OSTRAVSKÁ UNIVERZITA P ř írodově decká fakulta. Biostatistika I. Pavel Drozd

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "OSTRAVSKÁ UNIVERZITA P ř írodově decká fakulta. Biostatistika I. Pavel Drozd"

Transkript

1 OSTRAVSKÁ UIVERZITA P ř írodově decká fakulta Bostatstka I. Pavel Drozd OSTRAVA 003

2

3 OBSAH Úvod...5 Orentace v tetu...6 Bostatstka a její význam...7 Co to je bostatstka?...7 Stručná hstore statstky...9 Význam statstky...0 Teore vědeckého poznávání... Věda... Metodologe vědy...3 Pracovní postup statstky...4 Základy logky a matematky...7 Základy formální logky a teore množn...7 Výroková logka...7 Množny a relace...0 Základy matematky... Číselné množny a ntervaly... Základní matematcké konstanty... Základní matematcké operace, relace a další symboly... Indeace matematckých a množnových symbolů... Složtější matematcké a množnové operátory... Kombnatorka...3 Funkce...4 Lmta, dervace a ntegrál...7 Statstcká data a práce s nm...30 Statstcká data...30 Základní pojmy a defnce...30 Typy statstckých dat...3 Metody statstckého zjšťování...33 Úplné a výběrové šetření...33 Pozorování a eperment...35 Replkace (opakování epermentu)...36 Záps a zobrazení statstckých dat...38 Statstcké tabulky...38 Zaokrouhlování a další úprava dat...4 Statstcké grafy...4 Software pro analýzu a prezentac dat...46 Popsná statstka...49 Statstcké řady a jejch třídění...49 Jednostupňové prosté rozdělení četnost...50 Intervalové rozdělení četnost...53 Charakterstky polohy etrémy, medán, kvantly, modus...56 Mnmum a mamum...57 Modus...57 Medán a další kvantly...58 Charakterstky polohy průměr...6

4 Artmetcký průměr...6 Vybrané vlastnost artmetckého průměru...65 Mocnnový průměr, harmoncký a geometrcký průměr...66 Charakterstky varablty (dsperse)...69 Momentové charakterstky...73 Přesnost odhadu průměru...76 Praktcké použtí popsné statstky...79 Průzkumová analýza dat...79 Základní typy grafckého zobrazení př EDA...79 Vztahy mez charakterstkam polohy...8 Zobrazení varablty...84 Provedení základních analýz v programu R...85 Prostředí softwaru R a hlavní nabídka...86 Vstup a výstup dat...87 Jednoduché načítání a výps objektů...87 Základní manpulace s objekty...89 Matematcké funkce a základní statstcké funkce...9 Tvorba grafů...94 Lteratura...98

5 Úvod Skrptum, které jste právě otevřel (nebo jste se náhodou dostal na tuto stranu až po nějaké době) je určeno vysokoškolským studentům bologckých oborů. Jeho cílem není pouze vysvětlt, který vzorec použít na daný problém. Byl bych velce rád, kdyby se m podařlo studenta alespoň částečně do vtáhnout do problému a vzbudt v něm o tento předmět zájem. Právě proto také, kromě klasckých testů a metod, nastíním některé novější a náročnější způsoby analýzy dat. Statstka totž už není pro bologa zbytečný přepych, ale nutnost, bez které nelze objektvně hodnott data. Zvláštní koncepce celého skrpta je dána tím, že je určeno zejména pro studenty dstančního studa. Objevují se zde proto specfka, jako např. průvodce, korespondenční úkoly apod., která se mohou některých sofstkovanějších typů dotknout. Bude se jm to možná zdát jako zbytečné zdržování nebo vedení čtenáře za ruččku. Předem se omlouvám. Počítám totž, že s tety budou pročítat naprostí začátečníc (hlavně pro ně je skrptum určeno), kteří mohou krátké odbočení po sér vzorců považovat za něco jako sklenc studeného pva v parném letním odpoledn. a první část tohoto skrpta volně navazuje skrptum Cvčení z bostatstky, které by vás mělo naučt praktcky pracovat s daty v běžně dostupném tabulkovém procesoru Mcrosoft Ecel. Pro ty, kterým MS Ecel nestačí jsem se pokusl obohatt tento studjní tet také příklady ve statstckém programu R. 5

6 Orentace v tetu V úvodu jsem se zmínl o tom, že je tento studjní tet určen pro dstanční studum. ajdete v něm proto určté zvláštnost, které by měl čtenáře vést v samostudu: Cíle kaptoly jsou uvedeny na začátku každé kaptoly a jejch smyslem je ujasnt čtenář, co by měl po nastudování kaptoly znát. Klíčová slova stejně jako ve vědeckých článcích obsahují základní pojmy, které charakterzují lekc. Průvodce může obsahovat rady, jak danou kaptolu studovat, vlastní zkušenost apod. Je oddělen od tetu rámečkem a šedým stínováním tetu. Příklady řešení problémů jejch cílem je konkretzovat a demonstrovat uvedené postupy. Jsou odděleny rámečkem a menším písmem. Kontrolní úkoly ověřují, zda jste tet prostudoval dostatečně důkladně. Jedná se o příklady z cvčebnce (soubory v Mcrosoft Ecelu), které je nutno vyřešt. Všechny cvčebnce jsou zároveň korespondenčním úkoly k jednotlvým kaptolám. Otázky k zamyšlení odpověď na tyto otázky přímo v tetu nenajdete. Musíte je zkust odvodt z dosavadních znalostí. Shrnutí podává stručně obsah kaptoly. Pozor! estačí pouze znalost souhrnu k tomu, abyste porozuměl dané kaptole. Pojmy k zapamatování nejdůležtější návody a postupy týkající se problematky dané kaptoly. Tuto část jsem navíc doplnl anglckým výrazy pro jednotlvé pojmy. Předpokládám totž, že př prác s odborným články (v současnost je většna odborných časopsů v anglčtně) by se vám mohl takový drobný slovníček hodt. Výsledky řešení kontrolních otázek. Korespondenční úkol tento typ úkolů zašlete podle nstrukcí elektronckou poštou svému tutorov. 6

7 BIOSTATISTIKA A JEJÍ VÝZAM Cíle kaptoly: Po prostudování kaptoly zvládnete toto: - pochopíte, co je to statstka a bostatstka; - stručně se seznámíte s nejvýznamnějším osobnostm statstky; - porozumíte významu statstky v bolog; - budete umět charakterzovat obecné metody a etapy vědeckého výzkumu. Klíčová slova: Statstka, bostatstka, hstore statstky, věda, metodka vědy. Průvodce Počet dopravních nehod na přechodech se podle statstk zdvojnásobuje. Statstky hovoří jasně: Kouření způsobuje rakovnu. Český statstcký úřad zpracoval data na jejchž základě Statstcké průzkumy ukázaly, že volby by v tomto období vyhrála Jak často se setkáváme se slovem statstka a přtom jen málokdo s uvědomuje, co vše je za ním skryto. Většna studentů se statstky bojí, protože v ní vdí složté vzorce a výpočty, které nebudou nkdy potřebovat. Konzultace ze statstky týden před odevzdáním dplomové práce je pak už zcela zbytečná. Ještě horší je to pak v pra nebo během doktorandského studa, když se student marně snaží statstku obejít. Jaký zvolt přístup, aby se vám to nestalo? Zejména je nutná aktvta. esmíte se bát. Aktvně se snažte pochopt problém, zkoušejte s vymýšlet a počítat další příklady. Musíte chápat, že je to součást moderní bologe, ne trest za to, že jste na střední škole neměl rád matematku. Statstku prostě potřebujete, anž to možná ještě tušíte. K čemu je tak dobrá? Pokusím se vám to vysvětlt. Co to je bostatstka? Odpověď na tuto otázku je třeba trochu rozvést. ejprve se zaměříme na původ pojmu statstka. Podle většny pramenů je jeho otcem německý profesor Gottfreda Achenwalla, který slovo v německém tvaru statstk použl v roce 749. Termín pochází z latnského slova status nebol stav, popř. stát, státník (tal. statsta), což má pravděpodobně souvslost se získáváním údajů o stavu obyvatelstva (tzv. demografcká data), odvodů daní, rekrutování vojáků apod. Statstka je v současné době chápána jako: analýza a nterpretace dat s přhlédnutím k objektvnímu vyhodnocení pravdvost závěrů vyvozených z dat (Zar 999); vědní dscplína formulující obecné prncpy praktcké statstcké čnnost operující vlastním matematckým aparátem, sloužícím k analýze především kvanttatvních vlastností nejrůznějších jevů hromadné povahy (Mnařík 995a); statstka je věda, která nám dává návod, jak pracovat s daty obsahujícím náhodnou složku a jak odlšt zákontost od náhodné varablty (Lepš 996); soubor údajů popsujících stav, průběh, vývoj nějakého děje nebo dějů (Mnařík 995a); 7

8 praktcká čnnost směřující k evdenc, sběru, zpracování a analýze těchto údajů (Mnařík 995a); státní, veřejná nebo prvátní nsttuce, zajšťující tuto čnnost v určtém ekonomckém prostoru (Mnařík 995a); výsledky manpulace s pozorováním produkující menší množství (zjednodušení) výsledků (Dytham 999). Pro ty, které přesné defnce zmátly, se je pokusím stručně zopakovat. Pojem statstka má čtyř základní významy: způsob, jak zkoumat určté jevy (tzv. hromadné náhodné jevy vz. výše); zpracované zjednodušené výsledky tohoto zkoumání; věda, která se tímto zkoumáním zabývá; nsttuce, která zajšťuje výzkum. Zabývejme se nyní statstkou jako vědeckou dscplínou. Jako takovou j podle užté metody můžeme rozdělt na dvě základní subdscplíny: popsná statstka (deskrptívní) zabývá se elementárním popsem stavu, vývoje a závslost jevů matematcká statstka (nduktvní) syntetzuje poznatky popsné statstky a matematcké teore pravděpodobnost (díky matematckému aparátu vyhodnocuje charakterstky z dat získaných popsnou statstkou) Představte s, že se účastníme výzkumu zdravotního stavu dřevn v CHKO Beskydy. Vybereme několk studjních ploch v různých nadmořských výškách a pak se můžeme pokust zodpovědět následující otázky. Popsná statstka: Kolk dřevn na určtém území je napadeno houbovýmy chorobam? U kolka dřevn na určtém území jsou pozorovány příznaky stresu? Jaký je průměrný počet nemocných stromů na hektar sledovaného území? Matematcká statstka: Kolk je na základě dat z vybraných území napadeno celkem dřevn na území CHKO? Jsou více vystaveny stresu a nemocem stromy blíže komunkací a sídel? Má nadmořská výška vlv na pravděpodobnost onemocnění dřevny houbovou chorobou? Úkol k zamyšlení Zkuste vymyslet další příklady. V případě, že neuspějete, zkuste se k úkolu vrátt po kaptolách o popsné statstce a teor pravděpodobnost. Kromě tohoto rozdělení statstky na popsnou a matematckou můžeme zjstt, že jsou metody a postupy matematcké statstky používány v různých vědních dscplínách (socologe, psychologe, fyzka, cheme, geografe, bologe) různě. Díky tomu vznkají různé specalzované statstcké obory, které souhrnně řadíme do aplkované statstky. Bostatstka tedy není samostatná vědní dscplína, ale aplkace matematcké statstky na bologcká data. Přtom ne všechny matematcké metody používané v bolog můžeme nazvat bostatstkou. ěkteří autoř uvádí bostatstku jako součást kvanttatvní bologe, do které je dále zahrnuto bologcké modelování a numercká bologe. Aplkace statstky na ldskou populac (porodnost, úmrtnost, pohlavní nde, mgrace atd.) se nazývá demografe. Kontrolní úkoly Vlastním slovy popšte, co všechno můžeme chápat jako statstku? 8

9 Určete rozdíl mez nduktvní a deskrptvní statstkou. Stručná hstore statstky Prokazatelný počátek popsné statstky můžeme datovat do období starověké Číny, kdy v roce 38 př. n. l. císař Yao nechal provést ofcální sčítání populace čínského císařství. Zmínky o sčítání ldu se objevují také ve Starém Egyptě a ve Starém Zákonu. Ve středověku se pak nejčastěj setkáváme s popsnou statstkou v záznamech šlechtců a církve o majetku a počtu věřících a poddaných. apříklad starozákoní Knha Mojžíšova IV., kap., odst. uvádí: Sečtěte summu všeho množství synů Izraelských po čeledech jejch, a po domích otců jejch, vedlé počtu jmen každého pohlaví mužského po hlavách jejch. Podrobnější statstcký pops majetku ve středověku je známý už z roku 76, kdy francký král a pozděj římský císař Karel I. Velký přkazuje sepsat přehled o majetku církve, krátce nato pak přehled o nevolnících jednotlvých vlastníků půdy. V roce 086 pak anglcký král Vlém Dobyvatel nechává po přdělení půdy normanským feudálům sepsat tzv. Domesday Book (Knha posledního soudu), která je prvním soupsem pozemkového majetku v Angl. Statstky týkající se počtu obyvatel a úmrtí se začínají častěj objevovat zejména v 6. století, kdy se někteří evropští panovníc snaží sledovat úmrtnost obyvatel a zjšťovat tak příchod a průběh morových epdemí. V této době také vydává talský přírodovědec a flozof Heronymus Cardanus (Gerolamo Cardano, ) první knhu shrnující dosavadní znalost o pravděpodobnost. Koncem 6. století, během rozsáhlé morové epdeme ve Velké Brtán začínají brtské úřady vydávat týdenní statstky úmrtí (od roku 63 tyto tzv. blls of mortalty obsahují kromě počty zemřelých také o údaje o narození a pohlaví) a tento systém pokračuje až do 7. století. V roce 66 pak anglcký obchodník John Graunt (60 674) na základě těchto údajů vydává prác atural and poltcal observatons mentoned n a followng nde, and made upon the blls of mortalty, ve kterých se pokouší analyzovat data o populac za posledních 30 let (dokonce se pokouší na základě dat předpovědět další vývoj populace). Díky této prác se Graunt stává členem Brtské královské společnost (Royal Socety). Jeho vrstevníkem a spolužákem ze studí byl ekonom Wllam Petty (63 678), který zavádí statstcké a demografcké metody do ekonome ( Fve essays n poltcal arthmetc ). Kromě popsné statstky se v 7. století budují základy matematcké statstky teore pravděpodobnost. Pravděpodobností z matematckého hledska se jako jeden z prvních zabývá francouzský matematk a fyzk Blase Pascal (63 66) v korespondenc se svým kolegou Perre de Fermat (60 665). Teor pravděpodobnost dále rozpracovává švýcarský matematk fyzk Jacob Bernoull (654 l705) ve svém pojednání z roku 73 Ars Conjectand (z latny Umění odhadu ) a jako první dokazuje tzv. zákon velkých čísel (bratr Johann byl neméně známý matematk a fyzk, synovec Danel je pak autorem slavné Beroullho rovnce popsující proudění deální kapalny, synovec cholas pokračuje v prác o pravděpodobnost). Rychlý vývoj zaznamenává teore pravděpodobnost a statstka v 8. a 9. století. V tomto období publkuje Abraham De Movre ( ), francouzský matematk (žjící v Angl díky pronásledování francouzských protestantů) práce, ve kterých je mmo jné formulováno normální rozdělení. eméně známý je anglcký reverend Thomas Bayes (70 76) a německý 9

10 profesor Gottfred Achenwall (79 77), který je ve většně případů uváděn jako první, kdo použl termín statstka. Ve studu normálního rozdělení (pojem zavádí až F. Galton) pokračuje francouzský matematk a fyzk Perre Smon de Laplace (749-87) a pozděj také Karl Fredrch Gauss ( ). Gauss a pravděpodobně nezávsle na něm Adren Mare Legendre (75-833) přchází s metodou nejmenších čtverců. Polovnu 9. století, období vznku bostatstky, charakterzuje zakládání statstckých společností (např. Londýnská statstcká společnost, Amercká statstcká asocace) a také první meznárodní statstcká konference, kterou organzuje belgcký fyzk a statstk Adolphe Quetelet ( ) proslavený zejména aplkací statstky v socálních a bologckých vědách (stal se členem více než 00 společností, zavádí pojem průměrný člověk, je podle něj nazván nde obezty QI). Otcem bostatstky se však bezesporu stal bratranec Charlese Darwna bometrk Sr Francs Galton (8-9). Galton popsuje metodu korelace a regrese, označuje rozdělení zavedené De Movrem jako normální rozdělení atd. Je pevně přesvědčen, že většna jevů se dá měřt (dokonce se pokouší statstcky testovat účnek motltby), z toho důvodu se také věnuje psychometrckým testům vrozené ntelgence a měření krásy. a přelomu 9. a 0. století se objevuje řada významných statstckých metod, které jsou základem moderní analýzy dat. Karl Pearson ( ) popsuje metodu χ testu, výpočet směrodatné odchylky a korelačního koefcentu, neparametrcký korelační koefcent zavádí Charles Spearman ( ), Wllam Sealy Gosset ( ) publkuje pod pseudonymem "Student" parametrcké testování střední hodnoty (t-test nebol Studentův test), první statstčka Florence ghtngale (80-90) navrhuje nové metody grafckého zobrazení dat a stojí u vznku moderní socální statstky a statstky v ošetřovatelství. V té době (stejně jako v současnost) začínají sehrávat velkou rol ve vývoj statstky bologové. Mez nejslavnější osobnost patří Sr Ronald Aylmer Fsher (890-96), evoluční bolog a genetk, který vypracoval metodu analýzy varance, teor stupňů volnost, objasnl rozdíly mez parametry základního souboru a výběru atd. Význam statstky Z předchozí kaptoly vyplývá, že se statstka vyvíjela zároveň s potřebam člověka. V okamžku, kdy získáme větší množství dat, automatcky se je snažíme zpřehlednt, často uvažujeme nad prokazatelností některých výroků nebo odhadujeme na základě opakovaných měření nastání určtých jevů. Úkol k zamyšlení Zauvažujte nad tím, kolkrát používáte pojem průměrný, prokazatelně, je malá (velká) pravděpodobnost..., kolkrát se na základě předchozích znalostí pokoušíte vyhodnott budoucí stuac? Ldé provádí spoustu statstckých výpočtů zcela automatcky. Jako příklad můžeme uvést výpočet průměru nebo nejčetnější hodnoty (modus): Tady jsou v průměru nžší ceny než jnde. ejprodávanější zboží je Běžně se ale pouštíme do řešení složtých vztahů: Čím více budete zalévat tímto hnojvem, tím více broskví skldíme. Snažíme se taky zkoumat různé hypotézy jako např.: Je opravdu prokazatelné, že kouření škodí zdraví?. a základě 0

11 dlouhodobého vyhodnocování dat vznkaly ldové pranostky typu: Medardova kápě čtyřcet dní kape. Ze statstckého hledska jsou ohromně komplkované různé hazardní hry. Špčkoví hráč většnou dokážou skvěle pracovat s teorí pravděpodobnost. Estuje mnoho vědeckých publkací o prncpu hazardních her a jejch aplkovatelnost v různých vědeckých dscplínách. Po shrnutí dosavadních znalostí tedy můžeme konstatovat, že běžnou statstku používáme častěj, než s přpouštíme. Obecně j využíváme k těmto účelům: Usnadňuje zkoumání velkého množství dat a umožňuje jejch nterpretac. Dává nformac věrohodnost (popř. přesnost) údajů. Dovoluje na základě dat s určtou pravděpodobností předpovídat stuace a děje, které nastanou. Dostáváme se k otázce k čemu je statstka potřebná na vysoké škole a v běžné pra bologa: Základní nformace o statstce jsou nutné pro každého vysokoškolsky vzdělaného člověka, který se snaží sám nterpretovat dostupné nformace, ať už ze sdělovacích prostředků, knh nebo časopsů. Ačkolv je statstka vynkající nástroj zpřehlednění dat, dá se jí snadno využít k demagog a šíření poplašných nformací. Všmněme s například běžné zprávy ze sdělovacích prostředků: Žvotní standard rychle roste. Průměrný měsíční příjem stoupnul na korun. K tomu ale stačí, aby každý stý člověk místo ,- Kč vydělával Kč a zbytek dostával stále 7 000,-Kč (nehledě k tomu, že do této statstky nemusí být započítan ldé, kteří pobírají podporu v nezaměstnanost (která ještě k tomu může růst). Ještě vás to nepřesvědčlo? Tak pravý opak: Žvotní prostředí v okolí chemčky není ohroženo. Průměrné hodnoty nebezpečných plynů naměřené v blízkost chemčky nedosahují an 90 % normy EU. To může také znamenat následující fakt. Kolem chemčky jsou rozmístěny 4 měřící stance na každé světové straně. Převažují severní větry, takže jžní měřící stance zaznamenává hodnoty 350 jednotek a ostatní 0 jednotek. Průměrná naměřená hodnota je 87,5 jednotek a norma EU je 00 jednotek. Tvrzení je pravdvé až na to, že zpráva zcela zamlčuje nebezpečí na jžní straně, kde jsou hodnoty o 50 % vyšší než povolená norma (příklady jsou smyšlené). Mnohem rafnovanější je však následující příklad. a unverztu dojde stížnost na neregulérnost přjímacích zkoušek. Je podezření, že jsou na všech fakultách upřednostňován muž (vyplývá to porovnáním hodnot Ženy Muž ve sloupc epřjato, Σ = celková suma). Tabulka : Přehled úspěšnost mužů a žen na příjmacích zkouškách na VŠ (fktvní). Přhlášky podalo Přjato epřjato Fakulta Ženy Muž Σ Ženy Muž Σ Ženy Muž Σ Pedag % 9 % 5 % Flosof % % 0 % Přírod % 55 % 56 % Celkem % 44 % 35 % Statstk však toto tvrzení snadno vyvrátí. Celkově byly mnohem totž neúspěšnější muž. Celkově nebylo přjato 44 % mužů a pouze 9 % žen. Kde se stala chyba? Zkuste sam popřemýšlet (řešení najdete na konc kaptoly). Umožní kvaltněj analyzovat data, ale navrhovat metodku výzkumu v rámc bakalářské nebo dplomové práce. Statstka je nezbytná pro řešení těch na první pohled nejjednodušších bologckých otázek: Je poměr pohlaví u dané populace :? Lší se jednc vybraných populací velkostně? Estuje závslost mez typem obělávání půdy a vtaltou rostlny? Snžuje se mutagenta v půdě, jestlže do ní přídáme určté mkroorgansmy? Lší se snůška určtého pěvce v parku a v přrozeném prostředí?

12 V pra se také často můžete setkat se shromažďováním dat bez konkrétní formulace cíle. Metoda budeme sbírat (měřt, zapsovat) a uvdíme, co z těch dat bude je však krajně nebezpečná. Potom se stává, že je pro vlastní výsledky využtelná jen část dat (v nejhorším případě se data nedají použít k žádné analýze), které jste navíc mohl získat v polovčním čase. Znalost statstky tedy šetří čas a prostředky nutné ke shromáždění dat a zvyšuje pravděpodobnost úspěšnost výzkumu. Statstka je naprosto nezbytná pro toho, kdo se chce v budoucnost zabývat vědeckým výzkumem ve všech bologckých dscplínách. Úspěšnost vědce se hodnotí převážně množstvím kvaltních publkací a jednou ze zásadních podmínek přjetí výsledků výzkumu v kvaltním vědeckém časopse je správné statstcké zpracování dat (vz. obrázek ). Pro demonstrac jsem chtěl zkust prolstovat vždy jedním číslem (!) několka vědeckých časopsů s různou tématkou a vypsat statstcké metody použté v článcích. Po prvním časopse (Behavoral Ecology and Socobology) jsem měl na papíru téměř všechny metody, které budou uvedeny v tomto skrptu. Další dva časopsy (Oecologa, Plant Systematcs and Evoluton) obsahovaly kromě jž uvedených spoustu dalších, často složtějších, metod. Rozhodl jsem se proto místo vypsování důkazů toho, že se statstka vyskytuje v mkrobolog, ekolog, etolog, taonom, fyzolog a dalších oborech uvádět příklady z různých odvětví u daných metod. Jen pro zajímavost pár typů analýz z prvního uvedeného časopsu: metoda analýzy kovarance (ACOVA), lneární a nelneární regrese, GLM (zobecněný lneární model), analýza varance (AOVA), Spearmanův korelační koefcent, mnohonásobná regrese, U-test, F-test, test dobré shody atd. Obrázek : Proporce článků obsahujících numerckou a statstckou analýzu v časopse The Amercan aturalst v letech (upraveno podle Sokal & Rohlf 995). Teore vědeckého poznávání Průvodce Klascký přírodovědec často považuje flozof za ztrátu času. Toto pohrdání však trvá do chvíle, než s začne uvědomovat, že jeho věda by měla mít nějaké zákontost a vycházet z určtých pravdel, která stojí mmo jeho oblast výzkumu. A právě pravdla určuje tzv. teore vědy, která je součástí flozofe. Pokuste se prokousat následující částí když z velké část vychází z flozofe. Moc by mě potěšlo, kdyby jste na jejím konc došl k závěru, že to nebylo zbytečné mrhání časem.

13 Věda Obecnou vlastností ldského mozku je snaha systematzovat. Vytváříme s soustavy jednotlvých prvků a propojujeme je určtým vztahy do celku, kterému pak říkáme systém. Představte s, že absolvujete zkoušku z entomologe. Pedagog vás zkouší a ptá se vás na jednotlvé hmyzí řády a jejch příbuznost. Jste schopn vyjmenovat některé řády, ale už nevíte, který řád je nejstarší, jak se vyvíjely jednotlvé typy ústního ústrojí atd. Vyučující vám pak oznámí, že jste nevyhověl, protože v tom ještě nemáte systém. eznáte vztahy a souvslost, které by vám vytvořl kostru této vědní dscplíny. Jazykově formulovaný systém nazýváme teore. Je tedy souborem tvrzení, které popsují a vysvětlují jevy v určté oblast zájmu. Teore lze pak dále systematcky uspořádávat a propojovat do určtého nadřazeného systému. Tímto systematckým uspořádáním soustavy teorí pak nazveme vědu. Jednoduše můžeme o vědě říct, že je to souhrn poznatků, které mají vzájemnou souvslost. Jedno z možných základních dělení věd je následující: unverzální vědy flozofe (často společně s teologí) specální vědy formální vědy (formální logka, matematka) reálné vědy přírodní vědy (bologe, cheme, fyzka atd.) někdy nazývány eaktní kulturní vědy socální a ekonomcké, duchovní (hstore, lngvstka) Specální vědy se na rozdíl od flozofe zabývají pouze určtým aspektem daného předmětu zkoumání (hovoříme o tématcké redukovanost). Flozofe může zkoumat předmět ze všech možných aspektů (etka, poznatelnost atd.) a navíc nemá omezenou metodu zkoumání (není tzv. metodcky abstraktní). To je právě ten kámen úrazu, díky kterému jí mnozí neflozofové označují za pouhé spekulace a plané tlachání. Je však nutné s uvědomovat, že jako unverzální věda nemůže být flozofe okleštěna metodou. Reálné vědy jsou narozdíl od formálních věd emprcké, tzn. jejch předmětem studa je určtá dílčí oblast zkušenostního světa. Formální vědy se emprckou skutečností nezabývají. Popsují abstraktní strukturu souvslostí. apříklad formální logka je nauka o formální správnost myšlení. Metodologe vědy Každá věda má svůj předmět studa a metodu zkoumání tohoto předmětu. Emprcké vědy užívají obecně dva typy metod: Deduktvně aomatcká metoda V každé vědě estují základní termíny a základní zákony (aómy), které nelze defnovat. Ty potom spolu s pravdly, jak operovat s termíny a aómy tvoří aomatcký systém vědy. Z něj (tedy z obecného) odvozujeme (dedukujeme) konkrétní pravdla. Deduktvně aomatcká metoda kraluje matematce už od dob Eukledových Základů (kolem roku 300 př. n. l.), který např. geometr konstruoval na základě 5 aómů (. aóm: dvěma určtým body je vždy určena jedná přímka, atd.). Jestlže nějaký aóm není správný, pak dojdeme př konstrukc systému vědy k nesrovnalost mez teorí a skutečností. Díky tomu, že epermenty, které prováděl fyzc s částcem nevycházely podle předpokladů jejch teore, musela být přehodnocena celá ewtonovská mechanka rozšířena na kvantovou mechanku. V bolog je to o něco komplkovanější. Obecné zákontost převážně vyžadovaly znalost genetky a molekulární bologe, která se začala ntenzívně vyvíjet až ve 0. století. a základě aomatckého systému (ještě však ne tak stablního jako matematcký) se například vyvíjí neodarwnstcká teore, kladstcký přístup v taonom. Předpokládá se přtom, že žvot na zem vznkl pouze z jednoho předka a všechny současné organsmy nějakého předka měly. Induktvní metoda vytváření vědeckého systému deduktvně aomatckou metodou je deálem všech emprckých věd. Dost těžko ale vytvoříme aomatcký systém bez předchozích znalostí našeho předmětu studa. 3

14 Musíme tedy začít ndukcí nebol vyvozováním obecných zákontostí z jednotlvostí. Samostatně není tvrzení na základě ndukce nkdy pravdvé dokud není ověřena její platnost v každém konkrétním případě. V pra se tedy používá metoda nduktvně deduktvní která z konkrétních pozorování vytváří hypotézy a ty potom prověřuje, shrnuje a vytváří teor. Proces má tř část: - Pozorování, pops a klasfkace. a základě pozorování, měření nebo epermentu vznkají tzv. observační věty a ty se další klasfkací mohou kvantfkovat. Chc se zabývat otázkou, ptačí mgrace do teplejších oblastí. a základě pozorování vznká pops typu: 8.9. odletělo z dané lokalty 5 jednců vlaštovky, 9.9. odletělo 5 jednců, 0.9. odletěl čáp bíly atd. Klasfkací popsu pak zjšťuj (kvantfkuj údaje), že jsté druhy ptáků odlétají na podzm a na jaře se vrací. Během ostatních období není mgrace na jh pozorována. - Vytvoření hypotézy. Hypotéza je neověřený výrok založený na ověřtelných předpokladech. Lze j prověřovat její verfkací (potvrzováním) nebo falzfkací (vyvracením). Falzfkace hypotézy je jednoznačně možná (stačí abych našel jeden případ, kdy hypotéza neplatí a mohu j vyvrátt), zatímco verfkace není (musím prokázat, že platí pro každý jednotlvý případ, což často není možné). a základě předchozí kvantfkace vytvářím hypotézu, že ptác mgrují z důvodů zmy, kdy nejsou schopn zajstt dostatek potravy a snžuje se jejch přežívání. Tuto hypotézu se pokusím prověřt. Pokusím se tedy testovat zda mají všchn mgrant snžené přežívání v případě, že je donutím zmovat. To bych ale musel testovat všechny ptáky, kteří v daném roce budou mgrovat. Vhodnější je hypotézu formulovat tak, že přežívání všech jednců je stejné v případě, že budou mgrovat nebo ne. Vyberu tedy náhodně 00 jednců, které donutím zůstat přes zmu a 00 jednců, kteří odletí na jh. Zjstím, že zmu přežje pouze 0 jednců, kdežto mgrac 80 jednců. Falzfkoval jsem tedy hypotézu o stejném přežívání. - Uvedení jednotlvých hypotéz do systematckých souvslostí a vytvoření teore. Pro emprcké vědy pak platí, že vědecká teore je pouze ta, pro kterou lze navrhnout postupy ověřující její platnost. Shrnutím znalostí o ptácích a dalších žvočších vytvářím formuluj obecnější hypotézu, že mgrace jsou adaptace motvované převážně nedostatkem potravy a tím vznká mgrační teore. Z této teore pak například mohu dedukovat, že globální oteplování vede k teplejším zmám a také městské ekosystémy poskytují poměrně dost zdrojů potravy a z toho důvodu spousta mgrantů zůstává přes zmu u nás (což se samozřejmě děje). Z předchozího popsu zcela jasně vyplývá, jaká je role statstky. Statstka je nástrojem nduktvního myšlení, protože jsme díky ní schopn ověřt platnost našch hypotéz a dokonce určt jaká je pravděpodobnost, že je naše hypotéza nesprávná. To je důležté zvláště tehdy, jestlže je výsledek pokusu zatížen náhodnou varabltou. Pracovní postup statstky Statstka je eaktní vědou, to znamená, že je založena na používání matematckých metod. Objekty studa jsou měřtelné a kvantfkovatelné (číselně vyjádřtelné). Pracovní postup ve statstce je stejně jako v ostatních vědních dscplínách rozdělen do několka základních etap: Zjšťování. V tomto kroku získáváme prmární data většnou pomocí kombnace pozorování, měření (určení kvanttatvních vlastností objektů) a epermentu (pozorování nebo měření za podmínek kontrolovaných vědeckým pracovníkem). Metoda zjšťování je ovlvněna hypotézou, kterou chceme verfkovat popř. falzfkovat. a tomto základě vytvářím 4

15 promyšlenou metodku zjšťování tzv. desgn výzkumu (vz. statstcká data). Zpracování dat. Získaná data uspořádáme (vytvoříme databáz) tak aby byla přehledná a dalo se s nm snadno manpulovat. V současné době data většnou zapsujeme do počítačových databází (např. v programu Mcrosoft Access nebo Ecel). Metoda tvorby jednoduchých databází a práce s nm je popsána ve studjní opoře Cvčení ze statstky. Analýza dat. V této fáz ověřujeme platnost našch hypotéz pomocí statstckého aparátu. Pro analýzu dat se používá ohromné množství statstckého software (např. programy Mcrosoft Ecel, SAS, R, S-plus, Systat, Statgraphcs, Statstca, CSS, SPSS, Mntab, Prostat, Jump, Unstat). Prezentace výsledků. Zpracování grafů a tabulek pro prezentac výsledků je stejně důležté jako předchozí kroky. Špatná prezentace může vést k nesprávné nterpretac výsledků, nedorozuměním dokonce k gnorování závěrů výzkumu (př hodnocení kvalty žvotního prostředí může nesprávná prezentace vést k např. k chybným krokům a devastac území). I pro prezentac výsledků estují určtá doporučení, ale z velké část záleží na ntuc, zkušenost a ctu autora práce. Průvodce a závěr bych chtěl ještě jednou upozornt na to, co je ve skutečnost statstka. Statstka nám dává návod, jak pracovat s daty. eříká nám jaký výzkum mám provádět, jak mám prezentovat výsledky na veřejnost a jak je začlent do vědecké teore. Mez statstky koluje nepsané pravdlo, že když se dostatečně dlouho v datech prohrabuj a zkouším různé typy analýz, nakonec v datech stejně něco najdu (tzv. statstcal fshng - rybaření) a dojdu k výsledku, který jsem s představoval. Takový přístup je špatný je nutno se mu vyvarovat. Př hodnocení dat bychom měl vždy zaujmout objektvní stanovsko. Zpracování dat bez dobrých teoretckých znalostí může vést ke špatné volbě metodky získávání dat, analýzy, ale ke špatné nterpretac. ebo také k nterpretac falešné. Jeden známý často používá průpovídku: Znám tř druhy lží prostou lež, zpropadenou lež a statstku. Jný známý, když se dozví, že bylo něco statstcky prokázáno prohlásí: Takže se vlastně vůbec neví, jestl je to pravda. Oba jsou statstc. Že by nevěřl vědě, kterou studují a učí? Určtě ne! Pouze shrnují to, co jsem se snažl říct v předchozím odstavc. Oba totž ví, že bez dobrých znalostí statstky nejsme schopn rozlšt, jestl jsou výsledky určtého výzkumu objektvní nebo pouze slouží jako lacná propaganda. Kontrolní úkoly Vysvětlete, jak se lší přírodní vědy od ostatních? Popšte rozdíl mez ndukcí a dedukcí? Stručně charakterzujte jednotlvé etapy výzkumu. Shrnutí: Statstka je vědecká dscplína, která formuluje prncpy jak analyzovat a nterpretovat data pomocí určtého matematckého aparátu. Statstku taky můžeme chápat jako určtou charakterstku souboru dat, která jej zpřehledňuje nebo shrnuje jeho vlastnost. Bostatstka je aplkací statstky v bologckých vědních dscplínách. Statstka má uplatnění ve všech eaktních vědních dscplínách protože nám umožňuje testovat vědecké hypotézy a díky tomu 5

16 postupovat od konkrétního zjšťování dat k vytváření vědeckých teorí (nduktvně deduktvní metoda). Postupuje přtom v jednotlvých krocích od statstckého zjšťování a zpracování dat, přes vlastní analýzu k prezentac výsledků a jejch začlenění do vědecké teore. Pojmy k zapamatování: Statstka (statstcs věda, statstc výsledek analýzy), statstka (popsná statstka (descrptve statstcs), matematcká statstka (mathematcal statstcs), bostatstka (bostatstcs), nduktvní a deduktvní metoda (nductve or nferental and deductve method), věda (scence), hypotéza (hypothess), teore (theory), verfkace (verfcaton), falzfkace (falsfcaton), zjšťování (survey), zpracování dat (data processng), analýza dat (data analyss), prezentace výsledků (results presentaton). Řešení úkolu: Proč byly celkově muž méně úspěšní? Procento přjatých žen a mužů je počítáno vždy z jného celku. Většna mužů se hlásla na přírodovědeckou fakultu, kde byla jejch úspěšnost dost nízká. Většna žen se hlásla na pedagogckou fakultu, kde bylo více než 70 % úspěšně přjato. 6

17 ZÁKLADY LOGIKY A MATEMATIKY Cíle kaptoly: Po prostudování kaptoly zvládnete toto: - budete umět používat operátory a symboly formální logky a teore množn; - budete znát matematcké symboly, operátory a kombnatorcké vzorce; - budete umět stručně vysvětlt pojmy funkce, lmta, dervace ntegrál. Klíčová slova: Formální logka, teore množn, matematcké výrazy, funkce, matematcká analýza. Průvodce Statstka je z velké část vystavěna na používání logckého a matematckého aparátu. Je všeobecným faktem, že matematka je jeden z nejméně oblíbených předmětů na střední škole. Dost dobře chápu středoškoláka, který s nedokáže uvědomt, na co bude potřebovat znalost o funkcích, matcích a množnách. Přznám se, že matematka také nebyl můj oblíbený předmět. Jaký sehrává význam pro bologa jsem dokonce pochopl až ke konc studa na vysoké škole a dost mě to mrzí. ásledující kaptola je stručným shrnutím základů logky a matematky. Měla by vám ulehčt čtení vzorců, formulace hypotéz atd. Základy formální logky a teore množn Moderní formální logka je věda o zákonech forem a metod ldského vědeckého myšlení. Bez formální logky by neestovaly ostatní vědní obory, protože by neestovaly pravdla, která by určovala elementárně-správné myšlení. V případě, že by formální logka nebyla správná, znamenalo by to celkové zhroucení matematky a následně všech přírodních věd. Vyvarovat se logckých chyb by mělo být pro vysokoškolského studenta samozřejmostí. Výroková logka Výroková logka je teore logckých spojek a logka pravdvostních funkcí. Výrok je jednoduchá věta o které má smysl tvrdt, zda je pravdvá nebo nepravdvá. Výrokovou proměnnou nazveme znak, který zastupuje výrok (většnou písmena p, q, r, s). Oborem hodnot výrokové proměnné může být: hodnota pravda (označujeme číslcí ); hodnota nepravda (označujeme číslcí 0). Z jednoduchých výroků můžeme vytvářet složtější výroky pomocí funktorů. Mez základní funktory patří: negace: negace výroku p má opačnou hodnotu a značíme j p (používáme vyjádření není pravda, že nebo ne ); konjunkce: spojuje dva výroky ( p q ) s výsledkem pravda, pouze tehdy, když jsou oba výroky pravdvé (vyjadřujeme platí p a zároveň q ); dsjunkce: spojuje dva výroky ( p q ) s výsledkem pravda, pouze tehdy, když je alespoň jeden výrok pravdvý (vyjadřujeme platí p nebo q ). 7

18 Příklady výroků a práce s nm: Zkoumaná populace roste. egace: Zkoumaná populace neroste nebo není pravda, že zkoumaná populace roste. Všechny druhy rostln produkují kyslík. egace: e všechny druhy rostln produkují kyslík, tzn. alespoň jeden druh rostlny neprodukuje kyslík. Tykadla tohoto druhu jsou červená. egace: Tykadla tohoto druhu nejsou červená. Druh žje pod vodou. egace: Druh nežje pod vodou. Příklady konjunkce a dsjunkce Druh má vstřícné postavení lstů a červené korunní plátky. Jedná se o tento druh pouze v případě kdy platí výrok p (vstřícné postavení lstů) výrok q (má červené korunní plátky). V ostatních případech je výsledkem nepravda, nejedná se tedy o daný druh. Druh má červené nebo falové zbarvení. Daný druh může mít červené zbarvení, falové zbarvení nebo obě zbarvení a pokaždé je celý výrok pravdvý. Tabulka : Příklad konjunkce a dsjunkce (0 nepravda, pravda) dvou výroků. Všmněte s, že 3 objekty splňují dsjunkc, ale pouze jeden konjunkc. Objekt p q p q p q má zobák má křídla zobák a křídla zobák nebo křídla ryba vážka 0 0 ptakopysk 0 0 racek Kontrolní úkoly egujte výroky: Estuje vazba mez teplotou a pohlavním ndeem mláďat. Všchn jednc mají modré krovky. Alespoň jedno mládě je samec. Zapšte, jak bude vypadat schéma p q a p q podle tabulky ( q je negace q). Úkol k zamyšlení Podle příkladu tabulky vysvětlete, proč p q je shodné s p q? Platí opačný případ, tedy p q je shodné s p q? Složtějším a více abstraktním jsou funktory mplkace a ekvvalence. Pro jejch objasnění máme však v bolog velce vhodný příklad taonomcký klíč: mplkace: vytváří podmíněný výraz p q ( jestlže p, pak q ) s výsledkem nepravda, pouze tehdy, je-l první výrok (antecedent) pravdvý a druhý (konsekvent) nepravdvý; Toto splňuje například mplkace jestlže je to brouk, pak má šest nohou. V případě, že je to pavouk, člověk nebo vosa pak je výrok pravdvý, protože se nejedná o brouka, takže se s další charakterstkou nemusíme trápt. Možná vás přesto zarazí pravdvost výroku v případě, že se jedná o vosu. Vosa není brouk, ale má šest nohou. Brouk patří určtě do skupny šestnohých, ale mplkací není řečeno, že tam nc jného nepatří. Jestlže ale budu tvrdt, že je to brouk, ale má čtyř nohy, pak je výrok nepravdvý (nepočítám zvrácenou logku sadstů, kteří z rozmaru trhají broukům nožčky). Pozor! Výraz p q je shodný s výrazem q p, tedy jestlže to nemá šest nohou, pak to není brouk (všechno co nemá šest nohou nemůže být broukem). ení však shodný s q p. egace mplkace je p q. Zvláštní, že? Implkace je právě příklad výrokové logky, který ldé v běžném hovoru nedodržují. Představte s ale, kdybyste zvoll výrok jestlže to není brouk, pak nemá šest nohou, jak by skončla chudák vosa. Stejně tak nemůžeme přehodt antecedent a konsekvent (jestlže to má šest nohou, pak to je brouk), protože bychom zase chudáka vosu vyřadl (jedná se totž o negac předchozího jestlže to není brouk... ). Pozor! V matematckém zápsu může symbol znamenat z toho plyne, že. 8

19 ekvvalence: vytváří podmíněný výraz p q ( p právě tedy když q ) s výsledkem pravda, jsou-l oba výrazy pravdvé nebo nepravdvé Ekvvalence je například žvočch saje mateřské mléko právě tehdy když je savec. Znamená to, že platí: jestl žvočch saje mléko, pak je savec a zároveň jestl je žvočch savec, pak saje mateřské mléko. Z tohoto příkladu můžeme vyvodt, že ekvvalence je podobná mplkac, ale s tím, že platí když výrazy přehodím. Ekvvalenc lze tedy zapsat jako p q q p. Jak by to tedy vypadalo s broukem z předchozího příkladu? Musel bychom vymyslet znak, kterým se brouc lší od všech ostatních žvočchů. Zapomeňme tedy na samčky světlušek a další problémové brouky a můžeme říct jedná se o brouka právě tehdy když má krovky. Tabulka 3: Implkace Tabulka 4: Příklad mplkace a ekvvalence dvou výroků (0 nepravda, pravda). p je pták q má zobák p q (jestlže je pták, pak q p (jestlže nemá zobák, pak není pták) má zobák) ryba 0 0 (pravda) (pravda) ptakopysk 0 (pravda) (pravda)??? 0 0 (nepravda) 0 (nepravda) racek (pravda) (pravda) Příklad mplkace a ekvvalence dvou výroků (0 nepravda, pravda). p q Ekvvalence p q (je to pták právě tehdy když má peří) je pták má peří ryba 0 0 (pravda)??? 0 0 (nepravda)??? 0 0 (nepravda) racek (pravda) Kontrolní úkoly Jaké pořadí a funktor (mplkace, ekvvalence) byste zvoll u dvojc výroků: květenství je úbor je to sedmkráska má rychlejší tep konal namáhavou prác přdal jsme antseptkum kolone bakterí zankají má chlorofyl A a zároveň chlorofyl B je rostlna Pomocí tabulky (jako tabulky a3) a na konkrétním příkladu ověřte, zda jsou vždy pravdvé výroky: p p = p p = 0 p ( q r) ( p q) r Zjednodušte výrok p ( p q). Je správně negace výroku jestlže je pták, pak má zobák, která zní je to pták a zároveň nemá zobák? Ověřte tabulkou. Úkol k zamyšlení Pokuste se zamyslet nad dalším příklady složených výroků. Zkuste je napsat ve formálním zápsu, vymyslet k nm konkrétní příklady a jejch negace. Průvodce Zmátla vás výroková logka? Jestlže jste správně vyřešl kontrolní úkoly a zároveň zvládl tř nebo čtyř příklady pro úkol k zamyšlení, pak jste celou věc pochopl. Chápete? Chápete právě tehdy, když vás rozesmála druhá věta. 9

20 Množny a relace Množnou rozumíme jakýkolv souhrn (soubor, systém, skupna) objektů. Jednotlvé objekty tvořící množnu označujeme jako prvky množny. Př prác s množnam budeme dodržovat tato základní pravdla zápsu: množnu označujeme velkým písmenem (A, B, C, D); prvky množny označujeme malým písmeny ze začátku abecedy (a, b, c, d); proměnné (znak, který zastupuje kterýkolv objekt ze souboru objektu) označujeme malým písmeny z konce abecedy (, y, z); prázdná množna je označována symbolem Ø ; a A znamená: prvek a je prvkem množny A, opakem je a A; A = { a, b, c, d} znamená: množna A je tvořena prvky a, b, c, d (eplctní vyjádření množny); A = { U; V ( ) } znamená: množna A je tvořena všem prvky z oboru U, pro které platí vlastnost V() (mplctní vyjádření množny); U : V ( ) znamená: pro každý prvek množny U platí vlastnost V() U : V ( ) znamená: estuje alespoň jeden prvek množny U, pro který platí vlastnost V() V bolog se s pojmem množna setkáváme například v Mayrově defnc druhu: Druh je množna (skupna) všech jednců aktuálně nebo potencálně se křížících populací, které jsou reprodukčně zolovány od jných takových skupn. Prvky této množny jsou všchn jednc (samozřejmě z oboru organsmů), pro které platí vlastnost: aktuálně nebo potencálně se mez sebou kříží a jsou reprodukčně zolované od jných druhů. Mez množnam estují určté relace (vztahy) a operace, pro které jsou charakterstcké relační znaménka a operátory: A=B: množny A a B, které mají totožné prvky (jsou dentcké) a základě znalostí z výrokové logky a dalších symbolů můžeme použít matematcký záps (jeden z několka možných): A = B : A B (A je rovno B právě tehdy, když pro všechna platí: leží v množně A právě tehdy když leží v množně B). egací je nerovnost A B (estuje alespoň jedno, které nesplňuje ekvvalenc). A B: množna A je podmnožnou množny B (neostrá nkluze) Matematckým zápsem: A B : A B (A je podmnožnou B právě tehdy, když pro všechna platí: jestlže leží v množně A pak leží v množně B). eostrá nkluze zahrnuje také možnost A=B. A B: množna A je vlastní podmnožnou množny B (ostrá nkluze) Matematckým zápsem: A B A B A B (A je vlastní podmnožnou B právě tehdy, A je podmnožnou B a zároveň A není rovno B). A B: sjednocení množny A a množny B. Matematckým zápsem: A B = { ; A B} (sjednocení množn A a B je množna všech prvků, pro které platí leží v množně A nebo leží v množně B). A B: průnk množny A a množny B. Matematckým zápsem: A B = { ; A B} (průnk množn A a B je množna všech prvků, pro které platí leží v množně A a zároveň leží v množně B). A B: rozdíl množny A a množny B. Matematckým zápsem: A B = { ; A B} (průnk množn A a B je množna všech prvků, pro které platí leží v množně A a zároveň neleží v množně B). A : doplněk množny A. 0

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska

Více

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese cvčící 9. cvčení 4ST01 Obsah: Jednoduchá lneární regrese Vícenásobná lneární regrese Korelační analýza Vysoká škola ekonomcká 1 Jednoduchá lneární regrese Regresní analýza je statstcká metoda pro modelování

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz Příprava ke státním maturtám 0, všší úroveň obtížnost materál stažen z wwwe-matematkacz 80 60 Jsou dána čísla s 90, t 5 0 Ve stejném tvaru (součn co nejmenšího přrozeného čísla a mocnn deset) uveďte čísla

Více

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ Abstrakt Martn Cupal 1 Prncp tvorby tržní ceny nemovtost je sce založen na tržní nabídce a poptávce, avšak tento trh je značně nedokonalý. Nejvíce ovlvňuje

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y 4 Lneární regrese 4 LINEÁRNÍ REGRESE RYCHLÝ NÁHLED DO KAPITOLY Častokrát potřebujete zjstt nejen, jestl jsou dvě nebo více proměnných na sobě závslé, ale také jakým vztahem se tato závslost dá popsat.

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky Západočeská unverzta v Plzn Fakulta aplkovaných věd Katedra matematky Bakalářská práce Zpracování výsledků vstupních testů z matematky Plzeň, 13 Tereza Pazderníková Prohlášení Prohlašuj, že jsem bakalářskou

Více

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta Masarykova unverzta Ekonomcko správní fakulta Fnanční matematka dstanční studjní opora Frantšek Čámský Brno 2005 Tento projekt byl realzován za fnanční podpory Evropské une v rámc programu SOCRATES Grundtvg.

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky LOGICKÉ OBVODY pro kombnované a dstanční studum Zdeněk Dvš Zdeňka Chmelíková Iva Petříková Ostrava ZDENĚK DIVIŠ, ZDEŇKA

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium)

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium) Slezská unverzta v Opavě Obchodně podnkatelská fakulta v Karvné STATISTIKA (pro navazující magsterské studum) Jaroslav Ramík Karvná 007 Jaroslav Ramík, Statstka Jaroslav Ramík, Statstka 3 OBSAH MODULU

Více

Numerické metody optimalizace

Numerické metody optimalizace Numercké metody optmalzace Numercal optmzaton methods Bc. Mloš Jurek Dplomová práce 2007 Abstrakt Abstrakt česky Optmalzační metody představují vyhledávání etrémů reálných funkcí jedné nebo více reálných

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

9.12.2009. Metody analýzy rizika. Předběžné hodnocení rizika. Kontrolní seznam procesních rizik. Bezpečnostní posudek

9.12.2009. Metody analýzy rizika. Předběžné hodnocení rizika. Kontrolní seznam procesních rizik. Bezpečnostní posudek 9.2.29 Bezpečnost chemckých výrob N Petr Zámostný místnost: A-72a tel.: 4222 e-mal: petr.zamostny@vscht.cz Analýza rzka Vymezení pojmu rzko Metody analýzy rzka Prncp analýzy rzka Struktura rzka spojeného

Více

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory Mechatroncké systémy s elektroncky komutovaným motory 1. EC motor Uvedený motor je zvláštním typem synchronního motoru nazývaný též bezkartáčovým stejnosměrným motorem (anglcky Brushless Drect Current

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně 9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra Matematky Řetězové zlomky Dplomová práce Brno 04 Autor práce: Bc. Petra Dvořáčková Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Bblografcký záznam

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

ANALÝZA RIZIKA A CITLIVOSTI JAKO SOUČÁST STUDIE PROVEDITELNOSTI 1. ČÁST

ANALÝZA RIZIKA A CITLIVOSTI JAKO SOUČÁST STUDIE PROVEDITELNOSTI 1. ČÁST Abstrakt ANALÝZA ZKA A CTLOST JAKO SOUČÁST STUDE POVEDTELNOST 1. ČÁST Jří Marek Úspěšnost nvestce závsí na tom, jaké nejstoty ovlvní její předpokládaný žvotní cyklus. Pomocí managementu rzka a analýzy

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Ing. Barbora Chmelíková 1

Ing. Barbora Chmelíková 1 Numercká gramotnost 1 Obsah BUDOUCÍ A SOUČASNÁ HODNOTA TYPY ÚROČENÍ JEDNODUCHÉ vs SLOŽENÉ ÚROČENÍ JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ SLOŽENÉ ÚROČENÍ FREKVENCE ÚROČENÍ KOMBINOVANÉ ÚROČENÍ EFEKTIVNÍ ÚROKOVÁ MÍRA SPOJITÉ

Více

Finanční matematika. Téma: Důchody. Současná hodnota anuity

Finanční matematika. Téma: Důchody. Současná hodnota anuity Fnanční matematka Téma: Důchody Současná hodnota anuty Důchody Defnce: Důchodem se rozumí pravdelné platby ve stejné výš, tzv. anuty Pozor na nejednotnost termnologe Různé možnost rozdělení důchodů Členění

Více

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku Využtí logstcké regrese pro hodnocení omaku Vladmír Bazík Úvod Jedním z prmárních proevů textlí e omak. Jedná se o poct který vyvolá textle př kontaktu s pokožkou. Je to ntegrální psychofyzkální vlastnost

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta stavební Ústav stavební mechanky Doc. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D. MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES TEZE

Více

Transformace dat a počítačově intenzivní metody

Transformace dat a počítačově intenzivní metody Transformace dat a počítačově ntenzvní metody Jří Mltký Katedra textlních materálů, Textlní fakulta, Techncká unversta v Lberc, Lberec, e- mal jr.mltky@vslb.cz Mlan Meloun, Katedra analytcké cheme, Unversta

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

ANALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V INVESTIČNÍM PROCESU

ANALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V INVESTIČNÍM PROCESU AALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V IVESTIČÍM PROCESU Jří Marek ) ABSTRAKT Príspevek nformuje o uplatnene manažmentu rzka v nvestčnom procese. Uvádza príklad kalkulace rzka a analýzu jeho ctlvost. Kľúčové

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

radiační ochrana Státní úřad pro jadernou bezpečnost

radiační ochrana Státní úřad pro jadernou bezpečnost Státní úřad pro jadernou bezpečnost radační ochrana DOPORUČENÍ Měření a hodnocení obsahu přírodních radonukldů ve vodě dodávané k veřejnému zásobování ptnou vodou Rev. 1 SÚJB únor 2012 Předmluva Zákon

Více

STATISTIKA jako vědní obor

STATISTIKA jako vědní obor STATISTIKA jako vědní obor Cílem statistického zpracování dat je podání informace o vlastnostech a zákonitostech hromadných jevů. Statistika se zabývá popisem hromadných jevů - deskriptivní, popisná statistika

Více

MĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY

MĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY Úloha č. MĚŘENÍ NDKČNOST A KAPATY ÚKO MĚŘENÍ:. Změřte ndkčnost cívky bez jádra z její mpedance a stanovte nejstot měření.. Změřte na Maxwellově můstk ndkčnost cívky a rčete nejstot měření. Porovnejte výsledky

Více

Pracovní list č. 3: Pracujeme s kategorizovanými daty

Pracovní list č. 3: Pracujeme s kategorizovanými daty Pracovní lt č. 3: Pracujeme kategorzovaným daty Cíl cvčení: Tento pracovní lt je určen pro cvčení ke 3. a. přednášce předmětu Kvanttatvní metody B (.1 Třídění tattckých dat a. Číelné charaktertky tattckých

Více

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM CÍLE KAPITOLY Využívat pokročilé možnosti formátování, jako je podmíněné formátování, používat vlastní formát čísel a umět pracovat s listy. Používat

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky STATISTIKA I.

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky STATISTIKA I. Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky STATISTIKA I. pro kombinované a distanční studium Radim Briš Martina Litschmannová

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

Role experimentu ve vědecké metodě

Role experimentu ve vědecké metodě Role experimentu ve vědecké metodě Erika Mechlová Ostravská univerzita v Ostravě Obsah Úvod 1. Pozorování 2. Uvedení a formulace problému. Sbírání informací 3. Stanovení hypotéz řešení problému 4. Provedení

Více

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY . přednáška EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY Ekonomcko matematcké metody (též se užívá název operační analýza) sou metody s matematckým základem, využívané především v ekonomcké oblast, v oblast řízení a

Více

Matematika IV, Numerické metody

Matematika IV, Numerické metody Interaktvní sbírka příkladů pro předmět Matematka IV, Numercké metody Josef Dalík, Veronka Chrastnová, Oto Přbyl, Hana Šafářová, Pavel Špaček Vysoké učení techncké v Brně, Fakulta stavební Ústav matematky

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

ARITMETICKOLOGICKÁ JEDNOTKA

ARITMETICKOLOGICKÁ JEDNOTKA Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola elektrotechncká Božetěchova 3, Olomouc Třída : M4 Školní rok : 2000 / 2001 ARITMETICKOLOGICKÁ JEDNOTKA III. Praktcká úloha z předmětu elektroncké počítače

Více

Průměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot.

Průměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot. Průměr Průměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot. Co je to průměr # Průměrem se rozumí klasický aritmetický průměr sledovaných hodnot. Můžeme si pro

Více

( x ) 2 ( ) 10.2.15 Úlohy na hledání extrémů. Předpoklady: 10211

( x ) 2 ( ) 10.2.15 Úlohy na hledání extrémů. Předpoklady: 10211 10..15 Úlohy na hledání etrémů Předpoklady: 1011 Pedagogcká poznámka: Kromě příkladů a není pro studenty problém vypočítat dervace funkcí. Problémem je hlavně nalezení těchto funkčních závslostí, tam postupujeme

Více

Spojité regulátory - 1 -

Spojité regulátory - 1 - Spojté regulátory - 1 - SPOJIÉ EGULÁOY Nespojté regulátory mají většnou jednoduchou konstrukc a jsou levné, ale jsou nevhodné tím, že neudržují regulovanou velčnu přesně na žádané hodnotě, neboť regulovaná

Více

Solventnost II. Standardní vzorec pro výpočet solventnostního kapitálového požadavku. Iva Justová

Solventnost II. Standardní vzorec pro výpočet solventnostního kapitálového požadavku. Iva Justová 2. část Solventnost II Standardní vzorec pro výpočet solventnostního kaptálového požadavku Iva Justová Osnova Úvod Standardní vzorec Rzko selhání protstrany Závěr Vstupní údaje Vašíčkovo portfolo Alternatvní

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT

NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT J. Tuma Summary: The paper deals wth dfferentaton and ntegraton of sampled tme sgnals n the frequency doman usng the FFT and

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Základy finanční matematiky

Základy finanční matematiky Hodna 38 Strana 1/10 Gymnázum Budějovcká Voltelný předmět Ekonome - jednoletý BLOK ČÍSLO 6 Základy fnanční matematky ředpokládaný počet : 5 hodn oužtá lteratura : Frantšek Freberg Fnanční teore a fnancování

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA)

4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA) 4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA) Průzkumová analýza vícerozměrných dat je stejně jako u jednorozměrných dat založena na vyšetření grafckých dagnostk. K tomuto účelu se využívá různých technk

Více

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně V tomto článku bychom se rádi věnovali otázce, jak poznat již z grafického náhledu vztahy a závislosti v analýze rozptylu. Pomocí následujících grafických zobrazení

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

Sázíte-li v loterii, je to hazard. Hrajete-li poker, je to zábava. Obchodujete-li na burze, je to ekonomie. Vidíte ten rozdíl?

Sázíte-li v loterii, je to hazard. Hrajete-li poker, je to zábava. Obchodujete-li na burze, je to ekonomie. Vidíte ten rozdíl? 1.1 Základní statistické pojmy a metody Sázíte-li v loterii, je to hazard. Hrajete-li poker, je to zábava. Obchodujete-li na burze, je to ekonomie. Vidíte ten rozdíl? 1 Co se dozvíte Co je to statistika

Více

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA ILUSTRAČNÍ TEST MAIZD4C0T0 Pokyny k hodnocení MATEMATIKA Pokyny k hodnocení úlohy Vyznačte na číselné ose obraz čísla 0,6. 0,6 3 apod. NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ Chybně vyznačený obraz, resp. není zřejmé, kde

Více

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý Autor: Mgr. Dana Kaprálová VZORCE A VÝPOČTY Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení ze 4ST201. Na případné faktické chyby v této prezentaci mě prosím upozorněte. Děkuji Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není v nich obsaženo

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Neřešené příklady k procvičení

Neřešené příklady k procvičení Vysoká škola báňská - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky Katedra aplkované matematky Neřešené příklady k procvčení Lenka Šmonová Ostrava, 2006 Následující sbírka neřešených příkladů

Více

Matematické modelování dopravního proudu

Matematické modelování dopravního proudu Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení

Více

POLYMERNÍ BETONY Jiří Minster Ústav teoretické a aplikované mechaniky AV ČR, v. v. i.

POLYMERNÍ BETONY Jiří Minster Ústav teoretické a aplikované mechaniky AV ČR, v. v. i. Odborná skupna Mechanka kompoztních materálů a konstrukcí České společnost pro mechanku s podporou frmy Letov letecká výroba, s. r. o. a Ústavu teoretcké a aplkované mechanky AV ČR v. v.. Semnář KOMPOZITY

Více

MODEL LÉČBY CHRONICKÉHO SELHÁNÍ LEDVIN. The End Stage Renal Disease Treatment Model

MODEL LÉČBY CHRONICKÉHO SELHÁNÍ LEDVIN. The End Stage Renal Disease Treatment Model ROČNÍK LXXII, 2003, č. 1 VOJENSKÉ ZDRAVOTNICKÉ LISTY 5 MODEL LÉČBY CHRONICKÉHO SELHÁNÍ LEDVIN 1 Karel ANTOŠ, 2 Hana SKALSKÁ, 1 Bruno JEŽEK, 1 Mroslav PROCHÁZKA, 1 Roman PRYMULA 1 Vojenská lékařská akademe

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace Tetlní zkušebnctv ebnctví II Jří Mltky Škály měření epřímá měření Teore měření Kalbrace Základní pojmy I PRAVDĚPODOBOST Jev A, byl sledován v m pokusech. astal celkem m a krát. Relatvní četnost výskytu

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

ANALÝZA VLIVU DEMOGRAFICKÝCH FAKTORŮ NA SPOKOJENOST ZÁKAZNÍKŮ VE VYBRANÉ LÉKÁRNĚ S VYUŽITÍM LOGISTICKÉ REGRESE

ANALÝZA VLIVU DEMOGRAFICKÝCH FAKTORŮ NA SPOKOJENOST ZÁKAZNÍKŮ VE VYBRANÉ LÉKÁRNĚ S VYUŽITÍM LOGISTICKÉ REGRESE ANALÝZA VLIVU DEMOGRAFICKÝCH FAKTORŮ NA SPOKOJENOST ZÁKAZNÍKŮ VE VYBRANÉ LÉKÁRNĚ S VYUŽITÍM LOGISTICKÉ REGRESE Jana Valečková 1 1 Vysoká škola báňská-techncká unverzta Ostrava, Ekonomcká fakulta, Sokolská

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Mějme kategoriální proměnné X a Y. Vytvoříme tzv. kontingenční tabulku. Budeme tedy testovat hypotézu

Více

Hodnocení účinnosti údržby

Hodnocení účinnosti údržby Hodnocení účnnost ekonomka, pojmy, základní nástroje a hodnocení Náklady na údržbu jsou nutné k obnovení funkce výrobního zařízení Je potřeba se zabývat ekonomckou efektvností a hodnocením Je třeba řešt

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

ALGORITMUS SILOVÉ METODY

ALGORITMUS SILOVÉ METODY ALGORITMUS SILOVÉ METODY CONSISTENT DEFORMATION METHOD ALGORITHM Petr Frantík 1, Mchal Štafa, Tomáš Pal 3 Abstrakt Příspěvek se věnuje popsu algortmzace slové metody sloužící pro výpočet statcky neurčtých

Více

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc.

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc. Unverzta Pardubce Fakulta ekonomcko-správní Modelování predkce časových řad návštěvnost web domény pomocí SVM Bc. Vlastml Flegl Dplomová práce 2011 Prohlašuj: Tuto prác jsem vypracoval samostatně. Veškeré

Více

Posuzování dynamiky pohybu drážních vozidel ze záznamu jejich jízdy

Posuzování dynamiky pohybu drážních vozidel ze záznamu jejich jízdy Posuzování dynamky pohybu drážních vozdel ze záznamu jejch jízdy Ing. Jaromír Šroký, Ph.D. ŠB-Techncká unverzta Ostrava, Fakulta strojní, Insttut dopravy, tel: +40 597 34 375, jaromr.sroky@vsb.cz Úvod

Více