KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu."

Transkript

1 KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ

2 Kvalimetrie 16 je zatím posledí z řady příruček KVALIMETRIE, vydávaých odborým sdružeím EURACHEM-ČR. Příručka obsahuje přehled statistických metod, které se využívají v chemických laboratořích, a je doplěa přiložeým CD se šabloami a řešeými příklady růzých statistických postupů s využitím programu MS-Excel. Autor věří, že příručka dojde širokého uplatěí v chemických i kliických laboratořích. Příručka Kvalimetrie 16 vzikla v rámci projektů PRM VIII/18/09 Úřadu pro techickou ormalizaci, metrologii a státí zkušebictví a INGO LA MŠMT. Autor děkuje především Ig. Davidu Mildemu, Ph.D. za revizi výpočetí části příručky a RNDr. Pavlu Koříkovi, Ph.D. za techické práce při přípravě CD. Miloslav Sucháek Miloslav Sucháek: Statistické metody v metrologii a aalytické chemii. Řešeé příklady v Excelu a CD-ROM Editor Miloslav Sucháek K tisku připravil Iva Korua Miloslav Sucháek 009 EURACHEM-ČR 009 Vydal EURACHEM-ČR, Techická 5, Praha 6. IČ ISBN

3 OBSAH Úvod 5 1 Základí statistické parametry a testy hypotéz Základí soubor a typy statistických rozděleí Základí pojmy Náhodé veličiy Základí typy rozděleí Statistika opakovaých měřeí, áhodý výběr Nejistota výsledku Nejistoty elemetárích operací v chemické a biologické laboratoři Volumetrické operace Vážeí Nejistota hodoty měřeého sigálu Titračí staoveí Vyhodocováí ejistot postupy zdola ahoru a shora dolů Testy hypotéz Statistika opakovaých pokusů Testováí hypotéz s použitím ejistoty výsledku Příklady ke kapitole 1 Optimalizace měřicích postupů v chemii a biologických vědách 3.1 Pláováí experimetů 3. Experimetálí optimalizace 8.3 Příklady ke kapitole 31 3 Hodoceí závislosti mezi proměými Lieárí regrese Vážeá lieárí regrese Lieárí regrese s ejistotami v obou proměých (bivariátí, bilieárí regrese) Nelieárí regrese v biologických měřicích postupech Další experimetálí pláy v kalibraci Metoda přídavku stadardu (SAM) Metoda bracketig Příklady ke kapitole Validace měřicích postupů Termiologie Experimetálí plá pro validaci Selektivita (iterferece) Rozsah měřeí, liearita Opakovatelost Reprodukovatelost Výtěžost Mez detekce, mez staovitelosti Robustost měřicího postupu Příklady ke kapitole

4 5 Statistické metody při přípravě a používáí referečích materiálů Statistické pricipy certifikace Staoveí ejistoty homogeity Staoveí ejistoty stability Použití certifikovaých referečích materiálů Příklady ke kapitole Mezilaboratorí porováí Norma ISO Harmoizovaý protokol IUPAC Kvalitativí zkoušky 61 7 Kotigečí tabulky Příklady ke kapitole Vícerozměré metody Kovariačí matice a testy hypotéz Boxův test Ověřeí úplé ezávislosti zkoumaých proměých Lieárí diskrimiačí aalýza Lieárí diskrimiačí aalýza pro více skupi (k > ) Příklady ke kapitole Používáí referečích materiálů při řízeí kvality (ISO Guide 80) Homogeita Dlouhodobá stabilita Použití QCM při tvorbě regulačích diagramů Literatura Sezam zkratek 81 4

5 Úvod V příručce Kvalimetrie 16 jsme se pokusili podat přehled statistických a chemometrických postupů, které mohou být využity při zpracováí a iterpretaci experimetálích dat. Pracovíci laboratoří, pracující v oborech přírodích věd, používají často při zpracováí experimetálích dat des běžě dostupé programové vybaveí tabulkový procesor MS-Excel. Přílohou této příručky je CD-ROM, který obsahuje jedak řešeé příklady, jedak šabloy (templáty) pro řešeí jedotlivých statistických postupů. Excelové sešity jsou otevřeé, tedy ezamčeé, a mohou být využity při řešeí obdobých problémů. Pro validaci zmíěých sešitů a jiých počítačích jsou přiložey výsledky příkladů v souborech formátu MS-Word. Uživatelům příručky doporučujeme, aby příliš ezasahovali do struktury sešitů, zvláště v případech, kdy je použito makro. Doporučujeme pouze jedoduché úpravy, apř. rozšířeí počtu vstupích údajů ebo zaokrouhleí výstupích dat. Používaí excelových sešitů vyžaduje pouze základí zalosti Excelu. V případě jakékoliv pochybosti ebo efukčosti ěkterého z přiložeých sešitů kotaktujte autora této příručky a ových adresách ebo Výčet statistických a chemometrických postupů eí samozřejmě úplý. Soustředili jsme se pouze a ty, které jsou jedoduché a které se dají zvládout v prostředí Excelu. V příkladech je použita verze Microsoft Excel

6 6

7 1 Základí statistické parametry a testy hypotéz 1.1 Základí soubor a typy statistických rozděleí Základí pojmy Při hodoceí aalytických metod a výsledků ebo při formulaci fyzikálě-chemických modelů popisujících vztahy mezi proměými veličiami, z ichž se většia získává experimetálě, využíváme matematicko-statistické metody. Matematicko-statistické metody jsou vhodým ástrojem zkoumáí systému v případech, kdy je uto učiit objektiví závěr o celku složeém z velkého možství jedotek, přičemž z ějakých důvodů je možo prozkoumat je malou, vybraou část tohoto celku. Hromadé jevy jsou takové, které se vyskytují za určitých podmíek opakovaě ve velkém počtu a lze je přitom pozorovat ebo získávat experimetem. Speciálím případem hromadého jevu je áhodý jev. Te za daých podmíek může a emusí astat, jeho výskyt závisí pak a áhodě. Číselá veličia, která měí svou hodotu působeím áhodých jevů, se azývá áhodá veličia. Zjistitelá hodota áhodé veličiy musí být jedozačě určea, tz. musí v kokrétě sledovaém případě abýt jedié hodoty. Náhodost jevu zameá emožost předpovědět s jistotou, zda při určitém experimetu kdykoli v budoucu jev astae či eastae. Je tomu tak proto, že ezáme všechy příčiy výskytu áhodého jevu, kterých je moho a které jsou samy o sobě epostižitelé a ekotrolovatelé. Náhodou veličiu charakterizují pravděpodobosti, s íž se vyskytují její hodoty v předem zvoleých mezích. Distribučí fukce áhodé veličiy ξ je fukcí reálé proměé x a její hodota v daém bodě x 0 je pravděpodobost, že ξ abude hodoty meší ebo rové x 0 : F(x 0 ) = P{ξ x 0 } pro x = x 0 (1.1) Všechy hodoty, kterých může áhodá veličia abýt, tvoří spolu s distribučí fukcí její rozděleí pravděpodobostí. Základí soubor je možia hodot áhodé veličiy s daým rozděleím pravděpodobostí, z íž se vybírají pozorovaé hodoty této veličiy. Základí soubor obsahuje hodoty áhodé veličiy skutečě pozorovaé a teoreticky možé. Teoreticky proto, že emáme techické, časové ebo jié možosti pozorováí uskutečit, ale víme, jak bychom každé jedotlivé pozorováí mohli uskutečit. Vlastosti základího souboru pozáváme je do určité míry prostředictvím áhodého výběru. Příkladem základího souboru mohou být apř. výsledky všech možých aalýz stejého vzorku (ekoečě velký soubor), všechy možé kocetrace H SO 4, které můžeme obdržet od výrobce (ekoečý), dodávka 5 vagóů železé rudy (koečý) apod. Náhodý výběr je potom apř. pět aalýz stejého vzorku, deset růzých kocetraci H SO 4, pět vzorků po 1 kg odebraých áhodě z každého vagóu atd. 7

8 1.1. Náhodé veličiy Jak bylo uvedeo výše, áhodá veličia je charakterizováa distribučí fukcí a rozděleím pravděpodobostí. Probereme si ěkteré vlastosti distribučích fukcí. Distribučí fukce má tyto vlastosti: 1. Hodoty distribučí fukce leží mezi 0 a 1, tedy 0 F(x) 1. (1.). Distribučí fukce je eklesající: F(x ) > F(x 1 ) pro všecha x > x 1. (1.3) 3. Distribučí fukce je spojitá zleva. 4. Každá distribučí fukce splňuje podmíky F( ) = 0 a F( ) = 1. (1.4) Jestliže možé hodoty áhodé veličiy patří do itervalu (a ; b), potom aalogicky platí F(a) = 0 a F(b) = 1. (1.5) Z defiice distribučí fukce a z vlastostí distribučí fukce plyou ěkteré další důležité vztahy: P(x 1 ξ x ) = F(x ) F(x 1 ) (1.6) pro spojitou áhodou veličiu, a pro diskrétí áhodou veličiu. Dále platí vztah P(x 1 < ξ < x ) = F(x ) F(x 1 ) (1.7) P(ξ > x) = 1 F(x). (1.8) Pomocí distribučí fukce může být urče záko rozděleí jak diskrétí, tak spojité áhodé veličiy. Záko rozděleí diskrétí áhodé veličiy ξ lze kromě tohoto způsobu popsat také možiou hodot x a odpovídajících pravděpodobostí P(ξ = x), které budeme ozačovat p(x) a azveme pravděpodobostí ebo frekvečí fukcí. Tyto pravděpodobosti splňují vztahy p ( x ) = 1 (1.9) x P(x 1 < ξ < x ) = x p ( x). (1.10) x 1 Pravděpodobosti p(x) a jejich rozděleí lze vyjádřit trojím způsobem: matematickou fukcí, tabulkou hodot a grafem. Záko rozděleí spojité áhodé veličiy ξ vyjádříme, kromě distribučí fukcí, pomocí tzv. hustoty pravděpodobosti (frekvečí fukce), pro iž platí x F(x) = f ( z)dz. (1.11) Kvatily jsou body, rozdělující obor hodot áhodé veličiy v určitém pravděpodobostím poměru. 100P% kvatil, x P, je hodota, která současě splňuje erovosti 8

9 V případě spojité veličiy platí P(ξ x P ) P P(ξ x P ) 1 P. F(x P ) = P. (1.1) Tak apříklad 50% kvatil zameá, že 50 % všech možých hodot áhodé veličiy ξ leží pod hodotou tohoto kvatilu, x 0,5. Teto kvatil se azývá mediá. Záko rozděleí podává o áhodé veličiě obraz sice úplý, ale často dost epřehledý. Proto shrujeme iformaci o áhodé veličiě do jedoho ebo ěkolika čísel, která veličiu dobře charakterizují. Tato čísla azýváme charakteristikami. Z velkého možství charakteristik se budeme zabývat pouze dvěma: charakteristikou polohy a charakteristikou variability. Základí charakteristikou polohy je středí (očekávaá) hodota, E(ξ) ebo µ. Základí charakteristikou variability je rozptyl, D(ξ), ebo σ. Jeho odmociu azýváme směrodatou odchylkou, σ. Důležitou charakteristikou dvou áhodých veliči, apř. ξ a η, je kovariace C(ξ,η): Koeficiet korelace, ρ, je defiová vztahem: C(ξ,η) = E{[ξ E(ξ)][η E(η)]}. (1.13) ρ(ξ,η) = C(ξ,η) / [ρ(ξ) ρ(η)]. (1.14) který charakterizuje těsost vztahu mezi dvěma veličiami. Koeficiet korelace může abývat hodot z itervalu < 1 ; 1>. Je-li koeficiet korelace ulový, potom se áhodé veličiy ξ a η azývají ekorelovaé. Věty o středí hodotě a rozptylu (platí pro ezávislé áhodé veličiy): 1. E(k) = k D(k) = 0 (k je kostata). E(kξ) = ke(ξ) D(kξ) = k D(ξ) 3. E(ξ ± η) = E(ξ) ± E(η) D(ξ ± η) = D(ξ) + D(η) (1.15) 4. E(ξη) = E(ξ) E(η) 5. D(ξ) = E(ξ ) [E(ξ)] Důležitou veličiou je ormovaá áhodá veličia, ζ, která má ulovou středí hodotu a jedotkový rozptyl: ζ = [ξ E(ξ)] / D(ξ). (1.16) Příklad Diferečí metoda vážeí spočívá ve dvou postupých vážeích, jedak vážeky se vzorkem, jedak vážeky se zbytkem. Obě hmotosti můžeme považovat za ezávislé áhodé veličiy ξ 1 a ξ. Zjistěte středí hodotu a rozptyl rozdílu obou hmotostí. E(ξ 1 ξ ) = E(ξ 1 ) E(ξ ) D(ξ 1 ξ ) = D(ξ 1 ) + D(ξ ), je-li D(ξ 1 ) = D(ξ ) = σ, potom D(ξ 1 - ξ ) = σ. 9

10 1.1.3 Základí typy rozděleí Nejdůležitějším a v teorii měřeí ejběžějším rozděleím pravděpodobostí spojité áhodé veličiy je tzv. ormálí (Gaussovo) rozděleí. Tímto rozděleím se dají aproximovat i ěkterá rozděleí spojitá i diskrétí. Toto rozděleí je použitelé vždy, když je kolísáí hodot áhodé veličiy způsobeo součtem velkého počtu epatrých a vzájemě ezávislých vlivů. Tak apř. při chemické aalýze vzorku ovlivňuje výsledek kolísající kvalita chemikálií, růzá vlhkost vzduchu, teplota, tlak, stabilita přístrojů, mometálí schoposti pracovíka, kolísáí apětí v síti. Normálí rozděleí je charakterizováo dvěma parametry: středí (očekávaou) hodotou µ a rozptylem σ. Začí se N(µ,σ ). Normálí rozděleí je symetrické kolem středí hodoty. Distribučí fukce ormálího rozděleí, stejě jako hustota pravděpodobosti, jsou tabelováy pro hodoty ormovaé áhodé veličiy ζ. Pro výpočet hodot z této ormovaé áhodé veličiy z hodot x eormovaé veličiy platí z = (x µ)/σ. (1.17) Normovaé rozděleí budeme začit N(0,1). Tabelováy jsou hodoty F(z) a f(z) pro ezáporé z. Platí F( z) = 1 F(z) a f( z) = f(z). (1.18) Uvažujme yí pravděpodobost, že ormovaá áhodá veličia, ormálě rozděleá, bude uvitř itervalu symetrického kolem uly. Tuto pravděpodobost můžeme apř. vyjádřit vztahem což je ekvivaletí vztahu P( z z α ) = 1 α, P( z > z α ) = α. Hodotu z α azýváme 100α% kritickou hodotou. Příklad Vypočtěte kritickou hodotu z α pro α = 0,05. Podle předchozích vztahů můžeme psát: P( z α ζ z α ) = F(z α ) F( z α ) = F(z α ) 1 = 1 α, tedy F(z α ) = 1 (α/). Podle zavedeé defiice kvatilu je z α = z P 100P% kvatilem pro P = 1 (α/). Pro α = 0,05 je F(z α ) = 0,975 a z tabulek zjistíme z α = 1,96, což je 97,5% kvatil. 10

11 Příklad Kotrolujeme kvalitu při výrobě kaprolaktamu. Přitom požadujeme, aby bod tuhutí, Θ, byl v mezích 67, o C až 69,9 o C. Z dlouhodobého pozorováí je zámo, že středí hodota bodu tuhutí suroviy, odebíráme-li vzorek z jedoho pytle, je 67,7 o C se směrodatou odchylkou 0,3 o C. Staovte podíl pytlů, které leží mimo požadovaé meze. Předpokládejme, že áhodá veličia (ormálě rozděleá) bod tuhutí, Θ, suroviy v jedom pytli má rozděleí N(67,7; 0,09). Naším úkolem je vypočítat pravděpodobosti P(Θ < 67,) a P(Θ > 69,9) Vytvořme ormovaou veličiu ζ, jejíž hodoty požadovaého itervalu vypočteme podle Požadovaé pravděpodobosti: z 1 = (69,9 67,7) / 0,3 = 7,33 F(7,33) = 1 z = (67, 67,7) / 0,3 = 1,67 F( 1,67) = 1 F(1,67) = 0,047 P(Θ < 67,) = 0,047 P(Θ > 69,9) = 1 F(7,33) = 0 Odpověď a požadovaou otázku je: 4,7 % pytlů bude mít ižší bod tuhutí ež 67, o C a žádý pytel vyšší bod tuhutí ež 69,9 o C. Příklad Náhodá veličia ξ má rozděleí N(µ,σ ). Vypočtěte s jakou pravděpodobostí se hodoty této áhodé veličiy budou vyskytovat v itervalu µ ± σ. Hodoty ormovaé áhodé veličiy, ζ, vypočteme takto: z = (µ ± σ µ) / σ = ±1 F(1) = 0,841 F( 1) = 1 F(1) = 0,159 P = 0,841 0,159 = 0,68 t.j. 68, %. Rozděleí χ je charakterizováo počtem stupňů volosti, ν. Středí hodota tohoto rozděleí je ν, rozptyl je ν. Tabelováy jsou kvatily, χ ( ) P ν, pro které platí P [ ( ) P ( )] χ ν < χ ν = P. (1.19) Tak apř. kvatil χ pro α = 0,05 [ χ ] má hodotu 14,4. (6) 1 α / 0,975 (6) Rozděleí t (Studetovo rozděleí) je rověž charakterizováo počtem stupňů volosti ν. Je to symetrické rozděleí a pro vyšší ν (ν > 30) se blíží ormálímu rozděleí. V praxi ho používáme tam, kde ezáme rozptyl σ áhodé veličiy a ahrazujeme ho odhadem rozptylu s (viz dále). V tabulkách jsou uvedey kvatily t pro zvoleé P tak, aby platil vztah P[t(ν) < t P ] = P. (1.0) 11

12 F-rozděleí (Sedecorovo rozděleí) Toto rozděleí budeme používat při aalýze rozptylu. Mějme dvě ezávislé áhodé veličiy ξ 1 a ξ o rozděleích χ (ν 1 ) a χ (ν ). Náhodá veličia φ = (ξ 1 /ν 1 )/(ξ /ν ) (1.1) má F rozděleí o ν 1 a ν stupích volosti. V tabulkách alezeme kvatily F, pro které platí P[F < F P (ν 1,ν )] = P. (1.) Poissoovo rozděleí Pro rozděleí espojité áhodé veličiy si uveďme Poissoovo rozděleí. Poissoovo rozděleí je limitím případem biomického rozděleí, když se počet pokusů blíží ekoeču, pravděpodobost p(x) se blíží k ule a parametr λ = p(x) = kost. Parametr λ je parametrem charakterizujícím daý typ rozděleí Po(λ). Pro určité hodoty λ je Poissoovo rozděleí tabelováo. Středí hodota i rozptyl rozděleí Po(λ) je λ. Rozděleím Po(λ) můžeme ahradit biomické rozděleí při p(x) < 0,05. Řídí se jím apř. četost impulsů aměřeých Geigerovou Müllerovou trubicí, četost červeých krviek v zorém poli mikroskopu, četost zmetků v dodávce zboží apod. 1. Statistika opakovaých měřeí, áhodý výběr Uvažujme áhodý pokus, jehož výsledkem je hodota x áhodé veličiy ξ, která má distribučí fukci F(x). Opakujeme-li áhodý pokus ezávisle krát, dostaeme hodoty x 1, x,, x. Možia těchto hodot se azývá áhodým výběrem rozsahu z rozděleí, majícího distribučí fukci F(x). Vzhledem k tomu, že hodoty áhodého výběru pocházejí z téhož základího souboru, mají stejou středí hodotu a stejý rozptyl. K charakterizaci áhodého výběru používáme charakteristik, které azýváme výběrovými charakteristikami. Zmííme se hlavě o dvou výběrovém průměru a výběrovém rozptylu. Výběrový průměr (aritmetický průměr) je defiová jako 1 x = x i. (1.3) Středí hodota výběrového průměru je µ, rozptyl je σ /. Středí hodota výběrového průměru je tedy stejá jako středí hodota základího souboru, zatímco rozptyl výběrového průměru je rove tiě rozptylu rozděleí, z ěhož pochází. Výběrový rozptyl (odhad rozptylu) je defiová vztahem ebo vztahem 1 s = ( x x) (1.4) i 1 1

13 1 1 = xi xi 1 s. (1.5) Podobě jako v případě výběrového průměru se dá dokázat, že očekávaá hodota výběrového rozptylu je σ. Výběrová směrodatá odchylka, s, je druhá odmocia výběrového rozptylu. Srováme-li vztah pro výběrový rozptyl se vztahem pro výběrový druhý cetrálí momet xi x (1.6) M = ( ) vidíme, že druhý cetrálí momet ( 1)krát větší ež odhad rozptylu áhodého výběru. Připomíáme, že uvedeé vztahy platí pro jakékoli rozděleí základího souboru. Defiujme si jedu důležitou charakteristiku, Studetův poměr T: Tato veličia má t-rozděleí o ( 1) stupích volosti. x µ T =. (1.7) s Defiujme ještě výběrový třetí a čtvrtý cetrálí momet áhodého výběru: 3 xi 3 x (1.8) M = ( ) 4 xi 4 x (1.9) M = ( ) Potom výběrový koeficiet šikmosti je urče rovicí a výběrový koeficiet špičatosti rovicí A M 3 = (1.30) 3 3 M B M = (1.31) 4 4 M Obě výběrové charakteristiky používáme k testováí typů rozděleí. Rozpětí, R, je defiovaé jako rozdíl mezi ejvyšší (x ) a ejižší (x 1 ) hodotou jedotlivých výsledků v sérii měřeí: Z rozpětí můžeme vypočítat odhad směrodaté odchylky s: R = x x 1 (1.3) s = k R (1.33) Hodoty koeficietu k jsou tabelováy v běžých statistických tabulkách. 13

14 1.3 Nejistota výsledku Podle termiologického slovíku VIM 3 [cit. 1] je ejistota defiováa jako ezáporý parametr charakterizující rozptýleí hodot veličiy přiřazeých měřeé veličiě a základě použité iformace. V úvodu této kapitoly si ejprve vysvětlíme ěkteré základí pojmy, které se k defiici ejistoty vztahují. Základím iformačím zdrojem pro všechy defiice a vysvětleí ěkterých důležitých pojmů je výše zmíěý metrologický slovík VIM 3. Měřeí je proces experimetálího získáváí jedé ebo více hodot veličiy, které mohou být důvodě přiřazey veličiě. Měřeí v sobě obsahuje porováí veliči a zahruje zjišťováí počtu etit. Měřeí předem předpokládá popis veličiy přiměřeý určeému použití výsledku měřeí, popis postupu měřeí a kalibrovaého měřicího systému pracujícího v souladu se specifikovaým postupem měřeí, včetě podmíek měřeí. Měřeá veličia (agl. measurad) je veličia, která má být měřea. Specifikace měřeé veličiy vyžaduje zalost druhu veličiy, popis stavu jevu, tělesa ebo látky esoucích veličiu, včetě jakékoliv relevatí složky a zahrutých chemických etit. Měřeá veličia je charakterizováa hodotou a příslušou jedotkou měřeí. Příkladem měřeé veličiy může být celkový obsah olova ve vzorku půdy (mg kg -1 ) kocetrace celkového cholesterolu v séru (mmol L -1 ) obsah alkoholu v krvi (mg g -1 ) obsah dioxiu (,3,7,8-TCDBD) v mase (µg kg -1 ) V chemii se pro měřeou veličiu ěkdy používá termí aalyt ebo ázev sloučeiy. Takové použití je chybé, protože tyto výrazy eodkazují a veličiy. Výsledek měřeí je defiová jako soubor hodot veličiy přiřazeý měřeé veličiě společě s jakoukoliv další dostupou relevatí iformací (obvykle ejistota výsledku). Nový metrologický slovík VIM 3 [cit. 1] zavedl tzv. ejistotový přístup k měřeí a vyjadřováí výsledků. V této publikaci se budeme tohoto pricipu důsledě držet. Na rozdíl od chybového přístupu evyžaduje ejistotový přístup odhad chyby (áhodé, systematické), pouze odhad ejistoty výsledku. K tomuto přístupu se váží další důležité pojmy. Pravdivost měřeí (agl. trueess) je těsost shody mezi aritmetickým průměrem ekoečého počtu opakovaých aměřeých hodot veličiy a referečí hodotou veličiy. Pravdivost je kvalitativí pojem a emůže být vyjádřea číselě. Míra těsosti shody se azývá vychýleí (agl. bias). Precizost měřeí (agl. precisio) je těsost shody mezi idikacemi (sigály) ebo aměřeými hodotami veličiy získaých opakovaými měřeími a stejém objektu za specifikovaých podmíek. Precizost měřeí se zpravidla vyjadřuje výběrovou směrodatou odchylkou ebo odhadem rozptylu za specifikovaých podmíek. Specifikovaými podmíkami mohou být apř. podmíky opakovatelosti, podmíky mezilehlé precizosti ebo podmíky reprodukovatelosti. Precizost se používá pro defiováí ěkterých validačích parametrů (viz další kapitoly). Stadardí ejistota, u(x), je ejistota hodoty veličiy x vyjádřeá jako směrodatá odchylka. Vyhodoceí ejistoty měřeí způsobem A je postup vyhodoceí složky ejistoty měřeí statistickou aalýzou opakovaých aměřeých hodot veličiy získaých za defiovaých 14

15 podmíek měřeí (opakovatelost, mezilehlá precizost, reprodukovatelost). Výsledkem je stadardí ejistota příslušé veličiy. Vyhodoceí ejistoty měřeí způsobem B je postup vyhodoceí složky ejistoty měřeí staoveé jiými způsoby ež vyhodoceím ejistoty měřeí způsobem A. Používají se přitom iformace z kalibračích listů, certifikátů referečích materiálů, údajů výrobce přístrojů, údajů v odboré literatuře apod. Výsledkem je stadardí ejistota příslušé veličiy. Nyí přistoupíme k výkladu o ejistotě výsledku. V moha případech aalytických měřeí eí měřeá veličia (apř. látkové možství daého aalytu) měřea přímo, ale její hodota se staoví epřímo pomocí hodot jiých veliči prostředictvím fukčího vztahu (modelu měřeí) ψ = f(ξ 1, ξ,..., ξ Ν ), (1.34) ve kterém ψ je měřeá veličia abývající hodot y, a kde ξ 1 až ξ Ν jsou jié veličiy, abývající hodot x 1 až x N. V dalším textu budeme považovat hodoty všech veliči za jejich odhady. Veličia ψ se azývá výstupí veličiou, ξ 1 až ξ Ν veličiami vstupími. Vstupí veličiy zahrují i všechy korekce a korekčí faktory, které přispívají k ejistotě výsledku měřeí. Pokud data idikují, že fukce f evyjadřuje model měřeí dostatečě, musíme rozšířit vstupí veličiy o další čley. Iformace můžeme získat apř. z validačí studie. Kromě zalosti hodot vstupích veliči musíme zát i jejich stadardí ejistoty. Vstupí veličiy, x 1 až x N, mohou být děley a a) veličiy, jejichž hodoty (odhad) a ejistoty (rověž odhad) se staovují přímo současým měřeím (způsob A). Odhady hodot a jejich ejistot lze získat jedím měřeím, opakovaým měřeím, ebo odhadem založeým a zkušeosti. Zahrují rověž korekce měřicích přístrojů, korekce a vliv okolího prostředí apod. Stadardí ejistota se odhade pomocí výběrové směrodaté odchylky opakovaých měřeí; b) veličiy, jejichž hodoty a ejistoty se získávají z exterích zdrojů (způsob B), jako jsou veličiy spojeé s etaloem (stadardem), certifikovaým referečím materiálem ebo veličiy, jejichž hodoty jsou převzaty z tabulek ebo mauálů výrobce přístrojů. Stadardí ejistota se odhade apř. pomocí rovoměrého rozděleí (viz další kapitolu). Odhad hodoty y veličiy ψ pomocí odhadů hodot x 1 až x N je dá rovicí y = f(x 1,, x N ). (1.35) Kombiovaá stadardí ejistota a záko propagace ejistot Vztah mezi kombiovaou stadardí ejistotou u(y) hodoty y veličiy ψ a stadardími ejistotami u(x i ) hodot x i veliči ξ i vychází ze zákoa propagace ejistot: a) pro ezávislé veličiy x i : N u( y) = c u( x ), (1.36) i = 1 i i 15

16 f ve kterém c = je citlivost (selektivití koeficiet) měřeé hodoty y vzhledem i xi k hodotám jedotlivých vstupích veliči. Jedotlivé citlivosti mohou být získáy experimetálě. Je třeba připomeout, že uvedeý vztah je vztahem aproximativím, ve kterém jsou vyecháy čley s parciálími derivacemi vyšších řádů. V chemických měřeích je tato aproximace dostačující. b) pro závislé veličiy x i : N N 1 N u( y) = ci u( xi ) + ci c j u( xi, x j ) i = 1 i = 1 j = i+ 1 (1.37) ebo po zavedeí odhadu korelačího koeficietu, r: N N 1 N i i i j i j i j i = 1 i = 1 j = i + 1. (1.38) u( y) = c u( x ) + c c u( x )u( x )r( x, x ) Existují jedoduchá pravidla pro výpočet kombiovaé stadardí ejistoty. Pravidlo 1: Pro model měřeí, který zahruje pouze součet ebo rozdíl vstupích veliči, apř. y = k(x 1 + x + x 3 ) (k je kostata), (1.39) je kombiovaá stadardí ejistota dáa vztahem u( y) = k u( x ) + u( x ) + u( x ). (1.40) 1 3 Pravidlo : Pro model měřeí, který azýváme multiplikativí: y = k(x 1 x x 3 ) (k je kostata) (1.41) je kombiovaá ejistota dáa vztahem u( y) y k u(x ) u( x ) u( x ) 1 3 = + + x1 x x3 (1.4) Kombiovaá rozšířeá ejistota Kombiovaá rozšířeá ejistota určuje iterval, ve kterém se s daou pravděpodobostí dá předpokládat skutečá hodota měřeé veličiy. Kombiovaá rozšířeá ejistota se odhaduje podle vztahu U(y) = k u(y), (1.43) ve kterém k je koeficiet rozšířeí. Ve většiě případů se hodota koeficietu rozšířeí volí rova. Pokud v kombiovaé stadardí ejistotě převládá jeda složka s malým počtem stupňů volosti (apř. ν < 6), potom koeficiet rozšířeí můžeme zaměit za kvatil t-rozděleí a pro daou hladiu výzamosti α platí t-rozděleí, t 1 α/; ν. 16

17 Presetace výsledku Výsledek měřeí presetujeme vždy ve tvaru: výsledek = hodota měřeé veličiy ± rozšířeá ejistota (použitá hodota k) tedy V = y ± U(y) (k = ) [ebo: (k = 3)]. (1.44) 1.4 Nejistoty elemetárích operací v chemické a biologické laboratoři Volumetrické operace Nejistoty volumetrických operací jsou řešey v Metodickém listě EURACHEM-ČR []. Metodické listy jsou jako excelové soubory ke stažeí a iteretové adrese Vážeí Při gravimetrických operacích se v chemické aalýze uplatňují hlavě dvě složky ejistoty: ejistota spojeá s opakováím gravimetrické operace (vážeí) a ejistota spojeá s kalibrací vah. Nejistotu spojeou s opakovaým vážeím získáme experimetálě (typ A). Opakovaě zvážíme (apř. 15krát) závaží o určité hmotosti, apř. 0 g. Výběrová směrodatá odchylka takového pokusu je zároveň stadardí ejistotou operace, u(m 1 ). Při diferečím vážeí započítáváme teto příspěvek dvakrát. Nejistotu spojeou s kalibrací vah lze rozdělit a tři příspěvky: ejistota liearity deklarovaá výrobcem, ejistota kalibrace způsobeá odchylkou kalibrovaého závaží od omiálí hodoty a ejistota omiálí hodoty. Výrobce deklaruje odchylku od liearity jako toleračí limit, ±t. Tato hodota udává maximálí odchylku mezi skutečou hmotostí a misce vah a hmotostí odečítaou z displeje. Předpokládáme, že tolerace má rovoměré rozděleí a lze tedy převést toleraci a směrodatou odchylku (typ B). Při diferečím vážeí započítáváme teto příspěvek dvakrát. Nejistotu omiálí hodoty závaží, u(m 3 ), lze získat z kalibračího certifikátu po kalibrací závaží v Českém metrologickém istitutu. Její příspěvek k celkové ejistotě je obvykle zaedbatelý Nejistota hodoty měřeého sigálu Při měřeí jakéhokoliv sigálu (absorbace, plocha píku, atd.) uvažujeme, že stadardí ejistota hodoty sigálu se skládá ze tří příspěvků: pravdivosti, reprodukovatelosti a opakovatelosti hodoty měřeého sigálu, získaých z validace přístroje (typ A). Prví dva příspěvky bývají uvedey v příručce k přístroji jako toleračí iterval (typ B, rovoměré rozděleí). Následující příklad objasňuje odhad stadardí ejistoty hodoty měřeého sigálu. 17

18 Příklad Údaje výrobce přístroje: pravdivost (trueess), přesost (accuracy) reprodukovatelost Validace přístroje: opakovatelost ( = 10) 0,005 a.u. 0,005 a.u. 0,005 a.u. 0, 005 0, 005 u(sigál) 0, 005 0, 004 = + + = a.u. 3 3 Pokud údaje výrobce chybí, je stadardí ejistota hodoty měřeého sigálu dáa pouze opakovatelostí. Připomíáme, že stadardí ejistota hodoty měřeého sigálu může být závislá a hodotě měřeého sigálu, takže je třeba ji odhadout v celém měřicím rozsahu. V tomto případě se doporučuje zjistit závislost ejistoty a hodotě měřeé veličiě Titračí staoveí Ukážeme si příklad staoveí látkové kocetrace EDTA (titr odměrého roztoku). Odvážeé možství chloridu olovatého se titruje odměrým roztokem EDTA a idikátor xyleolovou oraž. Kocetrace EDTA se vypočte podle vztahu: ve kterém mpbcl m c = M PbCl PbCl V je hmotost avážeého chloridu olovatého, kt, M PbCl je molárí hmotost chloridu olovatého, V kt je objem EDTA spotřebovaý do koce titrace. Idikátorová chyba je zaedbatelá, což lze odhadout s použitím rovovážých údajů o titračím systému. Rověž systematická chyba způsobeá ečistotou chloridu olovatého je malá, což lze vysvětlit způsobem přípravy základí látky. Stadardí ejistota hmotosti se odhade výše uvedeým postupem, stadardí ejistotu spotřebovaého objemu můžeme odhadout hodotou 0,03 ml, což je přibližý objem kapky titračího čiidla. Stadardí ejistota molárí hmotosti chloridu olovatého byla z tabulek odhaduta a 0,05 g mol -1 [3]. Kombiovaá stadardí ejistota kocetrace EDTA se vypočte podle rovice [u( m )] [u( V )] [u( M )] u( c) = c + + ( m ) ( V ) ( M ) PbCl kt PbCl PbCl kt PbCl Další příklady jsou uvedey v přílohách a CD-ROM. 1.5 Vyhodocováí ejistot postupy zdola ahoru a shora dolů Postup zdola ahoru (bottom up) Při tomto způsobu vyhodoceí vycházíme z úplé rovice měřeí. Pro výpočet ejistoty budeme používat Kragteovo schéma vyhodoceí, které bylo publikováo apř. v Kvalimetrii 11 [cit. 4]. Kragteův způsob je založe a aproximaci zákoa o propagaci ejistot. 18

19 Záko o propagaci ejistot: N u( y) = c u( x ) (1.45) i =1 i i kde Parciálí derivace můžeme aproximovat vztahem y x i y ci = (1.46) x y[ xi + u( xi )] y( xi ) u( x ) a dílčí příspěvek jedotlivé vstupí veličiy x i k celkové ejistotě aproximovat vztahem i i (1.47) u(y,x ii ) = y{x 1, x,, [x i + u(x i )],, x N } y(x 1, x,, x i,, x N ) (1.48) Na základě této aproximace je vytvoře algoritmus výpočtu v souboru kragte_vysvetlei.xls: 1. avrhout model měřeí y = f(x i ), i = 1,, p (p je počet vstupích veliči),. vložit hodoty vstupích veliči a jejich stadardích ejistot do sloupců, 3. zkopírovat sloupec hodot do matice p p pomocí F4 ($ před ozačeím sloupce), 4. diagoálí prvky matice zvětšit o stadardí ejistotu příslušé veličiy, 5. vypočítat výstupí veličiu pod sloupcem původích hodot, 6. zkopírovat vzorec (model měřeí) do řádků pod matici, 7. vypočítat diferece hodoty výstupí veličiy ezměěé a změěé, 8. vypočítat druhé mociy diferecí, 9. vypočítat sumu moci diferecí, 10. odmocia ze sumy je kombiovaá stadardí ejistota, 11. vypočítat příspěvky jedotlivých veliči k celkové ejistotě. Postup shora dolů (top dow) Při tomto způsobu vycházíme z předpokladu, že ejvětšími příspěvky k celkové ejistotě je vitrolaboratorí reprodukovatelost, vyjádřeá směrodatou odchylkou s repro a vychýleí, reprezetující pravdivost výsledku. Oba parametry se získají při validaci postupu měřeí. Kombiovaá ejistota se počítá podle rovice ve kterém je B vychýleí. u( y) = y (s ) + u(b), (1.49) repro rel rel 1.6 Testy hypotéz Testováí hypotéz je důležitou součástí iterpretace výsledků měřeí. Postup spočívá v tom, že ejprve vytvoříme tzv. ulovou hypotézu, tj. hypotézu, že studovaý soubor (resp. jeho charakteristický parametr) má určitou očekávaou vlastost Jsou to obvykle hypotézy o základích parametrech rozděleí pravděpodobosti měřeé veličiy. Hypotézy vždy testujeme a určité hladiě výzamosti α, obvykle volíme hodotu α = 0,05. Tradičí, klasický způsob testováí hypotéz vychází pouze z dat získaých opakovaým měřeím. Je to však způsob velice ilustra- 19

20 tiví a slouží i k pochopeí testováí hypotéz datových souborů, u kterých záme ejistotu měřeí Statistika opakovaých pokusů Testy hypotéz pro opakovaé pokusy eberou v úvahu ejistotu výsledku. Mírou promělivosti je pouze výběrová směrodatá odchylka opakovatelosti ebo reprodukovatelosti. Vstupími hodotami pro všechy testy jsou hodoty ěkterých charakteristik výběru: aritmetický průměr x, směrodatá odchylka výběru, s, rozsah měřeí,, kvatily t- a F-rozděleí pro určitý počet stupňů volosti a hladiu výzamosti α. Test hypotézy H 0 : µ = µ 0 Testujeme hypotézu, že středí hodota áhodé veličiy abývá určité hodoty. Hypotéza H 0 platí, když je hodota µ 0 uvitř oboustraého itervalu spolehlivosti L 1 : Test hypotézy H 0 : µ < µ 0 s L1 = x ± t. (1.50) 1 α / ;( 1) Testujeme hypotézu, že středí hodota áhodé veličiy abývá hodot meších ež je určitá hodota. Hypotéza H 0 platí, jestliže hodota µ 0 je uvitř jedostraého itervalu <L 1 ; >. Iterval L 1 se vypočte podle rovice Test hypotézy H 0 : µ > µ 0 s L1 = x t 1 α ; ( 1). (1.51) Testujeme hypotézu, že středí hodota áhodé veličiy abývá hodot větších ež je určitá hodota. Hypotéza H 0 platí, jestliže hodota µ 0 je uvitř jedostraého itervalu <- ; L >. Iterval L se vypočte podle rovice s L = x + t 1 α ; ( 1). (1.5) Testováí hypotézy H 0 : σ = σ 1 Testujeme hypotézu, že rozptyly dvou áhodých veliči jsou shodé. Hypotéza H 0 platí, jestliže vypočteá hodota F F 1 α /; νčit; νjme, ν čit je počet stupňů volosti v čitateli vztahu pro výpočet F, ν jme je počet stupňů volosti ve jmeovateli stejého vztahu: s1 F = pro s 1 > s (1.53) s ebo s F = pro s > s 1. (1.54) s 1 0

21 Test hypotézy H 0 : µ 1 = µ Testujeme hypotézu, že středí hodoty dvou ezávislých áhodých veliči jsou shodé za předpokladu shodosti rozptylů. Před testem této hypotézy musíme provést test hypotézy σ = σ 1. Mějme hodoty aritmetických průměrů a výběrových směrodatých odchylek dvou ezávislých souborů: x ; s ; x ; s. Za předpokladu platosti hypotézy σ = σ platí pro odhad společé výběrové směrodaté odchylky s = ( 1) s + ( 1) s (1.55) Hypotéza H 0 platí, když vypočteá hodota T < t1 α / ;( 1 + ) T = x x s + 1. (1.56) 1.6. Testováí hypotéz s použitím ejistoty výsledku Předpokladem vhodosti těchto testů je zalost stadardí kombiovaé ejistoty výsledku. Ve všech testech je u stadardí kombiovaá ejistota a U je rozšířeá ejistota U = k u. Pro 5% hladiu výzamosti volíme k =. Test hypotézy H 0 : µ = µ 0 Hypotéza H 0 platí, když x u µ 0 1, 96 (x je výsledek měřeí) (1.57) Test hypotézy H 0 : µ < µ 0 Hypotéza H 0 platí, když x (µ + 1, 64u) (x je výsledek měřeí) (1.58) 0 Test hypotézy H 0 : µ > µ 0 Hypotéza platí, když x (µ 1, 64u) (x je výsledek měřeí) (1.59) 0 1

22 Test hypotézy H 0 : µ 1 = µ Hypotéza platí, když x x 1 u + u 1 1, 96 (1.60) (x 1 a x jsou výsledky měřeí dvou ezávislých souborů, u 1 a u jsou příslušé stadardí kombiovaé ejistoty). 1.7 Příklady ke kapitole 1 excel_sytaxe.pdf obsahuje vysvětleí ěkterých fukcí v programu MS-Excel hypotezy_1.xls hypotezy_.xls kragte_vysvetlei.xls spreadsheed36.xls vazei.xls molari_hmotosti.xls mohrova_sul_koc.xls zakladi_operace.xls ejistoty_kalibracich_roztoku.xls titrace_1.xls titrace_.xls fotometrie.xls ejistoty_top dow.xls obsahuje řešeé příklady testováí hypotéz obsahuje řešeé příklady testováí hypotéz obsahuje vysvětleí výpočtu ejistot podle Kragtea obsahuje šabloy pro výpočet ejistot podle Kragtea pro 3-6 vstupích veliči (aglická verse) obsahuje řešeý příklad výpočtu ejistoty při gravimetrickém staoveí železa obsahuje řešeé příklady výpočtu ejistot molárích hmotostí sloučei obsahuje řešeý příklad výpočtu kocetrace a ejistoty roztoku Mohrovy soli obsahuje řešeé příklady výpočtu ejistot ěkterých základích operací: opakovatelost, ejistota istrumetálího sigálu, ejistota volumetrických operací obsahuje šablou pro výpočet kocetrace pěti kalibračích roztoků postupým ředěím stadardího roztoku obsahuje řešeý příklad odměrého magaometrického staoveí peroxidu vodíku obsahuje řešeý příklad odměrého chelatometrického staoveí Ni obsahuje řešeý příklad staoveí M fotometricky obsahuje šablou pro vypočet ejistoty měřicího postupu metodou shora dolů

23 Optimalizace měřicích postupů v chemii a biologických vědách.1 Pláováí experimetů Chceme-li ajít optimálí podmíky měřicích postupů, musíme ejprve zjistit, které faktory statisticky výzamě ovlivňují hodotu závisle proměé veličiy. Závisle proměou veličiou bývá obvykle fyzikálí (istrumetálí) sigál. Faktory, které hodotu závisle proměé veličiy ovlivňují, budeme považovat za ezávisle proměé veličiy. Faktory mohou být kvatitativí (kocetrace, teplota, tlak) ebo kvalitativí (druh metody, způsob techologického řešeí). Cíleou kombiaci všech faktorů podle určitého schématu azýváme plá experimetu. Jedou z metod, kterými zjišťujeme statistickou výzamost působeí faktorů a hodotu závisle proměé veličiy, je metoda aalýzy rozptylu. Aalýza rozptylu Defiujme ěkteré základí pojmy. Faktory začíme velkými písmey latiské abecedy, tedy A, B, C atd. Hodotám, kterých jedotlivé faktory mohou abývat, říkáme úrově faktorů. Tak apř. budeme-li sledovat vliv teploty a výtěžek techologického procesu při dvou teplotách 5 o C a 50 o C, říkáme, že vliv teploty sledujeme a dvou úrovích. Nižší úroveň ozačíme idexem 1 a vyšší úroveň idexem. Studujeme-li vliv většího možství faktorů při více úrovích každého z faktorů, říkáme kombiacím úroví všech faktorů postupy. Např. při studiu vlivu 3 faktorů A, B, C, které jsou a úrovích A 1, A, B 1, B, C 1, C, C 3, budou ěkteré z postupů A 1 B 1 C 1, A B 1 C 3 apod. Postupy mohou být s jedím ebo více opakováími. Při experimetálím provedeí je zajímavé, že ačkoli musíme pečlivě astavovat hodoty úroví jedotlivých faktorů a držet je při experimetu eměé, při statistickém zpracováí se hodoty těchto faktorů epoužívají (viz dále). Úrově jedotlivých faktorů jsou ve statistickém modelu vlastě ormalizováy a hodoty 0, ±1, ± atd. Matematický model aalýzy rozptylu vyjádříme takto: Mějme sigálů áhodé veličiy, y 1,, y, které jsou lieárí fukcí parametrů (počet p) a áhodých chyb e 1,..., e. Parametry ztotožíme s faktory. Model má potom tvar: y = x β + e. (.1) i ji j i p (i = 1,, ; j = 1,..., p), kde x ji jsou pevé kostaty (zpravidla 0, ±1, ±, atd.), β j jsou tzv. efekty faktorů, které mohou být odhaduty regresí aalýzou. O áhodých chybách předpokládáme, že mají ulovou středí hodotu, všechy stejý rozptyl, jsou ekorelovaé a mají ormálí rozděleí. Celková promělivost výsledků, S, je dáa součtem čtverců odchylek jedotlivých pozorováí od celkového aritmetického průměru: 3

24 yi y. (.) S = ( ) Aalýza rozptylu spočívá v rozděleí celkové promělivosti a složky příslušející jedotlivým faktorům a tzv. reziduálí promělivosti, která odpovídá áhodým chybám. F-Testem potom zjistíme statistickou výzamost jedotlivých složek celkového rozptylu a tím i vliv jedotlivých faktorů a hodotu závisle proměé veličiy. Plá experimetu pro jede faktor a aalýza rozptylu Uvažujme experimet, v ěmž je vyšetřová vliv jedoho faktoru, apř. A, který bude sledová a I úrovích (I > ). Při každé úrovi provedeme stejý počet opakováí měřeí závisle proměé veličiy (vyvážeý plá), r, přičemž pro celkový počet pokusů platí = r I. (.3) Výsledky pokusů tvoří tzv. experimetálí matici (viz tabulku.1), jejíž obecý čle ozačíme y iν, kde ν je počet opakováí měřeí sigálu a ité úrovi. Tabulka.1. Experimetálí plá pro jede faktor Faktor Opakováí A 1 y 11 y 1 y 1r A i y i1 y i y iν y ir A I y I1 y I y Ir Pro i-tou úroveň můžeme model pro aalýzu rozptylu vyjádřit vztahem: y iν = µ + α i + e iν, (.4) ve kterém µ je středí hodota závisle proměé pro všechy úrově, eboť experimetálí matici si můžeme představit jako áhodý výběr ze základího souboru. Parametr α i je vliv faktoru A a ité úrovi. Defiujme si yí pomocé mezisoučty v experimetálí matici: = y (.5) Y.. Y i. y i ν r Odhady parametrů jsou potom vyjádřey rovicemi I r i ν =. (.6) 4

25 Y.. µ ˆ = Y ˆ ˆ r Y eiν = yiν r i. α = µ Nyí budeme testovat hypotézu, že vlivy faktoru A a všech úrovích jsou stejé (a zároveň ulové), tedy hypotézu H 0 : proti alterativí hypotéze H A : i. α 1 = α = = α I = 0 I i= 1 α i > 0 Celkovou promělivost experimetálí matice, S, můžeme rozdělit a část odpovídající vlivu faktoru A, S A, a část odpovídající reziduálí promělivosti, S r : Nulová hypotéza se dá potom vyjádřit takto: (.7) S = S A + S r. (.8) H : σ σ 0 A r kde σ je rozptyl odpovídající promělivosti vyšetřovaého faktoru A, σ A r je rozptyl odpovídající reziduálí promělivosti. Testovací kritérium F je potom vyjádřeo rovicí: ve kterém S = r F = SA I 1 Sr, (.9) I 1 1 S A = Y.., (.10) r 1 y iν Y (.11) i. I r r I Hodotu F srováváme s F 1 α, (I 1; I). Odhad rozptylu měřeé veličiy vypočteme z residuálí promělivosti: s = S r / ( I). (.1) Faktoriálí experimety a aalýza rozptylu V případě, že vyšetřujeme vliv více faktorů, bude model pro aalýzu rozptylu vyjádře vztahem, apříklad pro dva faktory A, B, 5

26 y ijν = µ + α i x 1i + β j x j + α i β j x 1i x j + e ijν, (.13) takže faktor A vyšetřujeme a I a faktor B a J úrovích (i = 1,,, I; j = 1,,, J). Součiu α i β j říkáme iterakce faktorů. Z ekoomického i časového hlediska je výhodé pracovat a dvou úrovích pro každý faktor (I = J = ). Experimetálí pláy v takovém případě začíme N, kde N je počet vyšetřovaých faktorů. Při tomto typu pokusů měříme závisle proměou veličiu při všech kombiacích faktorů, takže celkový počet pokusů je dá hodotou r N, kde r je počet opakováí každého měřeí, stejý pro všechy postupy. Jedotlivým kombiacím úroví studovaých faktorů říkáme postupy a podle zavedeé Yatesovy symboliky [5] je ozačujeme kombiací malých písme. Tak apř. pro dva faktory A, B máme tyto postupy (v závorce je uvedeo začeí postupů): A 1 B 1 ( 1), A 1 B (b), A B 1 (a), A B (ab). Z uvedeého příkladu je zřejmé, že při ozačeí postupu použijeme malé písmeo k ozačeí faktoru, který je a vyšší úrovi. Z experimetálě zjištěých hodot závisle proměé veličiy při všech postupech vypočteme součty čtverců odchylek odpovídající vlivu jedotlivých faktorů a výsledek, součty čtverců odchylek odpovídající iterakcím faktorů, tj. spolupůsobeí kombiace faktorů a výsledek pokusu, a reziduálí rozptyl. Test výzamosti je založe a F-testu, tz. a porováí rozptylů odpovídajících vlivu jedotlivých faktorů a reziduálího rozptylu. Uveďme si příklad experimetálí matice faktoriálího pokusu 3 : Tabulka.. Experimetálí matice faktoriálího pokusu 3 C 1 C B 1 B B 1 B A 1 A A 1 A A 1 A A 1 A y 11 y 1 y 31 y 41 y 51 y 61 y 71 y 81 y 1 y y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 (-1) a b ab c ac bc abc Yatesovo začeí pokusů vyjadřuje v tomto případě součet jedotlivých hodot pokusů, Y i.. Promělivost odpovídající vlivu jedotlivých faktorů a iterakcí, P, je dáa vztahem S P [ P] =, (.14) N r kde [P] je algebraický součet hodot jedotlivých pokusů, resp. jejich součtu (viz experimetálí matici). Zaméka jedotlivých čleů součtu alezeme pomocí zamékového schématu (viz tabulku.3). Vypočteá promělivost má jede stupeň volosti. 6

27 Tabulka.3. Zamékové schéma pro faktoriálí pokus 3 Postup Efekt (-1) a b ab c ac bc abc A B AB C AC BC ABC Uvedeé zamékové schéma můžeme používat i pro působeí dvou faktorů. Neuvádíme zamékové schéma pro působeí více ež tří faktorů, eboť pro vyšetřováí vlivu takového počtu faktorů se používají jié experimety, tzv. kráceé faktoriálí experimety. Podle ašich zkušeostí z používáí faktoriálích pokusů vystačíme většiou s 3 faktory. Vysvětlíme si použití zamékového schématu ve faktoriálím pokusu 3. Pro výpočet promělivosti odpovídající vlivu faktoru A dostaeme pro [A] pro [B] a apř. pro [AC] [A] = ( 1) + a b + ab c + ac bc + abc [B] = ( 1) a + b + ab c ac + bc + abc [AC] = +( 1) a + b ab c + ac bc + abc. Připomíáme, že do těchto vztahů dosazujeme za jedotlivé postupy hodoty závisle proměé veličiy. Pokud máme více opakováí (r > 1), dosazujeme součet hodot závisle proměé veličiy pro všecha opakováí. Odhad rozptylu s pro N faktorů se vypočte z rovice kde r s = N (r 1) r iν i. N r N r Odhad rozptylu má N (r 1) stupňů volosti. S, (.15) 1 S = y Y. (.16) Vypočteou hodotu F P S F = (.17) s P P porováváme obvyklým způsobem s tabelovaou hodotou F 1 α, [(1; N (r 1)]. 7

28 . Experimetálí optimalizace Pro optimalizaci je výhodé formulovat závislost aalytického sigálu a hodotách výzamých faktorů. Zmíěé faktoriálí pokusy (str. 5) ám skýtají příležitost aproximace roviou podle rovice Y reg = b 0 + b 1x bn x N, (.18) ve které jsou veličiy x ormalizovaé hodoty výzamých faktorů. Koeficiety b se vypočtou podle vztahů b 0 = yi. (.19) kde y i. jsou průměré hodoty Y i.. N b = x y, (.0) j ji i N Vzhledem k tomu, že je výhodější zát koeficiety regresího vztahu v původích proměých x puv, můžeme přepočítat ormalizovaé hodoty a původí podle vztahů 1/ = (x max x mi )/ (.1) x stred = (x max + x mi )/ (.) x puv = x 1/ + x stred, (.3) x max je hodota faktoru a vyšší úrovi, x mi je hodota faktoru a ižší úrovi. Rovice výsledkové (odezvové, respose surface) plochy, v ašem případě roviy, můžeme použít v ěkteré z optimalizačích metod. Optimalizačí metody jsou vesměs založey a zalosti velikosti a směru gradietu výsledkové plochy, který má pro rovici roviy tvar grad Y = b 1 dx 1 + b dx b N dx N, (.4) kde dx i jsou jedotkové vektory ve směru os výzamých faktorů. Pokud chceme zát rovici výsledkové plochy v okolí maxima (miima) této plochy, musíme použít jiý experimetálí plá, který umožňuje odhadout rovici plochy vyššího řádu. Ukažme si uvedeý případ pro experimetálí plá 3, ve kterém jsou dva výzamé faktory a třech úrovích. Proměé x (faktory) trasformujeme do úroví 1, 0, +1. Rovice plochy odezvy je dáa rovicí η = β + β x + β x + β x + β x + β x x. (.5)

29 Experimetálí matice má tvar Bod Úrově faktorů Výsledek x 1 x y y y y y y y y y y 9 Odhady koeficietů β i regresí rovice jsou veličiy b 1 = (1/6)( y 1 y y 3 + y 7 + y 8 +y 9 ) (.6) b = (1/6)( y 1 + y 3 y 4 + y 6 y 7 + y 9 ) (.7) b 11 = (1/6)(y 1 + y + y 3 y 4 y 5 y 6 + y 7 + y 8 + y 9 ) (.8) b = (1/6)(y 1 y + y 3 + y 4 y 5 + y 6 + y 7 y 8 + y 9 ) (.9) b 1 = (1/4)(y 1 y 3 y 7 + y 9 ) (.30) b 0 = (1/)Σy i (/3)(b 11 + b ) (.31) Regresí rovice plochy odezvy má tvar Y = b + b x + b x + b x + b x + b x x. (.3) reg Maximum (miimum) fukce popisující plochu odezvy azýváme stacioárím bodem a vypočteme ho řešeím rovic pro x 1 a x Y reg x 1 = 0 a Y x reg = 0. (.33) Simplexová metoda Pomocí aalýzy rozptylu experimetálích hodot závisle proměé veličiy určíme, které z původě uvažovaých faktorů výzamě ovlivňují závisle proměou veličiu. Dále je třeba zjistit optimálí kombiaci hodot výzamých faktorů, tj. alézt oblast, ve které má závisle proměá veličia z hlediska použití aalytického postupu ejlepší hodotu. Může to být apříklad ejvyšší absorbace roztoku, ejkratší doba ebo ejižší áklady a aalýzu apod. Možý tvar výsledkové plochy (plochy odezvy) zázorňuje obrázek.1. 9

30 Oblast optima, charakterizovaá optimálí kombiací výzamých faktorů Optimalizace Oblast faktoriálích experimetů Obrázek.1. Možý tvar výsledkové plochy a optimalizace Pro alezeí optimálích podmíek můžeme použít řady metod, které byly vypracováy pro aplikace v jiých oblastech přírodích ebo ekoomických věd. Pro experimetálí optimalizaci v chemii je ejvhodější tzv. simplexová metoda, která je velmi jedoduchá a rychle vede k alezeí optima. Pricipem metody je pohyb experimetálě zjištěého bodu v N-rozměrém faktorovém prostoru (N je počet výzamých faktorů) ve směru ejvětšího gradietu závisle proměé veličiy. Souřadice bodu jsou dáy hodotami výzamých faktorů. Experimetálí plá simplexové metody spočívá v umerickém sestrojeí pravidelého N-rozměrého tělesa (simplexu), které má N + 1 vrcholů, a v postupém sestrojováí dalších simplexů, které se vytvářejí podle určitých pravidel. V počátečím simplexu změříme hodotu závisle proměé veličiy ve všech vrcholech tělesa a rozhodeme, která je ejhorší, tj. která má ejižší (ejvyšší) hodotu sigálu. K ejhoršímu vrcholu umericky sestrojíme zrcadlový obraz, takže vzike ový simplex, který má s předchozím společé všechy vrcholy kromě jedoho. V tomto ovém vrcholu opět změříme hodotu závisle proměé a zovu rozhodeme, který vrchol má ejhorší hodotu závisle proměé veličiy. Postupujeme tak dlouho, až alezeme optimum. Při volbě počátečího simplexu postupujeme takto: Ve faktoriálím pokusu N, který musí předcházet simplexové metodě, přiřadíme ižší úrovi faktorů hodotu 0 a vyšší úrovi hodotu 1 podle vztahu x j, x = x j max x mi x mi, (.34) ve kterém x j, je ormalizovaá hodota faktoru, x j je skutečá hodota faktoru, x max a x mi jsou maximálí a miimálí hodoty jedotlivých faktorů (vyšší a ižší úrově). Volbu N + 1 vrcholů počátečího simplexu provádíme podle ásledující tabulky.3, ve které jsou uvedey ormalizovaé hodoty pro 4 sledovaé faktory. 30

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB

METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB 6 VĚSTNÍK MZ ČR ČÁSTKA 4 METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB Miisterstvo zdravotictví vydává podle 80 odst., písm. a)

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Měřící technika - MT úvod

Měřící technika - MT úvod Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

Metodický postup pro určení úspor primární energie

Metodický postup pro určení úspor primární energie Metodický postup pro určeí úspor primárí eergie Parí protitlaká turbía ORGRZ, a.s., DIVIZ PLNÉ CHNIKY A CHMI HUDCOVA 76, 657 97 BRNO, POŠ. PŘIHR. 97, BRNO 2 z.č. Obsah abulka hodot vstupujících do výpočtu...3

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text (srpen 2012) Miloslav Suchánek

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text (srpen 2012) Miloslav Suchánek CHEMOMETRIKA a STATISTIKA Prozatímí učebí text (srpe 01) Miloslav Sucháek 1. Základí pojmy Při hodoceí aalytických metod a výsledků ebo při formulaci fyzikálě-chemických modelů popisujících vztahy mezi

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací 6.-7. září 006 tegrace hodot Value-at-Risk lieárích subportfolií a bázi vícerozměrého ormálího

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu 1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

MĚŘENÍ PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV VEŘEJNÉHO OSVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGULÁTORU E15

MĚŘENÍ PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV VEŘEJNÉHO OSVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGULÁTORU E15 VŠB - T Ostrava, FE MĚŘENÍ PARAMETRŮ OVĚTLOVACÍCH OTAV VEŘEJNÉHO OVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGLÁTOR E5 Řešitelé: g. taislav Mišák, Ph.D., Prof. g. Karel okaský, Cc. V Ostravě de.8.2007 g. taislav Mišák, Prof.

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma 3. Decibelové veličiy v akustice, kmitočtová ásma V ředchozí kaitole byly defiováy základí akustické veličiy, jako ař. akustický výko, akustický tlak a itezita zvuku. Tyto veličiy ve v raxi měí o moho

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Statistika. Poznámky z přednášek

Statistika. Poznámky z přednášek Statistika Pozámky z předášek Materiál obsahuje pozámky ze předášek plus to co se musíme doučit včetě ukázkových příkladů, které se objevily a předášce, ebo z aplikace etstorage. J.T. OBSAH Úvodí stráka

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

Optické vlastnosti atmosféry, rekonstrukce optického signálu degradovaného průchodem atmosférou

Optické vlastnosti atmosféry, rekonstrukce optického signálu degradovaného průchodem atmosférou INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Optické vlastosti atmosféry, rekostrukce optického sigálu degradovaého průchodem atmosférou Učebí texty k semiáři Autor: Dr. Ig. Zdeěk Řehoř UO Bro) Datum: 22. 10. 2010

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components Nové metody a postupy v oblasti přístrojové techiky, automatického řízeí a iformatiky Ústav přístrojové a řídicí techiky ČVUT v Praze, odbor přesé mechaiky a optiky Techická 4, 66 7 Praha 6 GRADIENTNÍ

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Obsah. Opravy pro toto vydání: opravy2.proflakace.cz

Obsah. Opravy pro toto vydání: opravy2.proflakace.cz Obsah Úvod... 5 Základí pojmy... 7. Tříděí dat... 7. Míry úrově polohy... 8.3 Míry variability... 8 Počet pravděpodobosti.... Průik a sjedoceí jevů.... Náhodá veličia... 6.3 Rozděleí áhodé veličiy... 8

Více

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W )

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W ) 5. Sdíleí tepla. pomy: Pomem tepelá eergie ozačueme eergii mikroskopického pohybu částic (traslačího, rotačího, vibračího). Měřitelou mírou této eergie e teplota. Teplo e část vitří eergie, která samovolě

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Návod pro výpočet základních induktorů s jádrem na síťové frekvenci pro obvody výkonové elektroniky.

Návod pro výpočet základních induktorů s jádrem na síťové frekvenci pro obvody výkonové elektroniky. Návod pro cvičeí předmětu Výkoová elektroika Návod pro výpočet základích iduktorů s jádrem a síťové frekveci pro obvody výkoové elektroiky. Úvod V obvodech výkoové elektroiky je možé většiu prvků vyrobit

Více

Pojem času ve finančním rozhodování podniku

Pojem času ve finančním rozhodování podniku Pojem času ve fiačím rozhodováí podiku 1.1. Výzam faktoru času a základí metody jeho vyjádřeí Fiačí rozhodováí podiku je ovlivěo časem. Peěží prostředky získaé des mají větší hodotu ež tytéž peíze získaé

Více

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené I. Výpočet čisté současé hodoty upraveé Příklad 1 Projekt a výrobu laserových lamp pro dermatologii vyžaduje ivestici 4,2 mil. Kč. Předpokládají se rovoměré peěží příjmy po zdaěí ve výši 1,2 mil. Kč ročě

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více