CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "CVIČENÍ Z MATEMATIKY I"

Transkript

1 Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava

2

3 Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických výrazů, mocniny, odmocniny, rozklad mnohočlenů Rovnice a nerovnice. Absolutní hodnota reálného čísla. Soustavy rovnic Logaritmy. Logaritmické a eponenciální rovnice Goniometrie. Goniometrické rovnice Množiny 5. Operace s množinami Binární relace, zobrazení Uspořádané množiny Funkce. Definiční obor funkce Parita funkce Perioda funkce Inverzní funkce Elementární funkce a jejich grafy Posloupnosti 5 4. Pojem posloupnosti, rekurentní určení posloupnosti Aritmetická a geometrická posloupnost Vlastnosti posloupností Limity posloupností Limita funkce 5 6 Diferenciální počet 4 6. Derivace funkce Derivace vyšších řádů Geometrický význam derivace Fyzikální význam derivace Diferenciál funkce L Hospitalovo pravidlo Taylorův rozvoj Monotónnost funkce Etrémní hodnoty funkcí Konvenost a konkávnost funkce, inflení body Asymptoty grafu funkce Průběh funkce i

4 ii OBSAH 7 Integrální počet 7 7. Neurčitý integrál, základní vzorce Substituční metoda Integrace metodou per partes Integrace racionálních funkcí Integrace goniometrických funkcí Integrace iracionálních funkcí Určitý Riemannův integrál Geometrické aplikace určitého integrálu

5 Kapitola Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických výrazů, mocniny, odmocniny, rozklad mnohočlenů... Upravte algebraické výrazy: a) b) ( > ) c) (a b) + ab (a + b) ab : a 5 + b 5 + a b + a b (a + b + a b + ab )(a b ) a b... Upravte a udejte podmínky eistence výrazů: ( a b ) ( ) a b a) a + b : a + b ; a b, a b ab b) a 4a 4 4a 6 a 4 : ( a) 4 ; a, a ± a a a c) 5 a 4 : a a 5 a ; a > a a ( + y ) ( + y ) + y y d) ( ) ( ) y ;, y, ±y ( + y)( y) y ( a ab + b ) ( a ab + b e) (a b) a ab + b b ) ; a ; a b a... Rozložte na součiny, resp. upravte krácením: a) ( ) 5;

6 . Příklady k opakování středoškolské látky b) c) ( 5 ; 5) ( 5)( + ) ( ; ). Rovnice a nerovnice. Absolutní hodnota reálného čísla. Soustavy rovnic... Řešte v R: a) a a = a a ; a b) y + 4 y + 7y 8 8 y y = y y + 4 nemá řešení c) 8 = 4... Řešte v R: a) y = y nemá řešení b) + = {, 4}... Zjistěte, která vyhovují nerovnici v oboru reálných čísel a) + 9 > 4 + < 6 b) + < ( ; ) ( ; + ) c) + 4 d) Řešte v R nerovnice ( ; 4) ; + ) ( ; 5 a) + (, 4 b) (, (, ) c) 5 ) ; 5 d) 5 + >..5. V R R řešte soustavu rovnic ( 7; ) y + = y = ; y = 6; Sestrojte kartézské grafy soustavy nerovnic: + y y 7

7 .. Logaritmy. Logaritmické a eponenciální rovnice..7. Která reálná vyhovují rovnici a) + 5 = b) + = c) = d) + 9 = nemá řešení e) ( + )( 5) 7 =..8. V R řešte nerovnici: + > < ; >..9. V množině celých čísel určete obor pravdivosti výrokové formy a) + = + 5 {} b) {,,,, }. Logaritmy. Logaritmické a eponenciální rovnice... Řešte rovnice 5 a) ( 4 9 ) ( 7 8 ) = log 4 log 8 7 b) 7 = 8 5 c) = Určete všechna řešení rovnic v oboru reálných čísel: a) log = ; b) (log ) log + = 9; c) log( ) + log( + ) = log + log( ) 5; 9 d) log( + ) log( ) = log 4 8 e) log ( ) log ( ) = 5.4 Goniometrie. Goniometrické rovnice.4.. Zjednodušte výrazy a určete, kdy jsou reálné: a) b) c) d) + tg + cotg cos + sin sin cos sin cos + tg + + cotg tg ; k π, k Z} sin ; π + kπ, k Z} cos ; k π, k Z ; k π, k Z

8 4. Příklady k opakování středoškolské látky.4.. Řešte v R rovnice a) sin = tg = kπ; = π 4 + k π, k Z b) sin + cos = 5 sin cos. = 56 + kπ; = π 4 + kπ, k Z c) (tg ) (sin ) = tg d) tg = cotg e) sin = sin kπ; = π + kπ; 5π + kπ, k Z = ± π + kπ, k Z = kπ; = π + kπ; = 5π + kπ, k Z.4.. Lanovka má přímou trat délky 45 m a stoupá pod úhlem o velikosti 4. Jaký je výškový rozdíl mezi horní a dolní stanicí? 79, 6 m.4.4. Na vodorovné rovině stojí 65 m vysoká věž a továrenský komín. Z vrcholu věže vidíme patu komína v hloubkovém úhlu α = 9 a od paty věže vidíme vrchol komína ve výškovém úhlu β = 7 4. Jak vysoký je komín? 4 m.4.5. Určete velikost všech úhlů a stran trojúhelníka, pro nějž platí: α =, b =, a = 5 β = 9, γ = 6, c = Z bodu ležícího ve výšce h nad horizontální rovinou jdoucí patou věže vidíme vrchol věže ve výškovém úhlu α, patu věže v hloubkovém úhlu β. Jak vysoká je věž? h( + tgα cotg β).4.7. Těsně u břehu řeky stojí budova, z jejíchž oken nad sebou vzdálených h metrů je vidět bod na protějším břehu v hloubkových úhlech α, β (α > β). Jak široká je řeka? h cos α cos β sin(α β).4.8. Po přímé cestě se přesouvá vojenská kolona. Pozorovatel na stanovišti A, které leží mimo cestu, zjistil radiolokátorem, že vzdálenost místa A od čela kolony U je 4 5 m, vzdálenost A od konce kolony V je 84 m a velikost úhlu UAV je. Vypočítejte délku kolony. 6 m.4.9. Hlídce byl určen pochodový úhel o velikosti, po 7 km byl změněn směr pochodu na úhel o velikosti 75. Tímto směrem prošla hlídka dalších 8 km. Jaká je vzdálenost hlídky vzdušnou čarou od výchozího bodu?, 9 km

9 Kapitola Množiny. Operace s množinami... Výčtem prvků zapište množiny: a) { Z : + < }, b) { R : }, c) { L : ( je studentem. ročníku oboru PTA) ( je dívka)}, kde L značí množinu všech lidí. Řešení: a) Řešením nerovnice + < jsou všechna reálná čísla z intervalu ( ; + ) ; v tomto intervalu leží celá čísla 4,,, tj. { Z : + < } = { 4; ; }. b) Zřejmě { R : } = {}. c) Ve složené závorce je potřeba vyjmenovat všechny dívky studující v. ročníku obor PTA.... Necht A = (; 5) (otevřený interval), B = {; 4; 5; 6}. Zapište množiny: a) A B, {; 4} b) A B, (; 5 {6} c) A B, (; ) (; 4) (4; 5) d) B A, {5; 6} e) A R, ( ; 5; + ) f) B R. ( ; ) (; 4) (4; 5) (5; 6) (6; + )... Jsou dány množiny A = { R : < }, B = { R : + }. Zapište pomocí intervalů: a) A, ; ) b) B, ( ; 5 ; + ) c) A B, ( ; 5 ; + ) d) A B. ; )..4. Necht A = {; ; 4; 7; ; 6}, B = {; ; 7; }, C = {; 6; ; 9}. Určete a) A B, {; ; ; 4; 7; ; ; 6} 5

10 6. Množiny b) B C, {; ; 6; 7; ; ; 9} c) A B C, ; ; ; 4; 6; 7; ; ; 6; 9 d) A B, {; 7} e) A C, {; } f) A B C. {}..5. Necht A = {a; c}, B = {b; d; c}. Utvořte kartézské součiny a) A B, {(a; b), (a; d), (a; c), (c; b), (c; d), (c; c)} b) B A. {(b; a), (b; c), (d; a), (d; c), (c; a), (c; c)}..6. Jsou dány množiny A = {; ; } a B = {; 5}. Výčtem prvků zapište kartézský součin množin A B. {(; ), (; ), (; ), (; 5), (; 5), (; 5)}..7. Jakou množinu v prostoru opatřeném kartézskou souřadnou soustavou vyplní všechny body, jejichž souřadnice (tj. uspořádané trojice reálných čísel) jsou z kartézského součinu intervalů a, b c, d e, f?..8. Jsou dány množiny A = { 4; ; 4} a B = 4; 4). Určete a) A B, 4; 4 b) A B, {; 4} c) A B, {4} d) B A, ( 4, ) (, 4) e) načrtněte A B...9. Jsou dány množiny A = { ; ; ; } a B = ; 5). Určete a) A B, ; 5) b) A B, { ; ; ; } c) A B, d) B A, ; ) ( ; ) ( ; ) (; ) (; 5) e) A B, B A f) A R, ( ; ) ( ; ) ( ; ) (; ) (; + ) g) B A, h) B R, ( ; ) 5; + ) i) načrtněte A B a B A.... Užitím Vennových diagramů rozhodněte, zda pro libovolné podmnožiny A, B, C dané základní množiny platí: a) (A B) B = A B, platí b) A B = A B, neplatí c) C (A B) = (A C) (C B). platí... Dokažte, že pro libovolné dvě množiny A, B platí: a) A = (A B) (A B), b) A B = (A B) (A B) (B A).

11 .. Binární relace, zobrazení 7 Řešení: Množinová rovnost M = N se dokazuje bud tak, že ukážeme: M N, nebo tak, že použijeme zřejmého tvrzení (M = N) (M N N M) a dokazujeme:. M N (tj. M N),. N M (tj. N M). a) ( A) ( A ( / B B)) (( A / B) ( A B)) ( (A B) A B) ( (A B) (A B)). b) ( A B) ( A B) (( A ( / B B)) ( B ( / A A))) ((( A / B) ( A B)) (( B / A) ( B A)) ( (A B) (A B) (B A) (B A)) ( (A B) (A B) (B A)) ( (A B) (A B) (B A)).. Binární relace, zobrazení... Graficky znázorněte binární relaci {(, y) R : + y 4 }. Řešení: viz obr..(a).... Najděte pravidlo určující binární relaci na R, která je dána šedě zvýrazněnou (otevřenou) podmnožinou roviny na obr..(b), (c), (d). Řešení: S elementárními znalostmi rovinné analytické geometrie snadno zjistíme: a) {(, y) R : < y}, b) {(, y) R : ( + y < )}, c) {(, y) R : < y < }.... Necht zobrazení f :, + ) 4, + ) je dáno předpisem f() = + 4. Najděte předpis definující inverzní zobrazení f. Řešení: Zobrazení f je zřejmě vzájemně jednoznačné (speciálně prosté), a tedy inverzní zobrazení k němu eistuje. Přitom: f (y) = f() = y + 4 = y. My ale potřebujeme hodnotu f (y) (tj. ) vyjádřit v závislosti na y, tedy z předpisu y = + 4, definujícího zobrazení f, potřebujeme spočítat v závislosti na y. y = + 4 = y 4 (bereme + y 4, nebot víme, že, + )). Hledaný předpis tedy je: f (y) = y Jaká podmnožina roviny opatřené kartézskou souřadnou soustavou (tj. R R) definuje následující binární relace na R? a) {(, y) R : + y = } kružnice se středem v počátku a poloměrem b) {(, y) R : y } celá rovina bez souřadnicových os..5. Je dána množina A = { ; ; ; ; }. Znázorněte graficky binární relace a) R = {(, y) A A : > y}, b) S = {(, y) A A : y < }, c) T = R S.

12 8. Množiny. Uspořádané množiny... Najděte v R maimum, minimum, supremum a infimum (pokud eistují) množin: a) (; ),,,, b) ;,,,, c) množina všech záporných čísel,,,, d) (; + ),,,, e) (; 4, 4,, 4, f) {; ; } ;...,,,, g) { 8 }, n N., 6, 8, 6 n n=... Najděte maimum, minimum, supremum, infimum množiny M, jejíž prvky tvoří čísla tvaru n + ma n +, n N. M = sup M =, min M =, inf M =... V Z určete horní a dolní závoru množiny M = { ; ; }. horní závora:,,..., dolní závora:,, Je dán interval I = ; ). Určete v Z a) horní závoru,, 4, 5,... b) dolní závoru,,,,... c) maimum, d) minimum, e) supremum, f) infimum.

13 .. Uspořádané množiny 9 y 8 y y y (a) (b) y.5.5 y 4 y (c) 4 (d) Obr..: K příkladům.. a...

14 . Množiny

15 Kapitola Funkce Funkce je každé zobrazení f množiny A do číselné množiny B R, tzn. funkce je předpis, který každému prvku a A jednoznačně přiřadí číslo b B. Množině A říkáme definiční obor funkce a její prvek nazýváme nezávisle proměnnou nebo argumentem. Množině B říkáme obor funkčních hodnot, jejím prvkům závisle proměnné nebo hodnoty funkce. Jsou-li A, B množiny reálných čísel, mluvíme o funkci jedné reálné proměnné, zapisujeme obvykle y = f(); A, y B. Přehled základních vlastností funkcí je uveden v tabulce.. Graf funkce y = f() je množina všech bodů v rovině o souřadnicích ; f(). Na obr...5 jsou znázorněny grafy elementárních funkcí. Všimněte si, že graf sudé funkce je osově symetrický podle osy y, graf liché funkce je symetrický podle počátku soustavy souřadnic. Funkce rostoucí, neklesající, klesající a nerostoucí se nazývají monotónní, z nich pak funkce rostoucí a klesající jsou ryze monotónní. Je zřejmé, že ke každé ryze monotónní funkci eistuje funkce inverzní, nebot každá ryze monotónní funkce je prostá. Dále platí, že žádná sudá funkce není prostá.. Definiční obor funkce Hlavní zásady pro určování definičního oboru funkcí:. výraz ve jmenovateli musí být různý od nuly,. argument logaritmu musí být větší než nula,. výraz pod sudou odmocninou musí být nezáporný, 4. pro argument funkce tg musí platit: (k + ) π, pro cotg : kπ, k Z, 5. argument funkcí arcsin, arccos musí ležet v intervalu ; Určete definiční obor funkce y = sin + cos. Řešení: Funkce v čitateli i jmenovateli jsou definovány pro všechna, tedy jejich podíl je definován pro všechna taková, že jmenovatel je různý od nuly: sin + cos sin cos 4 π + kπ = π ( 4 + k )

16 . Funkce funkce požadavek na definiční obor definiční vlastnost příklady sudá D f D f f( ) = f(), cos lichá D f D f f( ) = f(), sin periodická p >, D f + p D f f( + p) = f() sin, cos rostoucí na I I D f je interval < na (; + ), f( ) < f( ), log neklesající na I I D f je interval < f( ) f( ) f() = konst. klesající na I I D f je interval < na ( ; ), f( ) > f( ), log nerostoucí na I I D f je interval < f( ) f( ) f() = konst. ohraničená na I I D f je interval eistuje A R tak, sin, cos, že f() < A na I arctg Tabulka.: Základní vlastnosti funkcí. Definičním oborem zadané funkce jsou tedy všechna reálná čísla kromě = 4 π + kπ, neboli { } D f = R 4 π + kπ, k Z.... Určete definiční obor funkce y = log( ) + 9. Řešení: Definiční obor součtu (rozdílu, součinu, podílu) funkcí, příp. složené funkce, je množina takových R, pro která jsou definovány všechny funkce, ze kterých se daná funkce skládá, je to tedy průnik definičních oborů jednotlivých funkcí. V našem případě musí platit:. jmenovatel zlomku různý od nuly: log( ). argument logaritmu větší než nula: > >. pod sudou odmocninou číslo nezáporné: 9 9/ Průnikem všech tří definičních oborů je (; ) (; 9/, definičním oborem dané funkce tedy je D f = (; ) (; 9/ Určete definiční obor funkce y = ( + ).

17 .. Definiční obor funkce Řešení:. Funkce pod sudou odmocninou musí být nezáporná: + 5 ( + ) + 5 5,. jmenovatel se nesmí rovnat nule: ( + ). Definiční obor celé (složené) funkce je průnik těchto výsledků: D f = 5; ) ( ; + )...4. Určete definiční obor funkcí: a) y = R {} b) y = 9 ( ; ; ) c) y = 5 R { ; } d) y = 4 + ( ; ) e) y = f) y = 5 + g) y = + h) y = i) y = j) y = k) y = l) y = + R R { } R R {8; } R ; 9 ; ) (; ) R ;..5. Určete definiční obor funkcí: a) y = b) y = 8 c) y = e R {} R {} d) y = log( + ) ( /; ) e) y = log ( + ) R f) y = log + 5 (5; ) 5 g) y = log ( 4 ) ( ; ) (; ) h) y = ln( + ) R ( ; ) ( ; ) i) y = log ( ; ) j) y = ln (4 ) ; +

18 4. Funkce k) y = ln R {} l) y = 4 + ln ( ) ( ; ) (; ) (; )..6. Určete definiční obor funkcí: a) y = cos b) y = sin R ( π 6 + kπ; 5π ) 6 + kπ, k Z c) y = cotg kπ, k Z d) y = tg (k + ) π 4, k Z e) y = tg ; (k + )π, k Z f) y = log sin (kπ; π + kπ), k Z g) y = ln sin( ) ( + kπ; π + + kπ), k Z h) y = log + + sin 5 + ( ; ) {} i) y = sin( 4) ln(7 + ) ( /7; ) {} j) y = tg ln ( ) R {; (k + ) π, k Z}..7. Určete definiční obor funkcí: a) y = 5 arcsin + b) y = arcsin(4 + ) ln( ) Dokažte, že funkce y = log je funkce rostoucí v celém svém definičním oboru. Řešení: Aby funkce f() byla rostoucí, musí platit: pro < je f( ) < f( ). Definiční obor naší funkce splňuje podmínku: > >. Pro libovolná < < platí: < log < log, protože log je funkcí rostoucí. Tedy daná funkce y = log je rostoucí. ;. Parita funkce... Určete, zda je funkce y = 4 Řešení: sudá nebo lichá. f( ) = 4 ( ) ( ) = 4 = 4 = f(). Daná funkce je lichá.

19 .. Perioda funkce 5... Rozhodněte o sudosti, resp. lichosti, funkcí: a) y = lichá b) y = sudá c) y = sudá d) y = + sudá e) y = + sudá f) y = + ani sudá, ani lichá g) y = ( ) ani sudá, ani lichá h) y = ( + ) ani sudá, ani lichá... Mezi následujícími funkcemi najděte funkce sudé a liché a) y = ani sudá, ani lichá b) y = lichá c) y = sudá d) y = sin lichá e) y = sin f) y = cos. Perioda funkce lichá sudá... Zjistěte, zda je funkce y = sin + cos periodická, a v kladném případě najděte její základní periodu. Řešení: Je-li funkce periodická, eistuje číslo p R takové, že pro všechna D f platí: Užitím součtových vzorců dostaneme sin + cos = sin( + p) + cos( + p). sin( + p) + cos( + p) = sin cos p + cos sin p + cos cos p sin sin p = cos p(sin + cos ) + sin p(cos sin ). Zřejmě musí platit: cos p = sin p = p = + kπ, p = π. Daná funkce je tedy periodická se základní periodou π.... Zjistěte, zda daná funkce je periodická, a případně najděte její základní periodu: a) y = cos b) y = sin c) y = sin d) y = sin e) y = sin π 4π π π f) y = sin není periodická π

20 6. Funkce.4 Inverzní funkce.4.. Dokažte, zda funkce y = je prostá a najděte funkci k ní inverzní. Sestrojte grafy obou funkcí. ) Řešení: Definiční obor: D f = ; +. Necht, ( ) jsou libovolná čísla z D f, pak platí:. Tedy funkce y = je prostá a eistuje k ní funkce inverzní. Získáme ji tak, že provedeme formální záměnu proměnných y: = y = y y = + = f (). Definiční obor inverzní funkce je totožný s oborem funkčních hodnot funkce dané a obor hodnot inverzní funkce je totožný s definičním oborem původní funkce D f = H f, H f = D f. V našem případě je tedy D f = ; + ) (maimální definiční obor funkce y = + ) je ovšem celé R) a H f = ; +. Grafy dané funkce f() a funkce k ní inverzní f () jsou vždy souměrné podle osy prvního a třetího kvadrantu y = (viz obr..). y 4 y y y 4 Obr..: K příkladu.4..

21 .5. Elementární funkce a jejich grafy Je dána funkce y =, ;. Dokažte, že f je funkce, určete D f a sestrojte graf inverzní funkce f. f = +, D f = 5; Určete, na kterých intervalech eistuje inverzní funkce k následujícím funkcím, a najděte ji: a) y = + 4 f = 4, R b) y = f =, ; ) c) y = d) y = + e) y = ln f =, R f =, ; + ) f = e, R f) y = f = log, (; ) ( ) g) y = f = log, (; ) 4 4 h) y = i) y = e j) y = 5 arcsin + f =, R f = ln, ( ; ) f = sin 5, 5 π; 5 + π.5 Elementární funkce a jejich grafy Elementární funkce můžeme rozdělit na polynomy, racionální lomené funkce, iracionální (inverzní k racionálním), eponenciální, logaritmické (inverzní k eponenciálním), goniometrické, cyklometrické funkce (inverzní ke goniometrickým). Přehled vlastností vybraných funkcí je uveden v tabulce. a.. Grafy elementárních funkcí jsou znázorněny na obr...5.

22 8. Funkce y 4 y 4 y y y y 4 y y 4 y y 4 y 4 y y Obr..: Grafy elementárních funkcí

23 .5. Elementární funkce a jejich grafy 9 y 4 y 4 y y Obr..: Grafy elementárních funkcí f() D f H f vlastnosti f () D f H f vlastnosti sin R ; spojitá, roste arcsin ; π ; π spojitá, roste cos R ; spojitá, klesá arccos ; ; π spojitá, klesá tg (k + ) π R spojitá, roste arctg R ( π ; π ) spojitá, roste cotg kπ R spojitá, klesá arccotg R (; π) spojitá, klesá Tabulka.: Goniometrické a cyklometrické funkce

24 . Funkce y sin y cos y y Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π y tg y y cotg y Π Π Π Π Π Π Π Π Obr..4: Goniometrické funkce y arcsin Π y y arccos Π y.5.5 Π Π.5.5 y arctg Π y y arccotg Π y 5 5 Π Π 5 5 Obr..5: Cyklometrické funkce

25 .5. Elementární funkce a jejich grafy y a a y 4 y a a y 4 y e y 4 y 4 y log a a y ln y log a a 4 4 Obr..6: Eponenciální a logaritmické funkce f() D f H f vlastnosti f () D f H f vlastnosti R (; + ) spojitá, roste log (; + ) R spojitá, roste ( ) R (; + ) spojitá, klesá log (; + ) R spojitá, klesá a R (; + ) spojitá spojitá roste (a > ) log a (; + ) R roste (a > ) klesá (a < ) klesá (a < ) Tabulka.: Eponenciální a logaritmické funkce

26 . Funkce f y 4 y 4 g f h f Obr..7: Řešení příkladu Sestrojte grafy funkcí: a) y = b) y = c) y = d) y = 4 f) y = g) y = e) y = h) y = Pomocí grafů známých elementárních funkcí sestrojte grafy funkcí: a) y = b) y = 5 c) y = 5 d) y = e) y = + 5 f) y = g) y = 5 h) y = ( ) i) y = ( ) Sestrojte grafy funkcí: a) f() = b) g() = f() c) h() = f().5.4. Sestrojte grafy funkcí: a) y = b) y = c) y = d) y = +

27 .5. Elementární funkce a jejich grafy y 4 y y =, y =, y =, y = Obr..8: K příkladům.5.. a y =, y =, y =.5.5. Sestrojte grafy následujících funkcí: a) y = b) y = c) y = d) y = e) y = + ( f) y = ).5.6. Sestrojte grafy funkcí: a) y = sin b) y = cos c) y = sin d) y = sin g) y = ( ) h) y = log i) y = log j) y = log k) y = log ( e) y = cos π ) ( f) y = cos + π ) 4 ( g) y = cos + π ) U následujících funkcí určete jejich definiční obor, obor hodnot, periodu, monotónnost. Dále zjistěte, zda jsou dané funkce prosté, ohraničené, sudé nebo liché, a sestrojte jejich graf. a) y = + b) y = ( ) c) y = cos d) y = ( + )

28 4. Funkce y y y y y y y y log 4 y log y log Obr..9: K příkladu.5.5. y y Π Π Π Π y = sin, y = sin, y = sin Π Π Π Π Π Π Π y = cos Π ( π Π ), y = cos Π Π ( + π 4 ) Π y y Π Π Π Π Π y = cos + Π Π Π Π Π Π Π y = cos Π ( + π 4 Π ) + Π Π y y Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π y = sin y = cos Obr..: K příkladu.5.6.

29 Kapitola 4 Posloupnosti 4. Pojem posloupnosti, rekurentní určení posloupnosti Posloupnost (a n ) n= je každá funkce definovaná na množině přirozených čísel Napište prvních pět členů posloupnosti dané vzorcem pro n-tý člen: ( ) a) n n= ( ) cos(nπ) b) n= ( ) n + c) n 5 n= ( ) d) ( ) n e) ( sin nπ n ) n= n= 4... Vyjádřete dané posloupnosti pomocí vzorce pro n-tý člen:,,, 4, 5,,,, 4, 7,,, 6 5, 8, 7, 64, 5,,,, a), 4, 4 5, 5 6,... ( n+ n+ b),,,,... např. ( cos(nπ)) n= ( c),, 9, 7, 8,... n ) n= d),, 4, 4 5, 5 ( ) 5 n 6 n+ n= (n e), 8, 7, 64, 5, 6 ) 6 n= 4... Je dána posloupnost (a n ) n=, a n = log n. Vyjádřete ji rekurentně. Řešení: Rekurentní určení posloupnosti je takový způsob zadání posloupnosti (a n ) n=, kdy je dán první člen (resp. první dva členy) a dále je k dispozici vzorec, pomocí něhož můžeme pro každé n N vypočítat člen a n+ na základě znalosti předchozího členu a n. V tomto případě pro každé n N je a n+ = log n+ = log ( n ) = log n + log = a n + log. Zkoumanou posloupnost lze tedy rekurentně zadat takto: a = log ; a n+ = a n + log. 5 ) n=

30 6 4. Posloupnosti Můžeme ji ovšem vyjádřit např. i tímto způsobem a = log ; a = log 9; a n+ = a n + log Posloupnosti vyjádřené vzorcem pro n-tý člen vyjádřete rekurentně: a) (log n ) n= a = log ; a n+ = log + a n b) (n + ) n= a = ; a n+ = a n + c) (n ) n= a = ; a n+ = a n + d) (n) n= a = ; a n+ = a n + e) ( n ) n= a = ; a n+ = a n f) (( ) n ) n= a = ; a n+ = a n Vypište prvních pět členů posloupnosti zadané rekurentně: a) a = ; a n+ = a n, n N, 6, 8, 54, 6 b) a = ; a = ; a n+ = a n+ a n, n N,,,, c) a = ; a = ; a n+ = a n+ a n, n N,,,, 4 d) a = ; a n+ = a n, n N, 4, 8, 6, Posloupnost (a n ) n= je určena rekurentně takto: a =, a n+ = a n, n N. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen. Řešení: Platí: a = a a = a a 4 = a a n = a n a n = a n Těchto n rovností mezi sebou vynásobíme a dostaneme a a a 4... a n a n = a a a... a n a n, čili a a a 4... a n a n = n a a a... a n a n. Žádný člen posloupnosti (a n ) n= není roven nule. Proto můžeme obě strany poslední rovnosti vydělit výrazem a a a 4... a n a n a dostaneme vztah pro a n : a n = n a. Víme, že a =, a tedy a n = n. Posloupnost (a n ) n= zapíšeme pomocí vzorce pro n-tý člen takto: ( n ) n= Dané posloupnosti jsou určeny rekurentně. Vyjádřete je vzorcem pro n-tý člen: a) a = ; a n+ = a n, n N () ( n= b) a = ; a n+ = a n, n N ( ) n ) n= c) a = 5; a n+ = a n + 4, n N (4n + ) ( n= d) a = ; a n+ = a n, n N n ) n= e) a = ; a n+ = + a n, n N ((n ) ) n= f) a = ; a n+ = a n, n N ( + ( ) n ) n=

31 4.. Aritmetická a geometrická posloupnost 7 4. Aritmetická a geometrická posloupnost Posloupnost (a n ) n= se nazývá aritmetická, právě když eistuje takové reálné číslo d, že pro každé přirozené číslo n je a n+ = a n + d, (4.) kde d se nazývá diference aritmetické posloupnosti. Platí a n = a + (n )d, a n = a n + a n+, (4.) Pro součet s n prvních n členů aritmetické posloupnosti platí r, s N : a s = a r + (s r)d. (4.) s n = n (a + a n ). (4.4) Posloupnost (a n ) n= se nazývá geometrická, právě když eistuje takové reálné číslo q, že pro každé přirozené číslo n je a n+ = a n q, (4.5) kde q se nazývá kvocient geometrické posloupnosti. Platí a n = a q n, a n = a n a n+, (4.6) Pro součet s n prvních n členů geometrické posloupnosti platí r, s N : a s = a r q s r. (4.7) q = : s n = n a, (4.8) q n q : s n = a q = a q n q. (4.9) 4... Vypočtěte žádané prvky aritmetické posloupnosti: a) d =, a n = 5, s n = 456, n =?, a =? n = 8, a = 99 b) a = 6, s = 95, a =?, d =? a =, d = 4... Určete aritmetickou posloupnost, u které platí: a + a 4 + a 6 = 7, a 5 a a = a = 5, d = Určete a a q u geometrické posloupnosti, u níž platí a) a + a 4 =, a + a = 48 a = 4, q =, a = 8, q = / b) a 7 a 5 = 48, a 6 + a 5 = 48, s n = a =, q =, n = Vypočítejte, kolik máte pra... prababiček. Řešení: Každý máme dva rodiče, čtyři prarodiče ( babičky a dědečky), osm praprarodičů (4 prababičky a 4 pradědečky), atd. Kolik máme (pra) n -babiček? Je to polovina z celkového počtu (pra) n+ -rodičů (uvažujeme jen ženy), výsledek tedy je: n+ = n+, n =,,... Limita pro n je nevlastní, počet pra... prababiček stále roste.

32 8 4. Posloupnosti Strany pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Delší odvěsna měří 4. Vypočtěte obvod trojúhelníka Stanovte takové číslo, aby zvětšeno postupně o 7, 5, 7 dalo tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti Buduje se hlediště letního kina přibližně pro diváků. Do první řady je plánováno 4 sedadel, do každé následující řady postupně o 4 sedadla více. Kolik řad sedadel bude mít hlediště? Část střechy domu má tvar lichoběžníku a je ji třeba pokrýt taškami. Víme, že do řady u hřebenu se vejde 85 tašek, do spodní řady při okapu tašek. Přitom tašky budou srovnány do řad tak, že v každé následující řadě bude o jednu tašku více než v řadě předchozí. Kolik je třeba tašek na pokrytí části střechy? Poločas rozpadu radia C (RaC) je přibližně minut. Počáteční hmotnost radia C je mg. Jaká bude hmotnost radia za hodiny? (Poločasem rozpadu nazýváme dobu, za kterou se rozpadne polovina počáteční hmotnosti radioaktivní látky.) 64 mg 4... Teplota Země roste do hloubky přibližně o C na metrů. Jaká je teplota na dně dolu 5 metrů hlubokého, je-li v hloubce 5 metrů teplota 9 C? 9 C 4... Světelný paprsek ztrácí při průchodu skleněnou deskou své intenzity. Jaká je intenzita ( paprsku po průchodu čtyřmi stejnými deskami? ) Určete součet všech přirozených čísel od do Vypočítejte součet všech sudých trojciferných přirozených čísel Množství dřeva v jedné lesní oblasti je odhadnuto na 5, 5 5 m, roční přírůstek je,%. Kolik krychlových metrů dřeva bude v této oblasti za tři roky? S těžbou se nepočítá.. = 5, 9 5 m Ve městě žilo na počátku roku 7 6 obyvatel. Kolik obyvatel lze očekávat na počátku roku, jestliže se roční přírůstek odhaduje na,8%? Kuřák prokouří ročně Kč. Kolik by uspořil za 5 let, kdyby tuto částku vždy počátkem roku ukládal na vkladní knížku při ročním úročení 8%? (Počítejte daň z úroků ve výši 5%.) Za kolik let klesne hodnota předmětu na méně než desetinu původní ceny, jestliže ročně odepisujeme 8% ceny předmětu z předchozího roku? Traktor jede po přímé silnici rychlostí m s. V okamžiku, kdy projíždí místem M, vyjíždí z tohoto místa týmž směrem osobní auto, které za první sekundu ujede m a za každou následující sekundu o m více než za předcházející sekundu. Vypočtěte, za kolik sekund auto dohoní traktor. 8 s Občan získal počátkem roku 7 od banky úvěr ke koupi bytu ve výši 4 Kč, a to na dobu šesti let s roční úrokovou mírou % (úrokovací období je rok). Úvěr bude splacen v šesti stejných ročních splátkách, první po jednom roce od poskytnutí úvěru. Kolik korun bude činit jedna splátka? Kolik korun celkem občan bance zaplatí? jedna splátka 9 84 Kč; celkem Kč

33 4.. Vlastnosti posloupností Banka poskytla podnikateli počátkem roku 7 úvěr ve výši 5 Kč, a to na dobu pěti let s roční úrokovou mírou,5% (úrokovací období je rok). Podnikatel bude dluh splácet pravidelně ve stejných ročních splátkách, první po jednom roce od poskytnutí úvěru. Vypočítejte výši jedné splátky. Řešení: Neznámou je výše jedné splátky, označme ji s Kč. Dluh podnikatele na konci roku 7 (banka si připsala úroky):.5 6 ( +.5) Kč Dluh na počátku roku 8 (po první splátce):.5 6 ( +.5) s Kč Dluh na počátku roku 9 (po připsání úroků z dluhu za rok 8 a po druhé splátce): (.5 6 ( +.5) s ) ( +.5) s Kč =.5 6 ( +.5) s( +.5) s Kč Dluh na počátku roku (po třetí splátce): (.5 6 ( +.5) s( +.5) s ) ( +.5) s Kč =.5 6 ( +.5) s( +.5) s( +.5) s Kč atd., dluh na počátku roku (po páté splátce):.5 6 ( +.5) 5 s( +.5) 4 s( +.5) s( +.5) s( +.5) s Kč Úvěr bude na počátku roku splacen, je tedy.5 6 (+.5) 5 s ( +.5) 4 + ( +.5) + ( +.5) + ( +.5) + = S využitím vzorce (4.9) pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti dostaneme Odtud je.5 6 ( +.5) 5 s ( +.5)5 ( +.5) = s =.5 6 ( +.5) 5.5 ( +.5) 5 s. = Výše jedné splátky činí Kč Občan si založil na konci roku 5 osobní konto s roční úrokovou mírou 6% a se čtvrtletním úrokovacím obdobím. Na konto ihned uložil 5 Kč a stejnou částku pak pravidelně ukládal na konci každého čtvrtletí roku 6, přitom z konta žádný obnos nevybral. Jak vysoká částka byla na jeho osobním kontě na konci roku 6? Daň z úroků je 5% Vkladatel měl na vkladní knížce s výpovědní lhůtou uloženo po dobu tří let 8 Kč. První dva roky byla úroková míra 6%, další rok 5,%. Jak vysokou částku bude mít na vkladní knížce na konci třetího roku, jestliže v průběhu celé úrokovací doby nevybral žádné úroky? Úrokovací období je jeden rok. 9 7 Kč

34 4. Posloupnosti posloupnost definiční vlastnost rostoucí n N : a n < a n+ klesající n N : a n > a n+ neklesající n N : a n a n+ nerostoucí n N : a n a n+ shora omezená k R; n N : a n k zdola omezená l R; n N : a n l Tabulka 4.: Základní vlastnosti posloupností 4. Vlastnosti posloupností Základní vlastnosti posloupností jsou shrnuty v tabulce 4.. Každá rostoucí posloupnost je neklesající. Každá klesající posloupnost je nerostoucí. Posloupnosti, které jsou nerostoucí nebo neklesající, se nazývají monotónní posloupnosti. Posloupnost se nazývá omezená, právě když je omezená shora i zdola Je dána posloupnost ( ). n n= a) Dokažte, že daná posloupnost je klesající. b) Rozhodněte, zda uvedená posloupnost je shora omezená, zdola omezená nebo omezená. c) Vyjádřete tuto posloupnost rekurentně. Řešení: a) Máme dokázat, že pro každé n N platí n + < neboli n + > n. Tato nerovnost n je pro každé n N pravdivá. Tím jsme dokázali, že daná posloupnost je klesající. b) Pro každé n N je n >, to znamená, že daná posloupnost je zdola omezená. Zároveň pro všechna n N platí. Proto je daná posloupnost také shora omezená. Z toho n plyne, že daná posloupnost je omezená. c) Pro n = dostaneme a =. Protože a n = n, a n+ =, platí pro každé n N n + a n+ = n + = = a n a + n +. a n

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 2008/2009 Autor: Mati neučitel.

MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 2008/2009 Autor: Mati neučitel. MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 008/009 Autor: Mati neučitel. Kdo se matiku pilně učil, a jen si není jistý zadanými příklady, tomu stačí ty kousky podbarvené oranžově. Kdo najde nějakou mou chybu, o které ještě

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy Žák určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů pracuje

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout. Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar.

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVD11C0T04 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový

Více

Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 2005-2006

Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 2005-2006 MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 005-006 Třída 8.A/8,.A/ V.Zlatohlávek, B. Naer. Úpravy výrazů v matematice.... Rovnice

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

ZMĚNY VE VÝUCE MATEMATIKY JAKO DŮSLEDEK POČÍTAČEM PODPOROVANÉ VÝUKY

ZMĚNY VE VÝUCE MATEMATIKY JAKO DŮSLEDEK POČÍTAČEM PODPOROVANÉ VÝUKY ZMĚNY VE VÝUCE MATEMATIKY JAKO DŮSLEDEK POČÍTAČEM PODPOROVANÉ VÝUKY Marie Polcerová Fakulta chemická, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: Zavedení nového samostatného povinného předmětu Počítačová

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více