( ) ( ) ( ) ( ) Základní goniometrické vzorce III. Předpoklady: 4301, 4305

Transkript

1 .. Základní goniometrické vzorce III Předpoklad 0, 0 Pedagogická poznámka Je zřejmé, že samostatně studenti všechn rovnice za jednu hodinu nevřeší. Pokud se objeví větší rozdíl mezi různými částmi tříd je možné změnit strategii a nejdříve si projít všechna zadání, popovídat si o metodách řešení a pak nechat třídu počítat. Př. Vřeš rovnici cos x sin x 0 + =. Problém V rovnici se vsktují dvě různé goniometrické funkce pomocí vzorce sin x + cos x = je můžeme vzájemně převádět nahradíme cos x, protože je v druhé mocnině (vhneme se odmocninám). cos x + sin x = 0 sin x + sin x = 0 sin x + sin x = 0 sin x sin x = 0 Substituce = sin x = 0 b ± b ac ± ±, a + = = = = = sin x = = sin x = 7 K = K = + k ; + k 7 K = + k ; + k Př. Vřeš rovnici sin x tg x =. sin x sin x = cos x sin x sin x = sin x Substituce a = sin x a a = / ( a) a a a a = a a a + = 0

2 b ± b ac ± ± 0 a, a 8 a = a = a = sin x = sin x = sin x = = = sin x = sin x = 7 K = + k ; + k K = + k ; + k 7 K = + k ; + k ; + k ; + k Jednotlivé kořen se liší navzájem o výsledek můžeme zapsat úsporněji K k = +. Př. Vřeš rovnici cos x sin x 0 =. cos x sin x = 0 Problém Uvnitř obou funkcí je x. Substituce a = x cos a sin a = 0 sin a sin a = 0 sin a sin a = 0 sin a + sin a = 0 Substituce = sin a + = 0, b ± b ac ± ± a = = Návrat k předchozí proměnné = sin a = = sin a = a = + k a = + k a = + k a = x = + k a = x = + k a = x = + k

3 x = + k / x = + k / x = + k x = + k 8 K = + k ; + k ; + k 8 8 x = + k / x = + k 8 Př. Vřeš rovnici sin sin cos x = x x. sin x = sin x cos x Zadání svádí k dělení (které nesmíme provést kvůli ztrátě kořenů) převedeme vše na levou stranu a vtkneme sin x sin x cos x = 0 sin x sin x cos x = 0 Součinový tvar sin x = 0 x = 0 + k x = + k Jednodušeji x = k. K = k ; + k sin x cos x = 0 sin x = cos x Problém Dvě goniometrické funkce, ani jedna ve druhé mocnině (nelze je snadno převést vzorcem sin x + cos x = ). Rovnice obsahuje pouze člen s cos x a sin x vdělíme rovnici jednou z těchto funkcí a převedeme na tg x nebo cotg x sin x = cos x / cos x cos x 0 sin x cos x = tg x = x = + k Př. Vřeš rovnici cos x = sin x. Podobné předchozímu příkladu sin x = cos x = tg x tg x = 0 ( x )( x ) tg tg + = 0 Součinový tvar ( tg x ) = 0 tg x = x = + k cos x = sin x / cos x. ( tg x + ) = 0 tg x = x = + k

4 K = + k ; + k Dodatek Předchozí rovnici samozřejmě můžeme řešit (ovšem pomaleji) převedením na sin x nebo cos x pomocí vzorce sin x + cos x =. Př. Vřeš rovnici sin x cos x sin x cos x 0 + =. sin x cos x + sin x cos x = 0 Problém Dvě goniometrické funkce, ani jedna pouze ve druhé mocnině (nelze je snadno převést vzorcem sin x + cos x = ). Rovnice obsahuje pouze člen s cos x a sin x, vžd ve druhé mocnině vdělíme jedním z těchto výrazů a tím převedeme rovnici na tg x nebo cotg x. sin x cos x + sin x cos x = 0 / cos x sin x cos x sin x cos x + = 0 cos x cos x cos x tg x + tg x = 0 Substituce = tg x + = 0 ( )( ) + = 0 = = = tg x = { k } K = arctg + k Z K = arctg ( ) + k ; + k K = tg x = = + k Dodatek Metoda použitá na vřešení předchozí příkladu je velmi podobná metodě, kterou x x+ x+ x jsme používali na řešení exponenciálních rovnic tpu 0 =. Př. 7 Vřeš rovnici cos x + sin x =. Problém Dvě goniometrické funkce, ani jedna pouze ve druhé mocnině (nelze je snadno převést vzorcem sin x + cos x = ). Nepomůže ani dělení výrazem (na pravé straně, funkce, kterou bchom rovnici vdělili b zůstala ve jmenovateli). Nezbývá než umocnit na druhou a pak dělat zkoušku. Před umocněním převedeme jeden z výrazů na levé straně na pravou, abchom jednu z funkcí měli pouze ve druhé mocnině. cos x + sin x = sin x = cos x / ( sin x) = ( cos x) sin x = cos x + cos x

5 cos x = cos x + cos x cos x = cos x + cos x 0 = cos x + cos x cos x cos x = 0 Substituce = cos x = 0 b ± b ac ± ±, a + = = = = = cos x = = cos x = x = 0 + k x = + k x = + k Během řešení rovnice jsme umocňovali je třeba provést zkoušku. Zkouška x = 0 + k ( 0 + ) = ( 0 + ) = ( 0 + ) L 0 + k = cos0 + sin 0 = + 0 = P k L k P k x = + k L + k = cos + sin = + = + = + k = L + k = + k x = + k L + k = cos + sin = + = = + k = L + k + k K = 0 + k ; + k

6 Rovnici cos x + sin x = můžeme řešit i pomocí vzorce sin x + cos x =. Získáme tak soustavu rovnic cos x + sin x =. sin x + cos x = Substituce a = cos x, b = sin x. a + b = a = b dosadíme do druhé rovnice. a + b = b b + = b + b + b = b b = 0 b( b ) = 0 b = 0 nebo b = sin x = 0 x = 0 + k, x = + k b = b = sin x = x = + k, x = + k Během řešení rovnice jsme umocňovali (při dosazení ( b ) zkoušku. Zkouška x = 0 + k ( 0 + ) = ( 0 + ) = ( 0 + ) L 0 + k = cos0 + sin 0 = + 0 = P k L k P k ) je třeba provést x k = + ( k ) ( 0 + ) = ( 0 + ) ( 0 + ) L + = cos + sin = + 0 = P k L k P k x = + k L + k = cos + sin = + = + = + k = L + k + k Podle očekávání se oba kořen, které jsme nezískali předchozí metodou, ukázali jako falešné.

7 x = + k L + k = cos + sin = + = + = + k = L + k = + k K = 0 + k ; + k Př. 8 Petáková strana, cvičení 7 d), f), i), k) strana, cvičení 8 c) strana, cvičení 9 b) strana, cvičení 0 c), d), f) strana, cvičení c), d) Př. 9 Vřeš s pomocí nápověd ve výsledkách příklad Petáková strana, cvičení d). Pokud nebude nápověda dostatečná, vřeš nejprve příklad Petáková strana, cvičení b). Pedagogická poznámka Předchozí příklad je zajímavé cvičení na porozumění textu a schopnost číst vůbec. Př. 0 Petáková strana /cvičení b) c) Shrnutí 7