PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14"

Transkript

1 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo. Budeme používat ěkteré zkratky: MP pro metrický prostor(-y), NLP pro ormovaý prostor(-y), UP pro prostor se skalárím součiem(uitárí prostor), TP pro topologický prostor apod. Později zavedeme ještě další zkratky. Cvičeí : Pokud je metrika ρ a NLP X defiováa příslušou ormou, má speciálí vlastosti:provšecha x, y, z Xavšecha α Tplatí ρ(x, y)=ρ(x+z, y+ z), ρ(αx, αy)= α ρ(x, y). Proč?ZáteějakoumetrikuaLP,kterátutovlastostemá?Má-limetrikaaLP tyto dvě vlastosti, je geerováa ějakou ormou? Cvičeí2:Vlastostiormy kopírují vlastostiabsolutíhodotya R.Uvědomtesi trojúhelíkovouerovostproormu,resp.jejíčásti,pokudjizapisujetev obsažějším tvaru x y x ± y x + y, Tuto složeou erovost budeme často používat. ze které plye spojitost ormy. Lze dokázat, že všechy ormy a LP -tic reálých(komplexích) čísel jsou ekvivaletí! Cvičeí 3: Připomeňte zavedeí skalárího součiu a LP X! Vlastosti budeme obvykle zapisovat ve tvaru: (x, x) 0,(x, x)=0,právěkdyž x=0, (αx+βy, z)=α(x, z)+β(y, z), (x, y)=(y, x),resp.(x, y)=(y, x), přičemžposledívztahužívámevpřípadě,žepracujemealpad C.Normua Xpak defiujemevztahem x = (x, x)apoužívámezkratkuup. Cvičeí 4: Dokažte, že a UP platí tzv. Schwarzova erovost (x, y) x y! Cvičeí 5: Pro ormu a(komplexím) UP dokažte pomocí Schwarzovy erovosti trojúhelíkovou erovost!

2 2 Cvičeí 6: Dokažte, že orma geerovaá skalárím součiem a UP splňuje podmíku: provšecha x, y Xje x+y 2 + x y 2 =2 ( x 2 + y 2) ; (tzv. rovoběžíkové pravidlo; ukažte, že teto ázev má své opodstatěí). Existuje ormovaý lieárí prostor(nlp), ve kterém orma tuto podmíku esplňuje? Jestliže orma a NLP X (ad R) splňuje rovoběžíkové pravidlo, lze odpovídající skalárí souči defiovat takto: položíme p(x, y):= 4( x+y 2 x y 2) ; fukce pa X Xjejižhledaýmskalárímsoučiem.Ukažte,žeobecěpřes defiici součiu(x, y):=(/2) ( x+y 2 x 2 y 2) cestaevede.vpřípadě,žepracujeme sprostorem Xad C,je p(ix, y)= p(x, iy)ahledaýskalárísoučimátvar (x, y):= p(x, y) ip(ix, y). Důkaz odpovídajícího tvrzeí vyžaduje trochu práce. Cvičeí 7: Systém B všech otevřeých moži metrického prostoru (X, ρ) má tyto vlastosti: (a), X B, (b) sjedoceí libovolého podsystému systému B je prvkem B, a (c) průik koečého podsystému systému B je prvkem B. Všimětesi,žeprolibovoloudvojicibodů x, y X, x y,lzealézt U x, U y Btak, že x U x, y U y a U x U y = (systém Boddělujebodyprostoru X). Cvičeí 8: Libovolý systém B podmoži možiy X s vlastostmi(a),(b),(c) z předcházejícího cvičeí se azývá topologie(a X). Topologii a X velmi často začíme τ a dvojici(x, τ) azýváme topologický prostor. Prvky systému τ jsou otevřeé možiy (X, τ)apomocíichlzezavéstv(x, τ)řadupojmů,kterézátezteoriemp(pozor,vše efuguje zcelaaalogickyjakovmp!). Cvičeí9:Triviálímitopologiemia Xjsouapř.systémy τ = {, X}ebosystém τ 2 = P(X)všechpodmožimožiy X.Kteréfukcea(X, τ )eboa(x, τ 2 )jsou spojité?je-li#(x) 2, τ eoddělujebody X.(Problémmožostivytvořittopologii metrikou ebudeme blíže zkoumat.) Cvičeí 0: Ověřte všechy vlastosti stadardí metriky a prostoru C([ a, b]). Totéž proveďtepro C([ a, b])sitegrálímetrikou. Cvičeí : Rozmyslete si vlastosti itegrálí metriky a prostoru R([, b]) všech riemaovsky itegrovatelých fukcí a itervalu[ a, b]. Jak pracujeme s třídami skoro všude spojitých fukcí?

3 Cvičeí 2: Prostor m je tvoře všemi omezeými posloupostmi, prostor c všemi kovergetímiposloupostmi,prostor c 0 všemiposloupostmikovergetímik0aprostor s 0 všemiposloupostmi,kterémajípouzekoečýpočeteulovýchčleů.vevšechlze zavéstprox={x k } =: {x k}ormuvztahem x :=sup{ x k ; k N } (Můžeme pracovat s posloupostmi reálých ebo komplexích čísel.) Jestliže X Y začívztah Xjelieárímpodprostorem Y,jezřejmě s 0 c 0 c m s, kde sjelpvšechposloupostíčísel(z RebozC). Cvičeí 3: Normu v prostoru všech -tic reálých(ebo komplexích) čísel lze pro p zavéstpředpisem ( x p := x k p) /p. Ukažte, že je x :=max { x k ; k {,..., } } = lim p x p. Tytoprostoryzačíváme l p (jetedy l m). Cvičeí 4: Aalogicky zavádíme pro p prostory posloupostí: Na lieárím prostoru l p všechposloupostíx={x k },proěžje x k p < defiujeme ( x p := x k p) /p. Připoužitítohotoozačeíjerozuméklást l = mzaalogickýchdůvodůjakove Cvičeí 7. Cvičeí5:Zaveďtea R Rezáporoufukci σ(x, y)předpisem σ(x, y)= x y + x y! Všimětesi,žejeomezeáaukažte,že σjemetrika R!Pozámka:Fukce palpx s vlastostmi () p(x) 0, (2) p(0)=0, (3) p(x)=p( x) (4) p(x+y) p(x)+p(y) (5) pro t k t apro x k x je p(t k x k tx) 0 3 jeparaormaa X.Zkoumejte p(x y)!

4 4 Cvičeí6:Zobecětepředchozíúlohuadokažte,žeje-li ρ=ρ(x, y)metrikaamp X, je také ρ(x, y) σ(x, y)= +ρ(x, y) (omezeá) metrika a X. To ám dává možost zavést omezeou metriku a jakémkoli MP.Přitomsetatometrikaodpůvodílišíje epodstatě ktétokostrukcise ještě vrátíme. Cvičeí 7: Je poměrě vžité užíváí stadardího ozačeí pro prostory všech posloupostí reálých, resp. komplexích čísel, které pak uvažujeme jako prostory ad R, resp. C. Tetoprostorlzeopatřitmatrikou ρapř.tak,žeprovšecha x, y Xpoložíme Teto prostor budeme začit s. ρ(x, y):= 2 k x k y k + x k y k Cvičeí8:Ukažte,ževsplatí:je-li x k x 0 v saα k α 0 v T,pak α k x k α 0 x 0. Cvičeí9:VtomtocvičeízobecímeSchwarzovuerovosta R m :prokaždáčísla p, q (0, )splňujícípodmíku p+q= p q,eboli p + q =, akaždédvabody[ x,..., x m ],[ y,..., y m ]zr m platíhölderovaerovost m ( m ) /p ( m ) /q x k y k x k p y k q. Cvičeí20:Prokaždé p,<p<,aprokaždoudvojicibodů x=[ x,..., x m ], y=[ y,..., y m ]zr m platíerovostmikowskiho(českymikowského) ( m x k + y k p) /p ( m x k p) /p ( m + y k p) /p. JakýjejejívýzamvkotextuMP? Cvičeí2:DokažteHölderovuaMikovskihoerovostproprostoryposloupostí l p (tj. obdobé erovosti pro ekoečé řady)! Cvičeí 22: Připomeňte defiici otevřeé a uzavřeé koule a sféry v kotextu MP. V diskrétím MP jedotková sféra obsahuje libovolě moho disjuktích otevřeých jedotkovýchkoulí. Cvičeí 23: Připomeňte si defiici diametru možiy. Proč je součástí defiice část, vymezujícíspeciálědiam( )?Všimětesivztahůmezi poloměrem a průměrem koule v diskrétím prostoru!

5 Cvičeí24:JakpopisujemevzájemývztahboduamožiyvMP?Připomeňtesi defiici vitřího, vějšího a hraičího bodu možiy! Jak se defiuje hromadý bod možiy? Cvičeí 25: Jak defiujeme spojitost a limitu fukce, defiovaé a MP? Proč emůžeme defiovat limitu fukce vzhledem k možiě v jejím izolovaém bodě? Cvičeí26:Defiicevzdáleostimoži M, NvMP(P, ρ)je(m, N ) dist(m, N):=if{ρ(x, y); x M, y N}. Často zjedodušujeme, zde apř. píšeme dist(x, A) místo dist({x}, A) a mluvíme o vzdáleosti bodu od možiy. Cvičeí27:Ozačme d A (x)proeprázdoumožiu A (P, ρ)vzdáleostbodu xod možiy A. Dokažte erovost da (x) d A (y) ρ(x, y). Je-li x A,je d A (x)=0.lzetototvrzeíobrátit,tj.plyezd A (x)=0,že x A? Cvičeí28:NajdětedvědisjuktímožiyvRsulovouvzdáleostí!Jepro r >0 vzdáleost B(x, r)ak(x, r)vždy0?jepro r >0vzdáleost B(x, r)as(x, r)vždy0? Jepro r >0vzdáleost S(x, r)ak(x, r)vždy0? Cvičeí29:Lzevolit M, Neprázdéuzavřeév R sdist(m, N)=0disjuktí? Cvičeí30:Jevzdáleost d A (x)boduodmožiyspojitáfukce?lzejiějakvyužít, apř.kpopisuuzávěru Amožiy A? Cvičeí3:Normy a 2 (jdepouzeoozačeí,ikolio p-čkové ormy!)a LP Xtakové,žeexistujíkladékostaty C, Daprovšecha x Xplatí C x x 2 D x se azývají ekvivaletí ormy a X. Uveďte příklady! Je to symetrický vztah? Cvičeí 32: Na prostoru C([ a, b]) lze defiovat supremovou a itegrálí ormu. Zkoumejte vztahy mezi imi. Jsou tyto ormy ekvivaletí? Cvičeí33:Jsouormy, 2 a a R m ekvivaletí?colzeřícioormách p proobecé p? Cvičeí34:ZamysleteseadmožostmivytvářeídalšíchMP.Jsou-li(P, ρ)a(q, σ) dvamp,lzezavéstějakpřirozeěmetrikua P Q? Cvičeí35:Je-li(P, ρ)mpadefiujeme-li σ(x, y)= ρ(x, y) +ρ(x, y), je σ(x, y) ρ(x, y).neí-li(p, ρ)omezeý,elzealéztkladékostaty C, Dtak,aby provšecha x, y (P, ρ)(proč?). Cσ(x, y) ρ(x, y) Dσ(x, y) 5

6 6 Cvičeí 36: Metriky z předcházejícího příkladu jsou i jiak odlišé: je-li ρ geerováa ormou, σ tuto vlastost emá. Cvičeí37:Říkáme,žemetriky ρaσjsouaprostoru Pekvivaletí,platí-liprokaždou posloupostbodů x Pakaždé x Pekvivalece limx = xv(p, ρ) limx = xv(p, σ). Ukažte,žeprometrikyzeCvičeíje (/2)ρ(x, y) σ(x, y) ρ(x, y) provšecha x (P, ρ)ata y (P, ρ),proěžje ρ(x, y) <. Cvičeí38:Eukleidovskýprostor R 2 a Cjsouizometrickyizomorfí.Cosipodtím představíte? Cvičeí39:Ozačíme-li C := {z = x+iy C; y = 0},je C izometrickýsr. Podroběji,(metrický)podprostor C smetrikouidukovaouz(c, ρ)jeizometrický s R. Cvičeí 40: Je-li T prosté zobrazeí možiy P do metrického prostoru (Q, σ), lze jedodušezpvytvořitmptak,aby Tbylaizometrie(P, ρ)a(t(p), σ);stačídefiovat a P metriku ρ předpisem ρ(x, y):= σ(t(x), T(y)), x, y P. Totojejedazcest,pomocíížlzedefiovatdalšíMP. Cvičeí4:Naprostoru R = R {, }defiujmezobrazeído R T(x):= x + x, x R, aklademe T(x):= ±,je-li x=±. Tjeprostézobrazeí R aiterval[,]. Za(Q, σ)zvolme[,]smetrikouidukovaouzr adefiujmeprovšecha x, y R ρ(x, y)= T(x) T(y). Takjsmezískalidvojiciizometrickýchprostorůaopatřili R metrikou. Cvičeí42:LzezkaždéposloupostibodůMP(R, ρ),kde ρjemetrika,defiovaá vecvičeí39,vybratposloupostkovergetív(r, ρ)? Cvičeí43:Ozačme K půlkružici {[x, y] R 2 ; x 2 +(y ) 2 =, y }ajejí body promítětezbodu[0,]a R.Použijtepopsaousituacikdefiicizobrazeí ametrikya R sobdobýmivlastostmi,jakémá ρzpředcházejícíchdvoucvičeí!

7 Cvičeí44:Ozačme Kkružici {[x, y] R 2 ; x 2 +(y ) 2 = }ajejíbody promítěte zbodu[0,2]a R # := R { }.Postupujtejakovpředchozímcvičeíapoužijte popsaousituacikdefiicizobrazeíametriky ρa R # sobdobouvlastostí,jakou mělvziklýmp(r, ρ)zecvičeí40(resp.39)! Cvičeí45:JsouMP(R, ρ)a(r #, ρ)úplé,tj.kovergujevichkaždáposloupost, splňujícíbolzao-cauchyhopodmíku( cauchyovská posloupost)?uvědomtesi,že prostézobrazeí g:= T,kde T(x):= x + x, x R, zobrazuje ěkteré cauchyovské poslouposti bodů itervalu(0, ) a poslouposti bodů z R, které cauchyovské ejsou! Cvičeí46:Možiy QiR \ QjsouhustévR.Majírůzou velikost (mohutost)? Cvičeí47: Pohrajtesi trochushustýmipodmožiamivr: (a)existujídvědisjuktípodmožiy R \ QhustévR? (b)existujíprokaždé Ndisjuktípodmožiy M,..., M R \ QhustévR? (c)existujeekoečěmohodisjuktíchpodmoži R \ QhustýchvR? (d)nechť M Rjespočetá.Jepak R \ MhustávR? Zkuste formulovat podobé problémky a pak je řešte! Tímto způsobem přistupujte ikdalšímpojmům,sekterýmisebudemevrámciteoriempsezamovat! Cvičeí48:Ukažte,žemožia MjeřídkávMP(P, ρ)(tj. ( M ) =,právěkdyžje (P \ M)=P. ) 7 Cvičeí 49: Uvědomte si: komplemet husté možiy emusí být řídká možia, komplemet řídké možiy emusí být hustá možia. Rozmyslete si, že přidáím jedoduché vlastostibudoutytopřechodykekomplemetům dobřefugovat.např.komplemet uzavřeé řídké možiy je hustá možia. Cvičeí50:Jesjedoceí M M 2 dvouřídkýchmoži M, M 2 (P, ρ)opětřídká možia?jesjedoceíkoečéhopočtuřídkýchmoživ(p, ρ)opětřídkámožia? Cvičeí 5: Je sjedoceí spočeté možiy řídkých moži v(p, ρ) opět řídká možia? Cvičeí 52: Kolik růzých hustých(řídkých) moži umíte alézt v diskrétím prostoru ze Cvičeí 40? Kdy je diskrétí prostor separabilí? Kdy je diskrétí prostor totálě omezeý? Cvičeí 53: Ilustrujte metodu kategorií a důkazu existece iracioálího čísla! Cvičeí54:( )Dokažtemetodoukategoriíexistecifukce f C([ a, b]),kteráeí mootóíajakémkoliitervalu[ c, d] [ a, b].vizpomocýtext. Cvičeí55:( )Dokažtemetodoukategoriíexistecifukce f C([ a, b]),kteráemáv žádém bodě koečou jedostraou derivaci. Viz pomocý text.

8 8 Cvičeí56:( )Eulervjedézesvýchpracívyšelzezáméhovzorceprosoučetgeometrické řady z k =, z <, z k=0 adosadilza zvýraze it =cos t+isi t, t (0,2π).Úpravamidostalrovost cos kt+i sikt= k=0 k=0 ( cos t) isi t = 2 + i sit 2 2cost a porováím a úpravou reálých částí výrazů a obou straách této rovosti dostal rovost cos kt= 2. Itegrací a vhodým dosazeím posléze obdržel π t 2 =sit+ si2t 2 + si3t 3 +. (Eu) Uvědomte si všechy ekorektosti postupu.(fukci budeme dále chápat jako 2π-periodickou fukci espojitou v lichých ásobcích π, která se auluje ve všech bodech espojitosti.) Cvičeí57:Ukažte,ževzhledemkeskalárímusoučiu(f, g)= 2π 0 f(t)g(t)dtjesystém {e ikt }, k Z,ortogoálí! Cvičeí58:Ukažte,ževzhledemkeskalárímusoučiu(f, g)= 2π 0 f(t)g(t)dtjesystém {, si kt, cos kt}, k N, ortogoálí! Použijte vzorce, zámé ze středoškolské látky Cvičeí 59: Předpokládejte, že 2cosa cos b=cos(a+b)+cos(a b), 2cosa si b=si(a+b) si(a b), 2si a si b=cos(a+b) cos(a b). f(t)= a ( ak cos kt+b k si kt ) ažeřadavpravokovergujestejoměrě.určete a k, b k, k N 0 pomocí f! Cvičeí60:Pročástečýsoučet s (f, x)fourierovyřadyspojité2π-periodickéfukce fodvoďtepro x=0 s (f,0)= π 2π 0 ( f(t) 2 + ) cos kt dt.

9 9 Cvičeí 6: Následující vyjádřeí Dirichletova jádra budeme budeme potřebovat ( D (t)= 2 + ) cos kt = si(+/2)t 2si t/2 (vyjádřeísesimásmyslpouzepro x R\2πZ,alerovostukazuje,ževtěchtobodech má D odstraitelé espojitosti). Rovost dokažte ze vzorce ( si k+ ) ( t si k ) ( t t=2cos ktsi 2 2 2) dosazeím,2,..., ;vziklérovosti sečtěte aupravte. Cvičeí62:Odhaděteormulieáríhofukcioálu L f= s (f,0)aprostoruspojitých2π-periodickýchfukcí C 2π (R)!Je { L =sup π π π } f(t) D (t)dt ; f π π π D (t) dt= π D. Vtomtoodhaduplatíveskutečostirovost;odůvoděte!Nyíormu D odhademe zdola:zerovosti si(t/2) t/2, t (0, ),plye π D = si( + /2)t π 2sit/2 dt si((+/2)t) dt t. π V posledím itegrálu v předcházejícím vztahu proveďte substituci u =( + /2)t a odhaděte(jedotlivé kroky zdůvoděte): 0 (+/2)π 0 siu u (+/2) du > kπ (k )π π kπ 0 siu u du si udu= 2 π k. Zdivergeceharmoickéřadydostáváme L =π D + pro,takže ormy L ejsoustejěomezeé. Cvičeí 63: Ověřte předpoklady Baach-Steihausovy věty a odůvoděte závěr: Existuje f C 2π (R),jejížFourierovařadaalespoňvjedombodědiverguje(PaulduBois- Reymod,873).Platídokocevíce:VC 2π (R)existuje(hustá)možiafukcí,jejichž Fourierova řada diverguje a husté podmožiě R. Cvičeí64:Vraťtesekevzorci(Eu)aukažte,žejdeoFourierovuřadu(espojité)fukce alevéstraěrovosti,aževbodechespojitostikovergujek0 ( = ( f(π+)+f(π ) ) /2 ). Cvičeí 65: Dokázali jsme Weierstrassovu aproximačí větu postupem, který užíval Ladau. Důkaz si můžete zopakovat v textu, k ěmuž je přístup z obsahu prosicových cvičeí.

10 0 Cvičeí 66: V souvislosti s Weierstrassovou větou jsme se sezámili s větou, kterou Korovkidokázalvr.953:Nechť L : C([ a, b]) C([ a, b]), N,jsouezáporélieárí operátorytakové,žeposloupost {L f}kovergujestejoměrěa[ a, b]kfukci fpro f =,Id,Id 2.Potomposloupost {L f}kovergujestejoměrěa[ a, b]kfukci f prokaždoufukci f C([ a, b]). Cvičeí67:Bersteir.92dokázal B f fa[0,]prokaždou f C([0,]). B f: x k=0 ( k ) ( ) f x k ( x) k, k x [0,]. Zdefiicejezřejmé,žeoperátory B : f B fjsoua C([0,])lieárí,ezáporéa zobrazují teto prostor do prostoru polyomů. Cvičeí68:Ukažtevásledujícíchcvičeích,žeposloupost {B f}stejoměrěkovergujeaitervalu[0,]kfukci fprotřifukce f=,id,aid 2.Ozačme f k =Id k, k=0,,2. Cvičeí69:Rovost B f 0 = f 0 provšecha Nplyezbiomickévěty. Cvičeí70:Uvažmedále,žepro k je ( ) k = k k k=0! ( k)! k! = ( )! ( k)!(k )! = Pro f dostaemepomocípředchozírovosti ( ) k B f (x)= x k ( x) k = x k j=0 ( ). k ( ) x k ( x) k = k ( ) = x x j ( x) ( ) j = x =f (x), j takžeprovšecha Nje B f = f. Cvičeí7:Dálespočtemepro k ( k ) ( 2 = k) k ( ) k a po úpravě dostaeme: k ( k ) = k = k Podosazeí f 2 obdržímeprovšecha x [0,] B f 2 (x)= ( ) + k ( ) ( = k ( k ) ( 2 x k) k ( x) k k=0 ( ) ; k ) ( ) 2. k 2 x [0,],

11 a pak jedoduchou úpravou postupě dostaeme B f 2 (x)= ( = ) ( ) 2 x k ( x) k + k 2 k=2 ( )x 2 + x ( = ( ) x k ( x) k = k ) f 2 (x)+ f (x); Cvičeí72:Je-li M R m možiavšechbodů,jejichžsouřadicejsoudiadickyracioálíčísla(jsoutvaru k/2 l, k Z, l N),určete M, M, M! Cvičeí73:Jsouprostory R=R, R m, m Nseparabilí?Jeprostor sseparabilí? Cvičeí74:Nechť ρjediskrétímetrikaaitervalu(0,).jeiterval(0,)smetrikou ρ separabilí MP? Cvičeí75:Jsouprostory m(= l ), c, c 0 separabilí? Cvičeí76:Jeprostor C([ a, b])separabilí? Cvičeí77:( )Kroměelemetáríhodůkazu(vizapř.pomocýtextčipředáška)vyplývá separabilita C([ a, b]) i z Weierstrassovy aproximačí věty. Jak věta zí?(dokážeme ji a cvičeí). Cvičeí78: Defiujte ε-siť možiy M! Najděte apř. v prostoru C([ a, b])příklad možiy, která je omezeá a přitom eí totálě omezeá! Cvičeí79:Jeprostor m(= l ), c, c 0 úplý? Cvičeí80:Naprostoru C([0,])defiujmeprokaždé Noperátory A tak,žepro každoufukci x C([0,])položíme ( k ( k A x = x ) ) a A xjelieárífukceaitervalu[(k )/, k/],kde,2,...,.zjistěte,zda platí kde Ijeidetickýoperátora C([0,]). Cvičeí8:Jeprostor C([ a, b])úplý? (a) A (x) x, x C([0,]), (b) A I C([0,]) 0, Cvičeí 82: Záte Weierstrassovu větu o polyomiálí aproximaci fukcí z prostoru C([0,])?Záteideualespoňjedohojejíhodůkazu? Cvičeí 83: Je souči dvou separabilích metrických prostorů separabilí metrický prostor? Cvičeí 84: Je souči dvou úplých metrických prostorů úplý metrický prostor?

12 2 Cvičeí85:Jezobrazeí T:(P, ρ) (P, ρ),prokteréplatí ρ(t(x), T(y)) < ρ(x, y), x, y P, kotraktivía(p, ρ)? Cvičeí 86( ): Pro posloupost x + = 2 ( x + a x ) s a > 0 jsme alezli(velmi dávo) její limitu(připomeňte si!). Souvisí teto příklad ějak s kotraktivitou zobrazeí? Šlo by teto příklad zobecit a případ -té odmociy? Cvičeí 87: Připomeňme si Catorovu větu v kotextu R i obecého metrického prostoru:nechť(p, ρ)jeúplýmetrickýprostoraechť {A } =jeerostoucíposloupost eprázdýchuzavřeýchmoživprostoru P,tj. A + A, N.Nechťdáleje diam(a ) 0. ( ) Potomexistujeprávějedebod x P takový,že {x}= = A. Ukažte, že předpoklad( ) je pro platost věty podstatý. Postřehete ějaký rozdíl protiklasické jedorozměré větě?ukažte,žeidalšípředpokladycatorovyvěty jsoupodstaté,tj.žepovyecháímootoieebouzavřeosti A taktomodifikovaé tvrzeí eplatí! Cvičeí 88: Připomeňte si Arzalà-Ascoliho větu! Jsou fukce z uzavřeé jedotkové koulevprostoru C([ a, b])stejěspojité? Cvičeí89:Nechťje F systémvšechfukcízprostoru C([ a, b]),kterémajía(a, b) všudevlastíderivaciaplatíproi f (x) < π, x (a, b).jsoufukcezf stejě spojité? Cvičeí 90: Na předášce jste si dokázali reálou verzi Stoe-Weierstrassovy věty: Nechť X (P, ρ)jekompaktíaechť A(X)jealgebrareálýchfukcíspojitýcha X.Odděluje-lialgebra A(X)body Xaobsahuje-liikostatífukci,jecl(A(X))=C(X). K í se váží ásledující cvičeí. Cvičeí9:Jeprostor C([ a, b])všechspojitýchfukcíaitervalu[ a, b]současěalgebrou?oddělujetatoalgebrabodyitervalu[ a, b]? Cvičeí92:Takéalgebra P([ a, b])všech(restrikcí)polyomůa[ a, b]oddělujebody [ a, b],jevšakvlastípodalgebrou C([ a, b]).cotvrdívtomtokotextuweierstrassova větaojejímuzávěrucl(p([ a, b]))vevztahukalgebře C([ a, b])? Cvičeí93:SystémvšechfukcízP([ a, b]),kteréseaulujívbodě(a+b)/2,odděluje body[ a, b],avšaktatoalgebraeobsahujevšechykostatífukcea[ a, b]. Cvičeí94:SystémvšechfukcízC([ a, b]),kteréseaulujívbodě(a+b)/2,odděluje body[ a, b],ajetoalgebra A.Cojeuzávěremtétoalgebry?

13 Cvičeí95:Systém BvšechfukcízC([ a, b]),kteréseaulujívedvourůzýchbodech x, y [ a, b],jealgebrakteráeoddělujebodyitervalu[ a, b].cojejejímuzávěrem? [Uzávěrcl(B)systému BobsahujepouzetyfukcezC([ a, b]),kteréležívb.] Cvičeí 96: Systém P všech polyomů z B obsahuje pouze jediou kostatí fukci f 0,alecl(P)=B,alejetoopětalgebra. Cvičeí 97: K čemu jsme použili pojem tzv. ε-přibližého řešeí difereciálí rovice 3 y = f(x, y)? ( ) Připomeňme,žeje-lifukce fvrovici( )spojitávoblasti G R 2 a ψjespojitáfukce aitervalu I R,prokterou[ t, ψ(t)] Gprovšecha t I,pakpokudplatípro ε >0 avšecha t I \ K ψ (t) f(t, ψ(t)) ε, ( ) kde K I je koečá možia, azýváme fukci ψ ε-přibližým řešeím rovice( ).

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W )

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W ) 5. Sdíleí tepla. pomy: Pomem tepelá eergie ozačueme eergii mikroskopického pohybu částic (traslačího, rotačího, vibračího). Měřitelou mírou této eergie e teplota. Teplo e část vitří eergie, která samovolě

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu 2. efiice plazmatu, základí charakteristiky plazmatu efiice plazmatu Plazma bývá obyčejě ozačováo za čtvrté skupeství hmoty. Pokud zahříváme pevou látku, dojde k jejímu roztaveí, při dalším zahříváí se

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

10. Rekurentní vztahy

10. Rekurentní vztahy Diskrétí matematika 0 Rekuretí vztahy phabala 202 Kapitolu uvedeme populárím příkladem 0 Rekuretí vztahy Příklad 0a: Teto problém je zám po ázvem Haojské věže Představte si tři tyčky, a jedé je avlečeo

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby.

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby. V kapitole Ituitiví kobiatorika jse řešili příklady více éě stejý způsobe a stejých pricipech. Nyí si je zobecíe a adefiujee obvyklou teriologii. pravidlo součtu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

35! n! n k! = n k k! n k! k! = n k

35! n! n k! = n k k! n k! k! = n k Do školí jídely přišla skupia 35 žáků. Určete kolika způsoby se mohli seřadit do froty u výdeje obědů. Řešeí: Počet možostí je 1 2... 35=35! (Permutace bez opakováí) Permutací bez opakováí z -prvkové možiy

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu 1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou

Více

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components Nové metody a postupy v oblasti přístrojové techiky, automatického řízeí a iformatiky Ústav přístrojové a řídicí techiky ČVUT v Praze, odbor přesé mechaiky a optiky Techická 4, 66 7 Praha 6 GRADIENTNÍ

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH Zpracováo v rámci projektu " Vzděláváí pro kokureceschopost - kokureceschopost pro Třeboňsko", registračí číslo CZ.1.07/1.1.10/02.0063 Gymázium, Třeboň, Na Sadech 308 Autor:

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů Číslicová filtrace Použití : Separace sigálů Restaurace sigálů Číslicové filtry Aalogové x číslicové filtry : Aalogové Číslicové: + levé + rychlé + velký dyamický rozsah (v amplitudě i frekveci) - evhodé

Více

Měřící technika - MT úvod

Měřící technika - MT úvod Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače

Více

Infinity series collection of solved and unsolved examples

Infinity series collection of solved and unsolved examples Nekoečé řady sbírka řešeých a eřešeých příkladů Ifiity series collectio of solved ad usolved examples Lucie Jaoušková Bakalářská práce 9 ABSTRAKT Cílem práce bylo vytvořit sbírku řešeých příkladů, která

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Slovo chaos se používá nejčastěji ve třech různých souvislostech: v řecké mytologii, v běžném smyslu a ve spojení

Slovo chaos se používá nejčastěji ve třech různých souvislostech: v řecké mytologii, v běžném smyslu a ve spojení 38 Determiistický chaos Determiistický chaos plod počítačové fyziky Pavel Pokorý Ústav matematiky, VŠCHT Praha, Techická 5, 66 8 Praha 6 Vysvětlíme tři hlaví výzamy slova chaos: v běžé řeči, v řecké mytologii

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

Obsah. Opravy pro toto vydání: opravy2.proflakace.cz

Obsah. Opravy pro toto vydání: opravy2.proflakace.cz Obsah Úvod... 5 Základí pojmy... 7. Tříděí dat... 7. Míry úrově polohy... 8.3 Míry variability... 8 Počet pravděpodobosti.... Průik a sjedoceí jevů.... Náhodá veličia... 6.3 Rozděleí áhodé veličiy... 8

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více