JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7"

Transkript

1 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární funkce: y t A.x + B. To A udává sklon přímky, který musí být stejný jako sklon té křivky v bodě dotyku, tzn.: A y`(a). Pořídíme si tedy tu derivaci (podle vzorečku pro derivaci zlomku): y` x ` x x `. x x. x ` x 2 A y` a 2a a Dostali jsme, že předpis té tečny vypadá takhle: y t 2 x B.. x x. x 2 x x 2 2x x 2 x 2 B dopočítáme z podmínky, že tečna prochází bodem dotyku, tj., že bod [a; f(a)] splňuje vztah pro tečnu, tedy: y a 2 a B, kde y(a) dostaneme dosazením a za x do vztahu křivky: y a a a 0. Takže to dopočítání: 0 2. B / úprava 0 2 B / + ½, B 2 Máme y 2 x 2. Ale nabízené výsledky takto nevypadají. V nich je všechno vlevo od rovnítka, vpravo je pouze nula a nejsou tam žádné zlomky. Zapracujeme tedy na výsledku jako na rovnici, abychom také dostali něco takového: y 2 x 2 /.2 2y -x + / + x -

2 2y + x - 0 No a stejně vychází možnost (E): žádná z uvedených. 2. Je dána funkce yx.e x2. Potom pro hodnoty y``(-), y``(0) a y``() platí:... Postup bude takovýto: ) zderivujeme jednou, 2) zderivujeme podruhé, 3) dosadíme, 4) porovnáme. ad ) yx.e x2 je součin funkcí. První z nich je x, její derivace je. Druhá z nich je e x2, což je složená funkce. Vnější funkce je e z, kde z x 2 je vnitřní funkce. Derivace vnější funkce vychází zase e z. Derivace vnitřní je z` 2x. Takže vynásobením derivace vnější funkce a derivace vnitřní funkce dostáváme: ( e x2 )` 2x.e z 2 x.e x2. Jsme tedy připraveni zderivovat ten zapeklitý součin: y` x`. e x2 + x.( e x2 )`. e x2 + x.2x. e x2 e x2 + 2x 2 e x2 (vytknout exponencielu za závorku): ( + 2x 2 ) e x2 (považuje se za slušnost ve výsledcích polynomy seřadit podle velikosti exponentu) (2x 2 + ) e x2 ad 2) Derivujeme funkci: (y` ) (2x 2 + ). e x2 což je zase součin 2 funkcí. První z nich je polynom 2x 2 +. Jeho derivace je: (2x 2 + )` 2.2x + 0 4x. Druhá z nich je složená funkce e x2, kterou jsme už zderivovali v bodě ): ( e x2 )` 2x. e x2. Takže: y`` (y`)` ((2x 2 + ). e x2 )` (2x 2 + )`. e x2 + (2x 2 + ).( e x2 )` 4x e x2 + (2x 2 + ).2 e x2 4x e x2 + 4x 3 e x2 + 2x e x2 4x 3 e x2 + 6x e x2 (4x 3 + 6x) e x2 ad 3) y``(-) (4.(-) + 6(-)).e -0e y``(0) ( ).e y``() ( ).e -0e Pro jistotu ještě dosadíme e 2,7 a dostáváme:

3 y``(-) -27; y``(0) 0; y``() 27. ad 4) -tento seznam hodnot druhé derivace už je seřazený od nejmenší po největší, takže máme konečný výsledek: y``(-) < y``(0) < y``(), což je možnost (C). 3. Je dána funkce y x 3-6x 2 + 9x + 4. Označme MI počet všech lokálních minim a MA počet všech lokálních maxim (na celém definičním oboru této funkce). Pak platí... Potřebujeme první derivaci. Zjistíme, ve kterých bodech je nulová - tak dostaneme adepty na lokální extrémy (tj. minima i maxima). * Pořídíme si i druhou derivaci funkce a dosadíme do ní ty body. Kde vyjde 2. derivace záporná, je maximum, kde vyjde kladná, tam je minimum, kde je nulová, tam bude asi inflexní bod. Poznámka: Nečekejme nějaký závratný počet bodů, protože jde o polynom. Grafy polynomů mají typické tvary (myslím tím, že polynomy např. 5. stupně vypydají všechny podobně): polynom. st. polynom 2. st. polynom 3. st. polynom 4. st. polynom 5. st. polynom 6st. * pozn.: Je to polynom 3. stupně, ten nikdy nemá na R globální minimum ani globální maximum, protože: lim ax 3 bx 2 cx d podle znaménka čísla a. A podobně lim ax 3 bx 2 cx d ±. x x

4 atd. o jeden míň oblouků než je stupeň Můžou být vzhůru nohama a oblouky můžou i chybět, ale ne přebývat. Dost ale řečí, pustíme se do počítání: y x 3-6x 2 + 9x + 4 y` 3x 2-6.2x + 9 3x 2-2x + 9 Řešíme rovnici: y` 0 3x 2-2x / :3 x 2-4x x,2 -b± b2-4a c ± a 2. 4± y`` ( 3x 2-2x + 9)` 3.2x - 2 6x - 2 y``() < 0... x je maximum. y``(3) > 0... x 3 je minimum. 4± Vyšlo nám minimum... MI a maximum... MA - to je možnost (D). Poznámka: Ošidil jsem Vás o ten inflexní bod? Inu, nebuďte smutní; některé kubické funkce (tj. polynomy 3. stupně) ho mají (např. f: y x 3 v bodě 0) a jiné ho mají také, akorát v něm není první derivace nulová. Tady by to bylo v x Je-li y4 x 2 7, určete pomocí diferenciálu v bodě a 3 odhad hodnoty y(2,72). Opíšu Vám tedy poučku ze skript, protože toto jsem ve škole asi bral, ale jen jako perličku, nikdy jsem to nepoužil a úspěšně zapomněl: Diferenciál funkce f v bodě a: df a f `(a).dx. Při aplikaci diferenciálu v bodě a na odhad funkční hodnoty v blízkém bodě x nahradíme dx hodnotou přírůstku (x - a). Výsledný vzorec je: f(x) f(a) + ( x - a).f ` (a), přičemž oproti skriptům já nevidím důvod, proč to komplikovat ještě dalším písmenkem "h x - a". Teď by to ještě chtělo vědět, co je v tom písmenkovém guláši co: f(x) chceme spočítat, je to ono y(2,72); takže vidíme také x 2,72. Bod a ze zadání souhlasí s písmenkem a ve vzorečku a je to tedy tři. f(a) dostaneme dosazením trojky do zadání funkce: f(a) y(3) Vzdálenost x - a si spočítáme ještě snáz: je to 2, ,28. Dosazovat ji budeme i s tím mínusem. f `(a) si opatříme derivováním a následným dosazením trojky: f `(x) y` ( 4 x 2 7 )` 4( x 2 7 )` složená funkce, vnitřní je z x 2 + 7, z` 2x; vnější je, derivace vnější funkce podle z vyjde:

5 4.2 x. 2 x x f `(3) 2 x x x 2 7 Konečné dosazení: f(x) y(2,72) 6 + (-0,28).3 6-0,84 5,6, což je nabízeno jako možnost (B). 5. Je dána funkce y x. Označme s počet všech lnx stacionárních bodů a i počet všech inflexních bodů dané funkce. Potom hodnota výrazu s + i je... Stacionární body jsou podle Vašich skript všechny ty, kde derivace (první) je nulová. Inflexní body jsou podle skript ty, kde je druhá derivace nulová a třetí nenulová. Po otřesné zkušenosti s 5. příkladem v MT6, ale dáme také pozor, jestli v bodech, co nám vyjdou, je ta funkce vůbec definovaná. A tím začneme - určíme definiční obor: D(y): Zakázáno je: ) nula a záporná čísla v logaritmu; tj..: x > 0... x (0, ) 2) nula ve jmenovateli, tj.: lnx 0 / e na e lnx e 0 / exponenciela a logaritmus se požerou, nenula na nultou je vždy jedna x... x (-, ) (, ) Pronikneme: x (0; ) (, ) D(y). Dále si pořídíme první, druhou a třetí derivaci: y x ln x je podíl funkcí, takže budeme derivovat podle schematu:

6 čitatel čitatel `. jmenovatel -čitatel.jmenovatel ` ( )` jmenovatel jmenovatel 2, kde jednotlivé dílčí derivace jsou jednoduché: x`, (lnx)` x, čili:.ln x - x. x y` ln x 2 ln x - ln x 2 ln x - ln x 2 (lnx) - - (lnx) -2 y`` ((lnx) - - (lnx) -2 )` složená funkce - vnitřní je z lnx, z`, vnější funkce je z - - z -2, x.(2(lnx) -3 - (lnx) -2 ) x -.(2(lnx) -3 - (lnx) -2 ) její derivace podle z: -z -2 - (-2)z -3 -z z -3 2(lnx) -3 - (lnx) -2 y``` (x -.(2(lnx) -3 - (lnx) -2 ))`...je to derivace součinu, takže podle vzorečku (prva.druha)` prva`.druha + prva.druha`; (x - )` -x -2 ; tu závorku s logaritmy derivujeme zasejc jako složenou funkci podobně jako před chvilkou při druhé derivaci, výsledek je: (2(lnx) -3 - (lnx) -2 )` (-6(lnx) (lnx) -3 )... -x -2 (2(lnx) -3 - (lnx) -2 ) + x -.x - (-6(lnx) (lnx) -3 ) -2x -2 (lnx) -3 + x -2 (lnx) -2-6x -2 (lnx) x -2 (lnx) -3 posčítáme členy se stejnými exponenty x -2 (lnx) -2-6x -2 (lnx) -4 x -2 ((lnx) -2-6(lnx) -4 ) Stacionární body: ln x ln x 20 / s ln x ln x 2 lnx x e e D(y) /.(lnx)2 / e na Inflexní body: x -.(2(lnx) -3 - (lnx) -2 ) 0 / součin je nulový, když jeden nebo oba ze členů jsou nulové x - 0 / přepis 2(lnx) -3 - (lnx) -2 0 / +(lnx) -2 x 0...nevyjde 2(lnx) -3 (lnx) -2 /.(lnx) 3 nikdy, 2 lnx / e na nemá řešení x e 2 e 2 je tedy adeptem na inflexní bod. Protože e 2,7, vychází to e 2 7,3 D(y). Dosadíme do třetí derivace: y```(e 2 ) (e 2 ) -2.((ln e 2 ) -2-6(ln e 2 ) -4 vzpomeneme si na definici logaritmu: ln e x? znamená "e na kolikátou je x?" Zde se ptáme "e na kolikátou je e 2? No na tu dvojku přece!"... (e 2 ) -2.( )...(základ x ) y základ x.y... e -4.( ) e ) e ) 6 e e 4 0 Vyšlo, že druhá derivace je nulová v bodě, e 2, ve kterém je zároveň třetí derivace nenulová. To znamená, že zde má funkce inflexní bod (jediný). Tedy: i.

7 To dosadíme do výrazu s + i + 2, což je možnost (B). 6. Která dvojice z následujících funkcí f : y (x + ) 2, f 2 : y 2e x, f 3 : y ln(x + 2), f 4 : y - x jsou funkce na intervalu (-; ) konvexní? Tento minitest je na derivace vyšších řádů, v učebnici je, že konvexní funkce se pozná tak, že má kladnou druhou derivaci. Takže to vypadá, že jediný správný postup je: I. udělat druhé derivace všech funkcí, II. zjistit, kde jsou druhé derivace kladné a kde záporné; III. posoudit to, co vyšlo v II. vzhledem k intervalu (-; ). Provedeme to vše později. Ukážu Vám filištínské řešení založené na zkušenostech s načrtáváním grafů funkcí. Konvexní funkce je totiž ta, jejíž graf tvoří důlek; kdežto konkávní je ta, které graf vypadá jako hrb. Resp. funkce je konvexní tam, kde má důlek a konkávní, kde má kopec. Upřesním: konvexní je funkce, když oblouk grafu ukazuje doleva dolů, přímo dolů nebo doprava dolů. konkávní je funkce, když oblouk grafu ukazuje doleva nahoru, přímo nahoru nebo doprava nahoru. Takže y x 2 je konvexní všude.

8 Čili y (x + ) 2 všude, tj. i na x (-; )....pouze posunuté o doleva... je také konvexní Dále y e x je konvexní všude, čili i y 2e x všude, tj. i na x (-; )....pouze svisle dvojnásobně roztažené... je konvexní A z toho, jak je zadání formulováno a že správně je jen jedna odpověď, můžeme zaškrtnout rovnou (A) - "f, f 2 ". Protože se místy ale v minitestech objevují záludnosti, pro jistotu se podíváme i na ty ostatní: f 3 : y ln(x + 2)... Funkce y lnx je konkávní na celém definičním oboru:. Oproti ní je y ln(x + 2) pouze posunutá o 2 doleva a je tedy konkávní na celém svém definičním oboru, což je (-2; ), tedy i na (-; ) a nemůže tam být konvexní. Vypadá to takto: Nakreslit tu poslední f 4 bude trochu obtížnější, ale ne o moc. Začneme dobře známou nepřímou

9 úměrností: y, která vypadá takto: x. Tu si předěláme na y x. Doufám, že už víte, že jediný rozdíl oproti poslednímu obrázku je posunutí o jedničku doleva - takhle:. Zbývá se tedy vypořádat s tím mínusem, a budeme mít požadovanou f 4 : y - kolem osy x: x. To mínus je podstatné, protože způsobí překlopení grafu A z konečného obrázku vidíme, že f 4 je konvexní na intervalu (-, -) a konkávní na intervalu (-; ). Čili na (-; ) je konkávní, nikoliv konvexní, jak je požadováno. Nabízená odpověď (A) je tedy opravdu správně. Moje grafické řešení vypadá dlouze a pracně, protože zde zabralo hodně místa, ale ve skutečnosti, šlo jen o samé vysvětlování. Já dostat takový příklad v písemce, rovnou si představím výsledné grafy, maximálně ten poslední si načrtnu, a píšu výsledek. Bez práce, bez počítání. Teď se tedy podíváme na ten předepsaný způsob: I. Máme funkci f : y (x + ) 2. Pořídíme si její druhou derivaci: y`... složená funkce, vnitřní z x +, derivace vnitřní funkce: z` ; vnější funkce z 2, její derivace je 2z 2(x + )....2(x + ) 2x + 2 y`` (2x + 2)` 2. Vidíme, že hodnota druhé derivace funkce f nezávisí na x a je kladná. Takže f je konvexní mj. i na (-; ). II. Teď vezmeme funkci f 2 : y 2e x a pořídíme si její druhou derivaci. y` ( 2e x )` 2.( e x )` 2e x y`` ( 2e x )` 2e x. 2e x je pro všechna reálná x kladné, takže i pro všechna x (-; ). Funkce f 2 je tudíž na tomto intervalu konvexní.

10 III. Pokračujeme s funkcí f 3 : y ln(x + 2). Spočítat její druhou derivaci už bude trochu pracnější: y`... opět složená funkce, vnitřní z x + 2, derivace vnitřní funkce z` ; vnější lnz, její derivace je.... x 2 x 2. y`` ( x 2 )`... zase to pojmeme jako složenou funkci, vnitřní z x + 2, z`, vnější z -. Její derivace: -.z x 2-2 x 2 2 Víme, že druhá mocnina požírá mínusy, takže (x + 2) 2 je kromě x -2 vždy kladné. Proto ale i 2 je kromě mínus dvojky vždy kladné. A protože my před tím máme mínus, tak vychází x 2 druhá derivace f 3 naopak vždy záporná. Ta mínus dvojka stejně jako všechna menší čísla stejně nepatří do definičního oboru f 3. Takže funkce f 3 je na celém svém definičním oboru konkávní a nemůže tedy být na intervalu (-; ) konvexní. IV. A nakonec jako třešínku si vezmeme funkci f 4 : y - x a uděláme z ní druhou derivaci. y` ( - )`-( )`... pro změnu opět složená funkce, vnitřní: z x +, z` ; vnější x x je, tj.: z - a její derivace je -z (.( - )) x 2 x 2 y`` ( x 2 )`... Teď už snad nikoho nepřekvapí, že to bude složená funkce, kde vnitřní je z x +, z` ; vnější z -, derivace vnější funkce: -2z x 3-2 x 3. Abychom zjistili, kde je druhá derivace kladná, vyřešíme si zlomkovou nerovnici: - 2 x 0 3 / rozepsat mocninu jako ve zvláštní škole - 2 x. x. x 0 Nulový bod je jediný a dostaneme ho takto: x + 0 / - x - Stříháme číselnou osu: (-, ) (, -), (-; ) Tabulka:

11 -2 (x + ) (x + ) (x + ) (-, -) (-; ) celkem Druhá derivace funkce f 4 je tedy kladná na intervalu (-, -) a nikde jinde, neboli na intervalu (-; ) určitě kladná není, takže funkce f 4 na tomto intervalu není konvexní. Správně je skutečně možnost (A). 7. Najděte maximální otevřený interval, na němž je funkce ye x 2 + klesající. Postupujeme takto: I. vyrobíme derivaci (první) té funkce (dostaneme y`). II. vyřešíme nerovnici y` < 0, přičemž III. pokud vyjde sjednocení intervalů, nás zajímá jenom ten nejdelší interval. Poznámka: Že má být ten interval otevřený, tím se nemusíme trápit. Pokud bychom náhodou dostali interval uzavřený, pouze zahodíme koncový bod (koncové body), což se dělá tak, že se místo špičaté závorky napíše kulatá. S chutí do toho, půl je hotovo! I. ye x 2 + y`... Je to složená funkce. Vnitřní je Z, což je zase složená funkce. Nejvnitřnější funkce je z x 2 +. Její derivace je z` 2x. Potom Z z -. Derivace vnitřní funkce (jakoby spíš prostřední) funkce Z je: Z` -.z -2.z` -.(x 2 + ) -2.2x. Nejvnějšejší (česky by bylo lepší třebas slovo nejsvrchnější) funkce je ta exponenciela: e Z [čti é na velké zet], její derivace je zase e Z... 2x Z`.e Z - x 2.e 2 x 2 + II. y` < 0 2x - x 2.e x 2 + < 0 / Obecně řešíme stejně jako kvadratické a zlomkové nerovnice. 2 x 2x.e x 2. x 2 < 0 /...přepis (násobení zlomků), rozepsaná druhá mocnina /NULOVÉ BODY: 2x má nulový bod: x 0 (Zjistili bychom to takto: 2x 0 / :2 x 0)

12 x e 2 + nemá nulový bod (Exponenciela nikdy nevyjde nula ani záporné číslo - tedy dokud jsme v R.) (x 2 + ) také nemá nulový bod, protože třeba: x / - x 2 - / ± x ± - x / ZAKÁZÁNO MÍNUS POD ODMOCNINOU! Pokračujeme stříháním číselné osy nulovým(i) bodem (body): (-, ) (, 0), (0; ) a dále tabulkou: < 0 (-, 0) (0; ) -2x + - x e x x celkem Výsledek x (0; ). III. Sjednocení nevyšlo, takže hledaný interval je (0; ). Tudíž (C) je správně. 8. Pro vývoj počtu obyvatel jednoho jihoamerického města v desetiletém období byl sestaven model ve tvaru funkce p(t) t 3 + 9t t, kde t je čas v letech (0 t 0) a p(t) odpovídající počet obyvatel (v tisících). Jaký měl být podle uvedeného modelu minimální a maxinální počet obyvatel (v tisících) v uvedeném období (tj. t 0)? Postup: I. Určíme, kde má funkce na intervalu 0; 0 lokální extrémy. II. Dosadíme výsledné časy do předpisu funkce, dosadíme také krajní body intervalu - to je důležité, protože kdyby graf vypadal takto: dostali bychom nesmysl a skutečné řešení by se ztratilo. # # Jindy se to samozřejmě nedělá, protože bývá zadán otevřený interval (zde by vypydyl takto: (0; 0) ), který ty krajní body nemá.

13 III. Z takto získaného souboru vybereme největší a nejmenší číslo a to je výsledek. K bodu I. Uděláme to pomocí derivací: a) spočítáme první derivaci d p d t, b) zjistíme, pro která t je d p d t 0. A ta, která se nevejdou do 0; 0, vyhodíme. c) spočítáme druhou derivaci d2 p d t 2 (dalším derivováním výsledku z a) ), d) do výsledku dosadíme časy vyšlé z b) a když vyjde nula, tento čas ze souboru výsledků b) vyřadíme. Naplánováno máme, tak to provedeme. I. a) b) p(t) t 3 + 9t t d p d t 0-3t t t 2 + 8t + 48 d p d t 0-3t 2 + 8t / :(-3) t 2-6t t,2 -b± b2-4ac... a ; b -6; c ± a 2. 6± Mínus dvojku vyhazujeme. c) druhá derivace: d) d 2 p d t 2 d -3t 2 8 t 48 dt -3.2t t + 8 d 2 p d t 2 (8) OK! 6± II. p(8) p(0) p(0) Nejmenší z nih je to je tedy minimum a bylo na počátku. Největší z nich je 648, takže město dosáhlo maximálního zalidnění v osmém roce, pak už obyvatel ubývalo. Takový výsledek je uvedený v možnosti (A). Dokument je součástí projektu Matematiho matematické stránky.

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH (Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze definičních oborů ve formátu.doc.)

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován: 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1 1. Porovnejte mezi sebou normy zadaných vektorů p =(1,-3), q =(2,-2,2), r =(0,1,2,2). (A) p

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Zápočtová písemka Řešení

Zápočtová písemka Řešení Zápočtová písemka Řešení 0. května 0. Spočítejte derivaci následujicí funkce podle x a podle ln x: y ln ln ln x )) + ln ln ln 598 )).. Řešení: Tento člen ln ln ln 598 )) sloužil samozřejmě jen k zmatení

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Že tuto definici znáte, ale stále přesně nevíte, jak funkci chápat? Ukážeme si konkrétní příklad. 1 2 3 4 5 Definiční obor (množina A)

Že tuto definici znáte, ale stále přesně nevíte, jak funkci chápat? Ukážeme si konkrétní příklad. 1 2 3 4 5 Definiční obor (množina A) Funkce úvod Co je funkce Funkce je předpis, který číslu z množiny A přiřazuje právě jedno číslo z množiny B. Množina A je definiční obor funkce a množina B je obor hodnot funkce. Že tuto definici znáte,

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Pracovní materiál pro

Pracovní materiál pro Pracovní materiál pro Úvodní kurz pro FELÁKY Temešvár u Písku, září 01 Úvodem Tento text má sloužit jako přehled středoškolských znalostí a dovedností, které jsou nezbytné při studiu matematiky na vysoké

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

2.5.1 Kvadratická funkce

2.5.1 Kvadratická funkce .5.1 Kvadratická funkce Předpoklad: 1 Pedagogická poznámka: Velká většina studentů zvládne hodinu zcela samostatně. Snažím se nezapomenout je pochválit. Slovo kvadratická už známe, začínali jsme s kvadratickou

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT2

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT2 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT2 1. Lineární kombinace vektorů v 1 = (3,5,-2,0), v 2 = (-1,7,13,-3), v 3 = (1,0,-2,3) s koeficienty

Více

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 Urči definiční obor funkce 7 46 0 7 46 = 0 46 ± 5, = = 7; = 4 7 D ( f ) = ( ; 7 ; ) 7 f : y = 7 46 Funkce odmocnina je definována pro kladná reálná čísla a pro nulu Problematické

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 2008/2009 Autor: Mati neučitel.

MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 2008/2009 Autor: Mati neučitel. MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 008/009 Autor: Mati neučitel. Kdo se matiku pilně učil, a jen si není jistý zadanými příklady, tomu stačí ty kousky podbarvené oranžově. Kdo najde nějakou mou chybu, o které ještě

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Souhrnná prezentace. 14. října 2015. Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze

Souhrnná prezentace. 14. října 2015. Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Souhrnná prezentace Ondřej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze 4. října 205 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 / 70 Obsah Čísla 0 20,

Více

M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory

M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory Určeno jako studijní materiál pro třídy učebních oborů. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Trojčlenka přímá úměra. Trojčlenka přímá úměra. Trojčlenka nepřímá úměra. Trojčlenka nepřímá úměra. Matematická vsuvka I.

Trojčlenka přímá úměra. Trojčlenka přímá úměra. Trojčlenka nepřímá úměra. Trojčlenka nepřímá úměra. Matematická vsuvka I. Matematická vsuvka I. trojčlenka Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle necháme čerpadlo čerpat,

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Kapitola 10 Pouˇzit ı derivac ı (optimalizaˇcn ı ulohy) Motivace Pˇr ıklad 10.0.5. Pozn amky k postupu

Kapitola 10 Pouˇzit ı derivac ı (optimalizaˇcn ı ulohy) Motivace Pˇr ıklad 10.0.5. Pozn amky k postupu Kapitola 10 Pouˇzití derivací (optimalizační úlohy) Motivace Uˇzití diferenciálního počtu je velmi široké a zasahuje nejen do oblasti matematiky, ale také fyziky, chemie a dalších disciplín, kde je nutné

Více

Opravná zkouška 2SD 2012-2013 (celý rok)

Opravná zkouška 2SD 2012-2013 (celý rok) Opravná zkouška SD 01-01 (celý rok) 1) Přímá železniční trať má stoupání 5 a délku,5 km. Vypočítej její celkové převýšení. b) ) Na množině celých čísel řeš rovnici: 6 8. ma. b) ) Vypočítej obsah vybarveného

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE - CVIČENÍ

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

Návod k programu Graph, verze 4.3

Návod k programu Graph, verze 4.3 Návod k programu Graph, verze 4.3 Obsah 1 Úvod 2 2 Popis pracovní lišty a nápovědy 2 2.1 Nastavení os...................................... 2 2.2 Nápověda....................................... 3 3 Jak

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více