SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G."

Transkript

1 SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí v síťové analýze proekty (výstavba budov, slnc; výzkumné úkoly; plánování zavádění nformačního systému do podnku). Matematcký základ síťové analýzy e teore grafů. Základní pomy síťové analýzy Graf: Je dána konečná množna prvků Sednocením množn { u, u,..., u } { u, u } u,...,, u u n a množna některých dvoc u n nazýváme grafem G. u,. Uzly grafu: prvky u, =,,, n a zobrazueme e kroužky, pro zednodušení u, u označueme,. (Čísla, se vepsuí do kroužků.) Hrany grafu: dvoce u, u a zobrazueme e přímým nebo různě lomeným čaram, pro zednodušení u, u označueme (, ). Konečný graf má konečný počet uzlů a hran. Orentovaný graf e tvořen orentovaným hranam, kterým e přřazen určtý směr. Hranově (uzlově) ohodnocený graf e graf, ehož každé hraně (uzlu) e přřazeno alespoň edno číslo (mapa trasy dálkového podchodu, každé sponc mez ednotlvým stanovšt e přřazena eí délka). Cesta e posloupnost hran v orentovaném grafu, ve kterém každá hrana vychází z uzlu, v němž končí předcházeící. Pokud cesta začíná a končí ve steném uzlu, potom se edná o cyklus. Acyklcký graf neobsahue žádný cyklus. Souvslý graf e takový graf, pro který platí, že pro všechny dvoce eho uzlů exstue alespoň edna cesta, která e spoue. Multgraf e graf, ve kterém mez některou dvocí uzlů exstue více souhlasně orentovaných hran. Síť e konečný souvslý, orentovaný, acyklcký, hranově nebo uzlově ohodnocený graf, v němž exstue eden počáteční uzel (nevstupue do ně žádná hrana) a eden uzel koncový (žádná hrana z ně nevystupue). Příkladem sítě e telefonní síť, rozvod plynu, kanalzace, atd. Síťový dagram e síťový graf, ehož hrany sou ohodnoceny časovým úda.

2 Délka cesty v síťovém dagramu představue součet časových údaů přřazených hranám, které tvoří uvažovanou cestu. Grafcké modely proektů Proekty lze znázornt síťovým dagramem. Hrany představuí ednotlvé čnnost a uzly představuí začátky a konce ednotlvých čnností. Podmínky pro modelování a řízení proektu síťovým dagramem: ) pro každou čnnost e známá doba trvání ) pro každou čnnost e defnována čnnost předcházeící a čnnost následuící ) pokud e přhlíženo k ným krtérím optmalty, každá čnnost musí být ohodnocena příslušným ukazatel ) cíl proektu e splněn, pokud sou ve správném časovém sledu provedeny všechny čnnost Síťový graf musí být zakreslen co nepřehledně. Délka hran nemusí odpovídat době trvání na rozdíl od harmonogramu. Př sestavování grafu lze začít od počátečního uzlu (zvláště u známých proektů) nebo od konečného uzlu (především u doposud nerealzovaných proektů) nebo lze kombnovat oba způsoby. Uzly sou číslovány přrozeným čísly, počáteční uzel má nžší číslo než koncový. Hrany maí buď kladné ohodnocení (u skutečných čnností) nebo nulové ohodnocení (u fktvních čnností). Fktvní čnnost slouží k vyádření návaznost skutečných čnností nebo k zamezení vznku multgrafu. Příklad : V závodě se má provést rekonstrukce výrobní lnky, spoená s výměnou výrobního zařízení, stavebním úpravam, generální opravou elektronstalace a zlepšením pracovního prostředí. Proekt byl rozložen na dílčí čnnost, které sou spolu s předpokládanou dobou ech trvání (v týdnech) uvedeny v tabulce. Řešení: Čnnost Pops čnnost Doba trvání a Demontáž starého zařízení b Oprava střechy výrobní haly c Oprava podlahy d Vntřní stavební úpravy e Generální oprava elektronstalace f Montáž nového výrobního zařízení g Montáž klmatzačního zařízení h Zkušební provoz Dokončení vntřních stavebních úprav Rozborem souvslostí mez dílčím čnnostm bylo zštěno, že demontáž starého zařízení a oprava střechy mohou probíhat nezávsle vedle sebe. Vntřní stavební úpravy lze provádět po skončení opravy střechy a podlahy, přčemž opravu podlahy lze provést až po demontáž. Generální oprava elektronstalace může být provedena po dokončení vntřních stavebních úprav. Montáž nového výrobního a klmatzačního zařízení lze provádět současně, ale musí být skončena generální oprava elektronstalace. Zkušební provoz může být zaháen po skončení montáže výrobního zařízení a dokončovací úpravy mohou probíhat nezávsle na zkušebním provozu, akmle byla provedena montáž klmatzačního zařízení.

3 Čnnost a b c d e f g h Předchozí čnnost - - a b,c d e e f g a b c d e f h g 7 U tohoto příkladu není fktvní čnnost nutná, avšak eím zavedením se doba trvání proektu nak neovlvní. Časová analýza determnstckých proektů V determnstckých proektech e doba trvání každé čnnost ednoznačně určena. Cílem časové analýzy proektů e stanovení krtcké cesty, eíž délka určue dobu trvání celého proektu. Čnnost, které tvoří krtckou cestu, sou čnnost krtcké (na ech průběhu závsí termín dokončení proektu) V síťovém dagramu z našeho příkladu exstuí mez počátečním uzlem a koncovým uzlem 9 celkem čtyř cesty. Cesta Délka (týdny) 7 7 Z tabulky vyplývá, že rekonstrukc lze nedříve sthnout za týdnů, přčemž pro dodržení této doby sou rozhoduící průběhy čnností a, c, d, e, f, h. Krtcká cesta e vyznačena tlustou červenou čarou a eí součástí e fktvní čnnost. Pro rozsáhlé proekty není tento postup vhodný. Nerozšířeněší metodou pro stanovení krtcké cesty u determnstckých proektů e metoda CPM. Metoda CPM Symboly používané př metodě CPM: t doba trvání čnnost (, ) ( ) t nedříve možný začátek čnnost (, )

4 t = t + t nedříve možný konec čnnost (, ) () t nepozdě přípustný konec čnnost (, ) t ( t nepozdě přípustný začátek čnností (, ) ) = t () nedříve možný čas uzlu ; nedříve možný začátek čnností vystupuících z tohoto uzlu () nepozdě přípustný čas uzlu ; nepozdě přípustný konec čnností vstupuících do tohoto uzlu () R = časová rezerva uzlu Krtckou cestu metodou CPM lze provést v síťovém grafu, pomocí ncdenční matce nebo v lneárním dagramu. Výpočet v síťovém grafu Pro usnadnění výpočtu s ednotlvé uzly grafcky upravíme a zavedeme symbolku následuícím způsobem. t t t Síťový dagram proektu rekonstrukce výrobní lnky Výpočet krtcké cesty pomocí ncdenční matce ermíny potřebné pro stanovení krtcké cesty metodou CPM lze výhodně počítat v tabulce, eíž hlavní obsah tvoří prvky ncdenční matce. Prvky ncdenční matce představuí dobu trvání ednotlvých čnností, přčemž doba trvání (, ) e umístěna v průsečíku -tého řádku a

5 -tého sloupce. Nad tabulku a před tabulku se nadepíší čísla všech uzlů, před tabulku eště přpoíme sloupec nadepsaný (nedříve možný čas uzlu ). Pod tabulku přdáme eště dva () () řádky nadepsané a pro. = \ 7 () () 7 Postup př metodě CPM ) stanovení termínů Postupueme směrem od počátku proektu k eho konc, přčemž nedříve možný počátek proektu volíme rovný nule ( = ). V prvním řádku tabulky, kde =, sčítáme neprve s délkou trvání čnnost (,) a výsledek zapíšeme do průsečíku prvního řádku a druhého sloupce (do pravého horního rohu tohoto políčka). Získáme tak nedříve možný konec čnnost (,). Konkrétně + =, nedříve možný konec čnnost (,) e týdnů. Steně postupueme pro čnnost (,). Z uzlu už né čnnost nevychází. t Nyní musíme určt nedříve možný čas uzlu ( ). Podíváme se do sloupečku pod uzel. V našem příkladu e v tomto sloupc edné vyplněné políčko s nedříve možným koncem, toto číslo v pravém horním rohu dáme do rámečku a zapíšeme do tabulky, že =. Pokud by ve sloupečku bylo více vyplněných políček, vybrala by se čnnost s pozděším nedříve možným koncem a tento nedříve možný konec by se označl rámečkem(vz sloupeček pod uzlem ). akto se pokračue až do vypočítání nedříve možného času posledního uzlu (v našem příkladu ). ) stanovení termínů () Postupueme od konce proektu k eho začátku. Pokud není dána doba trvání celého proektu, eho nepozdě přípustný konec ztotožníme s eho nedříve možným koncem () ( ) ( ) ( = ; = ).Ve sloupečku pod uzlem sou dvě vyplněná pole, v obou počítáme rozdíl ( ) a doby trvání čnnost.ím získáme nepozdě přípustné začátky () () ( ) konkrétní čnnost. Např. pro čnnost (7,) e nepozdě přípustný začátek = 7 t () ( t7 ; - = 7). Číslo zapíšeme vždy do levého dolního rohu příslušného políčka (v případě čnnost (7,) do průsečíku 7. řádku a. sloupce).nyní e třeba určt nepozdě () přípustný čas uzlu 7 ( 7 ). V řádku pro uzel 7 se podíváme na vyplněná pole. Pokud e zde enom edno vyplněné pole, číslo představuící nepozdě přípustný začátek (zde 7) dáme opět do rámečku a hodnotu napíšeme do předposledního řádku tabulky pod t 7

6 sloupec 7. Je-l v příslušném řádku více vyplněných políček, vybíráme políčko s nžší hodnotou nepozdě přípustného začátku, tu označíme rámečkem a zapíšeme do příslušného políčka (vz řádek náležící k uzlu ). ímto způsobem se pokračue až do () vypočítání () ) stanovení rozdílů pro = (časová rezerva příslušného uzlu) Pro každý uzel spočítáme eho časovou rezervu. Uzly, u kterých e tato rezerva nulová, leží na krtcké cestě. (V našem příkladu kromě uzlu 7 všechny.) Krtcká cesta se pozná z tabulky podle zarámovaných čísel. Políčka (čnnost), kde sou zarámovaná čísla v pravém horním rohu v levém dolním rohu, leží na krtcké cestě. \ () 7 () Výpočet krtcké cesty v lneárním dagramu (cnnost) (7,) (,) (,7) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (doba trvan) Časové rezervy čnností Pomocí termínů rezervy. ( ) ( ) ( ) ( ),,,, t můžeme pro každou čnnost (, ) určt čtyř časové

7 CR = () ( ) t Celková časová rezerva Celková časová rezerva určue počet časových ednotek, o který e možné dobu trvání čnnost prodloužt nebo eí nedříve možný začátek oddált, anž se tím ovlvní termín ukončení celého proektu. K čerpání CR může doít tehdy, když všechny předchozí čnnost byly ukončeny v nedříve možném konc a všechny následuící čnnost budou zaháeny v nepozdě přípustném začátku. Po vyčerpání celkové rezervy se z nekrtcké čnnost stane krtcká čnnost. Příklad : vz tabulka pro výpočet krtcké cesty. Rezervu určueme např. pro čnnost (,). () ( ) CR = t CR = = ( ) ( ) ( ) () R R t CR Volná časová rezerva vznká tehdy, když do uzlu vstupue eště kromě čnnost (, ) eště další čnnost s pozděším nedříve možným koncem (vz. přednáška čnnost (,) a čnnost VR = ( ) ( ) t (,)). Volná časová rezerva udává počet časových ednotek, o který lze dobu trvání čnnost prodloužt nebo eí nedříve možný začátek oddált, anž se tím ovlvní nedříve možné začátky následuících čnností. K čerpání volných časových rezerv může doít, pokud všechny předchozí čnnost byly ukončeny v nedříve možných koncích. Pokud vyčerpáme tuto časovou rezervu u čnnost, eíž koncový uzel leží na krtcké cestě, stane se z této čnnost čnnost krtcká. ( ) ( ) VR = t = = ( ) ( ) ( ) () t VR

8 t NR ZR Závslá časová rezerva vznká tehdy, pokud z uzlu vystupuí kromě čnnost (, ) eště ZR = () () né čnnost, a to s dřívěším nepozdě přípustným začátky. t ZR = = Závslá časová rezerva udává počet časových ednotek, o který můžeme dobu trvání dané čnnost prodloužt nebo eí začátek oddált oprot nepozdě přípustnému konc bezprostředně předcházeící čnnost, anž by se změnly nepozdě přípustné začátky následuících čnností. Pokud vyčerpáme závslou rezervu u čnnost, eíž počáteční uzel leží na krtcké cestě, stane se z této čnnost krtcká čnnost. ( ) () ( ) () t ZR Nezávslá časová rezerva pokud uzel e počátečním uzlem více čnností a uzel e ( ) ( ) koncový uzel více čnností, přčemž termíny byly vypočítány nezávsle na čnnost (, ) NR = max(; ( ) ( ) t ), NR = max(; ) = Nezávslá rezerva udává počet časových ednotek, o který můžeme trvání dané čnnost prodloužt nebo eí nedříve možný začátek oddált, když všechny předchozí čnnost byly zakončeny v nepozdě přípustných koncích a všechny následuící čnnost budou zaháeny v nedříve možných začátcích. Vyčerpáme-l NR u čnnost, eíž počáteční koncový uzel leží na krtcké cestě, stane se z této čnnost čnnost krtcká.. ( ) () ( ) () t NR Grafcké znázornění všech časových rezerv. R R t CR VR

9 Časová analýza stochastckých proektů Doba trvání ednotlvých čnností není určena ednoznačně. Pro řešení stochastckých proektů e nerozšířeněší metoda PER. PER Je to modfkace metody CPM, kdy ednoznačně určené termíny sou nahrazeny středním hodnotam náhodných velčn. Pro každou čnnost se předpokládá znalost tří odhadů doby eího trvání, a to : )optmstcký odhad a představue nekratší dobu, za kterou e možno danou čnnost provést za nelepších podmínek )pesmstcký odhad b představue nedelší dobu trvání čnnost za nenepříznvěších podmínek )nepravděpodobněší odhad m představue dobu trvání čnnost za normálních podmínek Pokud zvolíme v ntervalu a, b dskrétní doby trvání dané čnnost a zkoumáme-l pravděpodobnost, s akou těchto hodnot nabývá, získáme určté rozdělení pravděpodobnost. Z teoretckých rozdělení toto rozdělení nelépe vysthue tzv. β rozdělení (ednovrcholové, spoté, má konečné rozpětí a může být lbovolně asymetrcké). Jestlže předpokládáme, že doba trvání čnností ve stochastckých proektech má β rozdělení a že sou dány tř odhadnuté doby trvání, střední hodnota a rozptyl doby trvání čnnost (,) se vypočte podle následuících vzorců: a + m + b t = σ ( t ) b = a Výpočet provedeme na příkladu. V tabulce sou uvedeny tř odhady doby trvání každé čnnost. a b c d e f h g 7

10 Čnnost Pops čnnost Doba trvání a Demontáž starého zařízení,, b Oprava střechy výrobní haly,, 7 c Oprava podlahy,, d Vntřní stavební úpravy,, e Generální oprava elektronstalace 7,, f Montáž nového výrobního zařízení,, g Montáž klmatzačního zařízení,, h Zkušební provoz,, Dokončení vntřních stavebních úprav,, (, ) a m b t σ a(,) 7,,9 b(,) 7,, c(,),, d(,),, e(,) 7,7, f(,),, g(,7),, h(,),7, (7,),, Pomocí střední hodnoty trvání všech čnností stanovíme př metodě PER krtckou cestu podobně ako u metody CPM. Lze to provést v tabulce obsahuící ncdenční matc daného síťového dagramu. Každý časový úda e zde zdvoen. První úda vyadřue střední hodnotu a druhý úda rozptyl. Část tabulky s výpočtem krtcké cesty př metodě PER e na následuícím obrázku. σ ( ) 7,,9,,,,7,,9,, 9,,7 / 7 7, 7,,9 7,,9,,,,,,,,,7,,,,,,,

11 ,, 7,, () 7,,,,, 7,, (),,7,,,,, σ ( ) () - 7,7 () σ ( ) + ( ),,,,,,,, σ Krtckou cestu lze u ednodušších proektů určt procházením síťového dagramu všem způsoby. V našem případě exstuí čtyř způsoby. Přesné časové údae ednotlvých nahrazueme středním hodnotam. Pro každou možnou cestu určíme dobu trvání celého proektu, a to součtem středních hodnot ednotlvých čnností ležících na dané cestě. Kromě středních hodnot sčítáme příslušné rozptyly. Náš proekt má střední hodnotu doby trvání, týdnů a rozptyl,. Pravděpodobnostní výpočty Pravděpodobnostní výpočty provádíme za předpokladu, že zkoumané termíny sou nezávslé náhodné velčny s normálním rozdělením. ento předpoklad e splněn zpravdla u proektů s velkým počtem čnností. Zdůvodntelný e zeména u doby trvání celého proektu. Podle centrální lmtní věty platí, že rozdělení náhodné velčny, která e součtem velkého počtu nezávslých shodně rozdělených náhodných velčn t, se blíží normálnímu rozdělení N ( ;σ ( )). Výpočet pravděpodobnost dodržení plánovaného termínu ato pravděpodobnost se určí pomocí hodnot dstrbuční funkce Φ x normovaného normálního rozdělení N(;). Neprve se musí náhodná velčna normovanou proměnnou ( ) n ( ) transformovat na U ( ) ) n n = ( ). σ ( ) n ( Potom ( ) pl n P n pl = Φ σ ( n ) Pokud e plánovaný konec dřívěší než střední hodnota doby trvání proektu ( < ), Φ( x) () ( ) pl n argument funkce ve vzorc () e záporný. Hodnotu dstrbuční funkce normovaného normálního rozdělení počítáme podle vztahu Φ( u ) = Φ( u), u >. Pravděpodobnost dodržení tohoto termínu bude menší než %. Pokud e plánovaný konec shodný se střední hodnotou doby trvání proektu ( = ), pravděpodobnost dodržení termínu bude %. ( ) pl n Pokud e plánovaný konec pozděší než střední hodnota doby trvání proektu ( > ), pravděpodobnost dodržení termínu e větší než %. ( ) pl n

12 Příklad : Střední hodnota doby trvání proektu e, týdnů s rozptylem,. S akou pravděpodobností bude proekt ukončen nepozdě v čase týdnů? ( ), ( ) P 9 = Φ = Φ(,9 ) =, 9, V tabulce dstrbuční funkce normovaného normálního rozdělení k příslušnému argumentu nademe pravděpodobnost. Proekt bude ukončen nepozdě ve týdnu s pravděpodobností,9%. Příklad : Střední hodnota doby trvání proektu e, týdnů s rozptylem,. S akou pravděpodobností bude proekt ukončen nepozdě v čase 9 týdnů? ( ) 9, ( 9) P 9 = Φ (,7 ) = Φ = Φ(,7) =,7 =,, Proekt bude ukončen nepozdě ve 9 týdnu s pravděpodobností,%. Určení doby trvání proektu př zvolené míře rzka uto dobu lze stanovt rovněž s využtím tabulek funkce Φ ( x). Je-l velkost rzka r v procentech, v tabulce dstrbuční funkce normovaného normálního rozdělení nademe argument t, pro který funkce Φ() t nabývá hodnoty,r. Odpovídaící dobu trvání proektu zstíme ze vztahu : t =, σ ( ) ze kterého vyádříme dobu trvání proektu : = + tσ ( ). () Příklad : Střední hodnota doby trvání proektu e, týdnů s rozptylem,. Určete dobu realzace proektu, která bude dodržena s rzkem %. tprocentnímu rzku odpovídá tprocentní pravděpodobnost. Pro tuto pravděpodobnost zstíme argument dstrbuční funkce t =,. Po dosazení do vzorce () zstíme požadovanou dobu =, +,, =,. S t procentní pravděpodobností můžeme očekávat, že proekt skončí dříve než v čase, týdne. Smulace Smulace e proces, během něhož počítač napodobue reálné stuace. Neznámý parametr se nevypočte žádným vzorc, nýbrž napodobováním běhu reálného systému na počítač. Smulace se věnue systémům pravděpodobnostním a dynamckým, neboť právě ty sou pro analytcké řešení složté. S modelem se provádí experment, nastavuí se různé parametry modelu a zšťue se eho chování. V smulačním modelu de o statstcký experment. Výsledek matematckého modelu e přesný, výsledkem smulačního modelu e odhad. Bez výpočetní technky by nebylo možné rozsáhlé výpočty realzovat.

13 Časově - nákladová analýza proektu Metoda CPM a PER přhlíží pouze k časovým vztahům v proektech, přčemž optmální časový rozvrh čnností nemusí být vždy hospodárný. Základním krtérem efektvnost proektu sou zpravdla náklady spoené s eho realzací a ty úzce souvseí s dobou trvání. Náklady Náklady nepřímé souvsí s realzací proekt ako celku (režní náklady, ztráty vznklé pozdním dokončením proektu). Jsou rostoucí funkcí doby trvání proektu (my budeme předpokládat lneární závslost). Náklady přímé souvseí s ednotlvým čnnostm (materál, mzdy). Součtem přímých nákladů na ednotlvé čnnost získáme přímé náklady na celý proekt. Přímé náklady na realzac čnnost (, ) v čase t označíme c. Budeme předpokládat opět lneární závslost na době trvání (v tomto případě funkce nerostoucí se zkrácením doby trvání rostou náklady). var nákladové funkce odvodíme podle těchto pomů: D normální doba trvání čnnost (, ), které odpovídaí mnmální náklady c (D) d kraní doba trvání čnnost (, ) př maxmálně ntenzvním režmu s vysokým náklady c (d). c c (d) K c (D) N d D t Přímka KN aproxmue graf závslost přímých nákladů na době trvání příslušné čnnost. Rovnce této přímky e : c = b a t, kde b = a d + c ( d), a c ( d) c ( D) = D d Pro proekt lze úhrnné náklady vyádřt takto: C = ( b a t ) P (, ) P Koefcent a představue nákladový spád mez dvocí bodů odpovídaících normálnímu a maxmálně ntenzvnímu režmu (v opačném směru de o nákladový růst).

14 Mnmalzace přímých nákladů př dané době trvání proektu Pro přímé náklady spoené s realzací celého proektu v čase platí: c ( D) C c ( d) P (, ) P (, ) P Př zachování doby trvání proektu lze tyto náklady snížt prodloužením doby trvání nekrtckých čnností až do dosažení ech normální doby trvání a až do vyčerpání ech časových rezerv (zpravdla volných). Příklad : (,) t d D c (d) c (D) a VR c (,) (,) 7 (,) (,) (,) 7 7 (,) S realzací daného proektu sou spoeny přímé náklady ve výš 7 nákladových ednotek (NJ). yto náklady lze snížt u nekrtcké čnnost (,) o dvě časové ednotky. Náklady klesnou o NJ, tedy 7 =. Prodlužueme dobu trvání nekrtckých čnností maxmálně o dobu Δt = mn( VR ; D t ) a přednostně prodlužueme čnnost s velkým a. (Na konc této přednášky e spočítaná krtcká cesta metodou CPM a všechny rezervy pro nekrtcké čnnost.) Stanovení optmální doby trvání proektu Z hledska efektvnost e optmální doba trvání charakterzovaná mnmálním celkovým náklady, které sou součtem přímých a nepřímých nákladů. Jak ž bylo uvedeno, přímé náklady se př zkracování doby trvání čnnost zvyšuí a nepřímé náklady se snžuí. Př optmální době trvání proektu sou celkové náklady nenžší.

15 celkové náklady nepřímé náklady přímé náklady opt. ato doba se nalezne tak, že se zkracuí doby trvání čnností ležících na krtcké cestě (neprve u čnnost s nenžším koefcentem nákladového růstu). Krtcké čnnost se zkracuí vždy do dosažení kraní doby trvání. Př takovémto zkracování může doít ke vznku další krtcké cesty, kterou e nutné potom také sledovat. Výpočet s budeme lustrovat na příkladu. Předpokládáme, že všechny čnnost maí normální dobu trvání. (,) t c NN PN CN=PN+NN (,) (,) (,) (,) 9 9 (,) Vznkne další krtcká cesta --, kterou e nutné brát rovněž v úvahu. Časově zdroová analýza proektu S realzací proektu e vždy spoeno čerpání zdroů (práce, materál, fnance, atd.). V řízeném proektu e snaha čerpání zdroů rovnoměrně rozložt na celou dobu trvání proektu. V některých případech př vznku kapactních špček vznkne nedostatek zdroe (eho potřeba převyšue eho dsponblní množství). Součtová čára (dagram potřeby zdroů) grafcky vyadřue úhrnné nároky na zdroe v každém okamžku trvání proektu za předpokladu, že každá čnnost začne ve svém nedříve možném začátku. Součtová čára mění svů průběh v okamžku, kdy začíná nebo končí něaká čnnost.

16 čnnost (,) (,) (,) (,) (,) (,) čas 7 9 Čas.nterval Potřeba zdroe Součtová čára úhrnné zdroe 7 7 9

17 7 7 9 V časovém ntervalu, lze zvýšený nárok na zdroe odstrant tak, že využeme eí volnou časovou rezervu a zaháíme tuto čnnost až v čase (místo původního začátku v čase ), který e eím nepozdě přípustným začátkem. Př posouvání začátků čnností se neprve čerpaí nezávslé rezervy, pak volné a nakonec celkové.v některých případech prodlužueme dobu trvání nekrtckých čnností, čímž se také sníží potřeba zdroe na tuto čnnost v průběhu času. Mnmalzace doby trvání proektu př omezených zdroích Pomocí součtové čáry lze zstt časový nterval, ve kterém e nárok na zdro větší než eho dsponblní množství. Pokud se nepodaří toto snížt s využtím časových rezerv nekrtckých čnností, úpravy časového průběhu se proeví prodloužením doby trvání. Metody pro zštění mnmální doby trvání proektu sou ednak exaktní (úloha LP), ednak heurstcké. Výhodná e kombnace obou způsobů. Je možné rozdělt zdroe mez více proektů (pracovník e zařazen do více proektů) a tím e usnadněno rovnoměrné rozložení zdroů. ímto se zabývá multproektové plánování. Poznámka: Výpočet krtcké cesty a rezerv k příkladu, na kterém byla ukázána a) mnmalzace přímých nákladů př dané době trvání proektu b) stanovení optmální doby trvání proektu \ () () čnnost CR VR ZR NR (,) (,) (,) (,)

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY . přednáška EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY Ekonomcko matematcké metody (též se užívá název operační analýza) sou metody s matematckým základem, využívané především v ekonomcké oblast, v oblast řízení a

Více

Vícekriteriální rozhodování. Typy kritérií

Vícekriteriální rozhodování. Typy kritérií Vícekrterální rozhodování Zabývá se hodnocením varant podle několka krtérí, přčemž varanta hodnocená podle ednoho krtéra zpravdla nebývá nelépe hodnocená podle krtéra ného. Metody vícekrterálního rozhodování

Více

Metody vícekriteriálního hodnocení variant a jejich využití při výběru produktu finanční instituce

Metody vícekriteriálního hodnocení variant a jejich využití při výběru produktu finanční instituce . meznárodní konference Řízení a modelování fnančních rzk Ostrava VŠB-TU Ostrava, Ekonomcká fakulta, katedra Fnancí 8. - 9. září 200 Metody vícekrterálního hodnocení varant a ech využtí př výběru produktu

Více

1. Nejkratší cesta v grafu

1. Nejkratší cesta v grafu 08. Nekratší cesty. Úloha obchodního cestuícího. Heurstky a aproxmační algortmy. Metoda dynamckého programování. Problém batohu. Pseudopolynomální algortmy 1. Nekratší cesta v grafu - sled e lbovolná posloupnost

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regulární systém hustot Vychází se z: -,, P - pravděpodobnostní prostor -, R neprázdná množna parametrů - X X 1,, náhodný vektor s sdruženou hustotou X n nebo s sdruženou pravděpodobnostní

Více

ČASOVÁ KOORDINACE SPOJŮ VEŘEJNÉ HROMADNÉ DOPRAVY NA ÚSECÍCH DOPRAVNÍ SÍTĚ

ČASOVÁ KOORDINACE SPOJŮ VEŘEJNÉ HROMADNÉ DOPRAVY NA ÚSECÍCH DOPRAVNÍ SÍTĚ ČASOVÁ KOORDINACE SPOJŮ VEŘEJNÉ HROMADNÉ DOPRAVY NA ÚSECÍCH DOPRAVNÍ SÍTĚ THE TIME COORDINATION OF PUBLIC MASS TRANSPORT ON SECTIONS OF THE TRANSPORT NETWORK Petr Kozel 1 Anotace: Předložený příspěvek

Více

MANAŽERSKÉ ROZHODOVÁNÍ

MANAŽERSKÉ ROZHODOVÁNÍ MANAŽERSKÉ ROZHODOVÁNÍ Téma 14 POSUZOVÁNÍ A HODNOCENÍ VARIANT doc. Ing. Monka MOTYČKOVÁ (Grasseová), Ph.D. Unverzta obrany Fakulta ekonomka a managementu Katedra voenského managementu a taktky Kouncova

Více

ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB. Vladimír Hanta 1, Ivan Gros 2

ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB. Vladimír Hanta 1, Ivan Gros 2 ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB Vladmír Hanta 1 Ivan Gros 2 Vysoká škola chemcko-technologcká Praha 1 Ústav počítačové a řídcí technky 2 Ústav

Více

APLIKACE MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI NÁVRHU STRUKTURY DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU

APLIKACE MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI NÁVRHU STRUKTURY DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU APLIKACE MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI NÁVRHU STRUKTURY DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU APPLICATION OF MATHEMATICAL PROGRAMMING IN DESIGNING THE STRUCTURE OF THE DISTRIBUTION SYSTEM Martn Ivan 1 Anotace: Prezentovaný

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

MODELOVÁNÍ A SIMULACE

MODELOVÁNÍ A SIMULACE MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 10. Rozhodování při jistotě, riziku a neurčitosti

Teorie her a ekonomické rozhodování. 10. Rozhodování při jistotě, riziku a neurčitosti Teore her a ekonomcké rozhodování 10. Rozhodování př stotě, rzku a neurčtost 10.1 Jednokrterální dskrétní model Jednokrterální model rozhodování: f a ) max a Aa, a,..., a ( 1 2 f krterální funkce (zsk,

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Dopravní plánování a modelování (11 DOPM )

Dopravní plánování a modelování (11 DOPM ) Department of Appled Mathematcs Faculty of ransportaton Scences Czech echncal Unversty n Prague Dopravní plánování a modelování (11 DOPM ) Lekce 5: FSM: rp dstrbuton Prof. Ing. Ondře Přbyl, Ph.D. Ing.

Více

Řízení projektů. Konstrukce síťového grafu pro řízení projektů Metoda CPM Metoda PERT

Řízení projektů. Konstrukce síťového grafu pro řízení projektů Metoda CPM Metoda PERT Řízení projektů Konstrukce síťového grafu pro řízení projektů Metoda CPM Metoda PERT 1 Úvod základní pojmy Projekt souhrn činností, které musí být všechny realizovány, aby byl projekt dokončen Činnost

Více

ANALÝZA ROZPTYLU (Analysis of Variance ANOVA)

ANALÝZA ROZPTYLU (Analysis of Variance ANOVA) NLÝZ OZPYLU (nalyss of Varance NOV) Používá se buď ako samostatná technka, nebo ako postup, umožňuící analýzu zdroů varablty v lneární regres. Př. použtí: k porovnání středních hodnot (průměrů) více než

Více

SIMULACE A ŘÍZENÍ PNEUMATICKÉHO SERVOPOHONU POMOCÍ PROGRAMU MATLAB SIMULINK. Petr NOSKIEVIČ Petr JÁNIŠ

SIMULACE A ŘÍZENÍ PNEUMATICKÉHO SERVOPOHONU POMOCÍ PROGRAMU MATLAB SIMULINK. Petr NOSKIEVIČ Petr JÁNIŠ bstrakt SIMULCE ŘÍZENÍ PNEUMTICKÉHO SERVOPOHONU POMOCÍ PROGRMU MTL SIMULINK Petr NOSKIEVIČ Petr JÁNIŠ Katedra automatzační technky a řízení Fakulta stroní VŠ-TU Ostrava Příspěvek popsue sestavení matematckého

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska

Více

Agregace vzájemné spojování destabilizovaných částic ve větší celky, případně jejich adheze na povrchu jiných materiálů

Agregace vzájemné spojování destabilizovaných částic ve větší celky, případně jejich adheze na povrchu jiných materiálů Agregace - úvod 1 Agregace vzáemné spoování destablzovaných částc ve větší cely, případně ech adheze na povrchu ných materálů Částce mohou agregovat, poud vyazuí adhezní schopnost a poud e umožněno ech

Více

2. Posouzení efektivnosti investice do malé vtrné elektrárny

2. Posouzení efektivnosti investice do malé vtrné elektrárny 2. Posouzení efektvnost nvestce do malé vtrné elektrárny Cíle úlohy: Posoudt ekonomckou výhodnost proektu malé vtrné elektrárny pomocí základních metod hodnocení efektvnost nvestních proekt ako sou metoda

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

{ } SYNTÉZA TABULEK PŘECHODŮ 1. NEALGEBRAICKÉ METODY

{ } SYNTÉZA TABULEK PŘECHODŮ 1. NEALGEBRAICKÉ METODY SNTÉZA TABULEK PŘECHODŮ. NEALGEBRAICKÉ METOD a) GINSBURGOVA METODA Využívá tzv. korespondencí mez vstupním a výstupním slovem př dané vstupní a výstupní abecedě. Jnak řečeno, vyhodnocuí se ednotlvé odezvy

Více

1. Úvod. Cílem teorie her je popsat situaci, která nás zajímá, jako hru. Klasickým případem

1. Úvod. Cílem teorie her je popsat situaci, která nás zajímá, jako hru. Klasickým případem Kvaternon 2/204, 79 98 79 MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ JAROSLAV HRDINA a PETR VAŠÍK Abstrakt. Následuící text pokrývá eden z cyklů přednášek předmětu Aplkovaná algebra pro nženýry (0AA) na FSI VUT. Text

Více

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku Využtí logstcké regrese pro hodnocení omaku Vladmír Bazík Úvod Jedním z prmárních proevů textlí e omak. Jedná se o poct který vyvolá textle př kontaktu s pokožkou. Je to ntegrální psychofyzkální vlastnost

Více

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 SIMULACE numercké řešení dferencálních rovnc smulační program dentfkace modelu Numercké řešení obyčejných dferencálních rovnc krokové metody pro řešení lneárních dferencálních rovnc 1.řádu s počátečním

Více

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese cvčící 9. cvčení 4ST01 Obsah: Jednoduchá lneární regrese Vícenásobná lneární regrese Korelační analýza Vysoká škola ekonomcká 1 Jednoduchá lneární regrese Regresní analýza je statstcká metoda pro modelování

Více

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze

Více

u (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo

u (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo Metoda sítí základní schémata h... krok sítě ve směru x, tj. h = x x q... krok sítě ve směru y, tj. q = y j y j τ... krok ve směru t, tj. τ = j... hodnota přblžného řešení v uzlu (x,y j ) (Possonova rovnce)

Více

Časové rezervy. Celková rezerva činnosti

Časové rezervy. Celková rezerva činnosti Časové rezervy Celková rezerva činnosti CR Volná rezerva činnosti VR Nezávislá rezerva činnosti - NR Celková rezerva činnosti Maximální počet časových jednotek, které jsou k dispozici pro provedení činnosti,

Více

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y 4 Lneární regrese 4 LINEÁRNÍ REGRESE RYCHLÝ NÁHLED DO KAPITOLY Častokrát potřebujete zjstt nejen, jestl jsou dvě nebo více proměnných na sobě závslé, ale také jakým vztahem se tato závslost dá popsat.

Více

Cvičení 13 Vícekriteriální hodnocení variant a vícekriteriální programování

Cvičení 13 Vícekriteriální hodnocení variant a vícekriteriální programování Cvčení 3 Vícekrterální hodnocení varant a vícekrterální programování Vícekrterální rozhodování ) vícekrterální hodnocení varant konkrétní výčet, seznam varant ) vícekrterální programování varanty ve formě

Více

Softwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení

Softwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení Softwarová podpora matematckých metod v ekonomce a řízení Petr Sed a Opava 2013 Hrazeno z prostředků proektu OPVK CZ.1.07/2.2.00/15.0174 Inovace bakalářských studních oborů se zaměřením na spoluprác s

Více

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší

Více

SW aplikace MOV přednášky

SW aplikace MOV přednášky SW aplace MOV Šubrt KOSA Systémová podpora proetů Teore grafů Proetové řízení I, II zápočet: alespoň bodů z průběžných testů 75% účast na cvčení obhaoba proetů v MS Proect pef.czu.cz/osa Témata. :. seznámení

Více

PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO

PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO MAPOVÁNÍ WEBOVÝCH STRÁNEK ŘIMNÁČ MARTIN 1, ŠUSTA RICHARD 2, ŽIVNŮSTKA JIŘÍ 3 Katedra řídcí technky, ČVUT-FEL, Techncká 2, Praha 6, tel. +42 224 357 359, fax. +

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Kristýna Slabá, kslaba@students.zcu.cz. 1. července 2010

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Kristýna Slabá, kslaba@students.zcu.cz. 1. července 2010 SÍŤOVÁ ANALÝZA Kristýna Slabá, kslaba@students.zcu.cz 1. července 2010 Obsah 1 Úvod do síťové analýzy Hlavní metody síťové analýzy a jejich charakteristika Metoda CPM Metoda PERT Nákladová analýza Metoda

Více

POUŽITÍ METODY PERT PŘI ŘÍZENÍ PROJEKTŮ

POUŽITÍ METODY PERT PŘI ŘÍZENÍ PROJEKTŮ 5. Odborná konference doktorského studa s meznárodní účastí Brno 003 POUŽITÍ METODY PERT PŘI ŘÍZEÍ PROJEKTŮ A USAGE OF PERT METHOD I PROJECT MAAGEMET Vladslav Grycz 1 Abstract PERT Method and Graph theory

Více

4EK212 Kvantitativní management. 7.Řízení projektů

4EK212 Kvantitativní management. 7.Řízení projektů 4EK212 Kvantitativní management 7.Řízení projektů 6.5 Řízení projektů Typická aplikace teorie grafů Projekt = soubor činností Příklady: Vývoj a uvedení nového výrobku Výstavba či rekonstrukce objektu Plán

Více

Operační výzkum. Síťová analýza. Metoda CPM.

Operační výzkum. Síťová analýza. Metoda CPM. Operační výzkum Síťová analýza. Metoda CPM. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

2. Definice pravděpodobnosti

2. Definice pravděpodobnosti 2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se

Více

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY 4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení

Více

4EK311 Operační výzkum. 6. Řízení projektů

4EK311 Operační výzkum. 6. Řízení projektů 4EK311 Operační výzkum 6. Řízení projektů 6. Řízení projektů Typická aplikace teorie grafů Projekt = soubor činností Příklady: Vývoj a uvedení nového výrobku Výstavba či rekonstrukce objektu Plán výrobního

Více

3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina

3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina 3 VBRANÉ MODEL NÁHODNÝCH VELIČIN 3. Náhodná velčna Tato kaptola uvádí stručný pops vybraných pravděpodobnostních modelů spojtých náhodných velčn s důrazem na jejch uplatnění př rozboru spolehlvost stavebních

Více

Simulační metody hromadné obsluhy

Simulační metody hromadné obsluhy Smulační metody hromadné osluhy Systém m a model vstupy S výstupy Systém Část prostředí, kterou lze od jeho okolí oddělt fyzckou neo myšlenkovou hrancí Model Zjednodušený, astraktní nástroj používaný pro

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze

Více

Úloha syntézy čtyřčlenného rovinného mechanismu

Úloha syntézy čtyřčlenného rovinného mechanismu Úloha syntézy čtyřčlenného rovnného mechansmu Zracoval: Jaroslav Beran Pracovště: Techncká unverzta v Lberc katedra textlních a ednoúčelových stroů Tento materál vznkl ako součást roektu In-TECH 2, který

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete

Více

Statistická šetření a zpracování dat.

Statistická šetření a zpracování dat. Statstcká šetření a zpracování dat. Vyjadřovací prostředky ve statstce STATISTICKÉ TABULKY Typckým vyjadřovacím prostředkem statstky je číslo formalzovaným nástrojem číselného vyjádření je statstcká tabulka.

Více

Plánování projektu. 3. dubna Úvod. 2 Reprezentace projektu. 3 Neomezené zdroje. 4 Variabilní doba trvání. 5 Přidání pracovní síly

Plánování projektu. 3. dubna Úvod. 2 Reprezentace projektu. 3 Neomezené zdroje. 4 Variabilní doba trvání. 5 Přidání pracovní síly Plánování proektu 3. dubna 2018 1 Úvod 2 Reprezentace proektu 3 Neomezené zdroe 4 Variabilní doba trvání 5 Přidání pracovní síly Problémy plánování proektu Zprostředkování, instalace a testování rozsáhlého

Více

vektor a vrátili jiný vektor. Měli-li jsme jistou pozorovatelnou A, dostali jsme jejím změřením

vektor a vrátili jiný vektor. Měli-li jsme jistou pozorovatelnou A, dostali jsme jejím změřením Operátor hustoty Popsueme-l vývo uzavřeného kvantového systému, vystačíme s většnou s pomem čstého stavu. Jedná se o vektor v Hlbertově prostoru H, který e danému kvantovému systému přdružen. Na daném

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

MOŽNOSTI MODELOVÁNÍ A ŘEŠENÍ STŘETU PŘI OBJASŇOVÁNÍ FINGOVANÝCH DOPRAVNÍCH NEHOD

MOŽNOSTI MODELOVÁNÍ A ŘEŠENÍ STŘETU PŘI OBJASŇOVÁNÍ FINGOVANÝCH DOPRAVNÍCH NEHOD XV. konference absolventů studa technckého znalectví s meznárodní účastí MOŽNOSTI MODELOVÁNÍ A ŘEŠENÍ STŘETU PŘI OBJASŇOVÁNÍ FINGOVANÝCH DOPRAVNÍCH NEHOD Zdeněk Mrázek 1 1. Ř ešení stř etu u fngovaných

Více

Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT

Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT PEF ČZU Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT Okruhy SZB č. 5 Zdroje: Demel, J., Operační výzkum Jablonský J., Operační výzkum Šubrt, T., Langrová, P., Projektové řízení I. a různá internetová

Více

4 Parametry jízdy kolejových vozidel

4 Parametry jízdy kolejových vozidel 4 Parametry jízdy kolejových vozdel Př zkoumání jízdy železnčních vozdel zjšťujeme většnou tř základní charakterstcké parametry jejch pohybu. Těmto charakterstkam jsou: a) průběh rychlost vozdel - tachogram,

Více

LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ

LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ Lneární programování e druh matematckého programování. Matematcký model se skládá z:. účelové funkce. omezuících podmínek (vlastní omezení a podmínk nezápornost) Účelová funkce omezuící

Více

Lokace odbavovacího centra nákladní pokladny pro víkendový provoz

Lokace odbavovacího centra nákladní pokladny pro víkendový provoz Markéta Brázdová 1 Lokace odbavovacího centra nákladní pokladny pro víkendový provoz Klíčová slova: odbavování záslek, centrum grafu, vážená excentrcta vrcholů sítě, časová náročnost odbavení záslky, vážená

Více

Pomocné texty pro přípravu ke státním zkouškám

Pomocné texty pro přípravu ke státním zkouškám Pomocné texty pro přípravu ke státním zkouškám Jndřch Klapka, Vítězslav Ševčík 1. března 2014 15 Lneární programování, smplexová metoda, způsoby převádění optmalsačního problému na kanoncký tvar (Zde e

Více

Pružnost a plasticita II

Pružnost a plasticita II Pružnost a plastcta II 3 ročník bakalářského studa doc Ing Martn Kresa PhD Katedra stavební mechank Řešení pravoúhlých nosných stěn metodou sítí Statcké schéma nosné stěn q G υ (μ) h l d 3 wwwfastvsbcz

Více

Obsah přednášky 1. Bayesův teorém 6. Naivní Bayesovský klasifikátor (NBK)

Obsah přednášky 1. Bayesův teorém 6. Naivní Bayesovský klasifikátor (NBK) Obsah přednášky 1. Bayesův teorém 2. Brutální Bayesovský klasfkátor (BBK) 3. Mamální aposterorní pravděpodobnost (MA) 4. Optmální Bayesovský klasfkátor (OBK) 5. Gbbsův alortmus (GA) 6. Navní Bayesovský

Více

Projektový management

Projektový management Projektový management Osnova - Metody a techniky plánování projektu - Časové plány a jejich úrovně - Ganttův diagram a síťový graf - Strukturní plán, dokumentace staveb Ing. Jana Nováková Ústav stavební

Více

2 ÚVOD DO TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2.1 Náhodný jev. π, které je třeba co nejpřesněji a nejúplněji vymezit, a k nimž je třeba výsledky pokusu a

2 ÚVOD DO TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2.1 Náhodný jev. π, které je třeba co nejpřesněji a nejúplněji vymezit, a k nimž je třeba výsledky pokusu a ÚVOD DO TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI.1 Náhodný ev Tato kaptola uvádí souhrn základních pomů a postupů teore pravděpodobnost, které se uplatňuí př rozboru spolehlvost stavebních konstrukcí a systémů. Výklad

Více

A 4 9 18 24 26 B 1 5 10 11 16 C 2 3 8 13 15 17 19 22 23 25 D 6 7 12 14 20 21

A 4 9 18 24 26 B 1 5 10 11 16 C 2 3 8 13 15 17 19 22 23 25 D 6 7 12 14 20 21 Příklad 1 Soutěž o nelepší akost výrobků obeslali čtyři výrobci A, B, C, D celkem 26 výrobky. Porota sestavila toto pořadí (uveden pouze původ výrobku od nelepšího k nehoršímu): Pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8

Více

Podmíněná pravděpodobnost, spolehlivost soustav

Podmíněná pravděpodobnost, spolehlivost soustav S1 odmíněná pravděpodobnost, spolehlvost soustav odmíněná pravděpodobnost, spolehlvost soustav Lbor Žák odmíněná pravděpodobnost Nechť,, 0, podmíněná pravděpodobnost evu vzhledem k evu : S akou pravděpodobností

Více

Statistická energetická analýza (SEA)

Statistická energetická analýza (SEA) Hladna akustckého tlaku buzení harmonckou slou [db] Statstcká energetcká analýza (SA) V současné době exstue řada způsobů, ak řešt vbroakustcké problémy. odobně ako v ných odvětvích nženýrství, také ve

Více

REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení

REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení REGRESNÍ ANALÝZA 13. cvčení Závslost náhodných velčn Závslost mez kvanttatvním proměnným X a Y: Funkční závslost hodnotam nezávsle proměnných je jednoznačně dána hodnota závslé proměnné. Y=f(X) Stochastcká

Více

Přednášky část 4 Analýza provozních zatížení a hypotézy kumulace poškození, příklady. Milan Růžička

Přednášky část 4 Analýza provozních zatížení a hypotézy kumulace poškození, příklady. Milan Růžička Přednášky část 4 Analýza provozních zatížení a hypotézy kumulace poškození, příklady Mlan Růžčka mechanka.fs.cvut.cz mlan.ruzcka@fs.cvut.cz Analýza dynamckých zatížení Harmoncké zatížení x(t) přes soubor

Více

Spojité regulátory - 1 -

Spojité regulátory - 1 - Spojté regulátory - 1 - SPOJIÉ EGULÁOY Nespojté regulátory mají většnou jednoduchou konstrukc a jsou levné, ale jsou nevhodné tím, že neudržují regulovanou velčnu přesně na žádané hodnotě, neboť regulovaná

Více

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál)

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál) Skupinová práce. Zadání skupinové práce Síťová analýza metoda CPM Dáno: Výstavba skladu zásob obilí představuje následující činnosti: Tabulka Název činnosti Délka (dny) Optimální projekt. Optimální dělníků

Více

VŠB - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky. Diplomová práce. 2014 Michal Běloch

VŠB - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky. Diplomová práce. 2014 Michal Běloch VŠB - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky Katedra aplkované matematky Dplomová práce 204 Mchal Běloch VŠB - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky Katedra

Více

11 Tachogram jízdy kolejových vozidel

11 Tachogram jízdy kolejových vozidel Tachogram jízdy kolejových vozdel Tachogram představuje znázornění závslost rychlost vozdel na nezávslém parametru. Tímto nezávslým parametrem může být ujetá dráha, pak V = f() dráhový tachogram, nebo

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární

Více

7. ZÁKLADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ

7. ZÁKLADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ 7. ZÁKADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ 7.. SPOJITÉ SYSTÉMY Téměř všechny fyzálně realzovatelné spojté lneární systémy (romě systémů s dopravním zpožděním lze vytvořt z prvů tří typů: proporconálních členů

Více

Přednáška č. 11 Analýza rozptylu při dvojném třídění

Přednáška č. 11 Analýza rozptylu při dvojném třídění Přednáška č. Analýza roztlu ř dvojném třídění Ve většně říadů v rax výsledk exermentu, rozboru závsí na více faktorech. Př této analýze se osuzují výsledk náhodných okusů (exerment nebo soubor získané

Více

ANALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V INVESTIČNÍM PROCESU

ANALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V INVESTIČNÍM PROCESU AALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V IVESTIČÍM PROCESU Jří Marek ) ABSTRAKT Príspevek nformuje o uplatnene manažmentu rzka v nvestčnom procese. Uvádza príklad kalkulace rzka a analýzu jeho ctlvost. Kľúčové

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2013 Radka Luštincová

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2013 Radka Luštincová VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2013 Radka Luštncová VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Název bakalářské práce: Aplkace řezných

Více

ALGORITMUS SILOVÉ METODY

ALGORITMUS SILOVÉ METODY ALGORITMUS SILOVÉ METODY CONSISTENT DEFORMATION METHOD ALGORITHM Petr Frantík 1, Mchal Štafa, Tomáš Pal 3 Abstrakt Příspěvek se věnuje popsu algortmzace slové metody sloužící pro výpočet statcky neurčtých

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Kumulační zvýrazňování signálů v šumu 2

Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Kumulační zvýrazňování signálů v šumu 2 Lneární a adaptvní zpracování dat 8. Kumulační zvýrazňování sgnálů v šumu 2 Danel Schwarz Investce do rozvoe vzdělávání Opakování Kumulační zpracování sgnálů co to e, k čemu to e? Prncp metody? Nutné podmínky

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 000/00 Michal Marvan 3. Matice lineárního zobrazení V této přednášce budeme používat indexy dvoího druhu:

Více

Teoretický souhrn k 2. až 4. cvičení

Teoretický souhrn k 2. až 4. cvičení SYSTÉMOVÁ ANALÝZA A MODELOVÁNÍ Teoretcký souhrn k 2. ž 4. cvčení ZS 2009 / 200 . Vyezení zákldních poů.. Systé e Systé e účelově defnovná nožn prvků vze ez n, která spolu se svý vstupy výstupy vykzue ko

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd. SÍŤOVÁ ANALÝZA Semestrální práce z předmětu KMA/MAB

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd. SÍŤOVÁ ANALÝZA Semestrální práce z předmětu KMA/MAB Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd SÍŤOVÁ ANALÝZA Semestrální práce z předmětu KMA/MAB Vypracovala: Kristýna Slabá kslaba@students.zcu.cz Obor: Matematické inženýrství Školní rok:

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad 1 Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární

Více

Řešené příklady ze stavební fyziky

Řešené příklady ze stavební fyziky ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Řešené příklady ze stavební fyzky Šíření tepla konstrukcí, tepelná blance prostoru a vlhkostní blance vzduchu v ustáleném stavu doc. Dr. Ing. Zbyněk

Více

8a.Objektové metody viditelnosti. Robertsův algoritmus

8a.Objektové metody viditelnosti. Robertsův algoritmus 8a. OBJEKOVÉ MEODY VIDIELNOSI Cíl Po prostudování této kaptoly budete znát metody vdtelnost 3D objektů na základě prostorových vlastností těchto objektů tvořt algortmy pro určování vdtelnost hran a stěn

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

8. STATISTICKÝ SOUBOR SE DVĚMA ARGUMENTY

8. STATISTICKÝ SOUBOR SE DVĚMA ARGUMENTY 8. STATISTICKÝ SOUBOR SE DVĚMA ARGUMETY Stattcký oubor e dvěma argument Průvodce tudem Vužeme znalotí z předchozí kaptol, která poednávala o tattckém ouboru edním argumentem a rozšíříme e. Předpokládané

Více

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz Příprava ke státním maturtám 0, všší úroveň obtížnost materál stažen z wwwe-matematkacz 80 60 Jsou dána čísla s 90, t 5 0 Ve stejném tvaru (součn co nejmenšího přrozeného čísla a mocnn deset) uveďte čísla

Více

Řízení projektů. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Řízení projektů. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Řízení projektů Ing. Michal Dorda, Ph.D. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Použitá literatura Tato prezentace byla vytvořena především s využitím následujících zdrojů: ŠIROKÝ, J. Aplikace počítačů v provozu vozidel.

Více

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně nverzta Tomáše Bat ve líně LABOATOÍ CČEÍ ELETOTECHY A PŮMYSLOÉ ELETOY ázev úlohy: ávrh dělče napětí pracoval: Petr Luzar, Josef Moravčík Skupna: T / Datum měření:.února 8 Obor: nformační technologe Hodnocení:

Více

Proces řízení rizik projektu

Proces řízení rizik projektu Proces řízení rzk projektu Rzka jevy a podmínky, které nejsou pod naší přímou kontrolou a ovlvňují cíl projektu odcylky, předvídatelná rzka, nepředvídatelná rzka, caotcké vlvy Proces řízení rzk sled aktvt,

Více

n lokální působení různých vnějších faktorů ovlivňujících růst a zánik živých organismů n lokální variace vnitřních proměnných biologických systémů.

n lokální působení různých vnějších faktorů ovlivňujících růst a zánik živých organismů n lokální variace vnitřních proměnných biologických systémů. PROSTOROVÁ AUTOKORELACE V ANALYTICKÉ CHEMII JIŘÍ MILITKÝ, Katedra textlních materálů, Techncká unversta v Lberc, 46 7 Lberec MILAN MELOUN, Katedra analytcké cheme, Unversta Pardubce, Pardubce. Úvod Autokorelace

Více

NÁVRH MATEMATICKÉHO MODELU PRO OPTIMALIZACI VYTVÁŘENÍ SMĚSÍ SPALITELNÝCH ODPADŮ PRO SPALOVNY. PETR BYCZANSKI a a KAREL OBROUČKA b.

NÁVRH MATEMATICKÉHO MODELU PRO OPTIMALIZACI VYTVÁŘENÍ SMĚSÍ SPALITELNÝCH ODPADŮ PRO SPALOVNY. PETR BYCZANSKI a a KAREL OBROUČKA b. Chem. Lsty 101, 668 67 (007) Laboratorní přístroe a postupy NÁVRH MATEMATICKÉHO MODELU PRO OPTIMALIZACI VYTVÁŘENÍ SMĚSÍ SPALITELNÝCH ODPADŮ PRO SPALOVNY PETR BYCZANSKI a a KAREL OBROUČKA b a Ústav geonky

Více

Numerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První

Numerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá

Více

Porovnání GUM a metody Monte Carlo

Porovnání GUM a metody Monte Carlo Porovnání GUM a metody Monte Carlo Ing. Tomáš Hajduk Nejstota měření Parametr přřazený k výsledku měření Vymezuje nterval, o němž se s určtou úrovní pravděpodobnost předpokládá, že v něm leží skutečná

Více

Stanovení nejistot výsledků zkoušky přesnosti/kalibrace vodorovných a svislých lineárních délkoměrů. Štěpánková, M.; Pročková, D.; Landsmann, M.

Stanovení nejistot výsledků zkoušky přesnosti/kalibrace vodorovných a svislých lineárních délkoměrů. Štěpánková, M.; Pročková, D.; Landsmann, M. Stanovení nestot výsledků zkošky přesnost/kalbrace vodorovných a svslých lneárních délkoměrů. Štěpánková, M.; Pročková, D.; Landsmann, M. Klíčová slova: zdro nestoty, standardní nestota, rozšířená nestota,

Více

Čísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...)

Čísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...) . NÁHODNÁ VELIČINA Průvodce studem V předchozích kaptolách jste se seznáml s kombnatorkou a pravděpodobností jevů. Tyto znalost použjeme v této kaptole, zavedeme pojem náhodná velčna, funkce, které náhodnou

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

Statika soustavy těles v rovině

Statika soustavy těles v rovině Statka soustavy těles v rovně Zpracoval: Ing. Mroslav yrtus, Ph.. U mechancké soustavy s deálním knematckým dvojcem znázorněné na obrázku určete: počet stupňů volnost početně všechny reakce a moment M

Více

4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA)

4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA) 4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA) Průzkumová analýza vícerozměrných dat je stejně jako u jednorozměrných dat založena na vyšetření grafckých dagnostk. K tomuto účelu se využívá různých technk

Více