonal Order. Odhadneme model SARIMA(0,0,0)(0,,0) c (ab. 3.4b) a zkonrolujeme překreslené grafy (obr. 3.i-l). 7) Z grafů reziduální ACF a PACF modelu SARIMA(0,0,0)(0,,0) c je parné, že bude vhodné rozšíři model o čás AR(). Přepíšeme proo v políčku AR nulu na jedničku. Odhadneme model SARIMA(,0,0)(0,,0) c (ab. 3.4c) a zkonrolujeme překreslené grafy (obr. 3.m-p). 8) Grafy reziduální ACF a PACF modelu SARIMA(,0,0)(0,,0) c indikují, že bude vhodné přida do modelu čás MA(). Přepíšeme edy v políčku MA nulu na jedničku. Odhadneme model SARIMA(,0,)(0,,0) c (ab. 3.4d) a zkonrolujeme překreslené grafy (obr. 3.q,r). 9) Podle grafů reziduální ACF a PACF modelu SARIMA(,0,)(0,,0) c rozšíříme model o sezónní čás SAR(). V políčku SAR přepíšeme nulu na jedničku a odhadneme model SARIMA(,0,)(,,0) c (ab. 3.4e) a zkonrolujeme překreslené grafy (obr. 3.s,). 0) Vložíme do modelu míso čási SAR() čás SMA(). V políčku SAR přepíšeme zpě jedničku na nulu a naopak v políčku SMA nulu na jedničku a odhadneme model SARIMA(,0,)(0,,) c (ab. 3.4f) a zkonrolujeme překreslené grafy (obr. 3.u,v).

122 Obr. 3.y: Doplňkový panel Model Specificaions Opions pro model SARIMA(,0,)(0,,) c ) Na základě zvoleného modelu SARIMA(,0,)(0,,) c vypočíáme předpovědi (ab. 3.4g). Zobrazíme graf předpovědí (obr. 3.w) a graf časové řady s vyrovnanými hodnoami a předpověďmi (obr. 3.x). Příklad 3.4 Pro měsíční časovou řadu M České republiky (M_CR), kerá je k dispozici v mld. Kč od ledna roku 993 do ledna roku 000 najděe vhodný model Boxovy-Jenkinsovy meodologie a na jeho základě vypočíeje předpovědi éo časové řady na rok. Průběh časové řady je zachycen na obr Z grafu je parné, že časová řada je nesacionární, ale není zcela zřejmé, zda obsahuje sezónní složku Obr. 3.3: Časová řada M České republiky Nesacionariu časové řady povrzuje i var ACF a PACF. Hodnoy ACF klesají velmi pomalu a první hodnoa, sejně jako u PACF, je blízká jedné. Periodogram má významný vrchol v nulové (nesezónní) frekvenci. Sezónnos neindikuje ani ACF a PACF, ani periodogram.

123 0,6 0, -0, -0, ,6 0, -0, -0, Obr. 3.3a,b: ACF a PACF původní časové řady (X,E6) 3,5,5 0, , 0, 0,3 0,4 0,5 Obr. 3.3c: Periodogram původní časové řady Časovou řadu budeme edy sacionarizova I. nesezónní diferencí. Odhad modelu ARIMA(0,,0) c obsahuje ab. 3.5a. ab. 3.5a. Výsupní abulka modelu ARIMA(0,,0) c Nonseasonal differencing of order: Forecas model seleced: ARIMA(0,,0) wih consan Number of forecass generaed: Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE,879 MAE 0,340 MAPE,0354 ME,89478E-4 MPE -0, ARIMA Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value Mean 9,4857,588 5,9763 0, Consan 9, Backforecasing: yes Esimaed whie noise variance =,879 wih 83 degrees of freedom Esimaed whie noise sandard deviaion = 4,556 Number of ieraions: ess for Randomness of residuals Box-Pierce es es based on firs 4 auocorrelaions Large sample es saisic = 9,4656 P-value = 8,350E-0 3

124 Rezidua a reziduální periodogram časové řady po nesezónní diferenci zobrazuje obr. 3.3d,e. Z grafu reziduí je parné, že časová řada je po nesezónní diferenci sacionární. oéž povrzuje i periodogram, kerý navíc odhaluje, že časová řada obsahuje sezónní složku X 000) , 0, 0,3 0,4 0,5 Obr. 3.3d,e: Rezidua a reziduální periodogram modelu ARIMA(0,,0) c Příomnos sezónní složky povrzují i reziduální ACF a PACF (obr. 3.3f,g), obě funkce mají saisicky významnou každou jedenácou zápornou hodnou a každou dvanácou kladnou hodnou, současně však je významná i první hodnoa. 0,6 0,6 0, 0, -0, -0, -0,6-0, Obr. 3.3f,g: Reziduální ACF a PACF modelu ARIMA(0,,0) c Z oho důvodu rozšíříme model nejprve o čás AR(). Budeme odhadova model ARIMA(,,0) c. 4

125 ab. 3.5b. Výsupní abulka modelu ARIMA(,,0) c Nonseasonal differencing of order: Forecas model seleced: ARIMA(,,0) wih consan Number of forecass generaed: Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE 99,78 MAE 0,0064 MAPE,004 ME -0, MPE 0, ARIMA Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value AR() -0,6304 0, ,4665 0,0743 Mean 9,45699,35 7, , Consan, Backforecasing: yes Esimaed whie noise variance = 99,87 wih 8 degrees of freedom Esimaed whie noise sandard deviaion = 4,36 Number of ieraions: ess for Randomness of residuals Box-Pierce es es based on firs 4 auocorrelaions Large sample es saisic = 7,455 P-value = 7,3453E-7 Rezidua a reziduální periodogram modelu ARIMA(,,0) c zobrazuje obr. 3.3h,i (X 000) 3,5,5 0, , 0, 0,3 0,4 0,5 Obr. 3.3h,i: Rezidua a reziduální periodogram modelu ARIMA(,,0) c 0,6 0,6 0, 0, -0, -0, -0,6-0, Obr. 3.3j,k: Reziduální ACF a PACF modelu ARIMA(,,0) c 5

126 Z grafů reziduální ACF a PACF je zřejmé, že rozšířením modelu o čás AR() zůsala sezónnos zachována, proo doplníme model o sezónní čás SAR(). Budeme odhadova model SARIMA(,,0)(,0,0) c. ab. 3.5c: Výsupní abulka modelu SARIMA(,,0)(,0,0) c Nonseasonal differencing of order: Forecas model seleced: ARIMA(,,0)x(,0,0) wih consan Number of forecass generaed: Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE,69 MAE 7,993 MAPE 0,7696 ME -0,08646 MPE -0,00866 ARIMA Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value AR() -0, ,5606-0, , SAR() 0, , ,93 0, Mean 9,44 3,0856,9378 0,0043 Consan, Backforecasing: yes Esimaed whie noise variance = 4,46 wih 8 degrees of freedom Esimaed whie noise sandard deviaion = 0,697 Number of ieraions: 4 ess for Randomness of residuals Box-Pierce es es based on firs 4 auocorrelaions Large sample es saisic =,63 P-value = 0,45095 Rezidua a reziduální periodogram modelu SARIMA(,,0)(,0,0) c jsou obdobná jako u modelu ARIMA(,,0) c. I když se hodnoy reziduální ACF a PACF (obr. 3.3l,m) snížily a hodnoa "P-value" Boxova-Pierceova esu se zvýšila (0,45095), z -esů paramerů modelu je zřejmé, že čás AR() do modelu nepaří. 0,6 0,6 0, 0, -0, -0, -0,6-0, Obr. 3.3l,m: Reziduální ACF a PACF modelu SARIMA(,,0)(,0,0) c Odhadneme edy model bez AR(), j. model SARIMA(0,,0)(,0,0) c. 6

127 ab. 3.5d. Výsupní abulka modelu SARIMA(0,,0)(,0,0) c Nonseasonal differencing of order: Forecas model seleced: ARIMA(0,,0)x(,0,0) wih consan Number of forecass generaed: Number of periods wihheld for validaion: 0 Esimaion Validaion Saisic Period Period MSE,57 MAE 7,89068 MAPE 0, ME -0, MPE 0,0094 ARIMA Model Summary Parameer Esimae Snd. Error P-value SAR() 0, , ,5865 0, Mean 9,849 3,507,6464 0,00975 Consan, Backforecasing: yes Esimaed whie noise variance =,955 wih 8 degrees of freedom Esimaed whie noise sandard deviaion = 0,68 Number of ieraions: 4 ess for Randomness of residuals Box-Pierce es es based on firs 4 auocorrelaions Large sample es saisic =,4806 P-value = 0,4947 Hodnoy reziduální ACF a PACF (obr. 3.3n,o) se již výrazně nesnížily, ale přeso lze předpokláda, že rezidua mají nesysemaický charaker. oo povrzuje i hodnoa Boxova-Pierceova esu (0,4947). 0,6 0,6 0, 0, -0, -0, -0,6-0, Obr. 3.3n,o: Reziduální ACF a PACF modelu SARIMA(0,,0)(,0,0) c Porovnáním hodno "P-value" paramerů Φ (0,000000) a µ (0,00975) s hladinou významnosi α (0,05) u provedeného -esu z ab. 3.5d prokážeme, že všechny paramery jsou nenulové a odhadnuý model má var ( - 0,74585B )( - B)y =, a, lze jej vyjádři aké jako y =, y - + 0,74585y - - 0,74585y -3 + a. ab. 3.5e obsahuje bodové a inervalové předpovědi měsíční časové řady na únor roku 000 až leden roku 00. 7

128 ab. 3.5e. Předpovědi Forecas able for M_CR Model: ARIMA(0,,0)x(,0,0) wih consan Lower 95,0% Upper 95,0% Period Forecas Limi Limi ,6 356, 398, ,48 36,58 4, ,0 36,4 434, ,6 368,3 45, ,08 373,8 468, ,3 375,53 479, ,3 369,9 48, ,35 379,55 499, ,9 384,47 5, ,7 390,86 54, ,68 39,56 53, ,85 47,6 564,09 Graf předpovědí je uveden na obr. 3.3p a graf časové řady s vyrovnanými hodnoami a předpověďmi je zachycen na obr. 3.3q Obr. 3.3p: Předpovědi Obr. 3.3q: Časová řada s předpověďmi ) Ve vsupním panelu vložíme do řádku Daa časovou řadu M_CR a v čási Sampling Inerval vybereme Monh(s). V políčku Saring A přepíšeme nabízenou hodnou na.93 a do políčka Seasonaliy zadáme délku sezóny. Poče předpovědí zadáme do políčka Number of Forecass. 8

129 ) V doplňkovém panelu Model Specificaions Opions (obr. 3.7) v čási ype zvolíme ARIMA Model a do všech políček v Parameers and erms a Differencing zadáme hodnou 0. 3) Z vybereme graf původní časové řady (obr. 3.3), graf auokorelační funkce a parciální auokorelační funkce (obr. 3.3a,b) a periodogram (obr. 3.3c). Z vybereme esy nahodilosi reziduí. 4) Podle grafů ACF, PACF a periodogramu původní časové řady zvolíme pro ransformaci časové řady nesezónní diferenci přepsáním nuly na jedničku v políčku Nonseasonal Order v čási Differencing. Odhadnuý model ARIMA(0,,0) c (ab. 3.5a) se objeví auomaicky ve výsledkovém okně, současně se přepočíá Boxův-Pierceův es a podle vypočíaných reziduí se překreslí všechny grafy (obr. 3.3d-g). 5) Z grafů reziduální ACF a PACF modelu ARIMA(0,,0) c vyplývá, že bude možné rozšíři model o čás AR(). Přepíšeme proo v políčku AR nulu na jedničku. Odhadneme model ARIMA(,,0) c (ab. 3.5b) a zkonrolujeme překreslené grafy (obr. 3.3h-k). 6) Grafy reziduální ACF a PACF modelu ARIMA(,,0) c indikují, že bude vhodné přida do modelu sezónní čás SAR(). Přepíšeme edy v políčku SAR nulu na jedničku a odhadneme model SARIMA(,,0)(,0,0) c (ab. 3.5c) a zkonrolujeme překreslené grafy (obr. 3.3l,m). 7) Z abulky výsledků zjisíme, že odhad parameru u AR() je saisicky nevýznamný a proo čás AR() z modelu vyloučíme. Do políčka AR zapíšeme nulu a odhadneme model SARIMA(0,,0)(,0,0) c (ab. 3.5d) a zkonrolujeme překreslené grafy (obr. 3.3n,o). Obr. 3.3r: Výřez doplňkového panelu Model Specificaions Opions pro model SARIMA(0,,0)(,0,0) c 8) Na základě zvoleného modelu SARIMA(0,,0)(,0,0) c vypočíáme předpovědi (ab. 3.5e). Zobrazíme graf předpovědí (obr. 3.3p) a graf původní časové řady s vyrovnanými hodnoami a předpověďmi (obr. 3.3q). 9

Analýza časových řad. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví. Biomedical Data Processing G r o u p

Analýza časových řad. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví. Biomedical Data Processing G r o u p Analýza časových řad Informační a komunikační echnologie ve zdravonicví Definice Řada je posloupnos hodno Časová řada chronologicky uspořádaná posloupnos hodno určiého saisického ukazaele formálně je realizací

Více

V EKONOMETRICKÉM MODELU

V EKONOMETRICKÉM MODELU J. Arl, Š. Radkovský ANALÝZA ZPOŽDĚNÍ V EKONOMETRICKÉM MODELU VP č. Praha Auoři: doc. Ing. Josef Arl, CSc. Ing. Šěpán Radkovský Názor a sanoviska v éo sudii jsou názor auorů a nemusí nuně odpovída názorům

Více

Vybrané metody statistické regulace procesu pro autokorelovaná data

Vybrané metody statistické regulace procesu pro autokorelovaná data XXVIII. ASR '2003 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, May 6, 2003 239 Vybrané meody saisické regulace procesu pro auokorelovaná daa NOSKIEVIČOVÁ, Darja Doc., Ing., CSc. Kaedra konroly a řízení jakosi,

Více

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu Makroekonomické modely se zabývají modelováním a analýzou vzahů mezi agregáními ekonomickými veličinami jako je důchod, spořeba, invesice, vládní výdaje,

Více

Schéma modelu důchodového systému

Schéma modelu důchodového systému Schéma modelu důchodového sysému Cílem následujícího exu je názorně popsa srukuru modelu, kerý slouží pro kvanifikaci příjmové i výdajové srany důchodového sysému v ČR, a o jak ve varianách paramerických,

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY Projek ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí regisrační číslo projeku: CZ.1.07/1.5.00/4.0948 IV- Inovace a zkvalinění výuky směřující k rozvoji maemaické gramonosi žáků sředních škol FINANČNÍ MATEMATIKA-

Více

Zhodnocení historie predikcí MF ČR

Zhodnocení historie predikcí MF ČR E Zhodnocení hisorie predikcí MF ČR První experimenální publikaci, kerá shrnovala minulý i očekávaný budoucí vývoj základních ekonomických indikáorů, vydalo MF ČR v lisopadu 1995. Tímo byl položen základ

Více

Modelování volatility akciového indexu FTSE 100

Modelování volatility akciového indexu FTSE 100 ISSN 805-06X 805-0638 (online) ETTN 07--0000-09-4 Modelování volailiy akciového indexu FTSE 00 Adam Borovička Vysoká škola ekonomická v Praze Fakula informaiky a saisiky Kaedra ekonomerie; nám. W. Churchilla

Více

7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU

7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU Indexy základní, řeězové a empo přírůsku Aleš Drobník srana 1 7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU V kapiole Indexy při časovém srovnání jsme si řekli: Časové srovnání vzniká, srovnáme-li jednu

Více

Klasifikace, identifikace a statistická analýza nestacionárních náhodných procesů

Klasifikace, identifikace a statistická analýza nestacionárních náhodných procesů Proceedings of Inernaional Scienific Conference of FME Session 4: Auomaion Conrol and Applied Informaics Paper 26 Klasifikace, idenifikace a saisická analýza nesacionárních náhodných procesů MORÁVKA, Jan

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY Kaedra obecné elekroechniky Fakula elekroechniky a inormaiky, VŠB - T Osrava. TOJFÁZOVÉ OBVODY.1 Úvod. Trojázová sousava. Spojení ází do hvězdy. Spojení ází do rojúhelníka.5 Výkon v rojázových souměrných

Více

Stochastické modelování úrokových sazeb

Stochastické modelování úrokových sazeb Sochasické modelování úrokových sazeb Michal Papež odbor řízení rizik 1 Sochasické modelování úrokových sazeb OBSAH PŘEDNÁŠKY Úvod do problemaiky sochasických procesů Brownův pohyb, Wienerův proces Ioovo

Více

STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ

STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ Saické a dnamické vlasnosi paří k základním vlasnosem regulovaných sousav, měřicích přísrojů, měřicích řeězců či jejich čásí. Zaímco saické vlasnosi se projevují

Více

Analogový komparátor

Analogový komparátor Analogový komparáor 1. Zadání: A. Na předloženém inverujícím komparáoru s hyserezí změře: a) převodní saickou charakerisiku = f ( ) s diodovým omezovačem při zvyšování i snižování vsupního napěí b) zaěžovací

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha V.E... sladíme 8 bodů; průměr 4,65; řešilo 23 sudenů Změře závislos eploy uhnuí vodného rozoku sacharózy na koncenraci za amosférického laku. Pikoš v zimě sladil chodník. eorie Pro vyjádření koncenrace

Více

ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU

ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU Obsah Co je o dnamika? 1 Základní veličin dnamik 1 Hmonos 1 Hbnos 1 Síla Newonov pohbové zákon První Newonův zákon - zákon servačnosi Druhý Newonův zákon - zákon síl Třeí

Více

Metodika zpracování finanční analýzy a Finanční udržitelnost projektů

Metodika zpracování finanční analýzy a Finanční udržitelnost projektů OPERAČNÍ PROGRAM ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ EVROPSKÁ UNIE Fond soudržnosi Evropský fond pro regionální rozvoj Pro vodu, vzduch a přírodu Meodika zpracování finanční analýzy a Finanční udržielnos projeků PŘÍLOHA

Více

Průzkumová analýza dat (Exploratory Data Analysis, EDA)

Průzkumová analýza dat (Exploratory Data Analysis, EDA) 19. února 2007 Přednáška 1 maeriály: přednášky zápoče: v průběhu semesr určiý projek na zápoče a na známku, kerá bude ke zkoušce zkouška: zadaný určiý problém, na něj zadaný určiý čas, zpracováván s využiím

Více

9 Viskoelastické modely

9 Viskoelastické modely 9 Viskoelasické modely Polymerní maeriály se chovají viskoelasicky, j. pod vlivem mechanického namáhání reagují současně jako pevné hookovské láky i jako viskózní newonské kapaliny. Viskoelasické maeriály

Více

APLIKACE INDEXU DAŇOVÉ PROGRESIVITY V PODMÍNKÁCH ČESKÉ REPUBLIKY

APLIKACE INDEXU DAŇOVÉ PROGRESIVITY V PODMÍNKÁCH ČESKÉ REPUBLIKY APLIKACE INDEXU DAŇOVÉ PROGRESIVIT V PODMÍNKÁCH ČESKÉ REPUBLIK Ramanová Ivea ABSTRAKT Příspěvek je věnován problemaice měření míry progresiviy zdanění pomocí indexu daňové progresiviy, kerý vychází z makroekonomických

Více

5 GRAFIKON VLAKOVÉ DOPRAVY

5 GRAFIKON VLAKOVÉ DOPRAVY 5 GRAFIKON LAKOÉ DOPRAY Jak známo, konsrukce grafikonu vlakové dopravy i kapaciní výpočy jsou nemyslielné bez znalosi hodno provozních inervalů a následných mezidobí. éo kapiole bude věnována pozornos

Více

Porovnání způsobů hodnocení investičních projektů na bázi kritéria NPV

Porovnání způsobů hodnocení investičních projektů na bázi kritéria NPV 3 mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-U Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí 6-7 září 2006 Porovnání způsobů hodnocení invesičních projeků na bázi kriéria Dana Dluhošová

Více

Teorie obnovy. Obnova

Teorie obnovy. Obnova Teorie obnovy Meoda operačního výzkumu, kerá za pomocí maemaických modelů zkoumá problémy hospodárnosi, výměny a provozuschopnosi echnických zařízení. Obnova Uskuečňuje se až po uplynuí určiého času činnosi

Více

Úloha II.E... je mi to šumák

Úloha II.E... je mi to šumák Úloha II.E... je mi o šumák 8 bodů; (chybí saisiky) Kupe si v lékárně šumivý celaskon nebo cokoliv, co se podává v ableách určených k rozpušění ve vodě. Změře, jak dlouho rvá rozpušění jedné abley v závislosi

Více

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA DOKTORSKÁ DISERTAČNÍ PRÁCE

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA DOKTORSKÁ DISERTAČNÍ PRÁCE ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA DOKTORSKÁ DISERTAČNÍ PRÁCE VYTVÁŘENÍ TRŽNÍ ROVNOVÁHY VYBRANÝCH ZEMĚDĚLSKO-POTRAVINÁŘSKÝCH PRODUKTŮ Ing. Michal Malý Školiel: Prof. Ing. Jiří

Více

Měření výkonnosti údržby prostřednictvím ukazatelů efektivnosti

Měření výkonnosti údržby prostřednictvím ukazatelů efektivnosti Měření výkonnosi údržby prosřednicvím ukazaelů efekivnosi Zdeněk Aleš, Václav Legá, Vladimír Jurča 1. Sledování efekiviy ve výrobní organizaci S rozvojem vědy a echniky je spojena řada požadavků kladených

Více

Prognózování vzdělanostních potřeb na období 2006 až 2010

Prognózování vzdělanostních potřeb na období 2006 až 2010 Prognózování vzdělanosních pořeb na období 2006 až 2010 Zpráva o savu a rozvoji modelu pro předvídání vzdělanosních pořeb ROA - CERGE v roce 2005 Vypracováno pro čás granového projeku Společnos vědění

Více

Úloha V.E... Vypař se!

Úloha V.E... Vypař se! Úloha V.E... Vypař se! 8 bodů; průměr 4,86; řešilo 28 sudenů Určee, jak závisí rychlos vypařování vody na povrchu, kerý ao kapalina zaujímá. Experimen proveďe alespoň pro pě různých vhodných nádob. Zamyslee

Více

FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD

FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Semesrální práce z předměu KMA/MAB Téma: Schopnos úrokového rhu předvída sazby v době krize Daum: 7..009 Bc. Jan Hegeď, A08N095P Úvod Jako éma pro

Více

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Unverza Tomáše Ba ve Zlíně ABOATONÍ VIČENÍ EEKTOTEHNIKY A PŮMYSOVÉ EEKTONIKY Název úlohy: Zpracoval: Měření čnného výkonu sřídavého proudu v jednofázové sí wamerem Per uzar, Josef Skupna: IT II/ Moravčík,

Více

Vojtěch Janoušek: III. Statistické zpracování a interpretace analytických dat

Vojtěch Janoušek: III. Statistické zpracování a interpretace analytických dat Vojěch Janoušek: III. Sascké zpracování a nerpreace analyckých da Úvod III. Zpracování a nerpreace analyckých da Sascké vyhodnocení analyckých da Zdroje chyb, přesnos a správnos analýzy Sysemacké chyby,

Více

Studie proveditelnosti (Osnova)

Studie proveditelnosti (Osnova) Sudie provedielnosi (Osnova) 1 Idenifikační údaje žadaele o podporu 1.1 Obchodní jméno Sídlo IČ/DIČ 1.2 Konakní osoba 1.3 Definice a popis projeku (max. 100 slov) 1.4 Sručná charakerisika předkladaele

Více

Národohospodářská fakulta

Národohospodářská fakulta Vysoká škola ekonomická v Praze Národohospodářská fakula Hlavní specializace: Ekonomie HOSPODÁŘSKÝ CYKLUS A NÁVŠTĚVNOST HISTORICKÝCH PAMÁTEK bakalářská práce Auor: Kaeřina Jůvová Vedoucí práce: Ing. Sára

Více

2.2.2 Měrná tepelná kapacita

2.2.2 Měrná tepelná kapacita .. Měrná epelná kapacia Předpoklady: 0 Pedagogická poznámka: Pokud necháe sudeny počía příklady samosaně, nesihnee hodinu za 45 minu. Můžee využí oho, že následující hodina je aké objemnější a použí pro

Více

PŘÍKLAD INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU

PŘÍKLAD INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU PŘÍKLAD INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovin v ČR. Sklizeň z několika posledních le jsme vložili do abulky 7.1. a) Jaké plodiny paří mezi obiloviny?

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evropský sociální fond Praha & EU: Invesujeme do vaší budoucnosi Ekonomika podniku Kaedra ekonomiky, manažersví a humaniních věd Fakula elekroechnická ČVUT v Praze Ing. Kučerková Blanka, 2011 Kriéria efekivnosi

Více

Řetězení stálých cen v národních účtech

Řetězení stálých cen v národních účtech Řeězení sálých cen v národních účech Michal Široký msiroky@gw.czso.cz Odbor čvrleních národních účů Na adesáém 8, 00 82 Praha 0 Řeězení sálých cen Podsaa řeězení Výhody a nevýhody řeězení Neadiivia objemů

Více

Bipolární tranzistor jako

Bipolární tranzistor jako Elekronické součásky - laboraorní cvičení 1 Bipolární ranzisor jako Úkol: 1. Bipolární ranzisor jako řízený odpor (spínač) ověření činnosi. 2. Unipolární ranzisor jako řízený odpor (spínač) ověření činnosi.

Více

Přednáška kurzu MPOV. Klasifikátory, strojové učení, automatické třídění 1

Přednáška kurzu MPOV. Klasifikátory, strojové učení, automatické třídění 1 Přednáška kurzu MPOV Klasifikáory, srojové učení, auomaické řídění 1 P. Peyovský (email: peyovsky@feec.vubr.cz), kancelář E530, Inegrovaný objek - 1/25 - Přednáška kurzu MPOV... 1 Pojmy... 3 Klasifikáor...

Více

4.5.8 Elektromagnetická indukce

4.5.8 Elektromagnetická indukce 4.5.8 Elekromagneická indukce Předpoklady: 4502, 4504 důležiý jev sojící v samých základech moderní civilizace všude kolem je spousa elekrických spořebičů, ale zaím jsme neprobrali žádný ekonomicky možný

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chb v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tto slid berte pouze jako doplňkový materiál není v nich

Více

Jakost, spolehlivost a teorie obnovy

Jakost, spolehlivost a teorie obnovy Jakos, spolehlivos a eorie obnovy opimální inerval obnovy, seskupování obnov, zráy z nedodržení normaivu Jakos, spolehlivos a obnova srojů Jakos vyjadřuje supeň splnění požadavků souborem inherenních znaků.

Více

Vliv struktury ekonomiky na vztah nezaměstnanosti a inflace

Vliv struktury ekonomiky na vztah nezaměstnanosti a inflace Mendelova univerzia v Brně Provozně ekonomická fakula Úsav ekonomie Vliv srukury ekonomiky na vzah nezaměsnanosi a inflace Diplomová práce Vedoucí práce: Ing. Milan Palá, Ph.D. Vypracoval: Bc. Jiří Morávek

Více

Úloha VI.3... pracovní pohovor

Úloha VI.3... pracovní pohovor Úloha VI.3... pracovní pohovor 4 body; průměr,39; řešilo 36 sudenů Jedna z pracoven lorda Veinariho má kruhový půdorys o poloměru R a je umísěna na ložiscích, díky nimž se může oáče kolem své osy. Pro

Více

Podzim 2004. Výzkumná práce 2 Sektorové produktivity a relativní cena neobchodovatelných statků: Opravdu příliš mnoho povyku pro nic?

Podzim 2004. Výzkumná práce 2 Sektorové produktivity a relativní cena neobchodovatelných statků: Opravdu příliš mnoho povyku pro nic? Podzim 24 Výzkumná práce 2 Sekorové produkiviy a relaivní cena neobchodovaelných saků: Opravdu příliš mnoho povyku pro nic? Makroekonomický vývoj 15 Akuální makroekonomický vývoj České republiky 32 Prognóza

Více

MENDELOVA ZEMĚDĚLSKÁ A LESNICKÁ UNIVERZITA V BRNĚ

MENDELOVA ZEMĚDĚLSKÁ A LESNICKÁ UNIVERZITA V BRNĚ MENDELOVA ZEMĚDĚLSKÁ A LESNICKÁ UNIVERZITA V BRNĚ PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA DEMOGRAFICKÁ DYNAMIKA OBYVATELSTVA ČESKÉ REPUBLIKY Bakalářská práce Vypracovala: Jana Horníčková Vedoucí bakalářské práce:

Více

Metodika transformace ukazatelů Bilancí národního hospodářství do Systému národního účetnictví

Metodika transformace ukazatelů Bilancí národního hospodářství do Systému národního účetnictví Vysoká škola ekonomická v Praze Fakula informaiky a saisiky Kaedra ekonomické saisiky Meodika ransformace ukazaelů Bilancí národního hospodářsví do Sysému národního účenicví Ing. Jaroslav Sixa, Ph.D. Doc.

Více

Práce a výkon při rekuperaci

Práce a výkon při rekuperaci Karel Hlava 1, Ladislav Mlynařík 2 Práce a výkon při rekuperaci Klíčová slova: jednofázová sousava 25 kv, 5 Hz, rekuperační brzdění, rekuperační výkon, rekuperační energie Úvod Trakční napájecí sousava

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Grafické metody analýzy ekonomických časových řad

Grafické metody analýzy ekonomických časových řad Statistika 32: (11), str. 483-493, ČSÚ, 1995. ISSN 0322-788x. Ing. Markéta ARLTOVÁ Ing. Josef ARLT, CSc. VŠE - katedra statistiky a pravděpodobnosti Grafické metody analýzy ekonomických časových řad Úvod

Více

Výsledný graf ukazuje následující obrázek.

Výsledný graf ukazuje následující obrázek. Úvod do problematiky GRAFY - SPOJNICOVÝ GRAF A XY A. Spojnicový graf Spojnicový graf používáme především v případě, kdy chceme graficky znázornit trend některé veličiny ve zvoleném časovém intervalu. V

Více

Modelování rizika úmrtnosti

Modelování rizika úmrtnosti 5. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí 8. - 9. září 200 Modelování rizika úmrnosi Ingrid Perová Absrak V příspěvku je řešena

Více

Popis regulátoru pro řízení směšovacích ventilů a TUV

Popis regulátoru pro řízení směšovacích ventilů a TUV Popis reguláoru pro řízení směšovacích venilů a TUV Reguláor je určen pro ekviermní řízení opení jak v rodinných domcích, ak i pro věší koelny. Umožňuje regulaci jednoho směšovacího okruhu, přípravu TUV

Více

Návod k obsluze. Vnitřní jednotka pro systém tepelných čerpadel vzduch-voda s příslušenstvím EKHBRD011ABV1 EKHBRD014ABV1 EKHBRD016ABV1

Návod k obsluze. Vnitřní jednotka pro systém tepelných čerpadel vzduch-voda s příslušenstvím EKHBRD011ABV1 EKHBRD014ABV1 EKHBRD016ABV1 Vniřní jednoka pro sysém epelných čerpadel vzduch-voda EKHBRD011ABV1 EKHBRD014ABV1 EKHBRD016ABV1 EKHBRD011ABY1 EKHBRD014ABY1 EKHBRD016ABY1 EKHBRD011ACV1 EKHBRD014ACV1 EKHBRD016ACV1 EKHBRD011ACY1 EKHBRD014ACY1

Více

PREDIKCE OPOTŘEBENÍ NA KONTAKTNÍ DVOJICI V TURBODMYCHADLE S PROMĚNNOU GEOMETRIÍ

PREDIKCE OPOTŘEBENÍ NA KONTAKTNÍ DVOJICI V TURBODMYCHADLE S PROMĚNNOU GEOMETRIÍ PREDIKCE OPOTŘEBENÍ NA KONTAKTNÍ DVOJICI V TURBODMYCHADLE S PROMĚNNOU GEOMETRIÍ Auoři: Ing. Radek Jandora, Honeywell spol s r.o. HTS CZ o.z., e-mail: radek.jandora@honeywell.com Anoace: V ovládacím mechanismu

Více

Výpočty populačních projekcí na katedře demografie Fakulty informatiky a statistiky VŠE. TomášFiala

Výpočty populačních projekcí na katedře demografie Fakulty informatiky a statistiky VŠE. TomášFiala Výpočy populačních projekcí na kaedře demografie Fakuly informaiky a saisiky VŠE TomášFiala 1 Komponenní meoda s migrací Zpravidla zjednodušený model migrace předpokládá se pouze imigrace na úrovni migračního

Více

Ekonomické aspekty spolehlivosti systémů

Ekonomické aspekty spolehlivosti systémů ČESKÁ SPOLEČNOST PRO JAKOST Novoného lávka 5, 116 68 Praha 1 43. SETKÁNÍ ODBORNÉ SKUPINY PRO SPOLEHLIVOST pořádané výborem Odborné skupiny pro spolehlivos k problemaice Ekonomické aspeky spolehlivosi sysémů

Více

Pokud data zadáme přes "Commands" okno: SDF1$X1<-c(1:15) //vytvoření řady čísel od 1 do 15 SDF1$Y1<-c(1.5,3,4.5,5,6,8,9,11,13,14,15,16,18.

Pokud data zadáme přes Commands okno: SDF1$X1<-c(1:15) //vytvoření řady čísel od 1 do 15 SDF1$Y1<-c(1.5,3,4.5,5,6,8,9,11,13,14,15,16,18. Regresní analýza; transformace dat Pro řešení vztahů mezi proměnnými kontinuálního typu používáme korelační a regresní analýzy. Korelace se používá pokud nelze určit "kauzalitu". Regresní analýza je určena

Více

( ) ( ) NÁVRH CHLADIČE VENKOVNÍHO VZDUCHU. Vladimír Zmrhal. ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav techniky prostředí Vladimir.Zmrhal@fs.cvut.

( ) ( ) NÁVRH CHLADIČE VENKOVNÍHO VZDUCHU. Vladimír Zmrhal. ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav techniky prostředí Vladimir.Zmrhal@fs.cvut. 21. konference Klimaizace a věrání 14 OS 01 Klimaizace a věrání STP 14 NÁVRH CHLADIČ VNKOVNÍHO VZDUCHU Vladimír Zmrhal ČVUT v Praze, Fakula srojní, Úsav echniky prosředí Vladimir.Zmrhal@fs.cvu.cz ANOTAC

Více

Příjmově typizovaný jedinec (PTJ)

Příjmově typizovaný jedinec (PTJ) Příjmově ypizovaný jeinec (PTJ) V éo čási jsou popsány charakerisiky zv. příjmově ypizovaného jeince (PTJ), j. jeince, kerý je určiým konkréním způsobem efinován. Slouží jako násroj k posouzení opaů ůchoových

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

Univerzita Pardubice. Dopravní fakulta Jana Pernera

Univerzita Pardubice. Dopravní fakulta Jana Pernera Univerzia Pardubice Dopravní fakula Jana Pernera Fakory ovlivňující popávku po osobních auomobilech v ČR Bc. Tomáš Mikas Diplomová práce 2011 Prohlašuji: Tuo práci jsem vypracoval samosaně. Veškeré lierární

Více

INDIKÁTORY HODNOCENÍ EFEKTIVNOSTI VÝDAJŮ MÍSTNÍCH ROZPOČTŮ DO OBLASTI NAKLÁDÁNÍ S ODPADY

INDIKÁTORY HODNOCENÍ EFEKTIVNOSTI VÝDAJŮ MÍSTNÍCH ROZPOČTŮ DO OBLASTI NAKLÁDÁNÍ S ODPADY INDIKÁTORY HODNOCENÍ EFEKTIVNOSTI VÝDAJŮ MÍSTNÍCH ROZPOČTŮ DO OBLASTI NAKLÁDÁNÍ S ODPADY Jana Soukopová Anoace Příspěvek obsahuje dílčí výsledky provedené analýzy výdajů na ochranu živoního prosředí z

Více

Simulace důchodových dávek z navrhovaného příspěvkově definovaného penzijního systému v ČR

Simulace důchodových dávek z navrhovaného příspěvkově definovaného penzijního systému v ČR 3. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí 6.-7. září 006 Simulace důchodových dávek z navrhovaného příspěvkově definovaného

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V RNĚ RNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ENERGY INSTITUTE PRUŽNÉ SPOJKY NA PRINCIPU TEKUTIN FLEXILE COUPLINGS

Více

1/77 Navrhování tepelných čerpadel

1/77 Navrhování tepelných čerpadel 1/77 Navrhování epelných čerpadel paramery epelného čerpadla provozní režimy, navrhování akumulace epla bilancování inervalová meoda sezónní opný fakor 2/77 Paramery epelného čerpadla opný výkon Q k [kw]

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

VÝNOSOVÉ KŘIVKY A JEJICH VYUŽITÍ VE FINANČNÍ PRAXI

VÝNOSOVÉ KŘIVKY A JEJICH VYUŽITÍ VE FINANČNÍ PRAXI Masarykova univerzia Přírodovědecká fakula VÝNOSOVÉ KŘIVKY A JEJICH VYUŽITÍ VE FINANČNÍ PRAXI Bakalářská práce Lucie Pečinková Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Per ČERVINEK Brno 202 Bibliografický záznam

Více

Zobrazování černobílých snímků v nepravých barvách

Zobrazování černobílých snímků v nepravých barvách VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV RADIOELEKTRONIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF

Více

Modelování spotřeby vybraných výrobků prodaných nápojovými a prodejními automaty společnosti Petrov group s.r.o.

Modelování spotřeby vybraných výrobků prodaných nápojovými a prodejními automaty společnosti Petrov group s.r.o. Mendelova univerzia v Brně Provozně ekonomická fakula Modelování spořey vyraných výroků prodaných nápojovými a prodejními auomay společnosi Perov group s.r.o. Bakalářská práce Vedoucí práce: Ing. Pavel

Více

Inflace po vstupu do měnové unie vybrané problémy 1

Inflace po vstupu do měnové unie vybrané problémy 1 Inflace po vsupu do měnové unie vybrané problémy 1 Jan Kubíček (leden 23, pracovní verze) Úvod Realia evropské měnové unie a edy společné moneární poliiky zalačuje do pozadí oázku inflačního diferenciálu

Více

Srovnání výnosnosti základních obchodních strategií technické analýzy při obchodování měn CZK/USD a CZK/EUR 1

Srovnání výnosnosti základních obchodních strategií technické analýzy při obchodování měn CZK/USD a CZK/EUR 1 Výnosnos obchodních sraegií echnické analýzy Michal Dvořák Srovnání výnosnosi základních obchodních sraegií echnické analýzy při obchodování měn CZK/USD a CZK/EUR Verze 3 03 Michal Dvořák Záměr Na přednáškách

Více

SROVNÁNí APROXIMAČNíCH METOD V TEORII RIZIKA

SROVNÁNí APROXIMAČNíCH METOD V TEORII RIZIKA ROBUST 000, 47 56 c JČMF 001 SROVNÁNí APROXIMAČNíCH METOD V TEORII RIZIKA MARTIN ROTKOVSKÝ Absrak. One of he main erms of he risk heory is so called individual model, which describes for example oal aggregae

Více

Standard IAS 19 a výpočet výše rezervy na zaměstnanecké benefity. Šárka Hezoučká

Standard IAS 19 a výpočet výše rezervy na zaměstnanecké benefity. Šárka Hezoučká Sandard IAS 9 a výpoče výše rezervy na zaměsnanecké benefiy Šárka Hezoučká Agenda Rezerva na zaměsnanecké benefiy Typy zaměsnaneckých benefiů Moivace pro vorbu rezervy Sandard IAS 9 Výpoče rezervy Přírůsková

Více

Oceňování finančních investic

Oceňování finančních investic Oceňování finančních invesic A. Dluhopisy (bondy, obligace). Klasifikace obligací a) podle kupónu - konvenční obligace (sraigh, plain vanilla, bulle bond) vyplácí pravidelný (roční, pololení) kupón po

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Měrné teplo je definováno jako množství tepla, kterým se teplota definované hmoty zvýší o 1 K

Měrné teplo je definováno jako množství tepla, kterým se teplota definované hmoty zvýší o 1 K 1. KAPITOLA TEPELNÉ VLASTNOSTI Tepelné vlasnosi maeriálů jsou charakerizovány pomocí epelných konsan jako měrné eplo, eploní a epelná vodivos, lineární a objemová rozažnos. U polymerních maeriálů má eploa

Více

1.5.3 Výkon, účinnost

1.5.3 Výkon, účinnost 1.5. Výkon, účinnos ředpoklady: 151 ř. 1: ři výběru zahradního čerpadla mohl er vybíra ze ří čerpadel. rvní čerpadlo vyčerpá za 1 sekundu,5 l vody, druhé čerpadlo vyčerpá za minuu lirů vody a řeí vyčerpá

Více

Nelineární regrese v chemické kinetice

Nelineární regrese v chemické kinetice Kaedra eoreické a fyzikální chemie, Přírodovědecká fakula MU, rno Nelineární regrese v chemické kineice Miroslav Holík F 457/999 Obsah Úvod Čás - Regresní rovnice. Lineární regrese. Vícerozměrná lineární

Více

ZÁKLADY ELEKTRICKÝCH POHONŮ (EP) Určeno pro posluchače bakalářských studijních programů FS

ZÁKLADY ELEKTRICKÝCH POHONŮ (EP) Určeno pro posluchače bakalářských studijních programů FS ZÁKLADY ELEKTRICKÝCH OHONŮ (E) Určeno pro posluchače bakalářských sudijních programů FS Obsah 1. Úvod (definice, rozdělení, provozní pojmy,). racovní savy pohonu 3. Základy mechaniky a kinemaiky pohonu

Více

2.1 POHYB 2.2 POLOHA A POSUNUTÍ

2.1 POHYB 2.2 POLOHA A POSUNUTÍ 2 P ÌmoËar pohyb V roce 1977 vyvo ila Kiy OíNeilov rekord v z vodech dragser. Dos hla ehdy rychlosi 628,85 km/h za pouh ch 3,72 s. Jin rekord ohoo ypu zaznamenal v roce 1958 Eli Beeding ml. p i jìzdï na

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ Fakula regionálního rozvoje a mezinárodních sudií Analýza vybraných demografických ukazaelů Chile Bakalářská práce Auor: Marina Jeřábková Vedoucí práce: PhDr. Dana Hübelová,

Více

1.1.18 Rovnoměrně zrychlený pohyb v příkladech IV

1.1.18 Rovnoměrně zrychlený pohyb v příkladech IV 8 Rovnoměně ychlený pohyb v příkladech IV Předpoklady: 7 Pedagogická ponámka: Česká škola v současné době budí ve sudenech předsavu, že poblémy se řeší ásadně najednou Sudeni ak mají obovské poblémy v

Více

Vysoká škola ekonomická v Praze Recenzované studie. Working Papers Fakulty mezinárodních vztahů

Vysoká škola ekonomická v Praze Recenzované studie. Working Papers Fakulty mezinárodních vztahů Vysoká škola ekonomická v Praze Recenzované sudie Working Papers Fakuly mezinárodních vzahů 12/2010 Míra nezaměsnanosi neakcelerující inflaci a hospodářský cyklus v prosředí České republiky hisorie a možný

Více

Laboratorní práce č. 1: Pozorování tepelné výměny

Laboratorní práce č. 1: Pozorování tepelné výměny Přírodní vědy moderně a inerakivně FYZIKA 1. ročník šesileého sudia Laboraorní práce č. 1: Pozorování epelné výměny Přírodní vědy moderně a inerakivně FYZIKA 1. ročník šesileého sudia Tes k laboraorní

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

POPIS OBVODŮ U2402B, U2405B

POPIS OBVODŮ U2402B, U2405B Novodvorská 994, 142 21 Praha 4 Tel. 239 043 478, Fax: 241 492 691, E-mail: info@asicenrum.cz ========== ========= ======== ======= ====== ===== ==== === == = POPIS OBVODŮ U2402B, U2405B Oba dva obvody

Více

Hydrostatické váhy. HANA MALINOVÁ Katedra didaktiky fyziky, MFF UK. Princip hydrostatického vážení. Veletrh nápadů učitelů fyziky 14

Hydrostatické váhy. HANA MALINOVÁ Katedra didaktiky fyziky, MFF UK. Princip hydrostatického vážení. Veletrh nápadů učitelů fyziky 14 Velerh nápadů učielů fyziky 4 Hydrosaické váhy HANA MALINOVÁ Kaedra didakiky fyziky, MFF UK V příspěvku bude prezenována eoda hydrosaického vážení, kerá se používá na určování husoy různých aeriálů. Žáci

Více

Věstník ČNB částka 25/2007 ze dne 16. listopadu 2007

Věstník ČNB částka 25/2007 ze dne 16. listopadu 2007 Třídící znak 1 0 7 0 7 6 1 0 ŘEDITEL SEKCE BANKOVNÍCH OBCHODŮ ČESKÉ NÁRODNÍ BANKY VYHLAŠUJE ÚPLNÉ ZNĚNÍ OPATŘENÍ ČESKÉ NÁRODNÍ BANKY Č. 2/2003 VĚST. ČNB, KTERÝM SE STANOVÍ PODMÍNKY TVORBY POVINNÝCH MINIMÁLNÍCH

Více

Předmět normy. Obsah normy ČSN EN 10083-1. Použití ocelí uvedených v normě. Klasifikace ocelí

Předmět normy. Obsah normy ČSN EN 10083-1. Použití ocelí uvedených v normě. Klasifikace ocelí Předmě normy Obsah normy ČSN EN 100831 Použií ocelí uvedených v normě Klasifikace ocelí Způsob výroby oceli Způsob dodávání Vlasnosi charakerizující značku oceli Technologické vlasnosi Srukura Vniřní jakos

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ

Více

Manuál k vyrovnávacímu nástroji pro tvorbu cen pro vodné a stočné

Manuál k vyrovnávacímu nástroji pro tvorbu cen pro vodné a stočné OPERAČNÍ PROGRAM ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ EVROPSKÁ UNIE Fond soudržnosi Evropský fond pro regionální rozvoj Pro vodu, vzduch a přírodu Manuál k vyrovnávacímu násroji pro vorbu cen pro vodné a sočné MINISTERSTVO

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Léto 2005. Výzkumná práce 2 Peníze a ekonomika: Jak se vlastně ovlivňují?

Léto 2005. Výzkumná práce 2 Peníze a ekonomika: Jak se vlastně ovlivňují? NEWTON College, a. s. www.newoncollege.cz Léo 25 Výzkumná práce 2 Peníze a ekonomika: Jak se vlasně ovlivňují? Makroekonomický vývoj 12 Akuální makroekonomický vývoj České republiky 31 Prognóza ekonomických

Více

Tabulky únosnosti tvarovaných / trapézových plechů z hliníku a jeho slitin.

Tabulky únosnosti tvarovaných / trapézových plechů z hliníku a jeho slitin. Tabulky únosnosi varovaných / rapézových plechů z hliníku a jeho sliin. Obsah: Úvod Základní pojmy Příklad použií abulek Vysvělivky 4 5 6 Tvarovaný plech KOB 00 7 Trapézové plechy z Al a jeho sliin KOB

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Zásady hodnocení ekonomické efektivnosti energetických projektů

Zásady hodnocení ekonomické efektivnosti energetických projektů Absrak Zásady hodnocení ekonomické efekivnosi energeických projeků Jaroslav Knápek, Oldřich Sarý, Jiří Vašíček ČVUT FEL, kaedra ekonomiky Každý energeický projek má své ekonomické souvislosi. Invesor,

Více

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy Ekonometrická analýza proces, skládající se z následujících fází: a) specifikace b) kvantifikace c) verifikace d) aplikace Postupné zpřesňování jednotlivých

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Dotazníkové šetření 1 - souhrnný výsledek za ORP

Dotazníkové šetření 1 - souhrnný výsledek za ORP Doazníkové šeření 1 - souhrnný výsledek za ORP Název ORP Polička Poče odpovědí 21 Podpora meziobecní spolupráce, reg. číslo: CZ.1.04/4.1.00/B8.00001 1. V jakých oblasech výborně či velmi dobře spolupracujee

Více