CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "CVIČENÍ Z MATEMATIKY I"

Transkript

1 Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava

2

3 Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických výrazů, mocniny, odmocniny, rozklad mnohočlenů Rovnice a nerovnice. Absolutní hodnota reálného čísla. Soustavy rovnic Logaritmy. Logaritmické a eponenciální rovnice Goniometrie. Goniometrické rovnice Množiny 5. Operace s množinami Binární relace, zobrazení Uspořádané množiny Funkce. Definiční obor funkce Parita funkce Perioda funkce Inverzní funkce Elementární funkce a jejich grafy Posloupnosti 5 4. Pojem posloupnosti, rekurentní určení posloupnosti Aritmetická a geometrická posloupnost Vlastnosti posloupností Limity posloupností Limita funkce 5 6 Diferenciální počet 4 6. Derivace funkce Derivace vyšších řádů Geometrický význam derivace Fyzikální význam derivace Diferenciál funkce L Hospitalovo pravidlo Taylorův rozvoj Monotónnost funkce Etrémní hodnoty funkcí Konvenost a konkávnost funkce, inflení body Asymptoty grafu funkce Průběh funkce i

4 ii OBSAH 7 Integrální počet 7 7. Neurčitý integrál, základní vzorce Substituční metoda Integrace metodou per partes Integrace racionálních funkcí Integrace goniometrických funkcí Integrace iracionálních funkcí Určitý Riemannův integrál Geometrické aplikace určitého integrálu

5 Kapitola Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických výrazů, mocniny, odmocniny, rozklad mnohočlenů... Upravte algebraické výrazy: a) b) ( > ) c) (a b) + ab (a + b) ab : a 5 + b 5 + a b + a b (a + b + a b + ab )(a b ) a b... Upravte a udejte podmínky eistence výrazů: ( a b ) ( ) a b a) a + b : a + b ; a b, a b ab b) a 4a 4 4a 6 a 4 : ( a) 4 ; a, a ± a a a c) 5 a 4 : a a 5 a ; a > a a ( + y ) ( + y ) + y y d) ( ) ( ) y ;, y, ±y ( + y)( y) y ( a ab + b ) ( a ab + b e) (a b) a ab + b b ) ; a ; a b a... Rozložte na součiny, resp. upravte krácením: a) ( ) 5;

6 . Příklady k opakování středoškolské látky b) c) ( 5 ; 5) ( 5)( + ) ( ; ). Rovnice a nerovnice. Absolutní hodnota reálného čísla. Soustavy rovnic... Řešte v R: a) a a = a a ; a b) y + 4 y + 7y 8 8 y y = y y + 4 nemá řešení c) 8 = 4... Řešte v R: a) y = y nemá řešení b) + = {, 4}... Zjistěte, která vyhovují nerovnici v oboru reálných čísel a) + 9 > 4 + < 6 b) + < ( ; ) ( ; + ) c) + 4 d) Řešte v R nerovnice ( ; 4) ; + ) ( ; 5 a) + (, 4 b) (, (, ) c) 5 ) ; 5 d) 5 + >..5. V R R řešte soustavu rovnic ( 7; ) y + = y = ; y = 6; Sestrojte kartézské grafy soustavy nerovnic: + y y 7

7 .. Logaritmy. Logaritmické a eponenciální rovnice..7. Která reálná vyhovují rovnici a) + 5 = b) + = c) = d) + 9 = nemá řešení e) ( + )( 5) 7 =..8. V R řešte nerovnici: + > < ; >..9. V množině celých čísel určete obor pravdivosti výrokové formy a) + = + 5 {} b) {,,,, }. Logaritmy. Logaritmické a eponenciální rovnice... Řešte rovnice 5 a) ( 4 9 ) ( 7 8 ) = log 4 log 8 7 b) 7 = 8 5 c) = Určete všechna řešení rovnic v oboru reálných čísel: a) log = ; b) (log ) log + = 9; c) log( ) + log( + ) = log + log( ) 5; 9 d) log( + ) log( ) = log 4 8 e) log ( ) log ( ) = 5.4 Goniometrie. Goniometrické rovnice.4.. Zjednodušte výrazy a určete, kdy jsou reálné: a) b) c) d) + tg + cotg cos + sin sin cos sin cos + tg + + cotg tg ; k π, k Z} sin ; π + kπ, k Z} cos ; k π, k Z ; k π, k Z

8 4. Příklady k opakování středoškolské látky.4.. Řešte v R rovnice a) sin = tg = kπ; = π 4 + k π, k Z b) sin + cos = 5 sin cos. = 56 + kπ; = π 4 + kπ, k Z c) (tg ) (sin ) = tg d) tg = cotg e) sin = sin kπ; = π + kπ; 5π + kπ, k Z = ± π + kπ, k Z = kπ; = π + kπ; = 5π + kπ, k Z.4.. Lanovka má přímou trat délky 45 m a stoupá pod úhlem o velikosti 4. Jaký je výškový rozdíl mezi horní a dolní stanicí? 79, 6 m.4.4. Na vodorovné rovině stojí 65 m vysoká věž a továrenský komín. Z vrcholu věže vidíme patu komína v hloubkovém úhlu α = 9 a od paty věže vidíme vrchol komína ve výškovém úhlu β = 7 4. Jak vysoký je komín? 4 m.4.5. Určete velikost všech úhlů a stran trojúhelníka, pro nějž platí: α =, b =, a = 5 β = 9, γ = 6, c = Z bodu ležícího ve výšce h nad horizontální rovinou jdoucí patou věže vidíme vrchol věže ve výškovém úhlu α, patu věže v hloubkovém úhlu β. Jak vysoká je věž? h( + tgα cotg β).4.7. Těsně u břehu řeky stojí budova, z jejíchž oken nad sebou vzdálených h metrů je vidět bod na protějším břehu v hloubkových úhlech α, β (α > β). Jak široká je řeka? h cos α cos β sin(α β).4.8. Po přímé cestě se přesouvá vojenská kolona. Pozorovatel na stanovišti A, které leží mimo cestu, zjistil radiolokátorem, že vzdálenost místa A od čela kolony U je 4 5 m, vzdálenost A od konce kolony V je 84 m a velikost úhlu UAV je. Vypočítejte délku kolony. 6 m.4.9. Hlídce byl určen pochodový úhel o velikosti, po 7 km byl změněn směr pochodu na úhel o velikosti 75. Tímto směrem prošla hlídka dalších 8 km. Jaká je vzdálenost hlídky vzdušnou čarou od výchozího bodu?, 9 km

9 Kapitola Množiny. Operace s množinami... Výčtem prvků zapište množiny: a) { Z : + < }, b) { R : }, c) { L : ( je studentem. ročníku oboru PTA) ( je dívka)}, kde L značí množinu všech lidí. Řešení: a) Řešením nerovnice + < jsou všechna reálná čísla z intervalu ( ; + ) ; v tomto intervalu leží celá čísla 4,,, tj. { Z : + < } = { 4; ; }. b) Zřejmě { R : } = {}. c) Ve složené závorce je potřeba vyjmenovat všechny dívky studující v. ročníku obor PTA.... Necht A = (; 5) (otevřený interval), B = {; 4; 5; 6}. Zapište množiny: a) A B, {; 4} b) A B, (; 5 {6} c) A B, (; ) (; 4) (4; 5) d) B A, {5; 6} e) A R, ( ; 5; + ) f) B R. ( ; ) (; 4) (4; 5) (5; 6) (6; + )... Jsou dány množiny A = { R : < }, B = { R : + }. Zapište pomocí intervalů: a) A, ; ) b) B, ( ; 5 ; + ) c) A B, ( ; 5 ; + ) d) A B. ; )..4. Necht A = {; ; 4; 7; ; 6}, B = {; ; 7; }, C = {; 6; ; 9}. Určete a) A B, {; ; ; 4; 7; ; ; 6} 5

10 6. Množiny b) B C, {; ; 6; 7; ; ; 9} c) A B C, ; ; ; 4; 6; 7; ; ; 6; 9 d) A B, {; 7} e) A C, {; } f) A B C. {}..5. Necht A = {a; c}, B = {b; d; c}. Utvořte kartézské součiny a) A B, {(a; b), (a; d), (a; c), (c; b), (c; d), (c; c)} b) B A. {(b; a), (b; c), (d; a), (d; c), (c; a), (c; c)}..6. Jsou dány množiny A = {; ; } a B = {; 5}. Výčtem prvků zapište kartézský součin množin A B. {(; ), (; ), (; ), (; 5), (; 5), (; 5)}..7. Jakou množinu v prostoru opatřeném kartézskou souřadnou soustavou vyplní všechny body, jejichž souřadnice (tj. uspořádané trojice reálných čísel) jsou z kartézského součinu intervalů a, b c, d e, f?..8. Jsou dány množiny A = { 4; ; 4} a B = 4; 4). Určete a) A B, 4; 4 b) A B, {; 4} c) A B, {4} d) B A, ( 4, ) (, 4) e) načrtněte A B...9. Jsou dány množiny A = { ; ; ; } a B = ; 5). Určete a) A B, ; 5) b) A B, { ; ; ; } c) A B, d) B A, ; ) ( ; ) ( ; ) (; ) (; 5) e) A B, B A f) A R, ( ; ) ( ; ) ( ; ) (; ) (; + ) g) B A, h) B R, ( ; ) 5; + ) i) načrtněte A B a B A.... Užitím Vennových diagramů rozhodněte, zda pro libovolné podmnožiny A, B, C dané základní množiny platí: a) (A B) B = A B, platí b) A B = A B, neplatí c) C (A B) = (A C) (C B). platí... Dokažte, že pro libovolné dvě množiny A, B platí: a) A = (A B) (A B), b) A B = (A B) (A B) (B A).

11 .. Binární relace, zobrazení 7 Řešení: Množinová rovnost M = N se dokazuje bud tak, že ukážeme: M N, nebo tak, že použijeme zřejmého tvrzení (M = N) (M N N M) a dokazujeme:. M N (tj. M N),. N M (tj. N M). a) ( A) ( A ( / B B)) (( A / B) ( A B)) ( (A B) A B) ( (A B) (A B)). b) ( A B) ( A B) (( A ( / B B)) ( B ( / A A))) ((( A / B) ( A B)) (( B / A) ( B A)) ( (A B) (A B) (B A) (B A)) ( (A B) (A B) (B A)) ( (A B) (A B) (B A)).. Binární relace, zobrazení... Graficky znázorněte binární relaci {(, y) R : + y 4 }. Řešení: viz obr..(a).... Najděte pravidlo určující binární relaci na R, která je dána šedě zvýrazněnou (otevřenou) podmnožinou roviny na obr..(b), (c), (d). Řešení: S elementárními znalostmi rovinné analytické geometrie snadno zjistíme: a) {(, y) R : < y}, b) {(, y) R : ( + y < )}, c) {(, y) R : < y < }.... Necht zobrazení f :, + ) 4, + ) je dáno předpisem f() = + 4. Najděte předpis definující inverzní zobrazení f. Řešení: Zobrazení f je zřejmě vzájemně jednoznačné (speciálně prosté), a tedy inverzní zobrazení k němu eistuje. Přitom: f (y) = f() = y + 4 = y. My ale potřebujeme hodnotu f (y) (tj. ) vyjádřit v závislosti na y, tedy z předpisu y = + 4, definujícího zobrazení f, potřebujeme spočítat v závislosti na y. y = + 4 = y 4 (bereme + y 4, nebot víme, že, + )). Hledaný předpis tedy je: f (y) = y Jaká podmnožina roviny opatřené kartézskou souřadnou soustavou (tj. R R) definuje následující binární relace na R? a) {(, y) R : + y = } kružnice se středem v počátku a poloměrem b) {(, y) R : y } celá rovina bez souřadnicových os..5. Je dána množina A = { ; ; ; ; }. Znázorněte graficky binární relace a) R = {(, y) A A : > y}, b) S = {(, y) A A : y < }, c) T = R S.

12 8. Množiny. Uspořádané množiny... Najděte v R maimum, minimum, supremum a infimum (pokud eistují) množin: a) (; ),,,, b) ;,,,, c) množina všech záporných čísel,,,, d) (; + ),,,, e) (; 4, 4,, 4, f) {; ; } ;...,,,, g) { 8 }, n N., 6, 8, 6 n n=... Najděte maimum, minimum, supremum, infimum množiny M, jejíž prvky tvoří čísla tvaru n + ma n +, n N. M = sup M =, min M =, inf M =... V Z určete horní a dolní závoru množiny M = { ; ; }. horní závora:,,..., dolní závora:,, Je dán interval I = ; ). Určete v Z a) horní závoru,, 4, 5,... b) dolní závoru,,,,... c) maimum, d) minimum, e) supremum, f) infimum.

13 .. Uspořádané množiny 9 y 8 y y y (a) (b) y.5.5 y 4 y (c) 4 (d) Obr..: K příkladům.. a...

14 . Množiny

15 Kapitola Funkce Funkce je každé zobrazení f množiny A do číselné množiny B R, tzn. funkce je předpis, který každému prvku a A jednoznačně přiřadí číslo b B. Množině A říkáme definiční obor funkce a její prvek nazýváme nezávisle proměnnou nebo argumentem. Množině B říkáme obor funkčních hodnot, jejím prvkům závisle proměnné nebo hodnoty funkce. Jsou-li A, B množiny reálných čísel, mluvíme o funkci jedné reálné proměnné, zapisujeme obvykle y = f(); A, y B. Přehled základních vlastností funkcí je uveden v tabulce.. Graf funkce y = f() je množina všech bodů v rovině o souřadnicích ; f(). Na obr...5 jsou znázorněny grafy elementárních funkcí. Všimněte si, že graf sudé funkce je osově symetrický podle osy y, graf liché funkce je symetrický podle počátku soustavy souřadnic. Funkce rostoucí, neklesající, klesající a nerostoucí se nazývají monotónní, z nich pak funkce rostoucí a klesající jsou ryze monotónní. Je zřejmé, že ke každé ryze monotónní funkci eistuje funkce inverzní, nebot každá ryze monotónní funkce je prostá. Dále platí, že žádná sudá funkce není prostá.. Definiční obor funkce Hlavní zásady pro určování definičního oboru funkcí:. výraz ve jmenovateli musí být různý od nuly,. argument logaritmu musí být větší než nula,. výraz pod sudou odmocninou musí být nezáporný, 4. pro argument funkce tg musí platit: (k + ) π, pro cotg : kπ, k Z, 5. argument funkcí arcsin, arccos musí ležet v intervalu ; Určete definiční obor funkce y = sin + cos. Řešení: Funkce v čitateli i jmenovateli jsou definovány pro všechna, tedy jejich podíl je definován pro všechna taková, že jmenovatel je různý od nuly: sin + cos sin cos 4 π + kπ = π ( 4 + k )

16 . Funkce funkce požadavek na definiční obor definiční vlastnost příklady sudá D f D f f( ) = f(), cos lichá D f D f f( ) = f(), sin periodická p >, D f + p D f f( + p) = f() sin, cos rostoucí na I I D f je interval < na (; + ), f( ) < f( ), log neklesající na I I D f je interval < f( ) f( ) f() = konst. klesající na I I D f je interval < na ( ; ), f( ) > f( ), log nerostoucí na I I D f je interval < f( ) f( ) f() = konst. ohraničená na I I D f je interval eistuje A R tak, sin, cos, že f() < A na I arctg Tabulka.: Základní vlastnosti funkcí. Definičním oborem zadané funkce jsou tedy všechna reálná čísla kromě = 4 π + kπ, neboli { } D f = R 4 π + kπ, k Z.... Určete definiční obor funkce y = log( ) + 9. Řešení: Definiční obor součtu (rozdílu, součinu, podílu) funkcí, příp. složené funkce, je množina takových R, pro která jsou definovány všechny funkce, ze kterých se daná funkce skládá, je to tedy průnik definičních oborů jednotlivých funkcí. V našem případě musí platit:. jmenovatel zlomku různý od nuly: log( ). argument logaritmu větší než nula: > >. pod sudou odmocninou číslo nezáporné: 9 9/ Průnikem všech tří definičních oborů je (; ) (; 9/, definičním oborem dané funkce tedy je D f = (; ) (; 9/ Určete definiční obor funkce y = ( + ).

17 .. Definiční obor funkce Řešení:. Funkce pod sudou odmocninou musí být nezáporná: + 5 ( + ) + 5 5,. jmenovatel se nesmí rovnat nule: ( + ). Definiční obor celé (složené) funkce je průnik těchto výsledků: D f = 5; ) ( ; + )...4. Určete definiční obor funkcí: a) y = R {} b) y = 9 ( ; ; ) c) y = 5 R { ; } d) y = 4 + ( ; ) e) y = f) y = 5 + g) y = + h) y = i) y = j) y = k) y = l) y = + R R { } R R {8; } R ; 9 ; ) (; ) R ;..5. Určete definiční obor funkcí: a) y = b) y = 8 c) y = e R {} R {} d) y = log( + ) ( /; ) e) y = log ( + ) R f) y = log + 5 (5; ) 5 g) y = log ( 4 ) ( ; ) (; ) h) y = ln( + ) R ( ; ) ( ; ) i) y = log ( ; ) j) y = ln (4 ) ; +

18 4. Funkce k) y = ln R {} l) y = 4 + ln ( ) ( ; ) (; ) (; )..6. Určete definiční obor funkcí: a) y = cos b) y = sin R ( π 6 + kπ; 5π ) 6 + kπ, k Z c) y = cotg kπ, k Z d) y = tg (k + ) π 4, k Z e) y = tg ; (k + )π, k Z f) y = log sin (kπ; π + kπ), k Z g) y = ln sin( ) ( + kπ; π + + kπ), k Z h) y = log + + sin 5 + ( ; ) {} i) y = sin( 4) ln(7 + ) ( /7; ) {} j) y = tg ln ( ) R {; (k + ) π, k Z}..7. Určete definiční obor funkcí: a) y = 5 arcsin + b) y = arcsin(4 + ) ln( ) Dokažte, že funkce y = log je funkce rostoucí v celém svém definičním oboru. Řešení: Aby funkce f() byla rostoucí, musí platit: pro < je f( ) < f( ). Definiční obor naší funkce splňuje podmínku: > >. Pro libovolná < < platí: < log < log, protože log je funkcí rostoucí. Tedy daná funkce y = log je rostoucí. ;. Parita funkce... Určete, zda je funkce y = 4 Řešení: sudá nebo lichá. f( ) = 4 ( ) ( ) = 4 = 4 = f(). Daná funkce je lichá.

19 .. Perioda funkce 5... Rozhodněte o sudosti, resp. lichosti, funkcí: a) y = lichá b) y = sudá c) y = sudá d) y = + sudá e) y = + sudá f) y = + ani sudá, ani lichá g) y = ( ) ani sudá, ani lichá h) y = ( + ) ani sudá, ani lichá... Mezi následujícími funkcemi najděte funkce sudé a liché a) y = ani sudá, ani lichá b) y = lichá c) y = sudá d) y = sin lichá e) y = sin f) y = cos. Perioda funkce lichá sudá... Zjistěte, zda je funkce y = sin + cos periodická, a v kladném případě najděte její základní periodu. Řešení: Je-li funkce periodická, eistuje číslo p R takové, že pro všechna D f platí: Užitím součtových vzorců dostaneme sin + cos = sin( + p) + cos( + p). sin( + p) + cos( + p) = sin cos p + cos sin p + cos cos p sin sin p = cos p(sin + cos ) + sin p(cos sin ). Zřejmě musí platit: cos p = sin p = p = + kπ, p = π. Daná funkce je tedy periodická se základní periodou π.... Zjistěte, zda daná funkce je periodická, a případně najděte její základní periodu: a) y = cos b) y = sin c) y = sin d) y = sin e) y = sin π 4π π π f) y = sin není periodická π

20 6. Funkce.4 Inverzní funkce.4.. Dokažte, zda funkce y = je prostá a najděte funkci k ní inverzní. Sestrojte grafy obou funkcí. ) Řešení: Definiční obor: D f = ; +. Necht, ( ) jsou libovolná čísla z D f, pak platí:. Tedy funkce y = je prostá a eistuje k ní funkce inverzní. Získáme ji tak, že provedeme formální záměnu proměnných y: = y = y y = + = f (). Definiční obor inverzní funkce je totožný s oborem funkčních hodnot funkce dané a obor hodnot inverzní funkce je totožný s definičním oborem původní funkce D f = H f, H f = D f. V našem případě je tedy D f = ; + ) (maimální definiční obor funkce y = + ) je ovšem celé R) a H f = ; +. Grafy dané funkce f() a funkce k ní inverzní f () jsou vždy souměrné podle osy prvního a třetího kvadrantu y = (viz obr..). y 4 y y y 4 Obr..: K příkladu.4..

21 .5. Elementární funkce a jejich grafy Je dána funkce y =, ;. Dokažte, že f je funkce, určete D f a sestrojte graf inverzní funkce f. f = +, D f = 5; Určete, na kterých intervalech eistuje inverzní funkce k následujícím funkcím, a najděte ji: a) y = + 4 f = 4, R b) y = f =, ; ) c) y = d) y = + e) y = ln f =, R f =, ; + ) f = e, R f) y = f = log, (; ) ( ) g) y = f = log, (; ) 4 4 h) y = i) y = e j) y = 5 arcsin + f =, R f = ln, ( ; ) f = sin 5, 5 π; 5 + π.5 Elementární funkce a jejich grafy Elementární funkce můžeme rozdělit na polynomy, racionální lomené funkce, iracionální (inverzní k racionálním), eponenciální, logaritmické (inverzní k eponenciálním), goniometrické, cyklometrické funkce (inverzní ke goniometrickým). Přehled vlastností vybraných funkcí je uveden v tabulce. a.. Grafy elementárních funkcí jsou znázorněny na obr...5.

22 8. Funkce y 4 y 4 y y y y 4 y y 4 y y 4 y 4 y y Obr..: Grafy elementárních funkcí

23 .5. Elementární funkce a jejich grafy 9 y 4 y 4 y y Obr..: Grafy elementárních funkcí f() D f H f vlastnosti f () D f H f vlastnosti sin R ; spojitá, roste arcsin ; π ; π spojitá, roste cos R ; spojitá, klesá arccos ; ; π spojitá, klesá tg (k + ) π R spojitá, roste arctg R ( π ; π ) spojitá, roste cotg kπ R spojitá, klesá arccotg R (; π) spojitá, klesá Tabulka.: Goniometrické a cyklometrické funkce

24 . Funkce y sin y cos y y Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π y tg y y cotg y Π Π Π Π Π Π Π Π Obr..4: Goniometrické funkce y arcsin Π y y arccos Π y.5.5 Π Π.5.5 y arctg Π y y arccotg Π y 5 5 Π Π 5 5 Obr..5: Cyklometrické funkce

25 .5. Elementární funkce a jejich grafy y a a y 4 y a a y 4 y e y 4 y 4 y log a a y ln y log a a 4 4 Obr..6: Eponenciální a logaritmické funkce f() D f H f vlastnosti f () D f H f vlastnosti R (; + ) spojitá, roste log (; + ) R spojitá, roste ( ) R (; + ) spojitá, klesá log (; + ) R spojitá, klesá a R (; + ) spojitá spojitá roste (a > ) log a (; + ) R roste (a > ) klesá (a < ) klesá (a < ) Tabulka.: Eponenciální a logaritmické funkce

26 . Funkce f y 4 y 4 g f h f Obr..7: Řešení příkladu Sestrojte grafy funkcí: a) y = b) y = c) y = d) y = 4 f) y = g) y = e) y = h) y = Pomocí grafů známých elementárních funkcí sestrojte grafy funkcí: a) y = b) y = 5 c) y = 5 d) y = e) y = + 5 f) y = g) y = 5 h) y = ( ) i) y = ( ) Sestrojte grafy funkcí: a) f() = b) g() = f() c) h() = f().5.4. Sestrojte grafy funkcí: a) y = b) y = c) y = d) y = +

27 .5. Elementární funkce a jejich grafy y 4 y y =, y =, y =, y = Obr..8: K příkladům.5.. a y =, y =, y =.5.5. Sestrojte grafy následujících funkcí: a) y = b) y = c) y = d) y = e) y = + ( f) y = ).5.6. Sestrojte grafy funkcí: a) y = sin b) y = cos c) y = sin d) y = sin g) y = ( ) h) y = log i) y = log j) y = log k) y = log ( e) y = cos π ) ( f) y = cos + π ) 4 ( g) y = cos + π ) U následujících funkcí určete jejich definiční obor, obor hodnot, periodu, monotónnost. Dále zjistěte, zda jsou dané funkce prosté, ohraničené, sudé nebo liché, a sestrojte jejich graf. a) y = + b) y = ( ) c) y = cos d) y = ( + )

28 4. Funkce y y y y y y y y log 4 y log y log Obr..9: K příkladu.5.5. y y Π Π Π Π y = sin, y = sin, y = sin Π Π Π Π Π Π Π y = cos Π ( π Π ), y = cos Π Π ( + π 4 ) Π y y Π Π Π Π Π y = cos + Π Π Π Π Π Π Π y = cos Π ( + π 4 Π ) + Π Π y y Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π y = sin y = cos Obr..: K příkladu.5.6.

29 Kapitola 4 Posloupnosti 4. Pojem posloupnosti, rekurentní určení posloupnosti Posloupnost (a n ) n= je každá funkce definovaná na množině přirozených čísel Napište prvních pět členů posloupnosti dané vzorcem pro n-tý člen: ( ) a) n n= ( ) cos(nπ) b) n= ( ) n + c) n 5 n= ( ) d) ( ) n e) ( sin nπ n ) n= n= 4... Vyjádřete dané posloupnosti pomocí vzorce pro n-tý člen:,,, 4, 5,,,, 4, 7,,, 6 5, 8, 7, 64, 5,,,, a), 4, 4 5, 5 6,... ( n+ n+ b),,,,... např. ( cos(nπ)) n= ( c),, 9, 7, 8,... n ) n= d),, 4, 4 5, 5 ( ) 5 n 6 n+ n= (n e), 8, 7, 64, 5, 6 ) 6 n= 4... Je dána posloupnost (a n ) n=, a n = log n. Vyjádřete ji rekurentně. Řešení: Rekurentní určení posloupnosti je takový způsob zadání posloupnosti (a n ) n=, kdy je dán první člen (resp. první dva členy) a dále je k dispozici vzorec, pomocí něhož můžeme pro každé n N vypočítat člen a n+ na základě znalosti předchozího členu a n. V tomto případě pro každé n N je a n+ = log n+ = log ( n ) = log n + log = a n + log. Zkoumanou posloupnost lze tedy rekurentně zadat takto: a = log ; a n+ = a n + log. 5 ) n=

30 6 4. Posloupnosti Můžeme ji ovšem vyjádřit např. i tímto způsobem a = log ; a = log 9; a n+ = a n + log Posloupnosti vyjádřené vzorcem pro n-tý člen vyjádřete rekurentně: a) (log n ) n= a = log ; a n+ = log + a n b) (n + ) n= a = ; a n+ = a n + c) (n ) n= a = ; a n+ = a n + d) (n) n= a = ; a n+ = a n + e) ( n ) n= a = ; a n+ = a n f) (( ) n ) n= a = ; a n+ = a n Vypište prvních pět členů posloupnosti zadané rekurentně: a) a = ; a n+ = a n, n N, 6, 8, 54, 6 b) a = ; a = ; a n+ = a n+ a n, n N,,,, c) a = ; a = ; a n+ = a n+ a n, n N,,,, 4 d) a = ; a n+ = a n, n N, 4, 8, 6, Posloupnost (a n ) n= je určena rekurentně takto: a =, a n+ = a n, n N. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen. Řešení: Platí: a = a a = a a 4 = a a n = a n a n = a n Těchto n rovností mezi sebou vynásobíme a dostaneme a a a 4... a n a n = a a a... a n a n, čili a a a 4... a n a n = n a a a... a n a n. Žádný člen posloupnosti (a n ) n= není roven nule. Proto můžeme obě strany poslední rovnosti vydělit výrazem a a a 4... a n a n a dostaneme vztah pro a n : a n = n a. Víme, že a =, a tedy a n = n. Posloupnost (a n ) n= zapíšeme pomocí vzorce pro n-tý člen takto: ( n ) n= Dané posloupnosti jsou určeny rekurentně. Vyjádřete je vzorcem pro n-tý člen: a) a = ; a n+ = a n, n N () ( n= b) a = ; a n+ = a n, n N ( ) n ) n= c) a = 5; a n+ = a n + 4, n N (4n + ) ( n= d) a = ; a n+ = a n, n N n ) n= e) a = ; a n+ = + a n, n N ((n ) ) n= f) a = ; a n+ = a n, n N ( + ( ) n ) n=

31 4.. Aritmetická a geometrická posloupnost 7 4. Aritmetická a geometrická posloupnost Posloupnost (a n ) n= se nazývá aritmetická, právě když eistuje takové reálné číslo d, že pro každé přirozené číslo n je a n+ = a n + d, (4.) kde d se nazývá diference aritmetické posloupnosti. Platí a n = a + (n )d, a n = a n + a n+, (4.) Pro součet s n prvních n členů aritmetické posloupnosti platí r, s N : a s = a r + (s r)d. (4.) s n = n (a + a n ). (4.4) Posloupnost (a n ) n= se nazývá geometrická, právě když eistuje takové reálné číslo q, že pro každé přirozené číslo n je a n+ = a n q, (4.5) kde q se nazývá kvocient geometrické posloupnosti. Platí a n = a q n, a n = a n a n+, (4.6) Pro součet s n prvních n členů geometrické posloupnosti platí r, s N : a s = a r q s r. (4.7) q = : s n = n a, (4.8) q n q : s n = a q = a q n q. (4.9) 4... Vypočtěte žádané prvky aritmetické posloupnosti: a) d =, a n = 5, s n = 456, n =?, a =? n = 8, a = 99 b) a = 6, s = 95, a =?, d =? a =, d = 4... Určete aritmetickou posloupnost, u které platí: a + a 4 + a 6 = 7, a 5 a a = a = 5, d = Určete a a q u geometrické posloupnosti, u níž platí a) a + a 4 =, a + a = 48 a = 4, q =, a = 8, q = / b) a 7 a 5 = 48, a 6 + a 5 = 48, s n = a =, q =, n = Vypočítejte, kolik máte pra... prababiček. Řešení: Každý máme dva rodiče, čtyři prarodiče ( babičky a dědečky), osm praprarodičů (4 prababičky a 4 pradědečky), atd. Kolik máme (pra) n -babiček? Je to polovina z celkového počtu (pra) n+ -rodičů (uvažujeme jen ženy), výsledek tedy je: n+ = n+, n =,,... Limita pro n je nevlastní, počet pra... prababiček stále roste.

32 8 4. Posloupnosti Strany pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Delší odvěsna měří 4. Vypočtěte obvod trojúhelníka Stanovte takové číslo, aby zvětšeno postupně o 7, 5, 7 dalo tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti Buduje se hlediště letního kina přibližně pro diváků. Do první řady je plánováno 4 sedadel, do každé následující řady postupně o 4 sedadla více. Kolik řad sedadel bude mít hlediště? Část střechy domu má tvar lichoběžníku a je ji třeba pokrýt taškami. Víme, že do řady u hřebenu se vejde 85 tašek, do spodní řady při okapu tašek. Přitom tašky budou srovnány do řad tak, že v každé následující řadě bude o jednu tašku více než v řadě předchozí. Kolik je třeba tašek na pokrytí části střechy? Poločas rozpadu radia C (RaC) je přibližně minut. Počáteční hmotnost radia C je mg. Jaká bude hmotnost radia za hodiny? (Poločasem rozpadu nazýváme dobu, za kterou se rozpadne polovina počáteční hmotnosti radioaktivní látky.) 64 mg 4... Teplota Země roste do hloubky přibližně o C na metrů. Jaká je teplota na dně dolu 5 metrů hlubokého, je-li v hloubce 5 metrů teplota 9 C? 9 C 4... Světelný paprsek ztrácí při průchodu skleněnou deskou své intenzity. Jaká je intenzita ( paprsku po průchodu čtyřmi stejnými deskami? ) Určete součet všech přirozených čísel od do Vypočítejte součet všech sudých trojciferných přirozených čísel Množství dřeva v jedné lesní oblasti je odhadnuto na 5, 5 5 m, roční přírůstek je,%. Kolik krychlových metrů dřeva bude v této oblasti za tři roky? S těžbou se nepočítá.. = 5, 9 5 m Ve městě žilo na počátku roku 7 6 obyvatel. Kolik obyvatel lze očekávat na počátku roku, jestliže se roční přírůstek odhaduje na,8%? Kuřák prokouří ročně Kč. Kolik by uspořil za 5 let, kdyby tuto částku vždy počátkem roku ukládal na vkladní knížku při ročním úročení 8%? (Počítejte daň z úroků ve výši 5%.) Za kolik let klesne hodnota předmětu na méně než desetinu původní ceny, jestliže ročně odepisujeme 8% ceny předmětu z předchozího roku? Traktor jede po přímé silnici rychlostí m s. V okamžiku, kdy projíždí místem M, vyjíždí z tohoto místa týmž směrem osobní auto, které za první sekundu ujede m a za každou následující sekundu o m více než za předcházející sekundu. Vypočtěte, za kolik sekund auto dohoní traktor. 8 s Občan získal počátkem roku 7 od banky úvěr ke koupi bytu ve výši 4 Kč, a to na dobu šesti let s roční úrokovou mírou % (úrokovací období je rok). Úvěr bude splacen v šesti stejných ročních splátkách, první po jednom roce od poskytnutí úvěru. Kolik korun bude činit jedna splátka? Kolik korun celkem občan bance zaplatí? jedna splátka 9 84 Kč; celkem Kč

33 4.. Vlastnosti posloupností Banka poskytla podnikateli počátkem roku 7 úvěr ve výši 5 Kč, a to na dobu pěti let s roční úrokovou mírou,5% (úrokovací období je rok). Podnikatel bude dluh splácet pravidelně ve stejných ročních splátkách, první po jednom roce od poskytnutí úvěru. Vypočítejte výši jedné splátky. Řešení: Neznámou je výše jedné splátky, označme ji s Kč. Dluh podnikatele na konci roku 7 (banka si připsala úroky):.5 6 ( +.5) Kč Dluh na počátku roku 8 (po první splátce):.5 6 ( +.5) s Kč Dluh na počátku roku 9 (po připsání úroků z dluhu za rok 8 a po druhé splátce): (.5 6 ( +.5) s ) ( +.5) s Kč =.5 6 ( +.5) s( +.5) s Kč Dluh na počátku roku (po třetí splátce): (.5 6 ( +.5) s( +.5) s ) ( +.5) s Kč =.5 6 ( +.5) s( +.5) s( +.5) s Kč atd., dluh na počátku roku (po páté splátce):.5 6 ( +.5) 5 s( +.5) 4 s( +.5) s( +.5) s( +.5) s Kč Úvěr bude na počátku roku splacen, je tedy.5 6 (+.5) 5 s ( +.5) 4 + ( +.5) + ( +.5) + ( +.5) + = S využitím vzorce (4.9) pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti dostaneme Odtud je.5 6 ( +.5) 5 s ( +.5)5 ( +.5) = s =.5 6 ( +.5) 5.5 ( +.5) 5 s. = Výše jedné splátky činí Kč Občan si založil na konci roku 5 osobní konto s roční úrokovou mírou 6% a se čtvrtletním úrokovacím obdobím. Na konto ihned uložil 5 Kč a stejnou částku pak pravidelně ukládal na konci každého čtvrtletí roku 6, přitom z konta žádný obnos nevybral. Jak vysoká částka byla na jeho osobním kontě na konci roku 6? Daň z úroků je 5% Vkladatel měl na vkladní knížce s výpovědní lhůtou uloženo po dobu tří let 8 Kč. První dva roky byla úroková míra 6%, další rok 5,%. Jak vysokou částku bude mít na vkladní knížce na konci třetího roku, jestliže v průběhu celé úrokovací doby nevybral žádné úroky? Úrokovací období je jeden rok. 9 7 Kč

34 4. Posloupnosti posloupnost definiční vlastnost rostoucí n N : a n < a n+ klesající n N : a n > a n+ neklesající n N : a n a n+ nerostoucí n N : a n a n+ shora omezená k R; n N : a n k zdola omezená l R; n N : a n l Tabulka 4.: Základní vlastnosti posloupností 4. Vlastnosti posloupností Základní vlastnosti posloupností jsou shrnuty v tabulce 4.. Každá rostoucí posloupnost je neklesající. Každá klesající posloupnost je nerostoucí. Posloupnosti, které jsou nerostoucí nebo neklesající, se nazývají monotónní posloupnosti. Posloupnost se nazývá omezená, právě když je omezená shora i zdola Je dána posloupnost ( ). n n= a) Dokažte, že daná posloupnost je klesající. b) Rozhodněte, zda uvedená posloupnost je shora omezená, zdola omezená nebo omezená. c) Vyjádřete tuto posloupnost rekurentně. Řešení: a) Máme dokázat, že pro každé n N platí n + < neboli n + > n. Tato nerovnost n je pro každé n N pravdivá. Tím jsme dokázali, že daná posloupnost je klesající. b) Pro každé n N je n >, to znamená, že daná posloupnost je zdola omezená. Zároveň pro všechna n N platí. Proto je daná posloupnost také shora omezená. Z toho n plyne, že daná posloupnost je omezená. c) Pro n = dostaneme a =. Protože a n = n, a n+ =, platí pro každé n N n + a n+ = n + = = a n a + n +. a n

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Vzorcem pro n-tý člen posloupnosti, např.:, Rekurentně zadáním prvního členu a rekurentního vzorce, který vyjadřuje, např.: výčtem prvků graficky

Vzorcem pro n-tý člen posloupnosti, např.:, Rekurentně zadáním prvního členu a rekurentního vzorce, který vyjadřuje, např.: výčtem prvků graficky Posloupnosti Motivace Víš, jaký bude následující člen v řadách 2, 4, 6, 8,? a 2, 4, 8, 16,?? Urči součet řady Jak převedeš číslo na zlomek? 1 Definice posloupnosti Posloupnost je funkce. Definiční obor

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

Z MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012

Z MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012 VYBRANÉ PARTIE Z MATEMATIKY Tomáš Mikulenka březen 0 Tento výukový materiál vznikl jako součást grantového projektu Gymnázia Kroměříž s názvem Beznákladové ICT pro učitele realizovaného v letech 009 0.

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Evropský polytechnický institut, s.r.o.. soukromá vysoká škola na Moravě Kunovice MATEMATIKA I. Dierenciální počet unkcí jedné proměnné RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc. Evropský

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Elementární funkce. Polynomy

Elementární funkce. Polynomy Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel, Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M06, GA0 M05 DIFERENCIÁLNÍ POČET I DERIVACE FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset by L

Více

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 1, varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R1 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I Řešené příklady Uváděné řešené příklady jsou vybrány a řazeny v návaznosti na orientační učební pomůcku Doc.RNDr.Ing. Josef Nedoma, CSc.: MATEMATIKA I. Tato sbírka

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více