Metoda řezu a projekce jako model kvazikrystalu. 14. května 2010

Transkript

1 Metoda řezu a projekce jako model kvazikrystalu Zuzana Masáková 14. května 2010

2 Vlastnosti požadované od Σ R d Delonovská vlastnost: r, R, 0 < r R < + : (i) B(x, r) Σ = {x} pro x Σ; (ii) B(x, R) Σ pro x R d.

3 Vlastnosti požadované od Σ R d Delonovská vlastnost: r, R, 0 < r R < + : (i) B(x, r) Σ = {x} pro x Σ; (ii) B(x, R) Σ pro x R d. hezký difrakční obraz

4 Vlastnosti požadované od Σ R d Delonovská vlastnost: r, R, 0 < r R < + : (i) B(x, r) Σ = {x} pro x Σ; (ii) B(x, R) Σ pro x R d. hezký difrakční obraz konečná lokální složitost

5 Modely pevných látek Pro,hezký difrakční obraz nutné uspořádání atomů na dálku. (u krystalů periodicita)

6 Modely pevných látek Pro,hezký difrakční obraz nutné uspořádání atomů na dálku. (u krystalů periodicita) 1982 objev látky s,hezkým obrazem se symetriemi řádu 5, 2, 6 (symetrie icosahedronu)

7 Kvazikrystaly Ale: Icosahedronem nelze vyplnit prostor

8 Kvazikrystaly Ale: Icosahedronem nelze vyplnit prostor Mřížka v R 2, R 3 invariantní na rotaci řádu k k {2, 3, 4, 6}.

9 Kvazikrystaly Ale: Icosahedronem nelze vyplnit prostor Mřížka v R 2, R 3 invariantní na rotaci řádu k k {2, 3, 4, 6}. Jak získat model s pětičetnou symetríı? Projekcí: V dimezi 4 už mřížka se symetríı řádu 5 existuje!

10 Metoda ukroj a promítni

11 Metoda ukroj a promítni

12 Metoda ukroj a promítni Projekce: Π 1 zúženo na H prosté; Π 2 (H) husté ve V 2. Ω, omezená, otevřená Σ(Ω) = { Π 1 (x) x H, Π 2 (x) Ω },

13 Metoda ukroj a promítni Projekce: Π 1 zúženo na H prosté; Π 2 (H) husté ve V 2. Σ(Ω) = { Π 1 (x) x H, Π 2 (x) Ω }, Ω, omezená, otevřená Σ(Ω) je aperiodická a splňuje požadované vlastnosti Jak volit parametry, aby Σ(Ω) měla požadovanou symetrii?

14 Mřížka A 4 R 4 dána vektory e 1, e 2, e 3, e s Gramovou maticí tj. svírají úhel (α i, α i+1 ) = 2π 3 e diagram: 1 e 2 e 3 e 4

15 Mřížka A 4 R 4 dána vektory e 1, e 2, e 3, e s Gramovou maticí tj. svírají úhel (α i, α i+1 ) = 2π 3 e diagram: 1 e 2 e 3 e 4 Grupa W generována zrcadleními r i = r ei, r y (x) = x x y y y y A 4 je invariantní vůči W, protože r i e i = e i r i e i±1 = e i + e i±1 r i e j = e j pro j i > 1

16 Mřížka A 4 R 4 dána vektory e 1, e 2, e 3, e s Gramovou maticí tj. svírají úhel (α i, α i+1 ) = 2π 3 e diagram: 1 e 2 e 3 e 4 Grupa W generována zrcadleními r i = r ei, r y (x) = x x y y y y A 4 je invariantní vůči W, protože r i e i = e i r i e i±1 = e i + e i±1 r i e j = e j pro j i > 1 Zobrazení r 1 r 3 r 2 r 4 je izometrie řádu 5.

17 Projekce do dimenze 2 a zlatý řez V 1 dán bazickými vektory u a v : A 4 : e 2 e 4 e 1 e 3 Π 1 τv v u τu Volba skaláru τ vyplyne. Definujme R 1 := Π 1 (r 1 r 3 )Π 1 1 a R 2 := Π 1 (r 2 r 4 )Π 1 1.

18 Projekce do dimenze 2 a zlatý řez V 1 dán bazickými vektory u a v : A 4 : e 2 e 4 e 1 e 3 Π 1 τv v u τu Volba skaláru τ vyplyne. Definujme R 1 := Π 1 (r 1 r 3 )Π 1 1 a R 2 := Π 1 (r 2 r 4 )Π 1 1. Pak R 2 (u) = Π 1 (r 2 r 4 )Π 1 1 (u) = Π 1r 2 r 4 (e 1 ) = Π 1 (e 1 + e 2 ) = u + τv R 2 (τu) = Π 1 (r 2 r 4 )Π 1 1 (τu) = Π 1r 2 r 4 (e 3 ) = Π 1 (e 2 + e 3 + e 4 ) = = τv + v + τu

19 Projekce do dimenze 2 a zlatý řez V 1 dán bazickými vektory u a v : A 4 : e 2 e 4 e 1 e 3 Π 1 τv v u τu Volba skaláru τ vyplyne. Definujme R 1 := Π 1 (r 1 r 3 )Π 1 1 a R 2 := Π 1 (r 2 r 4 )Π 1 1. Pak R 2 (u) = Π 1 (r 2 r 4 )Π 1 1 (u) = Π 1r 2 r 4 (e 1 ) = Π 1 (e 1 + e 2 ) = u + τv R 2 (τu) = Π 1 (r 2 r 4 )Π 1 1 (τu) = Π 1r 2 r 4 (e 3 ) = Π 1 (e 2 + e 3 + e 4 ) = Z linearity R 2 plyne R 2 (τu) = τr 2 u = τv + v + τu (τ + 1)v + τu = τu + τ 2 v a proto τ 2 = τ + 1.

20 Ze dvou možností zvoĺıme τ = 1 2 (1 + 5).

21 Ze dvou možností zvoĺıme τ = 1 2 (1 + 5). R 1 R 2 je izometrie: R 1 R 2 (u) = Π 1 (r 1 r 3 r 2 r 4 )(e 1 ) = Π 1 (e 2 + e 3 ) = τu + τv R 1 R 2 (v) = Π 1 (r 1 r 3 r 2 r 4 )(e 4 ) = Π 1 ( e 3 e 4 ) = τu v Proto τu + τv = u, τu + v = v.

22 Ze dvou možností zvoĺıme τ = 1 2 (1 + 5). R 1 R 2 je izometrie: R 1 R 2 (u) = Π 1 (r 1 r 3 r 2 r 4 )(e 1 ) = Π 1 (e 2 + e 3 ) = τu + τv R 1 R 2 (v) = Π 1 (r 1 r 3 r 2 r 4 )(e 4 ) = Π 1 ( e 3 e 4 ) = τu v Proto Dostaneme τu + τv = u, τu + v = v. u = v a u v = 1 2 τ u 2 = cos 4π 5 u 2. Vektory u a v jsou tedy stejné délky a svírají úhel 4 5 π.

23 Dihedrální grupa D 10 Grupa generovaná reflexemi R 1, R 2 a středovou symetríı x x

24 Dihedrální grupa D 10 Grupa generovaná reflexemi R 1, R 2 a středovou symetríı x x Orbita vektorů u, v V 1 D 10 : 5

25 Druhý kořen τ = 1 2 (1 5) pro definici Π 2 A 4 : e 2 e 1 e 4 e 3 Π 2 v τ v u τ u Opět u a v jsou stejné délky s úhlem 2 5 π. ( cos 2π 5 = 1 2 τ )

26 Druhý kořen τ = 1 2 (1 5) pro definici Π 2 A 4 : e 2 e 1 e 4 e 3 Π 2 v τ v u τ u Opět u a v jsou stejné délky s úhlem 2 5 π. ( cos 2π 5 = 1 2 τ ) Bod ae 1 + be 2 + ce 3 + de 4 mřížky A 4 se zobrazuje : Π 1 (a, b, c, d) = (a + τb)v + (c + τd)u Π 2 (a, b, c, d) = (a + τ b)v + (c + τd )u A máme Σ(Ω) = {(a + τb)v + (c + τd)u a, b, c, d Z, (a + τ b)v + (c + τd )u Ω}.

27 Jak volit Ω? Σ(Ω) má desetičetnou symetrii Ω má desetičetnou symetrii.

28 Jak volit Ω? Σ(Ω) má desetičetnou symetrii Ω má desetičetnou symetrii. Např. Ω kruh se středem v počátku:

29 Voronojovo a Delonovo dla z de nı

30 Obecněji Rotace o úhel 2π k pro k N vyžaduje iracionalitu cos 2π k. Experimentálně pozorované: 8-, 10- a 12-ti četné symetrie cos 2π k kvadratické číslo. 2 cos 2π = stříbrný řez x 2 = 2x cos 2π 10 = 1 2 (1 + 5) zlatý řez x 2 = x cos 2π = bronzový řez x 2 = 4x 1

31 Obecněji Rotace o úhel 2π k pro k N vyžaduje iracionalitu cos 2π k. Experimentálně pozorované: 8-, 10- a 12-ti četné symetrie cos 2π k kvadratické číslo. 2 cos 2π = stříbrný řez x 2 = 2x cos 2π 10 = 1 2 (1 + 5) zlatý řez x 2 = x cos 2π = bronzový řez x 2 = 4x 1 Ostatní nekrystalografické symetrie iracionalita vyššího řádu (např. k = 7 kubické číslo.)

32 Děkuji za pozornost.