Sluneční plachetnice. 1. Trocha historieequation Chapter 1 Section Pohyb v gravitačním poli

Transkript

1 Sluneční plachetnice 1. Tocha histoieequation Chapte 1 Section 1 O plachetnici poháněné tlakem slunečního záření, kteá letí napříč sluneční soustavou, snily desítky spisovatelů a fyziků. Mezi nejznámějšími byli uský teoetik Konstantin Ciolkovskij (navhnul plachetnici již v oce 191) a spisovatel Athu Clak v povídce The Lady Who Sailed The Soul z oku 1960, kteá popisovala závod slunečních jachtařů od Země k Měsíci. Jejich sen se splnil až v oce 010. Japonská miniplachetnice IKAOS (Inteplanetay Kitecaft Acceleated by adiation Of the Sun), kteou připavili ke statu odboníci z japonské kosmické agentuy JAXA, statovala na palubě nosné akety H-IIA dne 1. května 010. Celý expeiment má několik pvenství. opvé se podařilo úspěšně ozvinout plachtu o půměu přibližně 0 metů, popvé se podařilo tuto plachtu vyfotogafovat za pomoci minikame vystřelených z plachetnice v malých válečcích do postou vedle plachetnice a popvé se úspěšně podařilo zvládnout manévování s plachetnicí, například natáčení plachty za pomoci LCD odažečů, kteé odáží sluneční záření jinak, když jsou zapnuté a jinak, když jsou vypnuté. Duhou úspěšnou miniplachetnicí v histoii se stala ameická Nanosail D- s plachtou o půměu něco přes 3 mety a celkovou hmotností 5 kilogamů, kteá se dostala do povozuschopného stavu v lednu 01. o několika selháních systému se plachty nakonec ozvinuly samy od sebe. Nikdo to již nečekal. Zatím jde o pvní pokusy a ověřování pincipů. Tlak slunečního záření je velmi malý, u Země činí pouze 4,6 μa po absobující povch, ale při použití velké plachty a dlouhé době letu se může tento pohon stát důležitým doplňkem chemických a iontových motoů. Cílem této úlohy je pochopit základní pincipy pohybu tělesa v gavitačním poli a naučit se manévovat s plachetnicí tak, abyste zvládli pohyb jak ve směu od Slunce, tak ve směu ke Slunci, tedy poti tlaku slunečního záření. Oboje je možné, pokud poozumíte základním fyzikálním pincipům letu sluneční plachetnice.. ohyb v gavitačním poli Ob. 1. ozvinutá plachta pvní plachetnice IKAOS. Minisonda je upostřed. Snímek je z kamey odmštěné v malém válečku ze sondy do volného postou. Většina planet se pohybuje po málo výstředných elipsách a po účely naší úlohy nemusíme pohyb planety detailně počítat z gavitačního zákona. ostačí vypočítat oběžnou ychlost planety z ovnosti velikosti gavitační síly a odstředivé síly:

2 M v S M M GM G v, (1) S S S S kde S je vzdálenost planety od Slunce, M je hmotnost planety a M S je hmotnost Slunce. Známe-li počáteční polohu a oběžnou ychlost, snadno již učíme pozici na kuhové oběžné dáze v ovině ekliptiky (ovina oběhu Země kolem Slunce). ovšimněte si, že hmotnost planety se na obou stanách ovnosti zkátila. To je po gavitační pole typické. ohyb testovacího tělesa nezávisí na jeho hmotnosti. Toho si všimnul již Galileo Galilei, když údajně házel ůzné předměty z šikmé věže v ise a zjistil, že doba jejich pádu je shodná a nezávisí na jejich hmotnosti. Vliv negavitačních sil ale na hmotnosti pohybujícího se tělesa závisí. Ještě jedna zajímavá skutečnost plyne z jednoduchého vztahu (1): okud chcete u tělesa koužícího kolem Slunce přejít na oběžnou dáhu bližší ke Slunci, musí se jeho oběžná ychlost zvýšit! To je dobé mít na paměti při manévování s plachetnicí. okud se těleso s polohou a hmotností m (naše plachetnice) pohybuje v gavitačním poli tělesa o poloze a hmotnosti M (planeta nebo Slunce), působí na něho gavitační síla podle Newtonova gavitačního zákona F G e. Vekto e je jednotkový vekto ve směu působení síly. Na planetu či Slunce působí samozřejmě stejně veliká síla opačného směu. Nicméně v našem případě je působení plachetnice na tato velká tělesa zcela zanedbatelné. ohybová ovnice plachetnice (ovnice po její polohový vekto ) v gavitačním poli blízké planety () a Slunce (S) bude e; m G e G e S S ; () (3) e ; es. ředpokládáme, že Slunce je v počátku souřadnicové soustavy ( S = 0). Jednotkový vekto e míří směem k planetě, jednotkový vekto e S směem ke Slunci. Jak vidíme, hmotnost plachetnice se na obou stanách zkátí, takže výsledný pohyb je učen difeenciální ovnicí M M G e es. (4) S G Opět si povšimněte, že v gavitačním poli pohyb plachetnice nezávisí na její hmotnosti.

3 Ob.. Zavedení vektoů. á pouček po zapamatování: 1. ohyb planet kolem Slunce je přibližně kuhový s konstantní ychlostí. Nemusíme ho poto počítat z gavitačního zákona.. okud chcete u tělesa koužícího kolem Slunce přejít na oběžnou dáhu bližší ke Slunci, musí se jeho výsledná oběžná ychlost zvýšit. 3. ohyb malého tělesa v gavitačním poli velkých těles nezávisí na jeho hmotnosti. 4. Sluneční plachetnice má pamalý vliv na pohyb Slunce a planet. 3. Tlak záření přehled užitečných vztahů Elektomagnetické pole šířící se od zdoje je schopné přenášet enegii, hybnost i moment hybnosti. ole jako takové tedy není jen matematickou konstukcí, ale fyzikální ealitou, kteou si můžeme představit jako soustavu fotonů schopných nést výše míněné atibuty. okud fotony naážejí na nějakou plochu (například plachtu plachetnice), předávají jí svou hybnost, a tím na ní vyvíjejí tlakovou sílu. Je to jako byste házeli hách na zeď. Výsledná síla samozřejmě záleží na tom, zda jsou fotony plachtou absobovány nebo se od plachty odazí (v tomto případě je síla dvojnásobná). Hybnost p a enegie E jednoho konkétního fotonu jsou dány známými vztahy E p ; E. (5) c c Tok enegie (množství enegie poteklé jednotkovou plochou vystavenou kolmo k záření za jednotku času) přenášený polem je dán vektoovým součinem intenzit obou polí někdy hovoříme o intenzitě záření nebo o tzv. oyntingově vektou. Hustota hybnosti přenášené polem je naopak dána vektoovým součinem indukcí obou polních vektoů: IEH; I J/m s. (6) 3 DB; Ns/m. (7) Další důležitou veličinou je hustota enegie obsažená v elektomagnetickém poli: u ED HB ; uj/m. (8) Tlak, kteým působí daný systém na okolí je vždy úměný hustotě enegie (vzpomeňte si například na tíhové pole, kde enegie je mgh a hydostatický tlak způsobený tíží je hustotou této veličiny, tj. ρgh). V případě elektomagnetického záření platí po jednostanný tlak působící na kolmou plochu, kteý je při úplné absopci fotonů způsoben hustotou hybnosti (7) jednoduchý vztah 3 pu; p u a = J/m. (9) Slunce je vytvalým zdojem elektomagnetického záření, kteé zaplavuje celou sluneční soustavu. Amplituda jednotlivých polních vektoů (E, D, H, B) klesá se vzdáleností od Slunce jako 1/, ostatní veličiny (I, π, u, p) jako 1/, potože jsou úměné kvadátům polních veličin a klesají úměně ploše sféy se středem ve Slunci. o pohyb naší plachetnice je samozřejmě nejdůležitější tlak slunečního záření spolu s ozměy a oientací plachty, na kteou tento tlak působí. Je nutno zdůaznit, že sluneční plachetnici nepohání sluneční vít! Ten tvoří částice,

4 kteých je na účinný pohon plachetnice příliš málo. I když část zychlení lze připsat i slunečnímu větu, jeho podíl je tisícinásobně menší než podíl tlaku slunečního světelného záření. veličina označení hodnota u Slunce hodnota u Země obecná hodnota intenzita el. pole E 156 kv/m 76 V/m E = E 0 0 / intenzita mg. pole H 0,41 ka/m 1,9 A/m H = H 0 0 / indukce el. pole D 1,38 μc m 6,43 nc m D = D 0 0 / indukce mg. pole B 0,5 mt,4 μt B = B 0 0 / intenzita záření I 63,3 MW/s 1,37 kw/s I = I 0 0 / hustota hybnosti π 0,74 nn s/m N s/m 3 π = π 0 0 / hustota enegie u 0,1 J/m 3 4,6 μj/m 3 u = u 0 0 / tlak záření při úplné absobci půměný tlak slunečního větu p 0,1 a 4,6 μa p = p 0 0 / p SW 0,16 ma 3,4 na p SW = p 0SW 0 / Tabulka 1: Někteé základní paamety slunečního záření otože počáteční dáha plachetnice okolo Země je přibližně kuhová, loď létá po spiále. odle natočení jejích plachet může buď zychlovat, nebo naopak i zpomalovat. oto může být plachetnice použita i po mise, kteé se mají vátit zpátky na Zemi. I když je zychlení plachetnice velmi malé, působí velmi dlouhou dobu, a tak je možné dosáhnout velmi vysokých ychlostí. vní plachetnice Cosmos 1, jejíž stat se nevydařil, měla dosahovat zychlení 0,000 5 m/s². Za jeden den by se tak její ychlost zvýšila o 160 km/h, za sto dní by dosáhla ychlosti km/h a za tři oky km/h. ři této ychlosti by doazila k lutu za pět let. o poovnání, mise New Hoizons má s využitím chemického motou a gavitace Jupiteu stejného cíle dosáhnout až za devět let. Tato ychlost je ale stále jen 0,16 ychlosti světla. Bohužel, jakmile se jednou s plachetnicí dostanete za oběžnou dáhu Jupiteu, sluneční záření je už po plachtění slabé. Na plachty dále od Slunce můžeme ale zaměřit vysoce výkonné lasey a pohánět tak plachetnici zářením, kteé se vzdáleností pakticky neslábne. V budoucnosti by nám takovýto laseový pohon mohl umožnit cestu k jiným hvězdám. Někteří vědci si myslí, že toto bude možné už za několik desetiletí. 4. Jak plachtit Sluneční plachetnice, kteá odstatovala ze Země, přebíá oběžný pohyb Země kolem Slunce. ři manévování se sluneční plachetnicí se nikdy nesnažíme o přímý let k cíli. Na to je tlak slunečního záření příliš malý. Využíváme toho, že plachetnice vykonává oběžný pohyb kolem Slunce a vhodným natočením plachty se snažíme tento pohyb zbzdit nebo uychlit, a tím dostat plachetnici na bližší nebo vzdálenější obitu. o pvní pokusy je výhodné neuvažovat gavitační sílu způsobenou přítomností planet, ale manévovat jen za pomoci dvou sil: tlakové síly záření, kteá míří kolmo na plachtu a gavitace Slunce, kteá míří vždy ke Slunci. Vzhledem k tomu, že plachtění je jedním z negavitačních pohybů, závisí výsledek na hmotnosti plachetnice, kteá se zpavidla udává jako plošná hustota hmoty plachetnice na jednotkovou hmotnost plachet:

5 m, (10) S kde m je hmotnost plachetnice a S celková plocha její plachty. V následujícím příkladu, kteý je převzatý z numeické simulace popsané v [3], šlo o plachetnici se σ = g/m, kteá statovala ze Země a byla navedena na oběžnou dáhu kolem Slunce v místě, kde obíhá Země. Jako počáteční podmínka tedy byla vzdálenost od Slunce km a oběžná ychlost ovná 30 km/s. lachta měla plnou odazivost, tj. tlak byl dvojnásobný, než je uvedeno v tabulce 1. V půběhu manévování, kteé tvalo 45 dní, vykonala plachetnice dáhu podle obázku 3. Ob. 3. Manévování plachetnice kolem Slunce popsané v textu. lachetnice se nejpve vlivem tlaku záření přesouvala směem od Slunce. Její oběžná ychlost ale klesala až dosáhla minima v bodě, kde převládlo gavitační přitahování Slunce. V bodě A polétla plachetnice přísluním a efektem gavitačního paku získala dostatečnou ychlost po opuštění sluneční soustavy. Tlak slunečního záření není jediným negavitačním pohybem, kteý způsobuje nekepleovské obity kolem Slunce. Již jsme zmínili tlak slunečního větu, kteý je ale o tři řády menší než tlak slunečního záření. Důležitý je také Jakovského jev, při kteém se povch otujícího tělesa ohřívá na staně bližší ke Slunci a intenzivně tepelně vyzařuje na odvácené staně od Slunce. Tím vzniká sice malá, ale dlouhodobě působící Jakovského síla, kteá byla popvé detekována u planetky Golevka v oce 004. Zajímavá je také anomální ychlost měřená u sond ionee, kteé letí sluneční soustavou již od oku Nakonec se ukázalo, že za anomální ychlost je zodpovědný asymetický ohřev sondy od adioizotopových geneátoů elektřiny. Ohřátá část sondy vyzařovala tepelné záření, kteé způsobilo zpětný tah na sondy. U dlouhodobých misí je nutné s negavitačními silami počítat. 5. ohyb v efektivním potenciálu Enegie pohybujícího se tělesa je z Lagangeovy funkce dána fomulí

6 E 1 1 m m G. (11) Enegie se skládá z adiální kinetické enegie, úhlové složky kinetické enegie a potenciální enegie. okud ale vyjádříme duhý člen za pomoci zákona zachování momentu hybnosti dostaneme po enegii vztah bm const, (1) 1 b E m G. (13) m Duhý člen je nyní závislý pouze na poloze a můžeme ho poto přiřadit k potenciálu. Intepetace členu jako kinetického nebo potenciálního je tedy elativní a závisí na úhlu našeho pohledu. Zaveďme tzv. efektivní potenciál: 1 E m Veff (); b Veff G (). m Z pvní ovnice snadno učíme adiální ychlost tělesa EVeff (). (15) m Je zjevné, že pohyb se může konat jedině v takových oblastech efektivního potenciálu, kde platí E V eff (). (16) ůběh efektivního potenciálu je znázoněn na obázku. Z něho je patné, že po E > 0 je pohyb neomezený, < min, ), pohyb se koná po hypebole. Naopak po E < 0 je pohyb omezený, < min, max > a pohyb se koná po elipse. Limitními případy jsou E = 0 (pohyb po paabole) a E = E min (pohyb po kužnici = 0 ). (14) 6. Algoitmizace pohybu Ob. 4: Efektivní potenciál. V nejjednodušším přiblížení je možné uvažovat pohyb plachetnice na samostatné oběžné dáze kolem Slunce (například shodné s oběžnou dáhou Země). Na plachetnici působí síla tlaku záření mířící kolmo na ovinu plachty a využívající pouze kolmou část plochy namířené

7 ke Slunci. Označíme-li S plochu plachty, n jednotkový vekto nomály mířící kolmo na odaznou plochu a e S jednotkový vekto směem ke Slunci, bude síla působící na plachetnici ovna ZS 1 ps 0 S F n e n, (17) kde p 0 je tlak slunečního záření u Země (viz tabulka 1), S je plocha plachty, ZS je vzdálenost Země od Slunce a je aktuální vzdálenost plachetnice od Slunce. Skalání součin n e s je oven jedné, pokud je plachta oientována kolmo na Slunce a je maximálně využita a je nulový, pokud je plachta oientována bokem a žádné sluneční záření na ni nedopadá. Smě působící síly je n. Duhou silou působící na plachetnici je gavitační síla Slunce S F G e S. (18) Již v přítomnosti obou sil F 1 a F je možné si vyzkoušet základy manévování s plachetnicí. Úlohu je samozřejmě možné si zkomplikovat gavitačním působením mateřské planety, ze kteé plachetnice vylétla a cílové planety, ke kteé má dolétnout 1 F e ; e, 1 3 G F e ; e. 4 G Ve větší vzdálenosti od planety je její vliv samozřejmě zanedbatelný. Výsledná pohybová ovnice plachetnice je m F F F F, (0) což je soustava tří obyčejných difeenciálních ovnic duhého řádu po polohy x(t), y(t), a z(t) plachetnice. Výhodnější je ale řešení soustavy šesti ovnic pvního řádu ve tvau v; 1 (1) v F1F F3F4. m Známe-li počáteční polohu a ychlost plachetnice, můžeme použít někteou standadní metodu na řešení difeenciálních ovnic, například ungeovu-kuttovu metodu 4. řádu, kteá je implementovaná v každém pogamovém celku po numeické výpočty (například Mathematica, MATLAB atd.). o jistotu zde uvádíme příslušný difeenční předpis: Označme ξ = (, v) šestici poloh a ychlostí plachetnice, tedy budeme hledat hodnoty ξ 1 až ξ 6. vní tři hodnoty jsou polohy, další tři jsou ychlosti. Hledané funkce ξ k (t ) ; k = 1,... 6 splňují soustavu ovnic (1), kteou přepíšeme do tvau k f k ( 1, 6 ). () Časovou osu ozdělíme na dílky s intevalem Δt. ředpokládejme, že známe polohu a ychlost v počátečním čase t 0. otom učíme 1 (19)

8 K f (,, ), 1, k k K, k fk 1() t K1,1 t,, 6() t K1,6 t, 1 1 K3, k fk 1() t K,1 t,, 6() t K,6 t, K f () t K t,, () t K t 4, k k 1 3,1 6 3,6 a přibližné řešení v čase t + Δt dostaneme ze vztahů 1 k( tt) k( t) ( K1, k K, k K3, k K4, k) t ; k 1,,6. (4) 6 Tím známe řešení v čase t + Δt a postup můžeme opakovat. Otázky přesnosti výpočtu, konvegence a případně další metody lze nalézt v odboné liteatuře. 7. oznámky po Tomáše nejpve tam nech jen Slunce a plachetnici koužící na oběžné dáze shodné se Zemí, vzhledem k placatosti monitou to řeš jen ve D! plachetnici zobazuj jen úsečkou ve směu plachty, jako je to na obázku 3. vstupní paamety: 1. oloha plachetnice. ychlost se automaticky uzpůsobí, aby byla na kuhové obitě kolem Slunce podle Kepleových zákonů. Čili bych klepnul myší, odečetl polohu a dopočetl ychlost a nechal tu malou mchu koužit kolem Slunce.. lošná hustota σ (hmotnost dělená plochou plachetnice). o pvní testy nech g/m. ozději to bude chtít nějaký způsob nastavení (táhlo?). 3. očáteční oientace plachty vzhledem ke Slunci. Na začátku nech plachtu tak, aby tlak slunečního záření nepůsobil, tj. n se bude stále dopočítávat a bude kolmé na e s, sluneční záření bude dopadat podél plachty, ne na ni. Obita musí po výpočtu vyjít kepleovská, což je test spávnosti implementace (4). 4. ak přidej nějaké táhlo, aby měl student možnost s plachtou otáčet. Jakmile ji natočí ke Slunci, dáha přestane být kepleovská a začíná ha. 5. Až bude vše chodit, je možné zapnout vliv zvolených planet. 8. Cíl úlohy 1. Vyzkoušejte si manévování s plachetnicí jen v přítomnosti tlaku záření a gavitačního pole Slunce. okuste se zopakovat manév na obázku 3.. Zapněte působení planet a pokuste se manévovat tak, abyste doletěli na planetu vzdálenější od Slunce (Mas). 3. Zapněte působení planet a pokuste se manévovat tak, abyste doletěli na planetu bližší ke Slunci (Venuši). 9. Liteatua: [1] Jiří Hofman: Sluneční plachtění; Aldebaan Bulletin 35/005, online: [] Jiří Hofman: IKAOS Japonci už plachtí; Aldebaan Bulletin 43/010, online: (3)

9 [3] Wikipedia: Sola Sail; online: [4] Aldebaan: Tabulky. Online: [5] et Kulhánek: Teoetická mechanika; FEL ČVUT 01,