PLÁNOVÁNÍ TRASY ROBOTA POMOCÍ VORONÉHO

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PLÁNOVÁNÍ TRASY ROBOTA POMOCÍ VORONÉHO"

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ FAKULTA INFORMATIKY PLÁNOVÁNÍ TRASY ROBOTA POMOCÍ VORONÉHO DIAGRAMŮ A DALŠÍCH PROSTŘEDKŮ VÝPOČETNÍ GEOMETRIE DIPLOMOVÁ PRÁCE ING. PETR ŠVEC 2006

2 Prohlášení Prohlašuji, že diplomová práce je mým původním autorským dílem, které jsem vypracoval samostatně. Všechny zdroje, prameny a literaturu, které jsem při vypracování používal nebo z nich čerpal, v práci řádně cituji s uvedením úplného odkazu na příslušný zdroj. Vedoucí práce: Mgr. Petr Tobola, Ph.D. ii

3 Poděkování Chtěl bych tímto poděkovat vedoucímu diplomové práce, Mgr. Petru Tobolovi, Ph.D., za seznámení s problematikou plánování robota pomocí prostředků výpočetní geometrie. Mé díky také patří mé rodině za podporu při mé cestě za vzděláním. iii

4 Shrnutí Diplomová práce se zabývá plánováním bezkolizní trasy bodového nebo polygonového konvexního robota ve 2D prostředí s bodovými, liniovými nebo konvexními polygonovými překážkami pomocí prostředků výpočetní geometrie. Hlavním použitým prostředkem je zobecněný Voroného diagram, který je konstruován pomocí navrhnutého aproximačního algoritmu. Vedle implementovaného translačního pohybu pro daného konvexního robota je předložen návrh i pro rotační pohyb. Dále je diskutováno plánování pohybu pro skupinu polygonových konvexních robotů opět v prostředí s bodovými, liniovými nebo polygonovými překážkami. iv

5 Klíčová slova Flocking behaviour, Plane sweep algoritmus, plánování trasy robota, výpočetní geometrie, Voroného diagram v

6 Obsah Úvod Konfigurační prostor Abstrakce pomocí konfiguračního prostoru Transformace pracovního prostoru do prostoru konfiguračního Základní metody plánování cesty Dekompozice buněk Silniční mapa Potenciální pole Retrakční přístup A* algoritmus Voroného diagram pro množinu bodových generátorů Zametací algoritmus (plane sweep) Zobecněný Voroného diagram pro bodové a liniové generátory Zobecněný Voroného diagram pro bodové, liniové a polygonové generátory Rotační pohyb polygonového robota Plánování pohybu skupiny robotů Implementace Reprezentace reálného světa W Reprezentace a výpočet konfiguračního prostoru C Reprezentace datových struktur a detaily výpočtu algoritmu Plane Sweep Uživatelské prostředí programu Experimentální výpočty Závěr Literatura

7 Úvod Výpočetní geometrie jako součást oboru analýzy a návrhu algoritmů nabízí řešení problémů z mnoha dalších oborů počítačová grafika, geografické informační systémy (GIS), robotika, CAD / CAM, počítačová biologie, počítačová chemie a další. První algoritmická řešení geometrických problémů byla pomalá nebo příliš složitá pro implementaci. V posledních letech bylo vyvinuto několik nových technik algoritmizace, které zlepšují a zjednodušují mnoho přístupů k praktickému řešení geometrických problémů. Výhodou řešení problémů pomocí výpočetní geometrie je prokazatelná časová složitost jednotlivých algoritmů. Časová složitost měří kvalitu algoritmů a udává se jako asymptotická časová složitost v nejhorším případě. Omezení výpočetní geometrie spočívá především ve velice náročné implementaci vybraných algoritmů, schopností operací pouze s liniovými nebo rovinnými objekty a v zaměření především na 2D prostor, kde geometrické algoritmy pro 3D a více rozměrný prostor (především v robotice) jsou složitým rozšířením algoritmů počítajících nad 2D prostorem. Jedním z nejvíce diskutovaných problémů v robotice v oblasti výpočetní geometrie je plánování pohybu robota zahrnující plánování nebo nalezení cesty v neznámém prostředí s překážkami. Dalším souvisejícím problémem je návrh autonomních robotů, což je robotů, které mají zadán cíl práce, ale nemají zadáno jakým způsobem tohoto cíle dosáhnout. Aby byl robot schopný cíleného pohybu, musí mít znalost o oblasti, ve které se nachází. Tato znalost je buď dopředu dána mapou daného prostředí nebo je získána robotem pomocí senzorů. Výsledkem je bezkolizní a pokud možno co nejkratší cesta spojující danou počáteční a cílovou pozici. V diplomové práci je diskutováno řešení návrhu a vlastní implementace plánování bezkolizního pohybu bodového nebo polygonového konvexního robota ve 2D prostředí s bodovými, liniovými nebo konvexními polygonovými překážkami pomocí aproximačního algoritmu konstrukce Voroného diagramu. Cesty generované pomocí Voroného diagramu nám garantují co největší možnou vzdálenost robota od překážek. Dále je předložen návrh plánování pohybu a nalezení nejkratší cesty pro skupinu konvexních robotů v prostředí s polygonovými překážkami. Vedle translačního pohybu je brán v úvahu i pohyb rotační. 2

8 Kapitola 1 Konfigurační prostor 1.1 Abstrakce pomocí konfiguračního prostoru Hlavní myšlenkou abstrakce problému plánování cesty pomocí konfiguračního prostoru je nahrazení konvexního robota A reprezentujícím bodem. Konfigurace q robota A (viz obr. 1) je určena pozicemi všech bodů robota v pracovním prostoru W (reprezentován jako euklidovský prostor R 2 ) a je vyjádřena jako vektor (složený z pozičních a orientačních parametrů, kde jejich počet je udán počtem stupňů volnosti robota) zastupujícího bodu. Obrázek 1. Konfigurace q při translačním a rotačním pohybu Množina všech možných konfigurací robota A se nazývá konfigurační prostor C. Oblast W okupovaná robotem A v konfiguraci q se označuje jako A(q). Pozice libovolného bodu a A ve W, pokud A je v konfiguraci q, se značí a(q). Překážka ve W je značena jako B, což je nepřístupná oblast prostoru W. Zavedením konfiguračního prostoru C se redukuje problém nalezení cesty pro polygonového robota ve W na problém nalezení cesty pro bodového robota v C a poskytuje jednotnou soustavu pro porovnání a vyhodnocení algoritmů. Existují tři druhy konfigurací volná konfigurace C free, kde robot a překážka se vzájemně nepřekrývají, dále kontaktní konfigurace a zakázaná konfigurace C obs. Konfigurační prostor C se rozdělí do volných, kontaktních a zakázaných množin konfigurací. Mapa překážek C je definována jako CB = { q A( q) B }, což znamená, že pro každou B i ( i Ν) ve W existuje odpovídající CB i v C reprezentující všechny konfigurace q robota A kolidující s B i (viz obr. 2). 1.2 Transformace pracovního prostoru do prostoru konfiguračního Redukce problému nalezení cesty pro polygonového konvexního robota A na problém nalezení cesty pro bodového robota A zahrnuje transformaci pracovního prostoru W do konfiguračního prostoru C. Jádrem této transformace je namapování překážek B W do překážek CB C (viz obr. 2). 3

9 Obrázek 2. Mapování B W do CB C pro translační a rotační pohyb V případě translačního a zároveň i rotačního pohybu po mapování vzniknou 3D překážky 2 CBi = {( x, y, φ) R x [0:360) : A(x, y, φ) Bi } (viz obr. 2), které jsou složené z několika vrstev CB ik pro k = 1,.., z, kde z je počet vrstev. Každá vrstva odpovídá danému natočení robota A o úhel φ a počet těchto vrstev závisí na úhlu dovoleného natočení A a velikosti přechodů mezi natočeními. Dále nechť existuje i takové, že 0 i z 1, pak φ i = i ( 360 / z). Transformace překážek může být popsána Minkowského sumou (Latombe, 1991, de Berg a kol., ). Minkowského suma dvou množin S 1 R a S 2 R je popsána operací S1 S 2 = { p + q p S1, q S 2}, kde p + q je vektorový součet vektorů p a q. Minkowského suma pro transformaci B do CB je definována jako P ( A(0,0)). Důkaz a další vlastnosti Minkowského sumy jsou uvedeny v (de Berg a kol., 2000). Minkowského suma P ( A(0,0)) může být považována jako Minkowského rozdíl, který je často interpretován jako konvoluce (LaValle, 2005). Příkladem v 1D může být konvoluce h ( x) = f ( τ ) g( x τ ) dτ, kde h ( x) = 1 pokud x Cobs a h ( x) = 0 v opačném případě. Funkce f : R {0,1} a platí f ( x) = 1 pouze tehdy, když x B. Funkce g : R {0,1 } a platí g ( x) = 1 pouze tehdy, když x A. Nejjednodušší algoritmus pro transformaci B do CB spočívá v jednoduchém součtu vektorů každého vrcholu v a w, kde v B a w A, a následné nalezení konvexního obalu tohoto součtu (jak 4

10 je uvedeno dále, platí pouze pro konvexní objekty). Algoritmus je velmi jednoduchý, ale má časovou složitost O (nm), kde n je počet vrcholů B a m je počet vrcholů A. Následující algoritmus podle (Latombe, 1991, de Berg a kol., 2000) počítá pouze s těmi dvojicemi vrcholů, které jsou extrémní (mají největší vzdálenost na polygonu) ve stejném směru a to má za následek snížení časové složitosti na O ( n + m) pro případ, kdy robot i překážka jsou konvexní polygonové útvary. Algoritmus č. 1: MINKOWSKÉHO_SUMA(B, A) Vstup: Konvexní polygon B s vrcholy v 1,...,vn a konvexní polygon ( A) s vrcholy w 1,...,wm. Předpokládá se, že vrcholy jsou setříděny proti směru hodinových ručiček a vrcholy v 1 a w 1 mají nejmenší y ovou souřadnici. Výstup: Minkowského suma B ( A) 1. i = 1; j = 1; 2. v n+1 = v 1 ; w m+1 = w 1 ; 3. repeat 4. přidej vrchol v i + w j do B ( A). 5. if úhel(v i, v i+1 ) < úhel(w j, w j+1 ) 6. then i = i + 1; 7. else if úhel(v i, v i+1 ) > úhel(w j, w j+1 ) 8. then j = j + 1; 9. else i = i + 1; 10. j = j + 1; 11. until i = n + 1 and j = m + 1; Poznámka: notace úhel(p, q) popisuje úhel, který svírá vektor pq s kladnou osou x. Na příkladu na obrázku č. 3 je zobrazena jednotková kružnice, na které jsou vyneseny všechny normály ploch robota A a překážky B. Při provádění algoritmu v krocích 5-10 se prochází tyto normály na jednotkové kružnici proti směru hodinových ručiček a sčítají se vektory odpovídajících vrcholů. Lineární časová složitost O ( n + m) algoritmu se dá jednoduše dokázat následujícím způsobem. V každém kroku cyklu dochází ke zvětšení proměnné indexu i, j nebo obou indexů. Po dosáhnutí hodnot indexů n + 1 a m + 1 nemůže dojít k další inkrementaci. Podle (de Berg a kol., 2000), v případě, že jeden z polygonů není konvexní, je časová složitost O (nm) a O ( n 2 m 2 ) v případě, že oba polygony nejsou konvexní. Výpočet Minkowského sumy pro nekonvexní polygony spočívá v triangulaci těchto polygonů, výpočet Minkowského sumy každé dvojice polygonů a následně se provede jejich sjednocení. 5

11 Obrázek 3. Minkowského suma B a A, jednotková kružnice Na obrázku č. 4 je zobrazen příklad Minkowského sumy z implementovaného programu pro osmibokého robota A s bodovými, liniovými a polygonovými překážkami. Před vlastním výpočtem se pomocí Grahamova algoritmu (O Rourke, 1998) transformují všechny překážky na jejich konvexní obal. Obrázek 4. Minkowského suma osmibokého robota A s bodovými, liniovými a polygonovými překážkami 6

12 Kapitola 2 Základní metody plánování cesty Proces nalezení cesty mezi polygonovými překážkami v R 2 pro polygonového robota A zahrnuje vytvoření konfiguračního prostoru C free pomocí uvedeného algoritmu č. 1 a poté aplikaci jedné z dále uvedených metod pro plánování cesty. V řešení konkrétně uveden přístup pomocí silniční mapy (road map), která je v tomto případě tvořena Voroného diagramem, jehož konstrukce je uvedena dále v textu. Cesta v C podle (Latombe, 1991) je spojitá křivka spojující konfigurace q start a q cíl, formálněji je cesta spojité zobrazení τ : s [0, 1] τ( s) C, kde τ (0) = q start je počáteční konfigurace a τ (1) = q cíl je cílová konfigurace cesty. Spojité zobrazení znamená, že pro s1, s2 [0,1] : lim d( τ ( s1), τ ( s2)) = 0, s2 s1 kde d : C x C R {0} je zvolená metrika nad R. Příklad metriky v C + d( q1, q2) = max( a( q1) a( q2) ), kde x y je euklidovská metrika ve W. Volná cesta je definována a A jako τ :[0,1] Cfree = C \ CB. Algoritmy pro plánování cest dle (Latombe, 1991) zahrnují dva hlavní kroky: - předzpracování reprezentace volného konfiguračního prostoru C free mezi všemi překážkami v dané oblasti pomocí funkce nebo grafu - zpracování dotazu prohledávání grafu nebo použití funkce pro nalezení cesty Základní přístupy pro plánování cesty zahrnují: - dekompozice buněk dekompozice C free do buněk a reprezentace spojitosti C free pomocí grafu sousednosti buněk - silniční mapa reprezentace spojitosti C free grafem - potenciální pole definuje funkci nad C free, která má globální minimum v cílové konfiguraci a maxima v místě překážek. 2.1 Dekompozice buněk Krok předzpracování zahrnuje dekompozici C free do kolekce buněk a vytvoření grafu sousednosti reprezentující sousední relace mezi buňkami. Dekompozice C free může být do buněk, které přesně pokrývají celé C free nebo do buněk, jejichž sjednocení pouze aproximuje volný prostor (např. pouze čtvercové buňky). Na obrázku č. 5 je zobrazen příklad dekompozice C free do lichoběžníkových buněk (tzv. lichoběžníková dekompozice C free ). Krok zpracování dotazu zahrnuje nalezení posloupnosti sousedních buněk vedoucí z počáteční q a konfigurace do cílové konfigurace q b a transformace této posloupnosti do cesty. 7

13 Obrázek 5. Lichoběžníková dekompozice 2.2 Silniční mapa Krok předzpracování zahrnuje přímou konstrukci grafu cest (bez dekompozice do buněk jako v předchozí metodě) reprezentující spojitost v C free. Graf viditelnosti (redukovaný graf viditelnosti vzájemné propojení vrcholů všech objektů pouze tečnými hranami k těmto objektům viz obr. 6), retrakční metoda a PRM (Probabilistic Road Map Method) jsou příklady metod konstrukcí grafu cest (Latombe, 1991). Krok zpracování dotazu zahrnuje napojení počáteční q a a koncové q b konfigurace robota A ke grafu cest a nalezení nejkratší cesty. Metody založené na silničních mapách patří mezi nejefektivnější metody plánování cest (Latombe, 1991). Obrázek 6. Redukovaný graf viditelnosti 8

14 2.3 Potenciální pole Krok předzpracování zahrnuje umístění mřížky nad prostor a definice funkce (potenčního pole, viz obr. 7) s daným globálním minimem (cílová pozice) nad touto mřížkou. Krok zpracování dotazu zahrnuje nalezení cesty pomocí potenčního pole (hledáme globální minimum). Výhoda této metody spočívá v rychlosti nalezení cílové konfigurace q b, ale vážným problémem je nebezpečí uváznutí v lokálním minimu. Obrázek 7. Potenciální pole 9

15 Kapitola 3 Retrakční přístup Retrakční přístup (Latombe, 1991) umožňuje přímou konstrukci grafu cest, který reprezentuje spojitost C free (není zapotřebí dekompozice C free do buněk). Jedná se o redukci problému nalezení cesty mezi překážkami CB v C free na problém nalezení cesty v grafu tvořeného např. Voroného diagramem. Základem retrakčního přístupu je zobrazení libovolného bodu z C free do bodu na grafu cest. Pro nalezení nejkratší cesty se nejdříve určí obraz počáteční a koncové konfigurace q Cfree v tomto grafu a následuje samotné nalezení cesty z q a do q b pomocí A* algoritmu popsaného v první podkapitole. Formálněji je retrakce zobrazení ρ :Cfree R, R Cfree platí li zároveň, že se jedná o spojité a identické zobrazení ( ρ ( R ) = R). Tedy ρ ( x) R pro x Cfree a zároveň ρ ( y) = y pro y R. Volná cesta τ z q a do q b existuje právě tehdy, když existuje cesta v R mezi ρ ( qa) a ρ ( qb) (Latombe, 1991). 3.1 A* algoritmus A* algoritmus patří mezi tzv. best first algoritmy pro nalezení nejkratších cest. Jedná se o výpočetně nejvýkonnější algoritmus garantující nalezení nejkratší cesty. Nechť n označuje libovolný uzel. Algoritmus je postaven na formuli f ( n) = g( n) + h( n), kde f (n) je odhadnutá cena nejlevnějšího řešení přes n, g (n) je cena cesty z počátečního uzlu do uzlu n, a h(n) je heuristická cena udávající nejlevnější cestu z n do cíle. Pro nalezení nejkratší cesty je opakovaně vybírán uzel s nejnižší cenou f (n) a dále je prováděna relaxační operace podobně jako v Dijkstrově algoritmu (Russel & Norvig, 1995), (LaValle, 2005). Heuristická funkce h musí být vybrána takovým způsobem, aby nedošlo k nadhodnocení ceny cesty do cíle (heuristická funkce musí být tzv. přípustná). Nejjednodušší příklad přípustné heuristiky je vzdálenost přímé viditelnosti. Mezi algoritmy, které rozšiřují vyhledávácí cestu z kořene, je A* algoritmus optimálně výkonný (optimally efficient) pro libovolnou danou heuristickou funkci, což znamená, že neexistuje takový algoritmus, který by garantoval expanzi menšího počtu uzlů než A*. Časová složitost A* algoritmu závisí na přesnosti heuristické funkce. Například, pokud heuristická funkce je schopná naprosto přesně odhadnout cenu do cíle, pak A* algoritmus běží v lineárním čase expandující pouze ty uzly ležící na optimální výsledné cestě. Důkazy optimality, úplnosti a další diskuze o složitosti A* algoritmu mohou být dále nalezeny v (Russel & Norvig, 1995), (Korf, 1999), (Konar, 2000) a (LaValle, 2005). 3.2 Voroného diagram pro množinu bodových generátorů Nechť je dána množina konečného počtu různých bodů P = { p1,..., pn} R, kde 2 < n < a pi p j pro i j, i, j In (I n je množina přirozených čísel o mohutnosti n). Všechna umístění v prostoru jsou přiřazena k jejich nejbližším generátorům (bodům) z množiny P s ohledem na euklidovskou 2 vzdálenost. Výsledkem je zobrazení prostoru R do množiny regionů 2 V ( pi ) = { x x pi x p j pro x R, i, j In; j i} asociované s p i. Samotný Voroného o diagram (viz obr. 8) je daný množinou regionů V P) = { V ( p ),..., V ( p )} generované množinou P. ( 1 n 2 10

16 Osa souměrnosti dvou generátorů p a q rozdělující rovinu do dvou polorovin je definována jako kolmá přímka na spojnici pq vedoucí uprostřed této spojnice. Otevřená polorovina obsahující p je definována jako h(p, q) a otevřená polorovina obsahující q je definována jako h(q, p). Samozřejmě 2 e h( p, q), kde e R je libovolná lokace v rovině, právě tehdy, když d ( e, p) < d( e, q). Samotná buňka V (P), která je generována p i je definována jako V ( pi) = I h( pi, pj) (de Berg a kol., 2000). 1 j n, j i Nechť C p (v) popisuje největší možnou kružnici, která má střed v libovolném bodě v a neobsahuje žádný generátor. Potom pro V (P) platí následující věty: (i) Umístění v je vrcholem Voroného diagramu V (P) pouze tehdy, když C p (v) obsahuje na obvodu tři nebo více generátorů p (viz obr. 8), (ii) osa souměrnosti mezi generátory p i a p j definuje hranu V (P) pouze tehdy, když zde existuje takový bod v ležící na této ose tak, že na obvodu C p (v) leží jak p i, tak i p j a zároveň žádný jiný generátor (viz obr. 8). Obrázek 8. Voroného diagram pro bodové generátory Základní metody pro výpočet Voroného digramu jsou: inkrementální metoda, metoda rozděl a panuj (divide and conquer) a zametací metoda (plane sweep). Inkrementální metoda má časovou složitost O ( n 2 ), kdežto rozděl a panuj metoda a zametací metoda mají časovou složitost O ( n log n). Důkazy časových složitostí těchto metod jsou provedeny v (Okabe a kol., 2000) a (de Berg a kol., 2000). Nejjednodušší případ retrakce pro zobecněný Voroného diagram V ( Cfree) (i pro liniové nebo polygonové generátory) může být definován následovně: ρ : C free V ( Cfree) 1. případ: q V ( Cfree ) : ρ ( q) = q 2. případ: q V ( Cfree) : nechť p je nejbližší bod k bodu q na hranici C free, nechť L je vedená polopřímka z bodu p přes q, pak ρ (q) je průsečík L z V (C free ). Retrakce je použita jako nástroj pro nalezení cesty z počáteční (nebo do koncové) konfigurace, která neleží na vypočteném V (C free ), k tomuto diagramu. 11

17 Výhodou Voroného diagramu v roli grafu cest mezi překážkami v prostoru je jeho implicitní udržování největší vzdálenosti od překážek, avšak bohužel za cenu relativně složité implementace algoritmů pracujících v logaritmickém čase (např. zametací algoritmus, který bude dále rozebrán v textu). 3.3 Zametací algoritmus (plane sweep) Následuje rozbor implementovaného zametacího algoritmu, který navrhl Steve Fortune (1985) a který byl použit pro výpočet Voroného diagramu s bodovými generátory. Další detaily algoritmu jsou uvedeny v kapitole vlastní implementace. Hlavní část algoritmu tvoří posun horizontální přímky l z horní části diagramu do dolní přes 2 všechny generátory P = { p1,..., pn} R. Během posunu se udržuje informace o části už vytvořeného V (P) nad l, která nemůže být dále ovlivněna generátory pod l. Část V (P) nad l je ohraničena sekvencí parabol (tzv. beach line), jak je ukázáno na obrázku č. 9. Body na parabole mají stejnou vzdálenost od generátoru této paraboly a l. Je třeba zdůraznit, že v daném kroku neexistuje informace o pozici generátorů pod l. Průsečíky jednotlivých parabol v sekvenci parabol nad l postupně tvoří hrany V (P). Místo udržování jednotlivých průsečíků V (P) s l se během posunu udržuje struktura sekvence parabol. Změna sekvence parabol nad l nastává v okamžiku vzniku nové paraboly nebo zániku paraboly existující. Obrázek 9. Sekvence oblouků parabol Nová parabola o nulové šířce vznikne v okamžiku, kdy l dosáhne dalšího generátoru, jedná se tedy pouze o vertikální úsečku spojující nový generátor se sekvencí parabol. Průsečík této úsečky (nově vzniklé paraboly) s parabolou ze sekvence parabol udává počáteční pozici nově vznikající hrany V (P). Při dalším posunu se tato parabola dále rozšiřuje a postupně mění tvar sekvence parabol, jak je ukázáno na obrázku č. 10. Tento typ události se nazývá událost generátoru (site event). Obrázek 10. Vznik události generátoru 12

18 Druhým typem události je smrštění existující paraboly do bodu a následný její zánik, jak je ukázáno na obrázku č. 11. Bod q na obrázku č. 11 má stejnou vzdálenost od l a od všech tří generátorů p i, p j a p k. Tedy existuje kružnice procházející třemi generátory a její nejnižší bod leží na l. Uvnitř kružnice se nemůže vyskytovat žádný jiný generátor, protože takový generátor by byl bližší k bodu q než q k l a to odporuje faktu, že bod q leží na sekvenci oblouků parabol. Z toho plyne, že q je vrcholem Voroného diagramu. Tato událost, která vznikne dosáhnutím l na nejnižší bod kružnice procházející třemi generátory definující sousední paraboly v sekvenci se nazývá kružnicová událost (circle event). Obrázek 11. Vznik kružnicové události (zánik paraboly a následný vznik nového vrcholu V (P)) Algoritmus používá tři datové struktury pro udržování nezbytných informací během výpočtu. Vypočtený V (P) je ukládán ve dvojitém spojovém seznamu hran (doubly connected edge list, dále DCEL). Podrobný popis struktury DCEL může být nalezen v (Okabe a kol., 2000) a (de Berg a kol., 2000). Po ukončení výpočtu se vytvoří obdélníkový okraj vypočteného V (P) a k němu se napojí okrajové hrany diagramu. Sekvence parabol je reprezentována AVL stromem T (vyvážený vyhledávací strom) (Preiss, 2000), který je zobrazen na obrázku č. 12. Jeho listy odpovídají obloukům sekvence parabol v uspořádaném pořadí. Každý list obsahuje ukazatel na generátor definující daný oblouk. Vnitřní uzly T reprezentují body přerušení v sekvenci parabol a jsou definovány jako dvojice (p i, p j ), kde p i je ukazatel na generátor levé paraboly a p j je ukazatel na generátor pravé paraboly. Díky této stromové reprezentaci sekvence parabol lze v logaritmickém čase nalézt oblouk ležící nad nově vzniklou událostí daného generátoru. Dále každý list, reprezentující oblouk α v sekvenci parabol, obsahuje ukazatel na prvek ve frontě událostí, který představuje budoucí kružnicovou událost, při které α zanikne. Tento ukazatel je NIL, pokud v dané části výpočtu neexistuje taková kružnicová událost, při které α zanikne. 13

19 Obrázek 12. Vyvážený binární vyhledávací strom pro reprezentaci sekvence oblouků parabol Fronta událostí Q je definována jako prioritní fronta, kde prioritou je y ová souřadnice události. V případě kružnicových událostí se ukládá nejnižší bod vzniklé kružnice s ukazatelem na list v T, který zanikne při vyvolání této kružnicové události. Při každé události nastane topologická změna sekvence parabol. Topologická změna může mít za následek potenciální vznik kružnicové události ze tří sousedních oblouků. Může ovšem dojít k situaci, kdy dělící čáry sousedních oblouků nekonvergují do vrcholu Voroného diagramu, jak je ukázáno na obrázku č. 13, a tedy se nejedná o kružnicovou událost. Druhým případem je stav, kdy v okamžiku zpracování kružnicové události už neexistují její tři oblouky (dané generátory tvořící tuto událost) v pořadí vedle sebe v sekvenci parabol. Tento případ je způsoben náhlým zpracováním bezprostředně předcházející události generátoru. Z tohoto důvodu se pro každý zanikající oblouk v T provádí kontrola, zda neexistuje odpovídající kružnicová událost v Q. Pokud odpovídající kružnicová událost existuje, jedná se o nekorektní událost (false alarm), která je následně vymazána z Q. Obrázek 13. Demonstrace nekonvergence dělících čar generátorů p 1, p 2 a p 3 14

20 Algoritmus č. 2: PLANE_SWEEP(P) Vstup: Množina = p1,..., pn} 2 P { R generátorů v rovině. Výstup: Voroného diagram V (P) uzavřený v obdélníkové oblasti a uložený v DCEL. 1. Naplnění fronty událostí Q všemi událostmi generátorů, inicializace prázdné struktury T a prázdného DCEL. 2. while Q 3. do Odstraň z Q událost U s největší y ovou souřadnicí 4. if U je událostí generátoru p i 5. then ZPRACUJ_UDÁLOST_GENERÁTORU(p i ) 6. else ZPRACUJ_KRUŽNICOVOU_UDÁLOST( φ ), kde φ je list z T reprezentující parabolický oblouk, který při zpracování zanikne. 7. Vytvoř hraniční obdélník a připoj hrany V (P), které jsou dány ukazateli z vnitřních uzlů T k hranici tohoto obdélníka. 1 ZPRACUJ_UDÁLOST_GENERÁTORU(p i ) 1.1 Pokud je T prázdný, vlož do něj p i a proveď návrat z procedury (T v tomto případě obsahuje pouze list). Jinak pokračuj kroky Nalezni parabolický oblouk α (daný generátorem p j ) vertikálně nad p i. Pokud α obsahuje ukazatel na kružnicovou událost v Q, pak tuto událost odstraň z Q (jedná se o nekorektní událost). 1.3 Nahraď list z T reprezentující oblouk α podstromem mající tři listy. Prostřední list ukazuje na oblouk daný generátorem p i a zbylé dva listy ukazují na oblouky (rozštěpený původní oblouk) dané generátorem p j. Dále podstrom obsahuje vnitřní uzly (p i, p j ) a (p j, p i ) reprezentující zlomy (breakpoints) mezi oblouky. Proveď převážení stromu. 1.4 V DCEL struktuře vytvoř novou hranu V (P) o nulové délce rozdělující V(p i ) a V(p j ). Ukazatele na nově vytvořenou hranu ulož do odpovídajících vnitřních uzlů stromu T (p i, p j ) a (p j, p i ). 1.5 Pokud trojice sousedních oblouků, kde p i je generátor nejlevějšího oblouku, tvoří kružnicovou událost, vlož ji do Q (vkládá se nejspodnější bod vzniklé kružnice!) a nastav ukazatel mezi prostředním obloukem (listem ve stromě T) a nově vloženou kružnicovou událostí. Proveď to stejné pro případ, kdy p i je generátor nejpravějšího oblouku. 2 ZPRACUJ_KRUŽNICOVOU_UDÁLOST( φ ) 2.1 Vymaž list φ z T reprezentující zanikající oblouk α. Proveď úpravu záznamů zlomů ve vnitřních uzlech stromu T a proveď jeho vyvážení. Vymaž všechny kružnicové události, které se odkazují na α z Q (jsou nalezeny pomocí ukazatelů předchůdce a následníka φ v T). 15

21 2.2 Střed kružnice přidej do DCEL jako nový vrchol V (P) a na tento vrchol napoj konce hran os souměrnosti sousedních generátorů (ukazatele na hrany uloženy ve vnitřních uzlech stromu T). Vytvoř novou hranu o nulové délce na místě středu kružnice. Nastav ukazatele mezi nimi odpovídajícím způsobem (viz obr. 14). Do vnitřních uzlů reprezentujících zlom mezi levým a pravým generátorem vlož ukazatel na nově vytvořenou hranu (v případě na obr. 14 se vloží ukazatel do (p 1, p 3 ) a (p 3, p 1 ). 2.3 Pokud trojice nově vzniklých sousedních oblouků, kde levý soused zaniklého α je středem této trojice a tvoří kružnicovou událost, vlož ji do Q (vkládá se nejspodnější bod vzniklé kružnice!) a nastav ukazatel mezi prostředním obloukem a nově vloženou kružnicovou událostí. Proveď to stejné pro případ, kdy pravý soused zaniklého α je středem této trojice. Obrázek 14. DCEL V (P) pro tři generátory (bez hraničního diagramu) Degenerované případy při výpočtu mohou být následující: Zpracování událostí se stejnou y ovou souřadnicí. Řeší se imaginárním natočením roviny o velmi malý úhel na pravou stranu. Tím dochází při výběru z prioritní fronty k upřednostnění událostí s menší x ovou souřadnicí. Problém dále nastává na počátku výpočtu, kdy události se stejnou y ovou souřadnicí neumožňují nalezení odpovídající paraboly nad druhým generátorem v řadě (průsečík parabol leží v nekonečnu), situace je zobrazená na obrázku č. 15. Řešení spočívá v minimálním kladném posunu y ové souřadnice prvního generátoru nebo ošetřením pomocí speciálního kódu v implementaci algoritmu. Obrázek 15. Degenerovaný případ, generátory se stejnou y ovou souřadnicí na počátku výpočtu Problém výskytu několika stejných kružnicových událostí, tj. existence kružnice s větším počtem generátorů na obvodu, jak je zobrazeno na obrázku č. 16. Střed takovéto kružnice je vrchol V (P) o stupni alespoň 4. V tomto případě algoritmus vytvoří dva vrcholy V (P) se stejnými 16

22 souřadnicemi a hranou o nulové délce, která je propojuje. Tyto hrany mohou být dále po výpočtu z DCEL odstraněny. Obrázek 16. Degenerovaný případ, kružnicová událost Při zpracování události generátoru může dojít k nalezení průsečíku nově vzniklé paraboly (vertikální úsečka) se sekvencí parabol přesně v průsečíku dvou sousedních parabol. V tomto případě algoritmus rozdělí jednu z těchto sousedních parabol a vloží novou parabolu mezi dvě části původní paraboly, kde jedna část bude mít nulovou délku (ta část, která leží blíže k průsečíku původních parabol). Část paraboly s nulovou délkou tvoří prostřední oblouk trojice definující kružnicovou událost. Po obsloužení této kružnicové události je vytvořena hrana s nulovou délkou, která může být později vymazána z DCEL. Časová složitost algoritmu je O ( n log n) a prostorová složitost je O (n), důkaz časové složitosti následuje v textu. Nechť n je počet událostí generátoru. Operace vkládání nebo odebírání prvku v T nebo Q (vkládání nebo výmaz elementů) mají časovou složitost O (log n). Primitivní operace v DCEL jsou v O (1) časové složitosti. Obsluha události zahrnuje sadu primitivních operací, výsledkem je celková časová složitost obsluhy události O (log n). Každá kružnicová událost definuje vrchol Voroného diagramu. Kružnicové události jsou vytvářeny a odstraňovány při zpracování události generátoru. Čas potřebný pro obsloužení kružnicové události je zahrnut do zpracování události generátoru. Nekorektní kružnicové události jsou před zpracováním vymazány z Q. Maximální počet kružnicových událostí obsluhovaných algoritmem je 2n 5 a algoritmus korektně ošetřuje i degenerované případy (de Berg a kol., 2000). Ve výsledku dává celkovou časovou složitost O ( n log n). 3.4 Zobecněný Voroného diagram pro bodové a liniové generátory 2 Nechť L = { l1,..., ln } R (1 n < ), kde li ( 1 i n) reprezentuje bodový generátor, liniový generátor nebo posloupnost liniových generátorů (sekvence liniových generátorů, kde koncový bod daného liniového generátoru je shodný s počátečním bodem následujícího liniového generátoru). Pak 2 V ( li) = { x ds( x, li) ds( x, lj) pro x R, i, j In, i j} reprezentuje liniový Voroného region (line 2 Voronoi region), kde ds( x, li) = min{ x xi xi li, x R } je nejkratší možná euklidovská xi vzdálenost mezi bodem x a bodem xi li, který je nejbližší ze všech bodů generátoru k bodu x. Množina V ( L) = { V ( l1),..., V ( ln) tvoří liniový Voroného diagram generovaný množinou L. V případě, že l i degeneruje na bod pro všechny i, pak liniový Voroného digram redukuje na Voroného diagram pro bodové generátory. 17

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 md at robotika.cz, zbynek.winkler at mff.cuni.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 27. listopadu 2007 1 Mapa světa Exaktní plánování 2 3 Plánování s otáčením Mapa světa - příklad Obsah Mapa světa Exaktní

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 zbynek.winkler at mff.cuni.cz, md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor05/cs 5. prosince 2005 1 Mapa světa Exaktní plánování 2 3 Plánování s otáčením (náznak řešení) Mapa světa - příklad Obsah Mapa

Více

Algoritmizace prostorových úloh

Algoritmizace prostorových úloh Algoritmizace prostorových úloh Vektorová data Daniela Szturcová Prostorová data Geoobjekt entita definovaná v prostoru. Znalost jeho identifikace, lokalizace umístění v prostoru, vlastností vlastních

Více

Geometrické vyhledávání

Geometrické vyhledávání mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 Pravděpodobnostní plánování zbynek.winkler at mff.cuni.cz, md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor05/cs 12. prosince 2005 1 Co už umíme a co ne? Jak řešit složitější případy? Definice konfiguračního

Více

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace Význam triangulace trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy příklad triangulace Definice Triangulace nad množinou bodů v rovině představuje takové planární

Více

Dynamické datové struktury IV.

Dynamické datové struktury IV. Dynamické datové struktury IV. Prioritní fronta. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (Katedra

Více

Stromy, haldy, prioritní fronty

Stromy, haldy, prioritní fronty Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík

Více

STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta

STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach vlož do fronty kořen opakuj, dokud není fronta prázdná 1. vyber uzel z fronty a zpracuj jej 2. vlož do fronty levého následníka

Více

Výpočetní geometrie Computational Geometry

Výpočetní geometrie Computational Geometry Datové struktury a algoritmy Část 11 Výpočetní geometrie Computational Geometry Petr Felkel 20.12.2005 Úvod Výpočetní geometrie (CG) Příklady úloh Algoritmické techniky paradigmata řazení - jako předzpracování

Více

GIS Geografické informační systémy

GIS Geografické informační systémy GIS Geografické informační systémy Obsah přednášky Prostorové vektorové modely Špagetový model Topologický model Převody geometrií Vektorový model Reprezentuje reálný svět po jednotlivých složkách popisu

Více

1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10

1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 Úlohy- 2.cvičení 1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 2. Převeďte dané desetinné číslo do dvojkové soustavy (DEC -> BIN): a) 0,8125 10 b) 0,35 10

Více

Amortizovaná složitost. Prioritní fronty, haldy (binární, d- regulární, binomiální, Fibonacciho), operace nad nimi a jejich složitost

Amortizovaná složitost. Prioritní fronty, haldy (binární, d- regulární, binomiální, Fibonacciho), operace nad nimi a jejich složitost Amortizovaná složitost. Prioritní fronty, haldy binární, d- regulární, binomiální, Fibonacciho), operace nad nimi a jejich složitost 1. Asymptotické odhady Asymptotická složitost je deklarována na základě

Více

Algoritmy a datové struktury

Algoritmy a datové struktury Algoritmy a datové struktury Stromy 1 / 32 Obsah přednášky Pole a seznamy Stromy Procházení stromů Binární stromy Procházení BS Binární vyhledávací stromy 2 / 32 Pole Hledání v poli metodou půlení intervalu

Více

Dijkstrův algoritmus

Dijkstrův algoritmus Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované

Více

Binární vyhledávací strom pomocí směrníků Miroslav Hostaša L06620

Binární vyhledávací strom pomocí směrníků Miroslav Hostaša L06620 Binární vyhledávací strom pomocí směrníků Miroslav Hostaša L06620 1. Vymezení pojmů Strom: Strom je takové uspořádání prvků - vrcholů, ve kterém lze rozeznat předchůdce - rodiče a následovníky - syny.

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

Jana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU

Jana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU Počítačová grafika Křivky Jana Dannhoferová (jana.dannhoferova@mendelu.cz) Ústav informatiky, PEF MZLU Základní vlastnosti křivek křivka soustava parametrů nějaké rovnice, která je posléze generativně

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13. Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Semestrální práce z předmětu KMA/MM. Voroneho diagramy

Semestrální práce z předmětu KMA/MM. Voroneho diagramy Semestrální práce z předmětu KMA/MM Voroneho diagramy Jméno a příjmení: Lenka Skalová Osobní číslo: A08N0185P Studijní obor: Finanční informatika a statistika Datum: 22. 1. 2010 Obsah Obsah... 2 1 Historie...

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Křivky a plochy technické praxe

Křivky a plochy technické praxe Kapitola 7 Křivky a plochy technické praxe V technické praxi se setkáváme s tím, že potřebujeme křivky a plochy, které se dají libovolně upravovat a zároveň je jejich matematické vyjádření jednoduché.

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

TGH08 - Optimální kostry

TGH08 - Optimální kostry TGH08 - Optimální kostry Jan Březina Technical University of Liberec 14. dubna 2015 Problém profesora Borůvky řešil elektrifikaci Moravy Jak propojit N obcí vedením s minimální celkovou délkou. Vedení

Více

11 Zobrazování objektů 3D grafiky

11 Zobrazování objektů 3D grafiky 11 Zobrazování objektů 3D grafiky Studijní cíl Tento blok je věnován základním algoritmům zobrazení 3D grafiky. Postupně budou probrány základní metody projekce kolmé promítání, rovnoběžné promítání a

Více

ŠVP Školní očekávané výstupy. - vytváří konkrétní soubory (peníze, milimetrový papír, apod.) s daným počtem prvků do 100

ŠVP Školní očekávané výstupy. - vytváří konkrétní soubory (peníze, milimetrový papír, apod.) s daným počtem prvků do 100 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 1. období 3. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo M3101 používá přirozená

Více

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 2. úkol MI-PAA Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 Specifikaci úlohy Problém batohu je jedním z nejjednodušších NP-těžkých problémů. V literatuře najdeme množství jeho variant, které mají obecně různé nároky

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Úvod do mobilní robotiky NAIL028

Úvod do mobilní robotiky NAIL028 md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor08/cs 11. listopadu 2008 1 2 PID Sledování cesty Modely kolových vozidel (1/5) Diferenční řízení tank b Encoder Motor Centerpoint Motor Encoder Modely kolových

Více

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem 1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval

Více

Úloha ve stavovém prostoru SP je , kde s 0 je počáteční stav C je množina požadovaných cílových stavů

Úloha ve stavovém prostoru SP je <s 0, C>, kde s 0 je počáteční stav C je množina požadovaných cílových stavů Stavový prostor a jeho prohledávání SP = formalismus k obecnějšímu uchopení a vymezení problému, který spočívá v nalezení posloupnosti akcí vedoucích od počátečního stavu úlohy (zadání) k požadovanému

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

KMA/GPM Barycentrické souřadnice a

KMA/GPM Barycentrické souřadnice a KMA/GPM Barycentrické souřadnice a trojúhelníkové pláty František Ježek jezek@kma.zcu.cz Katedra matematiky Západočeské univerzity v Plzni, 2008 19. dubna 2009 1 Trojúhelníkové pláty obecně 2 Barycentrické

Více

Vyvažování a rotace v BVS, všude se předpokládá AVL strom

Vyvažování a rotace v BVS, všude se předpokládá AVL strom Vyvažování a rotace v BVS, všude se předpokládá AVL strom 1. Jednoduchá levá rotace v uzlu u má operační složitost a) závislou na výšce levého podstromu uzlu u b) mezi O(1) a Θ(n) c) závislou na hloubce

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Grafové algoritmy. Programovací techniky

Grafové algoritmy. Programovací techniky Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Prohledávání do šířky = algoritmus vlny

Prohledávání do šířky = algoritmus vlny Prohledávání do šířky = algoritmus vlny - souběžně zkoušet všechny možné varianty pokračování výpočtu, dokud nenajdeme řešení úlohy průchod stromem všech možných cest výpočtu do šířky, po vrstvách (v každé

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

Počítačová grafika RHINOCEROS

Počítačová grafika RHINOCEROS Počítačová grafika RHINOCEROS Ing. Zuzana Benáková Základní otázkou grafických programů je způsob zobrazení určitého tvaru. Existují dva základní způsoby prezentace 3D modelů v počítači. První využívá

Více

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma

Více

Stromové struktury v relační databázi

Stromové struktury v relační databázi Stromové struktury v relační databázi Stromové struktury a relační databáze Zboží Procesory Intel Pentium IV Celeron Paměti AMD Duron DDR DIMM Athlon http://interval.cz/clanky/metody-ukladani-stromovych-dat-v-relacnich-databazich/

Více

Plánování pohybu mobilního robotu a skupiny mobilních robotů

Plánování pohybu mobilního robotu a skupiny mobilních robotů Plánování pohybu mobilního robotu a skupiny mobilních robotů Dr. rer. nat. Martin Saska (ČVUT v Praze) 4.března 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

Adresní vyhledávání (přímý přístup, zřetězené a otevřené rozptylování, rozptylovací funkce)

Adresní vyhledávání (přímý přístup, zřetězené a otevřené rozptylování, rozptylovací funkce) 13. Metody vyhledávání. Adresní vyhledávání (přímý přístup, zřetězené a otevřené rozptylování, rozptylovací funkce). Asociativní vyhledávání (sekvenční, binárním půlením, interpolační, binární vyhledávací

Více

Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT

Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT PEF ČZU Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT Okruhy SZB č. 5 Zdroje: Demel, J., Operační výzkum Jablonský J., Operační výzkum Šubrt, T., Langrová, P., Projektové řízení I. a různá internetová

Více

10. Složitost a výkon

10. Složitost a výkon Jiří Vokřínek, 2016 B6B36ZAL - Přednáška 10 1 Základy algoritmizace 10. Složitost a výkon doc. Ing. Jiří Vokřínek, Ph.D. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Jiří

Více

GEOGRAFICKÉ INFORMAČNÍ SYSTÉMY 10

GEOGRAFICKÉ INFORMAČNÍ SYSTÉMY 10 UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY GEOGRAFICKÉ INFORMAČNÍ SYSTÉMY 10 Lubomír Vašek Zlín 2013 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF)

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY

ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY Název tématického celku: Cíl: ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY Metodický list č. 1 Časová složitost algoritmů Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlení potřebných pojmů a definic nutných k popisu

Více

Volné stromy. Úvod do programování. Kořenové stromy a seřazené stromy. Volné stromy

Volné stromy. Úvod do programování. Kořenové stromy a seřazené stromy. Volné stromy Volné stromy Úvod do programování Souvislý, acyklický, neorientovaný graf nazýváme volným stromem (free tree). Často vynecháváme adjektivum volný, a říkáme jen, že daný graf je strom. Michal Krátký 1,Jiří

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Text úlohy. Která barva nepatří do základních barev prostoru RGB? Vyberte jednu z nabízených možností: a. Černá b. Červená c. Modrá d.

Text úlohy. Která barva nepatří do základních barev prostoru RGB? Vyberte jednu z nabízených možností: a. Černá b. Červená c. Modrá d. Úloha 1 Která barva nepatří do základních barev prostoru RGB? a. Černá b. Červená c. Modrá d. Zelená Úloha 2 V rovině je dán NEKONVEXNÍ n-úhelník a bod A. Pokud paprsek (polopřímka) vedený z tohoto bodu

Více

2 Datové struktury. Pole Seznam Zásobník Fronty FIFO Haldy a prioritní fronty Stromy Hash tabulky Slovníky

2 Datové struktury. Pole Seznam Zásobník Fronty FIFO Haldy a prioritní fronty Stromy Hash tabulky Slovníky Pole Seznam Zásobník Fronty FIFO Haldy a prioritní fronty Stromy Hash tabulky Slovníky 25 Pole Datová struktura kolekce elementů (hodnot či proměnných), identifikovaných jedním nebo více indexy, ze kterých

Více

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem ČVUT FEL X36PAA - Problémy a algoritmy 3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem Jméno: Marek Handl Datum: 1. 1. 2009 Cvičení: Pondělí 9:00 Zadání Naprogramujte

Více

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu:

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu: Čtvrtek 8 prosince Pascal - opakování základů Struktura programu: 1 hlavička obsahuje název programu, použité programové jednotky (knihovny), definice konstant, deklarace proměnných, všechny použité procedury

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

TGH06 - Hledání nejkratší cesty

TGH06 - Hledání nejkratší cesty TGH06 - Hledání nejkratší cesty Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Motivační problémy Silniční sít reprezentovaná grafem. Ohodnocené hrany - délky silnic. Najdi nejkratší/nejrychlejší

Více

GEOGRAFICKÉ INFORMAČNÍ SYSTÉMY 6

GEOGRAFICKÉ INFORMAČNÍ SYSTÉMY 6 UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY GEOGRAFICKÉ INFORMAČNÍ SYSTÉMY 6 Lubomír Vašek Zlín 2013 Obsah... 3 1. Základní pojmy... 3 2. Princip rastrové reprezentace... 3 2.1 Užívané

Více

Oblasti ovlivňující přesnost a kvalitu obrobení povrchu (generované dráhy).

Oblasti ovlivňující přesnost a kvalitu obrobení povrchu (generované dráhy). Oblasti ovlivňující přesnost a kvalitu obrobení povrchu (generované dráhy). 1 - Přesnost interpretace modelu (Tato oblast řeší, jak SC interpretuje model pro jednotlivé technologie obrábění 2D, 3D+HSM,

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Projekt Poohří. Výstavba modelových sítí a automatizace v rámci tvorby modelových sítí. Zpráva o stavu řešení problematiky

Projekt Poohří. Výstavba modelových sítí a automatizace v rámci tvorby modelových sítí. Zpráva o stavu řešení problematiky Projekt Poohří. Výstavba modelových sítí a automatizace v rámci tvorby modelových sítí. Zpráva o stavu řešení problematiky RNDr. Blanka Malá, Ph.D., NTI, TUL Ing. Jan Pacina, Ph.D., UJEP Obsah: 1. Problematika

Více

ADT STROM Lukáš Foldýna

ADT STROM Lukáš Foldýna ADT STROM Lukáš Foldýna 26. 05. 2006 Stromy mají široké uplatnění jako datové struktury pro různé algoritmy. Jsou to matematické abstrakce množin, kterou v běžném životě používáme velice často. Příkladem

Více

Obecný princip 3D numerického modelování výrubu

Obecný princip 3D numerického modelování výrubu Obecný princip 3D numerického modelování výrubu Modelovaná situace Svislé zatížení nadloží se přenáší horninovým masivem na bok tunelu Soustava lineárních rovnic Soustavou lineárních rovnic popíšeme určované

Více

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás.

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. Příklady: 30. Magnetické pole elektrického proudu 1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. a)

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

5 Orientované grafy, Toky v sítích

5 Orientované grafy, Toky v sítích Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost

Více

Konvexní obálka množiny bodů.

Konvexní obálka množiny bodů. Konvexní obálka množiny bodů. Graham Scan. Jarvis Scan. Quick Hull. Inkrementální metoda. Divide and Conquer. Rotating Calipers. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie.

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Mgr. Miroslava Tihlaříková, Ph.D. Konstruktivní geometrie & technické kreslení Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

3.1.2 Polorovina, úhel

3.1.2 Polorovina, úhel 3.1.2 Polorovina, úhel Předpoklady: 3101 Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich společnou hranicí (hraniční přímkou). p Hraniční přímka patří do obou polorovin. ody, které neleží

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

KŘIVKY A PLOCHY. Obrázky (popř. slajdy) převzaty od

KŘIVKY A PLOCHY. Obrázky (popř. slajdy) převzaty od KŘIVKY A PLOCHY JANA ŠTANCLOVÁ jana.stanclova@ruk.cuni.cz Obrázky (popř. slajdy) převzaty od RNDr. Josef Pelikán, CSc., KSVI MFF UK Obsah matematický popis křivek a ploch křivky v rovině implicitní tvar

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Algoritmizace. 1. Úvod. Algoritmus

Algoritmizace. 1. Úvod. Algoritmus 1. Úvod Algoritmizace V dnešní době již počítače pronikly snad do všech oblastí lidské činnosti, využívají se k řešení nejrůznějších úkolů. Postup, který je v počítači prováděn nějakým programem se nazývá

Více

Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová

Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Základy informatiky Teorie grafů Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Obsah přednášky Barvení mapy Teorie grafů Definice Uzly a hrany Typy grafů Cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

Lekce 4 - Vektorové a rastrové systémy

Lekce 4 - Vektorové a rastrové systémy Lekce 4 - Vektorové a rastrové systémy 1. Cíle lekce... 1 2. Vlastnosti rastrových systémů... 1 2.1 Zobrazování vrstev... 1 2.1.1 Základní zobrazování... 1 2.1.2 Další typy zobrazení... 2 2.2 Lokální operace...

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 7. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel zaokrouhluje, provádí odhady

Více