PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14"

Transkript

1 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo. Budeme používat ěkteré zkratky: MP pro metrický prostor(-y), NLP pro ormovaý prostor(-y), UP pro prostor se skalárím součiem(uitárí prostor), TP pro topologický prostor apod. Později zavedeme ještě další zkratky. Cvičeí : Pokud je metrika ρ a NLP X defiováa příslušou ormou, má speciálí vlastosti:provšecha x, y, z Xavšecha α Tplatí ρ(x, y)=ρ(x+z, y+ z), ρ(αx, αy)= α ρ(x, y). Proč?ZáteějakoumetrikuaLP,kterátutovlastostemá?Má-limetrikaaLP tyto dvě vlastosti, je geerováa ějakou ormou? Cvičeí2:Vlastostiormy kopírují vlastostiabsolutíhodotya R.Uvědomtesi trojúhelíkovouerovostproormu,resp.jejíčásti,pokudjizapisujetev obsažějším tvaru x y x ± y x + y, Tuto složeou erovost budeme často používat. ze které plye spojitost ormy. Lze dokázat, že všechy ormy a LP -tic reálých(komplexích) čísel jsou ekvivaletí! Cvičeí 3: Připomeňte zavedeí skalárího součiu a LP X! Vlastosti budeme obvykle zapisovat ve tvaru: (x, x) 0,(x, x)=0,právěkdyž x=0, (αx+βy, z)=α(x, z)+β(y, z), (x, y)=(y, x),resp.(x, y)=(y, x), přičemžposledívztahužívámevpřípadě,žepracujemealpad C.Normua Xpak defiujemevztahem x = (x, x)apoužívámezkratkuup. Cvičeí 4: Dokažte, že a UP platí tzv. Schwarzova erovost (x, y) x y! Cvičeí 5: Pro ormu a(komplexím) UP dokažte pomocí Schwarzovy erovosti trojúhelíkovou erovost!

2 2 Cvičeí 6: Dokažte, že orma geerovaá skalárím součiem a UP splňuje podmíku: provšecha x, y Xje x+y 2 + x y 2 =2 ( x 2 + y 2) ; (tzv. rovoběžíkové pravidlo; ukažte, že teto ázev má své opodstatěí). Existuje ormovaý lieárí prostor(nlp), ve kterém orma tuto podmíku esplňuje? Jestliže orma a NLP X (ad R) splňuje rovoběžíkové pravidlo, lze odpovídající skalárí souči defiovat takto: položíme p(x, y):= 4( x+y 2 x y 2) ; fukce pa X Xjejižhledaýmskalárímsoučiem.Ukažte,žeobecěpřes defiici součiu(x, y):=(/2) ( x+y 2 x 2 y 2) cestaevede.vpřípadě,žepracujeme sprostorem Xad C,je p(ix, y)= p(x, iy)ahledaýskalárísoučimátvar (x, y):= p(x, y) ip(ix, y). Důkaz odpovídajícího tvrzeí vyžaduje trochu práce. Cvičeí 7: Systém B všech otevřeých moži metrického prostoru (X, ρ) má tyto vlastosti: (a), X B, (b) sjedoceí libovolého podsystému systému B je prvkem B, a (c) průik koečého podsystému systému B je prvkem B. Všimětesi,žeprolibovoloudvojicibodů x, y X, x y,lzealézt U x, U y Btak, že x U x, y U y a U x U y = (systém Boddělujebodyprostoru X). Cvičeí 8: Libovolý systém B podmoži možiy X s vlastostmi(a),(b),(c) z předcházejícího cvičeí se azývá topologie(a X). Topologii a X velmi často začíme τ a dvojici(x, τ) azýváme topologický prostor. Prvky systému τ jsou otevřeé možiy (X, τ)apomocíichlzezavéstv(x, τ)řadupojmů,kterézátezteoriemp(pozor,vše efuguje zcelaaalogickyjakovmp!). Cvičeí9:Triviálímitopologiemia Xjsouapř.systémy τ = {, X}ebosystém τ 2 = P(X)všechpodmožimožiy X.Kteréfukcea(X, τ )eboa(x, τ 2 )jsou spojité?je-li#(x) 2, τ eoddělujebody X.(Problémmožostivytvořittopologii metrikou ebudeme blíže zkoumat.) Cvičeí 0: Ověřte všechy vlastosti stadardí metriky a prostoru C([ a, b]). Totéž proveďtepro C([ a, b])sitegrálímetrikou. Cvičeí : Rozmyslete si vlastosti itegrálí metriky a prostoru R([, b]) všech riemaovsky itegrovatelých fukcí a itervalu[ a, b]. Jak pracujeme s třídami skoro všude spojitých fukcí?

3 Cvičeí 2: Prostor m je tvoře všemi omezeými posloupostmi, prostor c všemi kovergetímiposloupostmi,prostor c 0 všemiposloupostmikovergetímik0aprostor s 0 všemiposloupostmi,kterémajípouzekoečýpočeteulovýchčleů.vevšechlze zavéstprox={x k } =: {x k}ormuvztahem x :=sup{ x k ; k N } (Můžeme pracovat s posloupostmi reálých ebo komplexích čísel.) Jestliže X Y začívztah Xjelieárímpodprostorem Y,jezřejmě s 0 c 0 c m s, kde sjelpvšechposloupostíčísel(z RebozC). Cvičeí 3: Normu v prostoru všech -tic reálých(ebo komplexích) čísel lze pro p zavéstpředpisem ( x p := x k p) /p. Ukažte, že je x :=max { x k ; k {,..., } } = lim p x p. Tytoprostoryzačíváme l p (jetedy l m). Cvičeí 4: Aalogicky zavádíme pro p prostory posloupostí: Na lieárím prostoru l p všechposloupostíx={x k },proěžje x k p < defiujeme ( x p := x k p) /p. Připoužitítohotoozačeíjerozuméklást l = mzaalogickýchdůvodůjakove Cvičeí 7. Cvičeí5:Zaveďtea R Rezáporoufukci σ(x, y)předpisem σ(x, y)= x y + x y! Všimětesi,žejeomezeáaukažte,že σjemetrika R!Pozámka:Fukce palpx s vlastostmi () p(x) 0, (2) p(0)=0, (3) p(x)=p( x) (4) p(x+y) p(x)+p(y) (5) pro t k t apro x k x je p(t k x k tx) 0 3 jeparaormaa X.Zkoumejte p(x y)!

4 4 Cvičeí6:Zobecětepředchozíúlohuadokažte,žeje-li ρ=ρ(x, y)metrikaamp X, je také ρ(x, y) σ(x, y)= +ρ(x, y) (omezeá) metrika a X. To ám dává možost zavést omezeou metriku a jakémkoli MP.Přitomsetatometrikaodpůvodílišíje epodstatě ktétokostrukcise ještě vrátíme. Cvičeí 7: Je poměrě vžité užíváí stadardího ozačeí pro prostory všech posloupostí reálých, resp. komplexích čísel, které pak uvažujeme jako prostory ad R, resp. C. Tetoprostorlzeopatřitmatrikou ρapř.tak,žeprovšecha x, y Xpoložíme Teto prostor budeme začit s. ρ(x, y):= 2 k x k y k + x k y k Cvičeí8:Ukažte,ževsplatí:je-li x k x 0 v saα k α 0 v T,pak α k x k α 0 x 0. Cvičeí9:VtomtocvičeízobecímeSchwarzovuerovosta R m :prokaždáčísla p, q (0, )splňujícípodmíku p+q= p q,eboli p + q =, akaždédvabody[ x,..., x m ],[ y,..., y m ]zr m platíhölderovaerovost m ( m ) /p ( m ) /q x k y k x k p y k q. Cvičeí20:Prokaždé p,<p<,aprokaždoudvojicibodů x=[ x,..., x m ], y=[ y,..., y m ]zr m platíerovostmikowskiho(českymikowského) ( m x k + y k p) /p ( m x k p) /p ( m + y k p) /p. JakýjejejívýzamvkotextuMP? Cvičeí2:DokažteHölderovuaMikovskihoerovostproprostoryposloupostí l p (tj. obdobé erovosti pro ekoečé řady)! Cvičeí 22: Připomeňte defiici otevřeé a uzavřeé koule a sféry v kotextu MP. V diskrétím MP jedotková sféra obsahuje libovolě moho disjuktích otevřeých jedotkovýchkoulí. Cvičeí 23: Připomeňte si defiici diametru možiy. Proč je součástí defiice část, vymezujícíspeciálědiam( )?Všimětesivztahůmezi poloměrem a průměrem koule v diskrétím prostoru!

5 Cvičeí24:JakpopisujemevzájemývztahboduamožiyvMP?Připomeňtesi defiici vitřího, vějšího a hraičího bodu možiy! Jak se defiuje hromadý bod možiy? Cvičeí 25: Jak defiujeme spojitost a limitu fukce, defiovaé a MP? Proč emůžeme defiovat limitu fukce vzhledem k možiě v jejím izolovaém bodě? Cvičeí26:Defiicevzdáleostimoži M, NvMP(P, ρ)je(m, N ) dist(m, N):=if{ρ(x, y); x M, y N}. Často zjedodušujeme, zde apř. píšeme dist(x, A) místo dist({x}, A) a mluvíme o vzdáleosti bodu od možiy. Cvičeí27:Ozačme d A (x)proeprázdoumožiu A (P, ρ)vzdáleostbodu xod možiy A. Dokažte erovost da (x) d A (y) ρ(x, y). Je-li x A,je d A (x)=0.lzetototvrzeíobrátit,tj.plyezd A (x)=0,že x A? Cvičeí28:NajdětedvědisjuktímožiyvRsulovouvzdáleostí!Jepro r >0 vzdáleost B(x, r)ak(x, r)vždy0?jepro r >0vzdáleost B(x, r)as(x, r)vždy0? Jepro r >0vzdáleost S(x, r)ak(x, r)vždy0? Cvičeí29:Lzevolit M, Neprázdéuzavřeév R sdist(m, N)=0disjuktí? Cvičeí30:Jevzdáleost d A (x)boduodmožiyspojitáfukce?lzejiějakvyužít, apř.kpopisuuzávěru Amožiy A? Cvičeí3:Normy a 2 (jdepouzeoozačeí,ikolio p-čkové ormy!)a LP Xtakové,žeexistujíkladékostaty C, Daprovšecha x Xplatí C x x 2 D x se azývají ekvivaletí ormy a X. Uveďte příklady! Je to symetrický vztah? Cvičeí 32: Na prostoru C([ a, b]) lze defiovat supremovou a itegrálí ormu. Zkoumejte vztahy mezi imi. Jsou tyto ormy ekvivaletí? Cvičeí33:Jsouormy, 2 a a R m ekvivaletí?colzeřícioormách p proobecé p? Cvičeí34:ZamysleteseadmožostmivytvářeídalšíchMP.Jsou-li(P, ρ)a(q, σ) dvamp,lzezavéstějakpřirozeěmetrikua P Q? Cvičeí35:Je-li(P, ρ)mpadefiujeme-li σ(x, y)= ρ(x, y) +ρ(x, y), je σ(x, y) ρ(x, y).neí-li(p, ρ)omezeý,elzealéztkladékostaty C, Dtak,aby provšecha x, y (P, ρ)(proč?). Cσ(x, y) ρ(x, y) Dσ(x, y) 5

6 6 Cvičeí 36: Metriky z předcházejícího příkladu jsou i jiak odlišé: je-li ρ geerováa ormou, σ tuto vlastost emá. Cvičeí37:Říkáme,žemetriky ρaσjsouaprostoru Pekvivaletí,platí-liprokaždou posloupostbodů x Pakaždé x Pekvivalece limx = xv(p, ρ) limx = xv(p, σ). Ukažte,žeprometrikyzeCvičeíje (/2)ρ(x, y) σ(x, y) ρ(x, y) provšecha x (P, ρ)ata y (P, ρ),proěžje ρ(x, y) <. Cvičeí38:Eukleidovskýprostor R 2 a Cjsouizometrickyizomorfí.Cosipodtím představíte? Cvičeí39:Ozačíme-li C := {z = x+iy C; y = 0},je C izometrickýsr. Podroběji,(metrický)podprostor C smetrikouidukovaouz(c, ρ)jeizometrický s R. Cvičeí 40: Je-li T prosté zobrazeí možiy P do metrického prostoru (Q, σ), lze jedodušezpvytvořitmptak,aby Tbylaizometrie(P, ρ)a(t(p), σ);stačídefiovat a P metriku ρ předpisem ρ(x, y):= σ(t(x), T(y)), x, y P. Totojejedazcest,pomocíížlzedefiovatdalšíMP. Cvičeí4:Naprostoru R = R {, }defiujmezobrazeído R T(x):= x + x, x R, aklademe T(x):= ±,je-li x=±. Tjeprostézobrazeí R aiterval[,]. Za(Q, σ)zvolme[,]smetrikouidukovaouzr adefiujmeprovšecha x, y R ρ(x, y)= T(x) T(y). Takjsmezískalidvojiciizometrickýchprostorůaopatřili R metrikou. Cvičeí42:LzezkaždéposloupostibodůMP(R, ρ),kde ρjemetrika,defiovaá vecvičeí39,vybratposloupostkovergetív(r, ρ)? Cvičeí43:Ozačme K půlkružici {[x, y] R 2 ; x 2 +(y ) 2 =, y }ajejí body promítětezbodu[0,]a R.Použijtepopsaousituacikdefiicizobrazeí ametrikya R sobdobýmivlastostmi,jakémá ρzpředcházejícíchdvoucvičeí!

7 Cvičeí44:Ozačme Kkružici {[x, y] R 2 ; x 2 +(y ) 2 = }ajejíbody promítěte zbodu[0,2]a R # := R { }.Postupujtejakovpředchozímcvičeíapoužijte popsaousituacikdefiicizobrazeíametriky ρa R # sobdobouvlastostí,jakou mělvziklýmp(r, ρ)zecvičeí40(resp.39)! Cvičeí45:JsouMP(R, ρ)a(r #, ρ)úplé,tj.kovergujevichkaždáposloupost, splňujícíbolzao-cauchyhopodmíku( cauchyovská posloupost)?uvědomtesi,že prostézobrazeí g:= T,kde T(x):= x + x, x R, zobrazuje ěkteré cauchyovské poslouposti bodů itervalu(0, ) a poslouposti bodů z R, které cauchyovské ejsou! Cvičeí46:Možiy QiR \ QjsouhustévR.Majírůzou velikost (mohutost)? Cvičeí47: Pohrajtesi trochushustýmipodmožiamivr: (a)existujídvědisjuktípodmožiy R \ QhustévR? (b)existujíprokaždé Ndisjuktípodmožiy M,..., M R \ QhustévR? (c)existujeekoečěmohodisjuktíchpodmoži R \ QhustýchvR? (d)nechť M Rjespočetá.Jepak R \ MhustávR? Zkuste formulovat podobé problémky a pak je řešte! Tímto způsobem přistupujte ikdalšímpojmům,sekterýmisebudemevrámciteoriempsezamovat! Cvičeí48:Ukažte,žemožia MjeřídkávMP(P, ρ)(tj. ( M ) =,právěkdyžje (P \ M)=P. ) 7 Cvičeí 49: Uvědomte si: komplemet husté možiy emusí být řídká možia, komplemet řídké možiy emusí být hustá možia. Rozmyslete si, že přidáím jedoduché vlastostibudoutytopřechodykekomplemetům dobřefugovat.např.komplemet uzavřeé řídké možiy je hustá možia. Cvičeí50:Jesjedoceí M M 2 dvouřídkýchmoži M, M 2 (P, ρ)opětřídká možia?jesjedoceíkoečéhopočtuřídkýchmoživ(p, ρ)opětřídkámožia? Cvičeí 5: Je sjedoceí spočeté možiy řídkých moži v(p, ρ) opět řídká možia? Cvičeí 52: Kolik růzých hustých(řídkých) moži umíte alézt v diskrétím prostoru ze Cvičeí 40? Kdy je diskrétí prostor separabilí? Kdy je diskrétí prostor totálě omezeý? Cvičeí 53: Ilustrujte metodu kategorií a důkazu existece iracioálího čísla! Cvičeí54:( )Dokažtemetodoukategoriíexistecifukce f C([ a, b]),kteráeí mootóíajakémkoliitervalu[ c, d] [ a, b].vizpomocýtext. Cvičeí55:( )Dokažtemetodoukategoriíexistecifukce f C([ a, b]),kteráemáv žádém bodě koečou jedostraou derivaci. Viz pomocý text.

8 8 Cvičeí56:( )Eulervjedézesvýchpracívyšelzezáméhovzorceprosoučetgeometrické řady z k =, z <, z k=0 adosadilza zvýraze it =cos t+isi t, t (0,2π).Úpravamidostalrovost cos kt+i sikt= k=0 k=0 ( cos t) isi t = 2 + i sit 2 2cost a porováím a úpravou reálých částí výrazů a obou straách této rovosti dostal rovost cos kt= 2. Itegrací a vhodým dosazeím posléze obdržel π t 2 =sit+ si2t 2 + si3t 3 +. (Eu) Uvědomte si všechy ekorektosti postupu.(fukci budeme dále chápat jako 2π-periodickou fukci espojitou v lichých ásobcích π, která se auluje ve všech bodech espojitosti.) Cvičeí57:Ukažte,ževzhledemkeskalárímusoučiu(f, g)= 2π 0 f(t)g(t)dtjesystém {e ikt }, k Z,ortogoálí! Cvičeí58:Ukažte,ževzhledemkeskalárímusoučiu(f, g)= 2π 0 f(t)g(t)dtjesystém {, si kt, cos kt}, k N, ortogoálí! Použijte vzorce, zámé ze středoškolské látky Cvičeí 59: Předpokládejte, že 2cosa cos b=cos(a+b)+cos(a b), 2cosa si b=si(a+b) si(a b), 2si a si b=cos(a+b) cos(a b). f(t)= a ( ak cos kt+b k si kt ) ažeřadavpravokovergujestejoměrě.určete a k, b k, k N 0 pomocí f! Cvičeí60:Pročástečýsoučet s (f, x)fourierovyřadyspojité2π-periodickéfukce fodvoďtepro x=0 s (f,0)= π 2π 0 ( f(t) 2 + ) cos kt dt.

9 9 Cvičeí 6: Následující vyjádřeí Dirichletova jádra budeme budeme potřebovat ( D (t)= 2 + ) cos kt = si(+/2)t 2si t/2 (vyjádřeísesimásmyslpouzepro x R\2πZ,alerovostukazuje,ževtěchtobodech má D odstraitelé espojitosti). Rovost dokažte ze vzorce ( si k+ ) ( t si k ) ( t t=2cos ktsi 2 2 2) dosazeím,2,..., ;vziklérovosti sečtěte aupravte. Cvičeí62:Odhaděteormulieáríhofukcioálu L f= s (f,0)aprostoruspojitých2π-periodickýchfukcí C 2π (R)!Je { L =sup π π π } f(t) D (t)dt ; f π π π D (t) dt= π D. Vtomtoodhaduplatíveskutečostirovost;odůvoděte!Nyíormu D odhademe zdola:zerovosti si(t/2) t/2, t (0, ),plye π D = si( + /2)t π 2sit/2 dt si((+/2)t) dt t. π V posledím itegrálu v předcházejícím vztahu proveďte substituci u =( + /2)t a odhaděte(jedotlivé kroky zdůvoděte): 0 (+/2)π 0 siu u (+/2) du > kπ (k )π π kπ 0 siu u du si udu= 2 π k. Zdivergeceharmoickéřadydostáváme L =π D + pro,takže ormy L ejsoustejěomezeé. Cvičeí 63: Ověřte předpoklady Baach-Steihausovy věty a odůvoděte závěr: Existuje f C 2π (R),jejížFourierovařadaalespoňvjedombodědiverguje(PaulduBois- Reymod,873).Platídokocevíce:VC 2π (R)existuje(hustá)možiafukcí,jejichž Fourierova řada diverguje a husté podmožiě R. Cvičeí64:Vraťtesekevzorci(Eu)aukažte,žejdeoFourierovuřadu(espojité)fukce alevéstraěrovosti,aževbodechespojitostikovergujek0 ( = ( f(π+)+f(π ) ) /2 ). Cvičeí 65: Dokázali jsme Weierstrassovu aproximačí větu postupem, který užíval Ladau. Důkaz si můžete zopakovat v textu, k ěmuž je přístup z obsahu prosicových cvičeí.

10 0 Cvičeí 66: V souvislosti s Weierstrassovou větou jsme se sezámili s větou, kterou Korovkidokázalvr.953:Nechť L : C([ a, b]) C([ a, b]), N,jsouezáporélieárí operátorytakové,žeposloupost {L f}kovergujestejoměrěa[ a, b]kfukci fpro f =,Id,Id 2.Potomposloupost {L f}kovergujestejoměrěa[ a, b]kfukci f prokaždoufukci f C([ a, b]). Cvičeí67:Bersteir.92dokázal B f fa[0,]prokaždou f C([0,]). B f: x k=0 ( k ) ( ) f x k ( x) k, k x [0,]. Zdefiicejezřejmé,žeoperátory B : f B fjsoua C([0,])lieárí,ezáporéa zobrazují teto prostor do prostoru polyomů. Cvičeí68:Ukažtevásledujícíchcvičeích,žeposloupost {B f}stejoměrěkovergujeaitervalu[0,]kfukci fprotřifukce f=,id,aid 2.Ozačme f k =Id k, k=0,,2. Cvičeí69:Rovost B f 0 = f 0 provšecha Nplyezbiomickévěty. Cvičeí70:Uvažmedále,žepro k je ( ) k = k k k=0! ( k)! k! = ( )! ( k)!(k )! = Pro f dostaemepomocípředchozírovosti ( ) k B f (x)= x k ( x) k = x k j=0 ( ). k ( ) x k ( x) k = k ( ) = x x j ( x) ( ) j = x =f (x), j takžeprovšecha Nje B f = f. Cvičeí7:Dálespočtemepro k ( k ) ( 2 = k) k ( ) k a po úpravě dostaeme: k ( k ) = k = k Podosazeí f 2 obdržímeprovšecha x [0,] B f 2 (x)= ( ) + k ( ) ( = k ( k ) ( 2 x k) k ( x) k k=0 ( ) ; k ) ( ) 2. k 2 x [0,],

11 a pak jedoduchou úpravou postupě dostaeme B f 2 (x)= ( = ) ( ) 2 x k ( x) k + k 2 k=2 ( )x 2 + x ( = ( ) x k ( x) k = k ) f 2 (x)+ f (x); Cvičeí72:Je-li M R m možiavšechbodů,jejichžsouřadicejsoudiadickyracioálíčísla(jsoutvaru k/2 l, k Z, l N),určete M, M, M! Cvičeí73:Jsouprostory R=R, R m, m Nseparabilí?Jeprostor sseparabilí? Cvičeí74:Nechť ρjediskrétímetrikaaitervalu(0,).jeiterval(0,)smetrikou ρ separabilí MP? Cvičeí75:Jsouprostory m(= l ), c, c 0 separabilí? Cvičeí76:Jeprostor C([ a, b])separabilí? Cvičeí77:( )Kroměelemetáríhodůkazu(vizapř.pomocýtextčipředáška)vyplývá separabilita C([ a, b]) i z Weierstrassovy aproximačí věty. Jak věta zí?(dokážeme ji a cvičeí). Cvičeí78: Defiujte ε-siť možiy M! Najděte apř. v prostoru C([ a, b])příklad možiy, která je omezeá a přitom eí totálě omezeá! Cvičeí79:Jeprostor m(= l ), c, c 0 úplý? Cvičeí80:Naprostoru C([0,])defiujmeprokaždé Noperátory A tak,žepro každoufukci x C([0,])položíme ( k ( k A x = x ) ) a A xjelieárífukceaitervalu[(k )/, k/],kde,2,...,.zjistěte,zda platí kde Ijeidetickýoperátora C([0,]). Cvičeí8:Jeprostor C([ a, b])úplý? (a) A (x) x, x C([0,]), (b) A I C([0,]) 0, Cvičeí 82: Záte Weierstrassovu větu o polyomiálí aproximaci fukcí z prostoru C([0,])?Záteideualespoňjedohojejíhodůkazu? Cvičeí 83: Je souči dvou separabilích metrických prostorů separabilí metrický prostor? Cvičeí 84: Je souči dvou úplých metrických prostorů úplý metrický prostor?

12 2 Cvičeí85:Jezobrazeí T:(P, ρ) (P, ρ),prokteréplatí ρ(t(x), T(y)) < ρ(x, y), x, y P, kotraktivía(p, ρ)? Cvičeí 86( ): Pro posloupost x + = 2 ( x + a x ) s a > 0 jsme alezli(velmi dávo) její limitu(připomeňte si!). Souvisí teto příklad ějak s kotraktivitou zobrazeí? Šlo by teto příklad zobecit a případ -té odmociy? Cvičeí 87: Připomeňme si Catorovu větu v kotextu R i obecého metrického prostoru:nechť(p, ρ)jeúplýmetrickýprostoraechť {A } =jeerostoucíposloupost eprázdýchuzavřeýchmoživprostoru P,tj. A + A, N.Nechťdáleje diam(a ) 0. ( ) Potomexistujeprávějedebod x P takový,že {x}= = A. Ukažte, že předpoklad( ) je pro platost věty podstatý. Postřehete ějaký rozdíl protiklasické jedorozměré větě?ukažte,žeidalšípředpokladycatorovyvěty jsoupodstaté,tj.žepovyecháímootoieebouzavřeosti A taktomodifikovaé tvrzeí eplatí! Cvičeí 88: Připomeňte si Arzalà-Ascoliho větu! Jsou fukce z uzavřeé jedotkové koulevprostoru C([ a, b])stejěspojité? Cvičeí89:Nechťje F systémvšechfukcízprostoru C([ a, b]),kterémajía(a, b) všudevlastíderivaciaplatíproi f (x) < π, x (a, b).jsoufukcezf stejě spojité? Cvičeí 90: Na předášce jste si dokázali reálou verzi Stoe-Weierstrassovy věty: Nechť X (P, ρ)jekompaktíaechť A(X)jealgebrareálýchfukcíspojitýcha X.Odděluje-lialgebra A(X)body Xaobsahuje-liikostatífukci,jecl(A(X))=C(X). K í se váží ásledující cvičeí. Cvičeí9:Jeprostor C([ a, b])všechspojitýchfukcíaitervalu[ a, b]současěalgebrou?oddělujetatoalgebrabodyitervalu[ a, b]? Cvičeí92:Takéalgebra P([ a, b])všech(restrikcí)polyomůa[ a, b]oddělujebody [ a, b],jevšakvlastípodalgebrou C([ a, b]).cotvrdívtomtokotextuweierstrassova větaojejímuzávěrucl(p([ a, b]))vevztahukalgebře C([ a, b])? Cvičeí93:SystémvšechfukcízP([ a, b]),kteréseaulujívbodě(a+b)/2,odděluje body[ a, b],avšaktatoalgebraeobsahujevšechykostatífukcea[ a, b]. Cvičeí94:SystémvšechfukcízC([ a, b]),kteréseaulujívbodě(a+b)/2,odděluje body[ a, b],ajetoalgebra A.Cojeuzávěremtétoalgebry?

13 Cvičeí95:Systém BvšechfukcízC([ a, b]),kteréseaulujívedvourůzýchbodech x, y [ a, b],jealgebrakteráeoddělujebodyitervalu[ a, b].cojejejímuzávěrem? [Uzávěrcl(B)systému BobsahujepouzetyfukcezC([ a, b]),kteréležívb.] Cvičeí 96: Systém P všech polyomů z B obsahuje pouze jediou kostatí fukci f 0,alecl(P)=B,alejetoopětalgebra. Cvičeí 97: K čemu jsme použili pojem tzv. ε-přibližého řešeí difereciálí rovice 3 y = f(x, y)? ( ) Připomeňme,žeje-lifukce fvrovici( )spojitávoblasti G R 2 a ψjespojitáfukce aitervalu I R,prokterou[ t, ψ(t)] Gprovšecha t I,pakpokudplatípro ε >0 avšecha t I \ K ψ (t) f(t, ψ(t)) ε, ( ) kde K I je koečá možia, azýváme fukci ψ ε-přibližým řešeím rovice( ).

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W )

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W ) 5. Sdíleí tepla. pomy: Pomem tepelá eergie ozačueme eergii mikroskopického pohybu částic (traslačího, rotačího, vibračího). Měřitelou mírou této eergie e teplota. Teplo e část vitří eergie, která samovolě

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/mvt http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi 13 1 016 Obsah 1 O čem to

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Internetová matematická olympiáda listopadu ročník -autorská řešení

Internetová matematická olympiáda listopadu ročník -autorská řešení Iteretová matematická olympiáda - 24. listopadu 2009 2. ročík -autorská řešeí. Na ekoečě velkém čtverečkovaém papíře si zvolte mřížový bod A, který bude počátkem. Nadále se od bodu A můžete pohybovat pouze

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu 2. efiice plazmatu, základí charakteristiky plazmatu efiice plazmatu Plazma bývá obyčejě ozačováo za čtvrté skupeství hmoty. Pokud zahříváme pevou látku, dojde k jejímu roztaveí, při dalším zahříváí se

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

10. Rekurentní vztahy

10. Rekurentní vztahy Diskrétí matematika 0 Rekuretí vztahy phabala 202 Kapitolu uvedeme populárím příkladem 0 Rekuretí vztahy Příklad 0a: Teto problém je zám po ázvem Haojské věže Představte si tři tyčky, a jedé je avlečeo

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy

Více

Důkazy Ackermannova vzorce

Důkazy Ackermannova vzorce Důkazy Akermaova vzore Rady studetům: Důkaz je trohu zdlouhavý, ale přirozeý. Tak byste při odvozeí postupovali, kdybyste vzore předem ezali. Důkaz je krátký, ale je založe a triku, a který byste předem

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

FYZIKÁLNÍ SEKCE. Vzorové řešení první série úloh

FYZIKÁLNÍ SEKCE. Vzorové řešení první série úloh FYZIKÁLNÍ SEKCE Přírodovědecká fakulta Masarykovy uiverzity v Brě KORESPONDENČNÍ SEMINÁŘ Z FYZIKY 9. ročík 2002/2003 Vzorové řešeí prví série úloh (25 bodů) Vzorové řešeí úlohy č. 1 Voda (7 bodů) Z daých

Více

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE V této kaptole se dozvíte: jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů; co rozumíme ortogoálí a ortoormálí ází; co jsou to tzv relace ortoormalty a Croeckerovo delta;

Více