MATEMATICKÁ STATISTIKA 1, CVIČENÍ (NMSA331) Poslední úprava dokumentu: 17. listopadu 2016

Transkript

1 MATEMATICKÁ STATISTIKA, CVIČENÍ NMSA33 Příklay nejen pro přípravu na písemnou zápočtovou práci Poslení úprava okumentu: 7. listopau 206

2 Poslení úprava okumentu: 7. listopau 206 Mnohorozměrné normální rozěleni Příkla. Mnohorozměrné normální rozělení Necht X = X,..., T je náhoný výběr z mnohorozměrného normálního rozělení N n µ, Σ. i Najěte rozělení náhoné veličiny Y = i= i X i. ii Najěte rozělení náhoné veličiny Y = X i µ i 2 /σi 2, ke σ2 i Σ. iii Za jakýcho otačných přepoklaů má náhoná veličina Z = i= n stupních volnosti? je i-tý iagonální prvek matice X i µ i 2 σ 2 i rozělení χ 2 o 2 Limitní věty Příkla 2. Konvergence normálního rozělení Necht pro kažé n N je náhoná veličina s normálním rozělením Nµ, σ 2 n, ke σ n > 0. Dále přepokláejte, že σ n n σ. i Dokažte, že poku σ > 0, potom Nµ, n σ2. ii Dokažte, že poku σ = 0, potom δ µ, ke δ µ je Diracova míra v boě µ. n Příkla 3. Konvergence Stuentova rozělení Necht pro kažé n N je náhoná veličina se Stuentovým t-rozělení o n stupních volnosti. Dokažte, že N0,. n Příkla 4. Konvergence Fisherova F -rozělení Necht pro kažé n N je náhoná veličina s Fisherovým F -rozělením o m a n stupních volnosti. Dokažte, že pro n posloupnost náhoných veličin Y n = m konverguje v istribuci k náhoné veličině Y se χ 2 -rozělením o m stupních volnosti. 2

3 Příkla 5. Poissonovo rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z Poissonova rozělení, tj. PX = k = e λ λ k, k = 0,,... k! i Porobně okažte, že n lim P Xn λ u α/2 u α/2 = α, n Xn ke = n i= X i a u β je β-kvantil normovaného normálního rozělení. Příkla 6. Oha parametru p v geometrickém rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z geometrického rozělení, tj. PX = k = p p k, k = 0,, 2,... i Dokažte konzistenci a ovo te asymptotické rozělení násleujícího ohau parametru p aného přepisem p n = + n i= X. i Příkla 7. Maximálně věrohoný a momentový oha v Paretově rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z rozělení s hustotou { p, x, fx = xp+ 0, jinak. i Dokažte konzistenci a ovo te asymptotické rozělení maximálně věrohoného ohau parametru p aného přepisem n p n = i= logx i. ii Dokažte konzistenci a ovo te asymptotické rozělení momentového ohau parametru p aného přepisem i= p n = X i i= X i n. Příkla 8. Oha rozptylu v alternativním rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z alternativního rozělení, tj. PX = j = p j p j, j {0, }. i Ovo te asymptotické rozělení ohau rozptylu. 3

4 Příkla 9. Transformace průměru Necht X,..., je náhoný výběr z rozělení s nulovou stření honotou a konečným nenulovým rozptylem σ 2. i Ovo te asymptotické rozělení náhoné veličiny exp { X 3 n}. Příkla 0. Poíl průměrů Necht X,..., je náhoný výběr z exponenciálního rozělení Expλ X s hustotou { λ X e λ X x, x 0, fx = 0, jinak. a Y,..., Y n je náhoný výběr z exponenciálního rozělení Expλ Y. Přepokláejte, že oba náhoné výběry jsou na sobě nezávislé. i Najěte asymptotické rozělení ohau poměru střeních honot aného přepisem Y n, ke a Y n jsou příslušné výběrové průměry. Příkla. Momentové ohay v gamma rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z gama rozělení Γa, p, tj. a p fx = Γp xp e a x, x 0, 0, jinak. i Najěte sružené asymptotické rozělení ohau T Xn ân, p n = Sn 2, 2 T Xn, ke, a S 2 n jsou výběrový průměr a výběrový rozptyl. Návo. Využijte věty z přenášky o sružené asymptotické normalitě, Sn 2 T a ále pak toho, že pro gama rozělení platí EX = p a, varx = p a, γ 3 = 2 p a γ 4 = 6 p + 3. S 2 n 4

5 3 Boové ohay Příkla 2. Nesmyslný nestranný oha pomíněné Poissonovo rozělení Necht X je iskrétní náhoná veličina s rozělením λ k e λ PX = k = e λ, k =, 2, 3,... k! i Dokažte, že T X = + X je nestranný oha parametru θ X = e λ. ii Dokažte, že T X = + X je jeiný nestranný oha parametru θ X = e λ. Příkla 3. Nesmyslný nestranný oha geometrické rozělení Necht X je iskrétní náhoná veličina s geometrickým rozělením, tj. PX = k = p k p k = 0,, 2,... i Ověřte, že T X = X je nestranný oha parametrické funkce užitečností takového ohau. p 2 p. Zamyslete se na Příkla 4. Neexistuje nestranný oha binomické rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z binomického rozělení Bim, p, tj. m PX = k = p k p m k k = 0,,..., m. k i Ukažte, že p n = n m i= X i je nestranný oha parametru p. ii Ukažte, že neexistuje nestranný oha parametru θ X =. p p Příkla 5. Oha rozptylu v alternativním rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z alternativního rozělení, tj. PX = j = p j p j, j {0, }. i Rozhoněte, za je oha X X 2 nestranný a konzistentní oha parametru θ X = p p. ii Rozhoněte, za je oha nestranný a konzistentní oha parametru θ X = p p. 5

6 Příkla 6. Oha parametru λ v Poissonově rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z Poissonova rozělení, tj. PX = k = e λ λ k, k = 0,,... k! i Dokažte, že λ n = n i= X i a λ n = n i= Xi 2 jsou nestranné a konzistentní ohay parametru λ. ii Který z ohaů λ n, λ n byste spíše oporučili a proč? Návo. Ve ii porovnejte asymptotické rozptyly. Můžete využít toho, že špičatost γ 4 Poissonova rozělení je λ + 3. Příkla 7. Oha pravěpoobnosti PX = 0 v Poissonově rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z Poissonova rozělení, tj. Uvažujte parametr θ X = PX = 0 = e λ. PX = k = e λ λ k, k = 0,,... k! i Rozhoněte, za je oha θ n = e Xn nestranný a konzistentní oha parametru θ X. Poku není nestranný, spočítejte jeho vychýlení. ii Rozhoněte, za je oha θ n = n i= I{X i = 0} nestranný a konzistentní oha parametru θ X. Poku není nestranný, spočítejte jeho vychýlení. iii Porovnejte ohay θ n a θ n na záklaě jejich střeních čtvercových chyb. iv Porovnejte ohay θ n a θ n na záklaě jejich asymptotických rozptylů. Příkla 8. Normální rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z normálního rozělení s hustotou fx = 2πσ 2 exp { x µ2 2 σ 2 }, x R. i Rozhoněte, za σ n 2 = n i= X i 2 je konzistentní a nestranný oha parametru σ 2. Poku není nestranný, spočítejte jeho vychýlení. ii Rozhoněte, za S n = n n i= X i 2 je konzistentní a nestranný oha parametru θ X = σ. Poku není nestranný, spočítejte jeho vychýlení. iii Spočtěte stření čtvercovou chybu ohau S n. 6

7 Příkla 9. Oha parametru exponenciálního rozělení při různé parametrizaci Mějme náhoný výběr X,..., z exponenciálního rozělení Expλ, tj. X i má hustotu { λ e λx, x 0,, f X x = 0, jinak, ke λ > 0 je neznámé. i Rozhoněte, za λ n = n i= X i je nestranný a konzistentní oha parametru λ. ii Rozhoněte, za θ n = n i= X i je nestranný a konzistentní oha parametru θ X = λ. Příkla 20. Oha θ v rovnoměrném rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z rovnoměrného rozělení R0, θ s hustotou fx = θ, 0 < x < θ, 0, jinak, ke θ > 0. i Rozhoněte, za θ n = max i n X i je nestranný a konzistentní oha parametru θ. Poku není, spočtěte jeho vychýlení. ii Spočtěte stření čtvercovou chybu ohau θ n. iii Rozhoněte, za θ n = 2 je nestranný a konzistentní oha parametru θ. Poku není, spočtěte jeho vychýlení. iv Spočtěte stření čtvercovou chybu ohau θ n. v Kterému z ohaů θ n, θ n byste ali přenost? Příkla 2. Oha posunutí exponenciálního rozělení Mějme náhoný výběr X,..., z rozělení { λ e λx δ, x δ,, f X x = 0, jinak, ke δ R a λ > 0. i Rozhoněte, za δ n = min i n X i je nestranný a konzistentní oha parametru δ. Poku není, spočtěte jeho vychýlení. ii Spočtěte stření čtvercovou chybu ohau δ n. iii Rozhoněte, za oha δ n = max i n X i je konzistentní oha parametru δ. iv Rozhoněte, za oha = n i= X i je nestranný a konzistentní oha parametru δ. 7

8 Příkla 22. Oha parametru p v geometrickém rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z geometrického rozělení, tj. PX = k = p p k, k = 0,, 2,... i Rozhoněte, za ˇp n = I{X = 0} je nestranný a konzistentní oha parametru p. ii Rozhoněte, za p n = n i= I{X i = 0} je nestranný a konzistentní oha parametru p. n+ iii Rozhoněte, za p n = n+ i= X je konzistentní oha parametru p. i Příkla 23. Oha parametrů a, b v rovnoměrném rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z rovnoměrného rozělení Ra, b s hustotou fx = b, a b 2 < x < a + b 2, 0, jinak, ke a < b. Označme X = min i n X i a = max i n X i. i Rozhoněte, za â n = X + 2 je nestranný a konzistentní oha parametru a. Poku není, spočtěte jeho vychýlení. ii Spočtěte stření čtvercovou chybu ohau â n. iii Rozhoněte, za b n = X je nestranný a konzistentní oha parametru b. Poku není, spočtěte jeho vychýlení. iv Spočtěte stření čtvercovou chybu ohau b n. Návo. Uvěomte si, že náhoný výběr X,..., můžeme vyrobit pomocí lineární transformace jako X i = a + b Y i 2, i =,..., n, ke Y,..., Y n je náhoný výběr z rovnoměrného rozělení R0,. Sružená hustota náhoného vektoru Y, Y n pak je f Y,Y n y, y 2 = nn y 2 y n 2 I { 0 < y < y 2 < }. Příkla 24. Korelační koeficient Necht X, Y T,...,, Y n T je náhoný výběr z vourozměrného rozělení s regulární varianční i= maticí. Dokažte, že oha ρ n = X i Y i Y n i= X i 2 je konzistentním ohaem korelačního n i= Y i Y n 2 koeficientu ρ = covx,y. varx vary 8

9 4 Intervalové ohay intervaly spolehlivosti Přepokláejme, že chceme zkonstruovat intervalový oha pro parametr θ, přičemž máme oha θ n tohoto parametru, pro který platí θn θ X ke σ 2 je funkce spojitá ve skutečné honotě parametru θ X. Interval spolehlivosti Walova typu n N 0, σ 2 θ X, Tento interval spolehlivosti je založen na tom, že íky a Cramérově-Sluckého větě ostáváme θn θ X N 0,. Tuíž σ θ n n lim P u α/2 n θn θ X u n σ θ α/2 = α, n a tey θn u α/2 σ θ n, θ n + u α/2 σ θ n je intervalový oha parametru θ X o asymptotické spolehlivosti α. 2 Interval spolehlivosti Wilsonova typu Tento interval vychází z toho, že íky máme Otu ostáváme, že pro množinu lim P u α/2 n θn θ X n σθ X u α/2 = α. B n = { θ : θn θ } u σθ α/2 3 platí, že P B n θ X = α. Zpravila je Bn interval, tuíž se s trochou nepřesnosti o ní mluví jako o intervalu spolehlivosti. Ukazuje se, že pro konečné rozsahy výběrů je skutečné pokrytí intervalu 3 zpravila blíže přeepsané hlaině α než pro interval spolehlivosti 2. Na ruhou stranu interval spolehlivosti 3 je obecně zaán pouze implicitně a a jeho sestavení může být numericky výrazně náročnější. Interval spolehlivosti založený na transformace stabilizující asymptotický rozptyl Uvažujme transformaci g takovou, že funkce [g θ] 2 σ 2 θ již nezávisí na θ. Bez újmy na obecnosti necht [g θ] 2 σ 2 θ =. Potom pomocí a -metoy ostáváme, že g θ n gθ N 0,. Tuíž g θ n u α/2, g θ n + u α/2 je intervalový oha pro gθ a n g g θn u α/2, g g θn + u α/2 4 je intervalový oha parametru θ o asymptotické spolehlivosti α. Ukazuje se, že pro konečné rozsahy výběrů je skutečné pokrytí intervalu 4 zpravila blíže přeepsané hlaině α než pro interval spolehlivosti 2, i kyž ne tak blízko jako pro interval 3. Výhoou intervalového ohau 4 oproti 3 však je, že poku umíme invertovat funkci g, tak ostáváme 9

10 explicitní přepis. Navíc transformace stabilizující asymptotický rozptyl je zpravila vhonější pro jenostranné intervalové ohay. Příkla 25. Poissonovo rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z Poissonova rozělení, tj. PX = k = e λ λ k, k = 0,,... k! i Najěte asymptotické rozělení a pomocí tohoto rozělení sestavte oboustranný a levostranný intervalový oha o asymptotické spolehlivosti α. ii Najěte transformaci, která stabilizuje asymptotický rozptyl a pomocí této transformace sestavte oboustranný a pravostranný intervalový oha o asymptotické spolehlivosti α. Příkla 26. Alternativní rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z alternativního rozělení, tj. PX = j = p j p j, j {0, }. i Najěte asymptotické rozělení a pomocí tohoto rozělení sestavte oboustranný a pravostranný interval spolehlivosti. ii Najěte asymptotické rozělení arcsin Xn a pomocí tohoto rozělení sestavte oboustranný a levostranný interval spolehlivosti. Příkla 27. Oha parametru exponenciálního rozělení Mějme náhoný výběr X,..., z exponenciálního rozělení Expλ, tj. X i má hustotu { λ e λx, x 0,, f X x = 0, jinak, ke λ > 0. i Najěte asymptotické rozělení výběrového průměru a pomocí tohoto rozělení sestavte intervalový oha pro parametr λ. ii Najěte asymptotické rozělení ohau parametru λ aného přepisem λ n = a pomocí tohoto rozělení sestavte intervalový oha pro parametr λ. iii Najěte transformaci, která stabilizuje asymptotický rozptyl náhoné veličiny a pomocí této transformace sestavte intervalový oha pro parametr λ. 0

11 Příkla 28. Oha parametru p v geometrickém rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z geometrického rozělení, tj. PX = k = p p k, k = 0,, 2,... i Najěte asymptotické rozělení ohau p n = + a na záklaě tohoto rozělení ovo te interval spolehlivosti Walova typu. ii Najěte asymptotické rozělení ohau p n = n i= I{X i = 0} a na záklaě tohoto rozělení ovo te interval spolehlivosti Walova typu. iii Který z intervalů spolehlivosti ovozených v i a ii byste si vybrali a proč? Příkla 29. Poíl průměrů Necht X,..., je náhoný výběr z exponenciálního rozělení Expλ X s hustotou { λ X e λ X x, x 0, fx = 0, jinak, a Y,..., Y n je náhoný výběr z exponenciálního rozělení Expλ Y. Přepokláejte, že oba náhoné výběry jsou na sobě nezávislé. i S využitím asymptotického rozělení Y n sestavte oboustranný intervalový oha pro λ X λy. ii Najěte asymptotické rozělení náhoné veličiny log Y n a využijte této znalosti ke konstrukci oboustranného intervalového ohau pro λ X λy. Příkla 30. Korelační koeficient Necht X, Y T,...,, Y n T je náhoný výběr z vourozměrného normálního rozělení s regulární i= varianční maticí a korelačním koeficientem ρ. Označme ρ n = X i Y i Y n i= X i 2 oha n i= Y i Y n 2 korelačního koeficientu. Potom se á pomocí -metoy okázat, že ρn ρ n N 0, ρ 2 2. i Pro parametr ρ sestavte intervalový oha Walova typu. ii Pro parametr ρ sestavte intervalový oha Wilsonova typu. iii Najěte transformaci, která stabilizuje asymptotický rozptyl ohau korelačního koeficientu ρ n a pomocí této transformace sestavte intervalový oha pro parametr ρ.

12 Příkla 3. Oha θ v rovnoměrném rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z rovnoměrného rozělení R0, θ s hustotou fx = θ, 0 < x < θ, 0, jinak, ke θ > 0. i Na záklaě výběrového maxima = max i n X i najěte intervalový oha pro parametr θ. ii Sestavte oboustranný a levostranný intervalový oha na záklaě asymptotického rozělení výběrového průměru a porovnejte s intervalovým ohaem z i. Návo. V i využijte toho, že θ neznámých parametrech. je pivotální statistika tj. statistika jejíž rozělení nezávisí na Příkla 32. Oha posunutí exponenciálního rozělení Mějme náhoný výběr X,..., z rozělení { λ e λx δ, x δ,, f X x = 0, jinak, ke δ R je neznámý parametr a λ > 0 je známá konstanta. i Ověřte, že Z n = min i n X i δ je pivotální statistika. ii Pomocí Z n najěte oboustranný intervalový oha pro parametr δ. 2

13 5 Empirické ohay Příkla 33. Ohay istribuční funkce exponenciálního rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z exponenciálního rozělení Expλ s hustotou { λ e λ x, x 0, fx = 0, jinak. Naším cílem je ohanout honotu istribuční funkce v nějakém aném boě y, tj. θ X = e λ y. Uvažujte násleující va ohay θ n = n I{X i y} θn = e λ n y, ke λn =. n i= Který z ohaů se Vám za vhonější a proč? Příkla 34. Poroní hmotnost chlapců V násleující tabulce jsou zachyceny poroní hmotnosti chlapců narozených v aném roce v aném regionu. Hmotnost [kg].5, 2.0] 2.0, 2.5] 2.5, 3.0] 3.0, 3.5] 3.5, 4.0] 4.0, 4.5] 4.5, 5.0] 5.0, 5.5] Počet i Boově i intervalově ohaněte o kolik je větší pravěpoobnost, že se naroí chlapec s hmotností o 4 kg včetně než pravěpoobnost že se naroí chlapec s hmotností o 3 kg včetně. ii Boově i intervalově ohaněte, kolikrát je větší pravěpoobnost, že se naroí chlapec s hmotností o 4 kg včetně než pravěpoobnost že se naroí chlapec s hmotností o 3 kg včetně. iii Boově i intervalově ohaněte, o kolik je větší pravěpoobnost, že se naroí chlapec s hmotností o 3 kg včetně než pravěpoobnost že se naroí chlapec s hmotností větší než 4 kg. iv Boově i intervalově ohaněte, kolikrát je větší pravěpoobnost, že se naroí chlapec s hmotností o 3 kg včetně než pravěpoobnost že se naroí chlapec s hmotností větší než 4 kg. Příkla 35. Asymptotické rozělení třetího centrálního momentu Necht X,..., je náhoný výběr. i Najěte asymptotické rozělení třetího centrálního momentu µ 3 = n i= X i 3. ii Na záklaě znalosti z i sestavte intervalový oha pro µ 3. iii Najěte asymptotické rozělení třetího centrálního momentu µ 3 za přepoklau, že X i má normální rozělení Nµ, σ 2. Návo. Všimněte si, že v i můžete bez újmy na obecnosti přepokláat, že EX = 0. 3

14 Příkla 36. Asymptotické rozělení empirického ohau šikmosti Necht X,..., je náhoný výběr z normálního rozělení Nµ, σ 2. i Najěte asymptotické rozělení empirického ohau šikmosti γ 3 = n i= X i 3 n i= X i 2 3/2. ii Zkuste promyslet, jak by se informace z i ala využít k testování normality tj. testování, že náhoný výběr pochází z normálního rozělení. Návo. Všimněte si, že v i můžete bez újmy na obecnosti přepokláat, že µ = 0 a σ 2 =. Příkla 37. Empirický kvantil Necht X,..., je náhoný výběr z rozělení se spojitou istribuční funkcí F X. Necht u X β je β-kvantilem rozělení F X a û n α je empirický výběrový α-kvantil. i Pro α = 0.25, β = 0.30 a n = 00 spočtěte přibližně pravěpoobnost P û n α > u X β. ii Jaká bue pravěpoobnost z i pro n = 000? Příkla 38. Intervalový oha pro meián Necht X,..., je náhoný výběr z rozělení se spojitou istribuční funkcí F X. Označme m meián rozělení F X. Najěte největší možné přirozené číslo k a nejmenší možné přirozené číslo k 2 takové, že P X k > m α 2, P X k2 < m α 2. Ukažte, že X k, X k2 je intervalový oha pro m se spolehlivostí alespoň α. 4

15 6 Testování hypotéz Příkla 39. P-honota oboustranného testu Necht náhoná veličina U má rovnoměrné rozělení na intervalu 0,. Dokažte, že potom také náhoná veličina V = 2 minu, U má rovnoměrné rozělení na 0,. 5

16 7 Výsleky některých příklaů Příkla 6 i p n p Příkla 7 i p n p ii p n p Příkla 8 n N 0, p 2 p. n N 0, p 2. n N 0, pp 3 p 2 i p p Příkla 9. n p = 2 ostáváme p p i exp { X 3 n Příkla 0 i Y n λ X λy Příkla } N 0, σ 2 n n N 0, 2 λ2 X λ. 2 Y N 0, 2p 2 p p pro p 2. Všimněte si, že pro P n 0. i ] [ân a 0 n p n p N 2, V, ke V = D Σ D T, přičemž n 0 Příkla 8 D = a 2 p, i n 2 n Γ ii biass n = σ 2 Γ n 2 a2 p 2a, a 2 a Σ = p a 2, 2p 2p a 3, a 3 p 2 a 4 6 p

17 Příkla 23 i Oha â n je nestranný a konzistentní oha parametru a. ii MSEâ n = varâ n = b 2 2n+2n+. iii Oha b n není nestranný, ale je konzistentní oha parametru b. iv MSE b n = var b n + [ E b n b ] 2 = b 2 n 2n+2n+ 2 + Příkla 25 i Oboustranný interval Walova typu X n u α/2 interval by byl u α n, b2 3 b = 2 n+ 2 2n+2n+. Oboustranný interval Wilsonova typu + u2 u α/2 2 n X 2 α/2 n n + u4 α/2, X 4 n 2 n + u2 α/2 2 n + + u2 α 2 n u X 2 α n n Levostranný interval by byl ii u α/2 + u2 α/2 4 n, + u α/2 + u2 α 4 n + u2 α/2 4 n + u4 α, + u α/2. Levostranný,. 4 n 2 u 2 α/2 n + u4 α/2 4 n 2., přičemž levou stranu intervalu spolehlivosti nahraíme nulou, poku < u2 α/2 4 n 0,. Pravostranný interval by byl + u α n, Příkla 27 i Interval Walova typu Interval Wilsonova typu ii Interval Walova typu Interval Wilsonova typu iii, + u, α/2 n u α/2 u α/2, + u α/2 u α/2, exp n exp u α/2, + u α/2, u α/2,, + u, α/2 n u α/2 Příkla 33 Poíl asymptotických rozptylů je avar θ n avar θ n = eλ y λ y 2 >. 7

18 Příkla 34 i Boový oha je přibližně Intervalový oha se spolehlivostí 0.95 je přibližně 0.722, ii Boový oha je přibližně Intervalový oha se spolehlivostí 0.95 je přibližně 4.7, Příkla 35 i µ 3 µ 3 N0, n v2, ke v 2 = µ 6 µ µ 2 µ µ 3 2 iii n µ 3 N0, 6 n σ6 Příkla 36 i γ 3 N0, 6 n 8