PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14
|
|
- Marcela Zemanová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo. Budeme používat ěkteré zkratky: MP pro metrický prostor(-y), NLP pro ormovaý prostor(-y), UP pro prostor se skalárím součiem(uitárí prostor), TP pro topologický prostor apod. Později zavedeme ještě další zkratky. Cvičeí : Pokud je metrika ρ a NLP X defiováa příslušou ormou, má speciálí vlastosti:provšecha x, y, z Xavšecha α Tplatí ρ(x, y)=ρ(x+z, y+ z), ρ(αx, αy)= α ρ(x, y). Proč?ZáteějakoumetrikuaLP,kterátutovlastostemá?Má-limetrikaaLP tyto dvě vlastosti, je geerováa ějakou ormou? Cvičeí2:Vlastostiormy kopírují vlastostiabsolutíhodotya R.Uvědomtesi trojúhelíkovouerovostproormu,resp.jejíčásti,pokudjizapisujetev obsažějším tvaru x y x ± y x + y, Tuto složeou erovost budeme často používat. ze které plye spojitost ormy. Lze dokázat, že všechy ormy a LP -tic reálých(komplexích) čísel jsou ekvivaletí! Cvičeí 3: Připomeňte zavedeí skalárího součiu a LP X! Vlastosti budeme obvykle zapisovat ve tvaru: (x, x) 0,(x, x)=0,právěkdyž x=0, (αx+βy, z)=α(x, z)+β(y, z), (x, y)=(y, x),resp.(x, y)=(y, x), přičemžposledívztahužívámevpřípadě,žepracujemealpad C.Normua Xpak defiujemevztahem x = (x, x)apoužívámezkratkuup. Cvičeí 4: Dokažte, že a UP platí tzv. Schwarzova erovost (x, y) x y! Cvičeí 5: Pro ormu a(komplexím) UP dokažte pomocí Schwarzovy erovosti trojúhelíkovou erovost!
2 2 Cvičeí 6: Dokažte, že orma geerovaá skalárím součiem a UP splňuje podmíku: provšecha x, y Xje x+y 2 + x y 2 =2 ( x 2 + y 2) ; (tzv. rovoběžíkové pravidlo; ukažte, že teto ázev má své opodstatěí). Existuje ormovaý lieárí prostor(nlp), ve kterém orma tuto podmíku esplňuje? Jestliže orma a NLP X (ad R) splňuje rovoběžíkové pravidlo, lze odpovídající skalárí souči defiovat takto: položíme p(x, y):= 4( x+y 2 x y 2) ; fukce pa X Xjejižhledaýmskalárímsoučiem.Ukažte,žeobecěpřes defiici součiu(x, y):=(/2) ( x+y 2 x 2 y 2) cestaevede.vpřípadě,žepracujeme sprostorem Xad C,je p(ix, y)= p(x, iy)ahledaýskalárísoučimátvar (x, y):= p(x, y) ip(ix, y). Důkaz odpovídajícího tvrzeí vyžaduje trochu práce. Cvičeí 7: Systém B všech otevřeých moži metrického prostoru (X, ρ) má tyto vlastosti: (a), X B, (b) sjedoceí libovolého podsystému systému B je prvkem B, a (c) průik koečého podsystému systému B je prvkem B. Všimětesi,žeprolibovoloudvojicibodů x, y X, x y,lzealézt U x, U y Btak, že x U x, y U y a U x U y = (systém Boddělujebodyprostoru X). Cvičeí 8: Libovolý systém B podmoži možiy X s vlastostmi(a),(b),(c) z předcházejícího cvičeí se azývá topologie(a X). Topologii a X velmi často začíme τ a dvojici(x, τ) azýváme topologický prostor. Prvky systému τ jsou otevřeé možiy (X, τ)apomocíichlzezavéstv(x, τ)řadupojmů,kterézátezteoriemp(pozor,vše efuguje zcelaaalogickyjakovmp!). Cvičeí9:Triviálímitopologiemia Xjsouapř.systémy τ = {, X}ebosystém τ 2 = P(X)všechpodmožimožiy X.Kteréfukcea(X, τ )eboa(x, τ 2 )jsou spojité?je-li#(x) 2, τ eoddělujebody X.(Problémmožostivytvořittopologii metrikou ebudeme blíže zkoumat.) Cvičeí 0: Ověřte všechy vlastosti stadardí metriky a prostoru C([ a, b]). Totéž proveďtepro C([ a, b])sitegrálímetrikou. Cvičeí : Rozmyslete si vlastosti itegrálí metriky a prostoru R([, b]) všech riemaovsky itegrovatelých fukcí a itervalu[ a, b]. Jak pracujeme s třídami skoro všude spojitých fukcí?
3 Cvičeí 2: Prostor m je tvoře všemi omezeými posloupostmi, prostor c všemi kovergetímiposloupostmi,prostor c 0 všemiposloupostmikovergetímik0aprostor s 0 všemiposloupostmi,kterémajípouzekoečýpočeteulovýchčleů.vevšechlze zavéstprox={x k } =: {x k}ormuvztahem x :=sup{ x k ; k N } (Můžeme pracovat s posloupostmi reálých ebo komplexích čísel.) Jestliže X Y začívztah Xjelieárímpodprostorem Y,jezřejmě s 0 c 0 c m s, kde sjelpvšechposloupostíčísel(z RebozC). Cvičeí 3: Normu v prostoru všech -tic reálých(ebo komplexích) čísel lze pro p zavéstpředpisem ( x p := x k p) /p. Ukažte, že je x :=max { x k ; k {,..., } } = lim p x p. Tytoprostoryzačíváme l p (jetedy l m). Cvičeí 4: Aalogicky zavádíme pro p prostory posloupostí: Na lieárím prostoru l p všechposloupostíx={x k },proěžje x k p < defiujeme ( x p := x k p) /p. Připoužitítohotoozačeíjerozuméklást l = mzaalogickýchdůvodůjakove Cvičeí 7. Cvičeí5:Zaveďtea R Rezáporoufukci σ(x, y)předpisem σ(x, y)= x y + x y! Všimětesi,žejeomezeáaukažte,že σjemetrika R!Pozámka:Fukce palpx s vlastostmi () p(x) 0, (2) p(0)=0, (3) p(x)=p( x) (4) p(x+y) p(x)+p(y) (5) pro t k t apro x k x je p(t k x k tx) 0 3 jeparaormaa X.Zkoumejte p(x y)!
4 4 Cvičeí6:Zobecětepředchozíúlohuadokažte,žeje-li ρ=ρ(x, y)metrikaamp X, je také ρ(x, y) σ(x, y)= +ρ(x, y) (omezeá) metrika a X. To ám dává možost zavést omezeou metriku a jakémkoli MP.Přitomsetatometrikaodpůvodílišíje epodstatě ktétokostrukcise ještě vrátíme. Cvičeí 7: Je poměrě vžité užíváí stadardího ozačeí pro prostory všech posloupostí reálých, resp. komplexích čísel, které pak uvažujeme jako prostory ad R, resp. C. Tetoprostorlzeopatřitmatrikou ρapř.tak,žeprovšecha x, y Xpoložíme Teto prostor budeme začit s. ρ(x, y):= 2 k x k y k + x k y k Cvičeí8:Ukažte,ževsplatí:je-li x k x 0 v saα k α 0 v T,pak α k x k α 0 x 0. Cvičeí9:VtomtocvičeízobecímeSchwarzovuerovosta R m :prokaždáčísla p, q (0, )splňujícípodmíku p+q= p q,eboli p + q =, akaždédvabody[ x,..., x m ],[ y,..., y m ]zr m platíhölderovaerovost m ( m ) /p ( m ) /q x k y k x k p y k q. Cvičeí20:Prokaždé p,<p<,aprokaždoudvojicibodů x=[ x,..., x m ], y=[ y,..., y m ]zr m platíerovostmikowskiho(českymikowského) ( m x k + y k p) /p ( m x k p) /p ( m + y k p) /p. JakýjejejívýzamvkotextuMP? Cvičeí2:DokažteHölderovuaMikovskihoerovostproprostoryposloupostí l p (tj. obdobé erovosti pro ekoečé řady)! Cvičeí 22: Připomeňte defiici otevřeé a uzavřeé koule a sféry v kotextu MP. V diskrétím MP jedotková sféra obsahuje libovolě moho disjuktích otevřeých jedotkovýchkoulí. Cvičeí 23: Připomeňte si defiici diametru možiy. Proč je součástí defiice část, vymezujícíspeciálědiam( )?Všimětesivztahůmezi poloměrem a průměrem koule v diskrétím prostoru!
5 Cvičeí24:JakpopisujemevzájemývztahboduamožiyvMP?Připomeňtesi defiici vitřího, vějšího a hraičího bodu možiy! Jak se defiuje hromadý bod možiy? Cvičeí 25: Jak defiujeme spojitost a limitu fukce, defiovaé a MP? Proč emůžeme defiovat limitu fukce vzhledem k možiě v jejím izolovaém bodě? Cvičeí26:Defiicevzdáleostimoži M, NvMP(P, ρ)je(m, N ) dist(m, N):=if{ρ(x, y); x M, y N}. Často zjedodušujeme, zde apř. píšeme dist(x, A) místo dist({x}, A) a mluvíme o vzdáleosti bodu od možiy. Cvičeí27:Ozačme d A (x)proeprázdoumožiu A (P, ρ)vzdáleostbodu xod možiy A. Dokažte erovost da (x) d A (y) ρ(x, y). Je-li x A,je d A (x)=0.lzetototvrzeíobrátit,tj.plyezd A (x)=0,že x A? Cvičeí28:NajdětedvědisjuktímožiyvRsulovouvzdáleostí!Jepro r >0 vzdáleost B(x, r)ak(x, r)vždy0?jepro r >0vzdáleost B(x, r)as(x, r)vždy0? Jepro r >0vzdáleost S(x, r)ak(x, r)vždy0? Cvičeí29:Lzevolit M, Neprázdéuzavřeév R sdist(m, N)=0disjuktí? Cvičeí30:Jevzdáleost d A (x)boduodmožiyspojitáfukce?lzejiějakvyužít, apř.kpopisuuzávěru Amožiy A? Cvičeí3:Normy a 2 (jdepouzeoozačeí,ikolio p-čkové ormy!)a LP Xtakové,žeexistujíkladékostaty C, Daprovšecha x Xplatí C x x 2 D x se azývají ekvivaletí ormy a X. Uveďte příklady! Je to symetrický vztah? Cvičeí 32: Na prostoru C([ a, b]) lze defiovat supremovou a itegrálí ormu. Zkoumejte vztahy mezi imi. Jsou tyto ormy ekvivaletí? Cvičeí33:Jsouormy, 2 a a R m ekvivaletí?colzeřícioormách p proobecé p? Cvičeí34:ZamysleteseadmožostmivytvářeídalšíchMP.Jsou-li(P, ρ)a(q, σ) dvamp,lzezavéstějakpřirozeěmetrikua P Q? Cvičeí35:Je-li(P, ρ)mpadefiujeme-li σ(x, y)= ρ(x, y) +ρ(x, y), je σ(x, y) ρ(x, y).neí-li(p, ρ)omezeý,elzealéztkladékostaty C, Dtak,aby provšecha x, y (P, ρ)(proč?). Cσ(x, y) ρ(x, y) Dσ(x, y) 5
6 6 Cvičeí 36: Metriky z předcházejícího příkladu jsou i jiak odlišé: je-li ρ geerováa ormou, σ tuto vlastost emá. Cvičeí37:Říkáme,žemetriky ρaσjsouaprostoru Pekvivaletí,platí-liprokaždou posloupostbodů x Pakaždé x Pekvivalece limx = xv(p, ρ) limx = xv(p, σ). Ukažte,žeprometrikyzeCvičeíje (/2)ρ(x, y) σ(x, y) ρ(x, y) provšecha x (P, ρ)ata y (P, ρ),proěžje ρ(x, y) <. Cvičeí38:Eukleidovskýprostor R 2 a Cjsouizometrickyizomorfí.Cosipodtím představíte? Cvičeí39:Ozačíme-li C := {z = x+iy C; y = 0},je C izometrickýsr. Podroběji,(metrický)podprostor C smetrikouidukovaouz(c, ρ)jeizometrický s R. Cvičeí 40: Je-li T prosté zobrazeí možiy P do metrického prostoru (Q, σ), lze jedodušezpvytvořitmptak,aby Tbylaizometrie(P, ρ)a(t(p), σ);stačídefiovat a P metriku ρ předpisem ρ(x, y):= σ(t(x), T(y)), x, y P. Totojejedazcest,pomocíížlzedefiovatdalšíMP. Cvičeí4:Naprostoru R = R {, }defiujmezobrazeído R T(x):= x + x, x R, aklademe T(x):= ±,je-li x=±. Tjeprostézobrazeí R aiterval[,]. Za(Q, σ)zvolme[,]smetrikouidukovaouzr adefiujmeprovšecha x, y R ρ(x, y)= T(x) T(y). Takjsmezískalidvojiciizometrickýchprostorůaopatřili R metrikou. Cvičeí42:LzezkaždéposloupostibodůMP(R, ρ),kde ρjemetrika,defiovaá vecvičeí39,vybratposloupostkovergetív(r, ρ)? Cvičeí43:Ozačme K půlkružici {[x, y] R 2 ; x 2 +(y ) 2 =, y }ajejí body promítětezbodu[0,]a R.Použijtepopsaousituacikdefiicizobrazeí ametrikya R sobdobýmivlastostmi,jakémá ρzpředcházejícíchdvoucvičeí!
7 Cvičeí44:Ozačme Kkružici {[x, y] R 2 ; x 2 +(y ) 2 = }ajejíbody promítěte zbodu[0,2]a R # := R { }.Postupujtejakovpředchozímcvičeíapoužijte popsaousituacikdefiicizobrazeíametriky ρa R # sobdobouvlastostí,jakou mělvziklýmp(r, ρ)zecvičeí40(resp.39)! Cvičeí45:JsouMP(R, ρ)a(r #, ρ)úplé,tj.kovergujevichkaždáposloupost, splňujícíbolzao-cauchyhopodmíku( cauchyovská posloupost)?uvědomtesi,že prostézobrazeí g:= T,kde T(x):= x + x, x R, zobrazuje ěkteré cauchyovské poslouposti bodů itervalu(0, ) a poslouposti bodů z R, které cauchyovské ejsou! Cvičeí46:Možiy QiR \ QjsouhustévR.Majírůzou velikost (mohutost)? Cvičeí47: Pohrajtesi trochushustýmipodmožiamivr: (a)existujídvědisjuktípodmožiy R \ QhustévR? (b)existujíprokaždé Ndisjuktípodmožiy M,..., M R \ QhustévR? (c)existujeekoečěmohodisjuktíchpodmoži R \ QhustýchvR? (d)nechť M Rjespočetá.Jepak R \ MhustávR? Zkuste formulovat podobé problémky a pak je řešte! Tímto způsobem přistupujte ikdalšímpojmům,sekterýmisebudemevrámciteoriempsezamovat! Cvičeí48:Ukažte,žemožia MjeřídkávMP(P, ρ)(tj. ( M ) =,právěkdyžje (P \ M)=P. ) 7 Cvičeí 49: Uvědomte si: komplemet husté možiy emusí být řídká možia, komplemet řídké možiy emusí být hustá možia. Rozmyslete si, že přidáím jedoduché vlastostibudoutytopřechodykekomplemetům dobřefugovat.např.komplemet uzavřeé řídké možiy je hustá možia. Cvičeí50:Jesjedoceí M M 2 dvouřídkýchmoži M, M 2 (P, ρ)opětřídká možia?jesjedoceíkoečéhopočtuřídkýchmoživ(p, ρ)opětřídkámožia? Cvičeí 5: Je sjedoceí spočeté možiy řídkých moži v(p, ρ) opět řídká možia? Cvičeí 52: Kolik růzých hustých(řídkých) moži umíte alézt v diskrétím prostoru ze Cvičeí 40? Kdy je diskrétí prostor separabilí? Kdy je diskrétí prostor totálě omezeý? Cvičeí 53: Ilustrujte metodu kategorií a důkazu existece iracioálího čísla! Cvičeí54:( )Dokažtemetodoukategoriíexistecifukce f C([ a, b]),kteráeí mootóíajakémkoliitervalu[ c, d] [ a, b].vizpomocýtext. Cvičeí55:( )Dokažtemetodoukategoriíexistecifukce f C([ a, b]),kteráemáv žádém bodě koečou jedostraou derivaci. Viz pomocý text.
8 8 Cvičeí56:( )Eulervjedézesvýchpracívyšelzezáméhovzorceprosoučetgeometrické řady z k =, z <, z k=0 adosadilza zvýraze it =cos t+isi t, t (0,2π).Úpravamidostalrovost cos kt+i sikt= k=0 k=0 ( cos t) isi t = 2 + i sit 2 2cost a porováím a úpravou reálých částí výrazů a obou straách této rovosti dostal rovost cos kt= 2. Itegrací a vhodým dosazeím posléze obdržel π t 2 =sit+ si2t 2 + si3t 3 +. (Eu) Uvědomte si všechy ekorektosti postupu.(fukci budeme dále chápat jako 2π-periodickou fukci espojitou v lichých ásobcích π, která se auluje ve všech bodech espojitosti.) Cvičeí57:Ukažte,ževzhledemkeskalárímusoučiu(f, g)= 2π 0 f(t)g(t)dtjesystém {e ikt }, k Z,ortogoálí! Cvičeí58:Ukažte,ževzhledemkeskalárímusoučiu(f, g)= 2π 0 f(t)g(t)dtjesystém {, si kt, cos kt}, k N, ortogoálí! Použijte vzorce, zámé ze středoškolské látky Cvičeí 59: Předpokládejte, že 2cosa cos b=cos(a+b)+cos(a b), 2cosa si b=si(a+b) si(a b), 2si a si b=cos(a+b) cos(a b). f(t)= a ( ak cos kt+b k si kt ) ažeřadavpravokovergujestejoměrě.určete a k, b k, k N 0 pomocí f! Cvičeí60:Pročástečýsoučet s (f, x)fourierovyřadyspojité2π-periodickéfukce fodvoďtepro x=0 s (f,0)= π 2π 0 ( f(t) 2 + ) cos kt dt.
9 9 Cvičeí 6: Následující vyjádřeí Dirichletova jádra budeme budeme potřebovat ( D (t)= 2 + ) cos kt = si(+/2)t 2si t/2 (vyjádřeísesimásmyslpouzepro x R\2πZ,alerovostukazuje,ževtěchtobodech má D odstraitelé espojitosti). Rovost dokažte ze vzorce ( si k+ ) ( t si k ) ( t t=2cos ktsi 2 2 2) dosazeím,2,..., ;vziklérovosti sečtěte aupravte. Cvičeí62:Odhaděteormulieáríhofukcioálu L f= s (f,0)aprostoruspojitých2π-periodickýchfukcí C 2π (R)!Je { L =sup π π π } f(t) D (t)dt ; f π π π D (t) dt= π D. Vtomtoodhaduplatíveskutečostirovost;odůvoděte!Nyíormu D odhademe zdola:zerovosti si(t/2) t/2, t (0, ),plye π D = si( + /2)t π 2sit/2 dt si((+/2)t) dt t. π V posledím itegrálu v předcházejícím vztahu proveďte substituci u =( + /2)t a odhaděte(jedotlivé kroky zdůvoděte): 0 (+/2)π 0 siu u (+/2) du > kπ (k )π π kπ 0 siu u du si udu= 2 π k. Zdivergeceharmoickéřadydostáváme L =π D + pro,takže ormy L ejsoustejěomezeé. Cvičeí 63: Ověřte předpoklady Baach-Steihausovy věty a odůvoděte závěr: Existuje f C 2π (R),jejížFourierovařadaalespoňvjedombodědiverguje(PaulduBois- Reymod,873).Platídokocevíce:VC 2π (R)existuje(hustá)možiafukcí,jejichž Fourierova řada diverguje a husté podmožiě R. Cvičeí64:Vraťtesekevzorci(Eu)aukažte,žejdeoFourierovuřadu(espojité)fukce alevéstraěrovosti,aževbodechespojitostikovergujek0 ( = ( f(π+)+f(π ) ) /2 ). Cvičeí 65: Dokázali jsme Weierstrassovu aproximačí větu postupem, který užíval Ladau. Důkaz si můžete zopakovat v textu, k ěmuž je přístup z obsahu prosicových cvičeí.
10 0 Cvičeí 66: V souvislosti s Weierstrassovou větou jsme se sezámili s větou, kterou Korovkidokázalvr.953:Nechť L : C([ a, b]) C([ a, b]), N,jsouezáporélieárí operátorytakové,žeposloupost {L f}kovergujestejoměrěa[ a, b]kfukci fpro f =,Id,Id 2.Potomposloupost {L f}kovergujestejoměrěa[ a, b]kfukci f prokaždoufukci f C([ a, b]). Cvičeí67:Bersteir.92dokázal B f fa[0,]prokaždou f C([0,]). B f: x k=0 ( k ) ( ) f x k ( x) k, k x [0,]. Zdefiicejezřejmé,žeoperátory B : f B fjsoua C([0,])lieárí,ezáporéa zobrazují teto prostor do prostoru polyomů. Cvičeí68:Ukažtevásledujícíchcvičeích,žeposloupost {B f}stejoměrěkovergujeaitervalu[0,]kfukci fprotřifukce f=,id,aid 2.Ozačme f k =Id k, k=0,,2. Cvičeí69:Rovost B f 0 = f 0 provšecha Nplyezbiomickévěty. Cvičeí70:Uvažmedále,žepro k je ( ) k = k k k=0! ( k)! k! = ( )! ( k)!(k )! = Pro f dostaemepomocípředchozírovosti ( ) k B f (x)= x k ( x) k = x k j=0 ( ). k ( ) x k ( x) k = k ( ) = x x j ( x) ( ) j = x =f (x), j takžeprovšecha Nje B f = f. Cvičeí7:Dálespočtemepro k ( k ) ( 2 = k) k ( ) k a po úpravě dostaeme: k ( k ) = k = k Podosazeí f 2 obdržímeprovšecha x [0,] B f 2 (x)= ( ) + k ( ) ( = k ( k ) ( 2 x k) k ( x) k k=0 ( ) ; k ) ( ) 2. k 2 x [0,],
11 a pak jedoduchou úpravou postupě dostaeme B f 2 (x)= ( = ) ( ) 2 x k ( x) k + k 2 k=2 ( )x 2 + x ( = ( ) x k ( x) k = k ) f 2 (x)+ f (x); Cvičeí72:Je-li M R m možiavšechbodů,jejichžsouřadicejsoudiadickyracioálíčísla(jsoutvaru k/2 l, k Z, l N),určete M, M, M! Cvičeí73:Jsouprostory R=R, R m, m Nseparabilí?Jeprostor sseparabilí? Cvičeí74:Nechť ρjediskrétímetrikaaitervalu(0,).jeiterval(0,)smetrikou ρ separabilí MP? Cvičeí75:Jsouprostory m(= l ), c, c 0 separabilí? Cvičeí76:Jeprostor C([ a, b])separabilí? Cvičeí77:( )Kroměelemetáríhodůkazu(vizapř.pomocýtextčipředáška)vyplývá separabilita C([ a, b]) i z Weierstrassovy aproximačí věty. Jak věta zí?(dokážeme ji a cvičeí). Cvičeí78: Defiujte ε-siť možiy M! Najděte apř. v prostoru C([ a, b])příklad možiy, která je omezeá a přitom eí totálě omezeá! Cvičeí79:Jeprostor m(= l ), c, c 0 úplý? Cvičeí80:Naprostoru C([0,])defiujmeprokaždé Noperátory A tak,žepro každoufukci x C([0,])položíme ( k ( k A x = x ) ) a A xjelieárífukceaitervalu[(k )/, k/],kde,2,...,.zjistěte,zda platí kde Ijeidetickýoperátora C([0,]). Cvičeí8:Jeprostor C([ a, b])úplý? (a) A (x) x, x C([0,]), (b) A I C([0,]) 0, Cvičeí 82: Záte Weierstrassovu větu o polyomiálí aproximaci fukcí z prostoru C([0,])?Záteideualespoňjedohojejíhodůkazu? Cvičeí 83: Je souči dvou separabilích metrických prostorů separabilí metrický prostor? Cvičeí 84: Je souči dvou úplých metrických prostorů úplý metrický prostor?
12 2 Cvičeí85:Jezobrazeí T:(P, ρ) (P, ρ),prokteréplatí ρ(t(x), T(y)) < ρ(x, y), x, y P, kotraktivía(p, ρ)? Cvičeí 86( ): Pro posloupost x + = 2 ( x + a x ) s a > 0 jsme alezli(velmi dávo) její limitu(připomeňte si!). Souvisí teto příklad ějak s kotraktivitou zobrazeí? Šlo by teto příklad zobecit a případ -té odmociy? Cvičeí 87: Připomeňme si Catorovu větu v kotextu R i obecého metrického prostoru:nechť(p, ρ)jeúplýmetrickýprostoraechť {A } =jeerostoucíposloupost eprázdýchuzavřeýchmoživprostoru P,tj. A + A, N.Nechťdáleje diam(a ) 0. ( ) Potomexistujeprávějedebod x P takový,že {x}= = A. Ukažte, že předpoklad( ) je pro platost věty podstatý. Postřehete ějaký rozdíl protiklasické jedorozměré větě?ukažte,žeidalšípředpokladycatorovyvěty jsoupodstaté,tj.žepovyecháímootoieebouzavřeosti A taktomodifikovaé tvrzeí eplatí! Cvičeí 88: Připomeňte si Arzalà-Ascoliho větu! Jsou fukce z uzavřeé jedotkové koulevprostoru C([ a, b])stejěspojité? Cvičeí89:Nechťje F systémvšechfukcízprostoru C([ a, b]),kterémajía(a, b) všudevlastíderivaciaplatíproi f (x) < π, x (a, b).jsoufukcezf stejě spojité? Cvičeí 90: Na předášce jste si dokázali reálou verzi Stoe-Weierstrassovy věty: Nechť X (P, ρ)jekompaktíaechť A(X)jealgebrareálýchfukcíspojitýcha X.Odděluje-lialgebra A(X)body Xaobsahuje-liikostatífukci,jecl(A(X))=C(X). K í se váží ásledující cvičeí. Cvičeí9:Jeprostor C([ a, b])všechspojitýchfukcíaitervalu[ a, b]současěalgebrou?oddělujetatoalgebrabodyitervalu[ a, b]? Cvičeí92:Takéalgebra P([ a, b])všech(restrikcí)polyomůa[ a, b]oddělujebody [ a, b],jevšakvlastípodalgebrou C([ a, b]).cotvrdívtomtokotextuweierstrassova větaojejímuzávěrucl(p([ a, b]))vevztahukalgebře C([ a, b])? Cvičeí93:SystémvšechfukcízP([ a, b]),kteréseaulujívbodě(a+b)/2,odděluje body[ a, b],avšaktatoalgebraeobsahujevšechykostatífukcea[ a, b]. Cvičeí94:SystémvšechfukcízC([ a, b]),kteréseaulujívbodě(a+b)/2,odděluje body[ a, b],ajetoalgebra A.Cojeuzávěremtétoalgebry?
13 Cvičeí95:Systém BvšechfukcízC([ a, b]),kteréseaulujívedvourůzýchbodech x, y [ a, b],jealgebrakteráeoddělujebodyitervalu[ a, b].cojejejímuzávěrem? [Uzávěrcl(B)systému BobsahujepouzetyfukcezC([ a, b]),kteréležívb.] Cvičeí 96: Systém P všech polyomů z B obsahuje pouze jediou kostatí fukci f 0,alecl(P)=B,alejetoopětalgebra. Cvičeí 97: K čemu jsme použili pojem tzv. ε-přibližého řešeí difereciálí rovice 3 y = f(x, y)? ( ) Připomeňme,žeje-lifukce fvrovici( )spojitávoblasti G R 2 a ψjespojitáfukce aitervalu I R,prokterou[ t, ψ(t)] Gprovšecha t I,pakpokudplatípro ε >0 avšecha t I \ K ψ (t) f(t, ψ(t)) ε, ( ) kde K I je koečá možia, azýváme fukci ψ ε-přibližým řešeím rovice( ).
I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VíceCvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?
1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
VíceMatematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
Více1 Základní matematické pojmy Logika Množiny a jejich zobrazení... 7
Semiář z matematické aalýzy I Čížek Jiří-Kubr Mila 8 září 007 Obsah Základí matematické pojmy Logika Možiy a jejich zobrazeí 7 Reálá a komplexí čísla 6 Poslouposti 7 Základí vlastosti posloupostí 7 Limita
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
VíceZkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3
Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou
VíceMasarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015
Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019
Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii
Více(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =
NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:
Více1 Trochu o kritériích dělitelnosti
Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak
Více= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f
D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
VíceS polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické
5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí
VíceDiskrétní matematika
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
Více1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN
2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
VíceI. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0
8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
Vícec) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),
a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
Více5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
Více3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
Více5 Křivkové a plošné integrály
- 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy
Více1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti
Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi
Více1. Přirozená topologie v R n
MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášy M Krupy Zií seestr 999/ Přirozeá topologie v R V prví části tohoto tetu zavádíe přirozeou topologii a ožiě R ejprve jao topologii orovaého prostoru a pa jao topologii součiu
VíceDerivace součinu a podílu
5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VíceMatematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice
Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n
Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte
VíceOSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický
VíceVLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ
Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c
Více1 Nekonečné řady s nezápornými členy
Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete
VícePřednáška 7: Soustavy lineárních rovnic
Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
VíceOKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN
Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx
NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
VíceGEOMETRIE I. Pavel Burda
GEOMETRIE I Pavel Burda Obsah Úvod... 4 1. Vektorové prostory... 5. Vektorové prostory se skalárím ásobeím... 9. Afií prostory... 19 4. Afií přímka ( A 1 )... 5 5. Afií rovia (A )... 6 6. Afií prostor
VíceZformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):
Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při
Více2.4. INVERZNÍ MATICE
24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:
VíceWikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 1. října 2019
Matematika II - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ig. Radek Fučík, Ph.D. verze:. říja 9 Obsah Pokročilé techiky itegrace a zobecěý Riemaův itegrál. Racioálí fukce.................................... Pokročilé
Více3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele
VíceČíselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1
Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
Vícen 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1
3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.
Více3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic
Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Zákoy velkých čísel Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Ig. Lubomír Kubáček, DrSc.,
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
Vícemnožina všech reálných čísel
/6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,
Více