Teorie množin. pro fajnšmekry - TeMno. Lenka Macálková BR Solutions Orličky. Lenka (Brkos 2010) TeMno
|
|
|
- Břetislav Svoboda
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Teorie množin pro fajnšmekry - TeMno Lenka Macálková BR Solutions Orličky Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
2 Bylo nebylo... Starověké Řecko - nekonečnost nepochopená (úsečka vs. přímka) 15. stol. - Mikuláš Kusánský - představa o nekonečném vesmíru otázka porovnávání nekonečných systémů dle velikosti - Galileo Galilei 20. léta 19. století - Leibnitz, Newton, Cauchy - nekonečně malé veličiny a limita 50. léta 19. století - Bernard Bolzano a Paradoxy nekonečna 70. léta 19. století - Georg Cantor - zakladatel teorie množin, důkaz existence dvou neekvivalentních nekonečných množin Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
3 Co bylo dál? Problémy s Cantorovou naivní teorií množin - antimonie: Zermelova: Množina všech množin, které nejsou svým vlastním prvkem Russelův paradox holiče: Holič (voják) dostal rozkaz holit jen ty vojáky své čety, kteří se sami neholí, a nesmí holit nikoho jiného Berryho: Bud k nejmenší přirozené číslo, které nelze definovat českou větou o nejvýše dvaceti slovech. 3. krize matematiky - východiskem je axiomatická výstavba (Zermel, Gödel) Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
4 Nějaké pojmy na začátek Definice Množinou rozumíme libovolně, jednoznačně vymezený souhrn nějakých objektů. Tyto objekty nazýváme prvky množiny. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
5 Nějaké pojmy na začátek Definice Množinou rozumíme libovolně, jednoznačně vymezený souhrn nějakých objektů. Tyto objekty nazýváme prvky množiny. extenzionalita: A = B ( x)(x A x B) prázdná množina: - množina, která nemá žádné prvky konečná vs. nekonečná množina množinová inkluze a podmnožiny Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
6 Sjednocení, průnik a rozdíl Bud I libovolná (tzv. indexová) množina. Bud A i množina pro každé i I. Sjednocením množin A i, i I nazýváme množinu A i = {x; i 0 I : x A i0 }. i I Průnikem množin A i, i I nazýváme množinu A i = {x; i I : x A i }. i I Ještě si řekneme, co pro nás znamená rozdíl množin A, B: A B = {x; x A x B} Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
7 Kartézský součin Definice Kartézským součinem množin A, B rozumíme množinu A B = {(a, b); a A, b B} Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
8 Kartézský součin Definice Kartézským součinem množin A, B rozumíme množinu A B = {(a, b); a A, b B} POZOR! Kartézský součin není komutativní! Kartézská mocnina je zavedena analogickým způsobem jako A A... A }{{} n krát Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
9 Relace a zase relace Definice Necht A, B jsou množiny. Pak libovolná podmnožina ϱ kartézského součinu A B se nazývá relace mezi množinami A a B. Je-li (x, y) ϱ, říkáme, že prvek x je v relaci ρ s prvkem y, často zapisujeme xϱy. Pokud uvážíme součin A A, říkáme, že se jedná o relaci na množině A. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
10 Relace a zase relace Definice Necht A, B jsou množiny. Pak libovolná podmnožina ϱ kartézského součinu A B se nazývá relace mezi množinami A a B. Je-li (x, y) ϱ, říkáme, že prvek x je v relaci ρ s prvkem y, často zapisujeme xϱy. Pokud uvážíme součin A A, říkáme, že se jedná o relaci na množině A. Jaká může být relace ϱ na množině A? reflexivní: a A platí, že aϱa symetrická: pokud aϱb pak i bϱa antisymetrická: jestliže aϱb bϱa, pak a = b tranzitivní: jestliže aϱb bϱc, pak aϱc úplná: platí bud aϱb nebo bϱa Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
11 Ještě jednou relace M ϱ R S A T Ú {a, b, c, d} {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c)} N N N N N neprázdná N A A A N neprázdná M M A A * A N neprázdná {(x, x), x M} A A A A * P(A) {(X, Y ), X, Y P(A) X Y } A ** A A *** N {(a, b), a, b N a b} A A A A N Z {(a, b), a, b Z a b(mod m)} N A N A N - je-li M jednoprvková, tak ano - je-li A prázdná, tak ano - je-li A prázdná nebo jednoprvková, tak ano Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
12 Zobrazení Definice Uvedeme dvě definice zobrazení: Necht A, B jsou libovolné množiny. Předpis f, který každému prvku množiny A přiřazuje právě jeden prvek množiny B, se nazývá zobrazení množiny A do množiny B, ozn. f : A B Necht A, B jsou množiny a necht f je relace mezi množinami A, B splňující podmínku: ke každému a A existuje prrávě jedno y B tak, že platí xfy. Pak uspřádanou trojici (A, B, f ) nazýváme zobrazením množiny A do množiny B. První z nich není až tak úplně matematicky korektní, problém dělá pojem předpis. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
13 Zobrazení Někdy bychom chtěli, aby zobrazení mělo nějaké pěkné vlastnosti, protože díky nim se pak dostaneme k velmi zajímavým věcem. Nyní uvažme zobrazení f : A B, f (a) = b a A. Prvku a se říká vzor a prvku b obraz prvku a. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
14 Zobrazení Někdy bychom chtěli, aby zobrazení mělo nějaké pěkné vlastnosti, protože díky nim se pak dostaneme k velmi zajímavým věcem. Nyní uvažme zobrazení f : A B, f (a) = b a A. Prvku a se říká vzor a prvku b obraz prvku a. injektivní: každé dva různé prvky množiny A se vždy zobrazí na dva různé prvky množiny B surjektivní: na každý prvek množiny B se vždy zobrazí nějaký prvek množiny A bijektivní: injektivní a surjektivní zároveň Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
15 Zobrazení Někdy bychom chtěli, aby zobrazení mělo nějaké pěkné vlastnosti, protože díky nim se pak dostaneme k velmi zajímavým věcem. Nyní uvažme zobrazení f : A B, f (a) = b a A. Prvku a se říká vzor a prvku b obraz prvku a. injektivní: každé dva různé prvky množiny A se vždy zobrazí na dva různé prvky množiny B surjektivní: na každý prvek množiny B se vždy zobrazí nějaký prvek množiny A bijektivní: injektivní a surjektivní zároveň Pokud je zobrazení bijektivní, můžeme sestrojit zobrazení f 1 : B A, pro každé b B je f 1 (b) = a, kde pro a platí f (a) = b. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
16 Skládání zobrazení Můžu nějak dávat do kopy zobrazení? Není problém! Říká se tomu skládání: Necht f : A B, g : B C jsou zobrazení množin. Potom zobrazení (g f ) : A C dané předpisem (g f )(a) = g(f (a)), a A se nazývá složené zobrazení g po f. POZOR! Skládání zobrazení není komutativní! Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
17 Uspořádáné množiny Definice Necht M s relací ϱ, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Pak se relace ϱ nazývá uspořádání a M se nazývá uspořádaná množina. Pokud je uspořádání navíc úplné (tj. každé dva prvky jsou srovnatelné), nazývá se M řetězec nebo lineárně uspořádaná množina Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
18 Uspořádáné množiny Definice Necht M s relací ϱ, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Pak se relace ϱ nazývá uspořádání a M se nazývá uspořádaná množina. Pokud je uspořádání navíc úplné (tj. každé dva prvky jsou srovnatelné), nazývá se M řetězec nebo lineárně uspořádaná množina Relaci uspořádání si obvykle označujeme nebo, ale není to vysloveně pravidlem Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
19 Uspořádáné množiny Definice Necht M s relací ϱ, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Pak se relace ϱ nazývá uspořádání a M se nazývá uspořádaná množina. Pokud je uspořádání navíc úplné (tj. každé dva prvky jsou srovnatelné), nazývá se M řetězec nebo lineárně uspořádaná množina Relaci uspořádání si obvykle označujeme nebo, ale není to vysloveně pravidlem Příklady: Množina (P(A), ) je uspořádaná. Pokud je A = nebo je A jednoprvková, je dokonce lineárně uspořádaná Množina (N, ) je uspořádaná, ale (Z, ) uspořádaná není Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
20 Uspořádané množiny a izomorfismus V uspořádaných množinách mají některé prvky zajímavé postavení: nejmenší (největší) prvek a: x M platí a x (x a) minimální (maximální) prvek a: x M: x < a (a < x) Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
21 Uspořádané množiny a izomorfismus V uspořádaných množinách mají některé prvky zajímavé postavení: nejmenší (největší) prvek a: x M platí a x (x a) minimální (maximální) prvek a: x M: x < a (a < x) Izomorfismus Necht A, B jsou uspořádané množiny. Zobrazení f : A B se nazývá izomorfismem množin A, B, jestliže je bijektivní, zachovává uspořádání a f 1 rovněž zachovává uspořádání (tomu se říká, že je izotonní). Množiny A, B pak nazýváme izomorfní a píšeme A = B. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
22 Uspořádané množiny a izomorfismus V uspořádaných množinách mají některé prvky zajímavé postavení: nejmenší (největší) prvek a: x M platí a x (x a) minimální (maximální) prvek a: x M: x < a (a < x) Izomorfismus Necht A, B jsou uspořádané množiny. Zobrazení f : A B se nazývá izomorfismem množin A, B, jestliže je bijektivní, zachovává uspořádání a f 1 rovněž zachovává uspořádání (tomu se říká, že je izotonní). Množiny A, B pak nazýváme izomorfní a píšeme A = B. Příklady: f : (N, ) (N, ) není izomorfismus, nebot f 1 není izotonní f : (N, ) (2N, ) je izomorfismus Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
23 Dobře uspořádané množiny Definice Uspořádaná množina se nazývá dobře uspořádaná, jestliže každá její neprázdná podmnožina má nejmenší prvek Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
24 Dobře uspořádané množiny Definice Uspořádaná množina se nazývá dobře uspořádaná, jestliže každá její neprázdná podmnožina má nejmenší prvek Vlastnosti dobře uspořádané množiny A A je řetězec. je-li A, pak A obsahuje nejmenší prvek je-li B A, pak B je dobře uspořádaná je-li A = B, pak je B dobře uspořádaná není-li x největší v A, pak v A existuje bezprostřední následník x Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
25 Dobře uspořádané množiny Věta Řetězec je dobře uspořádaný právě tehdy, když každý jeho klesající řetězec je konečný. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
26 Dobře uspořádané množiny Věta Řetězec je dobře uspořádaný právě tehdy, když každý jeho klesající řetězec je konečný. Důkaz B A lib. Necht x 1 B lib. Pokud je x 1 nejmenší, tak je B DUM. Pokud ne, pak x 2 < x 1, nebot A je řetězec. Pokračujeme analogicky. Protože každý podřetězec je konečný, je B DUM. Necht v A existuje nekonečný klesající řetězec x 1 > x 2 >... > x n >... Pak množina {x 1, x 2,..., x n,...} nemá nejmenší prvek, tedy A by nebyla DUM. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
27 Dobře uspořádané množiny Věta Řetězec je dobře uspořádaný právě tehdy, když každý jeho klesající řetězec je konečný. Důkaz B A lib. Necht x 1 B lib. Pokud je x 1 nejmenší, tak je B DUM. Pokud ne, pak x 2 < x 1, nebot A je řetězec. Pokračujeme analogicky. Protože každý podřetězec je konečný, je B DUM. Necht v A existuje nekonečný klesající řetězec x 1 > x 2 >... > x n >... Pak množina {x 1, x 2,..., x n,...} nemá nejmenší prvek, tedy A by nebyla DUM. Důsledek Každý konečný řetězec je dobře uspořádaný. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
28 Dobře uspořádané množiny Věta Mějme dobře uspořádanou množinu A a její podmnožinu B takovou, že existuje izomorfismus f : A B. Pak pro každý prvek a A platí, že a f (a). Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
29 Dobře uspořádané množiny Věta Mějme dobře uspořádanou množinu A a její podmnožinu B takovou, že existuje izomorfismus f : A B. Pak pro každý prvek a A platí, že a f (a). Důkaz Ozn. K = {x; x A, f (x) < x} a předpokládejme, že K. Pak K obsahuje nejmenší prvek x 0. Položme x 1 = f (x 0 ). Protože x 0 K, je x 1 = f (x 0 ) < x 0. Protože je f izomorfismus, je f (x 1 ) < f (x 0 ) = x 1, tzn. x 1 K. Ale to je spor, protože x 0 je nejmenší prvek množiny K. Tedy K =. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
30 Začátek a jeho vlastnosti Definice Necht A je uspořádaná množina a B její podmnožina. Jestliže pro každé b B platí, že {x, x A, x b} B, pak se B nazývá začátek množiny A. Pokud je navíc B A, nazývá se B vlastní začátek. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
31 Začátek a jeho vlastnosti Definice Necht A je uspořádaná množina a B její podmnožina. Jestliže pro každé b B platí, že {x, x A, x b} B, pak se B nazývá začátek množiny A. Pokud je navíc B A, nazývá se B vlastní začátek. Věta Dobře uspořádaná množina není izomorfní s žádným svým vlastním začátkem Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
32 Začátek a jeho vlastnosti Definice Necht A je uspořádaná množina a B její podmnožina. Jestliže pro každé b B platí, že {x, x A, x b} B, pak se B nazývá začátek množiny A. Pokud je navíc B A, nazývá se B vlastní začátek. Věta Dobře uspořádaná množina není izomorfní s žádným svým vlastním začátkem Důkaz A je DUM, B vlastní začátek v A. Pak B A, takže A B. Množina A B obsahuje nejmenší prvek a 0. Je zřejmé, že a 0 > b pro všechna b B. Připust me, že X B : A = X. Bud f : A X izomorfismus. Pak f (a 0 ) X B, tj. f (a 0 ) < a 0, což dle předchozí věty nelze. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
33 Začátek a jeho vlastnosti Důsledek A je DUM, bud te B, C začátky v A. Je-li B = C, pak B = C Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
34 Začátek a jeho vlastnosti Důsledek A je DUM, bud te B, C začátky v A. Je-li B = C, pak B = C Důkaz Je-li B = A, B = C je B = C dle předchozí věty. Necht B, C jsou vlastní začátky v A. Je-li B C je B vlastní začátek v C nebo C vlastní začátek v B, pak ale B, C nemohou být podle předchozí věty izomorfní. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
35 Izomorfismy dobře uspořádaných množin Označme A(x) = {t; t A, t < x}. Uvědomme si, že pro DUM je A(x) vlastní začátek. Navíc pokud je B A vlastní začátek v A, pak existuje x A tak, že B = A(x) Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
36 Izomorfismy dobře uspořádaných množin Označme A(x) = {t; t A, t < x}. Uvědomme si, že pro DUM je A(x) vlastní začátek. Navíc pokud je B A vlastní začátek v A, pak existuje x A tak, že B = A(x) Věta Bud te A, B dobře uspořádané množiny. Jestliže jsou A, B izomorfní, pak mezi nimi existuje právě jeden izomorfismus. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
37 Izomorfismy dobře uspořádaných množin Označme A(x) = {t; t A, t < x}. Uvědomme si, že pro DUM je A(x) vlastní začátek. Navíc pokud je B A vlastní začátek v A, pak existuje x A tak, že B = A(x) Věta Bud te A, B dobře uspořádané množiny. Jestliže jsou A, B izomorfní, pak mezi nimi existuje právě jeden izomorfismus. Důkaz Bud te f : A B, g : A B izomorfismy a připust me, že f g. Pak x 0 : f (x 0 ) g(x 0 ). Protože f je izomorfismus, je A(x 0 ) = B(f (x 0 )), protože g je izomorfismus, je A(x 0 ) = B(g(x 0 )). Tzn. B(f (x 0 )) = B(g(x 0 )). Podle věty se izomorfní začátky rovnají, tedy f (x 0 ) = g(x 0 ), ale to je spor. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
38 Vztah mezi uspořádanými množinami Věta Pro dobře uspořádané množiny A, B nastává právě jedna z množností: A = B A = B(x) B = A(x) pro vhodné x A, resp. B. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
39 Úplná indukce Indukce je výborným prostředkem pro dokazování některých tvrzení platných pro dobře uspořádané množiny: Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
40 Úplná indukce Indukce je výborným prostředkem pro dokazování některých tvrzení platných pro dobře uspořádané množiny: Úplná indukce Důkazová metoda o dvou krocích: Necht V (n) je výroková funkce na přirozených číslech 1 V (1) 2 ( n N)(V (n) = V (n + 1)). Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
41 Princip transinitní indukce Transinitní indukce Necht A je dobře uspořádaná množina s nejmenším prvkem a 0. Necht V (a) je výroková funkce na A. Necht platí: 1 P(a 0 ) je pravdivý 2 a A platí: je-li P(x) pravda x < a, je také P(a) pravda. Pak P(a) je pravda pro všechna a A. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
42 Princip transinitní indukce Transinitní indukce Necht A je dobře uspořádaná množina s nejmenším prvkem a 0. Necht V (a) je výroková funkce na A. Necht platí: 1 P(a 0 ) je pravdivý 2 a A platí: je-li P(x) pravda x < a, je také P(a) pravda. Pak P(a) je pravda pro všechna a A. Důkaz Necht platí předpoklady. Připust me, že A = {x; x A, P(x)jenepravdivý}. Protože A je DUM, obsahuje A nejmenší prvek y 0. Je y 0 > a 0, nebot P(x 0 ) je pravdivý. Pro každé t A, t < y 0 je výrok pravdivý, takže podle předpokladu je také P(y 0 ) pravda, což je spor. Tedy A =. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
43 Axiom výběru Příklad Na R definujeme relaci ϱ = {[x, y], x, y R, x y Q} Kdybychom R rozkouskovali podle této relace, tak dostaneme opět nekonečnou množinu a nevíme jakým způsobem vybrat z každé takové skupinky jeden prvek. To, že to možné (přestože nevíme jak) zaručuje axiom výběru. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
44 Axiom výběru Příklad Na R definujeme relaci ϱ = {[x, y], x, y R, x y Q} Kdybychom R rozkouskovali podle této relace, tak dostaneme opět nekonečnou množinu a nevíme jakým způsobem vybrat z každé takové skupinky jeden prvek. To, že to možné (přestože nevíme jak) zaručuje axiom výběru. Axiom výběru Necht A je libovolná neprázdná množina, necht M a je neprázdná množina pro každé a A a navíc M a jsou po dvou disjunktní. Pak existuje množina M tak, že: 1 M a A M a 2 M M a je jednoprvková pro každé a A Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
45 Věty ekvivalentní s axiomem výběru Zermelova věta: Na každé množině existuje dobré uspořádání Hausdorfova věta: Každý řetězec uspořádané množiny je podmnožinou některého maximálního řetězce této množiny Zornovo lemma: Je-li každý řetězec uspořádané množiny A shora ohraničený, existuje ke každému prvku a A maximální prvek a m A tak, že a a m Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
46 Ekvivalentní a spočetné množiny Definice Řekneme, že množiny A, B jsou ekvivalentní, jestliže existuje bijektivní zobrazení f : A B, ozn. A B Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
47 Ekvivalentní a spočetné množiny Definice Řekneme, že množiny A, B jsou ekvivalentní, jestliže existuje bijektivní zobrazení f : A B, ozn. A B Definice Množina A je spočetná, jestliže je ekvivalentní s množinou přirozených čísel. Množina, která je konečná nebo spočetná se nazývá nejvýše spočetná Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
48 Ekvivalentní a spočetné množiny Definice Řekneme, že množiny A, B jsou ekvivalentní, jestliže existuje bijektivní zobrazení f : A B, ozn. A B Definice Množina A je spočetná, jestliže je ekvivalentní s množinou přirozených čísel. Množina, která je konečná nebo spočetná se nazývá nejvýše spočetná Prvky spočetných množin lze tedy uspořádat do posloupnosti Podmnožina spočetná množiny je nejvýše spočetná Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
49 Spočetné množiny Věta Necht I je nejvýše spočetná a necht A i je rovněž nejvýše spočetná pro každé i I. Pak i I A i také spočetná. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
50 Spočetné množiny Věta Necht I je nejvýše spočetná a necht A i je rovněž nejvýše spočetná pro každé i I. Pak i I A i také spočetná. Důkaz Každou z množin A i můžeme uspořádat do posloupnosti A 1 = {a 11, a 12, a 13,...} A 2 = {a 21, a 22, a 23,...} A 3 = {a 31, a 32, a 33,...}. Pak ale i I = {a 11, a 12, a 21, a 13, a 22, a 31,...} Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
51 Spočetné množiny Důsledek Množina celých čísel je spočetná Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
52 Spočetné množiny Důsledek Množina celých čísel je spočetná Věta Každá nekonečná množina A obsahuje spočetnou množinu B takovou, že množina A B je nekonečná. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
53 Spočetné množiny Důsledek Množina celých čísel je spočetná Věta Každá nekonečná množina A obsahuje spočetnou množinu B takovou, že množina A B je nekonečná. Důkaz Je-li A nekonečná, existují a 1, b 1 A, a 1 b 1. Protože A {a 1, b 1 } je také nekonečná, existují a 2, b 2 A {a 1, b 1 }, a 2 b 2,...Indukcí takto sestrojíme dvě podmožiny B = (a n ) n=1, C = (b n) n=1 Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
54 Spočetné množiny Věta Kartézský součin dvou spočetných množin je spočetná množina. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
55 Spočetné množiny Věta Kartézský součin dvou spočetných množin je spočetná množina. Důkaz Jistě platí, že A C, B D A B C D. Stačí tedy ukázat, že N N je spočetná. Pro každý prvek (p, q) N N označíme výškou toho prvku číslo p + q. Pro n N tedy dostáváme n 1 dvojic výšky n. Označme P n množinu všech dvojic výšky n. Pak a ta je podle věty spočetná N N = n=2 Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
56 Spočetné množiny Věta Kartézský součin dvou spočetných množin je spočetná množina. Důkaz Jistě platí, že A C, B D A B C D. Stačí tedy ukázat, že N N je spočetná. Pro každý prvek (p, q) N N označíme výškou toho prvku číslo p + q. Pro n N tedy dostáváme n 1 dvojic výšky n. Označme P n množinu všech dvojic výšky n. Pak a ta je podle věty spočetná Důsledek N N = Množina racionálních čísel je spočetná Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42 n=2
57 Spočetné množiny Věta Množina konečných posloupností prvků spočetné množiny je spočetná Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
58 Spočetné množiny Věta Množina konečných posloupností prvků spočetné množiny je spočetná Důkaz Necht n N je libovolná. Podle věty je A n (množina všech upořádaných n-tic) spočetná. Tedy K = n=1 je podle věty o sjednocení spočetných množin také spočetná A n Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
59 Spočetné množiny Věta Množina konečných posloupností prvků spočetné množiny je spočetná Důkaz Necht n N je libovolná. Podle věty je A n (množina všech upořádaných n-tic) spočetná. Tedy K = n=1 je podle věty o sjednocení spočetných množin také spočetná Důsledek Množina všech polynomů jedné proměnné s racionální koeficienty je spočetná A n Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
60 Kardinální čísla Definice Každé množině A přiřadíme symbol card A a budeme mu říkat kardinální číslo (někdy také mohutnost) tak, aby byla splněna následující podmínka: card A = card B A B Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
61 Kardinální čísla Definice Každé množině A přiřadíme symbol card A a budeme mu říkat kardinální číslo (někdy také mohutnost) tak, aby byla splněna následující podmínka: card A = card B A B Pro konečnou množinu A o n prvcích je card A = n, card N = ℵ 0 (čteme alef ) Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
62 Kardinální čísla Definice Každé množině A přiřadíme symbol card A a budeme mu říkat kardinální číslo (někdy také mohutnost) tak, aby byla splněna následující podmínka: card A = card B A B Pro konečnou množinu A o n prvcích je card A = n, card N = ℵ 0 (čteme alef ) Porovnávání kardinálních čísel card A card B existuje injektivní zobrazení f : A B Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
63 Kardinální čísla Definice Každé množině A přiřadíme symbol card A a budeme mu říkat kardinální číslo (někdy také mohutnost) tak, aby byla splněna následující podmínka: card A = card B A B Pro konečnou množinu A o n prvcích je card A = n, card N = ℵ 0 (čteme alef ) Porovnávání kardinálních čísel card A card B existuje injektivní zobrazení f : A B POZOR! Všechny kardinální čísla netvoří množinu, ale třídu. Ukážeme si to později. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
64 Kardinální čísla Cantor-Bernsteinova věta Bud te A, B libovolné množiny. Existují-li A 1 A, B 1 B tak, že A B 1 a současně B A 1, pak platí, že A B Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
65 Kardinální čísla Cantor-Bernsteinova věta Bud te A, B libovolné množiny. Existují-li A 1 A, B 1 B tak, že A B 1 a současně B A 1, pak platí, že A B Věta Každá množina kardinálních čísel je uspořádaná, dokonce platí, že každá dvě kardinální čísla jsou porovnatelná Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
66 Kardinální čísla Cantor-Bernsteinova věta Bud te A, B libovolné množiny. Existují-li A 1 A, B 1 B tak, že A B 1 a současně B A 1, pak platí, že A B Věta Každá množina kardinálních čísel je uspořádaná, dokonce platí, že každá dvě kardinální čísla jsou porovnatelná Důkaz Ověříme zda je relace uspořádání, tj. zda je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
67 Kardinální čísla Věta Každá dvě kardinální čísla jsou srovnatelná, tj. a b nebo b a Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
68 Kardinální čísla Věta Každá dvě kardinální čísla jsou srovnatelná, tj. a b nebo b a Důkaz Necht a = card A, b = card B. Podle Zermelovy věty existuje na A, B dobré uspořádání, tedy pro ně musí platit jeden ze vztahů mezi DUM. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
69 Kardinální čísla Věta Každá dvě kardinální čísla jsou srovnatelná, tj. a b nebo b a Důkaz Necht a = card A, b = card B. Podle Zermelovy věty existuje na A, B dobré uspořádání, tedy pro ně musí platit jeden ze vztahů mezi DUM. Cantorova věta Necht A, B jsou neprázdné množiny a card A 2. Pak card A B > card B Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
70 Kardinální čísla Věta Každá dvě kardinální čísla jsou srovnatelná, tj. a b nebo b a Důkaz Necht a = card A, b = card B. Podle Zermelovy věty existuje na A, B dobré uspořádání, tedy pro ně musí platit jeden ze vztahů mezi DUM. Cantorova věta Necht A, B jsou neprázdné množiny a card A 2. Pak card A B > card B Důsledek Existují nespočetné množiny. Dokonce platí, že kardinálních čísel větších než ℵ 0 je nekonečně mnoho Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
71 Nespočetnost reálných čísel a intervalu (0,1) Věta (0, 1) je nespočetná množina Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
72 Nespočetnost reálných čísel a intervalu (0,1) Věta (0, 1) je nespočetná množina Důsledek Množina R je nespočetná a navíc R (0, 1) Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
73 Nespočetnost reálných čísel a intervalu (0,1) Věta (0, 1) je nespočetná množina Důsledek Množina R je nespočetná a navíc R (0, 1) Důkaz Zobrazení f (x) = arctg x je bijekce R na interval ( π 2, π 2 ). Navíc platí, že každé dva intervaly (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ) jsou ekvivalentní nebot f (x) = b 2 b 1 a 2 a 1 (x a 1 ) + b 1. Tedy (0, 1) ( π 2, π 2 ) R Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
74 Nespočetnost reálných čísel a intervalu (0,1) Věta (0, 1) je nespočetná množina Důsledek Množina R je nespočetná a navíc R (0, 1) Důkaz Zobrazení f (x) = arctg x je bijekce R na interval ( π 2, π 2 ). Navíc platí, že každé dva intervaly (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ) jsou ekvivalentní nebot f (x) = b 2 b 1 a 2 a 1 (x a 1 ) + b 1. Tedy (0, 1) ( π 2, π 2 ) R Důsledek Iracionální čísla jsou nespočetná množina. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
75 Počítání s kardinálními čísly Věta Bud A libovolná množina. Pak card P(A) > card A Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
76 Počítání s kardinálními čísly Věta Bud A libovolná množina. Pak card P(A) > card A Důkaz Je-li A =, pak card A = 0, card P(A) = 1. Necht A. Zvolme B = {0, 1}. Definujme zobrazení F : B A P(A) takto: f : A B je F(f ) = {x, x A, f (x) = 0} Pak zřejmě F je bijekce a tvrzení plyne z Cantorovy věty, tj. card P(A) = card B A > card A Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
77 Počítání s kardinálními čísly Věta Bud A libovolná nespočetná, B A nejvýše spočetná. Pak card A = card (A B) Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
78 Počítání s kardinálními čísly Věta Bud A libovolná nespočetná, B A nejvýše spočetná. Pak card A = card (A B) Důkaz Je A = (A B) A. Protože B je nejvýše spočetná, je A B nekonečná. POdle věty existuje spočetná množina A 1 A B. Ozn. P = (A B) A 1. Pak je A B = A 1 P, tj. A = (B A 1 ) P. Protože je možina B A 1 spočetná, existuje bijekce f : A 1 B A 1. Položme pro každé x A B : g(x) = f (x) pro x A 1 g(x) = x pro x P Pak g : (A B) A je bijekce Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
79 Počítání s kardinálními čísly Důsledek Bud A libovolná nekonečná, B nejvýše spočetná. Pak card A = card (A B) Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
80 Počítání s kardinálními čísly Důsledek Bud A libovolná nekonečná, B nejvýše spočetná. Pak card A = card (A B) Věta Množina je nekonečná, je-li ekvivalentní s některou svou vlastní podmnožinou. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
81 Počítání s kardinálními čísly Důsledek Bud A libovolná nekonečná, B nejvýše spočetná. Pak card A = card (A B) Věta Množina je nekonečná, je-li ekvivalentní s některou svou vlastní podmnožinou. Konečná kardinální čísla můžeme sčítat, násobit a umocňovat - tyto operace odpovídají operacím sjednocení, průniku a kartézské mocnině Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
82 Mohutnost kontinua Mohutností kontinua nazýváme kardinální číslo 2 ℵ 0, ozn. c Počítáme s c: n + c = ℵ 0 + c = c + c = c n c = ℵ 0 c = c c = c c n = c n > 1 : n ℵ 0 = ℵ ℵ 0 0 = cℵ 0 = c Množiny s mohutností kontinua: R R n libovolný interval reálných čísel iracionální čísla množina posloupností přirozených čísel množina všech podmnožin N Hypotéza kontinua: Neexistuje kardinální číslo k takové, že ℵ 0 < k < c Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
83 Ordinální typy a čísla Definice Uspořádané množiny A, B mají stejný ordinální typ, jestliže A = B, píšeme A = B. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
84 Ordinální typy a čísla Definice Uspořádané množiny A, B mají stejný ordinální typ, jestliže A = B, píšeme A = B. Ordinální typ konečného řetězce o n prvcích označujeme n, N = ω Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
85 Ordinální typy a čísla Definice Uspořádané množiny A, B mají stejný ordinální typ, jestliže A = B, píšeme A = B. Ordinální typ konečného řetězce o n prvcích označujeme n, N = ω Ordinální typy můžeme opět sčítat, násobit, umocňovat. Tomu odpovídají operace součet, součin a mocnina uspořádaných množin. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
86 Ordinální typy a čísla Definice Uspořádané množiny A, B mají stejný ordinální typ, jestliže A = B, píšeme A = B. Ordinální typ konečného řetězce o n prvcích označujeme n, N = ω Ordinální typy můžeme opět sčítat, násobit, umocňovat. Tomu odpovídají operace součet, součin a mocnina uspořádaných množin. Definice Ordinální typ dobře uspořádané množiny nazýváme ordinální číslo Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
87 Ordinální čísla Definice Mějme ordinální čísla α, β příslušející množinám A, B. Řekneme, že α β jestliže A je izomorfní s nějakým začátkem množiny B. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
88 Ordinální čísla Definice Mějme ordinální čísla α, β příslušející množinám A, B. Řekneme, že α β jestliže A je izomorfní s nějakým začátkem množiny B. Každá dvě ordinální čísla jsou porovnatelná Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
89 Ordinální čísla Definice Mějme ordinální čísla α, β příslušející množinám A, B. Řekneme, že α β jestliže A je izomorfní s nějakým začátkem množiny B. Každá dvě ordinální čísla jsou porovnatelná Důkaz Plyne ze vztahu mezi DUM. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
90 Ordinální čísla Definice Symbolem W (α) označujeme množinu všech ordinálních čísel ostře menších než α Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
91 Ordinální čísla Definice Symbolem W (α) označujeme množinu všech ordinálních čísel ostře menších než α Věta W (α) = α Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
92 Ordinální čísla Definice Symbolem W (α) označujeme množinu všech ordinálních čísel ostře menších než α Věta W (α) = α Důkaz Necht α je ordinální číslo množiny A. Pro každé x A označme ϕ(x) ordinální typ A(x). Pak zřejmě ϕ je zobrazení A do W (α). Ukážeme, že je to izomorfismus. Necht β W (α) libovolné. Pak β < α. Pak ke každé množině B takové, že B = β, existuje x A tak, že B = A(x), tj. β = ϕ(x). Tedy ϕ je surjekce. Pro x, y A, x < y je zřejmě A(x) < A(y), tj. ϕ(x) < ϕ(y). Tedy ϕ je izotonní injekce. Je zřejmě ϕ 1 : W (α) A také izotonní, tedy ϕ je izomorfismus. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
93 Ordinální čísla Věta Každá množina ordinálních čísel je dobře uspořádaná Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
94 Ordinální čísla Věta Každá množina ordinálních čísel je dobře uspořádaná Věta Každé ordinální číslo má svého bezprostředního následníka Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
95 Ordinální čísla Věta Každá množina ordinálních čísel je dobře uspořádaná Věta Každé ordinální číslo má svého bezprostředního následníka Definice Bud m nekonečné kardinální číslo. Symbolem Z (m) označujeme množinu všech ordinálních čísel mohutnosti m. Nejmenší z nich se nazývá počáteční ordinální číslo a značí se ω(m) Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
96 Ordinální čísla Věta Každá množina ordinálních čísel je dobře uspořádaná Věta Každé ordinální číslo má svého bezprostředního následníka Definice Bud m nekonečné kardinální číslo. Symbolem Z (m) označujeme množinu všech ordinálních čísel mohutnosti m. Nejmenší z nich se nazývá počáteční ordinální číslo a značí se ω(m) Označení Bud m nekonečné kardinální číslo. A(m) := {ω(n); ℵ 0 n < m} Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
97 Ordinální čísla Definice Necht m je nekonečné kardinální číslo a necht A(m) = α. Pak ω(m) označujeme ω α a m označujeme ℵ α Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
98 Ordinální čísla Definice Necht m je nekonečné kardinální číslo a necht A(m) = α. Pak ω(m) označujeme ω α a m označujeme ℵ α Věta Každé nekonečné číslo je některým alefem. Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
99 Ordinální čísla Definice Necht m je nekonečné kardinální číslo a necht A(m) = α. Pak ω(m) označujeme ω α a m označujeme ℵ α Věta Každé nekonečné číslo je některým alefem. Věta Každé ordinální číslo je indexem některého alefu Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
100 Ordinální čísla Definice Necht m je nekonečné kardinální číslo a necht A(m) = α. Pak ω(m) označujeme ω α a m označujeme ℵ α Věta Každé nekonečné číslo je některým alefem. Věta Každé ordinální číslo je indexem některého alefu Počítání s alefy ℵ α + ℵ β = ℵ α ℵ β = ℵ max(α,β) card Z (ℵ α ) = ℵ α+1 Lenka (Brkos 2010) TeMno / 42
Matematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
Základy teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 4.1.2007 1 1 Kardinální čísla 2 Ukázali jsme, že ordinální čísla reprezentují typy dobrých uspořádání Základy teorie množin Z minula: 1. Věta o ordinálních
Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Množiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský
Naivní teorie množin. Naivní pojem množiny Funkce jako nálepkovací schéma Konečnost, nekonečnost Spočetnost, nespočetnost
Naivní teorie množin Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 1/16 Definice Množinou A rozumíme souhrn určitých a rozlišitelných objektů x existujících v naší mysli. Těmto objektům říkáme
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.
Kapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.
1 Kapitola 1 Množiny 11 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky 111 Princip rovnosti
Základy teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. zavedení pojmů relace, zobrazení (funkce); prostá zobrazení, zobrazení na, bijekce 2. rozklady, relace ekvivalence, kongruence, faktorizace 3. uspořádání a některé
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
Marie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít
Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
Úlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
M M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 8. Uspořádání asvazy Uspořádání je další užitečná abstraktní struktura na množině. Modeluje
Množiny, základní číselné množiny, množinové operace
2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás
Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
Lineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Teorie množin Pavel Podbrdský
Teorie množin Pavel Podbrdský V matematice se s pojmem množina setkáváte na každém kroku. Jistě jste obeznámenispojmemmnožinyvšechpřirozenýchčísel,množinyvšechbodůvrovině,... Cílem této přednášky bude
KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc
Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
1 Základní pojmy. 1.1 Množiny
1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně
Aplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
1. Množiny, zobrazení, relace
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách
Co je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky.
Relace. Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky. Definice. Mějme množiny A a B. Binární relace R z množiny A do množiny B je každá množina uspořádaných dvojic (a, b), kde
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.
Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1
množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Přijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
1. Základy matematiky
1. Základy matematiky 1A. Výroková logika 1. Základy matematiky Verze 2. prosince 2017 V této části stručně uvedeme základy matematiky. Matematika se zabývá abstraktními pojmy, které vznikly zobecněním
Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
1. Základy logiky a teorie množin
1. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 19. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (1815 1864). Boole prosadil algebraické pojetí logiky a zavedl logické
1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy
Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25
Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.
ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Těleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.
2 Množiny a intervaly lgebraické výrazy 2.1 Množiny Chápání množiny lze shrnout takto: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme
MNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče.
MNOŽINY Naivní definice (pojetí): Množina [set] je přesně definovaný soubor prvků, které mají nějakou vlastnost. O čemkoliv je třeba umět jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří či nikoliv. Vztah
Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
Lineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS
Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS 2012-13 Milan Pokorný MÚ MFF UK Sylabus = obsah (plán) přednášky 1. Úvod: něco málo o logice, teorii množin, číslech a zobrazeních; posloupnosti 2. Funkce jedné reálné
1. Základy matematiky
1. Základy matematiky 1A. Výroková logika 1. Základy matematiky 1A. Výroková logika Logika se v češtině běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vede k určitým závěrům. Logika patří k základům matematiky.
IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY. PAVEL RŮŽIČKA 3.1. Kompaktní prostory. Buď (X, τ) topologický prostor a Y X. Řekneme, že A τ je otevřené pokrytí množiny Y, je-li
Základy logiky a teorie množin část II
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 2008 1 1 Teorie množin 2 Její význam spočívá v tom, že všechny matematické pojmy (čísla, funkce, Základy logiky a teorie množin část II URL (slajdy): Petr
1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
VYBRANÉ KAPITOLY Z ALGEBRY. Jaroslav Beránek
VYBRANÉ KAPITOLY Z ALGEBRY Jaroslav Beránek Brno 2011 Obsah 1. Přirozená čísla... 4 2. Celá čísla... 9 3. Racionální čísla... 13 4. Reálná čísla... 17 5. Komplexní čísla... 24 6. Cyklické grupy... 27 7.
B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík
B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1
Základy logiky a teorie množin část II
1 Základy logiky a teorie množin část II Petr Pajas pajas@matfyz.cz URL (slajdy): http://pajas.matfyz.cz/vyuka Teorie množin 2 Její význam spočívá v tom, že všechny matematické pojmy (čísla, funkce, relace,
0. Množiny, relace a zobrazení
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2002/2003 Michal Marvan 0. Množiny, relace a zobrazení Ukázuje se, že pojem,,množina nelze jednoduše definovat
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 207 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
Posloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře
Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky
4. Topologické vlastnosti množiny reálných
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Báze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
Bakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
Věta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
Základy matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
4 Počítání modulo polynom
8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li
Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Lineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
Matematická analýza. L. Pick a J. Spurný
Matematická analýza L. Pick a J. Spurný 25. května 200 Obsah Matematická analýza a 5 Výroky, důkazové techniky a množiny.................................... 5. Výroková a predikátová logika....................................
METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost: