systémům a kombinatorice na slovech 13. dubna 2016

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "systémům a kombinatorice na slovech 13. dubna 2016"

Transkript

1 Od kvazikrystalů k číselným systémům a kombinatorice na slovech Zuzana Masáková Seminář současné matematiky 3. dubna 206

2 Nobelova cena 202 za chemii: Kvazikrystaly V roce 982 D. Shechtman objevil materiál, s difrakčním obrazem o symetríıch 2,3,5. (symetrie icosahedronu). Rotační symetrie řádu 5 u periodických 2D a 3D struktur zakázaná. Pro hezký difrakční obraz nutné uspořádání na dálku. Pozice bodů ve 2D nelze popsat dvěma souřadnicemi v Z.

3 Kvazikrystaly Dodecahedronem nelze vyplnit prostor

4 Kvazikrystaly Dodecahedronem nelze vyplnit prostor Mřížka v R 2, R 3 invariantní na rotaci řádu k k {2, 3, 4, 6}.

5 Kvazikrystaly Dodecahedronem nelze vyplnit prostor Mřížka v R 2, R 3 invariantní na rotaci řádu k k {2, 3, 4, 6}. Jak získat model s pětičetnou symetríı? Projekcí: V dimezi 4 už mřížka se symetríı řádu 5 existuje!

6 Mřížka A 4 R 4 dána vektory e, e 2, e 3, e s Gramovou maticí tj. svírají úhel (e i, e i+ ) = 2π 3 e diagram: e 2 e 3 e 4

7 Mřížka A 4 R 4 dána vektory e, e 2, e 3, e s Gramovou maticí tj. svírají úhel (e i, e i+ ) = 2π 3 e diagram: e 2 e 3 e 4 Grupa W generována zrcadleními r i = r ei, r y (x) = x 2 x y y y y A 4 je invariantní vůči W, protože r i e i = e i r i e i± = e i + e i± r i e j = e j pro j i >

8 Mřížka A 4 R 4 dána vektory e, e 2, e 3, e s Gramovou maticí tj. svírají úhel (e i, e i+ ) = 2π 3 e diagram: e 2 e 3 e 4 Grupa W generována zrcadleními r i = r ei, r y (x) = x 2 x y y y y A 4 je invariantní vůči W, protože r i e i = e i r i e i± = e i + e i± r i e j = e j pro j i > Zobrazení r r 3 r 2 r 4 je izometrie řádu 5.

9 Metoda ukroj a promítni Projekce: Π zúženo na H prosté; Π 2 (H) husté ve V 2.

10 Metoda ukroj a promítni Projekce: Π zúženo na H prosté; Π 2 (H) husté ve V 2. Pro omezenou Ω V 2, Ω : Σ(Ω) = { Π (x) x H, Π 2 (x) Ω }

11 Metoda ukroj a promítni Projekce: Π zúženo na H prosté; Π 2 (H) husté ve V 2. Pro omezenou Ω V 2, Ω : Σ(Ω) = { Π (x) x H, Π 2 (x) Ω } Σ(Ω) je delonovská, aperiodická,...

12 Při vhodné volbě Π, Π 2, Ω Σ(Ω) = { Π (x) x A 4, Π 2 (x) Ω }

13 Voronojovo a Delonovo dla z de nı

14 Projekce do dimenze 2 a zlatý řez V dán bazickými vektory u a v : A 4 : e 2 e 4 e e 3 Π τv v u τu Volba skaláru τ vyplyne. Definujme R := Π (r r 3 )Π a R 2 := Π (r 2 r 4 )Π.

15 Projekce do dimenze 2 a zlatý řez V dán bazickými vektory u a v : A 4 : e 2 e 4 e e 3 Π τv v u τu Volba skaláru τ vyplyne. Definujme R := Π (r r 3 )Π a R 2 := Π (r 2 r 4 )Π. Pak R 2 (u) = Π (r 2 r 4 )Π (u) = Π r 2 r 4 (e ) = Π (e + e 2 ) = u + τv R 2 (τu) = Π (r 2 r 4 )Π (τu) = Π r 2 r 4 (e 3 ) = Π (e 2 + e 3 + e 4 ) = = τv + v + τu

16 Projekce do dimenze 2 a zlatý řez V dán bazickými vektory u a v : A 4 : e 2 e 4 e e 3 Π τv v u τu Volba skaláru τ vyplyne. Definujme R := Π (r r 3 )Π a R 2 := Π (r 2 r 4 )Π. Pak R 2 (u) = Π (r 2 r 4 )Π (u) = Π r 2 r 4 (e ) = Π (e + e 2 ) = u + τv R 2 (τu) = Π (r 2 r 4 )Π (τu) = Π r 2 r 4 (e 3 ) = Π (e 2 + e 3 + e 4 ) = Z linearity R 2 plyne R 2 (τu) = τr 2 u = τv + v + τu (τ + )v + τu = τu + τ 2 v a proto τ 2 = τ +.

17 Ze dvou možností zvoĺıme τ = 2 ( + 5).

18 Ze dvou možností zvoĺıme τ = 2 ( + 5). R R 2 je izometrie: R R 2 (u) = Π (r r 3 r 2 r 4 )(e ) = Π (e 2 + e 3 ) = τu + τv R R 2 (v) = Π (r r 3 r 2 r 4 )(e 4 ) = Π ( e 3 e 4 ) = τu v Proto τu + τv = u, τu + v = v.

19 Ze dvou možností zvoĺıme τ = 2 ( + 5). R R 2 je izometrie: R R 2 (u) = Π (r r 3 r 2 r 4 )(e ) = Π (e 2 + e 3 ) = τu + τv R R 2 (v) = Π (r r 3 r 2 r 4 )(e 4 ) = Π ( e 3 e 4 ) = τu v Proto Dostaneme τu + τv = u, τu + v = v. u = v a u v = 2 τ u 2 = cos 4π 5 u 2. Vektory u a v jsou tedy stejné délky a svírají úhel 4 5 π.

20 Dihedrální grupa D 0 Grupa generovaná reflexemi R, R 2 a středovou symetríı x x

21 Dihedrální grupa D 0 Grupa generovaná reflexemi R, R 2 a středovou symetríı x x Orbita vektorů u, v V D 0 : 5

22 Druhý kořen τ = 2 ( 5) pro definici Π 2 A 4 : e 2 e e 4 e 3 Π 2 v τ v u τ u Opět u a v jsou stejné délky s úhlem 2 5 π. ( cos 2π 5 = 2 τ )

23 Druhý kořen τ = 2 ( 5) pro definici Π 2 A 4 : e 2 e e 4 e 3 Π 2 v τ v u τ u Opět u a v jsou stejné délky s úhlem 2 5 π. ( cos 2π 5 = 2 τ ) Bod ae + be 2 + ce 3 + de 4 mřížky A 4 se zobrazuje : Π (a, b, c, d) = (a + τb)v + (c + τd)u Π 2 (a, b, c, d) = (a + τ b)v + (c + τd )u A máme Σ(Ω) = {(a + τb)v + (c + τd)u a, b, c, d Z, (a + τ b)v + (c + τd )u Ω}.

24 Při vhodné volbě Π, Π 2, Ω

25 Při vhodné volbě Π, Π 2, Ω

26 Při vhodné volbě Π, Π 2, Ω

27 Při vhodné volbě Π, Π 2, Ω

28 Metoda ukroj a promítni pro D model V V 2 V : y = εx, V 2 : y = ηx ε, η irrational, ε η Z 2 Π Π 2 Z[ε] x2 Z[η] x Z[η] := {a + bη a, b Z} Z[ε] := {a + bε a, b Z} : Z[η] Z[ε] x = a+bη x = a+bε

29 Cut-and-project posloupnosti Pro Ω omezený interval Σ ε,η (Ω) = {a + bη a, b Z, a + bε Ω} = {x Z[η] x Ω}

30 Cut-and-project posloupnosti Pro Ω omezený interval Σ ε,η (Ω) = {a + bη a, b Z, a + bε Ω} = {x Z[η] x Ω} Věta: Existuje (s n ) n Z rostoucí, {s n } n Z = Σ ε,η (Ω), taková, že s n+ s n {, 2, + 2 }, pro nějaké, 2 Z[η]. Kódování u ε,η (Ω) = u 2 u u 0 u u 2 u 3 {A, B, C} Z A pro s n+ s n =, u n = B pro s n+ s n = + 2, C pro s n+ s n = 2. Pro spec. Ω pouze dvě vzdálenosti, 2, tj. Ω B =.

31 Číselné soustavy Báze β R, β >, abeceda cifer A. k Každé x R má β-rozvoj tvaru x = a j β j, a j A. j= ne všechny (a j ) k jsou přípustné.

32 Číselné soustavy Báze β R, β >, abeceda cifer A. k Každé x R má β-rozvoj tvaru x = a j β j, a j A. j= ne všechny (a j ) k jsou přípustné. β-celá čísla Z β = { ± x x má rozvoj k a j β j}. j=0

33 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 +

34 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a a

35 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a a

36 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a τ 0 τ a

37 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a τ 0 τ τ 2 00 τ + a

38 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a τ 0 τ τ 2 00 τ + τ τ + 2 a

39 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a τ 0 τ τ 2 00 τ + τ τ + 2 τ τ + a

40 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a τ 0 τ τ 2 00 τ + τ τ + 2 τ τ + τ τ + 2 a

41 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + x (x) τ bτ + a b τ 0 τ τ 2 00 τ + τ τ + 2 τ τ + τ τ + 2 τ 3 + τ 00 3τ + τ τ + 2 τ τ τ 4 + τ 000 4τ + 2 τ 4 + τ τ + 3 τ 4 + τ τ + 4 τ τ + 3 a

42 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + x (x) τ bτ + a b τ 0 τ τ 2 00 τ + τ τ + 2 τ τ + τ τ + 2 τ 3 + τ 00 3τ + τ τ + 2 τ τ τ 4 + τ 000 4τ + 2 τ 4 + τ τ + 3 τ 4 + τ τ + 4 τ τ + 3 a

43 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + x (x) τ bτ + a b τ 0 τ τ 2 00 τ + τ τ + 2 τ τ + τ τ + 2 τ 3 + τ 00 3τ + τ τ + 2 τ τ + 3 τ 4 + τ 000 4τ + 2 τ 4 + τ τ + 3 τ 4 + τ τ + 4 a... τ + 4 = 00 τ 0 τ τ + 3

44 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno τ-celá čísla Z τ = { ± k i=0 } x i τ i xi {0, }, x i x i+ = 0 a cut-and-project posloupnost Z τ R + ( ) = Σ τ,τ (, τ) R + = {a + bτ 0 a + bτ (, τ)}, kde τ = 2 ( + 5) je druhý kořen polynomu x 2 x.

45 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } A B A A B A B A A 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 +

46 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } A B A A B A B A A 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + Nekonečné slovo ABAABABAA lze generovat substitutcí A AB, B A.

47 Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } A B A A B A B A A 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + Nekonečné slovo ABAABABAA lze generovat substitutcí A AB, B A. Tj. A AB ABA ABAAB ABAABABA

48 Nabízená témata Geometrické vlastnosti cut-and-project množin a aperiodická dláždění (Masáková) On-line aritmetika v nestandardních soustavách (Svobodová) Kombinatorika na nekonečných slovech (Pelantová)

Metoda řezu a projekce jako model kvazikrystalu. 14. května 2010

Metoda řezu a projekce jako model kvazikrystalu. 14. května 2010 Metoda řezu a projekce jako model kvazikrystalu Zuzana Masáková 14. května 2010 Vlastnosti požadované od Σ R d Delonovská vlastnost: r, R, 0 < r R < + : (i) B(x, r) Σ = {x} pro x Σ; (ii) B(x, R) Σ pro

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

České vysoké učení technické v Praze. Modely kvazikrystalu se soběpodobností. Quasicrystal models with self-similarity

České vysoké učení technické v Praze. Modely kvazikrystalu se soběpodobností. Quasicrystal models with self-similarity České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Modely kvazikrystalu se soběpodobností Quasicrystal models with self-similarity Bakalářská práce Autor: Vedoucí práce: Jan Mazáč

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení

Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení

Více

1 Připomenutí vybraných pojmů

1 Připomenutí vybraných pojmů 1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná

Více

Program SMP pro kombinované studium

Program SMP pro kombinované studium Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

1 Projekce a projektory

1 Projekce a projektory Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze

Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze Osnova přednášky na 31 kolokviu Krystalografické společnosti Výpočetní metody v rtg a neutronové strukturní analýze Nové Hrady, 16 20 6 2003 Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze

Více

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

Matematika I 12a Euklidovská geometrie Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky

Více

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -

Více

Z teorie je nutné znát pojmy: lineární funkcionál, jádro, hodnost a defekt lineárního funkcionálu. Také využijeme 2. větu o dimenzi.

Z teorie je nutné znát pojmy: lineární funkcionál, jádro, hodnost a defekt lineárního funkcionálu. Také využijeme 2. větu o dimenzi. Lineární funkcionál Z teorie je nutné znát pojm: lineární funkcionál jádro hodnost a defekt lineárního funkcionálu Také vužijeme větu o dimenzi [cvičení] Nechť je definován funkcionál ϕ : C C pro každé

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19 Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

CVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 24 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písemnou práci z chemie psalo všech 28 žáků ze

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

Lineární algebra : Změna báze

Lineární algebra : Změna báze Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

2. prosince velikosti symboly a, b, je b ω a b = a b cosω (1) a. ω pro ω π/2, π platí a b = b a a (3) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (5)

2. prosince velikosti symboly a, b, je b ω a b = a b cosω (1) a. ω pro ω π/2, π platí a b = b a a (3) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (5) Vektorové prostory se skalárním součinem 2. prosince 25 1 Skalární součin geometrických vektorů Skalární součin geometrických vektorů je definován jako součin jejich velikostí násobený kosinem jejich odchylky.

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

Vybrané kapitoly z matematiky

Vybrané kapitoly z matematiky Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

6 Potenciály s δ funkcemi II

6 Potenciály s δ funkcemi II 6 Potenciály s δ funkcemi II 6.1 Periodická δ funkce (Diracův hřeben) Částice o hmotnosti M se pohybuje v jednorozměrné mřížce popsané periodickým potenciálem V(x) = c δ(x na), (6.1.1) n= kde a je vzdálenost

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem

Více

22 Základní vlastnosti distribucí

22 Základní vlastnosti distribucí M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V

Více

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina:

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina: KMA/MAT1 Matematika 1 Přednáška č. 2 Jiří Fišer 26. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 26. září 2016 1 / 24 Součin, podíl a mocniny komplexních čísel v goniometrickém tvaru Dvě nenulová

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Projektivní prostor a projektivní zobrazení

Projektivní prostor a projektivní zobrazení Kapitola 4 Projektivní prostor a projektivní zobrazení 4.1 Projektivní rozšíření eukleidovského prostoru Vlastnost býti incidentní v eukleidovském prostoru E 3 vykazuje nedostatek symetrie zatímco např.

Více

Variační počet 2. Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Zapsal Jan Šustek

Variační počet 2. Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Zapsal Jan Šustek Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Zapsal Jan Šustek Obsah Seznam použitých symbolů a konvencí.............................................. 2 0. Opakování.........................................................................

Více

Variační počet 2. Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Obsahuje 1413 hypertextových odkazů. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005)

Variační počet 2. Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Obsahuje 1413 hypertextových odkazů. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Obsahuje 1413 hypertextových odkazů Zapsal Jan Šustek Aktualizováno 29. května 2005 Obsah Seznam použitých symbolů

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

Netradiční výklad tradičních témat

Netradiční výklad tradičních témat Netradiční výklad tradičních témat J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi I. VUTIUM, Brno 2006 (291 s.), 2009 (349 s.). J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 017, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů

Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Drsná matematika I 8. přednáška Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 15. 11. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Matice zobrazení 3 Vlastní

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Variace na invarianci 2017 Kleinův Erlangenský program(lukáš Krump)

Variace na invarianci 2017 Kleinův Erlangenský program(lukáš Krump) Variace na invarianci 2017 Kleinův Erlangenský program(lukáš Krump) Uvažujeme různé geometrie v rovině. Z obvyklé euklidovské geometrie je dostaneme tak, že odebíráme některé pojmy a axiomy. Odebráním

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

Geometrické transformace pomocí matic

Geometrické transformace pomocí matic Geometrické transformace pomocí matic Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 2. dubna 2010 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa

grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A

pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A Přijímací zkouška na MFF UK pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé úlohy

Více

pochopení celé kapitoly je myšlenka, že těleso S lze považovat za vektorový prostor

pochopení celé kapitoly je myšlenka, že těleso S lze považovat za vektorový prostor NOVý TEXT O TěLESOVýCH ROZ LÍřENÍCH DAVID STANOVSKÝ 1. Algebraické prvky a rozšíření konečného stupně 1.1. Rozšíření jako vektorový prostor. Buď T S rozšíření těles. Klíčem k pochopení celé kapitoly je

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.

Více

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3 Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.

Více

K oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište všechny

K oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište všechny FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZA 1 PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2016/2017 PŘÍKLADY KE KAPITOLE VI K oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. 6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,

Více

IV120 Spojité a hybridní systémy. Jana Fabriková

IV120 Spojité a hybridní systémy. Jana Fabriková IV120 Spojité a hybridní systémy Základní pojmy teorie řízení David Šafránek Jiří Barnat Jana Fabriková Problém řízení IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 2/25 Mějme dynamický systém S definovaný stavovou

Více

Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci

Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

Hammingův odhad. perfektní kódy. koule, objem koule perfektní kód. triviální, Hammingův, Golayův váhový polynom. výpočet. příklad

Hammingův odhad. perfektní kódy. koule, objem koule perfektní kód. triviální, Hammingův, Golayův váhový polynom. výpočet. příklad Hammingův odhad koule, objem koule perfektní kód perfektní kódy triviální, Hammingův, Golayův váhový polynom výpočet Hammingův kód H 3 Golayův kód G 23 obecně příklad ternární kód Tvrzení: Dán binární

Více

Arnoldiho a Lanczosova metoda

Arnoldiho a Lanczosova metoda Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat

Více

Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2018/19 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ

Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2018/19 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 8/9 NMgr studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 3 4 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te

Více

Úlohy k procvičování textu o svazech

Úlohy k procvičování textu o svazech Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

A0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení)

A0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení) A0B0LAA Lineární algebra a aplikace příklady na cvičení- řešení Martin Hadrava martin@hadrava.eu. ledna 0.týdenod9.9. Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou diskuse počtu řešení..

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Euklidovské prostory. Euklidovský prostor dimense 3

Euklidovské prostory. Euklidovský prostor dimense 3 Euklidovské prostory Euklides nebo také Eukleides byl řecký matematik žijící kolem roku 300 př.n.l. Jeho nejznámějším dílem jsou Základy, ve kterých vybudoval geometrii způsobem definice- věta- důkaz.

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT

Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................

Více

Definujte Gaussovský obor. Vysvětlete, co přesně rozumíme jednoznačností rozkladu.

Definujte Gaussovský obor. Vysvětlete, co přesně rozumíme jednoznačností rozkladu. 1.teorie(1bod) Formulujte princip matematické indukce. Napište základní větu aritmetiky. Napište Bézoutovu rovnost v oboru celých čísel. Definujte,coznamenázápis a b(mod n),auveďtezákladnívlastnosti. Napište

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179

Více

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici :

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Registrační číslo projektu: CZ..07/../0.00 FUNKCE TANGENS Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Funkce tangens je daná ve tvaru : y tgx sin x. cos x Důvod je dobře vidět na předchozím obr. z

Více