DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Miroslava Jarešová Bohumil Vybíral
|
|
- Klára Hájková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Miroslava Jarešová Bohumil Vybíral Obsah Úvod pojem diferenciální rovnice 3 Příklad1 radioaktivnírozpad Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu Jakřešitjednoduššídiferenciálnírovnice1.řádu Řešení diferenciálních rovnic 1. řádu metodou separace proměnných Příklad2 separaceproměnných Příklad3 separaceproměnných Příklad4 integrálníkřivka Řešení lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu metodou variacekonstant Příklad5 variacekonstant Příklad6 variacekonstant Cvičení Úlohyvedoucíkřešenídiferenciálníchrovnic1.řádu Příklad7 barometrickárovnice Příklad8 nabíjeníkondenzátoru Příklad9 vlivcívkynaprůchodprouduvel.obvodupřipřechodovémději Příklad10 výtokkapalinyznádoby Příklad11 vedenítepla Příklad12 diskotáčejícísevkapalině Příklad13 závěsnýmost Cvičení Obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu Jakřešitobyčejnédiferenciálnírovnice2.řádu Příklad14 řešenídiferenciálnírovnicesníženímřádu Homogenní lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantnímikoeficienty Cvičení
2 Příklad 15 diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty Příklad 16 diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty Příklad 17 diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty Cvičení Úlohyvedoucíkřešenídiferenciálníchrovnic2.řádu Příklad18 mechanickýoscilátor Příklad 19 kmity kapalinového sloupce ve spojených nádobách 36 Příklad20 myšlenkovýprůletkamenezemí Příklad 21 dvoutělesový oscilátor- model kmitů v dvouatomovémolekule Příklad22 Padajícířetěz Příklad23 Otáčejícísetrubka Cvičení Ukázky náročnějších úloh vedoucích k řešení diferenciálních rovnic 45 Příklad24 závěsnýmost řetězovka Příklad25 úlohaokřivcenejkratšídoby Fermatůvprincip. 49 Příklad 26 úloha o křivce nejkratší doby brachystochrona Shrnutí návod, jak sestavovat diferenciální rovnice podle podmínek úloh 54 Řešení cvičení 56 Cvičení Cvičení Cvičení Cvičení Cvičení Literatura 60 2
3 Úvod pojem diferenciální rovnice Při výpočtech, v nichž se vyskytují derivace funkcí, zjišťujeme, že mezi funkcemi ajejichderivacemiplatířadavztahů.např.profunkci y(t) = Asintplatí y (t)=acost, y (t)= Asint.Potom y (t)+y(t)=0. (1) Vezmeme-lijinoufunkci y(t),např. y(t)=be t,je y (t)=be t,pakmůžeme psát y (t) y(t)=0. (2) Rovnice, v nichž se jako neznámá vyskytuje funkce a její derivace, nazýváme diferenciální rovnice. My se však budeme zabývat problémem opačným: k danému vztahu mezi funkcí a jejími derivacemi a nezávisle proměnnou, budeme hledat funkce, které tentovztahsplňují.vztahy(1)a(2)budemetedychápatjakorovnice,vnichž budeme hledat neznámou funkci y(t). Pak můžeme říci, že např. funkce y(t)=asintjeřešenímrovnice(1).řešenímrovnice(1)jevšaktakéfunkce y(t)=bcost,nebotakéfunkce y(t)=asint+bcost-přesvědčteseotom derivováním a dosazením do(1). Řešením diferenciální rovnice budeme rozumět takové funkce, jejichž dosazením do diferenciální rovnice dostaneme identitu. Je vidět, že řešení dané diferenciální rovnice není jediné, ale může jich být i nekonečně mnoho. V praktických(v našem případě fyzikálních) úlohách však většinou ještě budeme znát podmínky(počáteční, okrajové, doplňující), které nám umožní z nekonečně mnoha řešení vybrat takové, které odpovídá dané situaci. Ukažme si toto na následujícím jednoduchém příkladu. Uvažujme rovnoměrný přímočarý pohyb tělesa. Z fyziky víme, že velikost rychlostijederivacídráhypodlečasu,tj. s (t)=v(t).přirovnoměrnémpřímočarémpohybuje v(t)=v=konst.dostanemepak s (t)=v, (3) což je vlastně diferenciální rovnice pro dráhu s(t). Integrací dostaneme s(t)=vt+c, (4) kde C je libovolná integrační konstanta. Integračníkonstantu Curčímezpočátečníchpodmínek:nechťvčase t=t 0 urazilotělesojiždráhu s 0,tj. s(t 0 )=s 0.Dosadíme-lidorovnice(4)za t=t 0, dostaneme C= s 0 vt 0.Pakmůžemepsát s(t)=s 0 + v(t t 0 ). 3
4 Zkusme nyní obdobným způsobem popsat rovnoměrně zrychlený pohyb, tj. a(t) = a = konst..víme,žeplatí s (t) = v(t), v (t) = a(t) = a,zčehož dostaneme rovnici s (t)=a. (5) Po první integraci dostaneme další integrací s (t)=at+c 1, (6) s(t)= 1 2 at2 + C 1 t+c 2, (7) kde C 1, C 2 jsoulibovolnéintegračníkonstanty.určímejezdanýchpočátečních podmínek:včase t=0je s(0)=s 0, s (0)=v 0.Podosazenídovztahu(6) dostaneme v 0 = a 0+C 1,tj. C 1 = v 0,podosazenídovztahu(7)dostaneme s 0 = 1 2 a 02 +C 1 0+C 2,tj. C 2 = s 0.Jetedy s(t)=s 0 +v 0 t+ 1 2 at2.přesvědčte se dosazením, že tato funkce je skutečně řešením rovnice(5). Uvědomme si ještě jednu věc: viděli jsme, že v případě rovnoměrného pohybu diferenciální rovnice 1. řádu, stačilo zadat jednu počáteční podmínku, zatímco v případě rovnoměrně zrychleného pohybu diferenciální rovnice 2. řádu bylonutnézadatdvěpočátečnípodmínky.nenítonáhoda.zhlediska fyziky obvykle zadáváme tolik počátečních podmínek, kolik je řád nejvyšší derivace obsažené v rovnici pak dostaneme právě jedno řešení odpovídající dané situaci. Při řešení diferenciálních rovnic bývá zvykem značit derivace různými způsoby: y, d2 y dx 2, ÿ, d2 y dt 2.Tečkaprooznačeníderivacesepoužívávpřípadě,žederivujemepodlečasu,tj. ẏ = dy dt, ÿ = d2 y dt 2.Ovšemproměnnápřiřešenírovnicenemusíbýtvždyčas;pakpoužívámenapř.značení y = dy dx, y = d2 y dx 2, derivujeme-li podle proměnné x. pojem derivace, pouze vystačíme s limitou lim x Nyní si ukážeme dva různé postupy, jak řešit úlohu, jejíž výsledkem bude exponenciální funkce. Při řešení úlohy 1 prvním způsobem ( nepotřebujeme znát 1+ x) 1 x =e.nevýhodatohoto postupu ovšem spočívá v tom, že je příliš zdlouhavý a použitelný pouze pro typy úloh, kde je výsledkem exponenciální funkce(což ne vždy na začátku řešení úlohy poznáme). Druhý způsob využívá derivace, řeší se zde jednoduchá diferenciální rovnice. Postup je rychlejší, lze jej použít i u typů úloh, kde výsledkem není jen exponenciální funkce. 4
5 Příklad 1 radioaktivní rozpad Rychlost rozpadu prvku rádium je přímo úměrná jeho hmotnosti. Určete, kolik procenthmotnosti m 0 rádiaserozpadneza200let,jestliževíte,žepoločas rozpadu rádia, tj. doba, za níž se rozpadne právě polovina jeho původního množství(resp. hmotnosti), je roven 1590 let. Rychlost rozpadu uvažujeme jako m t. Řešení Úlohu vyřešíme dvěma způsoby, a to a) bez užití derivací, b) s užitím derivací. a) Rozdělme si uvažovanou dobu t rozpadu rádia na n stejných časových intervalů t.označmedále múbytekhmotnostičásticzadobu t.zamalý časový interval t je hmotnost rádia, které se rozpadne, rovna λm t, kde m je hmotnost rádia v daném časovém okamžiku, λ > 0 koeficient úměrnosti. Tatáž hmotnost vzatá s opačným znaménkem(hmotnost nerozpadlých částic ubývá), je rovna přírůstku hmotnosti rozpadlých částic za dobu t: m= λm t. (8) Nechťmárádiumnapočátku1.časovéhointervaluhmotnost m 0,2.časového intervaluhmotnost m 1 = m 0 + m,3.časovéhointervaluhmotnost m 2 = = m 1 + m,...,nakonciuvažovanédoby m n = m. Platí m 1 = m 0 λm 1 t, odkud m 1 = m 0 1+λ t, m 2 = m 1 λm 2 t, odkud m 2 = m 1 1+λ t = m 0 (1+λ t) 2,..., m nakonciuvažovanédoby t=n tje m n = 0 (1+λ t) n. Přitěchtoúvaháchpředpokládáme,žehmotnosti m 0, m 1,..., m n majívčasových intervalech t stálou velikost. Podosazeníza t = t n dostaneme m=m m 0 n= ( 1+λ n) t n. Označme λ t n =1,odkud n=λtx. x Podosazenídovztahupro mdostaneme m= m 0 [( 1+ 1 ) x ] λt. x 5
6 Řešení úlohy bude tím přesnější, čím větší počet úseků n zvolíme. ( Bude-li v limitě n (tímtaké x ),dostanemeužitímvztahu lim 1+ 1 x =e x x) vztah pro hmotnost m=m 0 e λt. (9) Konstantu λurčímezpodmínky:je-livčase t=t hmotnost m= m 0 2,je m 0 2 = m 0e λt,odkud λ= ln2 T,atudíž m(t)=m(0)e ln2 T t = m 0 2 t ( ) t T 1 T = m(0). 2 Prodanéhodnoty: m(200)=0,915m 0.Za200letserozpadne8,5%rádia. b) Vztah(8) přepíšeme pomocí diferenciálů dm = λmdt. Tutorovniciupravímenatvar dm m = λdt,(tzv.separace-odděleníproměnných).pointegracilnm= λt+lncaodlogaritmováníje m=c e λt. Počátečnípodmínka:včase t = 0je m = m 0,zčehož C = m 0,atudíž m = m 0 e λt.koeficient λurčímezdoplňujícípodmínky:včase t = T je m= m 0 2,tj. m 0 2 = m 0e λt,odkud λ= ln2 T,atudíž m(t)=m 0 e ln2 T t = m 0 2 t T = m 0 ( 1 2) t T, cožjestejnývýsledekjakovúlozea). Prodanéhodnoty: m(200)=0,915m 0.Za200letserozpadne8,5%rádia. Příklad 1 nám ukazuje, jak je výhodné naučit se řešit úlohy pomocí diferenciálních rovnic. Podívejme se tedy v další části na řešení diferenciálních rovnic podrobněji. Vzhledem k omezenému rozsahu textu se omezíme pouze na jednodušší typy obyčejných diferenciálních rovnic majících značné uplatnění při studiu fyzikálních jevů. 6
7 1 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu 1.1 Jak řešit jednodušší diferenciální rovnice 1. řádu Z předchozího textu vyplývá, že obyčejnou diferenciální rovnicí n-tého řádu rozumíme vztah mezi nezávisle proměnnou, neznámou funkcí této proměnné a derivacemi této funkce až do n-tého řádu. Označíme-li nezávisle proměnnou x a neznámou funkci y, pak můžeme obyčejnou diferenciální rovnici n-tého řádu psát ve tvaru ϕ(x,y,y,y,...,y (n) )=0, (10) kde ϕjefunkce(n+2)proměnných. Konkrétněnapř. y + xy=0, y +4y sin(x)=0jsouobyčejnédiferenciální rovnice1.a2.řádu. Řešit(integrovat) diferenciální rovnici(10), znamená nalézt všechny funkce y = ϕ(x), které vyhovují dané diferenciální rovnici. Každá funkce, která vyhovuje dané diferenciální rovnici, se nazývá integrál diferenciální rovnice,např.rovnici y + y = 0vyhovujefunkce y = sinx. Mohlibychomseotompřesvědčitdosazenímdodanérovnice.Nenítoale jediný integrál této rovnice, protože dané rovnici vyhovuje také každá funkce y= Csinxnebo y= Ccosxnebo y= ±Ce x,kde Cjelibovolnákonstanta. Nyní se už začneme zabývat jednoduchými rovnicemi 1. řádu. Takovou rovnicilzepsátobecněvetvaru ϕ(x,y,y )=0. (11) Dokážeme-liztétorovnicevypočítat y jakofunkciproměnných x, y,dostaneme rovnici(11) ve tvaru y = f(x,y). Nejjednodušší typ této rovnice můžeme zapsat ve tvaru y = f(x), (12) což vede k hledání primitivní funkce. Zintegrálníhopočtuvíme,žeje-li F(x)primitivnífunkcekfunkci f(x), paktakékaždáfunkce F(x)+C,kde Cjelibovolnákonstanta,jeprimitivní funkcíkfunkci f(x). Dáletakévíme,žeplatí:jsou-li F 1 (x)af 2 (x)dvěrůznéprimitivnífunkce kfunkci f(x),pakjejejichrozdílrovenkonstantě,tj. F 1 (x) F 2 (x)=c. 7
8 Dokážeme-li nalézt k funkci f(x) funkci primitivní, zvládneme již také vyřešit diferenciální rovnici(12). Potom y= f(x)dx+c, (13) kde C je libovolná konstanta. Z(13) je vidět, že hledaná funkce není rovnicí(13) určena jednoznačně, ale že rovnice(12) má řešení nekonečně mnoho. Každé takové řešení dostaneme, zvolíme-li za C v rovnici(13) nějaké číslo. Řešení ve tvaru(13), které obsahuje libovolnou konstantu C, nazýváme obecný integrál diferenciální rovnice(12). Každé řešení, které dostaneme z obecného integrálu, zvolíme-li za C nějaké libovolné číslo, se nazývá partikulární integrál diferenciální rovnice(12). Obecný integrál je tedy souhrnem všech integrálů partikulárních. Graf funkce, která je integrálem dané diferenciální rovnice, se nazývá integrální křivka danédiferenciálnírovnice.např.rovnice y =2xmáobecnýintegrál y=x 2 +C, kdežto y= x 2, y= x 2 1apod.jsoujejípartikulárníintegrály.Integrálníkřivky této diferenciální rovnice jsou paraboly ekvidistantně posunuté ve směru osy y. Vzhledem k tomu, že za konstantu C můžeme zvolit libovolné číslo, můžeme klást na hledanou funkci ještě nějaký další požadavek a snažit se, aby hledaná funkce zvolený požadavek splňovala pro hledanou funkci jsme zvolili počáteční podmínku.budemenapř.požadovat,abyhledanáintegrálníkřivka y=x 2 +C procházelanějakýmpředemzvolenýmbodem x 0 =[2,3].Pak3=2 2 + C, zčehož C= 1.Rovnicehledanékřivkytedybude y= x Řešení diferenciálních rovnic 1. řádu metodou separace proměnných Jednáseorovnicitypu Podosazení y = dy dx dostaneme y = f(x)g(y) (14) dy = f(x)g(y). (15) dx Zúvahyvyloučímeprozatímtybody,prokteréje g(y)=0.pakmůžemepsát dy = f(x)dx. (16) g(y) 8
9 Vrovnici(16)jsouoběproměnnéodsebeoddělenytak,ženalevéstraněrovnice se vyskytuje pouze funkce proměnné y a její diferenciál, na pravé straně pak jen součin funkce proměnné x a diferenciálu dx. V takovém případě jsou proměnné separovány(odděleny). Pokud existují kfunkcím 1 g(y) a f(x)primitivnífunkce,můžemepsát dy g(y) = f(x)dx+c. (17) Je-li g(y)=0,pak dy =0,tj. y= konst.adostávámetzv.singulárnířešení. dx Rovnici(17) nazýváme obecný integrál rovnice(15). Dokážeme-li rovnici (17)řešitvzhledemky,dostanemeobecnýintegrálrovnicevetvaru y= h(x)+ C. Příklad2 separaceproměnných 1 Řešte diferenciální rovnici xdy+ ydx=0. Řešení a)vyloučímeznašíúvahynejprvetybody,prokteréjebuď x=0(bodyosy y)nebo y=0(bodyosy x).pakmůžemedanourovnicidělitsoučinem xya upravit na tvar: dy y = dx x. Pointegraciln y = ln x +K,kde Kjelibovolnákonstanta.Zvolmedále K=ln C 1,kde C 1 >0.Pakdostaneme Po odlogaritmování dostaneme ln y = ln x +lnc 1. y = C 1 x, neboli xy =C 1,kde C 1 >0.Chceme-liodstranitabsolutníhodnotuztéto rovnice, musíme rozlišit dva případy: 1. xy >0,pak xy= C 1,nebo 9
10 2. xy <0,pak xy= C 1. Oba tyto případy lze vyjádřit jedinou rovnicí kde C R {0}. xy= C, b) Nyní vyřešíme původně vyloučené případy. Nejprve se podíváme na body, proněž y=0.tatorovniceznačíkonstantnífunkci,stálerovnounule.diferenciáltétofunkcejeovšemtakéstálerovennule,tj.dy=0.dosadíme-lido rovnice y=0atakédy=0,vidíme,žejetakétatorovnicesplněna.jetedy funkce y = 0 také integrálem dané rovnice. Integrální křivka je v tomto případě osa x. Podobnějetomuivedruhémpřípadě,tj.pro x=0.pakjeopěttakédx=0 a daná rovnice je zase splněna. Jedobrésiuvědomit,žerovnice xdy+ydx=0nevyjadřujetotéž,corovnice y = y x.všespočívávtom,ževtextuúlohynebylořečeno,zda-lidanárovnice vyjadřuje vztah mezi nezávisle proměnnou x a její funkcí y, nebo zda vyjadřuje vztahmezinezávisleproměnnou yajejífunkcí x.danárovniceotomtaké nicneříká.avšakrovnice y = y mluvívýslovněoderivacifunkce y(podle x nezávisle proměnné x). Skutečně také funkce x = 0, která je integrálem dané rovnicenenífunkcítvaru y= ϕ(x)aosa y,kterájegeometrickýmznázorněním rovnice x = 0 není také opravdu grafem žádné takové funkce. V geometrických úlohách je zpravidla potřeba uvažovat oba zmíněné případy, kdežto při vyšetřování funkcí musí být předem známo, která proměnná je nezávislá a která je její funkcí. Jinak řečeno: Hledáme-li jenom funkce tvaru y = ϕ(x), které dané rovnici vyhovují, potom samozřejmě x = 0 není řešením této úlohy. Všimněme si ještě jednou obou posledních integrálů naší rovnice. Ani jeden nebyl získán integrací dané rovnice, tj. nehledali jsme primitivní funkci. Jsou to tedyintegrályjinépovahynežintegrálytypu xy= C.Mohlobysezdát,žeoba tytointegrályjsouobsaženyvintegráluobecnémpro C=0,alenenítotak.Při integrováníjsmetotiždostalilnc 1,cožjetotéžjakoln C alogaritmovat C=0 nelze. Nemůžeme tedy v obecném integrálu zvolit C = 0. Takový integrál, který nelze dostat z integrálu obecného volbou integrační konstanty, se nazývá integrál singulární. Příklad3 separaceproměnných 2 Řešte rovnice: 10
11 a)2xdx+dy=0, b) dx xdy=0, c) y y=0. Řešení a) Rovnici lze upravit na tvar dy = 2xdx. Po integraci dostaneme y= x 2 + C. b)rovniciupravímenatvar,kdyjsoujižproměnnéseparovány,tj.dy= 1 x dx, pro x 0.Pointegracije y=ln x +C.Rovnicitakévyhovujeřešení x=0, tzv. singulární řešení. c)rovnicipřevedemenazápispomocídiferenciálů,tj. dy dx = y,poodstranění zlomkůdostanemedy= ydx,poseparaci dy =dxpro y 0. y Pointegraci dostaneme ln y = x+k, kde K je libovolnákonstanta. V tomto případě se ukazuje jako výhodné vyjádřit integrační konstantu K jakopřirozenýlogaritmusnějakéhokladnéhočísla C 1 >0.Tojemožnéučinit, protože každé reálné číslo lze považovat za přirozený logaritmus nějakého kladného čísla. Můžeme tedy psát Pak lze rovnici přepsat na tvar Poúpravěln y =lne x +lnc 1, Pro y <0je y = y,tj. K=lnC 1. ln y =x+lnc 1. y =C 1 e x. y= C 1 e x, pro y >0můžemepsát y= C 1 e x.obatytopřípadylzevyjádřitjedinourovnicí y=ce x, kde C R {0}. Potomln y =lne x +lnc. Poodlogaritmování y= Ce x. Je-li y = 0 dostaneme singulární řešení. 11
12 Příklad 4 integrální křivka Najděte křivku procházející počátkem soustavy souřadnic[0, 0], pro kterou směrnicetečnyvkaždémjejímbodě[x,y]jerovna2x+1. Řešení Dlezadáníplatí dy dx =2x+1, poseparaciaintegracidy=(2x+1)dx, y= x 2 + x+c. Konstantu C určíme z podmínky zadání: křivka musí procházet bodem[0, 0]. Jetedy0=0+0+C,zčehož C=0. Rovnicekřivkypotomje y= x 2 + x. Nyníurčíme,ojakoukřivkusejedná.Ponížepopsanéúpravěje y= x 2 + x= ( x+ 1 ) , cožjerovniceparabolysvrcholemvbodě V= [ 1 2, 1 4 ]. y V x Obr. 1 Graf integrální křivky 12
13 1.1.2 Řešení lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu metodou variace konstant Lineární diferenciální rovnice jsou takové rovnice, které jsou lineární vzhledem k neznámé funkci a jejím derivacím. Ve speciálním případě je možno diferenciální rovnici(12) psát ve tvaru y + Py=Q, (18) kde P, Q jsou opět spojité funkce proměnné x v intervalu J. Speciálně dostaneme,jestližejevuvažovanémintervalu Q=0 y + Py=0. (19) Tato rovnice se nazývá homogenní lineární diferenciální rovnice, někdy také lineární diferenciální rovnice s nulovou pravou stranou. Rovnice(18) se pak nazývá nehomogenní(s nenulovou pravou stranou). V rovnici(19) je možno proměnné separovat: dy y = Pdx. Integrací(19) dostaneme její obecný integrál: ln y = Pdx+lnC, kde C >0, odtud potom y= Ce Pdx. (20) Mimotovyhovujerovnici(19)takéfunkce y=0,kterásiceodpovídávolbě konstanty C = 0, ale nedostaneme ji integrací.(proč?) K nalezení obecného integrálu nehomogenní rovnice(resp. s pravou stranou) (18) se užívá tzv. metody variace konstanty: 1. Nejprve řešíme danou homogenní rovnici a najdeme její obecný integrál ve tvaru(20). 2.Vevztahu(20)nahradímekonstantu Cfunkcí C= C(x),tj. y=c(x)e Pdx. (21) Profunkci C(x)pakhledámepodmínku,abyfunkce y=c(x)e Pdx vyhovovalarovnici(18).vypočítáme y adosadímedorovnice(18): y = C (x)e Pdx C(x)Pe Pdx, 13
14 C (x)e Pdx C(x)Pe Pdx + PC(x)e Pdx = Q, po úpravě dostaneme C (x)=qe Pdx. (22) To je diferenciální rovnice pro funkci C(x), jejíž řešení je možno napsat ve tvaru C(x)= Qe Pdx dx+k, (23) kde K je libovolná konstanta. Dosadíme-li tuto funkci do rovnice(20), obdržíme ( ) y=e Pdx K+ Qe Pdx dx, (24) což je obecný integrál dané diferenciální rovnice. Příklad5 variacekonstant 1 Řešterovnici y + y=e x metodouvariacekonstant. Řešení 1.Nejprveřešímepříslušnouhomogennírovnici y +y=0metodouseparace proměnných. dy y = dx, y= Ce x. 2.Předpokládáme C= C(x),potom y= C(x)e x, y = C (x)e x C(x)e x.podosazenídopůvodnínehomogennírovnice C (x)e x C(x)e x + C(x)e x = e x, C (x) = e 2x, C(x) = 1 2 e2x + K, kde K je libovolná konstanta. ( ) 1 Pak y= 2 e2x + K e x,neboli y= 1 2 ex + Ke x. 14
15 Příklad6 variacekonstant 2 Řeštediferenciálnírovnici xy y= x 2 metodouvariacekonstant: Řešení 1. Vyřešíme dříve uvedeným postupem homogenní rovnici: xy y = 0, xdy ydx = 0, dy y = dx x, ln y = ln x +lnc, y = Cx. 2.Předpokládáme C= C(x),potom y= C(x)x, y = C (x)x+c(x). Po dosazení do původní nehomogenní rovnice x[c (x)x+c(x)] C(x)x = x 2, x 2 C (x) = x 2, C (x) = 1, C(x) = x+k. Podosazenídovztahupro ydostaneme y=(x+k)x=x 2 + Kx. Cvičení 1 Řešte diferenciální rovnice: 1. y = ky, 2. y y=3, 3. y =2xy, 4. y y=e x 5. y + y= x. 15
16 1.2 Úlohy vedoucí k řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Příklad 7 barometrická rovnice Určete závislost atmosférického tlaku na výšce nad hladinou moře, jestliže víte, žetlaknahladiněmořeje p 0 =1013hPaavevýšce h 1 =500mnadhladinou mořejetlak p 1 =940hPa.Předpokládejte,ževzduchmávšudestejnouteplotu. Řešení Protože teplota vzduchu je ve všech místech stejná, platí pv = konst. Tento zákonlzepřepsatdotvaru p 0 = V = 0,kde p, jsouhodnotyvevýšce h. p V 0 Dále budeme předpokládat, že ve vrstvě o tloušťce dh je hustota konstantní. Tentovztahvyžadujejinýfyzikálnívýklad viz[10].proúbytektlakuvtéto vrstvě pak dostáváme dp = gdh. Z Boylova-Mariottova zákona víme, že platí = p 0 p. Po dosazení do vztahu pro dp dostaneme 0 dp= 0 p 0 pgdh. Po separaci proměnných a integraci obdržíme dp p = 0 p 0 gdh, lnp= 0 p 0 gh+lnc. Poodlogaritmování p=ce 0 p 0 gh = Ce kh,kde k= 0 p 0 g. Okrajovépodmínky:vevýšce h=0jetlak p 0,zčehož C= p 0,atedy p= = p 0 e kh.konstantu kurčímepomocídruhépodmínky,tj.vevýšce h=500m jetlak940hpa: k= 1 h ln p p 0 =0, Hledanázávislostjetedy p=1013e 0,00015h hpa. Příklad 8 nabíjení kondenzátoru Kondenzátorokapacitě Cpřipojímevčase t=0kezdrojionapětí U 0.Nabíjímehopřesrezistoroodporu R.Jakýječasovýprůběhprouduanapětína kondenzátoru? 16
17 Řešení Zapojenímspínačedopolohy1(vizobr.2)připojímeobvodnazdrojonapětí U 0 = konst. u R u C 1 U 0 2 R C i Obr. 2 Nabíjení kondenzátoru Podle 2. Kirchhoffova zákona platí u R + u C U 0 =0. (25) Podosazeníza u R = Ri, u C = q C do(25)dostaneme Zderivujeme-li rovnici(26), dostaneme Ri+ q C U 0=0. (26) R di dt +1 dq =0. (27) Cdt Užitímvztahu i= dq dt můžemerovnici(27)upravitnatvar R di dt +1 C i=0. Po separaci proměnných, integraci a odlogaritmování dostáváme: di i = 1 RC dt, t i=k 1e RC, (28) kde K 1 jeintegračníkonstanta,kterouurčímezpočátečníchpodmínek.včase t=0jenapětínakondenzátoru u C =0(kondenzátornenínabitý)aproud 17
18 protékajícíobvodemje I 0.Podle(26)je RI 0 = U 0,odkud I 0 = U 0 R,podle(28) je I 0 = K 1.Pak i=i 0 e du C dt t RC. Průběhnapětínakondenzátoru u C jedánvztahem u C = 1 C q,poderivaci t = 1 dq Cdt = 1 C i= 1 C I 0e RC.Poseparaciproměnnýchaintegraci u C = 1 C du C = 1 C I 0e RC dt, U 0 R ( RC)e RC + K 2, t t t u C = U 0 e RC + K 2. (29) Integračníkonstantu K 2 určímezpočátečníchpodmínek:včase t=0 je u C =0,podosazenído(29)dostaneme:0=U 0 + K 2,odkud K 2 = U 0. Podosazeníza K 2 do(29)dostaneme ( u C = U 0 e t RC U 0 = U 0 1 e t RC ). Příklad9 vlivcívkynaprůchodprouduvel.obvodupřipřechodovém ději Do elektrického obvodu o napětí U zapojíme cívku o indukčnosti L a rezistor o odporu R. Určete proud procházející cívkou v časovém okamžiku t po zapojení. Řešení Po sepnutí spínače je podle 2. Kirchhoffova zákona součet obvodových napětí na cívce a na rezistoru trvale roven svorkovému napětí zdroje. Obvodovénapětínacívcejeurčenovztahem u L = L di dt.vkaždémokamžiku platí u R + u L = U.Podosazení Ri+L di = U. (30) dt 18
19 u R u L U R L i Obr.3Obvodscívkou Tuto rovnici vyřešíme tzv. metodou variace konstant: 1.Vyřešímerovnici spravoustranourovnounule,tj. Ri+L di dt =0. po separaci proměnných, integraci a odlogaritmování dostaneme i=k 1 e R L t. (31) 2.Nynípředpokládáme K 1 = K 1 (t),potom i=k 1 (t)e R L t. Po derivaci i a dosazení do úplné rovnice(30) dostáváme RK 1 (t)e R L t + L odkud K 1 (t)= U L e R L t, pointegraci K 1 (t)= U R e R L t + K 2. Po dosazení do(31) R di dt = K 1 (t)e L t K 1 (t) R L e R L t, (K 1 (t)e RL t K 1 (t) RL e RL t ) = U, i= U R + K 2e R L t. (32) Integračníkonstantu K 2 určímezpočátečníchpodmínek:včase t=0je i=0, zčehož K 2 = U R. Hledanéřešeníje i= U R (1 e RL t ). 19
20 Příklad10 výtokkapalinyznádoby Nádobatvarupolokouleopoloměru r=10cmjezcelanaplněnákapalinou. Vedněnádobyjeotvoroprůřezu S 0 =4mm 2.Zajakoudobupouvolnění otvoru klesne hladina kapaliny o polovinu poloměru, jestliže koeficient zúžení vytékajícího kapalinového proudu je k = 0,6? Řešení Nechť je výška hladiny kapaliny v počátečním časovém okamžiku t = 0 rovna r. Víme, že rychlost výtoku kapaliny v okamžiku, kdy výška její hladiny je rovna x,jeurčenatorricellihovztahem v 1 = 2gx.Uvažujeme-likoeficient zúžení vytékajícího kapalinového proudu k, pak je rychlost v určena vztahem v=k 2gx.Vnekonečněmalémčasovémintervalu tmůžemevýtokkapaliny považovat za rovnoměrný. Zadobu tvytečevýškovýmotvorem element sloupce kapaliny, S R r jehož výška je v t a plošný průřez S 0,cožmázanásledeksní- r dx x žení hladiny kapaliny v nádobě o x.vdůsledkutěchtoúvah dostáváme S 0 ks 0 2gx t= S x, Obr. 4 Nádoba s kapalinou kde S je okamžitý plošný průřez hladiny kapaliny. Pak pro nekonečně malé intervaly dt, dx dostaneme diferenciální rovnici dx dt = ks 0 2gx, S kde S= πr 2 = π [ r 2 (r x) 2] = π(2rx x 2 )(vizobr.4).podosazeníza S a separaci proměnných dostaneme Po integraci máme t= dt= π 2rx x 2 dx. ks 0 2g x ( ) 5 π 2 ks 0 2g 5 x rx 2 + C. 20
21 Počátečnípodmínky:včase t=0je x=r,atím C= 14 π r 2,takže 15 ks 0 2g t= πx ( ) x 2 ks 0 2g 5 x 4 3 r + 14 π r 2 r. 15 ks 0 2g Pro x= r 2 dostáváme 5 t= π r 2 r. 2kS 0 g 30 Pro dané hodnoty: hladinaklesnaopolovinupůvodníhodnotyza t=8min18s. Příklad 11 vedení tepla Teplotachlebavytaženéhozpeceběhem20minutkleslaze100 Cna60 C. Teplotaokolníhovzduchuje τ 0 =25 C.Zajakoudobuodpočátkuochlazování seteplotachlebasnížilana30 C? Řešení Rychlost ochlazování tělesa představuje pokles teploty τ za jednotku času t ajevyjádřenaderivací dτ dt.podlenewtonovazákonavedeníteplajerychlost ochlazování tělesa přímo úměrná rozdílu teplot tělesa a okolního prostředí. Je to nerovnoměrný proces. Se změnou rozdílu teplot se mění i rychlost ochlazování tělesa. Za předpokladu, že se teplota okolí nemění, bude mít diferenciální rovnice ochlazování chleba tvar dτ dt = k(τ τ 0), kde τ jeteplotachleba, τ 0 jeteplotaokolníhovzduchu, k >0jekoeficient úměrnosti. Nechť t je časový interval, ve kterém sledujeme chladnutí chleba. Po separaci proměnných a integraci dostaneme dτ τ τ 0 = kdt, ln(τ τ 0 )= kt+ln C, 21
22 po odlogaritmování dostaneme τ= τ 0 + Ce kt. Počátečnípodmínka:včase t=0je τ=100 C, τ 0 =25 C,atím C=75 C. Doplňujícípodmínka:včase t=20minutje τ =60 C, τ 0 =25 C.Po dosazenídovztahupro τdostaneme60=25+75e k 20,zčehož e k = ( ) 1 ( ) = ( ) t 7 20 Dostáváme τ=75 +25,kdeza tdosazujemečasvminutách. 15 Nyníurčíme tpro τ=30 C: ( ) t =75 +25, 15 ( ) 1 t 7 15 = Po zlogaritmování a vyjádření t dostaneme t = 71 minut. Chlebabudemítteplotu30 Cpo1hodiněa11minutách. Příklad12 diskotáčejícísevkapalině Na kruhový disk otáčející se v kapalině malou úhlovou rychlostí podle osy symetrie(obr. 5) působí třecí síla, která je přímo úměrná úhlové rychlosti pohybu. Najděte závislost této úhlové rychlosti na čase, jestliže víte, že počáteční otáčky disku100ot min 1 za1minutuklesnouna60ot min 1. Řešení Označme ωúhlovourychlostdisku, npočetotáček,pro ωplatí ω= 2πn 60.Při otáčení disku na disk působí třecí síla, která je lineárně závislá na úhlové rychlosti pohybu. Tato síla vzhledem k ose otáčení vyvolá určitý brzdný moment síly. Označme dω rychlostzměnyúhlovérychlostidiskuvkapalině( dω má dt dt význam úhlového zrychlení). 22
23 Napíšeme rovnici vyjadřující momentovou podmínku vzhledem k ose otáčení. R M= J dω dt, kde J je moment setrvačnosti disku vzhledem k ose otáčení. Zbývá určit velikost momentu M.Nechť Rjepoloměrdisku. Obr.5Diskvkapalině Pro zjednodušení předpokládejme, že tento moment vyvolává nějaká sílaf, kterápůsobínapoloměru R s = k 1 R,kde k 1 jekoeficientzávislýnaprofilu disku. Síla F jeúměrnáúhlovérychlostidisku F = k 2 ω(k 2 jekoeficientúměrnosti). Pro moment této síly platí M= k 1 k 2 Rω, znaménko minus je zde proto, že moment působí proti směru otáčení. Porovnáním vztahů pro moment M dostáváme diferenciální rovnici J dω dt = k 1k 2 Rω, Označme k= k 1k 2 R J dω dt = k 1k 2 R ω. J je konstanta pro daný disk. Potom dω dt = kω. Po separaci, integraci a odlogaritmování dostaneme ω= Ce kt. Počátečnípodmínka:včase t=0je ω= ω 0,zčehož C= ω 0. Potom ω= ω 0 e kt. Dlezadáníje ω= 10 ( ) 10 3 πs 1,pak ω= 3 π e kt. Doplňujícípodmínka:včase t=1min=60sje ω=2πs 1,zčehoždostáváme k= 1 60 ln
24 Potom po úpravě ω= ( ) ( ) 1 2π 5 e 60 ln5 t 3 3 ω=2π ( ) ( ) t 1 5 s 1. s 1, Příklad13 závěsnýmost 1 Určete tvar křivky řetězu závěsného mostu, předpokládáte-li, že zatížení je rozděleno rovnoměrně po délce řetězu v horizontální přímce. Hmotnost řetězu vzhledem k hmotnosti mostovky zanedbejte. Řešení Na řetěz mostu působí tíhová síla rovnoměrného rozložení závěsné mostovky a tahová síla realizovaná závěsy řetězu. Na část délky x působí tíhová síla F G = m l gx(mjecelkováhmotnostmostu)advětahovésílyovelikostech F 1, F 2 (vizobr.6). F1 y l FG F2 řetěz α x x mostovka Obr. 6 Závěsný most Nechťřetězsvíráshorizontálnírovinouvurčitémboděúhel α.proúhel α platí:tg α= dy(x) (dálejen y,kde y=y(x)jehledanárovnicekřivky). dx TahovousíluF2vlaněmůžemerozložitdodvousložek: F 2x = F 2 cosα, F 2y = F 2 sinα. Protože řetěz je v rovnováze, musí být výslednice všech sil na něj působících rovnanule.složkově vesměru x: F 2 cosα=f 1,vesměru y: F 2 sinα= m l gx. 24
25 Ztohodostávámeprotg α= mg x. lf 1 Označme mg = k...konstantaprodanýdruhřetězu. lf 1 Pakdostaneme dy = k x.separacíaintegrací:dy= k xdx, y= kx2 2 + C. dx Konstantu Curčímezokrajovýchpodmínek:je-li x=0,jetaké y=0 viz obr.5.pak y= mg x 2lF 2. 1 Řetěz bude mít tvar paraboly. Cvičení 2 1.Motorováloďkasepohybujepoklidnéhladiněrychlostí v 0 =10km h 1. Vplnémchodujevypnutmotoraza40spotomserychlostzmenšína 4km h 1.Odporvodynechťjepřímoúměrnýrychlostipohybuloďky. Určete rychlost loďky za 2 minuty po vypnutí motoru. 2.Určete,zajakdlouhovytečevšechnavodaznádobyvpříkladu10. 3.Válcovýzásobníkovýšce h=6,00maprůměru D=4,00mmávedně kruhovýotvoroprůměru d=0,200m.zásobníkjeažpookrajnaplněn vodou.určetezávislostvýškyhladiny hnačase tadobu t 0,zakterou vyteče všechna voda. Koeficient zúžení vytékajícího kapalinového sloupce je k=0, Izolovanývodičmánáboj Q 0 =1000C.Protožeizolacenenídokonalá, dochází na vodiči postupně k úbytku náboje. Rychlost úbytku náboje na vodiči je v daném okamžiku přímo úměrná náboji na vodiči. Jaký náboj zůstane na vodiči po uplynutí 10,0 min, jestliže za první minutu ubyl náboj100c? 5.Zajakdlouhoteplotatělesazahřátéhona100 Cklesnena30 C,jestliže teplotaokolníhoprostředíjerovna20 Cazaprvních20minutsetěleso ochladilona60 C? 6. Úbytek velikosti intenzity světla při průchodu prostředím je úměrný velikosti intenzity dopadajícího světla a tloušťce vrstvy. Na hladině je velikost intenzityrovna I 0.Jakáčástintenzityprojdedohloubky30m,jestliže připrůchoduvrstvouvodyotloušťce3msevelikostintenzitysnížína polovinu? 25
11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
Více9.7. Vybrané aplikace
Cíle V rámci témat zaměřených na lineární diferenciální rovnice a soustavy druhého řádu (kapitoly 9.1 až 9.6) jsme dosud neuváděli žádné aplikace. Je jim společně věnována tato závěrečné kapitola, v níž
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
Více3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky
3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -
VíceNecht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí
Počáteční problémy pro ODR2 1 Lineární oscilátor. Počáteční problémy pro ODR2 Uvažujme hmotný bod o hmotnosti m, na který působí síly F 1, F 2, F 3. Síla F 1 je přitom úměrná výchylce y z rovnovážné polohy
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
VíceDiferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
Více1 Rozdělení mechaniky a její náplň
1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů
Více8.1. Separovatelné rovnice
8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina
Více2 Odvození pomocí rovnováhy sil
Řetězovka Abstrakt: Ukážeme si, že řetěz pověšený mezi dvěma body v homogenním gravitačním poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolický kosinus. Odvození provedeme dvojím způsobem: pomocí rovnováhy
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
Více8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 013 Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Studijní program Učitelství pro základní školy - obor Učitelství fyziky
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
VíceBIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY
BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala
VíceGraf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,2 m. Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,3 m
Řešení úloh 1. kola 59. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autoři úloh: J. Thomas (1,, 3, 4, 7), J. Jírů (5), P. Šedivý (6) 1.a) Je-li pohyb kuličky rovnoměrně zrychlený, bude pro uraženou dráhu
VícePříklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání
Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Doporučujeme spočítat příklady za nejméně 30 bodů. http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.ps http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.pdf 1.
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceQ(y) dy = P(x) dx + C.
Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato
VíceObyčejné diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceDiferenciální rovnice
Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích
VíceBIOMECHANIKA KINEMATIKA
BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti
VícePříklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2
Příklad 5.3 Zadání: Elektron o kinetické energii E se srazí s valenčním elektronem argonu a ionizuje jej. Při ionizaci se část energie nalétávajícího elektronu spotřebuje na uvolnění valenčního elektronu
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
VíceSbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceNOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM)
NOSNÍK NA PRUŽNÉ PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉ) Uvažujeme spojitý nosník na pružných podporách. Pružná podpora - odpor je úměrný zatlačení. Pružné podpory velmi blízko sebe - jejich účinek lze nahradit spojitou
Víceb) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0
Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:
VíceObecný Hookeův zákon a rovinná napjatost
Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou
VíceKLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
VíceDynamika vázaných soustav těles
Dynamika vázaných soustav těles Většina strojů a strojních zařízení, s nimiž se setkáváme v praxi, lze považovat za soustavy těles. Složitost dané soustavy závisí na druhu řešeného případu. Základem pro
VíceObyčejné diferenciální rovnice
1 Obyčejné diferenciální rovnice Příklad 0.1 (Motivační). Rychlost chladnutí hmotného bodu je přímo úměrná rozdílu jeho teploty minus teploty okolí. Předpokládejme teplotu bodu 30 o C v čase t = 0 a čase
VíceRychlost, zrychlení, tíhové zrychlení
Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete
VíceDerivace goniometrických funkcí
Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceObsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8
Obsah 1 Tuhé těleso 1 2 Moment síly 2 3 Skládání sil 3 3.1 Skládání dvou různoběžných sil................. 3 3.2 Skládání dvou rovnoběžných, různě velkých sil......... 3 3.3 Dvojice sil.............................
VíceObsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9
Obsah 1 Kmitavý pohyb 1 Kinematika kmitavého pohybu 3 Skládání kmitů 6 4 Dynamika kmitavého pohybu 7 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 6 Nucené kmity. Rezonance 10 1 Kmitavý pohyb Typy pohybů
VíceR2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles.
2.4 Gravitační pole R2.211 m 1 = m 2 = 10 g = 0,01 kg, r = 10 cm = 0,1 m, = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; F g =? R2.212 F g = 4 mn = 0,004 N, a) r 1 = 2r; F g1 =?, b) r 2 = r/2; F g2 =?, c) r 3 = r/3; F g3 =?
Více9.4. Rovnice se speciální pravou stranou
Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta
Více4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
VíceDynamika soustav hmotných bodů
Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 207 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Nechť (a) Spočtěte lim n x n. (b)
Více2. Kinematika bodu a tělesa
2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU
VíceMechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin
Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování
VíceFyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK
Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická
Více(test version, not revised) 9. prosince 2009
Mechanické kmitání (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 9. prosince 2009 Obsah Kmitavý pohyb Kinematika kmitavého pohybu Skládání kmitů Dynamika kmitavého pohybu Přeměny energie
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
Vícey = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
VícePráce, energie a další mechanické veličiny
Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních
VíceGE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma : Diferenciální a integrální
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
Více1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a
. Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VícePohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa
Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat
Více0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu
0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, ve které se vyskytují derivace nebo diferenciály neznámé funkce
VíceMěření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem
Úloha č. 3 Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem Úkoly měření: 1. Určete tíhové zrychlení pomocí reverzního a matematického kyvadla. Pro stanovení tíhového zrychlení, viz bod 1, měřte
Vícevsinα usinβ = 0 (1) vcosα + ucosβ = v 0 (2) v u = sinβ , poměr drah 2fg v = v 0 sin 2 = 0,058 5 = 5,85 %
Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autoři úloh: J. Thomas (,, 3, 4, 5, 7), I. Čáp (6).a) Předpokládáme-li impuls třecích sil puků o led vzhledem k velmi krátké době srážky za
VíceOkamžitý výkon P. Potenciální energie E p (x, y, z) E = x E = E = y. F y. F x. F z
5. Práce a energie 5.1. Základní poznatky Práce W jestliže se hmotný bod pohybuje po trajektorii mezi body (1) a (), je práce definována křivkovým integrálem W = () () () F dr = Fx dx + Fy dy + (1) r r
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VícePřechodné děje 2. řádu v časové oblasti
Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti EO2 Přednáška 8 Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu ÚVODEM Na předchozích přednáškách jsme se seznámili s obecným postupem řešení přechodných dějů, jmenovitě pak
VíceB. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ
B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ I. MECHANICKÉ KMITÁNÍ 8.1 Kmitavý pohyb a) mechanické kmitání (kmitavý pohyb) pohyb, při kterém kmitající těleso zůstává stále v okolí určitého bodu tzv. rovnovážné polohy
VíceKMITÁNÍ PRUŽINY. Pomůcky: Postup: Jaroslav Reichl, LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině
KMITÁNÍ PRUŽINY Pomůcky: LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině Postup: Těleso zavěsíme na pružinu a tu zavěsíme na pevně upevněný siloměr (viz obr. ). Sondu připojíme k LabQuestu a nastavíme
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
VíceŘetězovka (catenary)
Řetězovka (catenary) Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Řetězovka - křivka lan a řetězů prověšených vlastní vahou Budeme se zajímat
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceFYZIKA II. Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy
FYZIKA II Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy Osnova přednášky Energie magnetického pole v cívce Vzájemná indukčnost Kvazistacionární
VíceMECHANIKA TUHÉHO TĚLESA
MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny
VícePřipravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony
Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0220, "Inovace studijních programů zahradnických oborů s důrazem na jazykové a odborné dovednosti a konkurenceschopnost
VíceRovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83
Vypočítejte moment síly P = 4500 N k osám x, y, z, je-li a = 0,25 m, b = 0, 03 m, R = 0,06 m, β = 60. Nositelka síly P svírá s tečnou ke kružnici o poloměru R úhel α = 20.. α β P y Uvolnění: # y β! x Rovnice
VíceProjekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky
Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Klára Švarcová klara.svarcova@tiscali.cz 1 Obsah 1 Průlet tělesa skrz Zemi 3 1.1 Zadání................................. 3 1. Řešení.................................
VíceŘešení úloh krajského kola 60. ročníku fyzikální olympiády Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas (1, 2, 3), V. Vícha (4)
Řešení úloh krajského kola 60. ročníku fyzikální olympiády Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas 1,, ), V. Vícha 4) 1.a) Mezi spodní destičkou a podložkou působí proti vzájemnému pohybu síla tření o velikosti
VíceDrsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
Více12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem
VíceProjekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Vlnění Vhodíme-li na klidnou vodní hladinu kámen, hladina se jeho dopadem rozkmitá a z místa rozruchu se začnou
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
Víceα = 210 A x =... kn A y =... kn A M =... knm
Vzorový příklad k 1. kontrolnímu testu Konzola Zadání: Vypočtěte složky reakcí a vykreslete průběhy vnitřních sil. A x A M A y y q = kn/m M = - 5kNm A α B c a b d F = 10 kn 1 1 3,5,5 L = 10 x α = 10 A
VícePrůhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník
EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Průhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení technické v Praze, Fakulta stavební, Katedra matematiky
VíceFYZIKA I. Gravitační pole. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYIKA I Gravitační pole Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová
VíceA x A y. α = 30. B y. A x =... kn A y =... kn B y =... kn. Vykreslení N, V, M. q = 2kN/m M = 5kNm. F = 10 kn A c a b d ,5 2,5 L = 10
Vzorový příklad k 1. kontrolnímu testu Prostý nosník Zadání: Vypočtěte složky reakcí a vykreslete průběhy vnitřních sil. A x A y y q = kn/m M = 5kNm F = 10 kn A c a b d 1 1 3,5,5 L = 10 α B B y x α = 30
VíceMechanika tuhého tělesa
Mechanika tuhého tělesa Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se působením libovolně velkých sil nemění Síla působící na tuhé těleso má pouze pohybové účinky Pohyby tuhého tělesa Posuvný
VíceLineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2
Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a
Více