KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu."

Transkript

1 KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ

2 Kvalimetrie 16 je zatím posledí z řady příruček KVALIMETRIE, vydávaých odborým sdružeím EURACHEM-ČR. Příručka obsahuje přehled statistických metod, které se využívají v chemických laboratořích, a je doplěa přiložeým CD se šabloami a řešeými příklady růzých statistických postupů s využitím programu MS-Excel. Autor věří, že příručka dojde širokého uplatěí v chemických i kliických laboratořích. Příručka Kvalimetrie 16 vzikla v rámci projektů PRM VIII/18/09 Úřadu pro techickou ormalizaci, metrologii a státí zkušebictví a INGO LA MŠMT. Autor děkuje především Ig. Davidu Mildemu, Ph.D. za revizi výpočetí části příručky a RNDr. Pavlu Koříkovi, Ph.D. za techické práce při přípravě CD. Miloslav Sucháek Miloslav Sucháek: Statistické metody v metrologii a aalytické chemii. Řešeé příklady v Excelu a CD-ROM Editor Miloslav Sucháek K tisku připravil Iva Korua Miloslav Sucháek 009 EURACHEM-ČR 009 Vydal EURACHEM-ČR, Techická 5, Praha 6. IČ ISBN

3 OBSAH Úvod 5 1 Základí statistické parametry a testy hypotéz Základí soubor a typy statistických rozděleí Základí pojmy Náhodé veličiy Základí typy rozděleí Statistika opakovaých měřeí, áhodý výběr Nejistota výsledku Nejistoty elemetárích operací v chemické a biologické laboratoři Volumetrické operace Vážeí Nejistota hodoty měřeého sigálu Titračí staoveí Vyhodocováí ejistot postupy zdola ahoru a shora dolů Testy hypotéz Statistika opakovaých pokusů Testováí hypotéz s použitím ejistoty výsledku Příklady ke kapitole 1 Optimalizace měřicích postupů v chemii a biologických vědách 3.1 Pláováí experimetů 3. Experimetálí optimalizace 8.3 Příklady ke kapitole 31 3 Hodoceí závislosti mezi proměými Lieárí regrese Vážeá lieárí regrese Lieárí regrese s ejistotami v obou proměých (bivariátí, bilieárí regrese) Nelieárí regrese v biologických měřicích postupech Další experimetálí pláy v kalibraci Metoda přídavku stadardu (SAM) Metoda bracketig Příklady ke kapitole Validace měřicích postupů Termiologie Experimetálí plá pro validaci Selektivita (iterferece) Rozsah měřeí, liearita Opakovatelost Reprodukovatelost Výtěžost Mez detekce, mez staovitelosti Robustost měřicího postupu Příklady ke kapitole

4 5 Statistické metody při přípravě a používáí referečích materiálů Statistické pricipy certifikace Staoveí ejistoty homogeity Staoveí ejistoty stability Použití certifikovaých referečích materiálů Příklady ke kapitole Mezilaboratorí porováí Norma ISO Harmoizovaý protokol IUPAC Kvalitativí zkoušky 61 7 Kotigečí tabulky Příklady ke kapitole Vícerozměré metody Kovariačí matice a testy hypotéz Boxův test Ověřeí úplé ezávislosti zkoumaých proměých Lieárí diskrimiačí aalýza Lieárí diskrimiačí aalýza pro více skupi (k > ) Příklady ke kapitole Používáí referečích materiálů při řízeí kvality (ISO Guide 80) Homogeita Dlouhodobá stabilita Použití QCM při tvorbě regulačích diagramů Literatura Sezam zkratek 81 4

5 Úvod V příručce Kvalimetrie 16 jsme se pokusili podat přehled statistických a chemometrických postupů, které mohou být využity při zpracováí a iterpretaci experimetálích dat. Pracovíci laboratoří, pracující v oborech přírodích věd, používají často při zpracováí experimetálích dat des běžě dostupé programové vybaveí tabulkový procesor MS-Excel. Přílohou této příručky je CD-ROM, který obsahuje jedak řešeé příklady, jedak šabloy (templáty) pro řešeí jedotlivých statistických postupů. Excelové sešity jsou otevřeé, tedy ezamčeé, a mohou být využity při řešeí obdobých problémů. Pro validaci zmíěých sešitů a jiých počítačích jsou přiložey výsledky příkladů v souborech formátu MS-Word. Uživatelům příručky doporučujeme, aby příliš ezasahovali do struktury sešitů, zvláště v případech, kdy je použito makro. Doporučujeme pouze jedoduché úpravy, apř. rozšířeí počtu vstupích údajů ebo zaokrouhleí výstupích dat. Používaí excelových sešitů vyžaduje pouze základí zalosti Excelu. V případě jakékoliv pochybosti ebo efukčosti ěkterého z přiložeých sešitů kotaktujte autora této příručky a ových adresách ebo Výčet statistických a chemometrických postupů eí samozřejmě úplý. Soustředili jsme se pouze a ty, které jsou jedoduché a které se dají zvládout v prostředí Excelu. V příkladech je použita verze Microsoft Excel

6 6

7 1 Základí statistické parametry a testy hypotéz 1.1 Základí soubor a typy statistických rozděleí Základí pojmy Při hodoceí aalytických metod a výsledků ebo při formulaci fyzikálě-chemických modelů popisujících vztahy mezi proměými veličiami, z ichž se většia získává experimetálě, využíváme matematicko-statistické metody. Matematicko-statistické metody jsou vhodým ástrojem zkoumáí systému v případech, kdy je uto učiit objektiví závěr o celku složeém z velkého možství jedotek, přičemž z ějakých důvodů je možo prozkoumat je malou, vybraou část tohoto celku. Hromadé jevy jsou takové, které se vyskytují za určitých podmíek opakovaě ve velkém počtu a lze je přitom pozorovat ebo získávat experimetem. Speciálím případem hromadého jevu je áhodý jev. Te za daých podmíek může a emusí astat, jeho výskyt závisí pak a áhodě. Číselá veličia, která měí svou hodotu působeím áhodých jevů, se azývá áhodá veličia. Zjistitelá hodota áhodé veličiy musí být jedozačě určea, tz. musí v kokrétě sledovaém případě abýt jedié hodoty. Náhodost jevu zameá emožost předpovědět s jistotou, zda při určitém experimetu kdykoli v budoucu jev astae či eastae. Je tomu tak proto, že ezáme všechy příčiy výskytu áhodého jevu, kterých je moho a které jsou samy o sobě epostižitelé a ekotrolovatelé. Náhodou veličiu charakterizují pravděpodobosti, s íž se vyskytují její hodoty v předem zvoleých mezích. Distribučí fukce áhodé veličiy ξ je fukcí reálé proměé x a její hodota v daém bodě x 0 je pravděpodobost, že ξ abude hodoty meší ebo rové x 0 : F(x 0 ) = P{ξ x 0 } pro x = x 0 (1.1) Všechy hodoty, kterých může áhodá veličia abýt, tvoří spolu s distribučí fukcí její rozděleí pravděpodobostí. Základí soubor je možia hodot áhodé veličiy s daým rozděleím pravděpodobostí, z íž se vybírají pozorovaé hodoty této veličiy. Základí soubor obsahuje hodoty áhodé veličiy skutečě pozorovaé a teoreticky možé. Teoreticky proto, že emáme techické, časové ebo jié možosti pozorováí uskutečit, ale víme, jak bychom každé jedotlivé pozorováí mohli uskutečit. Vlastosti základího souboru pozáváme je do určité míry prostředictvím áhodého výběru. Příkladem základího souboru mohou být apř. výsledky všech možých aalýz stejého vzorku (ekoečě velký soubor), všechy možé kocetrace H SO 4, které můžeme obdržet od výrobce (ekoečý), dodávka 5 vagóů železé rudy (koečý) apod. Náhodý výběr je potom apř. pět aalýz stejého vzorku, deset růzých kocetraci H SO 4, pět vzorků po 1 kg odebraých áhodě z každého vagóu atd. 7

8 1.1. Náhodé veličiy Jak bylo uvedeo výše, áhodá veličia je charakterizováa distribučí fukcí a rozděleím pravděpodobostí. Probereme si ěkteré vlastosti distribučích fukcí. Distribučí fukce má tyto vlastosti: 1. Hodoty distribučí fukce leží mezi 0 a 1, tedy 0 F(x) 1. (1.). Distribučí fukce je eklesající: F(x ) > F(x 1 ) pro všecha x > x 1. (1.3) 3. Distribučí fukce je spojitá zleva. 4. Každá distribučí fukce splňuje podmíky F( ) = 0 a F( ) = 1. (1.4) Jestliže možé hodoty áhodé veličiy patří do itervalu (a ; b), potom aalogicky platí F(a) = 0 a F(b) = 1. (1.5) Z defiice distribučí fukce a z vlastostí distribučí fukce plyou ěkteré další důležité vztahy: P(x 1 ξ x ) = F(x ) F(x 1 ) (1.6) pro spojitou áhodou veličiu, a pro diskrétí áhodou veličiu. Dále platí vztah P(x 1 < ξ < x ) = F(x ) F(x 1 ) (1.7) P(ξ > x) = 1 F(x). (1.8) Pomocí distribučí fukce může být urče záko rozděleí jak diskrétí, tak spojité áhodé veličiy. Záko rozděleí diskrétí áhodé veličiy ξ lze kromě tohoto způsobu popsat také možiou hodot x a odpovídajících pravděpodobostí P(ξ = x), které budeme ozačovat p(x) a azveme pravděpodobostí ebo frekvečí fukcí. Tyto pravděpodobosti splňují vztahy p ( x ) = 1 (1.9) x P(x 1 < ξ < x ) = x p ( x). (1.10) x 1 Pravděpodobosti p(x) a jejich rozděleí lze vyjádřit trojím způsobem: matematickou fukcí, tabulkou hodot a grafem. Záko rozděleí spojité áhodé veličiy ξ vyjádříme, kromě distribučí fukcí, pomocí tzv. hustoty pravděpodobosti (frekvečí fukce), pro iž platí x F(x) = f ( z)dz. (1.11) Kvatily jsou body, rozdělující obor hodot áhodé veličiy v určitém pravděpodobostím poměru. 100P% kvatil, x P, je hodota, která současě splňuje erovosti 8

9 V případě spojité veličiy platí P(ξ x P ) P P(ξ x P ) 1 P. F(x P ) = P. (1.1) Tak apříklad 50% kvatil zameá, že 50 % všech možých hodot áhodé veličiy ξ leží pod hodotou tohoto kvatilu, x 0,5. Teto kvatil se azývá mediá. Záko rozděleí podává o áhodé veličiě obraz sice úplý, ale často dost epřehledý. Proto shrujeme iformaci o áhodé veličiě do jedoho ebo ěkolika čísel, která veličiu dobře charakterizují. Tato čísla azýváme charakteristikami. Z velkého možství charakteristik se budeme zabývat pouze dvěma: charakteristikou polohy a charakteristikou variability. Základí charakteristikou polohy je středí (očekávaá) hodota, E(ξ) ebo µ. Základí charakteristikou variability je rozptyl, D(ξ), ebo σ. Jeho odmociu azýváme směrodatou odchylkou, σ. Důležitou charakteristikou dvou áhodých veliči, apř. ξ a η, je kovariace C(ξ,η): Koeficiet korelace, ρ, je defiová vztahem: C(ξ,η) = E{[ξ E(ξ)][η E(η)]}. (1.13) ρ(ξ,η) = C(ξ,η) / [ρ(ξ) ρ(η)]. (1.14) který charakterizuje těsost vztahu mezi dvěma veličiami. Koeficiet korelace může abývat hodot z itervalu < 1 ; 1>. Je-li koeficiet korelace ulový, potom se áhodé veličiy ξ a η azývají ekorelovaé. Věty o středí hodotě a rozptylu (platí pro ezávislé áhodé veličiy): 1. E(k) = k D(k) = 0 (k je kostata). E(kξ) = ke(ξ) D(kξ) = k D(ξ) 3. E(ξ ± η) = E(ξ) ± E(η) D(ξ ± η) = D(ξ) + D(η) (1.15) 4. E(ξη) = E(ξ) E(η) 5. D(ξ) = E(ξ ) [E(ξ)] Důležitou veličiou je ormovaá áhodá veličia, ζ, která má ulovou středí hodotu a jedotkový rozptyl: ζ = [ξ E(ξ)] / D(ξ). (1.16) Příklad Diferečí metoda vážeí spočívá ve dvou postupých vážeích, jedak vážeky se vzorkem, jedak vážeky se zbytkem. Obě hmotosti můžeme považovat za ezávislé áhodé veličiy ξ 1 a ξ. Zjistěte středí hodotu a rozptyl rozdílu obou hmotostí. E(ξ 1 ξ ) = E(ξ 1 ) E(ξ ) D(ξ 1 ξ ) = D(ξ 1 ) + D(ξ ), je-li D(ξ 1 ) = D(ξ ) = σ, potom D(ξ 1 - ξ ) = σ. 9

10 1.1.3 Základí typy rozděleí Nejdůležitějším a v teorii měřeí ejběžějším rozděleím pravděpodobostí spojité áhodé veličiy je tzv. ormálí (Gaussovo) rozděleí. Tímto rozděleím se dají aproximovat i ěkterá rozděleí spojitá i diskrétí. Toto rozděleí je použitelé vždy, když je kolísáí hodot áhodé veličiy způsobeo součtem velkého počtu epatrých a vzájemě ezávislých vlivů. Tak apř. při chemické aalýze vzorku ovlivňuje výsledek kolísající kvalita chemikálií, růzá vlhkost vzduchu, teplota, tlak, stabilita přístrojů, mometálí schoposti pracovíka, kolísáí apětí v síti. Normálí rozděleí je charakterizováo dvěma parametry: středí (očekávaou) hodotou µ a rozptylem σ. Začí se N(µ,σ ). Normálí rozděleí je symetrické kolem středí hodoty. Distribučí fukce ormálího rozděleí, stejě jako hustota pravděpodobosti, jsou tabelováy pro hodoty ormovaé áhodé veličiy ζ. Pro výpočet hodot z této ormovaé áhodé veličiy z hodot x eormovaé veličiy platí z = (x µ)/σ. (1.17) Normovaé rozděleí budeme začit N(0,1). Tabelováy jsou hodoty F(z) a f(z) pro ezáporé z. Platí F( z) = 1 F(z) a f( z) = f(z). (1.18) Uvažujme yí pravděpodobost, že ormovaá áhodá veličia, ormálě rozděleá, bude uvitř itervalu symetrického kolem uly. Tuto pravděpodobost můžeme apř. vyjádřit vztahem což je ekvivaletí vztahu P( z z α ) = 1 α, P( z > z α ) = α. Hodotu z α azýváme 100α% kritickou hodotou. Příklad Vypočtěte kritickou hodotu z α pro α = 0,05. Podle předchozích vztahů můžeme psát: P( z α ζ z α ) = F(z α ) F( z α ) = F(z α ) 1 = 1 α, tedy F(z α ) = 1 (α/). Podle zavedeé defiice kvatilu je z α = z P 100P% kvatilem pro P = 1 (α/). Pro α = 0,05 je F(z α ) = 0,975 a z tabulek zjistíme z α = 1,96, což je 97,5% kvatil. 10

11 Příklad Kotrolujeme kvalitu při výrobě kaprolaktamu. Přitom požadujeme, aby bod tuhutí, Θ, byl v mezích 67, o C až 69,9 o C. Z dlouhodobého pozorováí je zámo, že středí hodota bodu tuhutí suroviy, odebíráme-li vzorek z jedoho pytle, je 67,7 o C se směrodatou odchylkou 0,3 o C. Staovte podíl pytlů, které leží mimo požadovaé meze. Předpokládejme, že áhodá veličia (ormálě rozděleá) bod tuhutí, Θ, suroviy v jedom pytli má rozděleí N(67,7; 0,09). Naším úkolem je vypočítat pravděpodobosti P(Θ < 67,) a P(Θ > 69,9) Vytvořme ormovaou veličiu ζ, jejíž hodoty požadovaého itervalu vypočteme podle Požadovaé pravděpodobosti: z 1 = (69,9 67,7) / 0,3 = 7,33 F(7,33) = 1 z = (67, 67,7) / 0,3 = 1,67 F( 1,67) = 1 F(1,67) = 0,047 P(Θ < 67,) = 0,047 P(Θ > 69,9) = 1 F(7,33) = 0 Odpověď a požadovaou otázku je: 4,7 % pytlů bude mít ižší bod tuhutí ež 67, o C a žádý pytel vyšší bod tuhutí ež 69,9 o C. Příklad Náhodá veličia ξ má rozděleí N(µ,σ ). Vypočtěte s jakou pravděpodobostí se hodoty této áhodé veličiy budou vyskytovat v itervalu µ ± σ. Hodoty ormovaé áhodé veličiy, ζ, vypočteme takto: z = (µ ± σ µ) / σ = ±1 F(1) = 0,841 F( 1) = 1 F(1) = 0,159 P = 0,841 0,159 = 0,68 t.j. 68, %. Rozděleí χ je charakterizováo počtem stupňů volosti, ν. Středí hodota tohoto rozděleí je ν, rozptyl je ν. Tabelováy jsou kvatily, χ ( ) P ν, pro které platí P [ ( ) P ( )] χ ν < χ ν = P. (1.19) Tak apř. kvatil χ pro α = 0,05 [ χ ] má hodotu 14,4. (6) 1 α / 0,975 (6) Rozděleí t (Studetovo rozděleí) je rověž charakterizováo počtem stupňů volosti ν. Je to symetrické rozděleí a pro vyšší ν (ν > 30) se blíží ormálímu rozděleí. V praxi ho používáme tam, kde ezáme rozptyl σ áhodé veličiy a ahrazujeme ho odhadem rozptylu s (viz dále). V tabulkách jsou uvedey kvatily t pro zvoleé P tak, aby platil vztah P[t(ν) < t P ] = P. (1.0) 11

12 F-rozděleí (Sedecorovo rozděleí) Toto rozděleí budeme používat při aalýze rozptylu. Mějme dvě ezávislé áhodé veličiy ξ 1 a ξ o rozděleích χ (ν 1 ) a χ (ν ). Náhodá veličia φ = (ξ 1 /ν 1 )/(ξ /ν ) (1.1) má F rozděleí o ν 1 a ν stupích volosti. V tabulkách alezeme kvatily F, pro které platí P[F < F P (ν 1,ν )] = P. (1.) Poissoovo rozděleí Pro rozděleí espojité áhodé veličiy si uveďme Poissoovo rozděleí. Poissoovo rozděleí je limitím případem biomického rozděleí, když se počet pokusů blíží ekoeču, pravděpodobost p(x) se blíží k ule a parametr λ = p(x) = kost. Parametr λ je parametrem charakterizujícím daý typ rozděleí Po(λ). Pro určité hodoty λ je Poissoovo rozděleí tabelováo. Středí hodota i rozptyl rozděleí Po(λ) je λ. Rozděleím Po(λ) můžeme ahradit biomické rozděleí při p(x) < 0,05. Řídí se jím apř. četost impulsů aměřeých Geigerovou Müllerovou trubicí, četost červeých krviek v zorém poli mikroskopu, četost zmetků v dodávce zboží apod. 1. Statistika opakovaých měřeí, áhodý výběr Uvažujme áhodý pokus, jehož výsledkem je hodota x áhodé veličiy ξ, která má distribučí fukci F(x). Opakujeme-li áhodý pokus ezávisle krát, dostaeme hodoty x 1, x,, x. Možia těchto hodot se azývá áhodým výběrem rozsahu z rozděleí, majícího distribučí fukci F(x). Vzhledem k tomu, že hodoty áhodého výběru pocházejí z téhož základího souboru, mají stejou středí hodotu a stejý rozptyl. K charakterizaci áhodého výběru používáme charakteristik, které azýváme výběrovými charakteristikami. Zmííme se hlavě o dvou výběrovém průměru a výběrovém rozptylu. Výběrový průměr (aritmetický průměr) je defiová jako 1 x = x i. (1.3) Středí hodota výběrového průměru je µ, rozptyl je σ /. Středí hodota výběrového průměru je tedy stejá jako středí hodota základího souboru, zatímco rozptyl výběrového průměru je rove tiě rozptylu rozděleí, z ěhož pochází. Výběrový rozptyl (odhad rozptylu) je defiová vztahem ebo vztahem 1 s = ( x x) (1.4) i 1 1

13 1 1 = xi xi 1 s. (1.5) Podobě jako v případě výběrového průměru se dá dokázat, že očekávaá hodota výběrového rozptylu je σ. Výběrová směrodatá odchylka, s, je druhá odmocia výběrového rozptylu. Srováme-li vztah pro výběrový rozptyl se vztahem pro výběrový druhý cetrálí momet xi x (1.6) M = ( ) vidíme, že druhý cetrálí momet ( 1)krát větší ež odhad rozptylu áhodého výběru. Připomíáme, že uvedeé vztahy platí pro jakékoli rozděleí základího souboru. Defiujme si jedu důležitou charakteristiku, Studetův poměr T: Tato veličia má t-rozděleí o ( 1) stupích volosti. x µ T =. (1.7) s Defiujme ještě výběrový třetí a čtvrtý cetrálí momet áhodého výběru: 3 xi 3 x (1.8) M = ( ) 4 xi 4 x (1.9) M = ( ) Potom výběrový koeficiet šikmosti je urče rovicí a výběrový koeficiet špičatosti rovicí A M 3 = (1.30) 3 3 M B M = (1.31) 4 4 M Obě výběrové charakteristiky používáme k testováí typů rozděleí. Rozpětí, R, je defiovaé jako rozdíl mezi ejvyšší (x ) a ejižší (x 1 ) hodotou jedotlivých výsledků v sérii měřeí: Z rozpětí můžeme vypočítat odhad směrodaté odchylky s: R = x x 1 (1.3) s = k R (1.33) Hodoty koeficietu k jsou tabelováy v běžých statistických tabulkách. 13

14 1.3 Nejistota výsledku Podle termiologického slovíku VIM 3 [cit. 1] je ejistota defiováa jako ezáporý parametr charakterizující rozptýleí hodot veličiy přiřazeých měřeé veličiě a základě použité iformace. V úvodu této kapitoly si ejprve vysvětlíme ěkteré základí pojmy, které se k defiici ejistoty vztahují. Základím iformačím zdrojem pro všechy defiice a vysvětleí ěkterých důležitých pojmů je výše zmíěý metrologický slovík VIM 3. Měřeí je proces experimetálího získáváí jedé ebo více hodot veličiy, které mohou být důvodě přiřazey veličiě. Měřeí v sobě obsahuje porováí veliči a zahruje zjišťováí počtu etit. Měřeí předem předpokládá popis veličiy přiměřeý určeému použití výsledku měřeí, popis postupu měřeí a kalibrovaého měřicího systému pracujícího v souladu se specifikovaým postupem měřeí, včetě podmíek měřeí. Měřeá veličia (agl. measurad) je veličia, která má být měřea. Specifikace měřeé veličiy vyžaduje zalost druhu veličiy, popis stavu jevu, tělesa ebo látky esoucích veličiu, včetě jakékoliv relevatí složky a zahrutých chemických etit. Měřeá veličia je charakterizováa hodotou a příslušou jedotkou měřeí. Příkladem měřeé veličiy může být celkový obsah olova ve vzorku půdy (mg kg -1 ) kocetrace celkového cholesterolu v séru (mmol L -1 ) obsah alkoholu v krvi (mg g -1 ) obsah dioxiu (,3,7,8-TCDBD) v mase (µg kg -1 ) V chemii se pro měřeou veličiu ěkdy používá termí aalyt ebo ázev sloučeiy. Takové použití je chybé, protože tyto výrazy eodkazují a veličiy. Výsledek měřeí je defiová jako soubor hodot veličiy přiřazeý měřeé veličiě společě s jakoukoliv další dostupou relevatí iformací (obvykle ejistota výsledku). Nový metrologický slovík VIM 3 [cit. 1] zavedl tzv. ejistotový přístup k měřeí a vyjadřováí výsledků. V této publikaci se budeme tohoto pricipu důsledě držet. Na rozdíl od chybového přístupu evyžaduje ejistotový přístup odhad chyby (áhodé, systematické), pouze odhad ejistoty výsledku. K tomuto přístupu se váží další důležité pojmy. Pravdivost měřeí (agl. trueess) je těsost shody mezi aritmetickým průměrem ekoečého počtu opakovaých aměřeých hodot veličiy a referečí hodotou veličiy. Pravdivost je kvalitativí pojem a emůže být vyjádřea číselě. Míra těsosti shody se azývá vychýleí (agl. bias). Precizost měřeí (agl. precisio) je těsost shody mezi idikacemi (sigály) ebo aměřeými hodotami veličiy získaých opakovaými měřeími a stejém objektu za specifikovaých podmíek. Precizost měřeí se zpravidla vyjadřuje výběrovou směrodatou odchylkou ebo odhadem rozptylu za specifikovaých podmíek. Specifikovaými podmíkami mohou být apř. podmíky opakovatelosti, podmíky mezilehlé precizosti ebo podmíky reprodukovatelosti. Precizost se používá pro defiováí ěkterých validačích parametrů (viz další kapitoly). Stadardí ejistota, u(x), je ejistota hodoty veličiy x vyjádřeá jako směrodatá odchylka. Vyhodoceí ejistoty měřeí způsobem A je postup vyhodoceí složky ejistoty měřeí statistickou aalýzou opakovaých aměřeých hodot veličiy získaých za defiovaých 14

15 podmíek měřeí (opakovatelost, mezilehlá precizost, reprodukovatelost). Výsledkem je stadardí ejistota příslušé veličiy. Vyhodoceí ejistoty měřeí způsobem B je postup vyhodoceí složky ejistoty měřeí staoveé jiými způsoby ež vyhodoceím ejistoty měřeí způsobem A. Používají se přitom iformace z kalibračích listů, certifikátů referečích materiálů, údajů výrobce přístrojů, údajů v odboré literatuře apod. Výsledkem je stadardí ejistota příslušé veličiy. Nyí přistoupíme k výkladu o ejistotě výsledku. V moha případech aalytických měřeí eí měřeá veličia (apř. látkové možství daého aalytu) měřea přímo, ale její hodota se staoví epřímo pomocí hodot jiých veliči prostředictvím fukčího vztahu (modelu měřeí) ψ = f(ξ 1, ξ,..., ξ Ν ), (1.34) ve kterém ψ je měřeá veličia abývající hodot y, a kde ξ 1 až ξ Ν jsou jié veličiy, abývající hodot x 1 až x N. V dalším textu budeme považovat hodoty všech veliči za jejich odhady. Veličia ψ se azývá výstupí veličiou, ξ 1 až ξ Ν veličiami vstupími. Vstupí veličiy zahrují i všechy korekce a korekčí faktory, které přispívají k ejistotě výsledku měřeí. Pokud data idikují, že fukce f evyjadřuje model měřeí dostatečě, musíme rozšířit vstupí veličiy o další čley. Iformace můžeme získat apř. z validačí studie. Kromě zalosti hodot vstupích veliči musíme zát i jejich stadardí ejistoty. Vstupí veličiy, x 1 až x N, mohou být děley a a) veličiy, jejichž hodoty (odhad) a ejistoty (rověž odhad) se staovují přímo současým měřeím (způsob A). Odhady hodot a jejich ejistot lze získat jedím měřeím, opakovaým měřeím, ebo odhadem založeým a zkušeosti. Zahrují rověž korekce měřicích přístrojů, korekce a vliv okolího prostředí apod. Stadardí ejistota se odhade pomocí výběrové směrodaté odchylky opakovaých měřeí; b) veličiy, jejichž hodoty a ejistoty se získávají z exterích zdrojů (způsob B), jako jsou veličiy spojeé s etaloem (stadardem), certifikovaým referečím materiálem ebo veličiy, jejichž hodoty jsou převzaty z tabulek ebo mauálů výrobce přístrojů. Stadardí ejistota se odhade apř. pomocí rovoměrého rozděleí (viz další kapitolu). Odhad hodoty y veličiy ψ pomocí odhadů hodot x 1 až x N je dá rovicí y = f(x 1,, x N ). (1.35) Kombiovaá stadardí ejistota a záko propagace ejistot Vztah mezi kombiovaou stadardí ejistotou u(y) hodoty y veličiy ψ a stadardími ejistotami u(x i ) hodot x i veliči ξ i vychází ze zákoa propagace ejistot: a) pro ezávislé veličiy x i : N u( y) = c u( x ), (1.36) i = 1 i i 15

16 f ve kterém c = je citlivost (selektivití koeficiet) měřeé hodoty y vzhledem i xi k hodotám jedotlivých vstupích veliči. Jedotlivé citlivosti mohou být získáy experimetálě. Je třeba připomeout, že uvedeý vztah je vztahem aproximativím, ve kterém jsou vyecháy čley s parciálími derivacemi vyšších řádů. V chemických měřeích je tato aproximace dostačující. b) pro závislé veličiy x i : N N 1 N u( y) = ci u( xi ) + ci c j u( xi, x j ) i = 1 i = 1 j = i+ 1 (1.37) ebo po zavedeí odhadu korelačího koeficietu, r: N N 1 N i i i j i j i j i = 1 i = 1 j = i + 1. (1.38) u( y) = c u( x ) + c c u( x )u( x )r( x, x ) Existují jedoduchá pravidla pro výpočet kombiovaé stadardí ejistoty. Pravidlo 1: Pro model měřeí, který zahruje pouze součet ebo rozdíl vstupích veliči, apř. y = k(x 1 + x + x 3 ) (k je kostata), (1.39) je kombiovaá stadardí ejistota dáa vztahem u( y) = k u( x ) + u( x ) + u( x ). (1.40) 1 3 Pravidlo : Pro model měřeí, který azýváme multiplikativí: y = k(x 1 x x 3 ) (k je kostata) (1.41) je kombiovaá ejistota dáa vztahem u( y) y k u(x ) u( x ) u( x ) 1 3 = + + x1 x x3 (1.4) Kombiovaá rozšířeá ejistota Kombiovaá rozšířeá ejistota určuje iterval, ve kterém se s daou pravděpodobostí dá předpokládat skutečá hodota měřeé veličiy. Kombiovaá rozšířeá ejistota se odhaduje podle vztahu U(y) = k u(y), (1.43) ve kterém k je koeficiet rozšířeí. Ve většiě případů se hodota koeficietu rozšířeí volí rova. Pokud v kombiovaé stadardí ejistotě převládá jeda složka s malým počtem stupňů volosti (apř. ν < 6), potom koeficiet rozšířeí můžeme zaměit za kvatil t-rozděleí a pro daou hladiu výzamosti α platí t-rozděleí, t 1 α/; ν. 16

17 Presetace výsledku Výsledek měřeí presetujeme vždy ve tvaru: výsledek = hodota měřeé veličiy ± rozšířeá ejistota (použitá hodota k) tedy V = y ± U(y) (k = ) [ebo: (k = 3)]. (1.44) 1.4 Nejistoty elemetárích operací v chemické a biologické laboratoři Volumetrické operace Nejistoty volumetrických operací jsou řešey v Metodickém listě EURACHEM-ČR []. Metodické listy jsou jako excelové soubory ke stažeí a iteretové adrese Vážeí Při gravimetrických operacích se v chemické aalýze uplatňují hlavě dvě složky ejistoty: ejistota spojeá s opakováím gravimetrické operace (vážeí) a ejistota spojeá s kalibrací vah. Nejistotu spojeou s opakovaým vážeím získáme experimetálě (typ A). Opakovaě zvážíme (apř. 15krát) závaží o určité hmotosti, apř. 0 g. Výběrová směrodatá odchylka takového pokusu je zároveň stadardí ejistotou operace, u(m 1 ). Při diferečím vážeí započítáváme teto příspěvek dvakrát. Nejistotu spojeou s kalibrací vah lze rozdělit a tři příspěvky: ejistota liearity deklarovaá výrobcem, ejistota kalibrace způsobeá odchylkou kalibrovaého závaží od omiálí hodoty a ejistota omiálí hodoty. Výrobce deklaruje odchylku od liearity jako toleračí limit, ±t. Tato hodota udává maximálí odchylku mezi skutečou hmotostí a misce vah a hmotostí odečítaou z displeje. Předpokládáme, že tolerace má rovoměré rozděleí a lze tedy převést toleraci a směrodatou odchylku (typ B). Při diferečím vážeí započítáváme teto příspěvek dvakrát. Nejistotu omiálí hodoty závaží, u(m 3 ), lze získat z kalibračího certifikátu po kalibrací závaží v Českém metrologickém istitutu. Její příspěvek k celkové ejistotě je obvykle zaedbatelý Nejistota hodoty měřeého sigálu Při měřeí jakéhokoliv sigálu (absorbace, plocha píku, atd.) uvažujeme, že stadardí ejistota hodoty sigálu se skládá ze tří příspěvků: pravdivosti, reprodukovatelosti a opakovatelosti hodoty měřeého sigálu, získaých z validace přístroje (typ A). Prví dva příspěvky bývají uvedey v příručce k přístroji jako toleračí iterval (typ B, rovoměré rozděleí). Následující příklad objasňuje odhad stadardí ejistoty hodoty měřeého sigálu. 17

18 Příklad Údaje výrobce přístroje: pravdivost (trueess), přesost (accuracy) reprodukovatelost Validace přístroje: opakovatelost ( = 10) 0,005 a.u. 0,005 a.u. 0,005 a.u. 0, 005 0, 005 u(sigál) 0, 005 0, 004 = + + = a.u. 3 3 Pokud údaje výrobce chybí, je stadardí ejistota hodoty měřeého sigálu dáa pouze opakovatelostí. Připomíáme, že stadardí ejistota hodoty měřeého sigálu může být závislá a hodotě měřeého sigálu, takže je třeba ji odhadout v celém měřicím rozsahu. V tomto případě se doporučuje zjistit závislost ejistoty a hodotě měřeé veličiě Titračí staoveí Ukážeme si příklad staoveí látkové kocetrace EDTA (titr odměrého roztoku). Odvážeé možství chloridu olovatého se titruje odměrým roztokem EDTA a idikátor xyleolovou oraž. Kocetrace EDTA se vypočte podle vztahu: ve kterém mpbcl m c = M PbCl PbCl V je hmotost avážeého chloridu olovatého, kt, M PbCl je molárí hmotost chloridu olovatého, V kt je objem EDTA spotřebovaý do koce titrace. Idikátorová chyba je zaedbatelá, což lze odhadout s použitím rovovážých údajů o titračím systému. Rověž systematická chyba způsobeá ečistotou chloridu olovatého je malá, což lze vysvětlit způsobem přípravy základí látky. Stadardí ejistota hmotosti se odhade výše uvedeým postupem, stadardí ejistotu spotřebovaého objemu můžeme odhadout hodotou 0,03 ml, což je přibližý objem kapky titračího čiidla. Stadardí ejistota molárí hmotosti chloridu olovatého byla z tabulek odhaduta a 0,05 g mol -1 [3]. Kombiovaá stadardí ejistota kocetrace EDTA se vypočte podle rovice [u( m )] [u( V )] [u( M )] u( c) = c + + ( m ) ( V ) ( M ) PbCl kt PbCl PbCl kt PbCl Další příklady jsou uvedey v přílohách a CD-ROM. 1.5 Vyhodocováí ejistot postupy zdola ahoru a shora dolů Postup zdola ahoru (bottom up) Při tomto způsobu vyhodoceí vycházíme z úplé rovice měřeí. Pro výpočet ejistoty budeme používat Kragteovo schéma vyhodoceí, které bylo publikováo apř. v Kvalimetrii 11 [cit. 4]. Kragteův způsob je založe a aproximaci zákoa o propagaci ejistot. 18

19 Záko o propagaci ejistot: N u( y) = c u( x ) (1.45) i =1 i i kde Parciálí derivace můžeme aproximovat vztahem y x i y ci = (1.46) x y[ xi + u( xi )] y( xi ) u( x ) a dílčí příspěvek jedotlivé vstupí veličiy x i k celkové ejistotě aproximovat vztahem i i (1.47) u(y,x ii ) = y{x 1, x,, [x i + u(x i )],, x N } y(x 1, x,, x i,, x N ) (1.48) Na základě této aproximace je vytvoře algoritmus výpočtu v souboru kragte_vysvetlei.xls: 1. avrhout model měřeí y = f(x i ), i = 1,, p (p je počet vstupích veliči),. vložit hodoty vstupích veliči a jejich stadardích ejistot do sloupců, 3. zkopírovat sloupec hodot do matice p p pomocí F4 ($ před ozačeím sloupce), 4. diagoálí prvky matice zvětšit o stadardí ejistotu příslušé veličiy, 5. vypočítat výstupí veličiu pod sloupcem původích hodot, 6. zkopírovat vzorec (model měřeí) do řádků pod matici, 7. vypočítat diferece hodoty výstupí veličiy ezměěé a změěé, 8. vypočítat druhé mociy diferecí, 9. vypočítat sumu moci diferecí, 10. odmocia ze sumy je kombiovaá stadardí ejistota, 11. vypočítat příspěvky jedotlivých veliči k celkové ejistotě. Postup shora dolů (top dow) Při tomto způsobu vycházíme z předpokladu, že ejvětšími příspěvky k celkové ejistotě je vitrolaboratorí reprodukovatelost, vyjádřeá směrodatou odchylkou s repro a vychýleí, reprezetující pravdivost výsledku. Oba parametry se získají při validaci postupu měřeí. Kombiovaá ejistota se počítá podle rovice ve kterém je B vychýleí. u( y) = y (s ) + u(b), (1.49) repro rel rel 1.6 Testy hypotéz Testováí hypotéz je důležitou součástí iterpretace výsledků měřeí. Postup spočívá v tom, že ejprve vytvoříme tzv. ulovou hypotézu, tj. hypotézu, že studovaý soubor (resp. jeho charakteristický parametr) má určitou očekávaou vlastost Jsou to obvykle hypotézy o základích parametrech rozděleí pravděpodobosti měřeé veličiy. Hypotézy vždy testujeme a určité hladiě výzamosti α, obvykle volíme hodotu α = 0,05. Tradičí, klasický způsob testováí hypotéz vychází pouze z dat získaých opakovaým měřeím. Je to však způsob velice ilustra- 19

20 tiví a slouží i k pochopeí testováí hypotéz datových souborů, u kterých záme ejistotu měřeí Statistika opakovaých pokusů Testy hypotéz pro opakovaé pokusy eberou v úvahu ejistotu výsledku. Mírou promělivosti je pouze výběrová směrodatá odchylka opakovatelosti ebo reprodukovatelosti. Vstupími hodotami pro všechy testy jsou hodoty ěkterých charakteristik výběru: aritmetický průměr x, směrodatá odchylka výběru, s, rozsah měřeí,, kvatily t- a F-rozděleí pro určitý počet stupňů volosti a hladiu výzamosti α. Test hypotézy H 0 : µ = µ 0 Testujeme hypotézu, že středí hodota áhodé veličiy abývá určité hodoty. Hypotéza H 0 platí, když je hodota µ 0 uvitř oboustraého itervalu spolehlivosti L 1 : Test hypotézy H 0 : µ < µ 0 s L1 = x ± t. (1.50) 1 α / ;( 1) Testujeme hypotézu, že středí hodota áhodé veličiy abývá hodot meších ež je určitá hodota. Hypotéza H 0 platí, jestliže hodota µ 0 je uvitř jedostraého itervalu <L 1 ; >. Iterval L 1 se vypočte podle rovice Test hypotézy H 0 : µ > µ 0 s L1 = x t 1 α ; ( 1). (1.51) Testujeme hypotézu, že středí hodota áhodé veličiy abývá hodot větších ež je určitá hodota. Hypotéza H 0 platí, jestliže hodota µ 0 je uvitř jedostraého itervalu <- ; L >. Iterval L se vypočte podle rovice s L = x + t 1 α ; ( 1). (1.5) Testováí hypotézy H 0 : σ = σ 1 Testujeme hypotézu, že rozptyly dvou áhodých veliči jsou shodé. Hypotéza H 0 platí, jestliže vypočteá hodota F F 1 α /; νčit; νjme, ν čit je počet stupňů volosti v čitateli vztahu pro výpočet F, ν jme je počet stupňů volosti ve jmeovateli stejého vztahu: s1 F = pro s 1 > s (1.53) s ebo s F = pro s > s 1. (1.54) s 1 0

21 Test hypotézy H 0 : µ 1 = µ Testujeme hypotézu, že středí hodoty dvou ezávislých áhodých veliči jsou shodé za předpokladu shodosti rozptylů. Před testem této hypotézy musíme provést test hypotézy σ = σ 1. Mějme hodoty aritmetických průměrů a výběrových směrodatých odchylek dvou ezávislých souborů: x ; s ; x ; s. Za předpokladu platosti hypotézy σ = σ platí pro odhad společé výběrové směrodaté odchylky s = ( 1) s + ( 1) s (1.55) Hypotéza H 0 platí, když vypočteá hodota T < t1 α / ;( 1 + ) T = x x s + 1. (1.56) 1.6. Testováí hypotéz s použitím ejistoty výsledku Předpokladem vhodosti těchto testů je zalost stadardí kombiovaé ejistoty výsledku. Ve všech testech je u stadardí kombiovaá ejistota a U je rozšířeá ejistota U = k u. Pro 5% hladiu výzamosti volíme k =. Test hypotézy H 0 : µ = µ 0 Hypotéza H 0 platí, když x u µ 0 1, 96 (x je výsledek měřeí) (1.57) Test hypotézy H 0 : µ < µ 0 Hypotéza H 0 platí, když x (µ + 1, 64u) (x je výsledek měřeí) (1.58) 0 Test hypotézy H 0 : µ > µ 0 Hypotéza platí, když x (µ 1, 64u) (x je výsledek měřeí) (1.59) 0 1

22 Test hypotézy H 0 : µ 1 = µ Hypotéza platí, když x x 1 u + u 1 1, 96 (1.60) (x 1 a x jsou výsledky měřeí dvou ezávislých souborů, u 1 a u jsou příslušé stadardí kombiovaé ejistoty). 1.7 Příklady ke kapitole 1 excel_sytaxe.pdf obsahuje vysvětleí ěkterých fukcí v programu MS-Excel hypotezy_1.xls hypotezy_.xls kragte_vysvetlei.xls spreadsheed36.xls vazei.xls molari_hmotosti.xls mohrova_sul_koc.xls zakladi_operace.xls ejistoty_kalibracich_roztoku.xls titrace_1.xls titrace_.xls fotometrie.xls ejistoty_top dow.xls obsahuje řešeé příklady testováí hypotéz obsahuje řešeé příklady testováí hypotéz obsahuje vysvětleí výpočtu ejistot podle Kragtea obsahuje šabloy pro výpočet ejistot podle Kragtea pro 3-6 vstupích veliči (aglická verse) obsahuje řešeý příklad výpočtu ejistoty při gravimetrickém staoveí železa obsahuje řešeé příklady výpočtu ejistot molárích hmotostí sloučei obsahuje řešeý příklad výpočtu kocetrace a ejistoty roztoku Mohrovy soli obsahuje řešeé příklady výpočtu ejistot ěkterých základích operací: opakovatelost, ejistota istrumetálího sigálu, ejistota volumetrických operací obsahuje šablou pro výpočet kocetrace pěti kalibračích roztoků postupým ředěím stadardího roztoku obsahuje řešeý příklad odměrého magaometrického staoveí peroxidu vodíku obsahuje řešeý příklad odměrého chelatometrického staoveí Ni obsahuje řešeý příklad staoveí M fotometricky obsahuje šablou pro vypočet ejistoty měřicího postupu metodou shora dolů

23 Optimalizace měřicích postupů v chemii a biologických vědách.1 Pláováí experimetů Chceme-li ajít optimálí podmíky měřicích postupů, musíme ejprve zjistit, které faktory statisticky výzamě ovlivňují hodotu závisle proměé veličiy. Závisle proměou veličiou bývá obvykle fyzikálí (istrumetálí) sigál. Faktory, které hodotu závisle proměé veličiy ovlivňují, budeme považovat za ezávisle proměé veličiy. Faktory mohou být kvatitativí (kocetrace, teplota, tlak) ebo kvalitativí (druh metody, způsob techologického řešeí). Cíleou kombiaci všech faktorů podle určitého schématu azýváme plá experimetu. Jedou z metod, kterými zjišťujeme statistickou výzamost působeí faktorů a hodotu závisle proměé veličiy, je metoda aalýzy rozptylu. Aalýza rozptylu Defiujme ěkteré základí pojmy. Faktory začíme velkými písmey latiské abecedy, tedy A, B, C atd. Hodotám, kterých jedotlivé faktory mohou abývat, říkáme úrově faktorů. Tak apř. budeme-li sledovat vliv teploty a výtěžek techologického procesu při dvou teplotách 5 o C a 50 o C, říkáme, že vliv teploty sledujeme a dvou úrovích. Nižší úroveň ozačíme idexem 1 a vyšší úroveň idexem. Studujeme-li vliv většího možství faktorů při více úrovích každého z faktorů, říkáme kombiacím úroví všech faktorů postupy. Např. při studiu vlivu 3 faktorů A, B, C, které jsou a úrovích A 1, A, B 1, B, C 1, C, C 3, budou ěkteré z postupů A 1 B 1 C 1, A B 1 C 3 apod. Postupy mohou být s jedím ebo více opakováími. Při experimetálím provedeí je zajímavé, že ačkoli musíme pečlivě astavovat hodoty úroví jedotlivých faktorů a držet je při experimetu eměé, při statistickém zpracováí se hodoty těchto faktorů epoužívají (viz dále). Úrově jedotlivých faktorů jsou ve statistickém modelu vlastě ormalizováy a hodoty 0, ±1, ± atd. Matematický model aalýzy rozptylu vyjádříme takto: Mějme sigálů áhodé veličiy, y 1,, y, které jsou lieárí fukcí parametrů (počet p) a áhodých chyb e 1,..., e. Parametry ztotožíme s faktory. Model má potom tvar: y = x β + e. (.1) i ji j i p (i = 1,, ; j = 1,..., p), kde x ji jsou pevé kostaty (zpravidla 0, ±1, ±, atd.), β j jsou tzv. efekty faktorů, které mohou být odhaduty regresí aalýzou. O áhodých chybách předpokládáme, že mají ulovou středí hodotu, všechy stejý rozptyl, jsou ekorelovaé a mají ormálí rozděleí. Celková promělivost výsledků, S, je dáa součtem čtverců odchylek jedotlivých pozorováí od celkového aritmetického průměru: 3

24 yi y. (.) S = ( ) Aalýza rozptylu spočívá v rozděleí celkové promělivosti a složky příslušející jedotlivým faktorům a tzv. reziduálí promělivosti, která odpovídá áhodým chybám. F-Testem potom zjistíme statistickou výzamost jedotlivých složek celkového rozptylu a tím i vliv jedotlivých faktorů a hodotu závisle proměé veličiy. Plá experimetu pro jede faktor a aalýza rozptylu Uvažujme experimet, v ěmž je vyšetřová vliv jedoho faktoru, apř. A, který bude sledová a I úrovích (I > ). Při každé úrovi provedeme stejý počet opakováí měřeí závisle proměé veličiy (vyvážeý plá), r, přičemž pro celkový počet pokusů platí = r I. (.3) Výsledky pokusů tvoří tzv. experimetálí matici (viz tabulku.1), jejíž obecý čle ozačíme y iν, kde ν je počet opakováí měřeí sigálu a ité úrovi. Tabulka.1. Experimetálí plá pro jede faktor Faktor Opakováí A 1 y 11 y 1 y 1r A i y i1 y i y iν y ir A I y I1 y I y Ir Pro i-tou úroveň můžeme model pro aalýzu rozptylu vyjádřit vztahem: y iν = µ + α i + e iν, (.4) ve kterém µ je středí hodota závisle proměé pro všechy úrově, eboť experimetálí matici si můžeme představit jako áhodý výběr ze základího souboru. Parametr α i je vliv faktoru A a ité úrovi. Defiujme si yí pomocé mezisoučty v experimetálí matici: = y (.5) Y.. Y i. y i ν r Odhady parametrů jsou potom vyjádřey rovicemi I r i ν =. (.6) 4

25 Y.. µ ˆ = Y ˆ ˆ r Y eiν = yiν r i. α = µ Nyí budeme testovat hypotézu, že vlivy faktoru A a všech úrovích jsou stejé (a zároveň ulové), tedy hypotézu H 0 : proti alterativí hypotéze H A : i. α 1 = α = = α I = 0 I i= 1 α i > 0 Celkovou promělivost experimetálí matice, S, můžeme rozdělit a část odpovídající vlivu faktoru A, S A, a část odpovídající reziduálí promělivosti, S r : Nulová hypotéza se dá potom vyjádřit takto: (.7) S = S A + S r. (.8) H : σ σ 0 A r kde σ je rozptyl odpovídající promělivosti vyšetřovaého faktoru A, σ A r je rozptyl odpovídající reziduálí promělivosti. Testovací kritérium F je potom vyjádřeo rovicí: ve kterém S = r F = SA I 1 Sr, (.9) I 1 1 S A = Y.., (.10) r 1 y iν Y (.11) i. I r r I Hodotu F srováváme s F 1 α, (I 1; I). Odhad rozptylu měřeé veličiy vypočteme z residuálí promělivosti: s = S r / ( I). (.1) Faktoriálí experimety a aalýza rozptylu V případě, že vyšetřujeme vliv více faktorů, bude model pro aalýzu rozptylu vyjádře vztahem, apříklad pro dva faktory A, B, 5

26 y ijν = µ + α i x 1i + β j x j + α i β j x 1i x j + e ijν, (.13) takže faktor A vyšetřujeme a I a faktor B a J úrovích (i = 1,,, I; j = 1,,, J). Součiu α i β j říkáme iterakce faktorů. Z ekoomického i časového hlediska je výhodé pracovat a dvou úrovích pro každý faktor (I = J = ). Experimetálí pláy v takovém případě začíme N, kde N je počet vyšetřovaých faktorů. Při tomto typu pokusů měříme závisle proměou veličiu při všech kombiacích faktorů, takže celkový počet pokusů je dá hodotou r N, kde r je počet opakováí každého měřeí, stejý pro všechy postupy. Jedotlivým kombiacím úroví studovaých faktorů říkáme postupy a podle zavedeé Yatesovy symboliky [5] je ozačujeme kombiací malých písme. Tak apř. pro dva faktory A, B máme tyto postupy (v závorce je uvedeo začeí postupů): A 1 B 1 ( 1), A 1 B (b), A B 1 (a), A B (ab). Z uvedeého příkladu je zřejmé, že při ozačeí postupu použijeme malé písmeo k ozačeí faktoru, který je a vyšší úrovi. Z experimetálě zjištěých hodot závisle proměé veličiy při všech postupech vypočteme součty čtverců odchylek odpovídající vlivu jedotlivých faktorů a výsledek, součty čtverců odchylek odpovídající iterakcím faktorů, tj. spolupůsobeí kombiace faktorů a výsledek pokusu, a reziduálí rozptyl. Test výzamosti je založe a F-testu, tz. a porováí rozptylů odpovídajících vlivu jedotlivých faktorů a reziduálího rozptylu. Uveďme si příklad experimetálí matice faktoriálího pokusu 3 : Tabulka.. Experimetálí matice faktoriálího pokusu 3 C 1 C B 1 B B 1 B A 1 A A 1 A A 1 A A 1 A y 11 y 1 y 31 y 41 y 51 y 61 y 71 y 81 y 1 y y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 (-1) a b ab c ac bc abc Yatesovo začeí pokusů vyjadřuje v tomto případě součet jedotlivých hodot pokusů, Y i.. Promělivost odpovídající vlivu jedotlivých faktorů a iterakcí, P, je dáa vztahem S P [ P] =, (.14) N r kde [P] je algebraický součet hodot jedotlivých pokusů, resp. jejich součtu (viz experimetálí matici). Zaméka jedotlivých čleů součtu alezeme pomocí zamékového schématu (viz tabulku.3). Vypočteá promělivost má jede stupeň volosti. 6

27 Tabulka.3. Zamékové schéma pro faktoriálí pokus 3 Postup Efekt (-1) a b ab c ac bc abc A B AB C AC BC ABC Uvedeé zamékové schéma můžeme používat i pro působeí dvou faktorů. Neuvádíme zamékové schéma pro působeí více ež tří faktorů, eboť pro vyšetřováí vlivu takového počtu faktorů se používají jié experimety, tzv. kráceé faktoriálí experimety. Podle ašich zkušeostí z používáí faktoriálích pokusů vystačíme většiou s 3 faktory. Vysvětlíme si použití zamékového schématu ve faktoriálím pokusu 3. Pro výpočet promělivosti odpovídající vlivu faktoru A dostaeme pro [A] pro [B] a apř. pro [AC] [A] = ( 1) + a b + ab c + ac bc + abc [B] = ( 1) a + b + ab c ac + bc + abc [AC] = +( 1) a + b ab c + ac bc + abc. Připomíáme, že do těchto vztahů dosazujeme za jedotlivé postupy hodoty závisle proměé veličiy. Pokud máme více opakováí (r > 1), dosazujeme součet hodot závisle proměé veličiy pro všecha opakováí. Odhad rozptylu s pro N faktorů se vypočte z rovice kde r s = N (r 1) r iν i. N r N r Odhad rozptylu má N (r 1) stupňů volosti. S, (.15) 1 S = y Y. (.16) Vypočteou hodotu F P S F = (.17) s P P porováváme obvyklým způsobem s tabelovaou hodotou F 1 α, [(1; N (r 1)]. 7

28 . Experimetálí optimalizace Pro optimalizaci je výhodé formulovat závislost aalytického sigálu a hodotách výzamých faktorů. Zmíěé faktoriálí pokusy (str. 5) ám skýtají příležitost aproximace roviou podle rovice Y reg = b 0 + b 1x bn x N, (.18) ve které jsou veličiy x ormalizovaé hodoty výzamých faktorů. Koeficiety b se vypočtou podle vztahů b 0 = yi. (.19) kde y i. jsou průměré hodoty Y i.. N b = x y, (.0) j ji i N Vzhledem k tomu, že je výhodější zát koeficiety regresího vztahu v původích proměých x puv, můžeme přepočítat ormalizovaé hodoty a původí podle vztahů 1/ = (x max x mi )/ (.1) x stred = (x max + x mi )/ (.) x puv = x 1/ + x stred, (.3) x max je hodota faktoru a vyšší úrovi, x mi je hodota faktoru a ižší úrovi. Rovice výsledkové (odezvové, respose surface) plochy, v ašem případě roviy, můžeme použít v ěkteré z optimalizačích metod. Optimalizačí metody jsou vesměs založey a zalosti velikosti a směru gradietu výsledkové plochy, který má pro rovici roviy tvar grad Y = b 1 dx 1 + b dx b N dx N, (.4) kde dx i jsou jedotkové vektory ve směru os výzamých faktorů. Pokud chceme zát rovici výsledkové plochy v okolí maxima (miima) této plochy, musíme použít jiý experimetálí plá, který umožňuje odhadout rovici plochy vyššího řádu. Ukažme si uvedeý případ pro experimetálí plá 3, ve kterém jsou dva výzamé faktory a třech úrovích. Proměé x (faktory) trasformujeme do úroví 1, 0, +1. Rovice plochy odezvy je dáa rovicí η = β + β x + β x + β x + β x + β x x. (.5)

29 Experimetálí matice má tvar Bod Úrově faktorů Výsledek x 1 x y y y y y y y y y y 9 Odhady koeficietů β i regresí rovice jsou veličiy b 1 = (1/6)( y 1 y y 3 + y 7 + y 8 +y 9 ) (.6) b = (1/6)( y 1 + y 3 y 4 + y 6 y 7 + y 9 ) (.7) b 11 = (1/6)(y 1 + y + y 3 y 4 y 5 y 6 + y 7 + y 8 + y 9 ) (.8) b = (1/6)(y 1 y + y 3 + y 4 y 5 + y 6 + y 7 y 8 + y 9 ) (.9) b 1 = (1/4)(y 1 y 3 y 7 + y 9 ) (.30) b 0 = (1/)Σy i (/3)(b 11 + b ) (.31) Regresí rovice plochy odezvy má tvar Y = b + b x + b x + b x + b x + b x x. (.3) reg Maximum (miimum) fukce popisující plochu odezvy azýváme stacioárím bodem a vypočteme ho řešeím rovic pro x 1 a x Y reg x 1 = 0 a Y x reg = 0. (.33) Simplexová metoda Pomocí aalýzy rozptylu experimetálích hodot závisle proměé veličiy určíme, které z původě uvažovaých faktorů výzamě ovlivňují závisle proměou veličiu. Dále je třeba zjistit optimálí kombiaci hodot výzamých faktorů, tj. alézt oblast, ve které má závisle proměá veličia z hlediska použití aalytického postupu ejlepší hodotu. Může to být apříklad ejvyšší absorbace roztoku, ejkratší doba ebo ejižší áklady a aalýzu apod. Možý tvar výsledkové plochy (plochy odezvy) zázorňuje obrázek.1. 9

30 Oblast optima, charakterizovaá optimálí kombiací výzamých faktorů Optimalizace Oblast faktoriálích experimetů Obrázek.1. Možý tvar výsledkové plochy a optimalizace Pro alezeí optimálích podmíek můžeme použít řady metod, které byly vypracováy pro aplikace v jiých oblastech přírodích ebo ekoomických věd. Pro experimetálí optimalizaci v chemii je ejvhodější tzv. simplexová metoda, která je velmi jedoduchá a rychle vede k alezeí optima. Pricipem metody je pohyb experimetálě zjištěého bodu v N-rozměrém faktorovém prostoru (N je počet výzamých faktorů) ve směru ejvětšího gradietu závisle proměé veličiy. Souřadice bodu jsou dáy hodotami výzamých faktorů. Experimetálí plá simplexové metody spočívá v umerickém sestrojeí pravidelého N-rozměrého tělesa (simplexu), které má N + 1 vrcholů, a v postupém sestrojováí dalších simplexů, které se vytvářejí podle určitých pravidel. V počátečím simplexu změříme hodotu závisle proměé veličiy ve všech vrcholech tělesa a rozhodeme, která je ejhorší, tj. která má ejižší (ejvyšší) hodotu sigálu. K ejhoršímu vrcholu umericky sestrojíme zrcadlový obraz, takže vzike ový simplex, který má s předchozím společé všechy vrcholy kromě jedoho. V tomto ovém vrcholu opět změříme hodotu závisle proměé a zovu rozhodeme, který vrchol má ejhorší hodotu závisle proměé veličiy. Postupujeme tak dlouho, až alezeme optimum. Při volbě počátečího simplexu postupujeme takto: Ve faktoriálím pokusu N, který musí předcházet simplexové metodě, přiřadíme ižší úrovi faktorů hodotu 0 a vyšší úrovi hodotu 1 podle vztahu x j, x = x j max x mi x mi, (.34) ve kterém x j, je ormalizovaá hodota faktoru, x j je skutečá hodota faktoru, x max a x mi jsou maximálí a miimálí hodoty jedotlivých faktorů (vyšší a ižší úrově). Volbu N + 1 vrcholů počátečího simplexu provádíme podle ásledující tabulky.3, ve které jsou uvedey ormalizovaé hodoty pro 4 sledovaé faktory. 30

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Prof. Ig. Albert Bradáč, DrSc. STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Příspěvek vazuje publikovaý

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

pro systémy POCT analytických dat a tedy jejich vzájemn jemné kompatibility rodním Osnova sdělení Zásadní důvody provádění EHK

pro systémy POCT analytických dat a tedy jejich vzájemn jemné kompatibility rodním Osnova sdělení Zásadní důvody provádění EHK Exterí hodoceí kvality pro systémy POCT (apř. staoveí CRP, HbA 1c...) Josef Kratochvíla, Marek Budia SEKK Pardubice Iteret: http://www.sekk.cz e-mail: sekk@sekk.cz Telefo: 466 530 230 Fax: 466 530 824

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná Výročí zpráva fodů společosti Pioeer ivestičí společost, a.s. - eauditovaá Obsah 1. Účetí závěrka: Pioeer Sporokoto, Pioeer obligačí fod, Pioeer růstový fod, Pioeer dyamický fod, Pioeer akciový fod, BALANCOVANÝ

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

Expertní Systémy. Tvorba aplikace

Expertní Systémy. Tvorba aplikace Tvorba aplikace Typ systému malý velký velmi velký Počet pravidel 50-350 500-3000 10000 Počet člověkoroků 0.3-0.5 1-2 3-5 Cea projektu (v tis.$) 40-60 500-1000 2000-5000 Harmo, Kig (1985) Vytvořeí expertího

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

stavební obzor 1 2/2014 11

stavební obzor 1 2/2014 11 tavebí obzor /04 Exploratorí aalýza výběrového ouboru dat pevoti drátobetou v tlau Ig. Daiel PIESZKA Ig. Iva KOLOŠ, Ph.D. doc. Ig. Karel KUBEČKA, Ph.D. VŠB-TU Otrava Faulta tavebí Věrohodé vyhodoceí experimetálích

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY Určováí věku a staoveí růstu ryb Ryby jsou poikilotermí obratlovci, u ichž jsou všechy biologické fukce zásadím způsobem ovlivňováy teplotou vody. To platí v plém rozsahu

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko dáliced3 a rychlostí silice R3 Praha Tábor České Budějovice Rakousko w w obsah základí iformace 3 dálice D3 a rychlostí silice R3 PrahaTáborČeské BudějoviceRakousko 3 > základí iformace 4 > čleěí dálice

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne Kloováí, embryoálí kmeové buňky, aj. proč ao a proč e Doc. MUDr. Petr Hach, Csc., Em. předosta ústavu pro histologii a embryologii 1. lékařské fakulty Uiversity Karlovy v Praze Neí určeo k dalšímu šířeí

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Makroekonomie cvičení 1

Makroekonomie cvičení 1 Makroekoomie cvičeí 1 D = poptávka. S = Nabídka. Q = Možství. P = Cea. Q* = Rovovážé možství (Q E ). P* = Rovovážá caa (P E ). L = Práce. K = Kapitál. C = Spotřeba domácosti. LR = Dlouhé období. SR = Krátké

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

SML33 / SMM33 / SMN3. Multifunkční měřící přístroje Návod k obsluze. Firmware 3.0 / 2013

SML33 / SMM33 / SMN3. Multifunkční měřící přístroje Návod k obsluze. Firmware 3.0 / 2013 KMB systems, s.r.o. Dr. M. Horákové 559, 460 06 Liberec 7, Czech Republic tel. +420 485 30 34, fax +420 482 736 896 email : kmb@kmb.cz, iteret : www.kmb.cz SML33 / SMM33 / SMN3 Multifukčí měřící přístroje

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

Fourierova transformace ve zpracování obrazů

Fourierova transformace ve zpracování obrazů Fourierova trasformace ve zpracováí obrazů Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 6. předáška předmětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasformaci? základí matematický

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky ELEKTRICKÉ POHONY pro kombiovaé a distačí studium Ivo Neborák Václav Sládeček Ostrava 004 1 Doc. Ig. Ivo Neborák, CSc.,

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 2012) Miloslav Suchánek

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 2012) Miloslav Suchánek CHEMOMETRIKA a STATISTIKA Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 01) Miloslav Suchánek Úkol č. 1 Maticové operace s využitím EXCELu V EXCELu jsou dvě důležité maticové operace, které nám pomohou

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: PERMUTACE a VARIACE 2.1 Permutace P() = * ( - 1) * ( - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: ( )! P = Jedá se o vzorec pro počet permutací z prvků bez opakováí. 2.2 Variace bez

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová Máme dotazíy. A co dál? Martia Litschmaová. Úvod S dotazíy se setáváme běžě. Vídáme je v oviách, v časopisech, jsou součásti evaluačích zpráv (sebehodoceí šol, ), výzumých zpráv, Využívají se v sociologii,

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Vlastní hodnocení školy

Vlastní hodnocení školy Vlastí hodoceí školy dle vyhlášky 15/2005 Sb., v platém zěí, kterou se staoví áležitosti dlouhodobých záměrů, výročích zpráv a vlastí hodoceí školy. Škola: Základí umělecká škola Plzeň, Sokolovská 30,

Více

Atomová hmotnostní jednotka, relativní atomové a molekulové hmotnosti Atomová hmotnostní jednotka u se používá k relativnímu porovnání hmotností

Atomová hmotnostní jednotka, relativní atomové a molekulové hmotnosti Atomová hmotnostní jednotka u se používá k relativnímu porovnání hmotností . Základí cheické výpočty toová hotostí jedotka, relativí atoové a olekulové hotosti toová hotostí jedotka u se používá k relativíu porováí hotostí ikročástic, atoů a olekul a je defiováa jako hotosti

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více