FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ. Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, FEI VŠB TU Ostrava.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ. Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, FEI VŠB TU Ostrava. jiri.bouchala@vsb.cz. www.am.vsb."

Transkript

1 FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, FEI VŠB TU Ostrava 200

2 Upozornění Tyto stránky jsou pracovní verzí vznikajícího učebního textu; průběžně je měním (opravuji a doplňuji). Budu čtenářům vděčný za shovívavost a sdělení všech připomínek. Současně s tímto textem píšu i Sbírku příkladů z komplexní analýzy; doporučuji čtenáři, aby si probíranou látku procvičoval na těchto příkladech. Jiří Bouchala

3 3 Obsah. Komplexní čísla, rozšířená Gaussova rovina 5..Komplexníčísla Geometrická interpretace, argument komplexního čísla Nekonečno Okolíbodu Posloupnostikomplexníchčísel Komplexní funkce reálné a komplexní proměnné 2..Komplexnífunkce Některédůležitékomplexnífunkce Exponenciálnífunkce Goniometrickéfunkce Hyperbolickéfunkce Logaritmickáfunkce Obecnámocninnáfunkce Funkce n-táodmocnina Reálnáaimaginárníčástfunkce Limitafunkcekomplexníproměnné Spojitostfunkcekomplexníproměnné Komplexnífunkcereálnéproměnné.Křivky Derivace komplexní funkce komplexní proměnné Derivacefunkce Harmonické funkce, harmonicky sdružené funkce Poznámkake geometrickémuvýznamu derivace Konformní zobrazení Základnívlastnosti Lineárnílomenéfunkce

4 4 5. Integrál komplexní funkce. Cauchyho věty. Cauchyho vzorce Integrál komplexní funkce reálné a komplexní proměnné Cauchyhověty Cauchyhointegrálnívzorce Primitivní funkce, nezávislost integrálu na cestě Číselné řady. Posloupnosti a řady funkcí Číselnéřady Posloupnosti funkcí. Bodová a stejnoměrná konvergence Mocninné řady. Taylorovy řady Mocninnéřady Taylorovyřady Laurentovy řady. Klasifikace singulárních bodů Laurentovyřady Izolovanésingularityajejichklasifikace Laurentovařadaostředu,klasifikacebodu Rezidua. Reziduová věta Reziduumfunkceajehovýpočet Reziduovávěta Výpočet integrálů funkcí reálné proměnné pomocí reziduové věty Integrálytypu 2π 0 R(sinx,cos x)dx Integrálytypu P(x) Q(x) dx Literatura

5 5. Komplexní čísla, rozšířená Gaussova rovina.. Komplexní čísla. Připomeňme si: Komplexníčíslo zječíslotvaru z x+iy,kde x, y Rai 2 ; číslo x resp. y nazýváme reálnou resp. imaginární částí komplexního čísla z aznačímere zresp.im z. Speciálním případem komplexních čísel jsou čísla reálná a ryze imaginární. Reálná čísla z jsou charakterizovaná podmínkou Im z 0, ryze imaginární číslapodmínkourez0. Dvěkomplexníčísla z a z 2 serovnajíprávětehdy,mají-litytéžreálné a tytéž imaginární části, tj. z z 2 [ ] Re z Re z 2 Im z Im z 2. Prokaždékomplexníčíslo zx+iydefinujmejehoabsolutníhodnotu jako nezáporné(reálné!) číslo z x 2 + y 2 (Re z) 2 +(Imz) 2 a číslo komplexně sdružené vztahem z x iyre z iim z. Prokaždádvěkomplexníčísla z x + iy a z 2 x 2 + iy 2 definujeme z + z 2 (x + x 2 )+i(y + y 2 ), z z 2 (x x 2 )+i(y y 2 ), z z 2 (x x 2 y y 2 )+i(x y 2 + x 2 y ), aje-li z i,definujemetaky z z 2 z 2 2 (z z 2 ). Prokaždékomplexníčíslo z x+iyplatí: zz(x+iy)(x iy)x 2 (iy) 2 x 2 + y 2 z 2. Domluvmese:napíšeme-li z x+iy,myslímetím(nebude-liřečenojinak),že xre z RayIm z R.

6 6 Poznámka. Jedním ze zásadních rozdílů mezi reálnými a komplexními čísly je skutečnost,žekomplexníčíslanejsouuspořádaná.vztah z < z 2 nenímezikomplexnímičísly z a z 2 definován,nejsou-lioběčísla z a z 2 reálná. Příklad. UrčeteRe zaim z,je-li z 2+3i 2i. Řešení: aproto z 2+3i +2i 2i +2i 4+7i 5 Re z 4 5 a Im z i,.2. Geometrická interpretace, argument komplexního čísla. Protože zřejměexistujevzájemnějednoznačnývztahmezibody R 2 akomplexnímičísly: (x,y) x+iy, je přirozené znázorňovat si komplexní čísla jako body roviny. Množinu všech komplexních čísel budeme nazývat Gaussovou rovinou a značit C. S geometrickou interpretací souvisí i tzv. goniometrický tvar komplexního čísla z. Uvažujme z C, z 0.Pakzřejměexistuje ϕ Rtakové,že 2 z z (cos ϕ+isin ϕ). ( ) Zperiodicityfunkcísinacosvyplývá,žečíslo(úhel) ϕnenívztahem( )určeno jednoznačně. Definice. Množinu všech reálných čísel ϕ, pro něž platí rovnost( ), nazýváme argumentemkomplexníhočísla z C \ {0}aznačímeArg z,tj. Arg z def. {ϕ R: z z (cos ϕ+isinϕ)}. Poznámka. Je-li z 0,jei z 0arovnost( )platípřijakékolivvolbě ϕ R.Ztohotodůvoduargumentčísla0nenídefinován! Věta.. Buď z C \ {0}aϕ Arg z.potom Arg z {ϕ+2kπ: k Z}. 2 Bystrýčtenářnepřehlédnesouvislostspolárnímisouřadnicemi v R 2.

7 7 Důkaz. Zperiodicityfunkcísinacosazpředpokladu ϕ Arg zplyne,že {ϕ+2kπ: k Z} Arg z. Přesvědčmese,žeplatíiopačnáinkluse. Buď ψ Arg zlibovolnýbod. Chceme dokázat,žeexistuje k Ztakové,že ψ ϕ+2kπ. ϕ, ψ Arg z [ z z (cos ϕ+isin ϕ) z (cos ψ+ isin ψ) z 0 ] cos ϕcos ψ cos ϕ+isin ϕcos ψ+ isinψ sinϕsinψ cos2 ϕcos ψcos ϕ cos 2 ϕ+sin 2 ϕcos ψcos ϕ+sinψsinϕ sin 2 ϕsinψsinϕ cos(ψ ϕ) [ k Z: ψ ϕ2kπ ] [ k Z: ψ ϕ+2kπ ]. Definice. Takovou hodnotu argumentu ϕ Arg z, pro kterou platí π < ϕ π, nazýváme hlavní hodnotou argumentu komplexního čísla z C \ {0} a značíme arg z. Příklad. UrčeteArg zaarg z,je-li z 3 i. Řešení: Zřejmě 3 π+arcsin 2 π+ π 6 7π 6 aproto 4 Arg z, Arg z { 7π 6 +2kπ: k Z},arg z 5π Nekonečno. Podobně jako je v reálném oboru užitečné doplnit konečná reálná čísla o + a, ukazuje se i v komplexním oboru potřeba rozšířit Gaussovu rovinu C. Nejúčelnější je přidat pouze jediný bod; budeme jej značit a nazývat nekonečno. 3 Radačtenáři:nakresletesiobrázek. 4 VizVětu..apředcházejícídefinici.

8 8 Ukažmesiještějednugeometrickouinterpretacikomplexníchčísel 5,kteránám přiblíží volbu bodu. Uvažujme kulovou plochu umístěnou tak, že se dotýká svým jižnímpólem rovinykomplexníchčíselprávěvbodě0,aoznačmesijejí severnípól N.Nynípřiřaďmekaždémunenulovémukomplexnímučíslu zbod z ležícínadanékulovéplošetak,aby z bylprůsečíkemtétoplochyspřímkou spojující obraz čísla z s bodem N. Tímto způsobem získáme vzájemně jednoznačnou korespondenci mezi(konečnými) komplexními čísly a body dané kulové plochy(samozřejmě zmenšené o bod N). Všimněmesi,žečímvětšíje z,tímmenšíjevzdálenostbodů z a N dané sféry. ItonásvedektomupřidatkCpouzejedinýbod( ),jehožobrazempři výšepopsanéprojekcibudeprávěbod N. Množinu C { } ozn. C budeme nazývat rozšířenou(nebo taky uzavřenou) Gaussovou rovinou. Definujmenyníprokaždé z C: () z ± ± z, (2) z z,je-linavíc z 0, (3) z 0, (4) z 0,je-linavíc z 0, (5) z, (6) n, n 0, 0 n,je-li n N, (7), Okolí bodu. Definice. Okolímbodu z 0 C resp. spoloměrem ε R + rozumíme množinu U(z 0,ε){z C: z z 0 < ε} resp. množinu U(,ε){z C: z > ε } { }. Prstencovýmokolímbodu z C spoloměrem ε R + rozumímemnožinu P(z,ε)U(z,ε) \ {z}. 5 Tzv.stereografickouprojekci. 6 Pozor,nenídefinováno: ±,0, 0, 0 0,,Arg,arg.

9 Nezáleží-linámna velikosti okolí(tj.nakonkrétníhodnotě ε),píšemekrátce U(z)resp. P(z)amluvímeookolíresp.prstencovémokolíbodu z. Definice. Množina M C senazýváotevřená, obsahuje-liskaždýmsvým bodem i nějaké okolí tohoto bodu. Tzn. 9 M je otevřená def. ( z M)( U(z)): U(z) M. Příklady. a), CaC jsouotevřenémnožiny, b) {z C: z 3 < z+2 i }a{z C: Im z <}jsouotevřenémnožiny, c) {2+ 3i}, {z C: Re z+2im z7}a{z C: Im z } nejsou otevřené množiny..5. Posloupnosti komplexních čísel. Definice. Buď z C abuď(z n )posloupnostvc. 7 Řekneme,žeposloupnost (z n )málimitu zapíšemelim z n znebo z n z,platí-li ( ε R + ) ( n 0 N)( n N, n n 0 ): z n U(z,ε). Posloupnost(z n )nazvemekonvergentní,existuje-ličíslo z Ctakové,že lim z n z. Pozorování. Definice limity posloupnosti vlastně říká, že vně libovolného(tzn. jakkoliv malého )okolíbodu zležínejvýšekonečněmnohočlenůposloupnosti(z n ). Uvažujmeposloupnost(z n )abod zv C a přistereograficképrojekci odpovídající posloupnost(zn)abod z nakulovéploše 8 v R 3.Pakplatí z n z(v C ) zn z (v R 3 ). 7 PosloupnostívC rozumíme podobnějakoureálnýchposloupností zobrazenízndo C,jehoždefiničníoborobsahujevšechnadostvelká n N. 8 Vizkapitolu.3.

10 0 Věta.2. Nechť z n x n + iy n provšechnadostvelká n Nanechť z x+iy. Potom platí limz n z [ limx n x limy n y ]. Příklad. Určetelim (2n i)i n. Řešení: lim (2n i)i n ( ) lim n +2i lim n + ilim20+2i2i. Poznámka. Definice limity je formálně stejná jako definice limity reálných posloupností. Platí proto i analogie mnoha vět. Uveďme pro ilustraci některé z nich. Věta.3. Každá posloupnost komplexních čísel má nejvýš jednu limitu. Věta.4. Posloupnostkomplexníchčíselmálimitu z C právětehdy,když každá posloupnost z ní vybraná má tutéž limitu z. Věta.5. Je-liposloupnost(z n )konvergentníataková,žeprokaždé n Nje z n C,jeposloupnost(z n )omezená. 9 9 Tzn.,žeexistuje k R + takové,žeprokaždé n Nje z n k.

11 2. Komplexní funkce reálné a komplexní proměnné 2.. Komplexní funkce. Definice. Komplexní funkcí(komplexní proměnné) rozumíme každé zobrazení z C do množiny všech podmnožin C. Jinými slovy: komplexní funkcí f rozumímepředpis, pomocíněhožjekaždémučíslu z Df C 0 přiřazeno jednonebovícekomplexníchčíselzc.totonebotatokomplexníčíslaznačíme f(z)anazýváme f obrazemčísla z. Pokudjeprokaždé z Df množina f(z)jednoprvková,nazývámefunkci f jednoznačnou. Pokud tomu tak není, nazýváme funkci f mnohoznačnou, případně podle počtu prvků f(z) dvojznačnou, trojznačnou,..., nekonečněznačnou. Je-li Df R, nazýváme funkci f komplexní funkcí reálné proměnné. Úmluva. Zadáme-li funkci pouze předpisem, rozumíme jejím definičním oborem množinuvšechčíselzc,proněžmádanýpředpissmysl. Příklady. a) f(z) def. z 2... jednoznačnáfunkce, Df C ; b) f(z) def. Arg z... nekonečněznačnáfunkce, Df C \ {0}. Úmluva. Někdy budeme nepříliš přesně psát Arg zarg z+2kπ, k Z, místo správného zápisu Arg z {arg z+2kπ: k Z}. (Podobně i pro jiné mnohoznačné funkce.) 0 Nikohonepřekvapí,žemnožinu Dfnazývámedefiničnímoboremfunkce f. Například:definičnímoboremfunkce fdefinovanépředpisem f(z) def. z jemnožina Df C { }.

12 2 Definice. Buď f mnohoznačná funkce. Jednoznačnou funkci ϕ nazýváme jednoznačnou větví(mnohoznačné) funkce f, platí-li: () Dϕ Df, (2) z Dϕ: ϕ(z) f(z). Příklad. Funkce ϕ (z) def. arg z a ϕ 2 (z) def. arg z+2π jsou dvě navzájem různé jednoznačné větve funkce Arg Některé důležité komplexní funkce Exponenciálnífunkci definujemeprokaždé z x+iy Cpředpisem: 2 e z e x+iy def. e x (cos y+ isiny). Vlastnosti exponenciální funkce. (i)e z jefunkcejednoznačná. (ii)oboremhodnotfunkcee z je C \ {0}. (iii)funkcee z jeperiodickásperiodou2πi. ( e z+2πi e x+iy+2πi e x ( cos(y+2π)+isin(y+2π) ) ) e x (cos y+ isin y)e x+iy e z. 2 Pozornýčtenářmůžebýttoutodefinicízneklidněn,značímetotižsymbolem e dvěrůzné funkce: e z : C C \ {0} a e x : R R +. Nemusímesevšakbát,protožepro z x+0ixje e z e x+0i e x (cos0+isin0)e x ; jinakřečeno: komplexní exponenciálnífunkcejerozšířením reálné exponenciálnífunkcena C. Ze stejného důvodu nebudeme v dalším měnit označení ani některých jiných komplexních funkcí(např.sin, cos, sinh, cosh, ln,...).

13 Goniometrické funkce jsou definovány rovnostmi: sin z def. eiz e iz,cos z def. eiz +e iz, 2i 2 tg z def. sinz,cotg zdef. cos z cos z sinz. Vlastnosti goniometrických funkcí. (i) Všechny goniometrické funkce jsou jednoznačné. (ii)sin zacos zjsoufunkceperiodickésperiodou2π, tg zacotg zjsoufunkceperiodickésperiodou π. (iii)prokaždé z Cplatí: sin( z) sin z,cos( z)cos z, tg( z) tg z,cotg( z) cotg z. (iv)prokaždé z Cplatítzv.Eulerůvvzorec: e iz cos z+ isinz. (v) sinz0 [ k Z: z kπ ], cos z0 [ k Z: z π 2 + kπ]. Příklad. UrčeteRe zaim z,je-li zcos(4+i). Řešení: zcos(4+i) ei(4+i) +e i(4+i) 2 ( e cos4+isin4 ) +e ( cos( 4)+isin( 4) ) e +e 2 2 cos4+i e e 2 sin4, aproto Re zcoshcos4, Im z sinhsin4.

14 aproto 4 uln z [ k Z:v ϕ+2kπ ] Hyperbolické funkce definujeme předpisy: sinhz def. ez e z,cosh z def. ez +e z, 2 2 tghz def. sinhz,cotgh zdef. cosh z cosh z sinhz. Poznámka. Podobně jako v reálném oboru můžeme i pro komplexní funkce zavést pojem inverzní funkce. Na rozdíl od funkcí reálných však budeme definovat inverzní funkci i pro funkce, které nejsou prosté. V takovém případě pak bude příslušná inverzní funkce funkcí mnohoznačnou. Příkladem může být níže definovaná logaritmická funkce Logaritmickou funkci definujeme jako funkci inverzní k funkci exponenciální, tzn. Ln z def. {w C: e w z}. Zvlastnosti(ii)exponenciálnífunkce 3 vyplývá,žedefiničnímoboremfunkcelnz jemnožina C \ {0}. Buď z z (cos ϕ+isin ϕ), kde z >0aϕ R,apoložme Ln z u+iv. Potom je e u+iv z, tj. e u (cos v+ isin v) z (cos ϕ+isin ϕ), Zjistilijsme,žeprokaždé z C \ {0}je Ln zln z +i(ϕ+2kπ), k Z, neboli, že Ln zln z +iarg z. 3 Vizstranu2. 4 Symbol ln zdeznamenápřirozený logaritmus,tj.funkcizr + do R.

15 5 Příklad. Ln( +i)ln 2+ 3π 4 i+2kπi, k Z. Definice. Funkci hlavní hodnota logaritmu definujeme na C \ {0} předpisem lnz def. ln z +iarg z. Příklad. ln( i)ln 2 3π 4 i Obecnámocninnáfunkce. Připomeňmesi: je-li n Nresp. n N,je funkce z z n definovanápředpisem z n def. zzz...z } {{ } n-krát resp. z n def. z n. Definujmenynímocninnoufunkciipro a Ctakové,že ±a / N: z a def. {w C: we as, s Ln z} ozn. e aln z. Příklad. 2 i e iln2 e i(ln2+2kπi) e 2kπ+iln2 e 2kπ ( cos(ln2)+isin(ln2) ), k Z Funkci n-táodmocnina (n N, n )definujemepředpisem: n z def. {w C: w n z}. Cvičení. a) Dokažte,žeprokaždé0 z Ca < n Nplatí: n z z n ažefunkce z z n jeprávě n-značná. b) Dokažte,žepro a m n,kde m Z\{0}an Njsounavzájemnesoudělná čísla,jefunkce z z a právě n-značná. c) Dokažte,žepro a C \ Qjefunkce z z a nekonečněznačná.

16 6 Příklad. 4 ii 4 e 4 Ln i e 4 ( π 2 i+2kπi) e π 8 i+k π 2 i ( π ) ( π ) cos 8 + kπ + isin kπ, k {0,,2,3} Reálná a imaginární část funkce. Úmluva. Pokud nebude řečeno jinak, budeme pojmem komplexní funkce rozumět funkci jednoznačnou. Poznámka. Ukažmesi,jaklzekaždoukonečnoukomplexnífunkci f, 5 proniž platí Df C, vyjádřit pomocí dvou reálných funkcí dvou reálných proměnných. Definice. Buď f: C C. Funkci u: R 2 R resp. v: R 2 R definovanou na množině {(x,y) R 2 : x+iy Df} předpisem u(x,y) def. Re f(x+iy) resp. v(x,y) def. Im f(x+iy) nazýváme reálnou resp. imaginární částí funkce f. Skutečnost, že u resp. v je reálnou resp. imaginární částí funkce f budeme zapisovat symbolem f u+iv. Příklad. Najděme reálnou a imaginární část funkce f(z) def. z z. Řešení: f(z)f(x+iy) x+iy x iy x2 y 2 x 2 + y 2+ i 2xy x 2 + y 2, aproto f u+iv,kde u(x,y) def. x2 y 2 x 2 + y 2 a v(x,y) def. 2xy x 2 + y 2. 5 Tzn.,že f: C C.

17 Limita funkce komplexní proměnné. Úmluva. Píšeme-li z 0 z n z 0, myslímetím,že z n z 0 ažeprovšechnadostvelká n Nje z n C \ {z 0 }. Definice. Řekneme,žefunkce f: C C mávbodě z 0 C limitu a C apíšeme lim z z 0 f(z)a,platí-li: z 0 z n z 0 f(z n ) a. Věta2.. Nechť f: C C anechť z 0,a C.Potom lim z z 0 f(z)aprávě tehdy, platí-li: ( U(a))( P(z 0 ))( z P(z 0 )): f(z) U(a). Věta2.2. Nechť f u+iv: C Canechť z 0 x 0 + iy 0 a aα+iβ. Potom lim z z 0 f(z)aprávětehdy,platí-li: lim u(x,y)α lim v(x,y)β. (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Příklady. a) ( ) ( ) ( ) z i lim z i z 2 lim lim + z i z+ i x+iy i x+i(y+) ( ) x lim (x,y) (0,) x 2 +(y+) 2 ( ) x lim x+iy i x 2 +(y+) 2+ i (y+) x 2 +(y+) 2 ( ) (y+) + i lim (x,y) (0,) x 2 +(y+) i 2 i. b) lim arg z neexistuje,protože: z z n def. cos arg(z 2n ) π, arg(z 2n+ ) π. ) (π+ ( )n n + isin ) (π+ ( )n n,

18 Spojitost funkce komplexní proměnné. Definice. Řekneme,žefunkce f: C C jespojitávbodě z 0 C, platí-li: lim f(z)f(z 0 ). z z 0 Řekneme,žefunkce f jespojitánamnožině M C,platí-liprokaždé z 0 Mimplikace: z n z 0 n N: z n M } f(z n ) f(z 0 ). Řekneme, že funkce f je spojitá, je-li spojitá na svém definičním oboru. Věta2.3. Nechť f : C C anechť z 0 C. Potomnásledujícítvrzení jsou ekvivalentní: (i) (ii) (iii) fjespojitávbodě z 0, z n z 0 f(z n ) f(z 0 ), ( U(f(z 0 )))( U(z 0 ))( z U(z 0 )): f(z) U(f(z 0 )). Cvičení. Rozmysletesi,jakspolusouvisíspojitostfunkce f u+iv: C C sespojitostífunkcí u,v: R 2 R. Příklady. a) Funkcearg zneníspojitá,neboťneníspojitá(např.)vbodě. 6 b) Funkcearg zjespojitánamnožině {z C: z / R z 0}. 6 Vizpříkladb)nastraně7.

19 Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Buď f komplexnífunkcíreálnéproměnné,tj. buď f zobrazenímzrdo C. Podobně jako u komplexních funkcí komplexní proměnné můžeme i zde zavést pojem limity a spojitosti. Definice. Buď f: R C. Řekneme,žefunkce fmávbodě t 0 Rlimitu a C apíšeme lim t t0 f(t)a, platí-li: t 0 t n t 0 (v R) f(t n ) a. Řekneme,žefunkce fjespojitávbodě t 0 R, platí-li: lim f(t)f(t 0 ). t t 0 Řekneme,žefunkce f jespojitánamnožině M R,platí-liprokaždé t 0 Mimplikace: t n t 0 n N: t n M } f(t n ) f(t 0 ). Řekneme, že funkce f je spojitá, je-li spojitá na svém definičním oboru. Velice důležitou třídu spojitých funkcí tvoří křivky. Definice. KřivkouvC (resp.v C)rozumímekaždouspojitoukomplexnífunkci reálné proměnné kde I Dγ Rjeinterval. Množinu γ: I C (resp. γ: I C), γ def. γ(i){γ(t): t I} C paknazývámegeometrickýmobrazemkřivky γ. Je-li M γ,říkáme,že γje parametrizací množiny M. Pozorování a úmluva. Již jsme si všimli, že existuje vzájemně jednoznačný vztahmezibody R 2 abody C: (x,y) x+iy. Podobně si lze všimnout, že existuje vzájemně jednoznačný vztah mezi křivkami v R 2 akřivkamivc: γ(γ,γ 2 ) γ γ + iγ 2.

20 20 MůžemeprotoiprokřivkyvCpovažovatzaznámépojmyzavedenéprokřivky v R 2 (viz[2]).uveďmepropříkladněkteréznich:jednoduchákřivka,uzavřenákřivka, jednoduchá uzavřená křivka, opačně orientovaná křivka, hladký oblouk, po částech hladká křivka, počáteční a koncový bod křivky, derivace křivky v bodě, tečný vektorkřivky,... Cvičení. Znázorněte v Gaussově rovině geometrický obraz křivky γ, je-li a) γ(t) def. 2 3i+2e 2it, t 0, 3 4 π ; b) γ(t) def. 4e it, t 0, π 2, i(4+ π 2 t), t π 2,4+ π 2, t 4 π 2, t 4+ π 2,8+ π 2. Definice. MnožinaΩ C senazýváoblastí,platí-lisoučasnětytodvěpodmínky: ()Ωjeotevřenámnožina, 7 (2)Ωjesouvislámnožina(tzn.,žekaždédvabodyΩlzespojitkřivkouvΩ; přesněji: prokaždédvabody z,z 2 Ωexistujekřivka γ: a,b Ω taková,že γ(a)z, γ(b)z 2 ). Definice. Buď M C.Množinu K Mnazývámekomponentoumnožiny M, má-li současně tyto dvě vlastnosti: () K je souvislá množina; (2)je-li K Msouvislámnožinaobsahující K(tzn. K K ),je K K. 8 Poznámka. Dáseukázat, 9 žekaždámnožina M C jesjednocenímsystému všech svých komponent; tento systém je přitom disjunktní. Definice. OblastΩ C,jejíždoplněkvC (tj.množina C \Ω)máprávě n různých komponent, se nazývá n násobně souvislá oblast. Jednonásobně souvislá oblast se nazývá jednoduše souvislá oblast. 7 Vizstr.9. 8 Komponentoumnožinytedynazývámekaždoujejímaximální souvislou podmnožinu. 9 Viznapř.[5].

21 2 Příklady. a), C, C, U(z),kde z C,jsoujednodušesouvisléoblasti. b) P(z), C \ {z}, kde z C,jsoudvojnásobněsouvisléoblasti. c) U(,2002) \ {2,4,5+i}ječtyřnásobněsouvisláoblast. d) U(3,2) U(4i,3)neníoblast(nenísouvislá). e) C \ {z C: arg z 0, π 4 }neníoblast(neníotevřená).

22 22 3. Derivace komplexní funkce komplexní proměnné 3.. Derivace funkce. Definice. Buď f: C C. Derivacifunkce fvbodě z 0 Cdefinujemerovností existuje-li limita vpravo a je-li konečná. f (z 0 ) lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0, Řekneme,žefunkce fjeholomorfnínamnožiněω,je-liω Cotevřenámnožina aexistuje-li f (z)prokaždé z Ω. Řekneme,žefunkce f jeholomorfnívbodě z 0 C,je-li f holomorfnínanějakémokolíbodu z 0 (tj.má-liderivacivkaždémboděnějakéhookolí U(z 0 )). Poznámka. Všimněme si, že definice derivace je formálně totožná s definicí derivace reálné funkce reálné proměnné. Formálně stejné by byly formulace i důkazymnohavěto počítání derivací. 20 Nebudemejeprotouvádět. Věta3.. Má-lifunkce f: C Cderivacivbodě z 0 C,je fvbodě z 0 spojitá. Důkaz. Z předpokladu f (z 0 ) lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 C plyneexistenceprstencovéokolí P(z 0 )takového,žeplatí aprototaky z P(z 0 ): f(z) f(z 0 ) z z 0 < f (z 0 ) +, z P(z 0 ): 0 f(z) f(z 0 ) < ( f (z 0 ) + ) z z 0. Vezměmenynílibovolnouposloupnost(z n )takovou,že z n z 0. Zvýšeuvedenéhotvrzenípakvyplývá,že f(z n ) f(z 0 ) 0,aproto f(z n ) f(z 0 ). Právějsmedokázalispojitostfunkce fvbodě z Mámenamyslinapř.větyoderivovánísoučtu,rozdílu,součinu,podílu,složenéfunkce,... 2 VizVětu2.3.nastraně8.

23 Věta3.2. Funkce f u+ivmávbodě z 0 x 0 +iy 0 derivaciprávětehdy,platí-li tyto dvě podmínky: (i) uavjsoudiferencovatelnévbodě(x 0,y 0 ), 22 (ii) uavsplňujívbodě(x 0,y 0 )tzv.cauchyho Riemannovypodmínky: 23 u x (x 0,y 0 ) v y (x 0,y 0 ), u y (x 0,y 0 ) v x (x 0,y 0 ). Navíc,pokud f (z 0 )existuje,platí: f (z 0 ) u x (x 0,y 0 )+i v x (x 0,y 0 ) v y (x 0,y 0 ) i u y (x 0,y 0 ). Poznámka k výše uvedené větě. Vyjádření f pomocíparciálníchderivací funkcí u a v a z něho plynoucí Cauchyho Riemannovy podmínky by neměly být poprohlédnutínásledujícíchřádkůžádnýmpřekvapením. 23 Všimněmesi:existuje-li f (z 0 ),je f (z 0 ) lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 lim h 0 h R f(x 0 + h+iy 0 ) f(x 0 + iy 0 ) (x 0 + h+iy 0 ) (x 0 + iy 0 ) lim h 0 h R u(x 0 + h,y 0 )+iv(x 0 + h,y 0 ) u(x 0,y 0 ) iv(x 0,y 0 ) (x 0 + h x 0 )+i(y 0 y 0 ) u(x 0 + h,y 0 ) u(x 0,y 0 ) v(x 0 + h,y 0 ) v(x 0,y 0 ) lim + ilim h 0 h h 0 h u x (x 0,y 0 )+i v x (x 0,y 0 ), 22 Připomeňmesidůležitétvrzení-postačujícípodmínkudiferencovatelnosti: Buď ϕ: R 2 R.Jsou-lifunkce ϕ x a ϕ y spojitévbodě(x 0, y 0 ), jefunkce ϕdiferencovatelnávbodě(x 0, y 0 ). 23 Jetřebasiovšemdomysletsmyslvýrazůtypu: lim.... h 0 h R

24 24 apodobně f (z 0 ) lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 lim s 0 s R lim s 0 s R f(x 0 + i(y 0 + s)) f(x 0 + iy 0 ) (x 0 + i(y 0 + s)) (x 0 + iy 0 ) u(x 0,y 0 + s)+iv(x 0,y 0 + s) u(x 0,y 0 ) iv(x 0,y 0 ) (x 0 x 0 )+i(y 0 + s y 0 ) v(x 0,y 0 + s) v(x 0,y 0 ) lim + s 0 s i lim u(x 0,y 0 + s) u(x 0,y 0 ) s 0 s v y (x 0,y 0 ) i u y (x 0,y 0 ). Příklad. Zjistěte,vekterýchbodechmáfunkce f(z) def. e z derivaci,avyjádřete ji. Řešení:Prokaždé x+iy Cplatí: f(x+iy)e x+iy e x cos y } {{ } def. u(x,y) u x (x,y)ex cos y v y (x,y), +ie x siny } {{ } u y (x,y)ex siny v x (x,y)., def. v(x,y) Protožefunkce uavjsounavíczřejmědiferencovatelnévkaždémbodě(x,y) R 2, platíprokaždé z x+iy C: f (z)f (x+iy) u x (x,y)+i v x (x,y)ex cos y+ie x sinye x+iy f(x+iy)f(z) Harmonické funkce, harmonicky sdružené funkce. Definice. Buď M R 2 otevřenámnožina. Řekneme,žefunkce ϕ: R 2 Rje harmonickánamnožině M,platí-liprokaždýbod(x,y) Mtytodvěpodmínky: () ϕmávbodě(x,y)spojitévšechnyparciálníderivaceaždodruhéhořádu včetně, 24 (2) ϕ(x,y) def. 2 ϕ x 2 (x,y)+ 2 ϕ y 2 (x,y)0. 24 Tj. ϕjetřídy C 2 na M.

25 25 Příklad. a) Funkce ϕ(x,y) def. x+y+e x cos yjeharmonickána R 2. b) Funkce ϕ(x,y) def. Im ( ln(x+iy) ) neníharmonickána R 2 \ {(0,0)}. 25 Úmluva. V dalším budeme psát zkráceně(ale nepříliš přesně), že funkce ϕ je harmonickánamnožiněω C,místosprávného: funkce ϕjeharmonickána množině {(x,y) R 2 : x+iy Ω}. Pozorování. Předpokládejme,žefunkce f u+ivmávkaždémboděoblasti Ω Cderivacidruhéhořádu 26 ažefunkce uavjsoutřídy C 2 namnožině {(x,y) R 2 : x+iy Ω}. ZVěty3.2. pakplyne,žeprokaždýbod x+iy Ω platí: f (x+iy) u x (x,y)+i v v (x,y) (x,y) i u x y y (x,y), f (x+iy) 2 u x 2(x,y)+i 2 v x 2(x,y) 2 u y 2(x,y) i 2 v y 2(x,y). Zaměřme nyní svoji pozornost na poslední z uvedených rovností: porovnáním reálných a imaginárních částí zjistíme, že x+iy Ω: u(x,y)0 v(x,y), neboli,žefunkce uavjsounaoblastiωharmonické. Následující věta toto pozorování ještě zobecňuje. Věta3.3. Nechťfunkce f u+ivjeholomorfnínaoblastiω C. Pakfunkce uavjsouharmonickénaω. Definice. Řekneme,žefunkce u,v: R 2 Rjsouharmonickysdruženénaoblasti Ω C, platí-li současně: () uavjsouharmonickénaω, (2) u a v splňují na Ω Cauchyho Riemannovy podmínky. tj. 25 Otázkačtenáři:Proč? 26 Buď n N.Definujme(n+) níderivacifunkce f: C Cvbodě z 0 Cindukcí: existuje-li limita vpravo a je-li konečná. f (n+) (z 0 ) ( f (n)) (z0 ), f (n+) f (n) (z) f (n) (z 0 ) (z 0 ) lim, z z 0 z z 0

26 26 Pozorování. Všimněme si, že harmonicky sdružené funkce tvoří právě reálné a imaginární části holomorfních funkcí. Příklad. Najděte(existuje-li) holomorfní funkci f u + iv, je-li u(x,y) def. x 2 y 2 +2xy. Řešení:Hledejmefunkci v: R 2 R svázanou Cauchyho Riemannovýmipodmínkami s funkcí u: u v (x,y)2x+2y x y (x,y) v(x,y)2xy+ y2 + ϕ(x), kde ϕ: R R.NynídosaďmedodruhézCauchyho Riemannovýchpodmínek: aproto u v (x,y)2y 2x y x (x,y)2y+ ϕ (x), Snadnoselzepřesvědčit, 27 žefunkce ϕ(x) x 2 + c,kde c R, v(x,y)2xy+ y 2 x 2 + c. f(x+iy) def. x 2 y 2 +2xy+ i(2xy+ y 2 x 2 + c) jepřikaždévolbě c Rholomorfnína C. Věta 3.4. Nechť u resp. v je harmonická funkce na jednoduše souvislé oblasti Ω C. Potom existuje až na ryze imaginární resp. reálnou konstantu jednoznačně určenáfunkce f: C C taková,že fjeholomorfnínaω, prokaždé x+iy Ωplatí: u(x,y)re f(x+iy) resp. v(x,y)imf(x+iy). Cvičení. a) Najdětevšechnynaoblasti C \ {0}holomorfnífunkce f u+iv,kde b) Dokažte,žejefunkce v(x,y) def. y x 2 + y 2. v(x,y) def. ln(x 2 + y 2 ) harmonickánaoblasti C \ {0},ažepřestoneexistujefunkce u: R 2 R taková,aby f def. u+ivbylaholomorfnína C \ {0} 27 Stačíověřitpodmínky(i)a(ii)zVěty3.2.

27 3.3. Poznámkake geometrickémuvýznamu derivace. Předpokládejme, žejefunkce f: C Cholomorfnívbodě z 0 Caže 0 f (z 0 ) f (z 0 ) e iarg f (z 0 ). 27 Z definice derivace pak plyne, že lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 f (z 0 ) R +, aprotopro z blízké bodu z 0 ječíslo f(z) f(z 0 ) blízké číslu f (z 0 ) z z 0. Jinakřečeno:pro malá δ >0se f obrazkružnice {z C: z z 0 δ} málo liší odkružnice {w C: w f(z 0 ) f (z 0 ) δ}. Ukažme si nyní, jak lze geometricky interpretovat arg f (z 0 ). Buď γ libovolnýhladkýobloukvctakový,že γ(t 0 )z 0. Pakčísloarg γ (t 0 )udáváúhel, kterýsvírátečnývektor γ (t 0 )skladnoučástíreálnéosy. 28 Teďuvažujme(na dostatečněmalém okolíbodu t 0 korektnědefinovanou)křivkuγ(t) def. f(γ(t)) azkoumejmeodchylkutečnéhovektoruγ (t 0 )odkladnéčástireálnéosy,tj. argumentγ (t 0 ).ProtožeΓ (t 0 )f ( γ(t 0 ) ) γ (t 0 )f (z 0 )γ (t 0 ),je arg f (z 0 )+arg γ (t 0 ) ArgΓ (t 0 ). Jinakřečeno: čísloarg f (z 0 )udáváúhel,okterýjetřebaotočitsměrovývektor tečnyhladkéhooblouku γvbodě γ(t 0 )z 0 tak,abychomdostalisměrovývektor tečnykřivkyγ def. f γvboděγ(t 0 )f(z 0 ),přičemžnakonkrétnívolběkřivky γnezáleží. Tyto úvahy nás vedou k následující definici. Definice. Buďfunkce f: C Cholomorfnívbodě z 0 abuď f (z 0 ) 0. Číslo f (z 0 ) nazývámekoeficientemroztažnostifunkce fvbodě z Čísloarg f (z 0 )nazývámeúhlemotočenífunkce fvbodě z Kresletesiobrázek! 29 Je-linavíc f (z 0 ) <resp. f (z 0 ) >,mluvímeněkdyokontrakciresp.dilatacifunkce fvbodě z 0.

28 28 4. Konformní zobrazení 4.. Základní vlastnosti. Definice. Řekneme,žefunkce f: C C jekonformnínaotevřenémnožině G C,platí-li: () fjespojitáaprostána G, (2) f existujevevšechbodechmnožiny Gsvýjimkounejvýšekonečněmnoha. Cvičení. Rozmyslete si, na jakých oblastech jsou konformní funkce: e z,lnz,sinz, z 2, z 4,.... Definice. Řekneme,žeotevřenémnožiny G, G 2 C jsoukonformněekvivalentní,existuje-lifunkce f: C C taková,že () fjekonformnína G, (2) f(g )G 2. Vlastnosti konformních funkcí. (i)je-li fkonformnína G,je f (z) 0provšechna z Gsvýjimkounejvýše dvoubodů:bodu (pokudpatřído G)abodu(je-livGtakový),jehož f obrazemje. 30 (ii) Funkce inverzní ke konformnímu zobrazení je konformní. (iii) Obrazem oblasti při konformním zobrazení je oblast. (iv)rozdělmenynívšechnyjednodušesouvisléoblastivc dočtyřskupin:. skupina obsahuje pouze prázdnou množinu, 2.skupinaobsahujepouze C, 3.skupinaobsahujevšechnyoblastitvaru C \ {z 0 },kde z 0 C, 4.skupinaobsahujevšechnyostatníjednodušesouvisléoblasti. 3 Pakplatí:jednodušesouvisléoblastiΩ aω 2 jsoukonformněekvivalentní právě tehdy, patří-li obě do stejné skupiny. Prozkoumejme nyní podrobněji jeden velice důležitý typ konformních zobrazení. 30 Všimněmesi, žeodtudvyplývá, žekonformnífunkce f zachovává úhly mezi křivkami vycházejícímizbodu z 0 (z 0 G, z 0 f(z 0 )) vizgeometrickývýznamarg f (z 0 )na straně27.tétovlastnostifunkce fseříkákonformnostvbodě z 0. 3 Tzn. všechnyneprádnéjednodušesouvisléoblasti,jejichždoplněkobsahujealespoň dva body.

29 Lineární lomené funkce. Definice. Lineárnílomenoufunkcírozumímekaždézobrazení f : C C, kněmužexistujíčísla a, b, c, d Ctaková,že ad bc 0aže f(z) { az+b cz+d, je-li z C, a c, je-li z. Vlastnosti lineárních lomených funkcí. (i)lineárnílomenéfunkcejsoujedinákonformnízobrazení C na C. (ii) Inverzní zobrazení k lineární lomené funkci je lineární lomená funkce. (iii) Obrazem zobecněné kružnice při lineárním lomeném zobrazení je zobecněná kružnice.(zobecněnou kružnicí rozumíme kružnici(v C) nebo přímku ktépočítámeibod.) (iv)nechť každá z množin {z,z 2,z 3 }, {w,w 2,w 3 } obsahuje tři navzájem různáčíslazc. Pakexistujeprávějednalineárnílomenáfunkce f, pronižje f(z )w, f(z 2 )w 2 a f(z 3 )w 3. (v) Speciálním případem lineárních lomených zobrazení jsou lineární funkce, tj.funkcedefinovanépředpisem f(z) def. az+ b,kde a,b C, a Příklad. Najděte obraz kružnice přizobrazení f(z) def. z. K {z C: z } Řešení: Protožeprobody0,2,+i Kplatí: f(0), f(2) 2, f(+i) 2 2i,jeobrazemkružnice Kpřímka:33 f(k){z C: Re z 2 } { }. 32 Rozmysletesi,žekaždoulineárnífunkcilzezískatsloženímtřízobrazení: otočení(z e iarg a z),stejnolehlosti(z a z)aposunutí(z z+ b). 33 Vizvlastnost(iii)lineárníchlomenýchfunkcí.

30 30 5. Integrál komplexní funkce. Cauchyho věty. Cauchyho vzorce. 5.. Integrál komplexní funkce reálné a komplexní proměnné. Věta 5.. (Jordanova). Nechť γ je jednoduchá uzavřená křivka v C. Potom C \ γ Ω Ω 2, kdeω aω 2 jsoudvědisjunktní, 34 neprázdnéajednodušesouvisléoblasti,jejichž společnou hranicí je γ. Definice. UvažujmesituacizJordanovyvěty. TuzoblastíΩ,Ω 2,kteráneobsahuje,nazývámevnitřkemkřivky γaznačímeint γ,tu,která obsahuje, nazýváme vnějškem křivky γ a značíme ext γ. Definice. Buďfunkce f u+iv: R Cspojitánaintervalu a,b (a,b R; a < b). 35 Pakdefinujeme b a f(t)dt b a u(t)+iv(t)dt def. b a b u(t)dt+i v(t) dt. a Definice. Buď γ: a,b Cpočástechhladkákřivkaabuďfunkce f u+iv: C Cspojitána γ.pakdefinujeme 36 γ f(z)dz def. (γ) u(x,y)dx v(x,y)dy+ i v(x,y)dx+u(x,y)dy, (γ) kde integrály na pravé straně rovnosti jsou křivkové integrály 2. druhu(γ zde chápemejakokřivkuvr 2 ). Věta5.2. Nechť γ: a,b Cjehladkýobloukanechťfunkce f: C Cje spojitá na γ. Potom platí γ f(z)dz b a f(γ(t))γ (t)dt. 34 Tzn.Ω Ω Tzn.,žefunkce u(t) def. Re f(t), v(t) def. Im f(t): R Rjsouspojiténa a, b. 36 Pomůckaprosnadnějšízapamatování: f(z)dz(u+iv)(dx+idy)udx vdy+ i(vdx+udy).

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Řešení: Ano. Řešení: Ne.

Řešení: Ano. Řešení: Ne. 1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha&

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus 5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost 4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost Michael Šebek Automatické řízení 25 25-2-5 Stabilita obecně Automatické řízení - Kybernetika a robotika Stabilita obecně

Více

Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016

Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ. strana ze 36 Šárka Hošková Jaromír Kuben Pavlína Račková Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více