CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "CVIČENÍ Z MATEMATIKY I"

Transkript

1 Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava

2

3 Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických výrazů, mocniny, odmocniny, rozklad mnohočlenů Rovnice a nerovnice. Absolutní hodnota reálného čísla. Soustavy rovnic Logaritmy. Logaritmické a eponenciální rovnice Goniometrie. Goniometrické rovnice Množiny 5. Operace s množinami Binární relace, zobrazení Uspořádané množiny Funkce. Definiční obor funkce Parita funkce Perioda funkce Inverzní funkce Elementární funkce a jejich grafy Posloupnosti 5 4. Pojem posloupnosti, rekurentní určení posloupnosti Aritmetická a geometrická posloupnost Vlastnosti posloupností Limity posloupností Limita funkce 5 6 Diferenciální počet 4 6. Derivace funkce Derivace vyšších řádů Geometrický význam derivace Fyzikální význam derivace Diferenciál funkce L Hospitalovo pravidlo Taylorův rozvoj Monotónnost funkce Etrémní hodnoty funkcí Konvenost a konkávnost funkce, inflení body Asymptoty grafu funkce Průběh funkce i

4 ii OBSAH 7 Integrální počet 7 7. Neurčitý integrál, základní vzorce Substituční metoda Integrace metodou per partes Integrace racionálních funkcí Integrace goniometrických funkcí Integrace iracionálních funkcí Určitý Riemannův integrál Geometrické aplikace určitého integrálu

5 Kapitola Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických výrazů, mocniny, odmocniny, rozklad mnohočlenů... Upravte algebraické výrazy: a) b) ( > ) c) (a b) + ab (a + b) ab : a 5 + b 5 + a b + a b (a + b + a b + ab )(a b ) a b... Upravte a udejte podmínky eistence výrazů: ( a b ) ( ) a b a) a + b : a + b ; a b, a b ab b) a 4a 4 4a 6 a 4 : ( a) 4 ; a, a ± a a a c) 5 a 4 : a a 5 a ; a > a a ( + y ) ( + y ) + y y d) ( ) ( ) y ;, y, ±y ( + y)( y) y ( a ab + b ) ( a ab + b e) (a b) a ab + b b ) ; a ; a b a... Rozložte na součiny, resp. upravte krácením: a) ( ) 5;

6 . Příklady k opakování středoškolské látky b) c) ( 5 ; 5) ( 5)( + ) ( ; ). Rovnice a nerovnice. Absolutní hodnota reálného čísla. Soustavy rovnic... Řešte v R: a) a a = a a ; a b) y + 4 y + 7y 8 8 y y = y y + 4 nemá řešení c) 8 = 4... Řešte v R: a) y = y nemá řešení b) + = {, 4}... Zjistěte, která vyhovují nerovnici v oboru reálných čísel a) + 9 > 4 + < 6 b) + < ( ; ) ( ; + ) c) + 4 d) Řešte v R nerovnice ( ; 4) ; + ) ( ; 5 a) + (, 4 b) (, (, ) c) 5 ) ; 5 d) 5 + >..5. V R R řešte soustavu rovnic ( 7; ) y + = y = ; y = 6; Sestrojte kartézské grafy soustavy nerovnic: + y y 7

7 .. Logaritmy. Logaritmické a eponenciální rovnice..7. Která reálná vyhovují rovnici a) + 5 = b) + = c) = d) + 9 = nemá řešení e) ( + )( 5) 7 =..8. V R řešte nerovnici: + > < ; >..9. V množině celých čísel určete obor pravdivosti výrokové formy a) + = + 5 {} b) {,,,, }. Logaritmy. Logaritmické a eponenciální rovnice... Řešte rovnice 5 a) ( 4 9 ) ( 7 8 ) = log 4 log 8 7 b) 7 = 8 5 c) = Určete všechna řešení rovnic v oboru reálných čísel: a) log = ; b) (log ) log + = 9; c) log( ) + log( + ) = log + log( ) 5; 9 d) log( + ) log( ) = log 4 8 e) log ( ) log ( ) = 5.4 Goniometrie. Goniometrické rovnice.4.. Zjednodušte výrazy a určete, kdy jsou reálné: a) b) c) d) + tg + cotg cos + sin sin cos sin cos + tg + + cotg tg ; k π, k Z} sin ; π + kπ, k Z} cos ; k π, k Z ; k π, k Z

8 4. Příklady k opakování středoškolské látky.4.. Řešte v R rovnice a) sin = tg = kπ; = π 4 + k π, k Z b) sin + cos = 5 sin cos. = 56 + kπ; = π 4 + kπ, k Z c) (tg ) (sin ) = tg d) tg = cotg e) sin = sin kπ; = π + kπ; 5π + kπ, k Z = ± π + kπ, k Z = kπ; = π + kπ; = 5π + kπ, k Z.4.. Lanovka má přímou trat délky 45 m a stoupá pod úhlem o velikosti 4. Jaký je výškový rozdíl mezi horní a dolní stanicí? 79, 6 m.4.4. Na vodorovné rovině stojí 65 m vysoká věž a továrenský komín. Z vrcholu věže vidíme patu komína v hloubkovém úhlu α = 9 a od paty věže vidíme vrchol komína ve výškovém úhlu β = 7 4. Jak vysoký je komín? 4 m.4.5. Určete velikost všech úhlů a stran trojúhelníka, pro nějž platí: α =, b =, a = 5 β = 9, γ = 6, c = Z bodu ležícího ve výšce h nad horizontální rovinou jdoucí patou věže vidíme vrchol věže ve výškovém úhlu α, patu věže v hloubkovém úhlu β. Jak vysoká je věž? h( + tgα cotg β).4.7. Těsně u břehu řeky stojí budova, z jejíchž oken nad sebou vzdálených h metrů je vidět bod na protějším břehu v hloubkových úhlech α, β (α > β). Jak široká je řeka? h cos α cos β sin(α β).4.8. Po přímé cestě se přesouvá vojenská kolona. Pozorovatel na stanovišti A, které leží mimo cestu, zjistil radiolokátorem, že vzdálenost místa A od čela kolony U je 4 5 m, vzdálenost A od konce kolony V je 84 m a velikost úhlu UAV je. Vypočítejte délku kolony. 6 m.4.9. Hlídce byl určen pochodový úhel o velikosti, po 7 km byl změněn směr pochodu na úhel o velikosti 75. Tímto směrem prošla hlídka dalších 8 km. Jaká je vzdálenost hlídky vzdušnou čarou od výchozího bodu?, 9 km

9 Kapitola Množiny. Operace s množinami... Výčtem prvků zapište množiny: a) { Z : + < }, b) { R : }, c) { L : ( je studentem. ročníku oboru PTA) ( je dívka)}, kde L značí množinu všech lidí. Řešení: a) Řešením nerovnice + < jsou všechna reálná čísla z intervalu ( ; + ) ; v tomto intervalu leží celá čísla 4,,, tj. { Z : + < } = { 4; ; }. b) Zřejmě { R : } = {}. c) Ve složené závorce je potřeba vyjmenovat všechny dívky studující v. ročníku obor PTA.... Necht A = (; 5) (otevřený interval), B = {; 4; 5; 6}. Zapište množiny: a) A B, {; 4} b) A B, (; 5 {6} c) A B, (; ) (; 4) (4; 5) d) B A, {5; 6} e) A R, ( ; 5; + ) f) B R. ( ; ) (; 4) (4; 5) (5; 6) (6; + )... Jsou dány množiny A = { R : < }, B = { R : + }. Zapište pomocí intervalů: a) A, ; ) b) B, ( ; 5 ; + ) c) A B, ( ; 5 ; + ) d) A B. ; )..4. Necht A = {; ; 4; 7; ; 6}, B = {; ; 7; }, C = {; 6; ; 9}. Určete a) A B, {; ; ; 4; 7; ; ; 6} 5

10 6. Množiny b) B C, {; ; 6; 7; ; ; 9} c) A B C, ; ; ; 4; 6; 7; ; ; 6; 9 d) A B, {; 7} e) A C, {; } f) A B C. {}..5. Necht A = {a; c}, B = {b; d; c}. Utvořte kartézské součiny a) A B, {(a; b), (a; d), (a; c), (c; b), (c; d), (c; c)} b) B A. {(b; a), (b; c), (d; a), (d; c), (c; a), (c; c)}..6. Jsou dány množiny A = {; ; } a B = {; 5}. Výčtem prvků zapište kartézský součin množin A B. {(; ), (; ), (; ), (; 5), (; 5), (; 5)}..7. Jakou množinu v prostoru opatřeném kartézskou souřadnou soustavou vyplní všechny body, jejichž souřadnice (tj. uspořádané trojice reálných čísel) jsou z kartézského součinu intervalů a, b c, d e, f?..8. Jsou dány množiny A = { 4; ; 4} a B = 4; 4). Určete a) A B, 4; 4 b) A B, {; 4} c) A B, {4} d) B A, ( 4, ) (, 4) e) načrtněte A B...9. Jsou dány množiny A = { ; ; ; } a B = ; 5). Určete a) A B, ; 5) b) A B, { ; ; ; } c) A B, d) B A, ; ) ( ; ) ( ; ) (; ) (; 5) e) A B, B A f) A R, ( ; ) ( ; ) ( ; ) (; ) (; + ) g) B A, h) B R, ( ; ) 5; + ) i) načrtněte A B a B A.... Užitím Vennových diagramů rozhodněte, zda pro libovolné podmnožiny A, B, C dané základní množiny platí: a) (A B) B = A B, platí b) A B = A B, neplatí c) C (A B) = (A C) (C B). platí... Dokažte, že pro libovolné dvě množiny A, B platí: a) A = (A B) (A B), b) A B = (A B) (A B) (B A).

11 .. Binární relace, zobrazení 7 Řešení: Množinová rovnost M = N se dokazuje bud tak, že ukážeme: M N, nebo tak, že použijeme zřejmého tvrzení (M = N) (M N N M) a dokazujeme:. M N (tj. M N),. N M (tj. N M). a) ( A) ( A ( / B B)) (( A / B) ( A B)) ( (A B) A B) ( (A B) (A B)). b) ( A B) ( A B) (( A ( / B B)) ( B ( / A A))) ((( A / B) ( A B)) (( B / A) ( B A)) ( (A B) (A B) (B A) (B A)) ( (A B) (A B) (B A)) ( (A B) (A B) (B A)).. Binární relace, zobrazení... Graficky znázorněte binární relaci {(, y) R : + y 4 }. Řešení: viz obr..(a).... Najděte pravidlo určující binární relaci na R, která je dána šedě zvýrazněnou (otevřenou) podmnožinou roviny na obr..(b), (c), (d). Řešení: S elementárními znalostmi rovinné analytické geometrie snadno zjistíme: a) {(, y) R : < y}, b) {(, y) R : ( + y < )}, c) {(, y) R : < y < }.... Necht zobrazení f :, + ) 4, + ) je dáno předpisem f() = + 4. Najděte předpis definující inverzní zobrazení f. Řešení: Zobrazení f je zřejmě vzájemně jednoznačné (speciálně prosté), a tedy inverzní zobrazení k němu eistuje. Přitom: f (y) = f() = y + 4 = y. My ale potřebujeme hodnotu f (y) (tj. ) vyjádřit v závislosti na y, tedy z předpisu y = + 4, definujícího zobrazení f, potřebujeme spočítat v závislosti na y. y = + 4 = y 4 (bereme + y 4, nebot víme, že, + )). Hledaný předpis tedy je: f (y) = y Jaká podmnožina roviny opatřené kartézskou souřadnou soustavou (tj. R R) definuje následující binární relace na R? a) {(, y) R : + y = } kružnice se středem v počátku a poloměrem b) {(, y) R : y } celá rovina bez souřadnicových os..5. Je dána množina A = { ; ; ; ; }. Znázorněte graficky binární relace a) R = {(, y) A A : > y}, b) S = {(, y) A A : y < }, c) T = R S.

12 8. Množiny. Uspořádané množiny... Najděte v R maimum, minimum, supremum a infimum (pokud eistují) množin: a) (; ),,,, b) ;,,,, c) množina všech záporných čísel,,,, d) (; + ),,,, e) (; 4, 4,, 4, f) {; ; } ;...,,,, g) { 8 }, n N., 6, 8, 6 n n=... Najděte maimum, minimum, supremum, infimum množiny M, jejíž prvky tvoří čísla tvaru n + ma n +, n N. M = sup M =, min M =, inf M =... V Z určete horní a dolní závoru množiny M = { ; ; }. horní závora:,,..., dolní závora:,, Je dán interval I = ; ). Určete v Z a) horní závoru,, 4, 5,... b) dolní závoru,,,,... c) maimum, d) minimum, e) supremum, f) infimum.

13 .. Uspořádané množiny 9 y 8 y y y (a) (b) y.5.5 y 4 y (c) 4 (d) Obr..: K příkladům.. a...

14 . Množiny

15 Kapitola Funkce Funkce je každé zobrazení f množiny A do číselné množiny B R, tzn. funkce je předpis, který každému prvku a A jednoznačně přiřadí číslo b B. Množině A říkáme definiční obor funkce a její prvek nazýváme nezávisle proměnnou nebo argumentem. Množině B říkáme obor funkčních hodnot, jejím prvkům závisle proměnné nebo hodnoty funkce. Jsou-li A, B množiny reálných čísel, mluvíme o funkci jedné reálné proměnné, zapisujeme obvykle y = f(); A, y B. Přehled základních vlastností funkcí je uveden v tabulce.. Graf funkce y = f() je množina všech bodů v rovině o souřadnicích ; f(). Na obr...5 jsou znázorněny grafy elementárních funkcí. Všimněte si, že graf sudé funkce je osově symetrický podle osy y, graf liché funkce je symetrický podle počátku soustavy souřadnic. Funkce rostoucí, neklesající, klesající a nerostoucí se nazývají monotónní, z nich pak funkce rostoucí a klesající jsou ryze monotónní. Je zřejmé, že ke každé ryze monotónní funkci eistuje funkce inverzní, nebot každá ryze monotónní funkce je prostá. Dále platí, že žádná sudá funkce není prostá.. Definiční obor funkce Hlavní zásady pro určování definičního oboru funkcí:. výraz ve jmenovateli musí být různý od nuly,. argument logaritmu musí být větší než nula,. výraz pod sudou odmocninou musí být nezáporný, 4. pro argument funkce tg musí platit: (k + ) π, pro cotg : kπ, k Z, 5. argument funkcí arcsin, arccos musí ležet v intervalu ; Určete definiční obor funkce y = sin + cos. Řešení: Funkce v čitateli i jmenovateli jsou definovány pro všechna, tedy jejich podíl je definován pro všechna taková, že jmenovatel je různý od nuly: sin + cos sin cos 4 π + kπ = π ( 4 + k )

16 . Funkce funkce požadavek na definiční obor definiční vlastnost příklady sudá D f D f f( ) = f(), cos lichá D f D f f( ) = f(), sin periodická p >, D f + p D f f( + p) = f() sin, cos rostoucí na I I D f je interval < na (; + ), f( ) < f( ), log neklesající na I I D f je interval < f( ) f( ) f() = konst. klesající na I I D f je interval < na ( ; ), f( ) > f( ), log nerostoucí na I I D f je interval < f( ) f( ) f() = konst. ohraničená na I I D f je interval eistuje A R tak, sin, cos, že f() < A na I arctg Tabulka.: Základní vlastnosti funkcí. Definičním oborem zadané funkce jsou tedy všechna reálná čísla kromě = 4 π + kπ, neboli { } D f = R 4 π + kπ, k Z.... Určete definiční obor funkce y = log( ) + 9. Řešení: Definiční obor součtu (rozdílu, součinu, podílu) funkcí, příp. složené funkce, je množina takových R, pro která jsou definovány všechny funkce, ze kterých se daná funkce skládá, je to tedy průnik definičních oborů jednotlivých funkcí. V našem případě musí platit:. jmenovatel zlomku různý od nuly: log( ). argument logaritmu větší než nula: > >. pod sudou odmocninou číslo nezáporné: 9 9/ Průnikem všech tří definičních oborů je (; ) (; 9/, definičním oborem dané funkce tedy je D f = (; ) (; 9/ Určete definiční obor funkce y = ( + ).

17 .. Definiční obor funkce Řešení:. Funkce pod sudou odmocninou musí být nezáporná: + 5 ( + ) + 5 5,. jmenovatel se nesmí rovnat nule: ( + ). Definiční obor celé (složené) funkce je průnik těchto výsledků: D f = 5; ) ( ; + )...4. Určete definiční obor funkcí: a) y = R {} b) y = 9 ( ; ; ) c) y = 5 R { ; } d) y = 4 + ( ; ) e) y = f) y = 5 + g) y = + h) y = i) y = j) y = k) y = l) y = + R R { } R R {8; } R ; 9 ; ) (; ) R ;..5. Určete definiční obor funkcí: a) y = b) y = 8 c) y = e R {} R {} d) y = log( + ) ( /; ) e) y = log ( + ) R f) y = log + 5 (5; ) 5 g) y = log ( 4 ) ( ; ) (; ) h) y = ln( + ) R ( ; ) ( ; ) i) y = log ( ; ) j) y = ln (4 ) ; +

18 4. Funkce k) y = ln R {} l) y = 4 + ln ( ) ( ; ) (; ) (; )..6. Určete definiční obor funkcí: a) y = cos b) y = sin R ( π 6 + kπ; 5π ) 6 + kπ, k Z c) y = cotg kπ, k Z d) y = tg (k + ) π 4, k Z e) y = tg ; (k + )π, k Z f) y = log sin (kπ; π + kπ), k Z g) y = ln sin( ) ( + kπ; π + + kπ), k Z h) y = log + + sin 5 + ( ; ) {} i) y = sin( 4) ln(7 + ) ( /7; ) {} j) y = tg ln ( ) R {; (k + ) π, k Z}..7. Určete definiční obor funkcí: a) y = 5 arcsin + b) y = arcsin(4 + ) ln( ) Dokažte, že funkce y = log je funkce rostoucí v celém svém definičním oboru. Řešení: Aby funkce f() byla rostoucí, musí platit: pro < je f( ) < f( ). Definiční obor naší funkce splňuje podmínku: > >. Pro libovolná < < platí: < log < log, protože log je funkcí rostoucí. Tedy daná funkce y = log je rostoucí. ;. Parita funkce... Určete, zda je funkce y = 4 Řešení: sudá nebo lichá. f( ) = 4 ( ) ( ) = 4 = 4 = f(). Daná funkce je lichá.

19 .. Perioda funkce 5... Rozhodněte o sudosti, resp. lichosti, funkcí: a) y = lichá b) y = sudá c) y = sudá d) y = + sudá e) y = + sudá f) y = + ani sudá, ani lichá g) y = ( ) ani sudá, ani lichá h) y = ( + ) ani sudá, ani lichá... Mezi následujícími funkcemi najděte funkce sudé a liché a) y = ani sudá, ani lichá b) y = lichá c) y = sudá d) y = sin lichá e) y = sin f) y = cos. Perioda funkce lichá sudá... Zjistěte, zda je funkce y = sin + cos periodická, a v kladném případě najděte její základní periodu. Řešení: Je-li funkce periodická, eistuje číslo p R takové, že pro všechna D f platí: Užitím součtových vzorců dostaneme sin + cos = sin( + p) + cos( + p). sin( + p) + cos( + p) = sin cos p + cos sin p + cos cos p sin sin p = cos p(sin + cos ) + sin p(cos sin ). Zřejmě musí platit: cos p = sin p = p = + kπ, p = π. Daná funkce je tedy periodická se základní periodou π.... Zjistěte, zda daná funkce je periodická, a případně najděte její základní periodu: a) y = cos b) y = sin c) y = sin d) y = sin e) y = sin π 4π π π f) y = sin není periodická π

20 6. Funkce.4 Inverzní funkce.4.. Dokažte, zda funkce y = je prostá a najděte funkci k ní inverzní. Sestrojte grafy obou funkcí. ) Řešení: Definiční obor: D f = ; +. Necht, ( ) jsou libovolná čísla z D f, pak platí:. Tedy funkce y = je prostá a eistuje k ní funkce inverzní. Získáme ji tak, že provedeme formální záměnu proměnných y: = y = y y = + = f (). Definiční obor inverzní funkce je totožný s oborem funkčních hodnot funkce dané a obor hodnot inverzní funkce je totožný s definičním oborem původní funkce D f = H f, H f = D f. V našem případě je tedy D f = ; + ) (maimální definiční obor funkce y = + ) je ovšem celé R) a H f = ; +. Grafy dané funkce f() a funkce k ní inverzní f () jsou vždy souměrné podle osy prvního a třetího kvadrantu y = (viz obr..). y 4 y y y 4 Obr..: K příkladu.4..

21 .5. Elementární funkce a jejich grafy Je dána funkce y =, ;. Dokažte, že f je funkce, určete D f a sestrojte graf inverzní funkce f. f = +, D f = 5; Určete, na kterých intervalech eistuje inverzní funkce k následujícím funkcím, a najděte ji: a) y = + 4 f = 4, R b) y = f =, ; ) c) y = d) y = + e) y = ln f =, R f =, ; + ) f = e, R f) y = f = log, (; ) ( ) g) y = f = log, (; ) 4 4 h) y = i) y = e j) y = 5 arcsin + f =, R f = ln, ( ; ) f = sin 5, 5 π; 5 + π.5 Elementární funkce a jejich grafy Elementární funkce můžeme rozdělit na polynomy, racionální lomené funkce, iracionální (inverzní k racionálním), eponenciální, logaritmické (inverzní k eponenciálním), goniometrické, cyklometrické funkce (inverzní ke goniometrickým). Přehled vlastností vybraných funkcí je uveden v tabulce. a.. Grafy elementárních funkcí jsou znázorněny na obr...5.

22 8. Funkce y 4 y 4 y y y y 4 y y 4 y y 4 y 4 y y Obr..: Grafy elementárních funkcí

23 .5. Elementární funkce a jejich grafy 9 y 4 y 4 y y Obr..: Grafy elementárních funkcí f() D f H f vlastnosti f () D f H f vlastnosti sin R ; spojitá, roste arcsin ; π ; π spojitá, roste cos R ; spojitá, klesá arccos ; ; π spojitá, klesá tg (k + ) π R spojitá, roste arctg R ( π ; π ) spojitá, roste cotg kπ R spojitá, klesá arccotg R (; π) spojitá, klesá Tabulka.: Goniometrické a cyklometrické funkce

24 . Funkce y sin y cos y y Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π y tg y y cotg y Π Π Π Π Π Π Π Π Obr..4: Goniometrické funkce y arcsin Π y y arccos Π y.5.5 Π Π.5.5 y arctg Π y y arccotg Π y 5 5 Π Π 5 5 Obr..5: Cyklometrické funkce

25 .5. Elementární funkce a jejich grafy y a a y 4 y a a y 4 y e y 4 y 4 y log a a y ln y log a a 4 4 Obr..6: Eponenciální a logaritmické funkce f() D f H f vlastnosti f () D f H f vlastnosti R (; + ) spojitá, roste log (; + ) R spojitá, roste ( ) R (; + ) spojitá, klesá log (; + ) R spojitá, klesá a R (; + ) spojitá spojitá roste (a > ) log a (; + ) R roste (a > ) klesá (a < ) klesá (a < ) Tabulka.: Eponenciální a logaritmické funkce

26 . Funkce f y 4 y 4 g f h f Obr..7: Řešení příkladu Sestrojte grafy funkcí: a) y = b) y = c) y = d) y = 4 f) y = g) y = e) y = h) y = Pomocí grafů známých elementárních funkcí sestrojte grafy funkcí: a) y = b) y = 5 c) y = 5 d) y = e) y = + 5 f) y = g) y = 5 h) y = ( ) i) y = ( ) Sestrojte grafy funkcí: a) f() = b) g() = f() c) h() = f().5.4. Sestrojte grafy funkcí: a) y = b) y = c) y = d) y = +

27 .5. Elementární funkce a jejich grafy y 4 y y =, y =, y =, y = Obr..8: K příkladům.5.. a y =, y =, y =.5.5. Sestrojte grafy následujících funkcí: a) y = b) y = c) y = d) y = e) y = + ( f) y = ).5.6. Sestrojte grafy funkcí: a) y = sin b) y = cos c) y = sin d) y = sin g) y = ( ) h) y = log i) y = log j) y = log k) y = log ( e) y = cos π ) ( f) y = cos + π ) 4 ( g) y = cos + π ) U následujících funkcí určete jejich definiční obor, obor hodnot, periodu, monotónnost. Dále zjistěte, zda jsou dané funkce prosté, ohraničené, sudé nebo liché, a sestrojte jejich graf. a) y = + b) y = ( ) c) y = cos d) y = ( + )

28 4. Funkce y y y y y y y y log 4 y log y log Obr..9: K příkladu.5.5. y y Π Π Π Π y = sin, y = sin, y = sin Π Π Π Π Π Π Π y = cos Π ( π Π ), y = cos Π Π ( + π 4 ) Π y y Π Π Π Π Π y = cos + Π Π Π Π Π Π Π y = cos Π ( + π 4 Π ) + Π Π y y Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π y = sin y = cos Obr..: K příkladu.5.6.

29 Kapitola 4 Posloupnosti 4. Pojem posloupnosti, rekurentní určení posloupnosti Posloupnost (a n ) n= je každá funkce definovaná na množině přirozených čísel Napište prvních pět členů posloupnosti dané vzorcem pro n-tý člen: ( ) a) n n= ( ) cos(nπ) b) n= ( ) n + c) n 5 n= ( ) d) ( ) n e) ( sin nπ n ) n= n= 4... Vyjádřete dané posloupnosti pomocí vzorce pro n-tý člen:,,, 4, 5,,,, 4, 7,,, 6 5, 8, 7, 64, 5,,,, a), 4, 4 5, 5 6,... ( n+ n+ b),,,,... např. ( cos(nπ)) n= ( c),, 9, 7, 8,... n ) n= d),, 4, 4 5, 5 ( ) 5 n 6 n+ n= (n e), 8, 7, 64, 5, 6 ) 6 n= 4... Je dána posloupnost (a n ) n=, a n = log n. Vyjádřete ji rekurentně. Řešení: Rekurentní určení posloupnosti je takový způsob zadání posloupnosti (a n ) n=, kdy je dán první člen (resp. první dva členy) a dále je k dispozici vzorec, pomocí něhož můžeme pro každé n N vypočítat člen a n+ na základě znalosti předchozího členu a n. V tomto případě pro každé n N je a n+ = log n+ = log ( n ) = log n + log = a n + log. Zkoumanou posloupnost lze tedy rekurentně zadat takto: a = log ; a n+ = a n + log. 5 ) n=

30 6 4. Posloupnosti Můžeme ji ovšem vyjádřit např. i tímto způsobem a = log ; a = log 9; a n+ = a n + log Posloupnosti vyjádřené vzorcem pro n-tý člen vyjádřete rekurentně: a) (log n ) n= a = log ; a n+ = log + a n b) (n + ) n= a = ; a n+ = a n + c) (n ) n= a = ; a n+ = a n + d) (n) n= a = ; a n+ = a n + e) ( n ) n= a = ; a n+ = a n f) (( ) n ) n= a = ; a n+ = a n Vypište prvních pět členů posloupnosti zadané rekurentně: a) a = ; a n+ = a n, n N, 6, 8, 54, 6 b) a = ; a = ; a n+ = a n+ a n, n N,,,, c) a = ; a = ; a n+ = a n+ a n, n N,,,, 4 d) a = ; a n+ = a n, n N, 4, 8, 6, Posloupnost (a n ) n= je určena rekurentně takto: a =, a n+ = a n, n N. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen. Řešení: Platí: a = a a = a a 4 = a a n = a n a n = a n Těchto n rovností mezi sebou vynásobíme a dostaneme a a a 4... a n a n = a a a... a n a n, čili a a a 4... a n a n = n a a a... a n a n. Žádný člen posloupnosti (a n ) n= není roven nule. Proto můžeme obě strany poslední rovnosti vydělit výrazem a a a 4... a n a n a dostaneme vztah pro a n : a n = n a. Víme, že a =, a tedy a n = n. Posloupnost (a n ) n= zapíšeme pomocí vzorce pro n-tý člen takto: ( n ) n= Dané posloupnosti jsou určeny rekurentně. Vyjádřete je vzorcem pro n-tý člen: a) a = ; a n+ = a n, n N () ( n= b) a = ; a n+ = a n, n N ( ) n ) n= c) a = 5; a n+ = a n + 4, n N (4n + ) ( n= d) a = ; a n+ = a n, n N n ) n= e) a = ; a n+ = + a n, n N ((n ) ) n= f) a = ; a n+ = a n, n N ( + ( ) n ) n=

31 4.. Aritmetická a geometrická posloupnost 7 4. Aritmetická a geometrická posloupnost Posloupnost (a n ) n= se nazývá aritmetická, právě když eistuje takové reálné číslo d, že pro každé přirozené číslo n je a n+ = a n + d, (4.) kde d se nazývá diference aritmetické posloupnosti. Platí a n = a + (n )d, a n = a n + a n+, (4.) Pro součet s n prvních n členů aritmetické posloupnosti platí r, s N : a s = a r + (s r)d. (4.) s n = n (a + a n ). (4.4) Posloupnost (a n ) n= se nazývá geometrická, právě když eistuje takové reálné číslo q, že pro každé přirozené číslo n je a n+ = a n q, (4.5) kde q se nazývá kvocient geometrické posloupnosti. Platí a n = a q n, a n = a n a n+, (4.6) Pro součet s n prvních n členů geometrické posloupnosti platí r, s N : a s = a r q s r. (4.7) q = : s n = n a, (4.8) q n q : s n = a q = a q n q. (4.9) 4... Vypočtěte žádané prvky aritmetické posloupnosti: a) d =, a n = 5, s n = 456, n =?, a =? n = 8, a = 99 b) a = 6, s = 95, a =?, d =? a =, d = 4... Určete aritmetickou posloupnost, u které platí: a + a 4 + a 6 = 7, a 5 a a = a = 5, d = Určete a a q u geometrické posloupnosti, u níž platí a) a + a 4 =, a + a = 48 a = 4, q =, a = 8, q = / b) a 7 a 5 = 48, a 6 + a 5 = 48, s n = a =, q =, n = Vypočítejte, kolik máte pra... prababiček. Řešení: Každý máme dva rodiče, čtyři prarodiče ( babičky a dědečky), osm praprarodičů (4 prababičky a 4 pradědečky), atd. Kolik máme (pra) n -babiček? Je to polovina z celkového počtu (pra) n+ -rodičů (uvažujeme jen ženy), výsledek tedy je: n+ = n+, n =,,... Limita pro n je nevlastní, počet pra... prababiček stále roste.

32 8 4. Posloupnosti Strany pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Delší odvěsna měří 4. Vypočtěte obvod trojúhelníka Stanovte takové číslo, aby zvětšeno postupně o 7, 5, 7 dalo tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti Buduje se hlediště letního kina přibližně pro diváků. Do první řady je plánováno 4 sedadel, do každé následující řady postupně o 4 sedadla více. Kolik řad sedadel bude mít hlediště? Část střechy domu má tvar lichoběžníku a je ji třeba pokrýt taškami. Víme, že do řady u hřebenu se vejde 85 tašek, do spodní řady při okapu tašek. Přitom tašky budou srovnány do řad tak, že v každé následující řadě bude o jednu tašku více než v řadě předchozí. Kolik je třeba tašek na pokrytí části střechy? Poločas rozpadu radia C (RaC) je přibližně minut. Počáteční hmotnost radia C je mg. Jaká bude hmotnost radia za hodiny? (Poločasem rozpadu nazýváme dobu, za kterou se rozpadne polovina počáteční hmotnosti radioaktivní látky.) 64 mg 4... Teplota Země roste do hloubky přibližně o C na metrů. Jaká je teplota na dně dolu 5 metrů hlubokého, je-li v hloubce 5 metrů teplota 9 C? 9 C 4... Světelný paprsek ztrácí při průchodu skleněnou deskou své intenzity. Jaká je intenzita ( paprsku po průchodu čtyřmi stejnými deskami? ) Určete součet všech přirozených čísel od do Vypočítejte součet všech sudých trojciferných přirozených čísel Množství dřeva v jedné lesní oblasti je odhadnuto na 5, 5 5 m, roční přírůstek je,%. Kolik krychlových metrů dřeva bude v této oblasti za tři roky? S těžbou se nepočítá.. = 5, 9 5 m Ve městě žilo na počátku roku 7 6 obyvatel. Kolik obyvatel lze očekávat na počátku roku, jestliže se roční přírůstek odhaduje na,8%? Kuřák prokouří ročně Kč. Kolik by uspořil za 5 let, kdyby tuto částku vždy počátkem roku ukládal na vkladní knížku při ročním úročení 8%? (Počítejte daň z úroků ve výši 5%.) Za kolik let klesne hodnota předmětu na méně než desetinu původní ceny, jestliže ročně odepisujeme 8% ceny předmětu z předchozího roku? Traktor jede po přímé silnici rychlostí m s. V okamžiku, kdy projíždí místem M, vyjíždí z tohoto místa týmž směrem osobní auto, které za první sekundu ujede m a za každou následující sekundu o m více než za předcházející sekundu. Vypočtěte, za kolik sekund auto dohoní traktor. 8 s Občan získal počátkem roku 7 od banky úvěr ke koupi bytu ve výši 4 Kč, a to na dobu šesti let s roční úrokovou mírou % (úrokovací období je rok). Úvěr bude splacen v šesti stejných ročních splátkách, první po jednom roce od poskytnutí úvěru. Kolik korun bude činit jedna splátka? Kolik korun celkem občan bance zaplatí? jedna splátka 9 84 Kč; celkem Kč

33 4.. Vlastnosti posloupností Banka poskytla podnikateli počátkem roku 7 úvěr ve výši 5 Kč, a to na dobu pěti let s roční úrokovou mírou,5% (úrokovací období je rok). Podnikatel bude dluh splácet pravidelně ve stejných ročních splátkách, první po jednom roce od poskytnutí úvěru. Vypočítejte výši jedné splátky. Řešení: Neznámou je výše jedné splátky, označme ji s Kč. Dluh podnikatele na konci roku 7 (banka si připsala úroky):.5 6 ( +.5) Kč Dluh na počátku roku 8 (po první splátce):.5 6 ( +.5) s Kč Dluh na počátku roku 9 (po připsání úroků z dluhu za rok 8 a po druhé splátce): (.5 6 ( +.5) s ) ( +.5) s Kč =.5 6 ( +.5) s( +.5) s Kč Dluh na počátku roku (po třetí splátce): (.5 6 ( +.5) s( +.5) s ) ( +.5) s Kč =.5 6 ( +.5) s( +.5) s( +.5) s Kč atd., dluh na počátku roku (po páté splátce):.5 6 ( +.5) 5 s( +.5) 4 s( +.5) s( +.5) s( +.5) s Kč Úvěr bude na počátku roku splacen, je tedy.5 6 (+.5) 5 s ( +.5) 4 + ( +.5) + ( +.5) + ( +.5) + = S využitím vzorce (4.9) pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti dostaneme Odtud je.5 6 ( +.5) 5 s ( +.5)5 ( +.5) = s =.5 6 ( +.5) 5.5 ( +.5) 5 s. = Výše jedné splátky činí Kč Občan si založil na konci roku 5 osobní konto s roční úrokovou mírou 6% a se čtvrtletním úrokovacím obdobím. Na konto ihned uložil 5 Kč a stejnou částku pak pravidelně ukládal na konci každého čtvrtletí roku 6, přitom z konta žádný obnos nevybral. Jak vysoká částka byla na jeho osobním kontě na konci roku 6? Daň z úroků je 5% Vkladatel měl na vkladní knížce s výpovědní lhůtou uloženo po dobu tří let 8 Kč. První dva roky byla úroková míra 6%, další rok 5,%. Jak vysokou částku bude mít na vkladní knížce na konci třetího roku, jestliže v průběhu celé úrokovací doby nevybral žádné úroky? Úrokovací období je jeden rok. 9 7 Kč

34 4. Posloupnosti posloupnost definiční vlastnost rostoucí n N : a n < a n+ klesající n N : a n > a n+ neklesající n N : a n a n+ nerostoucí n N : a n a n+ shora omezená k R; n N : a n k zdola omezená l R; n N : a n l Tabulka 4.: Základní vlastnosti posloupností 4. Vlastnosti posloupností Základní vlastnosti posloupností jsou shrnuty v tabulce 4.. Každá rostoucí posloupnost je neklesající. Každá klesající posloupnost je nerostoucí. Posloupnosti, které jsou nerostoucí nebo neklesající, se nazývají monotónní posloupnosti. Posloupnost se nazývá omezená, právě když je omezená shora i zdola Je dána posloupnost ( ). n n= a) Dokažte, že daná posloupnost je klesající. b) Rozhodněte, zda uvedená posloupnost je shora omezená, zdola omezená nebo omezená. c) Vyjádřete tuto posloupnost rekurentně. Řešení: a) Máme dokázat, že pro každé n N platí n + < neboli n + > n. Tato nerovnost n je pro každé n N pravdivá. Tím jsme dokázali, že daná posloupnost je klesající. b) Pro každé n N je n >, to znamená, že daná posloupnost je zdola omezená. Zároveň pro všechna n N platí. Proto je daná posloupnost také shora omezená. Z toho n plyne, že daná posloupnost je omezená. c) Pro n = dostaneme a =. Protože a n = n, a n+ =, platí pro každé n N n + a n+ = n + = = a n a + n +. a n

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Vzorcem pro n-tý člen posloupnosti, např.:, Rekurentně zadáním prvního členu a rekurentního vzorce, který vyjadřuje, např.: výčtem prvků graficky

Vzorcem pro n-tý člen posloupnosti, např.:, Rekurentně zadáním prvního členu a rekurentního vzorce, který vyjadřuje, např.: výčtem prvků graficky Posloupnosti Motivace Víš, jaký bude následující člen v řadách 2, 4, 6, 8,? a 2, 4, 8, 16,?? Urči součet řady Jak převedeš číslo na zlomek? 1 Definice posloupnosti Posloupnost je funkce. Definiční obor

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

Z MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012

Z MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012 VYBRANÉ PARTIE Z MATEMATIKY Tomáš Mikulenka březen 0 Tento výukový materiál vznikl jako součást grantového projektu Gymnázia Kroměříž s názvem Beznákladové ICT pro učitele realizovaného v letech 009 0.

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I Řešené příklady Uváděné řešené příklady jsou vybrány a řazeny v návaznosti na orientační učební pomůcku Doc.RNDr.Ing. Josef Nedoma, CSc.: MATEMATIKA I. Tato sbírka

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs, Krupkova: Matematika.

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 72/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Technické lyceum (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Pracovní materiál pro

Pracovní materiál pro Pracovní materiál pro Úvodní kurz pro FELÁKY Temešvár u Písku, září 01 Úvodem Tento text má sloužit jako přehled středoškolských znalostí a dovedností, které jsou nezbytné při studiu matematiky na vysoké

Více

Zimní semestr akademického roku 2013/2014. 3. září 2014

Zimní semestr akademického roku 2013/2014. 3. září 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 03/04 3. září 04 Předmluva ii Rozjezd

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA ILUSTRAČNÍ TEST MAIZD4C0T0 Pokyny k hodnocení MATEMATIKA Pokyny k hodnocení úlohy Vyznačte na číselné ose obraz čísla 0,6. 0,6 3 apod. NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ Chybně vyznačený obraz, resp. není zřejmé, kde

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin.

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin. Funkce Pojem funkce Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce vyjadřuje závislost

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející

Více

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: VY_4_INOVACE_MA_ Název sady DUM: Funkce a rovnice I. Název a adresa školy: Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90, 549 3 Hronov Registrační číslo projektu: Číslo

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více