LWS při heteroskedasticitě

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "LWS při heteroskedasticitě"

Transkript

1 Stochastické modelování v ekonomii a financích Petr Jonáš 7. prosince 2009

2 Obsah

3 1 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených náhodných veličin (i.n.i.d.) s E(X i e i) = 0.

4 2 Předpoklad 2: (a) Existují konečné kladné konstanty δ, takové, že pro všechna i platí (b) E e 2 i 1+δ <, E X ij X ik 1+δ < pro j, k = 1..., K. M n = 1 n n i=1 EX i X i M n je regulární pro dostatečně velké n takové, že det M n > δ > 0

5 3 Předpoklad 3: (a) Existují konečné kladné konstanty δ, takové, že pro všechna i platí (b) E e 2 i X ij X ik 1+δ <, j, k = 1..., K. V n = 1 n n i=1 Ee 2 i X i X i V n je regulární pro dostatečně velké n takové, že det V n > δ > 0

6 4 Označme ˆβ n = (X X ) 1 X Y Lemma 1: Za platnosti předpokladů 1 a 2 ˆβ n s.j. β 0.

7 5 : Za platnosti předpokladů 1, 2 a 3 n V 1/2 n M n ( ˆβ n β 0 ) A N(0, I ).

8 6 Důkaz Za platnosti předpokladu 1: X i e i nezávislé + E(X i e i ) = 0. Uvažujme n 1/2 n i=1 X ie i ko matice V n = 1 n n i=1 Ee 2 i X i X i je positivně definitní a můžeme definovat V 1/2 V 1/2 n. n má stejnoměrně omezené prvky E e i X ij 2+δ <.

9 7 Abychom mohli použít CLV (Ljapunov), potřebujeme λ R K ukázat n 1/2 i=1 V E λ n X i e i 2+δ 0. n 2+δ 2 Plyne z Minkowského nerovnosti můžeme použít CLT n V 1/2 n Nyní (rovnost platí s.j.) n A X i e i N(0, I ). i=1 = ( 1/2 X X V n Mn n n V 1/2 n Mn ( ˆβ n β 0 ) = ) 1 1/2 1/2 V n n V n n X i e i. i=1

10 8 Theorem 3.1, (White, 1980b) Necht pro každé n 1 X (n) 1,..., X n (n) náhodné veličiny v R p. V n = 1 n n i=1 jsou nezávislé centrované je positivně definitní pro dostatečně velká n. Necht pro dostatečně velká n je T n 2 = V n 1 symetrická positivně definitní matice. Jestliže existuje δ > 0 pro všechna λ R p, pak n i=1 E λ T n X (n) i 2+δ n 2+δ 2 (n) EX i X (n) i 0 1 n n i=1 T n X (n) i A N(0, I p ).

11 9 Použitím pomocného lemma 3.2 z článku (White, 1980b): Z důkazu lemma 1: ( ) 1/2 X 1 X 1/2 V n Mn V n I P 0 n 1/2 n V n Mn ( ˆβ n β 0 ) n 1/2 1/2 V n n X i e i P 0 i=1 Použitím pomocného lemma 3.3 z článku (White, 1980b): n V 1/2 n M n (β n β 0 ) A N(0, I ).

12 10 Theorem 3.2, (White, 1980b) Necht g : R K R 1 je spojitá funkce a X ni X ni P 0, i = 1, 2,..., K. Náhodné vektory X n = ( X n1,..., X nk ) leží uvnitř kompaktní podmnožiny R K. Potom g(x n ) g( X n ) P 0.

13 Uvažujme lineární regresní model Y i = X i β 0 + e i, i = 1,..., n, (1) kde platí e t inid, e t = 0, vare t = σ 2 t (0, K), K <, t. ˆβ n,w LWS = arg min β R n ( ) s 1 w r(s) 2 (β). (2) n s=1 Postupně se dostaneme až k n ( ˆβ n,w LWS = arg min w β R kde F (n) β (v) = 1 n s=1 n i=1 F (n) β ) ( r s(β) ) rs 2 (β), (3) I( Y i X i β < v) (4) 11

14 12 Problém: Rezidua nejsou stejně rozdělená, pro další účely zavedeme následující značení: F β,t (u) := 1 T T F β,t (u) t=1 kde [ ] F β,t (u) = Y t Xt β < u.

15 13 Označme V i = (X i2,..., X ip ). Předpoklad V1 (distribuce): (a) Posloupnost { (Vt, e t ) } je posloupnost nezávislých t=1 p-dimenzionálních náhodných veličin rozdělených podle distribuční funkce F V,e (v, r), která je absolutně spojitá, její hustota f V,e (v, r) je omezená. (b) Pro marginální hustotu f V (v) platí M := sup{ v : f V (v) > 0} <.

16 14 Předpoklad V2 (momenty): (a) t platí: E[e t ] = 0, E[V t ] = 0. (b) t existují druhé momenty náhodných veličin V t a e t.

17 15 Předpoklad V3 (váhová funkce): Váhová funkce w : [0, 1] [0, 1] je - absolutně spojitá, - nerostoucí, - w(0) = 1, - α [ [0, 1] existuje derivace w (α) a w (α) L <, - E w ( F β (0),t ( e t ) ) ] X t Xt je pozitivně definitní pro všechna t a dále existují konstanty 0 < δ <, 0 < M < takové, že pro všechna t platí [ E w ( F β,t ( e t ) ) et 2 1+δ] < M. a [ w ( E F β,t ( e t ) ) ] X tj X tk 1+δ < M, j, k = 1..., p.

18 16 Dále platí M T = 1 T T E t=1 [ w ( F β,t ( e t ) ) X t X t ] je regulární pro dostatečně velká T a det M T > δ > 0.

19 17 Předpoklad V4 (jednoznačnost řešení): Pro každé t existuje právě jedno řešení β (0) vektorové rovnice [ β E w ( F β,t ( r t (β) ) ) ] X t (e t Xt β) = 0 v neznámé β.

20 18 Předpoklad V5 (Vlastnosti hustoty reziduí): Dále f e (r) existuje a je omezená konstantou U e.

21 19 Předpoklad V6 (Lipschitz. derivace váhové funkce): Derivace w (α) váhové funkce w je Lipschitzovská 1. řádu s konstantou J w, tj. α, α [0, 1] : w (α) w ( α) J w α α.

22 20 Předpoklad V7 (Nezávislost): Posloupnosti {V t } t=1 a {e t} t=1 jsou nezávislé. Dále platí ( a R + ) ( a > 0) : ( t) : inf {g t(z)} > L > 0, {z (a,a+ a)} kde g t (z) je hustota G t (z) := P [ e 2 t < z ].

23 21 Předpoklad V8 (Moment): zahrnut ve (V3). Existuje q > 1 tak, že pro všechna t je E[ e t 2q ] <, nebot platí (V3) [ E w ( F β,t ( e t ) ) et 2 1+δ] < a funkce w je omezená

24 22 Předpoklad V9 (Moment): (a) Existují konečné kladné konstanty δ, takové, že pro všechna i platí ( E w ( F β,t ( e i ) ) 2 e 2 i X ij X ik 1+δ) <, j, k = 1..., K. (5) (b) V n = 1 n n i=1 Ew ( F β,t ( e i ) ) 2 e 2 i X i X i (6) je regulární pro dostatečně velká n a det V n > δ > 0.

25 23 Asymptotická reprezentace LWS Necht jsou splněny předpoklady (V1) - (V9) a necht Q = lim T 1 T [ t=1 w( F β T 0,T ( e t )) X t Xt ]. Potom = Q 1 1 T T t=1 T ( βlws T β 0) = w( F β 0,T ( e t )) X t e t + o p (1). T 1 T 2008) t=1 [ w( F β 0,T ( e t )) X t X t ] = M T s.j. Q; viz (Víšek,

26 24 : Za platnosti předpokladů (V1) - (V9) n V 1/2 n M n ( β LWS n β 0 ) A N(0, I ).

27 25 Důkaz Za platnosti předpokladu (V7): w( F β 0,n( e i ))X i e i nezávislé + (V4) E(w( F β 0,n( e i ))X i e i ) = 0. Uvažujme n 1/2 n i=1 w( F β 0,n( e i ))X i e i ko matice V n = 1 n n i=1 Ew 2 ( F β 0,n( e i ))e 2 i X i X i je positivně definitní a můžeme definovat V n 1/2 má stejnoměrně omezené prvky E w( F β 0,n( e i ))e i X ij 2+δ <. (V9) V 1/2 n.

28 26 Abychom mohli použít CLV (Ljapunov), potřebujeme λ R K ukázat n 1/2 i=1 V E λ n w( F β 0,n( e i ))X i e i 2+δ 0. n 2+δ 2 Plyne z Minkowského nerovnosti můžeme použít CLT Nyní n V 1/2 n n A w( F β 0,n( e i ))X i e i N(0, I ). i=1 n V 1/2 n ( + V n 1/2 X WX M n n M n ( β LWS n β 0 ) = V 1/2 n M n o p (1)+ ) 1 V n 1/2 n V n 1/2 n w( F β 0,n( e i ))X i e i. i=1

29 27 Použitím pomocného lemma 3.2 z článku (White, 1980b): ( ) V n 1/2 X 1 WX M n V n 1/2 I P 0 n Z asymptotické reprezentace LWS: n V 1/2 n M n ( β n LWS β 0 ) n 1/2 V n 1/2 n w( F β 0,n( e i ))X i e i P 0 i=1 Použitím pomocného lemma 3.3 z článku (White, 1980b): n V 1/2 n M n ( β LWS n β 0 ) A N(0, I ).

30 28 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených náhodných veličin (i.n.i.d.) s E(X i e i) = 0.

31 29 Předpoklad 2: (a) Existují konečné kladné konstanty δ, takové, že pro všechna i platí (b) E e 2 i 1+δ <, E X ij X ik 1+δ < pro j, k = 1..., K. M n = 1 n n i=1 EX i X i M n je regulární pro dostatečně velké n takové, že det M n > δ > 0

32 30 Předpoklad 3: (a) Existují konečné kladné konstanty δ, takové, že pro všechna i platí (b) E e 2 i X ij X ik 1+δ <, j, k = 1..., K. V n = 1 n n i=1 Ee 2 i X i X i V n je regulární pro dostatečně velké n takové, že det V n > δ > 0

33 31 Označme ˆβ n = (X X ) 1 X Y Lemma 1: Za platnosti předpokladů 1 a 2 ˆβ n s.j. β 0.

34 32 : Za platnosti předpokladů 1, 2 a 3 n V 1/2 n M n ( ˆβ n β 0 ) A N(0, I ).

35 33 Přípomenutí Pokud bychom uvažovali model s pevnými regresory, asymptotická ko matice odhadu ˆβ n : M n 1 V n M n 1 = ( ) X 1 ( ) ( ) X X ΩX X 1 X, n n n kde Ω je n n diagonální matice s prvky σ 2 i = E(e 2 i ). Potřebujeme konzistentní odhad!

36 34 Problém: Jak odhadnout V n = ( ) X ΩX? n n parametrů σi 2 z n pozorování? NE! Potřebujeme odhadnout (v modelu s náhodnými regresory) 1 n n i=1 Ee 2 i X i X i.

37 35 Víme: je konzistentním odhadem 1 n 1 n n i=1 n i=1 e i nepozorovatelné nahradíme e 2 i X i X i Ee 2 i X i X i. ê in = Y i X i ˆβ n. ˆV n = 1 n n i=1 ê 2 inx i X i

38 36 Předpoklad 4: Existují konečné kladné konstanty δ a takové, že pro všechna i platí E X 2 ij X ik X il 1+δ < pro j, k, l = 1..., K.

39 37 Věta 1: Za platnosti předpokladů 1,2,3(a) a 4 ˆV n V n s.j. 0.

40 38 Důkaz: β 0 je konečné existuje K, kompaktní okoĺı β 0 takové, že (β j β 0j ) je konečné (β K). Dále existuje konečné Potom β : (β j β 0j ) 2 ( β j β 0j ) 2, β K. X 2 ij (β j β 0j ) 2 X ik X il X 2 ij ( β j β 0j ) 2 X ik X il. (Y i X i β) 2 X ik X il = (e i X i (β β 0 )) 2 X ik X il

41 39 Použitím nerovnosti a + b r 2 r 1 a r + 2 r 1 b r r 1. Existují konečné kladné konstanty λ 0,..., λ K (Y i X i β) 2 X ik X il λ 0 (e i ) 2 X ik X il + λ 0 e 2 i X ik X il + K j=1 K j=1 λ j (X 2 ij (β j β 0j )) 2 X ik X il λ j X 2 ij X ik X il ( β j β 0j ) 2 m kl (X i, e i ). (Y i X i β) 2 X ik X il m kl (X i, e i ).

42 40 Existují konečné kladné konstanty µ 0,..., µ K E m kl (X i, e i ) 1+δ µ 0 λ 1+δ 0 E e 2 i X ik X il 1+δ + + K j=1 µ j λ 1+δ j X 2 ij X ik X il 1+δ ( β j β 0j ) 2+2δ. Stejně omezené E e 2 i X ikx il 1+δ (3a) E X 2 ij X ikx il 1+δ, j = 1..., K (4) a λ 0,..., λ K, µ 0,..., µ K a ( β 1 β 01 ) 2+2δ,....( β K β 0K ) 2+2δ jsou konečné kladné konstanty E m kl (X i, e i ) 1+δ je stejně omezené na K.

43 41 Použitím pomocného lemma 2.3 z článku (White, 1980b): sup β K K n 1 (Y i X i β) 2 X ik X il n 1 j=1 K j=1 E(Y i X i β) 2 X ik X il s.j. 0. Protože ˆβ n s.j. β 0 použitím lemma 2.6 z článku (White, 1980b): K n 1 (Y i X ˆβ n ) 2 X ik X il n 1 j=1 i K j=1 Ee 2 i X ik X il s.j. 0. tzn. ˆV n V n s.j. 0.

44 42 Pro LWS půjde dokázat obdobné tvrzení. Připomeňme: a označme ˆV LWS n V n = 1 n = 1 n n i=1 Ew 2 ( F β 0,n( e i ))e 2 i X i X i n w 2 (F (n) i=1 β LWS ( ri ))(ri LWS ) 2 X i X i

45 43 Věta 1 ˆV LWS n V n P 0.

46 44 Důkaz: Je obdobný jako Whiteův důkaz (Theorem 1, (White, 1980a)). Rozdíl je v posledním kroku. Pro LWS nemáme ˆβ s.j. n β 0, ale pouze ˆβ n LWS P β 0. Pokud se omezíme na množinu K ɛ : P(K ɛ ) > 1 ɛ a ˆβ n LWS (ω) β 0 ω K ɛ, pak už můžeme použít Whiteův důkaz a dostaneme ˆV LWS n V n P 0.

47 Víšek, J. Á. (2008). Asymptotic representaion of the least weighted squares. Preprint. White, H. (1980a). A heteroskedasticity-consistent covariance matrix estimator and a direct test for heteroskedasticity. Econometrica. White, H. (1980b). Nonlinear regression on cross-section data. Econometrica. 45

48 45 Děkuji za pozornost

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Odhady Parametrů Lineární Regrese

Odhady Parametrů Lineární Regrese Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa

Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor

Více

Matematika pro informatiky

Matematika pro informatiky (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce

Více

Univerzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce

Univerzita Karlova v Praze   procesy II. Zuzana. funkce Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 11.-12.3. 2010 1 Outline Lemma 1: 1. Nechť µ, ν jsou konečné míry na borelovských

Více

Matematická analýza 4

Matematická analýza 4 Matematická analýza 4 LS 2015-16 Miroslav Zelený 18. Metrické prostory III 19. Křivkový a plošný integrál 20. Absolutně spoj. fce a fce s konečnou variací 21. Fourierovy řady 18. Metrické prostory III

Více

Univerzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. Predikce

Univerzita Karlova v Praze   procesy II. Zuzana. Predikce ne ve Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 23.4.-7.5. 2010 ne ve 1 ne Outline 2 ve ne ve Definice: Nechť H je Hilbertův

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost

Více

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3! Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších

AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i

Více

FREDHOLMOVA ALTERNATIVA

FREDHOLMOVA ALTERNATIVA FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice

Více

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013 Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic

1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic 1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic Denice. Funkci x : I R n, I otev ený interval, nazveme e²ením (DR), jestliºe 1. t I : (x(t), t) Ω 2. t I : x (t) vlastní 3. t I : x (t) = f(x(t), t) Lemma

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

Pojem endogenity a exogenity

Pojem endogenity a exogenity 22. 4. 2010 Úvodní definice Klasická definice Exogenita a endogenita není jednoznačná, přesto se nejčastěji pracuje s následující definicí. Proměnná x vysvětlující proměnnou y je exogenní, pokud L(y x)

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regresní analýza - motivace Základní úlohou regresní analýzy je nalezení vhodného modelu studované závislosti. Je nutné věnovat velkou pozornost tomu aby byla modelována REÁLNÁ

Více

Definice : Definice :

Definice : Definice : KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

Numerické metody optimalizace - úvod

Numerické metody optimalizace - úvod Numerické metody optimalizace - úvod Petr Tichý 16. února 2015 1 Organizace přednášek a cvičení 13 přednášek a cvičení. Zápočet: úloha programování a testování úloh v Matlabu. Další informace na blogu

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

5 Časové řady. Definice 16 Posloupnost náhodných veličin {X t, t T } nazveme slabě stacionární, pokud

5 Časové řady. Definice 16 Posloupnost náhodných veličin {X t, t T } nazveme slabě stacionární, pokud 5 Časové řady Časovou řadou rozumíme posloupnost reálných náhodných veličin X 1,..., X n, přičemž indexy t = 1,..., n interpretujeme jako časové okamžiky. Někdy však uvažujeme i nekonečné posloupnosti

Více

Matematika V. Dynamická optimalizace

Matematika V. Dynamická optimalizace Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

AVDAT Vektory a matice

AVDAT Vektory a matice AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

AVDAT Nelineární regresní model

AVDAT Nelineární regresní model AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných

Více

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě

Více

Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda

Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových

Více

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

Matice lineárních zobrazení

Matice lineárních zobrazení Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

NMSA202 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA POZNÁMKY O ZKOUŠCE

NMSA202 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA POZNÁMKY O ZKOUŠCE Datum poslední aktualizace: 13. června 2014 NMSA202 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA POZNÁMKY O ZKOUŠCE Zkouška má písemnou a ústní část. Nejdříve je písemná část, která se dále dělí na početní

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

Waldovy testy, vlastnosti a Operační charakteristika

Waldovy testy, vlastnosti a Operační charakteristika Waldovy testy, vlastnosti a Operační charakteristika Adéla Zavřelová 11. března 2018 Adéla Zavřelová Waldovy testy 11. března 2018 1 / 21 Úvod Úloha H 0 : náhodná veličina X má rozdělení s hustotou f 0

Více

Apriorní rozdělení. Jan Kracík.

Apriorní rozdělení. Jan Kracík. Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Radka Picková Transformace náhodných veličin

Radka Picková Transformace náhodných veličin Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Radka Picková Transformace náhodných veličin Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr Zdeněk

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální

Více

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 121 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z kapitoly 5) Definice 121 Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru Návod k řešení: Pokud g(c)

Více

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO

Více

(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.

(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus. (1 [B] Nechť A : R 6 R 6 je lineární zobrazební takové, že A 26 = I. Najděte lineární prostory V 1, V 2 a V 3 takové, že R 6 = V 1 V 2 V 3 dim V 1 = dim V 2 = dim V 3 AV 1 V 1, AV 2 V 2 a AV 3 V 3 (2 [B]

Více

1. Obyčejné diferenciální rovnice

1. Obyčejné diferenciální rovnice & 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

odpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných

odpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných 8. Regresní a korelační analýza Problém: hledání, zkoumání a hodnocení souvislostí, závislostí mezi dvěma a více statistickými znaky (veličinami). Typy závislostí: pevné a volné Pevná závislost každé hodnotě

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více