Teorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry)

Transkript

1 Teorie her a ekonomické rozhodování 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry)

2 3.1 Neantagonistický konflikt Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada po sobě následujících tahů, přičemž hráči se v tazích střídají 2

3 3.1 Neantagonistický konflikt Antagonistický konflikt = co jeden získá, to druhý ztratí (spolupráce nemá smysl) hra s konstantním součtem Neantagonistický konflikt = zájmy hráčů nejsou v přímém protikladu hra s nekonstantním součtem výhra prvého hráče není prohrou druhého 3

4 3.1 Neantagonistický konflikt V případě neantagonistického konfliktu: nekooperativní hra = hráči nemohou spolupracovat kooperativní hra = hráči mohou spolupracovat 4

5 3.2 Nekooperativní hra Konečný prostor strategií obou hráčů 1. hráč X = {x1, x2,, xm} 2. hráč Y = {y1, y2,, yn} Celkem tedy existuje m x n možných kombinací strategií Každé kombinaci lze přiřadit výhru prvního hráče f 1 (x, y) a výhru druhého f 2 (x, y) 5

6 3.2 Nekooperativní hra Hodnoty lze opět uspořádat do matice Mezi hodnotou výplatní funkce 1. a 2. hráče však není definovaný přímý vztah Proto jsou třeba matice dvě A pro prvního hráče B pro druhého hráče Dvoumaticová (dvojmaticová, bimaticová) hra 6

7 3.2 Nekooperativní hra A = a 11 a 1n, B = a m1 a mn b 11 b 1n b m1 b mn 1. hráč xi 2. hráč yj 1. hráč získá aij hodnota výplatní funkce 1. hráče 2. hráč získá bij hodnota výplatní funkce 2. hráče 7

8 3.2 Nekooperativní hra Nashova rovnováha Pokud se některý z hráčů odchýlí od své optimální strategie (zatímco soupeř se své optimální strategie držet bude), nepolepší si Tzn. pokud se hráč nedrží optimální strategie, pohorší si (a v nejlepším případě na tom bude stejně) 8

9 3.2 Nekooperativní hra Nashova rovnováha Dvojici strategií x o X, y o Y nazveme Nashovo rovnovážné řešení, pokud platí f 1 (x, y o ) f 1 (x o, y o ) a f 2 (x o, y) f 2 (x o, y o ) 9

10 3.3 Nashova rovnováha Nashovu rovnováhu získáme nalezením sedlového prvku (sedlového bodu) Sedlový prvek největší ve svém sloupci v matici A a největší ve svém řádku v matici B 10

11 3.3 Nashova rovnováha Vytvoříme tedy dvojmatici: a 11, b 11 a 1n, b 1n a m1, b m1 a mn, b mn V každém sloupci označíme všechny maximální hodnoty z prvních prvků V každém řádku označíme všechny maximální hodnoty z druhých prvků 11

12 3.3 Nashova rovnováha Sedlový bod = prvek, který má označenou první složku (1. hráčem) a zároveň druhou složku (2. hráčem) Nashova rovnováha = Nashovo rovnovážné řešení v ryzích strategiích 12

13 3.3 Nashova rovnováha Příklad 1 1,5 4,2 2,3 2,1 1,9 1,4 3,2 3,1 4,0 Nekooperativní hra může mít 1 sedlový prvek optimální strategie získáme přímo 13

14 3.3 Nashova rovnováha Příklad 2 1,2 4,3 2,2 2,5 1,3 6,4 3,2 3,1 4,1 Nekooperativní hra může mít více sedlových prvků 14

15 3.3 Nashova rovnováha Uvedená úloha má dva sedlové body 1,2 4,3 2,2 2,5 1,3 6,4 3,2 3,1 4,1 Na rozdíl od antagonistického konfliktu nejsou hodnoty výplatních funkcí stejné Pokud má Jak úloha vybrat jediný optimální nedominovaný strategii? sedlový prvek optimální strategie přímo 15

16 3.3 Nashova rovnováha Příklad 3 1,2 5,3 2,1 2,3 1,4 4,5 3,6 3,4 4,2 Nekooperativní Jak vybrat hra může optimální mít více strategii? sedlových prvků alespoň 2 jsou vzájemně nedominované 16

17 3.3 Nashova rovnováha Nekooperativní hra může mít více sedlových prvků Pokud je jediný z nich nedominovaných, pak přímo určuje rovnovážné řešení v ryzích strategiích Pokud jsou alespoň 2 vzájemně nedominované, pak se oba hráči mohou dostat do vzájemně nepříznivé situace 17

18 3.3 Nashova rovnováha Příklad 4 1,2 4,3 2,5 2,5 1,3 6,4 3,2 3,3 4,1 Tato nekooperativní hra nemá žádný sedlový prvek nemá Nashovo rovnovážné řešení v ryzích strategiích 18

19 3.3 Nashova rovnováha Dvojmaticová hra může mít: 1 sedlový prvek rovnovážné strategie přímo více sedlových prvků jediný nedominovaný rovnovážné strategie přímo alespoň 2 nedominované problém žádný sedlový prvek neexistuje Nashova rovnováha v ryzích strategiích Pro hráče neexistují žádné rovnovážné strategie? 19

20 3.4 Smíšené rozšíření Základní věta dvojmaticových her: Každá dvojmaticová hra má alespoň jedno rovnovážné řešení (ve smíšených strategiích) 20

21 3.4 Smíšené rozšíření Postup hledání Nashova rovnovážného řešení ve smíšených strategiích se nazývá smíšené rozšíření dvojmaticové hry Smíšené rozšíření použijeme, neexistuje-li řešení v ryzích strategiích (tj. neexistuje-li sedlový prvek) 21

22 3.4 Smíšené rozšíření X = {x; x T = (x 1 ; x 2 ; ; x m ); m i=1 x i = 1; x 0} Y = {y; y T = (y 1 ; y 2 ; ; y n ); n j=1 y j = 1; y 0} 22

23 3.4 Smíšené rozšíření Hodnota výplatní funkce 1. hráče: m n f 1 x, y = x i a ij y j = x T Ay i=1 j=1 Hodnota výplatní funkce 2. hráče: m n f 2 x, y = x i b ij y j = x T By i=1 j=1 23

24 3.4 Smíšené rozšíření Podle ZVDMH existují optimální strategie (x o, y o ) ve smíšeném rozšíření, neboli existuje Nashova rovnováha Musí tedy platit: x T Ay o x ot Ay o x ot By x ot By o Hledáme tedy (x o, y o ) splňující uvedené nerovnosti 24

25 3.4 Smíšené rozšíření m n max i=1 j=1 p i q j a ij + b ij m n p i j=1 i=1 q j n j=1 m i=1 q j 0, j p i 0, i a ij q j 1, i b ij p i 1, j 25

26 3.4 Smíšené rozšíření max p T A + B q e T p f T q Aq e B T p f p 0 q 0 26

27 3.4 Smíšené rozšíření Úloha kvadratického programování Postup odvození je obdobný postupu v maticových hrách Je třeba zajistit kladné prvky v maticích A a B Symboly e a f označují vektory jedniček 27

28 3.4 Smíšené rozšíření Zpětná substituce y o j = x o i = q j n q j neboli y o = q j=1 p i i=1 f T q m p i neboli x o = p e T p Takto nalezneme jedno optimální řešení (pomocí softwaru) Úloha jich však může mít více (možnost: nastavit různá výchozí řešení) 28

29 3.5 Typické konflikty Vězňovo dilema Dva vězni jsou odděleně uvězněni Každý má možnost se přiznat nebo nepřiznat Pokud se jeden přizná a druhý ne, dostane první nižší trest (volný) a druhý vyšší Nepřiznají-li se oba, dostanou nižší trest Přiznají-li se oba, dostanou vyšší trest 29

30 3.5 Typické konflikty Vězňovo dilema P N P 6,6 0,10 N 10,0 2,2 Správně záporná znaménka záporný užitek 30

31 3.5 Typické konflikty Vězňovo dilema P N P 6, 6 0, 10 N 10,0 2, 2 Optimální pro oba je se přiznat Pokud by se ani jeden nepřiznal, dopadli by oba lépe 31

32 3.5 Typické konflikty Vězňovo dilema P N P N 6, 6 0, 10 10,0 2, 2 (P,P) je sice rovnovážné řešení, ale není Paretovsky rovnovážné (všichni si změnou mohou polepšit, aniž by byl někdo poškozen) 32

33 3.5 Typické konflikty Konflikt Kuře Dvě auta jedou proti sobě, kdo uhne, je kuře a jeho reputace klesne Oba neustoupí (neuhnou) srážka Oba uhnou oba jsou slabí a reputace se jim nezvýší 33

34 3.5 Typické konflikty Konflikt Kuře U N U N 0,0 1,1 1, 1 2, 2 Problém dvou vzájemně nedominovaných sedlových bodů situace skončí tragicky 34

35 3.5 Typické konflikty Manželský spor (bitva pohlaví) BoS Manželé jdou večer na koncert rozhodují se mezi Bachem a Stravinským Muž preferuje Bacha, žena Stravinského Každý chce jít na koncert a nejraději půjdou spolu Pokud spolu nepůjdou, nebudou mít žádný užitek 35

36 3.5 Typické konflikty Manželský spor (bitva pohlaví) muž/žena Bach Str. Bach Stravinski 2,1 0,0 0,0 1,2 Opět problém vzájemně nedominovaných sedlových prvků 36

37 3.5 Typické konflikty Problém několika vzájemně nedominovaných prvků řeší tzv. ústřední rovnováha Pokud je dána jakási nápověda, který z rovnovážných bodů zvolit, hráči ho zvolí Manželský spor: pokud se jedná o poslední koncert Bacha ve městě apod. (fotbal vs. nákupy ve skriptech atd.) 37

38 3.6 Kooperativní hra Předpokládejme nyní, že hráči mohou spolupracovat (ale nemusí) Před volbou mohou uzavírat závazné dohody Spolupracovat budou, pokud je to pro ně výhodné oba mají větší výhru, než když spolupracovat nebudou 38

39 3.6 Kooperativní hra Příklad 5 1,5 4,2 2,3 2,2 1,9 1,4 3,4 3,1 4,0 39

40 3.6 Kooperativní hra Zaručená výhra = kolik hráč získá bez spolupráce Rovnovážná zaručená výhra hráči uzavřou dohodu a předpokládají, že ji oba dodrží Maximinová zaručená výhra hráči uzavřou dohodu, ale může se stát, že ji někdo poruší 40

41 3.6 Kooperativní hra Rovnovážná zaručená výhra hráči by se dohodli, že spolupracovat nebudou zvolí tedy sedlový prvek Nashovu rovnováhu zaručená výhra 1. hráče v(1) zaručená výhra 2. hráče v(2) 41

42 3.6 Kooperativní hra Příklad 5 v(1) = 3 v(2) = 4 1,5 4,2 2,3 2,2 1,9 1,4 3,4 3,1 4,0 42

43 3.6 Kooperativní hra Maximinová zaručená výhra hráči se dohodnou, že spolupracovat budou, ale co když protihráč dohodu nedodrží? kolik dokáže hráč získat, i když mu protihráč bude dělat naschvály zaručená výhra 1. hráče v 1 = max i min j a ij zaručená výhra 2. hráče v 2 = max j min i b ij 43

44 3.6 Kooperativní hra Příklad 5 1,5 4,2 2,3 2,2 1,9 1,4 3,4 3,1 4, v(1) = 3 v(2) =

45 3.6 Kooperativní hra Symbolem v(1,2) označíme celkovou výhru hráčů při spolupráci Spolupráce Kdy se vyplatí, se vyplatí pokud spolupracovat? v 1,2 > v 1 + v(2) Jak určit výhru při spolupráci? 45

46 3.6 Kooperativní hra Příklad 5 1,5 4,2 2,3 2,2 1,9 1,4 3,4 3,1 4,0 1. hráč: x 2 2. hráč: y 3 Kolik celkem získají? = 5 46

47 3.6 Kooperativní hra Příklad 5 A + B = 1,5 4,2 2,3 2,2 1,9 1,4 3,4 3,1 4, v 1,2 = max i max j (a ij +b ij ) = 10 47

48 3.6 Kooperativní hra Rovnovážná zaručená výhra v(1) = 3 10 > v(2) = 4 spolupráce se vyplatí Maximinová zaručená výhra v(1) = 3 10 > v(2) = 2 spolupráce se vyplatí Výhra při spolupráci v(1,2) = 10 Vyplatí se spolupráce? 48

49 3.6 Kooperativní hra Příklad 5 A + B = 1,5 4,2 2,3 2,2 1,9 1,4 3,4 3,1 4, x o, y o = (x 2, y 2 ) v(1,2) = 10 49

50 3.6 Kooperativní hra Zbývá rozhodnout, jak se mají hráči o výhru podělit Celková výhra musí být rozdělena mezi hráče: a 1 + a 2 = v(1, 2) 1. hráč musí dostat hodnotu a 1, která bude alespoň rovna zaručené výhře: a 1 v(1) 2. hráč musí dostat hodnotu a 2, která bude alespoň rovna zaručené výhře: a 2 v 2 50

51 3.6 Kooperativní hra 10 4 a2 a 1 + a 2 = v 1, 2 = 10 a 1 v 1 = 3 a 2 v 2 = 4 jádro hry = všechny dvojice (a 1, a 2 ), které splňují uvedené vztahy a1 51

52 3.6 Kooperativní hra a2 v(1,2) v(2) a 1 + a 2 = v(1, 2) a 1 v(1) a 2 v 2 Kterou možnost z jádra hry vybrat? 0 v(1) v(1,2) a1 52

53 3.6 Kooperativní hra Jednou z možností je: prvnímu hráči dát jeho zaručenou výhru v(1) druhému hráči dát jeho zaručenou výhru v(2) zbytek rozdělit mezi hráče rovným dílem v 1,2 v 1 v 2 a 1 = v v 1,2 v 1 v 2 a 2 = v

54 a2 3.6 Kooperativní hra a 1 + a 2 = v 1, 2 = a 1 v 1 = 3, a 2 v 2 = 4 5,5 4 a 1 = a 2 = = 4,5 = 5, ,5 10 a1 54

55 KONEC 55