( ) Opakování vlastností funkcí. Předpoklady:

Transkript

1 .. Opakování vlastností funkcí Předpoklad: Pedagogická poznámka: Tato hodina je zamýšlená jako první, druhá ve třetím ročníku. Podle toho, které úkol necháte student řešit, může trvat jednu až dvě vučovací hodin. Př. : Rozhodni, které z následujících předpisů můžeme považovat za funkce. U předpisů, které nejsou funkcemi, své rozhodnutí zdůvodni. a) Každému reálnému číslu se přiřadíme všechn jeho dělitele. b) Studentům ve třídě přiřadíme jejich výšku. c) Státům na světě přiřadíme počet jejich obvatel. d) Studentům ve třídě přiřadíme jejich otce. a) Každému reálnému číslu se přiřadíme všechn jeho dělitele. Nejde o funkci. Přirozená čísla větší než jedna mají více dělitelů přiřazení b neblo jednoznačné. b) Studentům ve třídě přiřadíme jejich výšku. Jde o funkci. c) Státům na světě přiřadíme počet jejich obvatel. Jde o funkci. d) Studentům ve třídě přiřadíme jejich otce. Nejde o funkci. Studentům přiřazujeme člověka, ne číslo. Funkce = jednoznačné (víme, kde skončíme, máme jedinou cestu) přiřazování, které končí u reálných čísel. Definice funkce: Funkce na množině A je předpis, který každému prvku množin A přiřazuje právě jedno reálné číslo. V našem případě budou množinou A podmnožin reálných čísel takovým funkcím se říká funkce reálné proměnné Množina A se nazývá definiční obor D( f ). Množina všech čísel, která jsme přiřadili některému prvku z A, se nazývá obor hodnot H f (matematick množina všech R, ke kterým eistuje aspoň jedno z definičního oboru funkce f tak, že = f ( ) ). Př. : Je dána funkce =, kde N f ( 0) = 0 (nebo-li pro = 0 je = 0 ) H ( f ) je množina všech sudých čísel.. Urči f ( 0) a H f.

2 Graf funkce množina všech bodů ; f ( ), kde D( f ). Př. 3: Rozhodni, která z následujících bodů jsou bod grafu funkce f: =, kde N : [ ;] ; [ 0;5] ; [ ]; [ ] 3 ; 8 [ ;] - je bodem grafu. [ 0;5] - není bodem grafu, f 0 = 0. 3 [ ; 8] - není bodem grafu, D ( f ) [ 5;30] - je bodem grafu.. 5;30. Př. : Na obrázku je nakreslen graf funkce f ( ). a) Urči D( f ) a H f b) Zjisti, pro která je hodnota funkce větší než nula. c) Přidej do grafu další bod tak, ab obrázek zůstal grafem funkce. d) Přidej do grafu další bod tak, ab obrázek přestal být grafem funkce a) D ( f ) = ( ; ) ( 0;) ( ;7 H ( f ) = ( ;) 3; ) ( 5;7 b) Hodnota funkce je větší než nula pro ( ; ) ( 0; ) ( ;7 (bod grafu nad osou ). c) Bod musíme přidat tak, ab jeho -ová souřadnice nepatřila do definičního oboru (pokud bchom vbrali z definičního oboru, náležel b k němu dvě hodnot původní a nová) nekonečně mnoho možností.

3 d) Bod musíme přidat tak, ab jeho -ová souřadnice patřila do definičního oboru (budou k ní naležet dvě hodnot původní a nová) nekonečně mnoho možností Př. 5: Přiřaď začátkům definic v levém sloupci odpovídající konce v pravém sloupci. Funkce f se nazývá rostoucí, právě kdž pro všechna Funkce f se nazývá klesající, právě kdž pro všechna Funkce f se nazývá nerostoucí, právě kdž pro všechna Funkce f se nazývá neklesající, právě kdž pro všechna Je-li Je-li Je-li Je-li <, pak f ( ) f ( ) <, pak f ( ) < f ( ) <, pak f ( ) > f ( ) <, pak f ( ) f ( ) 3

4 Funkce f se nazývá rostoucí, právě kdž pro všechna Je-li <, pak f ( ) < f ( ) Rostoucí funkce z větších čísel vrábí větší hodnot než z menších čísel u zachovává nerovnost od. Funkce f se nazývá klesající, právě kdž pro všechna Je-li <, pak f ( ) > f ( ) Klesající funkce z větších čísel vrábí menší hodnot než z menších čísel u obrací nerovnost od. Funkce f se nazývá nerostoucí, právě kdž pro všechna Je-li <, pak f ( ) f ( ) Nerostoucí funkce může klesat nebo stát na místě podobá se klesající funkci, liší se v tom, že hodnot různých mohou být stejné. Funkce f se nazývá neklesající, právě kdž pro všechna Je-li <, pak f ( ) f ( ) Neklesající funkce může růst nebo stát na místě podobá se rostoucí funkci, liší se v tom, že hodnot různých mohou být stejné. Pedagogická poznámka: Při diskusi nejdříve vjasníme rozdíl mezi rostoucí a neklesající funkcí. Poté si všímáme, že podmínk v pravém sloupci se liší jednak směrem nerovnosti a jednak tím, že obsahují nebo neobsahují rovnost. Př. 6: Napiš definici funkce rostoucí v intervalu J. Funkce f se nazývá rostoucí v intervalu J, právě kdž pro všechna, <, pak f ( ) < f ( ). Stejná definice jako pro rostoucí funkci, ale vbíráme pouze z intervalu J. J platí: Je-li Př. 7: Definici prosté funkce, převeď do nematematického jazka. Definice: Funkce f se nazývá prostá, právě kdž pro všechna, D( f ), pak f ( ) f ( ). znamená různá čísla, f ( ) f ( ) Funkce se nazývá prostá, právě kdž z různých vrábí různá f ( ) (neboli ). platí: Je-li znamená různé hodnot získané z těchto čísel. Př. 8: Rozhodni, zda platí věta: Je-li funkce rostoucí nebo klesající, je prostá. Platí. Pokud je funkce rostoucí, každá následující hodnota musí být větší než všechn předchozí hodnot pro různá získáme různá.

5 Př. 9: Uveď příklad navzájem inverzních funkcí. Navzájem inverzní funkce mají prohozené a (otočené šipk přiřazování). Například: = je inverzní k =. = je inverzní k =. = log a je inverzní k = a. Př. 0: Je možné najít inverzní funkci ke každé funkci? Pokud ne, stanov podmínk, kd to možné je. Při obracení šipek se nesmí stát, ab od jednoho vcházelo více než jedna (kvůli jednoznačnosti) před obracením se tam nesmělo víc šipek scházet každé má jen jedno funkce musí být prostá. Poznámka: Inverzní funkce se značí podle přímk =. f, pro graf funkci f a f platí, že jsou souměrné Př. : Graf sudé funkce je osově souměrný s osou, protože z i vrábí stejnou hodnotu. Doplň načatou definici: Funkce f se nazývá sudá, právě kdž zároveň platí: D f D f a) Pro každé, je také b) b) Pro každé D( f ) platí f ( ) f ( ) = z opačných čísel vrobíme stejnou hodnotu. Př. : S pomocí předchozí definice sudé funkce sestav definici liché funkce. Jakou vlastnost má graf liché funkce? Funkce f se nazývá lichá, právě kdž zároveň platí: D f D f a) Pro každé, je také b) Pro každé D( f ) platí f ( ) f ( ) = z opačných čísel vrobíme opačné hodnot Graf liché funkce je středově souměrný podle počátku soustav souřadnic. Pedagogická poznámka: Bohužel se často objevuje: b) Pro každé D( f ) f ( ) f ( ). Čiší z toho nepochopení. Př. 3: Uveď příklad sudých a lichých funkcí. Sudé: Liché: =, =, =, = a, =, n =, kde n je sudé. n =, kde n je liché. platí 5

6 Pedagogická poznámka: Smslem příkladu je, ab si studenti uvědomili, že pojmenování vlastností funkcí souvisí s druhem mocnitele. Př. : Funkce se nazývá shora omezená, kdž eistuje číslo, které je větší než všechna z jejího oboru hodnot. Funkce má maimum, kdž mezi eistuje jedno, které je větší nebo rovno všem ostatním. Doplň následující definice: Funkce f, právě kdž eistuje reálné číslo d takové, že pro všechna D( f ) f ( ) d. Funkce f., právě kdž pro všechna D( f ) je f ( ) f ( a). Funkce f., právě kdž pro všechna D( f ) je f ( ) f ( a). Funkce f, právě kdž eistuje reálné číslo d takové, že pro všechna D( f ) f ( ) d. je je Funkce f se nazývá zdola omezená, právě kdž eistuje reálné číslo d takové, že pro všechna D f f d. je Číslo, se kterým srovnáváme, nemusí být z oboru hodnot, je menší než (nebo rovno) všechn hodnot. Funkce f má v bodě a minimum, právě kdž pro všechna D( f ) je f ( ) f ( a). Číslo, se kterým srovnáváme, patří do oboru hodnot a je menší než (nebo rovno) všechn hodnot. Funkce f má v bodě a maimum, právě kdž pro všechna D( f ) je f ( ) f ( a). Číslo, se kterým srovnáváme, patří do oboru hodnot a je větší než (nebo rovno) všechn hodnot. Funkce f se nazývá shora omezená, právě kdž eistuje reálné číslo d takové, že pro všechna D f f d. je Číslo, se kterým srovnáváme, nemusí být z oboru hodnot, je větší než (nebo rovno) všechn hodnot. Př. 5: Dokresli graf funkce tak, ab platilo D ( f ) = R a zároveň: a) funkce bla shora omezená b) funkce měla minimum c) funkce bla lichá d) funkce bla sudá Ve všech případech nakresli jedno řešení a zformuluj podmínku, kterou musí 6

7 splňovat všechn správné funkce. - - Nejdříve je dobré si uvědomit, že prázdné kolečko o souřadnicích [ ;] nic neznamená, neurčuje pro funkci žádnou uspořádanou dvojici a můžeme ho ignorovat. a) Funkce je shora omezená. Není možné graf doplnit na graf shora omezené funkce, pro blížící se nule rostou hodnot nade všechn meze. b) Funkce má minimum. Obrázek funkce musí obsahovat nejnižší bod. Můžeme za něj zvolit nejnižší místo obloučku nebo si nový bod dokreslit sami. Všechn další bod musí být výše. - - c) Funkce je lichá. Graf musí být středově souměrný podle bodu [ 0;0 ]. 7

8 - - d) Funkce je sudá. Graf musí být osově souměrný podle os. - - Shrnutí: Vlastnosti, které jsme u funkcí určovali loni, mají funkce i letos. 8