PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14"

Transkript

1 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo. Budeme používat ěkteré zkratky: MP pro metrický prostor(-y), NLP pro ormovaý prostor(-y), UP pro prostor se skalárím součiem(uitárí prostor), TP pro topologický prostor apod. Později zavedeme ještě další zkratky. Cvičeí : Pokud je metrika ρ a NLP X defiováa příslušou ormou, má speciálí vlastosti:provšecha x, y, z Xavšecha α Tplatí ρ(x, y)=ρ(x+z, y+ z), ρ(αx, αy)= α ρ(x, y). Proč?ZáteějakoumetrikuaLP,kterátutovlastostemá?Má-limetrikaaLP tyto dvě vlastosti, je geerováa ějakou ormou? Cvičeí2:Vlastostiormy kopírují vlastostiabsolutíhodotya R.Uvědomtesi trojúhelíkovouerovostproormu,resp.jejíčásti,pokudjizapisujetev obsažějším tvaru x y x ± y x + y, Tuto složeou erovost budeme často používat. ze které plye spojitost ormy. Lze dokázat, že všechy ormy a LP -tic reálých(komplexích) čísel jsou ekvivaletí! Cvičeí 3: Připomeňte zavedeí skalárího součiu a LP X! Vlastosti budeme obvykle zapisovat ve tvaru: (x, x) 0,(x, x)=0,právěkdyž x=0, (αx+βy, z)=α(x, z)+β(y, z), (x, y)=(y, x),resp.(x, y)=(y, x), přičemžposledívztahužívámevpřípadě,žepracujemealpad C.Normua Xpak defiujemevztahem x = (x, x)apoužívámezkratkuup. Cvičeí 4: Dokažte, že a UP platí tzv. Schwarzova erovost (x, y) x y! Cvičeí 5: Pro ormu a(komplexím) UP dokažte pomocí Schwarzovy erovosti trojúhelíkovou erovost!

2 2 Cvičeí 6: Dokažte, že orma geerovaá skalárím součiem a UP splňuje podmíku: provšecha x, y Xje x+y 2 + x y 2 =2 ( x 2 + y 2) ; (tzv. rovoběžíkové pravidlo; ukažte, že teto ázev má své opodstatěí). Existuje ormovaý lieárí prostor(nlp), ve kterém orma tuto podmíku esplňuje? Jestliže orma a NLP X (ad R) splňuje rovoběžíkové pravidlo, lze odpovídající skalárí souči defiovat takto: položíme p(x, y):= 4( x+y 2 x y 2) ; fukce pa X Xjejižhledaýmskalárímsoučiem.Ukažte,žeobecěpřes defiici součiu(x, y):=(/2) ( x+y 2 x 2 y 2) cestaevede.vpřípadě,žepracujeme sprostorem Xad C,je p(ix, y)= p(x, iy)ahledaýskalárísoučimátvar (x, y):= p(x, y) ip(ix, y). Důkaz odpovídajícího tvrzeí vyžaduje trochu práce. Cvičeí 7: Systém B všech otevřeých moži metrického prostoru (X, ρ) má tyto vlastosti: (a), X B, (b) sjedoceí libovolého podsystému systému B je prvkem B, a (c) průik koečého podsystému systému B je prvkem B. Všimětesi,žeprolibovoloudvojicibodů x, y X, x y,lzealézt U x, U y Btak, že x U x, y U y a U x U y = (systém Boddělujebodyprostoru X). Cvičeí 8: Libovolý systém B podmoži možiy X s vlastostmi(a),(b),(c) z předcházejícího cvičeí se azývá topologie(a X). Topologii a X velmi často začíme τ a dvojici(x, τ) azýváme topologický prostor. Prvky systému τ jsou otevřeé možiy (X, τ)apomocíichlzezavéstv(x, τ)řadupojmů,kterézátezteoriemp(pozor,vše efuguje zcelaaalogickyjakovmp!). Cvičeí9:Triviálímitopologiemia Xjsouapř.systémy τ = {, X}ebosystém τ 2 = P(X)všechpodmožimožiy X.Kteréfukcea(X, τ )eboa(x, τ 2 )jsou spojité?je-li#(x) 2, τ eoddělujebody X.(Problémmožostivytvořittopologii metrikou ebudeme blíže zkoumat.) Cvičeí 0: Ověřte všechy vlastosti stadardí metriky a prostoru C([ a, b]). Totéž proveďtepro C([ a, b])sitegrálímetrikou. Cvičeí : Rozmyslete si vlastosti itegrálí metriky a prostoru R([, b]) všech riemaovsky itegrovatelých fukcí a itervalu[ a, b]. Jak pracujeme s třídami skoro všude spojitých fukcí?

3 Cvičeí 2: Prostor m je tvoře všemi omezeými posloupostmi, prostor c všemi kovergetímiposloupostmi,prostor c 0 všemiposloupostmikovergetímik0aprostor s 0 všemiposloupostmi,kterémajípouzekoečýpočeteulovýchčleů.vevšechlze zavéstprox={x k } =: {x k}ormuvztahem x :=sup{ x k ; k N } (Můžeme pracovat s posloupostmi reálých ebo komplexích čísel.) Jestliže X Y začívztah Xjelieárímpodprostorem Y,jezřejmě s 0 c 0 c m s, kde sjelpvšechposloupostíčísel(z RebozC). Cvičeí 3: Normu v prostoru všech -tic reálých(ebo komplexích) čísel lze pro p zavéstpředpisem ( x p := x k p) /p. Ukažte, že je x :=max { x k ; k {,..., } } = lim p x p. Tytoprostoryzačíváme l p (jetedy l m). Cvičeí 4: Aalogicky zavádíme pro p prostory posloupostí: Na lieárím prostoru l p všechposloupostíx={x k },proěžje x k p < defiujeme ( x p := x k p) /p. Připoužitítohotoozačeíjerozuméklást l = mzaalogickýchdůvodůjakove Cvičeí 7. Cvičeí5:Zaveďtea R Rezáporoufukci σ(x, y)předpisem σ(x, y)= x y + x y! Všimětesi,žejeomezeáaukažte,že σjemetrika R!Pozámka:Fukce palpx s vlastostmi () p(x) 0, (2) p(0)=0, (3) p(x)=p( x) (4) p(x+y) p(x)+p(y) (5) pro t k t apro x k x je p(t k x k tx) 0 3 jeparaormaa X.Zkoumejte p(x y)!

4 4 Cvičeí6:Zobecětepředchozíúlohuadokažte,žeje-li ρ=ρ(x, y)metrikaamp X, je také ρ(x, y) σ(x, y)= +ρ(x, y) (omezeá) metrika a X. To ám dává možost zavést omezeou metriku a jakémkoli MP.Přitomsetatometrikaodpůvodílišíje epodstatě ktétokostrukcise ještě vrátíme. Cvičeí 7: Je poměrě vžité užíváí stadardího ozačeí pro prostory všech posloupostí reálých, resp. komplexích čísel, které pak uvažujeme jako prostory ad R, resp. C. Tetoprostorlzeopatřitmatrikou ρapř.tak,žeprovšecha x, y Xpoložíme Teto prostor budeme začit s. ρ(x, y):= 2 k x k y k + x k y k Cvičeí8:Ukažte,ževsplatí:je-li x k x 0 v saα k α 0 v T,pak α k x k α 0 x 0. Cvičeí9:VtomtocvičeízobecímeSchwarzovuerovosta R m :prokaždáčísla p, q (0, )splňujícípodmíku p+q= p q,eboli p + q =, akaždédvabody[ x,..., x m ],[ y,..., y m ]zr m platíhölderovaerovost m ( m ) /p ( m ) /q x k y k x k p y k q. Cvičeí20:Prokaždé p,<p<,aprokaždoudvojicibodů x=[ x,..., x m ], y=[ y,..., y m ]zr m platíerovostmikowskiho(českymikowského) ( m x k + y k p) /p ( m x k p) /p ( m + y k p) /p. JakýjejejívýzamvkotextuMP? Cvičeí2:DokažteHölderovuaMikovskihoerovostproprostoryposloupostí l p (tj. obdobé erovosti pro ekoečé řady)! Cvičeí 22: Připomeňte defiici otevřeé a uzavřeé koule a sféry v kotextu MP. V diskrétím MP jedotková sféra obsahuje libovolě moho disjuktích otevřeých jedotkovýchkoulí. Cvičeí 23: Připomeňte si defiici diametru možiy. Proč je součástí defiice část, vymezujícíspeciálědiam( )?Všimětesivztahůmezi poloměrem a průměrem koule v diskrétím prostoru!

5 Cvičeí24:JakpopisujemevzájemývztahboduamožiyvMP?Připomeňtesi defiici vitřího, vějšího a hraičího bodu možiy! Jak se defiuje hromadý bod možiy? Cvičeí 25: Jak defiujeme spojitost a limitu fukce, defiovaé a MP? Proč emůžeme defiovat limitu fukce vzhledem k možiě v jejím izolovaém bodě? Cvičeí26:Defiicevzdáleostimoži M, NvMP(P, ρ)je(m, N ) dist(m, N):=if{ρ(x, y); x M, y N}. Často zjedodušujeme, zde apř. píšeme dist(x, A) místo dist({x}, A) a mluvíme o vzdáleosti bodu od možiy. Cvičeí27:Ozačme d A (x)proeprázdoumožiu A (P, ρ)vzdáleostbodu xod možiy A. Dokažte erovost da (x) d A (y) ρ(x, y). Je-li x A,je d A (x)=0.lzetototvrzeíobrátit,tj.plyezd A (x)=0,že x A? Cvičeí28:NajdětedvědisjuktímožiyvRsulovouvzdáleostí!Jepro r >0 vzdáleost B(x, r)ak(x, r)vždy0?jepro r >0vzdáleost B(x, r)as(x, r)vždy0? Jepro r >0vzdáleost S(x, r)ak(x, r)vždy0? Cvičeí29:Lzevolit M, Neprázdéuzavřeév R sdist(m, N)=0disjuktí? Cvičeí30:Jevzdáleost d A (x)boduodmožiyspojitáfukce?lzejiějakvyužít, apř.kpopisuuzávěru Amožiy A? Cvičeí3:Normy a 2 (jdepouzeoozačeí,ikolio p-čkové ormy!)a LP Xtakové,žeexistujíkladékostaty C, Daprovšecha x Xplatí C x x 2 D x se azývají ekvivaletí ormy a X. Uveďte příklady! Je to symetrický vztah? Cvičeí 32: Na prostoru C([ a, b]) lze defiovat supremovou a itegrálí ormu. Zkoumejte vztahy mezi imi. Jsou tyto ormy ekvivaletí? Cvičeí33:Jsouormy, 2 a a R m ekvivaletí?colzeřícioormách p proobecé p? Cvičeí34:ZamysleteseadmožostmivytvářeídalšíchMP.Jsou-li(P, ρ)a(q, σ) dvamp,lzezavéstějakpřirozeěmetrikua P Q? Cvičeí35:Je-li(P, ρ)mpadefiujeme-li σ(x, y)= ρ(x, y) +ρ(x, y), je σ(x, y) ρ(x, y).neí-li(p, ρ)omezeý,elzealéztkladékostaty C, Dtak,aby provšecha x, y (P, ρ)(proč?). Cσ(x, y) ρ(x, y) Dσ(x, y) 5

6 6 Cvičeí 36: Metriky z předcházejícího příkladu jsou i jiak odlišé: je-li ρ geerováa ormou, σ tuto vlastost emá. Cvičeí37:Říkáme,žemetriky ρaσjsouaprostoru Pekvivaletí,platí-liprokaždou posloupostbodů x Pakaždé x Pekvivalece limx = xv(p, ρ) limx = xv(p, σ). Ukažte,žeprometrikyzeCvičeíje (/2)ρ(x, y) σ(x, y) ρ(x, y) provšecha x (P, ρ)ata y (P, ρ),proěžje ρ(x, y) <. Cvičeí38:Eukleidovskýprostor R 2 a Cjsouizometrickyizomorfí.Cosipodtím představíte? Cvičeí39:Ozačíme-li C := {z = x+iy C; y = 0},je C izometrickýsr. Podroběji,(metrický)podprostor C smetrikouidukovaouz(c, ρ)jeizometrický s R. Cvičeí 40: Je-li T prosté zobrazeí možiy P do metrického prostoru (Q, σ), lze jedodušezpvytvořitmptak,aby Tbylaizometrie(P, ρ)a(t(p), σ);stačídefiovat a P metriku ρ předpisem ρ(x, y):= σ(t(x), T(y)), x, y P. Totojejedazcest,pomocíížlzedefiovatdalšíMP. Cvičeí4:Naprostoru R = R {, }defiujmezobrazeído R T(x):= x + x, x R, aklademe T(x):= ±,je-li x=±. Tjeprostézobrazeí R aiterval[,]. Za(Q, σ)zvolme[,]smetrikouidukovaouzr adefiujmeprovšecha x, y R ρ(x, y)= T(x) T(y). Takjsmezískalidvojiciizometrickýchprostorůaopatřili R metrikou. Cvičeí42:LzezkaždéposloupostibodůMP(R, ρ),kde ρjemetrika,defiovaá vecvičeí39,vybratposloupostkovergetív(r, ρ)? Cvičeí43:Ozačme K půlkružici {[x, y] R 2 ; x 2 +(y ) 2 =, y }ajejí body promítětezbodu[0,]a R.Použijtepopsaousituacikdefiicizobrazeí ametrikya R sobdobýmivlastostmi,jakémá ρzpředcházejícíchdvoucvičeí!

7 Cvičeí44:Ozačme Kkružici {[x, y] R 2 ; x 2 +(y ) 2 = }ajejíbody promítěte zbodu[0,2]a R # := R { }.Postupujtejakovpředchozímcvičeíapoužijte popsaousituacikdefiicizobrazeíametriky ρa R # sobdobouvlastostí,jakou mělvziklýmp(r, ρ)zecvičeí40(resp.39)! Cvičeí45:JsouMP(R, ρ)a(r #, ρ)úplé,tj.kovergujevichkaždáposloupost, splňujícíbolzao-cauchyhopodmíku( cauchyovská posloupost)?uvědomtesi,že prostézobrazeí g:= T,kde T(x):= x + x, x R, zobrazuje ěkteré cauchyovské poslouposti bodů itervalu(0, ) a poslouposti bodů z R, které cauchyovské ejsou! Cvičeí46:Možiy QiR \ QjsouhustévR.Majírůzou velikost (mohutost)? Cvičeí47: Pohrajtesi trochushustýmipodmožiamivr: (a)existujídvědisjuktípodmožiy R \ QhustévR? (b)existujíprokaždé Ndisjuktípodmožiy M,..., M R \ QhustévR? (c)existujeekoečěmohodisjuktíchpodmoži R \ QhustýchvR? (d)nechť M Rjespočetá.Jepak R \ MhustávR? Zkuste formulovat podobé problémky a pak je řešte! Tímto způsobem přistupujte ikdalšímpojmům,sekterýmisebudemevrámciteoriempsezamovat! Cvičeí48:Ukažte,žemožia MjeřídkávMP(P, ρ)(tj. ( M ) =,právěkdyžje (P \ M)=P. ) 7 Cvičeí 49: Uvědomte si: komplemet husté možiy emusí být řídká možia, komplemet řídké možiy emusí být hustá možia. Rozmyslete si, že přidáím jedoduché vlastostibudoutytopřechodykekomplemetům dobřefugovat.např.komplemet uzavřeé řídké možiy je hustá možia. Cvičeí50:Jesjedoceí M M 2 dvouřídkýchmoži M, M 2 (P, ρ)opětřídká možia?jesjedoceíkoečéhopočtuřídkýchmoživ(p, ρ)opětřídkámožia? Cvičeí 5: Je sjedoceí spočeté možiy řídkých moži v(p, ρ) opět řídká možia? Cvičeí 52: Kolik růzých hustých(řídkých) moži umíte alézt v diskrétím prostoru ze Cvičeí 40? Kdy je diskrétí prostor separabilí? Kdy je diskrétí prostor totálě omezeý? Cvičeí 53: Ilustrujte metodu kategorií a důkazu existece iracioálího čísla! Cvičeí54:( )Dokažtemetodoukategoriíexistecifukce f C([ a, b]),kteráeí mootóíajakémkoliitervalu[ c, d] [ a, b].vizpomocýtext. Cvičeí55:( )Dokažtemetodoukategoriíexistecifukce f C([ a, b]),kteráemáv žádém bodě koečou jedostraou derivaci. Viz pomocý text.

8 8 Cvičeí56:( )Eulervjedézesvýchpracívyšelzezáméhovzorceprosoučetgeometrické řady z k =, z <, z k=0 adosadilza zvýraze it =cos t+isi t, t (0,2π).Úpravamidostalrovost cos kt+i sikt= k=0 k=0 ( cos t) isi t = 2 + i sit 2 2cost a porováím a úpravou reálých částí výrazů a obou straách této rovosti dostal rovost cos kt= 2. Itegrací a vhodým dosazeím posléze obdržel π t 2 =sit+ si2t 2 + si3t 3 +. (Eu) Uvědomte si všechy ekorektosti postupu.(fukci budeme dále chápat jako 2π-periodickou fukci espojitou v lichých ásobcích π, která se auluje ve všech bodech espojitosti.) Cvičeí57:Ukažte,ževzhledemkeskalárímusoučiu(f, g)= 2π 0 f(t)g(t)dtjesystém {e ikt }, k Z,ortogoálí! Cvičeí58:Ukažte,ževzhledemkeskalárímusoučiu(f, g)= 2π 0 f(t)g(t)dtjesystém {, si kt, cos kt}, k N, ortogoálí! Použijte vzorce, zámé ze středoškolské látky Cvičeí 59: Předpokládejte, že 2cosa cos b=cos(a+b)+cos(a b), 2cosa si b=si(a+b) si(a b), 2si a si b=cos(a+b) cos(a b). f(t)= a ( ak cos kt+b k si kt ) ažeřadavpravokovergujestejoměrě.určete a k, b k, k N 0 pomocí f! Cvičeí60:Pročástečýsoučet s (f, x)fourierovyřadyspojité2π-periodickéfukce fodvoďtepro x=0 s (f,0)= π 2π 0 ( f(t) 2 + ) cos kt dt.

9 9 Cvičeí 6: Následující vyjádřeí Dirichletova jádra budeme budeme potřebovat ( D (t)= 2 + ) cos kt = si(+/2)t 2si t/2 (vyjádřeísesimásmyslpouzepro x R\2πZ,alerovostukazuje,ževtěchtobodech má D odstraitelé espojitosti). Rovost dokažte ze vzorce ( si k+ ) ( t si k ) ( t t=2cos ktsi 2 2 2) dosazeím,2,..., ;vziklérovosti sečtěte aupravte. Cvičeí62:Odhaděteormulieáríhofukcioálu L f= s (f,0)aprostoruspojitých2π-periodickýchfukcí C 2π (R)!Je { L =sup π π π } f(t) D (t)dt ; f π π π D (t) dt= π D. Vtomtoodhaduplatíveskutečostirovost;odůvoděte!Nyíormu D odhademe zdola:zerovosti si(t/2) t/2, t (0, ),plye π D = si( + /2)t π 2sit/2 dt si((+/2)t) dt t. π V posledím itegrálu v předcházejícím vztahu proveďte substituci u =( + /2)t a odhaděte(jedotlivé kroky zdůvoděte): 0 (+/2)π 0 siu u (+/2) du > kπ (k )π π kπ 0 siu u du si udu= 2 π k. Zdivergeceharmoickéřadydostáváme L =π D + pro,takže ormy L ejsoustejěomezeé. Cvičeí 63: Ověřte předpoklady Baach-Steihausovy věty a odůvoděte závěr: Existuje f C 2π (R),jejížFourierovařadaalespoňvjedombodědiverguje(PaulduBois- Reymod,873).Platídokocevíce:VC 2π (R)existuje(hustá)možiafukcí,jejichž Fourierova řada diverguje a husté podmožiě R. Cvičeí64:Vraťtesekevzorci(Eu)aukažte,žejdeoFourierovuřadu(espojité)fukce alevéstraěrovosti,aževbodechespojitostikovergujek0 ( = ( f(π+)+f(π ) ) /2 ). Cvičeí 65: Dokázali jsme Weierstrassovu aproximačí větu postupem, který užíval Ladau. Důkaz si můžete zopakovat v textu, k ěmuž je přístup z obsahu prosicových cvičeí.

10 0 Cvičeí 66: V souvislosti s Weierstrassovou větou jsme se sezámili s větou, kterou Korovkidokázalvr.953:Nechť L : C([ a, b]) C([ a, b]), N,jsouezáporélieárí operátorytakové,žeposloupost {L f}kovergujestejoměrěa[ a, b]kfukci fpro f =,Id,Id 2.Potomposloupost {L f}kovergujestejoměrěa[ a, b]kfukci f prokaždoufukci f C([ a, b]). Cvičeí67:Bersteir.92dokázal B f fa[0,]prokaždou f C([0,]). B f: x k=0 ( k ) ( ) f x k ( x) k, k x [0,]. Zdefiicejezřejmé,žeoperátory B : f B fjsoua C([0,])lieárí,ezáporéa zobrazují teto prostor do prostoru polyomů. Cvičeí68:Ukažtevásledujícíchcvičeích,žeposloupost {B f}stejoměrěkovergujeaitervalu[0,]kfukci fprotřifukce f=,id,aid 2.Ozačme f k =Id k, k=0,,2. Cvičeí69:Rovost B f 0 = f 0 provšecha Nplyezbiomickévěty. Cvičeí70:Uvažmedále,žepro k je ( ) k = k k k=0! ( k)! k! = ( )! ( k)!(k )! = Pro f dostaemepomocípředchozírovosti ( ) k B f (x)= x k ( x) k = x k j=0 ( ). k ( ) x k ( x) k = k ( ) = x x j ( x) ( ) j = x =f (x), j takžeprovšecha Nje B f = f. Cvičeí7:Dálespočtemepro k ( k ) ( 2 = k) k ( ) k a po úpravě dostaeme: k ( k ) = k = k Podosazeí f 2 obdržímeprovšecha x [0,] B f 2 (x)= ( ) + k ( ) ( = k ( k ) ( 2 x k) k ( x) k k=0 ( ) ; k ) ( ) 2. k 2 x [0,],

11 a pak jedoduchou úpravou postupě dostaeme B f 2 (x)= ( = ) ( ) 2 x k ( x) k + k 2 k=2 ( )x 2 + x ( = ( ) x k ( x) k = k ) f 2 (x)+ f (x); Cvičeí72:Je-li M R m možiavšechbodů,jejichžsouřadicejsoudiadickyracioálíčísla(jsoutvaru k/2 l, k Z, l N),určete M, M, M! Cvičeí73:Jsouprostory R=R, R m, m Nseparabilí?Jeprostor sseparabilí? Cvičeí74:Nechť ρjediskrétímetrikaaitervalu(0,).jeiterval(0,)smetrikou ρ separabilí MP? Cvičeí75:Jsouprostory m(= l ), c, c 0 separabilí? Cvičeí76:Jeprostor C([ a, b])separabilí? Cvičeí77:( )Kroměelemetáríhodůkazu(vizapř.pomocýtextčipředáška)vyplývá separabilita C([ a, b]) i z Weierstrassovy aproximačí věty. Jak věta zí?(dokážeme ji a cvičeí). Cvičeí78: Defiujte ε-siť možiy M! Najděte apř. v prostoru C([ a, b])příklad možiy, která je omezeá a přitom eí totálě omezeá! Cvičeí79:Jeprostor m(= l ), c, c 0 úplý? Cvičeí80:Naprostoru C([0,])defiujmeprokaždé Noperátory A tak,žepro každoufukci x C([0,])položíme ( k ( k A x = x ) ) a A xjelieárífukceaitervalu[(k )/, k/],kde,2,...,.zjistěte,zda platí kde Ijeidetickýoperátora C([0,]). Cvičeí8:Jeprostor C([ a, b])úplý? (a) A (x) x, x C([0,]), (b) A I C([0,]) 0, Cvičeí 82: Záte Weierstrassovu větu o polyomiálí aproximaci fukcí z prostoru C([0,])?Záteideualespoňjedohojejíhodůkazu? Cvičeí 83: Je souči dvou separabilích metrických prostorů separabilí metrický prostor? Cvičeí 84: Je souči dvou úplých metrických prostorů úplý metrický prostor?

12 2 Cvičeí85:Jezobrazeí T:(P, ρ) (P, ρ),prokteréplatí ρ(t(x), T(y)) < ρ(x, y), x, y P, kotraktivía(p, ρ)? Cvičeí 86( ): Pro posloupost x + = 2 ( x + a x ) s a > 0 jsme alezli(velmi dávo) její limitu(připomeňte si!). Souvisí teto příklad ějak s kotraktivitou zobrazeí? Šlo by teto příklad zobecit a případ -té odmociy? Cvičeí 87: Připomeňme si Catorovu větu v kotextu R i obecého metrického prostoru:nechť(p, ρ)jeúplýmetrickýprostoraechť {A } =jeerostoucíposloupost eprázdýchuzavřeýchmoživprostoru P,tj. A + A, N.Nechťdáleje diam(a ) 0. ( ) Potomexistujeprávějedebod x P takový,že {x}= = A. Ukažte, že předpoklad( ) je pro platost věty podstatý. Postřehete ějaký rozdíl protiklasické jedorozměré větě?ukažte,žeidalšípředpokladycatorovyvěty jsoupodstaté,tj.žepovyecháímootoieebouzavřeosti A taktomodifikovaé tvrzeí eplatí! Cvičeí 88: Připomeňte si Arzalà-Ascoliho větu! Jsou fukce z uzavřeé jedotkové koulevprostoru C([ a, b])stejěspojité? Cvičeí89:Nechťje F systémvšechfukcízprostoru C([ a, b]),kterémajía(a, b) všudevlastíderivaciaplatíproi f (x) < π, x (a, b).jsoufukcezf stejě spojité? Cvičeí 90: Na předášce jste si dokázali reálou verzi Stoe-Weierstrassovy věty: Nechť X (P, ρ)jekompaktíaechť A(X)jealgebrareálýchfukcíspojitýcha X.Odděluje-lialgebra A(X)body Xaobsahuje-liikostatífukci,jecl(A(X))=C(X). K í se váží ásledující cvičeí. Cvičeí9:Jeprostor C([ a, b])všechspojitýchfukcíaitervalu[ a, b]současěalgebrou?oddělujetatoalgebrabodyitervalu[ a, b]? Cvičeí92:Takéalgebra P([ a, b])všech(restrikcí)polyomůa[ a, b]oddělujebody [ a, b],jevšakvlastípodalgebrou C([ a, b]).cotvrdívtomtokotextuweierstrassova větaojejímuzávěrucl(p([ a, b]))vevztahukalgebře C([ a, b])? Cvičeí93:SystémvšechfukcízP([ a, b]),kteréseaulujívbodě(a+b)/2,odděluje body[ a, b],avšaktatoalgebraeobsahujevšechykostatífukcea[ a, b]. Cvičeí94:SystémvšechfukcízC([ a, b]),kteréseaulujívbodě(a+b)/2,odděluje body[ a, b],ajetoalgebra A.Cojeuzávěremtétoalgebry?

13 Cvičeí95:Systém BvšechfukcízC([ a, b]),kteréseaulujívedvourůzýchbodech x, y [ a, b],jealgebrakteráeoddělujebodyitervalu[ a, b].cojejejímuzávěrem? [Uzávěrcl(B)systému BobsahujepouzetyfukcezC([ a, b]),kteréležívb.] Cvičeí 96: Systém P všech polyomů z B obsahuje pouze jediou kostatí fukci f 0,alecl(P)=B,alejetoopětalgebra. Cvičeí 97: K čemu jsme použili pojem tzv. ε-přibližého řešeí difereciálí rovice 3 y = f(x, y)? ( ) Připomeňme,žeje-lifukce fvrovici( )spojitávoblasti G R 2 a ψjespojitáfukce aitervalu I R,prokterou[ t, ψ(t)] Gprovšecha t I,pakpokudplatípro ε >0 avšecha t I \ K ψ (t) f(t, ψ(t)) ε, ( ) kde K I je koečá možia, azýváme fukci ψ ε-přibližým řešeím rovice( ).

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Fourierova transformace ve zpracování obrazů

Fourierova transformace ve zpracování obrazů Fourierova trasformace ve zpracováí obrazů Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 6. předáška předmětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasformaci? základí matematický

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt Algoritmus RSA Vilém Vychodil 4. břza 2002 Abstrakt Násldující podpůrý txt stručě shruj základí problmatiky při šifrováí algoritmm RSA. Sm spadá j samotý pricip algoritmu, al i základí mtody grováí vlkých

Více

Makroekonomie cvičení 1

Makroekonomie cvičení 1 Makroekoomie cvičeí 1 D = poptávka. S = Nabídka. Q = Možství. P = Cea. Q* = Rovovážé možství (Q E ). P* = Rovovážá caa (P E ). L = Práce. K = Kapitál. C = Spotřeba domácosti. LR = Dlouhé období. SR = Krátké

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky ELEKTRICKÉ POHONY pro kombiovaé a distačí studium Ivo Neborák Václav Sládeček Ostrava 004 1 Doc. Ig. Ivo Neborák, CSc.,

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

Katedra softwarového inženýrství MFF UK Malostranské náměstí 25, 118 00 Praha 1 - Malá Strana

Katedra softwarového inženýrství MFF UK Malostranské náměstí 25, 118 00 Praha 1 - Malá Strana Katedra softwarového ižeýrství MFF UK Malostraské áměstí 25, 8 00 Praha - Malá Straa, v. 3.5 co jsou "techiky přeosu dat"? Katedra softwarového ižeýrství, Matematicko-fyzikálí fakulta, Uiverzita Karlova,

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

IDEÁLNÍ PLYN I. Prof. RNDr. Emanuel Svoboda, CSc.

IDEÁLNÍ PLYN I. Prof. RNDr. Emanuel Svoboda, CSc. IDEÁLÍ PLY I Prof. RDr. Eanuel Soboda, CSc. DEFIICE IDEÁLÍHO PLYU (MODEL IP) O oleulách ideálního plynu ysloujee 3 předpolady: 1. Rozěry oleul jsou zanedbatelně alé e sronání se střední zdáleností oleul

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Atomová hmotnostní jednotka, relativní atomové a molekulové hmotnosti Atomová hmotnostní jednotka u se používá k relativnímu porovnání hmotností

Atomová hmotnostní jednotka, relativní atomové a molekulové hmotnosti Atomová hmotnostní jednotka u se používá k relativnímu porovnání hmotností . Základí cheické výpočty toová hotostí jedotka, relativí atoové a olekulové hotosti toová hotostí jedotka u se používá k relativíu porováí hotostí ikročástic, atoů a olekul a je defiováa jako hotosti

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Expertní Systémy. Tvorba aplikace

Expertní Systémy. Tvorba aplikace Tvorba aplikace Typ systému malý velký velmi velký Počet pravidel 50-350 500-3000 10000 Počet člověkoroků 0.3-0.5 1-2 3-5 Cea projektu (v tis.$) 40-60 500-1000 2000-5000 Harmo, Kig (1985) Vytvořeí expertího

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

I Z klad pojmy teorie pravd podobosti { eoci l u eb text pro p edm t MATEMATIKA V, FS,FM TUL, ( drob chyby ejsou vylou ey) P. Volf, b eze 999 N hod pokus, syst m jev P edm tem teorie pravd podobosti je

Více

Jan Zahradník, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích

Jan Zahradník, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích Pohled do historie fiačí matematiky Ja Zahradík, Pedagogická fakulta Jihočeské uiverzity v Českých Budějovicích Úvod Častým tématem diskusí současých ekoomů je ízká úroveň fiačí gramotosti ašich občaů.

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná Výročí zpráva fodů společosti Pioeer ivestičí společost, a.s. - eauditovaá Obsah 1. Účetí závěrka: Pioeer Sporokoto, Pioeer obligačí fod, Pioeer růstový fod, Pioeer dyamický fod, Pioeer akciový fod, BALANCOVANÝ

Více