FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ. Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, FEI VŠB TU Ostrava.

Transkript

1 FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, FEI VŠB TU Ostrava 200

2 Upozornění Tyto stránky jsou pracovní verzí vznikajícího učebního textu; průběžně je měním (opravuji a doplňuji). Budu čtenářům vděčný za shovívavost a sdělení všech připomínek. Současně s tímto textem píšu i Sbírku příkladů z komplexní analýzy; doporučuji čtenáři, aby si probíranou látku procvičoval na těchto příkladech. Jiří Bouchala

3 3 Obsah. Komplexní čísla, rozšířená Gaussova rovina 5..Komplexníčísla Geometrická interpretace, argument komplexního čísla Nekonečno Okolíbodu Posloupnostikomplexníchčísel Komplexní funkce reálné a komplexní proměnné 2..Komplexnífunkce Některédůležitékomplexnífunkce Exponenciálnífunkce Goniometrickéfunkce Hyperbolickéfunkce Logaritmickáfunkce Obecnámocninnáfunkce Funkce n-táodmocnina Reálnáaimaginárníčástfunkce Limitafunkcekomplexníproměnné Spojitostfunkcekomplexníproměnné Komplexnífunkcereálnéproměnné.Křivky Derivace komplexní funkce komplexní proměnné Derivacefunkce Harmonické funkce, harmonicky sdružené funkce Poznámkake geometrickémuvýznamu derivace Konformní zobrazení Základnívlastnosti Lineárnílomenéfunkce

4 4 5. Integrál komplexní funkce. Cauchyho věty. Cauchyho vzorce Integrál komplexní funkce reálné a komplexní proměnné Cauchyhověty Cauchyhointegrálnívzorce Primitivní funkce, nezávislost integrálu na cestě Číselné řady. Posloupnosti a řady funkcí Číselnéřady Posloupnosti funkcí. Bodová a stejnoměrná konvergence Mocninné řady. Taylorovy řady Mocninnéřady Taylorovyřady Laurentovy řady. Klasifikace singulárních bodů Laurentovyřady Izolovanésingularityajejichklasifikace Laurentovařadaostředu,klasifikacebodu Rezidua. Reziduová věta Reziduumfunkceajehovýpočet Reziduovávěta Výpočet integrálů funkcí reálné proměnné pomocí reziduové věty Integrálytypu 2π 0 R(sinx,cos x)dx Integrálytypu P(x) Q(x) dx Literatura

5 5. Komplexní čísla, rozšířená Gaussova rovina.. Komplexní čísla. Připomeňme si: Komplexníčíslo zječíslotvaru z x+iy,kde x, y Rai 2 ; číslo x resp. y nazýváme reálnou resp. imaginární částí komplexního čísla z aznačímere zresp.im z. Speciálním případem komplexních čísel jsou čísla reálná a ryze imaginární. Reálná čísla z jsou charakterizovaná podmínkou Im z 0, ryze imaginární číslapodmínkourez0. Dvěkomplexníčísla z a z 2 serovnajíprávětehdy,mají-litytéžreálné a tytéž imaginární části, tj. z z 2 [ ] Re z Re z 2 Im z Im z 2. Prokaždékomplexníčíslo zx+iydefinujmejehoabsolutníhodnotu jako nezáporné(reálné!) číslo z x 2 + y 2 (Re z) 2 +(Imz) 2 a číslo komplexně sdružené vztahem z x iyre z iim z. Prokaždádvěkomplexníčísla z x + iy a z 2 x 2 + iy 2 definujeme z + z 2 (x + x 2 )+i(y + y 2 ), z z 2 (x x 2 )+i(y y 2 ), z z 2 (x x 2 y y 2 )+i(x y 2 + x 2 y ), aje-li z i,definujemetaky z z 2 z 2 2 (z z 2 ). Prokaždékomplexníčíslo z x+iyplatí: zz(x+iy)(x iy)x 2 (iy) 2 x 2 + y 2 z 2. Domluvmese:napíšeme-li z x+iy,myslímetím(nebude-liřečenojinak),že xre z RayIm z R.

6 6 Poznámka. Jedním ze zásadních rozdílů mezi reálnými a komplexními čísly je skutečnost,žekomplexníčíslanejsouuspořádaná.vztah z < z 2 nenímezikomplexnímičísly z a z 2 definován,nejsou-lioběčísla z a z 2 reálná. Příklad. UrčeteRe zaim z,je-li z 2+3i 2i. Řešení: aproto z 2+3i +2i 2i +2i 4+7i 5 Re z 4 5 a Im z i,.2. Geometrická interpretace, argument komplexního čísla. Protože zřejměexistujevzájemnějednoznačnývztahmezibody R 2 akomplexnímičísly: (x,y) x+iy, je přirozené znázorňovat si komplexní čísla jako body roviny. Množinu všech komplexních čísel budeme nazývat Gaussovou rovinou a značit C. S geometrickou interpretací souvisí i tzv. goniometrický tvar komplexního čísla z. Uvažujme z C, z 0.Pakzřejměexistuje ϕ Rtakové,že 2 z z (cos ϕ+isin ϕ). ( ) Zperiodicityfunkcísinacosvyplývá,žečíslo(úhel) ϕnenívztahem( )určeno jednoznačně. Definice. Množinu všech reálných čísel ϕ, pro něž platí rovnost( ), nazýváme argumentemkomplexníhočísla z C \ {0}aznačímeArg z,tj. Arg z def. {ϕ R: z z (cos ϕ+isinϕ)}. Poznámka. Je-li z 0,jei z 0arovnost( )platípřijakékolivvolbě ϕ R.Ztohotodůvoduargumentčísla0nenídefinován! Věta.. Buď z C \ {0}aϕ Arg z.potom Arg z {ϕ+2kπ: k Z}. 2 Bystrýčtenářnepřehlédnesouvislostspolárnímisouřadnicemi v R 2.

7 7 Důkaz. Zperiodicityfunkcísinacosazpředpokladu ϕ Arg zplyne,že {ϕ+2kπ: k Z} Arg z. Přesvědčmese,žeplatíiopačnáinkluse. Buď ψ Arg zlibovolnýbod. Chceme dokázat,žeexistuje k Ztakové,že ψ ϕ+2kπ. ϕ, ψ Arg z [ z z (cos ϕ+isin ϕ) z (cos ψ+ isin ψ) z 0 ] cos ϕcos ψ cos ϕ+isin ϕcos ψ+ isinψ sinϕsinψ cos2 ϕcos ψcos ϕ cos 2 ϕ+sin 2 ϕcos ψcos ϕ+sinψsinϕ sin 2 ϕsinψsinϕ cos(ψ ϕ) [ k Z: ψ ϕ2kπ ] [ k Z: ψ ϕ+2kπ ]. Definice. Takovou hodnotu argumentu ϕ Arg z, pro kterou platí π < ϕ π, nazýváme hlavní hodnotou argumentu komplexního čísla z C \ {0} a značíme arg z. Příklad. UrčeteArg zaarg z,je-li z 3 i. Řešení: Zřejmě 3 π+arcsin 2 π+ π 6 7π 6 aproto 4 Arg z, Arg z { 7π 6 +2kπ: k Z},arg z 5π Nekonečno. Podobně jako je v reálném oboru užitečné doplnit konečná reálná čísla o + a, ukazuje se i v komplexním oboru potřeba rozšířit Gaussovu rovinu C. Nejúčelnější je přidat pouze jediný bod; budeme jej značit a nazývat nekonečno. 3 Radačtenáři:nakresletesiobrázek. 4 VizVětu..apředcházejícídefinici.

8 8 Ukažmesiještějednugeometrickouinterpretacikomplexníchčísel 5,kteránám přiblíží volbu bodu. Uvažujme kulovou plochu umístěnou tak, že se dotýká svým jižnímpólem rovinykomplexníchčíselprávěvbodě0,aoznačmesijejí severnípól N.Nynípřiřaďmekaždémunenulovémukomplexnímučíslu zbod z ležícínadanékulovéplošetak,aby z bylprůsečíkemtétoplochyspřímkou spojující obraz čísla z s bodem N. Tímto způsobem získáme vzájemně jednoznačnou korespondenci mezi(konečnými) komplexními čísly a body dané kulové plochy(samozřejmě zmenšené o bod N). Všimněmesi,žečímvětšíje z,tímmenšíjevzdálenostbodů z a N dané sféry. ItonásvedektomupřidatkCpouzejedinýbod( ),jehožobrazempři výšepopsanéprojekcibudeprávěbod N. Množinu C { } ozn. C budeme nazývat rozšířenou(nebo taky uzavřenou) Gaussovou rovinou. Definujmenyníprokaždé z C: () z ± ± z, (2) z z,je-linavíc z 0, (3) z 0, (4) z 0,je-linavíc z 0, (5) z, (6) n, n 0, 0 n,je-li n N, (7), Okolí bodu. Definice. Okolímbodu z 0 C resp. spoloměrem ε R + rozumíme množinu U(z 0,ε){z C: z z 0 < ε} resp. množinu U(,ε){z C: z > ε } { }. Prstencovýmokolímbodu z C spoloměrem ε R + rozumímemnožinu P(z,ε)U(z,ε) \ {z}. 5 Tzv.stereografickouprojekci. 6 Pozor,nenídefinováno: ±,0, 0, 0 0,,Arg,arg.

9 Nezáleží-linámna velikosti okolí(tj.nakonkrétníhodnotě ε),píšemekrátce U(z)resp. P(z)amluvímeookolíresp.prstencovémokolíbodu z. Definice. Množina M C senazýváotevřená, obsahuje-liskaždýmsvým bodem i nějaké okolí tohoto bodu. Tzn. 9 M je otevřená def. ( z M)( U(z)): U(z) M. Příklady. a), CaC jsouotevřenémnožiny, b) {z C: z 3 < z+2 i }a{z C: Im z <}jsouotevřenémnožiny, c) {2+ 3i}, {z C: Re z+2im z7}a{z C: Im z } nejsou otevřené množiny..5. Posloupnosti komplexních čísel. Definice. Buď z C abuď(z n )posloupnostvc. 7 Řekneme,žeposloupnost (z n )málimitu zapíšemelim z n znebo z n z,platí-li ( ε R + ) ( n 0 N)( n N, n n 0 ): z n U(z,ε). Posloupnost(z n )nazvemekonvergentní,existuje-ličíslo z Ctakové,že lim z n z. Pozorování. Definice limity posloupnosti vlastně říká, že vně libovolného(tzn. jakkoliv malého )okolíbodu zležínejvýšekonečněmnohočlenůposloupnosti(z n ). Uvažujmeposloupnost(z n )abod zv C a přistereograficképrojekci odpovídající posloupnost(zn)abod z nakulovéploše 8 v R 3.Pakplatí z n z(v C ) zn z (v R 3 ). 7 PosloupnostívC rozumíme podobnějakoureálnýchposloupností zobrazenízndo C,jehoždefiničníoborobsahujevšechnadostvelká n N. 8 Vizkapitolu.3.

10 0 Věta.2. Nechť z n x n + iy n provšechnadostvelká n Nanechť z x+iy. Potom platí limz n z [ limx n x limy n y ]. Příklad. Určetelim (2n i)i n. Řešení: lim (2n i)i n ( ) lim n +2i lim n + ilim20+2i2i. Poznámka. Definice limity je formálně stejná jako definice limity reálných posloupností. Platí proto i analogie mnoha vět. Uveďme pro ilustraci některé z nich. Věta.3. Každá posloupnost komplexních čísel má nejvýš jednu limitu. Věta.4. Posloupnostkomplexníchčíselmálimitu z C právětehdy,když každá posloupnost z ní vybraná má tutéž limitu z. Věta.5. Je-liposloupnost(z n )konvergentníataková,žeprokaždé n Nje z n C,jeposloupnost(z n )omezená. 9 9 Tzn.,žeexistuje k R + takové,žeprokaždé n Nje z n k.

11 2. Komplexní funkce reálné a komplexní proměnné 2.. Komplexní funkce. Definice. Komplexní funkcí(komplexní proměnné) rozumíme každé zobrazení z C do množiny všech podmnožin C. Jinými slovy: komplexní funkcí f rozumímepředpis, pomocíněhožjekaždémučíslu z Df C 0 přiřazeno jednonebovícekomplexníchčíselzc.totonebotatokomplexníčíslaznačíme f(z)anazýváme f obrazemčísla z. Pokudjeprokaždé z Df množina f(z)jednoprvková,nazývámefunkci f jednoznačnou. Pokud tomu tak není, nazýváme funkci f mnohoznačnou, případně podle počtu prvků f(z) dvojznačnou, trojznačnou,..., nekonečněznačnou. Je-li Df R, nazýváme funkci f komplexní funkcí reálné proměnné. Úmluva. Zadáme-li funkci pouze předpisem, rozumíme jejím definičním oborem množinuvšechčíselzc,proněžmádanýpředpissmysl. Příklady. a) f(z) def. z 2... jednoznačnáfunkce, Df C ; b) f(z) def. Arg z... nekonečněznačnáfunkce, Df C \ {0}. Úmluva. Někdy budeme nepříliš přesně psát Arg zarg z+2kπ, k Z, místo správného zápisu Arg z {arg z+2kπ: k Z}. (Podobně i pro jiné mnohoznačné funkce.) 0 Nikohonepřekvapí,žemnožinu Dfnazývámedefiničnímoboremfunkce f. Například:definičnímoboremfunkce fdefinovanépředpisem f(z) def. z jemnožina Df C { }.

12 2 Definice. Buď f mnohoznačná funkce. Jednoznačnou funkci ϕ nazýváme jednoznačnou větví(mnohoznačné) funkce f, platí-li: () Dϕ Df, (2) z Dϕ: ϕ(z) f(z). Příklad. Funkce ϕ (z) def. arg z a ϕ 2 (z) def. arg z+2π jsou dvě navzájem různé jednoznačné větve funkce Arg Některé důležité komplexní funkce Exponenciálnífunkci definujemeprokaždé z x+iy Cpředpisem: 2 e z e x+iy def. e x (cos y+ isiny). Vlastnosti exponenciální funkce. (i)e z jefunkcejednoznačná. (ii)oboremhodnotfunkcee z je C \ {0}. (iii)funkcee z jeperiodickásperiodou2πi. ( e z+2πi e x+iy+2πi e x ( cos(y+2π)+isin(y+2π) ) ) e x (cos y+ isin y)e x+iy e z. 2 Pozornýčtenářmůžebýttoutodefinicízneklidněn,značímetotižsymbolem e dvěrůzné funkce: e z : C C \ {0} a e x : R R +. Nemusímesevšakbát,protožepro z x+0ixje e z e x+0i e x (cos0+isin0)e x ; jinakřečeno: komplexní exponenciálnífunkcejerozšířením reálné exponenciálnífunkcena C. Ze stejného důvodu nebudeme v dalším měnit označení ani některých jiných komplexních funkcí(např.sin, cos, sinh, cosh, ln,...).

13 Goniometrické funkce jsou definovány rovnostmi: sin z def. eiz e iz,cos z def. eiz +e iz, 2i 2 tg z def. sinz,cotg zdef. cos z cos z sinz. Vlastnosti goniometrických funkcí. (i) Všechny goniometrické funkce jsou jednoznačné. (ii)sin zacos zjsoufunkceperiodickésperiodou2π, tg zacotg zjsoufunkceperiodickésperiodou π. (iii)prokaždé z Cplatí: sin( z) sin z,cos( z)cos z, tg( z) tg z,cotg( z) cotg z. (iv)prokaždé z Cplatítzv.Eulerůvvzorec: e iz cos z+ isinz. (v) sinz0 [ k Z: z kπ ], cos z0 [ k Z: z π 2 + kπ]. Příklad. UrčeteRe zaim z,je-li zcos(4+i). Řešení: zcos(4+i) ei(4+i) +e i(4+i) 2 ( e cos4+isin4 ) +e ( cos( 4)+isin( 4) ) e +e 2 2 cos4+i e e 2 sin4, aproto Re zcoshcos4, Im z sinhsin4.

14 aproto 4 uln z [ k Z:v ϕ+2kπ ] Hyperbolické funkce definujeme předpisy: sinhz def. ez e z,cosh z def. ez +e z, 2 2 tghz def. sinhz,cotgh zdef. cosh z cosh z sinhz. Poznámka. Podobně jako v reálném oboru můžeme i pro komplexní funkce zavést pojem inverzní funkce. Na rozdíl od funkcí reálných však budeme definovat inverzní funkci i pro funkce, které nejsou prosté. V takovém případě pak bude příslušná inverzní funkce funkcí mnohoznačnou. Příkladem může být níže definovaná logaritmická funkce Logaritmickou funkci definujeme jako funkci inverzní k funkci exponenciální, tzn. Ln z def. {w C: e w z}. Zvlastnosti(ii)exponenciálnífunkce 3 vyplývá,žedefiničnímoboremfunkcelnz jemnožina C \ {0}. Buď z z (cos ϕ+isin ϕ), kde z >0aϕ R,apoložme Ln z u+iv. Potom je e u+iv z, tj. e u (cos v+ isin v) z (cos ϕ+isin ϕ), Zjistilijsme,žeprokaždé z C \ {0}je Ln zln z +i(ϕ+2kπ), k Z, neboli, že Ln zln z +iarg z. 3 Vizstranu2. 4 Symbol ln zdeznamenápřirozený logaritmus,tj.funkcizr + do R.

15 5 Příklad. Ln( +i)ln 2+ 3π 4 i+2kπi, k Z. Definice. Funkci hlavní hodnota logaritmu definujeme na C \ {0} předpisem lnz def. ln z +iarg z. Příklad. ln( i)ln 2 3π 4 i Obecnámocninnáfunkce. Připomeňmesi: je-li n Nresp. n N,je funkce z z n definovanápředpisem z n def. zzz...z } {{ } n-krát resp. z n def. z n. Definujmenynímocninnoufunkciipro a Ctakové,že ±a / N: z a def. {w C: we as, s Ln z} ozn. e aln z. Příklad. 2 i e iln2 e i(ln2+2kπi) e 2kπ+iln2 e 2kπ ( cos(ln2)+isin(ln2) ), k Z Funkci n-táodmocnina (n N, n )definujemepředpisem: n z def. {w C: w n z}. Cvičení. a) Dokažte,žeprokaždé0 z Ca < n Nplatí: n z z n ažefunkce z z n jeprávě n-značná. b) Dokažte,žepro a m n,kde m Z\{0}an Njsounavzájemnesoudělná čísla,jefunkce z z a právě n-značná. c) Dokažte,žepro a C \ Qjefunkce z z a nekonečněznačná.

16 6 Příklad. 4 ii 4 e 4 Ln i e 4 ( π 2 i+2kπi) e π 8 i+k π 2 i ( π ) ( π ) cos 8 + kπ + isin kπ, k {0,,2,3} Reálná a imaginární část funkce. Úmluva. Pokud nebude řečeno jinak, budeme pojmem komplexní funkce rozumět funkci jednoznačnou. Poznámka. Ukažmesi,jaklzekaždoukonečnoukomplexnífunkci f, 5 proniž platí Df C, vyjádřit pomocí dvou reálných funkcí dvou reálných proměnných. Definice. Buď f: C C. Funkci u: R 2 R resp. v: R 2 R definovanou na množině {(x,y) R 2 : x+iy Df} předpisem u(x,y) def. Re f(x+iy) resp. v(x,y) def. Im f(x+iy) nazýváme reálnou resp. imaginární částí funkce f. Skutečnost, že u resp. v je reálnou resp. imaginární částí funkce f budeme zapisovat symbolem f u+iv. Příklad. Najděme reálnou a imaginární část funkce f(z) def. z z. Řešení: f(z)f(x+iy) x+iy x iy x2 y 2 x 2 + y 2+ i 2xy x 2 + y 2, aproto f u+iv,kde u(x,y) def. x2 y 2 x 2 + y 2 a v(x,y) def. 2xy x 2 + y 2. 5 Tzn.,že f: C C.

17 Limita funkce komplexní proměnné. Úmluva. Píšeme-li z 0 z n z 0, myslímetím,že z n z 0 ažeprovšechnadostvelká n Nje z n C \ {z 0 }. Definice. Řekneme,žefunkce f: C C mávbodě z 0 C limitu a C apíšeme lim z z 0 f(z)a,platí-li: z 0 z n z 0 f(z n ) a. Věta2.. Nechť f: C C anechť z 0,a C.Potom lim z z 0 f(z)aprávě tehdy, platí-li: ( U(a))( P(z 0 ))( z P(z 0 )): f(z) U(a). Věta2.2. Nechť f u+iv: C Canechť z 0 x 0 + iy 0 a aα+iβ. Potom lim z z 0 f(z)aprávětehdy,platí-li: lim u(x,y)α lim v(x,y)β. (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Příklady. a) ( ) ( ) ( ) z i lim z i z 2 lim lim + z i z+ i x+iy i x+i(y+) ( ) x lim (x,y) (0,) x 2 +(y+) 2 ( ) x lim x+iy i x 2 +(y+) 2+ i (y+) x 2 +(y+) 2 ( ) (y+) + i lim (x,y) (0,) x 2 +(y+) i 2 i. b) lim arg z neexistuje,protože: z z n def. cos arg(z 2n ) π, arg(z 2n+ ) π. ) (π+ ( )n n + isin ) (π+ ( )n n,

18 Spojitost funkce komplexní proměnné. Definice. Řekneme,žefunkce f: C C jespojitávbodě z 0 C, platí-li: lim f(z)f(z 0 ). z z 0 Řekneme,žefunkce f jespojitánamnožině M C,platí-liprokaždé z 0 Mimplikace: z n z 0 n N: z n M } f(z n ) f(z 0 ). Řekneme, že funkce f je spojitá, je-li spojitá na svém definičním oboru. Věta2.3. Nechť f : C C anechť z 0 C. Potomnásledujícítvrzení jsou ekvivalentní: (i) (ii) (iii) fjespojitávbodě z 0, z n z 0 f(z n ) f(z 0 ), ( U(f(z 0 )))( U(z 0 ))( z U(z 0 )): f(z) U(f(z 0 )). Cvičení. Rozmysletesi,jakspolusouvisíspojitostfunkce f u+iv: C C sespojitostífunkcí u,v: R 2 R. Příklady. a) Funkcearg zneníspojitá,neboťneníspojitá(např.)vbodě. 6 b) Funkcearg zjespojitánamnožině {z C: z / R z 0}. 6 Vizpříkladb)nastraně7.

19 Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Buď f komplexnífunkcíreálnéproměnné,tj. buď f zobrazenímzrdo C. Podobně jako u komplexních funkcí komplexní proměnné můžeme i zde zavést pojem limity a spojitosti. Definice. Buď f: R C. Řekneme,žefunkce fmávbodě t 0 Rlimitu a C apíšeme lim t t0 f(t)a, platí-li: t 0 t n t 0 (v R) f(t n ) a. Řekneme,žefunkce fjespojitávbodě t 0 R, platí-li: lim f(t)f(t 0 ). t t 0 Řekneme,žefunkce f jespojitánamnožině M R,platí-liprokaždé t 0 Mimplikace: t n t 0 n N: t n M } f(t n ) f(t 0 ). Řekneme, že funkce f je spojitá, je-li spojitá na svém definičním oboru. Velice důležitou třídu spojitých funkcí tvoří křivky. Definice. KřivkouvC (resp.v C)rozumímekaždouspojitoukomplexnífunkci reálné proměnné kde I Dγ Rjeinterval. Množinu γ: I C (resp. γ: I C), γ def. γ(i){γ(t): t I} C paknazývámegeometrickýmobrazemkřivky γ. Je-li M γ,říkáme,že γje parametrizací množiny M. Pozorování a úmluva. Již jsme si všimli, že existuje vzájemně jednoznačný vztahmezibody R 2 abody C: (x,y) x+iy. Podobně si lze všimnout, že existuje vzájemně jednoznačný vztah mezi křivkami v R 2 akřivkamivc: γ(γ,γ 2 ) γ γ + iγ 2.

20 20 MůžemeprotoiprokřivkyvCpovažovatzaznámépojmyzavedenéprokřivky v R 2 (viz[2]).uveďmepropříkladněkteréznich:jednoduchákřivka,uzavřenákřivka, jednoduchá uzavřená křivka, opačně orientovaná křivka, hladký oblouk, po částech hladká křivka, počáteční a koncový bod křivky, derivace křivky v bodě, tečný vektorkřivky,... Cvičení. Znázorněte v Gaussově rovině geometrický obraz křivky γ, je-li a) γ(t) def. 2 3i+2e 2it, t 0, 3 4 π ; b) γ(t) def. 4e it, t 0, π 2, i(4+ π 2 t), t π 2,4+ π 2, t 4 π 2, t 4+ π 2,8+ π 2. Definice. MnožinaΩ C senazýváoblastí,platí-lisoučasnětytodvěpodmínky: ()Ωjeotevřenámnožina, 7 (2)Ωjesouvislámnožina(tzn.,žekaždédvabodyΩlzespojitkřivkouvΩ; přesněji: prokaždédvabody z,z 2 Ωexistujekřivka γ: a,b Ω taková,že γ(a)z, γ(b)z 2 ). Definice. Buď M C.Množinu K Mnazývámekomponentoumnožiny M, má-li současně tyto dvě vlastnosti: () K je souvislá množina; (2)je-li K Msouvislámnožinaobsahující K(tzn. K K ),je K K. 8 Poznámka. Dáseukázat, 9 žekaždámnožina M C jesjednocenímsystému všech svých komponent; tento systém je přitom disjunktní. Definice. OblastΩ C,jejíždoplněkvC (tj.množina C \Ω)máprávě n různých komponent, se nazývá n násobně souvislá oblast. Jednonásobně souvislá oblast se nazývá jednoduše souvislá oblast. 7 Vizstr.9. 8 Komponentoumnožinytedynazývámekaždoujejímaximální souvislou podmnožinu. 9 Viznapř.[5].

21 2 Příklady. a), C, C, U(z),kde z C,jsoujednodušesouvisléoblasti. b) P(z), C \ {z}, kde z C,jsoudvojnásobněsouvisléoblasti. c) U(,2002) \ {2,4,5+i}ječtyřnásobněsouvisláoblast. d) U(3,2) U(4i,3)neníoblast(nenísouvislá). e) C \ {z C: arg z 0, π 4 }neníoblast(neníotevřená).

22 22 3. Derivace komplexní funkce komplexní proměnné 3.. Derivace funkce. Definice. Buď f: C C. Derivacifunkce fvbodě z 0 Cdefinujemerovností existuje-li limita vpravo a je-li konečná. f (z 0 ) lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0, Řekneme,žefunkce fjeholomorfnínamnožiněω,je-liω Cotevřenámnožina aexistuje-li f (z)prokaždé z Ω. Řekneme,žefunkce f jeholomorfnívbodě z 0 C,je-li f holomorfnínanějakémokolíbodu z 0 (tj.má-liderivacivkaždémboděnějakéhookolí U(z 0 )). Poznámka. Všimněme si, že definice derivace je formálně totožná s definicí derivace reálné funkce reálné proměnné. Formálně stejné by byly formulace i důkazymnohavěto počítání derivací. 20 Nebudemejeprotouvádět. Věta3.. Má-lifunkce f: C Cderivacivbodě z 0 C,je fvbodě z 0 spojitá. Důkaz. Z předpokladu f (z 0 ) lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 C plyneexistenceprstencovéokolí P(z 0 )takového,žeplatí aprototaky z P(z 0 ): f(z) f(z 0 ) z z 0 < f (z 0 ) +, z P(z 0 ): 0 f(z) f(z 0 ) < ( f (z 0 ) + ) z z 0. Vezměmenynílibovolnouposloupnost(z n )takovou,že z n z 0. Zvýšeuvedenéhotvrzenípakvyplývá,že f(z n ) f(z 0 ) 0,aproto f(z n ) f(z 0 ). Právějsmedokázalispojitostfunkce fvbodě z Mámenamyslinapř.větyoderivovánísoučtu,rozdílu,součinu,podílu,složenéfunkce,... 2 VizVětu2.3.nastraně8.

23 Věta3.2. Funkce f u+ivmávbodě z 0 x 0 +iy 0 derivaciprávětehdy,platí-li tyto dvě podmínky: (i) uavjsoudiferencovatelnévbodě(x 0,y 0 ), 22 (ii) uavsplňujívbodě(x 0,y 0 )tzv.cauchyho Riemannovypodmínky: 23 u x (x 0,y 0 ) v y (x 0,y 0 ), u y (x 0,y 0 ) v x (x 0,y 0 ). Navíc,pokud f (z 0 )existuje,platí: f (z 0 ) u x (x 0,y 0 )+i v x (x 0,y 0 ) v y (x 0,y 0 ) i u y (x 0,y 0 ). Poznámka k výše uvedené větě. Vyjádření f pomocíparciálníchderivací funkcí u a v a z něho plynoucí Cauchyho Riemannovy podmínky by neměly být poprohlédnutínásledujícíchřádkůžádnýmpřekvapením. 23 Všimněmesi:existuje-li f (z 0 ),je f (z 0 ) lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 lim h 0 h R f(x 0 + h+iy 0 ) f(x 0 + iy 0 ) (x 0 + h+iy 0 ) (x 0 + iy 0 ) lim h 0 h R u(x 0 + h,y 0 )+iv(x 0 + h,y 0 ) u(x 0,y 0 ) iv(x 0,y 0 ) (x 0 + h x 0 )+i(y 0 y 0 ) u(x 0 + h,y 0 ) u(x 0,y 0 ) v(x 0 + h,y 0 ) v(x 0,y 0 ) lim + ilim h 0 h h 0 h u x (x 0,y 0 )+i v x (x 0,y 0 ), 22 Připomeňmesidůležitétvrzení-postačujícípodmínkudiferencovatelnosti: Buď ϕ: R 2 R.Jsou-lifunkce ϕ x a ϕ y spojitévbodě(x 0, y 0 ), jefunkce ϕdiferencovatelnávbodě(x 0, y 0 ). 23 Jetřebasiovšemdomysletsmyslvýrazůtypu: lim.... h 0 h R

24 24 apodobně f (z 0 ) lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 lim s 0 s R lim s 0 s R f(x 0 + i(y 0 + s)) f(x 0 + iy 0 ) (x 0 + i(y 0 + s)) (x 0 + iy 0 ) u(x 0,y 0 + s)+iv(x 0,y 0 + s) u(x 0,y 0 ) iv(x 0,y 0 ) (x 0 x 0 )+i(y 0 + s y 0 ) v(x 0,y 0 + s) v(x 0,y 0 ) lim + s 0 s i lim u(x 0,y 0 + s) u(x 0,y 0 ) s 0 s v y (x 0,y 0 ) i u y (x 0,y 0 ). Příklad. Zjistěte,vekterýchbodechmáfunkce f(z) def. e z derivaci,avyjádřete ji. Řešení:Prokaždé x+iy Cplatí: f(x+iy)e x+iy e x cos y } {{ } def. u(x,y) u x (x,y)ex cos y v y (x,y), +ie x siny } {{ } u y (x,y)ex siny v x (x,y)., def. v(x,y) Protožefunkce uavjsounavíczřejmědiferencovatelnévkaždémbodě(x,y) R 2, platíprokaždé z x+iy C: f (z)f (x+iy) u x (x,y)+i v x (x,y)ex cos y+ie x sinye x+iy f(x+iy)f(z) Harmonické funkce, harmonicky sdružené funkce. Definice. Buď M R 2 otevřenámnožina. Řekneme,žefunkce ϕ: R 2 Rje harmonickánamnožině M,platí-liprokaždýbod(x,y) Mtytodvěpodmínky: () ϕmávbodě(x,y)spojitévšechnyparciálníderivaceaždodruhéhořádu včetně, 24 (2) ϕ(x,y) def. 2 ϕ x 2 (x,y)+ 2 ϕ y 2 (x,y)0. 24 Tj. ϕjetřídy C 2 na M.

25 25 Příklad. a) Funkce ϕ(x,y) def. x+y+e x cos yjeharmonickána R 2. b) Funkce ϕ(x,y) def. Im ( ln(x+iy) ) neníharmonickána R 2 \ {(0,0)}. 25 Úmluva. V dalším budeme psát zkráceně(ale nepříliš přesně), že funkce ϕ je harmonickánamnožiněω C,místosprávného: funkce ϕjeharmonickána množině {(x,y) R 2 : x+iy Ω}. Pozorování. Předpokládejme,žefunkce f u+ivmávkaždémboděoblasti Ω Cderivacidruhéhořádu 26 ažefunkce uavjsoutřídy C 2 namnožině {(x,y) R 2 : x+iy Ω}. ZVěty3.2. pakplyne,žeprokaždýbod x+iy Ω platí: f (x+iy) u x (x,y)+i v v (x,y) (x,y) i u x y y (x,y), f (x+iy) 2 u x 2(x,y)+i 2 v x 2(x,y) 2 u y 2(x,y) i 2 v y 2(x,y). Zaměřme nyní svoji pozornost na poslední z uvedených rovností: porovnáním reálných a imaginárních částí zjistíme, že x+iy Ω: u(x,y)0 v(x,y), neboli,žefunkce uavjsounaoblastiωharmonické. Následující věta toto pozorování ještě zobecňuje. Věta3.3. Nechťfunkce f u+ivjeholomorfnínaoblastiω C. Pakfunkce uavjsouharmonickénaω. Definice. Řekneme,žefunkce u,v: R 2 Rjsouharmonickysdruženénaoblasti Ω C, platí-li současně: () uavjsouharmonickénaω, (2) u a v splňují na Ω Cauchyho Riemannovy podmínky. tj. 25 Otázkačtenáři:Proč? 26 Buď n N.Definujme(n+) níderivacifunkce f: C Cvbodě z 0 Cindukcí: existuje-li limita vpravo a je-li konečná. f (n+) (z 0 ) ( f (n)) (z0 ), f (n+) f (n) (z) f (n) (z 0 ) (z 0 ) lim, z z 0 z z 0

26 26 Pozorování. Všimněme si, že harmonicky sdružené funkce tvoří právě reálné a imaginární části holomorfních funkcí. Příklad. Najděte(existuje-li) holomorfní funkci f u + iv, je-li u(x,y) def. x 2 y 2 +2xy. Řešení:Hledejmefunkci v: R 2 R svázanou Cauchyho Riemannovýmipodmínkami s funkcí u: u v (x,y)2x+2y x y (x,y) v(x,y)2xy+ y2 + ϕ(x), kde ϕ: R R.NynídosaďmedodruhézCauchyho Riemannovýchpodmínek: aproto u v (x,y)2y 2x y x (x,y)2y+ ϕ (x), Snadnoselzepřesvědčit, 27 žefunkce ϕ(x) x 2 + c,kde c R, v(x,y)2xy+ y 2 x 2 + c. f(x+iy) def. x 2 y 2 +2xy+ i(2xy+ y 2 x 2 + c) jepřikaždévolbě c Rholomorfnína C. Věta 3.4. Nechť u resp. v je harmonická funkce na jednoduše souvislé oblasti Ω C. Potom existuje až na ryze imaginární resp. reálnou konstantu jednoznačně určenáfunkce f: C C taková,že fjeholomorfnínaω, prokaždé x+iy Ωplatí: u(x,y)re f(x+iy) resp. v(x,y)imf(x+iy). Cvičení. a) Najdětevšechnynaoblasti C \ {0}holomorfnífunkce f u+iv,kde b) Dokažte,žejefunkce v(x,y) def. y x 2 + y 2. v(x,y) def. ln(x 2 + y 2 ) harmonickánaoblasti C \ {0},ažepřestoneexistujefunkce u: R 2 R taková,aby f def. u+ivbylaholomorfnína C \ {0} 27 Stačíověřitpodmínky(i)a(ii)zVěty3.2.

27 3.3. Poznámkake geometrickémuvýznamu derivace. Předpokládejme, žejefunkce f: C Cholomorfnívbodě z 0 Caže 0 f (z 0 ) f (z 0 ) e iarg f (z 0 ). 27 Z definice derivace pak plyne, že lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 f (z 0 ) R +, aprotopro z blízké bodu z 0 ječíslo f(z) f(z 0 ) blízké číslu f (z 0 ) z z 0. Jinakřečeno:pro malá δ >0se f obrazkružnice {z C: z z 0 δ} málo liší odkružnice {w C: w f(z 0 ) f (z 0 ) δ}. Ukažme si nyní, jak lze geometricky interpretovat arg f (z 0 ). Buď γ libovolnýhladkýobloukvctakový,že γ(t 0 )z 0. Pakčísloarg γ (t 0 )udáváúhel, kterýsvírátečnývektor γ (t 0 )skladnoučástíreálnéosy. 28 Teďuvažujme(na dostatečněmalém okolíbodu t 0 korektnědefinovanou)křivkuγ(t) def. f(γ(t)) azkoumejmeodchylkutečnéhovektoruγ (t 0 )odkladnéčástireálnéosy,tj. argumentγ (t 0 ).ProtožeΓ (t 0 )f ( γ(t 0 ) ) γ (t 0 )f (z 0 )γ (t 0 ),je arg f (z 0 )+arg γ (t 0 ) ArgΓ (t 0 ). Jinakřečeno: čísloarg f (z 0 )udáváúhel,okterýjetřebaotočitsměrovývektor tečnyhladkéhooblouku γvbodě γ(t 0 )z 0 tak,abychomdostalisměrovývektor tečnykřivkyγ def. f γvboděγ(t 0 )f(z 0 ),přičemžnakonkrétnívolběkřivky γnezáleží. Tyto úvahy nás vedou k následující definici. Definice. Buďfunkce f: C Cholomorfnívbodě z 0 abuď f (z 0 ) 0. Číslo f (z 0 ) nazývámekoeficientemroztažnostifunkce fvbodě z Čísloarg f (z 0 )nazývámeúhlemotočenífunkce fvbodě z Kresletesiobrázek! 29 Je-linavíc f (z 0 ) <resp. f (z 0 ) >,mluvímeněkdyokontrakciresp.dilatacifunkce fvbodě z 0.

28 28 4. Konformní zobrazení 4.. Základní vlastnosti. Definice. Řekneme,žefunkce f: C C jekonformnínaotevřenémnožině G C,platí-li: () fjespojitáaprostána G, (2) f existujevevšechbodechmnožiny Gsvýjimkounejvýšekonečněmnoha. Cvičení. Rozmyslete si, na jakých oblastech jsou konformní funkce: e z,lnz,sinz, z 2, z 4,.... Definice. Řekneme,žeotevřenémnožiny G, G 2 C jsoukonformněekvivalentní,existuje-lifunkce f: C C taková,že () fjekonformnína G, (2) f(g )G 2. Vlastnosti konformních funkcí. (i)je-li fkonformnína G,je f (z) 0provšechna z Gsvýjimkounejvýše dvoubodů:bodu (pokudpatřído G)abodu(je-livGtakový),jehož f obrazemje. 30 (ii) Funkce inverzní ke konformnímu zobrazení je konformní. (iii) Obrazem oblasti při konformním zobrazení je oblast. (iv)rozdělmenynívšechnyjednodušesouvisléoblastivc dočtyřskupin:. skupina obsahuje pouze prázdnou množinu, 2.skupinaobsahujepouze C, 3.skupinaobsahujevšechnyoblastitvaru C \ {z 0 },kde z 0 C, 4.skupinaobsahujevšechnyostatníjednodušesouvisléoblasti. 3 Pakplatí:jednodušesouvisléoblastiΩ aω 2 jsoukonformněekvivalentní právě tehdy, patří-li obě do stejné skupiny. Prozkoumejme nyní podrobněji jeden velice důležitý typ konformních zobrazení. 30 Všimněmesi, žeodtudvyplývá, žekonformnífunkce f zachovává úhly mezi křivkami vycházejícímizbodu z 0 (z 0 G, z 0 f(z 0 )) vizgeometrickývýznamarg f (z 0 )na straně27.tétovlastnostifunkce fseříkákonformnostvbodě z 0. 3 Tzn. všechnyneprádnéjednodušesouvisléoblasti,jejichždoplněkobsahujealespoň dva body.

29 Lineární lomené funkce. Definice. Lineárnílomenoufunkcírozumímekaždézobrazení f : C C, kněmužexistujíčísla a, b, c, d Ctaková,že ad bc 0aže f(z) { az+b cz+d, je-li z C, a c, je-li z. Vlastnosti lineárních lomených funkcí. (i)lineárnílomenéfunkcejsoujedinákonformnízobrazení C na C. (ii) Inverzní zobrazení k lineární lomené funkci je lineární lomená funkce. (iii) Obrazem zobecněné kružnice při lineárním lomeném zobrazení je zobecněná kružnice.(zobecněnou kružnicí rozumíme kružnici(v C) nebo přímku ktépočítámeibod.) (iv)nechť každá z množin {z,z 2,z 3 }, {w,w 2,w 3 } obsahuje tři navzájem různáčíslazc. Pakexistujeprávějednalineárnílomenáfunkce f, pronižje f(z )w, f(z 2 )w 2 a f(z 3 )w 3. (v) Speciálním případem lineárních lomených zobrazení jsou lineární funkce, tj.funkcedefinovanépředpisem f(z) def. az+ b,kde a,b C, a Příklad. Najděte obraz kružnice přizobrazení f(z) def. z. K {z C: z } Řešení: Protožeprobody0,2,+i Kplatí: f(0), f(2) 2, f(+i) 2 2i,jeobrazemkružnice Kpřímka:33 f(k){z C: Re z 2 } { }. 32 Rozmysletesi,žekaždoulineárnífunkcilzezískatsloženímtřízobrazení: otočení(z e iarg a z),stejnolehlosti(z a z)aposunutí(z z+ b). 33 Vizvlastnost(iii)lineárníchlomenýchfunkcí.

30 30 5. Integrál komplexní funkce. Cauchyho věty. Cauchyho vzorce. 5.. Integrál komplexní funkce reálné a komplexní proměnné. Věta 5.. (Jordanova). Nechť γ je jednoduchá uzavřená křivka v C. Potom C \ γ Ω Ω 2, kdeω aω 2 jsoudvědisjunktní, 34 neprázdnéajednodušesouvisléoblasti,jejichž společnou hranicí je γ. Definice. UvažujmesituacizJordanovyvěty. TuzoblastíΩ,Ω 2,kteráneobsahuje,nazývámevnitřkemkřivky γaznačímeint γ,tu,která obsahuje, nazýváme vnějškem křivky γ a značíme ext γ. Definice. Buďfunkce f u+iv: R Cspojitánaintervalu a,b (a,b R; a < b). 35 Pakdefinujeme b a f(t)dt b a u(t)+iv(t)dt def. b a b u(t)dt+i v(t) dt. a Definice. Buď γ: a,b Cpočástechhladkákřivkaabuďfunkce f u+iv: C Cspojitána γ.pakdefinujeme 36 γ f(z)dz def. (γ) u(x,y)dx v(x,y)dy+ i v(x,y)dx+u(x,y)dy, (γ) kde integrály na pravé straně rovnosti jsou křivkové integrály 2. druhu(γ zde chápemejakokřivkuvr 2 ). Věta5.2. Nechť γ: a,b Cjehladkýobloukanechťfunkce f: C Cje spojitá na γ. Potom platí γ f(z)dz b a f(γ(t))γ (t)dt. 34 Tzn.Ω Ω Tzn.,žefunkce u(t) def. Re f(t), v(t) def. Im f(t): R Rjsouspojiténa a, b. 36 Pomůckaprosnadnějšízapamatování: f(z)dz(u+iv)(dx+idy)udx vdy+ i(vdx+udy).