PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14"

Transkript

1 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo. Budeme používat ěkteré zkratky: MP pro metrický prostor(-y), NLP pro ormovaý prostor(-y), UP pro prostor se skalárím součiem(uitárí prostor), TP pro topologický prostor apod. Později zavedeme ještě další zkratky. Cvičeí : Pokud je metrika ρ a NLP X defiováa příslušou ormou, má speciálí vlastosti:provšecha x, y, z Xavšecha α Tplatí ρ(x, y)=ρ(x+z, y+ z), ρ(αx, αy)= α ρ(x, y). Proč?ZáteějakoumetrikuaLP,kterátutovlastostemá?Má-limetrikaaLP tyto dvě vlastosti, je geerováa ějakou ormou? Cvičeí2:Vlastostiormy kopírují vlastostiabsolutíhodotya R.Uvědomtesi trojúhelíkovouerovostproormu,resp.jejíčásti,pokudjizapisujetev obsažějším tvaru x y x ± y x + y, Tuto složeou erovost budeme často používat. ze které plye spojitost ormy. Lze dokázat, že všechy ormy a LP -tic reálých(komplexích) čísel jsou ekvivaletí! Cvičeí 3: Připomeňte zavedeí skalárího součiu a LP X! Vlastosti budeme obvykle zapisovat ve tvaru: (x, x) 0,(x, x)=0,právěkdyž x=0, (αx+βy, z)=α(x, z)+β(y, z), (x, y)=(y, x),resp.(x, y)=(y, x), přičemžposledívztahužívámevpřípadě,žepracujemealpad C.Normua Xpak defiujemevztahem x = (x, x)apoužívámezkratkuup. Cvičeí 4: Dokažte, že a UP platí tzv. Schwarzova erovost (x, y) x y! Cvičeí 5: Pro ormu a(komplexím) UP dokažte pomocí Schwarzovy erovosti trojúhelíkovou erovost!

2 2 Cvičeí 6: Dokažte, že orma geerovaá skalárím součiem a UP splňuje podmíku: provšecha x, y Xje x+y 2 + x y 2 =2 ( x 2 + y 2) ; (tzv. rovoběžíkové pravidlo; ukažte, že teto ázev má své opodstatěí). Existuje ormovaý lieárí prostor(nlp), ve kterém orma tuto podmíku esplňuje? Jestliže orma a NLP X (ad R) splňuje rovoběžíkové pravidlo, lze odpovídající skalárí souči defiovat takto: položíme p(x, y):= 4( x+y 2 x y 2) ; fukce pa X Xjejižhledaýmskalárímsoučiem.Ukažte,žeobecěpřes defiici součiu(x, y):=(/2) ( x+y 2 x 2 y 2) cestaevede.vpřípadě,žepracujeme sprostorem Xad C,je p(ix, y)= p(x, iy)ahledaýskalárísoučimátvar (x, y):= p(x, y) ip(ix, y). Důkaz odpovídajícího tvrzeí vyžaduje trochu práce. Cvičeí 7: Systém B všech otevřeých moži metrického prostoru (X, ρ) má tyto vlastosti: (a), X B, (b) sjedoceí libovolého podsystému systému B je prvkem B, a (c) průik koečého podsystému systému B je prvkem B. Všimětesi,žeprolibovoloudvojicibodů x, y X, x y,lzealézt U x, U y Btak, že x U x, y U y a U x U y = (systém Boddělujebodyprostoru X). Cvičeí 8: Libovolý systém B podmoži možiy X s vlastostmi(a),(b),(c) z předcházejícího cvičeí se azývá topologie(a X). Topologii a X velmi často začíme τ a dvojici(x, τ) azýváme topologický prostor. Prvky systému τ jsou otevřeé možiy (X, τ)apomocíichlzezavéstv(x, τ)řadupojmů,kterézátezteoriemp(pozor,vše efuguje zcelaaalogickyjakovmp!). Cvičeí9:Triviálímitopologiemia Xjsouapř.systémy τ = {, X}ebosystém τ 2 = P(X)všechpodmožimožiy X.Kteréfukcea(X, τ )eboa(x, τ 2 )jsou spojité?je-li#(x) 2, τ eoddělujebody X.(Problémmožostivytvořittopologii metrikou ebudeme blíže zkoumat.) Cvičeí 0: Ověřte všechy vlastosti stadardí metriky a prostoru C([ a, b]). Totéž proveďtepro C([ a, b])sitegrálímetrikou. Cvičeí : Rozmyslete si vlastosti itegrálí metriky a prostoru R([, b]) všech riemaovsky itegrovatelých fukcí a itervalu[ a, b]. Jak pracujeme s třídami skoro všude spojitých fukcí?

3 Cvičeí 2: Prostor m je tvoře všemi omezeými posloupostmi, prostor c všemi kovergetímiposloupostmi,prostor c 0 všemiposloupostmikovergetímik0aprostor s 0 všemiposloupostmi,kterémajípouzekoečýpočeteulovýchčleů.vevšechlze zavéstprox={x k } =: {x k}ormuvztahem x :=sup{ x k ; k N } (Můžeme pracovat s posloupostmi reálých ebo komplexích čísel.) Jestliže X Y začívztah Xjelieárímpodprostorem Y,jezřejmě s 0 c 0 c m s, kde sjelpvšechposloupostíčísel(z RebozC). Cvičeí 3: Normu v prostoru všech -tic reálých(ebo komplexích) čísel lze pro p zavéstpředpisem ( x p := x k p) /p. Ukažte, že je x :=max { x k ; k {,..., } } = lim p x p. Tytoprostoryzačíváme l p (jetedy l m). Cvičeí 4: Aalogicky zavádíme pro p prostory posloupostí: Na lieárím prostoru l p všechposloupostíx={x k },proěžje x k p < defiujeme ( x p := x k p) /p. Připoužitítohotoozačeíjerozuméklást l = mzaalogickýchdůvodůjakove Cvičeí 7. Cvičeí5:Zaveďtea R Rezáporoufukci σ(x, y)předpisem σ(x, y)= x y + x y! Všimětesi,žejeomezeáaukažte,že σjemetrika R!Pozámka:Fukce palpx s vlastostmi () p(x) 0, (2) p(0)=0, (3) p(x)=p( x) (4) p(x+y) p(x)+p(y) (5) pro t k t apro x k x je p(t k x k tx) 0 3 jeparaormaa X.Zkoumejte p(x y)!

4 4 Cvičeí6:Zobecětepředchozíúlohuadokažte,žeje-li ρ=ρ(x, y)metrikaamp X, je také ρ(x, y) σ(x, y)= +ρ(x, y) (omezeá) metrika a X. To ám dává možost zavést omezeou metriku a jakémkoli MP.Přitomsetatometrikaodpůvodílišíje epodstatě ktétokostrukcise ještě vrátíme. Cvičeí 7: Je poměrě vžité užíváí stadardího ozačeí pro prostory všech posloupostí reálých, resp. komplexích čísel, které pak uvažujeme jako prostory ad R, resp. C. Tetoprostorlzeopatřitmatrikou ρapř.tak,žeprovšecha x, y Xpoložíme Teto prostor budeme začit s. ρ(x, y):= 2 k x k y k + x k y k Cvičeí8:Ukažte,ževsplatí:je-li x k x 0 v saα k α 0 v T,pak α k x k α 0 x 0. Cvičeí9:VtomtocvičeízobecímeSchwarzovuerovosta R m :prokaždáčísla p, q (0, )splňujícípodmíku p+q= p q,eboli p + q =, akaždédvabody[ x,..., x m ],[ y,..., y m ]zr m platíhölderovaerovost m ( m ) /p ( m ) /q x k y k x k p y k q. Cvičeí20:Prokaždé p,<p<,aprokaždoudvojicibodů x=[ x,..., x m ], y=[ y,..., y m ]zr m platíerovostmikowskiho(českymikowského) ( m x k + y k p) /p ( m x k p) /p ( m + y k p) /p. JakýjejejívýzamvkotextuMP? Cvičeí2:DokažteHölderovuaMikovskihoerovostproprostoryposloupostí l p (tj. obdobé erovosti pro ekoečé řady)! Cvičeí 22: Připomeňte defiici otevřeé a uzavřeé koule a sféry v kotextu MP. V diskrétím MP jedotková sféra obsahuje libovolě moho disjuktích otevřeých jedotkovýchkoulí. Cvičeí 23: Připomeňte si defiici diametru možiy. Proč je součástí defiice část, vymezujícíspeciálědiam( )?Všimětesivztahůmezi poloměrem a průměrem koule v diskrétím prostoru!

5 Cvičeí24:JakpopisujemevzájemývztahboduamožiyvMP?Připomeňtesi defiici vitřího, vějšího a hraičího bodu možiy! Jak se defiuje hromadý bod možiy? Cvičeí 25: Jak defiujeme spojitost a limitu fukce, defiovaé a MP? Proč emůžeme defiovat limitu fukce vzhledem k možiě v jejím izolovaém bodě? Cvičeí26:Defiicevzdáleostimoži M, NvMP(P, ρ)je(m, N ) dist(m, N):=if{ρ(x, y); x M, y N}. Často zjedodušujeme, zde apř. píšeme dist(x, A) místo dist({x}, A) a mluvíme o vzdáleosti bodu od možiy. Cvičeí27:Ozačme d A (x)proeprázdoumožiu A (P, ρ)vzdáleostbodu xod možiy A. Dokažte erovost da (x) d A (y) ρ(x, y). Je-li x A,je d A (x)=0.lzetototvrzeíobrátit,tj.plyezd A (x)=0,že x A? Cvičeí28:NajdětedvědisjuktímožiyvRsulovouvzdáleostí!Jepro r >0 vzdáleost B(x, r)ak(x, r)vždy0?jepro r >0vzdáleost B(x, r)as(x, r)vždy0? Jepro r >0vzdáleost S(x, r)ak(x, r)vždy0? Cvičeí29:Lzevolit M, Neprázdéuzavřeév R sdist(m, N)=0disjuktí? Cvičeí30:Jevzdáleost d A (x)boduodmožiyspojitáfukce?lzejiějakvyužít, apř.kpopisuuzávěru Amožiy A? Cvičeí3:Normy a 2 (jdepouzeoozačeí,ikolio p-čkové ormy!)a LP Xtakové,žeexistujíkladékostaty C, Daprovšecha x Xplatí C x x 2 D x se azývají ekvivaletí ormy a X. Uveďte příklady! Je to symetrický vztah? Cvičeí 32: Na prostoru C([ a, b]) lze defiovat supremovou a itegrálí ormu. Zkoumejte vztahy mezi imi. Jsou tyto ormy ekvivaletí? Cvičeí33:Jsouormy, 2 a a R m ekvivaletí?colzeřícioormách p proobecé p? Cvičeí34:ZamysleteseadmožostmivytvářeídalšíchMP.Jsou-li(P, ρ)a(q, σ) dvamp,lzezavéstějakpřirozeěmetrikua P Q? Cvičeí35:Je-li(P, ρ)mpadefiujeme-li σ(x, y)= ρ(x, y) +ρ(x, y), je σ(x, y) ρ(x, y).neí-li(p, ρ)omezeý,elzealéztkladékostaty C, Dtak,aby provšecha x, y (P, ρ)(proč?). Cσ(x, y) ρ(x, y) Dσ(x, y) 5

6 6 Cvičeí 36: Metriky z předcházejícího příkladu jsou i jiak odlišé: je-li ρ geerováa ormou, σ tuto vlastost emá. Cvičeí37:Říkáme,žemetriky ρaσjsouaprostoru Pekvivaletí,platí-liprokaždou posloupostbodů x Pakaždé x Pekvivalece limx = xv(p, ρ) limx = xv(p, σ). Ukažte,žeprometrikyzeCvičeíje (/2)ρ(x, y) σ(x, y) ρ(x, y) provšecha x (P, ρ)ata y (P, ρ),proěžje ρ(x, y) <. Cvičeí38:Eukleidovskýprostor R 2 a Cjsouizometrickyizomorfí.Cosipodtím představíte? Cvičeí39:Ozačíme-li C := {z = x+iy C; y = 0},je C izometrickýsr. Podroběji,(metrický)podprostor C smetrikouidukovaouz(c, ρ)jeizometrický s R. Cvičeí 40: Je-li T prosté zobrazeí možiy P do metrického prostoru (Q, σ), lze jedodušezpvytvořitmptak,aby Tbylaizometrie(P, ρ)a(t(p), σ);stačídefiovat a P metriku ρ předpisem ρ(x, y):= σ(t(x), T(y)), x, y P. Totojejedazcest,pomocíížlzedefiovatdalšíMP. Cvičeí4:Naprostoru R = R {, }defiujmezobrazeído R T(x):= x + x, x R, aklademe T(x):= ±,je-li x=±. Tjeprostézobrazeí R aiterval[,]. Za(Q, σ)zvolme[,]smetrikouidukovaouzr adefiujmeprovšecha x, y R ρ(x, y)= T(x) T(y). Takjsmezískalidvojiciizometrickýchprostorůaopatřili R metrikou. Cvičeí42:LzezkaždéposloupostibodůMP(R, ρ),kde ρjemetrika,defiovaá vecvičeí39,vybratposloupostkovergetív(r, ρ)? Cvičeí43:Ozačme K půlkružici {[x, y] R 2 ; x 2 +(y ) 2 =, y }ajejí body promítětezbodu[0,]a R.Použijtepopsaousituacikdefiicizobrazeí ametrikya R sobdobýmivlastostmi,jakémá ρzpředcházejícíchdvoucvičeí!

7 Cvičeí44:Ozačme Kkružici {[x, y] R 2 ; x 2 +(y ) 2 = }ajejíbody promítěte zbodu[0,2]a R # := R { }.Postupujtejakovpředchozímcvičeíapoužijte popsaousituacikdefiicizobrazeíametriky ρa R # sobdobouvlastostí,jakou mělvziklýmp(r, ρ)zecvičeí40(resp.39)! Cvičeí45:JsouMP(R, ρ)a(r #, ρ)úplé,tj.kovergujevichkaždáposloupost, splňujícíbolzao-cauchyhopodmíku( cauchyovská posloupost)?uvědomtesi,že prostézobrazeí g:= T,kde T(x):= x + x, x R, zobrazuje ěkteré cauchyovské poslouposti bodů itervalu(0, ) a poslouposti bodů z R, které cauchyovské ejsou! Cvičeí46:Možiy QiR \ QjsouhustévR.Majírůzou velikost (mohutost)? Cvičeí47: Pohrajtesi trochushustýmipodmožiamivr: (a)existujídvědisjuktípodmožiy R \ QhustévR? (b)existujíprokaždé Ndisjuktípodmožiy M,..., M R \ QhustévR? (c)existujeekoečěmohodisjuktíchpodmoži R \ QhustýchvR? (d)nechť M Rjespočetá.Jepak R \ MhustávR? Zkuste formulovat podobé problémky a pak je řešte! Tímto způsobem přistupujte ikdalšímpojmům,sekterýmisebudemevrámciteoriempsezamovat! Cvičeí48:Ukažte,žemožia MjeřídkávMP(P, ρ)(tj. ( M ) =,právěkdyžje (P \ M)=P. ) 7 Cvičeí 49: Uvědomte si: komplemet husté možiy emusí být řídká možia, komplemet řídké možiy emusí být hustá možia. Rozmyslete si, že přidáím jedoduché vlastostibudoutytopřechodykekomplemetům dobřefugovat.např.komplemet uzavřeé řídké možiy je hustá možia. Cvičeí50:Jesjedoceí M M 2 dvouřídkýchmoži M, M 2 (P, ρ)opětřídká možia?jesjedoceíkoečéhopočtuřídkýchmoživ(p, ρ)opětřídkámožia? Cvičeí 5: Je sjedoceí spočeté možiy řídkých moži v(p, ρ) opět řídká možia? Cvičeí 52: Kolik růzých hustých(řídkých) moži umíte alézt v diskrétím prostoru ze Cvičeí 40? Kdy je diskrétí prostor separabilí? Kdy je diskrétí prostor totálě omezeý? Cvičeí 53: Ilustrujte metodu kategorií a důkazu existece iracioálího čísla! Cvičeí54:( )Dokažtemetodoukategoriíexistecifukce f C([ a, b]),kteráeí mootóíajakémkoliitervalu[ c, d] [ a, b].vizpomocýtext. Cvičeí55:( )Dokažtemetodoukategoriíexistecifukce f C([ a, b]),kteráemáv žádém bodě koečou jedostraou derivaci. Viz pomocý text.

8 8 Cvičeí56:( )Eulervjedézesvýchpracívyšelzezáméhovzorceprosoučetgeometrické řady z k =, z <, z k=0 adosadilza zvýraze it =cos t+isi t, t (0,2π).Úpravamidostalrovost cos kt+i sikt= k=0 k=0 ( cos t) isi t = 2 + i sit 2 2cost a porováím a úpravou reálých částí výrazů a obou straách této rovosti dostal rovost cos kt= 2. Itegrací a vhodým dosazeím posléze obdržel π t 2 =sit+ si2t 2 + si3t 3 +. (Eu) Uvědomte si všechy ekorektosti postupu.(fukci budeme dále chápat jako 2π-periodickou fukci espojitou v lichých ásobcích π, která se auluje ve všech bodech espojitosti.) Cvičeí57:Ukažte,ževzhledemkeskalárímusoučiu(f, g)= 2π 0 f(t)g(t)dtjesystém {e ikt }, k Z,ortogoálí! Cvičeí58:Ukažte,ževzhledemkeskalárímusoučiu(f, g)= 2π 0 f(t)g(t)dtjesystém {, si kt, cos kt}, k N, ortogoálí! Použijte vzorce, zámé ze středoškolské látky Cvičeí 59: Předpokládejte, že 2cosa cos b=cos(a+b)+cos(a b), 2cosa si b=si(a+b) si(a b), 2si a si b=cos(a+b) cos(a b). f(t)= a ( ak cos kt+b k si kt ) ažeřadavpravokovergujestejoměrě.určete a k, b k, k N 0 pomocí f! Cvičeí60:Pročástečýsoučet s (f, x)fourierovyřadyspojité2π-periodickéfukce fodvoďtepro x=0 s (f,0)= π 2π 0 ( f(t) 2 + ) cos kt dt.

9 9 Cvičeí 6: Následující vyjádřeí Dirichletova jádra budeme budeme potřebovat ( D (t)= 2 + ) cos kt = si(+/2)t 2si t/2 (vyjádřeísesimásmyslpouzepro x R\2πZ,alerovostukazuje,ževtěchtobodech má D odstraitelé espojitosti). Rovost dokažte ze vzorce ( si k+ ) ( t si k ) ( t t=2cos ktsi 2 2 2) dosazeím,2,..., ;vziklérovosti sečtěte aupravte. Cvičeí62:Odhaděteormulieáríhofukcioálu L f= s (f,0)aprostoruspojitých2π-periodickýchfukcí C 2π (R)!Je { L =sup π π π } f(t) D (t)dt ; f π π π D (t) dt= π D. Vtomtoodhaduplatíveskutečostirovost;odůvoděte!Nyíormu D odhademe zdola:zerovosti si(t/2) t/2, t (0, ),plye π D = si( + /2)t π 2sit/2 dt si((+/2)t) dt t. π V posledím itegrálu v předcházejícím vztahu proveďte substituci u =( + /2)t a odhaděte(jedotlivé kroky zdůvoděte): 0 (+/2)π 0 siu u (+/2) du > kπ (k )π π kπ 0 siu u du si udu= 2 π k. Zdivergeceharmoickéřadydostáváme L =π D + pro,takže ormy L ejsoustejěomezeé. Cvičeí 63: Ověřte předpoklady Baach-Steihausovy věty a odůvoděte závěr: Existuje f C 2π (R),jejížFourierovařadaalespoňvjedombodědiverguje(PaulduBois- Reymod,873).Platídokocevíce:VC 2π (R)existuje(hustá)možiafukcí,jejichž Fourierova řada diverguje a husté podmožiě R. Cvičeí64:Vraťtesekevzorci(Eu)aukažte,žejdeoFourierovuřadu(espojité)fukce alevéstraěrovosti,aževbodechespojitostikovergujek0 ( = ( f(π+)+f(π ) ) /2 ). Cvičeí 65: Dokázali jsme Weierstrassovu aproximačí větu postupem, který užíval Ladau. Důkaz si můžete zopakovat v textu, k ěmuž je přístup z obsahu prosicových cvičeí.

10 0 Cvičeí 66: V souvislosti s Weierstrassovou větou jsme se sezámili s větou, kterou Korovkidokázalvr.953:Nechť L : C([ a, b]) C([ a, b]), N,jsouezáporélieárí operátorytakové,žeposloupost {L f}kovergujestejoměrěa[ a, b]kfukci fpro f =,Id,Id 2.Potomposloupost {L f}kovergujestejoměrěa[ a, b]kfukci f prokaždoufukci f C([ a, b]). Cvičeí67:Bersteir.92dokázal B f fa[0,]prokaždou f C([0,]). B f: x k=0 ( k ) ( ) f x k ( x) k, k x [0,]. Zdefiicejezřejmé,žeoperátory B : f B fjsoua C([0,])lieárí,ezáporéa zobrazují teto prostor do prostoru polyomů. Cvičeí68:Ukažtevásledujícíchcvičeích,žeposloupost {B f}stejoměrěkovergujeaitervalu[0,]kfukci fprotřifukce f=,id,aid 2.Ozačme f k =Id k, k=0,,2. Cvičeí69:Rovost B f 0 = f 0 provšecha Nplyezbiomickévěty. Cvičeí70:Uvažmedále,žepro k je ( ) k = k k k=0! ( k)! k! = ( )! ( k)!(k )! = Pro f dostaemepomocípředchozírovosti ( ) k B f (x)= x k ( x) k = x k j=0 ( ). k ( ) x k ( x) k = k ( ) = x x j ( x) ( ) j = x =f (x), j takžeprovšecha Nje B f = f. Cvičeí7:Dálespočtemepro k ( k ) ( 2 = k) k ( ) k a po úpravě dostaeme: k ( k ) = k = k Podosazeí f 2 obdržímeprovšecha x [0,] B f 2 (x)= ( ) + k ( ) ( = k ( k ) ( 2 x k) k ( x) k k=0 ( ) ; k ) ( ) 2. k 2 x [0,],

11 a pak jedoduchou úpravou postupě dostaeme B f 2 (x)= ( = ) ( ) 2 x k ( x) k + k 2 k=2 ( )x 2 + x ( = ( ) x k ( x) k = k ) f 2 (x)+ f (x); Cvičeí72:Je-li M R m možiavšechbodů,jejichžsouřadicejsoudiadickyracioálíčísla(jsoutvaru k/2 l, k Z, l N),určete M, M, M! Cvičeí73:Jsouprostory R=R, R m, m Nseparabilí?Jeprostor sseparabilí? Cvičeí74:Nechť ρjediskrétímetrikaaitervalu(0,).jeiterval(0,)smetrikou ρ separabilí MP? Cvičeí75:Jsouprostory m(= l ), c, c 0 separabilí? Cvičeí76:Jeprostor C([ a, b])separabilí? Cvičeí77:( )Kroměelemetáríhodůkazu(vizapř.pomocýtextčipředáška)vyplývá separabilita C([ a, b]) i z Weierstrassovy aproximačí věty. Jak věta zí?(dokážeme ji a cvičeí). Cvičeí78: Defiujte ε-siť možiy M! Najděte apř. v prostoru C([ a, b])příklad možiy, která je omezeá a přitom eí totálě omezeá! Cvičeí79:Jeprostor m(= l ), c, c 0 úplý? Cvičeí80:Naprostoru C([0,])defiujmeprokaždé Noperátory A tak,žepro každoufukci x C([0,])položíme ( k ( k A x = x ) ) a A xjelieárífukceaitervalu[(k )/, k/],kde,2,...,.zjistěte,zda platí kde Ijeidetickýoperátora C([0,]). Cvičeí8:Jeprostor C([ a, b])úplý? (a) A (x) x, x C([0,]), (b) A I C([0,]) 0, Cvičeí 82: Záte Weierstrassovu větu o polyomiálí aproximaci fukcí z prostoru C([0,])?Záteideualespoňjedohojejíhodůkazu? Cvičeí 83: Je souči dvou separabilích metrických prostorů separabilí metrický prostor? Cvičeí 84: Je souči dvou úplých metrických prostorů úplý metrický prostor?

12 2 Cvičeí85:Jezobrazeí T:(P, ρ) (P, ρ),prokteréplatí ρ(t(x), T(y)) < ρ(x, y), x, y P, kotraktivía(p, ρ)? Cvičeí 86( ): Pro posloupost x + = 2 ( x + a x ) s a > 0 jsme alezli(velmi dávo) její limitu(připomeňte si!). Souvisí teto příklad ějak s kotraktivitou zobrazeí? Šlo by teto příklad zobecit a případ -té odmociy? Cvičeí 87: Připomeňme si Catorovu větu v kotextu R i obecého metrického prostoru:nechť(p, ρ)jeúplýmetrickýprostoraechť {A } =jeerostoucíposloupost eprázdýchuzavřeýchmoživprostoru P,tj. A + A, N.Nechťdáleje diam(a ) 0. ( ) Potomexistujeprávějedebod x P takový,že {x}= = A. Ukažte, že předpoklad( ) je pro platost věty podstatý. Postřehete ějaký rozdíl protiklasické jedorozměré větě?ukažte,žeidalšípředpokladycatorovyvěty jsoupodstaté,tj.žepovyecháímootoieebouzavřeosti A taktomodifikovaé tvrzeí eplatí! Cvičeí 88: Připomeňte si Arzalà-Ascoliho větu! Jsou fukce z uzavřeé jedotkové koulevprostoru C([ a, b])stejěspojité? Cvičeí89:Nechťje F systémvšechfukcízprostoru C([ a, b]),kterémajía(a, b) všudevlastíderivaciaplatíproi f (x) < π, x (a, b).jsoufukcezf stejě spojité? Cvičeí 90: Na předášce jste si dokázali reálou verzi Stoe-Weierstrassovy věty: Nechť X (P, ρ)jekompaktíaechť A(X)jealgebrareálýchfukcíspojitýcha X.Odděluje-lialgebra A(X)body Xaobsahuje-liikostatífukci,jecl(A(X))=C(X). K í se váží ásledující cvičeí. Cvičeí9:Jeprostor C([ a, b])všechspojitýchfukcíaitervalu[ a, b]současěalgebrou?oddělujetatoalgebrabodyitervalu[ a, b]? Cvičeí92:Takéalgebra P([ a, b])všech(restrikcí)polyomůa[ a, b]oddělujebody [ a, b],jevšakvlastípodalgebrou C([ a, b]).cotvrdívtomtokotextuweierstrassova větaojejímuzávěrucl(p([ a, b]))vevztahukalgebře C([ a, b])? Cvičeí93:SystémvšechfukcízP([ a, b]),kteréseaulujívbodě(a+b)/2,odděluje body[ a, b],avšaktatoalgebraeobsahujevšechykostatífukcea[ a, b]. Cvičeí94:SystémvšechfukcízC([ a, b]),kteréseaulujívbodě(a+b)/2,odděluje body[ a, b],ajetoalgebra A.Cojeuzávěremtétoalgebry?

13 Cvičeí95:Systém BvšechfukcízC([ a, b]),kteréseaulujívedvourůzýchbodech x, y [ a, b],jealgebrakteráeoddělujebodyitervalu[ a, b].cojejejímuzávěrem? [Uzávěrcl(B)systému BobsahujepouzetyfukcezC([ a, b]),kteréležívb.] Cvičeí 96: Systém P všech polyomů z B obsahuje pouze jediou kostatí fukci f 0,alecl(P)=B,alejetoopětalgebra. Cvičeí 97: K čemu jsme použili pojem tzv. ε-přibližého řešeí difereciálí rovice 3 y = f(x, y)? ( ) Připomeňme,žeje-lifukce fvrovici( )spojitávoblasti G R 2 a ψjespojitáfukce aitervalu I R,prokterou[ t, ψ(t)] Gprovšecha t I,pakpokudplatípro ε >0 avšecha t I \ K ψ (t) f(t, ψ(t)) ε, ( ) kde K I je koečá možia, azýváme fukci ψ ε-přibližým řešeím rovice( ).

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1 I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Užitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:

Užitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové: Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

ZS 2018/19 Po 10:40 T5

ZS 2018/19 Po 10:40 T5 Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

1 Základní matematické pojmy Logika Množiny a jejich zobrazení... 7

1 Základní matematické pojmy Logika Množiny a jejich zobrazení... 7 Semiář z matematické aalýzy I Čížek Jiří-Kubr Mila 8 září 007 Obsah Základí matematické pojmy Logika Možiy a jejich zobrazeí 7 Reálá a komplexí čísla 6 Poslouposti 7 Základí vlastosti posloupostí 7 Limita

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019 Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x), a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

5 Křivkové a plošné integrály

5 Křivkové a plošné integrály - 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

1. Přirozená topologie v R n

1. Přirozená topologie v R n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášy M Krupy Zií seestr 999/ Přirozeá topologie v R V prví části tohoto tetu zavádíe přirozeou topologii a ožiě R ejprve jao topologii orovaého prostoru a pa jao topologii součiu

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

GEOMETRIE I. Pavel Burda

GEOMETRIE I. Pavel Burda GEOMETRIE I Pavel Burda Obsah Úvod... 4 1. Vektorové prostory... 5. Vektorové prostory se skalárím ásobeím... 9. Afií prostory... 19 4. Afií přímka ( A 1 )... 5 5. Afií rovia (A )... 6 6. Afií prostor

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 1. října 2019

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 1. října 2019 Matematika II - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ig. Radek Fučík, Ph.D. verze:. říja 9 Obsah Pokročilé techiky itegrace a zobecěý Riemaův itegrál. Racioálí fukce.................................... Pokročilé

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1 3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Zákoy velkých čísel Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Ig. Lubomír Kubáček, DrSc.,

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více