Příklady z matematiky(pro ITS)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklady z matematiky(pro ITS)"

Transkript

1 Příklady z matematikypro ITS) František Mošna Definiční obor: Zjistěte maimální definiční obor funkce:. f)=ln ) + +2 Df= 2, ) 9, ).2 f)=ln ) 36 2 Df= 6, ) 5,6.3 f)=ln ) 00 2 Df= 0, 9) 2,0.4 f)=ln 8 2) Df= 9,3) 7,9).5 f)= ln 49 2) Df= 7,2 5,7).6 f)= ln+) Df=,3 5, ).7 f)= ln 25 2) Df= 5, 3,5).8 f)=ln 36 2) Df= 6,2 5,6).9 f)=ln ) Df= 9,2) 5,9.0 f)= 2 6+ln+0) Df= 0, 2 3, ). f)=ln ) + 2 Df=7, ).2 f)= 2 2 ln5 ) Df=, 2,5).3 f)= 2 6+ln 6 2) Df= 4, 2 3,4).4 f)=ln ) + 5 Df= 5, ).5 f)= Df= 5, 3, ).6 f)= ln2 ) Df=, 8 5,2).7 f)=ln ) + +8 Df= 8, 5) 2, )

2 2.8 f)=ln6 ) Df=,2 4,6).9 f)=ln ) + +3 Df= 3,2) 7, ).20 f)= ln 36 2) Df= 6, 2 5,6).2 f)=ln+7) Df= 7, 3 7, ).22 f)= Df= 5, 3, f)= +ln7 ) Df= 4, ) 2,7) +.24 f)= ln0 ) 6+5 Df= 3,) 5,0).25 f)=ln f)= ln 36 2).27 f)= ln 25 2) Df=,2) 5,9 Df=, 3,6) Df=, 3,5.28 f)= 36 2 ln Df=,3) 5,6.29 f)= 6 2 ln Df= 3, ),4.30 f)=ln5 ) Df=,) 3,5).3 f)=ln Df= 4,) 5,0 Inverzní funkce: Kfunkci fprosténasvémmaimálnímdefiničnímoboru)zjistětefunkciinverzní f,včetnědefiničníhooboru Df aoboruhodnot Hf : 2. f: y= π+arcsin2 3) f : y= 2 3+sin π)), Df = π 2,3π 2, Hf =,2

3 3 2.2 f: y= ln2 3) f : y= 2 3+e 2), Df = 0, ), Hf = 2, ) 2.3 f: y= π+2arcsin f: y= π 2arcsin 5) f : y=2+3sin π 2, Df = 0,2π, Hf =,5 f : y=5+sin π 2, Df = 0,2π, Hf = 4,6 2.5 f: y= ) f : y= , Df =, 3 2, Hf =,3 2.6 f: y= 2 5+ln 3)) f : y=3+e 2 5, Df =, ), Hf =3, ) 2.7 f: y= 2 ) π arccos 3 f : y=3+cos 2 π 2), Df = π 4, π 2, Hf = 3,4 2.8 f: y= π 2arctg f : y=+tg 2 π 2, Df =0, π, Hf =, ) 2.9 f: y= 3 ) 4 e 2 f : y=2 ln 2 4 3), Df = ), 4 3, Hf =,2 2.0 f: y= ln2 3) f : y= 2 3+e 2), Df = 0, ), Hf = 2, ) 2. f: y=arcsin f : y=2 2 sin 2, Df = 0, π 2, Hf =, 2.2 f: y= arcsinln ) MS3 2.3 f: y= ln f : y=e sin 2, Df = 0, π 2, Hf =,e f : y=e 22 4, Df = 0,, Hf =,e 2.4 f: y=arctg 2 ) f : y=2+ tg ) 2, Df = π 2, π 4, Hf = 2, ) Derivace- tečna, normála: Zjistěterovnicitečnyarovnicinormálykfunkci fvbodě T: 3. f)=5+e 2 T=,? t: 3 y+3=0 n: +3y 9=0 3.2 f)=3 ln 2 T=,? t: 2 y+=0 n: +2y 7=0

4 4 3.3 f)= +3 cos T=0,? t: y+3=0 n: +y 3=0 3.4 f)=4arctg 2 T=4,? t: 4y+4π 4=0 n: 4+y π 6=0 3.6 f)=2 arctg 2 T=,? t: 2+ πy π+2=0 n: π 2y+3 π=0 3.7 f)=2+ln 3 ) 5 2 T=,? t: 7 2y 3=0 n: 2+7y 6=0 3.8 f)=3+ln ) T=2,? t: 2 y =0 n: +2y 8=0 3.9 f)= 2 T=,? t: 2 y 2=0 n: +2y =0 3.0 f)= ++cos T=0,? t: 3 2y+2=0 n: 2+3y 3=0 3. f)=2+ sin +9 T=0,? t: 3y+6=0 n: 3+y 2=0 3.2 f)=5+2 ln T=,? t: 2 y+3=0 n: +2y =0 3.3 f)=arctg ) T=,? t: y =0 n: +y =0 3.4 f)=e +cos +2 π) T=π,? t: 2 y 2π+=0 n: +2y π 2=0 3.5 f)= cos T=0,? t: 2 y+3=0 n: +2y 6=0 3.6 f)= 2ln T=,? t: 2 y 2=0 n: +2y =0 3.7 f)= π cos T=π,? t: 2πy 3π=0 n: 2π+y+ 2π 2 =0 3.8 f)= 8cos +4 T=0,? t: +2y 8=0 n: 2 y+4=0 3.9 f)=5+ 3+ln T=,? t: 2 y+3=0 n: +2y = f)= 2 + T=2,? t: 3 2y+4=0 n: 2+3y 9=0

5 5 3.2 f)=2 arctg ) T=,? t: 2 y 2=0 n: +2y = f)= e + T=0,? t: 2y+2=0 n: 2+y = f)=3 +3ln T=,? t: y+2=0 n: +y 4= f)=2+ )arctg T=,? t: π 4y+8 π=0 n: 4+πy 4 2π= f)= 2 2 T=4,? t: 5 2y 36=0 n: 2+5y 88= f)= 3++ ln T=,? t: 5 4y+3=0 n: 4+5y 4= f)= cos T=π,? t: +y=0 n: y 25= f)= ln 3 T=,? t: 2+y+=0 n: 2y 7= f)=2+ + arctg T=0,? t: y+2=0 n: +y 2= f)=2++e tg T=0,? t: 2 y+3=0 n: +2y 6=0 3.3 f)= 2 +5 T=2,? t: 2 3y 5=0 n: 3+2y 2= f)=ln arctg T=,? t: π 4y π=0 n: 4+π y 4= f)=4arctg ) T=2,? t: 6 y+ π 32=0 n: +6y 6π 2= f)=+ 4+ln T=,? t: 5 4y+7=0 n: 4+5y 9= f)= 3+ ln T=,? t: 2+y+=0 n: 2y 7=0 Derivace- průběh funkce: Zjistěte maimální intervaly, na kterých je funkce f rostoucí, na kterých je klesající a její lokální etrémy: 4. f)= e 2 + rostoucína, 2, klesajícína, ana 2, ), lokálníminimumvbodě alokálnímaimumvbodě f)=6 7)e 6 klesajícína,,rostoucína, ),lokálníminimumvbodě

6 6 4.3 f)= 3ln+) klesajícína,2, rostoucína 2, ),lokálníminimumvbodě2 4.4 f)=9 25arctg rostoucína, 4 3 ana 4 3, ),klesajícína 4 3 3,4, lokálníminimumvbodě 4 3 alokálnímaimumvbodě f)= ln rostoucína 0,e 2,klesajícína e 2, ), lokálnímaimumvboděe f)=e 2 klesajícína, 2, rostoucína 2, ), lokálníminimumvbodě f)=5+4)e 5 klesajícína,,rostoucína, ), lokálníminimumvbodě 4.8 f)=e rostoucína,,klesajícína, ), lokálníminimumvbodě 4.9 f)= 3 rostoucína,3)ana 3, ), klesajícína, lokálníminimumvbodě 4.0 f)= 3) rostoucína,, klesajícína, ),lokálníminimumvbodě 4. f)= 4.2 f)= ln rostoucína 0,)ana,4, klesajícína 4, ), lokálnímaimumvbodě4 klesajícína 0, e 2, rostoucína e 2, ), lokálníminimumvbodě e f)= ln 2 rostoucína 0, e, klesajícína e, ), lokálnímaimumvbodě e 4.4 f)= e rostoucína 0, 2, klesající na 2,, lokálnímaimumvbodě f)= klesajícína,, rostoucína, ), lokálníminimumvbodě 4.6 f)= 2 2 rostoucína 0,, klesajícína,2, lokálnímaimumvbodě 4.7 f)= klesajícína 0,9, rostoucína 9, ), lokálníminimumvbodě9 4.8 f)= +ln klesajícína0,, rostoucína, ), lokálníminimumvbodě 4.9 f)= 2 8 ln klesajícína0,2, rostoucína 2, ), lokálníminimumvbodě f)= 2 +0 rostoucína 0, 8 ana 0, ), klesajícína 8,0, lokálnímaimumvbodě 8alokalníminimumvbodě0

7 7 4.2 f)= 2 ln) rostoucína0,e, klesajícína e, ), lokálnímaimumvboděe 4.22 f)=4 5) e 4 klesajícína,, rostoucína, ), lokálníminimumvbodě 4.23 f)= ln rostoucína0,e, klesajícína e, ), lokálnímaimumvboděe 4.24 f)= 2 arctg rostoucína, ana, ), klesajícína,, lokálnímaimumvbodě alokalníminimumvbodě 4.25 f)= 5 arctg klesajícína0,4, rostoucína 4, ), lokálníminimumvbodě f)= 4 +5 arctg rostoucína, 2 ana 2, ), klesajícína 2,0)ana 0,2, lokálnímaimumvbodě 2alokalníminimumvbodě f)= 3 3 klesajícína 0,64, rostoucína 64, ),lokalníminimumvbodě f)= rostoucína 2,, klesajícína, ), lokálnímaimumvbodě 4.29 f)= +2 ln klesající na 0,2+2 3, rostoucí na 2+2 ) 3,, lokalníminimumvbodě f)= klesajícína, 3, rostoucína 3, ), lokalníminimumvbodě f)= +0arctg rostoucína, 3 ana 3, ), klesajícína 3,0) ana 0, 3,lokálnímaimumvbodě 3 alokalníminimumvbodě f)=5 3 rostoucína0,3, klesajícína 3, ), lokálnímaimumvbodě f)=ln 4 ) rostoucína0,4, klesajícína 4,6), lokálnímaimumvbodě f)= 3 ) 2 rostoucína,)ana 3, ), klesajícína,3, lokalníminimumvbodě f)=e 3 3e 2 +5 klesajícína,ln2, rostoucína ln2, ), lokálníminimumvboděln2

8 f)= 2 +)arctg klesajícína, ) 4.37 f)=ln 4arctg rostoucí na 0,2 3 ana 2+ ) 3,, klesající na 2 3,2+ 3, lokálnímaimumvbodě2 3alokalníminimumvbodě f)= 6 e 32 6 rostoucína, 3 ana 0, 3, klesajícína 3,0 ana 3, ), lokálnímaimumvbodě 3a 3 alokalníminimumvbodě f)= 3 +3 rostoucí na 0, ) 3, klesající na 3,, lokálnímaimumvbodě f)= e 5 rostoucína,5, klesajícína 5, ), lokálnímaimumvbodě5 4.4 f)=arctg e ) klesajícína,, rostoucína, ), lokalníminimumvbodě 4.42 f)= ) 3 klesajícína, 2), 2, ana 3, ), rostoucína,3, lokálnímaimumvbodě3alokalníminimumvbodě 4.43 f)= 4arcsin 5 klesajícína 5, 3 ana 3,5, rostoucína 3,3, lokálníminimumvbodě 3alokalnímaimumvbodě f)=+3arccos 5 klesajícína 5, 4 ana 4,5, rostoucína 4,4, lokálníminimumvbodě 4alokalnímaimumvbodě4 Zjistěte maimální intervaly, na kterých je funkce f konvení, na kterých je konkávní a její body inflee: 4.45 f)= konvenína, 3 ana 2, ), konkávnína 3,2, infleevbodech 3a f)= konvenína,2, konkávnína 2, ), infleevbodě f)= 2 2ln) konvenína 0, e, konkávnína e, ), infleevbodě e

9 f)=e konkávnína, 2, konvenína 2, ), infleevbodě f)= ln) konkávnína 0, 2, konkávnína 2, ), infleevbodě f)= ) e konvenína,3 ana 5, ), konkávnína 3,5, infleevbodech3a5 4.5 f)= konkávní na, 3 ana ana 0, 3, konkávní na 3,0 3, ),infleevbodech 3, 0a f)= 2+ln konkávní na 0, 3 e 2, konvení na ) 3 e2,, infleevbodě 3 e f)=ln+ 2 ) konkávnína, ana, ), konkávnína,, infleevbodech a 4.54 f)= konkávnína,2, konkávnína 2, ), infleevbodě2 Integrály: Vypočítejte integrál: 6. sin d 2cos +c 6.2 cos d 2sin +c 6.3 d 2 ln ln+c 6.4 d ln lnln+c 6.5 2arctgd + 2 arctg 2 +c e 2 +3 d e c 6.7 d 2 ln ln+c

10 0 6.8 cosarctg ) + 2 d sinarctg ) + c lnd d 2ln ln+c d π/2 0 cosd +sin ln arctg d π 0 sin d +cos lnπ ) lnd 4ln arctgd ) 2 +2 d π/2 ln e d +e ln )d 3 2+ ln5 Vypočítejte obsah rovinného obrazce pod grafem funkce f v mezích od a do b: 6.9 f)= + 2 a=0 b= π/ f)= a= b=3 ln3 Diferenciální rovnice: Vyřešte diferenciální rovnici s podmínkou: 6. y =2 +y 2) y0)= y=tg 2 + π 4 )

11 6.2 y = ycotg yπ)= 2 y=2sin 6.3 y = +y 2) cos y0)= 3 y=tg π 3 +sin ) 6.4 y = y 2 y0)= 2 y= 2e 6.5 y = 2 y y)=4 y=ln ±2) y =+y 2 y0)= y =y y4)=e y=tg y=e 6.8 y 2 +3 ) =2cos 2 y y)= y cosy= y0)=0 6.0 y =2e y y0)=4 y=arctg ln 2 +3) ln4 ) y=arcsin y =3 e ) 2, y 2 =+e ) y e y = y)=0 y=ln 6.2 y = y 2 + y0)=3 y=3e arctg 6.3 y = y y2)=6 y= y y cos) 2 = y0)=2 y= 3 8+tg 6.5 2yy = + 2 y0)=2 y= 4+arctg 6.6 y = 2 cos 2 y0)=0 y=tg y = +y 2) cos y0)= y =3 cosy) 2 y0)= y =+y 2 y0)= y = ycos y0)=5 ) y=tg sin + π 2 y=arctg 3 + π 4 ) y=tg y=5 e sin

12 2 Soustavy lineárních rovnic: Vyřešte soustavu lineárních rovnicpomocí elementárních úprav): 7. 2z + t = +2y z 3t = 2y +2z +5t = y z +3t = 3, 2,,0 + α 38,3, 8,2) 7.2 y 2z +t = 2 +y 3z t = +y 2z +t = 0 3 +y 7z +t = 7 26,6,,0+ α 5,0, 2,) y z t = +2y z + t = 2 +4y 2z +7t = 5 2,,0,+ α,,,0) y 2z + t = + y + z +2t = y +4t = 7 + y +2z +3t = 6 3,,2,0+ α 2,,,) 7.5 y +2t = z 3t = 3 +2y 5z + t = 7 2, 2,,0+ α0,2,,) y +5z t = y +2z 7t = 5 5 2y +8z 6t = 9 5, 4, 3,0+ α4,, 2,) y +z = 4 +2y +z + t = y z +t = 2,,5,0+ α 5,2,0,) y z t = +2y z + t = 2 +4y 2z +7t = 7 4 5, 5,0,3 5 + α,,,0) y +3z t = y + z +4t = y +4z 8t = 0 8,7,3,0+ α26,,,) Vektory, hodnost: Napište vektor a jako lineární kombinaci vektorů u, v a w: 8. a=2, 3,3), u=,2,), v=3,,2), w=, 2,) a=2 u v+3 w

13 3 8.2 a=4, 3, 5), u=2,,3), v=,,4), w=3, 2,) a=2 u 3 v+ w Zjistěte hodnost matice A: hod3 hod2 hod3 hod2 hod2 hod2 Zjistěte, jsou-li vektory lineárně závislé nebo lineárně nezávislé 8.9 2, 3,2,),,, 2,),7, 3, 2,5) lineárnězávislé 8.0 3,,,2),,3,5,4),,5,9,6) lineárnězávislé 8.,,,2),,2,2, 2),7,2,3,9) lineárněnezávislé 8.2,2,,2),4,,7,5),,,2,) lineárnězávislé 8.3 2,,3,4,),3,,3,,2),5,0,6,3,3) lineárnězávislé

14 ,,,3),,,, 3),3,,,) lineárněnezávislé 8.5,3,, ),2,2,,),3,,2,9),,,,2) lineárnězávislé 8.6,2,3, ),2,,3,),4, 7,3,5) lineárnězávislé Determinanty- Cramerovo pravidlo: Vyřešte pomocí Cramerova pravidla soustavu lineárních rovnic: y +z = 2 +2y +z = y +z = 7 2,3, y = 3 +2y + z = 3 y +2z = 5 2,, y +5z = 7 2 2y +2z = 6 3 3y + z = 7 2,0, y = 4 y +z = 2 +y +z = 3,2, y +z = 9 +z = 3 +2y +z = 2,0, y + z = 0 2 y +2z = y + z = 6 3,3, y 2z = 7 + y + z = 0 2y +2z = 7, 2, y 3z = y + z = 6 +2y +3z = 3 2,, y + z = 6 2 2y + z = 2 + y 2z = 2,2,3

15 y +5z = 7 2 2y + z = 5 3 3y + z = 7 2,0, 9. 3 y + z = + y z = z = 0,0, y + z = 6 z = 3 + y 2z = 3 2,, 9.3 y z = 0 2 y + z = 5 3y = 3 3,2, y z = y + z = 7 y + z = 2,2, y z = y + z = 4 +2y + z = 0, 3, y + z = y + z = 8 + y + z = 6 2,, y = 4 y + z = 2 + y + z = 3,2, z = 2 + y = 4 + y + z = 2,0, y +2z = 4 y +3z = y 2z =,3, y + z = y 3z = 5 3 y z = 6 2,0,

16 6 Matice- maticové rovnice: Vyřešte maticovou rovnicizjistěte X): 0. A B 3X ) ) 2 0 ) 5 3 ) 0.2 AX+ 2X 2 4 ) A B+ X ) ) 2 ) 2 ) 0.4 A A X 2 5 ) AX 5X ) ) 2 4 ) XB 3X ) ) 2 ) A B 3X ) ) 2 6 ) A B 2X ) ) ) A B 2X ) ) ) A2X+ B ) ) 0 2 ) XA+3X ) ) 2 0 ) A B+4X ) 4 6 ) 2 2 ) XB X ) ) 2 ) 3 4 8

17 7 0.4 XB+ X ) A 2 AX ) ) A B 4X ) ) 2 0 ) A B ) ) ) XB 2X ) 0 5 ) ) A B+2X ) ) 2 ) A B X ) 4 2 ) 2 3 ) XB X ) ) ) A B 5X ) ) 0 ) XA X ) )

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0. Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů... Varianta A

Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů... Varianta A æ æ Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů.......... Varianta A 4 3 2 1 2 8 0 1 0 3 1. Vzhledem k reálnému parametru a diskutujte hodnost matice 2 1 0 1 2. 0 1 2 1 2 4 3 1 1 a 2.

Více

1. Písemka skupina A...

1. Písemka skupina A... . Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x

Více

Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 2008/2009- Série I.

Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 2008/2009- Série I. Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 008/009- Série I. Jako slunce zastiňuje hvězdy svým jasem, tak i vzdělaný člověk může zastínit slávu druhých lidí ze společnosti, bude-li předkládat matematické

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu,

. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu, Příklad Najděte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = +. ( + ) ( rostoucí v intervalech (, ) a 7, + ) klesající v intervalu ( ), 7 5 5 v bodě = 7 5 je lokální minimum 4. Najděte intervaly monotonie

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

Ukázka závěrečného testu

Ukázka závěrečného testu Okruhy otázek pro závěrečný test ) Vlastnosti funkce ) Graf funkce ) Definiční obor funkce ) imita funkce ) Derivace funkce 6) Užití derivace 7) Matice 8) Řešení soustavy lineárních rovnic 9) Určitý integrál

Více

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci

Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v

Více

Prùbìh funkce. d) f(x) = x sin x [rostoucí v R] d) f(x) =ln 1+x [nemá lokální extrém] x = 1 inexní body

Prùbìh funkce. d) f(x) = x sin x [rostoucí v R] d) f(x) =ln 1+x [nemá lokální extrém] x = 1 inexní body Urèete, kde je unkce rostoucí a kde klesající: Prùbìh unkce a) () =ln 0; e klesající ; e ; + rostoucí b) () =+ [( ; 0) [ (0; ) klesající ; ( ; ) [ (; +) rostoucí] c) () =e jj [ ( ; 0) rostoucí ; (0; +)

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

27. června Abstrakt. druhá odmocnina a pod. jsou vynechány. Také je vynechán např. tangensu.) 1 x ln x. e x sin x. arcsin x. cos x.

27. června Abstrakt. druhá odmocnina a pod. jsou vynechány. Také je vynechán např. tangensu.) 1 x ln x. e x sin x. arcsin x. cos x. Základní elementární funkce Robert Mařík 7. června 00 ln e sin arcsin cos arccos tg arctg Abstrakt V tomto dokumentu jsou uvedeny základní vlastnosti nejdůležitějších základních elementárních funkcí. (Triviální

Více

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení

Více

MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18

MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Matematika. Obálka ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ. Bakalářský program: Ekonomika a management

Matematika. Obálka ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ. Bakalářský program: Ekonomika a management Matematika Obálka ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ Bakalářský program: Ekonomika a management Matematika doc. RNDr. Stanislav Kračmar, CSc. www.muvs.cvut.cz Evropský

Více

Příklady k přednášce 3

Příklady k přednášce 3 Příklad k přednášce 3 1. Určete, zda závislost a daná uvedeným vztahem je funkce = f(). V případě záporné odpovědi stanovte, kterými funkcemi je možné příslušnou závislost popsat. 1. =3 2, (, + ) je funkcí,

Více

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET . DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8 1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace

Více

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)

Více

x 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3

x 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3 I. Určitý integrál I.. Eistence určitých integrálů Zjistěte, zda eistují určité integrály : Příklad. + + d Řešení : Ano eistuje, protože funkce f() + + je spojitá na intervalu,. Příklad. + 4 d Řešení :

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce 4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =

Více

Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 2008/2009- Série I.

Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 2008/2009- Série I. Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 008/009- Série I. Jako slunce zastiňuje hvězdy svým jasem, tak i vzdělaný člověk může zastínit slávu druhých lidí ze společnosti, bude-li předkládat matematické

Více

Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Matematika I: Pracovní listy do cvičení Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel, Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY II

CVIČENÍ Z MATEMATIKY II VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ CVIČENÍ Z MATEMATIKY II Řešené úlohy (Učební tet pro kombinovanou formu studia) RNDr. JIŘÍ KLAŠKA, Dr. ÚSTAV MATEMATIKY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ BRNO PŘEDMLUVA Učební

Více

Kapitola 1. Léto 2011

Kapitola 1. Léto 2011 Kapitola 1 Léto 2011 1 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, 25.5.2011) 60 minut Jméno:................................. 1. [11 bodů] Vyšetřete průběh funkce 1 y (určete intervaly kde je 2 ( + 1) funkce

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x Příkad Nalezněte definiční obor funkce f(x) = ln arcsin + x x Určete definiční obor funkce f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;?] a Určete definiční obor

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

1. Písemka skupina A1..

1. Písemka skupina A1.. 1. Psemka skupina A1.. Nartněte grafy funkc (v grafu oznate všechny průseky funkce s osami) 3 y y sin( ) y y log ( 1) 1 y 1 y = arccotg - 1) Urete, jestli je funkce y = - + 1 omezená zdola nebo shora?

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x.

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x. Program 2. Aplikace určitého integrálu zadání 1. y = x 2 + Bx 3A y = ln(bx), x = 1/A a x = 3A Vypočítejte její obsah. 3. Určete obsah plochy ohraničené parametricky zadanou křivkou (tzv. cykloidou) x(t)

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Soubor příkladů z Matematické analýzy 1 (M1100) 1

Soubor příkladů z Matematické analýzy 1 (M1100) 1 Soubor příkladů z Matematické analýzy (M00). Opakování. Upravte následující výrazy: 3 3 +3 3 3 6+ (+) 3 [ a+b a b ] ( b ) (a a b a+b b a b a b ) (a b) 3 [(a b) 4 (a+b) 5 ] 6 3 a 4 a 3 a 3 aa 3 (f) 3 +

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3. Jednotlivé kroky při výpočtech stručně ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 5 7 0

Více

Matematika 1. Matematika 1

Matematika 1. Matematika 1 5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)

Více

II.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z.

II.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z. II.7.* Derivace složené funkce Necht jsou dán diferencovatelné funkce z = f(,), = (u,v), = (u,v). Pak u = u + u, v = v + v. Vpočítejte derivace daných diferencovatelných funkcí. Příklad 0. Jsou dán diferencovatelné

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce 4..7 Cyklometrické funkce Předpoklady: 46 Cyklometrické funkce: funkce inverzní k funkcím goniometrickým z minulé hodiny známe první cyklometrickou funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ). Př.

Více

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. .. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých

Více

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě

Více

Výsledky úloh. 1. Úpravy výrazů + x 0, 2x 1 2 2, x Funkce. = f) a 2.8. ( ) ( ) 1.6. , klesající pro a ( 0, ) ), rostoucí pro s (, 1)

Výsledky úloh. 1. Úpravy výrazů + x 0, 2x 1 2 2, x Funkce. = f) a 2.8. ( ) ( ) 1.6. , klesající pro a ( 0, ) ), rostoucí pro s (, 1) Výsledky úloh. Úpravy výrazů.. +, + R.., a 0, a b.., a ± b, a b a b a +.. + a +, 0, a.., a 0; ± ; n + a.. a + b 9, > 0.7., a ± b a b m n.8., m 0, n 0, m n.9. a, a > 0 m + n.0., ;0; ;;.., k.. tg, k sin.

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

2. Vlastnosti elementárních funkcí, složené, inverzní a cyklometrické funkce,

2. Vlastnosti elementárních funkcí, složené, inverzní a cyklometrické funkce, . Určete vlastnosti funkcí: (i) f : y = x (ii) f : y = x 4 (iii) f : y = cotgx (iv) f 4 : y = arccosx (v) f 5 : y = 4 x (vi) f 6 : y = ( 4 )x (vii) f 7 : y = lnx (viii) f 8 : y = x. Uveďte příklad: (i)

Více

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I Řešené příklady Uváděné řešené příklady jsou vybrány a řazeny v návaznosti na orientační učební pomůcku Doc.RNDr.Ing. Josef Nedoma, CSc.: MATEMATIKA I. Tato sbírka

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

h = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R

h = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R .4. Cíle V této kapitole jsou deinován nejdůležitější pojm týkající se vlastností unkcí. Při dalším studiu budou tto vlastnosti často používán. Je proto nutné si jejich deinice dobře zapamatovat. Deinice.4..

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 1. Elementární funkce 1.2. Přehled elementárních funkcí 2 Lineární funkce - je každá funkce na množině R, která je dána ve tvaru y = a.x + b, kde a,b R. Pokud

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf

Více

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16 Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.

Více