LWS při heteroskedasticitě
|
|
- Miroslava Burešová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Stochastické modelování v ekonomii a financích Petr Jonáš 7. prosince 2009
2 Obsah
3 1 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených náhodných veličin (i.n.i.d.) s E(X i e i) = 0.
4 2 Předpoklad 2: (a) Existují konečné kladné konstanty δ, takové, že pro všechna i platí (b) E e 2 i 1+δ <, E X ij X ik 1+δ < pro j, k = 1..., K. M n = 1 n n i=1 EX i X i M n je regulární pro dostatečně velké n takové, že det M n > δ > 0
5 3 Předpoklad 3: (a) Existují konečné kladné konstanty δ, takové, že pro všechna i platí (b) E e 2 i X ij X ik 1+δ <, j, k = 1..., K. V n = 1 n n i=1 Ee 2 i X i X i V n je regulární pro dostatečně velké n takové, že det V n > δ > 0
6 4 Označme ˆβ n = (X X ) 1 X Y Lemma 1: Za platnosti předpokladů 1 a 2 ˆβ n s.j. β 0.
7 5 : Za platnosti předpokladů 1, 2 a 3 n V 1/2 n M n ( ˆβ n β 0 ) A N(0, I ).
8 6 Důkaz Za platnosti předpokladu 1: X i e i nezávislé + E(X i e i ) = 0. Uvažujme n 1/2 n i=1 X ie i ko matice V n = 1 n n i=1 Ee 2 i X i X i je positivně definitní a můžeme definovat V 1/2 V 1/2 n. n má stejnoměrně omezené prvky E e i X ij 2+δ <.
9 7 Abychom mohli použít CLV (Ljapunov), potřebujeme λ R K ukázat n 1/2 i=1 V E λ n X i e i 2+δ 0. n 2+δ 2 Plyne z Minkowského nerovnosti můžeme použít CLT n V 1/2 n Nyní (rovnost platí s.j.) n A X i e i N(0, I ). i=1 = ( 1/2 X X V n Mn n n V 1/2 n Mn ( ˆβ n β 0 ) = ) 1 1/2 1/2 V n n V n n X i e i. i=1
10 8 Theorem 3.1, (White, 1980b) Necht pro každé n 1 X (n) 1,..., X n (n) náhodné veličiny v R p. V n = 1 n n i=1 jsou nezávislé centrované je positivně definitní pro dostatečně velká n. Necht pro dostatečně velká n je T n 2 = V n 1 symetrická positivně definitní matice. Jestliže existuje δ > 0 pro všechna λ R p, pak n i=1 E λ T n X (n) i 2+δ n 2+δ 2 (n) EX i X (n) i 0 1 n n i=1 T n X (n) i A N(0, I p ).
11 9 Použitím pomocného lemma 3.2 z článku (White, 1980b): Z důkazu lemma 1: ( ) 1/2 X 1 X 1/2 V n Mn V n I P 0 n 1/2 n V n Mn ( ˆβ n β 0 ) n 1/2 1/2 V n n X i e i P 0 i=1 Použitím pomocného lemma 3.3 z článku (White, 1980b): n V 1/2 n M n (β n β 0 ) A N(0, I ).
12 10 Theorem 3.2, (White, 1980b) Necht g : R K R 1 je spojitá funkce a X ni X ni P 0, i = 1, 2,..., K. Náhodné vektory X n = ( X n1,..., X nk ) leží uvnitř kompaktní podmnožiny R K. Potom g(x n ) g( X n ) P 0.
13 Uvažujme lineární regresní model Y i = X i β 0 + e i, i = 1,..., n, (1) kde platí e t inid, e t = 0, vare t = σ 2 t (0, K), K <, t. ˆβ n,w LWS = arg min β R n ( ) s 1 w r(s) 2 (β). (2) n s=1 Postupně se dostaneme až k n ( ˆβ n,w LWS = arg min w β R kde F (n) β (v) = 1 n s=1 n i=1 F (n) β ) ( r s(β) ) rs 2 (β), (3) I( Y i X i β < v) (4) 11
14 12 Problém: Rezidua nejsou stejně rozdělená, pro další účely zavedeme následující značení: F β,t (u) := 1 T T F β,t (u) t=1 kde [ ] F β,t (u) = Y t Xt β < u.
15 13 Označme V i = (X i2,..., X ip ). Předpoklad V1 (distribuce): (a) Posloupnost { (Vt, e t ) } je posloupnost nezávislých t=1 p-dimenzionálních náhodných veličin rozdělených podle distribuční funkce F V,e (v, r), která je absolutně spojitá, její hustota f V,e (v, r) je omezená. (b) Pro marginální hustotu f V (v) platí M := sup{ v : f V (v) > 0} <.
16 14 Předpoklad V2 (momenty): (a) t platí: E[e t ] = 0, E[V t ] = 0. (b) t existují druhé momenty náhodných veličin V t a e t.
17 15 Předpoklad V3 (váhová funkce): Váhová funkce w : [0, 1] [0, 1] je - absolutně spojitá, - nerostoucí, - w(0) = 1, - α [ [0, 1] existuje derivace w (α) a w (α) L <, - E w ( F β (0),t ( e t ) ) ] X t Xt je pozitivně definitní pro všechna t a dále existují konstanty 0 < δ <, 0 < M < takové, že pro všechna t platí [ E w ( F β,t ( e t ) ) et 2 1+δ] < M. a [ w ( E F β,t ( e t ) ) ] X tj X tk 1+δ < M, j, k = 1..., p.
18 16 Dále platí M T = 1 T T E t=1 [ w ( F β,t ( e t ) ) X t X t ] je regulární pro dostatečně velká T a det M T > δ > 0.
19 17 Předpoklad V4 (jednoznačnost řešení): Pro každé t existuje právě jedno řešení β (0) vektorové rovnice [ β E w ( F β,t ( r t (β) ) ) ] X t (e t Xt β) = 0 v neznámé β.
20 18 Předpoklad V5 (Vlastnosti hustoty reziduí): Dále f e (r) existuje a je omezená konstantou U e.
21 19 Předpoklad V6 (Lipschitz. derivace váhové funkce): Derivace w (α) váhové funkce w je Lipschitzovská 1. řádu s konstantou J w, tj. α, α [0, 1] : w (α) w ( α) J w α α.
22 20 Předpoklad V7 (Nezávislost): Posloupnosti {V t } t=1 a {e t} t=1 jsou nezávislé. Dále platí ( a R + ) ( a > 0) : ( t) : inf {g t(z)} > L > 0, {z (a,a+ a)} kde g t (z) je hustota G t (z) := P [ e 2 t < z ].
23 21 Předpoklad V8 (Moment): zahrnut ve (V3). Existuje q > 1 tak, že pro všechna t je E[ e t 2q ] <, nebot platí (V3) [ E w ( F β,t ( e t ) ) et 2 1+δ] < a funkce w je omezená
24 22 Předpoklad V9 (Moment): (a) Existují konečné kladné konstanty δ, takové, že pro všechna i platí ( E w ( F β,t ( e i ) ) 2 e 2 i X ij X ik 1+δ) <, j, k = 1..., K. (5) (b) V n = 1 n n i=1 Ew ( F β,t ( e i ) ) 2 e 2 i X i X i (6) je regulární pro dostatečně velká n a det V n > δ > 0.
25 23 Asymptotická reprezentace LWS Necht jsou splněny předpoklady (V1) - (V9) a necht Q = lim T 1 T [ t=1 w( F β T 0,T ( e t )) X t Xt ]. Potom = Q 1 1 T T t=1 T ( βlws T β 0) = w( F β 0,T ( e t )) X t e t + o p (1). T 1 T 2008) t=1 [ w( F β 0,T ( e t )) X t X t ] = M T s.j. Q; viz (Víšek,
26 24 : Za platnosti předpokladů (V1) - (V9) n V 1/2 n M n ( β LWS n β 0 ) A N(0, I ).
27 25 Důkaz Za platnosti předpokladu (V7): w( F β 0,n( e i ))X i e i nezávislé + (V4) E(w( F β 0,n( e i ))X i e i ) = 0. Uvažujme n 1/2 n i=1 w( F β 0,n( e i ))X i e i ko matice V n = 1 n n i=1 Ew 2 ( F β 0,n( e i ))e 2 i X i X i je positivně definitní a můžeme definovat V n 1/2 má stejnoměrně omezené prvky E w( F β 0,n( e i ))e i X ij 2+δ <. (V9) V 1/2 n.
28 26 Abychom mohli použít CLV (Ljapunov), potřebujeme λ R K ukázat n 1/2 i=1 V E λ n w( F β 0,n( e i ))X i e i 2+δ 0. n 2+δ 2 Plyne z Minkowského nerovnosti můžeme použít CLT Nyní n V 1/2 n n A w( F β 0,n( e i ))X i e i N(0, I ). i=1 n V 1/2 n ( + V n 1/2 X WX M n n M n ( β LWS n β 0 ) = V 1/2 n M n o p (1)+ ) 1 V n 1/2 n V n 1/2 n w( F β 0,n( e i ))X i e i. i=1
29 27 Použitím pomocného lemma 3.2 z článku (White, 1980b): ( ) V n 1/2 X 1 WX M n V n 1/2 I P 0 n Z asymptotické reprezentace LWS: n V 1/2 n M n ( β n LWS β 0 ) n 1/2 V n 1/2 n w( F β 0,n( e i ))X i e i P 0 i=1 Použitím pomocného lemma 3.3 z článku (White, 1980b): n V 1/2 n M n ( β LWS n β 0 ) A N(0, I ).
30 28 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených náhodných veličin (i.n.i.d.) s E(X i e i) = 0.
31 29 Předpoklad 2: (a) Existují konečné kladné konstanty δ, takové, že pro všechna i platí (b) E e 2 i 1+δ <, E X ij X ik 1+δ < pro j, k = 1..., K. M n = 1 n n i=1 EX i X i M n je regulární pro dostatečně velké n takové, že det M n > δ > 0
32 30 Předpoklad 3: (a) Existují konečné kladné konstanty δ, takové, že pro všechna i platí (b) E e 2 i X ij X ik 1+δ <, j, k = 1..., K. V n = 1 n n i=1 Ee 2 i X i X i V n je regulární pro dostatečně velké n takové, že det V n > δ > 0
33 31 Označme ˆβ n = (X X ) 1 X Y Lemma 1: Za platnosti předpokladů 1 a 2 ˆβ n s.j. β 0.
34 32 : Za platnosti předpokladů 1, 2 a 3 n V 1/2 n M n ( ˆβ n β 0 ) A N(0, I ).
35 33 Přípomenutí Pokud bychom uvažovali model s pevnými regresory, asymptotická ko matice odhadu ˆβ n : M n 1 V n M n 1 = ( ) X 1 ( ) ( ) X X ΩX X 1 X, n n n kde Ω je n n diagonální matice s prvky σ 2 i = E(e 2 i ). Potřebujeme konzistentní odhad!
36 34 Problém: Jak odhadnout V n = ( ) X ΩX? n n parametrů σi 2 z n pozorování? NE! Potřebujeme odhadnout (v modelu s náhodnými regresory) 1 n n i=1 Ee 2 i X i X i.
37 35 Víme: je konzistentním odhadem 1 n 1 n n i=1 n i=1 e i nepozorovatelné nahradíme e 2 i X i X i Ee 2 i X i X i. ê in = Y i X i ˆβ n. ˆV n = 1 n n i=1 ê 2 inx i X i
38 36 Předpoklad 4: Existují konečné kladné konstanty δ a takové, že pro všechna i platí E X 2 ij X ik X il 1+δ < pro j, k, l = 1..., K.
39 37 Věta 1: Za platnosti předpokladů 1,2,3(a) a 4 ˆV n V n s.j. 0.
40 38 Důkaz: β 0 je konečné existuje K, kompaktní okoĺı β 0 takové, že (β j β 0j ) je konečné (β K). Dále existuje konečné Potom β : (β j β 0j ) 2 ( β j β 0j ) 2, β K. X 2 ij (β j β 0j ) 2 X ik X il X 2 ij ( β j β 0j ) 2 X ik X il. (Y i X i β) 2 X ik X il = (e i X i (β β 0 )) 2 X ik X il
41 39 Použitím nerovnosti a + b r 2 r 1 a r + 2 r 1 b r r 1. Existují konečné kladné konstanty λ 0,..., λ K (Y i X i β) 2 X ik X il λ 0 (e i ) 2 X ik X il + λ 0 e 2 i X ik X il + K j=1 K j=1 λ j (X 2 ij (β j β 0j )) 2 X ik X il λ j X 2 ij X ik X il ( β j β 0j ) 2 m kl (X i, e i ). (Y i X i β) 2 X ik X il m kl (X i, e i ).
42 40 Existují konečné kladné konstanty µ 0,..., µ K E m kl (X i, e i ) 1+δ µ 0 λ 1+δ 0 E e 2 i X ik X il 1+δ + + K j=1 µ j λ 1+δ j X 2 ij X ik X il 1+δ ( β j β 0j ) 2+2δ. Stejně omezené E e 2 i X ikx il 1+δ (3a) E X 2 ij X ikx il 1+δ, j = 1..., K (4) a λ 0,..., λ K, µ 0,..., µ K a ( β 1 β 01 ) 2+2δ,....( β K β 0K ) 2+2δ jsou konečné kladné konstanty E m kl (X i, e i ) 1+δ je stejně omezené na K.
43 41 Použitím pomocného lemma 2.3 z článku (White, 1980b): sup β K K n 1 (Y i X i β) 2 X ik X il n 1 j=1 K j=1 E(Y i X i β) 2 X ik X il s.j. 0. Protože ˆβ n s.j. β 0 použitím lemma 2.6 z článku (White, 1980b): K n 1 (Y i X ˆβ n ) 2 X ik X il n 1 j=1 i K j=1 Ee 2 i X ik X il s.j. 0. tzn. ˆV n V n s.j. 0.
44 42 Pro LWS půjde dokázat obdobné tvrzení. Připomeňme: a označme ˆV LWS n V n = 1 n = 1 n n i=1 Ew 2 ( F β 0,n( e i ))e 2 i X i X i n w 2 (F (n) i=1 β LWS ( ri ))(ri LWS ) 2 X i X i
45 43 Věta 1 ˆV LWS n V n P 0.
46 44 Důkaz: Je obdobný jako Whiteův důkaz (Theorem 1, (White, 1980a)). Rozdíl je v posledním kroku. Pro LWS nemáme ˆβ s.j. n β 0, ale pouze ˆβ n LWS P β 0. Pokud se omezíme na množinu K ɛ : P(K ɛ ) > 1 ɛ a ˆβ n LWS (ω) β 0 ω K ɛ, pak už můžeme použít Whiteův důkaz a dostaneme ˆV LWS n V n P 0.
47 Víšek, J. Á. (2008). Asymptotic representaion of the least weighted squares. Preprint. White, H. (1980a). A heteroskedasticity-consistent covariance matrix estimator and a direct test for heteroskedasticity. Econometrica. White, H. (1980b). Nonlinear regression on cross-section data. Econometrica. 45
48 45 Děkuji za pozornost
z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin
Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme
Více7. Analýza rozptylu.
7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceOdhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceVěta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa
Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceUniverzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce
Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 11.-12.3. 2010 1 Outline Lemma 1: 1. Nechť µ, ν jsou konečné míry na borelovských
VíceMatematická analýza 4
Matematická analýza 4 LS 2015-16 Miroslav Zelený 18. Metrické prostory III 19. Křivkový a plošný integrál 20. Absolutně spoj. fce a fce s konečnou variací 21. Fourierovy řady 18. Metrické prostory III
VíceUniverzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. Predikce
ne ve Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 23.4.-7.5. 2010 ne ve 1 ne Outline 2 ve ne ve Definice: Nechť H je Hilbertův
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
Více1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!
Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k
Vícen = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)
5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceK oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory
ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceAVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceRegresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel
Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceMatematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
VíceBakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013
Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Více1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic
1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic Denice. Funkci x : I R n, I otev ený interval, nazveme e²ením (DR), jestliºe 1. t I : (x(t), t) Ω 2. t I : x (t) vlastní 3. t I : x (t) = f(x(t), t) Lemma
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VícePojem endogenity a exogenity
22. 4. 2010 Úvodní definice Klasická definice Exogenita a endogenita není jednoznačná, přesto se nejčastěji pracuje s následující definicí. Proměnná x vysvětlující proměnnou y je exogenní, pokud L(y x)
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regresní analýza - motivace Základní úlohou regresní analýzy je nalezení vhodného modelu studované závislosti. Je nutné věnovat velkou pozornost tomu aby byla modelována REÁLNÁ
VíceDefinice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
Vícesprávně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
VíceNumerické metody optimalizace - úvod
Numerické metody optimalizace - úvod Petr Tichý 16. února 2015 1 Organizace přednášek a cvičení 13 přednášek a cvičení. Zápočet: úloha programování a testování úloh v Matlabu. Další informace na blogu
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Více5 Časové řady. Definice 16 Posloupnost náhodných veličin {X t, t T } nazveme slabě stacionární, pokud
5 Časové řady Časovou řadou rozumíme posloupnost reálných náhodných veličin X 1,..., X n, přičemž indexy t = 1,..., n interpretujeme jako časové okamžiky. Někdy však uvažujeme i nekonečné posloupnosti
VíceMatematika V. Dynamická optimalizace
Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceAVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceAVDAT Nelineární regresní model
AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných
VíceMOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod
Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
Více3 Bodové odhady a jejich vlastnosti
3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceMatice lineárních zobrazení
Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
VíceNMSA202 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA POZNÁMKY O ZKOUŠCE
Datum poslední aktualizace: 13. června 2014 NMSA202 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA POZNÁMKY O ZKOUŠCE Zkouška má písemnou a ústní část. Nejdříve je písemná část, která se dále dělí na početní
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceWaldovy testy, vlastnosti a Operační charakteristika
Waldovy testy, vlastnosti a Operační charakteristika Adéla Zavřelová 11. března 2018 Adéla Zavřelová Waldovy testy 11. března 2018 1 / 21 Úvod Úloha H 0 : náhodná veličina X má rozdělení s hustotou f 0
VíceApriorní rozdělení. Jan Kracík.
Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceRadka Picková Transformace náhodných veličin
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Radka Picková Transformace náhodných veličin Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr Zdeněk
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
Více12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy
12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 121 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z kapitoly 5) Definice 121 Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru Návod k řešení: Pokud g(c)
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
Více15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
Víceprof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost
VíceKapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceMATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu
MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
Více12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO
Více(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.
(1 [B] Nechť A : R 6 R 6 je lineární zobrazební takové, že A 26 = I. Najděte lineární prostory V 1, V 2 a V 3 takové, že R 6 = V 1 V 2 V 3 dim V 1 = dim V 2 = dim V 3 AV 1 V 1, AV 2 V 2 a AV 3 V 3 (2 [B]
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Víceodpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných
8. Regresní a korelační analýza Problém: hledání, zkoumání a hodnocení souvislostí, závislostí mezi dvěma a více statistickými znaky (veličinami). Typy závislostí: pevné a volné Pevná závislost každé hodnotě
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Více