Množina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Množina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy."

Transkript

1 1 Teorie množin Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy z teorie množin. Začneme základními operacemi s množinami, seznámíme se s pojmy jako kartézský součin, relace, relace ekvivalence, relace uspořádání, zobrazení, funkce a operace. Výstupy z výukové jednotky Student bude umět definovat množinu, určit její mohutnost, bude umět porovnat vlastnosti dvou různých množin a naučí se používat základní množinové operace a zákony. Zvládne také základní operace s kartézskými množinami. Dále bude umět definovat relaci, inverzní relaci a bude znát princip skládání relací. Bude umět poznat základní vlastnosti binárních relací a pochopí význam relace ekvivalence a relace uspořádání. Bude umět definovat zobrazení, funkci, bude umět určit obor hodnot a definiční obor zobrazení a bude umět určit základní vlastnosti zobrazení. 1.1 Motivace Teorie množin tvoří spolu s matematickou logikou základ veškerých matematických teorií. Jak již název napovídá, zabývá se množinami. A protože v matematice je všechno množina (čísla, zobrazení, funkce...), je tedy všechno na teorii množin vystavěno. V tomto textu se budeme nejprve zabývat základními pojmy z teorie množin - množina, prvek, podmnožina, potenční množina. Dále se seznámíme se základními množinovými operacemi - průnik, sjednocení, rozdíl a kartézský součin. Se znalostí kartézských součinů zavedeme relace a zobrazení a budeme zkoumat jejich vlastnosti. 1.2 Základní pojmy V teorii množin bude používat následující symboliku: A, B, C, množiny a, b, c, prvky a A prvek množiny ( x)p pro libovolné x platí P ( x)p existuje x tak, že platí P (!x)p existuje právě jedno x tak, že platí P,,,,, konjukce, disjunkce, negace průnik, sjednocení implikace, ekvivalence sumace, multiplikace Množina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy. Množina v naivní teorii množin je souhrn objektů, které jsou přesně určené a rozlišitelné a tvoří součást světa našich představ a myšlenek; tyto objekty nazýváme prvky množiny. (definice podle G. Cantora) 1

2 Skutečnost, že x je prvkem množiny A značíme x A. Skutečnost, že x není prvkem množiny A značíme x A. Prvky množiny lze zadat buďto výčtem, nebo pomocí vlastnosti, kterou musí splňovat. Pro označení některých často používaných množin budeme v textu používat následující symboly: N - množina přirozených čísel, tj. 1, 2, 3,... Číslo 0 do množiny přirozených čísel nepatří. Z - množina celých čísel, tj. přirozená čísla, 0 a všechna čísla opačná k přirozeným číslům. Q - racionální čísla, tj. čísla, která se dají vyjádřit ve tvaru p/q, kde p Z a q N R - reálná čísla, tj. všechny čísla, která lze znázornit na číselné ose. C - komplexní čísla, tj. všechny uspořádané dvojice reálných čísel. Platí, že N Z Q R C Příklad: Zapište množinu, která obsahuje čísla 1 až 5: A = {1,2,3,4,5} A = {x N x 5} Prázdná množina je taková množina, která neobsahuje žádné prvky. Značíme ji symbolem, případně {}. Zápis { } neoznačuje prázdnou množinu, ale jednoprvkovou množinu, jejíž jediným prvkem je prázdná množina. Počet prvků množiny někdy oznčujeme slovem mohutnost či kardinalita a značíme jej A, kde A je množina. Množina, která má konečný počet prvků, se nazývá konečná. Množina, která není konečná, je nekonečná. Dvě množiny nazveme disjunktní právě tehdy, když mají prázdný průnik A B =. Množiny X a Y se rovnají, zapisujeme X=Y, právě tehdy, když každý prvek množiny X je prvkem množiny Y a současně každý prvek množiny Y je prvkem množiny X. Nechť A a B jsou množiny. řekneme, že A je podmnožinou množiny B, značíme A B, právě když platí ( x)(x A x B), tj. libovolný prvek množiny A je současně i prvkem množiny B. Vztah být podmnožinou nazýváme také inkluze (negací je exkluze). Množinová inkluze definuje relaci uspořádání, protože platí: ( A)(A A) reflexivita ( A,B)(A B B A) (A=B) antisymetrie ( A,B,C)(A B B C) (A C) antisymetrie Nechť A je množina. Množinu všech podmnožin množiny A nazýváme potenční množina množiny A a značíme P(A), někdy též 2 A. Ukázky potenčních množin: P( ) = P({a}) = {,{a}} P({a,b}) = {,{a},{b},{a,b}} Příklad: Kolik prvků má potenční množina n-prvkové množiny? Otázku můžeme přeformulovat na "kolik různých podmnožin má n-prvkové množina?" Protože každá z podmnožin je jednoznačně určená svými prvky, je počet podmnožin roven počtu všech kombinací prvků množiny. Každý prvek má přitom dvě možnosti - buďto v dané množině je, nebo ne. Ke dvěma možnostem prvního prvku přibudou dvě možnosti druhého prvku, ke každé z výsledných čtyř možností pak přibudou dvě možnosti třetího prvku, atd. Celkem tedy 2 n. Platí tedy že P(A) = 2 A. 1.3 Základní množinové operace a zákony Sjednocení množin A a B je množina prvků, které jsou v množině A nebo v množině B. Sjednocení budeme označovat A B = {x x A x B} Průnik množin A a B je množina prvků, které jsou zároveň v množině A i v množině B. Průnik budeme označovat A B = {x x A x B} Rozdíl množin A a B je množina těch prvků z množiny A, které nejsou prvky množiny B. Rozdíl budeme označovat A - B = {x x A x B} 2

3 Nechť A a Z jsou množiny takové, že A Z. Doplňkem množiny A v množině Z nazveme množinu A' Z = Z - A. Doplněk je tedy množina těch prvků množiny Z, které nejsou prvky množiny A. Jediný rozdíl mezi množinovým rozdílem a doplňkem je ten, že o doplňku hovoříme pouze v situaci, kdy množina A je podmnožinou tzv. základní množiny M. Neplatí-li vztah inkluze, hovoříme o rozdílu. Pokud A a Z jsou množiny takové, že A Z, potom platí: A Z = Z, A Z = A, A = A, A = A A' M = Z, A A' Z =, M' Z =, ' Z = Z zákony jednotky zákony negace (A B)' Z = A' Z B' Z, (A B)' Z = A' Z B' Z de Morganovy zákony Níže uvádíme základní množinové zákony. Pro libovolné množiny A, B a C platí: ( A) A prázdná množina je podmnožinou každé množiny A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A A = A, A A = A A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) komutativní zákon pro sjednocení komutativní zákon pro průnik asociativní zákon pro sjednocení asociativní zákon pro průnik idempotentní zákony distributivní zákon distributivní zákon Následující obrázek zobrazuje tzv. Vennovy diagramy, kde jsou znázorněny základní množinové operace. 1.4 Kartézský součin Jsou dány množiny A, B. Kartézským součinem rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic takových, že první prvek uspořádané dvojice je prvkem množiny A a druhý prvek uspořádané dvojice je prvek množiny B. Formálně zapisujeme: A B = {(a,b) a A, b B} Kartézský součin obecně není komutativní. A to proto, že v uspořádané dvojici záleží na pořadí prvků. Pro A B tedy platí, že A B B A. Jestliže A = n a B = m, pak A B = n m. Příklad: Určete kartézské součiny množin A = {a, b, c} a B = {1, 2} Řešení: A B = {(a,b) a A, b B} = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)} 3

4 B A = {(a,b) a B, b A} = {(1,a), (2,a), (3,a), (1,b), (2,b), (3,b)} Oba kartézské součiny jsou stejně mohutné (díky komutativitě násobení), obsahují však dvojice s prvky v opačném pořadí. Pro kartézský součin platí následující distributivní zákony: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Pro prázdnou množinu platí v kartézském součinu následující pravidla, která vyplývají přímo z definice kartézského součinu a ze skutečnosti, že prázdná množina neobsahuje žádné prvky. A = A =, kde A je libovolná množina. Speciálně pro A = tedy dostáváme =. V případě, kdy A = B a tvoříme tak kartézský součin množiny se sebou samou, hovoříme o kartézské mocnině,, kterou značíme A 2. Analogicky jako u číselných mocnin můžemee exponent rozšířit i na jiná přirozená čísla než 2. Kartézská moznina množiny A je definována induktivně: A 1 = A A n = A n-1 A Pokud bychom se chtěli držet čistě formálníhoo značení, pak by A 3 = A 2 A, tedy A 3 = {(a,b) a A 2, b A} = {((c,d),b) c, d, b A}. Zápis ((c, d), b) však můžeme bez újmy na obecnosti zjednodušit na (c, d, b) a nazvat uspořádanou trojicí. Pro kartézský součin více množin využijeme pojem uspořádaná n-tice, který tvoří zobecnění pojmu uspořádaná trojice, který byl zaveden v předchozím odstavci. Přesná formální definice uspořádané n-tice je zobecněním množinového pojetí uspořádané dvojice. Nám však bude stačitt definovat uspořádanou dvojici jako objekt typu (a 1, a 2,... a n n), kde nám záleží na pořadí prvků. Kartézský součin n množin pak definujeme jako množinu všech uspořádaných n-tic, kde i-tý prvek každé n- tice je prvkem i-té množiny. Formálně zapsáno: A 1 A 2... A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a 1 A 1, a 2 A 2,..., a n A n } Pro kartézský součin více množinn zavádíme zápis podobný symbolům Σ a Π pro sumaci a multiplikaci: Příklad: Určete kartézský součin A B C, kde množiny jsou A = {#}, B = {1, 2} a C = {x, y} Řešení: A B C = {(#,1,x),(#,1,y),(#,2,x),(#,2,y)} 1.5 Relace Slovo relace lze do češtiny přeložit nejpřesněji jako "vztah". Relace nám tedy umožňují dávat dohromady prvky množin, které jsou spolu v nějakém vztahu. Protože dávání prvků dohromady nám umožnily již uspořádané dvojice, triojice, či n-tice, využijeme tohoto aparátu. V kartézském součinu, který obsahuje vždy všechny možné uspořádané n-tice prvků, tak je dohromady každý prvek s každým. Chceme-li nějak specifikovat vztahy mezi těmito prvky, případně popisovat vlastnosti, které musí prvky mít, abychom je dali dohromady, je třeba z kartézského součinu vybírat jen některé n-tice, čili vytvářet jeho podmnožiny. Jakoukoliv podmnožinu kartézského součinu nazveme relací. Nejprve se budemee zabývat relacemi, které vzniknou jako podmnožiny kartézského součinu dvou množin. Dále se budeme zabývat relacemi na množině, čili podmnožinammi druhé kartézské mocniny a v závěru poznatky zobecníme na podmnožiny kartézského součinu n množin. Celá relační algebraa tvoří základ relačních databází. Její pochopení je tedy nutnou podmínkou pro pochopení fungování relačních databází a operací v nich. Binární relace: Nechť jsou A, B množiny a nechť ρ A B. Pak ρ nazýváme (binární) relací mezi množinami A a B. Je-li A = B, nazýváme ρ (binární) relací na množině A. Příklady relací: ρ Z N, ρ ={(x,y) x < y} je relace mezi celými a přirozenými čísly, obsahující jen ty uspořádané dvojice, v nichž je první prvek ostře menší než druhý. id A = {(x, x) x A} je tzv. identická relace na množině A. 4

5 Relaci je možné znázornit graficky, jak je vidět na následujícím obrázku, který zachycuje relaci R = {(a, r), (b, r), (c, s), (c, t)} mezi množinami A = {a, b, c, d} a B = {r, s, t} Relaci je možné znázornit i tabulkou, která má v záhlaví řádků prvky množiny A a v záhlaví sloupců prvky množiny B. Relace R znázorněná na obrázku by se tak pomocí tabulky znázornnila takto: r s t a b c d Zápis (a, b) ρ někdy nahrazujeme infixovým zápisem a ρ b. Je-li ρ =, nazýváme relaci ρ prázdnou relací. Je-li ρ = A B, nazýváme ρ plnou relací. Protože relace je jakákoliv podmnožina kartézského součinu, je počet různých relací roven počtu podmnožin kartézského součinu. Počet podmnožin k-prvkové množiny je 2 k. Kartézský součin n-prvkové a m-prvkové množiny má n m prvků. Počet reací mezi n-prvkovou a m-prvkovou množinou je tak 2 n m. Složená relace: Nechť jsou A, B a C množiny a ρ = A B je binární relace mezi množinami A a B a σ = B C je binární relace mezi množinami B a C. Složenou relací ρ º σ (čteme sigma po ró) definujeme vztahem ρ º σ = {(x, y) x A C z B : (x, z) ρ (z, y) σ} Graficky můžeme skládání relací zobrazit následujícím obrázkem: Příklad: Máme relace σ 1 = {(a,r),(b,r),(c,s),(c,t)} a σ 2 = {(r,p),(r,q),(r,r),(t,q)}. Určete složenou relaci σ 1 º σ 2. Řešešní: Složením relací σ 1 a σ 2 vznikne relace: σ 1 º σ 2 = {(a,p), (a,q), (a,r), (b,p), (b,q), (b,r), (c,q)} Skládání relací obecně není komutativní, je však asociativní. Platí tedy: ρ º ( σ º τ ) = ( ρ º σ ) º τ. Inverzní relace: Nechť A, B jsou množiny a ρ = A B je binární relace mezi množinami A a B. Relaci ρ -1 definovanou jako ρ -1 = {(a,b) A B (b, a) ρ} nazýváme relací inverzní k relaci ρ. Inverzní relace tedy obsahuje přesně opačné uspořádané dvojice, než původní relace. V případě znázornění relace pomocí obrázku, bychom inverzní relaci znázornili tímtéž obrázkem, pouze s opačně orieentovanými šipkami. V případě znázorňování relace pomocí tabulky je tabulka inverzní relace transponovaná (tj. převrácená podle hlavní diagonály). Příklad: Nechť A = {a, b, c} a B = {r, s, t} jsou množiny a ρ = {(a, r), (a, s), (a, t), (b, t), (c, s)} je relace mezi těmito množinami. Inverzní relací k relaci ρ je relace ρ -1 = {(r, a), (s, a), (t, a), (t, b), (s, c)}. 5

6 1.6 Vlastnosti binárních relací na množině Binární relace na množině mají speciální význam, neboť umožňují zkoumat vlastnosti vztahů mezi prvky patřícími do téže množiny. U relací na množině tedy rozlišujeme vlastnosti, jejichž znalost je pro další studium nutná. Nechť A je množina a ρ A A je relace na této množině. Reflexivita: Relace ρ se nazývá reflexivní, jestliže x A: (x,x) ρ, tedy jestliže každý prvek množiny A je v relaci sám se sebou. Příkladem reflexivní relace je identita, relace "být menší nebo rovno", relace dělitelnosti, atd. Také platí, že sjednocení a průnik reflexivních relací je opět reflexivní relace. Složením dvou reflexivních relací vznikne opět reflexivní relace. Inverzní relací k reflexivní relaci je reflexivní relace. Symetrická relace: Relace ρ se nazývá symetrická, jestliže x, y A : (x, y) ρ (y, x) ρ, tedy jestliže každá dvojice prvků, která je spolu v relaci, je spolu v relaci i v opačném pořadí. Příkladem symetrické relace je identita, nerovnost nebo vlastnost typu "mít stejné znaménko". Platí, že sjednocení a průnik symetrických relací je opět symetrická relace. Inverzní relací k symetrické relaci je táž relace (pro symetrickou relaci platí, že ρ -1 = ρ). Složením symetrických relací vznikne opět symetrická relace. Antisymetrická relace: Relace ρ se nazývá antisymetrická, jestliže x, y A : ((x, y) ρ (y, x) ρ) x=y, tedy pokud je daná dvojice prvků v relaci nezávisle na jejich pořadí, pak to nutně musí znamenat, že se jedná o tentýž prvek. Příkladem antisymetrické relace je relace "být menší nebo rovno". Je zřejmé, že pokud a b a zároveň b a, pak nutně a = b. Tranzitivní relace: Relace ρ se nazývá tranzitivní, jestliže x, y, z A : ((x, y ) ρ (y, z) ρ) (x, z) ρ, tedy pokud je prvek x v relaci s prvkem y a prvek y je v relaci s prvkem z, je v relaci i prvek x s prvkem z. Příkladem tranzitivní relace je opět relace "být menší nebo rovno", identita, či relace "být příbuzný" na množině lidí. Úplná relace: Relace ρ se nazývá úplná, jestliže x, y A : (x, y) ρ (y, x) ρ, tedy pokud pro každou dvojici prvků platí, že je buď jeden v relaci s druhým, nebo druhý v relaci s prvním. Příkladem úplné relace je například relace na libovolné číselné množině. Je zřejmé, že pro jakákoliv dvě čísla x, y platí buď x y, nebo y x. Plná relace: Relaci nazveme plnou, právě když ρ = A A. Plná relace tedy obsahuje celý kartézský součin. Pozor: úplná a plná relace jsou dva rozličné pojmy! Prázdná relace: Relaci nazveme prázdnou, jestliže ρ =. Jedná se tedy o prázdnou množinu. Nyní se podíváme na dvě speciální relace a to relaci ekvivalence a relaci uspořádání. Relace ekvivalence: Relaci nazveme ekvivalence, právě když je tato relace reflexivní, symetrická a tranzitivní. Ekvivalence je určitým zobecněním rovnosti (tedy identity). Je zřejmé, že rovnost splňuje všechny tři požadované vlastnosti ekvivalence, tj. je reflexivní (každý prvek je roven sám sobě), symetrická (je-li jeden roven druhému, je i druhý roven prvnímu), i tranzitivní (pokud a = b a b = c, pak i a = c. Existují však i jiné vlastnosti, které splňují tyto tři podmínky. Jejich společným jmenovatelem je to, že v definici relace musí být popsána vlastnost, která je stejná pro prvky, které spolu jsou v relaci. Typickými příklady tak jsou "dávat po dělení číslem m stejný zbytek", "mít stejné znaménko", apod. V případě ekvivalence se lze někdy setkat s označením ~, či. Na následujícím obrázku si pomocí grafu můžeme znázornit, jak taková relace ekvivalence vypadá (absence šipek je způsobena symetrií relace). Příklad: Nechť M je množina všech studentů. Uvažujme postupně následující relace R M M a zjistěte, zda-li se jedná o ekvivalence 6

7 (x,y) R právě když x má stejnou výšku jako y (x,y) R právě když x má stejnou barvu vlasů jako y (x,y) R právě když x a y mají stejnou výšku a barvu vlasů (x,y) R právě když x a y mají stejnou výšku nebo barvu vlasů Řešení: Kromě posledního případu jsou všechny relací ekvivalence. U posledního případu není splněna tranzitivita. Příklad: Nechť R N N je binární relace definována následujícím způsobem: (x, y) R právě tehdy, když x-y je dělitelné třemi. V jakém smyslu jsou x a y stejné? Řešení: Dávají stejný zbytek po dělení třemi. Rozklad množiny: Nechť M je množina. Rozklad na množině M je taková množina podmnožin N 2 M, která splňuje následující podmínky: N - každý prvek N je neprázdná množina M pokud A,B N, pak buď A=B nebo A B = A N A = M Prvkům N se také říká třídy rozkladu. S relacemi ekvivalence a jimi implicitně definovanými rozklady množin se lze setkat tam, kde nějaké objekty "rozdělujeme do přihrádek" podle nějakých sdílených znaků nebo jiných kritérií. Příklad: Buď M = {a,b,c,d}. Pak N = {{a}, {b,c},{d}} je rozklad na M. Nechť A 0 = {k N k mod 3 = 0}, A 1 = {k N k mod 3 = 1} a A 2 = {k N k mod 3 = 2}. Pak N = {A 0, A 1, A 2 } je rozklad všech přirozených čísel podle zbytkových tříd. Relace uspořádání: Relaci nazveme uspořádáním, právě když je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Uspořádání zde máme, podobně jako tomu bylo v případě ekvivalence, definováno velmi obecně, tj. jde nám o to, abychom byli schopné vybudovat na prvcích dané množiny stromovou strukturu. Nechceme tedy uspořádat prvky množiny do jediného řetězce, jak by mohlo z významu slova "uspořádání" plynout, obecnost spočívá právě v tom, že jeden prvek může mít v daném uspořádání více následníků, vždy má však jen jediného předchůdce. Typickým uspořádáním je relace, tedy "být menší nebo rovno". Na následujícím obrázku je graficky znázorněna relace uspořádání pomocí dělitelnosti. V obrázku jsou zakresleny jen šipky vyplývající z antisymetrie (šipky vyplývající z reflexivity a tranzitivity jsou vynechány). Příklad: Dokažte, že relace ρ = {(a,b) Z 2 (a b)} je uspořádání. Řešení: Je třeba ověřit, že uvedená relace je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Reflexivita: Je zřejmé, že pro každé celé číslo z platí, že z z. Realce je tedy reflexivní. Antisymetrie: Je třeba ověřit, že pro každou dvojici celých čísel platí, že je-li x y a zároveň y x, pak je nutně x = y. To je však také snadné. Je-li x y, pak je buď x < y, nebo x = y. Stejně tak, je-li y x, pak je buď y < x, nebo y = x. Zamyslíme-li se nad tím, které ze čtyř možných kombinací uvedených dvojic nevedou ke sporu, je evidentní, že dostáváme x = y. Relace je tedy antisymetrická. Tranzitivita: Je třeba ověřit, že je-li x y a y z, pak je i x z, což je však evidentní. Uvedená relace je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní, je to tedy uspořádání. 7

8 1.7 Zobrazení, funkce, operace Pojem zobrazení vychází z pojmu relace. Zatímco relace definovala nějaký obecný vztah mezi libovolnými dvojicemi prvků daných množin, zobrazení je tu od toho, aby každému prvku jedné množiny přiřadilo (obecně jiný) prvek téže, nebo jiné množiny. Z toho tedy vyplývá ona důležitá omezující podmínka, že každý prvek množiny A může být v relaci maximálně s jediným prvkem množiny B. Zobrazení: Nechť A, B jsou množiny. Zobrazením f množiny A do množiny B nazýváme každou relaci f A B, pro kterou platí: každému prvku a A je přiřazen nejvýše jeden takový prvek b B, že uspořádaná dvojice (a, b) f. Skutečnost, že f je zobrazením množiny A do množiny B značíme f: A B. Funkce: Jsou-li navíc A a B číselné množiny, hovoříme namísto zobrazení o funkci. Namísto (a, b) f budeme nyní psát f(a) = b. Umožňuje nám to právě podmínka jednoznačnosti prvku b ve vztahu k prvku a. O prvku a budeme hovořit jako o vzoru prvku b, o prvku b pak budeme hovořit jako o obrazu prvku a. Definiční obor: Podle definice zobrazení má být každému prvku množiny A přiřazen nejvýše jeden prvek množiny B. Znamená to tedy, že v množině A mohou existovat jak prvky, kterým není přiřazen žádný prvek z množiny B, tak prvky, kterým je přiřazen jeden prvek z množiny B. Platí tedy, že pokud f: A B, pak množinu D A definovanou jako D = {a A b B : f(a) = b} nazveme definičním oborem zobrazení (značíme D f ). Definiční obor zobrazení je tedy množina všech prvků, pro něž má zobrazení f smysl (je definováno). Obor hodnot: Nechť A, B jsou množiny a f je zobrazení f: A B. Pak množinu H B definovanou jako H = {b B a A: f(a) = b} nazveme obor hodnot zobrazení f (značíme H f ). Obor hodnot je tedy zjednodušeně řečeno "množina obrazů", čili množina všech prvků množiny B, které mají svůj vzor v množině A. Surjektivní zobrazení: Nechť A, B jsou množiny a f je zobrazení f: A B. Jestliže H f = B, to znamená b B: a A: f(a) = b, říkáme, že zobrazení f je zobrazení na množinu B. Zobrazení na množinu se též nazývá surjektivní zobrazení, neboli surjekce. Příklad: Jsou zobrazení f: N N definované vztahem f(x) = x + 1 a zobrazení g: N N 0 definované vztahem g(x) = x-1 surjektivní? Řešení: Zobrazení f není surjektivní, neboť existuje přirozené číslo 1, které nemá svůj vzor (číslo 0 které by mohlo být jeho vzorem nepatří mezi přirozená čísla). Zobrazení g je surjektivní, neboť k aždé přirozené číslo a nula má v definičním oboru (množině přirozených čísel) svůj vzor. Prosté zobrazení, injekce: V definicci zobrazení jsme požadovali, aby každému prvku z definičního oboru byl přiřazený pouze jediný prvek z oboru hodnot. To však ještě nevylučuje případ, kdy je jeden prvek z oboru hodnot obrazem více prvků definičního oboru. To nás vede k definici prostého zobrazení, které právě tuto násobnost přiiřazení vylučuje. Nechť A, B jsou množiny a f je zobrazení f: A B. Jestliže b B! a A: f(a) = b, pak říkáme, že zobrazení f je prosté. Prosté zobrazení též nazýváme injektivní zobrazení, neboli injekce. Příklad: Určete, zda je zobrazení f: R R: f(x) = x 2 prosté (injektivní). Řešení: Zobrazení f prosté není, neboť f(x) = f(-x) pro všechna reálná čísla. Bijekce: Zobrazení, které je zároveň injektivní a surjektivní se nazývá bijektivní zobrazení, neboli bijekce. Existuje-li mezi dvěma množinami bijektivní zobrazení, pak je zřejmé, že tyto dvě množiny musí mít stejný počet prvků. Je-li totiž každému prvku definičního oboru přiřazen právě jeden prvek oboru hodnot (protože je to zobrazení), každý prvek oboru hodnot má svůj vzor v definičním oboru (protože je to surjekce) a tento vzor je navíc určen jednoznačně (prrotože je to injekce), jedná se o párování 1:1, které je evidentně možné realizovat jedině mezi stejně početnými množinami. Příklad bijektivního zobrazení: f:{a,b,c,d} {1,2,3,4}: f(a)=1, f(b)=2, f(c)=3, f(d)=4 Inverzní zobrazení: Nehcť A, B jsou množiny a f: A B je binární zobrazení. Inverzní zobrazení k zobrazení f pak můžeme definovat takto: f -1 = {(b,a) (a,b) f. 8

9 Příklad: Je dáno zobrazení f:{a,b,c,d} {1,2,3,4}: f(a)=1, f(b)=2, f(c)=3, f(d)=4. Určete k němu inverzní zobrazení. Řešení: g: {1,2,3,4} {a,b,c,d}: g(1)=a, g(2)=b, g(3)=c, g(4)=d je inverzním zobrazením k zobrazení f. U zobrazení daných výčtem je problém určení inverzního zobrazení řešitelný velmi snadno. Je-li zobrazení dáno funkčním předpisem, je třeba zaměnit význam proměnných a vyjádřit novou neznámou. Ukažme si tento postup na následujícím příkladu. Příklad: Je dáno zobrazení f: R R: f(x) =. Určete k němu inverzní zobrazení. Řešení: Pro jednoduchost provedeme substituci y = f(x) a dostáváme y =. V tomto vzorci zaměníme x a y (tím jsme definovali invezní zobrazení): x =. Zbývá už jen vyjádřit y, abychom získali přepis inverzního zobrazení: 2x = y-3 y = 2x + 3. Inverzní zobrazení tedy je f -1 : R R: f -1 (x) = 2x + 3. Složené zobrazení: Jsou li dány množiny A, B, C a zobrazení f: A B a g: B C, pak definujeme složené zobrazení h: A C, značíme h = g º f, vztahem: h(a) = g(f(a)) a A. Složené zobrazení tedy vzniká postupnou aplikací obou skládaných zobrazení. Příklad: Jsou dány zobrazení f: R R: f(x) = x 3 a g: R R: f(x) = 2(x+3). Určete jak vypadají složená zobrazení g º f a f º g. Řešení: Složené zobrazení g º f: R R: g º f(x) = g(f(x)) = 2(f(x)+3) = 2(x 3 +3) Složené zobrazení f º g: R R: f º g(x) = f º 2(x+3) = (2(x+3)) 3 Jak je vidět z předchozího příkladu, že skládání zobrazení obecně není komutativní. Lze však snadno ukázat, že je asociativní (tj. že nezáleží na pořadí uzávorkování), tedy že pro libovolná zobrazení f, g, h platí: f º (g º h) = (f º g) º h. Důkaz získáme rozepsáním obou stran rovnosti podle definice složeného zobrazení. Pro libovolný prvek x tedy platí: (f º (g º h))(x) = f((g º h)(x)) = f(g(h(x))) a také ((f º g) º h))(x) = (f º g)(h(x)) = f(g(h(x))). Obě strany jsou si tedy rovny a výrazy tak jsou ekvivalentní. Operace: Buď A množina a n přirozené číslo. Zobrazení f: A n A nazýváme n-ární algebraickou operací na množině A. Číslo n N nazýváme četností (aritou) operace. Pro n = 0 definujeme nulární operaci na A jako zvolení určitého prvku v množině A (čili výběr konstanty). Pro n = 1 hovoříme o unární operaci, pro n = 2 (nejběžnější případ) hovoříme o binární operaci, pro n = 3 o ternární, atd. Příkladem unární operace (n = 1) v množině Z je (-a), kde a Z. Tato unární operace je převodem celého čísla a na opačné. Příkladem binární operace f: Z 2 Z na Z jsou operace sčítání, násobení, odčítání, Tyto operace mají dva operandy a nejčastěji se píší v infixovém tvaru a 1 a 2, kde zastupuje symbol obecné binární operace (+, º, -, ). Příklady k procvičení: TODO 9

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky. Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při

Více

Množiny, relace, zobrazení

Množiny, relace, zobrazení Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace 2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,

Více

Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce

Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní

Více

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. 1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc

Více

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu. Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1

Více

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1

Více

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.

Více

Základy teorie množin

Základy teorie množin Základy teorie množin Teorie Výběr základních pojmů: Množina Podmnožina Prázdná množina Označení běžně používaných množin Množinová algebra (sjednocení, průnik, rozdíl) Doplněk množiny Potenční množina

Více

Marie Duží

Marie Duží Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít

Více

Co je to univerzální algebra?

Co je to univerzální algebra? Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé

Více

3 Množiny, Relace a Funkce

3 Množiny, Relace a Funkce 3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli

Více

Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky.

Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky. Relace. Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky. Definice. Mějme množiny A a B. Binární relace R z množiny A do množiny B je každá množina uspořádaných dvojic (a, b), kde

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}. 2 Množiny a intervaly lgebraické výrazy 2.1 Množiny Chápání množiny lze shrnout takto: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

RELACE, OPERACE. Relace

RELACE, OPERACE. Relace RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé

Více

Kapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.

Kapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S. 1 Kapitola 1 Množiny 11 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky 111 Princip rovnosti

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010 Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly

Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly Center for Machine Perception presents Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly Mirko Navara Center for Machine Perception Faculty of Electrical Engineering Czech Technical University Praha, Czech Republic

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Množiny. množinové operace jsou mírně odlišné od

Množiny. množinové operace jsou mírně odlišné od Množiny Množina se dá chápat jako soubor prvků. ( Např. lidé na planetě zemi tvoří jednu velkou množinu.) Každá množina tedy obsahuje určitý počet prvků, který může být konečný (lze spočítat) nebo nekonečný

Více

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá

Více

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní

Více

3. Algebraické systémy

3. Algebraické systémy Markl: 3.1. Morfismy a kongruence /ras31.doc/ Strana 1 3. Algebraické systémy Na rozdíl od klasické algebry, jejíž ústředním tématem jsou rovnice a potřebný aparát pro jejich řešení /matice, polynomy,.../,

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský

Více

Výroková a predikátová logika - VI

Výroková a predikátová logika - VI Výroková a predikátová logika - VI Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VI ZS 2017/2018 1 / 24 Predikátová logika Úvod Predikátová logika Zabývá

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

1. Základy logiky a teorie množin

1. Základy logiky a teorie množin 1. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 19. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (1815 1864). Boole prosadil algebraické pojetí logiky a zavedl logické

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní

Více

Teorie množin. pro fajnšmekry - TeMno. Lenka Macálková BR Solutions Orličky. Lenka (Brkos 2010) TeMno

Teorie množin. pro fajnšmekry - TeMno. Lenka Macálková BR Solutions Orličky. Lenka (Brkos 2010) TeMno Teorie množin pro fajnšmekry - TeMno Lenka Macálková BR Solutions 2010 - Orličky 23.2. 27.2.2010 Lenka (Brkos 2010) TeMno 23.2. 27.2.2010 1 / 42 Bylo nebylo... Starověké Řecko - nekonečnost nepochopená

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice

Více

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α 1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 02 Opakování základních pojmů - 2. část O čem budeme hovořit: Binární relace a jejich vlastnosti Speciální typy binárních relací

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Základy teorie množin

Základy teorie množin 1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a

Více

Úlohy k procvičování textu o svazech

Úlohy k procvičování textu o svazech Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

Cvičení 1. Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 1

Cvičení 1. Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 1 Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 1 Cvičení 1 Příklad 1: Pro každý z následujících formálních zápisů množin uveďte(svými slovy), jaké prvky daná množina obsahuje: a) {1,3,5,7,...} b)

Více

Základy logiky a teorie množin

Základy logiky a teorie množin Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Úvod do informatiky přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Množiny, relace a funkce úvod Množiny, relace a funkce

Více

Fuzzy množiny, Fuzzy inference system. Libor Žák

Fuzzy množiny, Fuzzy inference system. Libor Žák Fuzzy množiny, Fuzzy inference system Proč právě fuzzy množiny V řadě případů jsou parametry, které vstupují a ovlivňují vlastnosti procesu, popsané pomocí přibližných nebo zjednodušených pojmů. Tedy

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

Základy teorie množin

Základy teorie množin 1 Základy teorie množin Z minula: 1. zavedení pojmů relace, zobrazení (funkce); prostá zobrazení, zobrazení na, bijekce 2. rozklady, relace ekvivalence, kongruence, faktorizace 3. uspořádání a některé

Více

PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy

PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)

Více

Algebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám

Algebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám Algebra 2 slidy k přednáškám KMI/ALG2 Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. Vytvořeno za podpory projektu FRUP_2017_052: Tvorba a inovace výukových opor

Více

Množiny, relácie, zobrazenia

Množiny, relácie, zobrazenia Množiny, relácie, zobrazenia Množiny "Množina je súhrn predmetov, vecí, dobre rozlíšiteľných našou mysľou alebo intuíciou" "Množina je súbor rôznych objektov, ktoré sú charakterizované spoločnými vlastnosťami,

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

1. Základy matematiky

1. Základy matematiky 1. Základy matematiky 1A. Výroková logika 1. Základy matematiky 1A. Výroková logika Logika se v češtině běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vede k určitým závěrům. Logika patří k základům matematiky.

Více

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí

Více

0.1 Funkce a její vlastnosti

0.1 Funkce a její vlastnosti 0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Úvod do informatiky přednáška čtvrtá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Pojem relace 2 Vztahy a operace s (binárními) relacemi

Více

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů

PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

1 Připomenutí vybraných pojmů

1 Připomenutí vybraných pojmů 1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Výroková a predikátová logika - VII

Výroková a predikátová logika - VII Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

10. DETERMINANTY " # $!

10. DETERMINANTY  # $! 10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

1. Základy matematiky

1. Základy matematiky 1. Základy matematiky 1A. Výroková logika 1. Základy matematiky Verze 2. prosince 2017 V této části stručně uvedeme základy matematiky. Matematika se zabývá abstraktními pojmy, které vznikly zobecněním

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019

Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice

Více

2. přednáška 8. října 2007

2. přednáška 8. října 2007 2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =

Více