CVIČENÍ Z MATEMATIKY I
|
|
- Aleš Tábor
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava
2
3 Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických výrazů, mocniny, odmocniny, rozklad mnohočlenů Rovnice a nerovnice. Absolutní hodnota reálného čísla. Soustavy rovnic Logaritmy. Logaritmické a eponenciální rovnice Goniometrie. Goniometrické rovnice Množiny 5. Operace s množinami Binární relace, zobrazení Uspořádané množiny Funkce. Definiční obor funkce Parita funkce Perioda funkce Inverzní funkce Elementární funkce a jejich grafy Posloupnosti 5 4. Pojem posloupnosti, rekurentní určení posloupnosti Aritmetická a geometrická posloupnost Vlastnosti posloupností Limity posloupností Limita funkce 5 6 Diferenciální počet 4 6. Derivace funkce Derivace vyšších řádů Geometrický význam derivace Fyzikální význam derivace Diferenciál funkce L Hospitalovo pravidlo Taylorův rozvoj Monotónnost funkce Etrémní hodnoty funkcí Konvenost a konkávnost funkce, inflení body Asymptoty grafu funkce Průběh funkce i
4 ii OBSAH 7 Integrální počet 7 7. Neurčitý integrál, základní vzorce Substituční metoda Integrace metodou per partes Integrace racionálních funkcí Integrace goniometrických funkcí Integrace iracionálních funkcí Určitý Riemannův integrál Geometrické aplikace určitého integrálu
5 Kapitola Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických výrazů, mocniny, odmocniny, rozklad mnohočlenů... Upravte algebraické výrazy: a) b) ( > ) c) (a b) + ab (a + b) ab : a 5 + b 5 + a b + a b (a + b + a b + ab )(a b ) a b... Upravte a udejte podmínky eistence výrazů: ( a b ) ( ) a b a) a + b : a + b ; a b, a b ab b) a 4a 4 4a 6 a 4 : ( a) 4 ; a, a ± a a a c) 5 a 4 : a a 5 a ; a > a a ( + y ) ( + y ) + y y d) ( ) ( ) y ;, y, ±y ( + y)( y) y ( a ab + b ) ( a ab + b e) (a b) a ab + b b ) ; a ; a b a... Rozložte na součiny, resp. upravte krácením: a) ( ) 5;
6 . Příklady k opakování středoškolské látky b) c) ( 5 ; 5) ( 5)( + ) ( ; ). Rovnice a nerovnice. Absolutní hodnota reálného čísla. Soustavy rovnic... Řešte v R: a) a a = a a ; a b) y + 4 y + 7y 8 8 y y = y y + 4 nemá řešení c) 8 = 4... Řešte v R: a) y = y nemá řešení b) + = {, 4}... Zjistěte, která vyhovují nerovnici v oboru reálných čísel a) + 9 > 4 + < 6 b) + < ( ; ) ( ; + ) c) + 4 d) Řešte v R nerovnice ( ; 4) ; + ) ( ; 5 a) + (, 4 b) (, (, ) c) 5 ) ; 5 d) 5 + >..5. V R R řešte soustavu rovnic ( 7; ) y + = y = ; y = 6; Sestrojte kartézské grafy soustavy nerovnic: + y y 7
7 .. Logaritmy. Logaritmické a eponenciální rovnice..7. Která reálná vyhovují rovnici a) + 5 = b) + = c) = d) + 9 = nemá řešení e) ( + )( 5) 7 =..8. V R řešte nerovnici: + > < ; >..9. V množině celých čísel určete obor pravdivosti výrokové formy a) + = + 5 {} b) {,,,, }. Logaritmy. Logaritmické a eponenciální rovnice... Řešte rovnice 5 a) ( 4 9 ) ( 7 8 ) = log 4 log 8 7 b) 7 = 8 5 c) = Určete všechna řešení rovnic v oboru reálných čísel: a) log = ; b) (log ) log + = 9; c) log( ) + log( + ) = log + log( ) 5; 9 d) log( + ) log( ) = log 4 8 e) log ( ) log ( ) = 5.4 Goniometrie. Goniometrické rovnice.4.. Zjednodušte výrazy a určete, kdy jsou reálné: a) b) c) d) + tg + cotg cos + sin sin cos sin cos + tg + + cotg tg ; k π, k Z} sin ; π + kπ, k Z} cos ; k π, k Z ; k π, k Z
8 4. Příklady k opakování středoškolské látky.4.. Řešte v R rovnice a) sin = tg = kπ; = π 4 + k π, k Z b) sin + cos = 5 sin cos. = 56 + kπ; = π 4 + kπ, k Z c) (tg ) (sin ) = tg d) tg = cotg e) sin = sin kπ; = π + kπ; 5π + kπ, k Z = ± π + kπ, k Z = kπ; = π + kπ; = 5π + kπ, k Z.4.. Lanovka má přímou trat délky 45 m a stoupá pod úhlem o velikosti 4. Jaký je výškový rozdíl mezi horní a dolní stanicí? 79, 6 m.4.4. Na vodorovné rovině stojí 65 m vysoká věž a továrenský komín. Z vrcholu věže vidíme patu komína v hloubkovém úhlu α = 9 a od paty věže vidíme vrchol komína ve výškovém úhlu β = 7 4. Jak vysoký je komín? 4 m.4.5. Určete velikost všech úhlů a stran trojúhelníka, pro nějž platí: α =, b =, a = 5 β = 9, γ = 6, c = Z bodu ležícího ve výšce h nad horizontální rovinou jdoucí patou věže vidíme vrchol věže ve výškovém úhlu α, patu věže v hloubkovém úhlu β. Jak vysoká je věž? h( + tgα cotg β).4.7. Těsně u břehu řeky stojí budova, z jejíchž oken nad sebou vzdálených h metrů je vidět bod na protějším břehu v hloubkových úhlech α, β (α > β). Jak široká je řeka? h cos α cos β sin(α β).4.8. Po přímé cestě se přesouvá vojenská kolona. Pozorovatel na stanovišti A, které leží mimo cestu, zjistil radiolokátorem, že vzdálenost místa A od čela kolony U je 4 5 m, vzdálenost A od konce kolony V je 84 m a velikost úhlu UAV je. Vypočítejte délku kolony. 6 m.4.9. Hlídce byl určen pochodový úhel o velikosti, po 7 km byl změněn směr pochodu na úhel o velikosti 75. Tímto směrem prošla hlídka dalších 8 km. Jaká je vzdálenost hlídky vzdušnou čarou od výchozího bodu?, 9 km
9 Kapitola Množiny. Operace s množinami... Výčtem prvků zapište množiny: a) { Z : + < }, b) { R : }, c) { L : ( je studentem. ročníku oboru PTA) ( je dívka)}, kde L značí množinu všech lidí. Řešení: a) Řešením nerovnice + < jsou všechna reálná čísla z intervalu ( ; + ) ; v tomto intervalu leží celá čísla 4,,, tj. { Z : + < } = { 4; ; }. b) Zřejmě { R : } = {}. c) Ve složené závorce je potřeba vyjmenovat všechny dívky studující v. ročníku obor PTA.... Necht A = (; 5) (otevřený interval), B = {; 4; 5; 6}. Zapište množiny: a) A B, {; 4} b) A B, (; 5 {6} c) A B, (; ) (; 4) (4; 5) d) B A, {5; 6} e) A R, ( ; 5; + ) f) B R. ( ; ) (; 4) (4; 5) (5; 6) (6; + )... Jsou dány množiny A = { R : < }, B = { R : + }. Zapište pomocí intervalů: a) A, ; ) b) B, ( ; 5 ; + ) c) A B, ( ; 5 ; + ) d) A B. ; )..4. Necht A = {; ; 4; 7; ; 6}, B = {; ; 7; }, C = {; 6; ; 9}. Určete a) A B, {; ; ; 4; 7; ; ; 6} 5
10 6. Množiny b) B C, {; ; 6; 7; ; ; 9} c) A B C, ; ; ; 4; 6; 7; ; ; 6; 9 d) A B, {; 7} e) A C, {; } f) A B C. {}..5. Necht A = {a; c}, B = {b; d; c}. Utvořte kartézské součiny a) A B, {(a; b), (a; d), (a; c), (c; b), (c; d), (c; c)} b) B A. {(b; a), (b; c), (d; a), (d; c), (c; a), (c; c)}..6. Jsou dány množiny A = {; ; } a B = {; 5}. Výčtem prvků zapište kartézský součin množin A B. {(; ), (; ), (; ), (; 5), (; 5), (; 5)}..7. Jakou množinu v prostoru opatřeném kartézskou souřadnou soustavou vyplní všechny body, jejichž souřadnice (tj. uspořádané trojice reálných čísel) jsou z kartézského součinu intervalů a, b c, d e, f?..8. Jsou dány množiny A = { 4; ; 4} a B = 4; 4). Určete a) A B, 4; 4 b) A B, {; 4} c) A B, {4} d) B A, ( 4, ) (, 4) e) načrtněte A B...9. Jsou dány množiny A = { ; ; ; } a B = ; 5). Určete a) A B, ; 5) b) A B, { ; ; ; } c) A B, d) B A, ; ) ( ; ) ( ; ) (; ) (; 5) e) A B, B A f) A R, ( ; ) ( ; ) ( ; ) (; ) (; + ) g) B A, h) B R, ( ; ) 5; + ) i) načrtněte A B a B A.... Užitím Vennových diagramů rozhodněte, zda pro libovolné podmnožiny A, B, C dané základní množiny platí: a) (A B) B = A B, platí b) A B = A B, neplatí c) C (A B) = (A C) (C B). platí... Dokažte, že pro libovolné dvě množiny A, B platí: a) A = (A B) (A B), b) A B = (A B) (A B) (B A).
11 .. Binární relace, zobrazení 7 Řešení: Množinová rovnost M = N se dokazuje bud tak, že ukážeme: M N, nebo tak, že použijeme zřejmého tvrzení (M = N) (M N N M) a dokazujeme:. M N (tj. M N),. N M (tj. N M). a) ( A) ( A ( / B B)) (( A / B) ( A B)) ( (A B) A B) ( (A B) (A B)). b) ( A B) ( A B) (( A ( / B B)) ( B ( / A A))) ((( A / B) ( A B)) (( B / A) ( B A)) ( (A B) (A B) (B A) (B A)) ( (A B) (A B) (B A)) ( (A B) (A B) (B A)).. Binární relace, zobrazení... Graficky znázorněte binární relaci {(, y) R : + y 4 }. Řešení: viz obr..(a).... Najděte pravidlo určující binární relaci na R, která je dána šedě zvýrazněnou (otevřenou) podmnožinou roviny na obr..(b), (c), (d). Řešení: S elementárními znalostmi rovinné analytické geometrie snadno zjistíme: a) {(, y) R : < y}, b) {(, y) R : ( + y < )}, c) {(, y) R : < y < }.... Necht zobrazení f :, + ) 4, + ) je dáno předpisem f() = + 4. Najděte předpis definující inverzní zobrazení f. Řešení: Zobrazení f je zřejmě vzájemně jednoznačné (speciálně prosté), a tedy inverzní zobrazení k němu eistuje. Přitom: f (y) = f() = y + 4 = y. My ale potřebujeme hodnotu f (y) (tj. ) vyjádřit v závislosti na y, tedy z předpisu y = + 4, definujícího zobrazení f, potřebujeme spočítat v závislosti na y. y = + 4 = y 4 (bereme + y 4, nebot víme, že, + )). Hledaný předpis tedy je: f (y) = y Jaká podmnožina roviny opatřené kartézskou souřadnou soustavou (tj. R R) definuje následující binární relace na R? a) {(, y) R : + y = } kružnice se středem v počátku a poloměrem b) {(, y) R : y } celá rovina bez souřadnicových os..5. Je dána množina A = { ; ; ; ; }. Znázorněte graficky binární relace a) R = {(, y) A A : > y}, b) S = {(, y) A A : y < }, c) T = R S.
12 8. Množiny. Uspořádané množiny... Najděte v R maimum, minimum, supremum a infimum (pokud eistují) množin: a) (; ),,,, b) ;,,,, c) množina všech záporných čísel,,,, d) (; + ),,,, e) (; 4, 4,, 4, f) {; ; } ;...,,,, g) { 8 }, n N., 6, 8, 6 n n=... Najděte maimum, minimum, supremum, infimum množiny M, jejíž prvky tvoří čísla tvaru n + ma n +, n N. M = sup M =, min M =, inf M =... V Z určete horní a dolní závoru množiny M = { ; ; }. horní závora:,,..., dolní závora:,, Je dán interval I = ; ). Určete v Z a) horní závoru,, 4, 5,... b) dolní závoru,,,,... c) maimum, d) minimum, e) supremum, f) infimum.
13 .. Uspořádané množiny 9 y 8 y y y (a) (b) y.5.5 y 4 y (c) 4 (d) Obr..: K příkladům.. a...
14 . Množiny
15 Kapitola Funkce Funkce je každé zobrazení f množiny A do číselné množiny B R, tzn. funkce je předpis, který každému prvku a A jednoznačně přiřadí číslo b B. Množině A říkáme definiční obor funkce a její prvek nazýváme nezávisle proměnnou nebo argumentem. Množině B říkáme obor funkčních hodnot, jejím prvkům závisle proměnné nebo hodnoty funkce. Jsou-li A, B množiny reálných čísel, mluvíme o funkci jedné reálné proměnné, zapisujeme obvykle y = f(); A, y B. Přehled základních vlastností funkcí je uveden v tabulce.. Graf funkce y = f() je množina všech bodů v rovině o souřadnicích ; f(). Na obr...5 jsou znázorněny grafy elementárních funkcí. Všimněte si, že graf sudé funkce je osově symetrický podle osy y, graf liché funkce je symetrický podle počátku soustavy souřadnic. Funkce rostoucí, neklesající, klesající a nerostoucí se nazývají monotónní, z nich pak funkce rostoucí a klesající jsou ryze monotónní. Je zřejmé, že ke každé ryze monotónní funkci eistuje funkce inverzní, nebot každá ryze monotónní funkce je prostá. Dále platí, že žádná sudá funkce není prostá.. Definiční obor funkce Hlavní zásady pro určování definičního oboru funkcí:. výraz ve jmenovateli musí být různý od nuly,. argument logaritmu musí být větší než nula,. výraz pod sudou odmocninou musí být nezáporný, 4. pro argument funkce tg musí platit: (k + ) π, pro cotg : kπ, k Z, 5. argument funkcí arcsin, arccos musí ležet v intervalu ; Určete definiční obor funkce y = sin + cos. Řešení: Funkce v čitateli i jmenovateli jsou definovány pro všechna, tedy jejich podíl je definován pro všechna taková, že jmenovatel je různý od nuly: sin + cos sin cos 4 π + kπ = π ( 4 + k )
16 . Funkce funkce požadavek na definiční obor definiční vlastnost příklady sudá D f D f f( ) = f(), cos lichá D f D f f( ) = f(), sin periodická p >, D f + p D f f( + p) = f() sin, cos rostoucí na I I D f je interval < na (; + ), f( ) < f( ), log neklesající na I I D f je interval < f( ) f( ) f() = konst. klesající na I I D f je interval < na ( ; ), f( ) > f( ), log nerostoucí na I I D f je interval < f( ) f( ) f() = konst. ohraničená na I I D f je interval eistuje A R tak, sin, cos, že f() < A na I arctg Tabulka.: Základní vlastnosti funkcí. Definičním oborem zadané funkce jsou tedy všechna reálná čísla kromě = 4 π + kπ, neboli { } D f = R 4 π + kπ, k Z.... Určete definiční obor funkce y = log( ) + 9. Řešení: Definiční obor součtu (rozdílu, součinu, podílu) funkcí, příp. složené funkce, je množina takových R, pro která jsou definovány všechny funkce, ze kterých se daná funkce skládá, je to tedy průnik definičních oborů jednotlivých funkcí. V našem případě musí platit:. jmenovatel zlomku různý od nuly: log( ). argument logaritmu větší než nula: > >. pod sudou odmocninou číslo nezáporné: 9 9/ Průnikem všech tří definičních oborů je (; ) (; 9/, definičním oborem dané funkce tedy je D f = (; ) (; 9/ Určete definiční obor funkce y = ( + ).
17 .. Definiční obor funkce Řešení:. Funkce pod sudou odmocninou musí být nezáporná: + 5 ( + ) + 5 5,. jmenovatel se nesmí rovnat nule: ( + ). Definiční obor celé (složené) funkce je průnik těchto výsledků: D f = 5; ) ( ; + )...4. Určete definiční obor funkcí: a) y = R {} b) y = 9 ( ; ; ) c) y = 5 R { ; } d) y = 4 + ( ; ) e) y = f) y = 5 + g) y = + h) y = i) y = j) y = k) y = l) y = + R R { } R R {8; } R ; 9 ; ) (; ) R ;..5. Určete definiční obor funkcí: a) y = b) y = 8 c) y = e R {} R {} d) y = log( + ) ( /; ) e) y = log ( + ) R f) y = log + 5 (5; ) 5 g) y = log ( 4 ) ( ; ) (; ) h) y = ln( + ) R ( ; ) ( ; ) i) y = log ( ; ) j) y = ln (4 ) ; +
18 4. Funkce k) y = ln R {} l) y = 4 + ln ( ) ( ; ) (; ) (; )..6. Určete definiční obor funkcí: a) y = cos b) y = sin R ( π 6 + kπ; 5π ) 6 + kπ, k Z c) y = cotg kπ, k Z d) y = tg (k + ) π 4, k Z e) y = tg ; (k + )π, k Z f) y = log sin (kπ; π + kπ), k Z g) y = ln sin( ) ( + kπ; π + + kπ), k Z h) y = log + + sin 5 + ( ; ) {} i) y = sin( 4) ln(7 + ) ( /7; ) {} j) y = tg ln ( ) R {; (k + ) π, k Z}..7. Určete definiční obor funkcí: a) y = 5 arcsin + b) y = arcsin(4 + ) ln( ) Dokažte, že funkce y = log je funkce rostoucí v celém svém definičním oboru. Řešení: Aby funkce f() byla rostoucí, musí platit: pro < je f( ) < f( ). Definiční obor naší funkce splňuje podmínku: > >. Pro libovolná < < platí: < log < log, protože log je funkcí rostoucí. Tedy daná funkce y = log je rostoucí. ;. Parita funkce... Určete, zda je funkce y = 4 Řešení: sudá nebo lichá. f( ) = 4 ( ) ( ) = 4 = 4 = f(). Daná funkce je lichá.
19 .. Perioda funkce 5... Rozhodněte o sudosti, resp. lichosti, funkcí: a) y = lichá b) y = sudá c) y = sudá d) y = + sudá e) y = + sudá f) y = + ani sudá, ani lichá g) y = ( ) ani sudá, ani lichá h) y = ( + ) ani sudá, ani lichá... Mezi následujícími funkcemi najděte funkce sudé a liché a) y = ani sudá, ani lichá b) y = lichá c) y = sudá d) y = sin lichá e) y = sin f) y = cos. Perioda funkce lichá sudá... Zjistěte, zda je funkce y = sin + cos periodická, a v kladném případě najděte její základní periodu. Řešení: Je-li funkce periodická, eistuje číslo p R takové, že pro všechna D f platí: Užitím součtových vzorců dostaneme sin + cos = sin( + p) + cos( + p). sin( + p) + cos( + p) = sin cos p + cos sin p + cos cos p sin sin p = cos p(sin + cos ) + sin p(cos sin ). Zřejmě musí platit: cos p = sin p = p = + kπ, p = π. Daná funkce je tedy periodická se základní periodou π.... Zjistěte, zda daná funkce je periodická, a případně najděte její základní periodu: a) y = cos b) y = sin c) y = sin d) y = sin e) y = sin π 4π π π f) y = sin není periodická π
20 6. Funkce.4 Inverzní funkce.4.. Dokažte, zda funkce y = je prostá a najděte funkci k ní inverzní. Sestrojte grafy obou funkcí. ) Řešení: Definiční obor: D f = ; +. Necht, ( ) jsou libovolná čísla z D f, pak platí:. Tedy funkce y = je prostá a eistuje k ní funkce inverzní. Získáme ji tak, že provedeme formální záměnu proměnných y: = y = y y = + = f (). Definiční obor inverzní funkce je totožný s oborem funkčních hodnot funkce dané a obor hodnot inverzní funkce je totožný s definičním oborem původní funkce D f = H f, H f = D f. V našem případě je tedy D f = ; + ) (maimální definiční obor funkce y = + ) je ovšem celé R) a H f = ; +. Grafy dané funkce f() a funkce k ní inverzní f () jsou vždy souměrné podle osy prvního a třetího kvadrantu y = (viz obr..). y 4 y y y 4 Obr..: K příkladu.4..
21 .5. Elementární funkce a jejich grafy Je dána funkce y =, ;. Dokažte, že f je funkce, určete D f a sestrojte graf inverzní funkce f. f = +, D f = 5; Určete, na kterých intervalech eistuje inverzní funkce k následujícím funkcím, a najděte ji: a) y = + 4 f = 4, R b) y = f =, ; ) c) y = d) y = + e) y = ln f =, R f =, ; + ) f = e, R f) y = f = log, (; ) ( ) g) y = f = log, (; ) 4 4 h) y = i) y = e j) y = 5 arcsin + f =, R f = ln, ( ; ) f = sin 5, 5 π; 5 + π.5 Elementární funkce a jejich grafy Elementární funkce můžeme rozdělit na polynomy, racionální lomené funkce, iracionální (inverzní k racionálním), eponenciální, logaritmické (inverzní k eponenciálním), goniometrické, cyklometrické funkce (inverzní ke goniometrickým). Přehled vlastností vybraných funkcí je uveden v tabulce. a.. Grafy elementárních funkcí jsou znázorněny na obr...5.
22 8. Funkce y 4 y 4 y y y y 4 y y 4 y y 4 y 4 y y Obr..: Grafy elementárních funkcí
23 .5. Elementární funkce a jejich grafy 9 y 4 y 4 y y Obr..: Grafy elementárních funkcí f() D f H f vlastnosti f () D f H f vlastnosti sin R ; spojitá, roste arcsin ; π ; π spojitá, roste cos R ; spojitá, klesá arccos ; ; π spojitá, klesá tg (k + ) π R spojitá, roste arctg R ( π ; π ) spojitá, roste cotg kπ R spojitá, klesá arccotg R (; π) spojitá, klesá Tabulka.: Goniometrické a cyklometrické funkce
24 . Funkce y sin y cos y y Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π y tg y y cotg y Π Π Π Π Π Π Π Π Obr..4: Goniometrické funkce y arcsin Π y y arccos Π y.5.5 Π Π.5.5 y arctg Π y y arccotg Π y 5 5 Π Π 5 5 Obr..5: Cyklometrické funkce
25 .5. Elementární funkce a jejich grafy y a a y 4 y a a y 4 y e y 4 y 4 y log a a y ln y log a a 4 4 Obr..6: Eponenciální a logaritmické funkce f() D f H f vlastnosti f () D f H f vlastnosti R (; + ) spojitá, roste log (; + ) R spojitá, roste ( ) R (; + ) spojitá, klesá log (; + ) R spojitá, klesá a R (; + ) spojitá spojitá roste (a > ) log a (; + ) R roste (a > ) klesá (a < ) klesá (a < ) Tabulka.: Eponenciální a logaritmické funkce
26 . Funkce f y 4 y 4 g f h f Obr..7: Řešení příkladu Sestrojte grafy funkcí: a) y = b) y = c) y = d) y = 4 f) y = g) y = e) y = h) y = Pomocí grafů známých elementárních funkcí sestrojte grafy funkcí: a) y = b) y = 5 c) y = 5 d) y = e) y = + 5 f) y = g) y = 5 h) y = ( ) i) y = ( ) Sestrojte grafy funkcí: a) f() = b) g() = f() c) h() = f().5.4. Sestrojte grafy funkcí: a) y = b) y = c) y = d) y = +
27 .5. Elementární funkce a jejich grafy y 4 y y =, y =, y =, y = Obr..8: K příkladům.5.. a y =, y =, y =.5.5. Sestrojte grafy následujících funkcí: a) y = b) y = c) y = d) y = e) y = + ( f) y = ).5.6. Sestrojte grafy funkcí: a) y = sin b) y = cos c) y = sin d) y = sin g) y = ( ) h) y = log i) y = log j) y = log k) y = log ( e) y = cos π ) ( f) y = cos + π ) 4 ( g) y = cos + π ) U následujících funkcí určete jejich definiční obor, obor hodnot, periodu, monotónnost. Dále zjistěte, zda jsou dané funkce prosté, ohraničené, sudé nebo liché, a sestrojte jejich graf. a) y = + b) y = ( ) c) y = cos d) y = ( + )
28 4. Funkce y y y y y y y y log 4 y log y log Obr..9: K příkladu.5.5. y y Π Π Π Π y = sin, y = sin, y = sin Π Π Π Π Π Π Π y = cos Π ( π Π ), y = cos Π Π ( + π 4 ) Π y y Π Π Π Π Π y = cos + Π Π Π Π Π Π Π y = cos Π ( + π 4 Π ) + Π Π y y Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π y = sin y = cos Obr..: K příkladu.5.6.
29 Kapitola 4 Posloupnosti 4. Pojem posloupnosti, rekurentní určení posloupnosti Posloupnost (a n ) n= je každá funkce definovaná na množině přirozených čísel Napište prvních pět členů posloupnosti dané vzorcem pro n-tý člen: ( ) a) n n= ( ) cos(nπ) b) n= ( ) n + c) n 5 n= ( ) d) ( ) n e) ( sin nπ n ) n= n= 4... Vyjádřete dané posloupnosti pomocí vzorce pro n-tý člen:,,, 4, 5,,,, 4, 7,,, 6 5, 8, 7, 64, 5,,,, a), 4, 4 5, 5 6,... ( n+ n+ b),,,,... např. ( cos(nπ)) n= ( c),, 9, 7, 8,... n ) n= d),, 4, 4 5, 5 ( ) 5 n 6 n+ n= (n e), 8, 7, 64, 5, 6 ) 6 n= 4... Je dána posloupnost (a n ) n=, a n = log n. Vyjádřete ji rekurentně. Řešení: Rekurentní určení posloupnosti je takový způsob zadání posloupnosti (a n ) n=, kdy je dán první člen (resp. první dva členy) a dále je k dispozici vzorec, pomocí něhož můžeme pro každé n N vypočítat člen a n+ na základě znalosti předchozího členu a n. V tomto případě pro každé n N je a n+ = log n+ = log ( n ) = log n + log = a n + log. Zkoumanou posloupnost lze tedy rekurentně zadat takto: a = log ; a n+ = a n + log. 5 ) n=
30 6 4. Posloupnosti Můžeme ji ovšem vyjádřit např. i tímto způsobem a = log ; a = log 9; a n+ = a n + log Posloupnosti vyjádřené vzorcem pro n-tý člen vyjádřete rekurentně: a) (log n ) n= a = log ; a n+ = log + a n b) (n + ) n= a = ; a n+ = a n + c) (n ) n= a = ; a n+ = a n + d) (n) n= a = ; a n+ = a n + e) ( n ) n= a = ; a n+ = a n f) (( ) n ) n= a = ; a n+ = a n Vypište prvních pět členů posloupnosti zadané rekurentně: a) a = ; a n+ = a n, n N, 6, 8, 54, 6 b) a = ; a = ; a n+ = a n+ a n, n N,,,, c) a = ; a = ; a n+ = a n+ a n, n N,,,, 4 d) a = ; a n+ = a n, n N, 4, 8, 6, Posloupnost (a n ) n= je určena rekurentně takto: a =, a n+ = a n, n N. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen. Řešení: Platí: a = a a = a a 4 = a a n = a n a n = a n Těchto n rovností mezi sebou vynásobíme a dostaneme a a a 4... a n a n = a a a... a n a n, čili a a a 4... a n a n = n a a a... a n a n. Žádný člen posloupnosti (a n ) n= není roven nule. Proto můžeme obě strany poslední rovnosti vydělit výrazem a a a 4... a n a n a dostaneme vztah pro a n : a n = n a. Víme, že a =, a tedy a n = n. Posloupnost (a n ) n= zapíšeme pomocí vzorce pro n-tý člen takto: ( n ) n= Dané posloupnosti jsou určeny rekurentně. Vyjádřete je vzorcem pro n-tý člen: a) a = ; a n+ = a n, n N () ( n= b) a = ; a n+ = a n, n N ( ) n ) n= c) a = 5; a n+ = a n + 4, n N (4n + ) ( n= d) a = ; a n+ = a n, n N n ) n= e) a = ; a n+ = + a n, n N ((n ) ) n= f) a = ; a n+ = a n, n N ( + ( ) n ) n=
31 4.. Aritmetická a geometrická posloupnost 7 4. Aritmetická a geometrická posloupnost Posloupnost (a n ) n= se nazývá aritmetická, právě když eistuje takové reálné číslo d, že pro každé přirozené číslo n je a n+ = a n + d, (4.) kde d se nazývá diference aritmetické posloupnosti. Platí a n = a + (n )d, a n = a n + a n+, (4.) Pro součet s n prvních n členů aritmetické posloupnosti platí r, s N : a s = a r + (s r)d. (4.) s n = n (a + a n ). (4.4) Posloupnost (a n ) n= se nazývá geometrická, právě když eistuje takové reálné číslo q, že pro každé přirozené číslo n je a n+ = a n q, (4.5) kde q se nazývá kvocient geometrické posloupnosti. Platí a n = a q n, a n = a n a n+, (4.6) Pro součet s n prvních n členů geometrické posloupnosti platí r, s N : a s = a r q s r. (4.7) q = : s n = n a, (4.8) q n q : s n = a q = a q n q. (4.9) 4... Vypočtěte žádané prvky aritmetické posloupnosti: a) d =, a n = 5, s n = 456, n =?, a =? n = 8, a = 99 b) a = 6, s = 95, a =?, d =? a =, d = 4... Určete aritmetickou posloupnost, u které platí: a + a 4 + a 6 = 7, a 5 a a = a = 5, d = Určete a a q u geometrické posloupnosti, u níž platí a) a + a 4 =, a + a = 48 a = 4, q =, a = 8, q = / b) a 7 a 5 = 48, a 6 + a 5 = 48, s n = a =, q =, n = Vypočítejte, kolik máte pra... prababiček. Řešení: Každý máme dva rodiče, čtyři prarodiče ( babičky a dědečky), osm praprarodičů (4 prababičky a 4 pradědečky), atd. Kolik máme (pra) n -babiček? Je to polovina z celkového počtu (pra) n+ -rodičů (uvažujeme jen ženy), výsledek tedy je: n+ = n+, n =,,... Limita pro n je nevlastní, počet pra... prababiček stále roste.
32 8 4. Posloupnosti Strany pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Delší odvěsna měří 4. Vypočtěte obvod trojúhelníka Stanovte takové číslo, aby zvětšeno postupně o 7, 5, 7 dalo tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti Buduje se hlediště letního kina přibližně pro diváků. Do první řady je plánováno 4 sedadel, do každé následující řady postupně o 4 sedadla více. Kolik řad sedadel bude mít hlediště? Část střechy domu má tvar lichoběžníku a je ji třeba pokrýt taškami. Víme, že do řady u hřebenu se vejde 85 tašek, do spodní řady při okapu tašek. Přitom tašky budou srovnány do řad tak, že v každé následující řadě bude o jednu tašku více než v řadě předchozí. Kolik je třeba tašek na pokrytí části střechy? Poločas rozpadu radia C (RaC) je přibližně minut. Počáteční hmotnost radia C je mg. Jaká bude hmotnost radia za hodiny? (Poločasem rozpadu nazýváme dobu, za kterou se rozpadne polovina počáteční hmotnosti radioaktivní látky.) 64 mg 4... Teplota Země roste do hloubky přibližně o C na metrů. Jaká je teplota na dně dolu 5 metrů hlubokého, je-li v hloubce 5 metrů teplota 9 C? 9 C 4... Světelný paprsek ztrácí při průchodu skleněnou deskou své intenzity. Jaká je intenzita ( paprsku po průchodu čtyřmi stejnými deskami? ) Určete součet všech přirozených čísel od do Vypočítejte součet všech sudých trojciferných přirozených čísel Množství dřeva v jedné lesní oblasti je odhadnuto na 5, 5 5 m, roční přírůstek je,%. Kolik krychlových metrů dřeva bude v této oblasti za tři roky? S těžbou se nepočítá.. = 5, 9 5 m Ve městě žilo na počátku roku 7 6 obyvatel. Kolik obyvatel lze očekávat na počátku roku, jestliže se roční přírůstek odhaduje na,8%? Kuřák prokouří ročně Kč. Kolik by uspořil za 5 let, kdyby tuto částku vždy počátkem roku ukládal na vkladní knížku při ročním úročení 8%? (Počítejte daň z úroků ve výši 5%.) Za kolik let klesne hodnota předmětu na méně než desetinu původní ceny, jestliže ročně odepisujeme 8% ceny předmětu z předchozího roku? Traktor jede po přímé silnici rychlostí m s. V okamžiku, kdy projíždí místem M, vyjíždí z tohoto místa týmž směrem osobní auto, které za první sekundu ujede m a za každou následující sekundu o m více než za předcházející sekundu. Vypočtěte, za kolik sekund auto dohoní traktor. 8 s Občan získal počátkem roku 7 od banky úvěr ke koupi bytu ve výši 4 Kč, a to na dobu šesti let s roční úrokovou mírou % (úrokovací období je rok). Úvěr bude splacen v šesti stejných ročních splátkách, první po jednom roce od poskytnutí úvěru. Kolik korun bude činit jedna splátka? Kolik korun celkem občan bance zaplatí? jedna splátka 9 84 Kč; celkem Kč
33 4.. Vlastnosti posloupností Banka poskytla podnikateli počátkem roku 7 úvěr ve výši 5 Kč, a to na dobu pěti let s roční úrokovou mírou,5% (úrokovací období je rok). Podnikatel bude dluh splácet pravidelně ve stejných ročních splátkách, první po jednom roce od poskytnutí úvěru. Vypočítejte výši jedné splátky. Řešení: Neznámou je výše jedné splátky, označme ji s Kč. Dluh podnikatele na konci roku 7 (banka si připsala úroky):.5 6 ( +.5) Kč Dluh na počátku roku 8 (po první splátce):.5 6 ( +.5) s Kč Dluh na počátku roku 9 (po připsání úroků z dluhu za rok 8 a po druhé splátce): (.5 6 ( +.5) s ) ( +.5) s Kč =.5 6 ( +.5) s( +.5) s Kč Dluh na počátku roku (po třetí splátce): (.5 6 ( +.5) s( +.5) s ) ( +.5) s Kč =.5 6 ( +.5) s( +.5) s( +.5) s Kč atd., dluh na počátku roku (po páté splátce):.5 6 ( +.5) 5 s( +.5) 4 s( +.5) s( +.5) s( +.5) s Kč Úvěr bude na počátku roku splacen, je tedy.5 6 (+.5) 5 s ( +.5) 4 + ( +.5) + ( +.5) + ( +.5) + = S využitím vzorce (4.9) pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti dostaneme Odtud je.5 6 ( +.5) 5 s ( +.5)5 ( +.5) = s =.5 6 ( +.5) 5.5 ( +.5) 5 s. = Výše jedné splátky činí Kč Občan si založil na konci roku 5 osobní konto s roční úrokovou mírou 6% a se čtvrtletním úrokovacím obdobím. Na konto ihned uložil 5 Kč a stejnou částku pak pravidelně ukládal na konci každého čtvrtletí roku 6, přitom z konta žádný obnos nevybral. Jak vysoká částka byla na jeho osobním kontě na konci roku 6? Daň z úroků je 5% Vkladatel měl na vkladní knížce s výpovědní lhůtou uloženo po dobu tří let 8 Kč. První dva roky byla úroková míra 6%, další rok 5,%. Jak vysokou částku bude mít na vkladní knížce na konci třetího roku, jestliže v průběhu celé úrokovací doby nevybral žádné úroky? Úrokovací období je jeden rok. 9 7 Kč
34 4. Posloupnosti posloupnost definiční vlastnost rostoucí n N : a n < a n+ klesající n N : a n > a n+ neklesající n N : a n a n+ nerostoucí n N : a n a n+ shora omezená k R; n N : a n k zdola omezená l R; n N : a n l Tabulka 4.: Základní vlastnosti posloupností 4. Vlastnosti posloupností Základní vlastnosti posloupností jsou shrnuty v tabulce 4.. Každá rostoucí posloupnost je neklesající. Každá klesající posloupnost je nerostoucí. Posloupnosti, které jsou nerostoucí nebo neklesající, se nazývají monotónní posloupnosti. Posloupnost se nazývá omezená, právě když je omezená shora i zdola Je dána posloupnost ( ). n n= a) Dokažte, že daná posloupnost je klesající. b) Rozhodněte, zda uvedená posloupnost je shora omezená, zdola omezená nebo omezená. c) Vyjádřete tuto posloupnost rekurentně. Řešení: a) Máme dokázat, že pro každé n N platí n + < neboli n + > n. Tato nerovnost n je pro každé n N pravdivá. Tím jsme dokázali, že daná posloupnost je klesající. b) Pro každé n N je n >, to znamená, že daná posloupnost je zdola omezená. Zároveň pro všechna n N platí. Proto je daná posloupnost také shora omezená. Z toho n plyne, že daná posloupnost je omezená. c) Pro n = dostaneme a =. Protože a n = n, a n+ =, platí pro každé n N n + a n+ = n + = = a n a + n +. a n
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VícePro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
VíceDefinice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceOznačení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).
9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceFunkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ
MATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ STUDIUM MATEMATICKÁ ANALÝZA RNDr. Vladimíra MÁDROVÁ, CSc., RNDr. Vratislava MOŠOVÁ, CSc., Moravská vysoká škola Olomouc, o.p.s., 8 Moravská vysoká škola
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceDiferenciální počet funkce jedné proměnné 1
Diferenciální počet funkce jedné proměnné Limita funkce Pojem limita můžeme česk vjádřit jako mez, případně hranice Zavedení pojmu limita si objasníme na příkladu Příklad : Funkce f ( ) Obr 6: Graf funkce
VíceMATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
VíceMATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY
MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceKatedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.
SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceÚvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
VíceII. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.
Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
VíceSoubor příkladů z Matematické analýzy 1 (M1100) 1
Soubor příkladů z Matematické analýzy (M00). Opakování. Upravte následující výrazy: 3 3 +3 3 3 6+ (+) 3 [ a+b a b ] ( b ) (a a b a+b b a b a b ) (a b) 3 [(a b) 4 (a+b) 5 ] 6 3 a 4 a 3 a 3 aa 3 (f) 3 +
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceCVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceVýznam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
VíceVzorcem pro n-tý člen posloupnosti, např.:, Rekurentně zadáním prvního členu a rekurentního vzorce, který vyjadřuje, např.: výčtem prvků graficky
Posloupnosti Motivace Víš, jaký bude následující člen v řadách 2, 4, 6, 8,? a 2, 4, 8, 16,?? Urči součet řady Jak převedeš číslo na zlomek? 1 Definice posloupnosti Posloupnost je funkce. Definiční obor
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceCvičení 1 Elementární funkce
Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceREÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
Vícey = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +
Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
VícePřednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné
Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
VíceWikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017
Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce
VíceOpakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <
8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceObsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty
Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost,
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
VíceAplikace derivace ( )
Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VíceMatematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
Více{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou
Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceZ MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012
VYBRANÉ PARTIE Z MATEMATIKY Tomáš Mikulenka březen 0 Tento výukový materiál vznikl jako součást grantového projektu Gymnázia Kroměříž s názvem Beznákladové ICT pro učitele realizovaného v letech 009 0.
VíceCVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceCZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
Vícec ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceMATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Evropský polytechnický institut, s.r.o.. soukromá vysoká škola na Moravě Kunovice MATEMATIKA I. Dierenciální počet unkcí jedné proměnné RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc. Evropský
VíceZlín, 23. října 2011
(. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,
VíceSeminární práce z matematiky
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceGONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE
GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
Více