To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

Transkript

1 STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To je samozřejmě základní pojem, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

2 POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ Před uvedením různých konvergencí posloupností nebo řad funkcí je vhodné rozvést některé základní pojmy definované dříve. Není nutné se soustředit jen na funkce jedné proměnné a ani na reálné funkce. Ale ani není nutné probírat téma v úplně obecnosti. Zobrazení f z Euklidovského prostoru do Euklidovského prostoru dimenze m je m- tice (f 1,..., f m ) funkcí více proměnných s hodnotami v R. Protože základní vlastnosti funkce f jsou určeny vlastnostmi funkcí f i a v R m je po souřadnicích, stačí probírat případy reálných funkcí více proměnných R n R a omezit se na n 2. Nicméně, vzhledem k zjednodušení zápisu budou některé pojmy zavedeny nebo probírány obecněji. DEFINICE. Necht M je množina a pro n N je f n zobrazení M R. Posloupnost {f n } konverguje bodově na M k zobrazení f : M R, jestliže lim n f n (x) = f(x) pro každé x M, tj. ε x M k N n k ( f n (x) f(x) < ε ). Obvyklé značení je lim f n = f nebo f n f. Bodový součet řady zobrazení se může definovat jako bodová limita posloupnosti částečných součtů řady, nebo rovností ( fn ) (x) = fn (x) (ukažte, že se dostane tentýž pojem). Jak je obvyklé z teorie řad čísel, i řady funkcí nebo jejich součet se značí f n. VĚTA. Pro bodovou konvergenci na množině M platí:

3 1. lim n (f n + g n ) = lim n f n + lim n g n, má-li pravá strana smysl. 2. lim n (f n g n ) = lim n f n lim n g n, má-li pravá strana smysl. 3. lim n (f n /g n ) = lim n f n / lim n g n, má-li pravá strana smysl. DŮSLEDEK. n (af n + bg n ) = a n f n + b n g n, má-li pravá strana smysl, kde a, b jsou reálná čísla

4 STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Bodová limita posloupnosti spojitých funkcí nemusí být spojitá (například x n ) a jsou i další vlastnosti, které nemá. Je proto vhodné přidat nějakou další podmínku na konvergenci, aby se vyloučily ony špatné situace. Takovou jednoduchou podmínkou je stejnoměrnost : DEFINICE. Necht M je množina a pro n N je f n zobrazení M R. Posloupnost {f n } konverguje stejnoměrně na M k zobrazení f : M R, jestliže ε k N x M n k f n (x) f(x) < ε. Obvyklé značení je f n f. DEFINICE. Řada funkcí n f n konverguje na M stejnoměrně k funkci f, jestliže posloupnost částečných součtů { n f i } konverguje na M stejnoměrně k f. i=1 POZOROVÁNÍ. 1. Konverguje-li posloupnost {f n } k f stejnoměrně na M, konverguje na M k f i bodově. 2. (Bolzanova Cauchyova podmínka) Posloupnost {f n } konverguje na M stejnoměrně k nějaké funkci právě když platí: ε k N x M m, n k f n (x) f m (x) < ε.

5 3. Řada n f n konverguje na M stejnoměrně právě když platí: ε k N x M f n (x) < ε. n=k Poslední podmínka pro stejnoměrnou konvergenci řad lze též přepsat pomocí Bolzanovy Cauchyovy podmínky: ( ) m ε k N x M m > l > k f n (x) < ε. VĚTA. n=l

6 1. Posloupnost {f n } konverguje na M stejnoměrně k funkci f právě když platí lim n sup f n (x) f(x) = 0. x M 2. Jestliže f n má na M majorantní stejnoměrně konvergentní řadu (tj., existuje stejnoměrně konvergentní řada g n na M taková, že f n (x) g n (x) pro každé n a každé x M), pak f n konverguje na M stejnoměrně. 3. Necht f n (x) c n pro každé x M a c n konverguje. Pak f n konverguje na M stejnoměrně. Poslední podmínka pro stejnoměrnou konvergenci se často nazývá Weierstrassovo kritérium. V kapitole o číselných řadách byly, kromě kritérií pro absolutní konvergenci, dvě další kritéria pro konvergenci, a to Dirichletovo a Abelovo (Leibnizovo kritérium je speciální případ Dirichletova kritéria). VĚTA. Necht {f n }, {g n } jsou dvě posloupnosti funkcí na intervalu I. Řada konverguje na I stejnoměrně, jestliže {f n } je monotónní a bud n=1 f n g n (a) f n konverguje stejnoměrně k 0, {g n } má stejně omezené částečné součty (Dirichlet) nebo (b) {f n } je omezená a řada g n konverguje stejnoměrně na I (Abel), n=1

7 DŮSLEDEK. (Leibniz) Necht {f n }, {g n } je posloupnost nezáporných funkcí na intervalu I. Řada ( 1) n f n konverguje na I stejnoměrně, pokud {f n } je monotónní a f n n=1 konverguje stejnoměrně k 0 na I

8 VLASTNOSTI STEJNOMĚRNÉ KONVERGENCE Přestože lze následující tvrzení o i a limitách dokázat i pro funkce více proměnných, pro jednoduchost budou v této části uvažovány funkce jedné proměnné, tj. definiční obor M bude podmnožinou reálných čísel.

9 Spojitost VĚTA. Necht {f n } je posloupnost (stejnoměrně) spojitých funkcí na M, která na M konverguje stejnoměrně k funkci f. Potom je f (stejnoměrně) spojitá funkce na M. DŮSLEDEK. Necht řada f n (stejnoměrně) spojitých funkcí na M konverguje stejnoměrně k funkci f. Potom je f (stejnoměrně) spojitá na M. Existuje situace, kdy lze předchozí větu obrátit. Monotónní posloupnost funkcí f n je bud nerostoucí nebo neklesající posloupnost, tj, např. v prvním případě, pro každé x z definičního oboru funkcí f n je f n (x) f n+1 (x). VĚTA. (Dini) Necht posloupnost spojitých funkcí konverguje monotónně ke spojité funkci na kompaktní množině. Pak je tato

10 Stejnoměrná a Pokud f n f a lim f n (x) = p n, nastává otázka, zda lim n p n = lim f(x), tj., zda lze x a x a přehodit lim lim f n (x) = lim lim f n (x). n x a x a n Jak ukazuje příklad f n (x) = x n na [0, 1] a a = 1, pro bodovou konvergenci tato záměna limit platit nemusí. VĚTA. Necht {f n } je posloupnost funkcí na M, která na M konverguje stejnoměrně k funkci f. Pro libovolný hromadný bod a množiny M platí existuje-li pravá strana. lim n lim f n (x) = lim lim f n (x), x a x a n

11 DŮSLEDEK. Necht řada f n spojitých funkcí na M konverguje stejnoměrně. Potom pro libovolný bod a I je lim f n(x) = lim f n (x), x a x a existuje-li jedna strana. n n 4 4 4

12 Stejnoměrná a Opět se dají najít jednoduché příklady, že nelze přehodit limitu a integraci u bodové. VĚTA. Necht {f n } je posloupnost funkcí na omezeném intervalu I v R, která na I konverguje stejnoměrně k funkci f. Je-li {F n } posloupnost primitivních funkcí k f n na I, která konverguje alespoň v jednom bodě z I, pak {F n } konverguje stejnoměrně k primitivní funkci k f na I. DŮSLEDEK. Necht f n je řada funkcí na omezeném intervalu I v R, která na I konverguje stejnoměrně k funkci f. Jsou-li F n primitivní funkce k f n na I takové, že řada Fn (x) konverguje alespoň v jednom bodě x z I, pak F n konverguje stejnoměrně k primitivní funkci k f na I. Předchozí větu a její důsledek lze použít pro určité y: VĚTA. Necht {f n } je posloupnost spojitých funkcí na omezeném intervalu I. 1. Jestliže {f n } konverguje na I stejnoměrně k funkci f. Pak pro libovolný interval [a, b] I platí b a f(x) dx = lim n b a f n (x) dx.

13 2. Jestliže f n konverguje na I stejnoměrně k funkci f. Pak pro libovolný interval [a, b] I platí b a f(x) dx = n b a f n (x) dx.

14 Stejnoměrná a VĚTA. Necht {f n } je posloupnost spojitých funkcí na omezeném intervalu I, která konverguje alespoň v jednom bodě z I a {f n} konverguje na I stejnoměrně k funkci g. Potom {f n } konverguje na I stejnoměrně k nějaké funkci f a f = g

15 MOCNINNÉ ŘADY Speciální případ řad funkcí, tzv. mocninné řady, se probíral v kapitole o Taylorových řadách funkcí. Některé podrobnosti o mocninných řadách budou nyní uvedeny, další budou probrány v kapitolách o komplexních funkcích. Na rozdíl od probíraných Taylorových řad se obecné mocninné řady budou definovat v rovině (tj., pro komplexní čísla). DEFINICE. Mocninná řada je řada Bod z 0 se nazývá střed mocninné řady. VĚTA. Pro každou mocninnou řadu a n (z z 0 ) n, kde a n, z 0, z R 2. a n (z z 0 ) n existuje číslo ρ [0, + ] takové, že řada konverguje na množině {z; z z 0 < ρ} a diverguje na množině {z; z z 0 > ρ}. Platí ρ = (lim sup n a n ) 1.

16 Číslo ρ z předchozí věty se nazývá dané mocninné řady. Z důkazu věty vyplývá následující tvrzení: DŮSLEDEK. Je-li q (0, ρ), kde ρ je řady tato řada konverguje stejnoměrně a absolutně na množině {z; z z 0 q}. a n (z z 0 ) n, pak DŮSLEDEK. Součtem mocninné řady je funkce spojitá na množině {z; z z 0 < ρ}, kde ρ je řady. Protože konverguje stejnoměrně na uzavřených kruzích uvnitř kruhu, lze použít předchozí věty o integraci a derivaci řad. VĚTA. Necht a n (x x 0 ) n má součet f(x) na intervalu (x 0 ρ, x 0 + ρ), kde ρ je řady. Potom na intervalu (x 0 ρ, x 0 + ρ) platí 1. f (x) = na n (x x 0 ) n 1 a této řady je ρ. 2. n=1 a n n+1 (x x 0) n+1 je primitivní funkce k f a této řady je ρ. Z druhého tvrzení vyplývá, že pro (a, b) (x 0 ρ, x 0 + ρ) je b a n f(x) dx = n + 1 ((b x 0) n+1 (a x 0 ) n+1 ). a

17 DŮSLEDEK. Necht funkce f je na otevřeném intervalu I součtem mocninné řady. Pak f má všech řádů na I. DŮSLEDEK. Necht funkce f je na otevřeném intervalu I součtem mocninné řady a n (x x 0 ) n. Potom a n = f (n) (x 0 ) n! jsou Taylorovy koeficienty funkce f v bodě x 0. VĚTA. (Abel) Necht a n (x x 0 ) n má součet f(x) na intervalu (x 0 ρ, x 0 + ρ), kde ρ je řady. Tato konverguje v bodě x 0 + ρ (nebo x 0 ρ) právě když tato konverguje na [x 0, x 0 + ρ) (resp. na (x 0 ρ, x 0 ]) stejnoměrně. To nastane právě když konverguje x 0 ) n. (Obdobně pro ρ.) a n ρ n ; tento součet se pak rovná lim x x 0 +ρ a n (x

18 z kapitoly STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE

19 POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ Zobrazení f z Euklidovského prostoru do Euklidovského prostoru dimenze m je m- tice (f 1,..., f m ) funkcí více proměnných s hodnotami v R. Protože základní vlastnosti funkce f jsou určeny vlastnostmi funkcí f i a v R m je po souřadnicích, stačí probírat případy reálných funkcí více proměnných R n R a omezit se na n 2. DEFINICE. Necht M je množina a pro n N je f n zobrazení M R. Posloupnost {f n } konverguje bodově na M k zobrazení f : M R, jestliže lim n f n (x) = f(x) pro každé x M, tj. ε x M k N n k ( f n (x) f(x) < ε ). Obvyklé značení je lim f n = f nebo f n f. Bodový součet řady zobrazení se může definovat jako bodová limita posloupnosti částečných součtů řady, nebo rovností ( fn ) (x) = fn (x) (ukažte, že se dostane tentýž pojem). Jak je obvyklé z teorie řad čísel, i řady funkcí nebo jejich součet se značí f n. Bodová limita spojitých funkcí f n (x) = x n na intervalu [0, 1] není spojitá.

20 Bodovým limitám spojitých funkcí se říká funkce 1. Baireovy třídy. Funkce spojité jsou formálně 0.třídy.

21 STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE DEFINICE. Necht M je množina a pro n N je f n zobrazení M R. Posloupnost {f n } konverguje stejnoměrně na M k zobrazení f : M R, jestliže Obvyklé značení je f n f. ε k N x M n k f n (x) f(x) < ε. DEFINICE. Řada funkcí n f n konverguje na M stejnoměrně k funkci f, jestliže posloupnost částečných součtů { n f i } konverguje na M stejnoměrně k f. i=1 POZOROVÁNÍ. 1. Konverguje-li posloupnost {f n } k f stejnoměrně na M, konverguje na M k f i bodově. 2. (Bolzanova Cauchyova podmínka) Posloupnost {f n } konverguje na M stejnoměrně k nějaké funkci právě když platí: ε k N x M m, n k f n (x) f m (x) < ε. 3. Řada n f n konverguje na M stejnoměrně právě když platí: ε k N x M f n (x) < ε. n=k

22 Poslední podmínka pro stejnoměrnou konvergenci řad lze též přepsat pomocí Bolzanovy Cauchyovy podmínky: ( ) m ε k N x M m > l > k f n (x) < ε. n=l VĚTA. 1. (σ n podmínka.) Označme σ n = sup f n (x) f(x). x M Posloupnost {f n } konverguje na M stejnoměrně k funkci f právě když platí lim n σ n = 0.

23 2. (Majoranta.) Jestliže f n má na M majorantní stejnoměrně konvergentní řadu (tj., existuje stejnoměrně konvergentní řada g n na M taková, že f n (x) g n (x) pro každé n a každé x M), pak f n konverguje na M stejnoměrně. 3. (Weierstrass. M-test.) Necht f n (x) c n pro každé x M a c n konverguje. Pak f n konverguje na M stejnoměrně. VĚTA. Necht {f n }, {g n } jsou dvě posloupnosti funkcí na intervalu I. Řada konverguje na I stejnoměrně, jestliže {f n } je monotónní a bud n=1 f n g n (a) f n konverguje stejnoměrně k 0, {g n } má stejně omezené částečné součty (Dirichlet) nebo (b) {f n } je omezená a řada g n konverguje stejnoměrně na I (Abel), n=1 DŮSLEDEK. (Leibniz) Necht {f n }, {g n } je posloupnost nezáporných funkcí na intervalu I. Řada ( 1) n f n konverguje na I stejnoměrně, pokud {f n } je monotónní a f n n=1 konverguje stejnoměrně k 0 na I.

24 VLASTNOSTI STEJNOMĚRNÉ KONVERGENCE

25 Spojitost VĚTA. Necht {f n } je posloupnost (stejnoměrně) spojitých funkcí na M, která na M konverguje stejnoměrně k funkci f. Potom je f (stejnoměrně) spojitá funkce na M. DŮSLEDEK. Necht řada f n (stejnoměrně) spojitých funkcí na M konverguje stejnoměrně k funkci f. Potom je f (stejnoměrně) spojitá na M. Pro monotónní funkce lze větu obrátit. Monotónní posloupnost funkcí f n je bud nerostoucí nebo neklesající posloupnost, tj, např. v prvním případě, pro každé x z definičního oboru funkcí f n je f n (x) f n+1 (x). VĚTA. (Dini) Necht posloupnost spojitých funkcí konverguje monotónně ke spojité funkci na kompaktní množině. Pak je tato.

26 Stejnoměrná a Pokud f n f a lim f n (x) = p n, nastává otázka, zda lim n p n = lim f(x), tj., zda lze x a x a přehodit lim lim f n (x) = lim lim f n (x). n x a x a n Jak ukazuje příklad f n (x) = x n na [0, 1] a a = 1, pro bodovou konvergenci tato záměna limit platit nemusí. VĚTA. Necht {f n } je posloupnost funkcí na M, která na M konverguje stejnoměrně k funkci f. Pro libovolný hromadný bod a množiny M platí existuje-li pravá strana. lim n lim f n (x) = lim lim f n (x), x a x a n

27 DŮSLEDEK. Necht řada f n spojitých funkcí na M konverguje stejnoměrně. Potom pro libovolný bod a I je lim f n(x) = lim f n (x), x a x a existuje-li jedna strana. n n

28 Stejnoměrná a Opět se dají najít jednoduché příklady, že nelze přehodit limitu a integraci u bodové. Například f n (x) = (n + 1)x n na [0, 1). VĚTA. Necht {f n } je posloupnost funkcí na omezeném intervalu I v R, která na I konverguje stejnoměrně k funkci f. Je-li {F n } posloupnost primitivních funkcí k f n na I, která konverguje alespoň v jednom bodě z I, pak {F n } konverguje stejnoměrně k primitivní funkci k f na I. DŮSLEDEK. Necht f n je řada funkcí na omezeném intervalu I v R, která na I konverguje stejnoměrně k funkci f. Jsou-li F n primitivní funkce k f n na I takové, že řada Fn (x) konverguje alespoň v jednom bodě x z I, pak F n konverguje stejnoměrně k primitivní funkci k f na I. VĚTA. Necht {f n } je posloupnost spojitých funkcí na omezeném intervalu I. 1. Jestliže {f n } konverguje na I stejnoměrně k funkci f. Pak pro libovolný interval [a, b] I platí b a f(x) dx = lim n b a f n (x) dx. 2. Jestliže f n konverguje na I stejnoměrně k funkci f. Pak pro libovolný interval [a, b] I platí b a f(x) dx = n b a f n (x) dx.

29 Stejnoměrná a VĚTA. Necht {f n } je posloupnost spojitých funkcí na omezeném intervalu I, která konverguje alespoň v jednom bodě z I a {f n} konverguje na I stejnoměrně k funkci g. Potom {f n } konverguje na I stejnoměrně k nějaké funkci f a f = g. Příklad. Porovnejte na [0, 1] konvergenci f n (x) = x n, g n (x) = x n x n+1, h n (x) = x n x 2n. Příklad. (Trik nx.) Pro danou funkci g(x) zkoumejte chování f n (x) = g(nx). Příklad. (Trik x/n.) Pro danou funkci g(x) zkoumejte chování f n (x) = g(x/n). Příklad. (Trik x n.) Pro danou funkci g(x) zkoumejte chování f n (x) = g(x n ). Příklad. (Trik n x.) Pro danou funkci g(x) zkoumejte chování f n (x) = g( n x).

30 DEFINICE. Mocninná řada je řada MOCNINNÉ ŘADY Bod z 0 se nazývá střed mocninné řady. a n (z z 0 ) n, kde a n, z 0, z R 2. VĚTA. Pro každou mocninnou řadu a n (z z 0 ) n existuje číslo ρ [0, + ] takové, že řada konverguje na množině {z; z z 0 < ρ} a diverguje na množině {z; z z 0 > ρ}. Platí ρ = (lim sup n a n ) 1. Číslo ρ z předchozí věty se nazývá dané mocninné řady. DŮSLEDEK. Je-li q (0, ρ), kde ρ je řady tato řada konverguje stejnoměrně a absolutně na množině {z; z z 0 q}. a n (z z 0 ) n, pak

31 DŮSLEDEK. Součtem mocninné řady je funkce spojitá na množině {z; z z 0 < ρ}, kde ρ je řady. VĚTA. Necht a n (x x 0 ) n má součet f(x) na intervalu (x 0 ρ, x 0 +ρ), kde ρ je řady. Potom na intervalu (x 0 ρ, x 0 + ρ) platí 1. f (x) = na n (x x 0 ) n 1 a této řady je ρ. 2. n=1 a n n+1 (x x 0) n+1 je primitivní funkce k f a této řady je ρ. Z druhého tvrzení vyplývá, že pro (a, b) (x 0 ρ, x 0 + ρ) je b a n f(x) dx = n + 1 ((b x 0) n+1 (a x 0 ) n+1 ). a DŮSLEDEK. Necht funkce f je na otevřeném intervalu I součtem mocninné řady. Pak f má všech řádů na I. DŮSLEDEK. Necht funkce f je na otevřeném intervalu I součtem mocninné řady a n (x x 0 ) n. Potom a n = f (n) (x 0 ) n!

32 jsou Taylorovy koeficienty funkce f v bodě x 0. VĚTA. (Abel) Necht a n (x x 0 ) n má součet f(x) na intervalu (x 0 ρ, x 0 + ρ), kde ρ je řady. Tato konverguje v bodě x 0 + ρ (nebo x 0 ρ) právě když tato konverguje na [x 0, x 0 + ρ) (resp. na (x 0 ρ, x 0 ]) stejnoměrně. To nastane právě když konverguje x 0 ) n. (Obdobně pro ρ.) a n ρ n ; tento součet se pak rovná Příklad. Pomocí mocninných řad sečtěte (tam, kde to jde) x n n. Příklad. Pomocí mocninných řad sečtěte (tam, kde to jde) (n + 1)x n. lim x x 0 +ρ a n (x Příklad. Najděte Taylorovu řadu arctg x pomocí rozvoje. Příklad. Najděte Taylorovu řadu log(x + 1) pomocí rozvoje. Pomocí Abelovy věty o limitě mocninných řad ukažte, že Taylorův rozvoj funkce log(x + 1) je platný i pro x = 1. Příklad. Sečtěte následující řadu + n=1 ( 1) n 2n + 3.

33 Řešení. Nejprve si uvědomme, že podle Dirichlet-Abelova kriteria z řada konverguje. Budeme uvažovat řadu + ( 1) n S(x) = 2n + 3 x2n+3, pro x (0, 1). Derivací této řady získáme řadu kterou již snadno sečteme. S (x) = + n=2 + n=1 n=1 Pro primitivní funkce tedy platí rovnost ( 1) n x 2n+2 = + n=2 ( 1) n (x 2 ) n, ( 1) n (x 2 ) n = 1 + x x 2 S(x) = x x3 + arctan x. Podle Abelovy věty je hledaný součet roven limitě lim x 1 S(x) = π 4 = π 4. Příklad. Spočtěte s přesností 10 3 následující 1 0 e x2 dx.

34 Řešení. Protože neznáme primitivní funkci k e x2, využijeme teorie mocninných řad. 1 0 e x2 dx = ( 1) n x 2n n! dx Protože například dostáváme výsledek ( 1) n x 2n n! + n=11 dx = (2n + 1)n! e x2 dx. = n=11 ( 1) n x 2n 10 n! dx = n = 2 10 < 10 3, ( 1) n (2n + 1)n!. ( 1) n (2n + 1)n!.