Skripta do matematiky k maturitě 31 60

Transkript

1 Skripta do matematiky k maturitě 3 60 IgMen igmen.wz.cz 008

2 Obsah 3 Exponenciální funkce, exponencionální rovnice Exponenciální funkce Exponenciální rovnice Logaritmické funkce, logaritmus, vlastnosti Logaritmické funkce Logaritmus Logaritmické rovnice Vektor, operace s vektory Soustava souřadnic, souřadnice bodů Vzdálenost dvou bodů Střed úsečky Vektory Lineární závislost a nezávislost vektorů Úhel dvou vektorů Skalární součin vektorů Vektorový součin dvou vektorů Analytická geometrie přímky v rovině a prostoru V rovině V prostoru Analytická geometrie roviny Analytická geometrie vzájemná poloha přímky a roviny, dvou rovin Vzájemná poloha přímky a roviny Vzájemná poloha dvou rovin Analytická geometrie vzájemná poloha dvou přímek v rovině a prostoru V rovině V prostoru Analytická geometrie metrické úlohy metodou souřadnic Odchylky Vzdálenosti Analytická geometrie kuželoseček kružnice Analytická geometrie kuželoseček elipsa Analytická geometrie kuželoseček hyperbola Analytická geometrie kuželoseček parabola Analytická geometrie vzájemná poloha kuželosečky a přímky Vzájemná poloha kuželosečky a přímky Tečny kuželoseček Limita a spojitost funkce Diferenciální počet okolí bodu Limita funkce Derivace funkce Fyzikální a geometrický význam derivace Geometrický význam derivace Fyzikální význam derivace Vyšetřování průběhu funkce Aplikace extrémů funkcí v úlohách Neurčitý integrál metody integrace Neurčitý integrál primitivní funkce Metody integrace Určitý integrál užití Určitý integrál...70

3 5. Užití určitého integrálu Posloupnost vlastnosti, limita posloupnosti Posloupnosti Limita posloupnosti Aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost Nekonečná geometrická řada Variace, permutace, kombinace Faktoriál čísla Kombinatorika Kombinační číslo vlastnosti, rovnice s kombinačními čísly Kombinační číslo Pascalův trojúhelník Binomická věta Pravděpodobnost Náhodné pokusy Pravděpodobnost náhodného jevu Statistická pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost a pravděpodobnost průniku Pravděpodobnost sjednocení Binomické rozdělení pravděpodobnost (Bernoulliho schéma, nezávislé pokusy) Statistika Grafické znázornění rozdělení četností Charakteristika polohy Charakteristika variability Důkazy v matematice Logická výstavba matematiky Důkazy matematických vět...9

4 3 Exponenciální funkce, exponencionální rovnice 3. Exponenciální funkce Každá funkce na množině R daná výrazem y=a x, kde a je základ mocniny a0, a. Graf funkce...exponenciála Základní grafy: 0a D f =R H f = 0 ; ani sudá, ani lichá klesající prostá omezená zdola ani maximum, ani minimum inverzní k funkci logaritmické a D f =R H f = 0 ; ani sudá, ani lichá rostoucí prostá omezená zdola ani maximum, ani minimum inverzní k funkci logaritmické Přirozená exponenciální funkce: y=e x e...eulerovo číslo e,7 Inverzní funkce...funkce, jejíž graf je ke grafu dané funkce souměrný podle osy. a 3. kvadrantu f : y=axb f : x=ayb y= x b (funkce inverzní) a 4 / 95 IgMen

5 Př.: y =0,3 x y =0,3 x ; x 0 =0 x 0 = ; y 0 = y =3 x 0,5 y =3 x ; x 0 =0 x 0 = ; y 0 = 0,5 3. Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vyskytuje v exponentu. Základní rovnice a f x =a g x, kde levá i pravá strana mají stejný základ mocniny a0,a se řeší porovnáním exponentů. Rovnice typu a f x =b g x, kde levá a pravá strana nemají stejný základ mocniny a0,a,b0,b se řeší pomocí logaritmů f x log a=g x logb. Složitější exponenciální rovnice se převádějí na jeden z výše uvedených tvarů. Př.: 5 x =65 5 x =5 4 x=4 3 x 5 5 = x 5 5 = 3 5 x 5= 3 x= 35 x= x= = x x 5 5 x =5 x x= x x x=0 x x=0 x x =0 =0 x = 5 / 95 IgMen

6 3x =5 3 x 3 3x =5 x log3 3x =log 5 x 3x log 3=x log 5 3x log 3 log 3=x log5 xlog 3 3 x log 5= log 3 xlog 7 log 5=log3 log 9 x= log 7 log5 x,3 x x x3 = 8 x x x 3 = 8 x = x 0,58= 8 x 0,5= 8 x = 8 8 = 8 = 8 = 4 x = x= x 5 x x 5 x = 600 x 5 x x 5 x 5 = 600 x 5 x 5 = 600 x 5 x 5 = 600 x 5 x 3 = 600 x 5 x = x 5 x =600 3 x 5 x = x 5 x =400 0 x =0 x= 4 x 4x = x 4 4x =36 x x x =36 x x 36=0 x = y y y 36=0 y = ± 4 36 = ±89 = 4 7 = ±7 = 6 = 4 4 =4 4 7 = = 4,5 y =4 x =4 x = x = y = 4,5 x = 4,5 log x =log 4,5 nemá smysl 6 / 95 IgMen

7 3 Logaritmické funkce, logaritmus, vlastnosti 3. Logaritmické funkce Logaritmická funkce o základu a je funkce, která je inverzní k exponenciální funkci y=a x, kde a je libovolné kladné číslo různé od. Logaritmická funkce je dána výrazem y=log a x. Graf funkce...logaritmická křivka Základní grafy: 0a D f =0 ; H f =R ani sudá, ani lichá klesající prostá neomezená ani maximum, ani minimum inverzní k funkci exponenciální a D f =0 ; H f =R ani sudá, ani lichá rostoucí prostá neomezená ani maximum, ani minimum inverzní k funkci exponenciální Přirozená exponenciální funkce: y=ln a x e...eulerovo číslo e,7 7 / 95 IgMen

8 Př.: y =log x 4 y =log x ; x 0 4=0 x 0 = 4 ; y 0 = y = log 5 x y = log 5 x ; x 0 =0 x 0 = ; y 0 =0 y 3 =log x 3 y 3 =log x 3 ; x 03 =0 ; y 03 =0 3. Logaritmus Logaritmus je číslo, na které se musí umocnit základ, aby vzniklo logaritmované číslo. log a r=v a v =r log a a= log a =0 log b a= log c a log c b log a rs=log a rlog a s log a r s =log a r log a s a R {}; r R ; s R log a s r =r log a s a R {}; r R ; s R 8 / 95 IgMen

9 Typy logaritmů: dekadický logaritmus... log 0 a=log a přirozený logaritmus... log e a=ln a e...eulerovo číslo e,7 Př.: log 3 x=4 x=3 4 x=8 log a 7 = 3 a 3 = 7 = 3 3 =3 3 log x= log a log b log x=log a log b log x=log alog b log x=log a b log =log 4 = 8 =log log log 4 8 = =log log 4 log 8 = = log 4 log 8 log = 7 8 log x=a b log xy =log xy log z=log xlog y log z z log a b 3 b a =log a b log = log a =log a b log 3 b a = 3 a 3 logb b =log a b log a log a 3 3 log b =log a logb log a 3 logb b 3 = 3 = 3 = = log a log b 3 log a 3 logb= = 3 6 log a 3 6 log b 4 6 log a 4 log b= 6 log x=logab 3loga b log x=log ab loga b 3 log x=log ab a b 3 x= ab a b 3 log 5x y y 3 =log 5x y log y 3 = =log 5log x log y log y 3 = =log 5 log x log y 3 log y= =log 5 log x log y 6 log y= =log 5log x 5 log y = 6 log a 6 log b 9 / 95 IgMen

10 33 Logaritmické rovnice Logaritmické rovnice jsou rovnice, které mají neznámou jako logaritmovaný výraz nebo se neznámá vyskytuje jako základ logaritmu. Do řešení logaritmických rovnic patří kromě podmínky také zkouška. Př.: 5 log x3 log x5 = 3 log x 4 3 log x 4 3 log x 4 5log x33log x 4 log x53log x 4 = 3log x 4 3log x 4 5 log x3=log x5 3log x 4 5 log x3=log x5 6 log x8 5log x3= 5log x3 0log x=0 log x= 0 0 log x= x=0 3log x 4 podmínky: x0 3 log x 4 0 3log x 4 log x= x=0 zkouška: 5log x3 3log x 4 5log03 3log0 4 = log x5 3log x 4 = log 05 3log = = 6 8= 6 8= 8 0 / 95 IgMen

11 log x logx = log 4 log x =log00 log 4 x log x 00 =log x 4 log x =log 5 x x =5 x x x x =5 x x x=5x 5 7=4x 7 4 = x 9 8 =x podmínky: x0 x 0 x x x zkouška: log x logx = log 4 log 9 8 log 9 8 = log 4 log log = log 4 log 5 8 log 8 =log00 log log =log log =log 5 log 5=log 5 log x log x 3=0 log x log x 3=0 podmínky: x0 log x= y y x 3=0 y = ± 4 3 ± 4 = = 4 = ±6 = ±4 = = = 4 = 6 = 3 y = log x = x =0 y = 3 log x = 3 x =0,00 zkouška: log x log x 3=0 log 0log0 3=0 3=0 3=0 0=0 log x log x 3=0 log 0,00log0,00 3= = =0 0=0 / 95 IgMen

12 34 Vektor, operace s vektory 34. Soustava souřadnic, souřadnice bodů Kartézská soustava souřadnic (ortonormální soustava souřadnic) je to taková soustava souřadnic, která má všechny osy navzájem kolmé a na všech osách jsou jednotky stejné délky. Dělí se podle počtu os: přímka jednorozměrný prostor E A[ x A ] rovina dvojrozměrný prostor E A[ x A ; y A ] prostor trojrozměrný prostor E 3 A[ x A ; y A ; z A ] Př.: A [] A [4] A 3 [ ] A [;] A [; 3] A 3 [ ;,5] / 95 IgMen

13 A [; 4; 4] A [; 3;,5] A 3 [ ;,5; ] 34. Vzdálenost dvou bodů Vzdálenost bodů A, B je rovna velikosti úsečky AB. Vzdálenost na přímce: AB = x A x B = x B x A 3 / 95 IgMen

14 Vzdálenost v rovině: AB = x A x B CD = y C y D EFG je pravoúhlý EF = EG FG EF = x E x F y E y F EF = x F x E y F y E EF = x F x E y F y E Vzdálenost v prostoru: AB =x A x B y A y B z A z B Př.: Jaká je vzdálenost mezi danými body? A=[ ]; B=[7] AB = x A x B = 7 = 9 =9 A=[ ; ]; B=[ ; 6] AB = x B x A y B y A =[ ] [ 6 ] = 6 = = 5 =445=69=3 A=[ ;5 ;]; B=[ ; ; ] AB = x B x A y B y A z B z A =[ ] [ 5] [ ] = = 4 3 = 4 3 = 469=9 4 / 95 IgMen

15 34.3 Střed úsečky Souřadnice středu úsečky jsou aritmetickým průměrem souřadnic obou krajních bodů. S= AB x S = x A x B y S = y A y B z S = z A z B Př.: Jaké souřadnice mají středy daných úseček? A=[ ]; B=[7] x S = x A x B = 7 = 5 S=[ 5 ] A=[ ; ]; B=[ ; 6] x S = x A x B y S = y y A B S=[ 5; 7 ] = = 0 =5 = 6 = 6 = 7 A=[ ;5 ;]; B=[ ; ; ] x S = x x A B = = 0 =0 y S = y y A B = 5 = 6 =3 z S = z z A B = = = S=[ 0 ;3 ; ] 5 / 95 IgMen

16 34.4 Vektory Vektor je množina všech souhlasně orientovaných úseček téže velikosti. Orientovaná úsečka AB A...počáteční bod B...koncový bod Nulová orientovaná úsečka úsečka, u které počáteční a koncový bod splývají. Rovnoběžnost orientovaných úseček: souhlasně rovnoběžné orientované úsečky koncové body náleží téže polorovině splývající rovnoběžné orientované úsečky nesouhlasně rovnoběžné orientované úsečky koncové body nenáleží téže polorovině Velikost orientované úsečky AB AB = AB Vektor množina všech orientovaných úseček, které mají stejný směr a velikost. Označení vektoru AB AB=u Souřadnice vektoru: A=[ x A ; y A ; z A ]; B=[ x B ; y B ; z B ] x u =x B x A y u = y B y A z u =z B z A u=x u ; y u ; z u 6 / 95 IgMen

17 Př.: Jaké souřadnice má vektor daný dvěma body? A=[3 ; ]; B=[7 ;0] x u =x B x A =7 3=4 y u = y B y A =0 =8 u=4;8 Velikost vektoru: u = AB = AB u = x u y u z u Operace s vektory: rovnost vektorů opačný vektor násobení konstantou sčítání vektorů u=x u ; y u ; z u ;v= x v ; y v ; z v x u = x v u=v y u = y v z u = z v AB=u BA= u opačný vektor má stejnou velikost a je nesouhlasně rovnoběžný u=x u ; y u ; z u ; v= x u ; y u ; z u u u=0 u=x u ; y u ; z u ;v= x v ; y v ; z v x u =k x v u=k v y u =k y v z u =k z v u=x u ; y u ; z u v=x v ; y v ; z v w=uv x w = x u x y y w = y u y y z w =z u z y w= x w ; y w ; z w rozdíl vektorů u=x u ; y u ; z u v=x v ; y v ; z v w=u v x w = x u x y y w = y u y y z w =z u z y w= x w ; y w ; z w 7 / 95 IgMen

18 Př.: u= ;3;v=4;5 w=uv x w = x u x v = 4= y w = y u y v =35=8 w=;8 w=u v x w = x u x v = 4= 6 y w = y u y v =3 5= w= 6 ; 34.5 Lineární závislost a nezávislost vektorů Dva vektory u, v jsou lineárně závislé, lze-li jeden z nich napsat jako násobek druhého vektoru. u=k v ; k R Tři vektory u, v, w jsou lineárně závislé, lze-li jeden z nich vyjádřit ve tvaru: w=k ul v ;k,l R. Vektor w se pak nazývá lineární kombinací vektorů u a v. Př.: u=; ;0 ;v=4; ;0 u=k v x u =k x v =4k k = y u =k y u = k k= z u =k z u 0=0k k= u= v vektory jsou lineárně závislé k= l= 3 4=kl 4= 3 4= 6 4= 4 7=k l 7= 3 7=43 7=7 3=3kl 3=3 3 3=6 3 3=3 w=u 3v vektory jsou lineárně závislé 8 / 95 IgMen

19 u=;;3;v=; ;; w= 4 ;7;3 w=k ul v x w =k x u l x v 4=kl k= 4 l y w =k y u l y v 7=k l 7= 4 l l 7= 8 4l l 7= 8 5l 5l= 8 7 5l= 5 l= 3 z w =k z u l z v 3=3k 3=3 4 ll 3= 6ll 3= 5l 5l= 3 5l= 5 l= 3 k= 4 l= 4 3= 46= 7=k l 3=3kl 7=k 3 3=3k 3 7=k3 33=3k 7 3=k 6=3k 4=k =k =k 34.6 Úhel dvou vektorů souhlasně rovnoběžné vektory... u, v=0 nesouhlasně rovnoběžné vektory... u, v=80 v rovině v prostoru cos= u v u v = x x y y u v u v u v cos= u v u v = x x y y z z u v u v u v u v Př.: u= ; ; ;v= ; ; u = x u y u z u = =44=9=3 v = x v y v z v = =44=9=3 cos= u v u v = x x y y z z u v u v u v u v =63 36' 44' ' = 3 3 = 4 = / 95 IgMen

20 34.7 Skalární součin vektorů na přímce v rovině v prostoru u v=x u x v u v=x u x v y u y v u v=x u x v y u y v z u z v Je-li výsledek skalárního součinu vektorů nulový, pak jsou vektory na sebe kolmé. Př.: Jakou velikost má y v? u= ; ;3 ;v=4 ; y v ; ;u v= u v=x u x v y u y v z u z v = 4 y v 3 =4 y v 6 = y v y v = y v =0 y v = Vektorový součin dvou vektorů Vektorový součin dvou vektorů, které leží na jedné přímce je nulový vektor. Vektorový součin dvou vektorů u a v neležících na jedné přímce je vektor vlastnosti: vektor w je kolmý k vektorům u a v směr vektoru w se dá určit pravidlem pravé ruky w = u v sin vew w=u v w, který má tyto u=x u ; y u ; z u v=x v ; y v ; z v w=u v y u z u x u y u y v z v x v y v x w = y u z v z u y v y w =z u x v x u z v z w =x u y v y u x v w=x w ; y w ; z w 0 / 95 IgMen

21 Př.: u=;3; ;v= ;4;5 w=u v x w = y u z v z u y v =3 5 4=54=9 y w =z u x v x u z v = 5= 5= 7 z w =x u y v y u x v = 4 3 =4 6= w= x w ; y w ; z w =9; 7 ; w=u v w= 9 ;7; / 95 IgMen

22 35 Analytická geometrie přímky v rovině a prostoru 35. V rovině p...přímka q...úsek u...směrový vektor přímky n...normálový vektor přímky A=[ x A ; y A ] B=[ x B ; y B ] X =[ x ; y] u=ab= x B x A ; y B y A =x u ; y u n=x n ; y n = y u ; x u = y u ; x u Parametrické rovnice přímky: AX u AX =t u X A=t u X = At u t...parametr, t R x= x A x u t y= y A y u t / 95 IgMen

23 Př.: Jaké jsou parametrické rovnice přímky p, je-li dán bod A a směrový vektor ver u? A=[ ; ]; ver u= ;3 x= x A x u t= t= t y= y A y u t= 3t Jaké souřadnice mají body B ležící na dané přímce, je-li parametr t roven 0 ; ; ;? t =0 x =x A x u t= t = 0= y = y A y u t= 3t = 3 0= B =[ ; ] t = x = t = = y = 3t = 3 = B =[ ;] t 3 = x 3 = t 3 = =4=5 y 3 = 3t 3 = 3 = 6= 8 B 3 =[5; 8] t 4 = x 4 = t 4 = = =0 y 4 = 3t 4 = 3 = 4 3 = B 4 =[0 ; ] Náleží body M a N přímce p? M =[5; 3] ; N =[ 5,5 ;0] x= 53t p: y=7t M =[5;3] x= 53t y=7t 5= 53t 3=7t 55=3t 3 7=t 0=3t 4=t 0 3 =t =t M p N =[ 5,5 ;0] x= 53t y=7t 5,5= 53t 0=7t 5,55=3t 7=t 0,5=3t 3,5=t 3,5=t 3,5=t N p 3 / 95 IgMen

24 Obecná rovnice přímky: axbyc=0 n=a ;b...normálový vektor přímky je nenulový vektor, který je k dané přímce kolmý Př.: Jaká je obecná rovnice přímky p, je-li dán bod A a normálový vektor n? A=[ ; ];n=3; axbyc=0 3xyc=0 3 c=0 34c=0 c=0 c= 3xy =0 Směrnicový tvar přímky: y=kxq k=tg = y y B A...směrnice přímky x B x A q...úsek bod, ve kterém protíná přímka osu x Př.: Jaký je směrnicový tvar přímky p, jsou-li dány bod A a B? A=[0;0]; B=[;3] k=tg = y y B A = 3 0 x B x A 0 =3 =3 =60 A=[0;0] q=0 y=3 x0=3 x 4 / 95 IgMen

25 Převody rovnic přímek: u= x u ; y u n=x n ; y n = y u ; x u = y u ; x u u n=x u x n y u y n =x u y u y u x u = x u y u y u x u =0 parametrická obecná x=x A x u t y= y A y u t A=[ x A ; y A ]=[a ;b] u=x u ; y u n= y u ; x u = y u ; x u =x n ; y n axbyc=0 obecná parametrická axbyc=0 A=[a; b]=[ x A ; y A ] n=x n ; y n u= y n ; x n = y n ; x n = y u ; x u x=x A x u t y= y A y u t obecná směrnicová axbyc=0 by= ax c y= ax c b y= a b x c b y=kxq Př.: Jaké jsou ostatní rovnice přímky x3y =0? parametrické rovnice n= ;3 u=3 ;= 3 ; A: volba: x= 3y =0 y= A=[ ;] x=3t y=t směrnicový tvar 3y=x y= x 3 y= 3 x 3 5 / 95 IgMen

26 35. V prostoru Parametrické rovnice přímky: X =Au t x= x A x u t y= y A y u t z=z A z u t Př.: Jakou rovnici má přímka, je-li dána body A a B? A=[3; ;5]; B=[4 ; ; ] u=ab=4 3;; 5=; 4 ; 7 x=3t y= 4t z=5 7t Leží dané body na přímce? p: x=5 t A=[7 ; 7 ; 6] y= 34t B=[0;0 ; 0] z= 4t C =[ ; ;8] x A =5 t A y A = 34t A z A = 4t A 7=5 t A 7= 34t A 6= 4t A t A =5 7 73=4t A 4t A =6 t A = 4=4t A 4t A = 4 t A = =t A t A = A p x B =5 t B y B = 34t B z B = 4t B 0=5 t B 0= 34t B 0= 4t B t B =5 3=4t B 4t B = t B = =t B t B = B p x C =5 t C y C = 34t C z C = 4t C =5 t C = 34t C 8= 4t C t C =5 3=4t C 4t C = 8 t C =3 =4t C 4t C = 6 t C = 3 4 =t C t C = 3 C p 6 / 95 IgMen

27 36 Analytická geometrie roviny...rovina u,v...směrové vektory roviny n...normálový vektor roviny A=[ x A ; y A ; z A ] B=[ x B ; y B ; z B ] C=[ x C ; y C ; z C ] X =[ x ; y ; z] u=ab=x B x A ; y B y A ; z B z A = x u ; y u ; z u v=ac=x C x A ; y C y A ; z C z A = x v ; y v ; z v n= x n ; y n ; z n Parametrické rovnice roviny: AX =k ul v X A=t us v X =At us v x= x A x u tx v s y= y A y u t y v s z=z A z u tz v s Př.: Jakou rovnici má rovina, je-li dána body A, B a C? A=[0;0 ;4]; B=[3;; ];C =[0;5; ] u=ab=3 0 ; 0; 4=3 ; ; 5 v=ac=0 0 ;5 0 ; 4=0 ;5 ; x=03t0s=3t y=0t5s=t5s z=4 5t s 7 / 95 IgMen

28 Obecná rovnice roviny: axbyczd=0 n=a ;b; c... normálový vektor roviny je nenulový vektor, který je k dané rovině kolmý a je tedy kolmý ke směrovým vektorům dané roviny Př.: Jakou rovnici má rovina, je-li dána bodem A a normálovým vektorem n? A=[; ;5];n=3; ; 3xy zd=0 3 5d =0 64 5d =0 5d=0 d = 5 3xy z 5=0 Zvláštní případy obecné rovnice:. d =0 rovina prochází počátkem 3x y z=0. z=0 rovina je rovnoběžná s osou z 3x y 0=0 3. x=0, d=0 rovina obsahuje osu x y 3x=0 4. y=0, z=0 rovina je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou yz x3=0 5. y=0, z =0, d =0 rovina yz x=0 6. x=0, y=0 rovina je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou xy z,5=0 8 / 95 IgMen

29 Převod parametrických rovnic na rovnici obecnou: n=u v Př.: Jakou má rovina obecnou rovnici, je-li dána rovnicemi parametrickými? x=3 t3s y=t s z=3 4ts A=[3;;3];u= ;; 4 ;v=3; ; n=u v x n = y u z v z u y v = 4 = 8= 7 y n = z u x v x u z v = 4 3 = = = 0 z n =x u y v y u x v = 3=4 3= n= 7; 0; 7x 0y zd= d=0 03d=0 8d =0 d =8 7x 0y z8=0 9 / 95 IgMen

30 37 Analytická geometrie vzájemná poloha přímky a roviny, dvou rovin 37. Vzájemná poloha přímky a roviny p...přímka...rovina rovnoběžné u p n =0 různoběžné u p n 0 splývající p A p A různé p A p A průsečík P z parametrické rovnice přímky p se dosadí do rovnice roviny vyjádří se parametr t p parametr se dosadí zpět do parametrických rovnic přímky p a vyjdou souřadnice průsečíku P Př.: Jaká je vzájemná poloha přímky a roviny? p: x p =t p y p = t p z p =3 t p p: x p =t p y p =3t p z p = t p : 3x5y z =0 : x yz 5=0 u p =; ; ; n p =3;5; u p n p = 3 5 = =3 5=0 rovnoběžné A=[0;;3] =0 5 3 =0 0=0 A splývající u p = ; ; ; n p = ; ; u p n p = = = 4 = 4 různoběžné x yz 5=0 t p 3t p t p 5=0 t p 6 4t p t p 5=0 8 4t p =0 8=4t p =t p x=t p = = =0 y=3t p =3 =3 4= z= t p = ==3 P=[0 ; ;3] 30 / 95 IgMen

31 37. Vzájemná poloha dvou rovin,...rovina rovnoběžné n =k n různoběžné n k n splývající jedna obecná rovnice roviny je násobkem druhé obecné rovnice roviny různé jedna obecná rovnice roviny není násobkem druhé obecné rovnice roviny průsečnice p přímka, jejíž směrový vektor u p se vypočítá vektorovým součinem normálových vektorů n a n rovin a směrový vektor u p přímky p se dosadí do obecných rovnic rovin a vypočítají se souřadnice bodu A tak, že se dosadí do jedné ze souřadnic libovolné číslo (např. x=0 ) a zbylé souřadnice se dopočítají jako soustava dvou rovnic o dvou neznámých z bodu A a směrového vektoru u p přímky p lze vytvořit parametrické rovnice průsečnice p Př.: Jaká je vzájemná poloha dvou rovin? : 3x y 5z =0 : x 6z 3=0 n =3 ; ; 5; n = ;0 ; 3 n k n různoběžné u p = n n x p = y z z y = 6 5 0=6 0=6 y p =z x x z = 5 3 6= = 0 8= 8 z p =x y y x =3 0 =0 = u p =6; 8; x=0 06z 3=6z 3 6z=3 z= : 3x 7y z 4=0 : 9x y 3z =0 n =3;7 ; ; n =9 ;;3 n 3 n rovnoběžné 9x y 3z =0 3 3x 7y z 4=0 splývající p: x p =6t p y p = 7 8t p 3 0 y 5z = y 5z y=5z= 5 =54 = 7 A=[ 0 ; 7 ; ] z p = t p 3 / 95 IgMen

32 38 Analytická geometrie vzájemná poloha dvou přímek v rovině a prostoru 38. V rovině p, q...přímky u p, u q...směrové vektory přímek p a q n p, n q...normálové vektory přímek p a q rovnoběžné u p =k u q ; n p =k n q různoběžné u p k u q ; n p k n q splývající jedna obecná rovnice přímky je násobkem druhé obecné rovnice přímky různé jedna obecná rovnice přímky není násobkem druhé obecné rovnice přímky průsečík P bod, ve kterém se přímky p a q protínají vypočítá se převedením rovnic přímek p a q na parametrické rovnice, u kterých se porovnají x-ové a y-ové části, z nichž vzniknou dvě rovnice o dvou neznámých parametry t a s, poté se jeden z těchto parametrů dosadí do parametrických rovnic přímky (t do p nebo s do q) a vypočítá se průsečík P Př.: Jaká je vzájemná poloha přímky a roviny? p: x p =3t q: x q = 4s y p = t y q =s u p =3 ; ; u q = 4 ; u p k u q různoběžné x p =x q 3t= 4s 3t4s= 3t4s= y p = y q t=s =ts ts= p : 3x p y p =0 q : 6x q 4y q =0 n p =3; ; n q = 6; 4 n p = n q rovnoběžné 6x q 4y q =0 3x q y q =0 splývající 3t4s= ts= t= s 3 s4s= 3 3s4s= s= 3 s= t= s t= t= t=3 P : x p =3t=3 3=9=0 y p = t= 3= P=[0 ; ] 3 / 95 IgMen

33 38. V prostoru p, q...přímky u p, u q...směrové vektory přímek p a q n p, n q...normálové vektory přímek p a q rovnoběžné u p =k u q ; n p =k n q nerovnoběžné u p k u q ; n p k n q splývající A p A q různé A p A q různoběžné P existuje mimoběžné P neexistuje průsečík P bod, ve kterém se přímky p a q protínají vypočítá se z parametrických rovnic přímek p a q, u kterých se porovnají x-ové, y-ové a z-ové části, z nichž vzniknou dvě rovnice o dvou neznámých parametry t a s, poté se jeden z těchto parametrů dosadí do parametrických rovnic přímky (t do p nebo s do q) a vypočítá se průsečík P Př.: Jaká je vzájemná poloha přímky a roviny? p: x p = 3t q : x q = 4948s y p =3t y q = 3737s z p =t y q =4s n p =3;; ; n q =48; 37;4 n p k n q nerovnoběžné 3t 48s= 48 3 s 48s= 48 6s 48= 48 4s= 48 s= 48 4 s= 8 7 t 37s= 40 s 37s= 40 35s= 40 s= s= 8 7 x p =x q 3t= 4948s 3t 48s= 48 z p =z q t=4s t=s y p = y q 3t= 3737s t 37s= 40 P : x q = 4948s= = = = = y q = 3737s= = = = = z q =4s=4 8 7 = 3 7 P=[ 4 7 ; 47 7 ; 3 7 ] 33 / 95 IgMen

34 p: x p =3t q: x q =3 6s y p = t y q =s z p =3t z q = 4s n p =3; ; ; n q = 6 ;; 4 n p = n q rovnoběžné A in p ; A=[;;3] x q =3 6s =3 6s 6s= s= 3 y q =s =s =s s= z q = 4s 3= 4s 4s= 4 s= různé 34 / 95 IgMen

35 39 Analytická geometrie metrické úlohy metodou souřadnic 39. Odchylky Dvě přímky v rovině: Odchylka 0 ;90 dvou přímek ze směrových (normálových) vektorů u p, u q n p, n q se vypočítá podle vzorce: cos= u u p q u p u q = n n p q n p n q Př.: p : q : x 3y3=0 5x y 0=0 n p = ; 3; n q =5; n p n q = 5 3 = 03 = 3 =3 n p = 3 =49=3 n q =5 =5=6 cos= n p n q n p n q = = = = 3 3 = ocver = =45 Dvě přímky v prostoru: cos= u p u q u p u q Dvě roviny v prostoru: cos= n p n q n p n q 35 / 95 IgMen

36 Přímka a rovina: cos = u p n u p n =90 Př.: p: x=t q : x=s y= 4t y= s z= 3t z= s p: x=t : x y z=0 y= 4t z= 3t n = ; ; u p = ; 4 ; u q =; ; u p = ; 4 ; u p u q = 4 = = 8 = 9 =9 u p = 4 =6= =8=9 =3 u q = =44= =9=3 cos= u p u q u p u q = = 9 9 = = = =45 u p n = 4 = = 8 = 9 =9 u p = 4 =6= =8=9 =3 n = =44= =9=3 cos = u p n u p n = = 9 9 = = = =45 =90 =90 45 =45 36 / 95 IgMen

37 39. Vzdálenosti Bod a přímka v rovině: p : axbyc=0 A=[ x A ; y A ] v= ax A by A c n p Bod a přímka v prostoru: p: x= x A x u t X =[ x X ; y X ; z X ] y= y A y u t z=z A z u t Vypočítat obecnou rovnici roviny, která je kolmá k přímce p a obsahuje bod X: u p =x u ; y u ; z u =a ;b;c : ax X by X cz X d=0 d axbyczd=0 Vypočítat souřadnice bodu P, který je průsečíkem přímky p s rovinou : P : ax A x u t by A y u t cz A z u td =0 t x p =x A x u t y p = y A y u t z p =z A z u t P=[ x p ; y p ; z p ] Vzdálenost bodu a přímky: v= XP Bod a rovina: p: axbyczd=0 A=[ x A ; y A ; y A ] v= ax A by A cz A d n p Př.: p: 3x 4y5=0 A=[ ;] v= ax A by A c n p = = 3 45 = 96 5 = 5 37 / 95 IgMen

38 p: x=3t X =[0; ;3] y=5t z= t u p = ; ; : ax X by X cz X d=0 0 3d=0 04 3d=0 d=0 d = xy z =0 P : a x A x u tb y A y u t cz A z u td =0 3t 5t t =0 3t04tt =0 6t=0 6t = t= x p =x A x u t=3t=3 =3 = y p = y A y u t=5t=5 =5 4= z p =z A z u t= t= = P=[ x p ; y p ; z p ]=[;;] XP= x p x X ; y p y X ; z p z X = 0 ; ; 3= ; ; v= XP = ==3 38 / 95 IgMen

39 40 Analytická geometrie kuželoseček kružnice Kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od daného bodu S stejnou vzdálenost r. r= XS...poloměr kružnice S=[m ;n]...střed kružnice X =[ x ; y]...bod ležící na kružnici x y =r...středová rovnice kružnice se středem v bodě S=[0 ;0] x m y n =r... středová rovnice kružnice se středem v bodě S=[m ;n] x y axbyc=0... obecná rovnice kružnice Poloha bodů na kružnici dané středovou rovnicí: x y =r...bod leží na kružnici x y r...bod leží uvnitř kružnice x y r...bod leží vně kružnice Toto platí i pro kružnice dané středovou rovnicí x m y n =r Převod rovnic: středová obecná x m y n =r x xmm y ynn =r x xmm y ynn r =0 a b c x y xm ynm n r =0 x y axbyc=0 obecná středová x y axbyc=0 x ax y byc=0 výrazy x ax a y by se doplní na vzorec typu A ABB =A B x m y n r =0 x m y n =r 39 / 95 IgMen

40 Př.: Jaká je středová rovnice kružnice? S=[0;0] ; X =[ 3; ] x y =r 3 =r 94=r 3=r x y =3 Jaká bude středová a obecná rovnice kružnice? S=[ ; ];r=3 x m y n =r x y =9 x x y 4y4=9 x x y 4y4 9=0 x y x4y4 9=0 x y x4y 4=0 Jakou polohu mají dané body vzhledem ke kružnici? S=[0;0] ;r= x y =r x y =4 A=[4 ;3] 4 3 =4 69=4 54 B=[;] =4 =4 4 C =[ ;0] 0 =4 40=4 4=4 Jaká bude středová rovnice kružnice? x y 8x 0y 75=0 x 8x y 0y 75=0 x 8x6 6 y 0y5 5 75=0 x6 y 5 6=0 x6 y 5 =6 Jaká bude středová rovnice kružnice? x y x4y7=0 x x y 4y7=0 x x y 4y4 47=0 x y =0 x y = r x y x4y7=0 není rovnice kružnice 40 / 95 IgMen

41 4 Analytická geometrie kuželoseček elipsa Elipsa je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou stálých bodů F, F (ohnisek) stálý součet vzdáleností, který je větší, než vzdálenost těchto bodů (e). S=[m ;n]...střed elipsy F, F...ohniska elipsy X =[ x ; y]...bod ležící na elipse A, B...hlavní vrcholy elipsy C, D...vedlejší vrcholy elipsy přímka F F... hlavní osa elipsy vedlejší osa elipsy... přímka, která je kolmá na hlavní osu elipsy a prochází středem S a= AS = BS...velikost hlavní poloosy elipsy b= CS = DS...velikost vedlejší poloosy elipsy e= F S = F S...výstřednost (excentricita) elipsy a =b c Středové rovnice elipsy: hlavní osa je rovnoběžná s osou x S=[0 ;0] x a y b = S=[m ;n] x m y n = a b hlavní osa je rovnoběžná s osou y S=[0;0] x b y a = S=[m ;n] x m y n = b a Obecná rovnice elipsy: x y axbyc=0 A0 ; B0 ; A B Poloha bodů na kružnici dané středovou rovnicí: x a y =...bod leží na elipse b x a y...bod leží uvnitř elipsy b x a y...bod leží vně elipsy b Toto platí i pro elipsy dané středovou rovnicí x m a y n b = Převod rovnic se provádí v podstatě stejně, jako u kružnice. 4 / 95 IgMen

42 Př.: Jaká je středová rovnice elipsy? a=3 ;b=5; S=[0; 0] x b y a = x 5 y 3 = x 5 y 9 = Jaká je obecná rovnice elipsy? x y = 4 x 4 x y = y =4 4 4 x y =4 4 x x y y=4 4 x 8 x8 y y 4=0 4x y 8 x y6=0 4x y 8 x y= 6 Jaké jsou středová rovnice elipsy, velikost a, b, e a souřadnice S, F, F, A, B, C a D? 4x 9y 8x 36y4=0 4x 8x9y 36y4=0 4 x x9 y 4y4=0 4 x x 49 y 4y4 4 94=0 4 x 9 y 4 364=0 4 x 9 y =36 :36 4x 9 y = x 9 y = 4 S=[m ;n ]=[; ] a =9 a=3 b =4 b= a =b e e=a b =9 4=5 F =[m e ;n]=[ 5 ;] F =[me ;n ]=[5;] A=[m a ;n]=[ ; ] B=[me ;n]=[ 4; ] C=[m ;nb]=[; 4] D=[m ; n b ]=[ ;0] 4 / 95 IgMen

43 4 Analytická geometrie kuželoseček hyperbola Hyperbola je množina všech bodů v rovině, které tu vlastnost, že absolutní hodnota rozdílu jejich vzdáleností od bodů F, F (ohnisek) je rovna kladné konstantě. S=[m ;n]...střed hyperboly F, F...ohniska hyperboly A, B...hlavní vrcholy hyperboly přímka F F... hlavní osa hyperboly vedlejší osa hyperboly přímka, která je kolmá na hlavní osu a prochází středem S a= AS = BS...velikost hlavní poloosy hyperboly e= F S = F S...výstřednost (excentricita) hyperboly b=e a...velikost vedlejší poloosy hyperboly e =a b Středové rovnice hyperboly: hlavní osa je rovnoběžná s osou x S=[0 ;0] x a y b = asymptoty hyperboly y n=± b a x m S=[m ;n] x m y n = a b hlavní osa je rovnoběžná s osou y S=[0;0] x b y a = asymptoty hyperboly y n=± a b x m S=[m ;n] x m y n = b a Obecná rovnice hyperboly: x y axbyc=0 Převod rovnic se provádí v podstatě stejně, jako u kružnice. 43 / 95 IgMen

44 Př.: Jaká je středová rovnice hyperboly? a=; e=0; S=[ ;4] b=e a = 0 =400 44= =56=6 x m y n = b a x 6 y 4 = x y = Jaká je obecná rovnice hyperboly? x3 9 y = 9 x3 y = x3 9 y = x3 y =9 x 6x9 y 4y4 9=0 x 6x 9 y 4y4 9=0 x y 6x4y 94 9=0 x y 6x4y 4=0 x y 6x 4y4=0 Jaké jsou středová rovnice hyperboly, velikost a, b, e a souřadnice S, F, F, A a B? 4x 9y 8y 45=0 4x 9 y y 45=0 4x 9 y y9 45=0 4x 9 y 36=0 4x 9 y =36 :36 4x 36 9y = x 9 y = 4 S=[m ;n]=[0 ;] a =9 a=3 b =4 b= e =a b e=a b =94=3 F =[m a ;n]=[ 3;] F =[ma ;n]=[3;] A=[m e; n]=[ 3;] B=[me; n]=[3;] 44 / 95 IgMen

45 43 Analytická geometrie kuželoseček parabola Parabola je množina všech bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od bodu F a od dané přímky d, F d. F...ohnisko paraboly V...vrchol paraboly (střed FD) d...řídící přímka paraboly o...osa paraboly F o,o d p= FD parametr paraboly (vzdálenost ohniska od řídicí přímky) Vrcholové rovnice paraboly: osa paraboly je rovnoběžná s osou x V =[0 ;0 ] kladná poloosa y =px V =[0;0] záporná poloosa y = px osa paraboly je rovnoběžná s osou y V =[0 ;0] kladná poloosa y =py V =[0;0] záporná poloosa y = py V =[m ; n] kladná poloosa y n =p x m V =[m ; n] záporná poloosa y n = px m V =[m ; n] kladná poloosa x m =p y n V =[m ; n] záporná poloosa x m = p y n Obecné rovnice paraboly: osa paraboly je rovnoběžná s osou x y axbyc=0 a 0 osa paraboly je rovnoběžná s osou y y axbyc=0 b 0 Převod rovnic se provádí v podstatě stejně, jako u kružnice. 45 / 95 IgMen

46 Př.: Jaké bude mít daná parabola souřadnice ohniska, vrcholu, parametr a rovnici řídící přímky? y =6x o x ;V =[0 ;0 ] y =6x ; y =px p=6 p=3 VF = p= 3= 3 [ F = 3 ] ;0 DV = p= 3= 3 [ F = 3 ] ;0 d : x= 3 Jaká bude rovnice paraboly, která prochází bodem A a má osu rovnoběžnou s osou y? V =[ ;]; A=[0 ;3];o y x m =p y n xm =p y 0 =p3 =p 4=4p = p x = y x = y Jaká bude rovnice paraboly? V =[0 ;0]; F =[0 ; ] x = py VF = p = p = p 4= p x = 4y x = 8y Jaká bude vrcholová rovnice paraboly? x 6x 0y 3=0 x 3x 0y 3=0 x 3x y 3=0 x 3x y 3=0 x y 3=0 x 3 9 0y 6 =0 x 3 0y 5 =0 x 3 =0y 5 x x x x 5 3 =5y 3 =5y 5 3 =5y =5 y 3 4 : 46 / 95 IgMen

47 44 Analytická geometrie vzájemná poloha kuželosečky a přímky 44. Vzájemná poloha kuželosečky a přímky kružnice p : y=kxq k : x y =r řešení soustavy dvou rovnic kvadratická rovnice: řešení sečna řešení tečna 0 řešení vnější přímka hyperbola p : y=kxq h : a y b = řešení soustavy dvou rovnic kvadratická rovnice: řešení sečna řešení tečna 0 řešení vnější přímka řešení soustavy dvou rovnic lineární rovnice: řešení rovnoběžka s asymptotou 0 řešení asymptota x elipsa p: y=kxq e: a y b = řešení soustavy dvou rovnic kvadratická rovnice: řešení sečna řešení tečna 0 řešení vnější přímka parabola př : y=kxq pa : y =px řešení soustavy dvou rovnic kvadratická rovnice: řešení sečna řešení tečna 0 řešení vnější přímka řešení soustavy dvou rovnic lineární rovnice: rovnoběžka s osou paraboly x 44. Tečny kuželoseček rovnice kuželosečky rovnice tečny v bodě T =[ x T ; y T ] kružnice x y =r x x T y y T =r x m y n =r x m x T my n y T n=r elipsa x x y axbyc=0 a y b = x m a x b y a = x m b y n b = y n a = x y axbyc=0 x x T y y T a xx T b y y Tc=0 x x T a y y T = b x m x T m x x T b a y y T a = x m x T m b y n y T n b =r y n y T n a =r x x T y y T a xx T b y y Tc=0 47 / 95 IgMen

48 hyperbola x a y b = x m a y n b = x x T a y y T b = x m x T m a y n y T n b =r x b y a = x m y n b x x T y y T = b a a = x mx T m b y n y T n a =r x y axbyc=0 x x T y y T a xx T b y y T c=0 parabola y =±px y y T =± p xx T y n =±p x m y n y T n=± px x T m x =±py x x T =± p y y T x m =±p y n x m x T m=± p y y T n y axbyc=0 x axbyc=0 y y T a xx T b y y T c=0 x x T a x x T b y y T c=0 Př.: Jaká je vzájemná poloha přímky a paraboly? př : 3x 7y30=0 x= 7y 30 3 pa : y =9x y =9x y =9 7y 30 3 y = 97y 30 3 y =3 7y 30 y =y 90 y y90=0 y, = ± 4 90 = = ± = ±8 = 9 = ±9 = 30 = =5 9 = =6 Jaká je vzájemná poloha přímky a paraboly? př : y 3=0 y=3 pa : y = 4x y = 4x 3 = 4x 9= 4x 9 4 =x : 4 Vyšla lineární rovnice přímka je rovnoběžná s osou paraboly a protíná jí v bodě M =[ 9 4 ;3 ] x =5 y = = x =6 y = =4 3 Přímka je sečna a protíná parabolu v bodech M =[5;5] a M =[4;6] 48 / 95 IgMen

49 Jaká je vzájemná poloha přímky a elipsy? p: x=t y=0t e: 8x 0y =60 8x 0y =60 8x 00t =60 8x 0 000tt =60 8x t0t 60=0 8t 400t860=0 t, = 400± = 8 = 400± = 56 = 400± vnější přímka Jaká bude rovnice tečny? x 3 y = ;T =[ ;] 6 4 x 3x T 3 y y T = 6 4 x 3 3 y = 6 4 x 3 y = 6 4 x 3 y = x 3 4 y =6 x3 4y8=6 4y= x6 4y=x6 4y=x5 : 4 y= x / 95 IgMen

50 45 Limita a spojitost funkce 45. Diferenciální počet okolí bodu Způsoby zápisu: x= a ; a a xa x a okolí bodu a je množina všech bodů x, jejichž vzdálenost od bodu a je menší než. 45. Limita funkce Funkce y= f x je definována v okolí bodu a. Říká se, že funkce y= f x má v bodě a limitu L, jestliže ke každému -okolí bodu L existuje takové -okolí bodu a, že pro každé x z -okolí bodu a leží jeho funkční hodnota f x v -okolí bodu L. lim x a f x= L R R ; x a ;a f x L ; L Limita a spojitost funkce: Funkce y= f x je spojitá v bodě a právě tehdy, když je v bodě a definována a má limitu rovnu funkční hodnotě. Pravidla pro počítání s limitami: lim x a f x= L ;lim x a gx=k lim [ f x±g x]=lim x a x a lim x a lim x a lim x a [ f x gx]=lim x a f x lim g x= x a lim x a c f x=c lim x a f x±lim g x=l±k x a g x=l K f x lim x a f x g x = L ; g x 0,K 0 K f x=c L ;c R lim x x =0 lim x lim x0 lim x0 x =0 sin x x = x sin x = 50 / 95 IgMen

51 Nevlastní limity ve vlastních bodech: Říká se, že funkce f x má v bodě a limitu právě tehdy, když ke každému reálnému číslu K existuje takové -okolí bodu a, že pro všechna x z okolí bodu a platí, že f xk. Vlastní limity v nevlastních bodech: Nevlastní limity v nevlastních bodech: 5 / 95 IgMen

52 Jednostranné limity: y= x lim x0 x = lim x 0 x = lim x 0 x = Př.: lim x lim x0 lim x lim x 4 = lim x 3 x 3 x4 = 3 x4 = = 6 x 3 3x 5x xx 3x 5 =lim 5x x 0 5x t t 3t = lim tt x 3t t = lim x cos x sin x = lim cos x x 4 x x x x 5 = =[x,= lim x 3 x 3x 5 = t 3t = 3 = 3 = 6 = 6 =lim x 0 cos x sin x cos x sin x =lim x 4 = = = ± 4 x, = ± 4 5 x4x 3 x,5 x 3 =lim x 3 = ±48 = ±0 4 x4 x,5 =lim x 3 cos x sin x cos x sin xcos xsin x =lim = ±49 = ± 4 = ±7 = = ± = 4 = 00 5 = = x 4 x4 x5 = 34 35= 7 65 = 7 cos xsin x = 7 = 8 = 4 7 = 6 =3 = =,5 = 4 4 =3 ]= 5 / 95 IgMen

53 46 Derivace funkce Derivace elementárních funkcí: y=c y' =0 c R y=x y' = x R y=x n y' =nx n x R Nechť je dána funkce y= f x. Jestliže v bodě x 0 lim f x f x 0 x x existuje limita 0 x x 0, pak se říká, že funkce y= f x má v bodě x 0 derivaci rovnu této limitě. Geometrický význam derivace směrnice tečny v daném bodě y=kxq. Značení derivace funkce y= f x : df x y' = f ' x= dx = df dx y x n y ' = nx n x R {0}; x 0 ;n N ; n y=x a y' =ax a x0;a R {0} y=a x y ' =a x ln x x R ;a0 ;a y=e x y' =e x x R y=log a x y' = x0 ;a0 ;a xln a y=ln x y' = x x0 y=sin x y' =cos x x R y=cos x y' = sin x x R y=tg x y' = cos x x k ;k Z y=cotg x y' = sin x x k ;k Z Pravidla pro počítání s derivacemi: násobení konstantou součet a rozdíl součin podíl c f x' =c f ' x f x± gx'= f ' x± g ' x f x=u ; gx=v u v'=u' vu v' f x=u ; gx=v u v ' = u' vu v' v 53 / 95 IgMen

54 Př.: y= x =x y'= x = x = x ; x 0 y= 3 x=x 3 y'= 3 x 3 = 3 x 3 33 = 3 3 x = 3 x x x 3 x = x 3 3 x = x 3 3x ; x 0 = 3 y= 6 x 3 5=6x 3 5 y' =6 3 x 3 0= 8x 4 = 8 x 4 ; x 0 sin xcos x y= sin x cos x cos x sin xsin x cos x sin xcos xcos xsin x y' = = sin x cos x = cos x sin x cos x sin xsin x cos x sin x cos xsin xcos xcos x sin x sin x cos x = = cos x sin x cos x sin xsin x cos x sin x cos x sin x cos x cos x sin x sin x cos x = = cos x sin x sin x cos x = Derivace složené funkce: y= f [ g x] g x=v y= f v y' = f ' v v' Př.: y=sin 3x y' =cos3x 3 0=3cos3x y=ln x4 y' = x4 0= x4 = x = x ; x 54 / 95 IgMen

55 Derivace funkce dané implicitně: Př.: x xy y =0 x y xy' yy' =0 xy 'yy '= x y y' xy= x y y' = x y xy ; x y x y 5=0 xyy' 0=0 yy '= x y ' = x y y' = x y ; y 0 y x=0 yy ' 4=0 yy '=4 y ' = 4 y y' = y ; y 0 Logaritmická derivace: Př.: x y=x ln y=ln x x ln y= x ln x ln y= ln x x x ln x x x y '= y x y '= ln y x y' = ln x y x y' = ln x x x x ; x0 y=x sin x ln y=ln x sin x ln y=sin x ln x y y '=cos x ln xsin x x sin x y ' =cos x ln x x y sin x y' =cos x ln x x xsin x ; x0 55 / 95 IgMen

56 47 Fyzikální a geometrický význam derivace 47. Geometrický význam derivace y' =lim x x 0 f x f x 0 x x 0 = lim x x 0 y y 0 x x 0 Derivace v bodě x 0 je směrnicí tečny v daném bodě. y' x 0 =k=tg t : y y 0 =k x x 0 T =[ x 0 ; y 0 ] Př.: k : y=x x T =[ ; y T ] y T : k : t : y T =x x= = = T =[ ; ] y=x x y' =x y' x T = = =0=k y y 0 =k x x 0 y =0 x y=0 y= 47. Fyzikální význam derivace rychlost... zrychlení... v= ds dt =s' a= dv dt =v' 56 / 95 IgMen

57 Př.: m=0 kg ;t=5s ; E k =? s=tt ; E k = mv v=s '=0t= 5= m/s E k = 0 = 0 = 0 =605 J t=0 s; v=? s=t 3 3 v=s '= 3t 0=6 0 =6 00=600 m/ s v=0 m/ s; t=? s= 4 t4 4t 3 6t v=s '= 4 4t3 4 3t 6 t=t 3 t 3t=t t t3 0=t t t3 t =0 t,3 = ± 4 3 t =0 s ;t =8 s ;t 3 =4 s = ±44 8 = ±6 = ±4 = 4 = 6 =8 4 = 8 =4 57 / 95 IgMen

58 48 Vyšetřování průběhu funkce Při vyšetřování průběhu funkce se používá následující postup:. Určení definičního oboru D f, průsečíků s osami a spojitosti funkce. D f definiční obor všechna x, pro která má daná funkce smysl. Určení sudosti, lichosti funkce. sudost... f x= f x...funkce je souměrná podle osy y lichost... f x= f x...funkce je souměrná podle počátku soustavy souřadnic 3. Určení stacionárních bodů bodů podezřelých z extrému. y' =0 4. Určení rostoucích, klesajících intervalů funkcí zjištěných pomocí stacionárních bodů. jakýkoli bod z intervalu se dosadí do y' : y' 0...rostoucí y' 0...klesající 5. Určení lokálních extrémů podle velikosti y' ve stacionárních bodech. y' ' x s 0...ve stacionárním bodě je lokální minimum y' ' x s 0...ve stacionárním bodě je lokální maximum 6. Určení inflexních bodů, konvexnosti a konkávnosti. inflexní bod...bod, ve kterém se funkce mění z konvexní na konkávní nebo naopak y' '=0 konvexní funkce... y' '0 konkávní funkce... y' '0 7. Určení asymptot funkce. a) asymptoty rovnoběžné s osou y lim f x= x x 0, pak přímka x= x 0 je asymptota x 0 bod nespojitosti b) asymptoty rovnoběžné s osou x lim x f x=a, pak přímka y=a je asymptota c) asymptoty směrnicového typu y=kxq za podmínky, že lim f x= x, platí k =lim f x x x a q=lim [ f x kx] x 8. Načrtnutí grafu funkce do soustavy souřadnic s využitím zjištěných vlastností. 58 / 95 IgMen

59 Př.: y= x x x. D f =R průsečík s osou x: y=0 x x =0 x x x=0 x, = ± 4 = ±4 4 = ±0 = P =[ ;0 ] průsečík s osou y: x=0 y= 0 0 = = P =[0;] funkce je spojitá. f x= x x = x x = x x x x x f x f x f x f x 3. y' = x 0 x x x0x = x x xx x = x x = xx3 x x 3 4x x = x x x = x x y' =0 x x =0 x =0 x =0 x = x, =± y S = S =[ ;] y S = S =[;0] = = 4 = = =0 =0 59 / 95 IgMen

60 4. ; ; ; y' y' = y'= 4 4 y' = 6 5 y'0 rostoucí y' = 0 0 y'= 0 0 y' = y '= y '0 klesající y' = y '= 4 4 y'= 6 5 y '0 rostoucí 5. y' = x x y' '= 4x 0x x x 0x = 4x x x 4xx = x 4 x 4 = x [4x x 4x x ] x 4 = 4x3 x x 3 y ' ' = = 4x x 4x x x 3 = 4x4x3 8x 3 8x = x 4x3 x 3 x = 3 = 43 = 8 3 = = 0 lokální maximum y ' ' = = = 8 3 =8 3 8 =0 lokální minimum 6. y' '=0 4x3 x x 3 =0 4x3 x =0 x =0 3 x =0 3=x ±3=x y' ' ; 3 3 ;0 0 ;3 3 ; y' '= 4 3 y' '= 4 3 y' '= 4 3 y' '= y' '= y' '= 8 5 y ' '0 konvexní funkce y' '= 43 y ' ' = 8 4 y' '0 konkávní funkce y' '= 43 y' '= 8 4 y' '0 konvexní funkce y' '= y ' '= 8 5 y ' ' 0 konkávní funkce 60 / 95 IgMen

61 7. y= x x x lim x x x =lim x x rovnice asymptoty je y= x x x x x =lim x x x x x x x x x =lim x 4 x x = 00 0 = 8. 6 / 95 IgMen

62 49 Aplikace extrémů funkcí v úlohách Využití derivací při řešení slovních úloh. Př.: V rovině jsou dány body A=[0;3] a B=[4 ;5]. Jaké musí mít bod M souřadnice, aby ležel na ose x a součet AM BM byl minimální? M x M =[ x ; 0] y= AM BM AM =x A x M y A y M BM = x B x M y B y M y=0 x x 5 0 = x 3 4 x 5 = = x 96 8xx 5= x 94 8xx = x 9 4 8x x Derivace funkce: y' = x 9 x0 x 8x4 x 80= = x x 9 x 8x4 x 4 = = x x 9 x 4 x 8x4 Určení stacionárních bodů: y' =0 x x 9 x 4 x 8x4 =0 x x 9 = x 4 x 8x4 x x 4 x 9 = x 8x4 x x x 9 x 9 = x 8x6 x 8x4 x x 8x4=x 8x6x 9 x 4 8x 3 4x =x 4 9x 8x 3 7x 6x 44 x 4 8x 3 4x x 4 9x 8x 3 7x6x 44=0 6x 7x 44=0 : 4 x 4 x 8x4 = 6 / 95 IgMen

63 x 9x 8=0 x, = 9±9 4 8 x = 6 ; x = 3 = 9±844 4 = 9±5 4 = 9±5 = = 4 4 = 6 95 = = 3 Druhá derivace funkce důkaz minima: y' =xx 9 x 4x 8x4 y' '= x 9 x x 9 3 x0 0 x 8x4 x 4 x 8x4 3 x 80= = x x 9 3 x 4x 8 x 8x4 3 = x 9 x 8x4 = x 9 x x 9 x 4 x 4 3 x 8x4 x 8x4 = 3 = x 9 x x 9 x 9 x 8x4 x 4 x 8x4 x 8x4 = = x 9 x x 9 x 9 x 8x4 x 4 x 8x4 x 8x4 = = x 9 x x 9 x 9 x 8x4 x 8x6 x 8x4 x 8x4 = 9 = x 9 x 9 x 8x4 x 8x 6 x 8x4 x 8x4 = 9 = x 9 x 9 5 x 8x4 x 8x4 = y' '0 pro každé x x, jsou lokální minima 63 / 95 IgMen

64 Určení velikosti funkčních hodnot stacionárních bodů: y= x 9 4 8xx y 3 = x 3 = = = = = =5 3 5 =5 8 =4 5 y 6= = =455= =9 55 5=355 5=5 35=8 5 Minimálního součtu nabývá funkce v bodě M =[ 3 ;0 ] Jaké budou rozměry rotačního válce o maximálním objemu vepsaného do koule o poloměru R? objem válce... objem koule... V =r v V = 4 3 R3 Vztah mezi poloměrem válce a poloměrem koule: r =R v Funkce pro objem válce: V = R v 4 v= R v v / 95 IgMen

65 Určení extrémních hodnot z první derivace: R=konst. V = R v v3 4 V '= R 3 v 4 = R 3 4 v V '=0 R 3 4 v =0 R 3 4 v =0 : R = 3 4 v 4 3 R =v v= 4 3 R = R= 3 3 R Určení poloměru = podstavy válce: r= v R 3 R 3 R = 3 R 3 R = R 4 3 = 36 R 3R 3 R 3 = R 3 = R=6 3 R = R 36 R = R Důkaz extrému pomocí druhé derivace: V '= R 3 4 v V ' ' =0 3 4 v= 6 4 v= 3 v V ' ' 3 6 R = R= 63 R= 3 R V ' ' 3 6 R 0 jedná se o lokální minimum 3 6 R = R 3 3 R 6 = 65 / 95 IgMen

66 50 Neurčitý integrál metody integrace 50. Neurčitý integrál primitivní funkce Je dána funkce f definována na intervalu a,b. Říká se, že funkce F je primitivní funkcí f na intervalu a,b, jestliže platí: F ' x= f x; x a,b. Libovolná primitivní funkce F k funkci f na intervalu a,b se nazývá neurčitý integrál funkce f a označuje se f xdx=f xc. Neurčité integrály elementárních funkcí: y=x n y= x n n x R ;n N y=c y=cx x R ;c R y=x n y= x n n x0 ;n R ; n y=x = x y=ln x x 0 y=sin x y= cos x x R y=cos x y=sin x x R y=tg x y= ln cos x x k y=cotg x y=ln sin x x k y=e x y=e x x R y=a x ln a x0 ;a0 y=ln x y=x ln x x0 y= y=tg x x k cos x y= sin x y=cotg x x k y= ax Pravidla pro počítání s integrály: násobení konstantou součet a rozdíl integrál lineární funkce c f xdx=c f xdx [ f x± gx]dx= f xdx± gxdx f axb dx= F axb c a 66 / 95 IgMen

67 Př.: x 4 dx= x5 5 c 3 5 x 5 dx= x 8 3 dx= x c=x c= x 4 dx= x 4 dx= x 3 3 c= 3x 3 c x x x = x 5 5 x 3 dx= x x x x dx= 3 c= 5 x5 3 x3 c x x x x dx= x x x x 3 dx= x ex e x dx= e x e x dx= e x e x dx= e x dx=e x xc e x 6 dx= 6 xc x dx= 50. Metody integrace Substituční metoda: f x ' xdx= [ t=x dt=' xdx] = f t dt t dt Př.: [ x=t x 5 dx= dx=dt dx= dt] = t 5 dt= t 5 dt= t 6 6 c= 6 x6 c e e x e dx=[ x =t x e x dx=dt dx= dt e x ]= x e t dt dx=[ ln x=t ln x x dx= ln x x x dx=dt ]= t dx= xdt 3 e = dt= t dt= t c= x 3 3 t 3 c= 3 e x 3 c x x dt= t dt= t c= ln x c 67 / 95 IgMen

68 cos x=t sin 5 x dx= sin x sin 4 x dx= sin x sin x dx= sin x cos x dx=[ sin x dx=dt dx= dt ]= sin x = sin x t dt sin x = t 4 dt= t t 4 dt= = t t t 5 c t t 3 3 t5 5 c= cos x cos3 x cos5 x c 3 5 dx=[ cos x=t tg x dx= sin x sin xdx=dt]= sin x cos x dx= dt t sin x dt sin x = dt= ln t c= ln cos x c t cos3x dx=[3x =t 3dx=dt ]= dt dx= dt cost 3 = cost dt= 3 3 sin tc= 3 sin3x c 3 x 3 8x 3 7 =[ 8x 3 7=t 8 3x dx=dt 4x dx=dt dx= dt 4x 3 ]= = 4 3 tc= 3 3 8x 3 7c= 8x 3 7c 4 8 x dt 3 t 4x = 3 4 t dt= 4 t dt= t 3 dt= 4 4 t c= 3 a dx= a dx=[ x=t x dx=dt x dx= dt dx=[ x =t 3x x dx=dt x dx= dt x cos x e sin x dx=[ ]= a t dt= a t dt= at a x c= ln a ln a c ]= 3x t dt x = 3 t dt= 3 t dt= 3 ln t c= 3 ln x c sin x=t cos x dx=dt dx= dt ]= cos t dt x e cos x = e t dt=e t c=e sin x c cos x sin x=t sin x cos 3 x dx= sin x cos x cos x dx= sin x sin x cos x cos xdx=dt dx=[ dx= dt ]= cos x = t t cos x dt cos x = t t dt= t t 4 dt= t3 3 t5 5 c= sin3 x 3 sin 5 x 5 c 68 / 95 IgMen

69 sin x=t cos 3 xdx= cos x cos x dx= sin x cos x cos x dx=dt dx=[ dx= dt ]= t cos x dt cos x = cos x = t dt=t t3 3 3 c=sin x sin x 3 c dx=[ e x =t e x dx=dt e x ex dx= dt e x ]= e x t dt e = x t dt=ln t c=ln ex c Metoda per partes : u' vdx=uv uv' dx uv ' dx=uv u ' v dx Př.: x e dx=[ x u= x u'= v '=e x v= e x dx=e x] =x ex e x = x e x e x =x e x e x c=e x x c x sin x dx=[ u=x u'= = x cos xsin xc v '=sin x x] v= sin x dx= cos = x cos x cos x dx= x cos x cos x dx= x cos3x dx=[ u=x u'= 3x=t v= cos3x 3 dx=dt dx=[ ]= dx= dt cost 3 v '=cos3x = x 3 sin 3x 3 sin 3x dx= x 3 sin 3x 3 sin 3x dx=[ 3x=t 3dx=dt dx= dt 3 = x 3 sin 3x 9 sin t dt= x 3 sin 3x 9 costc= x 3 sin 3x 9 cos3xc dt 3 = cost dt= 3 3 sin tc= sin 3xc]= 3 x ]= 3 sin 3x sin t dt 3 3 = 69 / 95 IgMen

70 5 Určitý integrál užití 5. Určitý integrál Nechť je funkce y= f x spojitá v intervalu a ;b. Newton Lebnitzova formule: I = a Př.: x x5dx=[ x3 3 x 5x ] b f xdx=[ F x] a b=f b F a = = = = = = = 33 0 = x sin x dx=[ x cos x ] = 8 =[ x = cos x ]0 cos 0 cos0 = 5. Užití určitého integrálu Výpočet obsahu plochy ohraničené křivkami: b S= a f xdx b S= [ f x g x]dx a b S= a f x dx b S=S S = a c [ f x gx]dx [ g x f x]dx g 70 / 95 IgMen

71 Postup výpočtu:. načrtnutí grafů funkcí do soustavy souřadnic a určení obrazce, jehož plocha se má vypočítat. určení horní a dolní meze integrálu jako x-ových souřadnic průsečíků funkcí omezujících plochu 3. sestavení funkce f x do určitého integrálu (funkce je dána rozdílem horní a dolní funkce omezujících plochu) 4. výpočet určitého integrálu Př.: Jaký bude obsah obrazce ohraničeného křivkami y=sin x ; y=cos x a x= 3 4? sin x cos x dx=[ cos x sin x] 4 4 = 4 y=sin x y=cos x y= y sin x=cos x x= 4 k meze: 4 ; 3 4 = cos 3 4 sin 3 4 cos 4 sin 4 = cos3ocer 4 sin 3 4 cos 4 sin 4 = = = Výpočet objemu tělesa rotujícího kolem osy x: b V = a f xdx b V = [ f x g x] dx a Postup výpočtu:. načrtnutí grafů funkcí do soustavy souřadnic a určení obrazce rotujícího kolem osy x. určení horní a dolní meze integrálu jako x-ových souřadnic průsečíků funkcí omezujících plochu 3. sestavení funkcí určujících nalezený obrazec (je-li obrazec tvořen několika funkcemi, rozděluje se pak na několik jednodušších těles tvořených jednou funkcí) 4. určení objemu vzniklého tělesa jako rozdílu objemů těles vzniklých rotací horní a dolní křivky ohraničující obrazec 7 / 95 IgMen

72 Př.: Jaký bude objem tělesa, které vznikne rotací obrazce kolem osy x ohraničeného křivkami y=x? y=x y=x y= y x=x = x x = x meze: 0; y=x a V = [ x x ] dx= [4x 4x 4 ] dx= [ 4 x = [ x5 4 5 ]0 ] 5 = = 0 5 = = 8 5 Výpočet délky oblouku rovinné křivky: b s= y' dx a 7 / 95 IgMen

73 5 Posloupnost vlastnosti, limita posloupnosti 5. Posloupnosti Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel N se nazývá nekonečná posloupnost. Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel n n 0, kde n 0 je pevně dané číslo z množiny N, se nazývá konečná posloupnost. Typy zadání posloupností:. výčtem prvků ;5;8; ;4;7 ;0 ;3;.... vzorcem pro n-tý člen a n =3n ;n N {3x } n 3. rekurentně je zadán jeden člen posloupnosti (většinou první) a předpis, jak se z předcházejícího členu dostane následující a =;a n =a n 3 Př.: 3; 4;5;6;7 ;8;... a n =n a =3 ; a n =a n ;6 ; ;0 ;... a n =nn a =;a n =a n n ; 3 ; 3 4 ; 4 5 ;... a n= n a = n ;a = n n a n n Graf posloupnosti: Př.: 73 / 95 IgMen

74 Vlastnosti posloupností: rostoucí klesající neklesající nerostoucí shora omezená zdola omezená omezená a n a n ;n N a n a n ;n N a n a n ;n N a n a n ;n N existuje takové reálné číslo h, že a n h; n N existuje takové reálné číslo d, že a n d ;n N je omezená shora i zdola 5. Limita posloupnosti Říká se, že posloupnost {a n } n je konvergentní, právě když existuje reálné číslo a takové, že platí: lim n a n = L L 0 n 0 N ; n n 0 :a n L ; L Posloupnosti, které nejsou konvergentní se nazývají divergentní. Věty:. Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.. Každá konvergentní posloupnost je omezená. 3. Nechť posloupnosti {a n } n a {b n } n lim a n ±b n =lim a n ±lim b n =a±b n n n b n =a b lim n lim n a n b n =lim n c a n =c lim n a lim n = n b n lim n a n a n lim n a n =c a ;c R = a lim b n b ;b n 0,b 0 n 4. Každá geometrická posloupnost {a n } n rovnu 0. lim n n =0 Př.: { 5 n}n lim n 5 n =lim 5 n n =5 lim n n =5 0=0 mají limity lim n a n =a a lim n b n =b. pro jejíž kvocient platí, že q ; q ; má limitu 74 / 95 IgMen

75 53 Aritmetická posloupnost Posloupnost {a n } n se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové reálné číslo d, že pro všechna přirozená čísla n platí: a n =a n d. a n =a n d a r =a s r sd s n = n a a n d...diference aritmetické posloupnosti s n...součet prvních n-členů posloupnosti Př.: Jaké hodnoty bude mít prvních 6 členů aritmetické posloupnosti? a = ;d=3 a = a = 3= 3= a 3 = 3 3= 6=5 a 4 = 4 3= 9=8 a 5 = 5 3= = a 6 = 6 3= 5=4 Jaký bude. člen a diference posloupnosti? a a 6 =3 a 4 a 5 =36 a d a 5d=3 a 3da 4d=36 a 6d =3 a = 3 6d =6 3d a 7d =36 6 3d 7d=36 3 6d7d=36 d =36 3 d =4 a =6 3 4=6 =4 75 / 95 IgMen

76 54 Geometrická posloupnost Posloupnost {a n } n se nazývá geometrická právě tehdy, když existuje takové reálné číslo q, že pro všechna přirozená čísla n platí: a n =a n q. a n =a q n a r =a s q r s s n =a qn q q...kvocient geometrické posloupnosti s n...součet prvních n-členů posloupnosti Př.: Jaké hodnoty bude mít prvních 5 členů geometrické posloupnosti? a = 4 ;q= a = 4 a = 4 a 3 = 4 3 a 4 = 4 4 a 5 = 4 5 = 4 = 4 = 4 = = 4 = 4 4 = 4 4 = = 4 3 = 4 8 = 4 8 = = 4 4 = 4 6 = 4 6 = 4 76 / 95 IgMen

77 55 Nekonečná geometrická řada Nechť je dána posloupnost {a n } n. Výraz, který obsahuje její členy a má tvar a a a 3... se nazývá nekonečná řada. Členy a, a, a 3,... se nazývají členy nekonečné řady. Jestliže je daná posloupnost geometrická, pak se příslušná řada nazývá nekonečná geometrická řada: a a qa q a q 3... Nekonečná geometrická řada je konvergentní právě tehdy, jestliže q. V opačném případě je řada divergentní. Je-li nekonečná geometrická řada konvergentní, pak lze sečíst a součet je dán vztahem s= a q. Př.: Jestliže je daná geometrická řada konvergentní, jaký bude její součet? a =a q q= a = a = q ; daná geometrická řada je konvergentní s= a q = = = = n n a =a q q= a = = q ; a daná geometrická řada je divergentní 77 / 95 IgMen