Symetrie anti-de Sitterova vesmíru a těchto symetrií

Transkript

1 Univerzita Karova v Praze Matematicko-fyzikání fakuta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Pave Irinkov Symetrie anti-de Sitterova vesmíru a prostory získané identifikací podé těchto symetrií Ústav teoretické fyziky Vedoucí bakaářské práce: Studijní program: Studijní obor: doc. RNDr. Pave Krtouš, Ph.D. Fyzika (B1701) obecná fyzika Praha 2013

2 Chtě bych poděkovat svému vedoucímu bakaářské práce, doc. RNDr. Pavovi Krtoušovi, PhD. za douhoeté konzutace, pomoc při studiu a také za vstřícnost, přáteský přístup a nesčetné cenné rady v průběhu psaní bakaářské práce.

3 Prohašuji, že jsem tuto bakaářskou práci vypracova(a) samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, iteratury a daších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vypývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v patném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karova v Praze má právo na uzavření icenční smouvy o užití této práce jako škoního día pode 60 odst. 1 autorského zákona. V... dne... Podpis autora

4 Název práce: Symetrie anti-de Sitterova vesmíru a prostory získané identifikací podé těchto symetrií Autor: Pave Irinkov Katedra: Ústav teoretické fyziky, MFF UK Vedoucí bakaářské práce: doc. RNDr. Pave Krtouš, Ph.D., Ústav teoretické fyziky MFF UK Abstrakt: Probematika topoogických černých děr v 2+1 dimenzionáním AdS prostoročasu se v průběhu posedních 20 et staa jedním z vhodných jednoduchých modeů pro zkoumání koncepčních otázek kvantové gravitace. V této práci jsou roztříděny izometrie dimenzionáního anti-de Sitterova prostoročasu a kasifikována řešení Einsteinových rovnic vzniká identifikací podé souřadnic, přizpůsobených k jednotivým izometriím. Důraz je při tom kaden na Poincarého souřadnice a extrémní černé díry. Podrobně je popsán fázový přechod kónických singuarit k černým dírám. Kíčová sova: obecná teorie reativity, anti-de Siterrův prostoročas, kónická singuarita, extrémní černá díra, BTZ černá díra Tite: Symmetries of anti-de Sitter universe and spaces obtained by identification aong these symmetries Author: Pave Irinkov Department: Institute of Theoretica Physics, Facuty of Mathematics and Physics, Chares University Supervisor: doc. RNDr. Pave Krtouš, Ph.D., Institute of Theoretica Physics, Facuty of Mathematics and Physics, Chares University Abstract: Topoogica back hoes in dimensiona AdS spacetime have seen a gradua increase in popuarity over the ast 20 years by their virtue of being one of the appropriate modes to tacke the conceptua issues of quantum gravity in reativey simpe setting. This work deveops the cassification of isometries of dimensiona anti-de Sitter spacetime and subsequenty gives account of the soutions of the Einstein equations obtained by identifications aong particuar adapted coordinates. Specia attention is paid to the Poincaré coordinates and extrema back hoes and to a detaied description of phase transition between conica singuarities and back hoes. Keywords: genera theory of reativity, anti-de Sitter spacetime, conica singuarity, extrema back hoes, BTZ back hoes

5 Obsah Úvod 2 1 Zákadní poznatky Obecná reativita v 2+1 dimenzích Anti-de Sitterův prostoročas Prostoročasové singuarity Černé díry Symetrie anti-de Sitterova prostoročasu Symetrie 2+1-dimenzionáního AdS prostoročasu Symetrie spjaté se statickými souřadnicemi typu I Symetrie spjaté se statickými souřadnicemi typu Poincarého symetrie Symetrie 1+1-dimenzionáního AdS prostoročasu Struktura Lieovy agebry Kiingových vektorů AdS dimenzionání AdS prostoročas dimenzionání AdS prostoročas Řešení získaná identifikací podé symetrií AdS prostoročasu Identifikace v Poincarého souřadnicích Identifikace v statických souřadnicích typu I Identifikace v statických souřadnicích typu Sféricky symetrická řešení v 2+1 dimenzích Obecný tvar sféricky symetrických řešení Einsteinových rovnic ve 2+1 dimenzích Lokání energie a hmotnost v OTR Anti-de Sitterův prostoročas Bodová částice v AdS prostoročasu Extrémní černá díra BTZ černá díra Limita kónické singuarity k extrémní černé díře 38 Závěr 42 Seznam použité iteratury 43 1

6 Úvod Maximáně symetrické prostoročasy zaujímají výsadní postavení nejen v rámci obecné teorie reativity především díky koncepční jednoduchosti, kterou tyto prostoročasy opývají. Nacházejí upatnění v dnes veice popuárním proudu teoretického výzkumu, tzv. AdS/CFT korespondenci, popsané v čánku Juana Madaceny [13], kde se dávají do souvisosti konformní teorie poe na konformní hranici asymptoticky anti-de Sitterova prostoročasu se supergravitační teorií uvnitř tohoto prostoročasu. Zájem o tato řešení Einsteinových rovnic se ovšem zdaeka nekoncentruje jen do jednoho směru fyzikáního bádání [2]. S trochou nadsázky ze říci, že nezanedbatená část výzkumu v teoretické fyzice má nějakou bižší, či vzdáenější spojitost s faktem, že naše znaost o fundamentáních interakcích, kterými se řídí svět koem nás, není formuována v jednotném matematickém jazyce. Na jedné straně, poměrně spoehivě vymezené maými měřítky, se upatňují nederministické zákony kvantového popisu reaity. Kuminací tohoto směru je standardní mode částic, který popisuje tři ze čtyř známých interakcí pomocí aparátu perturbativní (poruchové) kvantové teorie poe. Tento přístup je v rámci svých mezí apikovatenosti vemi úspěšný. Na straně druhé, vymezené vekými vzdáenostmi a energiemi, se upatňuje obecná teorie reativity jako konzistentní teorie gravitační interakce. Na rozdí od svých kvantových protějšků se jedná o teorii kasickou ve smysu, že neuvažuje popis v rámci vnových funkcí a Hibertových prostorů a jedná se o teorii deterministickou (přestože tento pojem má své meze, dané systémy s vývojem daným sice deterministickými rovnicemi, ae vzhedem k veké závisosti na počátečních podmínkách na větších časových škáách nepředpověditeným). Teorie je vyjádřená pomocí deterministických evoučních rovnic pro měřitené entity a samotný proces měření nemá na tento vývoj žádný viv. Konsenzuáně přijatým řešením tohoto rozporu v předpokadech a východiscích obou směrů uvažování je, že obecná reativita je pouze kasické přibížení k fundamentání kvantové teorii této interakce. Třemi havními obastmi, kde by se pná kvantová teorie měa upatňovat a kde tedy oba dosavadní směry popisu sehávají, jsou fyzika vysokých energií, raný vesmír a konečná stádia černých děr. Prozatím, vzhedem k technickým možnostem žádné kvantově gravitační efekty přímo naměřeny nebyy, přestože se objevují názory, že i za současných podmínek to je možné [1]. Historicky se tak teoretická fyzika nachází v nepříiš sobě známé situaci, kdy teoretický vývoj nemůže být veden empirickými daty, nebo nemůže jimi být aespoň v principu v popperovském smysu vyvrácen. Stojí za připomenutí, že taková situace je v historii fyziky vskutku ojediněá. Newtonovy zákony byy podepřeny každodenní zkušeností, stejně tak jako experimenty mnoha Newtonových předchůdců. Stejně tak Maxweovy rovnice, které poskyty sjednocení eektrických a magnetických jevů byy zaoženy na experimentech Faradaye a Ampéra z počátku devatenáctého stoetí. Einsteinova speciání teorie reativity se opíraa o zjištění Michesona a Moreyho, že světo se šíří ve všech vztažných soustavách stejnou rychostí a havně na nesouadu Maxweových rovnic a Gaieovy transformace. Konečně, vývoj a formuace experimentáně vemi úspěšného standardního modeu bya vedena bohatým zázemím experi- 2

7 mentáních dat z urychovačů CERN a Fermiab. Současná situace tedy nevyhnuteně vede k spoéhání se na spekuaci a instinktivních tušení o tom, jak by tomu měo být ve skutečnosti. Zde právě eží havní význam zjednodušených modeů, jako je např. gravitace ve 2+1 dimenzích, které jsou jedno z máa vodítek pro intuici a kvaifikované odhady, stejně tak jako hřiště pro prozkoumávání koncepčních otázek nových teoretických ceků [3, 5]. Tato práce je organizována násedujícím způsobem: v první kapitoe jsou stručným způsobem zopakovány a podány zákadní poznatky, které budou potřeba v daších kapitoách. V první části kapitoy jsou tak zrekapituovány poznatky o obecné teorii reativity v 2+1 dimenzích a její odišnosti od gravitace v 3+1 dimenzích. Dáe je věnována pozornost anti-de Sitterovu prostoročasu na úrovni zákadních, především geometrických a kauzáních vastností. Nejsou uvažovány symetrie a vyjádření metrického tenzoru v různých souřadných systémech, těmto otázkám je vyhrazena druhá kapitoa. V daší části kapitoy jsou zopakovány některé poznatky o singuaritách a černých dírách. Ani v jednom z těchto témat není a ani nemůže být kaden důraz na úpnost výkadu, protože zcea rigorózní přístup by si vyžáda mnohonásobně více místa a še by za rámec toho, co je nezbytně nutné z hediska daších kapito. V druhé kapitoe je podán výkad symetrií anti-de Sitterova prostoročasu ve a dimenzích a těmto symetriím přizpůsobených souřadnic. Třetí kapitoa se zabývá strukturou Lieovy agebry Kiingových vektorů AdS prostoročasu, jsou zde odvozeny strukturní konstanty pro případ i dimenzionáního anti-de Sitterova prostoročasu. Čtvrtá kapitoa se zabývá prostory vznikými identifikací podé jednotivých symetrií. V kapitoa páté je ukázána vzájemná korespondence faktorprostorů AdS prostoročasu a sféricky symetrických řešení Einsteinových rovnic se zápornou kosmoogickou konstantou u nichž je známa fyzikání interpretace. Šestá kapitoa je věnuje imitnímu přechodu kónické singuarity v extrémní černou díru. 3

8 1. Zákadní poznatky Zákadním cíem této kapitoy je vytyčení fyzikáních pojmů, které budou v daších kapitoách používány. V první části jsou tak shrnuty zákadní poznatky o obecné reativitě ve 2+1 dimenzích, stejně tak jako zákadní poznatky o antide Sitterově prostoročasu jako jejich maximáně symetrickém řešení. Druhá část této kapitoy se definuje a vyjasňuje pojem singuarity, tak, jak je s ním možné se setkat při studiu partikuárních řešení Einsteinových rovnic. Třetím pojmem, pro nějž je vyhrazena záverečná část této kapitoy je černá díra. Z hediska této práce pyne jeho důežitost z kasifikace faktorprostorů anti-de Sitterova prostoročasu vzhedem k akci jednotivých grup izometrií. 1.1 Obecná reativita v 2+1 dimenzích Mezi jednu ze zákadních vastností obasti reaity, jejíž popis si kademe za úko při diskuzi kvaitativních a kvantitativních aspektů struktury prostoru, jenž nás obkopuje je konstantnost šíření světa ve všech inerciáních soustavách. Již to samo o sobě vyučuje patnost kasických před-einsteinovských představ o uspořádání prostoru a času jako součást fundamentáního popisu reaity. Jsme tak vedeni přímým empirickým vhedem k principu orenzovské kovariance fyzikáních zákonů, tedy principu, který je matematicky vyjádřen invariancí fyzikáních zákonů vůči boostovým transformacím souřadnicové soustavy. Ke stejnému závěru dojdeme, uvědomíme-i si charakter tranformací, při nichž nemění svůj tvar Maxweovy rovnice. Teorií, která dává výše uvedené vhedy do jednoho koherentního ceku je Einsteinova speciání teorie reativity. Ukazuje se [8, 16], že rozšířením třídy transformací, vůči nimž mají být výsedky fyzikáních experimetů invariantní, ze získat teorii gravitace: obecnou teorii reativity. Ta je daná akcí ve tvaru I = 1 d N x g(r 2Λ) + I hmota. (1.1) 16πG M Poní rovnice mají v tomto případě tvar R µν 1 2 g µνr + Λg µν = 8πGT µν, (1.2) kde připomeňme, že g µν je metrický tenzor, R µν je Ricciho tenzor, kontrakce Riemannova tenzoru v prvním a třetím indexu R µν = R α µαν, R je skaární křivost R = R α α, Λ je kosmoogická konstanta, G je gravitační konstanta a T µν je tenzor energie a hybnosti, pro nějž zákon okáního zachování energie a hybnosti požaduje T µν ;ν = 0. (1.3) Havním rozdíem, která odišuje čtyř- a trojdimenzionání obecnou reativitu je fakt, že ve třech dimenzích Riemannův tenzor křivosti ze vyjádřit pomocí Ricciho tenzoru: R µνσρ = g µρ R νσ + g νσ R µρ g νρ R µσ g µσ R νρ 1 2 (g µρg νσ g µσ g νρ )R. (1.4) 4

9 Nejdůežitějším důsedkem, který z toho pyne je, že každé vakuové řešení Einsteinových rovnic s nuovou kosmoogickou konstantou Λ je nutně poché a každé řešení s nenuovou konstantou má konstantní křivost. Fyzikáně tedy gravitace v 2+1 dimenzích nemá žádné okání stupně vonosti, o čemž se můžeme přesvědčit i násedující úvahou. Fázový prostor obecné reativity je dán N(N 1)/2 prostorovými sožkami metrického tenzoru a jejich N(N 1)/2 časovými derivacemi. Mezi Einsteinovými rovnicemi je však N vazeb na počáteční podmínky (podobně jako je tomu u Maxweových rovnic) a daších N proměnných ze eiminovat vhodnou souřadnicovou transformací. Cekově tedy zbývá N(N 1)/2 + N(N 1)/2 2N = N(N 3) kanonických proměnných, tj. N(N 3) okáních stupňů vonosti. To pro případ N = 3 dává požadovaný výsedek: absenci jakýchkoi stupňů 2 vonosti. Připomeňme pro úpnost, že pro N = 4 odpovídají stupně vonosti dvěma možnostem poarizace gravitační vny. S absencí okáních stupňů vonosti souvisí poněkud nezvyká newtonovská imita částice v dimenzionáním prostoročasu necítí vůbec newtonovskou síu. Pro detainí diskuzi a odvození viz [4]. 1.2 Anti-de Sitterův prostoročas Obrat me nyní pozornost na řešení rovnic (1.2), která se vyznačují maximání mírou symetrie. Tyto prostoročasy jsou okáně charakterizovány podmínkou R µνσρ = 1 12 R (g µσg νρ g µρ g νσ ). (1.5) Tato řešení odpovídají po řadě záporné, nuové a kadné kosmoogické konstantě Λ a nazývají se po řadě anti-de Sitterův, Minkowského a de Sitterův prostoročas. Kontrakcí rovnic (1.2) a poožením T µν = 0 ze snadno nahédnout, že pro tato řešení patí ve třech, resp. ve čtyřech dimenzích R = 6Λ, R = 4Λ, (1.6) tedy skaární křivost je přímo úměrná kosmoogické konstantě Λ a je v ceém prostoročase konstantní. Pro podrobnou diskuzi těchto řešení viz [6]. Zde se omezíme na anti-de Sitterův prostoročas odpovídající případu Λ < 0. Standardním způsobem, jak reprezentovat N-dimenzionání AdS prostoročas je pomocí vnoření do N + 1-dimenzionáního pochého prostoru se signaturou (,, +,...). V čtyřdimenzionáním případě konkrétně je anti-de Sitterův prostoročas dán pochou u 2 v 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 (1.7) v pětidimenzionáním pochém prostoru R 5 s metrikou ds 2 = du 2 dv 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2. (1.8) Obecně patí, že takto definovaný anti-de Sitterův prostor bude mít topoogii S 1 R N 1 a bude obsahovat uzavřené časupodobné křivky. Této nepříjemnosti se zbavíme, budeme-i uvažovat univerzání nakrytí anti-de Sitterova prostoru ( rozmotání časové souřadnice ), které má topoogii R 4. Je proto obvyké ve výše uvedené konstrukci mínit pojmem AdS právě toto univerzání nakrytí. 5

10 Obrázek 1.1: Konformní diagram anti-de Sitterova prostoročasu. Vertikání směr odpovídá času, horizontáně je vynášen prostor. Vnitřek vnějšího váce odpovídá ceému Einsteinovu prostoročasu o topoogii R S 3, kruh η = konst. odpovídá sféře S 3, s jedním prostorovým směrem nezobrazovaným. Okraj kruhu reprezentuje jeden bod pó antipodání k póu uprostřed kruhu. Obast χ π 2 je konformně zobrazený AdS prostoročas, pášt vnitřního váce χ = π 2 odpovídá jeho konformnímu nekonečnu. Převzato z [6]. Užitečným nástrojem ke zkoumání gobáních kauzáních vastností řešení Einsteinových rovnic jsou tzv. konformní transformace. O dvou metrikách g 1 a g 2 řekneme, že jsou konformně ekvivaentní, pokud ze psát g 1 = Ω 2 g 2, (1.9) kde Ω 2 je tzv. konformní faktor. Přechod od jedné strany rovnosti ke druhé se tedy nazývá konformní transformací. Její zákadní vastností motivující její použití je, že zachovává kauzání strukturu prostoročasu, tedy je-i čtyřvektor v α časupodobný, prostorupodobný nebo světený v jedné metrice, má stejný charakter v konformně ekvivaetní metrice. V případě anti-de Sitterova prostoročasu ze vhodnou záměnou souřadic nahédnout (viz příští kapitoa), že ceý AdS prostoročas je konformně svázán s poovinou Einsteinova statického vesmíru, daného metrikou g Ein = dη 2 + dχ 2 + sin 2 χ ( dθ 2 + sin 2 θdφ 2), (1.10) v tom smysu, že konformní transformace AdS je izomorfní s obastí danou (1.10) pouze pro radiání souřadnici χ π. Metrický tenzor anti-de Sitterova prostoročasu má pak 2 tvar g AdS = 1 ( dη 2 + dχ 2 + sin 2 χ(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) ). (1.11) cos 2 χ Grafickou reprezentací vzájemného vztahu obou prostoročasů je konformní diagram (viz obr. 1.1). Důežitým faktem, který je z tohoto diagramu patrný a souvisí i se zajímavostí AdS v apikacích, je časupodobný charakter konformního nekonečna AdS, na 6

11 rozdí od případu Minkowského a de Sitterova prostoročasu, v nichž má konformní nekonečno světený, resp. prostorupodobný charakter. To mimo jiné s sebou nese důsedek, že anti de-sitterův prostoročas není gobaně hyperboický, tj. neexistuje v něm Cauchyho pocha, na které by znaost rozmístění hmoty umožnia určit její ceý daší vývoj. K dobře definované Cauchyho úoze je třeba specifikovat také data na konformním nekonečnu (v obrázku 1.1 pocha vymezená χ = π 2 ). Prostory vzniké identifikováním bodů anti-de Sitterova prostoru podé různých symetrií, poněkud vznešeji řečeno faktorprostory AdS prostoru vůči akci diskrétní grupy symetrií, si vždy okáně zachovávají vastnosti původního prostoročasu. V čem se od původního prostoročasu iší jsou gobání topoogické a kauzání vastnosti. Jednou možností, která může oba typy vastnosti změnit je, že v nějakém bodě nového prostoru vznikne prostoročasová singuarita. V praxi se s takovým případem setkáme často, zákadní poznatky o singuaritách jsou proto uvedeny v násedujícím odstavci. 1.3 Prostoročasové singuarity Intuitivní chápání pojmu singuarita, jak se s ním setkáváme např. v eektromagnetismu, spočívá v divergenci jisté veičiny v jistém pevně daném místě prostoru. Toto vymezení ovšem, jak se ukazuje, se není přenositené do rámce obecné teorie reativity. Důvodem tohoto faktu je to, že v jiných fyzikáních teoriích se probém redukuje na sadu rovnic, jejímž řešením je, aespoň v ideáním případě, funkcionání, nebo distribuční rozmístění jisté intenzivní veičiny v prostoru a času a singuarita odpovídá případu, že tato veičina v jistém místě roste nade všechny meze. V obecné teorii reativity je ovšem onou hedanou veičinou samotná struktura prostoročasu metrický tenzor a výše uvedená specifikace je tedy probematická. Řešením tohoto probému je poněkud protiintuitivní definice: řekneme, že prostoročas M je singuární, pokud obsahuje geodetiky, které se nedají prodoužit podé svého afinního parametru a zároveň M neze triviáně zúpnit. Požadavek na afinní parametr je v této definici podstatný, pokud bychom jej uvonii, moho by se stát, že by se jeho běh v určitém místě nekonečně zahušt ova i bez přítomnosti singuarity. Druhý požadavek, aby prostoročas neše triviáně zúpnit, se stará o případ, že by neprodoužitenost geodetiky vznika např. v důsedku vyjmutí bodů z jinak reguárního prostoročasu. V obou případech nechceme, aby se jednao o singuaritu. V závisosti na chování křivosti podé nekompetní geodetiky rozišujeme singuarity charakterizované skaárními invarianty křivostí (scaar curvature invariants singuarity) v tomto případě diverguje podé geodetiky nějaký skaár vytvořený z Riemannova tenzoru a jeho kovariantních derivací a singuarity charakterizované divergencí sožky Riemannova tenzoru v paraeně přenášené tetrádě (paraey propagated curvature singuarity). Pokud nenastává ani jedna z těchto možností, hovoří se o nekřivostní (např. kónické) singuaritě (non-curvature singuarity). Tento posední typ singuarity je možné vytvořit vhodnou identifikací v přísušném časoprostoru, eementárním názorným příkadem je ist papíru s vyjmutým poárním úhem a přísušným ztotožněním, dávajícím kužeovou pochu se singuaritou ve vrchou. Vzhedem k sožitosti Einsteinových rovnic není příiš překvapivé, že obecná reativita nebya douho schopna něco podstatného k fyzice singuarit říci. Situace 7

12 se změnia s pracemi Hawkinga a Penrose, a zavedením gobáních geometrických metod anaýzy řešení (bíže viz [8]). Jedním z vekých úspěchů tohoto přístupu jsou i takzvané teorémy o singuaritách. Jejich systematický výkad vyžaduje dosti pokročiý technický aparát a tak není na tomto zmíněn. Čtenář jej naezne např. v [16]. Pro náznak jejich eegance a houbky jen zmiňme, že jedním z jejich důsedků je důkaz existence vekého třesku za podmínek, které se zdají být v našem vesmíru spněny. 1.4 Černé díry Černá díra jako objekt je jedním z ústředních obastí zájmu obecné teorie reativity. Intuitivně jsme vedeni k tomu, aby pojem černé díry odpovída takové obasti prostoročasu, ze které se nedá uniknout. Naivním pokusem o formaizaci této představy je tvrzení, že černá díra je taková taková obast prostoročasu A, že pro všechna p A je J + (p) A, kde J + (p) značí kauzání budoucnost bodu p (množina všech udáostí, které mohou být s bodem p spojeny časupodobnou, nebo světenou do budoucnosti orientovanou křivkou). Takto formuovaný pokus o definici ovšem naráží na probémy: samotná kauzání budoucnost jakékoi množiny v prostoročasu by bya k nerozeznání od černé díry. Řešením je ehká změna ve formuaci: prostoročas bude obsahovat černou díru, pokud v něm existuje obast, ze které se nedá uniknout do budoucího světeného nekonečna (pro asymptoticky poché prostoročasy), nebo do budoucího nekonečna (pro nepoché prostoročasy, v nichž budoucí nekonečno je možné definovat). Samotná černá díra je pak definována jako dopněk kauzání minuosti budoucího světeného nekonečna hranice této množiny B = M J (I + ), (1.12) H = J (I + ) (1.13) se nazývá horizont udáostí. H tedy odděuje vnitřek černé díry od pozorovateů vně, kteří mohou uniknout do nekonečna a co se děje za horizontem udáostí nevidí. Patoogický případ, kdy černoděrová singuarita není zakryta horizontem udáostí se v iteratuře označuje termínem nahá singuarita (naked singuarity). Vyústěním a formaizací přirozeného požadavku na to, aby taková varianta v našem vesmíru nenastávaa, tedy aby koaps hvězdy vždy vyústi v černoděrovou singuaritu neviditenou zvenčí je princip kosmické cenzury. Černé díry v našem vesmíru vznikají koapsem vemi sožitých objektů. Je proto překvapivé, že závěrečným stadiem takového koapsů je objekt vemi symetrický. Patí dokonce tvrzení, že každá černá díra vzniká v gravitačním koapsu je charakterizována pouze třemi parametry: hmotností M, momentem hybnosti J a eektrickým nábojem Q. To je obsahem tzv. No Hair teorému. Informace o koabující hmotě se vyzařuje do nekonečna v podobě gravitačních vn. Uved me jen na okraj a pro úpnost, že ve čtyřech dimenzích jsou zákadní černoděrová řešení, odpovídající nuovosti, či nenuovosti momentu hybnosti J a eektrického náboje Q popsána Schwarzschidovou (J = 0, Q = 0), Kerrovou (J 0, Q = 0), Reissner-Nordstromovou (J = 0, Q 0) a Kerr-Newmannovou metrikou (J 0, Q 0). 8

13 Ukazuje se, že ze formuovat tzv. zákony termodynamiky černých děr. Stěžejním okamžikem v tomto ohedu by Hawkingův důkaz z roku 1972, že pocha horizontu udáostí se nemůže žádným fyzikáním procesem zmenšit, v anaogii s druhým zákonem termodynamiky. Nemá-i tedy ceková entropie systému, který padá do černé díry kesnout, je třeba přiřadit entropii samotné černé díře. To proved v Jacob Bekenstein ještě v témž roce a výsedek má tvar S BH = ka, (1.14) 4p 2 kde k je Botzmannova konstanta, A je obsah horizontu udáostí a p je Panckova déka. Pro podrobné odvození a diskuzi zákonů viz [16]. 9

14 2. Symetrie anti-de Sitterova prostoročasu V této kapitoe je podán přehed symetrií anti-de Sitterova prostoročasu a s nimi spjatých přizpůsobených souřadnic. Pojem symetrie je dobře známý a intuitivně snadno pochopitený z kasické a kvantové fyziky i každodenní zkušenosti. Objekt, nebo systém má symetrii, pokud se po provedení určité operace (transformace) nezmění. V kontextu obecné teorie reativity je oním objektem prostoročas, operace má podobu izometrie a to, že se nezmění je obsaženo v zachovávájící se metrické struktuře. Množina všech symetrických transformací tvoří grupu. Jednotivé transformace je tak možné mezi sebou skádat, existuje identická transformace a ke každé transformaci existuje transformace inverzní. Nás bude zajímat situace, kdy izometrií je nekonečně mnoho. Grupa symetrií pak má kromě své agebraické struktury ještě strukturu hadké variety. Ukazuje se, že v tomto případě ze symetrie rozděit na třídy ekvivaence jednoparametrických podgrup transformací, které jsou ve vzájemně jednoznačné korespondenci se svými generátory. Podobná konstrukce je známá z ineární agebry, kde např. každou ortogonání matici ze zapsat ve tvaru e At, kde A je horní trojúheníková matice a t je parametr, přičemž množina všech matic A je v jistém smysu tečný prostor k varietě všech ortogonáních matic v jednotce. Tvrzení z tohoto příkadu ze zobecnit na všechny Lieovy grupy a množina všech infinitezimáních transformací v jednotce se nazývá Lieova agebra. Teorie Lieových grup a ageber je široké odvětví matematiky a jakýkoi pokus o její výkad musí být nutně nekompetní. Nástin je uveden v kapitoe 4, podrobný výkad ze naézt v knihách [10] a [7]. Spokojme se na tomto místě se strohým tvrzením, že prvkům Lieovy agebry izometrií se v obecné teorii reativity říká Kiingovy vektory. Vektor ξ je Kiingův vektor, pokud patí ξ g µν = 0, (2.1) což je, díky vyjádření Lieovy derivace pomocí metrické kovariantní derivace ξ T a 1,...,a k b 1,...,b = ξ c c T a 1,...,a k b 1,...,b ekvivaentní podmínce k i=1 T a 1,...,c,...,a k b 1,...,b c ξ a i + j=1 T a 1,...,a k b 1,...,c,...,b bj ξ c (2.2) µ ξ ν + ν ξ µ = 0. (2.3) Rovnice (2.3) jde využít pro důkaz maximáního počtu izometrií N-dimenzionání variety, který je N(N+1) (podrobně viz [16]). Pro případ N = 2 a N = 3 tedy 2 maximáně symetrické prostoročasy mají 3, resp. 6 nezávisých izometrií. V našem případě nebude třeba přímo ověřovat podmínku (2.3). Využijeme faktu, že je-i Kiingův vektor vyjádřen v přizpůsobených souřadnicích, tedy ξ µ = µ x 1 (2.4) 10

15 Lieova derivace metriky se redukuje na tvar ξ g µν = g µν x 1. (2.5) Naší obecnou strategií tedy bude najít takové souřadnice, v nichž koeficienty metrického tenzoru nebudou záviset na některé ze souřadnic a metrika tak bude invariantní vůči difeomorfismům indukovanými těmito souřadnicovými vektory. Zajímat nás budou symetrie dvou- a trojdimenzionáního AdS prostoročasu. 2.1 Symetrie 2+1-dimenzionáního AdS prostoročasu Symetrie spjaté se statickými souřadnicemi typu I Jak byo zmíněno v první kapitoe, ceý anti de-sitterův prostoročas ze konformně zobrazit na část Einsteinova statického vesmíru. Souřadnice, které anti-de Sitterův prostoročas tímto způsobem zdědí se nazývají statické (nebo též kosmoogické) souřadnice typu I. Všechny mají stejné orbity (integrání křivky), pro naše účey jsou nejvíce užitečné souřadnice t, r a θ. AdS prostoročas pokrývají v rozsahu t (, ), r (0, π ) a θ ( π, π) a metrický tenzor v nich nabývá 2 tvaru g AdS = 2 cos 2 r ( d t 2 + d r 2 + sin 2 rdθ 2 ), (2.6) kde je konstanta o rozměru déky, daná kosmoogickou konstantou. Je zřejmé, že ani jeden z metrických koeficientů ve (2.6) nezávisí na t a na θ. Vektory t a jsou tedy oba generátory izometrie. Orbitami jsou křivky dané rovnicí θ t r = konst., θ = konst., které mají v ceém svém průběhu časupodobný charakter (v obrázku 2.4 vertikání přímky). Vektor míří komo na pochu θ = konst a je θ na ceém AdS prostoročasu prostorupodobný. Jeho orbity jsou kružnice r = konst, t = konst. Povšimněme si, že prostorová část metriky (2.6) má bez konformního faktoru tvar d r 2 + sin 2 rdθ 2. To je stejný tvar, jako metrika povrchu dvoudimenzionání sféry, která má ve sférických souřadnicích χ, θ tvar dχ 2 + sin 2 χdθ 2. Souřadnice r χ tedy měří úhe od severního póu (dopněk zeměpisné výšky), kdežto souřadnice θ měří úhe podé kružnice r = konst. (zeměpisná déka). Hodnotě r = π odpovídá konformní nekonečno anti-de Sitterova vesmíru. Vzhedem k 2 rozsahu souřadnic odpovídá pokrytá obast jedné poovině povrchu sféry. Tohoto faktu ze eegantně využít při přechodu k axisymetrickým souřadnicím a poté k statickým souřadnicím typu, který je učiněn v násedující části Symetrie spjaté se statickými souřadnicemi typu Zavedení kosmoogických souřadnic typu, R, T, Θ, ze rozožit do dvou kroků. V prvním z nich souřadnice r a θ nahrazujeme χ a θ danými impicitními vztahy sin r sin θ = sin χ sin θ, (2.7) 11

16 cos r = sin χ cos θ, (2.8) cos r cot θ = cos χ cot θ, (2.9) cos χ = sin r cos θ. (2.10) Tyto rovnice ze geometricky interpretovat jako vztahy dávající do souvisosti dvě sady sférických souřadnic na povrchu koue, kde počátek souřadnic χ, θ je vůči r, θ otočen o π. Bodu χ = 0 tedy odpovídá r = π, θ = π. Metrika (2.6) v těchto 2 2 souřadnicích nabývá tvar g AdS = 2 sin 2 χ cos 2 θ ( d t 2 + d χ 2 + sin 2 χd θ 2 ), (2.11) který nesvědčí o žádném novém Kiingově vektoru, provedeme tedy druhý krok transformace v souřadnicích t a χ: T R sin χ = sin t, (2.12) = 1 2 og cos t cos χ cos t + cos χ. (2.13) Spou s přeznačením Θ = θ tak získáváme sadu souřadnic T, R, Θ. Jejich vyjádření v rámci kosmoogických souřadnic typu I t, r a θ získáme dosazením vztahů (2.7) (2.10) do transformací (2.12) a (2.13): T = 1 2 og sin r cos θ + cos t sin r cos θ cos t, (2.14) R 1 sin2 r cos = θ, sin t (2.15) tan Θ = tan r sin θ, (2.16) Tyto vztahy ze invertovat a výsedek se bude išit v závisosti na tom, je-i výraz v absoutní hodnotě v (2.14) kadný, nebo záporný. To se dá ekvivaentně výjadřit jako R2 2 < 1, nebo R2 2 > 1. V prvním případě mají inverzní vzorce tvar sin t = R 2 R 2 1 cosh 2 T sinh 2 T, (2.17) cos r = R cos Θ 1 + (1 R2 2 ) sinh 2 T, (2.18) sin θ = sin Θ sin 2 Θ + ( R2 2 1) cosh 2 T, (2.19) V případě R2 2 > 1 inverzí vztahů (2.14) (2.16) získáváme sin t = R cosh 2 T 1 2 sinh 2 T R 2, (2.20) 12

17 cos r = sin θ = 1 + ( R2 2 R cos Θ 1) cosh 2 T sin Θ sin 2 Θ + (1 R2 2 ) sinh 2 T, (2.21), (2.22) Dosazením vztahů (2.14) (2.22) a přísušných diferenciáů do metriky (2.6) získáváme pro tvar metriky v souřadnicích R, T, Θ tvar g AdS = 2 R 2 cos2 Θ ( ( ) 1 R2 dt R2 2 dr 2 + R 2 dθ 2 ). (2.23) Z rovnice (2.23) je okamžitě zřejmé, že vektor T generuje izometrii v trojdimenzionáním AdS prostoročasu a konstrukce předešých řádků je tedy ospravedněná. Podařio se nám najít tři Kiingovy vektory: T. K naezení,, t θ kompetní množiny generátorů izometrií dimenzionáního AdS prostoročasu nyní užijeme eegantního triku: protože vzorec (2.5) dává pro koeficienty metriky (2.6) a x 1 = t a x 1 = θ nuu, je tato metrika invariantní vůči záměně typu t t + α a θ θ + β. Jiným způsobem řečení téhož je, že necháme-i působit izometrii indukovanou vektorem, resp. na vektor a v těchto t θ nových souřadnicích vyjádříme metriku (2.23), její tvar se nezmění. Apikujeme tedy transformace (2.16) (2.19) na obě sady souřadnic s posunutým počátkem t, resp. θ a získáme tak časově posunuté, resp. zrotované souřadnice R P, T P, Θ P, resp. RR, T R, ΘR, v nichž má metrika stejnou strukturu jako v (2.23), pouze s přísušným přeznačením. Protože sožením dvou symetrií je opět symetrie, jsou třetí sadou souřadnic časově posunuté zrotované souřadnice R P R, T P R, ΘP R (můžeme zároveň posunout počátek t, resp. θ a struktura metriky (2.23) zůstane stejná). Voba α a β je arbitrární, učiníme ji ae tak, aby jednotivé izometrie byy v jistém smysu ortogonání. Jak uvidíme v daší kapitoe, to bude patit právě tehdy, když Kiingova metrika bude mít v bázi těchto vektorů diagonaizovaný tvar. Prozatím se tedy spokojme s tvrzením, které bude dokázáno v kapitoe 3, že to ze spnit např. pro α = π, β = 0, dáe α = 0, β = π a α = β = π. Těmto třem možnostem odpovídají po řadě časově posunuté souřadnice R P, T P, ΘP, úhově otočené souřadnice R R, T R, ΘR a časově i úhově posunuté souřadnice R P R, T P R, ΘP R Vztahy mezi nimi a původními neposunutými souřadnicemi typu I získáme substitucí vztahů T t P = t π 2, θr = θ π 2, (2.24) cos t P = sin t, cos θ R = sin θ, (2.25) sin t B = cos t, sin θ R = cos θ (2.26) do rovnic (2.14) (2.16) a (2.17) (2.22). Konkrétně tak pro časově posunuté souřadnice R P, T P, ΘP patí vztahy 13

18 T P = 1 2 og sin r cos θ + sin t sin r cos θ sin t, (2.27) a pro vztahy inverzní R P 1 sin2 r cos = 2 θ, (2.28) cos t tan Θ P = tan r sin θ (2.29) pro (RP )2 2 < 1 a cos t = cos r = sin θ = cos t = sin θ = cos r = R P 1 2 cosh 2 T P R P 2 RP cos Θ P 1 + (1 RP 2 2 sinh 2 T P ) sinh 2 T P, (2.30), (2.31) sin Θ P, (2.32) sin 2 Θ P + ( RP 2 1) cosh 2 T P 2 R P cosh 2 T P 1 RP cos Θ P 1 + ( RP 2 2 sin Θ P ( sin 2 Θ P + 1 RP 2 sinh 2 T P R P 2 1) cosh 2 T P 2 ) 2 sinh 2 T P, (2.33), (2.34), (2.35) pro (RP )2 > 1. Pro zrotované souřadnice R R 2, T R, ΘR získáváme ze vztahů (2.24) (2.26) a (2.14) (2.22) T R = 1 2 og sin r sin θ + cos t sin r sin θ cos t, (2.36) R R 1 sin2 r sin 2 θ =, sin t (2.37) Inverzními vztahy k (2.36) (2.38) jsou pro (RR )2 2 < 1 sin t = tan Θ R = tan r cos θ, (2.38) R R 2 R R 1 2 cosh 2 T R sinh 2 T R, (2.39) 14

19 RR cos Θ R cos r =, (2.40) 1 + (1 RR 2 ) sinh 2 T R 2 sin Θ R cos θ = ( sin 2 Θ R + R R 2 ) 1 cosh 2 T R 2, (2.41) a pro (RR )2 2 > 1 sin t = cos r = R R cosh 2 T R 1 + RR ( R R R R cos Θ R ) sinh 2 T R cosh 2 T R, (2.42), (2.43) sin Θ R cos θ = ( sin 2 Θ R + 1 RR 2 ) 2 sinh 2 T R. (2.44) Konečně pro zrotované časově posunuté souřadnice R P R, P R, R uvážením obou rovností v (2.24) (2.26) patí T P R = 1 2 og sin r sin θ + sin t sin r sin θ sin t, (2.45) R P R 1 sin2 r sin 2 θ =, cos t (2.46) tan Θ P R = tan r cos θ (2.47) a pro inverzní vztahy k (2.45) (2.47) cos t = cos r = cos θ = R P R 2 R P R 1 2 cosh 2 T P R RP R 1 + (1 RP R sin 2 Θ P R + cos Θ P R 2 2 ( R P R2 sinh 2 T P R, (2.48) ) sinh 2 T P R, (2.49) sin Θ P R ), (2.50) 1 cosh 2 T P R 2 pro (RP R )2 2 < 1 a cos t = 1 R P R cosh 2 T P R 2 R P R 2 sinh 2 T P R, (2.51) 15

20 RP R cos r = 1 + ( RP R cos θ = 2 sin 2 Θ P R + cos Θ P R 2 1) cosh 2 T P R, (2.52) sin Θ P R (1 RP R 2 ) 2 sinh 2 T P R, (2.53) pro (RP R)2 < 1. 2 Podařio se nám tedy naézt maximání množinu ineárně nezávisých Kiingových vektorů pro trojdimenzionání anti-de Sitterův prostoročas (,,, t θ T R T, T P, ). Integrání křivky souřadnicového vektoru T P R T mají v obou obastech, kde se iší inverzní vztahy (2.17) (2.22) odišný charakter, jak je patrné z obrázku R 2.5. V obasti 2 > 1 jsou orbity vektoru 2 T prostorupodobné, reprezentují tedy anaogii prostorové transační symetrie. V obasti R2 < 1 jsou orbity 2 časupodobné a reprezentovaná symetrie má charakter časového posunu. Koem bifurkačního bodu R = ± má Kiingův vektor T strukturu anaogickou boostovému Kiingou vektoru z Minkowského prostoročasu, tedy Kiingova vektoru generujícího změny rychosti inerciání soustavy Poincarého symetrie Maximání množina ineárně nezávisých Kiingových vektorů naezenených v předchozím odstavci reprezentuje izometrie dimenzionáního AdS prostoročasu, které jsou na sobě nezávisé v tom smysu, že maé izometrie generované těmito Kiingovými vektory neze sožit z ostatních. Ukazuje se ae, že tyto izometrie generované bází v Lieově agebře Kiingových vektorů nejsou jedinými zajímavými se kterými se můžeme setkat. Stejně jako jsme při hedání maximání ineárně nezávisé množiny Kiingových vektorů nechai zapůsobit izometrii indukovanou vektory a, abychom získai nové ineárně nezávisé t θ Kiingovy vektory a, necháme-i působit izometrii indukovanou T P, T R T P R T na vektor kosmoogických souřadnic typu I vytvoříme nový Kiingův t vektor. V případě zrotovaných a časově posunutých souřadnic jsme musei voit speciání hodnoty t a θ, aby výsedné vektory byy ortogonání v Lieově agebře, to zde nebude patit pro ibovonou hodnotu posunu T, přestože vhodnou záměnou (např. za vektor ) ze docíit, aby i množina obsahující t takový typ vektoru bya ineárně nezávisá. Pro T rostoucí nade všechny meze působení izometrie indukované generuje po vhodném přeškáování T P tzv. Poincarého souřadnice t, z, x reprezentující poincaréovské symetrie AdS. Záměnou T T + T, kde T do vzorců (2.17) (2.22), převedením do souřadnic t, r, θ a přeškáováním pro ně získáváme vyjádření sin t t = cos t sin r cos θ, (2.54) cos r z = cos t sin r cos θ, (2.55) 16

21 x = Inverzními vztahy k (2.54) (2.56) jsou sin r sin θ cos t sin r cos θ. (2.56) tan t = 2 t 2 t 2 + x 2 + z, (2.57) 2 tan r sin θ = x z, (2.58) tan 2 r = (2 + t 2 x 2 z 2 ) x z, 2 (2.59) 2 x tan θ = 2 + t 2 x 2 z 2 (2.60) Z těchto vzorců je zřejmé, uvážíme-i, jakých hodnot nabývají t, r a θ, že souřadnice t a x probíhají interva (, ), kdeždo souřadnice z (0, ). Dosazením diferenciáů (2.54) (2.56) se ze snadno přesvědčit, že metrický tenzor (2.6) přejde na g AdS = 2 z 2 ( d t 2 + d z 2 + d x 2 ) (2.61) Nacházíme též nové Kiingovy vektory a, generující izometrie anti-de Siterrova prostoročasu. Jak uvidíme ve třetí kapitoe, oba tyto vektory jsou ineární t x kombinací vektorů báze v Lieově agebře. Pochy konstantního t, z a x jsou vyneseny na obrázcích 2.1, 2.2 a 2.3. Z rovnice (2.61) je patrné, že metrika bez konformního faktoru odpovídá poovině trojdimenzionáního Minkowského prostoročasu. To je v souadu s obrázkem 3.1, kdy pochy konstantního t pro hodnoty t ± získávají charakter budoucího, resp. minuého světeného nekonečna. 2.2 Symetrie 1+1-dimenzionáního AdS prostoročasu Jak ze očekávat, symetrie dimenzionáního anti-de Sitterova prostoročasu budou přímočaře odvoditené ze symetrií dimenzionáního případu. Stačí se totiž omezit na rovinu θ = 0, π, přičemž poorovinu θ = π budeme parametrizovat pomocí r ( π, 0). Z cekové množiny šesti ineárně nezávisých Kiingových 2 vektorů trojdimenzionáního anti-de Sitterova prostoročasu,,, t θ T, T P, T R zahrnují tři úhové souřadnice θ, kterou pro sestup do dvojdimenzionáního T P R AdS prostoročasu pokádáme rovnou konstantě. Lze tedy očekávat, že zbývající vektory, tvoří maximání množinu nezávisých generátorů izometrie. t T, T P Přesvědčme se z rovnice (2.6), že je tomu skutečně tak. Poožíme-i dθ = 0, přechází na tvar g AdS = 2 cos 2 r ( d t 2 + d r 2 ), (2.62) odkud je patrné, že vektor skutečně zůstává generátorem izometrie. Čáry konstantního t a r jsou vykreseny na obrázku t

22 Obrázek 2.1: Pocha konstantního t pášt váce odpovídá konformnímu nekonečnu anti-de Sitterova prostoročasu, pocha t = konst. je parametrizována souřadnicí radiáního typu z, které na obrázku odpovídají soustředné uzavřené křivky a souřadnicí úhového typu x, znázorněnou svazkem poopřímek. 18

23 Obrázek 2.2: Pocha konstantního z pášt váce odpovídá konformnímu nekonečnu anti-de Sitterova prostoročasu, pocha z = konst. je parametrizována časovou souřadnicí t, které na obrázku odpovídají neuzavřené křivky probíhající ceý obvod pochy z = konst. a souřadnicí úhového typu x, znázorněnou uzavírajícími se křivkami. 19

24 Obrázek 2.3: Pochy konstantního x pášt váce odpovídá konformnímu nekonečnu anti-de Sitterova prostoročasu, pocha x = konst. je parametrizována časovou souřadnicí t, které na obrázku odpovídají protínající se poopřímky a souřadnicí úhového typu x, znázorněnou vertikáními křivkami, vykreseny jsou dvě pochy x = ±konst. 20

25 Obrázek 2.4: Orbity vektorů kosmoogických souřadnic typu I - první graf zachycuje orbity vektoru t, dané rovnicí r = konst., druhý graf orbity vektoru r, dané rovnicí t = konst., třetí oboje orbity zárověň, souřadnicové osy znázorňují hodnoty obou souřadnic v rozsahu t ( π, π), r ( π 2, π 2 ) 21

26 Dosazení θ = 0 do vztahů mezi statickými souřadnicemi typu I a ve trojdimenzionáním AdS prostoročase (2.14) (2.16) redukuje tyto rovnice ve dvou dimenzích na T = 1 2 og sin r + cos t sin r cos t, (2.63) R cos r = sin t, (2.64) přičemž inverzní vztahy k (2.63) (2.64) jsou dány anaogicky dosazením Θ = 0 do (2.17) (2.22): sin t = R 2 R 2 1 cosh 2 T sinh 2 T, (2.65) cos r = R 1 + (1 R2 2 ) sinh 2 T, (2.66) pro R2 2 < 1 a sin t = R cosh 2 T 1 2 sinh 2 T R 2, (2.67) cos r = 1 + ( R2 2 R 1) cosh 2 T, (2.68) pro R2 > 1. Čáry konstantního T 2 a R jsou znázorněny na obrázku 2.5. Metrický tenzor (2.23) přechází na g AdS = 2 R 2 ( ( ) 1 R2 dt R2 2 dr 2 ), (2.69) odkud je opět zřejmé, že vektor T je i v dimenzionáním AdS prostoročase generátorem izometrie. Poněvadž metrika (2.62) je invariantní vůči posunu t t + α, zůstává v patnosti argument o invarianci metriky vůči izomorfismům indukovaným časově posunutému vektoru a tedy i tento vektor T P je Kiingovým vektorem dimenzionáního anti-de Sitterova prostoročasu. Potvrdi se tak intuitivní předpokad z počátku podkapitoy. Úpná množina generátorů izometrie je tak, t T a. T P Pro Poincarého souřadnice impikuje sestup o dimenzi níže dosazením θ = 0 do (2.54) (2.56) vztahy k nímž jsou inverzní sin t t = cos t sin r, (2.70) cos r z = cos t sin r, (2.71) 22

27 Obrázek 2.5: Orbity vektorů kosmoogických souřadnic typu - první graf zachycuje orbity vektoru T, dané rovnicí R = konst., druhý graf orbity vektoru R, dané rovnicí T = konst., třetí oboje orbity zárověň, souřadnicové osy odpovídají kosmoogickým souřadnicím typu I 23

28 Obrázek 2.6: Orbity vektorů Poincarého souřadnic t první graf zachycuje orbity vektoru t dané rovnicí z = konst., druhý graf orbity vektoru z danými rovnicí t = konst., třetí oboje orbity zárověň, souřadnicové osy odpovídají kosmoogickým souřadnicím typu I Orbity vektorů t a z tan t = 2 t 2 t 2 + z 2, (2.72) tan 2 r = (2 + t 2 z 2 ) z 2. (2.73) jsou vyneseny na obrázku

29 3. Struktura Lieovy agebry Kiingových vektorů AdS Cíem této kapitoy je odvodit strukturní konstanty Lieovy ageber Kiingových vektorů naezených v předešé kapitoe a prozkoumat souvisosti binární operace skádání v Lieově grupě a Lieovy závorky v Lieově agebře. Strukturní konstanty Lieovy agebry v sobě nesou strukturu symetrií daného prostoročasu. Jsou dány vztahem definitoricky vztahem [ξ a, ξ b ] = c c abξ c, (3.1) kde indexy a, b, c čísují bázi Kiingových vektorů v Lieově agebře a zároveň používáme reáné konvence, převádající v matematických textech (ze se setkat i s definicí (3.1) s imaginární jednotkou na pravé straně). Hranaté závorky na evé straně rovnice (3.1) označují Lieovu závorku vektorových poí ξ a a ξ b.tato operace je biineární, antisymetrická a vyhovuje Jacobiho identitě, spňuje tedy všechny požavky kadené na agebraickou Lieovu závorku: na množině Kiingových vektorů tak generuje strukturu Lieovy agebry. Pro Lieovu závorku patí vztah [X, fy ] = f[x, Y ] + X[f]Y, (3.2) který spou s faktem, že Lieovy závorky souřadnicových poí jsou nuové, dává dostatečný aparát pro výpočty v daší části této kapitoy. Na veičiny cab c na pravé straně (3.1) ze nahížet jako na sožky tenzoru třetí řadu nad Lieovou agebrou. Ukazuje se ovšem, že z nich ze sestorojit i jednodušší objekty. Nejvýznamějším příkadem takového objektu je tzv. Kiingova forma K ab = 1 2 c n am c m bn, (3.3) která je symetrická (patrné z definice) a biineární (pyne z inearity cab c ). Její význam tkví v tom, že na ni ze nahížet jako na metrický tenzor v Lieově agebře. Jak se ukáže, tyto metrické tenzory v případě, že budeme uvažovat Kiingovy vektory AdS prostoročasu, budou mít zajímavé signatury, což bude mít netriviání důsedky pro geometrickou interpretaci skádání izometrií dimenzionání AdS prostoročas Postupujme anaogicky jako v předešé kapitoe, tedy spočtěme nejprve obecnější dimenzionání případ a poté ověřme, že takto získané výsedky se přenášejí i do dvojdimenzionání verze. Pán výpočtu je takový, že nejprve všechny Kiingovy vektory vyjádříme v jedné sadě souřadnic, k čemuž užijeme vzorce x i = j y j x i y, (3.4) j pak pomocí vzorce (3.2) spočteme koeficienty c c ab a z nich odvodíme pode (3.3) K ab. 25

30 V případě 2+1-dimenzionáního AdS máme šest nezávisých generátorů izometrie:,, t θ T,,,.Voíme jako zákadní souřadnice typu I t, r, θ. T P T R T P R První a druhý vektor v nich mají triviání vyjádření t = t, (3.5) θ = θ. (3.6) Vektor T vyjádříme spočtením parciáních derivací pode vzorce (2.5) ze vztahů (2.17) (2.22) a jejich převedením do souřadnic t, r, θ pomocí vztahů (2.14) (2.16). Přísušné vyjádření má tvar = 1 ( sin t sin r cos θ T t + cos t cos r cos θ r cos t sin θ sin r Podobně sožky vektoru (R P )2 T P ). (3.7) θ spočteme parciáním derivováním vztahů (2.30) (R P )2 (2.35) (obě obasti < 1 i > 1 jsou v tomto ohedu ekvivaentní) 2 2 a jejich převedením do kosmoogických souřadnic typu I pomocí (2.27) (2.29). Vektor tak nabývá tvar T P = 1 ( cos t sin r cos θ t + sin t cos r cos θ r sin t sin θ sin r Pně anaogicky užitím vzorců (2.36) (2.44) pro získáváme jejich vyjádření T R T P R = 1 = 1 T R ). (3.8) θ a (2.45) (2.53) pro ( sin t sin r sin θ t + cos t cos r sin θ r + cos t cos θ sin r ( cos t sin r sin θ t + sin t cos r sin θ r + sin t cos θ sin r T P R ), (3.9) θ ). (3.10) θ Bázi v Lieově agebře sožíme z bezrozměrných vektorů, vektory a t θ tedy pomecháme beze změny a vektory přenásobíme. Z T, T P, T R, T P R vyjádření (3.5) (3.10) získáváme pomocí vzorce (3.2) pro Lieovy závorky, zahrnující vektory a a přímým výpočtem pro ostatní Lieovy závorky komutační reace, t θ uvedené v Tabuce 1, kde vektor v prvním soupci odpovídá prvnímu argumentu Lieovy závorky a vektor v prvním řádku odpovídá argumentu druhému. t θ T 0 0 t T P T T P R T P 0 0 θ T R T 0 T P T R t T P T T P R T R T P R T P R T R T P T R T P R T P R T R T P T 0 θ 0 0 t θ T 0 0 θ t 0 0 θ t 26

31 Tabuka 1: Komutační reace Kiingových vektorů 2+1-dimenzionáního AdS, vektor v prvním soupci odpovídá prvnímu argumentu Lieovy závorky, vektor v prvním řádku odpovídá druhému argumentu Lieovy závorky Zavedeme-i značení ξ t 1, ξ θ 2, T ξ 3, T P jediné nenuové strukturní konstanty jsou ξ 4, T R ξ 5, T P R ξ 6, c 4 13 = 1, c 3 14 = 1, c 6 15 = 1, c 5 16 = 1, (3.11) c 5 23 = 1, c 6 24 = 1, c 3 25 = 1, c 4 26 = 1, (3.12) c 1 34 = 1, c 2 35 = 1, (3.13) c 2 46 = 1 (3.14) a konstanty k nim antisymetrické. Jim odpovídající nenuové sožky Kiingovy formy K jsou de (3.3) K 11 = K 22 = 1, (3.15) K 33 = K 44 = K 55 = K 66 = 1. (3.16) Vidíme, že metrika má ortogonání tvar a má signaturu (,, +, +, +, +). Spočtěme nyní souřadnice generátorů Poincarého izometrií v bázi vektorů kosmoogických souřadnic typu I. Ze vztahů (2.54) (2.60) postupem anaogickým případům (3.7) (3.10) nacházíme t = 1 ( (1 cos t sin r cos θ ) t sin t cos r cos θ r + sin t sin θ ), (3.17) sin r θ x = 1 ( sin t sin r sin θ t + cos t cos r sin θ r ( 1 cos t cos θ ) ). sin r θ (3.18) Z vyjádření (3.17) a (3.18) ze nehédnout, že tyto vektory nejsou ineárně,, pro koeficienty rozvoje do ní nezávisé na bázi, t T P porovnáním s (3.5) (3.11) zjišt ujeme θ, T,, T R t = 1 t x = 1 θ + T P R T P T R, (3.19). (3.20) Tyto vektory mají vůči metrice (3.15) (3.16) nuovou normu. Vidíme, že důvod, proč preferovat bázi obsahující vektory,, T P T R T P R oproti bázi obsahující poincaréovské vektory, je důvodem preferování ortogonání báze vůči neortogonání vzhedem ke Kiingově metrice. Obě sady vektorů jsou maximání ineárně nezávisé množiny generátorů a jejich ineární obaem je prostor všech generátorů izometrie. Pro výpočty a z praktického hediska je po všech stránkách výhodnější užívat bázi ortogonání. Tabuka 1 v sobě nese ještě jeden 27

32 důežitý poznatek: vzájemné komutování vektorů a ospravedňuje konstrukci vektoru, v případě, že by tyto dva vektory spou nekomutovai, t θ vektor T P R T P R by neby dobře definovaný. Jak vektory,,, tak vektory, vznikají působením izometrií T P T R T P R t x jednoho vektoru báze na druhý. V případě časově posunutých a zrotovaných vektorů,, je to působení izometrií, odpovídajících, na vektor T P T R T P R t θ T, případě, působí imitně izometrie odpovídající vektoru typu statických t x souřadnic typu na vektor. To vede přirozeně k otázce, co se při tom děje t v agebře Kiingových vektorů a jaká je souvisost se strukturními koeficienty z Tabuky 1. Dosadíme-i obecný posun t do vyjádření vektoru T (3.7) T = 1 ( sin( t + t) sin r cos θ t + cos( t + t) cos r cos θ r ), cos( t + t) sin θ sin r θ (3.21) ineární kom- zjistíme, že díky součtovým vzorcům goniometrických funkcí je binací vektorů báze: T = cos t sin t T T P T. (3.22) Vidíme tedy, že akci izometrie indukované vektorem na vektor t rotace v Lieově agebře s Kiingovou metrikou v rovině dané vektory T odpovídá. T a T P Odpovídajícím [ strukturním ] koeficientem v Tabuce 1 je c34 1 = 1, přísušející k Lieově závorce =. t T, T P Anaogicky působením izometrie indukované vektorem T na souřadnicový vektor pro obecný posun T t zjišt ujeme, že hyperboickým koeficientům a součtovým vzorcům pro hyperboický sinus a kosinus je výsedek dán ineární kombinací = cosh T t t + sinh T T P. (3.23) Akcí izometrie indukované vektorem T na souřadnicový vektor je tedy orentzovská transformace v rovině dané vektory a. Tomu odpovídající Lieova t t T [ ] P závorka je, = t T P T. Tyto výsedky nám dovoují vyvodit závěry ohedně geometrické interpretace strukturních koeficientů (3.11) (3.14). Akcí vektoru, odpovídající kontravariantnímu indexu strukturního koeficientu na vektor odpovídající kovariantnímu indexu je rotace, nebo Lorentzova transformace v rovině určené oběma vektory odpovídajcím kovariantním indexům v závisosti na tom, má-i tento vektor zápornou, nebo kadnou normu v metrice (3.15) (3.16). Tato varianta se reaizuje právě tehdy, je-i právě jeden z trojice indexů v strukturním koeficientu přísušný vektoru se zápornou normou. Je-i závorka mezi dvěma vektory nuová, 28

33 je přísušný koeficient rovněž roven nue a obě vektorová poe spou komutují a jsou tedy invariantní vůči akci jednoho z nich na druhé. Tento případ nastává, mají-i dva vektory ve strukturním koeficientu v Kiingově metrice zápornou normu, nebo mezi vektory T a a a. Nuovost posedně zmíněných T P R T P T R závorek má důežité důsedky pro konstrukci BTZ černých děr, pro podrobný rozbor viz [11] dimenzionání AdS prostoročas dimenzionání anti-de Sitterův prostoročas se na dimenzionání AdS prostoročas redukuje na každé poše θ = konst. Jeikož tato pocha je pocha symetrie, ze očekávat, že takový sestup o dimenzi níže bude mít v Lieově agebře Kiingových vektorů podobu omezení se na podprostor vymezený vektory, nezahrnující vektory odpovídající úhovým izometriím a zrotovaným souřadnicím, při zachování komutačních reací. Ukažme, že je tomu opravdu tak. Vzorec (3.4) apikovaného na transformační vztahy (2.65) a (2.66), resp. (2.24) (2.26), spou s vyjádřením přísušných koeficientů ve statických souřadnicích typu I pomocí vzorců (2.65) a (2.64) dává sožky Kiingových vektorů t = t, (3.24) = 1 T ( sin t sin χ t + cos t cos χ ), χ (3.25) = 1 (cos t sin χ t + sin t cos χ ). χ (3.26) T P Tyto sožky se shodují s těmi získanými poožením θ = 0, π ve vztazích (3.7) (3.10). Anaogickým výpočtem, jako v předešém případě získáváme Tabuku 2 strukturních konstant dimenzionáního prostoročasu. t T 0 t T T P T P T P T T P 0 t T t 0 Tabuka 2: Komutační reace Kiingových vektorů dimenzionáního AdS, vektor v prvním soupci odpovídá prvnímu argumentu Lieovy závorky, vektor v prvním řádku odpovídá druhému argumentu Lieovy závorky Z tabuky 2 je patrné, že struktura komutačních reací Kiingových vektorů 1+1- dimenzionáního AdS prostoročasu je vskutku shodná se strukturou komutačních reací týchž Kiingových vektorů v dimenzionáním prostoročasu. Také koeficienty Kiingovy metriky nabývají ve značení užitém v (3.15) (3.16) téhož tvaru K 11 = 1, (3.27) K 33 = K 44 = 1. (3.28) 29

34 4. Řešení získaná identifikací podé symetrií AdS prostoročasu V této kapitoe prozkoumáme řešení Einsteinových rovnic, která ze získat identifikací bodů v anti-de Sitterově prostoročasu podé symetrií, které byy vyoženy v druhé kapitoe. Skutečností, kterou tato konstrukce dává vypout na povrch je rozišení mezi okáními a gobáními vastnostmi prostoročasu. Je intuitivně zřejmé, že okání vastnosti zůstanou nezměneny, na rozdí od vastností, které zachycují vastnosti prostoročasu, jako ceku. Vhodným nástrojem pro popis druhého typu vastností je obecná a agebraická topoogie. My zde ovšem od této probematiky odhédneme a omezíme na popis geometrických vastností takto získaných řešení. Držíme se přitom konvence druhé kapitoy. Oproti druhé a třetí kapitoe budeme provádět identifikace pouze v dimenzionáním AdS prostoročasu. Muvíme-i o identifikaci v prostoročasu, máme na mysi ztotožňování bodů na pochách, které se v tomto prostoročasu nacházejí. V souadu s terminoogickou konvencí pak říkáme, že identifikaci provádíme podé těchto poch. Při vhodně zavedených souřadnicích x µ mohou být tyto pochy dány např. dvěma hodnotami souřadnice x 1. Aternativně říkáme, že ztotožňujeme podé souřadnicových čar x µ, spojují-i tyto souřadnicové čáry navzájem identifikované body na přísušných pochách. V obecném případě budou při identifikování existovat dvě možnosti: ponechat v jistém smysu vnitřek, anebo jeho kompement. Podmínkou toho, aby podé souřadnicových čar x µ ša provést okání geometrickou strukturu zachovávající identifikace je, že se geometrie podvariety x 1 = konst. a její vnoření do prostoročasu nesmí změnit při změně hodnoty souřadnice x 1. To ze zajistit požadavkem, aby vektor by generátor izometrie. Všechny typy izometrií jsme naši v kapitoe 3. Navíc, v případě trojdimen- x 1 zionáního anti-de Sitterova prostoročasu, jako variety s orentzovskou signaturou, máme možnost množinu všech možných takových identifikací rozděit na ty, které jsou prováděny skrze časupodobné pochy a ty, které jsou využívají prostorupodobné pochy. Našim cíem je prozkoumat identifikace, které v prostoru způsobí existenci neprodoužitených geodetik, tedy v souadu s definicí z první kapitoy ekvivaentní vyprodukování singuarity. Zamyseme se nad tím, jaká omezení takový požadavek dává na vastnosti poch, podé níž provádíme identifikaci. Spoečnou vastností všech souřadných systémů, které jsme v druhé kapitoe zavedi je to, že anti-de Sitterův prostoročas pokrývají pomocí trojice souřadnic, z nichž jedna ze vždy interpretovat jako časová souřadnice, jedna ze interpretovat jako radiání souřadnice (jejími souřadnicovými čarami jsou svazky geodetik) a jedna má intuitivní význam úhové souřadnice (intuitivní proto, že přirozené kritérium uzavřenosti souřadnicových čar Poincarého souřadnice x nespňuje, ae přesto má smys tvrdit, že má v jistém smysu úhový charakter, viz [12]). Generátory izometrie jsou pouze souřadnice časové a úhové, konkrétně v případě statických souřadnic typu I,, v případě statických souřadnic typu t θ T a v případě Poincarého souřadnic a. Ekvivaentní formuací požadavku na existenci t x neprodoužitené geodetiky je, že souřadnicové pochy, podé nichž je prováděna 30

35 identifikace musí v jistých bodech protínat. To spňují úhové souřadnice, v bodech s radiání souřadnicí rovnou nue, nebo časová bifurkující souřadnice v obasti, kde jsou její souřadnicové čáry prostorupodobné. V obou případech mají pochy, podé nichž nové řešení okáně izometrické AdS prostoročasu sepíme, časupodobný charakter. Identifikací AdS prostoročasu podé prostorupodobných poch o konstantní časové souřadnici a ponechání obasti mezi oběma pochami bychom dostai prostoročas obsahující uzavřené časupodobné křivky. Vzhedem k nefyzikánosti takového prostoročasu se touto variantou nebudeme zabývat. Prozkoumejme tedy po řadě tři možnosti ztotožnění, v Poincarého souřadnicích, v statických souřadnicích typu I a v statických souřadnicích typu. Samotná identifikace se ve všech případech redukuje na omezení rozsahu jedné ze souřadnic. 4.1 Identifikace v Poincarého souřadnicích Metrika AdS prostoročasu v Poincarého souřadnicích má tvar g AdS = 2 z 2 ( d t 2 + d z 2 + d x 2 ), (4.1) kde všechny souřadnice mají rozměr [], t i x nabývají hodnot v (, ) a z v (0, ). Proved me substituci k souřadnicím T, R, Φ T = t, (4.2) R = 2 z, (4.3) Φ = x, (4.4) kde Φ je bezrozměrné a nabývá hodnot v intervau ( φ 0, φ 0 ). Body s hodnotou souřadnice Φ = φ 0 a Φ = φ 0 a shodnými souřadnicemi T a R považujeme za shodné díky provedenému ztotožnění. Metrika (4.1) v těchto souřadnicích přechází na tvar g AdS = R2 2 dt R 2 dr2 + R 2 dφ 2. (4.5) 4.2 Identifikace v statických souřadnicích typu I V souřadnicích t, r a θ má metrický tenzor AdS prostoročasu tvar g AdS = 2 cos 2 r ( d t 2 + d r 2 + sin 2 rdθ 2 ), (4.6) kde všechny souřadnice jsou bezrozměrné a nabývají hodnot t (, ), r ( 0, π 2 ), θ ( π, π). Substitucí T I = t, (4.7) R I = tan r, (4.8) 31

36 Θ I = θ, (4.9) kde Θ I ( Θ 0, Θ 0 ), nabývá metrický tenzor (4.6) tvaru ( ) g AdS = 1 + R2 I dt 2 2 I + 1 dr 1 + R2 I 2 + RIdΘ 2 2 I. (4.10) I 2 Ztotožnění byo provedeno na pochách Θ I = ±Θ 0, body se souřadnicí {T, R, Θ 0 } a {T, R, Θ 0 } jsou totožné. Nepřirozený interva úhové souřadnice ( Θ 0, Θ 0 ) ze napravit napříkad ineární přeškáováním T = αt I, (4.11) R = R I α, (4.12) Φ = αθ I, (4.13) kde α = π Θ 0. Metrika (4.10) tak získává tvar ( ) 1 g AdS = α + R2 dt dr 2 + R 2 dφ 2 (4.14) R2 α 2 2 a souřadnice probíhají hodnoty T (, ), R (0, ), Φ ( π, π). 4.3 Identifikace v statických souřadnicích typu Ztotožněním podé souřadnicového vektoru typu úpravami ze získat metriku ve tvaru (viz [14]) ) g AdS = (1 µ + R2 dt 2 + T a netriviáními agebraickými dr 2 + R 2 dθ 2. (4.15) 2 1 µ + R2 2 Podrobná diskuze konstrukce souřadnic T, R, θ není předmětem této práce a ze ji naézt v [11]. 32

37 5. Sféricky symetrická řešení v 2+1 dimenzích V této kapitoe budeme zkoumat charakter sféricky symetrických řešení obecné reativity ve 2+1 dimenzích. Ukáže se, že tato řešení budou v přirozené korespondenci s třídami identifikací, naezených ve čtvrté kapitoe. Konkrétně tak známý charakter sféricky symetrických řešení umožní fyzikání interpretaci ztotožnění podé statických souřadnic typu I a a podé Poincarého souřadnic. 5.1 Obecný tvar sféricky symetrických řešení Einsteinových rovnic ve 2+1 dimenzích Jak je uvedeno v [4], obecný tvar stacionárního, rotačně symetrického řešení Einsteinových rovnic ve dimenzích se zápornou kosmoogickou konstantou je g = ( M + r2 + J ) 2 dt r 2 1 dr 2 + r 2 M + r2 + J 2 2 4r 2 ( dφ J ) 2 2r dt. (5.1) 2 Konstanty M a J mají význam generátorů asymptotické invariance vůči rotacím a časovým posunutím a fyzikáně se dají interpretovat jako hmotnost a moment hybnosti. Přesnější diskuze k této intepretaci je uvedena odstavci 5.2. Poožíme-i nyní moment hybnosti J = 0, metrika (5.1) přechází na tvar g = ( M + r2 Zavedeme navíc konstantu µ vztahem 2 ) dt 2 + Získáváme tak metriku, která má tvar g = (1 µ + R2 2 1 dr 2 + r 2 dφ 2. (5.2) M + r2 2 µ = M + 1. (5.3) ) dt dr 2 + R 2 φ 2 (5.4) 1 µ + R2 2 a která pro různé hodnoty parametru µ pokrývá všechny metriky čtvrté kapitoy. Jedná se tak v podstatě o fázový přechod mezi různými typy sféricky symetrických řešení. Věnujme však nejprve určité místo diskuzi okání energie a hmotnosti v obecné teorii reativity. 5.2 Lokání energie a hmotnost v OTR Probémem energie a hmotnosti gravitačního poe v obecné reativitě je, že tyto pojmy neze definovat kovariantně. Tenzor energie a hybnosti neobsahuje žádnou část, která by odpovídaa hustotě gravitační energie. To odpovídá faktu, že ze díky obecné kovarianci vždy přejít do okání inerciání soustavy, kde patí okáně 33

38 speciání teorie reativity a mnohé efekty gravitačního působení tak ze v okoí daného bodu odtransformovat (nicméně neze odtranformovat např. křivost a s tím související sapové jevy). Ukazuje se (viz podrobně např. [9]), že způsoby, jak zavést veičinu, kterou bychom chtěi interpretovat jako hmotnost, závisí na konkrétních vastnostech prostoročasů, které uvažujeme. Napříkad, pro N = 4, pokud má prostoročas časupodobný Kiingův vektor k µ, ze definovat tzv. Komarovu hmotnost M K = 1 µ k ν ds µν, (5.5) 8π S kde S je prostorupodobná uzavřená pocha. Navíc, pokud je prostoročas axisymetrický, tedy disponuje prostorupodobným Kiingovým vektorem s uzavřenými orbitami φ µ, ze definovat i tzv. Komarův moment hybnosti J K = 1 16π S µ φ ν ds µν. (5.6) Pro asymptoticky poché prostoročasy ze definovat tzv. Arnowittovy-Deserovy- Misnerovy veičiny (dáe ADM veičiny). Zákadní myšenkou zde je, že veičiny, charakterizující dané řešení se na jisté uzavřené prostorupodobné poše v nekonečnu bíží k hodnotám veičin, charakerizující pochý prostoročas v pozadí. Rychost této konvergence je dána jistými rovnicemi typu im (V prostoročas(r) V pozadí (r)) f(r) = 0, (5.7) r + kde V je veičina charakerizující prostoročas, r je radiání souřadnice a f(r) je radiáně symetrická funkce. Generátory izomorfizmů, vůči nimž jsou tyto rovnice invariantní odpovídají na zákadě teorému Noetherové zachovávajícím se veičinám. Těmi jsou pro časové transace ADM energie E ADM, pro prostorové transace ADM hybost P ADM a pro prostorové rotace ADM moment hybnosti J ADM. Všechny tyto veičiny ze vyčísit pomocí pošného intergráu přes okraj prostoročasu v časupodobném nekonečnu. Podobné konstrukce ze využít i pokud je prostoročas asymptoticky AdS. Na rozdí od asymptoticky pochých prostoročasů ve čtyřech dimenzích je však v 2+1 dimenzích pro asymptoticky AdS prostoročasy asymptotických symetrií méně pouze časový posun a rotace. Odpovídající generátory jsou hmotnost a moment hybnosti. Hodnoty těchto veičin ze spočíst pomocí asymptotických integráů. V případě hmotnosti je však nutno čeit skutečnosti, že naivně definovaný integrá obecně diverguje. Energie je definovaná až na konstantu a je potřeba zvoit vhodná nuová hadina - renormaizovat integrá odečtením hodnoty pro vhodně zvoené triviání řešení. Lze ukázat, že pro obecně sféricky symetrická řešení (5.1) se hodnoty generátorů energie a momentu hybnosti shodují přímo s parametry M a J. 5.3 Anti-de Sitterův prostoročas Díky ineární závisosti (5.3) mohou oba parametry M i µ v (5.2) či (5.4) hrát roi asymptotického generátoru izometrie. Při výběru správné zobecněné ADM hmotnosti je potřeba identifikovat nuovou hadinu, tj. vybrat řešení odpovídající 34

39 nuové gravitační energii. Přirozeným kandidátem je prázdný AdS prostoročas. Ten získáme, poožíme-i v rovnici (5.4) µ = 0: ) g = (1 + R2 dt dr 2 + R 2 φ 2. (5.8) R2 2 Obdržíme stejný tvar metriky, jako poožíme-i v rovnici (4.14) parametr α roven jedné. Toto řešení popisuje AdS prostoročas, s nuovým vyjmutým úhem φ, neboi gobání prázdný AdS vesmír. Proto za zobecněnou ADM hmotnost pro sféricky symetrické řešení budeme považovat parametr µ v metrice (5.4). 5.4 Bodová částice v AdS prostoročasu Uvažujme nyní µ (0, 1). Výraz 1 µ v metrice (5.4) je kadný, ze tedy poožit 1 µ = 1 α 2. Metrika tak ze vyjádřit ve dvou ekvivaentních tvarech (5.4) a (4.14). Na zákadě diskuze z předchozí kapitoy víme, že se jedná o AdS prostoročas identifikovaný podé úhové symetrie prostoročas obsahující tzv. kónickou singuaritu. Vskutku, geometrie v jednom čase T = konst. má charakter Lobačevské roviny s vyjmutým poárním úhem, tj. Lobačevského anaogii kužeu. Ukazuje se, že toto řešení ze interpretovat jako bodovou částici v anti-de Sitterově prostoročasu. Prozkoumejme prostorovou geometrii této metriky podrobněji. Protože prostorový řez je dvojdimenzionání a naše řešení je sféricky symetrické, můžeme k tomuto účeu použít tzv. vnořovacího diagramu, ve kterém sestrojíme pochu vnořenou do třídimenzionáního eukidovského prostoru E 3, jejíž indukovaná geometrie je shodná s geometrií zkoumaného prostorového řezu. Konstrukce vnořovacího diagramu k sféricky symetrické metrice se zakádá na těchto krocích: Znaost indukované metriky rotačně symetrické pochy v E 3 : označíme-i R radiání souřadnici, φ úhovou souřadnici, která je normována na rozsah ( π, π) a z souřadnici, koem jejíž osy uvažujeme rotaci, je metrický tenzor pochy, vzniké rotací křivky z = z(r) g = ( 1 + ( ) ) 2 dz dr 2 + R 2 dφ 2 (5.9) dr Porovnání koeficientů prostorové části zkoumané metriky (5.8) s metrikou (5.9) Řešení přísušné obyčejné diferenciání rovnice udávající závisost z na R. V konkrétním případě metriky (5.4) má obyčejná diferenciání rovnice, udávající závisost z na R tvar dz dr = 1 1, (5.10) 1 µ + R2 jejímž řešením je funkce [15] 35

40 Obrázek 5.1: Prostorová geometrie metriky popisující bodovou částici o hmotnosti µ = 0, 999 z(r) = i R µe(arcsin i ; µ 1 ), (5.11) 1 µ µ kde E( ; ) je úpný eiptický integrá druhého druhu s přísušnými parametry. Porovnání metrik (5.4) a (4.14) nám umožňuje odvodit vztah mezi hmotností částice µ a parametrem α udávajícím deficit úhu φ. Tento vztah má podobu 1 µ = 1 α 2. (5.12) Prostorová geometrie pochy odpovídající µ = 0, 999, α = 1000 je znázorněna na obrázku Extrémní černá díra Z tvaru funkce (5.11) a podmínky (5.12) je patrné, že s rostoucí hmotností bodové částice se kónická singuarita pro pozorovatee, sedícího na ekvidistantě o kon- 36

41 stantním pooměru vzdauje stáe do větší vzdáenosti. V imitním případě, kdy µ = 1 je singuarita nekonečně daeko a metrika (5.4) nabývá tvar g = R2 dt R 2 dr2 + R 2 φ 2, (5.13) Ten je shodný s rovnicí (4.5) a fyzikáně toto řešení odpovídá tzv. extrémní černé díře. Extrémnost v tomto kontextu znamená, že černá díra má za daných podmínek nejmenší možnou hmotnost. Kauzání struktura tohoto řešení též neodpovídá běžné černé díře. Singuarita vzniká protnutím identifikovaných poch má nuových charakter v intuitivním smysu ze říci, že eží přímo na horizontu extrémní černé díry. Všimněme si, že de vzorce (5.12) odpovídá imitě µ 1 tj. α. Extrémní černá díra je tedy dána identifikací podé úhu nekonečně menšího, než π. Nedegenerovanost takto vznikého objektu je důsedkem toho, že pro µ 1 diverguje z(0) do záporného nekonečna a již zmíněné podmínky (5.12), svazující deficit úhu a hmotnost µ. Limitní přechod od kónické singuarity k extrémní černé díře je popsán v násedující kapitoe. 5.6 BTZ černá díra Pro hmotnost µ > 1 ze metriku (5.4) přepsat ve tvaru ) g = ( M + R2 dt dr 2 + R 2 φ 2, (5.14) 2 M + R2 2 kde M = µ 1, která popisuje BTZ černou díru [2] a vzhedem ke shodě s rovnicí (4.15) ji ze získat identifikací AdS prostoročasu podé souřadnicových čar statických souřadnic typu. Vnořovací diagram se v tomto případě se vzrůstajícím µ začíná otevírat do druhé asymptotické obasti, prostorová geometrie metriky (5.14) tak znázorňuje červí díru. Narozdí od extrémní černé díry je singuarita skryta pod horizontem udáostí. Pro podrobnější výkad viz [11]. 37

42 6. Limita kónické singuarity k extrémní černé díře Cíem této kapitoy je prozkoumat geometrické aspekty imitního přechodu od kónické singuarity k extrémní černé díře. Jak byo řečeno v předchozí kapitoe, oba případy jsou pokryty metrikou (5.4), kónická singuarita odpovídá hodnotám parametru µ (0, 1), zatímco extrémní černá díra odpovídá rovnosti µ = 1, kdy metrika přechází na zjednodušený tvar (5.13). Ze vzájemné korespondence sféricky symetrických řešení v 2+1 dimenzích a identifikací v statických souřadnicích typu I, statických souřadnicích typu a Poincarého souřadnicích víme, že kónická singuarita odpovídá identifikaci ve statických souřadnicích typu I (vzorec (4.14)), kdežto extrémní černá díra identifikaci v Poincarého souřadnicích (vzorec (4.5)). Prozkoumejme, jaké důsedky má vztah (5.12) na geometrický tvar poch, podé nichž se provádí identifikace. Předně je zřejmé, že spojité množství hodnot parametru µ v intervau (0, 1) není pokryto jedním souřadným systémem statických souřadnic typu I, jejichž souřadnicové čáry jsou pro dimenzionání případ zachyceny na obrázku 2.4. Z toho, že pro µ 1 se parametr α zvětšuje jako α = 1 1 µ (6.1) a díky tvaru funkce (5.11) prostorová geometrie kónické singuarity nikde nedegeneruje, vypývá, že identifikace je prováděna podé souřadnic přizpůsobeným k jednoparametrické grupě izometrií, která se pro µ 1 bíží k Poincarého izometriím. Takovou jednoparametrickou grupu izometrií jsme ovšem naezi ve 3. kapitoe. Je jí působení časového vektoru statických souřadnic typu T na vektor statických souřadnic typu I, dané vzorcem (3.23), které odpovídá orentzovské transformaci v Lieově agebře Kiingových vektorů. Z kapitoy 2 víme, t že s vhodným přenormováním jsou imitou této procedury vektory Poincarého souřadnic,,. t x z Jaká je fyzikání interpretace tohoto faktu? Pozorovate sedící na ekvidistantě o konstantním pooměru s narůstající hmotností kónické singuarity µ pozoruje její postupné vzdaování do prostorového nekonečna a zvětšování ořezávacího parametru α. Monotónně s α roste i časový posun T (viz obrázek 6.2), přičemž hodnotě T = 0 (souřadnice na obrázku 2.4) odpovídá α = 1, tedy nuový vyjmutý úhe θ a hodnotě T = (Poincarého souřadnice, obrázky 2.1, 2.2, 2.3, 2.6) odpovídá α =, tedy identifikace podé nuového úhu θ. Vnořovací diagram kónické singuarity o hmotnosti µ = 0.5 a kónické singuarity bízké extrémní černé díře je na obrázku 6.1. Prostoročasový diagram kónické singuarity a extrémní černé díry je na obrázku 6.2. Bižší srovnání poch θ T = konst. a x = konst., podé nichž je provedena identifikace je na obrázku

43 Obrázek 6.1: Srovnání vnořovacích diagramů kónické singuarity pro µ = 0.5 a µ = s patrnou ekvidistantou o konstantním pooměru 39

44 Obrázek 6.2: Prostoročasový diagram kónické singuarity a extrémní černé díry, podé vyobrazených poch je provedena identifikace. Ze srovnání obou grafů je patrné, že kónická singuarita naevo odpovídající nižšímu µ < 1 odpovídá nižší hodnotě T, pro extrémní černou díru µ < 1 na grafu napravo patí T =. 40

45 Obrázek 6.3: Srovnání poch θ T = konst. a x = konst. 41