2 ÚVOD DO TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2.1 Náhodný jev. π, které je třeba co nejpřesněji a nejúplněji vymezit, a k nimž je třeba výsledky pokusu a
|
|
- Ján Fišer
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ÚVOD DO TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI.1 Náhodný ev Tato kaptola uvádí souhrn základních pomů a postupů teore pravděpodobnost, které se uplatňuí př rozboru spolehlvost stavebních konstrukcí a systémů. Výklad některých obecných postupů e však značně omezen s ohledem na rozsah skrpt. Podrobné vysvětlení všech uvedených poznatků e však možno nalézt ve skrptech [5] a v odborné lteratuře [18,19,0,4]. Teore pravděpodobnost se opírá o několk základních pomů, mez něž patří pokus, náhodný ev, evové pole. Pokusem se obecně rozumí realzace určtého souboru podmínek π. Klascké poetí teore pravděpodobnost předpokládá, že pokusy lze lbovolně opakovat (např. házení hrací kostkou, zatěžovací zkoušky betonové krychle). Výsledek každého pokusu e pak popsán výrokem, který umožňue ednoznačně rozhodnout, zda určtý ev nastal č nenastal. Rozsáhlé praktcké aplkace obecných pomů a postupů ve skutečných podmínkách však s představou lbovolně opakovatelných pokusů, z nchž každý vede k ednoznačnému výsledku ( když předem neznámému), nevystačí. Moderní teore pravděpodobnost proto přímá obecněší poetí, př kterém se termíny pokus, ev a evové pole opíraí o obecnou teor množn. Termín pokus má proto dále šroký význam: zahrnue takové realzace podmínek π, které lze ve skutečnost lbovolně opakovat, ale takové pokusy, které lze uskutečnt pouze ednou, nebo vůbec ne (popř. pouze hypotetcky). Důležté sou v každém případě podmínky π, které e třeba co nepřesně a neúplně vymezt, a k nmž e třeba výsledky pokusu a ech praktcké nterpretace soustavně vztahovat. Porovnávání pokusů provedených za odlšných podmínek může vést k závažným chybám a nedorozumění. Pops příslušného souboru podmínek a ech ověření by se proto mělo stát nedílnou součástí každého pravděpodobnostního rozboru. Teore pravděpodobnost se zabývá takovým pokusy, echž výsledek není předem ednoznačně určen příslušným souborem podmínek π, popř. takovým pokusy, pro něž soubor podmínek, který by vedl k ednoznačnému výsledku, nelze př pokusech zastt, nebo který není vůbec znám (známá e pouze část takového souboru). Pokusu tohoto druhu se říká náhodný pokus. Výsledek náhodného pokusu popsuí evy, které př realzac podmínek π mohou, ale nemusí nastat. Takové evy se nazývaí náhodné evy a označuí se obvykle velkým písmenem z počátku abecedy, např. A nebo B (popř. s ndexem). Jev, který nutně nastane př každé realzac podmínek π, e ev stý označíme e U; ev, který nemůže nkdy nastat, e ev nemožný označíme e V. 10
2 Jevovým polem Λ určtého náhodného pokusu rozumíme všechny evy, které mohou nastat realzací stanoveného souboru podmínek π, t. mohou být výsledkem příslušného pokusu. Jevové pole může být konečné (házení hrací kostkou), nebo nekonečné (zkoušení betonové krychle ve zkušebním stro). V některých případech lze nalézt systém elementárních evů, t. takových evů, které nelze dále dělt (př hodu hrací kostkou padnutí ednoho z čísel 1 až 6). V ných případech systém elementárních evů není zřemý nebo neexstue (zkoušení krychle ve zkušebním stro). Uvedené základní pomy náhodný pokus, soubor podmínek π, ev a evové pole sou osvětleny na třech ednoduchých příkladech, které sou neodděltelnou součástí tohoto stručného souhrnu. Kromě podrobného doplňuícího výkladu základních pomů, zařazené příklady uváděí některé obecněší poznatky a poukazuí na nesnáze př popsu skutečných podmínek matematckým prostředky a na nezbytnost přímat zednodušuící předpoklady. Příklad.1. Tradčním (a z nstruktvního hledska velm užtečným) příkladem e náhodný pokus spočívaící ve vrhu hrací kostkou. Soubor podmínek π e trvální: hrací kostka e vyvážená a symetrcká, hod se provádí tak, aby se neovlvňovala poloha kostky př dopadu. Jev stý U značí padnutí některého z čísel 1,, 3, 4, 5, 6, ev nemožný V padnutí ostatních čísel. Elementární evy E, 1, až 6, které nelze dále dělt, označuí padnutí čísla 1, až 6. Pokud e splněn uvedený soubor podmínek π, e výskyt každého elementárního evu E steně možný. V tomto případě říkáme, že de o systém steně možných elementárních evů. Další náhodné evy lze označt např. takto: A 1 E 1 padnutí čísla 1, A E E 4 E 6 padnutí čísla děltelného dvěma, A 3 E 3 E 6 padnutí čísla děltelného třem, A 4 E E 3 E 4 E 6 padnutí čísla děltelného dvěma nebo třem apod. Jevové pole Λ (t. souhrn všech možných evů, které mohou nastat př hodu) e v tomto případě zřemě konečné. Příklad.. Vyšetřue se krychelná pevnost betonu, náhodný pokus spočívá v zatěžování betonové krychle ve zkušebním lsu. Soubor podmínek π zahrnue složení, zpracování a stáří betonu, rozměry krychle, způsob zatěžování apod. Za náhodný ev se považue porušení betonové krychle př určté hladně zatížení. Bude-l zatížení dostatečně vysoké, dode k porušení vždy, př nízkém zatížení nedode k porušení nkdy, př hodnotách zatížení odpovídaících charakterstcké hodnotě krychelné pevnost betonu k porušení může doít (např. v 5% případů), ale nemusí (např. v 95% případů). Elementární evy e možné defnovat pouze aproxmatvně, např. prostřednctvím systému steně šrokých ntervalů v určtém oboru. Nepochybně nede o systém steně možných evů. Jevové pole Λ obsahue lbovolný ednostranně nebo oboustranně ohrančený nterval a e tedy nekonečné. 11
3 Příklad.3. Představme s, že budeme házet špkou na tabul; každý hod představue ednu realzac náhodného pokusu. Soubor podmínek zahrnue vzdálenost tabule, eí velkost, druh špky a ostatní podmínky házení. Předpokládáme, že každý bod tabule může být zasažen steně často, a že tabul nkdy nemneme (nepochybně velm sporné předpoklady). Zásah celé tabule e tedy ev stý U. Nemožný ev V e hod mmo tabul. Náhodný ev však může spočívat v zasažení kterékolv menší oblast A nakreslené na tabul (obrázek.1) nebo některé kombnace takových oblastí. Systém všech možných oblastí tabule představue nekonečné evové pole. Uvedené příklady vedou k obvyklému znázornění náhodných evů (vz obrázek.1) pomocí plošných obrazců, které se využívaí pro lustrac vzáemných vztahů mez náhodným evy A, B, C,... (v lteratuře se takové znázornění označue ako Vennův dagram). Na obrázku.1 e ev stý U znázorněn celým obdélníkem, dva náhodné evy A a B sou schematcky znázorněny ovály. Uveďme základní vztahy mez evy A a B, které vedou k defnc dalších důležtých pomů a k odvození některých obecných relací mez náhodným evy. Všechny níže uvažované vztahy a kombnace náhodných evů e možno znázornt pomocí plošných dagramů, které se zde vyžívaí v omezené míře s ohledem na rozsah skrpt. Podrobný výklad všech uvedených poznatků e možno nalézt v odborné lteratuře [18,19,0,4] včetně skrpt [5]. U A B Obr..1. Příklad házení špkou na tabul - Vennův dagram. Jestlže př každé realzac podmínek π, př které nastal ev A, nastane ev B, říkáme, že ev A mplkue ev B, což se zpravdla symbolcky zapsue výrazem A B. Jestlže př každé realzac podmínek π nastane současně ak ev A, tak ev B, nastane průnk obou evů 1
4 označený A B. Jestlže př každé realzac podmínek π nastane aspoň eden z evů A a B, nastane sednocení obou evů označené A B, estlže nastane ev A, ale nenastane ev B, nastane rozdíl těchto evů A B. Jevy A a A sou evy doplňkové, (říkáme také, že ev A e opačný k evu A), estlže současně platí A A U a A A V. Lze ukázat, že pro průnk a sednocení náhodných evů platí následuící ednoduchá pravdla (komutatvní, asocatvní a dstrbutvní zákon): A B B A, A B B A (.1) (A B) C A (B C), (A B) C A (B C) (.) (A B) C (A C) (B C), A (B C) (A B) (A C) (.3) Tato základní pravdla vedou k defnc složtěších relací pro průnk a sednocení systému evů A : I U A A A A 1 A A 1 A 3 A 3... A... A n n (.4) Př praktckém výpočtu pravděpodobností složtých evů se někdy účnně uplatňuí následuící pravdla (tak zvaná de Morganova pravdla), echž platnost plyne z předchozích vztahů I U A A A A 1 A A 1... A... A n n (.5) Použtí těchto pravdel e patrné z následuících dvou příkladů. Příklad.4. Jednoduchý sérový systém e podle obrázku. sestaven ze dvou prvků a zatížen dvocí sl o velkost P. Porucha systému F může nastat poruchou F 1 prvku 1 nebo poruchou F prvku : F F 1 F Bezporuchový stav F e popsán evem, pro který ze vztahu (.5) plyne vztah F F 1 F F1 F 13
5 P 1 P Obrázek.. Sérový systém. Příklad.5. Město C e zásobováno vodou ze dvou zdroů A a B potrubím, které má tř samostatné větve 1, a 3 (vz schéma na obrázku.3). Označme F 1 poruchu větve 1, F poruchu větve a F 3 poruchu větve 3. Jestlže každý ze zdroů A a B má dostatečnou kapactu k zásobování města C, pak nedostatek vody v městě e popsán evem ( F F 1 F ) 3, t. nastane současně porucha ve větvích 1 a nebo porucha ve větv 3. Pro rozbor tohoto evu může být však účelné sledovat doplňkový ev popsuící dostatek vody v městě C. Podle de Morganových pravdel (.5) e doplňkový ev, t. dostatek vody v městě C popsán evem ( F F 1 F ) F3 ( F1 F ) 3 kde ev F ) představue dostatek vody v místě spoení větví 1 a, který e současně ( 1 F počátkem větve 3. A 1 3 C B Obrázek.3. Systém dodávky vody ze zdroů A a B do města C. Příklad.6. Uvažume statcky určtou příhradovou konstrukc podle obrázku.4, která se skládá ze sedm prutů a e zatížena dvocí sl P. Úkolem e popsat ev F, že nastala porucha konstrukce. Označme F ev, že nastala porucha prvku 1,,..., 7. 14
6 P 4 P Obrázek.4. Statcky určtá příhradová konstrukce. Porucha celé konstrukce (ev F) nastane, estlže dode k poruše aspoň ednoho ze sedm prvků. Platí tedy F U 7 F S ohledem na výrobní podmínky ednotlvých prvků mohou být evy F vzáemně závslé a nesou tedy dsunktní. Př výpočtu pravděpodobnost poruchy může být pak výhodné pracovat s doplňkovým evem F, pro který podle de Morganových pravdel (.5) platí F 7 U 7 I F F 1 1 Podobný obrat se často s výhodou využívá př pravděpodobnostním rozboru složtěších technckých systémů. Přpomeneme eště některé další důležté pomy. Říkáme, že systém evů A tvoří úplný systém evů, estlže ech sednocení e ev stý U. Př rozboru složtých evů se někdy uplatňue úplný systém navzáem dsunktních evů.. Defnce pravděpodobnost Defnce pravděpodobnost prošla poučným vývoem, který vypovídá o pozoruhodném rozvo teore pravděpodobnost eích praktckých aplkací. Klascká defnce pravděpodobnost se opírá o úplný systém elementárních evů. Nechť se ev A rozpadá na m z celkového počtu n steně možných elementárních evů, který e vytvořen úplným systémem navzáem dsunktních evů. Pravděpodobnost evu A e pak dána podílem P(A) m / n (.6) 15
7 Pro takto defnovanou pravděpodobnost zřemě platí 0 P(A) m / n 1 (.7) P(U) n / n 1, P(V) 0 / n 0 (.8) Pro systém navzáem dsunktních evů A lze dále ukázat, že pravděpodobnost sednocení těchto evů e dána vztahem P U A 1 1 P ( A ) (.9) Klascká defnce pravděpodobnost zcela vyhovue v řadě elementárních případů, ako e házení hrací kostkou v příkladu.1. Jestlže však hrací kostka nebude souměrná, klascká defnce očvdně selhává. Příklady. a.3 dále naznačuí, že v praktckých případech nelze vystačt s konečným systémem elementárních evů. Ve snaze řešt tyto nedostatky se postupně obevly další defnce pravděpodobnost. Geometrcká defnce pravděpodobnost navazue na házení špkou v příkladu.3. Podle této defnce e pravděpodobnost evu A podílem eho plošného obsahu obs(a) a obsahu stého evu U obs (U), tedy podílem P(A) obs (A) / obs (U) (.10) a snaží se odstrant nedostatek, kterým e v klascké defnc příklad konečného počtu elementárních evů. Ale an tato defnce neobstoí př námtce, že ne všechny body na tabul (ev U) maí stenou možnost výskytu a "obsah" není tedy odpovídaící mírou výskytu. Tomuto nedostatku se snaží vyhnout další pokusy o defnc pravděpodobnost. Statstcká defnce pravděpodobnost vychází z výsledků mnohokrát opakovaného pokusu. Uvažume posloupnost n realzací něakého pokusu. Nechť př těchto n pokusech nastane určtý ev A v m(a) pokusech. Ukazue se, že relatvní četnost výskytu evu A, t. zlomek m(a)/n, zachovává př dost velkém n téměř konstantní hodnotu; větší odchylky od této hodnoty sou tím vzácněší, čím e n větší. Tento úkaz se nazývá statstckou stabltou relatvních četností, t. podílů m(a)/n. Hodnota, ke které se blíží relatvní četnost m(a)/n př zvyšuícím se n, se přímá za obektvní míru výskytu sledovaného evu a nazývá se pravděpodobností P(A) evu A: m( A) P( A) lm (.11) n n U statstcké defnce pravděpodobnost, která e vázána na výsledky pokusů, působí však 16
8 statstcká konvergence (t. lmta posloupnost hodnot získaných ako náhodné výsledky) velké nesnáze. Klascká, geometrcká statstcká defnce pravděpodobnost se snaží pravděpodobnost neen defnovat, ale navrhnout pravdlo k eímu výpočtu. Zřemě e to požadavek přílš vysoký, ne-l nemožný. Dlouhodobá snaha o defnování základních pomů teore pravděpodobnost e dnes dovršena vytvořením tzv. axomatckého systému, přatého a uznávaného na celém světě. Axomatcký systém pouze defnue poem pravděpodobnost a eí vlastnost, neudává však žádný praktcký návod k eímu stanovení. Všmněme s, že rovnce (.7) až (.9), zachycuí společné vlastnost klascké, geometrcké statstcké defnce pravděpodobnost: 1/ pravděpodobnost stého evu e rovna edné; / pravděpodobnost nemožného evu e rovna nule; 3/ estlže náhodný ev A e sednocením částečných a vzáemně dsunktních evů A 1,A,..., A n, pak pravděpodobnost evu A e rovna součtu pravděpodobností částečných evů. Axomatcká defnce pravděpodobnost tyto obecné vlastnost předkládá ve formě axomů. Pravděpodobnost P e reálná funkce, defnovaná na evovém pol Λ nad stým evem U s těmto vlastnostm: 1. Je-l A Λ, pak P(A) 0 (.1). Pro stý ev U platí P(U) 1 (.13) 3. Je-l A Λ, 1,,... a e-l pro lbovolná a A A V, pak P U A P A 1 1 ( ) (.14) Uvedené tř axomy vyhovuí neen předchozím defncím pravděpodobnost, ale nověšímu poetí pravděpodobnost ako míry splnění určtého výroku nebo požadavku, která e stanovena často pouze ntutvně a subektvně (ako expertní úsudek). V těchto případech se tedy zcela upouští od představy reprodukovatelných (opakovatelných) náhodných pokusů, které sou základem pro stanovení pravděpodobnost určtého evu. 17
9 Poznamenáme, že v moderní teor pravděpodobnost se prostřednctvím shora uvedených axomů přechází na obecnou teor míry. Pravděpodobnost e pak defnována ako nezáporná adtvní funkce množn, kterou s lze představt ako zobecnění pomu "obsah" v geometrcké defnc..3 Základní pravdla pro výpočet pravděpodobností Př výpočtu pravděpodobnost sou užtečná další pravdla, echž platnost lze odvodt z rovnc (.6) až (.9), popř. z axomů (.1) až (.14). Nechť A, 1,, n, tvoří úplný systém evů. Pak zřemě platí P( n U 1 A ) P( U) 1 (.15) Jestlže ev A e sednocením částečných navzáem dsunktních evů A, 1,,, n, lze napsat P( A) P( n U 1 n A ) P( A ) 1 (.16) Pro lbovolné dva evy A a B (které nemusí být dsunktní) platí pro pravděpodobnost ech sednocení věta o součtu pravděpodobností P( A B) P( A) + P( B) P( A B) (.17) která plyne z (.16) pro navzáem dsunktní evy A a B (A B), echž sednocením e sledovaný ev A B. Jestlže A, 1,,, n, e úplný systém navzáem dsunktních evů, pak z rovnce (.15) dostaneme n P( U A ) 1 n 1 P( A ) P( U) 1 (.18) Pro doplňkové evy A a A z rovnce (.18) vyplývá P(A ) 1 P(A) (.19) Příklad.7. Stanovme pravděpodobnost bezporuchového stavu sérového systému podle příkladu.4. Nechť P(F 1 ) 0,05, P(F ) 0,05 a P(F 1 F ) 0,0. Pak vzhledem ke vztahu 18
10 (.17) zstíme ( F1 F ) P( F1 ) + P( F ) P( F1 F ) 0,05 + 0,05 0,0 0,08 P Všmněme s, že evy F 1 a F nesou dsunktní (současně může doít porušení obou prvků); kdyby byly dsunktní, pak by pravděpodobnost poruchy byla 0,10. Další podrobnost k tomuto příkladu poskytne věta o součnu pravděpodobností, která e uvedena v následuícím oddílu..4 Podmíněná pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost P(A B) evu A za doplňuící podmínky, že současně (nebo předem) nastal ný ev B, ehož pravděpodobnost e nenulová, e důležtým pomem moderních postupů teore pravděpodobnost, který se často uplatňue také v teor spolehlvost. Podmíněná pravděpodobnost P(A B) e defnována vztahem P(A B) P(A B) / P(B) (.0) Z tohoto vztahu vychází tak zvané Bayesovské poetí teore pravděpodobnost (Thomas Bayes (170 až 1761)). Důležtá zednodušení vztahu (.0) platí pro dva zvláštní případy. Jestlže evy A a B sou dsunktní, t. platí A B V, pak P(A B) 0, estlže ev A mplkue ev B, t. platí A B, pak P(A B) P(A) / P(B), estlže naopak B A, pak P(A B) 1. Tyto vlastnost plynou bezprostředně ze základních vlastností pravděpodobnost uvedených v oddílech. a.3. Z rovnce (.0) plyne obecné pravdlo pro součn pravděpodobností P(A B) P(B) P(A B) (.1) Všmněme s opět zvláštních případů. Jestlže evy A a B sou dsunktní, t. platí A B V, pak P(A B) 0 a také P(A B) 0; estlže A B, pak P(A B) P(A) / P(B) a P(A B) P(A); estlže naopak B A, pak P(A B) 1 a P(A B) P(B). Říkáme, že evy A a B sou nezávslé (výskyt evu B neovlvní pravděpodobnost výskytu evu A), estlže platí P(A B) P(A). Zastavme se u shora uvažovaných zvláštních případů. Jestlže evy A a B sou dsunktní, pak sou závslé, neboť P(A B) 0 P(A) (pokud nede o nemožný ev V); estlže A B, pak A a B sou závslé evy, neboť P(A B) P(A) / P(B) P(A), estlže naopak B A, pak evy A a B sou závslé, neboť P(A B) 1 P(A). Pro nezávslé evy A a B tedy platí, že nesou dsunktní, t. A B V, a dále že splňuí trvální 19
11 vztahy A B a B A. Jestlže evy A a B sou nezávslé (a platí tedy A B V, A B a B A), pak pro ně z rovnce (.1) plyne P(A B) P(A) P(B) (.) Vztah (.) e větou o součnu pravděpodobností, podle které pravděpodobnost průnku (současného výskytu) dvou nezávslých náhodných evů e dána součnem ech pravděpodobností. Příklad.8. Pravděpodobnost poruchy sérového systému podle příkladu.7 může být s ohledem na vztah (.1) vyádřena vztahem P( F) P( F1 F ) P( F1 ) + P( F ) P( F1 F ) P( F1 ) + P( F ) P( F1 )P( F F1 ) 0,10 0,05 P( F F1 ) Jestlže evy F 1 a F sou nezávslé, pak P(F F 1 ) P(F ) a tedy ( F) P( F1 F ) P( F1 ) + P( F ) P( F1 ) P( F ) 0,10 0,005 0,0975 P Jestlže evy F 1 a F sou dokonale závslé (F 1 F ), t. P(F F 1 )1, pak ( F) P( F1 F ) P( F1 ) + P( F ) P( F ) 0,10 0,05 0,05 P 1 a sérový systém se v tomto případě chová ako edný prvek. Obecně se však pravděpodobnost poruchy uvažovaného sérového systému pohybue v ntervalu od 0,05 do 0,0975 v návaznost na stupeň závslost evů F 1 a F. Jestlže podle obrázku.5 ev A může nastat pouze realzací ednoho z navzáem dsunktních evů B, 1,,..., n (na obrázku.5 e n 5), echž pravděpodobnost sou známy, a sou-l také známy podmíněné pravděpodobnost P(A B ) (podle obrázku.5 e zřemě P(A B 5 )0), pak pravděpodobnost evu A může být stanovena ze vztahu P( A) n 1 P( B ) P( A B ) (.3) který se nazývá věta o úplné pravděpodobnost. 0
12 B 1 B B 3 B 4 B 5 A Obrázek.5. Jev A a navzáem dsunktní evy B..5 Bayesova věta Př uskutečnění evu A se naskýtá přrozená otázka, který z evů B vedl k uskutečnění evu A, t. aká e pravděpodobnost ednotlvých hypotéz B, z nchž právě edna byla splněna (vz obrázek.5), ným slovy, aká e pravděpodobnost P(B A). Ze vztahů (.0), (.1) a (.3) plyne velm důležtý vztah P( B ) P( A B ) P ( B A) n (.4) 1 P( B ) P( A B ) který se často nazývá Bayesova věta. Obecný postup praktckého použtí Bayesovy věty lze popsat pomocí důležté úvahy z teore spolehlvost stavebních konstrukcí. Jestlže porucha konstrukce, ev A, může nastat v důsledku různých hypotéz B a z předchozích zkušeností sou známy pravděpodobnost P(B ) výskytu ednotlvých hypotéz B, a rovněž sou známy podmíněné pravděpodobnost P(A B ), že nastala porucha A ako následek hypotézy B, pak pravděpodobnost poruchy A lze stanovt z věty pro úplnou pravděpodobnost (.3). Jestlže však porucha A nastala, t. nastal ev A, pak e důležtá otázka pravděpodobností ednotlvých hypotéz, které mohly poruchu vyvolat. Zaímaí nás tedy podmíněné pravděpodobnost P(B A), které lze stanovt z Bayesovy věty (.4). Praktcké použtí vztahů (.3) a (.4) e patrné z následuících příkladů. Příklad.9. Př hodnocení exstuící železobetonové konstrukce sou k dspozc výsledky 1
13 kontrolních zkoušek, které opravňuí k předpokladu, že skutečná pevnost e nžší než charakterstcká hodnota 0 MPa (ev B 1 ) s pravděpodobností p 1 P(B 1 ) 0,05 a vyšší než 0 MPa (ev B ) s pravděpodobností p P(B ) 0,95. K dodatečnému ověření akost betonu byla použta ednoduchá nedestruktvní metoda, která e však nepřesná. Označme A ev, že pevnost betonu stanovená nedestruktvní metodou e vyšší než 0 MPa. Chyby nedestruktvní metody lze vyádřt podmíněným pravděpodobnostm P(A B 1 ) 0,30, P(A B ) 0,90 V důsledku nepřesnost nedestruktvní metody může být tedy beton s pevností nžší než 0 MPa označen za beton s pevností vyšší než 0 MPa, a to s pravděpodobností 0,30, a beton s pevností vyšší než 0 MPa e označen za beton s touto pevností pouze s pravděpodobností 0,90. Pravděpodobnost, že nastane ev A (nedestruktvní pevnost e označena za vyšší než 0 MPa) plyne z věty o úplné pravděpodobnost (.3) P( A) P( B ) P( A 1 B ) 0,05 0,30 + 0,95 0,90 0,87 To znamená, že nepřesnou nedestruktvní metodou bude stanovena pevnost betonu vyšší než 0 MPa s pravděpodobností 0,87, když př absolutně přesných zkouškách, t. pokud by pro shora uvažované podmíněné pravděpodobnost platlo P(A B 1 ) 0, P(A B ) 1 pak z rovnce (.3) plyne P( A) P( B ) P( A 1 B ) 0, ,95 1 0,95 Z praktckého hledska e však důležtěší ná otázka. Jaká e pravděpodobnost P(B A) hypotézy B, že beton, pro který nedestruktvní zkouškou byla stanovena pevnost vyšší než 0 MPa (nastal tedy ev A), má skutečně pevnost vyšší než 0 MPa (a de tedy o ev B )? Tuto pravděpodobnost lze stanovt přímo z Bayesovy věty (.4) pro pravděpodobnost hypotéz P( B ) P( A B P( B A) P( B ) P( A 1 ) 0,95 0,90 0,05 0,30 + 0,95 0,90 ) B Jestlže tedy nedestruktvní zkouškou vyšla pevnost vyšší než 0 MPa, pak 0,98
14 pravděpodobnost, že beton má skutečně tuto pevnost, se z původní hodnoty 0,95 zvýšla na 0,98. Bayesova věta nalézá šroké uplatnění v řadě dalších praktckých případů nženýrské praxe, např. v těch, ve kterých e žádoucí aktualzovat předchozí nformace o rozdělení pravděpodobností s ohledem na nově získané poznatky. Tento důležtý pravděpodobnostní postup e uveden v následuícím oddílu..6 Aktualzace pravděpodobností Bayesova věta (.4) se často aplkue př tak zvané aktualzac rozdělení pravděpodobností, která se opírá o časově oddělené náhodné pokusy (často opakované). Steně ako v oddílu.5 se předpokládá, že pravděpodobnost P(B ) sou známy z předchozí (někdy časově vzdálené, neurčté a pouze subektvní) zkušenost. Říkáme m proto původní (aprorní) pravděpodobnost a označuí se ednoduše p P(B ). S časovým odstupem se v současnost uskuteční pokusy, př nchž se zstí podmíněné pravděpodobnost P(A B ) pozorovaného evu A za předpokladu, že nastal právě ev B, a které lze pokládat za míru věrohodnost, že příčnou evu A byl právě ev B. Tyto podmíněné pravděpodobnost, popř. k nm poměrné hodnoty, se proto nazývaí věrohodnost (lkelhood) l P(A B ); značka znamená "poměrný k" (věrohodnost l nemusí být tedy nutně normalzovány na nterval < 0, 1 >). Ptáme se na aktualzované (aposterorní, anglcky často také updated) pravděpodobnost p P(B A) evu (t. hypotézy) B, aktualzované s ohledem na výsledek nového pokusu (evu A). Z Bayesovy věty (.4) plyne důležtý vztah pro p ve tvaru: l p (.5) l Je zřemé, že vzorec (.5) platí obecně pro věrohodnost l, které nesou normalzovány na nterval < 0, 1 > (na rozdíl od pravděpodobností), a vyadřuí pouze relatvní podíl evů (hypotéz) B na pozorovaném evu A. Vztah (.5) e základem pro aktualzac pravděpodobností, která se často uplatňue v řadě nženýrských postupů, zeména př hodnocení exstuících konstrukcí. Právě v těchto případech se kombnuí předchozí (často subektvní) nformace s aktuálním poznatky, t. nformace o konstrukc v různých časových okamžcích, obvykle s velkým časovým odstupem. Proto e třeba ověřt podmínky, za kterých byly předchozí nformace získány, a vyhnout se pokušení uplatnt nedostatečně známá data, která by mohla vést k závažným 3
15 chybám a k nedorozumění. Příklad.10. Sledume dále železobetonovou konstrukc popsanou v příkladu.9. Přpomeňme, že z předchozích kontrolních zkoušek sou známy původní (aprorní) pravděpodobnost p 1 P(B 1 ) 0,05 (pravděpodobnost, že skutečná pevnost e nžší než charakterstcká hodnota 0 MPa, což e ev B 1 ) a p P(B ) 0,95 (pravděpodobnost, že skutečná pevnost e vyšší než 0 MPa, ev B ). Př následném hodnocení konstrukce byly provedeny dodatečné zkoušky pevnost betonu pomocí ádrových vrtů, echž přesnost e dostatečně vysoká (na rozdíl od nedestruktvních zkoušek v předchozím příkladu.9), a k nepřesnostem není tedy nutno př rozboru výsledků přhlížet. Tyto zkoušky naznačly, že věrohodnost evu B 1 e l 1 P(A B 1 ) 0, a věrohodnost evu B e l P(A B ) 0,8 (uvedené věrohodnost sou ž normalzovány). Aktualzované (aposterorní) pravděpodobnost plynou ze vztahu (.5) p l 0,05 0,0 0,05 0,0 + 0,95 0, l 0,01 p l 0,95 0,80 0,05 0,0 + 0,95 0,80 1 p l Aktualzované (aposterorní) rozdělení pravděpodobností p e tedy příznvěší než původní (aprorní) rozdělení pravděpodobností p. Poznameneme, že pokud dodatečné zkoušky naznačí, že věrohodnost obou evů B 1 a B sou stené, např. l 1 P(A B 1 ) l P(A B ) 0,5, sou aktualzované pravděpodobnost stené ako původní (p p ). Jestlže by však rozbor evu A ukázal, že věrohodnost evu B 1 e vyšší než evu B, např. l 1 P(A B 1 ) 0,7 a l P(A B ) 0,3, aposterorní pravděpodobnost se výrazně změní: p l 0,05 0,70 0,05 0,70 + 0,95 0, p l 0,99 0,11 p l 0,95 0, ,70 + 0,95 0,30 1 p l Aktualzované (aposterorní) rozdělení pravděpodobností p e tedy zřetelně méně příznvé než původní (aprorní) rozdělení p. Vlv původního (aprorního) rozdělení se zdá však stále převažuící; vymzí pouze př extrémním rozdělení věrohodností, např. když se současně l 1 0,89 4
16 blíží k edné (l 1 P(A B 1 ) 1) a l blíží k nule (l P(A B ) 0). V prax se však očekává spíše takové rozdělení věrohodností, které se svým tvarem přblžue k aprornímu rozdělení pravděpodobností. Příklad.11. Velké množství tažených prvků exstuící konstrukce bylo navrženo na zatížení kn. Př přestavbě konstrukce se však zatížení těchto prvků má zvýšt na,5 kn. Předchozí zkušenost ukazuí, že prvky sou schopny přenášet zatížení,5 kn (ev B) s pravděpodobností 1 P(B) 0,8 a poruší se s pravděpodobností P( B ) 0,. Navíc e však z předchozí zkušenost známo, že polovna z těch prvků, které nepřenesou zatížení,5 kn, vyhoví př nžším zatížení,3 kn (ev A). S ohledem na tyto poznatky lze pravděpodobnost 1 P(B) 0,8 aktualzovat zkouškou ednoho prvku na zatížení,3 kn. Předpokládeme, že zkouška byla úspěšná, t. prvek se př zatížení,3 kn neporušl. Z výsledku této zkoušky byla odhadnuta věrohodnost evu B, t. l 1 P(A B) 1, a evu B, t. l P(A B ) 0,5. Ze vztahu (.5) pak plyne aposterorní pravděpodobnost p l 0,80 1,0 0,80 1,0 + 0,0 0, p l Aprorní pravděpodobnost 1 0,8 e tedy aktualzována hodnotou p 1 0,89. Aktualzac pravděpodobností lze však opakovat další zkouškou, př které se aposterorní pravděpodobnost získaná v předchozím kroku považue za aprorní nformac. Jestlže by 0,89 další zkouška byla opět úspěšná, pak nová aposterorní pravděpodobnost e p l 0,89 1,0 0,89 1,0 + 0,11 0, l Tento opakovaný postup e př aktualzac pravděpodobností v praktckých aplkacích obvyklý a zcela charakterstcký. Co se však stane, estlže první zkouška není úspěšná? Pokud sou v tomto případě odhadnuty věrohodnost l 1 P(A B) 0,5 a l P(A B ) 1,0 (opačný poměr než v 0,94 případě úspěšné zkoušky), vychází pro aposterorní pravděpodobnost p 1 p l 0,80 0,5 0,80 0,5 + 0,0 1, l 0,67 což e nepříznvé snížení původní aprorní hodnoty zřemě nutné uvažovat o dalších zkouškách. 0,8. S ohledem na tuto skutečnost e 1 5
2. Definice pravděpodobnosti
2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se
VíceEKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY
. přednáška EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY Ekonomcko matematcké metody (též se užívá název operační analýza) sou metody s matematckým základem, využívané především v ekonomcké oblast, v oblast řízení a
VíceObsah přednášky 1. Bayesův teorém 6. Naivní Bayesovský klasifikátor (NBK)
Obsah přednášky 1. Bayesův teorém 2. Brutální Bayesovský klasfkátor (BBK) 3. Mamální aposterorní pravděpodobnost (MA) 4. Optmální Bayesovský klasfkátor (OBK) 5. Gbbsův alortmus (GA) 6. Navní Bayesovský
VícePodmíněná pravděpodobnost, spolehlivost soustav
S1 odmíněná pravděpodobnost, spolehlvost soustav odmíněná pravděpodobnost, spolehlvost soustav Lbor Žák odmíněná pravděpodobnost Nechť,, 0, podmíněná pravděpodobnost evu vzhledem k evu : S akou pravděpodobností
VíceSÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.
SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí
Více3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina
3 VBRANÉ MODEL NÁHODNÝCH VELIČIN 3. Náhodná velčna Tato kaptola uvádí stručný pops vybraných pravděpodobnostních modelů spojtých náhodných velčn s důrazem na jejch uplatnění př rozboru spolehlvost stavebních
VíceDopravní plánování a modelování (11 DOPM )
Department of Appled Mathematcs Faculty of ransportaton Scences Czech echncal Unversty n Prague Dopravní plánování a modelování (11 DOPM ) Lekce 5: FSM: rp dstrbuton Prof. Ing. Ondře Přbyl, Ph.D. Ing.
Vícevektor a vrátili jiný vektor. Měli-li jsme jistou pozorovatelnou A, dostali jsme jejím změřením
Operátor hustoty Popsueme-l vývo uzavřeného kvantového systému, vystačíme s většnou s pomem čstého stavu. Jedná se o vektor v Hlbertově prostoru H, který e danému kvantovému systému přdružen. Na daném
VíceAPLIKACE MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI NÁVRHU STRUKTURY DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU
APLIKACE MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI NÁVRHU STRUKTURY DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU APPLICATION OF MATHEMATICAL PROGRAMMING IN DESIGNING THE STRUCTURE OF THE DISTRIBUTION SYSTEM Martn Ivan 1 Anotace: Prezentovaný
VíceVztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky V této kapitole dáme biostatistiku do kontextu s teorií pravděpodobnosti, z níž biostatistika společně se statistikou vycházeí Cílem e zavést důležité
VícePROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO
PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO MAPOVÁNÍ WEBOVÝCH STRÁNEK ŘIMNÁČ MARTIN 1, ŠUSTA RICHARD 2, ŽIVNŮSTKA JIŘÍ 3 Katedra řídcí technky, ČVUT-FEL, Techncká 2, Praha 6, tel. +42 224 357 359, fax. +
VíceKorelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d
Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím
VíceSoftwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení
Softwarová podpora matematckých metod v ekonomce a řízení Petr Sed a Opava 2013 Hrazeno z prostředků proektu OPVK CZ.1.07/2.2.00/15.0174 Inovace bakalářských studních oborů se zaměřením na spoluprác s
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019
Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
VíceMetody vícekriteriálního hodnocení variant a jejich využití při výběru produktu finanční instituce
. meznárodní konference Řízení a modelování fnančních rzk Ostrava VŠB-TU Ostrava, Ekonomcká fakulta, katedra Fnancí 8. - 9. září 200 Metody vícekrterálního hodnocení varant a ech využtí př výběru produktu
VíceTeoretické modely diskrétních náhodných veličin
Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze
Více1. Úvod. Cílem teorie her je popsat situaci, která nás zajímá, jako hru. Klasickým případem
Kvaternon 2/204, 79 98 79 MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ JAROSLAV HRDINA a PETR VAŠÍK Abstrakt. Následuící text pokrývá eden z cyklů přednášek předmětu Aplkovaná algebra pro nženýry (0AA) na FSI VUT. Text
VíceSIMULACE ZTRÁTY STABILITY ŠTÍHLÉHO PRUTU PŘI KROUCENÍ
SIMULACE ZTRÁTY STABILITY ŠTÍHLÉHO PRUTU PŘI KROUCENÍ SIMULATION OF STABILITY LOSS OF SLENDER BEAM UNDER TORSION Petr Frantík Abstract Paper deals wth the stablty loss of straght shape of slender deal
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
Víceina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)
Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.
VíceŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB. Vladimír Hanta 1, Ivan Gros 2
ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB Vladmír Hanta 1 Ivan Gros 2 Vysoká škola chemcko-technologcká Praha 1 Ústav počítačové a řídcí technky 2 Ústav
VíceVícekriteriální rozhodování. Typy kritérií
Vícekrterální rozhodování Zabývá se hodnocením varant podle několka krtérí, přčemž varanta hodnocená podle ednoho krtéra zpravdla nebývá nelépe hodnocená podle krtéra ného. Metody vícekrterálního rozhodování
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
Vícen lokální působení různých vnějších faktorů ovlivňujících růst a zánik živých organismů n lokální variace vnitřních proměnných biologických systémů.
PROSTOROVÁ AUTOKORELACE V ANALYTICKÉ CHEMII JIŘÍ MILITKÝ, Katedra textlních materálů, Techncká unversta v Lberc, 46 7 Lberec MILAN MELOUN, Katedra analytcké cheme, Unversta Pardubce, Pardubce. Úvod Autokorelace
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceČASOVÁ KOORDINACE SPOJŮ VEŘEJNÉ HROMADNÉ DOPRAVY NA ÚSECÍCH DOPRAVNÍ SÍTĚ
ČASOVÁ KOORDINACE SPOJŮ VEŘEJNÉ HROMADNÉ DOPRAVY NA ÚSECÍCH DOPRAVNÍ SÍTĚ THE TIME COORDINATION OF PUBLIC MASS TRANSPORT ON SECTIONS OF THE TRANSPORT NETWORK Petr Kozel 1 Anotace: Předložený příspěvek
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VíceTeoretické modely diskrétních náhodných veličin
Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze
VíceNeparametrické metody
Neparametrcké metody Přestože parametrcké metody zaujímají klíčovou úlohu ve statstcké analýze dat, je možné některé problémy řešt př neparametrckém přístupu. V této přednášce uvedeme neparametrcké odhady
VíceVyužití logistické regrese pro hodnocení omaku
Využtí logstcké regrese pro hodnocení omaku Vladmír Bazík Úvod Jedním z prmárních proevů textlí e omak. Jedná se o poct který vyvolá textle př kontaktu s pokožkou. Je to ntegrální psychofyzkální vlastnost
VíceDále budeme předpokládat, že daný Markovův řetězec je homogenní. p i1 i 2
4 Markovovy řetězce se nazývá Markovův řetě- Defnce 7 Posloupnost celočíselných náhodných velčn {X n } zec (markovský řetězec), jestlže P(X n+ = j X n = n,, X 0 = 0 ) = P(X n+ = j X n = n ) (7) pro každé
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VíceMANAŽERSKÉ ROZHODOVÁNÍ
MANAŽERSKÉ ROZHODOVÁNÍ Téma 14 POSUZOVÁNÍ A HODNOCENÍ VARIANT doc. Ing. Monka MOTYČKOVÁ (Grasseová), Ph.D. Unverzta obrany Fakulta ekonomka a managementu Katedra voenského managementu a taktky Kouncova
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 000/00 Michal Marvan 3. Matice lineárního zobrazení V této přednášce budeme používat indexy dvoího druhu:
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regulární systém hustot Vychází se z: -,, P - pravděpodobnostní prostor -, R neprázdná množna parametrů - X X 1,, náhodný vektor s sdruženou hustotou X n nebo s sdruženou pravděpodobnostní
Více{ } SYNTÉZA TABULEK PŘECHODŮ 1. NEALGEBRAICKÉ METODY
SNTÉZA TABULEK PŘECHODŮ. NEALGEBRAICKÉ METOD a) GINSBURGOVA METODA Využívá tzv. korespondencí mez vstupním a výstupním slovem př dané vstupní a výstupní abecedě. Jnak řečeno, vyhodnocuí se ednotlvé odezvy
VíceAgregace vzájemné spojování destabilizovaných částic ve větší celky, případně jejich adheze na povrchu jiných materiálů
Agregace - úvod 1 Agregace vzáemné spoování destablzovaných částc ve větší cely, případně ech adheze na povrchu ných materálů Částce mohou agregovat, poud vyazuí adhezní schopnost a poud e umožněno ech
VíceMĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY
Úloha č. MĚŘENÍ NDKČNOST A KAPATY ÚKO MĚŘENÍ:. Změřte ndkčnost cívky bez jádra z její mpedance a stanovte nejstot měření.. Změřte na Maxwellově můstk ndkčnost cívky a rčete nejstot měření. Porovnejte výsledky
VíceMatematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
Více1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti
1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je
VíceANALÝZA ROZPTYLU (Analysis of Variance ANOVA)
NLÝZ OZPYLU (nalyss of Varance NOV) Používá se buď ako samostatná technka, nebo ako postup, umožňuící analýzu zdroů varablty v lneární regres. Př. použtí: k porovnání středních hodnot (průměrů) více než
VíceNáhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
VíceVŠB - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky. Diplomová práce. 2014 Michal Běloch
VŠB - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky Katedra aplkované matematky Dplomová práce 204 Mchal Běloch VŠB - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky Katedra
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VíceProcesy paralelně komunikujících gramatických systé mů
Procesy paralelně komunkuících gramatckých systé mů Pokroč lá témata z teoretckénformatky á věrečný proekt Autor: Ivan chwarz Abstrakt: Tato prá ce se zabý vá paralelně komunkuícím gramatcký m systé my
VícePřednášky část 4 Analýza provozních zatížení a hypotézy kumulace poškození, příklady. Milan Růžička
Přednášky část 4 Analýza provozních zatížení a hypotézy kumulace poškození, příklady Mlan Růžčka mechanka.fs.cvut.cz mlan.ruzcka@fs.cvut.cz Analýza dynamckých zatížení Harmoncké zatížení x(t) přes soubor
VíceALGORITMUS SILOVÉ METODY
ALGORITMUS SILOVÉ METODY CONSISTENT DEFORMATION METHOD ALGORITHM Petr Frantík 1, Mchal Štafa, Tomáš Pal 3 Abstrakt Příspěvek se věnuje popsu algortmzace slové metody sloužící pro výpočet statcky neurčtých
VíceEnergie elektrického pole
Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný
VíceMechanické vlastnosti materiálů.
Mechancké vastnost materáů. Obsah přednášky : tahová zkouška, zákadní mechancké vastnost materáu, prodoužení př tahu nebo taku, potencání energe, řešení statcky neurčtých úoh Doba studa : as hodna Cí přednášky
VíceNumerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První
Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá
VíceTestování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času
Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární
VícePOROVNÁNÍ MEZI SKUPINAMI
POROVNÁNÍ MEZI SKUPINAMI Potřeba porovnání počtů mez určtým skupnam jednců např. porovnání počtů onemocnění mez kraj nebo okresy v prax se obvykle pracuje s porovnáním na 100.000 osob. Stuace ale nebývá
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad 1 Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární
VíceSIMULACE A ŘÍZENÍ PNEUMATICKÉHO SERVOPOHONU POMOCÍ PROGRAMU MATLAB SIMULINK. Petr NOSKIEVIČ Petr JÁNIŠ
bstrakt SIMULCE ŘÍZENÍ PNEUMTICKÉHO SERVOPOHONU POMOCÍ PROGRMU MTL SIMULINK Petr NOSKIEVIČ Petr JÁNIŠ Katedra automatzační technky a řízení Fakulta stroní VŠ-TU Ostrava Příspěvek popsue sestavení matematckého
VíceInformační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
VíceIterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2
Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS Iterační výpočty projekt č.. lstopadu 1 Autor: Mlan Setler, setl1@stud.ft.vutbr.cz Fakulta Informačních Technologí Vysoké Učení Techncké v Brně Obsah 1 Úvod...
VíceÚloha syntézy čtyřčlenného rovinného mechanismu
Úloha syntézy čtyřčlenného rovnného mechansmu Zracoval: Jaroslav Beran Pracovště: Techncká unverzta v Lberc katedra textlních a ednoúčelových stroů Tento materál vznkl ako součást roektu In-TECH 2, který
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
VíceStatistická energetická analýza (SEA)
Hladna akustckého tlaku buzení harmonckou slou [db] Statstcká energetcká analýza (SA) V současné době exstue řada způsobů, ak řešt vbroakustcké problémy. odobně ako v ných odvětvích nženýrství, také ve
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska
VíceČísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...)
. NÁHODNÁ VELIČINA Průvodce studem V předchozích kaptolách jste se seznáml s kombnatorkou a pravděpodobností jevů. Tyto znalost použjeme v této kaptole, zavedeme pojem náhodná velčna, funkce, které náhodnou
VíceMODELOVÁNÍ A SIMULACE
MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký
VíceMonte Carlo metody Josef Pelikán CGG MFF UK Praha.
Monte Carlo metody 996-7 Josef Pelkán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cun.cz http://cgg.mff.cun.cz/~pepca/ Monte Carlo 7 Josef Pelkán, http://cgg.ms.mff.cun.cz/~pepca / 44 Monte Carlo ntegrace Odhadovaný
Více6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu
6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a
VíceZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA STROJNÍ Semestrální práce z předmětu MM Stanovení deformace soustav ocelových prutů Václav Plánčka 6..006 OBSAH ZADÁNÍ... 3 TEORETICKÁ ČÁST... 4 PRAKTICKÁ ČÁST...
VíceREGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení
REGRESNÍ ANALÝZA 13. cvčení Závslost náhodných velčn Závslost mez kvanttatvním proměnným X a Y: Funkční závslost hodnotam nezávsle proměnných je jednoznačně dána hodnota závslé proměnné. Y=f(X) Stochastcká
Více9.12.2009. Metody analýzy rizika. Předběžné hodnocení rizika. Kontrolní seznam procesních rizik. Bezpečnostní posudek
9.2.29 Bezpečnost chemckých výrob N Petr Zámostný místnost: A-72a tel.: 4222 e-mal: petr.zamostny@vscht.cz Analýza rzka Vymezení pojmu rzko Metody analýzy rzka Prncp analýzy rzka Struktura rzka spojeného
VíceANALÝZA RIZIKA A CITLIVOSTI JAKO SOUČÁST STUDIE PROVEDITELNOSTI 1. ČÁST
Abstrakt ANALÝZA ZKA A CTLOST JAKO SOUČÁST STUDE POVEDTELNOST 1. ČÁST Jří Marek Úspěšnost nvestce závsí na tom, jaké nejstoty ovlvní její předpokládaný žvotní cyklus. Pomocí managementu rzka a analýzy
VíceKlasifikace a predikce. Roman LUKÁŠ
1/28 Klasfkace a predkce Roman LUKÁŠ 2/28 Základní pomy Klasfkace = zařazení daného obektu do sté skupny na základě eho vlastností Dvě fáze klasfkace: I. Na základě trénovacích vzorů (u nchž víme, do aké
VíceŘešené příklady ze stavební fyziky
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Řešené příklady ze stavební fyzky Šíření tepla konstrukcí, tepelná blance prostoru a vlhkostní blance vzduchu v ustáleném stavu doc. Dr. Ing. Zbyněk
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceUrčeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti
PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová
VíceNáhodným (stochastickým) procesem nazveme zobrazení, které každé hodnotě náhodnou veličinu X ( t)
MARKOVOVY PROCESY JAKO APARÁT PRO ŘEŠENÍ SPOLEHLIVOSTI VÍCESTAVOVÝCH SYSTÉMŮ Náhodné rocesy Náhodným (stochastckým) rocesem nazveme zobrazení, které každé hodnotě náhodnou velčnu X ( t). Proměnná t má
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bayesovské odhady Bayesovské odhady - úvod Klasický bayesovský přístup: Klasický přístup je založen na opakování pokusech sledujeme rekvenci nastoupení zvolených jevů Bayesovský
VíceVÝZNAM TEORIE DUALITY V OPERAČNÍ ANALÝZE THEORY OF DUALITY IN OPERATIONAL ANALYSIS. ZÍSKAL Jan. Abstract
VÝZNAM EORIE DUALIY V OPERAČNÍ ANALÝZE HEORY OF DUALIY IN OPERAIONAL ANALYSIS ZÍSKAL Jan Abstract hs paper summarzes knowledge from lterature and results of research n dual theor at the Department of sstems
VícePružnost a plasticita II
Pružnost a plastcta II 3 ročník bakalářského studa doc Ing Martn Kresa PhD Katedra stavební mechank Řešení pravoúhlých nosných stěn metodou sítí Statcké schéma nosné stěn q G υ (μ) h l d 3 wwwfastvsbcz
VíceMatematické modelování ve stavební fyzice
P6 - Numercké řešení vedení tepla ve stěně Obsa: Stěna z omogennío materálu Stěna z různýc materálů Okraové podmínky Dvorozměrné vedení tepla Rovnce vedení tepla Rovnce kontnuty (v 1D) dq qcd, x qcd, x
VíceLimitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností
VíceNáhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
VíceAutomatická klasifikace dokumentů do tříd za použití metody Itemsets
Automatcká klasfkace dokumentů do tříd za použtí metody Itemsets Jří HYNEK 1, Karel JEŽEK 2 1 nsite, s.r.o., Knowledge Management Integrator Rubešova 29, 326 00 Plzeň r.hynek@nste.cz 2 Katedra nformatky
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 8. Kumulační zvýrazňování signálů v šumu 2
Lneární a adaptvní zpracování dat 8. Kumulační zvýrazňování sgnálů v šumu 2 Danel Schwarz Investce do rozvoe vzdělávání Opakování Kumulační zpracování sgnálů co to e, k čemu to e? Prncp metody? Nutné podmínky
VíceANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN
ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší
VíceLectureV. April 18, celou historii vývoje škálovacího faktoru a Hubleovy konstanty. Otázkou je, jak určit množství hmoty ve vesmíru.
LectureV Aprl 18, 2016 1 Temná hmota V předchozích lekcích sme ukázal, že pokud známe celkové množství hmoty ve vesmíru a eí složení, známe celou hstor vývoe škálovacího faktoru a Hubleovy konstanty. Otázkou
VíceTepelná kapacita = T. Ē = 1 2 hν + hν. 1 = 1 e x. ln dx. Einsteinův výpočet (1907): Soustava N nezávislých oscilátorů se stejnou vlastní frekvencí má
Tepelná kapacta C x = C V = ( ) dq ( ) du Dulong-Pettovo pravdlo: U = 3kT N C V = 3kN x V = T ( ) ds x Tepelná kapacta mřížky Osclátor s kvantovanou energí E n = ( n + 2) hν má střední hodnotu energe (po
VíceVYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS MATEMATICKÝ MODEL ROZPO TU MATHEMATICAL
Více1. Nejkratší cesta v grafu
08. Nekratší cesty. Úloha obchodního cestuícího. Heurstky a aproxmační algortmy. Metoda dynamckého programování. Problém batohu. Pseudopolynomální algortmy 1. Nekratší cesta v grafu - sled e lbovolná posloupnost
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 10. Rozhodování při jistotě, riziku a neurčitosti
Teore her a ekonomcké rozhodování 10. Rozhodování př stotě, rzku a neurčtost 10.1 Jednokrterální dskrétní model Jednokrterální model rozhodování: f a ) max a Aa, a,..., a ( 1 2 f krterální funkce (zsk,
VíceCZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost
CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Soukromá střední škola a jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Č. Budějovice,
VíceCHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.
CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt
VíceVYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2013 Radka Luštincová
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2013 Radka Luštncová VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Název bakalářské práce: Aplkace řezných
Víceu (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo
Metoda sítí základní schémata h... krok sítě ve směru x, tj. h = x x q... krok sítě ve směru y, tj. q = y j y j τ... krok ve směru t, tj. τ = j... hodnota přblžného řešení v uzlu (x,y j ) (Possonova rovnce)
VíceInterpretační dokumenty ID1 až ID6
Prof. Ing. Mlan Holcký, DrSc. ČVUT, Šolínova 7, 66 08 Praha 6 Tel.: 224 353 842, Fax: 224 355 232 E-mal: holcky@klok.cvut.cz, k http://web.cvut.cz/k/70/prednaskyfa.html Metody navrhování Základní pojmy
VíceSegmentace. Ilona Janáková. Rozvrh přednášky:
1 / 31 Segmentace Ilona Janáková Rozvrh přednášky: 1. Úvod do segmentace. 2. Segmentace prahováním. 3. Segmentace z obrazu hran. 4. Segmentace z obrazu hran - Houghova transformace. 2 / 31 Segmentace Ilona
VíceSpojité regulátory - 1 -
Spojté regulátory - 1 - SPOJIÉ EGULÁOY Nespojté regulátory mají většnou jednoduchou konstrukc a jsou levné, ale jsou nevhodné tím, že neudržují regulovanou velčnu přesně na žádané hodnotě, neboť regulovaná
Více