systémům a kombinatorice na slovech 13. dubna 2016
|
|
- Patrik Tábor
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Od kvazikrystalů k číselným systémům a kombinatorice na slovech Zuzana Masáková Seminář současné matematiky 3. dubna 206
2 Nobelova cena 202 za chemii: Kvazikrystaly V roce 982 D. Shechtman objevil materiál, s difrakčním obrazem o symetríıch 2,3,5. (symetrie icosahedronu). Rotační symetrie řádu 5 u periodických 2D a 3D struktur zakázaná. Pro hezký difrakční obraz nutné uspořádání na dálku. Pozice bodů ve 2D nelze popsat dvěma souřadnicemi v Z.
3 Kvazikrystaly Dodecahedronem nelze vyplnit prostor
4 Kvazikrystaly Dodecahedronem nelze vyplnit prostor Mřížka v R 2, R 3 invariantní na rotaci řádu k k {2, 3, 4, 6}.
5 Kvazikrystaly Dodecahedronem nelze vyplnit prostor Mřížka v R 2, R 3 invariantní na rotaci řádu k k {2, 3, 4, 6}. Jak získat model s pětičetnou symetríı? Projekcí: V dimezi 4 už mřížka se symetríı řádu 5 existuje!
6 Mřížka A 4 R 4 dána vektory e, e 2, e 3, e s Gramovou maticí tj. svírají úhel (e i, e i+ ) = 2π 3 e diagram: e 2 e 3 e 4
7 Mřížka A 4 R 4 dána vektory e, e 2, e 3, e s Gramovou maticí tj. svírají úhel (e i, e i+ ) = 2π 3 e diagram: e 2 e 3 e 4 Grupa W generována zrcadleními r i = r ei, r y (x) = x 2 x y y y y A 4 je invariantní vůči W, protože r i e i = e i r i e i± = e i + e i± r i e j = e j pro j i >
8 Mřížka A 4 R 4 dána vektory e, e 2, e 3, e s Gramovou maticí tj. svírají úhel (e i, e i+ ) = 2π 3 e diagram: e 2 e 3 e 4 Grupa W generována zrcadleními r i = r ei, r y (x) = x 2 x y y y y A 4 je invariantní vůči W, protože r i e i = e i r i e i± = e i + e i± r i e j = e j pro j i > Zobrazení r r 3 r 2 r 4 je izometrie řádu 5.
9 Metoda ukroj a promítni Projekce: Π zúženo na H prosté; Π 2 (H) husté ve V 2.
10 Metoda ukroj a promítni Projekce: Π zúženo na H prosté; Π 2 (H) husté ve V 2. Pro omezenou Ω V 2, Ω : Σ(Ω) = { Π (x) x H, Π 2 (x) Ω }
11 Metoda ukroj a promítni Projekce: Π zúženo na H prosté; Π 2 (H) husté ve V 2. Pro omezenou Ω V 2, Ω : Σ(Ω) = { Π (x) x H, Π 2 (x) Ω } Σ(Ω) je delonovská, aperiodická,...
12 Při vhodné volbě Π, Π 2, Ω Σ(Ω) = { Π (x) x A 4, Π 2 (x) Ω }
13 Voronojovo a Delonovo dla z de nı
14 Projekce do dimenze 2 a zlatý řez V dán bazickými vektory u a v : A 4 : e 2 e 4 e e 3 Π τv v u τu Volba skaláru τ vyplyne. Definujme R := Π (r r 3 )Π a R 2 := Π (r 2 r 4 )Π.
15 Projekce do dimenze 2 a zlatý řez V dán bazickými vektory u a v : A 4 : e 2 e 4 e e 3 Π τv v u τu Volba skaláru τ vyplyne. Definujme R := Π (r r 3 )Π a R 2 := Π (r 2 r 4 )Π. Pak R 2 (u) = Π (r 2 r 4 )Π (u) = Π r 2 r 4 (e ) = Π (e + e 2 ) = u + τv R 2 (τu) = Π (r 2 r 4 )Π (τu) = Π r 2 r 4 (e 3 ) = Π (e 2 + e 3 + e 4 ) = = τv + v + τu
16 Projekce do dimenze 2 a zlatý řez V dán bazickými vektory u a v : A 4 : e 2 e 4 e e 3 Π τv v u τu Volba skaláru τ vyplyne. Definujme R := Π (r r 3 )Π a R 2 := Π (r 2 r 4 )Π. Pak R 2 (u) = Π (r 2 r 4 )Π (u) = Π r 2 r 4 (e ) = Π (e + e 2 ) = u + τv R 2 (τu) = Π (r 2 r 4 )Π (τu) = Π r 2 r 4 (e 3 ) = Π (e 2 + e 3 + e 4 ) = Z linearity R 2 plyne R 2 (τu) = τr 2 u = τv + v + τu (τ + )v + τu = τu + τ 2 v a proto τ 2 = τ +.
17 Ze dvou možností zvoĺıme τ = 2 ( + 5).
18 Ze dvou možností zvoĺıme τ = 2 ( + 5). R R 2 je izometrie: R R 2 (u) = Π (r r 3 r 2 r 4 )(e ) = Π (e 2 + e 3 ) = τu + τv R R 2 (v) = Π (r r 3 r 2 r 4 )(e 4 ) = Π ( e 3 e 4 ) = τu v Proto τu + τv = u, τu + v = v.
19 Ze dvou možností zvoĺıme τ = 2 ( + 5). R R 2 je izometrie: R R 2 (u) = Π (r r 3 r 2 r 4 )(e ) = Π (e 2 + e 3 ) = τu + τv R R 2 (v) = Π (r r 3 r 2 r 4 )(e 4 ) = Π ( e 3 e 4 ) = τu v Proto Dostaneme τu + τv = u, τu + v = v. u = v a u v = 2 τ u 2 = cos 4π 5 u 2. Vektory u a v jsou tedy stejné délky a svírají úhel 4 5 π.
20 Dihedrální grupa D 0 Grupa generovaná reflexemi R, R 2 a středovou symetríı x x
21 Dihedrální grupa D 0 Grupa generovaná reflexemi R, R 2 a středovou symetríı x x Orbita vektorů u, v V D 0 : 5
22 Druhý kořen τ = 2 ( 5) pro definici Π 2 A 4 : e 2 e e 4 e 3 Π 2 v τ v u τ u Opět u a v jsou stejné délky s úhlem 2 5 π. ( cos 2π 5 = 2 τ )
23 Druhý kořen τ = 2 ( 5) pro definici Π 2 A 4 : e 2 e e 4 e 3 Π 2 v τ v u τ u Opět u a v jsou stejné délky s úhlem 2 5 π. ( cos 2π 5 = 2 τ ) Bod ae + be 2 + ce 3 + de 4 mřížky A 4 se zobrazuje : Π (a, b, c, d) = (a + τb)v + (c + τd)u Π 2 (a, b, c, d) = (a + τ b)v + (c + τd )u A máme Σ(Ω) = {(a + τb)v + (c + τd)u a, b, c, d Z, (a + τ b)v + (c + τd )u Ω}.
24 Při vhodné volbě Π, Π 2, Ω
25 Při vhodné volbě Π, Π 2, Ω
26 Při vhodné volbě Π, Π 2, Ω
27 Při vhodné volbě Π, Π 2, Ω
28 Metoda ukroj a promítni pro D model V V 2 V : y = εx, V 2 : y = ηx ε, η irrational, ε η Z 2 Π Π 2 Z[ε] x2 Z[η] x Z[η] := {a + bη a, b Z} Z[ε] := {a + bε a, b Z} : Z[η] Z[ε] x = a+bη x = a+bε
29 Cut-and-project posloupnosti Pro Ω omezený interval Σ ε,η (Ω) = {a + bη a, b Z, a + bε Ω} = {x Z[η] x Ω}
30 Cut-and-project posloupnosti Pro Ω omezený interval Σ ε,η (Ω) = {a + bη a, b Z, a + bε Ω} = {x Z[η] x Ω} Věta: Existuje (s n ) n Z rostoucí, {s n } n Z = Σ ε,η (Ω), taková, že s n+ s n {, 2, + 2 }, pro nějaké, 2 Z[η]. Kódování u ε,η (Ω) = u 2 u u 0 u u 2 u 3 {A, B, C} Z A pro s n+ s n =, u n = B pro s n+ s n = + 2, C pro s n+ s n = 2. Pro spec. Ω pouze dvě vzdálenosti, 2, tj. Ω B =.
31 Číselné soustavy Báze β R, β >, abeceda cifer A. k Každé x R má β-rozvoj tvaru x = a j β j, a j A. j= ne všechny (a j ) k jsou přípustné.
32 Číselné soustavy Báze β R, β >, abeceda cifer A. k Každé x R má β-rozvoj tvaru x = a j β j, a j A. j= ne všechny (a j ) k jsou přípustné. β-celá čísla Z β = { ± x x má rozvoj k a j β j}. j=0
33 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 +
34 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a a
35 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a a
36 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a τ 0 τ a
37 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a τ 0 τ τ 2 00 τ + a
38 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a τ 0 τ τ 2 00 τ + τ τ + 2 a
39 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a τ 0 τ τ 2 00 τ + τ τ + 2 τ τ + a
40 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a τ 0 τ τ 2 00 τ + τ τ + 2 τ τ + τ τ + 2 a
41 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + x (x) τ bτ + a b τ 0 τ τ 2 00 τ + τ τ + 2 τ τ + τ τ + 2 τ 3 + τ 00 3τ + τ τ + 2 τ τ τ 4 + τ 000 4τ + 2 τ 4 + τ τ + 3 τ 4 + τ τ + 4 τ τ + 3 a
42 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + x (x) τ bτ + a b τ 0 τ τ 2 00 τ + τ τ + 2 τ τ + τ τ + 2 τ 3 + τ 00 3τ + τ τ + 2 τ τ τ 4 + τ 000 4τ + 2 τ 4 + τ τ + 3 τ 4 + τ τ + 4 τ τ + 3 a
43 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + x (x) τ bτ + a b τ 0 τ τ 2 00 τ + τ τ + 2 τ τ + τ τ + 2 τ 3 + τ 00 3τ + τ τ + 2 τ τ + 3 τ 4 + τ 000 4τ + 2 τ 4 + τ τ + 3 τ 4 + τ τ + 4 a... τ + 4 = 00 τ 0 τ τ + 3
44 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno τ-celá čísla Z τ = { ± k i=0 } x i τ i xi {0, }, x i x i+ = 0 a cut-and-project posloupnost Z τ R + ( ) = Σ τ,τ (, τ) R + = {a + bτ 0 a + bτ (, τ)}, kde τ = 2 ( + 5) je druhý kořen polynomu x 2 x.
45 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } A B A A B A B A A 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 +
46 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } A B A A B A B A A 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + Nekonečné slovo ABAABABAA lze generovat substitutcí A AB, B A.
47 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } A B A A B A B A A 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + Nekonečné slovo ABAABABAA lze generovat substitutcí A AB, B A. Tj. A AB ABA ABAAB ABAABABA
48 Nabízená témata Geometrické vlastnosti cut-and-project množin a aperiodická dláždění (Masáková) On-line aritmetika v nestandardních soustavách (Svobodová) Kombinatorika na nekonečných slovech (Pelantová)
Metoda řezu a projekce jako model kvazikrystalu. 14. května 2010
Metoda řezu a projekce jako model kvazikrystalu Zuzana Masáková 14. května 2010 Vlastnosti požadované od Σ R d Delonovská vlastnost: r, R, 0 < r R < + : (i) B(x, r) Σ = {x} pro x Σ; (ii) B(x, R) Σ pro
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
VíceČeské vysoké učení technické v Praze. Modely kvazikrystalu se soběpodobností. Quasicrystal models with self-similarity
České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Modely kvazikrystalu se soběpodobností Quasicrystal models with self-similarity Bakalářská práce Autor: Vedoucí práce: Jan Mazáč
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceOrtogonální projekce a ortogonální zobrazení
Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení
Více1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Více1. Jordanův kanonický tvar
. Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VícePožadavky ke zkoušce. Ukázková písemka
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
VíceFourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
Osnova přednášky na 31 kolokviu Krystalografické společnosti Výpočetní metody v rtg a neutronové strukturní analýze Nové Hrady, 16 20 6 2003 Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceTENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému
TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -
VíceZ teorie je nutné znát pojmy: lineární funkcionál, jádro, hodnost a defekt lineárního funkcionálu. Také využijeme 2. větu o dimenzi.
Lineární funkcionál Z teorie je nutné znát pojm: lineární funkcionál jádro hodnost a defekt lineárního funkcionálu Také vužijeme větu o dimenzi [cvičení] Nechť je definován funkcionál ϕ : C C pro každé
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Více7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
VíceCVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 24 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písemnou práci z chemie psalo všech 28 žáků ze
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceLineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Více2. prosince velikosti symboly a, b, je b ω a b = a b cosω (1) a. ω pro ω π/2, π platí a b = b a a (3) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (5)
Vektorové prostory se skalárním součinem 2. prosince 25 1 Skalární součin geometrických vektorů Skalární součin geometrických vektorů je definován jako součin jejich velikostí násobený kosinem jejich odchylky.
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
Více6 Potenciály s δ funkcemi II
6 Potenciály s δ funkcemi II 6.1 Periodická δ funkce (Diracův hřeben) Částice o hmotnosti M se pohybuje v jednorozměrné mřížce popsané periodickým potenciálem V(x) = c δ(x na), (6.1.1) n= kde a je vzdálenost
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
Vícegoniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina:
KMA/MAT1 Matematika 1 Přednáška č. 2 Jiří Fišer 26. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 26. září 2016 1 / 24 Součin, podíl a mocniny komplexních čísel v goniometrickém tvaru Dvě nenulová
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceProjektivní prostor a projektivní zobrazení
Kapitola 4 Projektivní prostor a projektivní zobrazení 4.1 Projektivní rozšíření eukleidovského prostoru Vlastnost býti incidentní v eukleidovském prostoru E 3 vykazuje nedostatek symetrie zatímco např.
VíceVariační počet 2. Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Zapsal Jan Šustek
Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Zapsal Jan Šustek Obsah Seznam použitých symbolů a konvencí.............................................. 2 0. Opakování.........................................................................
VíceVariační počet 2. Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Obsahuje 1413 hypertextových odkazů. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005)
Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Obsahuje 1413 hypertextových odkazů Zapsal Jan Šustek Aktualizováno 29. května 2005 Obsah Seznam použitých symbolů
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceNetradiční výklad tradičních témat
Netradiční výklad tradičních témat J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi I. VUTIUM, Brno 2006 (291 s.), 2009 (349 s.). J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 017, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní
VíceVlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů
Drsná matematika I 8. přednáška Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 15. 11. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Matice zobrazení 3 Vlastní
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VíceVariace na invarianci 2017 Kleinův Erlangenský program(lukáš Krump)
Variace na invarianci 2017 Kleinův Erlangenský program(lukáš Krump) Uvažujeme různé geometrie v rovině. Z obvyklé euklidovské geometrie je dostaneme tak, že odebíráme některé pojmy a axiomy. Odebráním
VícePro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
VíceGeometrické transformace pomocí matic
Geometrické transformace pomocí matic Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 2. dubna 2010 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
Vícegrupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceCo byste měl/a zvládnout po 6. týdnu
Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,
Vícepro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A
Přijímací zkouška na MFF UK pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé úlohy
Vícepochopení celé kapitoly je myšlenka, že těleso S lze považovat za vektorový prostor
NOVý TEXT O TěLESOVýCH ROZ LÍřENÍCH DAVID STANOVSKÝ 1. Algebraické prvky a rozšíření konečného stupně 1.1. Rozšíření jako vektorový prostor. Buď T S rozšíření těles. Klíčem k pochopení celé kapitoly je
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceMatematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25
Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.
VíceMatematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3
Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.
VíceK oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište všechny
FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZA 1 PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2016/2017 PŘÍKLADY KE KAPITOLE VI K oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceIV120 Spojité a hybridní systémy. Jana Fabriková
IV120 Spojité a hybridní systémy Základní pojmy teorie řízení David Šafránek Jiří Barnat Jana Fabriková Problém řízení IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 2/25 Mějme dynamický systém S definovaný stavovou
VíceMatematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
Více[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...
[1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.
VíceHammingův odhad. perfektní kódy. koule, objem koule perfektní kód. triviální, Hammingův, Golayův váhový polynom. výpočet. příklad
Hammingův odhad koule, objem koule perfektní kód perfektní kódy triviální, Hammingův, Golayův váhový polynom výpočet Hammingův kód H 3 Golayův kód G 23 obecně příklad ternární kód Tvrzení: Dán binární
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VícePřijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2018/19 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ
Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 8/9 NMgr studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 3 4 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te
VíceÚlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceA0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení)
A0B0LAA Lineární algebra a aplikace příklady na cvičení- řešení Martin Hadrava martin@hadrava.eu. ledna 0.týdenod9.9. Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou diskuse počtu řešení..
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceEuklidovské prostory. Euklidovský prostor dimense 3
Euklidovské prostory Euklides nebo také Eukleides byl řecký matematik žijící kolem roku 300 př.n.l. Jeho nejznámějším dílem jsou Základy, ve kterých vybudoval geometrii způsobem definice- věta- důkaz.
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
VícePavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................
VíceDefinujte Gaussovský obor. Vysvětlete, co přesně rozumíme jednoznačností rozkladu.
1.teorie(1bod) Formulujte princip matematické indukce. Napište základní větu aritmetiky. Napište Bézoutovu rovnost v oboru celých čísel. Definujte,coznamenázápis a b(mod n),auveďtezákladnívlastnosti. Napište
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
Více= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
VíceDefinice funkce tangens na jednotkové kružnici :
Registrační číslo projektu: CZ..07/../0.00 FUNKCE TANGENS Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Funkce tangens je daná ve tvaru : y tgx sin x. cos x Důvod je dobře vidět na předchozím obr. z
Více