JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7"

Transkript

1 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární funkce: y t A.x + B. To A udává sklon přímky, který musí být stejný jako sklon té křivky v bodě dotyku, tzn.: A y`(a). Pořídíme si tedy tu derivaci (podle vzorečku pro derivaci zlomku): y` x ` x x `. x x. x ` x 2 A y` a 2a a Dostali jsme, že předpis té tečny vypadá takhle: y t 2 x B.. x x. x 2 x x 2 2x x 2 x 2 B dopočítáme z podmínky, že tečna prochází bodem dotyku, tj., že bod [a; f(a)] splňuje vztah pro tečnu, tedy: y a 2 a B, kde y(a) dostaneme dosazením a za x do vztahu křivky: y a a a 0. Takže to dopočítání: 0 2. B / úprava 0 2 B / + ½, B 2 Máme y 2 x 2. Ale nabízené výsledky takto nevypadají. V nich je všechno vlevo od rovnítka, vpravo je pouze nula a nejsou tam žádné zlomky. Zapracujeme tedy na výsledku jako na rovnici, abychom také dostali něco takového: y 2 x 2 /.2 2y -x + / + x -

2 2y + x - 0 No a stejně vychází možnost (E): žádná z uvedených. 2. Je dána funkce yx.e x2. Potom pro hodnoty y``(-), y``(0) a y``() platí:... Postup bude takovýto: ) zderivujeme jednou, 2) zderivujeme podruhé, 3) dosadíme, 4) porovnáme. ad ) yx.e x2 je součin funkcí. První z nich je x, její derivace je. Druhá z nich je e x2, což je složená funkce. Vnější funkce je e z, kde z x 2 je vnitřní funkce. Derivace vnější funkce vychází zase e z. Derivace vnitřní je z` 2x. Takže vynásobením derivace vnější funkce a derivace vnitřní funkce dostáváme: ( e x2 )` 2x.e z 2 x.e x2. Jsme tedy připraveni zderivovat ten zapeklitý součin: y` x`. e x2 + x.( e x2 )`. e x2 + x.2x. e x2 e x2 + 2x 2 e x2 (vytknout exponencielu za závorku): ( + 2x 2 ) e x2 (považuje se za slušnost ve výsledcích polynomy seřadit podle velikosti exponentu) (2x 2 + ) e x2 ad 2) Derivujeme funkci: (y` ) (2x 2 + ). e x2 což je zase součin 2 funkcí. První z nich je polynom 2x 2 +. Jeho derivace je: (2x 2 + )` 2.2x + 0 4x. Druhá z nich je složená funkce e x2, kterou jsme už zderivovali v bodě ): ( e x2 )` 2x. e x2. Takže: y`` (y`)` ((2x 2 + ). e x2 )` (2x 2 + )`. e x2 + (2x 2 + ).( e x2 )` 4x e x2 + (2x 2 + ).2 e x2 4x e x2 + 4x 3 e x2 + 2x e x2 4x 3 e x2 + 6x e x2 (4x 3 + 6x) e x2 ad 3) y``(-) (4.(-) + 6(-)).e -0e y``(0) ( ).e y``() ( ).e -0e Pro jistotu ještě dosadíme e 2,7 a dostáváme:

3 y``(-) -27; y``(0) 0; y``() 27. ad 4) -tento seznam hodnot druhé derivace už je seřazený od nejmenší po největší, takže máme konečný výsledek: y``(-) < y``(0) < y``(), což je možnost (C). 3. Je dána funkce y x 3-6x 2 + 9x + 4. Označme MI počet všech lokálních minim a MA počet všech lokálních maxim (na celém definičním oboru této funkce). Pak platí... Potřebujeme první derivaci. Zjistíme, ve kterých bodech je nulová - tak dostaneme adepty na lokální extrémy (tj. minima i maxima). * Pořídíme si i druhou derivaci funkce a dosadíme do ní ty body. Kde vyjde 2. derivace záporná, je maximum, kde vyjde kladná, tam je minimum, kde je nulová, tam bude asi inflexní bod. Poznámka: Nečekejme nějaký závratný počet bodů, protože jde o polynom. Grafy polynomů mají typické tvary (myslím tím, že polynomy např. 5. stupně vypydají všechny podobně): polynom. st. polynom 2. st. polynom 3. st. polynom 4. st. polynom 5. st. polynom 6st. * pozn.: Je to polynom 3. stupně, ten nikdy nemá na R globální minimum ani globální maximum, protože: lim ax 3 bx 2 cx d podle znaménka čísla a. A podobně lim ax 3 bx 2 cx d ±. x x

4 atd. o jeden míň oblouků než je stupeň Můžou být vzhůru nohama a oblouky můžou i chybět, ale ne přebývat. Dost ale řečí, pustíme se do počítání: y x 3-6x 2 + 9x + 4 y` 3x 2-6.2x + 9 3x 2-2x + 9 Řešíme rovnici: y` 0 3x 2-2x / :3 x 2-4x x,2 -b± b2-4a c ± a 2. 4± y`` ( 3x 2-2x + 9)` 3.2x - 2 6x - 2 y``() < 0... x je maximum. y``(3) > 0... x 3 je minimum. 4± Vyšlo nám minimum... MI a maximum... MA - to je možnost (D). Poznámka: Ošidil jsem Vás o ten inflexní bod? Inu, nebuďte smutní; některé kubické funkce (tj. polynomy 3. stupně) ho mají (např. f: y x 3 v bodě 0) a jiné ho mají také, akorát v něm není první derivace nulová. Tady by to bylo v x Je-li y4 x 2 7, určete pomocí diferenciálu v bodě a 3 odhad hodnoty y(2,72). Opíšu Vám tedy poučku ze skript, protože toto jsem ve škole asi bral, ale jen jako perličku, nikdy jsem to nepoužil a úspěšně zapomněl: Diferenciál funkce f v bodě a: df a f `(a).dx. Při aplikaci diferenciálu v bodě a na odhad funkční hodnoty v blízkém bodě x nahradíme dx hodnotou přírůstku (x - a). Výsledný vzorec je: f(x) f(a) + ( x - a).f ` (a), přičemž oproti skriptům já nevidím důvod, proč to komplikovat ještě dalším písmenkem "h x - a". Teď by to ještě chtělo vědět, co je v tom písmenkovém guláši co: f(x) chceme spočítat, je to ono y(2,72); takže vidíme také x 2,72. Bod a ze zadání souhlasí s písmenkem a ve vzorečku a je to tedy tři. f(a) dostaneme dosazením trojky do zadání funkce: f(a) y(3) Vzdálenost x - a si spočítáme ještě snáz: je to 2, ,28. Dosazovat ji budeme i s tím mínusem. f `(a) si opatříme derivováním a následným dosazením trojky: f `(x) y` ( 4 x 2 7 )` 4( x 2 7 )` složená funkce, vnitřní je z x 2 + 7, z` 2x; vnější je, derivace vnější funkce podle z vyjde:

5 4.2 x. 2 x x f `(3) 2 x x x 2 7 Konečné dosazení: f(x) y(2,72) 6 + (-0,28).3 6-0,84 5,6, což je nabízeno jako možnost (B). 5. Je dána funkce y x. Označme s počet všech lnx stacionárních bodů a i počet všech inflexních bodů dané funkce. Potom hodnota výrazu s + i je... Stacionární body jsou podle Vašich skript všechny ty, kde derivace (první) je nulová. Inflexní body jsou podle skript ty, kde je druhá derivace nulová a třetí nenulová. Po otřesné zkušenosti s 5. příkladem v MT6, ale dáme také pozor, jestli v bodech, co nám vyjdou, je ta funkce vůbec definovaná. A tím začneme - určíme definiční obor: D(y): Zakázáno je: ) nula a záporná čísla v logaritmu; tj..: x > 0... x (0, ) 2) nula ve jmenovateli, tj.: lnx 0 / e na e lnx e 0 / exponenciela a logaritmus se požerou, nenula na nultou je vždy jedna x... x (-, ) (, ) Pronikneme: x (0; ) (, ) D(y). Dále si pořídíme první, druhou a třetí derivaci: y x ln x je podíl funkcí, takže budeme derivovat podle schematu:

6 čitatel čitatel `. jmenovatel -čitatel.jmenovatel ` ( )` jmenovatel jmenovatel 2, kde jednotlivé dílčí derivace jsou jednoduché: x`, (lnx)` x, čili:.ln x - x. x y` ln x 2 ln x - ln x 2 ln x - ln x 2 (lnx) - - (lnx) -2 y`` ((lnx) - - (lnx) -2 )` složená funkce - vnitřní je z lnx, z`, vnější funkce je z - - z -2, x.(2(lnx) -3 - (lnx) -2 ) x -.(2(lnx) -3 - (lnx) -2 ) její derivace podle z: -z -2 - (-2)z -3 -z z -3 2(lnx) -3 - (lnx) -2 y``` (x -.(2(lnx) -3 - (lnx) -2 ))`...je to derivace součinu, takže podle vzorečku (prva.druha)` prva`.druha + prva.druha`; (x - )` -x -2 ; tu závorku s logaritmy derivujeme zasejc jako složenou funkci podobně jako před chvilkou při druhé derivaci, výsledek je: (2(lnx) -3 - (lnx) -2 )` (-6(lnx) (lnx) -3 )... -x -2 (2(lnx) -3 - (lnx) -2 ) + x -.x - (-6(lnx) (lnx) -3 ) -2x -2 (lnx) -3 + x -2 (lnx) -2-6x -2 (lnx) x -2 (lnx) -3 posčítáme členy se stejnými exponenty x -2 (lnx) -2-6x -2 (lnx) -4 x -2 ((lnx) -2-6(lnx) -4 ) Stacionární body: ln x ln x 20 / s ln x ln x 2 lnx x e e D(y) /.(lnx)2 / e na Inflexní body: x -.(2(lnx) -3 - (lnx) -2 ) 0 / součin je nulový, když jeden nebo oba ze členů jsou nulové x - 0 / přepis 2(lnx) -3 - (lnx) -2 0 / +(lnx) -2 x 0...nevyjde 2(lnx) -3 (lnx) -2 /.(lnx) 3 nikdy, 2 lnx / e na nemá řešení x e 2 e 2 je tedy adeptem na inflexní bod. Protože e 2,7, vychází to e 2 7,3 D(y). Dosadíme do třetí derivace: y```(e 2 ) (e 2 ) -2.((ln e 2 ) -2-6(ln e 2 ) -4 vzpomeneme si na definici logaritmu: ln e x? znamená "e na kolikátou je x?" Zde se ptáme "e na kolikátou je e 2? No na tu dvojku přece!"... (e 2 ) -2.( )...(základ x ) y základ x.y... e -4.( ) e ) e ) 6 e e 4 0 Vyšlo, že druhá derivace je nulová v bodě, e 2, ve kterém je zároveň třetí derivace nenulová. To znamená, že zde má funkce inflexní bod (jediný). Tedy: i.

7 To dosadíme do výrazu s + i + 2, což je možnost (B). 6. Která dvojice z následujících funkcí f : y (x + ) 2, f 2 : y 2e x, f 3 : y ln(x + 2), f 4 : y - x jsou funkce na intervalu (-; ) konvexní? Tento minitest je na derivace vyšších řádů, v učebnici je, že konvexní funkce se pozná tak, že má kladnou druhou derivaci. Takže to vypadá, že jediný správný postup je: I. udělat druhé derivace všech funkcí, II. zjistit, kde jsou druhé derivace kladné a kde záporné; III. posoudit to, co vyšlo v II. vzhledem k intervalu (-; ). Provedeme to vše později. Ukážu Vám filištínské řešení založené na zkušenostech s načrtáváním grafů funkcí. Konvexní funkce je totiž ta, jejíž graf tvoří důlek; kdežto konkávní je ta, které graf vypadá jako hrb. Resp. funkce je konvexní tam, kde má důlek a konkávní, kde má kopec. Upřesním: konvexní je funkce, když oblouk grafu ukazuje doleva dolů, přímo dolů nebo doprava dolů. konkávní je funkce, když oblouk grafu ukazuje doleva nahoru, přímo nahoru nebo doprava nahoru. Takže y x 2 je konvexní všude.

8 Čili y (x + ) 2 všude, tj. i na x (-; )....pouze posunuté o doleva... je také konvexní Dále y e x je konvexní všude, čili i y 2e x všude, tj. i na x (-; )....pouze svisle dvojnásobně roztažené... je konvexní A z toho, jak je zadání formulováno a že správně je jen jedna odpověď, můžeme zaškrtnout rovnou (A) - "f, f 2 ". Protože se místy ale v minitestech objevují záludnosti, pro jistotu se podíváme i na ty ostatní: f 3 : y ln(x + 2)... Funkce y lnx je konkávní na celém definičním oboru:. Oproti ní je y ln(x + 2) pouze posunutá o 2 doleva a je tedy konkávní na celém svém definičním oboru, což je (-2; ), tedy i na (-; ) a nemůže tam být konvexní. Vypadá to takto: Nakreslit tu poslední f 4 bude trochu obtížnější, ale ne o moc. Začneme dobře známou nepřímou

9 úměrností: y, která vypadá takto: x. Tu si předěláme na y x. Doufám, že už víte, že jediný rozdíl oproti poslednímu obrázku je posunutí o jedničku doleva - takhle:. Zbývá se tedy vypořádat s tím mínusem, a budeme mít požadovanou f 4 : y - kolem osy x: x. To mínus je podstatné, protože způsobí překlopení grafu A z konečného obrázku vidíme, že f 4 je konvexní na intervalu (-, -) a konkávní na intervalu (-; ). Čili na (-; ) je konkávní, nikoliv konvexní, jak je požadováno. Nabízená odpověď (A) je tedy opravdu správně. Moje grafické řešení vypadá dlouze a pracně, protože zde zabralo hodně místa, ale ve skutečnosti, šlo jen o samé vysvětlování. Já dostat takový příklad v písemce, rovnou si představím výsledné grafy, maximálně ten poslední si načrtnu, a píšu výsledek. Bez práce, bez počítání. Teď se tedy podíváme na ten předepsaný způsob: I. Máme funkci f : y (x + ) 2. Pořídíme si její druhou derivaci: y`... složená funkce, vnitřní z x +, derivace vnitřní funkce: z` ; vnější funkce z 2, její derivace je 2z 2(x + )....2(x + ) 2x + 2 y`` (2x + 2)` 2. Vidíme, že hodnota druhé derivace funkce f nezávisí na x a je kladná. Takže f je konvexní mj. i na (-; ). II. Teď vezmeme funkci f 2 : y 2e x a pořídíme si její druhou derivaci. y` ( 2e x )` 2.( e x )` 2e x y`` ( 2e x )` 2e x. 2e x je pro všechna reálná x kladné, takže i pro všechna x (-; ). Funkce f 2 je tudíž na tomto intervalu konvexní.

10 III. Pokračujeme s funkcí f 3 : y ln(x + 2). Spočítat její druhou derivaci už bude trochu pracnější: y`... opět složená funkce, vnitřní z x + 2, derivace vnitřní funkce z` ; vnější lnz, její derivace je.... x 2 x 2. y`` ( x 2 )`... zase to pojmeme jako složenou funkci, vnitřní z x + 2, z`, vnější z -. Její derivace: -.z x 2-2 x 2 2 Víme, že druhá mocnina požírá mínusy, takže (x + 2) 2 je kromě x -2 vždy kladné. Proto ale i 2 je kromě mínus dvojky vždy kladné. A protože my před tím máme mínus, tak vychází x 2 druhá derivace f 3 naopak vždy záporná. Ta mínus dvojka stejně jako všechna menší čísla stejně nepatří do definičního oboru f 3. Takže funkce f 3 je na celém svém definičním oboru konkávní a nemůže tedy být na intervalu (-; ) konvexní. IV. A nakonec jako třešínku si vezmeme funkci f 4 : y - x a uděláme z ní druhou derivaci. y` ( - )`-( )`... pro změnu opět složená funkce, vnitřní: z x +, z` ; vnější x x je, tj.: z - a její derivace je -z (.( - )) x 2 x 2 y`` ( x 2 )`... Teď už snad nikoho nepřekvapí, že to bude složená funkce, kde vnitřní je z x +, z` ; vnější z -, derivace vnější funkce: -2z x 3-2 x 3. Abychom zjistili, kde je druhá derivace kladná, vyřešíme si zlomkovou nerovnici: - 2 x 0 3 / rozepsat mocninu jako ve zvláštní škole - 2 x. x. x 0 Nulový bod je jediný a dostaneme ho takto: x + 0 / - x - Stříháme číselnou osu: (-, ) (, -), (-; ) Tabulka:

11 -2 (x + ) (x + ) (x + ) (-, -) (-; ) celkem Druhá derivace funkce f 4 je tedy kladná na intervalu (-, -) a nikde jinde, neboli na intervalu (-; ) určitě kladná není, takže funkce f 4 na tomto intervalu není konvexní. Správně je skutečně možnost (A). 7. Najděte maximální otevřený interval, na němž je funkce ye x 2 + klesající. Postupujeme takto: I. vyrobíme derivaci (první) té funkce (dostaneme y`). II. vyřešíme nerovnici y` < 0, přičemž III. pokud vyjde sjednocení intervalů, nás zajímá jenom ten nejdelší interval. Poznámka: Že má být ten interval otevřený, tím se nemusíme trápit. Pokud bychom náhodou dostali interval uzavřený, pouze zahodíme koncový bod (koncové body), což se dělá tak, že se místo špičaté závorky napíše kulatá. S chutí do toho, půl je hotovo! I. ye x 2 + y`... Je to složená funkce. Vnitřní je Z, což je zase složená funkce. Nejvnitřnější funkce je z x 2 +. Její derivace je z` 2x. Potom Z z -. Derivace vnitřní funkce (jakoby spíš prostřední) funkce Z je: Z` -.z -2.z` -.(x 2 + ) -2.2x. Nejvnějšejší (česky by bylo lepší třebas slovo nejsvrchnější) funkce je ta exponenciela: e Z [čti é na velké zet], její derivace je zase e Z... 2x Z`.e Z - x 2.e 2 x 2 + II. y` < 0 2x - x 2.e x 2 + < 0 / Obecně řešíme stejně jako kvadratické a zlomkové nerovnice. 2 x 2x.e x 2. x 2 < 0 /...přepis (násobení zlomků), rozepsaná druhá mocnina /NULOVÉ BODY: 2x má nulový bod: x 0 (Zjistili bychom to takto: 2x 0 / :2 x 0)

12 x e 2 + nemá nulový bod (Exponenciela nikdy nevyjde nula ani záporné číslo - tedy dokud jsme v R.) (x 2 + ) také nemá nulový bod, protože třeba: x / - x 2 - / ± x ± - x / ZAKÁZÁNO MÍNUS POD ODMOCNINOU! Pokračujeme stříháním číselné osy nulovým(i) bodem (body): (-, ) (, 0), (0; ) a dále tabulkou: < 0 (-, 0) (0; ) -2x + - x e x x celkem Výsledek x (0; ). III. Sjednocení nevyšlo, takže hledaný interval je (0; ). Tudíž (C) je správně. 8. Pro vývoj počtu obyvatel jednoho jihoamerického města v desetiletém období byl sestaven model ve tvaru funkce p(t) t 3 + 9t t, kde t je čas v letech (0 t 0) a p(t) odpovídající počet obyvatel (v tisících). Jaký měl být podle uvedeného modelu minimální a maxinální počet obyvatel (v tisících) v uvedeném období (tj. t 0)? Postup: I. Určíme, kde má funkce na intervalu 0; 0 lokální extrémy. II. Dosadíme výsledné časy do předpisu funkce, dosadíme také krajní body intervalu - to je důležité, protože kdyby graf vypadal takto: dostali bychom nesmysl a skutečné řešení by se ztratilo. # # Jindy se to samozřejmě nedělá, protože bývá zadán otevřený interval (zde by vypydyl takto: (0; 0) ), který ty krajní body nemá.

13 III. Z takto získaného souboru vybereme největší a nejmenší číslo a to je výsledek. K bodu I. Uděláme to pomocí derivací: a) spočítáme první derivaci d p d t, b) zjistíme, pro která t je d p d t 0. A ta, která se nevejdou do 0; 0, vyhodíme. c) spočítáme druhou derivaci d2 p d t 2 (dalším derivováním výsledku z a) ), d) do výsledku dosadíme časy vyšlé z b) a když vyjde nula, tento čas ze souboru výsledků b) vyřadíme. Naplánováno máme, tak to provedeme. I. a) b) p(t) t 3 + 9t t d p d t 0-3t t t 2 + 8t + 48 d p d t 0-3t 2 + 8t / :(-3) t 2-6t t,2 -b± b2-4ac... a ; b -6; c ± a 2. 6± Mínus dvojku vyhazujeme. c) druhá derivace: d) d 2 p d t 2 d -3t 2 8 t 48 dt -3.2t t + 8 d 2 p d t 2 (8) OK! 6± II. p(8) p(0) p(0) Nejmenší z nih je to je tedy minimum a bylo na počátku. Největší z nich je 648, takže město dosáhlo maximálního zalidnění v osmém roce, pak už obyvatel ubývalo. Takový výsledek je uvedený v možnosti (A). Dokument je součástí projektu Matematiho matematické stránky.

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH (Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze definičních oborů ve formátu.doc.)

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

1. Vypočtěte derivaci elementární funkce y = 6 x + 7

1. Vypočtěte derivaci elementární funkce y = 6 x + 7 Ř E Š E N Í M I N I T E S T Ů JčU Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT6. Vypočtěte derivaci elementární funkce y 6 x + 7 Vzpomeneme si na poučku o odmocninách:

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3, V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.

Více

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován: 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1 1. Porovnejte mezi sebou normy zadaných vektorů p =(1,-3), q =(2,-2,2), r =(0,1,2,2). (A) p

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Logaritmická rovnice

Logaritmická rovnice Ročník:. Logaritmická rovnice (čteme: logaritmus z x o základu a) a základ logaritmu x argument logaritmu Vzorce Použití vzorců a principy počítání s logaritmy jsou stejné jako u logaritmů základních,

Více

Zápočtová písemka Řešení

Zápočtová písemka Řešení Zápočtová písemka Řešení 0. května 0. Spočítejte derivaci následujicí funkce podle x a podle ln x: y ln ln ln x )) + ln ln ln 598 )).. Řešení: Tento člen ln ln ln 598 )) sloužil samozřejmě jen k zmatení

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená: čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá mocnina délky

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

M - Kvadratická funkce

M - Kvadratická funkce M - Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

, f g jsou elementární funkce.

, f g jsou elementární funkce. Průběh funkce použité definice a věty Definice. Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Řekneme, že funkce je spojitá na

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Jednoduchá exponenciální rovnice

Jednoduchá exponenciální rovnice Jednoduchá exponenciální rovnice Z běžné rovnice se exponenciální stává, pokud obsahuje proměnnou v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: a f(x) = b g(x), kde a, b > 0. Typickým

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1 1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

Exponenciální funkce. a>1, pro a>0 a<1 existuje jiný graf, který bude uveden za chvíli. Z tohoto

Exponenciální funkce. a>1, pro a>0 a<1 existuje jiný graf, který bude uveden za chvíli. Z tohoto Exponenciální funkce Exponenciální funkce je taková funkce, která má neznámou na místě exponentu. Symbolický zápis by tedy vypadal takto: f:y = a x, kde a > 0 a zároveň a 1 (pokud by se a mohlo rovnat

Více

Průběh funkce II (hledání extrémů)

Průběh funkce II (hledání extrémů) .. Průběh funkce II (hledání etrémů) Předpoklad: Pedagogická poznámka: Poslední příklad v běžné vučovací hodině nestíháme. Rchlost postupu je možné značně ovlivnit tím, kolik času dáte studentům na výzkumné

Více

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu 1..1 Průběh funkce III (prohnutí Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Při poctivém probírání b tato látka zabrala dvě celé vučovací hodin. Studenti z toho nebudou příliš nadšení, je zde příliš mnoho definic

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf

Více

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto:

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: Eponenciální rovnice V eponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v eponentu. Obecně bychom mohli eponenciální rovnici zapsat takto: a ( ) f ( ) f kde a > 0, b > 0 b Příkladem velmi jednoduché eponenciální

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Řešené příklady ze starých zápočtových písemek

Řešené příklady ze starých zápočtových písemek Řešené příklady ze starých zápočtových písemek Úloha. Najděte všechna reálná řešení rovnice log x log x 3 = log 6. Řešení. Nebot logaritmus je definovaný pouze pro kladné hodnoty dostáváme ihned podmínku

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

Nepřímá úměrnost I

Nepřímá úměrnost I .. Nepřímá úměrnost I Předpoklady: 000 Př. : Která z následujících slovních úloh popisuje nepřímou úměrnost? Zapiš nepřímou úměrnost jako funkci. a) 7 rohlíků stojí Kč. Kolik bude stát rohlíků? b) Pokud

Více

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body:

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body: Výsledky Př.. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) y < y > y < y > -2 0 3 Funkce je rostoucí v intervalech. Funkce je klesající v intervalech b) y < y > y < - Funkce je rostoucí v

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

4 Numerické derivování a integrace

4 Numerické derivování a integrace Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,

Více

Logaritmické rovnice a nerovnice

Logaritmické rovnice a nerovnice Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Logaritmické rovnice a nerovnice Bakalářská práce Brno 008 Lenka Balounová Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze z materiálů

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Že tuto definici znáte, ale stále přesně nevíte, jak funkci chápat? Ukážeme si konkrétní příklad. 1 2 3 4 5 Definiční obor (množina A)

Že tuto definici znáte, ale stále přesně nevíte, jak funkci chápat? Ukážeme si konkrétní příklad. 1 2 3 4 5 Definiční obor (množina A) Funkce úvod Co je funkce Funkce je předpis, který číslu z množiny A přiřazuje právě jedno číslo z množiny B. Množina A je definiční obor funkce a množina B je obor hodnot funkce. Že tuto definici znáte,

Více

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012 Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj.

a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. @121 12. Mocninné funkce a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. řekli: 1. Je-li exponent r přirozené číslo, může

Více

Matematika I (KMI/5MAT1)

Matematika I (KMI/5MAT1) Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny

Více

Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Matematika I: Pracovní listy do cvičení Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

Pracovní materiál pro

Pracovní materiál pro Pracovní materiál pro Úvodní kurz pro FELÁKY Temešvár u Písku, září 01 Úvodem Tento text má sloužit jako přehled středoškolských znalostí a dovedností, které jsou nezbytné při studiu matematiky na vysoké

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více