1. Pokyny pro vypracování
|
|
- Vilém Rohla
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1. Pokyny pro vyprcování Zvolený příkld z druhé kpitoly vyprcujte písemně (nejlépe vysázejte pomocí LATEXu) dodejte osobně po předchozí domluvě milem n krbek@physics.muni.cz. Dále si vyberte tři z jednodušších úloh v třetí kpitole rovněž je vyprcujte. Řešení budeme následně diskutovt. Pokud bude řešení správné úplné, bude Vám udělen zápočet. Žádní dv studenti nemohou řešit stejný příkld, proto se mezi sebou musíte domluvit. 2. Příkldy n udělení zápočtu z vričního počtu 2.1. Soustv hrmonických oscilátorů, její symetrie přechod od této soustvy ke spojité struně. Uvžujme soustvu N hrmonických oscilátorů: kždý o hmotnosti m, jež jsou spojeny N pružinmi o tuhosti k, tk, že j-tý oscilátor je spojen s ( j + 1)-ním, j {1,..., N 1} N-tý opět s prvním (viz obrázek 1) N 7 Obrázek 1: Konfigurce soustvy hrmonických oscilátorů () Npište lgrngián kci pro tuto soustvu oscilátorů npište rovněž příslušné pohybové rovnice. Využijte mticový zápis soustvy rovnic, ü = ω 2 Au, (1) kde ω 2 = k/m u je vektor výchylek oscilátorů, A je jistá N N mtice. Můžete využít mticového zápisu i pro potenciální kinetickou energii soustvy. 1
2 2.2 Minimální plochy v R 3 (b) Vyřešte soustvu rovnic pro N = 4. (c) Uvžte symetrii soustvy oscilátorů vzhledem k otočení, které přesune první oscilátor do druhého, j-tý do ( j + 1)-ního N-tý do prvního. Tuto symetrii vyjádřete mticí S. (d) Skutečnost, že S je symetrií soustvy oscilátorů znmená, že je rovněž symetrií soustvy rovnic (1) tedy pltí, že rovnice Sü = ω 2 A Su (2) je stejná jko rovnice (1). Z toho plyne SA = AS. Ověřte to přímo. (e) Mtice S A komutují, mjí tedy shodné systémy vlstních vektorů. Nlezněte vlstní hodnoty vektory S tím i vlstní vektory A. Uvědomte si, že S N = 1 N (jednotková mtice). (f) Ukžte, že vlstní hodnoty A jsou ( λ k = 2 1 cos 2πk ). (3) N (g) Proved te přechod N od součtů k integrci přes úhlovou souřdnici ϕ pro kci z () získejte tím Lgrngeovu hustotu. (h) Odvod te obecně řešte pohybové rovnice pro získnou Lgrngeovu hustotu. (i) Jký operátor v tomto spojitém přípdě odpovídá operátoru S jký zákon zchování mu odpovídá? 2.2. Minimální plochy v R 3. Minimální ploch je ploch s okrjem, jejíž kždý bod mimo hrnici má okolí, které má minimální možnou plochu vzhledem k dné hrnici tohoto okolí. () Zformulujte předchozí zdání jko vriční úlohu pro jistý vriční funkcionál pro funkci f (x, y), jež popisuje plochu. (b) Spočtěte Euler Lgrngeovy rovnice příslušné tomuto funkcionálu tím i nutnou podmínku pro minimální plochu. (c) Nlezněte minimální plochu ve speciálním přípdě, kdy se jedná o plochu vzniklou rotcí křivky kolem jisté osy. (d) Formulujte řešte úlohu rovněž pro přípd, kdy je ploch zdán prmetricky jko F : R 2 R 3. 2
3 2.3 Hmiltonián z lgrngiánu řešením vričního problému s vzbou (e) Dokžte, že helikoid (viz obrázek 2) je minimální plochou. Prmetrické vyjádření helikoidy (tj. její vložení do R 3 ) je dáno kde R je prmetr. F : R 2 R 3 (4) ( ) x r cos ϕ r y = r sin ϕ, (5) ϕ z ϕ Obrázek 2: Závit helikoidy s prmetrem = 1 (f) Ukžte, že Euler-Lgrngeovy rovnice z části (d) jsou ekvivlentní poždvku, by tzv. střední křivost H byl nulová. Střední křivost je ritmetickým průměrem obou hlvních křivostí, tedy H = 1 2 (κ 1 + κ 2 ). (6) O střední křivosti se více dovíte n curvture, o hlvních křivostech potom n Principl_curvture Hmiltonián z lgrngiánu řešením vričního problému s vzbou. Mějme klsický vriční problém, tj. hledáme minimum funkcionálu min u L(x, u, u )d x. (7) 3
4 2.4 Vlstnosti extremlity pro vlstní hodnoty operátorů () Ukžte, že výše uvedenou minimlizci (7) lze ekvivlentně popst jko vriční problém hledání minim doplněného podmínkou u (x) = v(x). min u,v L(x, u, v)d x (8) (b) Tento problém řešte metodou Lgrngeových multiplikátorů, viz. dptovnou pro vriční počet. Lgrngeův multiplikátor oznčíme p(x). Hledáme tedy min mx [ L(x, u, v) p(u v) ] d x. (9) u,v p (c) Předchozí výrz uprvte užitím metody per prtes n integrnd pu d x, dále užijte mx-min nerovnost (d) Pro nově vzniklý funkcionál npište první vrici. (lgrngián nezávisí n u ni v ). Získejte p p jko funkce u v. (e) Z funkcionálu vyloučete funkce p p. Co získáme? (f) Vyloučete funkce u v. Získáme tzv. duální vriční problém vzniklý Legendreovou trnsformcí. (g) Vyloučete v p. Získáme Hmiltonovu formulci vričního problému. (h) Předchozí proved te konkrétně pro lgrngiány příslušné hrmonickému oscilátoru tké pohybu částice v homogenním poli. (i) N příkldech z (h) ověřte, že Legendreov trnsformce je involutivní (tj. její plikce dvkrát po sobě je identit) Vlstnosti extremlity pro vlstní hodnoty operátorů. Uvžte problém vlstních hodnot pro Lplceův operátor n dosttečně regulární oblsti Ω R 2 s Dirichletovými okrjovými podmínkmi, tj. u = λu, u = 0 n Ω. (10) () Ukžte, že nejmenší vlstní hodnot λ 1 je kldná, má násobnost rovnu jedné že k ní příslušná vlstní funkce u 1 nemá n Ω nulové body. 4
5 2.5 Vriční funkcionál k zobecněné Poissonově rovnici (b) Oznčme O množinu všech dosttečně regulárních oblstí v R 2. Uvžujte vriční problém min λ 1(Ω), µ(ω) = A, (11) Ω O kde µ je Jordnov mír µ(ω) je tedy ploch oblsti Ω, A > 0. Ukžte, že minimy tohoto vričního problému jsou kruhy o ploše A řešení je ž n trnslci určeno jednoznčně Vriční funkcionál k zobecněné Poissonově rovnici. Uvžujte vriční funkcionál [ K( u), u f u] d x (12) Ω pro dosttečně hldkou funkci u : R n R (13) x u(x) (14) n regulární oblsti Ω R n. Ve funkcionálu (12) je dále K v kždém bodě x oblsti Ω lineární, symetrický pozitivní operátor, (K je zdáno jko n n mtice funkcí n Ω), je grdient,, znčí sklární součin f je zdná funkce. () Odvod te Eulerovu Lgrngeovu rovnici pro výše uvedený funkcionál (12). (b) Jkou volbou K f dostneme stndrdní Poissonovu rovnici? (c) Jký je fyzikální význm K f? (d) Uvžte rovinný problém, tedy n = 2, polární souřdnice. Dále vezměte K digonální závisející pouze n polární souřdnici r. Npište obecně řešte Lgrngeovy rovnice pro tento přípd. Objsněte zse fyzikální význm rovnice. (e) Diskutujte jednoznčnost Dirichletovy úlohy pro rovnici z (). Dirichletov úloh je rovnice () doplněná okrjovou podmínku u = 0 n Ω Geodetické křivky n válci. Uvžujte nekonečný válec o poloměru R, jehož osou je os z. () Spočtěte element délky oblouku ve válcových souřdnicích ϕ z. (b) Npište vzth pro délku křivky zdné ve válcových souřdnicích, nlezněte řešte Euler-Lgrngeovy rovnice. 5
6 (c) Je řešení úlohy (b) jednoznčné? Formulujte podmínku pro minimum. (d) Stejnou úlohu řešte v krtézských souřdnicích s vzební podmínkou x 2 + y 2 = R 2 pomocí metody Lgrngeových multiplikátorů. 3. Jednodušší úlohy k zápočtu Příkldy jsou vesměs vybrány z doporučené učebnice Gelfnd, Fomin: Clculus of Vritions Euler Lgrngeovy rovnice jejich řešení. (1) Njděte řešte Euler Lgrngeovy rovnice pro funkcionál ( 1 2 m u2 1 2 ku2 Au sinωt ) d t N jkou fyzikální úlohu se předchozí funkcionál vzthuje? (2) Njděte obecné řešení Euler Lgrngeovy rovnice pro funkcionál f (x) 1 + (y ) 2 d x. (3) Njděte rovnovážnou polohu homogenního řetězu, jehož konce jsou upevněny n svislé stěně (obecně v různých výškách). (4) Mezi všemi křivkmi v rovině xy spojujícími bod (0, b) n ose y s osou x jež společně se souřdnicovými osmi ohrničuje obsh S njděte tkovou, jejíž rotcí kolem osy x získáme rotční plochu, která má co nejmenší možný obsh Obecné vlstnosti funkcionálů. (5) Njděte Hmiltonovy rovnice pro extremály funkcionálu x 2 + y (y ) 2 d x pomocí nich určete první integrál pro Eulerovy Lgrngeovy rovnice. (6) Spočtěte druhou vrici funkcionálu exp(s[u]), kde S[u] je dvkrát diferencovtelný funkcionál. 6
7 3.3 Vriční úlohy pro vícerozměrné oblsti, zákony zchování (7) Dokžte, že u funkcionálu typu se nevyskytují sdružené body. L(t, ẋ)d t 3.3. Vriční úlohy pro vícerozměrné oblsti, zákony zchování. (8) Njděte extremály níže zdného funkcionálu n oblsti Ω R n 1 2 Ω ( ) n u 2 d x 1... d x n. (9) Odvod te Euler Lgrngeovy rovnice pro Lgrngeovu hustotu L = 3 i=0 i=1 x i ( ) u 2 h i ea i + m 2 u 2 + x i 3 i=0 ( ) 2 Ai h i h j x j + m 3 h i A 2 i, kde pole jsou sklární u čtyřvektorové (A 0, A 1, A 2, A 3 ). Dále h 0 = 1, h 1 = h 2 = h 3 = 1. (10) Uvžujte Lgrngeovu hustotu z předchozí úlohy. Ukžte, že je invrintní vůči Lorentzovým trnsformcím (x 0, x 1, x 2, x 3 ). (11) Odvod te zákony zchování pro trnsformci z předchozí úlohy. i= Přibližné metody. (12) Ritzov vriční metod (metod konečných prvků): zvolme posloupnost funkcí {u n } splňující okrjové podmínky dného vričního problému. Potom můžeme uvžovt podprostory V n prostoru přípustných funkcí generovné lineárními kombincemi typu 1 u n u n. Zjevně je V n vektorovým podprostorem ve V n+1. Vriční funkcionál můžeme vyčíslit n tkové lineární kombinci minimlizovt funkcionál pouze n V n jko funkci n proměnných 1,..., n. V příznivých přípdech pro n získáme řešení. Pro vriční funkcionál 1 ( 1 2 u2 1 2 u2 2tu ) d t 0 s okrjovými podmínkmi u(0) = u(1) = 0 předchozí postup proved te pro posloupnost {u n }, kde u n = t n (1 t). Srovnejte s přesným řešením. 7
8 3.4 Přibližné metody (13) Původní Eulerův přístup (metod konečných diferencí): Uvžte vriční úlohu npř. pro funkcionál z předchozí úlohy (12) se stejnými okrjovými podmínkmi. Intervl [0,1] rozdělíme n n + 1 stejně dlouhých dílků, kždý o šířce t = 1/(n + 1). Oznčme t k = k t u k = u(t k ), k {0,..., n + 1}. Potom u 0 = u n+1 = 0. Funkci u(t) nhrdíme lomenou črou s vrcholy (t 0, u 0 ),...,(t n+1, u n+1 ). Derivce u v bodě t k proximujeme npř. konečnými dopřednými diferencemi (u k+1 u k )/ t integrál proximujeme ptřičným Riemnnovým součtem. Potom vriční funkcionál můžeme proximovt funkcí n proměnných u 1,..., u n její extrémy hledt trdičními metodmi z diferenciálního počtu více proměnných. Proved te pro výše uvedený funkcionál! 8
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
Více8. cvičení z Matematiky 2
8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
VíceDefinice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
Více18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.
I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce
VíceNeřešené příklady z analýzy funkcí více proměnných
České vysoké učení technické v Prze Fkult elektrotechnická Neřešené příkldy z nlýzy funkcí více proměnných Miroslv Korbelář Pol Vivi Prh 16 Tento dokument byl vytvořen s podporou grntu RPAPS č. 1311/15/15163C5.
VíceMatematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
VíceRelativiatická fyzika a astrofyzika I. Geometrie
Reltivitická fyzik strofyzik I Geometrie Definice: Nechť g je metrický tenzor jeho komponenty vůči souřdnicové zi jsou g.dále nechť je g -1 inverzní mtice k g její komponenty k příslušné zi jsou g. zvedání
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VíceII. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
Více17 Křivky v rovině a prostoru
17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
VíceKŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
VíceKřivkový integrál funkce
Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VícePři výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.
.. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceMETODICKÝ NÁVOD MODULU
Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název modulu: Zákldy mtemtiky Zkrtk: ZM Počet kreditů: Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolnský Tutor: Petr Dolnský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH OPOR: ) Skriptum:
VíceMatematické metody v kartografii
Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími
VíceIntegrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
VíceMatematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné
Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.
Více= 2888,9 cm -1. Relativní atomové hmotnosti. leží stejný přechod pro molekulu H 37 Cl? Výsledek vyjádřete jako
Přijímcí zkoušk n nvzující mgisterské studium - 018 Studijní progrm Fyzik - všechny obory kromě Učitelství fyziky-mtemtiky pro střední školy, Vrint A Příkld 1 Určete periodu periodického pohybu těles,
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
VíceSprávné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010
právné řešení písemné koušky mtemtiky- vrint A Přijímcí říení do NMgr. studi učitelských oborů Příkld. Vyšetřete průběh funkce v jejím mimálním definičním oboru nčrtněte její grf y Určete pritu (sudá/lichá),
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
VíceLineární nerovnice a jejich soustavy
teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
VíceA DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).
A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu
Vícea a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)
. Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního
VíceMartin Kihoulou. j plos F = Protože magnetické pole je homogenní, lze jej z integrálu vytknout
Vzorné řešení písemné práce z Klsické elektrodynmiky Mrtin Kihoulou Úloh 1 Do homogenního mgnetického pole B = B e y je vložen přímý vodič ve tvru pláště válce x + y =. Po povrchu teče rovoměrně rozložený
VíceHyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná
Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
VícePříklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem
Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
VíceOhýbaný nosník - napětí
Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se
VíceKřivkový integrál prvního druhu verze 1.0
Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm
VíceMATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Ostrv Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Vsoká škol áňská Technická univerzit
VíceFunkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2
VícePrimitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce
Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce............ 7 Metody výpočtu primitivních funkcí............. Rcionální funkce................... 7 Ircionální funkce...................
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
VíceÚlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C
52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.
Více1.1 Numerické integrování
1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme
VíceVýraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují
. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně
VíceKŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Na vyřešení tohoto úkolu zavedeme tzv. křivkové integrály. Mám rád hezké křivky...
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
VíceVětu o spojitosti a jejich užití
0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě
VíceKapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku
x 5 x 6 x 7 x 8 pitol 3 řivkové integrály 3. řivkový integrál. druhu líčová slov: délk oblouku, délk křivky, křivkový integrál. druhu po oblouku, křivkový integrál. druhu po křivce, neorientovný křivkový
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
VíceV = gap E zdz. ( 4.1A.1 ) f (z, ξ)dξ = g(z),
4.1 Drátový dipól Zákldní teorie V této kpitole se seznámíme s výpočtem prmetrů drátového dipólu pomocí momentové metody. Veškeré informce se snžíme co nejsrozumitelněji vysvětlit ve vrstvě A. Vrstvu B
Víceextrém (zde y 0 je správná pozice struny a F je funkce odpovídající tahu struny).
VARIAČNÍ POČET Budeme hledt nejkrtší spojnici dvou bodů n kytře pomocí struny. Bude to úsečk. Proč? Protože při neptrném nedodržení linerity se strun po utžení brání. Funkce ε F (y 0 + εϕ musí mít v bodě
VíceMatematika II: Listy k přednáškám
Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné 1.Řy 11
VíceMatematika II: Aplikované úlohy
Mtemtik II: Aplikovné úlohy Zuzn Morávková Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - plikovné úlohy Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
VícePředpoklady: a 1, a 0, f spojité na intervalu I, a 1 0 na I. Vydělením a 1 (x) dostaneme LDR ve tvaru (p, q spojité):
Diferenciální rovnice Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu: F x, y, y, y,, y n Řešení n intervlu I: funkce y : I R tková, že pro kždé x I je F x, yx, y x,, y n x Mximální řešení: neexistuje řešení
Vícemnožina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,
Náplní předmětu bude klkulus R n R (přípdně R m ). Proč se zbývt funkcemi více proměnných? V prxi je čsto třeb uvžovt veličiny, které závisejí n více než jedné proměnné, npř. objem rotčního kužele závisí
VícePružnost a plasticita II
Pružnost plsticit II. ročník klářského studi doc. In. Mrtin Krejs, Ph.D. Ktedr stvení mechnik Řešení nosných stěn pomocí Airho funkce npětí inverzní metod Stěnová rovnice ΔΔ(, ) Stěnová rovnice, nzývná
VíceVýpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
VíceZkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.
1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Více2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme
Více6. Setrvačný kmitový člen 2. řádu
6. Setrvčný kmitový člen. řádu Nejprve uvedeme dynmické vlstnosti kmitvého členu neboli setrvčného členu. řádu. Předstviteli těchto členů jsou obvody nebo technická zřízení, která obshují dvě energetické
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná Vybraná spojitá rozdělení
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Vybrná spojitá rozdělení Zákldní soubor u spojité náhodné proměnné je nespočetná množin. Z je tedy podmnožin množiny reálných čísel (R). Distribuční funkce
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 URČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Dněček, Oldřich Dlouhý,
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceŘešené příklady k MAI III.
Řešené příkldy k MAI III. Jkub Melk 28. říjn 2007 1 Obsh 1 Metrické prostory 2 1.1 Teoretickéotázky.... 2 1.2 Metriky..... 4 1.3 Anlýzmnožin... 4 1.3.1 Uzávěry... 4 1.3.2 Zkoumejtenásledujícímnožiny....
Více3. Kvadratické rovnice
CZ..07/..08/0.0009. Kvdrtické rovnice se v tetice oznčuje lgebrická rovnice druhého stupně, tzn. rovnice o jedné neznáé, ve které neznáá vystupuje ve druhé ocnině (²). V zákldní tvru vypdá následovně:
Více7.5.8 Středová rovnice elipsy
758 Středová rovnice elips Předpokld: 7501, 7507 Př 1: Vrchol elips leží v odech A[ 1;1], [ 3;1], [ 1;5], [ 1; 3] elips souřdnice jejích ohnisek Urči prmetr Zdné souřdnice už n první pohled vpdjí podezřele,
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
VíceMatematika II: Listy k přednáškám
Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné 1.Řy 11
Víceje pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;
1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [
Více4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více2.3 Aplikace v geometrii a fyzice... 16
Obsh Derivce 3 Integrály 7. Neurčité integrály.................. 7. Určité integrály................... 3.3 Aplikce v geometrii fyzice............ 6 3 Diferenciální rovnice 8 3. Motivce.......................
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice
Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme
Více5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti
Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)
Více