PLÁNOVÁNÍ TRASY ROBOTA POMOCÍ VORONÉHO

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PLÁNOVÁNÍ TRASY ROBOTA POMOCÍ VORONÉHO"

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ FAKULTA INFORMATIKY PLÁNOVÁNÍ TRASY ROBOTA POMOCÍ VORONÉHO DIAGRAMŮ A DALŠÍCH PROSTŘEDKŮ VÝPOČETNÍ GEOMETRIE DIPLOMOVÁ PRÁCE ING. PETR ŠVEC 2006

2 Prohlášení Prohlašuji, že diplomová práce je mým původním autorským dílem, které jsem vypracoval samostatně. Všechny zdroje, prameny a literaturu, které jsem při vypracování používal nebo z nich čerpal, v práci řádně cituji s uvedením úplného odkazu na příslušný zdroj. Vedoucí práce: Mgr. Petr Tobola, Ph.D. ii

3 Poděkování Chtěl bych tímto poděkovat vedoucímu diplomové práce, Mgr. Petru Tobolovi, Ph.D., za seznámení s problematikou plánování robota pomocí prostředků výpočetní geometrie. Mé díky také patří mé rodině za podporu při mé cestě za vzděláním. iii

4 Shrnutí Diplomová práce se zabývá plánováním bezkolizní trasy bodového nebo polygonového konvexního robota ve 2D prostředí s bodovými, liniovými nebo konvexními polygonovými překážkami pomocí prostředků výpočetní geometrie. Hlavním použitým prostředkem je zobecněný Voroného diagram, který je konstruován pomocí navrhnutého aproximačního algoritmu. Vedle implementovaného translačního pohybu pro daného konvexního robota je předložen návrh i pro rotační pohyb. Dále je diskutováno plánování pohybu pro skupinu polygonových konvexních robotů opět v prostředí s bodovými, liniovými nebo polygonovými překážkami. iv

5 Klíčová slova Flocking behaviour, Plane sweep algoritmus, plánování trasy robota, výpočetní geometrie, Voroného diagram v

6 Obsah Úvod Konfigurační prostor Abstrakce pomocí konfiguračního prostoru Transformace pracovního prostoru do prostoru konfiguračního Základní metody plánování cesty Dekompozice buněk Silniční mapa Potenciální pole Retrakční přístup A* algoritmus Voroného diagram pro množinu bodových generátorů Zametací algoritmus (plane sweep) Zobecněný Voroného diagram pro bodové a liniové generátory Zobecněný Voroného diagram pro bodové, liniové a polygonové generátory Rotační pohyb polygonového robota Plánování pohybu skupiny robotů Implementace Reprezentace reálného světa W Reprezentace a výpočet konfiguračního prostoru C Reprezentace datových struktur a detaily výpočtu algoritmu Plane Sweep Uživatelské prostředí programu Experimentální výpočty Závěr Literatura

7 Úvod Výpočetní geometrie jako součást oboru analýzy a návrhu algoritmů nabízí řešení problémů z mnoha dalších oborů počítačová grafika, geografické informační systémy (GIS), robotika, CAD / CAM, počítačová biologie, počítačová chemie a další. První algoritmická řešení geometrických problémů byla pomalá nebo příliš složitá pro implementaci. V posledních letech bylo vyvinuto několik nových technik algoritmizace, které zlepšují a zjednodušují mnoho přístupů k praktickému řešení geometrických problémů. Výhodou řešení problémů pomocí výpočetní geometrie je prokazatelná časová složitost jednotlivých algoritmů. Časová složitost měří kvalitu algoritmů a udává se jako asymptotická časová složitost v nejhorším případě. Omezení výpočetní geometrie spočívá především ve velice náročné implementaci vybraných algoritmů, schopností operací pouze s liniovými nebo rovinnými objekty a v zaměření především na 2D prostor, kde geometrické algoritmy pro 3D a více rozměrný prostor (především v robotice) jsou složitým rozšířením algoritmů počítajících nad 2D prostorem. Jedním z nejvíce diskutovaných problémů v robotice v oblasti výpočetní geometrie je plánování pohybu robota zahrnující plánování nebo nalezení cesty v neznámém prostředí s překážkami. Dalším souvisejícím problémem je návrh autonomních robotů, což je robotů, které mají zadán cíl práce, ale nemají zadáno jakým způsobem tohoto cíle dosáhnout. Aby byl robot schopný cíleného pohybu, musí mít znalost o oblasti, ve které se nachází. Tato znalost je buď dopředu dána mapou daného prostředí nebo je získána robotem pomocí senzorů. Výsledkem je bezkolizní a pokud možno co nejkratší cesta spojující danou počáteční a cílovou pozici. V diplomové práci je diskutováno řešení návrhu a vlastní implementace plánování bezkolizního pohybu bodového nebo polygonového konvexního robota ve 2D prostředí s bodovými, liniovými nebo konvexními polygonovými překážkami pomocí aproximačního algoritmu konstrukce Voroného diagramu. Cesty generované pomocí Voroného diagramu nám garantují co největší možnou vzdálenost robota od překážek. Dále je předložen návrh plánování pohybu a nalezení nejkratší cesty pro skupinu konvexních robotů v prostředí s polygonovými překážkami. Vedle translačního pohybu je brán v úvahu i pohyb rotační. 2

8 Kapitola 1 Konfigurační prostor 1.1 Abstrakce pomocí konfiguračního prostoru Hlavní myšlenkou abstrakce problému plánování cesty pomocí konfiguračního prostoru je nahrazení konvexního robota A reprezentujícím bodem. Konfigurace q robota A (viz obr. 1) je určena pozicemi všech bodů robota v pracovním prostoru W (reprezentován jako euklidovský prostor R 2 ) a je vyjádřena jako vektor (složený z pozičních a orientačních parametrů, kde jejich počet je udán počtem stupňů volnosti robota) zastupujícího bodu. Obrázek 1. Konfigurace q při translačním a rotačním pohybu Množina všech možných konfigurací robota A se nazývá konfigurační prostor C. Oblast W okupovaná robotem A v konfiguraci q se označuje jako A(q). Pozice libovolného bodu a A ve W, pokud A je v konfiguraci q, se značí a(q). Překážka ve W je značena jako B, což je nepřístupná oblast prostoru W. Zavedením konfiguračního prostoru C se redukuje problém nalezení cesty pro polygonového robota ve W na problém nalezení cesty pro bodového robota v C a poskytuje jednotnou soustavu pro porovnání a vyhodnocení algoritmů. Existují tři druhy konfigurací volná konfigurace C free, kde robot a překážka se vzájemně nepřekrývají, dále kontaktní konfigurace a zakázaná konfigurace C obs. Konfigurační prostor C se rozdělí do volných, kontaktních a zakázaných množin konfigurací. Mapa překážek C je definována jako CB = { q A( q) B }, což znamená, že pro každou B i ( i Ν) ve W existuje odpovídající CB i v C reprezentující všechny konfigurace q robota A kolidující s B i (viz obr. 2). 1.2 Transformace pracovního prostoru do prostoru konfiguračního Redukce problému nalezení cesty pro polygonového konvexního robota A na problém nalezení cesty pro bodového robota A zahrnuje transformaci pracovního prostoru W do konfiguračního prostoru C. Jádrem této transformace je namapování překážek B W do překážek CB C (viz obr. 2). 3

9 Obrázek 2. Mapování B W do CB C pro translační a rotační pohyb V případě translačního a zároveň i rotačního pohybu po mapování vzniknou 3D překážky 2 CBi = {( x, y, φ) R x [0:360) : A(x, y, φ) Bi } (viz obr. 2), které jsou složené z několika vrstev CB ik pro k = 1,.., z, kde z je počet vrstev. Každá vrstva odpovídá danému natočení robota A o úhel φ a počet těchto vrstev závisí na úhlu dovoleného natočení A a velikosti přechodů mezi natočeními. Dále nechť existuje i takové, že 0 i z 1, pak φ i = i ( 360 / z). Transformace překážek může být popsána Minkowského sumou (Latombe, 1991, de Berg a kol., ). Minkowského suma dvou množin S 1 R a S 2 R je popsána operací S1 S 2 = { p + q p S1, q S 2}, kde p + q je vektorový součet vektorů p a q. Minkowského suma pro transformaci B do CB je definována jako P ( A(0,0)). Důkaz a další vlastnosti Minkowského sumy jsou uvedeny v (de Berg a kol., 2000). Minkowského suma P ( A(0,0)) může být považována jako Minkowského rozdíl, který je často interpretován jako konvoluce (LaValle, 2005). Příkladem v 1D může být konvoluce h ( x) = f ( τ ) g( x τ ) dτ, kde h ( x) = 1 pokud x Cobs a h ( x) = 0 v opačném případě. Funkce f : R {0,1} a platí f ( x) = 1 pouze tehdy, když x B. Funkce g : R {0,1 } a platí g ( x) = 1 pouze tehdy, když x A. Nejjednodušší algoritmus pro transformaci B do CB spočívá v jednoduchém součtu vektorů každého vrcholu v a w, kde v B a w A, a následné nalezení konvexního obalu tohoto součtu (jak 4

10 je uvedeno dále, platí pouze pro konvexní objekty). Algoritmus je velmi jednoduchý, ale má časovou složitost O (nm), kde n je počet vrcholů B a m je počet vrcholů A. Následující algoritmus podle (Latombe, 1991, de Berg a kol., 2000) počítá pouze s těmi dvojicemi vrcholů, které jsou extrémní (mají největší vzdálenost na polygonu) ve stejném směru a to má za následek snížení časové složitosti na O ( n + m) pro případ, kdy robot i překážka jsou konvexní polygonové útvary. Algoritmus č. 1: MINKOWSKÉHO_SUMA(B, A) Vstup: Konvexní polygon B s vrcholy v 1,...,vn a konvexní polygon ( A) s vrcholy w 1,...,wm. Předpokládá se, že vrcholy jsou setříděny proti směru hodinových ručiček a vrcholy v 1 a w 1 mají nejmenší y ovou souřadnici. Výstup: Minkowského suma B ( A) 1. i = 1; j = 1; 2. v n+1 = v 1 ; w m+1 = w 1 ; 3. repeat 4. přidej vrchol v i + w j do B ( A). 5. if úhel(v i, v i+1 ) < úhel(w j, w j+1 ) 6. then i = i + 1; 7. else if úhel(v i, v i+1 ) > úhel(w j, w j+1 ) 8. then j = j + 1; 9. else i = i + 1; 10. j = j + 1; 11. until i = n + 1 and j = m + 1; Poznámka: notace úhel(p, q) popisuje úhel, který svírá vektor pq s kladnou osou x. Na příkladu na obrázku č. 3 je zobrazena jednotková kružnice, na které jsou vyneseny všechny normály ploch robota A a překážky B. Při provádění algoritmu v krocích 5-10 se prochází tyto normály na jednotkové kružnici proti směru hodinových ručiček a sčítají se vektory odpovídajících vrcholů. Lineární časová složitost O ( n + m) algoritmu se dá jednoduše dokázat následujícím způsobem. V každém kroku cyklu dochází ke zvětšení proměnné indexu i, j nebo obou indexů. Po dosáhnutí hodnot indexů n + 1 a m + 1 nemůže dojít k další inkrementaci. Podle (de Berg a kol., 2000), v případě, že jeden z polygonů není konvexní, je časová složitost O (nm) a O ( n 2 m 2 ) v případě, že oba polygony nejsou konvexní. Výpočet Minkowského sumy pro nekonvexní polygony spočívá v triangulaci těchto polygonů, výpočet Minkowského sumy každé dvojice polygonů a následně se provede jejich sjednocení. 5

11 Obrázek 3. Minkowského suma B a A, jednotková kružnice Na obrázku č. 4 je zobrazen příklad Minkowského sumy z implementovaného programu pro osmibokého robota A s bodovými, liniovými a polygonovými překážkami. Před vlastním výpočtem se pomocí Grahamova algoritmu (O Rourke, 1998) transformují všechny překážky na jejich konvexní obal. Obrázek 4. Minkowského suma osmibokého robota A s bodovými, liniovými a polygonovými překážkami 6

12 Kapitola 2 Základní metody plánování cesty Proces nalezení cesty mezi polygonovými překážkami v R 2 pro polygonového robota A zahrnuje vytvoření konfiguračního prostoru C free pomocí uvedeného algoritmu č. 1 a poté aplikaci jedné z dále uvedených metod pro plánování cesty. V řešení konkrétně uveden přístup pomocí silniční mapy (road map), která je v tomto případě tvořena Voroného diagramem, jehož konstrukce je uvedena dále v textu. Cesta v C podle (Latombe, 1991) je spojitá křivka spojující konfigurace q start a q cíl, formálněji je cesta spojité zobrazení τ : s [0, 1] τ( s) C, kde τ (0) = q start je počáteční konfigurace a τ (1) = q cíl je cílová konfigurace cesty. Spojité zobrazení znamená, že pro s1, s2 [0,1] : lim d( τ ( s1), τ ( s2)) = 0, s2 s1 kde d : C x C R {0} je zvolená metrika nad R. Příklad metriky v C + d( q1, q2) = max( a( q1) a( q2) ), kde x y je euklidovská metrika ve W. Volná cesta je definována a A jako τ :[0,1] Cfree = C \ CB. Algoritmy pro plánování cest dle (Latombe, 1991) zahrnují dva hlavní kroky: - předzpracování reprezentace volného konfiguračního prostoru C free mezi všemi překážkami v dané oblasti pomocí funkce nebo grafu - zpracování dotazu prohledávání grafu nebo použití funkce pro nalezení cesty Základní přístupy pro plánování cesty zahrnují: - dekompozice buněk dekompozice C free do buněk a reprezentace spojitosti C free pomocí grafu sousednosti buněk - silniční mapa reprezentace spojitosti C free grafem - potenciální pole definuje funkci nad C free, která má globální minimum v cílové konfiguraci a maxima v místě překážek. 2.1 Dekompozice buněk Krok předzpracování zahrnuje dekompozici C free do kolekce buněk a vytvoření grafu sousednosti reprezentující sousední relace mezi buňkami. Dekompozice C free může být do buněk, které přesně pokrývají celé C free nebo do buněk, jejichž sjednocení pouze aproximuje volný prostor (např. pouze čtvercové buňky). Na obrázku č. 5 je zobrazen příklad dekompozice C free do lichoběžníkových buněk (tzv. lichoběžníková dekompozice C free ). Krok zpracování dotazu zahrnuje nalezení posloupnosti sousedních buněk vedoucí z počáteční q a konfigurace do cílové konfigurace q b a transformace této posloupnosti do cesty. 7

13 Obrázek 5. Lichoběžníková dekompozice 2.2 Silniční mapa Krok předzpracování zahrnuje přímou konstrukci grafu cest (bez dekompozice do buněk jako v předchozí metodě) reprezentující spojitost v C free. Graf viditelnosti (redukovaný graf viditelnosti vzájemné propojení vrcholů všech objektů pouze tečnými hranami k těmto objektům viz obr. 6), retrakční metoda a PRM (Probabilistic Road Map Method) jsou příklady metod konstrukcí grafu cest (Latombe, 1991). Krok zpracování dotazu zahrnuje napojení počáteční q a a koncové q b konfigurace robota A ke grafu cest a nalezení nejkratší cesty. Metody založené na silničních mapách patří mezi nejefektivnější metody plánování cest (Latombe, 1991). Obrázek 6. Redukovaný graf viditelnosti 8

14 2.3 Potenciální pole Krok předzpracování zahrnuje umístění mřížky nad prostor a definice funkce (potenčního pole, viz obr. 7) s daným globálním minimem (cílová pozice) nad touto mřížkou. Krok zpracování dotazu zahrnuje nalezení cesty pomocí potenčního pole (hledáme globální minimum). Výhoda této metody spočívá v rychlosti nalezení cílové konfigurace q b, ale vážným problémem je nebezpečí uváznutí v lokálním minimu. Obrázek 7. Potenciální pole 9

15 Kapitola 3 Retrakční přístup Retrakční přístup (Latombe, 1991) umožňuje přímou konstrukci grafu cest, který reprezentuje spojitost C free (není zapotřebí dekompozice C free do buněk). Jedná se o redukci problému nalezení cesty mezi překážkami CB v C free na problém nalezení cesty v grafu tvořeného např. Voroného diagramem. Základem retrakčního přístupu je zobrazení libovolného bodu z C free do bodu na grafu cest. Pro nalezení nejkratší cesty se nejdříve určí obraz počáteční a koncové konfigurace q Cfree v tomto grafu a následuje samotné nalezení cesty z q a do q b pomocí A* algoritmu popsaného v první podkapitole. Formálněji je retrakce zobrazení ρ :Cfree R, R Cfree platí li zároveň, že se jedná o spojité a identické zobrazení ( ρ ( R ) = R). Tedy ρ ( x) R pro x Cfree a zároveň ρ ( y) = y pro y R. Volná cesta τ z q a do q b existuje právě tehdy, když existuje cesta v R mezi ρ ( qa) a ρ ( qb) (Latombe, 1991). 3.1 A* algoritmus A* algoritmus patří mezi tzv. best first algoritmy pro nalezení nejkratších cest. Jedná se o výpočetně nejvýkonnější algoritmus garantující nalezení nejkratší cesty. Nechť n označuje libovolný uzel. Algoritmus je postaven na formuli f ( n) = g( n) + h( n), kde f (n) je odhadnutá cena nejlevnějšího řešení přes n, g (n) je cena cesty z počátečního uzlu do uzlu n, a h(n) je heuristická cena udávající nejlevnější cestu z n do cíle. Pro nalezení nejkratší cesty je opakovaně vybírán uzel s nejnižší cenou f (n) a dále je prováděna relaxační operace podobně jako v Dijkstrově algoritmu (Russel & Norvig, 1995), (LaValle, 2005). Heuristická funkce h musí být vybrána takovým způsobem, aby nedošlo k nadhodnocení ceny cesty do cíle (heuristická funkce musí být tzv. přípustná). Nejjednodušší příklad přípustné heuristiky je vzdálenost přímé viditelnosti. Mezi algoritmy, které rozšiřují vyhledávácí cestu z kořene, je A* algoritmus optimálně výkonný (optimally efficient) pro libovolnou danou heuristickou funkci, což znamená, že neexistuje takový algoritmus, který by garantoval expanzi menšího počtu uzlů než A*. Časová složitost A* algoritmu závisí na přesnosti heuristické funkce. Například, pokud heuristická funkce je schopná naprosto přesně odhadnout cenu do cíle, pak A* algoritmus běží v lineárním čase expandující pouze ty uzly ležící na optimální výsledné cestě. Důkazy optimality, úplnosti a další diskuze o složitosti A* algoritmu mohou být dále nalezeny v (Russel & Norvig, 1995), (Korf, 1999), (Konar, 2000) a (LaValle, 2005). 3.2 Voroného diagram pro množinu bodových generátorů Nechť je dána množina konečného počtu různých bodů P = { p1,..., pn} R, kde 2 < n < a pi p j pro i j, i, j In (I n je množina přirozených čísel o mohutnosti n). Všechna umístění v prostoru jsou přiřazena k jejich nejbližším generátorům (bodům) z množiny P s ohledem na euklidovskou 2 vzdálenost. Výsledkem je zobrazení prostoru R do množiny regionů 2 V ( pi ) = { x x pi x p j pro x R, i, j In; j i} asociované s p i. Samotný Voroného o diagram (viz obr. 8) je daný množinou regionů V P) = { V ( p ),..., V ( p )} generované množinou P. ( 1 n 2 10

16 Osa souměrnosti dvou generátorů p a q rozdělující rovinu do dvou polorovin je definována jako kolmá přímka na spojnici pq vedoucí uprostřed této spojnice. Otevřená polorovina obsahující p je definována jako h(p, q) a otevřená polorovina obsahující q je definována jako h(q, p). Samozřejmě 2 e h( p, q), kde e R je libovolná lokace v rovině, právě tehdy, když d ( e, p) < d( e, q). Samotná buňka V (P), která je generována p i je definována jako V ( pi) = I h( pi, pj) (de Berg a kol., 2000). 1 j n, j i Nechť C p (v) popisuje největší možnou kružnici, která má střed v libovolném bodě v a neobsahuje žádný generátor. Potom pro V (P) platí následující věty: (i) Umístění v je vrcholem Voroného diagramu V (P) pouze tehdy, když C p (v) obsahuje na obvodu tři nebo více generátorů p (viz obr. 8), (ii) osa souměrnosti mezi generátory p i a p j definuje hranu V (P) pouze tehdy, když zde existuje takový bod v ležící na této ose tak, že na obvodu C p (v) leží jak p i, tak i p j a zároveň žádný jiný generátor (viz obr. 8). Obrázek 8. Voroného diagram pro bodové generátory Základní metody pro výpočet Voroného digramu jsou: inkrementální metoda, metoda rozděl a panuj (divide and conquer) a zametací metoda (plane sweep). Inkrementální metoda má časovou složitost O ( n 2 ), kdežto rozděl a panuj metoda a zametací metoda mají časovou složitost O ( n log n). Důkazy časových složitostí těchto metod jsou provedeny v (Okabe a kol., 2000) a (de Berg a kol., 2000). Nejjednodušší případ retrakce pro zobecněný Voroného diagram V ( Cfree) (i pro liniové nebo polygonové generátory) může být definován následovně: ρ : C free V ( Cfree) 1. případ: q V ( Cfree ) : ρ ( q) = q 2. případ: q V ( Cfree) : nechť p je nejbližší bod k bodu q na hranici C free, nechť L je vedená polopřímka z bodu p přes q, pak ρ (q) je průsečík L z V (C free ). Retrakce je použita jako nástroj pro nalezení cesty z počáteční (nebo do koncové) konfigurace, která neleží na vypočteném V (C free ), k tomuto diagramu. 11

17 Výhodou Voroného diagramu v roli grafu cest mezi překážkami v prostoru je jeho implicitní udržování největší vzdálenosti od překážek, avšak bohužel za cenu relativně složité implementace algoritmů pracujících v logaritmickém čase (např. zametací algoritmus, který bude dále rozebrán v textu). 3.3 Zametací algoritmus (plane sweep) Následuje rozbor implementovaného zametacího algoritmu, který navrhl Steve Fortune (1985) a který byl použit pro výpočet Voroného diagramu s bodovými generátory. Další detaily algoritmu jsou uvedeny v kapitole vlastní implementace. Hlavní část algoritmu tvoří posun horizontální přímky l z horní části diagramu do dolní přes 2 všechny generátory P = { p1,..., pn} R. Během posunu se udržuje informace o části už vytvořeného V (P) nad l, která nemůže být dále ovlivněna generátory pod l. Část V (P) nad l je ohraničena sekvencí parabol (tzv. beach line), jak je ukázáno na obrázku č. 9. Body na parabole mají stejnou vzdálenost od generátoru této paraboly a l. Je třeba zdůraznit, že v daném kroku neexistuje informace o pozici generátorů pod l. Průsečíky jednotlivých parabol v sekvenci parabol nad l postupně tvoří hrany V (P). Místo udržování jednotlivých průsečíků V (P) s l se během posunu udržuje struktura sekvence parabol. Změna sekvence parabol nad l nastává v okamžiku vzniku nové paraboly nebo zániku paraboly existující. Obrázek 9. Sekvence oblouků parabol Nová parabola o nulové šířce vznikne v okamžiku, kdy l dosáhne dalšího generátoru, jedná se tedy pouze o vertikální úsečku spojující nový generátor se sekvencí parabol. Průsečík této úsečky (nově vzniklé paraboly) s parabolou ze sekvence parabol udává počáteční pozici nově vznikající hrany V (P). Při dalším posunu se tato parabola dále rozšiřuje a postupně mění tvar sekvence parabol, jak je ukázáno na obrázku č. 10. Tento typ události se nazývá událost generátoru (site event). Obrázek 10. Vznik události generátoru 12

18 Druhým typem události je smrštění existující paraboly do bodu a následný její zánik, jak je ukázáno na obrázku č. 11. Bod q na obrázku č. 11 má stejnou vzdálenost od l a od všech tří generátorů p i, p j a p k. Tedy existuje kružnice procházející třemi generátory a její nejnižší bod leží na l. Uvnitř kružnice se nemůže vyskytovat žádný jiný generátor, protože takový generátor by byl bližší k bodu q než q k l a to odporuje faktu, že bod q leží na sekvenci oblouků parabol. Z toho plyne, že q je vrcholem Voroného diagramu. Tato událost, která vznikne dosáhnutím l na nejnižší bod kružnice procházející třemi generátory definující sousední paraboly v sekvenci se nazývá kružnicová událost (circle event). Obrázek 11. Vznik kružnicové události (zánik paraboly a následný vznik nového vrcholu V (P)) Algoritmus používá tři datové struktury pro udržování nezbytných informací během výpočtu. Vypočtený V (P) je ukládán ve dvojitém spojovém seznamu hran (doubly connected edge list, dále DCEL). Podrobný popis struktury DCEL může být nalezen v (Okabe a kol., 2000) a (de Berg a kol., 2000). Po ukončení výpočtu se vytvoří obdélníkový okraj vypočteného V (P) a k němu se napojí okrajové hrany diagramu. Sekvence parabol je reprezentována AVL stromem T (vyvážený vyhledávací strom) (Preiss, 2000), který je zobrazen na obrázku č. 12. Jeho listy odpovídají obloukům sekvence parabol v uspořádaném pořadí. Každý list obsahuje ukazatel na generátor definující daný oblouk. Vnitřní uzly T reprezentují body přerušení v sekvenci parabol a jsou definovány jako dvojice (p i, p j ), kde p i je ukazatel na generátor levé paraboly a p j je ukazatel na generátor pravé paraboly. Díky této stromové reprezentaci sekvence parabol lze v logaritmickém čase nalézt oblouk ležící nad nově vzniklou událostí daného generátoru. Dále každý list, reprezentující oblouk α v sekvenci parabol, obsahuje ukazatel na prvek ve frontě událostí, který představuje budoucí kružnicovou událost, při které α zanikne. Tento ukazatel je NIL, pokud v dané části výpočtu neexistuje taková kružnicová událost, při které α zanikne. 13

19 Obrázek 12. Vyvážený binární vyhledávací strom pro reprezentaci sekvence oblouků parabol Fronta událostí Q je definována jako prioritní fronta, kde prioritou je y ová souřadnice události. V případě kružnicových událostí se ukládá nejnižší bod vzniklé kružnice s ukazatelem na list v T, který zanikne při vyvolání této kružnicové události. Při každé události nastane topologická změna sekvence parabol. Topologická změna může mít za následek potenciální vznik kružnicové události ze tří sousedních oblouků. Může ovšem dojít k situaci, kdy dělící čáry sousedních oblouků nekonvergují do vrcholu Voroného diagramu, jak je ukázáno na obrázku č. 13, a tedy se nejedná o kružnicovou událost. Druhým případem je stav, kdy v okamžiku zpracování kružnicové události už neexistují její tři oblouky (dané generátory tvořící tuto událost) v pořadí vedle sebe v sekvenci parabol. Tento případ je způsoben náhlým zpracováním bezprostředně předcházející události generátoru. Z tohoto důvodu se pro každý zanikající oblouk v T provádí kontrola, zda neexistuje odpovídající kružnicová událost v Q. Pokud odpovídající kružnicová událost existuje, jedná se o nekorektní událost (false alarm), která je následně vymazána z Q. Obrázek 13. Demonstrace nekonvergence dělících čar generátorů p 1, p 2 a p 3 14

20 Algoritmus č. 2: PLANE_SWEEP(P) Vstup: Množina = p1,..., pn} 2 P { R generátorů v rovině. Výstup: Voroného diagram V (P) uzavřený v obdélníkové oblasti a uložený v DCEL. 1. Naplnění fronty událostí Q všemi událostmi generátorů, inicializace prázdné struktury T a prázdného DCEL. 2. while Q 3. do Odstraň z Q událost U s největší y ovou souřadnicí 4. if U je událostí generátoru p i 5. then ZPRACUJ_UDÁLOST_GENERÁTORU(p i ) 6. else ZPRACUJ_KRUŽNICOVOU_UDÁLOST( φ ), kde φ je list z T reprezentující parabolický oblouk, který při zpracování zanikne. 7. Vytvoř hraniční obdélník a připoj hrany V (P), které jsou dány ukazateli z vnitřních uzlů T k hranici tohoto obdélníka. 1 ZPRACUJ_UDÁLOST_GENERÁTORU(p i ) 1.1 Pokud je T prázdný, vlož do něj p i a proveď návrat z procedury (T v tomto případě obsahuje pouze list). Jinak pokračuj kroky Nalezni parabolický oblouk α (daný generátorem p j ) vertikálně nad p i. Pokud α obsahuje ukazatel na kružnicovou událost v Q, pak tuto událost odstraň z Q (jedná se o nekorektní událost). 1.3 Nahraď list z T reprezentující oblouk α podstromem mající tři listy. Prostřední list ukazuje na oblouk daný generátorem p i a zbylé dva listy ukazují na oblouky (rozštěpený původní oblouk) dané generátorem p j. Dále podstrom obsahuje vnitřní uzly (p i, p j ) a (p j, p i ) reprezentující zlomy (breakpoints) mezi oblouky. Proveď převážení stromu. 1.4 V DCEL struktuře vytvoř novou hranu V (P) o nulové délce rozdělující V(p i ) a V(p j ). Ukazatele na nově vytvořenou hranu ulož do odpovídajících vnitřních uzlů stromu T (p i, p j ) a (p j, p i ). 1.5 Pokud trojice sousedních oblouků, kde p i je generátor nejlevějšího oblouku, tvoří kružnicovou událost, vlož ji do Q (vkládá se nejspodnější bod vzniklé kružnice!) a nastav ukazatel mezi prostředním obloukem (listem ve stromě T) a nově vloženou kružnicovou událostí. Proveď to stejné pro případ, kdy p i je generátor nejpravějšího oblouku. 2 ZPRACUJ_KRUŽNICOVOU_UDÁLOST( φ ) 2.1 Vymaž list φ z T reprezentující zanikající oblouk α. Proveď úpravu záznamů zlomů ve vnitřních uzlech stromu T a proveď jeho vyvážení. Vymaž všechny kružnicové události, které se odkazují na α z Q (jsou nalezeny pomocí ukazatelů předchůdce a následníka φ v T). 15

21 2.2 Střed kružnice přidej do DCEL jako nový vrchol V (P) a na tento vrchol napoj konce hran os souměrnosti sousedních generátorů (ukazatele na hrany uloženy ve vnitřních uzlech stromu T). Vytvoř novou hranu o nulové délce na místě středu kružnice. Nastav ukazatele mezi nimi odpovídajícím způsobem (viz obr. 14). Do vnitřních uzlů reprezentujících zlom mezi levým a pravým generátorem vlož ukazatel na nově vytvořenou hranu (v případě na obr. 14 se vloží ukazatel do (p 1, p 3 ) a (p 3, p 1 ). 2.3 Pokud trojice nově vzniklých sousedních oblouků, kde levý soused zaniklého α je středem této trojice a tvoří kružnicovou událost, vlož ji do Q (vkládá se nejspodnější bod vzniklé kružnice!) a nastav ukazatel mezi prostředním obloukem a nově vloženou kružnicovou událostí. Proveď to stejné pro případ, kdy pravý soused zaniklého α je středem této trojice. Obrázek 14. DCEL V (P) pro tři generátory (bez hraničního diagramu) Degenerované případy při výpočtu mohou být následující: Zpracování událostí se stejnou y ovou souřadnicí. Řeší se imaginárním natočením roviny o velmi malý úhel na pravou stranu. Tím dochází při výběru z prioritní fronty k upřednostnění událostí s menší x ovou souřadnicí. Problém dále nastává na počátku výpočtu, kdy události se stejnou y ovou souřadnicí neumožňují nalezení odpovídající paraboly nad druhým generátorem v řadě (průsečík parabol leží v nekonečnu), situace je zobrazená na obrázku č. 15. Řešení spočívá v minimálním kladném posunu y ové souřadnice prvního generátoru nebo ošetřením pomocí speciálního kódu v implementaci algoritmu. Obrázek 15. Degenerovaný případ, generátory se stejnou y ovou souřadnicí na počátku výpočtu Problém výskytu několika stejných kružnicových událostí, tj. existence kružnice s větším počtem generátorů na obvodu, jak je zobrazeno na obrázku č. 16. Střed takovéto kružnice je vrchol V (P) o stupni alespoň 4. V tomto případě algoritmus vytvoří dva vrcholy V (P) se stejnými 16

22 souřadnicemi a hranou o nulové délce, která je propojuje. Tyto hrany mohou být dále po výpočtu z DCEL odstraněny. Obrázek 16. Degenerovaný případ, kružnicová událost Při zpracování události generátoru může dojít k nalezení průsečíku nově vzniklé paraboly (vertikální úsečka) se sekvencí parabol přesně v průsečíku dvou sousedních parabol. V tomto případě algoritmus rozdělí jednu z těchto sousedních parabol a vloží novou parabolu mezi dvě části původní paraboly, kde jedna část bude mít nulovou délku (ta část, která leží blíže k průsečíku původních parabol). Část paraboly s nulovou délkou tvoří prostřední oblouk trojice definující kružnicovou událost. Po obsloužení této kružnicové události je vytvořena hrana s nulovou délkou, která může být později vymazána z DCEL. Časová složitost algoritmu je O ( n log n) a prostorová složitost je O (n), důkaz časové složitosti následuje v textu. Nechť n je počet událostí generátoru. Operace vkládání nebo odebírání prvku v T nebo Q (vkládání nebo výmaz elementů) mají časovou složitost O (log n). Primitivní operace v DCEL jsou v O (1) časové složitosti. Obsluha události zahrnuje sadu primitivních operací, výsledkem je celková časová složitost obsluhy události O (log n). Každá kružnicová událost definuje vrchol Voroného diagramu. Kružnicové události jsou vytvářeny a odstraňovány při zpracování události generátoru. Čas potřebný pro obsloužení kružnicové události je zahrnut do zpracování události generátoru. Nekorektní kružnicové události jsou před zpracováním vymazány z Q. Maximální počet kružnicových událostí obsluhovaných algoritmem je 2n 5 a algoritmus korektně ošetřuje i degenerované případy (de Berg a kol., 2000). Ve výsledku dává celkovou časovou složitost O ( n log n). 3.4 Zobecněný Voroného diagram pro bodové a liniové generátory 2 Nechť L = { l1,..., ln } R (1 n < ), kde li ( 1 i n) reprezentuje bodový generátor, liniový generátor nebo posloupnost liniových generátorů (sekvence liniových generátorů, kde koncový bod daného liniového generátoru je shodný s počátečním bodem následujícího liniového generátoru). Pak 2 V ( li) = { x ds( x, li) ds( x, lj) pro x R, i, j In, i j} reprezentuje liniový Voroného region (line 2 Voronoi region), kde ds( x, li) = min{ x xi xi li, x R } je nejkratší možná euklidovská xi vzdálenost mezi bodem x a bodem xi li, který je nejbližší ze všech bodů generátoru k bodu x. Množina V ( L) = { V ( l1),..., V ( ln) tvoří liniový Voroného diagram generovaný množinou L. V případě, že l i degeneruje na bod pro všechny i, pak liniový Voroného digram redukuje na Voroného diagram pro bodové generátory. 17

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 md at robotika.cz, zbynek.winkler at mff.cuni.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 27. listopadu 2007 1 Mapa světa Exaktní plánování 2 3 Plánování s otáčením Mapa světa - příklad Obsah Mapa světa Exaktní

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 zbynek.winkler at mff.cuni.cz, md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor05/cs 5. prosince 2005 1 Mapa světa Exaktní plánování 2 3 Plánování s otáčením (náznak řešení) Mapa světa - příklad Obsah Mapa

Více

Algoritmizace prostorových úloh

Algoritmizace prostorových úloh Algoritmizace prostorových úloh Vektorová data Daniela Szturcová Prostorová data Geoobjekt entita definovaná v prostoru. Znalost jeho identifikace, lokalizace umístění v prostoru, vlastností vlastních

Více

Geometrické vyhledávání

Geometrické vyhledávání mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 Pravděpodobnostní plánování zbynek.winkler at mff.cuni.cz, md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor05/cs 12. prosince 2005 1 Co už umíme a co ne? Jak řešit složitější případy? Definice konfiguračního

Více

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace Význam triangulace trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy příklad triangulace Definice Triangulace nad množinou bodů v rovině představuje takové planární

Více

Výpočetní geometrie Computational Geometry

Výpočetní geometrie Computational Geometry Datové struktury a algoritmy Část 11 Výpočetní geometrie Computational Geometry Petr Felkel 20.12.2005 Úvod Výpočetní geometrie (CG) Příklady úloh Algoritmické techniky paradigmata řazení - jako předzpracování

Více

Stromy, haldy, prioritní fronty

Stromy, haldy, prioritní fronty Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík

Více

1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10

1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 Úlohy- 2.cvičení 1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 2. Převeďte dané desetinné číslo do dvojkové soustavy (DEC -> BIN): a) 0,8125 10 b) 0,35 10

Více

STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta

STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach vlož do fronty kořen opakuj, dokud není fronta prázdná 1. vyber uzel z fronty a zpracuj jej 2. vlož do fronty levého následníka

Více

Amortizovaná složitost. Prioritní fronty, haldy (binární, d- regulární, binomiální, Fibonacciho), operace nad nimi a jejich složitost

Amortizovaná složitost. Prioritní fronty, haldy (binární, d- regulární, binomiální, Fibonacciho), operace nad nimi a jejich složitost Amortizovaná složitost. Prioritní fronty, haldy binární, d- regulární, binomiální, Fibonacciho), operace nad nimi a jejich složitost 1. Asymptotické odhady Asymptotická složitost je deklarována na základě

Více

Binární vyhledávací strom pomocí směrníků Miroslav Hostaša L06620

Binární vyhledávací strom pomocí směrníků Miroslav Hostaša L06620 Binární vyhledávací strom pomocí směrníků Miroslav Hostaša L06620 1. Vymezení pojmů Strom: Strom je takové uspořádání prvků - vrcholů, ve kterém lze rozeznat předchůdce - rodiče a následovníky - syny.

Více

Algoritmy a datové struktury

Algoritmy a datové struktury Algoritmy a datové struktury Stromy 1 / 32 Obsah přednášky Pole a seznamy Stromy Procházení stromů Binární stromy Procházení BS Binární vyhledávací stromy 2 / 32 Pole Hledání v poli metodou půlení intervalu

Více

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 2. úkol MI-PAA Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 Specifikaci úlohy Problém batohu je jedním z nejjednodušších NP-těžkých problémů. V literatuře najdeme množství jeho variant, které mají obecně různé nároky

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Semestrální práce z předmětu KMA/MM. Voroneho diagramy

Semestrální práce z předmětu KMA/MM. Voroneho diagramy Semestrální práce z předmětu KMA/MM Voroneho diagramy Jméno a příjmení: Lenka Skalová Osobní číslo: A08N0185P Studijní obor: Finanční informatika a statistika Datum: 22. 1. 2010 Obsah Obsah... 2 1 Historie...

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem ČVUT FEL X36PAA - Problémy a algoritmy 3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem Jméno: Marek Handl Datum: 1. 1. 2009 Cvičení: Pondělí 9:00 Zadání Naprogramujte

Více

Úloha ve stavovém prostoru SP je , kde s 0 je počáteční stav C je množina požadovaných cílových stavů

Úloha ve stavovém prostoru SP je <s 0, C>, kde s 0 je počáteční stav C je množina požadovaných cílových stavů Stavový prostor a jeho prohledávání SP = formalismus k obecnějšímu uchopení a vymezení problému, který spočívá v nalezení posloupnosti akcí vedoucích od počátečního stavu úlohy (zadání) k požadovanému

Více

Úvod do mobilní robotiky NAIL028

Úvod do mobilní robotiky NAIL028 md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor08/cs 11. listopadu 2008 1 2 PID Sledování cesty Modely kolových vozidel (1/5) Diferenční řízení tank b Encoder Motor Centerpoint Motor Encoder Modely kolových

Více

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu:

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu: Čtvrtek 8 prosince Pascal - opakování základů Struktura programu: 1 hlavička obsahuje název programu, použité programové jednotky (knihovny), definice konstant, deklarace proměnných, všechny použité procedury

Více

11 Zobrazování objektů 3D grafiky

11 Zobrazování objektů 3D grafiky 11 Zobrazování objektů 3D grafiky Studijní cíl Tento blok je věnován základním algoritmům zobrazení 3D grafiky. Postupně budou probrány základní metody projekce kolmé promítání, rovnoběžné promítání a

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Počítačová grafika RHINOCEROS

Počítačová grafika RHINOCEROS Počítačová grafika RHINOCEROS Ing. Zuzana Benáková Základní otázkou grafických programů je způsob zobrazení určitého tvaru. Existují dva základní způsoby prezentace 3D modelů v počítači. První využívá

Více

2 Datové struktury. Pole Seznam Zásobník Fronty FIFO Haldy a prioritní fronty Stromy Hash tabulky Slovníky

2 Datové struktury. Pole Seznam Zásobník Fronty FIFO Haldy a prioritní fronty Stromy Hash tabulky Slovníky Pole Seznam Zásobník Fronty FIFO Haldy a prioritní fronty Stromy Hash tabulky Slovníky 25 Pole Datová struktura kolekce elementů (hodnot či proměnných), identifikovaných jedním nebo více indexy, ze kterých

Více

Oblasti ovlivňující přesnost a kvalitu obrobení povrchu (generované dráhy).

Oblasti ovlivňující přesnost a kvalitu obrobení povrchu (generované dráhy). Oblasti ovlivňující přesnost a kvalitu obrobení povrchu (generované dráhy). 1 - Přesnost interpretace modelu (Tato oblast řeší, jak SC interpretuje model pro jednotlivé technologie obrábění 2D, 3D+HSM,

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely

2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely 2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D. e-mail: jan.pacina@ujep.cz Pro přednášku byly použity texty a obrázky z www.gis.zcu.cz Předmět KMA/UGI, autor Ing. K.

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 7. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel zaokrouhluje, provádí odhady

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Volné stromy. Úvod do programování. Kořenové stromy a seřazené stromy. Volné stromy

Volné stromy. Úvod do programování. Kořenové stromy a seřazené stromy. Volné stromy Volné stromy Úvod do programování Souvislý, acyklický, neorientovaný graf nazýváme volným stromem (free tree). Často vynecháváme adjektivum volný, a říkáme jen, že daný graf je strom. Michal Krátký 1,Jiří

Více

Algoritmy I, složitost

Algoritmy I, složitost A0B36PRI - PROGRAMOVÁNÍ Algoritmy I, složitost České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická v 1.01 Rychlost... Jeden algoritmus (program, postup, metoda ) je rychlejší než druhý. Co ta věta znamená??

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole si představíme Nástroje kreslení pro tvorbu 2D skic v modulu Objemová součást

Více

GEOGRAFICKÉ INFORMAČNÍ SYSTÉMY 6

GEOGRAFICKÉ INFORMAČNÍ SYSTÉMY 6 UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY GEOGRAFICKÉ INFORMAČNÍ SYSTÉMY 6 Lubomír Vašek Zlín 2013 Obsah... 3 1. Základní pojmy... 3 2. Princip rastrové reprezentace... 3 2.1 Užívané

Více

Postupy práce se šablonami IS MPP

Postupy práce se šablonami IS MPP Postupy práce se šablonami IS MPP Modul plánování a přezkoumávání, verze 1.20 vypracovala společnost ASD Software, s.r.o. dokument ze dne 27. 3. 2013, verze 1.01 Postupy práce se šablonami IS MPP Modul

Více

Projekt Poohří. Výstavba modelových sítí a automatizace v rámci tvorby modelových sítí. Zpráva o stavu řešení problematiky

Projekt Poohří. Výstavba modelových sítí a automatizace v rámci tvorby modelových sítí. Zpráva o stavu řešení problematiky Projekt Poohří. Výstavba modelových sítí a automatizace v rámci tvorby modelových sítí. Zpráva o stavu řešení problematiky RNDr. Blanka Malá, Ph.D., NTI, TUL Ing. Jan Pacina, Ph.D., UJEP Obsah: 1. Problematika

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

13 Barvy a úpravy rastrového

13 Barvy a úpravy rastrového 13 Barvy a úpravy rastrového Studijní cíl Tento blok je věnován základním metodám pro úpravu rastrového obrazu, jako je např. otočení, horizontální a vertikální překlopení. Dále budo vysvětleny různé metody

Více

Náplň. v.0.03 16.02.2014. - Jednoduché příklady na práci s poli v C - Vlastnosti třídění - Způsoby (algoritmy) třídění

Náplň. v.0.03 16.02.2014. - Jednoduché příklady na práci s poli v C - Vlastnosti třídění - Způsoby (algoritmy) třídění Náplň v.0.03 16.02.2014 - Jednoduché příklady na práci s poli v C - Vlastnosti třídění - Způsoby (algoritmy) třídění Spojení dvou samostatně setříděných polí void Spoj(double apole1[], int adelka1, double

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

3. přednáška z předmětu GIS1 atributové a prostorové dotazy

3. přednáška z předmětu GIS1 atributové a prostorové dotazy 3. přednáška z předmětu GIS1 atributové a prostorové dotazy Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D. e-mail: jan.pacina@ujep.cz Pro přednášku byly použity texty a obrázky z www.gis.zcu.cz Předmět KMA/UGI, autor

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného)

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) 1 Obecný popis metody Particle Image Velocimetry, nebo-li zkráceně PIV, je měřící

Více

Konvexní obálka množiny bodů.

Konvexní obálka množiny bodů. Konvexní obálka množiny bodů. Graham Scan. Jarvis Scan. Quick Hull. Inkrementální metoda. Divide and Conquer. Rotating Calipers. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie.

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Mezi jednotlivými rozhraními resp. na nosníkových prvcích lze definovat kontakty

Mezi jednotlivými rozhraními resp. na nosníkových prvcích lze definovat kontakty Kontaktní prvky Mezi jednotlivými rozhraními resp. na nosníkových prvcích lze definovat kontakty Základní myšlenka Modelování posunu po smykové ploše, diskontinuitě či na rozhraní konstrukce a okolního

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

8. přednáška z předmětu GIS1 Rastrový datový model a mapová algebra

8. přednáška z předmětu GIS1 Rastrový datový model a mapová algebra 8. přednáška z předmětu GIS1 Rastrový datový model a mapová algebra Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D. e-mail: jan.pacina@ujep.cz Pro přednášku byly použity texty a obrázky z www.gis.zcu.cz Předmět KMA/UGI,

Více

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby Matematika - 1. ročník Používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků obor přirozených čísel : počítání do dvaceti - číslice

Více

MATEMATIKA. Doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc., Přírodovědecká fakulta MU Brno. Ing. Milan Hausner, ZŠ Lupáčova, Praha 3

MATEMATIKA. Doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc., Přírodovědecká fakulta MU Brno. Ing. Milan Hausner, ZŠ Lupáčova, Praha 3 MATEMATIKA Vypracovala skupina pro přípravu standardů z matematiky ve složení: Vedoucí: Koordinátor za VÚP: Členové: Doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc., Přírodovědecká fakulta MU Brno RNDr. Eva Zelendová, VÚP

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Multirobotická kooperativní inspekce

Multirobotická kooperativní inspekce Multirobotická kooperativní inspekce prostředí Diplomová práce Multirobotická kooperativní inspekce prostředí Diplomová práce Intelligent and Mobile Robotics Group Laboratory for Intelligent Decision Making

Více

Martin Milata, <256615@mail.muni.cz> 27.11.2007. Pokud je alespoň jeden rozměr čokolády sudý (s výjimkou tabulky velikosti 1x2, která už je od

Martin Milata, <256615@mail.muni.cz> 27.11.2007. Pokud je alespoň jeden rozměr čokolády sudý (s výjimkou tabulky velikosti 1x2, která už je od IB000 Lámání čokolády Martin Milata, 27.11.2007 1 Čokoláda s alespoň jedním sudým rozměrem Pokud je alespoň jeden rozměr čokolády sudý (s výjimkou tabulky velikosti 1x2, která už

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115

Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115 Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115 Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0410 Číslo šablony: 1 Název materiálu: Ročník: Identifikace materiálu: Jméno autora: Předmět: Tématický celek:

Více

Matematické modelování dopravního proudu

Matematické modelování dopravního proudu Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení

Více

Plochy zadané okrajovými křivkami

Plochy zadané okrajovými křivkami Plochy zadané okrajovými křivkami Lineární plát plocha je určena dvěma okrajovými křivkami, pokud by pro tyto křivky byly intervaly, v nichž leží hodnoty parametru, různé, provedeme lineární transformaci

Více

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby Matematika - 1. ročník Používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků Rozezná, pojmenuje, vymodeluje a popíše základní rovinné

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Automatizované řešení úloh s omezeními

Automatizované řešení úloh s omezeními Automatizované řešení úloh s omezeními Martin Kot Katedra informatiky, FEI, Vysoká škola báňská Technická universita Ostrava 17. listopadu 15, Ostrava-Poruba 708 33 Česká republika 25. října 2012 M. Kot

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ NOVÁ MTURITNÍ ZKOUŠK Ilustrační test 2008 Základní úroveň obtížnosti MVCZMZ08DT MTEMTIK ZÁKLDNÍ ÚROVEŇ DIDKTICKÝ TEST Testový sešit obsahuje 8 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více

7. Geografické informační systémy.

7. Geografické informační systémy. 7. Geografické informační systémy. 154GEY2 Geodézie 2 7.1 Definice 7.2 Komponenty GIS 7.3 Možnosti GIS 7.4 Datové modely GIS 7.5 Přístup k prostorovým datům 7.6 Topologie 7.7 Vektorové datové modely 7.8

Více

5 Rekurze a zásobník. Rekurzivní volání metody

5 Rekurze a zásobník. Rekurzivní volání metody 5 Rekurze a zásobník Při volání metody z metody main() se do zásobníku uloží aktivační záznam obsahující - parametry - návratovou adresu, tedy adresu, kde bude program pokračovat v metodě main () po skončení

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Algoritmizace a programování

Algoritmizace a programování Algoritmizace a programování Řídicí struktury jazyka Java Struktura programu Příkazy jazyka Blok příkazů Logické příkazy Ternární logický operátor Verze pro akademický rok 2012/2013 1 Struktura programu

Více

MATEMATIKA. 1. 5. ročník

MATEMATIKA. 1. 5. ročník Charakteristika předmětu MATEMATIKA 1. 5. ročník Obsahové, časové a organizační vymezení Vyučovací předmět matematika má časovou dotaci 4 hodiny týdně v 1. ročníku, 5 hodin týdně ve 2. až 5. ročníku. Časová

Více

LBP, HoG Ing. Marek Hrúz Ph.D. Plzeň Katedra kybernetiky 29. října 2015

LBP, HoG Ing. Marek Hrúz Ph.D. Plzeň Katedra kybernetiky 29. října 2015 LBP, HoG Ing. Marek Hrúz Ph.D. Plzeň Katedra kybernetiky 29. října 2015 1 LBP 1 LBP Tato metoda, publikovaná roku 1996, byla vyvinuta za účelem sestrojení jednoduchého a výpočetně rychlého nástroje pro

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

IB108 Sada 1, Příklad 1 Vypracovali: Tomáš Krajča (255676), Martin Milata (256615)

IB108 Sada 1, Příklad 1 Vypracovali: Tomáš Krajča (255676), Martin Milata (256615) IB108 Sada 1, Příklad 1 ( ) Složitost třídícího algoritmu 1/-Sort je v O n log O (n.71 ). Necht n = j i (velikost pole, které je vstupním parametrem funkce 1/-Sort). Lehce spočítáme, že velikost pole předávaná

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB

REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB 62 REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB BEZOUŠKA VLADISLAV Abstrakt: Text se zabývá jednoduchým řešením metody nejmenších čtverců v prostředí Matlab pro obecné víceparametrové aproximační funkce. Celý postup

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

NEXIS 32 rel. 3.50. Generátor fází výstavby TDA mikro

NEXIS 32 rel. 3.50. Generátor fází výstavby TDA mikro SCIA CZ, s. r. o. Slavíčkova 1a 638 00 Brno tel. 545 193 526 545 193 535 fax 545 193 533 E-mail info.brno@scia.cz www.scia.cz Systém programů pro projektování prutových a stěnodeskových konstrukcí NEXIS

Více

Hranová konzistence. Arc consistency AC. Nejprve se zabýváme binárními CSP. podmínka odpovídá hraně v grafu podmínek

Hranová konzistence. Arc consistency AC. Nejprve se zabýváme binárními CSP. podmínka odpovídá hraně v grafu podmínek Hranová konzistence Arc consistency AC Nejprve se zabýváme binárními CSP podmínka odpovídá hraně v grafu podmínek Hrana (V i, V j ) je hranově konzistentní, právě když pro každou hodnotu x z aktuální domény

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více