KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu."

Transkript

1 KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ

2 Kvalimetrie 16 je zatím posledí z řady příruček KVALIMETRIE, vydávaých odborým sdružeím EURACHEM-ČR. Příručka obsahuje přehled statistických metod, které se využívají v chemických laboratořích, a je doplěa přiložeým CD se šabloami a řešeými příklady růzých statistických postupů s využitím programu MS-Excel. Autor věří, že příručka dojde širokého uplatěí v chemických i kliických laboratořích. Příručka Kvalimetrie 16 vzikla v rámci projektů PRM VIII/18/09 Úřadu pro techickou ormalizaci, metrologii a státí zkušebictví a INGO LA MŠMT. Autor děkuje především Ig. Davidu Mildemu, Ph.D. za revizi výpočetí části příručky a RNDr. Pavlu Koříkovi, Ph.D. za techické práce při přípravě CD. Miloslav Sucháek Miloslav Sucháek: Statistické metody v metrologii a aalytické chemii. Řešeé příklady v Excelu a CD-ROM Editor Miloslav Sucháek K tisku připravil Iva Korua Miloslav Sucháek 009 EURACHEM-ČR 009 Vydal EURACHEM-ČR, Techická 5, Praha 6. IČ ISBN

3 OBSAH Úvod 5 1 Základí statistické parametry a testy hypotéz Základí soubor a typy statistických rozděleí Základí pojmy Náhodé veličiy Základí typy rozděleí Statistika opakovaých měřeí, áhodý výběr Nejistota výsledku Nejistoty elemetárích operací v chemické a biologické laboratoři Volumetrické operace Vážeí Nejistota hodoty měřeého sigálu Titračí staoveí Vyhodocováí ejistot postupy zdola ahoru a shora dolů Testy hypotéz Statistika opakovaých pokusů Testováí hypotéz s použitím ejistoty výsledku Příklady ke kapitole 1 Optimalizace měřicích postupů v chemii a biologických vědách 3.1 Pláováí experimetů 3. Experimetálí optimalizace 8.3 Příklady ke kapitole 31 3 Hodoceí závislosti mezi proměými Lieárí regrese Vážeá lieárí regrese Lieárí regrese s ejistotami v obou proměých (bivariátí, bilieárí regrese) Nelieárí regrese v biologických měřicích postupech Další experimetálí pláy v kalibraci Metoda přídavku stadardu (SAM) Metoda bracketig Příklady ke kapitole Validace měřicích postupů Termiologie Experimetálí plá pro validaci Selektivita (iterferece) Rozsah měřeí, liearita Opakovatelost Reprodukovatelost Výtěžost Mez detekce, mez staovitelosti Robustost měřicího postupu Příklady ke kapitole

4 5 Statistické metody při přípravě a používáí referečích materiálů Statistické pricipy certifikace Staoveí ejistoty homogeity Staoveí ejistoty stability Použití certifikovaých referečích materiálů Příklady ke kapitole Mezilaboratorí porováí Norma ISO Harmoizovaý protokol IUPAC Kvalitativí zkoušky 61 7 Kotigečí tabulky Příklady ke kapitole Vícerozměré metody Kovariačí matice a testy hypotéz Boxův test Ověřeí úplé ezávislosti zkoumaých proměých Lieárí diskrimiačí aalýza Lieárí diskrimiačí aalýza pro více skupi (k > ) Příklady ke kapitole Používáí referečích materiálů při řízeí kvality (ISO Guide 80) Homogeita Dlouhodobá stabilita Použití QCM při tvorbě regulačích diagramů Literatura Sezam zkratek 81 4

5 Úvod V příručce Kvalimetrie 16 jsme se pokusili podat přehled statistických a chemometrických postupů, které mohou být využity při zpracováí a iterpretaci experimetálích dat. Pracovíci laboratoří, pracující v oborech přírodích věd, používají často při zpracováí experimetálích dat des běžě dostupé programové vybaveí tabulkový procesor MS-Excel. Přílohou této příručky je CD-ROM, který obsahuje jedak řešeé příklady, jedak šabloy (templáty) pro řešeí jedotlivých statistických postupů. Excelové sešity jsou otevřeé, tedy ezamčeé, a mohou být využity při řešeí obdobých problémů. Pro validaci zmíěých sešitů a jiých počítačích jsou přiložey výsledky příkladů v souborech formátu MS-Word. Uživatelům příručky doporučujeme, aby příliš ezasahovali do struktury sešitů, zvláště v případech, kdy je použito makro. Doporučujeme pouze jedoduché úpravy, apř. rozšířeí počtu vstupích údajů ebo zaokrouhleí výstupích dat. Používaí excelových sešitů vyžaduje pouze základí zalosti Excelu. V případě jakékoliv pochybosti ebo efukčosti ěkterého z přiložeých sešitů kotaktujte autora této příručky a ových adresách ebo Výčet statistických a chemometrických postupů eí samozřejmě úplý. Soustředili jsme se pouze a ty, které jsou jedoduché a které se dají zvládout v prostředí Excelu. V příkladech je použita verze Microsoft Excel

6 6

7 1 Základí statistické parametry a testy hypotéz 1.1 Základí soubor a typy statistických rozděleí Základí pojmy Při hodoceí aalytických metod a výsledků ebo při formulaci fyzikálě-chemických modelů popisujících vztahy mezi proměými veličiami, z ichž se většia získává experimetálě, využíváme matematicko-statistické metody. Matematicko-statistické metody jsou vhodým ástrojem zkoumáí systému v případech, kdy je uto učiit objektiví závěr o celku složeém z velkého možství jedotek, přičemž z ějakých důvodů je možo prozkoumat je malou, vybraou část tohoto celku. Hromadé jevy jsou takové, které se vyskytují za určitých podmíek opakovaě ve velkém počtu a lze je přitom pozorovat ebo získávat experimetem. Speciálím případem hromadého jevu je áhodý jev. Te za daých podmíek může a emusí astat, jeho výskyt závisí pak a áhodě. Číselá veličia, která měí svou hodotu působeím áhodých jevů, se azývá áhodá veličia. Zjistitelá hodota áhodé veličiy musí být jedozačě určea, tz. musí v kokrétě sledovaém případě abýt jedié hodoty. Náhodost jevu zameá emožost předpovědět s jistotou, zda při určitém experimetu kdykoli v budoucu jev astae či eastae. Je tomu tak proto, že ezáme všechy příčiy výskytu áhodého jevu, kterých je moho a které jsou samy o sobě epostižitelé a ekotrolovatelé. Náhodou veličiu charakterizují pravděpodobosti, s íž se vyskytují její hodoty v předem zvoleých mezích. Distribučí fukce áhodé veličiy ξ je fukcí reálé proměé x a její hodota v daém bodě x 0 je pravděpodobost, že ξ abude hodoty meší ebo rové x 0 : F(x 0 ) = P{ξ x 0 } pro x = x 0 (1.1) Všechy hodoty, kterých může áhodá veličia abýt, tvoří spolu s distribučí fukcí její rozděleí pravděpodobostí. Základí soubor je možia hodot áhodé veličiy s daým rozděleím pravděpodobostí, z íž se vybírají pozorovaé hodoty této veličiy. Základí soubor obsahuje hodoty áhodé veličiy skutečě pozorovaé a teoreticky možé. Teoreticky proto, že emáme techické, časové ebo jié možosti pozorováí uskutečit, ale víme, jak bychom každé jedotlivé pozorováí mohli uskutečit. Vlastosti základího souboru pozáváme je do určité míry prostředictvím áhodého výběru. Příkladem základího souboru mohou být apř. výsledky všech možých aalýz stejého vzorku (ekoečě velký soubor), všechy možé kocetrace H SO 4, které můžeme obdržet od výrobce (ekoečý), dodávka 5 vagóů železé rudy (koečý) apod. Náhodý výběr je potom apř. pět aalýz stejého vzorku, deset růzých kocetraci H SO 4, pět vzorků po 1 kg odebraých áhodě z každého vagóu atd. 7

8 1.1. Náhodé veličiy Jak bylo uvedeo výše, áhodá veličia je charakterizováa distribučí fukcí a rozděleím pravděpodobostí. Probereme si ěkteré vlastosti distribučích fukcí. Distribučí fukce má tyto vlastosti: 1. Hodoty distribučí fukce leží mezi 0 a 1, tedy 0 F(x) 1. (1.). Distribučí fukce je eklesající: F(x ) > F(x 1 ) pro všecha x > x 1. (1.3) 3. Distribučí fukce je spojitá zleva. 4. Každá distribučí fukce splňuje podmíky F( ) = 0 a F( ) = 1. (1.4) Jestliže možé hodoty áhodé veličiy patří do itervalu (a ; b), potom aalogicky platí F(a) = 0 a F(b) = 1. (1.5) Z defiice distribučí fukce a z vlastostí distribučí fukce plyou ěkteré další důležité vztahy: P(x 1 ξ x ) = F(x ) F(x 1 ) (1.6) pro spojitou áhodou veličiu, a pro diskrétí áhodou veličiu. Dále platí vztah P(x 1 < ξ < x ) = F(x ) F(x 1 ) (1.7) P(ξ > x) = 1 F(x). (1.8) Pomocí distribučí fukce může být urče záko rozděleí jak diskrétí, tak spojité áhodé veličiy. Záko rozděleí diskrétí áhodé veličiy ξ lze kromě tohoto způsobu popsat také možiou hodot x a odpovídajících pravděpodobostí P(ξ = x), které budeme ozačovat p(x) a azveme pravděpodobostí ebo frekvečí fukcí. Tyto pravděpodobosti splňují vztahy p ( x ) = 1 (1.9) x P(x 1 < ξ < x ) = x p ( x). (1.10) x 1 Pravděpodobosti p(x) a jejich rozděleí lze vyjádřit trojím způsobem: matematickou fukcí, tabulkou hodot a grafem. Záko rozděleí spojité áhodé veličiy ξ vyjádříme, kromě distribučí fukcí, pomocí tzv. hustoty pravděpodobosti (frekvečí fukce), pro iž platí x F(x) = f ( z)dz. (1.11) Kvatily jsou body, rozdělující obor hodot áhodé veličiy v určitém pravděpodobostím poměru. 100P% kvatil, x P, je hodota, která současě splňuje erovosti 8

9 V případě spojité veličiy platí P(ξ x P ) P P(ξ x P ) 1 P. F(x P ) = P. (1.1) Tak apříklad 50% kvatil zameá, že 50 % všech možých hodot áhodé veličiy ξ leží pod hodotou tohoto kvatilu, x 0,5. Teto kvatil se azývá mediá. Záko rozděleí podává o áhodé veličiě obraz sice úplý, ale často dost epřehledý. Proto shrujeme iformaci o áhodé veličiě do jedoho ebo ěkolika čísel, která veličiu dobře charakterizují. Tato čísla azýváme charakteristikami. Z velkého možství charakteristik se budeme zabývat pouze dvěma: charakteristikou polohy a charakteristikou variability. Základí charakteristikou polohy je středí (očekávaá) hodota, E(ξ) ebo µ. Základí charakteristikou variability je rozptyl, D(ξ), ebo σ. Jeho odmociu azýváme směrodatou odchylkou, σ. Důležitou charakteristikou dvou áhodých veliči, apř. ξ a η, je kovariace C(ξ,η): Koeficiet korelace, ρ, je defiová vztahem: C(ξ,η) = E{[ξ E(ξ)][η E(η)]}. (1.13) ρ(ξ,η) = C(ξ,η) / [ρ(ξ) ρ(η)]. (1.14) který charakterizuje těsost vztahu mezi dvěma veličiami. Koeficiet korelace může abývat hodot z itervalu < 1 ; 1>. Je-li koeficiet korelace ulový, potom se áhodé veličiy ξ a η azývají ekorelovaé. Věty o středí hodotě a rozptylu (platí pro ezávislé áhodé veličiy): 1. E(k) = k D(k) = 0 (k je kostata). E(kξ) = ke(ξ) D(kξ) = k D(ξ) 3. E(ξ ± η) = E(ξ) ± E(η) D(ξ ± η) = D(ξ) + D(η) (1.15) 4. E(ξη) = E(ξ) E(η) 5. D(ξ) = E(ξ ) [E(ξ)] Důležitou veličiou je ormovaá áhodá veličia, ζ, která má ulovou středí hodotu a jedotkový rozptyl: ζ = [ξ E(ξ)] / D(ξ). (1.16) Příklad Diferečí metoda vážeí spočívá ve dvou postupých vážeích, jedak vážeky se vzorkem, jedak vážeky se zbytkem. Obě hmotosti můžeme považovat za ezávislé áhodé veličiy ξ 1 a ξ. Zjistěte středí hodotu a rozptyl rozdílu obou hmotostí. E(ξ 1 ξ ) = E(ξ 1 ) E(ξ ) D(ξ 1 ξ ) = D(ξ 1 ) + D(ξ ), je-li D(ξ 1 ) = D(ξ ) = σ, potom D(ξ 1 - ξ ) = σ. 9

10 1.1.3 Základí typy rozděleí Nejdůležitějším a v teorii měřeí ejběžějším rozděleím pravděpodobostí spojité áhodé veličiy je tzv. ormálí (Gaussovo) rozděleí. Tímto rozděleím se dají aproximovat i ěkterá rozděleí spojitá i diskrétí. Toto rozděleí je použitelé vždy, když je kolísáí hodot áhodé veličiy způsobeo součtem velkého počtu epatrých a vzájemě ezávislých vlivů. Tak apř. při chemické aalýze vzorku ovlivňuje výsledek kolísající kvalita chemikálií, růzá vlhkost vzduchu, teplota, tlak, stabilita přístrojů, mometálí schoposti pracovíka, kolísáí apětí v síti. Normálí rozděleí je charakterizováo dvěma parametry: středí (očekávaou) hodotou µ a rozptylem σ. Začí se N(µ,σ ). Normálí rozděleí je symetrické kolem středí hodoty. Distribučí fukce ormálího rozděleí, stejě jako hustota pravděpodobosti, jsou tabelováy pro hodoty ormovaé áhodé veličiy ζ. Pro výpočet hodot z této ormovaé áhodé veličiy z hodot x eormovaé veličiy platí z = (x µ)/σ. (1.17) Normovaé rozděleí budeme začit N(0,1). Tabelováy jsou hodoty F(z) a f(z) pro ezáporé z. Platí F( z) = 1 F(z) a f( z) = f(z). (1.18) Uvažujme yí pravděpodobost, že ormovaá áhodá veličia, ormálě rozděleá, bude uvitř itervalu symetrického kolem uly. Tuto pravděpodobost můžeme apř. vyjádřit vztahem což je ekvivaletí vztahu P( z z α ) = 1 α, P( z > z α ) = α. Hodotu z α azýváme 100α% kritickou hodotou. Příklad Vypočtěte kritickou hodotu z α pro α = 0,05. Podle předchozích vztahů můžeme psát: P( z α ζ z α ) = F(z α ) F( z α ) = F(z α ) 1 = 1 α, tedy F(z α ) = 1 (α/). Podle zavedeé defiice kvatilu je z α = z P 100P% kvatilem pro P = 1 (α/). Pro α = 0,05 je F(z α ) = 0,975 a z tabulek zjistíme z α = 1,96, což je 97,5% kvatil. 10

11 Příklad Kotrolujeme kvalitu při výrobě kaprolaktamu. Přitom požadujeme, aby bod tuhutí, Θ, byl v mezích 67, o C až 69,9 o C. Z dlouhodobého pozorováí je zámo, že středí hodota bodu tuhutí suroviy, odebíráme-li vzorek z jedoho pytle, je 67,7 o C se směrodatou odchylkou 0,3 o C. Staovte podíl pytlů, které leží mimo požadovaé meze. Předpokládejme, že áhodá veličia (ormálě rozděleá) bod tuhutí, Θ, suroviy v jedom pytli má rozděleí N(67,7; 0,09). Naším úkolem je vypočítat pravděpodobosti P(Θ < 67,) a P(Θ > 69,9) Vytvořme ormovaou veličiu ζ, jejíž hodoty požadovaého itervalu vypočteme podle Požadovaé pravděpodobosti: z 1 = (69,9 67,7) / 0,3 = 7,33 F(7,33) = 1 z = (67, 67,7) / 0,3 = 1,67 F( 1,67) = 1 F(1,67) = 0,047 P(Θ < 67,) = 0,047 P(Θ > 69,9) = 1 F(7,33) = 0 Odpověď a požadovaou otázku je: 4,7 % pytlů bude mít ižší bod tuhutí ež 67, o C a žádý pytel vyšší bod tuhutí ež 69,9 o C. Příklad Náhodá veličia ξ má rozděleí N(µ,σ ). Vypočtěte s jakou pravděpodobostí se hodoty této áhodé veličiy budou vyskytovat v itervalu µ ± σ. Hodoty ormovaé áhodé veličiy, ζ, vypočteme takto: z = (µ ± σ µ) / σ = ±1 F(1) = 0,841 F( 1) = 1 F(1) = 0,159 P = 0,841 0,159 = 0,68 t.j. 68, %. Rozděleí χ je charakterizováo počtem stupňů volosti, ν. Středí hodota tohoto rozděleí je ν, rozptyl je ν. Tabelováy jsou kvatily, χ ( ) P ν, pro které platí P [ ( ) P ( )] χ ν < χ ν = P. (1.19) Tak apř. kvatil χ pro α = 0,05 [ χ ] má hodotu 14,4. (6) 1 α / 0,975 (6) Rozděleí t (Studetovo rozděleí) je rověž charakterizováo počtem stupňů volosti ν. Je to symetrické rozděleí a pro vyšší ν (ν > 30) se blíží ormálímu rozděleí. V praxi ho používáme tam, kde ezáme rozptyl σ áhodé veličiy a ahrazujeme ho odhadem rozptylu s (viz dále). V tabulkách jsou uvedey kvatily t pro zvoleé P tak, aby platil vztah P[t(ν) < t P ] = P. (1.0) 11

12 F-rozděleí (Sedecorovo rozděleí) Toto rozděleí budeme používat při aalýze rozptylu. Mějme dvě ezávislé áhodé veličiy ξ 1 a ξ o rozděleích χ (ν 1 ) a χ (ν ). Náhodá veličia φ = (ξ 1 /ν 1 )/(ξ /ν ) (1.1) má F rozděleí o ν 1 a ν stupích volosti. V tabulkách alezeme kvatily F, pro které platí P[F < F P (ν 1,ν )] = P. (1.) Poissoovo rozděleí Pro rozděleí espojité áhodé veličiy si uveďme Poissoovo rozděleí. Poissoovo rozděleí je limitím případem biomického rozděleí, když se počet pokusů blíží ekoeču, pravděpodobost p(x) se blíží k ule a parametr λ = p(x) = kost. Parametr λ je parametrem charakterizujícím daý typ rozděleí Po(λ). Pro určité hodoty λ je Poissoovo rozděleí tabelováo. Středí hodota i rozptyl rozděleí Po(λ) je λ. Rozděleím Po(λ) můžeme ahradit biomické rozděleí při p(x) < 0,05. Řídí se jím apř. četost impulsů aměřeých Geigerovou Müllerovou trubicí, četost červeých krviek v zorém poli mikroskopu, četost zmetků v dodávce zboží apod. 1. Statistika opakovaých měřeí, áhodý výběr Uvažujme áhodý pokus, jehož výsledkem je hodota x áhodé veličiy ξ, která má distribučí fukci F(x). Opakujeme-li áhodý pokus ezávisle krát, dostaeme hodoty x 1, x,, x. Možia těchto hodot se azývá áhodým výběrem rozsahu z rozděleí, majícího distribučí fukci F(x). Vzhledem k tomu, že hodoty áhodého výběru pocházejí z téhož základího souboru, mají stejou středí hodotu a stejý rozptyl. K charakterizaci áhodého výběru používáme charakteristik, které azýváme výběrovými charakteristikami. Zmííme se hlavě o dvou výběrovém průměru a výběrovém rozptylu. Výběrový průměr (aritmetický průměr) je defiová jako 1 x = x i. (1.3) Středí hodota výběrového průměru je µ, rozptyl je σ /. Středí hodota výběrového průměru je tedy stejá jako středí hodota základího souboru, zatímco rozptyl výběrového průměru je rove tiě rozptylu rozděleí, z ěhož pochází. Výběrový rozptyl (odhad rozptylu) je defiová vztahem ebo vztahem 1 s = ( x x) (1.4) i 1 1

13 1 1 = xi xi 1 s. (1.5) Podobě jako v případě výběrového průměru se dá dokázat, že očekávaá hodota výběrového rozptylu je σ. Výběrová směrodatá odchylka, s, je druhá odmocia výběrového rozptylu. Srováme-li vztah pro výběrový rozptyl se vztahem pro výběrový druhý cetrálí momet xi x (1.6) M = ( ) vidíme, že druhý cetrálí momet ( 1)krát větší ež odhad rozptylu áhodého výběru. Připomíáme, že uvedeé vztahy platí pro jakékoli rozděleí základího souboru. Defiujme si jedu důležitou charakteristiku, Studetův poměr T: Tato veličia má t-rozděleí o ( 1) stupích volosti. x µ T =. (1.7) s Defiujme ještě výběrový třetí a čtvrtý cetrálí momet áhodého výběru: 3 xi 3 x (1.8) M = ( ) 4 xi 4 x (1.9) M = ( ) Potom výběrový koeficiet šikmosti je urče rovicí a výběrový koeficiet špičatosti rovicí A M 3 = (1.30) 3 3 M B M = (1.31) 4 4 M Obě výběrové charakteristiky používáme k testováí typů rozděleí. Rozpětí, R, je defiovaé jako rozdíl mezi ejvyšší (x ) a ejižší (x 1 ) hodotou jedotlivých výsledků v sérii měřeí: Z rozpětí můžeme vypočítat odhad směrodaté odchylky s: R = x x 1 (1.3) s = k R (1.33) Hodoty koeficietu k jsou tabelováy v běžých statistických tabulkách. 13

14 1.3 Nejistota výsledku Podle termiologického slovíku VIM 3 [cit. 1] je ejistota defiováa jako ezáporý parametr charakterizující rozptýleí hodot veličiy přiřazeých měřeé veličiě a základě použité iformace. V úvodu této kapitoly si ejprve vysvětlíme ěkteré základí pojmy, které se k defiici ejistoty vztahují. Základím iformačím zdrojem pro všechy defiice a vysvětleí ěkterých důležitých pojmů je výše zmíěý metrologický slovík VIM 3. Měřeí je proces experimetálího získáváí jedé ebo více hodot veličiy, které mohou být důvodě přiřazey veličiě. Měřeí v sobě obsahuje porováí veliči a zahruje zjišťováí počtu etit. Měřeí předem předpokládá popis veličiy přiměřeý určeému použití výsledku měřeí, popis postupu měřeí a kalibrovaého měřicího systému pracujícího v souladu se specifikovaým postupem měřeí, včetě podmíek měřeí. Měřeá veličia (agl. measurad) je veličia, která má být měřea. Specifikace měřeé veličiy vyžaduje zalost druhu veličiy, popis stavu jevu, tělesa ebo látky esoucích veličiu, včetě jakékoliv relevatí složky a zahrutých chemických etit. Měřeá veličia je charakterizováa hodotou a příslušou jedotkou měřeí. Příkladem měřeé veličiy může být celkový obsah olova ve vzorku půdy (mg kg -1 ) kocetrace celkového cholesterolu v séru (mmol L -1 ) obsah alkoholu v krvi (mg g -1 ) obsah dioxiu (,3,7,8-TCDBD) v mase (µg kg -1 ) V chemii se pro měřeou veličiu ěkdy používá termí aalyt ebo ázev sloučeiy. Takové použití je chybé, protože tyto výrazy eodkazují a veličiy. Výsledek měřeí je defiová jako soubor hodot veličiy přiřazeý měřeé veličiě společě s jakoukoliv další dostupou relevatí iformací (obvykle ejistota výsledku). Nový metrologický slovík VIM 3 [cit. 1] zavedl tzv. ejistotový přístup k měřeí a vyjadřováí výsledků. V této publikaci se budeme tohoto pricipu důsledě držet. Na rozdíl od chybového přístupu evyžaduje ejistotový přístup odhad chyby (áhodé, systematické), pouze odhad ejistoty výsledku. K tomuto přístupu se váží další důležité pojmy. Pravdivost měřeí (agl. trueess) je těsost shody mezi aritmetickým průměrem ekoečého počtu opakovaých aměřeých hodot veličiy a referečí hodotou veličiy. Pravdivost je kvalitativí pojem a emůže být vyjádřea číselě. Míra těsosti shody se azývá vychýleí (agl. bias). Precizost měřeí (agl. precisio) je těsost shody mezi idikacemi (sigály) ebo aměřeými hodotami veličiy získaých opakovaými měřeími a stejém objektu za specifikovaých podmíek. Precizost měřeí se zpravidla vyjadřuje výběrovou směrodatou odchylkou ebo odhadem rozptylu za specifikovaých podmíek. Specifikovaými podmíkami mohou být apř. podmíky opakovatelosti, podmíky mezilehlé precizosti ebo podmíky reprodukovatelosti. Precizost se používá pro defiováí ěkterých validačích parametrů (viz další kapitoly). Stadardí ejistota, u(x), je ejistota hodoty veličiy x vyjádřeá jako směrodatá odchylka. Vyhodoceí ejistoty měřeí způsobem A je postup vyhodoceí složky ejistoty měřeí statistickou aalýzou opakovaých aměřeých hodot veličiy získaých za defiovaých 14

15 podmíek měřeí (opakovatelost, mezilehlá precizost, reprodukovatelost). Výsledkem je stadardí ejistota příslušé veličiy. Vyhodoceí ejistoty měřeí způsobem B je postup vyhodoceí složky ejistoty měřeí staoveé jiými způsoby ež vyhodoceím ejistoty měřeí způsobem A. Používají se přitom iformace z kalibračích listů, certifikátů referečích materiálů, údajů výrobce přístrojů, údajů v odboré literatuře apod. Výsledkem je stadardí ejistota příslušé veličiy. Nyí přistoupíme k výkladu o ejistotě výsledku. V moha případech aalytických měřeí eí měřeá veličia (apř. látkové možství daého aalytu) měřea přímo, ale její hodota se staoví epřímo pomocí hodot jiých veliči prostředictvím fukčího vztahu (modelu měřeí) ψ = f(ξ 1, ξ,..., ξ Ν ), (1.34) ve kterém ψ je měřeá veličia abývající hodot y, a kde ξ 1 až ξ Ν jsou jié veličiy, abývající hodot x 1 až x N. V dalším textu budeme považovat hodoty všech veliči za jejich odhady. Veličia ψ se azývá výstupí veličiou, ξ 1 až ξ Ν veličiami vstupími. Vstupí veličiy zahrují i všechy korekce a korekčí faktory, které přispívají k ejistotě výsledku měřeí. Pokud data idikují, že fukce f evyjadřuje model měřeí dostatečě, musíme rozšířit vstupí veličiy o další čley. Iformace můžeme získat apř. z validačí studie. Kromě zalosti hodot vstupích veliči musíme zát i jejich stadardí ejistoty. Vstupí veličiy, x 1 až x N, mohou být děley a a) veličiy, jejichž hodoty (odhad) a ejistoty (rověž odhad) se staovují přímo současým měřeím (způsob A). Odhady hodot a jejich ejistot lze získat jedím měřeím, opakovaým měřeím, ebo odhadem založeým a zkušeosti. Zahrují rověž korekce měřicích přístrojů, korekce a vliv okolího prostředí apod. Stadardí ejistota se odhade pomocí výběrové směrodaté odchylky opakovaých měřeí; b) veličiy, jejichž hodoty a ejistoty se získávají z exterích zdrojů (způsob B), jako jsou veličiy spojeé s etaloem (stadardem), certifikovaým referečím materiálem ebo veličiy, jejichž hodoty jsou převzaty z tabulek ebo mauálů výrobce přístrojů. Stadardí ejistota se odhade apř. pomocí rovoměrého rozděleí (viz další kapitolu). Odhad hodoty y veličiy ψ pomocí odhadů hodot x 1 až x N je dá rovicí y = f(x 1,, x N ). (1.35) Kombiovaá stadardí ejistota a záko propagace ejistot Vztah mezi kombiovaou stadardí ejistotou u(y) hodoty y veličiy ψ a stadardími ejistotami u(x i ) hodot x i veliči ξ i vychází ze zákoa propagace ejistot: a) pro ezávislé veličiy x i : N u( y) = c u( x ), (1.36) i = 1 i i 15

16 f ve kterém c = je citlivost (selektivití koeficiet) měřeé hodoty y vzhledem i xi k hodotám jedotlivých vstupích veliči. Jedotlivé citlivosti mohou být získáy experimetálě. Je třeba připomeout, že uvedeý vztah je vztahem aproximativím, ve kterém jsou vyecháy čley s parciálími derivacemi vyšších řádů. V chemických měřeích je tato aproximace dostačující. b) pro závislé veličiy x i : N N 1 N u( y) = ci u( xi ) + ci c j u( xi, x j ) i = 1 i = 1 j = i+ 1 (1.37) ebo po zavedeí odhadu korelačího koeficietu, r: N N 1 N i i i j i j i j i = 1 i = 1 j = i + 1. (1.38) u( y) = c u( x ) + c c u( x )u( x )r( x, x ) Existují jedoduchá pravidla pro výpočet kombiovaé stadardí ejistoty. Pravidlo 1: Pro model měřeí, který zahruje pouze součet ebo rozdíl vstupích veliči, apř. y = k(x 1 + x + x 3 ) (k je kostata), (1.39) je kombiovaá stadardí ejistota dáa vztahem u( y) = k u( x ) + u( x ) + u( x ). (1.40) 1 3 Pravidlo : Pro model měřeí, který azýváme multiplikativí: y = k(x 1 x x 3 ) (k je kostata) (1.41) je kombiovaá ejistota dáa vztahem u( y) y k u(x ) u( x ) u( x ) 1 3 = + + x1 x x3 (1.4) Kombiovaá rozšířeá ejistota Kombiovaá rozšířeá ejistota určuje iterval, ve kterém se s daou pravděpodobostí dá předpokládat skutečá hodota měřeé veličiy. Kombiovaá rozšířeá ejistota se odhaduje podle vztahu U(y) = k u(y), (1.43) ve kterém k je koeficiet rozšířeí. Ve většiě případů se hodota koeficietu rozšířeí volí rova. Pokud v kombiovaé stadardí ejistotě převládá jeda složka s malým počtem stupňů volosti (apř. ν < 6), potom koeficiet rozšířeí můžeme zaměit za kvatil t-rozděleí a pro daou hladiu výzamosti α platí t-rozděleí, t 1 α/; ν. 16

17 Presetace výsledku Výsledek měřeí presetujeme vždy ve tvaru: výsledek = hodota měřeé veličiy ± rozšířeá ejistota (použitá hodota k) tedy V = y ± U(y) (k = ) [ebo: (k = 3)]. (1.44) 1.4 Nejistoty elemetárích operací v chemické a biologické laboratoři Volumetrické operace Nejistoty volumetrických operací jsou řešey v Metodickém listě EURACHEM-ČR []. Metodické listy jsou jako excelové soubory ke stažeí a iteretové adrese Vážeí Při gravimetrických operacích se v chemické aalýze uplatňují hlavě dvě složky ejistoty: ejistota spojeá s opakováím gravimetrické operace (vážeí) a ejistota spojeá s kalibrací vah. Nejistotu spojeou s opakovaým vážeím získáme experimetálě (typ A). Opakovaě zvážíme (apř. 15krát) závaží o určité hmotosti, apř. 0 g. Výběrová směrodatá odchylka takového pokusu je zároveň stadardí ejistotou operace, u(m 1 ). Při diferečím vážeí započítáváme teto příspěvek dvakrát. Nejistotu spojeou s kalibrací vah lze rozdělit a tři příspěvky: ejistota liearity deklarovaá výrobcem, ejistota kalibrace způsobeá odchylkou kalibrovaého závaží od omiálí hodoty a ejistota omiálí hodoty. Výrobce deklaruje odchylku od liearity jako toleračí limit, ±t. Tato hodota udává maximálí odchylku mezi skutečou hmotostí a misce vah a hmotostí odečítaou z displeje. Předpokládáme, že tolerace má rovoměré rozděleí a lze tedy převést toleraci a směrodatou odchylku (typ B). Při diferečím vážeí započítáváme teto příspěvek dvakrát. Nejistotu omiálí hodoty závaží, u(m 3 ), lze získat z kalibračího certifikátu po kalibrací závaží v Českém metrologickém istitutu. Její příspěvek k celkové ejistotě je obvykle zaedbatelý Nejistota hodoty měřeého sigálu Při měřeí jakéhokoliv sigálu (absorbace, plocha píku, atd.) uvažujeme, že stadardí ejistota hodoty sigálu se skládá ze tří příspěvků: pravdivosti, reprodukovatelosti a opakovatelosti hodoty měřeého sigálu, získaých z validace přístroje (typ A). Prví dva příspěvky bývají uvedey v příručce k přístroji jako toleračí iterval (typ B, rovoměré rozděleí). Následující příklad objasňuje odhad stadardí ejistoty hodoty měřeého sigálu. 17

18 Příklad Údaje výrobce přístroje: pravdivost (trueess), přesost (accuracy) reprodukovatelost Validace přístroje: opakovatelost ( = 10) 0,005 a.u. 0,005 a.u. 0,005 a.u. 0, 005 0, 005 u(sigál) 0, 005 0, 004 = + + = a.u. 3 3 Pokud údaje výrobce chybí, je stadardí ejistota hodoty měřeého sigálu dáa pouze opakovatelostí. Připomíáme, že stadardí ejistota hodoty měřeého sigálu může být závislá a hodotě měřeého sigálu, takže je třeba ji odhadout v celém měřicím rozsahu. V tomto případě se doporučuje zjistit závislost ejistoty a hodotě měřeé veličiě Titračí staoveí Ukážeme si příklad staoveí látkové kocetrace EDTA (titr odměrého roztoku). Odvážeé možství chloridu olovatého se titruje odměrým roztokem EDTA a idikátor xyleolovou oraž. Kocetrace EDTA se vypočte podle vztahu: ve kterém mpbcl m c = M PbCl PbCl V je hmotost avážeého chloridu olovatého, kt, M PbCl je molárí hmotost chloridu olovatého, V kt je objem EDTA spotřebovaý do koce titrace. Idikátorová chyba je zaedbatelá, což lze odhadout s použitím rovovážých údajů o titračím systému. Rověž systematická chyba způsobeá ečistotou chloridu olovatého je malá, což lze vysvětlit způsobem přípravy základí látky. Stadardí ejistota hmotosti se odhade výše uvedeým postupem, stadardí ejistotu spotřebovaého objemu můžeme odhadout hodotou 0,03 ml, což je přibližý objem kapky titračího čiidla. Stadardí ejistota molárí hmotosti chloridu olovatého byla z tabulek odhaduta a 0,05 g mol -1 [3]. Kombiovaá stadardí ejistota kocetrace EDTA se vypočte podle rovice [u( m )] [u( V )] [u( M )] u( c) = c + + ( m ) ( V ) ( M ) PbCl kt PbCl PbCl kt PbCl Další příklady jsou uvedey v přílohách a CD-ROM. 1.5 Vyhodocováí ejistot postupy zdola ahoru a shora dolů Postup zdola ahoru (bottom up) Při tomto způsobu vyhodoceí vycházíme z úplé rovice měřeí. Pro výpočet ejistoty budeme používat Kragteovo schéma vyhodoceí, které bylo publikováo apř. v Kvalimetrii 11 [cit. 4]. Kragteův způsob je založe a aproximaci zákoa o propagaci ejistot. 18

19 Záko o propagaci ejistot: N u( y) = c u( x ) (1.45) i =1 i i kde Parciálí derivace můžeme aproximovat vztahem y x i y ci = (1.46) x y[ xi + u( xi )] y( xi ) u( x ) a dílčí příspěvek jedotlivé vstupí veličiy x i k celkové ejistotě aproximovat vztahem i i (1.47) u(y,x ii ) = y{x 1, x,, [x i + u(x i )],, x N } y(x 1, x,, x i,, x N ) (1.48) Na základě této aproximace je vytvoře algoritmus výpočtu v souboru kragte_vysvetlei.xls: 1. avrhout model měřeí y = f(x i ), i = 1,, p (p je počet vstupích veliči),. vložit hodoty vstupích veliči a jejich stadardích ejistot do sloupců, 3. zkopírovat sloupec hodot do matice p p pomocí F4 ($ před ozačeím sloupce), 4. diagoálí prvky matice zvětšit o stadardí ejistotu příslušé veličiy, 5. vypočítat výstupí veličiu pod sloupcem původích hodot, 6. zkopírovat vzorec (model měřeí) do řádků pod matici, 7. vypočítat diferece hodoty výstupí veličiy ezměěé a změěé, 8. vypočítat druhé mociy diferecí, 9. vypočítat sumu moci diferecí, 10. odmocia ze sumy je kombiovaá stadardí ejistota, 11. vypočítat příspěvky jedotlivých veliči k celkové ejistotě. Postup shora dolů (top dow) Při tomto způsobu vycházíme z předpokladu, že ejvětšími příspěvky k celkové ejistotě je vitrolaboratorí reprodukovatelost, vyjádřeá směrodatou odchylkou s repro a vychýleí, reprezetující pravdivost výsledku. Oba parametry se získají při validaci postupu měřeí. Kombiovaá ejistota se počítá podle rovice ve kterém je B vychýleí. u( y) = y (s ) + u(b), (1.49) repro rel rel 1.6 Testy hypotéz Testováí hypotéz je důležitou součástí iterpretace výsledků měřeí. Postup spočívá v tom, že ejprve vytvoříme tzv. ulovou hypotézu, tj. hypotézu, že studovaý soubor (resp. jeho charakteristický parametr) má určitou očekávaou vlastost Jsou to obvykle hypotézy o základích parametrech rozděleí pravděpodobosti měřeé veličiy. Hypotézy vždy testujeme a určité hladiě výzamosti α, obvykle volíme hodotu α = 0,05. Tradičí, klasický způsob testováí hypotéz vychází pouze z dat získaých opakovaým měřeím. Je to však způsob velice ilustra- 19

20 tiví a slouží i k pochopeí testováí hypotéz datových souborů, u kterých záme ejistotu měřeí Statistika opakovaých pokusů Testy hypotéz pro opakovaé pokusy eberou v úvahu ejistotu výsledku. Mírou promělivosti je pouze výběrová směrodatá odchylka opakovatelosti ebo reprodukovatelosti. Vstupími hodotami pro všechy testy jsou hodoty ěkterých charakteristik výběru: aritmetický průměr x, směrodatá odchylka výběru, s, rozsah měřeí,, kvatily t- a F-rozděleí pro určitý počet stupňů volosti a hladiu výzamosti α. Test hypotézy H 0 : µ = µ 0 Testujeme hypotézu, že středí hodota áhodé veličiy abývá určité hodoty. Hypotéza H 0 platí, když je hodota µ 0 uvitř oboustraého itervalu spolehlivosti L 1 : Test hypotézy H 0 : µ < µ 0 s L1 = x ± t. (1.50) 1 α / ;( 1) Testujeme hypotézu, že středí hodota áhodé veličiy abývá hodot meších ež je určitá hodota. Hypotéza H 0 platí, jestliže hodota µ 0 je uvitř jedostraého itervalu <L 1 ; >. Iterval L 1 se vypočte podle rovice Test hypotézy H 0 : µ > µ 0 s L1 = x t 1 α ; ( 1). (1.51) Testujeme hypotézu, že středí hodota áhodé veličiy abývá hodot větších ež je určitá hodota. Hypotéza H 0 platí, jestliže hodota µ 0 je uvitř jedostraého itervalu <- ; L >. Iterval L se vypočte podle rovice s L = x + t 1 α ; ( 1). (1.5) Testováí hypotézy H 0 : σ = σ 1 Testujeme hypotézu, že rozptyly dvou áhodých veliči jsou shodé. Hypotéza H 0 platí, jestliže vypočteá hodota F F 1 α /; νčit; νjme, ν čit je počet stupňů volosti v čitateli vztahu pro výpočet F, ν jme je počet stupňů volosti ve jmeovateli stejého vztahu: s1 F = pro s 1 > s (1.53) s ebo s F = pro s > s 1. (1.54) s 1 0

21 Test hypotézy H 0 : µ 1 = µ Testujeme hypotézu, že středí hodoty dvou ezávislých áhodých veliči jsou shodé za předpokladu shodosti rozptylů. Před testem této hypotézy musíme provést test hypotézy σ = σ 1. Mějme hodoty aritmetických průměrů a výběrových směrodatých odchylek dvou ezávislých souborů: x ; s ; x ; s. Za předpokladu platosti hypotézy σ = σ platí pro odhad společé výběrové směrodaté odchylky s = ( 1) s + ( 1) s (1.55) Hypotéza H 0 platí, když vypočteá hodota T < t1 α / ;( 1 + ) T = x x s + 1. (1.56) 1.6. Testováí hypotéz s použitím ejistoty výsledku Předpokladem vhodosti těchto testů je zalost stadardí kombiovaé ejistoty výsledku. Ve všech testech je u stadardí kombiovaá ejistota a U je rozšířeá ejistota U = k u. Pro 5% hladiu výzamosti volíme k =. Test hypotézy H 0 : µ = µ 0 Hypotéza H 0 platí, když x u µ 0 1, 96 (x je výsledek měřeí) (1.57) Test hypotézy H 0 : µ < µ 0 Hypotéza H 0 platí, když x (µ + 1, 64u) (x je výsledek měřeí) (1.58) 0 Test hypotézy H 0 : µ > µ 0 Hypotéza platí, když x (µ 1, 64u) (x je výsledek měřeí) (1.59) 0 1

22 Test hypotézy H 0 : µ 1 = µ Hypotéza platí, když x x 1 u + u 1 1, 96 (1.60) (x 1 a x jsou výsledky měřeí dvou ezávislých souborů, u 1 a u jsou příslušé stadardí kombiovaé ejistoty). 1.7 Příklady ke kapitole 1 excel_sytaxe.pdf obsahuje vysvětleí ěkterých fukcí v programu MS-Excel hypotezy_1.xls hypotezy_.xls kragte_vysvetlei.xls spreadsheed36.xls vazei.xls molari_hmotosti.xls mohrova_sul_koc.xls zakladi_operace.xls ejistoty_kalibracich_roztoku.xls titrace_1.xls titrace_.xls fotometrie.xls ejistoty_top dow.xls obsahuje řešeé příklady testováí hypotéz obsahuje řešeé příklady testováí hypotéz obsahuje vysvětleí výpočtu ejistot podle Kragtea obsahuje šabloy pro výpočet ejistot podle Kragtea pro 3-6 vstupích veliči (aglická verse) obsahuje řešeý příklad výpočtu ejistoty při gravimetrickém staoveí železa obsahuje řešeé příklady výpočtu ejistot molárích hmotostí sloučei obsahuje řešeý příklad výpočtu kocetrace a ejistoty roztoku Mohrovy soli obsahuje řešeé příklady výpočtu ejistot ěkterých základích operací: opakovatelost, ejistota istrumetálího sigálu, ejistota volumetrických operací obsahuje šablou pro výpočet kocetrace pěti kalibračích roztoků postupým ředěím stadardího roztoku obsahuje řešeý příklad odměrého magaometrického staoveí peroxidu vodíku obsahuje řešeý příklad odměrého chelatometrického staoveí Ni obsahuje řešeý příklad staoveí M fotometricky obsahuje šablou pro vypočet ejistoty měřicího postupu metodou shora dolů

23 Optimalizace měřicích postupů v chemii a biologických vědách.1 Pláováí experimetů Chceme-li ajít optimálí podmíky měřicích postupů, musíme ejprve zjistit, které faktory statisticky výzamě ovlivňují hodotu závisle proměé veličiy. Závisle proměou veličiou bývá obvykle fyzikálí (istrumetálí) sigál. Faktory, které hodotu závisle proměé veličiy ovlivňují, budeme považovat za ezávisle proměé veličiy. Faktory mohou být kvatitativí (kocetrace, teplota, tlak) ebo kvalitativí (druh metody, způsob techologického řešeí). Cíleou kombiaci všech faktorů podle určitého schématu azýváme plá experimetu. Jedou z metod, kterými zjišťujeme statistickou výzamost působeí faktorů a hodotu závisle proměé veličiy, je metoda aalýzy rozptylu. Aalýza rozptylu Defiujme ěkteré základí pojmy. Faktory začíme velkými písmey latiské abecedy, tedy A, B, C atd. Hodotám, kterých jedotlivé faktory mohou abývat, říkáme úrově faktorů. Tak apř. budeme-li sledovat vliv teploty a výtěžek techologického procesu při dvou teplotách 5 o C a 50 o C, říkáme, že vliv teploty sledujeme a dvou úrovích. Nižší úroveň ozačíme idexem 1 a vyšší úroveň idexem. Studujeme-li vliv většího možství faktorů při více úrovích každého z faktorů, říkáme kombiacím úroví všech faktorů postupy. Např. při studiu vlivu 3 faktorů A, B, C, které jsou a úrovích A 1, A, B 1, B, C 1, C, C 3, budou ěkteré z postupů A 1 B 1 C 1, A B 1 C 3 apod. Postupy mohou být s jedím ebo více opakováími. Při experimetálím provedeí je zajímavé, že ačkoli musíme pečlivě astavovat hodoty úroví jedotlivých faktorů a držet je při experimetu eměé, při statistickém zpracováí se hodoty těchto faktorů epoužívají (viz dále). Úrově jedotlivých faktorů jsou ve statistickém modelu vlastě ormalizováy a hodoty 0, ±1, ± atd. Matematický model aalýzy rozptylu vyjádříme takto: Mějme sigálů áhodé veličiy, y 1,, y, které jsou lieárí fukcí parametrů (počet p) a áhodých chyb e 1,..., e. Parametry ztotožíme s faktory. Model má potom tvar: y = x β + e. (.1) i ji j i p (i = 1,, ; j = 1,..., p), kde x ji jsou pevé kostaty (zpravidla 0, ±1, ±, atd.), β j jsou tzv. efekty faktorů, které mohou být odhaduty regresí aalýzou. O áhodých chybách předpokládáme, že mají ulovou středí hodotu, všechy stejý rozptyl, jsou ekorelovaé a mají ormálí rozděleí. Celková promělivost výsledků, S, je dáa součtem čtverců odchylek jedotlivých pozorováí od celkového aritmetického průměru: 3

24 yi y. (.) S = ( ) Aalýza rozptylu spočívá v rozděleí celkové promělivosti a složky příslušející jedotlivým faktorům a tzv. reziduálí promělivosti, která odpovídá áhodým chybám. F-Testem potom zjistíme statistickou výzamost jedotlivých složek celkového rozptylu a tím i vliv jedotlivých faktorů a hodotu závisle proměé veličiy. Plá experimetu pro jede faktor a aalýza rozptylu Uvažujme experimet, v ěmž je vyšetřová vliv jedoho faktoru, apř. A, který bude sledová a I úrovích (I > ). Při každé úrovi provedeme stejý počet opakováí měřeí závisle proměé veličiy (vyvážeý plá), r, přičemž pro celkový počet pokusů platí = r I. (.3) Výsledky pokusů tvoří tzv. experimetálí matici (viz tabulku.1), jejíž obecý čle ozačíme y iν, kde ν je počet opakováí měřeí sigálu a ité úrovi. Tabulka.1. Experimetálí plá pro jede faktor Faktor Opakováí A 1 y 11 y 1 y 1r A i y i1 y i y iν y ir A I y I1 y I y Ir Pro i-tou úroveň můžeme model pro aalýzu rozptylu vyjádřit vztahem: y iν = µ + α i + e iν, (.4) ve kterém µ je středí hodota závisle proměé pro všechy úrově, eboť experimetálí matici si můžeme představit jako áhodý výběr ze základího souboru. Parametr α i je vliv faktoru A a ité úrovi. Defiujme si yí pomocé mezisoučty v experimetálí matici: = y (.5) Y.. Y i. y i ν r Odhady parametrů jsou potom vyjádřey rovicemi I r i ν =. (.6) 4

25 Y.. µ ˆ = Y ˆ ˆ r Y eiν = yiν r i. α = µ Nyí budeme testovat hypotézu, že vlivy faktoru A a všech úrovích jsou stejé (a zároveň ulové), tedy hypotézu H 0 : proti alterativí hypotéze H A : i. α 1 = α = = α I = 0 I i= 1 α i > 0 Celkovou promělivost experimetálí matice, S, můžeme rozdělit a část odpovídající vlivu faktoru A, S A, a část odpovídající reziduálí promělivosti, S r : Nulová hypotéza se dá potom vyjádřit takto: (.7) S = S A + S r. (.8) H : σ σ 0 A r kde σ je rozptyl odpovídající promělivosti vyšetřovaého faktoru A, σ A r je rozptyl odpovídající reziduálí promělivosti. Testovací kritérium F je potom vyjádřeo rovicí: ve kterém S = r F = SA I 1 Sr, (.9) I 1 1 S A = Y.., (.10) r 1 y iν Y (.11) i. I r r I Hodotu F srováváme s F 1 α, (I 1; I). Odhad rozptylu měřeé veličiy vypočteme z residuálí promělivosti: s = S r / ( I). (.1) Faktoriálí experimety a aalýza rozptylu V případě, že vyšetřujeme vliv více faktorů, bude model pro aalýzu rozptylu vyjádře vztahem, apříklad pro dva faktory A, B, 5

26 y ijν = µ + α i x 1i + β j x j + α i β j x 1i x j + e ijν, (.13) takže faktor A vyšetřujeme a I a faktor B a J úrovích (i = 1,,, I; j = 1,,, J). Součiu α i β j říkáme iterakce faktorů. Z ekoomického i časového hlediska je výhodé pracovat a dvou úrovích pro každý faktor (I = J = ). Experimetálí pláy v takovém případě začíme N, kde N je počet vyšetřovaých faktorů. Při tomto typu pokusů měříme závisle proměou veličiu při všech kombiacích faktorů, takže celkový počet pokusů je dá hodotou r N, kde r je počet opakováí každého měřeí, stejý pro všechy postupy. Jedotlivým kombiacím úroví studovaých faktorů říkáme postupy a podle zavedeé Yatesovy symboliky [5] je ozačujeme kombiací malých písme. Tak apř. pro dva faktory A, B máme tyto postupy (v závorce je uvedeo začeí postupů): A 1 B 1 ( 1), A 1 B (b), A B 1 (a), A B (ab). Z uvedeého příkladu je zřejmé, že při ozačeí postupu použijeme malé písmeo k ozačeí faktoru, který je a vyšší úrovi. Z experimetálě zjištěých hodot závisle proměé veličiy při všech postupech vypočteme součty čtverců odchylek odpovídající vlivu jedotlivých faktorů a výsledek, součty čtverců odchylek odpovídající iterakcím faktorů, tj. spolupůsobeí kombiace faktorů a výsledek pokusu, a reziduálí rozptyl. Test výzamosti je založe a F-testu, tz. a porováí rozptylů odpovídajících vlivu jedotlivých faktorů a reziduálího rozptylu. Uveďme si příklad experimetálí matice faktoriálího pokusu 3 : Tabulka.. Experimetálí matice faktoriálího pokusu 3 C 1 C B 1 B B 1 B A 1 A A 1 A A 1 A A 1 A y 11 y 1 y 31 y 41 y 51 y 61 y 71 y 81 y 1 y y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 (-1) a b ab c ac bc abc Yatesovo začeí pokusů vyjadřuje v tomto případě součet jedotlivých hodot pokusů, Y i.. Promělivost odpovídající vlivu jedotlivých faktorů a iterakcí, P, je dáa vztahem S P [ P] =, (.14) N r kde [P] je algebraický součet hodot jedotlivých pokusů, resp. jejich součtu (viz experimetálí matici). Zaméka jedotlivých čleů součtu alezeme pomocí zamékového schématu (viz tabulku.3). Vypočteá promělivost má jede stupeň volosti. 6

27 Tabulka.3. Zamékové schéma pro faktoriálí pokus 3 Postup Efekt (-1) a b ab c ac bc abc A B AB C AC BC ABC Uvedeé zamékové schéma můžeme používat i pro působeí dvou faktorů. Neuvádíme zamékové schéma pro působeí více ež tří faktorů, eboť pro vyšetřováí vlivu takového počtu faktorů se používají jié experimety, tzv. kráceé faktoriálí experimety. Podle ašich zkušeostí z používáí faktoriálích pokusů vystačíme většiou s 3 faktory. Vysvětlíme si použití zamékového schématu ve faktoriálím pokusu 3. Pro výpočet promělivosti odpovídající vlivu faktoru A dostaeme pro [A] pro [B] a apř. pro [AC] [A] = ( 1) + a b + ab c + ac bc + abc [B] = ( 1) a + b + ab c ac + bc + abc [AC] = +( 1) a + b ab c + ac bc + abc. Připomíáme, že do těchto vztahů dosazujeme za jedotlivé postupy hodoty závisle proměé veličiy. Pokud máme více opakováí (r > 1), dosazujeme součet hodot závisle proměé veličiy pro všecha opakováí. Odhad rozptylu s pro N faktorů se vypočte z rovice kde r s = N (r 1) r iν i. N r N r Odhad rozptylu má N (r 1) stupňů volosti. S, (.15) 1 S = y Y. (.16) Vypočteou hodotu F P S F = (.17) s P P porováváme obvyklým způsobem s tabelovaou hodotou F 1 α, [(1; N (r 1)]. 7

28 . Experimetálí optimalizace Pro optimalizaci je výhodé formulovat závislost aalytického sigálu a hodotách výzamých faktorů. Zmíěé faktoriálí pokusy (str. 5) ám skýtají příležitost aproximace roviou podle rovice Y reg = b 0 + b 1x bn x N, (.18) ve které jsou veličiy x ormalizovaé hodoty výzamých faktorů. Koeficiety b se vypočtou podle vztahů b 0 = yi. (.19) kde y i. jsou průměré hodoty Y i.. N b = x y, (.0) j ji i N Vzhledem k tomu, že je výhodější zát koeficiety regresího vztahu v původích proměých x puv, můžeme přepočítat ormalizovaé hodoty a původí podle vztahů 1/ = (x max x mi )/ (.1) x stred = (x max + x mi )/ (.) x puv = x 1/ + x stred, (.3) x max je hodota faktoru a vyšší úrovi, x mi je hodota faktoru a ižší úrovi. Rovice výsledkové (odezvové, respose surface) plochy, v ašem případě roviy, můžeme použít v ěkteré z optimalizačích metod. Optimalizačí metody jsou vesměs založey a zalosti velikosti a směru gradietu výsledkové plochy, který má pro rovici roviy tvar grad Y = b 1 dx 1 + b dx b N dx N, (.4) kde dx i jsou jedotkové vektory ve směru os výzamých faktorů. Pokud chceme zát rovici výsledkové plochy v okolí maxima (miima) této plochy, musíme použít jiý experimetálí plá, který umožňuje odhadout rovici plochy vyššího řádu. Ukažme si uvedeý případ pro experimetálí plá 3, ve kterém jsou dva výzamé faktory a třech úrovích. Proměé x (faktory) trasformujeme do úroví 1, 0, +1. Rovice plochy odezvy je dáa rovicí η = β + β x + β x + β x + β x + β x x. (.5)

29 Experimetálí matice má tvar Bod Úrově faktorů Výsledek x 1 x y y y y y y y y y y 9 Odhady koeficietů β i regresí rovice jsou veličiy b 1 = (1/6)( y 1 y y 3 + y 7 + y 8 +y 9 ) (.6) b = (1/6)( y 1 + y 3 y 4 + y 6 y 7 + y 9 ) (.7) b 11 = (1/6)(y 1 + y + y 3 y 4 y 5 y 6 + y 7 + y 8 + y 9 ) (.8) b = (1/6)(y 1 y + y 3 + y 4 y 5 + y 6 + y 7 y 8 + y 9 ) (.9) b 1 = (1/4)(y 1 y 3 y 7 + y 9 ) (.30) b 0 = (1/)Σy i (/3)(b 11 + b ) (.31) Regresí rovice plochy odezvy má tvar Y = b + b x + b x + b x + b x + b x x. (.3) reg Maximum (miimum) fukce popisující plochu odezvy azýváme stacioárím bodem a vypočteme ho řešeím rovic pro x 1 a x Y reg x 1 = 0 a Y x reg = 0. (.33) Simplexová metoda Pomocí aalýzy rozptylu experimetálích hodot závisle proměé veličiy určíme, které z původě uvažovaých faktorů výzamě ovlivňují závisle proměou veličiu. Dále je třeba zjistit optimálí kombiaci hodot výzamých faktorů, tj. alézt oblast, ve které má závisle proměá veličia z hlediska použití aalytického postupu ejlepší hodotu. Může to být apříklad ejvyšší absorbace roztoku, ejkratší doba ebo ejižší áklady a aalýzu apod. Možý tvar výsledkové plochy (plochy odezvy) zázorňuje obrázek.1. 9

30 Oblast optima, charakterizovaá optimálí kombiací výzamých faktorů Optimalizace Oblast faktoriálích experimetů Obrázek.1. Možý tvar výsledkové plochy a optimalizace Pro alezeí optimálích podmíek můžeme použít řady metod, které byly vypracováy pro aplikace v jiých oblastech přírodích ebo ekoomických věd. Pro experimetálí optimalizaci v chemii je ejvhodější tzv. simplexová metoda, která je velmi jedoduchá a rychle vede k alezeí optima. Pricipem metody je pohyb experimetálě zjištěého bodu v N-rozměrém faktorovém prostoru (N je počet výzamých faktorů) ve směru ejvětšího gradietu závisle proměé veličiy. Souřadice bodu jsou dáy hodotami výzamých faktorů. Experimetálí plá simplexové metody spočívá v umerickém sestrojeí pravidelého N-rozměrého tělesa (simplexu), které má N + 1 vrcholů, a v postupém sestrojováí dalších simplexů, které se vytvářejí podle určitých pravidel. V počátečím simplexu změříme hodotu závisle proměé veličiy ve všech vrcholech tělesa a rozhodeme, která je ejhorší, tj. která má ejižší (ejvyšší) hodotu sigálu. K ejhoršímu vrcholu umericky sestrojíme zrcadlový obraz, takže vzike ový simplex, který má s předchozím společé všechy vrcholy kromě jedoho. V tomto ovém vrcholu opět změříme hodotu závisle proměé a zovu rozhodeme, který vrchol má ejhorší hodotu závisle proměé veličiy. Postupujeme tak dlouho, až alezeme optimum. Při volbě počátečího simplexu postupujeme takto: Ve faktoriálím pokusu N, který musí předcházet simplexové metodě, přiřadíme ižší úrovi faktorů hodotu 0 a vyšší úrovi hodotu 1 podle vztahu x j, x = x j max x mi x mi, (.34) ve kterém x j, je ormalizovaá hodota faktoru, x j je skutečá hodota faktoru, x max a x mi jsou maximálí a miimálí hodoty jedotlivých faktorů (vyšší a ižší úrově). Volbu N + 1 vrcholů počátečího simplexu provádíme podle ásledující tabulky.3, ve které jsou uvedey ormalizovaé hodoty pro 4 sledovaé faktory. 30

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základy měřeí eelektrických veliči.. Měřicí řetězec Měřicí řetězec (měřicí soustava) je soubor měřicích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, aby bylo ožě split požadovaý úkol měřeí, tj. získat iformaci

Více

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI 1. Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika je vědí obor, který zkoumá zákoitosti přírodích jevů. Pozámka: Získáváí pozatků ve fyzice: 1. pozorováí - sledováí určitého jevu v jeho přirozeých podmíkách,

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1)

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1) Obsah Obsah... Úvod... 3 Základí pojmy počtu pravděpodobosti... 7. Základí statistické pojmy... 7. Fukce áhodých veliči... 8.3 Charakteristiky áhodých veliči... 0.4 Některá rozděleí pravděpodobosti....5

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závislostí ve statistice Měřeí závislostí ve statistice se zabývá především zkoumáím vzájemé závislosti statistických zaků vícerozměrých souborů. Závislosti přitom mohou být apříklad

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB

METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB 6 VĚSTNÍK MZ ČR ČÁSTKA 4 METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB Miisterstvo zdravotictví vydává podle 80 odst., písm. a)

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

Experimentální postupy. Koncentrace roztoků

Experimentální postupy. Koncentrace roztoků Experimetálí postupy Kocetrace roztoků Kocetrace roztoků možství rozpuštěé látky v roztoku. Hmotostí zlomek (hmotostí proceta) Objemový zlomek (objemová proceta) Molárí zlomek Molarita (molárí kocetrace)

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

K čemu slouží regrese?

K čemu slouží regrese? REGRESE K čemu slouží regrese? C = Ca + c. Y C = 00 + 0,6. Y + e Budeme zjišťovat jak jeda proměá (ezávislá) Ovlivňuje jiou proměou (závislou) C Y 950 1000 910 150 1130 1500 1150 1750 1475 000 1550 50

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Měřící technika - MT úvod

Měřící technika - MT úvod Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více