PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Transkript

1 SP esty dobré shody PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Lbor Žá

2 SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Chí-vadrát testem terý e založe a tříděém statstcém souboru.

3 SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Nechť že e áhodá proměá terá má dstrbučí fuc F(x ϑ). Provedeme pousů ( měřeí). Výsledy těchto pousů sou popsáy áhodým výběrem ( ) a eho realzací x ( x x ). Nezámý parametr ϑ zísáme pomocí bodového odhadu. Statstcý soubor převedeme a tříděý statstcý soubor. Předpoládeme že sme dostal m tříd a příslušé četost f. Nechť -tá třída e: estovací rtérum: x ( x x ) x x fˆ pa teoretcá četost se spočítá: ( F( x t m ) F( x doplě rtcého oboru: de e vatl Pearsoova rozděleí s =m - q- stup volost. W ( f 0 fˆ fˆ ) ))

4 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody - prcp esty dobré shody vycházeí z porováí teoretcé pravděpodobost a odhaduté pravděpodobost pomocí relatví četostí u áhodé velčy terá může abývat oečého počtu možostí. Vychází se z Multomcého rozděleí teré defue pravděpodobost př výběru (s opaováím) z oečého počtu možostí.

5 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody - prcp Multomcé rozděleí Mu(p p ) Náhodý vetor ~ Mu( p p ) Nechť x x Pa pravděpodobost ( ) N má multomcé rozděleí p ( p p ) (0) e pevě zvoleá -tce pro terou platí: P x x! p( x) p( x x x x ) p p x! x! x! p x e defovaá tvarem: p x

6 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody - prcp Multomcé rozděleí Mu(p p ) Charatersty: E( ) p D ) p ( p ) ( C( středí hodota: varačí matce: Platí: h var( ) ) p p E ) ( ) E( ) ( p p var( ) dag ( p) pp var( ) dag p p

7 SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí pomů áhodý vetor ( ( ) ) E( ) μ μ var( ) Σ Náhodý výběr: ( ) ( ) ) z E( ) μ Výběrový součet: ( ) ( ) cov( ) var( ) Σ Σ ( 0 ) ( E( ) μ var( ) Σ Nechť sou ezávslé se steým rozděleím. Pa podle as cetrálí lmtí věty platí: ~. NE( ) var( ) Př ozačeí V var() dostáváme: E( ) V E( ) ~ ( h( V ))

8 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody - Multomcé rozděleí Platí: Nechť ( ) ~ Mu( p p ) pa pro áhodý vetor Y platí: Y ~ N ( 0 Q) de Q I u u u Pro áhodou: ( de Y p p Y Y ) Y ~ ( ) p p p p

9 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody př zámých parametrech Předpolady: ( ) áhodá proměá e popsáa pomocí pravděpodobost p p p p sou přede zvoleá čísla pro teré platí: Nechť a 0 0 p (0) ( ) eho realzace. x x p 0 0 abývá hodot 0 a p 0 e áhodý výběr ( x) ( x x x ) eho realzace. e výběrový součet a můžeme považovat za aměřeé četost můžeme považovat za aměřeé četost ( ) ( ) ( x x x )

10 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody př zámých parametrech Platí: p p 0 0 as. ~ ( ) Hypotéza: H testovací rtérum : p p0 p p0 vzhledem x p 0 x p 0 p 0 H A : p p 0 doplě rtcého oboru: W 0 ( podmía: p 5 0 ebo (Yaroldovo rterum př 3: p 0 5q tříd s x 5. ) de q e podíl

11 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody př zámých parametrech Přílad: Hod ostou celem ste hodly 38x ostou a čísla až 6 Vám padly s ásleduícím četostm: - 9x - 6x 3-7x 4-7x 5-5x 6-34x Na hladě výzamost 005 otestute hypotézu že osta e deálí. Přílad: Volebí straa YZ s udělal průzum své voltelost. Z 00 dotázaých by daou strau vollo e erozhodutých a zbyte by strau evoll. Na hladě výzamost 00 otestute hypotézu že stau volí 30% erozhodutých e 0% a evolí strau 50%.

12 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody př ezámých parametrech Předpolady: ( ) ~ Mu( p( θ) p ( θ)) ) m m ) θ ( θ θ m ) R edegerovaý uzavřeý omezeý terval 3) p ( θ) p ( ) sou fuce proměé θ a platí: p ( θ) θ 4) c 0; p ( θ) c p (θ) p ( θ) 5) dervace a exstuí a sou spoté l q p p ( θ) 6) matce má hodost m. l l m

13 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody př ezámých parametrech Parametr θ θ dostaeme m rovc : hledáme ao mmum fuce: p p θ θ p ( θ) 0 l m p ( θ) Řešeí θ ~ azýváme odhad metodou modfovaého mma. l Platí: Nechť ) ~ Mu( p ( θ ) p ( )) ( 0 θ0 θ 0 θ ) ( 0 θ m 0 e vtřím bodem. Nechť platí předpolady ) 6). Pa soustava modfovaého mma má právě ede oře θ ~ a teto oře e ozstetí odhad θ 0.a platí: ~ ~ p ( ) as. θ ( θ ) ~ ~ ( m ) p ( θ )

14 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody př ezámých parametrech Hypotéza: H - áhodý výběr - tříděý statstcý soubor : ~ F( x θ) vzhledem - odhad parametrů ~ ) Pa p θ ~ p ( θ ) x p ( θ ~ ) testovací rtérum ~ p ( θ ) doplě rtcého oboru: W : emá F( x θ) podmía: p ( θ ~ ) 5 (Yaroldovo rterum elze použít platí pouze pro zámé parametry) H A ( as. ~ ( x p 0 ( m ) m ) ( θ ~ )

15 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody př ezámých parametrech Pozáma: - ečastě se test používá ao test pro ověřeí typu rozděleí (testy o rozděleí) a ao test ezávslost u otgečích tabulách. esty o rozděleí : - poud se edá o dsrétí rozděleí s oečým záladím souborem volí se třídy ta aby v aždé třídě byla eda hodota ze záladího souboru. Pa hodota pravděpodobostí fuce odpovídá hledaým pravděpodobostem p p popřípadě p ( θ) p ( ) θ - poud se edá o spoté rozděleí volba tříd by měla porývat celou oblast dy e hustota větší ež 0. řídy by měly být taové aby měl zhruba steou 5 teoretcou četost. Pro 80 by počet tříd měl být přblžě 5. 00

16 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody př ezámých parametrech Pozáma: esty o rozděleí : - v případě ezámých parametrů u NP s dstr. fucí F dostáváme: ( f ˆ fˆ ( θ)) f ( θ) ( F( x θ) F( x θ)) t( θ) fˆ ( θ) pa hledáme mmum θ ~ a zšťueme zda ~ t( θ ) W 0 ( m ) ~ Mmum θ ~ a hodota t(θ ) závsí a volbě tříd. teto postup e áročý a výpočet eboť hledáí mma θ ~ e řešeí eleárích rovc - často s využtím umercých (teračích) metod. Často se tedy mmu epočítá a ezámé parametry se odhadou pomocí bodového odhadu. Pa ž postupueme ao testech dobré shody pro zámé ~ parametry. Pa ale platí: t t(θ ) tedy můžeme zamítou platou hypotézu.

17 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody př ezámých parametrech Přílad - est dobré shody z Expoecálího rozděleí. Měme hypotézu: H : Y ~ Exp (0 ) vzhledem : Y emá Exp (0 ). e Hustota: f ( y ) 0 y H A x 0 dstrbučí fuce: a e F( y ) 0 y y 0 a Nechť Y Y Y e áhodý výběr.z Exp( 0 ) e uspořádáme do 3 tříd: Pa p ) p p J J F( ) 0 ( P Y J hh J ( ) 0 h h J F( h) F(( ) ) ( ) P Y h J F(( ) ) ( ) P Y h

18 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody př ezámých parametrech Přílad - est dobré shody z Expoecálího rozděleí. Nechť e počet hodot z áhodého výběru Y Y Y teré padou do - té třídy: J Parametr λ dostaeme řešeím rovce: ~ h Výslede: l h de h. řídy se volí taaby h / a /. Doplě rtcého oboru : W 0 ( ) p ( ) 0 p ( ) ~ Pro velé (v lmtím případě) lze použít: ~ x p ( ) estovaá statsta: ~ de x e realzace. p ( )

19 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody př ezámých parametrech Přílad - est dobré shody z Expoecálího rozděleí. Expoecálí rozděleí popsue čas mez áhodě se vysytuícím událostm. Budeme uvažovat rozděleí ve tvaru: Y ~ Exp (0 ) de f ( y ) F( y ) e 0 y e 0 y x 0 a y 0 a Měme 0aměřeých hodot: Otestuemehypotézu: H : Y ~ Exp (0 ) : Y emá Exp (0 ) H A

20 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody př ezámých parametrech Přílad - est dobré shody z Expoecálího rozděleí. E počet tříd = 9 dela třídy h= 7 Pa dostaeme: třída x- x+ střed třídy četost -x relat. čet. umul. čet počet stupňů volost:7 rtcá hodota pro α=005: vzhledem malému počtu ebudeme brát ohled a podmíu: p 5 0

21 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody př ezámých parametrech Přílad - est dobré shody z Expoecálího rozděleí. Poud za λ použeme odhad: dostaeme λ= χ = a p-hodotu: Poud za λ použeme odhad: dostaeme λ= χ = a p-hodotu: ~ h Poud za λ použeme odhad: l h dostaeme λ= χ = a p-hodotu: Poud za λ použeme odhad: dostaeme x ( ) h λ= χ = a p-hodotu: ~ y

22 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody př ezámých parametrech Přílad: Měme tříděý stat. soubor: třída x- x+ četost Otestute a hladě výzamost 005 že se edá o realzac výběru z ormálího rozděleí.

23 Lbor Žá est Chí-vadrát (Pearsoův test) o rozděleí se používá u otgečích tabule př testech ezávslost. - edá se o sdružeou hypotézu prot alteratví - testovací rtérum: -doplě rtcého oboru: =(r-)(s-) stupě volost - požadave: 0 W p p p H : A p p p H : SP esty dobré shody 5 esty dobré shody Kategorálí aalýza r s r s..

24 SP esty dobré shody Lbor Žá Kategorálí aalýza čtyřpolí tabula Jestlže r= a c= a de o tzv. čtyřpolí tabulu pro alteratví (dchotomcé) statstcé zay a Y (apř. pro odpověd respodetů ao aebo e ) Pa Pearsoův test ezávslost a Y má testovací rtérum: W 0 - doplě rtcého oboru: = stupě volost.

25 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody Kategorálí aalýza Přílad: Měme otgečí tabulu: Otestute a hladě výzamost 005 že hodoceí serálu ezávsí a vzděláí.

26 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody Kategorálí aalýza Přílad: Spočítáme postupě: Vzděláí Ohodoceí serálu výborý velm dobrý dobrý špatý Suma ZŠ SŠ VŠ Suma Dostaeme: Vzděláí Ohodoceí serálu výborý velm dobrý dobrý špatý Suma ZŠ SŠ VŠ Suma

27 SP esty dobré shody Lbor Žá esty dobré shody Kategorálí aalýza Přílad: Dále: Vzděláí Ohodoceí serálu výborý velm dobrý dobrý špatý Suma ZŠ SŠ VŠ Suma E Vzděláí Ohodoceí serálu výborý velm dobrý dobrý špatý Suma ZŠ SŠ VŠ Suma alfa= 005 rterum 6469 H - zamítá t. volost= 6 rt. hod. 596