PLÁNOVÁNÍ TRASY ROBOTA POMOCÍ VORONÉHO

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PLÁNOVÁNÍ TRASY ROBOTA POMOCÍ VORONÉHO"

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ FAKULTA INFORMATIKY PLÁNOVÁNÍ TRASY ROBOTA POMOCÍ VORONÉHO DIAGRAMŮ A DALŠÍCH PROSTŘEDKŮ VÝPOČETNÍ GEOMETRIE DIPLOMOVÁ PRÁCE ING. PETR ŠVEC 2006

2 Prohlášení Prohlašuji, že diplomová práce je mým původním autorským dílem, které jsem vypracoval samostatně. Všechny zdroje, prameny a literaturu, které jsem při vypracování používal nebo z nich čerpal, v práci řádně cituji s uvedením úplného odkazu na příslušný zdroj. Vedoucí práce: Mgr. Petr Tobola, Ph.D. ii

3 Poděkování Chtěl bych tímto poděkovat vedoucímu diplomové práce, Mgr. Petru Tobolovi, Ph.D., za seznámení s problematikou plánování robota pomocí prostředků výpočetní geometrie. Mé díky také patří mé rodině za podporu při mé cestě za vzděláním. iii

4 Shrnutí Diplomová práce se zabývá plánováním bezkolizní trasy bodového nebo polygonového konvexního robota ve 2D prostředí s bodovými, liniovými nebo konvexními polygonovými překážkami pomocí prostředků výpočetní geometrie. Hlavním použitým prostředkem je zobecněný Voroného diagram, který je konstruován pomocí navrhnutého aproximačního algoritmu. Vedle implementovaného translačního pohybu pro daného konvexního robota je předložen návrh i pro rotační pohyb. Dále je diskutováno plánování pohybu pro skupinu polygonových konvexních robotů opět v prostředí s bodovými, liniovými nebo polygonovými překážkami. iv

5 Klíčová slova Flocking behaviour, Plane sweep algoritmus, plánování trasy robota, výpočetní geometrie, Voroného diagram v

6 Obsah Úvod Konfigurační prostor Abstrakce pomocí konfiguračního prostoru Transformace pracovního prostoru do prostoru konfiguračního Základní metody plánování cesty Dekompozice buněk Silniční mapa Potenciální pole Retrakční přístup A* algoritmus Voroného diagram pro množinu bodových generátorů Zametací algoritmus (plane sweep) Zobecněný Voroného diagram pro bodové a liniové generátory Zobecněný Voroného diagram pro bodové, liniové a polygonové generátory Rotační pohyb polygonového robota Plánování pohybu skupiny robotů Implementace Reprezentace reálného světa W Reprezentace a výpočet konfiguračního prostoru C Reprezentace datových struktur a detaily výpočtu algoritmu Plane Sweep Uživatelské prostředí programu Experimentální výpočty Závěr Literatura

7 Úvod Výpočetní geometrie jako součást oboru analýzy a návrhu algoritmů nabízí řešení problémů z mnoha dalších oborů počítačová grafika, geografické informační systémy (GIS), robotika, CAD / CAM, počítačová biologie, počítačová chemie a další. První algoritmická řešení geometrických problémů byla pomalá nebo příliš složitá pro implementaci. V posledních letech bylo vyvinuto několik nových technik algoritmizace, které zlepšují a zjednodušují mnoho přístupů k praktickému řešení geometrických problémů. Výhodou řešení problémů pomocí výpočetní geometrie je prokazatelná časová složitost jednotlivých algoritmů. Časová složitost měří kvalitu algoritmů a udává se jako asymptotická časová složitost v nejhorším případě. Omezení výpočetní geometrie spočívá především ve velice náročné implementaci vybraných algoritmů, schopností operací pouze s liniovými nebo rovinnými objekty a v zaměření především na 2D prostor, kde geometrické algoritmy pro 3D a více rozměrný prostor (především v robotice) jsou složitým rozšířením algoritmů počítajících nad 2D prostorem. Jedním z nejvíce diskutovaných problémů v robotice v oblasti výpočetní geometrie je plánování pohybu robota zahrnující plánování nebo nalezení cesty v neznámém prostředí s překážkami. Dalším souvisejícím problémem je návrh autonomních robotů, což je robotů, které mají zadán cíl práce, ale nemají zadáno jakým způsobem tohoto cíle dosáhnout. Aby byl robot schopný cíleného pohybu, musí mít znalost o oblasti, ve které se nachází. Tato znalost je buď dopředu dána mapou daného prostředí nebo je získána robotem pomocí senzorů. Výsledkem je bezkolizní a pokud možno co nejkratší cesta spojující danou počáteční a cílovou pozici. V diplomové práci je diskutováno řešení návrhu a vlastní implementace plánování bezkolizního pohybu bodového nebo polygonového konvexního robota ve 2D prostředí s bodovými, liniovými nebo konvexními polygonovými překážkami pomocí aproximačního algoritmu konstrukce Voroného diagramu. Cesty generované pomocí Voroného diagramu nám garantují co největší možnou vzdálenost robota od překážek. Dále je předložen návrh plánování pohybu a nalezení nejkratší cesty pro skupinu konvexních robotů v prostředí s polygonovými překážkami. Vedle translačního pohybu je brán v úvahu i pohyb rotační. 2

8 Kapitola 1 Konfigurační prostor 1.1 Abstrakce pomocí konfiguračního prostoru Hlavní myšlenkou abstrakce problému plánování cesty pomocí konfiguračního prostoru je nahrazení konvexního robota A reprezentujícím bodem. Konfigurace q robota A (viz obr. 1) je určena pozicemi všech bodů robota v pracovním prostoru W (reprezentován jako euklidovský prostor R 2 ) a je vyjádřena jako vektor (složený z pozičních a orientačních parametrů, kde jejich počet je udán počtem stupňů volnosti robota) zastupujícího bodu. Obrázek 1. Konfigurace q při translačním a rotačním pohybu Množina všech možných konfigurací robota A se nazývá konfigurační prostor C. Oblast W okupovaná robotem A v konfiguraci q se označuje jako A(q). Pozice libovolného bodu a A ve W, pokud A je v konfiguraci q, se značí a(q). Překážka ve W je značena jako B, což je nepřístupná oblast prostoru W. Zavedením konfiguračního prostoru C se redukuje problém nalezení cesty pro polygonového robota ve W na problém nalezení cesty pro bodového robota v C a poskytuje jednotnou soustavu pro porovnání a vyhodnocení algoritmů. Existují tři druhy konfigurací volná konfigurace C free, kde robot a překážka se vzájemně nepřekrývají, dále kontaktní konfigurace a zakázaná konfigurace C obs. Konfigurační prostor C se rozdělí do volných, kontaktních a zakázaných množin konfigurací. Mapa překážek C je definována jako CB = { q A( q) B }, což znamená, že pro každou B i ( i Ν) ve W existuje odpovídající CB i v C reprezentující všechny konfigurace q robota A kolidující s B i (viz obr. 2). 1.2 Transformace pracovního prostoru do prostoru konfiguračního Redukce problému nalezení cesty pro polygonového konvexního robota A na problém nalezení cesty pro bodového robota A zahrnuje transformaci pracovního prostoru W do konfiguračního prostoru C. Jádrem této transformace je namapování překážek B W do překážek CB C (viz obr. 2). 3

9 Obrázek 2. Mapování B W do CB C pro translační a rotační pohyb V případě translačního a zároveň i rotačního pohybu po mapování vzniknou 3D překážky 2 CBi = {( x, y, φ) R x [0:360) : A(x, y, φ) Bi } (viz obr. 2), které jsou složené z několika vrstev CB ik pro k = 1,.., z, kde z je počet vrstev. Každá vrstva odpovídá danému natočení robota A o úhel φ a počet těchto vrstev závisí na úhlu dovoleného natočení A a velikosti přechodů mezi natočeními. Dále nechť existuje i takové, že 0 i z 1, pak φ i = i ( 360 / z). Transformace překážek může být popsána Minkowského sumou (Latombe, 1991, de Berg a kol., ). Minkowského suma dvou množin S 1 R a S 2 R je popsána operací S1 S 2 = { p + q p S1, q S 2}, kde p + q je vektorový součet vektorů p a q. Minkowského suma pro transformaci B do CB je definována jako P ( A(0,0)). Důkaz a další vlastnosti Minkowského sumy jsou uvedeny v (de Berg a kol., 2000). Minkowského suma P ( A(0,0)) může být považována jako Minkowského rozdíl, který je často interpretován jako konvoluce (LaValle, 2005). Příkladem v 1D může být konvoluce h ( x) = f ( τ ) g( x τ ) dτ, kde h ( x) = 1 pokud x Cobs a h ( x) = 0 v opačném případě. Funkce f : R {0,1} a platí f ( x) = 1 pouze tehdy, když x B. Funkce g : R {0,1 } a platí g ( x) = 1 pouze tehdy, když x A. Nejjednodušší algoritmus pro transformaci B do CB spočívá v jednoduchém součtu vektorů každého vrcholu v a w, kde v B a w A, a následné nalezení konvexního obalu tohoto součtu (jak 4

10 je uvedeno dále, platí pouze pro konvexní objekty). Algoritmus je velmi jednoduchý, ale má časovou složitost O (nm), kde n je počet vrcholů B a m je počet vrcholů A. Následující algoritmus podle (Latombe, 1991, de Berg a kol., 2000) počítá pouze s těmi dvojicemi vrcholů, které jsou extrémní (mají největší vzdálenost na polygonu) ve stejném směru a to má za následek snížení časové složitosti na O ( n + m) pro případ, kdy robot i překážka jsou konvexní polygonové útvary. Algoritmus č. 1: MINKOWSKÉHO_SUMA(B, A) Vstup: Konvexní polygon B s vrcholy v 1,...,vn a konvexní polygon ( A) s vrcholy w 1,...,wm. Předpokládá se, že vrcholy jsou setříděny proti směru hodinových ručiček a vrcholy v 1 a w 1 mají nejmenší y ovou souřadnici. Výstup: Minkowského suma B ( A) 1. i = 1; j = 1; 2. v n+1 = v 1 ; w m+1 = w 1 ; 3. repeat 4. přidej vrchol v i + w j do B ( A). 5. if úhel(v i, v i+1 ) < úhel(w j, w j+1 ) 6. then i = i + 1; 7. else if úhel(v i, v i+1 ) > úhel(w j, w j+1 ) 8. then j = j + 1; 9. else i = i + 1; 10. j = j + 1; 11. until i = n + 1 and j = m + 1; Poznámka: notace úhel(p, q) popisuje úhel, který svírá vektor pq s kladnou osou x. Na příkladu na obrázku č. 3 je zobrazena jednotková kružnice, na které jsou vyneseny všechny normály ploch robota A a překážky B. Při provádění algoritmu v krocích 5-10 se prochází tyto normály na jednotkové kružnici proti směru hodinových ručiček a sčítají se vektory odpovídajících vrcholů. Lineární časová složitost O ( n + m) algoritmu se dá jednoduše dokázat následujícím způsobem. V každém kroku cyklu dochází ke zvětšení proměnné indexu i, j nebo obou indexů. Po dosáhnutí hodnot indexů n + 1 a m + 1 nemůže dojít k další inkrementaci. Podle (de Berg a kol., 2000), v případě, že jeden z polygonů není konvexní, je časová složitost O (nm) a O ( n 2 m 2 ) v případě, že oba polygony nejsou konvexní. Výpočet Minkowského sumy pro nekonvexní polygony spočívá v triangulaci těchto polygonů, výpočet Minkowského sumy každé dvojice polygonů a následně se provede jejich sjednocení. 5

11 Obrázek 3. Minkowského suma B a A, jednotková kružnice Na obrázku č. 4 je zobrazen příklad Minkowského sumy z implementovaného programu pro osmibokého robota A s bodovými, liniovými a polygonovými překážkami. Před vlastním výpočtem se pomocí Grahamova algoritmu (O Rourke, 1998) transformují všechny překážky na jejich konvexní obal. Obrázek 4. Minkowského suma osmibokého robota A s bodovými, liniovými a polygonovými překážkami 6

12 Kapitola 2 Základní metody plánování cesty Proces nalezení cesty mezi polygonovými překážkami v R 2 pro polygonového robota A zahrnuje vytvoření konfiguračního prostoru C free pomocí uvedeného algoritmu č. 1 a poté aplikaci jedné z dále uvedených metod pro plánování cesty. V řešení konkrétně uveden přístup pomocí silniční mapy (road map), která je v tomto případě tvořena Voroného diagramem, jehož konstrukce je uvedena dále v textu. Cesta v C podle (Latombe, 1991) je spojitá křivka spojující konfigurace q start a q cíl, formálněji je cesta spojité zobrazení τ : s [0, 1] τ( s) C, kde τ (0) = q start je počáteční konfigurace a τ (1) = q cíl je cílová konfigurace cesty. Spojité zobrazení znamená, že pro s1, s2 [0,1] : lim d( τ ( s1), τ ( s2)) = 0, s2 s1 kde d : C x C R {0} je zvolená metrika nad R. Příklad metriky v C + d( q1, q2) = max( a( q1) a( q2) ), kde x y je euklidovská metrika ve W. Volná cesta je definována a A jako τ :[0,1] Cfree = C \ CB. Algoritmy pro plánování cest dle (Latombe, 1991) zahrnují dva hlavní kroky: - předzpracování reprezentace volného konfiguračního prostoru C free mezi všemi překážkami v dané oblasti pomocí funkce nebo grafu - zpracování dotazu prohledávání grafu nebo použití funkce pro nalezení cesty Základní přístupy pro plánování cesty zahrnují: - dekompozice buněk dekompozice C free do buněk a reprezentace spojitosti C free pomocí grafu sousednosti buněk - silniční mapa reprezentace spojitosti C free grafem - potenciální pole definuje funkci nad C free, která má globální minimum v cílové konfiguraci a maxima v místě překážek. 2.1 Dekompozice buněk Krok předzpracování zahrnuje dekompozici C free do kolekce buněk a vytvoření grafu sousednosti reprezentující sousední relace mezi buňkami. Dekompozice C free může být do buněk, které přesně pokrývají celé C free nebo do buněk, jejichž sjednocení pouze aproximuje volný prostor (např. pouze čtvercové buňky). Na obrázku č. 5 je zobrazen příklad dekompozice C free do lichoběžníkových buněk (tzv. lichoběžníková dekompozice C free ). Krok zpracování dotazu zahrnuje nalezení posloupnosti sousedních buněk vedoucí z počáteční q a konfigurace do cílové konfigurace q b a transformace této posloupnosti do cesty. 7

13 Obrázek 5. Lichoběžníková dekompozice 2.2 Silniční mapa Krok předzpracování zahrnuje přímou konstrukci grafu cest (bez dekompozice do buněk jako v předchozí metodě) reprezentující spojitost v C free. Graf viditelnosti (redukovaný graf viditelnosti vzájemné propojení vrcholů všech objektů pouze tečnými hranami k těmto objektům viz obr. 6), retrakční metoda a PRM (Probabilistic Road Map Method) jsou příklady metod konstrukcí grafu cest (Latombe, 1991). Krok zpracování dotazu zahrnuje napojení počáteční q a a koncové q b konfigurace robota A ke grafu cest a nalezení nejkratší cesty. Metody založené na silničních mapách patří mezi nejefektivnější metody plánování cest (Latombe, 1991). Obrázek 6. Redukovaný graf viditelnosti 8

14 2.3 Potenciální pole Krok předzpracování zahrnuje umístění mřížky nad prostor a definice funkce (potenčního pole, viz obr. 7) s daným globálním minimem (cílová pozice) nad touto mřížkou. Krok zpracování dotazu zahrnuje nalezení cesty pomocí potenčního pole (hledáme globální minimum). Výhoda této metody spočívá v rychlosti nalezení cílové konfigurace q b, ale vážným problémem je nebezpečí uváznutí v lokálním minimu. Obrázek 7. Potenciální pole 9

15 Kapitola 3 Retrakční přístup Retrakční přístup (Latombe, 1991) umožňuje přímou konstrukci grafu cest, který reprezentuje spojitost C free (není zapotřebí dekompozice C free do buněk). Jedná se o redukci problému nalezení cesty mezi překážkami CB v C free na problém nalezení cesty v grafu tvořeného např. Voroného diagramem. Základem retrakčního přístupu je zobrazení libovolného bodu z C free do bodu na grafu cest. Pro nalezení nejkratší cesty se nejdříve určí obraz počáteční a koncové konfigurace q Cfree v tomto grafu a následuje samotné nalezení cesty z q a do q b pomocí A* algoritmu popsaného v první podkapitole. Formálněji je retrakce zobrazení ρ :Cfree R, R Cfree platí li zároveň, že se jedná o spojité a identické zobrazení ( ρ ( R ) = R). Tedy ρ ( x) R pro x Cfree a zároveň ρ ( y) = y pro y R. Volná cesta τ z q a do q b existuje právě tehdy, když existuje cesta v R mezi ρ ( qa) a ρ ( qb) (Latombe, 1991). 3.1 A* algoritmus A* algoritmus patří mezi tzv. best first algoritmy pro nalezení nejkratších cest. Jedná se o výpočetně nejvýkonnější algoritmus garantující nalezení nejkratší cesty. Nechť n označuje libovolný uzel. Algoritmus je postaven na formuli f ( n) = g( n) + h( n), kde f (n) je odhadnutá cena nejlevnějšího řešení přes n, g (n) je cena cesty z počátečního uzlu do uzlu n, a h(n) je heuristická cena udávající nejlevnější cestu z n do cíle. Pro nalezení nejkratší cesty je opakovaně vybírán uzel s nejnižší cenou f (n) a dále je prováděna relaxační operace podobně jako v Dijkstrově algoritmu (Russel & Norvig, 1995), (LaValle, 2005). Heuristická funkce h musí být vybrána takovým způsobem, aby nedošlo k nadhodnocení ceny cesty do cíle (heuristická funkce musí být tzv. přípustná). Nejjednodušší příklad přípustné heuristiky je vzdálenost přímé viditelnosti. Mezi algoritmy, které rozšiřují vyhledávácí cestu z kořene, je A* algoritmus optimálně výkonný (optimally efficient) pro libovolnou danou heuristickou funkci, což znamená, že neexistuje takový algoritmus, který by garantoval expanzi menšího počtu uzlů než A*. Časová složitost A* algoritmu závisí na přesnosti heuristické funkce. Například, pokud heuristická funkce je schopná naprosto přesně odhadnout cenu do cíle, pak A* algoritmus běží v lineárním čase expandující pouze ty uzly ležící na optimální výsledné cestě. Důkazy optimality, úplnosti a další diskuze o složitosti A* algoritmu mohou být dále nalezeny v (Russel & Norvig, 1995), (Korf, 1999), (Konar, 2000) a (LaValle, 2005). 3.2 Voroného diagram pro množinu bodových generátorů Nechť je dána množina konečného počtu různých bodů P = { p1,..., pn} R, kde 2 < n < a pi p j pro i j, i, j In (I n je množina přirozených čísel o mohutnosti n). Všechna umístění v prostoru jsou přiřazena k jejich nejbližším generátorům (bodům) z množiny P s ohledem na euklidovskou 2 vzdálenost. Výsledkem je zobrazení prostoru R do množiny regionů 2 V ( pi ) = { x x pi x p j pro x R, i, j In; j i} asociované s p i. Samotný Voroného o diagram (viz obr. 8) je daný množinou regionů V P) = { V ( p ),..., V ( p )} generované množinou P. ( 1 n 2 10

16 Osa souměrnosti dvou generátorů p a q rozdělující rovinu do dvou polorovin je definována jako kolmá přímka na spojnici pq vedoucí uprostřed této spojnice. Otevřená polorovina obsahující p je definována jako h(p, q) a otevřená polorovina obsahující q je definována jako h(q, p). Samozřejmě 2 e h( p, q), kde e R je libovolná lokace v rovině, právě tehdy, když d ( e, p) < d( e, q). Samotná buňka V (P), která je generována p i je definována jako V ( pi) = I h( pi, pj) (de Berg a kol., 2000). 1 j n, j i Nechť C p (v) popisuje největší možnou kružnici, která má střed v libovolném bodě v a neobsahuje žádný generátor. Potom pro V (P) platí následující věty: (i) Umístění v je vrcholem Voroného diagramu V (P) pouze tehdy, když C p (v) obsahuje na obvodu tři nebo více generátorů p (viz obr. 8), (ii) osa souměrnosti mezi generátory p i a p j definuje hranu V (P) pouze tehdy, když zde existuje takový bod v ležící na této ose tak, že na obvodu C p (v) leží jak p i, tak i p j a zároveň žádný jiný generátor (viz obr. 8). Obrázek 8. Voroného diagram pro bodové generátory Základní metody pro výpočet Voroného digramu jsou: inkrementální metoda, metoda rozděl a panuj (divide and conquer) a zametací metoda (plane sweep). Inkrementální metoda má časovou složitost O ( n 2 ), kdežto rozděl a panuj metoda a zametací metoda mají časovou složitost O ( n log n). Důkazy časových složitostí těchto metod jsou provedeny v (Okabe a kol., 2000) a (de Berg a kol., 2000). Nejjednodušší případ retrakce pro zobecněný Voroného diagram V ( Cfree) (i pro liniové nebo polygonové generátory) může být definován následovně: ρ : C free V ( Cfree) 1. případ: q V ( Cfree ) : ρ ( q) = q 2. případ: q V ( Cfree) : nechť p je nejbližší bod k bodu q na hranici C free, nechť L je vedená polopřímka z bodu p přes q, pak ρ (q) je průsečík L z V (C free ). Retrakce je použita jako nástroj pro nalezení cesty z počáteční (nebo do koncové) konfigurace, která neleží na vypočteném V (C free ), k tomuto diagramu. 11

17 Výhodou Voroného diagramu v roli grafu cest mezi překážkami v prostoru je jeho implicitní udržování největší vzdálenosti od překážek, avšak bohužel za cenu relativně složité implementace algoritmů pracujících v logaritmickém čase (např. zametací algoritmus, který bude dále rozebrán v textu). 3.3 Zametací algoritmus (plane sweep) Následuje rozbor implementovaného zametacího algoritmu, který navrhl Steve Fortune (1985) a který byl použit pro výpočet Voroného diagramu s bodovými generátory. Další detaily algoritmu jsou uvedeny v kapitole vlastní implementace. Hlavní část algoritmu tvoří posun horizontální přímky l z horní části diagramu do dolní přes 2 všechny generátory P = { p1,..., pn} R. Během posunu se udržuje informace o části už vytvořeného V (P) nad l, která nemůže být dále ovlivněna generátory pod l. Část V (P) nad l je ohraničena sekvencí parabol (tzv. beach line), jak je ukázáno na obrázku č. 9. Body na parabole mají stejnou vzdálenost od generátoru této paraboly a l. Je třeba zdůraznit, že v daném kroku neexistuje informace o pozici generátorů pod l. Průsečíky jednotlivých parabol v sekvenci parabol nad l postupně tvoří hrany V (P). Místo udržování jednotlivých průsečíků V (P) s l se během posunu udržuje struktura sekvence parabol. Změna sekvence parabol nad l nastává v okamžiku vzniku nové paraboly nebo zániku paraboly existující. Obrázek 9. Sekvence oblouků parabol Nová parabola o nulové šířce vznikne v okamžiku, kdy l dosáhne dalšího generátoru, jedná se tedy pouze o vertikální úsečku spojující nový generátor se sekvencí parabol. Průsečík této úsečky (nově vzniklé paraboly) s parabolou ze sekvence parabol udává počáteční pozici nově vznikající hrany V (P). Při dalším posunu se tato parabola dále rozšiřuje a postupně mění tvar sekvence parabol, jak je ukázáno na obrázku č. 10. Tento typ události se nazývá událost generátoru (site event). Obrázek 10. Vznik události generátoru 12

18 Druhým typem události je smrštění existující paraboly do bodu a následný její zánik, jak je ukázáno na obrázku č. 11. Bod q na obrázku č. 11 má stejnou vzdálenost od l a od všech tří generátorů p i, p j a p k. Tedy existuje kružnice procházející třemi generátory a její nejnižší bod leží na l. Uvnitř kružnice se nemůže vyskytovat žádný jiný generátor, protože takový generátor by byl bližší k bodu q než q k l a to odporuje faktu, že bod q leží na sekvenci oblouků parabol. Z toho plyne, že q je vrcholem Voroného diagramu. Tato událost, která vznikne dosáhnutím l na nejnižší bod kružnice procházející třemi generátory definující sousední paraboly v sekvenci se nazývá kružnicová událost (circle event). Obrázek 11. Vznik kružnicové události (zánik paraboly a následný vznik nového vrcholu V (P)) Algoritmus používá tři datové struktury pro udržování nezbytných informací během výpočtu. Vypočtený V (P) je ukládán ve dvojitém spojovém seznamu hran (doubly connected edge list, dále DCEL). Podrobný popis struktury DCEL může být nalezen v (Okabe a kol., 2000) a (de Berg a kol., 2000). Po ukončení výpočtu se vytvoří obdélníkový okraj vypočteného V (P) a k němu se napojí okrajové hrany diagramu. Sekvence parabol je reprezentována AVL stromem T (vyvážený vyhledávací strom) (Preiss, 2000), který je zobrazen na obrázku č. 12. Jeho listy odpovídají obloukům sekvence parabol v uspořádaném pořadí. Každý list obsahuje ukazatel na generátor definující daný oblouk. Vnitřní uzly T reprezentují body přerušení v sekvenci parabol a jsou definovány jako dvojice (p i, p j ), kde p i je ukazatel na generátor levé paraboly a p j je ukazatel na generátor pravé paraboly. Díky této stromové reprezentaci sekvence parabol lze v logaritmickém čase nalézt oblouk ležící nad nově vzniklou událostí daného generátoru. Dále každý list, reprezentující oblouk α v sekvenci parabol, obsahuje ukazatel na prvek ve frontě událostí, který představuje budoucí kružnicovou událost, při které α zanikne. Tento ukazatel je NIL, pokud v dané části výpočtu neexistuje taková kružnicová událost, při které α zanikne. 13

19 Obrázek 12. Vyvážený binární vyhledávací strom pro reprezentaci sekvence oblouků parabol Fronta událostí Q je definována jako prioritní fronta, kde prioritou je y ová souřadnice události. V případě kružnicových událostí se ukládá nejnižší bod vzniklé kružnice s ukazatelem na list v T, který zanikne při vyvolání této kružnicové události. Při každé události nastane topologická změna sekvence parabol. Topologická změna může mít za následek potenciální vznik kružnicové události ze tří sousedních oblouků. Může ovšem dojít k situaci, kdy dělící čáry sousedních oblouků nekonvergují do vrcholu Voroného diagramu, jak je ukázáno na obrázku č. 13, a tedy se nejedná o kružnicovou událost. Druhým případem je stav, kdy v okamžiku zpracování kružnicové události už neexistují její tři oblouky (dané generátory tvořící tuto událost) v pořadí vedle sebe v sekvenci parabol. Tento případ je způsoben náhlým zpracováním bezprostředně předcházející události generátoru. Z tohoto důvodu se pro každý zanikající oblouk v T provádí kontrola, zda neexistuje odpovídající kružnicová událost v Q. Pokud odpovídající kružnicová událost existuje, jedná se o nekorektní událost (false alarm), která je následně vymazána z Q. Obrázek 13. Demonstrace nekonvergence dělících čar generátorů p 1, p 2 a p 3 14

20 Algoritmus č. 2: PLANE_SWEEP(P) Vstup: Množina = p1,..., pn} 2 P { R generátorů v rovině. Výstup: Voroného diagram V (P) uzavřený v obdélníkové oblasti a uložený v DCEL. 1. Naplnění fronty událostí Q všemi událostmi generátorů, inicializace prázdné struktury T a prázdného DCEL. 2. while Q 3. do Odstraň z Q událost U s největší y ovou souřadnicí 4. if U je událostí generátoru p i 5. then ZPRACUJ_UDÁLOST_GENERÁTORU(p i ) 6. else ZPRACUJ_KRUŽNICOVOU_UDÁLOST( φ ), kde φ je list z T reprezentující parabolický oblouk, který při zpracování zanikne. 7. Vytvoř hraniční obdélník a připoj hrany V (P), které jsou dány ukazateli z vnitřních uzlů T k hranici tohoto obdélníka. 1 ZPRACUJ_UDÁLOST_GENERÁTORU(p i ) 1.1 Pokud je T prázdný, vlož do něj p i a proveď návrat z procedury (T v tomto případě obsahuje pouze list). Jinak pokračuj kroky Nalezni parabolický oblouk α (daný generátorem p j ) vertikálně nad p i. Pokud α obsahuje ukazatel na kružnicovou událost v Q, pak tuto událost odstraň z Q (jedná se o nekorektní událost). 1.3 Nahraď list z T reprezentující oblouk α podstromem mající tři listy. Prostřední list ukazuje na oblouk daný generátorem p i a zbylé dva listy ukazují na oblouky (rozštěpený původní oblouk) dané generátorem p j. Dále podstrom obsahuje vnitřní uzly (p i, p j ) a (p j, p i ) reprezentující zlomy (breakpoints) mezi oblouky. Proveď převážení stromu. 1.4 V DCEL struktuře vytvoř novou hranu V (P) o nulové délce rozdělující V(p i ) a V(p j ). Ukazatele na nově vytvořenou hranu ulož do odpovídajících vnitřních uzlů stromu T (p i, p j ) a (p j, p i ). 1.5 Pokud trojice sousedních oblouků, kde p i je generátor nejlevějšího oblouku, tvoří kružnicovou událost, vlož ji do Q (vkládá se nejspodnější bod vzniklé kružnice!) a nastav ukazatel mezi prostředním obloukem (listem ve stromě T) a nově vloženou kružnicovou událostí. Proveď to stejné pro případ, kdy p i je generátor nejpravějšího oblouku. 2 ZPRACUJ_KRUŽNICOVOU_UDÁLOST( φ ) 2.1 Vymaž list φ z T reprezentující zanikající oblouk α. Proveď úpravu záznamů zlomů ve vnitřních uzlech stromu T a proveď jeho vyvážení. Vymaž všechny kružnicové události, které se odkazují na α z Q (jsou nalezeny pomocí ukazatelů předchůdce a následníka φ v T). 15

21 2.2 Střed kružnice přidej do DCEL jako nový vrchol V (P) a na tento vrchol napoj konce hran os souměrnosti sousedních generátorů (ukazatele na hrany uloženy ve vnitřních uzlech stromu T). Vytvoř novou hranu o nulové délce na místě středu kružnice. Nastav ukazatele mezi nimi odpovídajícím způsobem (viz obr. 14). Do vnitřních uzlů reprezentujících zlom mezi levým a pravým generátorem vlož ukazatel na nově vytvořenou hranu (v případě na obr. 14 se vloží ukazatel do (p 1, p 3 ) a (p 3, p 1 ). 2.3 Pokud trojice nově vzniklých sousedních oblouků, kde levý soused zaniklého α je středem této trojice a tvoří kružnicovou událost, vlož ji do Q (vkládá se nejspodnější bod vzniklé kružnice!) a nastav ukazatel mezi prostředním obloukem a nově vloženou kružnicovou událostí. Proveď to stejné pro případ, kdy pravý soused zaniklého α je středem této trojice. Obrázek 14. DCEL V (P) pro tři generátory (bez hraničního diagramu) Degenerované případy při výpočtu mohou být následující: Zpracování událostí se stejnou y ovou souřadnicí. Řeší se imaginárním natočením roviny o velmi malý úhel na pravou stranu. Tím dochází při výběru z prioritní fronty k upřednostnění událostí s menší x ovou souřadnicí. Problém dále nastává na počátku výpočtu, kdy události se stejnou y ovou souřadnicí neumožňují nalezení odpovídající paraboly nad druhým generátorem v řadě (průsečík parabol leží v nekonečnu), situace je zobrazená na obrázku č. 15. Řešení spočívá v minimálním kladném posunu y ové souřadnice prvního generátoru nebo ošetřením pomocí speciálního kódu v implementaci algoritmu. Obrázek 15. Degenerovaný případ, generátory se stejnou y ovou souřadnicí na počátku výpočtu Problém výskytu několika stejných kružnicových událostí, tj. existence kružnice s větším počtem generátorů na obvodu, jak je zobrazeno na obrázku č. 16. Střed takovéto kružnice je vrchol V (P) o stupni alespoň 4. V tomto případě algoritmus vytvoří dva vrcholy V (P) se stejnými 16

22 souřadnicemi a hranou o nulové délce, která je propojuje. Tyto hrany mohou být dále po výpočtu z DCEL odstraněny. Obrázek 16. Degenerovaný případ, kružnicová událost Při zpracování události generátoru může dojít k nalezení průsečíku nově vzniklé paraboly (vertikální úsečka) se sekvencí parabol přesně v průsečíku dvou sousedních parabol. V tomto případě algoritmus rozdělí jednu z těchto sousedních parabol a vloží novou parabolu mezi dvě části původní paraboly, kde jedna část bude mít nulovou délku (ta část, která leží blíže k průsečíku původních parabol). Část paraboly s nulovou délkou tvoří prostřední oblouk trojice definující kružnicovou událost. Po obsloužení této kružnicové události je vytvořena hrana s nulovou délkou, která může být později vymazána z DCEL. Časová složitost algoritmu je O ( n log n) a prostorová složitost je O (n), důkaz časové složitosti následuje v textu. Nechť n je počet událostí generátoru. Operace vkládání nebo odebírání prvku v T nebo Q (vkládání nebo výmaz elementů) mají časovou složitost O (log n). Primitivní operace v DCEL jsou v O (1) časové složitosti. Obsluha události zahrnuje sadu primitivních operací, výsledkem je celková časová složitost obsluhy události O (log n). Každá kružnicová událost definuje vrchol Voroného diagramu. Kružnicové události jsou vytvářeny a odstraňovány při zpracování události generátoru. Čas potřebný pro obsloužení kružnicové události je zahrnut do zpracování události generátoru. Nekorektní kružnicové události jsou před zpracováním vymazány z Q. Maximální počet kružnicových událostí obsluhovaných algoritmem je 2n 5 a algoritmus korektně ošetřuje i degenerované případy (de Berg a kol., 2000). Ve výsledku dává celkovou časovou složitost O ( n log n). 3.4 Zobecněný Voroného diagram pro bodové a liniové generátory 2 Nechť L = { l1,..., ln } R (1 n < ), kde li ( 1 i n) reprezentuje bodový generátor, liniový generátor nebo posloupnost liniových generátorů (sekvence liniových generátorů, kde koncový bod daného liniového generátoru je shodný s počátečním bodem následujícího liniového generátoru). Pak 2 V ( li) = { x ds( x, li) ds( x, lj) pro x R, i, j In, i j} reprezentuje liniový Voroného region (line 2 Voronoi region), kde ds( x, li) = min{ x xi xi li, x R } je nejkratší možná euklidovská xi vzdálenost mezi bodem x a bodem xi li, který je nejbližší ze všech bodů generátoru k bodu x. Množina V ( L) = { V ( l1),..., V ( ln) tvoří liniový Voroného diagram generovaný množinou L. V případě, že l i degeneruje na bod pro všechny i, pak liniový Voroného digram redukuje na Voroného diagram pro bodové generátory. 17

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 md at robotika.cz, zbynek.winkler at mff.cuni.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 27. listopadu 2007 1 Mapa světa Exaktní plánování 2 3 Plánování s otáčením Mapa světa - příklad Obsah Mapa světa Exaktní

Více

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace Význam triangulace trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy příklad triangulace Definice Triangulace nad množinou bodů v rovině představuje takové planární

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 Pravděpodobnostní plánování zbynek.winkler at mff.cuni.cz, md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor05/cs 12. prosince 2005 1 Co už umíme a co ne? Jak řešit složitější případy? Definice konfiguračního

Více

1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10

1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 Úlohy- 2.cvičení 1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 2. Převeďte dané desetinné číslo do dvojkové soustavy (DEC -> BIN): a) 0,8125 10 b) 0,35 10

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Volné stromy. Úvod do programování. Kořenové stromy a seřazené stromy. Volné stromy

Volné stromy. Úvod do programování. Kořenové stromy a seřazené stromy. Volné stromy Volné stromy Úvod do programování Souvislý, acyklický, neorientovaný graf nazýváme volným stromem (free tree). Často vynecháváme adjektivum volný, a říkáme jen, že daný graf je strom. Michal Krátký 1,Jiří

Více

2 Datové struktury. Pole Seznam Zásobník Fronty FIFO Haldy a prioritní fronty Stromy Hash tabulky Slovníky

2 Datové struktury. Pole Seznam Zásobník Fronty FIFO Haldy a prioritní fronty Stromy Hash tabulky Slovníky Pole Seznam Zásobník Fronty FIFO Haldy a prioritní fronty Stromy Hash tabulky Slovníky 25 Pole Datová struktura kolekce elementů (hodnot či proměnných), identifikovaných jedním nebo více indexy, ze kterých

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole si představíme Nástroje kreslení pro tvorbu 2D skic v modulu Objemová součást

Více

Úvod do mobilní robotiky NAIL028

Úvod do mobilní robotiky NAIL028 md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor08/cs 11. listopadu 2008 1 2 PID Sledování cesty Modely kolových vozidel (1/5) Diferenční řízení tank b Encoder Motor Centerpoint Motor Encoder Modely kolových

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Voroného konstrukce na mapě světa

Voroného konstrukce na mapě světa na mapě světa Jan Ústav matematiky, FSI VUT, 7. 6. 2011 na mapě světa Jan Ústav matematiky, FSI VUT, 7. 6. 2011 Základní myšlenka Je dána konečná množina M bodů v rovině X (obecně v metrickém prostoru).

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Algoritmy I, složitost

Algoritmy I, složitost A0B36PRI - PROGRAMOVÁNÍ Algoritmy I, složitost České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická v 1.01 Rychlost... Jeden algoritmus (program, postup, metoda ) je rychlejší než druhý. Co ta věta znamená??

Více

2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely

2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely 2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D. e-mail: jan.pacina@ujep.cz Pro přednášku byly použity texty a obrázky z www.gis.zcu.cz Předmět KMA/UGI, autor Ing. K.

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

Automatizované řešení úloh s omezeními

Automatizované řešení úloh s omezeními Automatizované řešení úloh s omezeními Martin Kot Katedra informatiky, FEI, Vysoká škola báňská Technická universita Ostrava 17. listopadu 15, Ostrava-Poruba 708 33 Česká republika 25. října 2012 M. Kot

Více

scale n_width width center scale left center range right center range value weight_sum left right weight value weight value weight_sum weight pixel

scale n_width width center scale left center range right center range value weight_sum left right weight value weight value weight_sum weight pixel Změna velikosti obrázku Převzorkování pomocí filtrů Ačkoliv jsou výše uvedené metody mnohdy dostačující pro běžné aplikace, občas je zapotřebí dosáhnout lepších výsledků. Pokud chceme obrázky zvětšovat

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

V případě jazyka Java bychom abstraktní datový typ Time reprezentující čas mohli definovat pomocí třídy takto:

V případě jazyka Java bychom abstraktní datový typ Time reprezentující čas mohli definovat pomocí třídy takto: 20. Programovací techniky: Abstraktní datový typ, jeho specifikace a implementace. Datový typ zásobník, fronta, tabulka, strom, seznam. Základní algoritmy řazení a vyhledávání. Složitost algoritmů. Abstraktní

Více

Kartometrická analýza starých map část 2

Kartometrická analýza starých map část 2 Podpora tvorby národní sítě kartografie nové generace Kartometrická analýza starých map část 2 Seminář NeoCartoLink, Olomouc, 29. 11. 2012 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

7. Geografické informační systémy.

7. Geografické informační systémy. 7. Geografické informační systémy. 154GEY2 Geodézie 2 7.1 Definice 7.2 Komponenty GIS 7.3 Možnosti GIS 7.4 Datové modely GIS 7.5 Přístup k prostorovým datům 7.6 Topologie 7.7 Vektorové datové modely 7.8

Více

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m . Když od neznámého čísla odečtete 54, výsledek vydělíte 3 a následně přičtete 6, získáte číslo 9. Jaká je hodnota tohoto neznámého čísla? (A) 0 (B) 03 (C) 93 (D) 89 2. Na úsečce SV, jejíž délka je 3 cm,

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

PEPS. CAD/CAM systém. Cvičebnice DEMO. Modul: Drátové řezání

PEPS. CAD/CAM systém. Cvičebnice DEMO. Modul: Drátové řezání PEPS CAD/CAM systém Cvičebnice DEMO Modul: Drátové řezání Cvičebnice drátového řezání pro PEPS verze 4.2.9 DEMO obsahuje pouze příklad VII Kopie 07/2001 Blaha Technologie Transfer GmbH Strana: 1/16 Příklad

Více

Modely datové. Další úrovní je logická úroveň Databázové modely Relační, Síťový, Hierarchický. Na fyzické úrovni se jedná o množinu souborů.

Modely datové. Další úrovní je logická úroveň Databázové modely Relační, Síťový, Hierarchický. Na fyzické úrovni se jedná o množinu souborů. Modely datové Existují různé úrovně pohledu na data. Nejvyšší úroveň je úroveň, která zachycuje pouze vztahy a struktury dat samotných. Konceptuální model - E-R model. Další úrovní je logická úroveň Databázové

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Spočítá prvky daného konkrétního souboru do 6., Zvládne zápis číselné řady 0 6 Užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti Numerace v oboru 0 6 Manipulace s předměty, třídění předmětů do skupin. Počítání

Více

Jádrem systému je modul GSFrameWork, který je poskytovatelem zejména těchto služeb:

Jádrem systému je modul GSFrameWork, který je poskytovatelem zejména těchto služeb: Technologie Marushka Základním konceptem technologie Marushka je použití jádra, které poskytuje přístup a jednotnou grafickou prezentaci geografických dat. Jádro je vyvíjeno na komponentním objektovém

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 5. ročník Zpracovala: Mgr. Jiřina Hrdinová Číslo a početní operace Využívá při pamětném i písemném počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

viagps 3.0 Black edition Uživatelská příručka

viagps 3.0 Black edition Uživatelská příručka viagps 3.0 Black edition Uživatelská příručka Obsah 1. Úvod..... 4 2. Navigace k cíli... 6 3. Navigace... 8 4. Náhled a editace trasy... 9 4.1. Jak změnit cíl cesty nebo přidat průjezdové body... 9 4.2.

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE + MP vazby 1. Obor přirozených čísel - používá čísla v oboru 0-20 k modelování reálných situací.- práce s manipulativy - počítá předměty v oboru 0-20, vytváří soubory

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

RELAČNÍ DATABÁZE ACCESS

RELAČNÍ DATABÁZE ACCESS RELAČNÍ DATABÁZE ACCESS 1. Úvod... 2 2. Základní pojmy... 3 3. Vytvoření databáze... 5 4. Základní objekty databáze... 6 5. Návrhové zobrazení tabulky... 7 6. Vytváření tabulek... 7 6.1. Vytvoření tabulky

Více

Obsah. Funkce grafu Zdrojová data pro graf Typ grafu Formátování prvků grafu Doporučení pro tvorbu grafů Zdroje

Obsah. Funkce grafu Zdrojová data pro graf Typ grafu Formátování prvků grafu Doporučení pro tvorbu grafů Zdroje Grafy v MS Excel Obsah Funkce grafu Zdrojová data pro graf Typ grafu Formátování prvků grafu Doporučení pro tvorbu grafů Zdroje Funkce grafu Je nejčastěji vizualizací při zpracování dat z různých statistik

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

V této příloze je podrobně popsána struktura XML dokumentu s mapou (viz kapitolu 5.3), příklad tohoto XML dokumentu je na přiloženém CD v souboru

V této příloze je podrobně popsána struktura XML dokumentu s mapou (viz kapitolu 5.3), příklad tohoto XML dokumentu je na přiloženém CD v souboru Příloha 1: Struktura XML dokumentu V této příloze je podrobně popsána struktura XML dokumentu s mapou (viz kapitolu 5.3), příklad tohoto XML dokumentu je na přiloženém CD v souboru /mapa/map.xml. Obsah

Více

Vývojové diagramy 1/7

Vývojové diagramy 1/7 Vývojové diagramy 1/7 2 Vývojové diagramy Vývojový diagram je symbolický algoritmický jazyk, který se používá pro názorné zobrazení algoritmu zpracování informací a případnou stručnou publikaci programů.

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

NADSTAVBOVÝ MODUL MOHSA V1

NADSTAVBOVÝ MODUL MOHSA V1 NADSTAVBOVÝ MODUL MOHSA V1 Nadstavbový modul pro hierarchické shlukování se jmenuje Mod_Sh_Hier (MOHSA V1) je součástí souboru Shluk_Hier.xls. Tento soubor je přístupný na http://jonasova.upce.cz, a je

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti 3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) 51 Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací oblast matematika a její aplikace v základním vzdělávání je založena především na aktivních činnostech, které jsou typické

Více

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10.

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10. 5.10. Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Seminář z matematiky Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět Seminář z

Více

3. Kmitočtové charakteristiky

3. Kmitočtové charakteristiky 3. Kmitočtové charakteristiky Po základním seznámení s programem ATP a jeho preprocesorem ATPDraw následuje využití jednotlivých prvků v jednoduchých obvodech. Jednotlivé příklady obvodů jsou uzpůsobeny

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Cíle lokalizace. Zjištění: 1. polohy a postavení robota (robot pose) 2. vzhledem k mapě 3. v daném prostředí

Cíle lokalizace. Zjištění: 1. polohy a postavení robota (robot pose) 2. vzhledem k mapě 3. v daném prostředí Cíle lokalizace Zjištění: 1. polohy a postavení robota (robot pose) 2. vzhledem k mapě 3. v daném prostředí 2 Jiný pohled Je to problém transformace souřadnic Mapa je globální souřadnicový systém nezávislý

Více

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM CÍLE KAPITOLY Využívat pokročilé možnosti formátování, jako je podmíněné formátování, používat vlastní formát čísel a umět pracovat s listy. Používat

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

Značení krystalografických rovin a směrů

Značení krystalografických rovin a směrů Značení krystalografických rovin a směrů (studijní text k předmětu SLO/ZNM1) Připravila: Hana Šebestová 1 Potřeba označování krystalografických rovin a směrů vyplývá z anizotropie (směrové závislosti)

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Projekt Obrázek strana 135

Projekt Obrázek strana 135 Projekt Obrázek strana 135 14. Projekt Obrázek 14.1. Základní popis, zadání úkolu Pracujeme na projektu Obrázek, který je ke stažení na http://java.vse.cz/. Po otevření v BlueJ vytvoříme instanci třídy

Více

Pravidla pro tvorbu ÚKM Jihočeského kraje

Pravidla pro tvorbu ÚKM Jihočeského kraje Pravidla pro tvorbu ÚKM Jihočeského kraje Pravidla pro tvorbu ÚKM Jihočeského kraje stanovují způsob tvorby ÚKM Jihočeského kraje a její aktualizace do doby než dojde ke zprovoznění RUIAN, poté přechází

Více

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Metoda oddělených elementů (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

MATEMATIKA. Doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc., Přírodovědecká fakulta MU Brno. Ing. Milan Hausner, ZŠ Lupáčova, Praha 3

MATEMATIKA. Doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc., Přírodovědecká fakulta MU Brno. Ing. Milan Hausner, ZŠ Lupáčova, Praha 3 MATEMATIKA Vypracovala skupina pro přípravu standardů z matematiky ve složení: Vedoucí: Koordinátor za VÚP: Členové: Doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc., Přírodovědecká fakulta MU Brno RNDr. Eva Zelendová, VÚP

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Dokumentace k semestrální práci z předmětu PT

Dokumentace k semestrální práci z předmětu PT Dokumentace k semestrální práci z předmětu PT Vypracovali: Eva Turnerová (A08B0176P) Martin Dlouhý (A08B0268P) Zadání Zadání: Firma Mistr Paleta, syn a vnuci rozváží palety po celé České republice. Počet

Více

ABSTRAKTNÍ DATOVÉ TYPY

ABSTRAKTNÍ DATOVÉ TYPY Jurdič Radim ABSTRAKTNÍ DATOVÉ TYPY Veškeré hodnoty, s nimiž v programech pracujeme, můžeme rozdělit do několika skupin zvaných datové typy. Každý datový typ představuje množinu hodnot, nad kterými můžeme

Více

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál)

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál) Skupinová práce. Zadání skupinové práce Síťová analýza metoda CPM Dáno: Výstavba skladu zásob obilí představuje následující činnosti: Tabulka Název činnosti Délka (dny) Optimální projekt. Optimální dělníků

Více

TEPLOTNÍHO POLE V MEZIKRUHOVÉM VERTIKÁLNÍM PRŮTOČNÉM KANÁLE OKOLO VYHŘÍVANÉ NEREZOVÉ TYČE

TEPLOTNÍHO POLE V MEZIKRUHOVÉM VERTIKÁLNÍM PRŮTOČNÉM KANÁLE OKOLO VYHŘÍVANÉ NEREZOVÉ TYČE TEPLOTNÍHO POLE V MEZIKRUHOVÉM VERTIKÁLNÍM PRŮTOČNÉM KANÁLE OKOLO VYHŘÍVANÉ NEREZOVÉ TYČE Autoři: Ing. David LÁVIČKA, Ph.D., Katedra eneegetických strojů a zařízení, Západočeská univerzita v Plzni, e-mail:

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

SolidWorks. Otevření skici. Mřížka. Režimy skicování. Režim klik-klik. Režim klik-táhnout. Skica

SolidWorks. Otevření skici. Mřížka. Režimy skicování. Režim klik-klik. Režim klik-táhnout. Skica SolidWorks Skica je základ pro vytvoření 3D modelu její složitost má umožňovat tvorbu dílu bez problémů díl vytvoříte jen z uzavřené skici s přesně napojenými entitami bez zdvojení Otevření skici vyberte

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

TÉMATICKÝ OKRUH TZD, DIS a TIS

TÉMATICKÝ OKRUH TZD, DIS a TIS TÉMATICKÝ OKRUH TZD, DIS a TIS Číslo otázky : 13. Otázka : Základní datové struktury (pole, zásobník, binární strom atd.), datové struktury vhodné pro fyzickou implementaci relačních dat v SŘBD (hašovací

Více