DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Miroslava Jarešová Bohumil Vybíral

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Miroslava Jarešová Bohumil Vybíral"

Transkript

1 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Miroslava Jarešová Bohumil Vybíral Obsah Úvod pojem diferenciální rovnice 3 Příklad1 radioaktivnírozpad Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu Jakřešitjednoduššídiferenciálnírovnice1.řádu Řešení diferenciálních rovnic 1. řádu metodou separace proměnných Příklad2 separaceproměnných Příklad3 separaceproměnných Příklad4 integrálníkřivka Řešení lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu metodou variacekonstant Příklad5 variacekonstant Příklad6 variacekonstant Cvičení Úlohyvedoucíkřešenídiferenciálníchrovnic1.řádu Příklad7 barometrickárovnice Příklad8 nabíjeníkondenzátoru Příklad9 vlivcívkynaprůchodprouduvel.obvodupřipřechodovémději Příklad10 výtokkapalinyznádoby Příklad11 vedenítepla Příklad12 diskotáčejícísevkapalině Příklad13 závěsnýmost Cvičení Obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu Jakřešitobyčejnédiferenciálnírovnice2.řádu Příklad14 řešenídiferenciálnírovnicesníženímřádu Homogenní lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantnímikoeficienty Cvičení

2 Příklad 15 diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty Příklad 16 diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty Příklad 17 diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty Cvičení Úlohyvedoucíkřešenídiferenciálníchrovnic2.řádu Příklad18 mechanickýoscilátor Příklad 19 kmity kapalinového sloupce ve spojených nádobách 36 Příklad20 myšlenkovýprůletkamenezemí Příklad 21 dvoutělesový oscilátor- model kmitů v dvouatomovémolekule Příklad22 Padajícířetěz Příklad23 Otáčejícísetrubka Cvičení Ukázky náročnějších úloh vedoucích k řešení diferenciálních rovnic 45 Příklad24 závěsnýmost řetězovka Příklad25 úlohaokřivcenejkratšídoby Fermatůvprincip. 49 Příklad 26 úloha o křivce nejkratší doby brachystochrona Shrnutí návod, jak sestavovat diferenciální rovnice podle podmínek úloh 54 Řešení cvičení 56 Cvičení Cvičení Cvičení Cvičení Cvičení Literatura 60 2

3 Úvod pojem diferenciální rovnice Při výpočtech, v nichž se vyskytují derivace funkcí, zjišťujeme, že mezi funkcemi ajejichderivacemiplatířadavztahů.např.profunkci y(t) = Asintplatí y (t)=acost, y (t)= Asint.Potom y (t)+y(t)=0. (1) Vezmeme-lijinoufunkci y(t),např. y(t)=be t,je y (t)=be t,pakmůžeme psát y (t) y(t)=0. (2) Rovnice, v nichž se jako neznámá vyskytuje funkce a její derivace, nazýváme diferenciální rovnice. My se však budeme zabývat problémem opačným: k danému vztahu mezi funkcí a jejími derivacemi a nezávisle proměnnou, budeme hledat funkce, které tentovztahsplňují.vztahy(1)a(2)budemetedychápatjakorovnice,vnichž budeme hledat neznámou funkci y(t). Pak můžeme říci, že např. funkce y(t)=asintjeřešenímrovnice(1).řešenímrovnice(1)jevšaktakéfunkce y(t)=bcost,nebotakéfunkce y(t)=asint+bcost-přesvědčteseotom derivováním a dosazením do(1). Řešením diferenciální rovnice budeme rozumět takové funkce, jejichž dosazením do diferenciální rovnice dostaneme identitu. Je vidět, že řešení dané diferenciální rovnice není jediné, ale může jich být i nekonečně mnoho. V praktických(v našem případě fyzikálních) úlohách však většinou ještě budeme znát podmínky(počáteční, okrajové, doplňující), které nám umožní z nekonečně mnoha řešení vybrat takové, které odpovídá dané situaci. Ukažme si toto na následujícím jednoduchém příkladu. Uvažujme rovnoměrný přímočarý pohyb tělesa. Z fyziky víme, že velikost rychlostijederivacídráhypodlečasu,tj. s (t)=v(t).přirovnoměrnémpřímočarémpohybuje v(t)=v=konst.dostanemepak s (t)=v, (3) což je vlastně diferenciální rovnice pro dráhu s(t). Integrací dostaneme s(t)=vt+c, (4) kde C je libovolná integrační konstanta. Integračníkonstantu Curčímezpočátečníchpodmínek:nechťvčase t=t 0 urazilotělesojiždráhu s 0,tj. s(t 0 )=s 0.Dosadíme-lidorovnice(4)za t=t 0, dostaneme C= s 0 vt 0.Pakmůžemepsát s(t)=s 0 + v(t t 0 ). 3

4 Zkusme nyní obdobným způsobem popsat rovnoměrně zrychlený pohyb, tj. a(t) = a = konst..víme,žeplatí s (t) = v(t), v (t) = a(t) = a,zčehož dostaneme rovnici s (t)=a. (5) Po první integraci dostaneme další integrací s (t)=at+c 1, (6) s(t)= 1 2 at2 + C 1 t+c 2, (7) kde C 1, C 2 jsoulibovolnéintegračníkonstanty.určímejezdanýchpočátečních podmínek:včase t=0je s(0)=s 0, s (0)=v 0.Podosazenídovztahu(6) dostaneme v 0 = a 0+C 1,tj. C 1 = v 0,podosazenídovztahu(7)dostaneme s 0 = 1 2 a 02 +C 1 0+C 2,tj. C 2 = s 0.Jetedy s(t)=s 0 +v 0 t+ 1 2 at2.přesvědčte se dosazením, že tato funkce je skutečně řešením rovnice(5). Uvědomme si ještě jednu věc: viděli jsme, že v případě rovnoměrného pohybu diferenciální rovnice 1. řádu, stačilo zadat jednu počáteční podmínku, zatímco v případě rovnoměrně zrychleného pohybu diferenciální rovnice 2. řádu bylonutnézadatdvěpočátečnípodmínky.nenítonáhoda.zhlediska fyziky obvykle zadáváme tolik počátečních podmínek, kolik je řád nejvyšší derivace obsažené v rovnici pak dostaneme právě jedno řešení odpovídající dané situaci. Při řešení diferenciálních rovnic bývá zvykem značit derivace různými způsoby: y, d2 y dx 2, ÿ, d2 y dt 2.Tečkaprooznačeníderivacesepoužívávpřípadě,žederivujemepodlečasu,tj. ẏ = dy dt, ÿ = d2 y dt 2.Ovšemproměnnápřiřešenírovnicenemusíbýtvždyčas;pakpoužívámenapř.značení y = dy dx, y = d2 y dx 2, derivujeme-li podle proměnné x. pojem derivace, pouze vystačíme s limitou lim x Nyní si ukážeme dva různé postupy, jak řešit úlohu, jejíž výsledkem bude exponenciální funkce. Při řešení úlohy 1 prvním způsobem ( nepotřebujeme znát 1+ x) 1 x =e.nevýhodatohoto postupu ovšem spočívá v tom, že je příliš zdlouhavý a použitelný pouze pro typy úloh, kde je výsledkem exponenciální funkce(což ne vždy na začátku řešení úlohy poznáme). Druhý způsob využívá derivace, řeší se zde jednoduchá diferenciální rovnice. Postup je rychlejší, lze jej použít i u typů úloh, kde výsledkem není jen exponenciální funkce. 4

5 Příklad 1 radioaktivní rozpad Rychlost rozpadu prvku rádium je přímo úměrná jeho hmotnosti. Určete, kolik procenthmotnosti m 0 rádiaserozpadneza200let,jestliževíte,žepoločas rozpadu rádia, tj. doba, za níž se rozpadne právě polovina jeho původního množství(resp. hmotnosti), je roven 1590 let. Rychlost rozpadu uvažujeme jako m t. Řešení Úlohu vyřešíme dvěma způsoby, a to a) bez užití derivací, b) s užitím derivací. a) Rozdělme si uvažovanou dobu t rozpadu rádia na n stejných časových intervalů t.označmedále múbytekhmotnostičásticzadobu t.zamalý časový interval t je hmotnost rádia, které se rozpadne, rovna λm t, kde m je hmotnost rádia v daném časovém okamžiku, λ > 0 koeficient úměrnosti. Tatáž hmotnost vzatá s opačným znaménkem(hmotnost nerozpadlých částic ubývá), je rovna přírůstku hmotnosti rozpadlých částic za dobu t: m= λm t. (8) Nechťmárádiumnapočátku1.časovéhointervaluhmotnost m 0,2.časového intervaluhmotnost m 1 = m 0 + m,3.časovéhointervaluhmotnost m 2 = = m 1 + m,...,nakonciuvažovanédoby m n = m. Platí m 1 = m 0 λm 1 t, odkud m 1 = m 0 1+λ t, m 2 = m 1 λm 2 t, odkud m 2 = m 1 1+λ t = m 0 (1+λ t) 2,..., m nakonciuvažovanédoby t=n tje m n = 0 (1+λ t) n. Přitěchtoúvaháchpředpokládáme,žehmotnosti m 0, m 1,..., m n majívčasových intervalech t stálou velikost. Podosazeníza t = t n dostaneme m=m m 0 n= ( 1+λ n) t n. Označme λ t n =1,odkud n=λtx. x Podosazenídovztahupro mdostaneme m= m 0 [( 1+ 1 ) x ] λt. x 5

6 Řešení úlohy bude tím přesnější, čím větší počet úseků n zvolíme. ( Bude-li v limitě n (tímtaké x ),dostanemeužitímvztahu lim 1+ 1 x =e x x) vztah pro hmotnost m=m 0 e λt. (9) Konstantu λurčímezpodmínky:je-livčase t=t hmotnost m= m 0 2,je m 0 2 = m 0e λt,odkud λ= ln2 T,atudíž m(t)=m(0)e ln2 T t = m 0 2 t ( ) t T 1 T = m(0). 2 Prodanéhodnoty: m(200)=0,915m 0.Za200letserozpadne8,5%rádia. b) Vztah(8) přepíšeme pomocí diferenciálů dm = λmdt. Tutorovniciupravímenatvar dm m = λdt,(tzv.separace-odděleníproměnných).pointegracilnm= λt+lncaodlogaritmováníje m=c e λt. Počátečnípodmínka:včase t = 0je m = m 0,zčehož C = m 0,atudíž m = m 0 e λt.koeficient λurčímezdoplňujícípodmínky:včase t = T je m= m 0 2,tj. m 0 2 = m 0e λt,odkud λ= ln2 T,atudíž m(t)=m 0 e ln2 T t = m 0 2 t T = m 0 ( 1 2) t T, cožjestejnývýsledekjakovúlozea). Prodanéhodnoty: m(200)=0,915m 0.Za200letserozpadne8,5%rádia. Příklad 1 nám ukazuje, jak je výhodné naučit se řešit úlohy pomocí diferenciálních rovnic. Podívejme se tedy v další části na řešení diferenciálních rovnic podrobněji. Vzhledem k omezenému rozsahu textu se omezíme pouze na jednodušší typy obyčejných diferenciálních rovnic majících značné uplatnění při studiu fyzikálních jevů. 6

7 1 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu 1.1 Jak řešit jednodušší diferenciální rovnice 1. řádu Z předchozího textu vyplývá, že obyčejnou diferenciální rovnicí n-tého řádu rozumíme vztah mezi nezávisle proměnnou, neznámou funkcí této proměnné a derivacemi této funkce až do n-tého řádu. Označíme-li nezávisle proměnnou x a neznámou funkci y, pak můžeme obyčejnou diferenciální rovnici n-tého řádu psát ve tvaru ϕ(x,y,y,y,...,y (n) )=0, (10) kde ϕjefunkce(n+2)proměnných. Konkrétněnapř. y + xy=0, y +4y sin(x)=0jsouobyčejnédiferenciální rovnice1.a2.řádu. Řešit(integrovat) diferenciální rovnici(10), znamená nalézt všechny funkce y = ϕ(x), které vyhovují dané diferenciální rovnici. Každá funkce, která vyhovuje dané diferenciální rovnici, se nazývá integrál diferenciální rovnice,např.rovnici y + y = 0vyhovujefunkce y = sinx. Mohlibychomseotompřesvědčitdosazenímdodanérovnice.Nenítoale jediný integrál této rovnice, protože dané rovnici vyhovuje také každá funkce y= Csinxnebo y= Ccosxnebo y= ±Ce x,kde Cjelibovolnákonstanta. Nyní se už začneme zabývat jednoduchými rovnicemi 1. řádu. Takovou rovnicilzepsátobecněvetvaru ϕ(x,y,y )=0. (11) Dokážeme-liztétorovnicevypočítat y jakofunkciproměnných x, y,dostaneme rovnici(11) ve tvaru y = f(x,y). Nejjednodušší typ této rovnice můžeme zapsat ve tvaru y = f(x), (12) což vede k hledání primitivní funkce. Zintegrálníhopočtuvíme,žeje-li F(x)primitivnífunkcekfunkci f(x), paktakékaždáfunkce F(x)+C,kde Cjelibovolnákonstanta,jeprimitivní funkcíkfunkci f(x). Dáletakévíme,žeplatí:jsou-li F 1 (x)af 2 (x)dvěrůznéprimitivnífunkce kfunkci f(x),pakjejejichrozdílrovenkonstantě,tj. F 1 (x) F 2 (x)=c. 7

8 Dokážeme-li nalézt k funkci f(x) funkci primitivní, zvládneme již také vyřešit diferenciální rovnici(12). Potom y= f(x)dx+c, (13) kde C je libovolná konstanta. Z(13) je vidět, že hledaná funkce není rovnicí(13) určena jednoznačně, ale že rovnice(12) má řešení nekonečně mnoho. Každé takové řešení dostaneme, zvolíme-li za C v rovnici(13) nějaké číslo. Řešení ve tvaru(13), které obsahuje libovolnou konstantu C, nazýváme obecný integrál diferenciální rovnice(12). Každé řešení, které dostaneme z obecného integrálu, zvolíme-li za C nějaké libovolné číslo, se nazývá partikulární integrál diferenciální rovnice(12). Obecný integrál je tedy souhrnem všech integrálů partikulárních. Graf funkce, která je integrálem dané diferenciální rovnice, se nazývá integrální křivka danédiferenciálnírovnice.např.rovnice y =2xmáobecnýintegrál y=x 2 +C, kdežto y= x 2, y= x 2 1apod.jsoujejípartikulárníintegrály.Integrálníkřivky této diferenciální rovnice jsou paraboly ekvidistantně posunuté ve směru osy y. Vzhledem k tomu, že za konstantu C můžeme zvolit libovolné číslo, můžeme klást na hledanou funkci ještě nějaký další požadavek a snažit se, aby hledaná funkce zvolený požadavek splňovala pro hledanou funkci jsme zvolili počáteční podmínku.budemenapř.požadovat,abyhledanáintegrálníkřivka y=x 2 +C procházelanějakýmpředemzvolenýmbodem x 0 =[2,3].Pak3=2 2 + C, zčehož C= 1.Rovnicehledanékřivkytedybude y= x Řešení diferenciálních rovnic 1. řádu metodou separace proměnných Jednáseorovnicitypu Podosazení y = dy dx dostaneme y = f(x)g(y) (14) dy = f(x)g(y). (15) dx Zúvahyvyloučímeprozatímtybody,prokteréje g(y)=0.pakmůžemepsát dy = f(x)dx. (16) g(y) 8

9 Vrovnici(16)jsouoběproměnnéodsebeoddělenytak,ženalevéstraněrovnice se vyskytuje pouze funkce proměnné y a její diferenciál, na pravé straně pak jen součin funkce proměnné x a diferenciálu dx. V takovém případě jsou proměnné separovány(odděleny). Pokud existují kfunkcím 1 g(y) a f(x)primitivnífunkce,můžemepsát dy g(y) = f(x)dx+c. (17) Je-li g(y)=0,pak dy =0,tj. y= konst.adostávámetzv.singulárnířešení. dx Rovnici(17) nazýváme obecný integrál rovnice(15). Dokážeme-li rovnici (17)řešitvzhledemky,dostanemeobecnýintegrálrovnicevetvaru y= h(x)+ C. Příklad2 separaceproměnných 1 Řešte diferenciální rovnici xdy+ ydx=0. Řešení a)vyloučímeznašíúvahynejprvetybody,prokteréjebuď x=0(bodyosy y)nebo y=0(bodyosy x).pakmůžemedanourovnicidělitsoučinem xya upravit na tvar: dy y = dx x. Pointegraciln y = ln x +K,kde Kjelibovolnákonstanta.Zvolmedále K=ln C 1,kde C 1 >0.Pakdostaneme Po odlogaritmování dostaneme ln y = ln x +lnc 1. y = C 1 x, neboli xy =C 1,kde C 1 >0.Chceme-liodstranitabsolutníhodnotuztéto rovnice, musíme rozlišit dva případy: 1. xy >0,pak xy= C 1,nebo 9

10 2. xy <0,pak xy= C 1. Oba tyto případy lze vyjádřit jedinou rovnicí kde C R {0}. xy= C, b) Nyní vyřešíme původně vyloučené případy. Nejprve se podíváme na body, proněž y=0.tatorovniceznačíkonstantnífunkci,stálerovnounule.diferenciáltétofunkcejeovšemtakéstálerovennule,tj.dy=0.dosadíme-lido rovnice y=0atakédy=0,vidíme,žejetakétatorovnicesplněna.jetedy funkce y = 0 také integrálem dané rovnice. Integrální křivka je v tomto případě osa x. Podobnějetomuivedruhémpřípadě,tj.pro x=0.pakjeopěttakédx=0 a daná rovnice je zase splněna. Jedobrésiuvědomit,žerovnice xdy+ydx=0nevyjadřujetotéž,corovnice y = y x.všespočívávtom,ževtextuúlohynebylořečeno,zda-lidanárovnice vyjadřuje vztah mezi nezávisle proměnnou x a její funkcí y, nebo zda vyjadřuje vztahmezinezávisleproměnnou yajejífunkcí x.danárovniceotomtaké nicneříká.avšakrovnice y = y mluvívýslovněoderivacifunkce y(podle x nezávisle proměnné x). Skutečně také funkce x = 0, která je integrálem dané rovnicenenífunkcítvaru y= ϕ(x)aosa y,kterájegeometrickýmznázorněním rovnice x = 0 není také opravdu grafem žádné takové funkce. V geometrických úlohách je zpravidla potřeba uvažovat oba zmíněné případy, kdežto při vyšetřování funkcí musí být předem známo, která proměnná je nezávislá a která je její funkcí. Jinak řečeno: Hledáme-li jenom funkce tvaru y = ϕ(x), které dané rovnici vyhovují, potom samozřejmě x = 0 není řešením této úlohy. Všimněme si ještě jednou obou posledních integrálů naší rovnice. Ani jeden nebyl získán integrací dané rovnice, tj. nehledali jsme primitivní funkci. Jsou to tedyintegrályjinépovahynežintegrálytypu xy= C.Mohlobysezdát,žeoba tytointegrályjsouobsaženyvintegráluobecnémpro C=0,alenenítotak.Při integrováníjsmetotiždostalilnc 1,cožjetotéžjakoln C alogaritmovat C=0 nelze. Nemůžeme tedy v obecném integrálu zvolit C = 0. Takový integrál, který nelze dostat z integrálu obecného volbou integrační konstanty, se nazývá integrál singulární. Příklad3 separaceproměnných 2 Řešte rovnice: 10

11 a)2xdx+dy=0, b) dx xdy=0, c) y y=0. Řešení a) Rovnici lze upravit na tvar dy = 2xdx. Po integraci dostaneme y= x 2 + C. b)rovniciupravímenatvar,kdyjsoujižproměnnéseparovány,tj.dy= 1 x dx, pro x 0.Pointegracije y=ln x +C.Rovnicitakévyhovujeřešení x=0, tzv. singulární řešení. c)rovnicipřevedemenazápispomocídiferenciálů,tj. dy dx = y,poodstranění zlomkůdostanemedy= ydx,poseparaci dy =dxpro y 0. y Pointegraci dostaneme ln y = x+k, kde K je libovolnákonstanta. V tomto případě se ukazuje jako výhodné vyjádřit integrační konstantu K jakopřirozenýlogaritmusnějakéhokladnéhočísla C 1 >0.Tojemožnéučinit, protože každé reálné číslo lze považovat za přirozený logaritmus nějakého kladného čísla. Můžeme tedy psát Pak lze rovnici přepsat na tvar Poúpravěln y =lne x +lnc 1, Pro y <0je y = y,tj. K=lnC 1. ln y =x+lnc 1. y =C 1 e x. y= C 1 e x, pro y >0můžemepsát y= C 1 e x.obatytopřípadylzevyjádřitjedinourovnicí y=ce x, kde C R {0}. Potomln y =lne x +lnc. Poodlogaritmování y= Ce x. Je-li y = 0 dostaneme singulární řešení. 11

12 Příklad 4 integrální křivka Najděte křivku procházející počátkem soustavy souřadnic[0, 0], pro kterou směrnicetečnyvkaždémjejímbodě[x,y]jerovna2x+1. Řešení Dlezadáníplatí dy dx =2x+1, poseparaciaintegracidy=(2x+1)dx, y= x 2 + x+c. Konstantu C určíme z podmínky zadání: křivka musí procházet bodem[0, 0]. Jetedy0=0+0+C,zčehož C=0. Rovnicekřivkypotomje y= x 2 + x. Nyníurčíme,ojakoukřivkusejedná.Ponížepopsanéúpravěje y= x 2 + x= ( x+ 1 ) , cožjerovniceparabolysvrcholemvbodě V= [ 1 2, 1 4 ]. y V x Obr. 1 Graf integrální křivky 12

13 1.1.2 Řešení lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu metodou variace konstant Lineární diferenciální rovnice jsou takové rovnice, které jsou lineární vzhledem k neznámé funkci a jejím derivacím. Ve speciálním případě je možno diferenciální rovnici(12) psát ve tvaru y + Py=Q, (18) kde P, Q jsou opět spojité funkce proměnné x v intervalu J. Speciálně dostaneme,jestližejevuvažovanémintervalu Q=0 y + Py=0. (19) Tato rovnice se nazývá homogenní lineární diferenciální rovnice, někdy také lineární diferenciální rovnice s nulovou pravou stranou. Rovnice(18) se pak nazývá nehomogenní(s nenulovou pravou stranou). V rovnici(19) je možno proměnné separovat: dy y = Pdx. Integrací(19) dostaneme její obecný integrál: ln y = Pdx+lnC, kde C >0, odtud potom y= Ce Pdx. (20) Mimotovyhovujerovnici(19)takéfunkce y=0,kterásiceodpovídávolbě konstanty C = 0, ale nedostaneme ji integrací.(proč?) K nalezení obecného integrálu nehomogenní rovnice(resp. s pravou stranou) (18) se užívá tzv. metody variace konstanty: 1. Nejprve řešíme danou homogenní rovnici a najdeme její obecný integrál ve tvaru(20). 2.Vevztahu(20)nahradímekonstantu Cfunkcí C= C(x),tj. y=c(x)e Pdx. (21) Profunkci C(x)pakhledámepodmínku,abyfunkce y=c(x)e Pdx vyhovovalarovnici(18).vypočítáme y adosadímedorovnice(18): y = C (x)e Pdx C(x)Pe Pdx, 13

14 C (x)e Pdx C(x)Pe Pdx + PC(x)e Pdx = Q, po úpravě dostaneme C (x)=qe Pdx. (22) To je diferenciální rovnice pro funkci C(x), jejíž řešení je možno napsat ve tvaru C(x)= Qe Pdx dx+k, (23) kde K je libovolná konstanta. Dosadíme-li tuto funkci do rovnice(20), obdržíme ( ) y=e Pdx K+ Qe Pdx dx, (24) což je obecný integrál dané diferenciální rovnice. Příklad5 variacekonstant 1 Řešterovnici y + y=e x metodouvariacekonstant. Řešení 1.Nejprveřešímepříslušnouhomogennírovnici y +y=0metodouseparace proměnných. dy y = dx, y= Ce x. 2.Předpokládáme C= C(x),potom y= C(x)e x, y = C (x)e x C(x)e x.podosazenídopůvodnínehomogennírovnice C (x)e x C(x)e x + C(x)e x = e x, C (x) = e 2x, C(x) = 1 2 e2x + K, kde K je libovolná konstanta. ( ) 1 Pak y= 2 e2x + K e x,neboli y= 1 2 ex + Ke x. 14

15 Příklad6 variacekonstant 2 Řeštediferenciálnírovnici xy y= x 2 metodouvariacekonstant: Řešení 1. Vyřešíme dříve uvedeným postupem homogenní rovnici: xy y = 0, xdy ydx = 0, dy y = dx x, ln y = ln x +lnc, y = Cx. 2.Předpokládáme C= C(x),potom y= C(x)x, y = C (x)x+c(x). Po dosazení do původní nehomogenní rovnice x[c (x)x+c(x)] C(x)x = x 2, x 2 C (x) = x 2, C (x) = 1, C(x) = x+k. Podosazenídovztahupro ydostaneme y=(x+k)x=x 2 + Kx. Cvičení 1 Řešte diferenciální rovnice: 1. y = ky, 2. y y=3, 3. y =2xy, 4. y y=e x 5. y + y= x. 15

16 1.2 Úlohy vedoucí k řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Příklad 7 barometrická rovnice Určete závislost atmosférického tlaku na výšce nad hladinou moře, jestliže víte, žetlaknahladiněmořeje p 0 =1013hPaavevýšce h 1 =500mnadhladinou mořejetlak p 1 =940hPa.Předpokládejte,ževzduchmávšudestejnouteplotu. Řešení Protože teplota vzduchu je ve všech místech stejná, platí pv = konst. Tento zákonlzepřepsatdotvaru p 0 = V = 0,kde p, jsouhodnotyvevýšce h. p V 0 Dále budeme předpokládat, že ve vrstvě o tloušťce dh je hustota konstantní. Tentovztahvyžadujejinýfyzikálnívýklad viz[10].proúbytektlakuvtéto vrstvě pak dostáváme dp = gdh. Z Boylova-Mariottova zákona víme, že platí = p 0 p. Po dosazení do vztahu pro dp dostaneme 0 dp= 0 p 0 pgdh. Po separaci proměnných a integraci obdržíme dp p = 0 p 0 gdh, lnp= 0 p 0 gh+lnc. Poodlogaritmování p=ce 0 p 0 gh = Ce kh,kde k= 0 p 0 g. Okrajovépodmínky:vevýšce h=0jetlak p 0,zčehož C= p 0,atedy p= = p 0 e kh.konstantu kurčímepomocídruhépodmínky,tj.vevýšce h=500m jetlak940hpa: k= 1 h ln p p 0 =0, Hledanázávislostjetedy p=1013e 0,00015h hpa. Příklad 8 nabíjení kondenzátoru Kondenzátorokapacitě Cpřipojímevčase t=0kezdrojionapětí U 0.Nabíjímehopřesrezistoroodporu R.Jakýječasovýprůběhprouduanapětína kondenzátoru? 16

17 Řešení Zapojenímspínačedopolohy1(vizobr.2)připojímeobvodnazdrojonapětí U 0 = konst. u R u C 1 U 0 2 R C i Obr. 2 Nabíjení kondenzátoru Podle 2. Kirchhoffova zákona platí u R + u C U 0 =0. (25) Podosazeníza u R = Ri, u C = q C do(25)dostaneme Zderivujeme-li rovnici(26), dostaneme Ri+ q C U 0=0. (26) R di dt +1 dq =0. (27) Cdt Užitímvztahu i= dq dt můžemerovnici(27)upravitnatvar R di dt +1 C i=0. Po separaci proměnných, integraci a odlogaritmování dostáváme: di i = 1 RC dt, t i=k 1e RC, (28) kde K 1 jeintegračníkonstanta,kterouurčímezpočátečníchpodmínek.včase t=0jenapětínakondenzátoru u C =0(kondenzátornenínabitý)aproud 17

18 protékajícíobvodemje I 0.Podle(26)je RI 0 = U 0,odkud I 0 = U 0 R,podle(28) je I 0 = K 1.Pak i=i 0 e du C dt t RC. Průběhnapětínakondenzátoru u C jedánvztahem u C = 1 C q,poderivaci t = 1 dq Cdt = 1 C i= 1 C I 0e RC.Poseparaciproměnnýchaintegraci u C = 1 C du C = 1 C I 0e RC dt, U 0 R ( RC)e RC + K 2, t t t u C = U 0 e RC + K 2. (29) Integračníkonstantu K 2 určímezpočátečníchpodmínek:včase t=0 je u C =0,podosazenído(29)dostaneme:0=U 0 + K 2,odkud K 2 = U 0. Podosazeníza K 2 do(29)dostaneme ( u C = U 0 e t RC U 0 = U 0 1 e t RC ). Příklad9 vlivcívkynaprůchodprouduvel.obvodupřipřechodovém ději Do elektrického obvodu o napětí U zapojíme cívku o indukčnosti L a rezistor o odporu R. Určete proud procházející cívkou v časovém okamžiku t po zapojení. Řešení Po sepnutí spínače je podle 2. Kirchhoffova zákona součet obvodových napětí na cívce a na rezistoru trvale roven svorkovému napětí zdroje. Obvodovénapětínacívcejeurčenovztahem u L = L di dt.vkaždémokamžiku platí u R + u L = U.Podosazení Ri+L di = U. (30) dt 18

19 u R u L U R L i Obr.3Obvodscívkou Tuto rovnici vyřešíme tzv. metodou variace konstant: 1.Vyřešímerovnici spravoustranourovnounule,tj. Ri+L di dt =0. po separaci proměnných, integraci a odlogaritmování dostaneme i=k 1 e R L t. (31) 2.Nynípředpokládáme K 1 = K 1 (t),potom i=k 1 (t)e R L t. Po derivaci i a dosazení do úplné rovnice(30) dostáváme RK 1 (t)e R L t + L odkud K 1 (t)= U L e R L t, pointegraci K 1 (t)= U R e R L t + K 2. Po dosazení do(31) R di dt = K 1 (t)e L t K 1 (t) R L e R L t, (K 1 (t)e RL t K 1 (t) RL e RL t ) = U, i= U R + K 2e R L t. (32) Integračníkonstantu K 2 určímezpočátečníchpodmínek:včase t=0je i=0, zčehož K 2 = U R. Hledanéřešeníje i= U R (1 e RL t ). 19

20 Příklad10 výtokkapalinyznádoby Nádobatvarupolokouleopoloměru r=10cmjezcelanaplněnákapalinou. Vedněnádobyjeotvoroprůřezu S 0 =4mm 2.Zajakoudobupouvolnění otvoru klesne hladina kapaliny o polovinu poloměru, jestliže koeficient zúžení vytékajícího kapalinového proudu je k = 0,6? Řešení Nechť je výška hladiny kapaliny v počátečním časovém okamžiku t = 0 rovna r. Víme, že rychlost výtoku kapaliny v okamžiku, kdy výška její hladiny je rovna x,jeurčenatorricellihovztahem v 1 = 2gx.Uvažujeme-likoeficient zúžení vytékajícího kapalinového proudu k, pak je rychlost v určena vztahem v=k 2gx.Vnekonečněmalémčasovémintervalu tmůžemevýtokkapaliny považovat za rovnoměrný. Zadobu tvytečevýškovýmotvorem element sloupce kapaliny, S R r jehož výška je v t a plošný průřez S 0,cožmázanásledeksní- r dx x žení hladiny kapaliny v nádobě o x.vdůsledkutěchtoúvah dostáváme S 0 ks 0 2gx t= S x, Obr. 4 Nádoba s kapalinou kde S je okamžitý plošný průřez hladiny kapaliny. Pak pro nekonečně malé intervaly dt, dx dostaneme diferenciální rovnici dx dt = ks 0 2gx, S kde S= πr 2 = π [ r 2 (r x) 2] = π(2rx x 2 )(vizobr.4).podosazeníza S a separaci proměnných dostaneme Po integraci máme t= dt= π 2rx x 2 dx. ks 0 2g x ( ) 5 π 2 ks 0 2g 5 x rx 2 + C. 20

21 Počátečnípodmínky:včase t=0je x=r,atím C= 14 π r 2,takže 15 ks 0 2g t= πx ( ) x 2 ks 0 2g 5 x 4 3 r + 14 π r 2 r. 15 ks 0 2g Pro x= r 2 dostáváme 5 t= π r 2 r. 2kS 0 g 30 Pro dané hodnoty: hladinaklesnaopolovinupůvodníhodnotyza t=8min18s. Příklad 11 vedení tepla Teplotachlebavytaženéhozpeceběhem20minutkleslaze100 Cna60 C. Teplotaokolníhovzduchuje τ 0 =25 C.Zajakoudobuodpočátkuochlazování seteplotachlebasnížilana30 C? Řešení Rychlost ochlazování tělesa představuje pokles teploty τ za jednotku času t ajevyjádřenaderivací dτ dt.podlenewtonovazákonavedeníteplajerychlost ochlazování tělesa přímo úměrná rozdílu teplot tělesa a okolního prostředí. Je to nerovnoměrný proces. Se změnou rozdílu teplot se mění i rychlost ochlazování tělesa. Za předpokladu, že se teplota okolí nemění, bude mít diferenciální rovnice ochlazování chleba tvar dτ dt = k(τ τ 0), kde τ jeteplotachleba, τ 0 jeteplotaokolníhovzduchu, k >0jekoeficient úměrnosti. Nechť t je časový interval, ve kterém sledujeme chladnutí chleba. Po separaci proměnných a integraci dostaneme dτ τ τ 0 = kdt, ln(τ τ 0 )= kt+ln C, 21

22 po odlogaritmování dostaneme τ= τ 0 + Ce kt. Počátečnípodmínka:včase t=0je τ=100 C, τ 0 =25 C,atím C=75 C. Doplňujícípodmínka:včase t=20minutje τ =60 C, τ 0 =25 C.Po dosazenídovztahupro τdostaneme60=25+75e k 20,zčehož e k = ( ) 1 ( ) = ( ) t 7 20 Dostáváme τ=75 +25,kdeza tdosazujemečasvminutách. 15 Nyníurčíme tpro τ=30 C: ( ) t =75 +25, 15 ( ) 1 t 7 15 = Po zlogaritmování a vyjádření t dostaneme t = 71 minut. Chlebabudemítteplotu30 Cpo1hodiněa11minutách. Příklad12 diskotáčejícísevkapalině Na kruhový disk otáčející se v kapalině malou úhlovou rychlostí podle osy symetrie(obr. 5) působí třecí síla, která je přímo úměrná úhlové rychlosti pohybu. Najděte závislost této úhlové rychlosti na čase, jestliže víte, že počáteční otáčky disku100ot min 1 za1minutuklesnouna60ot min 1. Řešení Označme ωúhlovourychlostdisku, npočetotáček,pro ωplatí ω= 2πn 60.Při otáčení disku na disk působí třecí síla, která je lineárně závislá na úhlové rychlosti pohybu. Tato síla vzhledem k ose otáčení vyvolá určitý brzdný moment síly. Označme dω rychlostzměnyúhlovérychlostidiskuvkapalině( dω má dt dt význam úhlového zrychlení). 22

23 Napíšeme rovnici vyjadřující momentovou podmínku vzhledem k ose otáčení. R M= J dω dt, kde J je moment setrvačnosti disku vzhledem k ose otáčení. Zbývá určit velikost momentu M.Nechť Rjepoloměrdisku. Obr.5Diskvkapalině Pro zjednodušení předpokládejme, že tento moment vyvolává nějaká sílaf, kterápůsobínapoloměru R s = k 1 R,kde k 1 jekoeficientzávislýnaprofilu disku. Síla F jeúměrnáúhlovérychlostidisku F = k 2 ω(k 2 jekoeficientúměrnosti). Pro moment této síly platí M= k 1 k 2 Rω, znaménko minus je zde proto, že moment působí proti směru otáčení. Porovnáním vztahů pro moment M dostáváme diferenciální rovnici J dω dt = k 1k 2 Rω, Označme k= k 1k 2 R J dω dt = k 1k 2 R ω. J je konstanta pro daný disk. Potom dω dt = kω. Po separaci, integraci a odlogaritmování dostaneme ω= Ce kt. Počátečnípodmínka:včase t=0je ω= ω 0,zčehož C= ω 0. Potom ω= ω 0 e kt. Dlezadáníje ω= 10 ( ) 10 3 πs 1,pak ω= 3 π e kt. Doplňujícípodmínka:včase t=1min=60sje ω=2πs 1,zčehoždostáváme k= 1 60 ln

24 Potom po úpravě ω= ( ) ( ) 1 2π 5 e 60 ln5 t 3 3 ω=2π ( ) ( ) t 1 5 s 1. s 1, Příklad13 závěsnýmost 1 Určete tvar křivky řetězu závěsného mostu, předpokládáte-li, že zatížení je rozděleno rovnoměrně po délce řetězu v horizontální přímce. Hmotnost řetězu vzhledem k hmotnosti mostovky zanedbejte. Řešení Na řetěz mostu působí tíhová síla rovnoměrného rozložení závěsné mostovky a tahová síla realizovaná závěsy řetězu. Na část délky x působí tíhová síla F G = m l gx(mjecelkováhmotnostmostu)advětahovésílyovelikostech F 1, F 2 (vizobr.6). F1 y l FG F2 řetěz α x x mostovka Obr. 6 Závěsný most Nechťřetězsvíráshorizontálnírovinouvurčitémboděúhel α.proúhel α platí:tg α= dy(x) (dálejen y,kde y=y(x)jehledanárovnicekřivky). dx TahovousíluF2vlaněmůžemerozložitdodvousložek: F 2x = F 2 cosα, F 2y = F 2 sinα. Protože řetěz je v rovnováze, musí být výslednice všech sil na něj působících rovnanule.složkově vesměru x: F 2 cosα=f 1,vesměru y: F 2 sinα= m l gx. 24

25 Ztohodostávámeprotg α= mg x. lf 1 Označme mg = k...konstantaprodanýdruhřetězu. lf 1 Pakdostaneme dy = k x.separacíaintegrací:dy= k xdx, y= kx2 2 + C. dx Konstantu Curčímezokrajovýchpodmínek:je-li x=0,jetaké y=0 viz obr.5.pak y= mg x 2lF 2. 1 Řetěz bude mít tvar paraboly. Cvičení 2 1.Motorováloďkasepohybujepoklidnéhladiněrychlostí v 0 =10km h 1. Vplnémchodujevypnutmotoraza40spotomserychlostzmenšína 4km h 1.Odporvodynechťjepřímoúměrnýrychlostipohybuloďky. Určete rychlost loďky za 2 minuty po vypnutí motoru. 2.Určete,zajakdlouhovytečevšechnavodaznádobyvpříkladu10. 3.Válcovýzásobníkovýšce h=6,00maprůměru D=4,00mmávedně kruhovýotvoroprůměru d=0,200m.zásobníkjeažpookrajnaplněn vodou.určetezávislostvýškyhladiny hnačase tadobu t 0,zakterou vyteče všechna voda. Koeficient zúžení vytékajícího kapalinového sloupce je k=0, Izolovanývodičmánáboj Q 0 =1000C.Protožeizolacenenídokonalá, dochází na vodiči postupně k úbytku náboje. Rychlost úbytku náboje na vodiči je v daném okamžiku přímo úměrná náboji na vodiči. Jaký náboj zůstane na vodiči po uplynutí 10,0 min, jestliže za první minutu ubyl náboj100c? 5.Zajakdlouhoteplotatělesazahřátéhona100 Cklesnena30 C,jestliže teplotaokolníhoprostředíjerovna20 Cazaprvních20minutsetěleso ochladilona60 C? 6. Úbytek velikosti intenzity světla při průchodu prostředím je úměrný velikosti intenzity dopadajícího světla a tloušťce vrstvy. Na hladině je velikost intenzityrovna I 0.Jakáčástintenzityprojdedohloubky30m,jestliže připrůchoduvrstvouvodyotloušťce3msevelikostintenzitysnížína polovinu? 25

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

2 Odvození pomocí rovnováhy sil

2 Odvození pomocí rovnováhy sil Řetězovka Abstrakt: Ukážeme si, že řetěz pověšený mezi dvěma body v homogenním gravitačním poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolický kosinus. Odvození provedeme dvojím způsobem: pomocí rovnováhy

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM)

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM) NOSNÍK NA PRUŽNÉ PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉ) Uvažujeme spojitý nosník na pružných podporách. Pružná podpora - odpor je úměrný zatlačení. Pružné podpory velmi blízko sebe - jejich účinek lze nahradit spojitou

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9

Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 Obsah 1 Kmitavý pohyb 1 Kinematika kmitavého pohybu 3 Skládání kmitů 6 4 Dynamika kmitavého pohybu 7 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 6 Nucené kmity. Rezonance 10 1 Kmitavý pohyb Typy pohybů

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles.

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles. 2.4 Gravitační pole R2.211 m 1 = m 2 = 10 g = 0,01 kg, r = 10 cm = 0,1 m, = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; F g =? R2.212 F g = 4 mn = 0,004 N, a) r 1 = 2r; F g1 =?, b) r 2 = r/2; F g2 =?, c) r 3 = r/3; F g3 =?

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Okamžitý výkon P. Potenciální energie E p (x, y, z) E = x E = E = y. F y. F x. F z

Okamžitý výkon P. Potenciální energie E p (x, y, z) E = x E = E = y. F y. F x. F z 5. Práce a energie 5.1. Základní poznatky Práce W jestliže se hmotný bod pohybuje po trajektorii mezi body (1) a (), je práce definována křivkovým integrálem W = () () () F dr = Fx dx + Fy dy + (1) r r

Více

Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem

Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem Úloha č. 3 Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem Úkoly měření: 1. Určete tíhové zrychlení pomocí reverzního a matematického kyvadla. Pro stanovení tíhového zrychlení, viz bod 1, měřte

Více

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti EO2 Přednáška 8 Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu ÚVODEM Na předchozích přednáškách jsme se seznámili s obecným postupem řešení přechodných dějů, jmenovitě pak

Více

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, ve které se vyskytují derivace nebo diferenciály neznámé funkce

Více

B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ

B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ I. MECHANICKÉ KMITÁNÍ 8.1 Kmitavý pohyb a) mechanické kmitání (kmitavý pohyb) pohyb, při kterém kmitající těleso zůstává stále v okolí určitého bodu tzv. rovnovážné polohy

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

FYZIKA II. Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy

FYZIKA II. Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy FYZIKA II Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy Osnova přednášky Energie magnetického pole v cívce Vzájemná indukčnost Kvazistacionární

Více

KMITÁNÍ PRUŽINY. Pomůcky: Postup: Jaroslav Reichl, LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině

KMITÁNÍ PRUŽINY. Pomůcky: Postup: Jaroslav Reichl, LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině KMITÁNÍ PRUŽINY Pomůcky: LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině Postup: Těleso zavěsíme na pružinu a tu zavěsíme na pevně upevněný siloměr (viz obr. ). Sondu připojíme k LabQuestu a nastavíme

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Klára Švarcová klara.svarcova@tiscali.cz 1 Obsah 1 Průlet tělesa skrz Zemi 3 1.1 Zadání................................. 3 1. Řešení.................................

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0220, "Inovace studijních programů zahradnických oborů s důrazem na jazykové a odborné dovednosti a konkurenceschopnost

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

České vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství

České vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství České vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství Úloha KA03/č. 5: Měření kinematiky a dynamiky pohybu osoby v prostoru pomocí ultrazvukového radaru Ing. Patrik Kutílek, Ph.., Ing.

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

1.1 Shrnutí základních poznatků

1.1 Shrnutí základních poznatků 1.1 Shrnutí základních poznatků Pojmem nádoba obvykle označujeme součásti strojů a zařízení, které jsou svým tvarem a charakterem namáhání shodné s dutými tělesy zatíženými vnitřním, popř. i vnějším tlakem.sohledemnatopovažujemezanádobyrůznápotrubíakotlovátělesa,alenapř.i

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Theory Česky (Czech Republic)

Theory Česky (Czech Republic) Q1-1 Dvě úlohy z mechaniky (10 bodíků) Než se pustíte do řešení, přečtěte si obecné pokyny ve zvláštní obálce. Část A. Ukrytý disk (3,5 bodu) Uvažujeme plný dřevěný válec o poloměru podstavy r 1 a výšce

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Vlnění Vhodíme-li na klidnou vodní hladinu kámen, hladina se jeho dopadem rozkmitá a z místa rozruchu se začnou

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 6 6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Pohyblivost mechanické soustavy charakterizujeme počtem stupňů volnosti. Je to číslo, které udává, kolika nezávislými parametry je určena poloha jednotlivých členů soustavy

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Sestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu

Sestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu Sestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu Václav Čibera 12. února 2009 1 Motivace Na obrázku 1 máme znázorněný mechanický systém, který může představovat

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole

5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole 5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole 5.1. Zadání úlohy 1. Určete velikost tíhového zrychlení pro Prahu reverzním kyvadlem.. Stanovte chybu měření tíhového zrychlení.

Více

Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice

Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice podzim 2008, pátá přednáška Derivace a tečny aneb matematika libovolně malých změn Nejen velké,

Více

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje);

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); Newtonovy pohybové zákony: Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); předpokládáme soustředění hmoty tělesa a všech

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1 Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ÚLOHY

Více

4. Práce, výkon, energie a vrhy

4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce Těleso koná práci, jestliže působí silou na jiné těleso a posune jej po určité dráze ve směru síly. Příklad: traktor táhne přívěs, jeřáb zvedá panel Kdy se práce

Více

Mechanické kmitání (oscilace)

Mechanické kmitání (oscilace) Mechanické kmitání (oscilace) pohyb, při kterém se těleso střídavě vychyluje v různých směrech od rovnovážné polohy př. kyvadlo Příklady kmitavých pohybů kyvadlo v pendlovkách struna hudebního nástroje

Více

Hydromechanické procesy Hydrostatika

Hydromechanické procesy Hydrostatika Hydromechanické procesy Hydrostatika M. Jahoda Hydrostatika 2 Hydrostatika se zabývá chováním tekutin, které se vzhledem k ohraničujícímu prostoru nepohybují - objem tekutiny bude v klidu, pokud výslednice

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT 1. Mechanika 1. 6. Energie 1 Autor: Jazyk: Aleš Trojánek čeština Datum vyhotovení:

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Mechanické kmitání a vlnění

Mechanické kmitání a vlnění Mechanické kmitání a vlnění Pohyb tělesa, který se v určitém časovém intervalu pravidelně opakuje periodický pohyb S kmitavým pohybem se setkáváme např.: Zařízení, které volně kmitá, nazýváme mechanický

Více

Příklady kmitavých pohybů. Mechanické kmitání (oscilace)

Příklady kmitavých pohybů. Mechanické kmitání (oscilace) Mechanické kmitání (oscilace) pohyb, při kterém se těleso střídavě vychyluje v různých směrech od rovnovážné polohy př. kyvadlo Příklady kmitavých pohybů kyvadlo v pendlovkách struna hudebního nástroje

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Diferenciální rovnice a dynamické modely

Diferenciální rovnice a dynamické modely Diferenciální rovnice a namické modely Robert Mařík 31. srpna 2009 c Robert Mařík, 2009 G. Galilei: Velkou knihu příro mohou číst jen ti, kteří znají jazyk, jímž je tato kniha napsána. A tímto jazykem

Více

Měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem

Měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem 43 Kapitola 7 Měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem 7.1 Úvod Tíhové zrychlení je zrychlení volného pádu ve vakuu. Závisí na zeměpisné šířce a nadmořské výšce. Jako normální tíhové zrychlení g n

Více

Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B

Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Řešení úloh kola 9 ročníku fyzikální olympiády Kategorie B Autořiúloh:MJarešová,,,5),PŠedivý3,7)aVKoubek6) a) Označme hvýškunadzemí,kdedojdekesrážcespodní kuličkadopadnenazemrychlostíovelikosti v 0 Hg

Více