CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

Transkript

1 Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava

2

3 Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických výrazů, mocniny, odmocniny, rozklad mnohočlenů Rovnice a nerovnice. Absolutní hodnota reálného čísla. Soustavy rovnic Logaritmy. Logaritmické a eponenciální rovnice Goniometrie. Goniometrické rovnice Množiny 5. Operace s množinami Binární relace, zobrazení Uspořádané množiny Funkce. Definiční obor funkce Parita funkce Perioda funkce Inverzní funkce Elementární funkce a jejich grafy Posloupnosti 5 4. Pojem posloupnosti, rekurentní určení posloupnosti Aritmetická a geometrická posloupnost Vlastnosti posloupností Limity posloupností Limita funkce 5 6 Diferenciální počet 4 6. Derivace funkce Derivace vyšších řádů Geometrický význam derivace Fyzikální význam derivace Diferenciál funkce L Hospitalovo pravidlo Taylorův rozvoj Monotónnost funkce Etrémní hodnoty funkcí Konvenost a konkávnost funkce, inflení body Asymptoty grafu funkce Průběh funkce i

4 ii OBSAH 7 Integrální počet 7 7. Neurčitý integrál, základní vzorce Substituční metoda Integrace metodou per partes Integrace racionálních funkcí Integrace goniometrických funkcí Integrace iracionálních funkcí Určitý Riemannův integrál Geometrické aplikace určitého integrálu

5 Kapitola Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických výrazů, mocniny, odmocniny, rozklad mnohočlenů... Upravte algebraické výrazy: a) b) ( > ) c) (a b) + ab (a + b) ab : a 5 + b 5 + a b + a b (a + b + a b + ab )(a b ) a b... Upravte a udejte podmínky eistence výrazů: ( a b ) ( ) a b a) a + b : a + b ; a b, a b ab b) a 4a 4 4a 6 a 4 : ( a) 4 ; a, a ± a a a c) 5 a 4 : a a 5 a ; a > a a ( + y ) ( + y ) + y y d) ( ) ( ) y ;, y, ±y ( + y)( y) y ( a ab + b ) ( a ab + b e) (a b) a ab + b b ) ; a ; a b a... Rozložte na součiny, resp. upravte krácením: a) ( ) 5;

6 . Příklady k opakování středoškolské látky b) c) ( 5 ; 5) ( 5)( + ) ( ; ). Rovnice a nerovnice. Absolutní hodnota reálného čísla. Soustavy rovnic... Řešte v R: a) a a = a a ; a b) y + 4 y + 7y 8 8 y y = y y + 4 nemá řešení c) 8 = 4... Řešte v R: a) y = y nemá řešení b) + = {, 4}... Zjistěte, která vyhovují nerovnici v oboru reálných čísel a) + 9 > 4 + < 6 b) + < ( ; ) ( ; + ) c) + 4 d) Řešte v R nerovnice ( ; 4) ; + ) ( ; 5 a) + (, 4 b) (, (, ) c) 5 ) ; 5 d) 5 + >..5. V R R řešte soustavu rovnic ( 7; ) y + = y = ; y = 6; Sestrojte kartézské grafy soustavy nerovnic: + y y 7

7 .. Logaritmy. Logaritmické a eponenciální rovnice..7. Která reálná vyhovují rovnici a) + 5 = b) + = c) = d) + 9 = nemá řešení e) ( + )( 5) 7 =..8. V R řešte nerovnici: + > < ; >..9. V množině celých čísel určete obor pravdivosti výrokové formy a) + = + 5 {} b) {,,,, }. Logaritmy. Logaritmické a eponenciální rovnice... Řešte rovnice 5 a) ( 4 9 ) ( 7 8 ) = log 4 log 8 7 b) 7 = 8 5 c) = Určete všechna řešení rovnic v oboru reálných čísel: a) log = ; b) (log ) log + = 9; c) log( ) + log( + ) = log + log( ) 5; 9 d) log( + ) log( ) = log 4 8 e) log ( ) log ( ) = 5.4 Goniometrie. Goniometrické rovnice.4.. Zjednodušte výrazy a určete, kdy jsou reálné: a) b) c) d) + tg + cotg cos + sin sin cos sin cos + tg + + cotg tg ; k π, k Z} sin ; π + kπ, k Z} cos ; k π, k Z ; k π, k Z

8 4. Příklady k opakování středoškolské látky.4.. Řešte v R rovnice a) sin = tg = kπ; = π 4 + k π, k Z b) sin + cos = 5 sin cos. = 56 + kπ; = π 4 + kπ, k Z c) (tg ) (sin ) = tg d) tg = cotg e) sin = sin kπ; = π + kπ; 5π + kπ, k Z = ± π + kπ, k Z = kπ; = π + kπ; = 5π + kπ, k Z.4.. Lanovka má přímou trat délky 45 m a stoupá pod úhlem o velikosti 4. Jaký je výškový rozdíl mezi horní a dolní stanicí? 79, 6 m.4.4. Na vodorovné rovině stojí 65 m vysoká věž a továrenský komín. Z vrcholu věže vidíme patu komína v hloubkovém úhlu α = 9 a od paty věže vidíme vrchol komína ve výškovém úhlu β = 7 4. Jak vysoký je komín? 4 m.4.5. Určete velikost všech úhlů a stran trojúhelníka, pro nějž platí: α =, b =, a = 5 β = 9, γ = 6, c = Z bodu ležícího ve výšce h nad horizontální rovinou jdoucí patou věže vidíme vrchol věže ve výškovém úhlu α, patu věže v hloubkovém úhlu β. Jak vysoká je věž? h( + tgα cotg β).4.7. Těsně u břehu řeky stojí budova, z jejíchž oken nad sebou vzdálených h metrů je vidět bod na protějším břehu v hloubkových úhlech α, β (α > β). Jak široká je řeka? h cos α cos β sin(α β).4.8. Po přímé cestě se přesouvá vojenská kolona. Pozorovatel na stanovišti A, které leží mimo cestu, zjistil radiolokátorem, že vzdálenost místa A od čela kolony U je 4 5 m, vzdálenost A od konce kolony V je 84 m a velikost úhlu UAV je. Vypočítejte délku kolony. 6 m.4.9. Hlídce byl určen pochodový úhel o velikosti, po 7 km byl změněn směr pochodu na úhel o velikosti 75. Tímto směrem prošla hlídka dalších 8 km. Jaká je vzdálenost hlídky vzdušnou čarou od výchozího bodu?, 9 km

9 Kapitola Množiny. Operace s množinami... Výčtem prvků zapište množiny: a) { Z : + < }, b) { R : }, c) { L : ( je studentem. ročníku oboru PTA) ( je dívka)}, kde L značí množinu všech lidí. Řešení: a) Řešením nerovnice + < jsou všechna reálná čísla z intervalu ( ; + ) ; v tomto intervalu leží celá čísla 4,,, tj. { Z : + < } = { 4; ; }. b) Zřejmě { R : } = {}. c) Ve složené závorce je potřeba vyjmenovat všechny dívky studující v. ročníku obor PTA.... Necht A = (; 5) (otevřený interval), B = {; 4; 5; 6}. Zapište množiny: a) A B, {; 4} b) A B, (; 5 {6} c) A B, (; ) (; 4) (4; 5) d) B A, {5; 6} e) A R, ( ; 5; + ) f) B R. ( ; ) (; 4) (4; 5) (5; 6) (6; + )... Jsou dány množiny A = { R : < }, B = { R : + }. Zapište pomocí intervalů: a) A, ; ) b) B, ( ; 5 ; + ) c) A B, ( ; 5 ; + ) d) A B. ; )..4. Necht A = {; ; 4; 7; ; 6}, B = {; ; 7; }, C = {; 6; ; 9}. Určete a) A B, {; ; ; 4; 7; ; ; 6} 5

10 6. Množiny b) B C, {; ; 6; 7; ; ; 9} c) A B C, ; ; ; 4; 6; 7; ; ; 6; 9 d) A B, {; 7} e) A C, {; } f) A B C. {}..5. Necht A = {a; c}, B = {b; d; c}. Utvořte kartézské součiny a) A B, {(a; b), (a; d), (a; c), (c; b), (c; d), (c; c)} b) B A. {(b; a), (b; c), (d; a), (d; c), (c; a), (c; c)}..6. Jsou dány množiny A = {; ; } a B = {; 5}. Výčtem prvků zapište kartézský součin množin A B. {(; ), (; ), (; ), (; 5), (; 5), (; 5)}..7. Jakou množinu v prostoru opatřeném kartézskou souřadnou soustavou vyplní všechny body, jejichž souřadnice (tj. uspořádané trojice reálných čísel) jsou z kartézského součinu intervalů a, b c, d e, f?..8. Jsou dány množiny A = { 4; ; 4} a B = 4; 4). Určete a) A B, 4; 4 b) A B, {; 4} c) A B, {4} d) B A, ( 4, ) (, 4) e) načrtněte A B...9. Jsou dány množiny A = { ; ; ; } a B = ; 5). Určete a) A B, ; 5) b) A B, { ; ; ; } c) A B, d) B A, ; ) ( ; ) ( ; ) (; ) (; 5) e) A B, B A f) A R, ( ; ) ( ; ) ( ; ) (; ) (; + ) g) B A, h) B R, ( ; ) 5; + ) i) načrtněte A B a B A.... Užitím Vennových diagramů rozhodněte, zda pro libovolné podmnožiny A, B, C dané základní množiny platí: a) (A B) B = A B, platí b) A B = A B, neplatí c) C (A B) = (A C) (C B). platí... Dokažte, že pro libovolné dvě množiny A, B platí: a) A = (A B) (A B), b) A B = (A B) (A B) (B A).

11 .. Binární relace, zobrazení 7 Řešení: Množinová rovnost M = N se dokazuje bud tak, že ukážeme: M N, nebo tak, že použijeme zřejmého tvrzení (M = N) (M N N M) a dokazujeme:. M N (tj. M N),. N M (tj. N M). a) ( A) ( A ( / B B)) (( A / B) ( A B)) ( (A B) A B) ( (A B) (A B)). b) ( A B) ( A B) (( A ( / B B)) ( B ( / A A))) ((( A / B) ( A B)) (( B / A) ( B A)) ( (A B) (A B) (B A) (B A)) ( (A B) (A B) (B A)) ( (A B) (A B) (B A)).. Binární relace, zobrazení... Graficky znázorněte binární relaci {(, y) R : + y 4 }. Řešení: viz obr..(a).... Najděte pravidlo určující binární relaci na R, která je dána šedě zvýrazněnou (otevřenou) podmnožinou roviny na obr..(b), (c), (d). Řešení: S elementárními znalostmi rovinné analytické geometrie snadno zjistíme: a) {(, y) R : < y}, b) {(, y) R : ( + y < )}, c) {(, y) R : < y < }.... Necht zobrazení f :, + ) 4, + ) je dáno předpisem f() = + 4. Najděte předpis definující inverzní zobrazení f. Řešení: Zobrazení f je zřejmě vzájemně jednoznačné (speciálně prosté), a tedy inverzní zobrazení k němu eistuje. Přitom: f (y) = f() = y + 4 = y. My ale potřebujeme hodnotu f (y) (tj. ) vyjádřit v závislosti na y, tedy z předpisu y = + 4, definujícího zobrazení f, potřebujeme spočítat v závislosti na y. y = + 4 = y 4 (bereme + y 4, nebot víme, že, + )). Hledaný předpis tedy je: f (y) = y Jaká podmnožina roviny opatřené kartézskou souřadnou soustavou (tj. R R) definuje následující binární relace na R? a) {(, y) R : + y = } kružnice se středem v počátku a poloměrem b) {(, y) R : y } celá rovina bez souřadnicových os..5. Je dána množina A = { ; ; ; ; }. Znázorněte graficky binární relace a) R = {(, y) A A : > y}, b) S = {(, y) A A : y < }, c) T = R S.

12 8. Množiny. Uspořádané množiny... Najděte v R maimum, minimum, supremum a infimum (pokud eistují) množin: a) (; ),,,, b) ;,,,, c) množina všech záporných čísel,,,, d) (; + ),,,, e) (; 4, 4,, 4, f) {; ; } ;...,,,, g) { 8 }, n N., 6, 8, 6 n n=... Najděte maimum, minimum, supremum, infimum množiny M, jejíž prvky tvoří čísla tvaru n + ma n +, n N. M = sup M =, min M =, inf M =... V Z určete horní a dolní závoru množiny M = { ; ; }. horní závora:,,..., dolní závora:,, Je dán interval I = ; ). Určete v Z a) horní závoru,, 4, 5,... b) dolní závoru,,,,... c) maimum, d) minimum, e) supremum, f) infimum.

13 .. Uspořádané množiny 9 y 8 y y y (a) (b) y.5.5 y 4 y (c) 4 (d) Obr..: K příkladům.. a...

14 . Množiny

15 Kapitola Funkce Funkce je každé zobrazení f množiny A do číselné množiny B R, tzn. funkce je předpis, který každému prvku a A jednoznačně přiřadí číslo b B. Množině A říkáme definiční obor funkce a její prvek nazýváme nezávisle proměnnou nebo argumentem. Množině B říkáme obor funkčních hodnot, jejím prvkům závisle proměnné nebo hodnoty funkce. Jsou-li A, B množiny reálných čísel, mluvíme o funkci jedné reálné proměnné, zapisujeme obvykle y = f(); A, y B. Přehled základních vlastností funkcí je uveden v tabulce.. Graf funkce y = f() je množina všech bodů v rovině o souřadnicích ; f(). Na obr...5 jsou znázorněny grafy elementárních funkcí. Všimněte si, že graf sudé funkce je osově symetrický podle osy y, graf liché funkce je symetrický podle počátku soustavy souřadnic. Funkce rostoucí, neklesající, klesající a nerostoucí se nazývají monotónní, z nich pak funkce rostoucí a klesající jsou ryze monotónní. Je zřejmé, že ke každé ryze monotónní funkci eistuje funkce inverzní, nebot každá ryze monotónní funkce je prostá. Dále platí, že žádná sudá funkce není prostá.. Definiční obor funkce Hlavní zásady pro určování definičního oboru funkcí:. výraz ve jmenovateli musí být různý od nuly,. argument logaritmu musí být větší než nula,. výraz pod sudou odmocninou musí být nezáporný, 4. pro argument funkce tg musí platit: (k + ) π, pro cotg : kπ, k Z, 5. argument funkcí arcsin, arccos musí ležet v intervalu ; Určete definiční obor funkce y = sin + cos. Řešení: Funkce v čitateli i jmenovateli jsou definovány pro všechna, tedy jejich podíl je definován pro všechna taková, že jmenovatel je různý od nuly: sin + cos sin cos 4 π + kπ = π ( 4 + k )

16 . Funkce funkce požadavek na definiční obor definiční vlastnost příklady sudá D f D f f( ) = f(), cos lichá D f D f f( ) = f(), sin periodická p >, D f + p D f f( + p) = f() sin, cos rostoucí na I I D f je interval < na (; + ), f( ) < f( ), log neklesající na I I D f je interval < f( ) f( ) f() = konst. klesající na I I D f je interval < na ( ; ), f( ) > f( ), log nerostoucí na I I D f je interval < f( ) f( ) f() = konst. ohraničená na I I D f je interval eistuje A R tak, sin, cos, že f() < A na I arctg Tabulka.: Základní vlastnosti funkcí. Definičním oborem zadané funkce jsou tedy všechna reálná čísla kromě = 4 π + kπ, neboli { } D f = R 4 π + kπ, k Z.... Určete definiční obor funkce y = log( ) + 9. Řešení: Definiční obor součtu (rozdílu, součinu, podílu) funkcí, příp. složené funkce, je množina takových R, pro která jsou definovány všechny funkce, ze kterých se daná funkce skládá, je to tedy průnik definičních oborů jednotlivých funkcí. V našem případě musí platit:. jmenovatel zlomku různý od nuly: log( ). argument logaritmu větší než nula: > >. pod sudou odmocninou číslo nezáporné: 9 9/ Průnikem všech tří definičních oborů je (; ) (; 9/, definičním oborem dané funkce tedy je D f = (; ) (; 9/ Určete definiční obor funkce y = ( + ).

17 .. Definiční obor funkce Řešení:. Funkce pod sudou odmocninou musí být nezáporná: + 5 ( + ) + 5 5,. jmenovatel se nesmí rovnat nule: ( + ). Definiční obor celé (složené) funkce je průnik těchto výsledků: D f = 5; ) ( ; + )...4. Určete definiční obor funkcí: a) y = R {} b) y = 9 ( ; ; ) c) y = 5 R { ; } d) y = 4 + ( ; ) e) y = f) y = 5 + g) y = + h) y = i) y = j) y = k) y = l) y = + R R { } R R {8; } R ; 9 ; ) (; ) R ;..5. Určete definiční obor funkcí: a) y = b) y = 8 c) y = e R {} R {} d) y = log( + ) ( /; ) e) y = log ( + ) R f) y = log + 5 (5; ) 5 g) y = log ( 4 ) ( ; ) (; ) h) y = ln( + ) R ( ; ) ( ; ) i) y = log ( ; ) j) y = ln (4 ) ; +

18 4. Funkce k) y = ln R {} l) y = 4 + ln ( ) ( ; ) (; ) (; )..6. Určete definiční obor funkcí: a) y = cos b) y = sin R ( π 6 + kπ; 5π ) 6 + kπ, k Z c) y = cotg kπ, k Z d) y = tg (k + ) π 4, k Z e) y = tg ; (k + )π, k Z f) y = log sin (kπ; π + kπ), k Z g) y = ln sin( ) ( + kπ; π + + kπ), k Z h) y = log + + sin 5 + ( ; ) {} i) y = sin( 4) ln(7 + ) ( /7; ) {} j) y = tg ln ( ) R {; (k + ) π, k Z}..7. Určete definiční obor funkcí: a) y = 5 arcsin + b) y = arcsin(4 + ) ln( ) Dokažte, že funkce y = log je funkce rostoucí v celém svém definičním oboru. Řešení: Aby funkce f() byla rostoucí, musí platit: pro < je f( ) < f( ). Definiční obor naší funkce splňuje podmínku: > >. Pro libovolná < < platí: < log < log, protože log je funkcí rostoucí. Tedy daná funkce y = log je rostoucí. ;. Parita funkce... Určete, zda je funkce y = 4 Řešení: sudá nebo lichá. f( ) = 4 ( ) ( ) = 4 = 4 = f(). Daná funkce je lichá.

19 .. Perioda funkce 5... Rozhodněte o sudosti, resp. lichosti, funkcí: a) y = lichá b) y = sudá c) y = sudá d) y = + sudá e) y = + sudá f) y = + ani sudá, ani lichá g) y = ( ) ani sudá, ani lichá h) y = ( + ) ani sudá, ani lichá... Mezi následujícími funkcemi najděte funkce sudé a liché a) y = ani sudá, ani lichá b) y = lichá c) y = sudá d) y = sin lichá e) y = sin f) y = cos. Perioda funkce lichá sudá... Zjistěte, zda je funkce y = sin + cos periodická, a v kladném případě najděte její základní periodu. Řešení: Je-li funkce periodická, eistuje číslo p R takové, že pro všechna D f platí: Užitím součtových vzorců dostaneme sin + cos = sin( + p) + cos( + p). sin( + p) + cos( + p) = sin cos p + cos sin p + cos cos p sin sin p = cos p(sin + cos ) + sin p(cos sin ). Zřejmě musí platit: cos p = sin p = p = + kπ, p = π. Daná funkce je tedy periodická se základní periodou π.... Zjistěte, zda daná funkce je periodická, a případně najděte její základní periodu: a) y = cos b) y = sin c) y = sin d) y = sin e) y = sin π 4π π π f) y = sin není periodická π

20 6. Funkce.4 Inverzní funkce.4.. Dokažte, zda funkce y = je prostá a najděte funkci k ní inverzní. Sestrojte grafy obou funkcí. ) Řešení: Definiční obor: D f = ; +. Necht, ( ) jsou libovolná čísla z D f, pak platí:. Tedy funkce y = je prostá a eistuje k ní funkce inverzní. Získáme ji tak, že provedeme formální záměnu proměnných y: = y = y y = + = f (). Definiční obor inverzní funkce je totožný s oborem funkčních hodnot funkce dané a obor hodnot inverzní funkce je totožný s definičním oborem původní funkce D f = H f, H f = D f. V našem případě je tedy D f = ; + ) (maimální definiční obor funkce y = + ) je ovšem celé R) a H f = ; +. Grafy dané funkce f() a funkce k ní inverzní f () jsou vždy souměrné podle osy prvního a třetího kvadrantu y = (viz obr..). y 4 y y y 4 Obr..: K příkladu.4..

21 .5. Elementární funkce a jejich grafy Je dána funkce y =, ;. Dokažte, že f je funkce, určete D f a sestrojte graf inverzní funkce f. f = +, D f = 5; Určete, na kterých intervalech eistuje inverzní funkce k následujícím funkcím, a najděte ji: a) y = + 4 f = 4, R b) y = f =, ; ) c) y = d) y = + e) y = ln f =, R f =, ; + ) f = e, R f) y = f = log, (; ) ( ) g) y = f = log, (; ) 4 4 h) y = i) y = e j) y = 5 arcsin + f =, R f = ln, ( ; ) f = sin 5, 5 π; 5 + π.5 Elementární funkce a jejich grafy Elementární funkce můžeme rozdělit na polynomy, racionální lomené funkce, iracionální (inverzní k racionálním), eponenciální, logaritmické (inverzní k eponenciálním), goniometrické, cyklometrické funkce (inverzní ke goniometrickým). Přehled vlastností vybraných funkcí je uveden v tabulce. a.. Grafy elementárních funkcí jsou znázorněny na obr...5.

22 8. Funkce y 4 y 4 y y y y 4 y y 4 y y 4 y 4 y y Obr..: Grafy elementárních funkcí

23 .5. Elementární funkce a jejich grafy 9 y 4 y 4 y y Obr..: Grafy elementárních funkcí f() D f H f vlastnosti f () D f H f vlastnosti sin R ; spojitá, roste arcsin ; π ; π spojitá, roste cos R ; spojitá, klesá arccos ; ; π spojitá, klesá tg (k + ) π R spojitá, roste arctg R ( π ; π ) spojitá, roste cotg kπ R spojitá, klesá arccotg R (; π) spojitá, klesá Tabulka.: Goniometrické a cyklometrické funkce

24 . Funkce y sin y cos y y Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π y tg y y cotg y Π Π Π Π Π Π Π Π Obr..4: Goniometrické funkce y arcsin Π y y arccos Π y.5.5 Π Π.5.5 y arctg Π y y arccotg Π y 5 5 Π Π 5 5 Obr..5: Cyklometrické funkce

25 .5. Elementární funkce a jejich grafy y a a y 4 y a a y 4 y e y 4 y 4 y log a a y ln y log a a 4 4 Obr..6: Eponenciální a logaritmické funkce f() D f H f vlastnosti f () D f H f vlastnosti R (; + ) spojitá, roste log (; + ) R spojitá, roste ( ) R (; + ) spojitá, klesá log (; + ) R spojitá, klesá a R (; + ) spojitá spojitá roste (a > ) log a (; + ) R roste (a > ) klesá (a < ) klesá (a < ) Tabulka.: Eponenciální a logaritmické funkce

26 . Funkce f y 4 y 4 g f h f Obr..7: Řešení příkladu Sestrojte grafy funkcí: a) y = b) y = c) y = d) y = 4 f) y = g) y = e) y = h) y = Pomocí grafů známých elementárních funkcí sestrojte grafy funkcí: a) y = b) y = 5 c) y = 5 d) y = e) y = + 5 f) y = g) y = 5 h) y = ( ) i) y = ( ) Sestrojte grafy funkcí: a) f() = b) g() = f() c) h() = f().5.4. Sestrojte grafy funkcí: a) y = b) y = c) y = d) y = +

27 .5. Elementární funkce a jejich grafy y 4 y y =, y =, y =, y = Obr..8: K příkladům.5.. a y =, y =, y =.5.5. Sestrojte grafy následujících funkcí: a) y = b) y = c) y = d) y = e) y = + ( f) y = ).5.6. Sestrojte grafy funkcí: a) y = sin b) y = cos c) y = sin d) y = sin g) y = ( ) h) y = log i) y = log j) y = log k) y = log ( e) y = cos π ) ( f) y = cos + π ) 4 ( g) y = cos + π ) U následujících funkcí určete jejich definiční obor, obor hodnot, periodu, monotónnost. Dále zjistěte, zda jsou dané funkce prosté, ohraničené, sudé nebo liché, a sestrojte jejich graf. a) y = + b) y = ( ) c) y = cos d) y = ( + )

28 4. Funkce y y y y y y y y log 4 y log y log Obr..9: K příkladu.5.5. y y Π Π Π Π y = sin, y = sin, y = sin Π Π Π Π Π Π Π y = cos Π ( π Π ), y = cos Π Π ( + π 4 ) Π y y Π Π Π Π Π y = cos + Π Π Π Π Π Π Π y = cos Π ( + π 4 Π ) + Π Π y y Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π y = sin y = cos Obr..: K příkladu.5.6.

29 Kapitola 4 Posloupnosti 4. Pojem posloupnosti, rekurentní určení posloupnosti Posloupnost (a n ) n= je každá funkce definovaná na množině přirozených čísel Napište prvních pět členů posloupnosti dané vzorcem pro n-tý člen: ( ) a) n n= ( ) cos(nπ) b) n= ( ) n + c) n 5 n= ( ) d) ( ) n e) ( sin nπ n ) n= n= 4... Vyjádřete dané posloupnosti pomocí vzorce pro n-tý člen:,,, 4, 5,,,, 4, 7,,, 6 5, 8, 7, 64, 5,,,, a), 4, 4 5, 5 6,... ( n+ n+ b),,,,... např. ( cos(nπ)) n= ( c),, 9, 7, 8,... n ) n= d),, 4, 4 5, 5 ( ) 5 n 6 n+ n= (n e), 8, 7, 64, 5, 6 ) 6 n= 4... Je dána posloupnost (a n ) n=, a n = log n. Vyjádřete ji rekurentně. Řešení: Rekurentní určení posloupnosti je takový způsob zadání posloupnosti (a n ) n=, kdy je dán první člen (resp. první dva členy) a dále je k dispozici vzorec, pomocí něhož můžeme pro každé n N vypočítat člen a n+ na základě znalosti předchozího členu a n. V tomto případě pro každé n N je a n+ = log n+ = log ( n ) = log n + log = a n + log. Zkoumanou posloupnost lze tedy rekurentně zadat takto: a = log ; a n+ = a n + log. 5 ) n=

30 6 4. Posloupnosti Můžeme ji ovšem vyjádřit např. i tímto způsobem a = log ; a = log 9; a n+ = a n + log Posloupnosti vyjádřené vzorcem pro n-tý člen vyjádřete rekurentně: a) (log n ) n= a = log ; a n+ = log + a n b) (n + ) n= a = ; a n+ = a n + c) (n ) n= a = ; a n+ = a n + d) (n) n= a = ; a n+ = a n + e) ( n ) n= a = ; a n+ = a n f) (( ) n ) n= a = ; a n+ = a n Vypište prvních pět členů posloupnosti zadané rekurentně: a) a = ; a n+ = a n, n N, 6, 8, 54, 6 b) a = ; a = ; a n+ = a n+ a n, n N,,,, c) a = ; a = ; a n+ = a n+ a n, n N,,,, 4 d) a = ; a n+ = a n, n N, 4, 8, 6, Posloupnost (a n ) n= je určena rekurentně takto: a =, a n+ = a n, n N. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen. Řešení: Platí: a = a a = a a 4 = a a n = a n a n = a n Těchto n rovností mezi sebou vynásobíme a dostaneme a a a 4... a n a n = a a a... a n a n, čili a a a 4... a n a n = n a a a... a n a n. Žádný člen posloupnosti (a n ) n= není roven nule. Proto můžeme obě strany poslední rovnosti vydělit výrazem a a a 4... a n a n a dostaneme vztah pro a n : a n = n a. Víme, že a =, a tedy a n = n. Posloupnost (a n ) n= zapíšeme pomocí vzorce pro n-tý člen takto: ( n ) n= Dané posloupnosti jsou určeny rekurentně. Vyjádřete je vzorcem pro n-tý člen: a) a = ; a n+ = a n, n N () ( n= b) a = ; a n+ = a n, n N ( ) n ) n= c) a = 5; a n+ = a n + 4, n N (4n + ) ( n= d) a = ; a n+ = a n, n N n ) n= e) a = ; a n+ = + a n, n N ((n ) ) n= f) a = ; a n+ = a n, n N ( + ( ) n ) n=

31 4.. Aritmetická a geometrická posloupnost 7 4. Aritmetická a geometrická posloupnost Posloupnost (a n ) n= se nazývá aritmetická, právě když eistuje takové reálné číslo d, že pro každé přirozené číslo n je a n+ = a n + d, (4.) kde d se nazývá diference aritmetické posloupnosti. Platí a n = a + (n )d, a n = a n + a n+, (4.) Pro součet s n prvních n členů aritmetické posloupnosti platí r, s N : a s = a r + (s r)d. (4.) s n = n (a + a n ). (4.4) Posloupnost (a n ) n= se nazývá geometrická, právě když eistuje takové reálné číslo q, že pro každé přirozené číslo n je a n+ = a n q, (4.5) kde q se nazývá kvocient geometrické posloupnosti. Platí a n = a q n, a n = a n a n+, (4.6) Pro součet s n prvních n členů geometrické posloupnosti platí r, s N : a s = a r q s r. (4.7) q = : s n = n a, (4.8) q n q : s n = a q = a q n q. (4.9) 4... Vypočtěte žádané prvky aritmetické posloupnosti: a) d =, a n = 5, s n = 456, n =?, a =? n = 8, a = 99 b) a = 6, s = 95, a =?, d =? a =, d = 4... Určete aritmetickou posloupnost, u které platí: a + a 4 + a 6 = 7, a 5 a a = a = 5, d = Určete a a q u geometrické posloupnosti, u níž platí a) a + a 4 =, a + a = 48 a = 4, q =, a = 8, q = / b) a 7 a 5 = 48, a 6 + a 5 = 48, s n = a =, q =, n = Vypočítejte, kolik máte pra... prababiček. Řešení: Každý máme dva rodiče, čtyři prarodiče ( babičky a dědečky), osm praprarodičů (4 prababičky a 4 pradědečky), atd. Kolik máme (pra) n -babiček? Je to polovina z celkového počtu (pra) n+ -rodičů (uvažujeme jen ženy), výsledek tedy je: n+ = n+, n =,,... Limita pro n je nevlastní, počet pra... prababiček stále roste.

32 8 4. Posloupnosti Strany pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Delší odvěsna měří 4. Vypočtěte obvod trojúhelníka Stanovte takové číslo, aby zvětšeno postupně o 7, 5, 7 dalo tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti Buduje se hlediště letního kina přibližně pro diváků. Do první řady je plánováno 4 sedadel, do každé následující řady postupně o 4 sedadla více. Kolik řad sedadel bude mít hlediště? Část střechy domu má tvar lichoběžníku a je ji třeba pokrýt taškami. Víme, že do řady u hřebenu se vejde 85 tašek, do spodní řady při okapu tašek. Přitom tašky budou srovnány do řad tak, že v každé následující řadě bude o jednu tašku více než v řadě předchozí. Kolik je třeba tašek na pokrytí části střechy? Poločas rozpadu radia C (RaC) je přibližně minut. Počáteční hmotnost radia C je mg. Jaká bude hmotnost radia za hodiny? (Poločasem rozpadu nazýváme dobu, za kterou se rozpadne polovina počáteční hmotnosti radioaktivní látky.) 64 mg 4... Teplota Země roste do hloubky přibližně o C na metrů. Jaká je teplota na dně dolu 5 metrů hlubokého, je-li v hloubce 5 metrů teplota 9 C? 9 C 4... Světelný paprsek ztrácí při průchodu skleněnou deskou své intenzity. Jaká je intenzita ( paprsku po průchodu čtyřmi stejnými deskami? ) Určete součet všech přirozených čísel od do Vypočítejte součet všech sudých trojciferných přirozených čísel Množství dřeva v jedné lesní oblasti je odhadnuto na 5, 5 5 m, roční přírůstek je,%. Kolik krychlových metrů dřeva bude v této oblasti za tři roky? S těžbou se nepočítá.. = 5, 9 5 m Ve městě žilo na počátku roku 7 6 obyvatel. Kolik obyvatel lze očekávat na počátku roku, jestliže se roční přírůstek odhaduje na,8%? Kuřák prokouří ročně Kč. Kolik by uspořil za 5 let, kdyby tuto částku vždy počátkem roku ukládal na vkladní knížku při ročním úročení 8%? (Počítejte daň z úroků ve výši 5%.) Za kolik let klesne hodnota předmětu na méně než desetinu původní ceny, jestliže ročně odepisujeme 8% ceny předmětu z předchozího roku? Traktor jede po přímé silnici rychlostí m s. V okamžiku, kdy projíždí místem M, vyjíždí z tohoto místa týmž směrem osobní auto, které za první sekundu ujede m a za každou následující sekundu o m více než za předcházející sekundu. Vypočtěte, za kolik sekund auto dohoní traktor. 8 s Občan získal počátkem roku 7 od banky úvěr ke koupi bytu ve výši 4 Kč, a to na dobu šesti let s roční úrokovou mírou % (úrokovací období je rok). Úvěr bude splacen v šesti stejných ročních splátkách, první po jednom roce od poskytnutí úvěru. Kolik korun bude činit jedna splátka? Kolik korun celkem občan bance zaplatí? jedna splátka 9 84 Kč; celkem Kč

33 4.. Vlastnosti posloupností Banka poskytla podnikateli počátkem roku 7 úvěr ve výši 5 Kč, a to na dobu pěti let s roční úrokovou mírou,5% (úrokovací období je rok). Podnikatel bude dluh splácet pravidelně ve stejných ročních splátkách, první po jednom roce od poskytnutí úvěru. Vypočítejte výši jedné splátky. Řešení: Neznámou je výše jedné splátky, označme ji s Kč. Dluh podnikatele na konci roku 7 (banka si připsala úroky):.5 6 ( +.5) Kč Dluh na počátku roku 8 (po první splátce):.5 6 ( +.5) s Kč Dluh na počátku roku 9 (po připsání úroků z dluhu za rok 8 a po druhé splátce): (.5 6 ( +.5) s ) ( +.5) s Kč =.5 6 ( +.5) s( +.5) s Kč Dluh na počátku roku (po třetí splátce): (.5 6 ( +.5) s( +.5) s ) ( +.5) s Kč =.5 6 ( +.5) s( +.5) s( +.5) s Kč atd., dluh na počátku roku (po páté splátce):.5 6 ( +.5) 5 s( +.5) 4 s( +.5) s( +.5) s( +.5) s Kč Úvěr bude na počátku roku splacen, je tedy.5 6 (+.5) 5 s ( +.5) 4 + ( +.5) + ( +.5) + ( +.5) + = S využitím vzorce (4.9) pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti dostaneme Odtud je.5 6 ( +.5) 5 s ( +.5)5 ( +.5) = s =.5 6 ( +.5) 5.5 ( +.5) 5 s. = Výše jedné splátky činí Kč Občan si založil na konci roku 5 osobní konto s roční úrokovou mírou 6% a se čtvrtletním úrokovacím obdobím. Na konto ihned uložil 5 Kč a stejnou částku pak pravidelně ukládal na konci každého čtvrtletí roku 6, přitom z konta žádný obnos nevybral. Jak vysoká částka byla na jeho osobním kontě na konci roku 6? Daň z úroků je 5% Vkladatel měl na vkladní knížce s výpovědní lhůtou uloženo po dobu tří let 8 Kč. První dva roky byla úroková míra 6%, další rok 5,%. Jak vysokou částku bude mít na vkladní knížce na konci třetího roku, jestliže v průběhu celé úrokovací doby nevybral žádné úroky? Úrokovací období je jeden rok. 9 7 Kč

34 4. Posloupnosti posloupnost definiční vlastnost rostoucí n N : a n < a n+ klesající n N : a n > a n+ neklesající n N : a n a n+ nerostoucí n N : a n a n+ shora omezená k R; n N : a n k zdola omezená l R; n N : a n l Tabulka 4.: Základní vlastnosti posloupností 4. Vlastnosti posloupností Základní vlastnosti posloupností jsou shrnuty v tabulce 4.. Každá rostoucí posloupnost je neklesající. Každá klesající posloupnost je nerostoucí. Posloupnosti, které jsou nerostoucí nebo neklesající, se nazývají monotónní posloupnosti. Posloupnost se nazývá omezená, právě když je omezená shora i zdola Je dána posloupnost ( ). n n= a) Dokažte, že daná posloupnost je klesající. b) Rozhodněte, zda uvedená posloupnost je shora omezená, zdola omezená nebo omezená. c) Vyjádřete tuto posloupnost rekurentně. Řešení: a) Máme dokázat, že pro každé n N platí n + < neboli n + > n. Tato nerovnost n je pro každé n N pravdivá. Tím jsme dokázali, že daná posloupnost je klesající. b) Pro každé n N je n >, to znamená, že daná posloupnost je zdola omezená. Zároveň pro všechna n N platí. Proto je daná posloupnost také shora omezená. Z toho n plyne, že daná posloupnost je omezená. c) Pro n = dostaneme a =. Protože a n = n, a n+ =, platí pro každé n N n + a n+ = n + = = a n a + n +. a n