Navrhování - nalezení rozměrů prvků konstrukční soustavy - dosáhnout požadované provozní spolehlivosti navrhovaného inženýrského díla

Transkript

1 Základy teorie navrhování konstrukcí 1. Základní pojmy, vztahy, definice Navrhování - nalezení rozměrů prvků konstrukční soustavy - dosáhnout požadované provozní spolehlivosti navrhovaného inženýrského díla Návrh obsahuje do jisté míry i optimalizaci konstrukce, která se však zatím obvykle opírá o inženýrskou intuici. Součástí návrhu je také stanovení spojovacích prostředků konstrukčních prvků a též nalezení způsobů vyztužení prvků (např. beton - ocelové pruty či přepínací kabely).

2 Vymezení pojmu spolehlivosti je založeno na vnímání konstrukční soustavy a jejího zatížení jako systém, který je definován množinou veličin, vystihujících zejména: 1.materiálové vlastnosti konstrukce.rozměry konstrukce 3.způsob zatížení. Obvykle za systém považujeme: - místo konstrukční soustavy její teoretický model vytvořený k její analýze a který je zjednodušením skutečnosti. Systém a rovněž veličiny jsou v reálném světě zatíženy nejistotami. S nejistotami se snažíme vypořádat při tvorbě teoretického modelu, který je idealizací skutečnosti:

3 Idealizace - příklady - délka teoretického rozpětí závislá na nejisté poloze reakcí v uložení trámu nebo desky - střednice nosníku nebo střednicová plocha desky - vlastnosti materiálu(pružný, pružnoplastický, viskoelastický, viskoplastický) Při tvorbě modelů je vhodné čerpat zkušenosti z podobných konstrukcí, které byly ověřovány experimentálně (např. na staveništi - in situ). Tím můžeme množství nejistot zmenšit, ale nemůžeme je zcela odstranit. Zejména se to týká konstrukcí dopravních staveb, neboť tyto konstrukce nejsou opakovatelné, dále se obvykle každá jednotlivá realizace liší od návrhu. Nejistoty veličin pramení z toho, že přejímáme informace (např. modul pružnosti, mez kluzu, vlastní hmotnost atp.) získané ověřováním podobných, ale ne zcela identických konstrukcí.

4 Nejistoty: a) náhodné veličiny (náhodnosti): mohou být objektivně odhadnuty metodami statistiky. b) mlhavé (vágní) veličiny: subjektivní hodnocení (na základě zkušenosti) umožňuje stanovit jejich možné meze) např. stupeň nasycení pórů zeminy vodou). Spadá sem většina nejistot systému Oba druhy nejistot ovlivňují spolehlivost systému. Def.: Spolehlivostí rozumíme schopnost systému zachovávat požadované vlastnosti po předem stanovenou dobu technického života - životnost. Ztrátu požadované vlastnosti nazýváme poruchou. Vznik poruchy se popisuje podmínkami překročení mezního stavu.

5 Různé kritické stavy, kterých by konstrukce mohla dosáhnout během své životnosti dělíme do dvou hlavních skupin: 1.Mezní stavy únosnosti: zahrnuje všechny typy chování konstrukce při selhání (kolapsu) -porušení konstrukce lomem, ztrátou stability atp..mezní stavy použitelnosti: převážně svázány s vlivy deformací (včetně dlouhodobých). Zahrnují i lokalizované deformace (trhlina), nadměrné vibrace. Dosažení mezního stavu R = S odolnost účinek zatížení

6 Příklady: 1) Mezní stav únosnosti nosníku namáhaného na ohyb: S - výsledný momentový účinek vnějších sil působících po jedné straně průřezu. R - hodnota ohybového momentu, který je průřez schopen přenést. ) Mezní stav použitelnosti: S - specifická hodnota přetvoření (průhyb, pootočení) nosníku způsobená zatížením. R - příslušná mezní hodnota přetvoření. Rezerva spolehlivosti Z R S 0 Když R,S jsou nezávislé náhodné veličiny, podmínka nezápornosti R vede obecně k nesymetrickému rozdělení pravděpodobnosti této veličiny (doporučuje se tříparametrické lognormální rozdělení).

7 Pro častý nedostatek potřebných statistických dat se dává přednost normálnímu rozdělení N( R, R ) a N( S, S ), kde jsou příslušné průměry a jsou směrodatné odchylky. Normální rozdělení náhodné veličiny Z R S 1 Z Z f Z Z exp Z Z kde Z R S a Z R S. Pravděpodobnost poruchy P f pro Z 0 P f P 0 Z f Z 0 dz Z Výpočet se provede transformací na normovanou náhodnou veličinu Z T u u 0 u 0 Z Po úpravě pravděpodobnost poruchy

8 P f P 1 Z 0 e du kde je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení. Byl zaveden alternativní ukazatel spolehlivosti, tzv. Z index spolehlivosti Z u

9 Pravděpodobnostní pojetí míry spolehlivosti. Míra spolehlivosti (SPOLEHLIVOST) je pravděpodobnost náhodného jevu * P T *, že po předem stanovenou dobu T nedojde k poruše systému, tj. * P T 1 Pf Míra spolehlivosti se v důsledku některých veličin systému a zatížení s časem mění. Jednoduše lze tvrdit, že pokud se neprovádí údržba a opravy systému, pravděpodobnost vzniku poruch s časem roste a míra spolehlivosti klesá. Kromě indexu spolehlivosti se někdy užívá stupeň spolehlivosti r log 1 P f log P f Mezní stav Směrná hodnota pro návrhovou životnost pro životnost 1 rok *) únosnosti 3,8 4,7 použitelnosti 1,5 3 *) pro ověřování dočasných situací

10 Hodnoty a pravděpodobnosti poruchy jsou pouze formálními prostředky, které se zavádějí s cílem vybudovat jednotná pravidla pro navrhování konstrukcí. Praktické navrhování Metody spolehlivostní analýzy jsou roztříděny do 3 úrovní: I. úroveň - zahrnuje metody navrhování a požadovanou míru spolehlivosti na bázi konstrukčního prvku stanovením dílčích součinitelů spolehlivosti a charakteristických hodnot základních veličin. II. úroveň - zahrnuje metody, které zjišťují pravděpodobnost poruchy v určitých bodech hranice mezního stavu. Mezi základní metody patří metoda prvního řádu FORM (First Order Reliability Method). Vede ke stanovení indexu spolehlivosti. III. úroveň - zahrnuje metody pravděpodobnostní analýzy konstrukčního systému jako celku.

11 Základem Eurokódů (Structural Eurocodes) jsou metody navrhování I. úrovně. V současnosti tvoří I.úroveň spolehlivostní analýzy metoda dílčích součinitelů (často metoda mezních stavů) partial safety factors. Této metodě předcházely: a) metoda dovolených namáhání permissible (allowable, working) stresses method b) metoda stupně bezpečnosti load factor method. Každá z těchto metod uvažuje vhodným způsobem nejistoty systému a veličin

12 Metoda dovolených namáhání Rozšířila se již v 19. století. Zatížení se definuje přesně, odezva konstrukce na toto zatížení se vyšetřuje pomocí teorie pružnosti. Konstrukce je považována za bezpečnou, jestliže vypočtená napětí jsou menší než dovolená napětí (dovolená namáhání). Nedostatek metody metoda nerespektuje nejistoty systému a jeho veličin zjevnou formou, jsou zváženy implicitně: a) V konzervativních předpokladech o rozložení napětí podle teorie pružnosti. b) Ve způsobu určení zatížení (používají se odhady středních hodnot vlastní tíhy, odhady maxim pro zatížení užitná a statistické odhady pro zatížení větrem). c) Ve způsobu určení dovolených namáhání. Dovolené namáhání se odvozuje z mezního napětí (pro teorii pružnosti je to pro ocel průměrná hodnota meze kluzu, u betonu průměrná hodnota pevnosti v tlaku a pod.). Dovolené namáhání je definováno jako podíl příslušné mezní hodnoty a součinitele

13 bezpečnosti. Např. pro ocelové konstrukce se za vhodný součinitel bezpečnosti považuje 1,5. Ocel s mezí kluzu 40 MPa má dovolené namáhání 160MPa Příklad Navrhněte rozměry obdélníkového průřezu nosníku metodou dovolených namáhání. Materiál je ocel s mezí kluzu R y. Úloha je 3x staticky neurčitá, symetricky uspořádaná i zatížená. Z toho vyplývá, že svislá reakce na obou stranách je rovna F, stejně jako moment ve vetknutí je stejný M, normálová síla je nulová. Uvolníme vazbu v levé podpoře. Potom v úseku 1, M x M F x

14 v úseku, 3 l x F x F M x M Užitím Clebschovy metody C 1 dx EJ x M w EJ x M w a pro okrajové podmínky: 0 0, 0 1 C w x 0, w l x Dostaneme Fl M l l F F l l M Fl Fl l F M Pootočení

15 Pro určení rozměrů průřezu máme neznámé b,h. Zvolíme b : h : 3, resp. b h. 3 Napětí v krajních vláknech průřezu za ohybu M h M h Fl6 4Fl 3 Fl max 3 3 I bh 9bh 3h h h 1 Fl Fl 3Fl Z podmínky max 3 3 dov hdov resp. hdov 3 h R dov y

16 Metoda stupně bezpečnosti Základy položeny již v r Metoda odvozuje únosnost průřezu z rozložení napětí v plastickém stavu, což zahrnuje odezvu konstrukce na účinky zatížení i dle teorie pružnosti. Metodu lze představit na nosníku namáhaném na ohyb. Nosník je bezpečný, když ve všech průřezech je s M kde M pl je plastická únosnost průřezu při ohybu M je ohybový moment způsobený zatížením s je předepsaný stupeň bezpečnosti M pl

17 V plastickém stavu se připouští redistribuce ohybových momentů, tj. přiblížení momentového obrazce k průběhu dle teorie plasticity. Vyjdeme-li z teorie plasticity s cílem nalézt velikost zatížení f pl, které za předpokladu tuhoplastického modelu vede k plastickému mechanizmu (kolaps), lze si stupeň bezpečnosti představit jako součinitel zatížení v rovnici f pl s f kde f je reálné zatížení přenášené konstrukcí. Ten nás potom informuje o plastické rezervě konstrukce. Ta závisí na: a) tvaru průřezu b) stupni statické neurčitosti

18 Příklady modelů chování materiálu tuhoplastický pružnoplastický Ale ani metoda stupně bezpečnosti není schopna zjevnou formou specifikovat nejistoty systému. Jsou skryty při tvorbě výpočetního modelu a v odhadech pro zatížení a ve volbě vysokých hodnot požadovaných stupňů bezpečnosti.

19 Příklad Stejný návrh obdélníkového průřezu stejného nosníku dle metody stupně bezpečnosti s plastickou rezervou Ry konstrukce dov 1,5 Mezní plastický stav nosníku (viz obrázek) M M 1 M pl W pl R y 1 bh 4 R y 1 h h 4 3 Neznámou hodnotu s stanovíme z momentové podmínky k průřezu M pl s F l 3 M pl l s F 3 M pl R s y 1 h 6 6M Fl pl 3 R x l y 3

20 Ry Připomeňme si, že pro dovolené namáhání dov bylo odvozeno, že výška 1,5 3Fl průřezu hdov 3. Z toho a výše uvedeného vztahu R y Fl Fl 6M pl 6 Fl M pl h Ry Ry a potom s Ry Fl Fl Z toho plyne, že pro konstrukci navrženou dle metody dovolených namáhání vychází stupeň bezpečnosti s 3. Znamená to, že spokojíme-li se s nižší hodnotou stupně bezpečnosti, můžeme ušetřit na rozměrech průřezu. Např. pro 6M pl 3 s M pl h Ry Fl 3 6 Fl 3Fl tedy hpl 3 ale dle dovol. namáhání hdov 3. R R y Fl 1 y

21 Z toho hpl h 3 dov 0, 873h 3 Tato metoda má však problémy: dov 1) Kdybychom uvažovali staticky určitý nosník navržený metodou dovolených namáhání, vyšel by stupeň bezpečnosti podstatně nižší než u staticky neurčitého. Pružný stav 1 4W R e y 4W e dov We Fl F dov 4 l 1,5 l 1 Plastický stav s Fl R y W Wpl a protože 1, 5 1 s Fl 4 4 R y 1,5 W e pl s F Z toho po dosazení do posledního výrazu za F R y W 4W e 1,5 l e potom W p plastický modul průřezu W e práce elastických sil

22 Ry 4W s 1,5 l e R y 4W 1,5 l e s,5 3 ) Podélné deformace x v nejvíce namáhaných oblastech (v nichž se tvoří plastické klouby) prudce rostou a mohou nabýt nepřípustně velkých hodnot ještě před dosažením plastického stavu. Proto je nutné při aplikaci teorie plasticity prokázat dostatečnou tažnost této oblasti.

23 Metoda dílčích součinitelů - společným nedostatkem uvedených tradičních metod navrhování je skutečnost, že v porovnání s výpočtem odezvy konstrukce na dané zatížení S, je hodnocení bezpečnosti konstrukce, do něhož vstupuje odolnost R, v podstatě triviální - tato metoda vznikla v šedesátých letech v tehdejším SSSR ve snaze obě složky navrhování lépe určit a vyvážit - rychle se rozšířila po celém světě pod názvem metoda mezních stavů (limit state design) - tento název je zavádějící, neboť každý mezní stav (kritický stav), který se může vyskytnout během navrhované životnosti, musí být zvážen kteroukoli metodou navrhování - v současnosti se za vyhovující návrh považuje ten, pro jehož návrhové hodnoty není dosaženo mezních stavů:

24 F, a, R f, a, Sd d kde S d d d d účinek zatížení R d odolnost konstrukce F d zatížení f d vlastnosti materiálů a d. geometrické vlastnosti (rozměry) Θ d nejistoty modelu d d d Jak stanovit návrhové hodnoty? - pokud by bylo k dispozici dostatečné množství údajů, z nichž by bylo možno stanovit rozdělení pravděpodobnosti veličin S a R, bylo by možné určit návrhové hodnoty tak, aby nerovnost S d <R d byla narušena jen s velmi malou pravděpodobností - potom jsou nereálné dva případy: o pravděpodobnost, že odolnost R je menší než návrhová odolnost R d

25 R P R d R 1 R 0 o pravděpodobnost, že účinek zatížení S je větší než návrhová hodnota S d P S 0 1 S d S α R, α S jsou modifikovány jako váhové součinitele, jimiž se váží význam veličin S, R z hlediska bezpečnosti konstrukce S

26 Metoda dílčích součinitelů dle EUROKÓDŮ - v eurokódech se veličiny F d, f d, a d nezavádějí přímo, ale prostřednictvím svých charakteristických hodnot F k, f k, a k, které se definují jako hodnoty: o s předepsanou pravděpodobností překročení (F k, f k ) o maximální hodnoty (nejsou vztaženy k určitému rozdělení pravděpodobnosti), zejména a k - k charakteristickým hodnotám je přiřazen soubor součinitelů spolehlivosti γ a kombinačních součinitelů ψ - návrhové hodnoty základních veličin se stanoví takto: o zatížení: Fd f Fk Fd ffk fk o materiálové vlastnosti: fd m o geometrické vlastnosti: ad anom a - dílčí součinitele mají být stanoveny se zřetelem:

27 o k nepříznivým odchylkám od charakteristických hodnot o k nepřesnosti modelu zatížení a modelu konstrukce o k nepřesnostem převodních součinitelů, jimiž se převádějí výsledky experimentů do předpisů (faktor velikosti, prostředků apod.) - číselné hodnoty dílčích součinitelů se stanovují: o kalibrací vzhledem k dlouhodobě ověřené tradici o statistickým vyhodnocením experimentálních dat a porovnáním v rámci teorie spolehlivosti

28 Tabulka.1: Přehled dílčích součinitelů zatížení označení popis přihlíží k možným nepříznivým odchylkám zatížení γ f od charakteristických hodnot přihlíží k možnému snížení návrhových hodnot, jeho uplatněním v podobě ψ ψ 0, ψ 1, ψ získáme vedle charakteristických hodnot zatížení další reprezentativní hodnoty, a to: kombinační hodnota ψ 0 : F k má přibližně stejnou ψ 0 pravděpodobnost přestoupení hodnot kombinovaného zatížení jako jediné zatížení častá hodnota ψ ψ 1 : F k může být přestoupena 1 nejvýše v 5% času nebo 300krát za rok kvazistálá hodnota ψ : F k odpovídá průměrné ψ hodnotě vzhledem k času, popř. hodnotě s pravděpodobností přestoupení 50%

29 materiálové vlastnosti geometrické vlastnosti modelové nejistoty γ m Δa γ Sd γ Rd přihlíží: - k možnosti nepříznivých odchylek materiálových vlastností od charakteristických hodnot - k systematickému vlivu převodních součinitelů přihlíží: - k možnosti nepříznivých odchylek geometrických dat od charakteristických hodnot vymezených stanovenými tolerancemi - k významu odchylek - ke kumulativnímu vlivu současného výskytu odchylek několika geometrických veličin přihlíží: - k nejistotám modelu zatížení - k nejistotám modelu účinku zatížení přihlíží: - k nejistotám modelu odolnosti, jestliže nejsou zahrnuty v samotném modelu