Regrese a nelineární regrese
|
|
- Petr Němec
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Kapitola 10 Regrese a nelineární regrese 10.1 Regrese V testech nezávislosti jsme zkoumali, zda dv veli iny x a y jsou nezávislé. Pokud nejsou nezávislé, m ºeme zkoumat, jaká závislost mezi nimi je Lineární regrese Máme dva párové výb ry x a y, tedy mnoºinu dat {x i, y i } N i=1, a zkoumáme, jestli v nich je lineární závislost typu y = b 0 + b 1 x, tedy jestli pro m ená data rozumn platí y i = b 0 + b 1 x i + e i, i = 1, 2,, N kde N je délka výb ru a e i jsou chyby v jednotlivých rovnicích. P. V letech jsme zaznamenávali poºadavky na parkovací místa v Praze 4. Zajímá nás (i) zda poºadavky mají tendenci nár stu, (ii) jaký je odhad po tu poºadavk pro rok 2020 a (iii) kdy bude poºadavek na parkování dvojnásobný, neº byl v roce 2015? Popis situace osa x, osa y, body (dvojice [x i, y i ]), predikce, rezidua. Konstrukce p ímky optimáln, tak aby N i=1 e i min 1. Spo teme pr m ry x, ȳ a sou ty tverc S x, S x = (x i x) 2, S y = (y i ȳ) 2 a S xy = (x i x) (y i ȳ) Odhady parametr jsou ˆb1 = S xy S x, ˆb 0 = ȳ b 1 x. 1
2 KAPITOLA 10. REGRESE A NELINEÁRNÍ REGRESE 2 2. Zapí²eme celou soustavu maticov Y = Xb + E kde Y = y 1 y 2 y N, X = 1 x 1 1 x 2 1 x N, E = e 1 e 2 e N Potom parametry ˆb = [ˆb0, ˆb ] 1 se spo tou takto ˆb = (X X) 1 X Y. Predikce Data jsou reprezentována odhadnutou regresní p ímkou y = ˆb 0 + ˆb 1 x. Odhad výstupu y pro dané x nazýváme predikce a zna íme ŷ. Pro x = x 0 platí predikce ŷ ŷ = ˆb 0 + ˆb 1 x 0 Naopak, jestliºe chceme v d t kdy asi (tedy znát x) bude výstup y = y 0 (daná hodnota), pak platí ˆx = y 0 ˆb 0 ˆb1. Chyba predikce Spo teme-li predikci ŷ i, i = 1 N pro v²echna x i, i = 1 N, m ºeme ur it chybu predikce ê i = y i ŷ i, i = 1 N. Ta je d leºitým ukazatelem kvality provedené regrese. V t²inou se udává jako standardní chyba reziduí N SE = i=1 ê2 i N Lineární multiregrese P. Sledujeme dopravní nehody a jejich závaºnost, kterou ozna íme y s hodnotami z intervalu (0, 5), kde orienta n bude: 1 - lehká nehoda bez zran ní, 2 - nehoda s v t²í hmotnou ²kodou, 3 - nehoda s váºn j²ím zran ním, 4 - nehoda s úmrtím. Zajímá nás, jaké okolnosti mají vliv na váºné nehody y > 3. Jako okolnosti vybereme veli iny x 1 : rychlost vozidla p i st etu, x 2 : viditelnost, x 3 : povrch vozovky. Modelujeme multiregresí. Regrese má obecn tvar y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x b n x n
3 KAPITOLA 10. REGRESE A NELINEÁRNÍ REGRESE 3 Odhad - podle zp sobu 2. y 1 Y = y 2 y N kde b = [b 0, b 1,, b n ]., X = 1 x 11 x 21 x n1 1 x 12 x 22 x n2 1 x 1N x 2N x nn, ˆb = (X X) 1 X Y, Predikce ŷ = ˆbX Nelineární regrese V²imneme si exponenciální a polynomiální regrese. První lze linearizovat, druhou je moºno odhadovat p ímo. Exponenciální y = b 0 exp {b 1 x} Linearizace logaritmováním ln (y) = ln (b 0 ) + b 1 x Pouºíváme data ln (y) a x, dostaneme parametry B 0 = ln (b 0 ) a b 1. Predikce ŷ i = exp {ln (b 0 ) + b 1 x} = exp {B 0 + b 1 x} P. Sledujeme nár st po tu automobil v malé vesnici. Nam ili jsme data rok po et Zji² ujeme, zda po et automobil roste exponenciáln. e²ení: Pro výpo et pot ebujeme ur it logaritmy y , 1.95, 3.05, Nyní provedeme regresi pro log (y) a x a dostaneme koecienty log (b 0 ) a b 1. ˆb = ]0.062, ]
4 KAPITOLA 10. REGRESE A NELINEÁRNÍ REGRESE 4 Potom b 0 = exp { 120} = 3.9E 53. = 0. Regresní k ivka pak je podle predikce (vý²e) nebo y p = b 0 exp {b 1 x} // Exponenciální regrese // exec SCIHOME/ScIntro.sce, mode(0) xo=[ ]; x=xo-xo(1); // transformace dat x y=[ ]; // po et aut y ly=log(y) // logaritmy y Y=ly'; X=[ones(4,1) x']; b=inv(x'*x)*x'*y b0=exp(b(1)) b1=b(2) // vektor Y // matice X // výpo et reg. koef. // absolutní len // sm rnice xx=min(x):.1:max(x); // vykreslení yp=b0*exp(b1*xx); // exponenciály plot(x,y,'o',xx,yp,'linewidth',2,'markersize',8) set(gca(),'data_bounds',[x(1)-1 x($)+1 0 max(y)+1]); Polynomiální y = b 0 + b 1 x + b 2 x b n x n + e Odhadujeme podle metody 2. Pouºíváme data 1 x, x 2,, x n a dostaneme p ímo parametry ˆb = [ b0,b 1,b 2 b n ]. P íslu²né matice jsou Y = y 1 y 2 y N, X = 1 x 1 x 2 1 x n 1 1 x 2 x 2 2 x n 2 1 x N x 2 N xn N P. Pro data x = [1, 2, 3, 4, 5] a y = [10, 15, 18, 9, 1] prove te polynomiální regresi 3. ádu. Hodnoty odhadnutého parametru jsou b = 0.67, 61.48,
5 KAPITOLA 10. REGRESE A NELINEÁRNÍ REGRESE 5 Predikce y = ˆb 0 + ˆb 1 x + ˆb 2 x ˆb n x n // Polynomiální regrese // exec SCIHOME/ScIntro.sce, mode(0) x=[ ]; y=[ ]; Y=y'; X=[ones(x(:)) x' (x^2)' (x^3)']; b=inv(x'*x)*x'*y // data x // data y // vektor Y // matice X // koeficienty xx=min(x):.1:max(x); // konsterukce yp=b(1)+b(2)*xx+b(3)*xx^2+b(4)*xx^3; // polynomu plot(x,y,'o',xx,yp,'linewidth',2,'markersize',8) set(gca(),'data_bounds',[0 6 0 max(y)+1]); Dynamická regrese O dynamické regresi hovo íme tehdy, kdyº výstup závisí na svých zpoºd ných hodnotách. P. Modelujeme rozjezd závodního automobilu. Automobil je ízen pouze plynem - jede na 100% stla ení plynového pedálu. Automobil jsme sledovali od vte iny 0 do vte iny 8 a zm ili jsme následující hodnoty rychlosti 0, 55, 78, 103, 115, 130, 145, 150, 156 Pouºijeme model 1. ádu se vstupem u = 100+²um. Regresní vektor je ψ t = [ŷ t 1, u t, 1] a odpovídající odhady regresních koecient b = 0.71, 49.64, Predikce ŷ t = ψ t θ
6 KAPITOLA 10. REGRESE A NELINEÁRNÍ REGRESE 6 // Dynamická regrese s ízením // exec SCIHOME/ScIntro.sce, mode(0) y=[ ]; n=length(y); u=100+.1*rand(1,n,'n'); for i=2:n Y(i)=y(i); X(i,:)=[y(i-1) u(i) 1]; end b=inv(x'*x)*x'*y yp=0; for i=2:n yp(i)=b(1)*yp(i-1)+b(2)*u(i)+b(3); end // tady je bu y nebo yp x=0:(n-1); plot(x,y,'bo',x,yp,'rx:') legend('y','yp',2); // Dynamická auto-regrese (bez ízení) // exec SCIHOME/ScIntro.sce, mode(0) y=[ ]; n=length(y); for i=2:n Y(i)=y(i); X(i,:)=[y(i-1) 1]; end b=inv(x'*x)*x'*y np=30; yp=0; for i=2:np yp(i)=b(1)*yp(i-1)+b(2); end x=0:(n-1); xp=0:(np-1); plot(x,y,'bo',xp,yp,'rx:') legend('y','yp',2);
7 KAPITOLA 10. REGRESE A NELINEÁRNÍ REGRESE 7 Program pro jednotlivé druhy regrese // Regresní analýza - ukázky na p edná²ku REGRESE // exec SCIHOME/ScIntro.sce, mode(0), rand('seed',0) // Data x=75:115; n=length(x); y=abs(exp((1:n)/10)+5*rand(1,n,'n')); // roky // poºadavky (simulace) set(scf(0),'position',[ ]) plot(x,y,'.') // plot - data // disp '---- lineární regrese ----' Y=y'; X=[x' ones(n,1)]; th=inv(x'*x)*x'*y // odhad parametr z matic yp=(x*th)'; // predikce r=correl(x,y) pv_pears=pearson_test(x,y) pv_f=f_test_reg(x,y) pv_wz=wz_test(y,yp,.05) pv_auto=auto_test(y,yp,.3,.2) // korela ní koeficient // Pearson v test // F-test // test nezávislosti reziduí // autokorelace reziduí set(scf(1),'position',[ ]) plot(x,y,'.',x,yp) // plot - lin reg // disp '---- exponenciální regrese ----' p=exp_reg(x,y) // odhad paramtr ype=exp_pred(x,p); // predikce pv_f=f_test_pred(y,ype,2) pv_wz=wz_test(y,ype,.05) pv_auto=auto_test(y,ype,.3,.2) // test - regrese (podle predikce) // test nezávislosti reziduí // autokorelace reziduí set(scf(3),'position',[ ]) plot(x,y,'.',x,ype) // plot - exp reg // disp '---- polynomiální regrese ----' p=pol_reg(x,y,3) // odhad parametr ypp=pol_pred(x,p); // predikce pv_f=f_test_pred(y,ypp,4) pv_wz=wz_test(y,ypp,.05) // test regrese (podle predikce) // test nezávislosti reziduí
8 KAPITOLA 10. REGRESE A NELINEÁRNÍ REGRESE 8 pv_auto=auto_test(y,ypp,.3,.2) // autokorelace reziduí set(scf(4),'position',[ ]) plot(x,y,'.',x,ypp) // plot - pol3 reg set(scf(5),'position',[ ]) plot(x,y,'.',x,yp,x,ype,x,ypp) // plot - v²e dohromady legend('y','lin','exp','pol'); 10.2 Ov ení výsledk regrese Regrese má smysl jedin kdyº lineární vazba y na x existuje. To lze testovat následujícími zp - soby: Pearsonovým t-testem Testuje H0: ρ = 0 proti HA: ρ 0. Statistikou je výb rový korela ní koecient r. Souborový korela ní koecient ρ = C [x, y] D [x] D [y], kde C [x, y] = (x Ex) (y Ey) f (x, y) dxdy, D [x] = (x Ex) 2 f (x) dx, D [y] = (y Ey) 2 f (y) dy. Výb rový korela ní koecient r = S xy Sx S y, kde S xy = (x i x) (y i ȳ), S x = (x i x) 2, S y = (y i ȳ) 2. H0: íká, ºe x a y jsou nezávislé, tedy nemá cenu mezi nimi hledat závislost a tedy regresi nelze d lat. Proto, aby regrese byla moºná musíme H0 zamítnout. tj. p-hodnota musí být malá (men²í neº hladina významnosti α). Koecient determinace V t²ina statistických program uvádí v souvislosti s regresní analýzou koecient determinace R R = r 2. Tento koecient se pohybuje v intervalu (0, 1). Pro R = 0 je regrese zcela nevhodná, pro R = 1 je naopak ideální (v²echny body y i leºí na regresní p ímce). Jestli je p ímka rostoucí nebo klesající tento koecient nerozli²uje. Fisherovým F-testem (testuje podíl vysv tleného a nevysv tleného rozptylu). Test je totoºný s testem ANOVA - je zaloºen na rozkladu celkového rozptylu na rozptyl regresní (vysv tlený) a reziduální (nevysv tlený). Rozklad je motivován následujícím vztahem y i ȳ = y i ŷ i + ŷ i ȳ
9 KAPITOLA 10. REGRESE A NELINEÁRNÍ REGRESE 9 kde len vlevo udává odchylku hodnoty y i od pr m rné hodnoty y - je to odchylka ze které po ítáme rozptyl v p ípad, kdy neuvaºujeme regresi, tedy (y i ȳ) 2. první len vpravo je odchylka m eného y i od regresní p ímky - tuto odchylku neumíme vysv tlit; hodnoty by m ly leºet na regresní p ímce a pro tahle ulétla, to nevíme. Tato odchylka je reziduum e i = y i ŷ i. druhý len vpravo je odchylka regresní p ímky od pr m rného y - tu vysv tlit umíme. Ta vzniká proto, ºe hodnoty veli iny y nejsou rozloºeny vodorovn, ale podél p ímka - tedy jsou vysv tlena regresí. Rozklad celkového sou tu tverc S c na regresní S r a reziduální S e je následující S c = S r + S e kde S r je vysv tlený sou tu tverc a S e je nevysv tlený sou tu tverc. Statistika F (s Fisherovým rozd lením) se v t²inou konstruuje v následující tabulce SS DF MS F p-hodnota regresní S r 1 S r F r = (n 2) Sr S e P (F > F r ) reziduální S e n 2 celkový S c S e n 2 kde SS je sou et tverc (sum squares), DF jsou stupn volnosti (degrees of freedom), MS je pr m r tverc (mean squares) - je to SS/DF, F je statistika daná podílem MS regresní a MS reziduální a p-hodnota je hodnota pravd podobnosti Fisherova rozd lení se stupni volnosti DF regresní a DF reziduální pro pravostranný test, tedy pro F > F r, kde F r je realizovaná statistika. H0 íká: regrese je nevhodná. Proto regresi lze pouºít jen kdyº se H0 zamítá. Test na nezávislost reziduí Máme jeden výb r x (nap íklad rezidua z regresní analýzy) a testujeme, zda kaºdý následující prvek posloupnosti je nezávislý na p edchozích. Spo teme rozdíly prvk posloupnosti od mediánu a spo teme sekvence posloupnosti rozdíl se stejným znaménkem a sou et ozna íme b. Statistika je z = 2b (n 2) n 1 N (0, 1) H0: prvky jsou nezávislé. Test na autokorelaci reziduí Rezidua modelujeme modelem 1. ádu e t = ae t 1 + k + ɛ t
10 KAPITOLA 10. REGRESE A NELINEÁRNÍ REGRESE 10 a musíme dostat, ºe a < 0.3 a k 0. Pokud ne, regrese, kterou jsme provedli, má ²patný typ - nap. není lineární. Poznámka íká se, ºe je také t eba kontrolovat, zda je pr m r reziduí roven 0. Ten bude ale nenulový jen v p ípad, kdy do modelu nevezmeme konstantu a neplatí, ºe y (0) = 0. Pokud ale konstantu uvaºujeme, tj. bereme regresní p ímku y = b 0 + b 1 x + e, bude vºdy pr m r reziduí nula. Dk. Optimální odhad konstanty je b 0 = ȳ b 1 x. Kdyº to dosadíme do modelu, dostaneme y = ȳ b 1 x + b 1 x + e Po zpr m rování ȳ = ȳ b 1 x + b 1 x + ē ē = 0
Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými
Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými 12. kv tna 2015 N kdy k popisu n jaké situace pot ebujeme více neº jednu náhodnou veli inu. Nap. v k, hmotnost, vý²ku. Mezi t mito veli inami mohou být
Vícena za átku se denuje náhodná veli ina
P íklad 1 Generujeme data z náhodné veli iny s normálním rozd lením se st ední hodnotou µ = 1 a rozptylem =. Rozptyl povaºujeme za známý, ale z dat chceme odhadnout st ední hodnotu. P íklad se e²í v následujícím
VíceP íklad 1 (Náhodná veli ina)
P íklad 1 (Náhodná veli ina) Uvaºujeme experiment: házení mincí. Výsledkem pokusu je rub nebo líc, ºe padne hrana neuvaºujeme. Pokud hovo íme o náhodné veli in, musíme p epsat výsledky pokusu do mnoºiny
Více1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost
(8 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i nezávislých hodech mincí a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost P ( X EX < ) (9 bod ) b) Formulujte centrální limitní v tu a pomocí ní vypo
VíceCvi ení 7. Docházka a testík - 15 min. Distfun 10 min. Úloha 1
Cvi ení 7 Úkol: generování dat dle rozd lení, vykreslení rozd lení psti, odhad rozd lení dle dat, bodový odhad parametr, centrální limitní v ta, balí ek Distfun, normalizace Docházka a testík - 15 min.
VíceSkalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu
Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo
VíceTesty pro více veli in
Kapitola 8 Testy pro více veli in 8.1 Testy parametr s více výb ry s p edpokladem normality dat 8.1.1 Testy s dv ma výb ry. P edpoklady: Pro spojité rozd lení normalita nebo velký výb r. Pro diskrétní
VíceIntegrování jako opak derivování
Integrování jako opak derivování V tomto dokumentu budete seznámeni s derivováním b ºných funkcí a budete mít moºnost vyzkou²et mnoho zp sob derivace. Jedním z nich je proces derivování v opa ném po adí.
Vícee²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody
e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody V praxi se asto setkávame s p ípady, kdy je pot eba e²it více rovnic, takzvaný systém rovnic, obvykle s více jak jednou neznámou.
VíceRovnice a nerovnice. Posloupnosti.
.. Veronika Sobotíková katedra matematiky, FEL ƒvut v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ 30. srpna 2018.. 1/75 (v reálném oboru) Rovnicí resp. nerovnicí v reálném oboru rozumíme zápis L(x) P(x), kde zna
VícePr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce
Pr b h funkce I Maxima a minima funkce V této jednotce ukáºeme jak derivování m ºe být uºite né pro hledání minimálních a maximálních hodnot funkce. Po p e tení tohoto letáku nebo shlédnutí instruktáºního
VícePravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web:
Pravd podobnost a statistika - cvi ení Simona Domesová simona.domesova@vsb.cz místnost: RA310 (budova CPIT) web: http://homel.vsb.cz/~dom0015 Cíle p edm tu vyhodnocování dat pomocí statistických metod
Více1 Spojitý model. 1.1 Princip stochastického modelu
Spojitý model Veli iny v dopravním systému jsou náhodné posloupnosti indexované diskrétním asem t. V kaºdém asovém okamºiku to jsou náhodné veli iny, po zm ení dostaneme realizace náhodné veli iny. Tyto
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.
VíceT i hlavní v ty pravd podobnosti
T i hlavní v ty pravd podobnosti 15. kv tna 2015 První p íklad P edstavme si, ºe máme atomy typu A, které se samovolným radioaktivním rozpadem rozpadají na atomy typu B. Pr m rná doba rozpadu je 3 hodiny.
VíceLimity funkcí v nevlastních bodech. Obsah
Limity funkcí v nevlastních bodech V tomto letáku si vysv tlíme, co znamená, kdyº funkce mí í do nekone na, mínus nekone na nebo se blíºí ke konkrétnímu reálnému íslu, zatímco x jde do nekone na nebo mínus
VíceVektory. Vektorové veli iny
Vektor je veli ina, která má jak velikost tak i sm r. Ob tyto vlastnosti musí být uvedeny, aby byl vektor stanoven úpln. V této ásti je návod, jak vektory zapsat, jak je s ítat a od ítat a jak je pouºívat
Více2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4
Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P
VíceRegresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Statistika II Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu) této závislosti pomocí vhodné funkce
VíceLineární Regrese Hašovací Funkce
Hašovací Funkce Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v
VíceKuželosečky a kvadriky ve škole i kolem
Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem nás Bc. Aneta Mirová Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím
VíceP íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost
P íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost 28. února 204 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu
VíceDerivování sloºené funkce
Derivování sloºené funkce V tomto letáku si p edstavíme speciální pravidlo pro derivování sloºené funkce (te funkci obsahující dal²í funkci). Po p e tení tohoto tetu byste m li být schopni: vysv tlit pojem
VíceJevy, nezávislost, Bayesova v ta
Jevy, nezávislost, Bayesova v ta 17. b ezna 2015 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu rozumíte.
VíceReálná ísla a posloupnosti Jan Malý
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Obsah 1. Reálná ísla 1 2. Posloupnosti 2 3. Hlub²í v ty o itách 4 1. Reálná ísla 1.1. Úmluva (T leso). Pod pojmem t leso budeme v tomto textu rozum t pouze komutativní
VíceStatistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY
Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického
Víceízení Tvorba kritéria 2. prosince 2014
ízení. prosince 014 Spousta lidí má pocit, ºe by m la n co ídit. A n kdy to bývá pravda. Kdyº uº nás my²lenky na ízení napadají, m li bychom si poloºit následující t i otázky: ídit? Obrovskou zku²eností
VíceVYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými
VícePráce s daty. 2. února Do tohoto adresá e stáhn te ze stránek soubory data.dat a Nacti_data.sci.
Práce s daty 2. února 2015 V tomto lánku si ukáºeme statistickou práci v praxi. Setkáme se s mnoha bodovými i intervalovými odhady i s r znými testy. Na kraji textu máte vyzna eno, jaké pojmy a znalosti
Více1 Pravd podobnost - plán p edná²ek. 2 Pravd podobnost - plán cvi ení
1 Pravd podobnost - plán p edná²ek 1.1 Popisná statistika, denice pravd podobnosti 1.2 Jevová pravd podobnost 1.3 Náhodná veli ina 1.4 Známé distribuce 1.5 Náhodný vektor, transformace NV 1.6 Opakování
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 6. prosince 2016, 13:2015:20 ➊ (8 bod ) Vy²et ete stejnom rnou konvergenci ady na mnoºin R +. n=2 x n 1 1 4n 2 + x 2 ln 2 (n) ➋ (5 bod ) Detailn
VíceV tabulce jsou uvedeny roční náklady na údržbu (v dolarech) a cena domu (v tis. dolarů).
1. Příklad V tabulce jsou uvedeny roční náklady na údržbu (v dolarech) a cena domu (v tis. dolarů). Náklady 835 63 240 1005 184 213 313 658 195 545 Cena 136 24 52 143 42 43 67 106 61 99 a.) Modelujte závislost
VíceUnfolding - uºivatelský manuál
Unfolding - uºivatelský manuál Bc. Martin Veselý Fakulta jaderná a fyzikáln inºenýrská Katedra softwarového inºenýrství v ekonomii Skupina aplikované matematiky a stochastiky p i kated e matematiky Obsah
Více1 P ílohy. 1.1 Dopln ní na tverec
1 P ílohy 1.1 Dopln ní na tverec Pouºívá se pro minimalizaci kvadratického výrazu nebo pro integraci v konvoluci dvou normálních rozd lení (tady má význam rozkladu normální sdruºené hp na podmín nou a
Více1 Odhad spojitého modelu
1 Odhad spojitého modelu Model je matematickým popisem vybraných veli in sledovaného procesu. Tyto veli iny popisujeme stochasticky (pomocí hustot pravd podobnosti) v závislosti na jiných vybraných veli
Víceodpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných
8. Regresní a korelační analýza Problém: hledání, zkoumání a hodnocení souvislostí, závislostí mezi dvěma a více statistickými znaky (veličinami). Typy závislostí: pevné a volné Pevná závislost každé hodnotě
VíceStatistika ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ. Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková. Semestrální práce - 0 -
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková 2 34 Statistika Semestrální práce - 0 - 1. Úvod Popis úlohy: V této práci se jedná se o porovnání statistických
VíceModel. 1 Spojitý model. 1.1 Princip stochastického modelu
Model 1 Spojitý model Veli iny v dopravním systému jsou náhodné posloupnosti indexované diskrétním asem t. V kaºdém asovém okamºiku to jsou náhodné veli iny, po zm ení dostaneme realizace náhodné veli
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (3 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x))
VíceKapitola 1. Teorie portfolia. 1.1 Výnos a riziko akcie
Kapitola 1 Teorie portfolia 1.1 Výnos a riziko akcie Výnosem akcie rozumíme míru zisku, která plyne z investice do akcie. Tento zisk se v t²inou skládá ze dvou sloºek kapitálového výnosu a výnosu z dividend.
VíceStátní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady
Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 28. listopadu 2017, 9:2011:20 ➊ (8 bod ) Lze nebo nelze k rozhodnutí o stejnom rné konvergence ady ( 1) n+1 x ln(n) n 6 + n 2 x 4 na intervalu
VíceRegrese. 28. listopadu Pokud chceme daty proložit vhodnou regresní křivku, musíme obvykle splnit tři úkoly:
Regrese 28. listopadu 2013 Pokud chceme daty proložit vhodnou regresní křivku, musíme obvykle splnit tři úkoly: 1. Ukázat, že data jsou opravdu závislá. 2. Provést regresi. 3. Ukázat, že zvolená křivka
VíceSeminá e. Ing. Michal Valenta PhD. Databázové systémy BI-DBS ZS 2010/11, sem. 1-13
Seminá e Ing. Michal Valenta PhD. Katedra softwarového inºenýrství Fakulta informa ních technologií ƒeské vysoké u ení technické v Praze c Michal Valenta, 2010 Databázové systémy BI-DBS ZS 2010/11, sem.
VíceBinární operace. Úvod. Pomocný text
Pomocný text Binární operace Úvod Milí e²itelé, binární operace je pom rn abstraktní téma, a tak bude ob as pot eba odprostit se od konkrétních p íklad a podívat se na v c s ur itým nadhledem. Nicmén e²ení
Více5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32
5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi Tomá² Sala MÚ UK, MFF UK ZS 2017/18 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32 5.1 Funkce spojité
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
Více3 D leºitá rozd lení náhodné veli iny
3 D leºitá rozd lení náhodné veli iny Co to znamená, kdyº prohlásíme, ºe jsou n jaká d leºitá rozd lení? Rozd lení náhodné veli iny je její popis. A náhodná veli ina p edstavuje ur itý náhodný pokus (kde
VíceDomácí úkol 2. Obecné pokyny. Dbejte na formáln správný zápis výpo tu! Pro vy íslení výsledku pro binomické rozd lení pouºijte nap. Maple nebo Matlab.
Domácí úkol 2 Obecné pokyny Dbejte na formáln správný zápis výpo tu! Pro vy íslení výsledku pro binomické rozd lení pouºijte nap. Maple nebo Matlab. Návod pro výpo et v Matlabu Jestliºe X Bi(n, p), pak
Vícenazvu obecnou PDR pro neznámou funkci
Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R
VíceDolní odhad síly pro ztrátu stability obecného prutu
ƒeské vysoké u ení technické v Praze 9. února 216 Vedoucí seminární práce: doc. RNDr. Ivana Pultarová, Ph.D. prof. Ing. Milan Jirásek, DrSc. Osnova 1 2 Cíl práce Cíl práce Nalézt velikost síly, která zp
VíceInovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Regrese Závislostproměnných funkční y= f(x) regresní y= f(x)
Více1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =
I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin
VíceSkupina Testování obsahuje následující moduly: Síla a rozsah výběru, Testy a Kontingenční tabulka.
Testování Menu: QCExpert Testování Skupina Testování obsahuje následující moduly: Síla a rozsah výběru, Testy a Kontingenční tabulka. Síla a rozsah výběru Menu: QCExpert Testování Síla a rozsah výběru
VíceOdhad sm si s dynamickým ukazovátkem a statickými komponentami 1
Odhad sm si s dynamickým ukazovátkem a statickými komponentami 1 dvourozm rný výstup, bez ízení simulovaná data inicializace odhadu - za²um né parametry ze simulace standardní odhad / odhad s pevnými kovariancemi
VíceZáludnosti velkých dimenzí
Jan Vybíral KM/FJFI/ƒVUT 6. listopadu 2017 1/28 Warm-up Dva problémy na zah átí Geometrie R d Kolik bod je t eba rozmístit v jednotkové krychli [0, 1] d v dimenzi d, aby v kaºdém kvádru o objemu 1/10 leºel
Více4EK211 Základy ekonometrie
4EK Základy ekonometrie Odhad klasického lineárního regresního modelu II Cvičení 3 Zuzana Dlouhá Klasický lineární regresní model - zadání příkladu Soubor: CV3_PR.xls Data: y = maloobchodní obrat potřeb
VíceObsah. Pouºité zna ení 1
Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního
VíceStátní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady
Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha.
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VíceST2 - Cvi ení 1 STATISTICKÁ INDUKCE
ST2 - Cvi ení 1 STATISTICKÁ INDUKCE P íklad 1.1 Po et závad jistého typu elektrospot ebi e b hem záru ní doby má Poissonovo rozd lení s parametrem λ = 0,2. Jaká je pravd podobnost, ºe po prodeji 75 spot
VíceExponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
VíceKorelační a regresní analýza
Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná
VíceRegresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel
Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceInterpolace pomocí splajnu
Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Připomenutí U interpolace požadujeme, aby graf aproximující funkce procházel všemi uzlovými body. Interpolační polynom aproximující funkce je polynom
VíceST2 - Cvi ení 1 STATISTICKÁ INDUKCE
ST2 - Cvi ení 1 STATISTICKÁ INDUKCE P íklad 1.1 Po et závad jistého typu elektrospot ebi e b hem záru ní doby má Poissonovo rozd lení s parametrem λ = 0,2. Jaká je pravd podobnost, ºe po prodeji 75 spot
VíceDYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT
DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT Doc. Ing. Daniel Makovička, DrSc.*, Ing. Daniel Makovička** *ČVUT v Praze, Kloknerův ústav, Praha 6, **Statika a dynamika konstrukcí, Kutná Hora 1 ÚVOD Obecně se dynamickým
VíceZákladní pojmy teorie mnoºin.
Základní pojmy teorie mnoºin. Mnoºina je základní stavební kámen moderní matematiky, i kdyº se v matematice tento pojem uºívá velmi dlouho. Uº anti tí e tí geomet i denovali kruºnici jako mnoºinu bod mající
Více1 Data. 2 Výsledky m ení velikostí. Statistika velikostí výtrus. Roman Ma ák
Statistika velikostí výtrus Roman Ma ák 6.2.216 1 Data Velikost výtrus (udávaná obvykle v µm) pat í u hub k významným ur ovacím znak m, mnohdy se dva druhy makromycet li²í dokonce pouze touto veli inou.
Více1 Spo jité náhodné veli iny
Spo jité náhodné veli in. Základní pojm a e²ené p íklad Hustota pravd podobnosti U spojité náhodné veli in se pravd podobnost, ºe náhodná veli ina X padne do ur itého intervalu (a, b), po ítá jako P (X
Vícec sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
Více4EK211 Základy ekonometrie
4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1
VíceCo je to tensor... Vektorový prostor
Vektorový prostor Co je to tensor... Tato ást je tu jen pro p ipomenutí, pokud nevíte co je to vektorový prostor, tak tení tohoto textu ukon ete na konci této v ty, neb zbytek textu by pro Vás nebyl ni
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceINDUKTIVNÍ STATISTIKA
10. SEMINÁŘ INDUKTIVNÍ STATISTIKA 3. HODNOCENÍ ZÁVISLOSTÍ HODNOCENÍ ZÁVISLOSTÍ KVALITATIVNÍ VELIČINY - Vychází se z kombinační (kontingenční) tabulky, která je výsledkem třídění druhého stupně KVANTITATIVNÍ
VíceRelace. Základní pojmy.
Relace. Základní pojmy. I kdyº pojem funkce je v matematice jeden ze základních a nejd leºit j²ích, p esto se n které vztahy mezi objekty pomocí funkce popsat nedají. Jde o situace, kdybychom cht li p
VíceAVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců
AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model klasický lineární regresní model odhad parametrů MNČ y = Xβ + ε, ε
Více( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502
.5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady
VíceStochastické Systémy. Ivan Nagy 1. Obsah
Stochastické Systémy Ivan Nagy 1 Obsah 1 Úvod 7 1.1 Opakování pravd podobnosti............................. 7 1.1.1 P íklad [náhodná veli ina]........................... 7 1.1.2 P íklad [pravd podobnostní
VíceAnalýza variance (ANOVA) - jednocestná; faktor s pevným efektem; mnohonásobná srovnání
Analýza variance (ANOVA) - jednocestná; faktor s pevným efektem; mnohonásobná srovnání 1. Analýzu variance (ANOVu) používáme při studiu problémů, kdy máme závislou proměnou spojitého typu a nezávislé proměnné
VíceSemestrální práce. 3.3 Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat
Semestrální práce 1 3.3 Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Ing. Ján Lengyel, CSc. Centrální analytická laboratoř Ústav jaderného výzkumu Řež, a. s. Husinec Řež 130 250 68 Řež V Řeži, únor
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO
VíceErgodické Markovské et zce
1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Definice lineárního normálního regresního modelu Lineární normální regresní model Y Xβ ε Předpoklady: Matice X X n,k je matice realizací. Předpoklad: n > k, h(x) k - tj. matice
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
Vícee²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org
e²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org Úloha 1.1. Bubla, Lib nka, Henry a Mat j hráli hru. Protoºe byli ty i, napsali si na tabuli ty i ty ky a jejich úkolem pak bylo vepsat mezi n t i znaménka
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
Více2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů
Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).
VíceJméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu.
Jméno: P íjmení: Datum: 7. ledna 28 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu. Rotující nádoba Otev ená válcová nádoba napln ná do poloviny vý²ky
VíceFyzikální praktikum 3
Ústav fyzikální elekotroniky P írodov decká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 3 Úloha 7. Opera ní zesilova Úvod Opera ní zesilova je elektronický obvod hojn vyuºívaný tém ve v²ech
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Definice lineárního normálního regresního modelu Lineární normální regresní model Y β ε Matice n,k je matice realizací. Předpoklad: n > k, h() k - tj. matice je plné hodnosti
VíceSever Jih Západ Plechovka Točené Sever Jih Západ Součty Plechovka Točené Součty
Neparametrické testy (motto: Hypotézy jsou lešením, které se staví před budovu a pak se strhává, je-li budova postavena. Jsou nutné pro vědeckou práci, avšak skutečný vědec nepokládá hypotézy za předmětnou
VíceUºivatelská p íru ka k programu SlaFoR verze 1.0
1 Uºivatelská p íru ka k programu SlaFoR verze 1.0 Toto je manuál k programu SlaFoR 1.0 (Slab Forces & Reinforcement), který byl vytvo en v rámci bakalá ské práce na kated e betonových a zd ných konstrukcí
VíceP íklady k prvnímu testu - Scilab
P íklady k prvnímu testu - Scilab 24. b ezna 2014 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a naprogramujte p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu
VíceParametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =
Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce.
VíceVzorové e²ení 4. série
Vzorové e²ení 4. série Úloha 4.1 Kouma koupil Œoumovi k Vánoc m Rubikovu kostku. Strana kostky m í 10 cm. Kdyº mu ji v²ak cht l zabalit do váno ního papíru, zjistil, ºe má k dispozici pouze tvercový papír
VícePopisná statistika I
Popisná statistika I Zden k Mikulá²ek, Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Výsledkem série astrofyzikálních m ení vybrané veli iny y n jakého objektu (hv zdná velikost, intenzita, radiální rychlost)
VíceZkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 25/05/2017, 9:00 11:00 ➊ (9 bod ) Nech je dvojrozm rná Lebesgueova míra generována vytvo ujícími funkcemi φ(x) = Θ(x)x 2 a ψ(y) = 7y. Vypo t te míru mnoºiny
Více