OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ TERMODYNAMIKA A STATISTICKÁ FYZIKA DALIBOR DVOŘÁK

Transkript

1 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ TERMODYNAMIKA A STATISTICKÁ FYZIKA DALIBOR DVOŘÁK OSTRAVA 004

2 - Recenzent: Doc RNDr Ladslav Sklenák, CSc Prof RNDr Vlém Mádr, CSc Název: Termodynamka a statstcká fyzka Autor: Doc RNDr Dalbor Dvořák, CSc Vydání: první, 004 Počet stran: 60 Studjní materály pro dstanční kurz Termodynamka a statstcká fyzka Jazyková korektura nebyla provedena, za jazykovou stránku odpovídá autor Vydavatel: Ostravská unverzta v Ostravě, Doc RNDr Doc RNDr Dalbor Dvořák, CSc Ostravská unverzta v Ostravě

3 -3 Obsah předmětu ÚVOD -5 Termodynamka a statstcká fyzka-6 Základní pojmy, představy a modely -8 3 Stav termodynamcké rovnováhy- TERMODYNAMIKA-3 Vratné a nevratné procesy-3 Termodynamcké prncpy -6 První termodynamcký prncp-6 Tepelná kapacta, kalormetrcká rovnce -9 3 Termodynamcká teplota a druhý termodynamcký prncp - 4 Účnnost tepelných strojů, Carnotův cyklus -4 5 Třetí termodynamcký prncp-7 3 Podmínky termodynamcké rovnováhy -8 4 Fázové přechody -9 4 Fázový dagram-3 3 STATISTICKÁ FYZIKA Statstka a počet pravděpodobnost Základní defnce a pojmy Defnce pravděpodobnost Rozdělovací funkce a hustota rozdělení pravděpodobnost Střední hodnota a střední kvadratcká odchylka náhodné velčny Gaussovo normální rozdělení ZÁKLADNÍ POJMY A IDEJE STATISTICKÉ FYZIKY Výchozí předpoklady a deje Hustota pravděpodobnost stavu soustavy Kvantověmechancká soustava Prncp nerozlštelnost kvantvěmechanckých částc Bosony a fermony VYBRANÉ APLIKACE STATISTICKÝCH ZÁKONŮ Klascký deální plyn Vntřní energe a měrné teplo deálního plynu Tlak plynu Kvantověmechancký deální plyn3-5

4 Termoemse elektronů deální fermonový plyn Záření absolutně černého tělesa deální bosonový plyn Další zdroje: 4-57

5 ÚVOD Cíle předmětu Tento předmět má za cíl seznámt čtenáře se základy termodynamky a statstcké fyzky Tyto dvě zdánlvě odlšné fyzkální dscplíny mají stejný cíl, totž popsat chování fyzkální soustavy A jestlže fenomenologcký pops, který využívá termodynamka, je pro většnu z nás pochoptelný, zdá se představa o částcové struktuře hmoty a zejména o možnost na jejím základě vyvodt praktcké poznatky absurdní Zejména uvědomíme-l s velkost těchto částc 0-9 m, nebo jejch počet 0 6! A přece byly vypracovány myšlenkové postupy a teore, které s s těmto nepředstavtelně malým nebo naopak velkým čísly dovedou poradt Osobně se domnívám, že pro každého přemýšlvého člověka musí být uvedené teore vzrušující ntelektuální dobrodružství Tyto teore přnášejí nejen naprosto nezvyklý obraz o přírodě, ale používají jný a složtější matematcký aparát Protože současný vědecký a technologcký pokrok je založen na výsledcích uvedených teorí, pokládáme za nutné Vás seznámt alespoň s hlavním dejem těchto teorí Po prostudování textu budete znát: důvody vznku uvedených teorí, hlavní deje, ze kterých uvedené teore vycházejí a základní pojmy, které používají, nejdůležtější matematcké nástroje př formulac základních rovnc, nejdůležtější výsledky a závěry, některé jednoduché aplkace Budete schopn: uvést důvody vznku uvedených teorí, vysvětlt hlavní deje, ze kterých uvedené teore vycházejí a základní pojmy, které používají a čím se lší od klascké fyzky, demonstrovat na základě jednoduchých aplkací nejdůležtější výsledky a závěry uvedených teorí Průvodce studem Př sepsování předkládaného textu se m vybavly vzpomínky na moje první setkání s moderní fyzkou Byla to kvantová fyzka a já jsem byl zpočátku zmaten mně nepochoptelnou pojmovou a formální složtostí této teore Vždyť atom, polovodč, Mendělejevova soustava prvků to byly pojmy, které jsem běžně suverénně používal! Ale teprve s postupným porozuměním základních dejí a představ kvantové fyzky jsem pochopl kolk ntelektuálního úslí bylo třeba k pochopení a vytvoření pro mě tak banálních pojmů A já jsem byl překvapen krásou myšlenek a logkou myšlenkových úvah, které byly spojeny se vznkem a vypracováním této teore Přál bych Vám, abyste zažl, stejně jako já, ten vzrušující poct, když náhle porozumíte tomu, co se jevlo zpočátku tajemně a naprosto nepřístupně Vašemu chápání Př studu předkládaného textu doporučuj př prvním čtení přeskočt zpočátku nejasná místa výkladu a vrátt se k nm po přečtení celé kaptoly, kdy získáte představu o její celkové struktuře Osobně m pomáhalo pro pochopení tématu pečlvé přečtení řešených příkladů

6 -6 V této kaptole se dozvíte: základní deje a modely statstcké fyzky základy statstky a počtu pravděpodobnost základní vztahy statstcké fyzky o postupech př aplkacích metod statstcké fyzky na vybraných problémech Klíčová slova této kaptoly: Statstcká fyzka, pravděpodobnost, částcová struktura, hustota pravděpodobnost, Čas potřebný k prostudování učva kaptoly: 35 hod Termodynamka a statstcká fyzka Termodynamka a statstcká fyzka jsou uváděny jako dva samostatné fyzkální obory, mají však mnoho společného a navzájem se ovlvňují a prolínají Společný je především předmět jejch zkoumání - oba se zabývají vlastnostm a chováním fyzkálních soustav Fyzkální soustavou přtom může být šálek kávy, kosmcká loď nebo planetární systém To, co tyto dva obory odlšuje, je způsob popsu dané fyzkální soustavy Termodynamka využívá fenomenologcký postup, který bezděčně použje každý, dostane-l např za úkol popsat svůj pracovní stůl Řekne as jak je stůl velký, z čeho je zhotoven, jakou má barvu atd Př fenomenologckém popsu volíme tedy jsté všeobecně známé pojmy a velčny - fenomény, jako je velkost, barva, materál, které upřesňujeme tak, aby co nejlépe popsaly předmět našeho zájmu Stejně postupuje termodynamka Př fenomenologckém popsu používáme parametry (fyzkální velčny), jako je např délka, hmotnost, hustota, elektrcká vodvost apod, jejchž pomocí se snažíme co nejlépe popsat předmět našeho zájmu, označovaný jako fyzkální soustava Zkušenost ukazuje, že stav dané fyzkální soustavy je určen nejen vlastnostm samotné soustavy ale vnějším podmínkam, ve kterých se soustava nalézá Např feromagnetka (Fe, N apod) se působením vnějšího magnetckého pole zmagnetzují, kapalny v beztížném stavu zaujmou tvar koule apod Můžeme tedy parametry, které popsují stav dané soustavy rozdělt na parametry vntřní, které popsují vlastnost soustavy jako takové (hustota, tlak, magnetzace, atd) a parametry vnější, které popsují vnější podmínky, ve kterých se soustava nachází (ntenzta vnějšího elektrckého pole, přítomnost gravtační pole, atd) Vnějším parametry jsou většnou charakterstky vnějších fyzkálních polí Mez vnější parametry řadíme však objem V soustavy Kvaltatvně dělíme parametry dále na extenzvní, to jsou parametry, které závsejí adtvně na velkost soustavy, např hmotnost, objem, energe, apod a parametry ntenzvní, které jsou na velkost soustavy nezávslé, např teplota, čas, tlak, atd Je-l soustava S složena z podsoustav S, S, a tedy platí S = S + S + a L je extensvní parametr, potom pro výslednou hodnotu parametru L soustavy S platí L = L + L +, kde L, jsou hodnoty parametru L pro jednotlvé podsoustavy, L Kvaltatvní porovnání vlastností soustav lze provádět pouze pomocí ntenzvních parametrů Převod extenzvního parametru na parametr ntenzvní lze provést tak, že extenzvní velčnu vztáhneme na jednotkové množství, vyjádříme j ve tvaru měrné velčny V prax se je tímto jednotkovým množstvím jednotka hmotnost - kg, délky- m, plochy m, objemu m 3, látkového množství mol, počet molekul N

7 -7 Aby pops byl co nejobjektvnější a přesný, charakterzujeme zvolené parametry číselnou hodnotou, kterou získáme prostřednctvím měření Termodynamka tedy popsuje fyzkální soustavu pomocí naměřených hodnot zvolených parametrů (velčn) Jejch počet a přesnost měření záleží na tom, jak přesný pops dané soustavy vyžadujeme Přtom musíme vzít v úvahu, že čím větší máme nároky na přesnost popsu, tím více musíme vynaložt úslí nákladů Je tedy rozumné s předem ujasnt, jak přesný pops je pro daný účel dostatečný a podle toho volt rozsah přesnost měření Možné souvslost a vztahy mez velčnam použtým k popsu - např mez objemem a hmotností, mez elektrckým proudem a napětím apod - zjšťujeme v termodynamce tak, že dáváme do souvslostí jejch sobě s odpovídající naměřené hodnoty Zjstíme-l na základě rozboru naměřených hodnot mez sledovaným velčnam závslost, označujeme j jako emprckou závslost Postup statstcké fyzky se od termodynamky odlšuje tím, že od samého počátku všech úvah vychází z faktu, že všechny látky mají částcovou strukturu a skládají se z atomů a molekul Část pro zájemce Myšlenka o částcové struktuře hmoty se poprvé objevla už v antce Podle učení řeckého flosofa DEMOKRITA Z ABDÉR ( přnl) a jeho pokračovatele EPIKURA ZE SAMU (34-70 přnl) jsou základem světa dva prncpy - atomy a prázdno a z nch je vytvořen svět kolem nás I když je toto tvrzení v souladu s výsledky moderní fyzky, bylo ve své době pouze hypotézou a spekulací Myšlenka o atomové struktuře hmoty se objevuje znovu až koncem 7století v pracích R BOYLA (67-69) a je dále rozvíjena zejména M V LOMONOSOVEM (7-765) a J DALTONEM ( ) Objev elektronu a rozvoj statstcké fyzky ve druhé polovně 9stol plně potvrdl správnost představ o částcové struktuře hmoty Objev částcové struktury hmoty je jedním z nejpozoruhodnějších poznatků, ke kterým dospěla moderní fyzka Na jeho základě je současná věda schopna vysvětlt a pochopt většnu jevů, které kolem sebe pozorujeme a odpovědět na otázky - proč je sklo průhledné a křehké, jak to, že kovy vedou elektrcký proud a zolanty jej nevedou Proč má uhlík někdy formu měkkých a kluzkých sazí a jndy tvrdého damantu Co se děje, když voda vře a když dochází k jejímu mrznutí Objev částcové struktury látek umožnl na jedné straně výrobu ntegrovaných obvodů, tvořících základ počítačů a na druhé straně otevřel cestu k pochopení přenosu dědčných nformací Nepřímo lze na částcovou strukturu látek usuzovat z některých fyzkálních jevů Takovým jevem je např dfúze Kápneme-l několk kapek tuše do sklence čsté vody, dojde bez míchání po nějakém čase ke stejnoměrnému zbarvení vody v celém jejím objemu Stejně tak cítíme vůn oběda mmo místnost, v níž je oběd přpravován Vysvětlení obou jevů je z hledska částcové struktury hmoty prosté V obou případech dochází ke vzájemným srážkám molekul látek tvořících danou směs V prvém případě jde o molekuly vody a tuše, ve druhém případě o molekuly vzduchu a molekuly vůně, které se uvolní př vaření z přpravovaného pokrmu Následkem srážek mez molekulam dojde k jejch postupnému samovolnému promísení, přčemž v případě plynů probíhá tento proces vzhledem k mnohem menšímu vzájemnému působení molekul rychlej Dalším jevem, který svědčí o částcové struktuře látek, je Brownův pohyb Francouzský lékař CH E BROWN-SÉQUARD (87-894) pozoroval př mkroskopckém zkoumání pylových zrnek ve vodě jejch nepravdelný pohyb Vysvětlení tohoto jevu je opět prosté Pohyb pylových zrnek je pasvní a je vyvolán náhodným srážkam pylových zrnek s molekulam vody př jejch chaotckém tepelném pohybu Teoretcké vysvětlení tohoto jevu

8 -8 podal AEnsten Je zajímavé, že př expermentálním výzkumu Brownova pohybu byla poprvé určena hodnota Avogadrovy konstanty N A Úkol k textu Pokuste se nalézt další příklady jevů kolem Vás, př jejchž výkladu lze použít představu o částcové struktuře látek Základní pojmy, představy a modely Základní otázka, na kterou musíme odpovědět, se týká částc, z nchž se daná látka skládá Obklopuje nás tsíce věcí nejrůznější povahy kvetoucí tulpán nebo obrazovka počítače Jsou částce, z nchž se tyto systémy skládají různé nebo jsou s podobné? Ukazuje se, že odpověď na tuto otázku záleží na podrobnost našeho popsu Chceme-l zachovat chemckou odlšnost jednotlvých látek, musíme jednotlvé látky popsovat pomocí molekul částc, které s ještě zachovávají charakter dané látky Protože každá chemcky čstá látka má "svoj" molekulu, exstují tsíce a mlóny molekul a díky chemkům vznkají stále molekuly nové Půjdeme-l v našem popsu hlouběj, zjstíme, že molekuly se skládají z menších částc atomů Počet různých atomů je však podstatně menší Je jch tolk, kolk je prvků v perodcké tabulce prvků; v současné době je to as 0 prvků a zásluhou jaderných fyzků se tento počet stále zvětšuje Pomocí stále výkonnějších urychlovačů elementárních částc vznkají prvky nové, tak trochu "umělé", neboť se v přírodě volně nevyskytují, dávno se jž rozpadly Je udvující, že všechny ty nejrůznější látky kolem nás se skládají z molekul, které lze složt pouze z několka desítek různých atomů Ve skutečnost je většna látek, s nmž přcházíme do styku, vytvořena z daleko menšího počtu atomů, vz tab Fascnující je přtom skutečnost, že ze stejných atomů jako Země jsou složeny nejvzdálenější galaxe Prvek Zastoupení Zastoupení Prvek [%] [%] O 46,60 Na,83 S 7,7 K,59 Al 8,3 Mg,09 Fe 5,00 T 0,44 Ca 3,63 H 0,4 Tab Zastoupení prvků na Zem (zbytek do 00% tvoří prvky se zastoupením menším než 0,4 %) Půjdeme-l v našem popsu ještě hlouběj, zjstíme, že atomy jsou složeny z částc protonů, neutronů a elektronů Př výzkumu vzájemných nterakcí těchto částc byly objeveny další částce mezony, hyperony atd Ukázalo se, že tyto částce lze "složt" z ještě elementárnějších částc kvarků Tvoří-l kvarky základní hmotu, z níž je vytvořen vesmír, není ještě v současné době jasné Shrnutí Všechny dosavadní poznatky nás utvrzují v přesvědčení, že svět kolem nás a celý vesmír má jednotný materální základ a tvoří systém, který se řídí stejným přírodním zákony Jak jsou molekuly a atomy velké? Z výsledků kvantové fyzky a krystalografckých měření vyplývá, že velkost atomů a molekul je řádově 0-9 až 0-0 m Je třeba s přtom uvědomt, že molekulu může tvořt jedný atom v případě vzácných plynů, nebo stovky a tsíce

9 -9 atomů, jak je tomu v případě makromolekulárních organckých látek Úvaha, která umožňuje provést přblžný odhad velkost atomu nebo molekuly, je uvedena v závěru této kaptoly Pokusme se odhadnout, kolk atomů vytváří předměty, které nás obklopují šálek, knha, mkrovlnná trouba apod Velkost těchto předmětů je řádově v decmetrech Přblžný počet atomů, které je tvoří, dostaneme tak, že objem těchto předmětů V 0-3 m 3 vydělíme přblžným objemem jednoho atomu V m 3 Výsledkem je přblžně 0 4 atomů číslo, k jehož zapsání potřebujeme 5 číslc! Základní představy o částcové struktuře hmoty jsou shrnuty v knetcké teor látek Podle této teore, jsou částce, z kterých je látka složena, v neustálém pohybu a vzájemně na sebe slově působí Celková energe částc E je tedy určena součtem jejch energe knetcké E k a energe vzájemného působení - energe potencální E p E = E k + E p, () Určení hodnot E k a E p není pro soubor velkého počtu molekul nebo atomů jednoduché Přesný pops chování jednotlvých částc není praktcky možné Energe každé částce má totž zcela náhodnou hodnotu Ukazuje se však, že je možné určt pravděpodobnost, s níž může mít částce danou hodnotu energe Pro pops chování a vlastností velkého souboru (makrosouboru) atomů a molekul, není dokonce vůbec nutné znát hodnoty potřebných parametrů pro každou částc zvlášť Zkušenost ukazuje, že pro pops makrosouboru zcela postačí znalost střední (průměrné) hodnoty těchto parametrů Úkol k zamyšlení Porovnáním hodnot potencální a knetcké energe můžeme rozlšt tř různá skupenství látek: E k >> E p vzájemné působení částc je velm malé Částce jsou navzájem velm slabě vázány a pohybují se téměř volně Tento stav označujeme jako skupenství plynné E k << E p částce jsou k sobě vázány velm slně Tento stav označujeme jako skupenství pevné 3 Ek E p hodnoty knetcké potenconální energe jsou přblžně stejné Pohyb částc je částečně omezen Tento stav označujeme jako skupenství kapalné Známe-l rozdělení pravděpodobnost hodnot energe v soustavě částc, můžeme střední hodnoty potřebných parametrů soustavy určt metodam matematcké statstky a počtu pravděpodobnost Fyzkální dscplína, která se těmto postupy a výpočty zabývá se nazývá statstcká fyzka Na obr je grafcky znázorněn vztah mez termodynamkou a statstckou fyzkou Je zřejmé, že v případech, kdy potřebujeme znát a pracovat s počty atomů a molekul, je nepraktcké tento počet znovu zjšťovat a pracovat s tak velkým čísly Proto byla zavedena fyzkální velčna látkové množství, jejíž jednotkou je mol Určujeme-l látkové množství, zjšťujeme počet molekul nebo atomů nepřímo prostřednctvím jejch hmotnost Využíváme přtom skutečnost, že všechny atomy jsou složeny ze stejných částc - elektronů, protonů a neutronů Hmotnost protonů a neutronů je přblžně stejná, hmotnost elektronů je as 800- krát menší Proto o hmotnost atomu rozhoduje počet jeho jaderných částc protonů a neutronů

10 -0 Fyzkální soustava Termodynamka Statstcká fyzka Vnější a vntřní parametry Fyzkální prncpy Počet pravděpodobnost statstka Měření Statstcký soubor Termodynamcké prncpy Hustota pravděpodobnost Emprcké vztahy Střední hodnota Obr Schématcký vztah mez termodynamkou a statstckou fyzkou Dohodou bylo stanoveno, že atomová hmotnostní jednotka m u má hmotnost / hmotnost atomu uhlíku 6 C, jehož jádro je tvořeno 6 protony a 6 neutrony Měřením byla zjštěna její hodnota m u =, kg Tento zotop uhlíku byl využt př defnc jednotky látkového množství: mol je látkové množství, obsahující počet částc (atomů, molekul nebo ontů), který je shodný s počtem atomů ve g uhlíku, zotopu 6 C Mol je základní jednotkou látkového množství v soustavě SI Dělíme-l hmotnost atomu m a daného prvku nebo molekuly m m dané látky atomovou hmotnostní jednotkou m u, dostaneme jejch relatvní atomovou A r nebo molekulovou M r hmotnost ma mm A r = ; M r = m m u Výhodnost relatvní atomové nebo molekulové hmotnost je v tom, že umožňuje pracovat s číselným hodnotam, na které jsme zvyklí Hmotnost atomu uhlíku 6 C je m C = m u = 9, kg, jeho relatvní atomová hmotnost je však "jen" A r = Relatvní hmotnost je dána poměrem stejných velčn a je proto bezrozměrná [A r ] = [M r ] = Počet částc v jednom molu jakékolv chemcky čsté látky je roven Avogadrově konstantě, jejíž hodnota byla expermentálně stanovena na N A = 6,00 3 mol - Látkové množství n soustavy částc (atomů, molekul nebo ontů) je rovno podílu počtu N částc této soustavy a Avogadrovy konstanty: u

11 - N n = ; [] n = mol N A Molární hmotnost M m je defnovaná jako podíl hmotnost m látky a jejího látkového množství n: m 3 M m = ; [ M m ] = kg mol ( M m = M r 0 kg mol ) n Chceme-l znát počet atomů nebo molekul v soustavě známé hmotnost, zjstíme pomocí molární hmotnost počet molů, z nchž se soustava skládá a vynásobíme jej Avogadrovou konstantou Molární objem V m je defnován jako podíl objemu V dané látky za daných podmínek a odpovídajícího látkového množství n: V 3 Vm = ; [ Vm ] = m mol n Řešená úloha č Kolk molekul přestavuje objem dcl chemcky čsté vody? Řešení úlohy: Dané velčny: H O ; V = dcl = 0 m -3 ; ρ = 0 3 kgm -3 ; Hmotnost daného objemu vody je m = ρv => m = 0, kg Látkové množství vody určíme pomocí její relatvní molekulové hmotnost: H O => M r = A H,r + A O,r ; A H,r =, A O,r = 6 => M r = + 6 = 8; M m = 80-3 kgmol - n = m/m m => n = 0,/0,08 mol =, mol Počet molekul vody je N = n N A a tedy N =,6,00 3 = 6,70 4 dcl čsté vody představuje 6,70 4 molekul H O Řešená úloha č Odhadněte rozměry molekuly vody pomocí Avogadrovy konstanty Řešení úlohy: Dané velčny: H O ; N A = 6,00 3 mol - ; ρ = 0 3 kgm -3 ; Protože nám jde pouze o přblžný odhad velkost molekuly, budeme j modelovat co nejjednodušším geometrckým tělesem - např krychlčkou o délce hrany a Objem jedné molekuly je a 3 ; n molekul vody zaujímá objem V = n a 3 a její celková hmotnost je m = ρv = ρna 3 = nm m, kde ρ je hustota vody a m m hmotnost jedné její molekuly Pro hledanou velkost dostáváme m m ρ a = 3 Hmotnost m m určíme pomocí molární hmotnost vody (H O) M m = M r 0-3 kgmol - = 80-3 kgmol - a Avogadrovy konstanty N A = 6,003 mol - pomocí vztahu

12 - m m 3 M m 80 6 = = =,990 kg 3 N 6,00 A Dosadíme-l tuto hmotnost do vztahu pro délku hrany krychle, dostaneme a = 3,0-9 m Přblžná velkost molekuly vody je 3,0-9 m Úkol k zamyšlení Uvedená úvaha je příkladem, ukazujícím důležtost Avogadrovy konstanty N A Tato konstanta umožňuje přechod od termodynamckého popsu k popsu pomocí statstcké fyzky nebo jnak - od popsu, př němž předpokládáme spojté rozložení látky k popsu, př němž předpokládáme její nespojté rozložení v podobě atomů, molekul nebo ontů Ukazuje se však, že když je struktura látky částcová, je možné v případě, kdy je daná soustava dostatečně velká (početná), popsovat změny této soustavy spojtě Je to výhodné zejména proto, že v tomto případě lze využít metody ntegrálního a dferencálního počtu Za krtérum, pomocí něhož můžeme rozhodnout o možnost spojtého popsu, slouží např podíl celkové hmotnost m dané soustavy k hmotnost m 0 částc, z nchž se soustava skládá Termodynamcký, tj spojtý pops dané soustavy je možný tehdy, platí-l: m >> m0 Úloha č : Určete molární hmotnost molekuly sacharózy (cukru), má-l chemcký vzorec C H O Určete molární hmotnost vzduchu Pro jednoduchost předpokládejte, že vzduch tvoří směs složená ze 79% dusíku a % kyslíku Molekuly obou plynů jsou dvouatomové 3 Předpokládejme, že vaše polévková lžíce o hmotnost g je z nerezové ocel, která je sltnou 84,9 % železa, 5 % chrómu a 0,% uhlíku Určete počet molekul, které tuto lžíc tvoří ŘEŠENÍ : 34,3 gmol - 8,84 gmol - 3,40 3 Shrnutí Př použtí představy o částcové struktuře hmoty jsou důležtým pojmy: Látkové množství, mol, relatvní atomová a molekulová hmotnost, Avogadrova konstanta 3 Stav termodynamcké rovnováhy Uvažujme lbovolnou fyzkální soustavu a pokusme se popsat změnu stavu této soustavy, vyvolanou např jejím zahřáním nebo ochlazením Jstě bude záležet na tom, bude-l zahřívání probíhat pozvolna např na elektrckém vařč, nebo velm rychle např pomocí výbuchu Pops procesů, které probíhají během výbuchu, bude rozhodně obtížnější Zásadní rozdíl obou uvedených procesů je v rychlost změn velčn (parametrů), popsujících okamžtý stav dané soustavy Př výbuchu se tyto parametry např teplota, tlak, objem apod, mění podstatně rychlej než př ohřevu na elektrckém vařč Nejjednodušší případ nastává tehdy, jsou-l změny všech parametrů dané soustavy nulové

13 -3 Jsou-l všechny velčny popsující stav soustavy v čase konstantní, označujeme tento stav jako stav termodynamcké rovnováhy Zkušenost ukazuje, že ponecháme-l lbovolnou fyzkální soustavu dostatečně dlouhou dobu v daných podmínkách v kldu, přejde samovolně do stavu termodynamcké rovnováhy, př níž všechny pozorovatelné procesy v dané soustavě ustanou a střední hodnoty změřených hodnot parametrů, popsujících její stav, se ustálí na jstých, dále jž se neměnících hodnotách Provedeme-l nyní "nepatrnou" a dostatečně pomalou změnu těchto parametrů, změní se stav soustavy jen "nepatrně" a soustava bude velm blízko stavu termodynamcké rovnováhy Tento stav označujeme jako kvazrovnovážný (téměř rovnovážný) Výhoda kvazrovnovážných, tzn velm malých a pomalých změn, spočívá v tom, že ač měníme stav soustavy, můžeme soustavu popsovat jako termodynamcky rovnovážnou a chyba, které se přtom dopouštíme, je zanedbatelná Př všech našch dalších úvahách budeme vždy předpokládat, že daná soustava je buď v rovnovážném stavu, nebo že probíhající změny probíhají kvazrovnovážně Korespondenční úkol Popšte jak zjstíte, že šálek horkého čaje, který jste osladl dvěma lžčkam cukru je ve stavu termodynamcké rovnováhy TERMODYNAMIKA V této kaptole se dozvíte: základní postupy př fenomenologckém popsu fyzkální soustavy co jsou to termodynamcké prncpy jak lze určt účnnost tepelných strojů co to jsou fázové přechody Klíčová slova této kaptoly: Termodynamka, fenomenologcký pops, termodynamcké prncpy, fázové přechody, Carnotův cyklus Čas potřebný k prostudování učva kaptoly: 5 hod Vratné a nevratné procesy Podle tzv prvního postulátu termodynamky platí: Každý makroskopcký systém, který je od jstého časového okamžku v daných časové neměnných vnějších podmínkách, nevyhnutelně dospěje do stavu termodynamcké rovnováhy, v němž neexstují žádné makroskopcké procesy a změny Ve stavu termodynamcké rovnováhy mají všechny makroskopcké parametry časově konstantní hodnoty Po vznku termodynamcké rovnováhy je jakákolv změna makroskopckého stavu možná pouze následkem vnějšího zásahu Z uvedeného postulátu vyplývá jednak defnce stavu termodynamcké rovnováhy je to stav, ve kterém mají všechny makroskopcké parametry časové konstantní hodnoty, jednak

14 -4 je řečeno co se děje, změníme-l vnější podmínky dané soustavy spustíme makroskopcké procesy změny, které směřují k novému stavu termodynamcké rovnováhy, který odpovídá novým, změněným podmínkám V uvedeném tvrzení je nutné upřesnt pojem konstantní hodnota Konkrétní hodnoty parametrů systému zjšťujeme měřením Vzhledem k výskytu náhodných chyb mohou se hodnoty opakovaných měření navzájem lšt Střední nebol průměrná hodnota však musí být stejná Ve stavu termodynamcké rovnováhy tedy platí pro střední hodnotu lbovolného parametru α daného systému τ α = lm α() t dt = const, τ τ 0 kde t je čas Pops soustavy ve stavu termodynamcké rovnováhy je snadný, neboť hodnoty všech parametrů jsou stálé Abychom blíže prozkoumal podmínky ustavení stavu termodynamcké rovnováhy, budeme analyzovat chování systému, jehož stav byl narušen malou změnou vnějších parametrů Bude-l tato změna dostatečně malá, pojem dostatečně malá upřesníme pozděj, lze předpokládat, že alespoň lokálně bude systém v přblžně rovnovážném (kvazrovnovážném) stavu Potom podle postulátů fenomenologcké termodynamky lze lbovolný vntřní parametr β tohoto systému vyjádřt jako funkc souboru vnějších parametrů α, α,, α n a teploty T v lbovolném časovém okamžku t ( n ) () t ( t), ( t),, ( t), T( t) β = β α α α () Uvedený vztah označujeme jako stavovou rovnc Ze zkušenost je známo, že nerovnovážné hodnoty vntřních parametrů v daném časovém okamžku podstatně závsejí na průběhu procesu, tj na způsobu jak bylo těchto hodnot dosaženo Exstuje tedy jstý vlv hstore systému na okamžté hodnoty vntřních parametrů Vyjádříme-l vzájemné ovlvňování stavů v časových okamžcích t a t pomocí korelační funkce K( t t ), lze př respektování prncpu kauzalty vyjádřt vlv procesů proběhlých v čase t < t na hodnotu vntřního parametru β v čase t vztahem t () = ( ) β( ) β t K t t t dt () Uvedený předpoklad označujeme někdy jako teor lneární dědčnost a funkce K( t t ) se někdy označuje jako funkce zapomínání, tzn že hodnoty této funkce klesají s růstem nerovnost t < t Uvedený přístup předpokládá, že že stav systému v současnost je jstým váženým průměrem všech stavů, které tomuto stavu předcházely Po substtuc τ = t t a β t τ podle mocnn parametru τ pomocí rozvoje funkce ( ) () t β() t n β β( t τ) = β( t) + & α + T& τ + = α T τ= 0 τ= 0 n β() t β() t β() t + αα j + αt& + T τ & +!, j= α α j α 0 T T τ = τ= 0 τ= 0 && & K,

15 -5 kde & α, T & jsou časové dervace (rychlost změn) vnějších parametrů a teploty systému, upravíme vztah () na tvar () t β() t n β β() t = β() t K( τ) dτ + & α + T& K( τ) τdτ + 0 = α T K (3) τ= 0 τ= 0 0 Jak je z rovnce (3) patrné, lze vlv hstore systému na jeho okamžtý stav popsat udáním hodnot rychlost změn všech jeho vnějších parametrů a teploty Jsou-l pak hodnoty všech těchto rychlostí v každém okamžku malé, přechází rovnce (3) na rovnovážný tvar (), pouze s tou změnou, že je nutné uvažovat okamžté hodnoty vnějších parametrů a teploty Termodynamcká rovnováha bude přtom téměř zachována hodnoty parametrů nejsou konstantní! Tento stav označujeme jako kvazrovnovážný Př obrácení běhu času se ve vztahu (3) změní znaménko rychlost změn vnějších parametrů a teploty a proces probíhá v opačném smyslu, přčemž prochází všem mezstavy v opačném pořadí takovýto proces označujeme jako vratný! Zkušenost tento závěr potvrzuje kvazrovnovážné změny jsou vratné; mohou samovolně probíhat v opačném směru Vyvolá-l vratná změna např vzrůst teploty, lze tuto změnu "obrátt", tj provést tak, že vyvolá teplotní pokles Představa vratných změn v termodynamce je přblžná a zjednodušuje skutečnost Samovolně probíhající přírodní děje jsou však vždy více nebo méně nevratné Její výhodou je značné zjednodušení úvah a matematckých postupů souvsejících s popsem a výkladem termodynamckých dějů, přčemž nepřesnost které s dopouštíme je praktcky zanedbatelná Z výše uvedených skutečností vyplývají dva důležté závěry: v případech, kdy potřebujeme zachytt vlv předchozí hstore systému na jeho okamžtý stav (reologe, plastcta, magnetzace, ) můžeme toto provést pomocí vztahu (3), tj v prvním přblížení přdáním členů s lneární závslostí na rychlost změn vnějších parametrů a teploty ve všech případech, kdy ve funkčních závslostech vntřních parametrů vystupují rychlost změn vnějších parametrů se jedná o nevratné procesy, př kterých nutně dochází k dspac energe a systém potřebných vztahů je nutné doplnt o závslost, která zachycuje tuto dspac Upřesníme nyní pojem dostatečně pomalý proces Dospěje-l daný systém př změně vnějších parametrů α nebo teploty T samovolně do nového stavu termodynamcké rovnováhy za čas t ( α, T) r, tzv relaxační doba, určuje podíl α tr, resp Ttr rychlost relaxace systému Relaxační doba t r je určena mechansmem těch procesů, které vedou ke vznku termodynamcké rovnováhy daného systému Její hodnoty se pohybují od hodnot řádově 0-9 sec např př tlakových změnách plynů za normálních podmínek až např 0 5 let u horotvorných procesů Dostatečně pomalý kvazstatcký bude pak takový proces, př kterém platí pro každou skutečnou rychlost změny vnějších parametrů a tepoty nerovnost Shrnutí α T & α,resp T&, =, K, n t t r Pro vratný průběh daného procesu není rozhodující velkost změn stavových parametrů ale rychlost těchto změn r

16 -6 Termodynamcké prncpy První termodynamcký prncp Stav dané látky, např její skupenství, není dáno jednou provždy ale lze je měnt Voda může exstovat ve skupenství pevném jako led, ve skupenství kapalném jako voda ve skupenství plynném jako vodní pára Podle rov () musíme př změně skupenství změnt poměr mez potencální a knetckou energí částc dané soustavy Tuto změnu lze provést dodáním nebo odebráním energe dané soustavě Nejjednodušším způsobem provedení této změny je zahřátí nebo ochlazení soustavy Zahříváme-l led - roztaje, ochlazujeme-l vodu - zmrzne Energ, přjímanou nebo uvolňovanou částcem látky (molekulam, atomy) př jejím zahřívání nebo ochlazování, nazýváme teplo Co se vlastně př zahřívání, ochlazování, nebo krátce př výměně tepla mez soustavou a jejím okolím, děje? V předcházejících kaptolách jsme ukázal, že z hledska molekulové fyzky dochází př výměně tepla ke změně energe částc, z nchž je látka nebo soustava složena Př zahřívání dochází k růstu především knetcké energe částc - částce se po zahřátí pohybují rychlej, po ochlazení pomalej Pohyb těchto částc za normálních podmínek, které označujeme jako makropodmínky, samozřejmě nevnímáme - říkáme, že je mkroskopcký Celkovou energ soustavy E C můžeme rozdělt na část, která má původ v mkroskopckém pohybu a vzájemném působení jejích částc, tuto energ nazýváme vntřní energe U soustavy a na část E T, která má původ v makroskopckém pohybu dané soustavy a její poloze v tíhovém pol Země Z mechanky je známo, že soustavu částc lze nahradt jejím hmotným středem - myšleným hmotným bodem, jehož hmotnost je rovna celkové hmotnost soustavy V homogenním tíhovém pol je hmotný střed soustavy částc totožný s jejím těžštěm Energ E T lze tedy ztotožnt s mechanckou energí těžště soustavy Pro celkovou energ soustavy E pak platí E = U + C E T Protože úvahy ve statstcké fyzce se výrazně zjednoduší, uvažujeme-l pouze vntřní energ soustavy U, budeme dále pracovat pouze s touto energí Naše úvahy tím neztratí nc na své obecnost a v případě nutnost získáme hodnotu celkové energe E C soustavy jednoduše přčtením hodnoty E T Změnu vntřní energe dané soustavy můžeme vyvolat dodáním nebo odebráním tepla - jejím zahřáním nebo ochlazením Ke změně vntřní energe však může dojít jným způsobem Z hodn tělocvku mají mnozí nepříjemnou zkušenost, když se př šplhu na tyč spustl přílš rychle dolů a "spáll" s přtom dlaně Z hledska termodynamky přtom došlo k zvětšení vntřní energe vašch dlaní na úkor potencální tíhové energe Toto zvětšení vntřní energe se projevlo nepříjemným zvýšením teploty kůže dlaní Př přípravě jídel v mkrovlnné troubě není použt žádný zdroj tepla a přesto dochází k zahřátí vložených potravn Ke zvýšení jejch vntřní energe, spojenému se zvýšením jejch teploty, dochází pohlcováním elektromagnetckého záření, které do uzavřeného prostoru trouby vysílá vysokofrekvenční generátor Nebo jný příklad proces hoření Př zapálení kusu dřeva dochází k oxdac organckých látek, které tvoří dřevnou hmotu Př této reakc dochází k uvolnění energe chemcké vazby těchto organckých sloučenn, které vyvolá zvýšení vntřní energe plynných spaln - látek, které vznkají v důsledku oxdace Zvýšení vntřní energe spaln, které se projevuje jejch značnou teplotou, je tak velké, že tyto plyny část energe vyzařují ve formě vdtelného nevdtelného (tepelného) záření

17 -7 Tyto příklady ukazují, že zvýšení vntřní energe lze vyvolat nejen dodáním tepla, ale mechanckou prací, pohlcením elektromagnetckého záření nebo chemckou reakcí Všem uvedeným příkladům je společné to, že ke změně vntřní energe soustavy dochází na úkor jné energe - gravtační v případě šplhu, elektromagnetcké v případě mkrovlnné trouby nebo energe chemcké vazby v případě hoření Příslušná fyzkální pole přtom působla na soustavu slam a tyto síly konaly prác Ke změně vntřní energe du soustavy může tedy dojít nejen tepelnou výměnou dq ale prací dw sl, které na soustavu působí a tedy du = dq dw Toto tvrzení označujeme jako první termodynamcký prncp Dříve než uskutečníme rozbor tohoto zákona, provedeme následující dohodu (konvenc) o znaménku hodnot příslušných velčn, vz obr Elementární teplo dq, které bylo soustavě dodané bude kladné ( + dq ), naopak elementární teplo, které soustava uvolnla bude záporné ( dq) Podobně elementární práce vykonaná soustavou na jejím okolí bude kladná (+dw) a elementární práce soustavou spotřebovaná, tj práce kterou vykonaly síly, jmž na soustavu působí její okolí bude záporná (-dw) Dodržování této znaménkové konvence je nutné proto, aby matematcké vyjádření obecných vztahů a prncpů bylo jednoznačné a abychom př matematckých výpočtech mohl (př kladném nebo záporném výsledku) rozhodnout o tom, zda se jedná o teplo dodané nebo odevzdané nebo o spotřebovanou č vykonanou prác V některých učebncích je použto jné znaménkové konvence, v níž je práce vykonaná soustavou záporná - W Práce dodaná - Q Teplo uvolněné Soustava + Q Teplo dodané + W Práce vykonaná Obr Znaménková konvence pro teplo Q a prác W Jaký je tedy obsah prvního termodynamckého prncpu? Ze vztahu du = dq dw vyplývá, že např přírůstek vntřní energe ( du > 0) dané fyzkální soustavy se děje na úkor dodaného tepla (dq > 0) a práce vykonané okolím soustavy ( dw < 0)

18 -8 Matematcká formulace prvního termodynamckého prncpu patří mez základní fyzkální vztahy a vyjadřuje obecně platný prncp zachování energe V mechance platí zákon zachování mechancké energe Mechancká energe je však jen jedna z forem energe V našch předchozích příkladech byly uvedeny další možné formy energe - teplo, energe elektromagnetckého pole, energe chemcké vazby atd Zatímco zákon zachování v mechance platí pouze pro mechanckou energ, platnost prvního termodynamckého prncpu se vztahuje na veškerou energ celého vesmíru Některé z vás možná napadne otázka: Platí první termodynamcký prncp skutečně pro veškerou energ vesmíru, když možná exstují takové formy energe, které ještě neznáme? První termodynamcký prncp je označován za prncp proto, že jsme přesvědčen o jeho obecné platnost když j nemůžeme dokázat Přesvědčení o jeho obecné platnost vychází ze zkušenost není znám případ, kdy by tento prncp selhal I v stuacích, kdy vznkly pochybnost o jeho platnost, vždy podrobný rozbor ukázal, že chyba nebyla v prncpu, nýbrž byla buď v chybném měření, nebo v chybných úvahách, které mu předcházely anebo v nekorektní nterpretac výsledků měření Zpravdla přtom nebyla do celkové blance energe zahrnuta některá její forma, nebo např doposud neznámá částce apod Hlubší obsah prvního termodynamckého prncpu prokázala specální teore relatvty, uvádějící souvslost mez energí a hmotou mez prncpem zachování energe a prncpem zachování hmoty Platnost prvního termodynamckého prncpu se tak dostala do přímé souvslost s flosofckým názorem o materální podstatě a jednotě světa Je-l soustava ve stavu termodynamcké rovnováhy, má její vntřní energe jstou hodnotu, která tento stav charakterzuje Vntřní energe je proto stavová velčna Teplo a prác však ve stavu termodynamcké rovnováhy ( du = 0) nelze určt Teprve př změně stavu soustavy ( du 0), je tato změna vntřní energe podle prvního termodynamckého prncpu rovna součtu přjatého nebo odevzdaného elementárního tepla a spotřebované nebo vykonané elementární práce Ukazuje se, že př dané změně vntřní energe není poměr mez teplem a prací, které jsou s touto změnou spojeny, určen jednoznačně Hodnota poměru tepla dq a práce dw př téže změně vntřní energe soustavy du závsí na procesech (termodynamckých dějích), které v soustavě probíhají Teplo a práce jsou tedy, na rozdíl od vntřní energe, velčny procesní Změnu vntřní energe je možné obecně provést za nejrůznějších podmínek - nejrůznějším termodynamckým děj Některé z těchto dějů se však používají častěj než ostatní Většnou je to proto, že podmínky průběh těchto dějů lze praktcky snadno realzovat teoretcky popsat Nejčastěj používané děje, s nmž se můžeme v prax setkat, jsou: děje př stálé teplotě (zotermcké: T = konst), děje př stálém tlaku (zobarcké: p = konst), děje př stálém objemu (zochorcké: V = konst), děje, př nchž nedochází k tepelné výměně (adabatcké: Q = 0) S prvním termodynamckým prncpem úzce souvsí hstorcký problém sestrojení perpetum moble (prvního druhu) - zařízení, které by se po počátečním mpulsu "věčně" pohybovalo a konalo prác, anž by přtom spotřebovávalo další energ První termodynamcký prncp popírá možnost exstence takového zařízení, neboť z jeho matematckého vyjádření dw = du + dq plyne, že každé zařízení koná prác dw > 0 na úkor své vntřní energe - du < 0 nebo dodaného tepla dq > 0 Pro perpetuum moble prvního druhu musíme položt dq = 0 - zařízení by mělo pracovat bez dodání jakékolv energe Z rovnce dw = du však plyne, že jakékolv zařízení může bez dodávky energe pracovat pouze do vyčerpání své vntřní energe a po jejím vyčerpání se musí zastavt

19 -9 Stále však exstují ldé, kteří tento závěr nechtějí uznat, popírají platnost prvního termodynamckého prncpu a snaží se perpetuum moble sestrojt Dodnes se jm to však přes jejch obrovskou vůl, nápadtost a vytrvalost nepodařlo Naprostá většna zařízení, vyrobených podle jejch návrhů, se dříve č pozděj zastavla a u těch, které (zdánlvě) fungovaly, se vždy prokázalo, že nebyla splněna podmínka dq = 0 a zařízení odebíralo energ ze svého okolí Shrnutí První prncp termodynamky představuje jeden ze základů moderní fyzky Jeho obsahem je přesvědčení, že celková energe vesmíru se nemění Energe nevznká an nezanká, energe se pouze transformuje Tepelná kapacta, kalormetrcká rovnce Obecná platnost prvního termodynamckého prncpu umožňuje jeho použtí př řešení nejrůznějších problémů Ukažme s aplkac tohoto prncpu př určení teploty soustavy (těles) v termodynamcky rovnovážném stavu a př vyjádření tzvtepelné kapacty tělesa Rovnc, vyjadřující první termodynamcký prncp, s nejdříve zjednodušíme předpokladem, že změny objemu sledované soustavy jsou zanedbatelné a tedy sledovaný proces probíhá zochorcky, dv = 0 První termodynamcký prncp má př zochorckém děj tvar du = dq V Tento vztah, umožňující určt množství dodaného nebo odevzdaného tepla pomocí změny vntřní energe, nazýváme kalormetcká rovnce soustavy Dodáme-l (zochorcky) soustavě teplo dq V, zvýší se její teplota o dt Podíl tepla dq V a teplotní změny dt, kterou dodání tohoto tepla soustavě vyvolá, označujeme jako tepelnou kapactu C V soustavy za zochorckých podmínek Q CV = ; C V = J K T V Dojde-l k tepelné výměně za jných podmínek, označíme to jným vhodným ndexem Tepelná kapacta soustavy př daném děj je tedy určena podílem tepla soustavě dodaného nebo odebraného a změny teploty soustavy, vyvolané danou tepelnou výměnou Př dodání tepla dojde ke zvýšení teploty soustavy, př odebrání k poklesu Vztáhneme-l tepelnou kapactu soustavy k jednotce její hmotnost m, objemu V nebo látkovému množství n, dostaneme měrnou tepelnou kapactu soustavy nebo krátce měrné teplo Q cv = ; c V = J K kg m T V Hodnoty měrné tepelné kapacty jsou za běžných podmínek pro většnu látek konstantní a pro vybrané materály jsou uvedeny v tabulkách Pomocí tepelné kapacty můžeme první termodynamcký prncp př zochorckém děj zapsat jako U = mc ( T T) V kde T je počáteční a T konečná teplota soustavy Velm často dochází k tepelné výměně př vzájemném styku dvou (nebo více) těles o různých teplotách Označme hmotnost, měrné tepelné kapacty a počáteční teploty dvou takových těles m, c, T, resp m, c, T, přčemž T > T

20 -0 Př vzájemném kontaktu těchto těles dojde po určtém čase samovolnou tepelnou výměnou k vyrovnání teplot obou těles - soustava jm tvořená, přejde do stavu tepelné rovnováhy charakterzované výslednou teplotou T 0, pro kterou platí T > T0 > T Je-l soustava obou těles tepelně zolovaná a proběhne-l tepelná výměna zochorcky, je teplo, odevzdané teplejším tělesem, rovno teplu, přjatému tělesem chladnějším ( ) ( ) Q = Q = mc ( T T ) = mc ( T T ) = mc ( T T ) V V Kalormetrcká rovnce v tomto tvaru se používá ke stanovení rovnovážné teploty T0 soustavy nebo k expermentálnímu určení hmotnost m, měrné tepelné kapacty c V nebo počáteční teploty T některého z těles soustavy Expermentálně se právě popsaná tepelná výměna provádí pomocí zařízení, kterému říkáme kalormetr, vz obr Kalormetr je tepelně zolovaná nádoba () o dostatečně velkém objemu, v níž je kapalna () - nejčastěj voda Tato vodní lázeň a do ní ponořené těleso (3), tvoří termodynamckou soustavu, uváděnou výměnou tepla do stavu tepelné rovnováhy Do nádoby je zasunut jeden nebo více teploměrů (4) Kalormetr může být vybaven topnou sprálou (5) a míchadlem (6) pro rychlejší vyrovnání teplot Protože každé probíhající tepelné výměny se prostřednctvím svého vntřního povrchu účastní kalormetr, je nutné jej zahrnout do termodynamcké soustavy Obr Kalormetr Je-l T počáteční teplota vodní lázně kalormetru a má-l zkoumané těleso před ponořením do vodní lázně a před uzavřením kalormetru teplotu T > T, má kalormetrcká rovnce, popsující zochorcké vyrovnání teplot kalormetru, vodní lázně do ní ponořeného tělesa, tvar: mc ( T T) = mc ( T T) + C ( T T) V 0 V 0 K 0

21 - kde m je hmotnost lázně a c V její měrná tepelná kapacta př stálém objemu, m c V je hmotnost a měrná tepelná kapacta tělesa; T 0 je výsledná teplota soustavy a C K tepelná kapacta kalormetru [ CKV ] = J K Tepelnou kapactu kalormetru určujeme expermentálně Řešená úloha č 3 Určete náklady na ohřátí l vody na teplotu 98 C v automatcké pračce, je-l počáteční teplota vody 5 C a sazba za elektrckou energ je,0 KčkWh - Řešení úlohy: Zadané velčny: V =,0 - m 3 ; T = 5 C; T = 90 C; c V = 4,803 Jkg - K - ; kwh = 3,606 J,,0 KčkWh - ; ρ = 0 3 kgm-3 Teplo potřebné k ohřátí vody o objemu V z teploty T na teplotu T určíme pomocí vztahu Q= ρvc T T V ( ) Po dosazení zadaných hodnot dostaneme Q = 3,76 MJ =,04 kwh Cena za toto teplo je 4, Kč Náklady na ohřátí l vody z 5 C na 98 C v automatcké pračce jsou 4, Kč Skutečné náklady však budou vzhledem k nedokonalé tepelné zolac pračky a únku tepla vyšší Úloha č : V jakém poměru musíme smíst vodu o teplotě T = 53 C a vodu o teplotě T = 8 C, abychom získal lázeň o teplotě 36 C? [:,059] Z jaké látky je těleso o hmotnost,5 kg, jestlže ke snížení jeho teploty o 7 C bylo nutné mu odebrat teplo 4,7 kj? [železo nebo nkl] ŘEŠENÍ : :,059 Fe nebo N 3 Termodynamcká teplota a druhý termodynamcký prncp Mějme lbovolnou termodynamckou soustavu, která př tepelné výměně se svým okolím mění svoj teplotu podle vztahu Q= mc( t t ) v němž použtá písmena mají svůj obvyklý význam, t 0 je počáteční Celsova teplota soustavy Uvažujme dvě různé vratné změny této soustavy, které budou vycházet ze stejného rovnovážného stavu, charakterzovaného teplotou t 0 : Soustavě dodáme teplo Q a změníme tak její teplotu z teploty t 0 na teplotu t Soustavě dodáme teplo Q a změníme tak její teplotu z teploty t 0 na teplotu t Př těchto změnách byla soustavě dodána tepla Q = mc( t t ) ; Q = mc( t t ) 0 0 Vydělením těchto rovnc dostaneme po zkrácení vztah 0

22 - Q t t T = = Q t t T 0 0 (4) Tento vztah umožňuje zavedení teplotní stupnce, která je nezávslá na fyzkálních vlastnostech dané soustavy Teplotu stanovenou podle této stupnce T označujeme jako teplotu termodynamckou Z expermentálních výsledků studa chování látek př změnách teploty vyplývá, že absolutně nejnžší hodnotou teploty je - 73,5 C Tato teplota je označována jako absolutní nula Dohodou bylo stanoveno, že tato teplota bude nulovým bodem termodynamcké teplotní stupnce, určující termodynamckou teplotu T soustavy pomocí tepla Q, které je nutno soustavě dodat nebo odebrat tak, aby její teplota dosáhla hodnoty T Jednotka termodynamcké teploty - základní velčny soustavy SI - byla na počest W THOMSONA nazvána kelvn (K) Teplotu absolutní nuly lze tedy zapsat jako 0 K = - 73,5 C a termodynamcká teplota soustavy je proto vždy kladná Vztah termodynamcké teploty T k jž dříve zavedené Celsově teplotě t určuje rovnce T = t t 0, v níž t 0 = - 73,5 C Z uvedeného vztahu vyplývá, že Teplotní rozdíl ve stupních Celsa a v kelvneh je stejný T = C = K a tedy platí C = K Protože hodnota dodané nebo odebrané (tepelné) energe je nezávslá na vlastnostech soustavy, nazývá se pomocí této energe stanovená termodynamcká teplota T někdy také jako teplota absolutní Část pro zájemce THOMSON, sr WILIAM lord KELVIN OF LARGS (84-907), rský fyzk, od svých dvaadvacet let profesor fyzky na unverztě v Glasgowě Zabýval se praktcky teoretcky všem oblastm fyzky, nejvíce známy jsou jeho objevy v termodynamce a jejích aplkacích, např zavedení termodynamcké teploty v r848 Podílel se např také na projektu vznku podmořské telegrafe mez Evropou a Amerkou a účastnl se kladení prvního podmořského telegrafního kabelu lodí Great Eastern Během této plavby navrhl úpravu námořního kompasu, zamezující jeho devac V r89 byl povýšen do šlechtckého stavu a přjal jméno Kelvn of Largs podle říčky, protékající zahradou glasgowské unverzty Upravíme vztah ( 4) na tvar vyjadřujícím velm důležtý výsledek: Q Q const T T = = (5) Př vratných změnách soustavy je poměr dodaného nebo odebraného tepla a termodynamcké teploty, př níž k této tepelné výměně došlo, konstantní Na základě uvedené skutečnost můžeme defnovat novou stavovou velčnu entrop S pomocí vztahu

23 -3 dq ds = ; [ S] = J K (6) T pro kterou platí na základě vztahu ( 5) Př vratných dějích se entrope soustavy S nemění Upozorňujeme, že vztahem (5) je defnována pouze změna entrope ds a ne její absolutní hodnota! Zkušenost ukazuje, že přrozené, tj samovolně probíhající děje a změny v přírodě, probíhají pouze jedním směrem - samovolně probíhající děje jsou nevratné Upustíme-l sklenčku, rozbje se Z hromady střepů však samovolně nkdy nová sklenčka nevznkne Kostka cukru se samovolně rozpustí v šálku čaje, z rozpuštěného cukru však samovolně nevznkne kostka Také procesy ve všech žvých organsmech od zrození až k jejch zánku probíhají nevratně (a bohužel je nelze obrátt) Jednosměrný průběh mají v přírodě samovolně probíhající tepelné (termodynamcké) děje Druhý termodynamcký prncp můžeme vyjádřt obecně ve tvaru (Planck 930): Je nemožné sestrojt perodcky pracující stroj, který by trvale vykonával kladnou mechanckou prác pouze ochlazováním jednoho tělesa, anž přtom dochází k jným změnám v ostatních tělesech Samovolná tepelná výměna probíhá vždy tak, že těleso s vyšší teplotou předává teplo tělesu s nžší teplotou I tento věta možnou formulací druhého termodynamckého prncpu, který patří k základním prncpům moderní fyzky Jeho důležtost spočívá v tom, že udává směr procesů a změn, které samovolně probíhají v dané soustavě v přírodě a vesmíru V chladnčkách nebo klmatzačních zařízeních probíhá tepelná výměna, př které níž je odebíráno teplo tělesům, jejchž teplota je (a má být) nžší, než je teplota jejch okolí Tento proces však neprobíhá samovolně Pokud nepřpojíme chladnčku ke zdroj elektrckého napětí - pokud soustavě chladnčky nedodáme z vnějšku energ, k procesu ochlazování (chladnějších) těles uvntř chladnčky nedojde Vyjádříme nyní výše uvedenou slovní formulac druhého termodynamckého prncpu matematcky Uvažujme soustavu, která se skládá ze dvou těles () a () o různých počátečních teplotách T a T a vntřních energích U a U Tělesa uvedeme do vzájemného kontaktu tak, aby mez nm mohla probíhat tepelná výměna Aby naše úvahy byly co nejjednodušší, budeme uvažovat zochorckou tepelnou výměnu mez oběma tělesy a soustavu budeme považovat za dokonale tepelně zolovanou Za těchto podmínek soustava an její okolí nekoná prác a poněvadž nedochází k tepelné výměně s okolím, je vntřní energe soustavy obou těles konstantní Z prvního termodynamckého prncpu plyne: dq + dq = du + du = 0 dq = dq Celková změna entrope soustavy je pak rovna ds dq dq = + = dq T T T T Abychom určl změnu entrope př nevratných změnách, provedeme rozbor možných hodnot tepla Q, určujícího změnu stavu tělesa ():

24 -4 Q > 0 Těleso () teplo přjímá a podle druhého termodynamckého prncpu musí být: T < T > 0 ds > 0 T T Q < 0 Těleso () teplo uvolňuje a podle druhého termodynamckého prncpu musí být T > T < 0 ds > 0 T T Z rozboru vyplývá, že změna entrope tepelně zolované soustavy je př nevratném procesu vždy kladná S > 0 V tepelně zolované soustavě probíhají samovolné termodynamcké děje tak, aby jm způsobená změna entrope soustavy byla nezáporná Uvážíme-l, že pro vratné procesy je změna entrope nulová, můžeme druhý termodynamcký prncp matematcky vyjádřt pro obecný průběh procesů nerovností ds ³ dq T Z uvedené nerovnost vyplývá důležtý závěr: Shrnutí Hodnota entrope se v průběhu termodynamckých procesů probíhajících v dané soustavě buď nemění, v případě vratných procesů, nebo roste, v případě procesů nevratných Po ustavení stavu termodynamcké rovnováhy ( ds ), nabude hodnota entrope maxmální hodnotu pro dané podmínky 4 Účnnost tepelných strojů, Carnotův cyklus Tepelným strojem je každé zařízení, jehož čnnost je založena na přeměně tepla v prác a naopak Tepelným strojem je tedy např spalovací motor, parní nebo plynová turbína, chladnčka nebo klmatzační zařízení Jednou z velm důležtých aplkací termodynamckých prncpů je rozbor účnnost tepelných strojů Byl to právě problém optmální účnnost parního stroje, kt Je zřejmé, že v případech, kdy potřebujeme znát a pracovat s počty atomů a molekul, je nepraktcké tento počet znovu zjšťovat a pracovat s tak velkým čísly Proto byla zavedena fyzkální velčna látkové množství, jejíž jednotkou je mol Určujeme-l látkové množství, zjšťujeme počet molekul nebo atomů nepřímo prostřednctvím jejch hmotnost Využíváme přtom skutečnost, že všechny atomy jsou složeny ze stejných částc - elektronů, protonů a neutronů Hmotnost protonů a neutronů je přblžně stejná, hmotnost elektronů je as 800-krát menší Proto o hmotnost atomu rozhoduje počet jeho jaderných částc protonů a neutronů erý přvedl SCARNOTA k obecným úvahám, předcházejícím formulac druhého termodynamckého prncpu Část pro zájemce NICOLAS LÉONARD SADI CARNOT (796-83) Francouzský fyzk, zakladatel moderní termodynamky a teore tepelných strojů I když zprvu neměl správnou představu o podstatě tepla, navrhl vratně pracující tepelný stroj s maxmální termodynamckou účnností Po jeho předčasné smrt ukázaly jeho poznámky, že se značně přblížl myšlence ekvvalence tepla a mechancké práce Tepelný stroj, vz obr 3, se skládá z ohřívače o teplotě T, v němž pracovní látka - nejčastěj plyn nebo pára - přjímá teplo V pracovní část stroje dochází k přeměně tepelné