FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ. Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, FEI VŠB TU Ostrava.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ. Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, FEI VŠB TU Ostrava. jiri.bouchala@vsb.cz. www.am.vsb."

Transkript

1 FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, FEI VŠB TU Ostrava 200

2 Upozornění Tyto stránky jsou pracovní verzí vznikajícího učebního textu; průběžně je měním (opravuji a doplňuji). Budu čtenářům vděčný za shovívavost a sdělení všech připomínek. Současně s tímto textem píšu i Sbírku příkladů z komplexní analýzy; doporučuji čtenáři, aby si probíranou látku procvičoval na těchto příkladech. Jiří Bouchala

3 3 Obsah. Komplexní čísla, rozšířená Gaussova rovina 5..Komplexníčísla Geometrická interpretace, argument komplexního čísla Nekonečno Okolíbodu Posloupnostikomplexníchčísel Komplexní funkce reálné a komplexní proměnné 2..Komplexnífunkce Některédůležitékomplexnífunkce Exponenciálnífunkce Goniometrickéfunkce Hyperbolickéfunkce Logaritmickáfunkce Obecnámocninnáfunkce Funkce n-táodmocnina Reálnáaimaginárníčástfunkce Limitafunkcekomplexníproměnné Spojitostfunkcekomplexníproměnné Komplexnífunkcereálnéproměnné.Křivky Derivace komplexní funkce komplexní proměnné Derivacefunkce Harmonické funkce, harmonicky sdružené funkce Poznámkake geometrickémuvýznamu derivace Konformní zobrazení Základnívlastnosti Lineárnílomenéfunkce

4 4 5. Integrál komplexní funkce. Cauchyho věty. Cauchyho vzorce Integrál komplexní funkce reálné a komplexní proměnné Cauchyhověty Cauchyhointegrálnívzorce Primitivní funkce, nezávislost integrálu na cestě Číselné řady. Posloupnosti a řady funkcí Číselnéřady Posloupnosti funkcí. Bodová a stejnoměrná konvergence Mocninné řady. Taylorovy řady Mocninnéřady Taylorovyřady Laurentovy řady. Klasifikace singulárních bodů Laurentovyřady Izolovanésingularityajejichklasifikace Laurentovařadaostředu,klasifikacebodu Rezidua. Reziduová věta Reziduumfunkceajehovýpočet Reziduovávěta Výpočet integrálů funkcí reálné proměnné pomocí reziduové věty Integrálytypu 2π 0 R(sinx,cos x)dx Integrálytypu P(x) Q(x) dx Literatura

5 5. Komplexní čísla, rozšířená Gaussova rovina.. Komplexní čísla. Připomeňme si: Komplexníčíslo zječíslotvaru z x+iy,kde x, y Rai 2 ; číslo x resp. y nazýváme reálnou resp. imaginární částí komplexního čísla z aznačímere zresp.im z. Speciálním případem komplexních čísel jsou čísla reálná a ryze imaginární. Reálná čísla z jsou charakterizovaná podmínkou Im z 0, ryze imaginární číslapodmínkourez0. Dvěkomplexníčísla z a z 2 serovnajíprávětehdy,mají-litytéžreálné a tytéž imaginární části, tj. z z 2 [ ] Re z Re z 2 Im z Im z 2. Prokaždékomplexníčíslo zx+iydefinujmejehoabsolutníhodnotu jako nezáporné(reálné!) číslo z x 2 + y 2 (Re z) 2 +(Imz) 2 a číslo komplexně sdružené vztahem z x iyre z iim z. Prokaždádvěkomplexníčísla z x + iy a z 2 x 2 + iy 2 definujeme z + z 2 (x + x 2 )+i(y + y 2 ), z z 2 (x x 2 )+i(y y 2 ), z z 2 (x x 2 y y 2 )+i(x y 2 + x 2 y ), aje-li z i,definujemetaky z z 2 z 2 2 (z z 2 ). Prokaždékomplexníčíslo z x+iyplatí: zz(x+iy)(x iy)x 2 (iy) 2 x 2 + y 2 z 2. Domluvmese:napíšeme-li z x+iy,myslímetím(nebude-liřečenojinak),že xre z RayIm z R.

6 6 Poznámka. Jedním ze zásadních rozdílů mezi reálnými a komplexními čísly je skutečnost,žekomplexníčíslanejsouuspořádaná.vztah z < z 2 nenímezikomplexnímičísly z a z 2 definován,nejsou-lioběčísla z a z 2 reálná. Příklad. UrčeteRe zaim z,je-li z 2+3i 2i. Řešení: aproto z 2+3i +2i 2i +2i 4+7i 5 Re z 4 5 a Im z i,.2. Geometrická interpretace, argument komplexního čísla. Protože zřejměexistujevzájemnějednoznačnývztahmezibody R 2 akomplexnímičísly: (x,y) x+iy, je přirozené znázorňovat si komplexní čísla jako body roviny. Množinu všech komplexních čísel budeme nazývat Gaussovou rovinou a značit C. S geometrickou interpretací souvisí i tzv. goniometrický tvar komplexního čísla z. Uvažujme z C, z 0.Pakzřejměexistuje ϕ Rtakové,že 2 z z (cos ϕ+isin ϕ). ( ) Zperiodicityfunkcísinacosvyplývá,žečíslo(úhel) ϕnenívztahem( )určeno jednoznačně. Definice. Množinu všech reálných čísel ϕ, pro něž platí rovnost( ), nazýváme argumentemkomplexníhočísla z C \ {0}aznačímeArg z,tj. Arg z def. {ϕ R: z z (cos ϕ+isinϕ)}. Poznámka. Je-li z 0,jei z 0arovnost( )platípřijakékolivvolbě ϕ R.Ztohotodůvoduargumentčísla0nenídefinován! Věta.. Buď z C \ {0}aϕ Arg z.potom Arg z {ϕ+2kπ: k Z}. 2 Bystrýčtenářnepřehlédnesouvislostspolárnímisouřadnicemi v R 2.

7 7 Důkaz. Zperiodicityfunkcísinacosazpředpokladu ϕ Arg zplyne,že {ϕ+2kπ: k Z} Arg z. Přesvědčmese,žeplatíiopačnáinkluse. Buď ψ Arg zlibovolnýbod. Chceme dokázat,žeexistuje k Ztakové,že ψ ϕ+2kπ. ϕ, ψ Arg z [ z z (cos ϕ+isin ϕ) z (cos ψ+ isin ψ) z 0 ] cos ϕcos ψ cos ϕ+isin ϕcos ψ+ isinψ sinϕsinψ cos2 ϕcos ψcos ϕ cos 2 ϕ+sin 2 ϕcos ψcos ϕ+sinψsinϕ sin 2 ϕsinψsinϕ cos(ψ ϕ) [ k Z: ψ ϕ2kπ ] [ k Z: ψ ϕ+2kπ ]. Definice. Takovou hodnotu argumentu ϕ Arg z, pro kterou platí π < ϕ π, nazýváme hlavní hodnotou argumentu komplexního čísla z C \ {0} a značíme arg z. Příklad. UrčeteArg zaarg z,je-li z 3 i. Řešení: Zřejmě 3 π+arcsin 2 π+ π 6 7π 6 aproto 4 Arg z, Arg z { 7π 6 +2kπ: k Z},arg z 5π Nekonečno. Podobně jako je v reálném oboru užitečné doplnit konečná reálná čísla o + a, ukazuje se i v komplexním oboru potřeba rozšířit Gaussovu rovinu C. Nejúčelnější je přidat pouze jediný bod; budeme jej značit a nazývat nekonečno. 3 Radačtenáři:nakresletesiobrázek. 4 VizVětu..apředcházejícídefinici.

8 8 Ukažmesiještějednugeometrickouinterpretacikomplexníchčísel 5,kteránám přiblíží volbu bodu. Uvažujme kulovou plochu umístěnou tak, že se dotýká svým jižnímpólem rovinykomplexníchčíselprávěvbodě0,aoznačmesijejí severnípól N.Nynípřiřaďmekaždémunenulovémukomplexnímučíslu zbod z ležícínadanékulovéplošetak,aby z bylprůsečíkemtétoplochyspřímkou spojující obraz čísla z s bodem N. Tímto způsobem získáme vzájemně jednoznačnou korespondenci mezi(konečnými) komplexními čísly a body dané kulové plochy(samozřejmě zmenšené o bod N). Všimněmesi,žečímvětšíje z,tímmenšíjevzdálenostbodů z a N dané sféry. ItonásvedektomupřidatkCpouzejedinýbod( ),jehožobrazempři výšepopsanéprojekcibudeprávěbod N. Množinu C { } ozn. C budeme nazývat rozšířenou(nebo taky uzavřenou) Gaussovou rovinou. Definujmenyníprokaždé z C: () z ± ± z, (2) z z,je-linavíc z 0, (3) z 0, (4) z 0,je-linavíc z 0, (5) z, (6) n, n 0, 0 n,je-li n N, (7), Okolí bodu. Definice. Okolímbodu z 0 C resp. spoloměrem ε R + rozumíme množinu U(z 0,ε){z C: z z 0 < ε} resp. množinu U(,ε){z C: z > ε } { }. Prstencovýmokolímbodu z C spoloměrem ε R + rozumímemnožinu P(z,ε)U(z,ε) \ {z}. 5 Tzv.stereografickouprojekci. 6 Pozor,nenídefinováno: ±,0, 0, 0 0,,Arg,arg.

9 Nezáleží-linámna velikosti okolí(tj.nakonkrétníhodnotě ε),píšemekrátce U(z)resp. P(z)amluvímeookolíresp.prstencovémokolíbodu z. Definice. Množina M C senazýváotevřená, obsahuje-liskaždýmsvým bodem i nějaké okolí tohoto bodu. Tzn. 9 M je otevřená def. ( z M)( U(z)): U(z) M. Příklady. a), CaC jsouotevřenémnožiny, b) {z C: z 3 < z+2 i }a{z C: Im z <}jsouotevřenémnožiny, c) {2+ 3i}, {z C: Re z+2im z7}a{z C: Im z } nejsou otevřené množiny..5. Posloupnosti komplexních čísel. Definice. Buď z C abuď(z n )posloupnostvc. 7 Řekneme,žeposloupnost (z n )málimitu zapíšemelim z n znebo z n z,platí-li ( ε R + ) ( n 0 N)( n N, n n 0 ): z n U(z,ε). Posloupnost(z n )nazvemekonvergentní,existuje-ličíslo z Ctakové,že lim z n z. Pozorování. Definice limity posloupnosti vlastně říká, že vně libovolného(tzn. jakkoliv malého )okolíbodu zležínejvýšekonečněmnohočlenůposloupnosti(z n ). Uvažujmeposloupnost(z n )abod zv C a přistereograficképrojekci odpovídající posloupnost(zn)abod z nakulovéploše 8 v R 3.Pakplatí z n z(v C ) zn z (v R 3 ). 7 PosloupnostívC rozumíme podobnějakoureálnýchposloupností zobrazenízndo C,jehoždefiničníoborobsahujevšechnadostvelká n N. 8 Vizkapitolu.3.

10 0 Věta.2. Nechť z n x n + iy n provšechnadostvelká n Nanechť z x+iy. Potom platí limz n z [ limx n x limy n y ]. Příklad. Určetelim (2n i)i n. Řešení: lim (2n i)i n ( ) lim n +2i lim n + ilim20+2i2i. Poznámka. Definice limity je formálně stejná jako definice limity reálných posloupností. Platí proto i analogie mnoha vět. Uveďme pro ilustraci některé z nich. Věta.3. Každá posloupnost komplexních čísel má nejvýš jednu limitu. Věta.4. Posloupnostkomplexníchčíselmálimitu z C právětehdy,když každá posloupnost z ní vybraná má tutéž limitu z. Věta.5. Je-liposloupnost(z n )konvergentníataková,žeprokaždé n Nje z n C,jeposloupnost(z n )omezená. 9 9 Tzn.,žeexistuje k R + takové,žeprokaždé n Nje z n k.

11 2. Komplexní funkce reálné a komplexní proměnné 2.. Komplexní funkce. Definice. Komplexní funkcí(komplexní proměnné) rozumíme každé zobrazení z C do množiny všech podmnožin C. Jinými slovy: komplexní funkcí f rozumímepředpis, pomocíněhožjekaždémučíslu z Df C 0 přiřazeno jednonebovícekomplexníchčíselzc.totonebotatokomplexníčíslaznačíme f(z)anazýváme f obrazemčísla z. Pokudjeprokaždé z Df množina f(z)jednoprvková,nazývámefunkci f jednoznačnou. Pokud tomu tak není, nazýváme funkci f mnohoznačnou, případně podle počtu prvků f(z) dvojznačnou, trojznačnou,..., nekonečněznačnou. Je-li Df R, nazýváme funkci f komplexní funkcí reálné proměnné. Úmluva. Zadáme-li funkci pouze předpisem, rozumíme jejím definičním oborem množinuvšechčíselzc,proněžmádanýpředpissmysl. Příklady. a) f(z) def. z 2... jednoznačnáfunkce, Df C ; b) f(z) def. Arg z... nekonečněznačnáfunkce, Df C \ {0}. Úmluva. Někdy budeme nepříliš přesně psát Arg zarg z+2kπ, k Z, místo správného zápisu Arg z {arg z+2kπ: k Z}. (Podobně i pro jiné mnohoznačné funkce.) 0 Nikohonepřekvapí,žemnožinu Dfnazývámedefiničnímoboremfunkce f. Například:definičnímoboremfunkce fdefinovanépředpisem f(z) def. z jemnožina Df C { }.

12 2 Definice. Buď f mnohoznačná funkce. Jednoznačnou funkci ϕ nazýváme jednoznačnou větví(mnohoznačné) funkce f, platí-li: () Dϕ Df, (2) z Dϕ: ϕ(z) f(z). Příklad. Funkce ϕ (z) def. arg z a ϕ 2 (z) def. arg z+2π jsou dvě navzájem různé jednoznačné větve funkce Arg Některé důležité komplexní funkce Exponenciálnífunkci definujemeprokaždé z x+iy Cpředpisem: 2 e z e x+iy def. e x (cos y+ isiny). Vlastnosti exponenciální funkce. (i)e z jefunkcejednoznačná. (ii)oboremhodnotfunkcee z je C \ {0}. (iii)funkcee z jeperiodickásperiodou2πi. ( e z+2πi e x+iy+2πi e x ( cos(y+2π)+isin(y+2π) ) ) e x (cos y+ isin y)e x+iy e z. 2 Pozornýčtenářmůžebýttoutodefinicízneklidněn,značímetotižsymbolem e dvěrůzné funkce: e z : C C \ {0} a e x : R R +. Nemusímesevšakbát,protožepro z x+0ixje e z e x+0i e x (cos0+isin0)e x ; jinakřečeno: komplexní exponenciálnífunkcejerozšířením reálné exponenciálnífunkcena C. Ze stejného důvodu nebudeme v dalším měnit označení ani některých jiných komplexních funkcí(např.sin, cos, sinh, cosh, ln,...).

13 Goniometrické funkce jsou definovány rovnostmi: sin z def. eiz e iz,cos z def. eiz +e iz, 2i 2 tg z def. sinz,cotg zdef. cos z cos z sinz. Vlastnosti goniometrických funkcí. (i) Všechny goniometrické funkce jsou jednoznačné. (ii)sin zacos zjsoufunkceperiodickésperiodou2π, tg zacotg zjsoufunkceperiodickésperiodou π. (iii)prokaždé z Cplatí: sin( z) sin z,cos( z)cos z, tg( z) tg z,cotg( z) cotg z. (iv)prokaždé z Cplatítzv.Eulerůvvzorec: e iz cos z+ isinz. (v) sinz0 [ k Z: z kπ ], cos z0 [ k Z: z π 2 + kπ]. Příklad. UrčeteRe zaim z,je-li zcos(4+i). Řešení: zcos(4+i) ei(4+i) +e i(4+i) 2 ( e cos4+isin4 ) +e ( cos( 4)+isin( 4) ) e +e 2 2 cos4+i e e 2 sin4, aproto Re zcoshcos4, Im z sinhsin4.

14 aproto 4 uln z [ k Z:v ϕ+2kπ ] Hyperbolické funkce definujeme předpisy: sinhz def. ez e z,cosh z def. ez +e z, 2 2 tghz def. sinhz,cotgh zdef. cosh z cosh z sinhz. Poznámka. Podobně jako v reálném oboru můžeme i pro komplexní funkce zavést pojem inverzní funkce. Na rozdíl od funkcí reálných však budeme definovat inverzní funkci i pro funkce, které nejsou prosté. V takovém případě pak bude příslušná inverzní funkce funkcí mnohoznačnou. Příkladem může být níže definovaná logaritmická funkce Logaritmickou funkci definujeme jako funkci inverzní k funkci exponenciální, tzn. Ln z def. {w C: e w z}. Zvlastnosti(ii)exponenciálnífunkce 3 vyplývá,žedefiničnímoboremfunkcelnz jemnožina C \ {0}. Buď z z (cos ϕ+isin ϕ), kde z >0aϕ R,apoložme Ln z u+iv. Potom je e u+iv z, tj. e u (cos v+ isin v) z (cos ϕ+isin ϕ), Zjistilijsme,žeprokaždé z C \ {0}je Ln zln z +i(ϕ+2kπ), k Z, neboli, že Ln zln z +iarg z. 3 Vizstranu2. 4 Symbol ln zdeznamenápřirozený logaritmus,tj.funkcizr + do R.

15 5 Příklad. Ln( +i)ln 2+ 3π 4 i+2kπi, k Z. Definice. Funkci hlavní hodnota logaritmu definujeme na C \ {0} předpisem lnz def. ln z +iarg z. Příklad. ln( i)ln 2 3π 4 i Obecnámocninnáfunkce. Připomeňmesi: je-li n Nresp. n N,je funkce z z n definovanápředpisem z n def. zzz...z } {{ } n-krát resp. z n def. z n. Definujmenynímocninnoufunkciipro a Ctakové,že ±a / N: z a def. {w C: we as, s Ln z} ozn. e aln z. Příklad. 2 i e iln2 e i(ln2+2kπi) e 2kπ+iln2 e 2kπ ( cos(ln2)+isin(ln2) ), k Z Funkci n-táodmocnina (n N, n )definujemepředpisem: n z def. {w C: w n z}. Cvičení. a) Dokažte,žeprokaždé0 z Ca < n Nplatí: n z z n ažefunkce z z n jeprávě n-značná. b) Dokažte,žepro a m n,kde m Z\{0}an Njsounavzájemnesoudělná čísla,jefunkce z z a právě n-značná. c) Dokažte,žepro a C \ Qjefunkce z z a nekonečněznačná.

16 6 Příklad. 4 ii 4 e 4 Ln i e 4 ( π 2 i+2kπi) e π 8 i+k π 2 i ( π ) ( π ) cos 8 + kπ + isin kπ, k {0,,2,3} Reálná a imaginární část funkce. Úmluva. Pokud nebude řečeno jinak, budeme pojmem komplexní funkce rozumět funkci jednoznačnou. Poznámka. Ukažmesi,jaklzekaždoukonečnoukomplexnífunkci f, 5 proniž platí Df C, vyjádřit pomocí dvou reálných funkcí dvou reálných proměnných. Definice. Buď f: C C. Funkci u: R 2 R resp. v: R 2 R definovanou na množině {(x,y) R 2 : x+iy Df} předpisem u(x,y) def. Re f(x+iy) resp. v(x,y) def. Im f(x+iy) nazýváme reálnou resp. imaginární částí funkce f. Skutečnost, že u resp. v je reálnou resp. imaginární částí funkce f budeme zapisovat symbolem f u+iv. Příklad. Najděme reálnou a imaginární část funkce f(z) def. z z. Řešení: f(z)f(x+iy) x+iy x iy x2 y 2 x 2 + y 2+ i 2xy x 2 + y 2, aproto f u+iv,kde u(x,y) def. x2 y 2 x 2 + y 2 a v(x,y) def. 2xy x 2 + y 2. 5 Tzn.,že f: C C.

17 Limita funkce komplexní proměnné. Úmluva. Píšeme-li z 0 z n z 0, myslímetím,že z n z 0 ažeprovšechnadostvelká n Nje z n C \ {z 0 }. Definice. Řekneme,žefunkce f: C C mávbodě z 0 C limitu a C apíšeme lim z z 0 f(z)a,platí-li: z 0 z n z 0 f(z n ) a. Věta2.. Nechť f: C C anechť z 0,a C.Potom lim z z 0 f(z)aprávě tehdy, platí-li: ( U(a))( P(z 0 ))( z P(z 0 )): f(z) U(a). Věta2.2. Nechť f u+iv: C Canechť z 0 x 0 + iy 0 a aα+iβ. Potom lim z z 0 f(z)aprávětehdy,platí-li: lim u(x,y)α lim v(x,y)β. (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Příklady. a) ( ) ( ) ( ) z i lim z i z 2 lim lim + z i z+ i x+iy i x+i(y+) ( ) x lim (x,y) (0,) x 2 +(y+) 2 ( ) x lim x+iy i x 2 +(y+) 2+ i (y+) x 2 +(y+) 2 ( ) (y+) + i lim (x,y) (0,) x 2 +(y+) i 2 i. b) lim arg z neexistuje,protože: z z n def. cos arg(z 2n ) π, arg(z 2n+ ) π. ) (π+ ( )n n + isin ) (π+ ( )n n,

18 Spojitost funkce komplexní proměnné. Definice. Řekneme,žefunkce f: C C jespojitávbodě z 0 C, platí-li: lim f(z)f(z 0 ). z z 0 Řekneme,žefunkce f jespojitánamnožině M C,platí-liprokaždé z 0 Mimplikace: z n z 0 n N: z n M } f(z n ) f(z 0 ). Řekneme, že funkce f je spojitá, je-li spojitá na svém definičním oboru. Věta2.3. Nechť f : C C anechť z 0 C. Potomnásledujícítvrzení jsou ekvivalentní: (i) (ii) (iii) fjespojitávbodě z 0, z n z 0 f(z n ) f(z 0 ), ( U(f(z 0 )))( U(z 0 ))( z U(z 0 )): f(z) U(f(z 0 )). Cvičení. Rozmysletesi,jakspolusouvisíspojitostfunkce f u+iv: C C sespojitostífunkcí u,v: R 2 R. Příklady. a) Funkcearg zneníspojitá,neboťneníspojitá(např.)vbodě. 6 b) Funkcearg zjespojitánamnožině {z C: z / R z 0}. 6 Vizpříkladb)nastraně7.

19 Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Buď f komplexnífunkcíreálnéproměnné,tj. buď f zobrazenímzrdo C. Podobně jako u komplexních funkcí komplexní proměnné můžeme i zde zavést pojem limity a spojitosti. Definice. Buď f: R C. Řekneme,žefunkce fmávbodě t 0 Rlimitu a C apíšeme lim t t0 f(t)a, platí-li: t 0 t n t 0 (v R) f(t n ) a. Řekneme,žefunkce fjespojitávbodě t 0 R, platí-li: lim f(t)f(t 0 ). t t 0 Řekneme,žefunkce f jespojitánamnožině M R,platí-liprokaždé t 0 Mimplikace: t n t 0 n N: t n M } f(t n ) f(t 0 ). Řekneme, že funkce f je spojitá, je-li spojitá na svém definičním oboru. Velice důležitou třídu spojitých funkcí tvoří křivky. Definice. KřivkouvC (resp.v C)rozumímekaždouspojitoukomplexnífunkci reálné proměnné kde I Dγ Rjeinterval. Množinu γ: I C (resp. γ: I C), γ def. γ(i){γ(t): t I} C paknazývámegeometrickýmobrazemkřivky γ. Je-li M γ,říkáme,že γje parametrizací množiny M. Pozorování a úmluva. Již jsme si všimli, že existuje vzájemně jednoznačný vztahmezibody R 2 abody C: (x,y) x+iy. Podobně si lze všimnout, že existuje vzájemně jednoznačný vztah mezi křivkami v R 2 akřivkamivc: γ(γ,γ 2 ) γ γ + iγ 2.

20 20 MůžemeprotoiprokřivkyvCpovažovatzaznámépojmyzavedenéprokřivky v R 2 (viz[2]).uveďmepropříkladněkteréznich:jednoduchákřivka,uzavřenákřivka, jednoduchá uzavřená křivka, opačně orientovaná křivka, hladký oblouk, po částech hladká křivka, počáteční a koncový bod křivky, derivace křivky v bodě, tečný vektorkřivky,... Cvičení. Znázorněte v Gaussově rovině geometrický obraz křivky γ, je-li a) γ(t) def. 2 3i+2e 2it, t 0, 3 4 π ; b) γ(t) def. 4e it, t 0, π 2, i(4+ π 2 t), t π 2,4+ π 2, t 4 π 2, t 4+ π 2,8+ π 2. Definice. MnožinaΩ C senazýváoblastí,platí-lisoučasnětytodvěpodmínky: ()Ωjeotevřenámnožina, 7 (2)Ωjesouvislámnožina(tzn.,žekaždédvabodyΩlzespojitkřivkouvΩ; přesněji: prokaždédvabody z,z 2 Ωexistujekřivka γ: a,b Ω taková,že γ(a)z, γ(b)z 2 ). Definice. Buď M C.Množinu K Mnazývámekomponentoumnožiny M, má-li současně tyto dvě vlastnosti: () K je souvislá množina; (2)je-li K Msouvislámnožinaobsahující K(tzn. K K ),je K K. 8 Poznámka. Dáseukázat, 9 žekaždámnožina M C jesjednocenímsystému všech svých komponent; tento systém je přitom disjunktní. Definice. OblastΩ C,jejíždoplněkvC (tj.množina C \Ω)máprávě n různých komponent, se nazývá n násobně souvislá oblast. Jednonásobně souvislá oblast se nazývá jednoduše souvislá oblast. 7 Vizstr.9. 8 Komponentoumnožinytedynazývámekaždoujejímaximální souvislou podmnožinu. 9 Viznapř.[5].

21 2 Příklady. a), C, C, U(z),kde z C,jsoujednodušesouvisléoblasti. b) P(z), C \ {z}, kde z C,jsoudvojnásobněsouvisléoblasti. c) U(,2002) \ {2,4,5+i}ječtyřnásobněsouvisláoblast. d) U(3,2) U(4i,3)neníoblast(nenísouvislá). e) C \ {z C: arg z 0, π 4 }neníoblast(neníotevřená).

22 22 3. Derivace komplexní funkce komplexní proměnné 3.. Derivace funkce. Definice. Buď f: C C. Derivacifunkce fvbodě z 0 Cdefinujemerovností existuje-li limita vpravo a je-li konečná. f (z 0 ) lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0, Řekneme,žefunkce fjeholomorfnínamnožiněω,je-liω Cotevřenámnožina aexistuje-li f (z)prokaždé z Ω. Řekneme,žefunkce f jeholomorfnívbodě z 0 C,je-li f holomorfnínanějakémokolíbodu z 0 (tj.má-liderivacivkaždémboděnějakéhookolí U(z 0 )). Poznámka. Všimněme si, že definice derivace je formálně totožná s definicí derivace reálné funkce reálné proměnné. Formálně stejné by byly formulace i důkazymnohavěto počítání derivací. 20 Nebudemejeprotouvádět. Věta3.. Má-lifunkce f: C Cderivacivbodě z 0 C,je fvbodě z 0 spojitá. Důkaz. Z předpokladu f (z 0 ) lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 C plyneexistenceprstencovéokolí P(z 0 )takového,žeplatí aprototaky z P(z 0 ): f(z) f(z 0 ) z z 0 < f (z 0 ) +, z P(z 0 ): 0 f(z) f(z 0 ) < ( f (z 0 ) + ) z z 0. Vezměmenynílibovolnouposloupnost(z n )takovou,že z n z 0. Zvýšeuvedenéhotvrzenípakvyplývá,že f(z n ) f(z 0 ) 0,aproto f(z n ) f(z 0 ). Právějsmedokázalispojitostfunkce fvbodě z Mámenamyslinapř.větyoderivovánísoučtu,rozdílu,součinu,podílu,složenéfunkce,... 2 VizVětu2.3.nastraně8.

23 Věta3.2. Funkce f u+ivmávbodě z 0 x 0 +iy 0 derivaciprávětehdy,platí-li tyto dvě podmínky: (i) uavjsoudiferencovatelnévbodě(x 0,y 0 ), 22 (ii) uavsplňujívbodě(x 0,y 0 )tzv.cauchyho Riemannovypodmínky: 23 u x (x 0,y 0 ) v y (x 0,y 0 ), u y (x 0,y 0 ) v x (x 0,y 0 ). Navíc,pokud f (z 0 )existuje,platí: f (z 0 ) u x (x 0,y 0 )+i v x (x 0,y 0 ) v y (x 0,y 0 ) i u y (x 0,y 0 ). Poznámka k výše uvedené větě. Vyjádření f pomocíparciálníchderivací funkcí u a v a z něho plynoucí Cauchyho Riemannovy podmínky by neměly být poprohlédnutínásledujícíchřádkůžádnýmpřekvapením. 23 Všimněmesi:existuje-li f (z 0 ),je f (z 0 ) lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 lim h 0 h R f(x 0 + h+iy 0 ) f(x 0 + iy 0 ) (x 0 + h+iy 0 ) (x 0 + iy 0 ) lim h 0 h R u(x 0 + h,y 0 )+iv(x 0 + h,y 0 ) u(x 0,y 0 ) iv(x 0,y 0 ) (x 0 + h x 0 )+i(y 0 y 0 ) u(x 0 + h,y 0 ) u(x 0,y 0 ) v(x 0 + h,y 0 ) v(x 0,y 0 ) lim + ilim h 0 h h 0 h u x (x 0,y 0 )+i v x (x 0,y 0 ), 22 Připomeňmesidůležitétvrzení-postačujícípodmínkudiferencovatelnosti: Buď ϕ: R 2 R.Jsou-lifunkce ϕ x a ϕ y spojitévbodě(x 0, y 0 ), jefunkce ϕdiferencovatelnávbodě(x 0, y 0 ). 23 Jetřebasiovšemdomysletsmyslvýrazůtypu: lim.... h 0 h R

24 24 apodobně f (z 0 ) lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 lim s 0 s R lim s 0 s R f(x 0 + i(y 0 + s)) f(x 0 + iy 0 ) (x 0 + i(y 0 + s)) (x 0 + iy 0 ) u(x 0,y 0 + s)+iv(x 0,y 0 + s) u(x 0,y 0 ) iv(x 0,y 0 ) (x 0 x 0 )+i(y 0 + s y 0 ) v(x 0,y 0 + s) v(x 0,y 0 ) lim + s 0 s i lim u(x 0,y 0 + s) u(x 0,y 0 ) s 0 s v y (x 0,y 0 ) i u y (x 0,y 0 ). Příklad. Zjistěte,vekterýchbodechmáfunkce f(z) def. e z derivaci,avyjádřete ji. Řešení:Prokaždé x+iy Cplatí: f(x+iy)e x+iy e x cos y } {{ } def. u(x,y) u x (x,y)ex cos y v y (x,y), +ie x siny } {{ } u y (x,y)ex siny v x (x,y)., def. v(x,y) Protožefunkce uavjsounavíczřejmědiferencovatelnévkaždémbodě(x,y) R 2, platíprokaždé z x+iy C: f (z)f (x+iy) u x (x,y)+i v x (x,y)ex cos y+ie x sinye x+iy f(x+iy)f(z) Harmonické funkce, harmonicky sdružené funkce. Definice. Buď M R 2 otevřenámnožina. Řekneme,žefunkce ϕ: R 2 Rje harmonickánamnožině M,platí-liprokaždýbod(x,y) Mtytodvěpodmínky: () ϕmávbodě(x,y)spojitévšechnyparciálníderivaceaždodruhéhořádu včetně, 24 (2) ϕ(x,y) def. 2 ϕ x 2 (x,y)+ 2 ϕ y 2 (x,y)0. 24 Tj. ϕjetřídy C 2 na M.

25 25 Příklad. a) Funkce ϕ(x,y) def. x+y+e x cos yjeharmonickána R 2. b) Funkce ϕ(x,y) def. Im ( ln(x+iy) ) neníharmonickána R 2 \ {(0,0)}. 25 Úmluva. V dalším budeme psát zkráceně(ale nepříliš přesně), že funkce ϕ je harmonickánamnožiněω C,místosprávného: funkce ϕjeharmonickána množině {(x,y) R 2 : x+iy Ω}. Pozorování. Předpokládejme,žefunkce f u+ivmávkaždémboděoblasti Ω Cderivacidruhéhořádu 26 ažefunkce uavjsoutřídy C 2 namnožině {(x,y) R 2 : x+iy Ω}. ZVěty3.2. pakplyne,žeprokaždýbod x+iy Ω platí: f (x+iy) u x (x,y)+i v v (x,y) (x,y) i u x y y (x,y), f (x+iy) 2 u x 2(x,y)+i 2 v x 2(x,y) 2 u y 2(x,y) i 2 v y 2(x,y). Zaměřme nyní svoji pozornost na poslední z uvedených rovností: porovnáním reálných a imaginárních částí zjistíme, že x+iy Ω: u(x,y)0 v(x,y), neboli,žefunkce uavjsounaoblastiωharmonické. Následující věta toto pozorování ještě zobecňuje. Věta3.3. Nechťfunkce f u+ivjeholomorfnínaoblastiω C. Pakfunkce uavjsouharmonickénaω. Definice. Řekneme,žefunkce u,v: R 2 Rjsouharmonickysdruženénaoblasti Ω C, platí-li současně: () uavjsouharmonickénaω, (2) u a v splňují na Ω Cauchyho Riemannovy podmínky. tj. 25 Otázkačtenáři:Proč? 26 Buď n N.Definujme(n+) níderivacifunkce f: C Cvbodě z 0 Cindukcí: existuje-li limita vpravo a je-li konečná. f (n+) (z 0 ) ( f (n)) (z0 ), f (n+) f (n) (z) f (n) (z 0 ) (z 0 ) lim, z z 0 z z 0

26 26 Pozorování. Všimněme si, že harmonicky sdružené funkce tvoří právě reálné a imaginární části holomorfních funkcí. Příklad. Najděte(existuje-li) holomorfní funkci f u + iv, je-li u(x,y) def. x 2 y 2 +2xy. Řešení:Hledejmefunkci v: R 2 R svázanou Cauchyho Riemannovýmipodmínkami s funkcí u: u v (x,y)2x+2y x y (x,y) v(x,y)2xy+ y2 + ϕ(x), kde ϕ: R R.NynídosaďmedodruhézCauchyho Riemannovýchpodmínek: aproto u v (x,y)2y 2x y x (x,y)2y+ ϕ (x), Snadnoselzepřesvědčit, 27 žefunkce ϕ(x) x 2 + c,kde c R, v(x,y)2xy+ y 2 x 2 + c. f(x+iy) def. x 2 y 2 +2xy+ i(2xy+ y 2 x 2 + c) jepřikaždévolbě c Rholomorfnína C. Věta 3.4. Nechť u resp. v je harmonická funkce na jednoduše souvislé oblasti Ω C. Potom existuje až na ryze imaginární resp. reálnou konstantu jednoznačně určenáfunkce f: C C taková,že fjeholomorfnínaω, prokaždé x+iy Ωplatí: u(x,y)re f(x+iy) resp. v(x,y)imf(x+iy). Cvičení. a) Najdětevšechnynaoblasti C \ {0}holomorfnífunkce f u+iv,kde b) Dokažte,žejefunkce v(x,y) def. y x 2 + y 2. v(x,y) def. ln(x 2 + y 2 ) harmonickánaoblasti C \ {0},ažepřestoneexistujefunkce u: R 2 R taková,aby f def. u+ivbylaholomorfnína C \ {0} 27 Stačíověřitpodmínky(i)a(ii)zVěty3.2.

27 3.3. Poznámkake geometrickémuvýznamu derivace. Předpokládejme, žejefunkce f: C Cholomorfnívbodě z 0 Caže 0 f (z 0 ) f (z 0 ) e iarg f (z 0 ). 27 Z definice derivace pak plyne, že lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 f (z 0 ) R +, aprotopro z blízké bodu z 0 ječíslo f(z) f(z 0 ) blízké číslu f (z 0 ) z z 0. Jinakřečeno:pro malá δ >0se f obrazkružnice {z C: z z 0 δ} málo liší odkružnice {w C: w f(z 0 ) f (z 0 ) δ}. Ukažme si nyní, jak lze geometricky interpretovat arg f (z 0 ). Buď γ libovolnýhladkýobloukvctakový,že γ(t 0 )z 0. Pakčísloarg γ (t 0 )udáváúhel, kterýsvírátečnývektor γ (t 0 )skladnoučástíreálnéosy. 28 Teďuvažujme(na dostatečněmalém okolíbodu t 0 korektnědefinovanou)křivkuγ(t) def. f(γ(t)) azkoumejmeodchylkutečnéhovektoruγ (t 0 )odkladnéčástireálnéosy,tj. argumentγ (t 0 ).ProtožeΓ (t 0 )f ( γ(t 0 ) ) γ (t 0 )f (z 0 )γ (t 0 ),je arg f (z 0 )+arg γ (t 0 ) ArgΓ (t 0 ). Jinakřečeno: čísloarg f (z 0 )udáváúhel,okterýjetřebaotočitsměrovývektor tečnyhladkéhooblouku γvbodě γ(t 0 )z 0 tak,abychomdostalisměrovývektor tečnykřivkyγ def. f γvboděγ(t 0 )f(z 0 ),přičemžnakonkrétnívolběkřivky γnezáleží. Tyto úvahy nás vedou k následující definici. Definice. Buďfunkce f: C Cholomorfnívbodě z 0 abuď f (z 0 ) 0. Číslo f (z 0 ) nazývámekoeficientemroztažnostifunkce fvbodě z Čísloarg f (z 0 )nazývámeúhlemotočenífunkce fvbodě z Kresletesiobrázek! 29 Je-linavíc f (z 0 ) <resp. f (z 0 ) >,mluvímeněkdyokontrakciresp.dilatacifunkce fvbodě z 0.

28 28 4. Konformní zobrazení 4.. Základní vlastnosti. Definice. Řekneme,žefunkce f: C C jekonformnínaotevřenémnožině G C,platí-li: () fjespojitáaprostána G, (2) f existujevevšechbodechmnožiny Gsvýjimkounejvýšekonečněmnoha. Cvičení. Rozmyslete si, na jakých oblastech jsou konformní funkce: e z,lnz,sinz, z 2, z 4,.... Definice. Řekneme,žeotevřenémnožiny G, G 2 C jsoukonformněekvivalentní,existuje-lifunkce f: C C taková,že () fjekonformnína G, (2) f(g )G 2. Vlastnosti konformních funkcí. (i)je-li fkonformnína G,je f (z) 0provšechna z Gsvýjimkounejvýše dvoubodů:bodu (pokudpatřído G)abodu(je-livGtakový),jehož f obrazemje. 30 (ii) Funkce inverzní ke konformnímu zobrazení je konformní. (iii) Obrazem oblasti při konformním zobrazení je oblast. (iv)rozdělmenynívšechnyjednodušesouvisléoblastivc dočtyřskupin:. skupina obsahuje pouze prázdnou množinu, 2.skupinaobsahujepouze C, 3.skupinaobsahujevšechnyoblastitvaru C \ {z 0 },kde z 0 C, 4.skupinaobsahujevšechnyostatníjednodušesouvisléoblasti. 3 Pakplatí:jednodušesouvisléoblastiΩ aω 2 jsoukonformněekvivalentní právě tehdy, patří-li obě do stejné skupiny. Prozkoumejme nyní podrobněji jeden velice důležitý typ konformních zobrazení. 30 Všimněmesi, žeodtudvyplývá, žekonformnífunkce f zachovává úhly mezi křivkami vycházejícímizbodu z 0 (z 0 G, z 0 f(z 0 )) vizgeometrickývýznamarg f (z 0 )na straně27.tétovlastnostifunkce fseříkákonformnostvbodě z 0. 3 Tzn. všechnyneprádnéjednodušesouvisléoblasti,jejichždoplněkobsahujealespoň dva body.

29 Lineární lomené funkce. Definice. Lineárnílomenoufunkcírozumímekaždézobrazení f : C C, kněmužexistujíčísla a, b, c, d Ctaková,že ad bc 0aže f(z) { az+b cz+d, je-li z C, a c, je-li z. Vlastnosti lineárních lomených funkcí. (i)lineárnílomenéfunkcejsoujedinákonformnízobrazení C na C. (ii) Inverzní zobrazení k lineární lomené funkci je lineární lomená funkce. (iii) Obrazem zobecněné kružnice při lineárním lomeném zobrazení je zobecněná kružnice.(zobecněnou kružnicí rozumíme kružnici(v C) nebo přímku ktépočítámeibod.) (iv)nechť každá z množin {z,z 2,z 3 }, {w,w 2,w 3 } obsahuje tři navzájem různáčíslazc. Pakexistujeprávějednalineárnílomenáfunkce f, pronižje f(z )w, f(z 2 )w 2 a f(z 3 )w 3. (v) Speciálním případem lineárních lomených zobrazení jsou lineární funkce, tj.funkcedefinovanépředpisem f(z) def. az+ b,kde a,b C, a Příklad. Najděte obraz kružnice přizobrazení f(z) def. z. K {z C: z } Řešení: Protožeprobody0,2,+i Kplatí: f(0), f(2) 2, f(+i) 2 2i,jeobrazemkružnice Kpřímka:33 f(k){z C: Re z 2 } { }. 32 Rozmysletesi,žekaždoulineárnífunkcilzezískatsloženímtřízobrazení: otočení(z e iarg a z),stejnolehlosti(z a z)aposunutí(z z+ b). 33 Vizvlastnost(iii)lineárníchlomenýchfunkcí.

30 30 5. Integrál komplexní funkce. Cauchyho věty. Cauchyho vzorce. 5.. Integrál komplexní funkce reálné a komplexní proměnné. Věta 5.. (Jordanova). Nechť γ je jednoduchá uzavřená křivka v C. Potom C \ γ Ω Ω 2, kdeω aω 2 jsoudvědisjunktní, 34 neprázdnéajednodušesouvisléoblasti,jejichž společnou hranicí je γ. Definice. UvažujmesituacizJordanovyvěty. TuzoblastíΩ,Ω 2,kteráneobsahuje,nazývámevnitřkemkřivky γaznačímeint γ,tu,která obsahuje, nazýváme vnějškem křivky γ a značíme ext γ. Definice. Buďfunkce f u+iv: R Cspojitánaintervalu a,b (a,b R; a < b). 35 Pakdefinujeme b a f(t)dt b a u(t)+iv(t)dt def. b a b u(t)dt+i v(t) dt. a Definice. Buď γ: a,b Cpočástechhladkákřivkaabuďfunkce f u+iv: C Cspojitána γ.pakdefinujeme 36 γ f(z)dz def. (γ) u(x,y)dx v(x,y)dy+ i v(x,y)dx+u(x,y)dy, (γ) kde integrály na pravé straně rovnosti jsou křivkové integrály 2. druhu(γ zde chápemejakokřivkuvr 2 ). Věta5.2. Nechť γ: a,b Cjehladkýobloukanechťfunkce f: C Cje spojitá na γ. Potom platí γ f(z)dz b a f(γ(t))γ (t)dt. 34 Tzn.Ω Ω Tzn.,žefunkce u(t) def. Re f(t), v(t) def. Im f(t): R Rjsouspojiténa a, b. 36 Pomůckaprosnadnějšízapamatování: f(z)dz(u+iv)(dx+idy)udx vdy+ i(vdx+udy).

15. Nulové body a póly. Věta. Je-li funkce f : G holomorfní v oblasti G a f(z 0 ) 0 pro z 0 G, pak

15. Nulové body a póly. Věta. Je-li funkce f : G holomorfní v oblasti G a f(z 0 ) 0 pro z 0 G, pak 5. Nulové body a póly Věta. Je-li funkce f holomorfní v oblasti G C, a f(z 0 ) 0 pro bod z 0 G, pak existuje okolí U(z 0 ) bodu z 0 takové, že f(z) 0 pro z U(z 0 ). Definice: Je-li funkce f holomorfní

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3 Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.

Více

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b, Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je

Více

Obsah. 1. Komplexní čísla

Obsah. 1. Komplexní čísla KOMPLEXNÍ ANALÝZA - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Komplexní čísla 1 2. Holomorfní funkce 3 3. Elementární funkce komplexní proměnné 4 4. Křivkový integrál 7 5. Index bodu vzhledem ke křivce 9 6.

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!. 8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

M4140 Vybrané partie z matematické analýzy Přírodovědecká fakulta MU

M4140 Vybrané partie z matematické analýzy Přírodovědecká fakulta MU M4140 Vybrané partie z matematické analýzy Přírodovědecká fakulta MU jaro 2010 Rozsah 4/2/0. 6 kr. Ukončení: zk. 1) Obyčejné diferenciální rovnice: 1.1. Úvod základní pojmy, přímé metody řešení některých

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Elementární funkce. Polynomy

Elementární funkce. Polynomy Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do

Více

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním textu Matematika. Navazuje

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011 Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Komplexní analýza 1. Ladislav Mišík

Komplexní analýza 1. Ladislav Mišík 1 Komplexní analýza 1 Ladislav Mišík 2 Obsah 1 Komplexní čísla 5 1.1 Rozšíření tělesa reálných čísel.................. 5 1.2 Operace s komplexními čísly................... 8 1.3 Geometrie komplexních čísel...................

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

1 Nulové body holomorfní funkce

1 Nulové body holomorfní funkce Nulové body holomorfní funkce Bod naýváme nulový bod funkce f), jestliže f ) =. Je-li funkce f) holomorfní v bodě, pak le funkci f) v jistém okolí bodu rovinout v Taylorovu řadu: f) = n= a n ) n, a n =

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1 metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Úvod základy teorie zobrazení

Úvod základy teorie zobrazení Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3

1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3 VII. Číselné řady Obsah 1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady...... 2 1.2 Základnívlastnostiřad..... 3 2 Řady s nezápornými členy 3 2.1 Kritériakonvergenceadivergence...... 3 3 Řady absolutně

Více